Złoty podział – co to jest? Czy liczby Fibonacciego? Co mają wspólnego helisa DNA, powłoka, galaktyka i piramidy egipskie? Spirala Fibonacciego to zaszyfrowane prawo natury.

Leonardo Fibonacci jest jednym z największych matematyków średniowiecza. W jednej ze swoich prac „Księga obliczeń” Fibonacci opisał indoarabski system rachunku różniczkowego i przewagi jego stosowania nad rzymskim.

Definicja
Liczby Fibonacciego lub ciąg Fibonacciego to ciąg liczbowy, który ma wiele właściwości. Np. suma dwóch sąsiednich liczb ciągu daje wartość następnej (np. 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 itd.), co potwierdza istnienie tzw. współczynników Fibonacciego , tj stałe stosunki.

Ciąg Fibonacciego zaczyna się tak: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Pełna definicja liczb Fibonacciego

3.


Właściwości ciągu Fibonacciego

4.

1. Stosunek każdej liczby do następnej coraz bardziej dąży do 0,618 wraz ze wzrostem liczby porządkowej. Stosunek każdej liczby do poprzedniej ma tendencję do 1,618 (odwrotność do 0,618). Numer 0,618 nazywa się (PI).

2. Dzieląc każdą liczbę przez następną, po jednym otrzymuje się liczbę 0,382; wręcz przeciwnie - odpowiednio 2.618.

3. Wybierając w ten sposób współczynniki, otrzymujemy główny zbiór współczynników Fibonacciego:… 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Związek między ciągiem Fibonacciego a „złotym podziałem”

6.

Ciąg Fibonacciego asymptotycznie (zbliżając się coraz wolniej) dąży do pewnego stałego stosunku. Jednak ten stosunek jest irracjonalny, to znaczy jest liczbą o nieskończonej, nieprzewidywalnej sekwencji cyfr dziesiętnych w części ułamkowej. Nie da się tego precyzyjnie wyrazić.

Jeśli któryś element ciągu Fibonacciego zostanie podzielony przez poprzedzający go (na przykład 13:8), wynikiem będzie wartość oscylująca wokół wartości irracjonalnej 1,61803398875 ... i raz na jakiś czas nie dosięgnąć. Ale nawet dotykając go Wieczności, nie można dokładnie poznać stosunku, aż do ostatniej cyfry dziesiętnej. Ze względu na twardość przetłumaczymy to w postaci 1.618. Specjalne nazwy dla tej proporcji zaczęto nadawać jeszcze zanim Luca Pacioli (matematyk z połowy wieku) nazwał ją Boską Proporcją. Wśród jego współczesnych nazw znajdują się takie jak Golden Ratio, Golden Mean i stosunek rotujących kwadratów. Keplep nazwał tę relację jednym ze „skarbów geometrii”. W algebrze jego oznaczenie przyjmuje się powszechnie grecką literą phi

Wyobraźmy sobie złoty podział na przykładzie odcinka linii.

Rozważ odcinek z końcami A i B. Niech punkt C podzieli odcinek AB tak, że

AC / CB = CB / AB lub

AB / CB = CB / AC.

Możesz o tym pomyśleć tak: A --– C --– B

7.

Złoty podział to taki proporcjonalny podział segmentu na nierówne części, w którym cały segment odnosi się do większej części tak samo, jak sama większa część odnosi się do mniejszej; innymi słowy, mniejszy segment odnosi się do większego, a większy do wszystkiego.

8.

Odcinki złotego podziału wyrażone są przez nieskończony ułamek niewymierny 0,618 ... jeśli AB przyjąć jako jednostkę, AC = 0,382 .. Jak już wiemy, liczby 0,618 i 0,382 są współczynnikami ciągu Fibonacciego.

9.

Fibonacci i złote proporcje w przyrodzie i historii

10.


Należy zauważyć, że Fibonacci niejako przypomniał ludzkości swoją sekwencję. Znana była nawet starożytnym Grekom i Egipcjanom. Rzeczywiście, od tego czasu w przyrodzie, architekturze, sztukach pięknych, matematyce, fizyce, astronomii, biologii i wielu innych dziedzinach znaleziono wzorce opisane przez współczynniki Fibonacciego. To zdumiewające, ile stałych można obliczyć za pomocą ciągu Fibonacciego i jak jego elementy pojawiają się w ogromnej liczbie kombinacji. Nie będzie jednak przesadą stwierdzenie, że nie jest to tylko gra z liczbami, ale najważniejszy matematyczny wyraz zjawisk przyrodniczych, jakie kiedykolwiek odkryto.

11.

Poniższe przykłady pokazują kilka interesujących zastosowań tego ciągu matematycznego.

12.

1. Powłoka jest nawinięta spiralnie. Jeśli go rozłożysz, otrzymasz długość nieco gorszą od długości węża. Mała 10-centymetrowa muszla ma spiralę o długości 35 cm, której kształt spiralnie nawiniętej muszli zwrócił uwagę Archimedesa. Chodzi o to, że stosunek wymiarów zwojów powłoki jest stały i wynosi 1,618. Archimedes badał spiralę muszli i wyprowadził równanie spirali. Spirala zaczerpnięta z tego równania nosi jego imię. Wzrost jej kroku jest zawsze równomierny. Obecnie spirala Archimedesa znajduje szerokie zastosowanie w technice.

2. Rośliny i zwierzęta. Nawet Goethe podkreślał skłonność natury do spirali. Już dawno zauważono spiralny i spiralny układ liści na gałęziach drzew. Spirala była widoczna w ułożeniu nasion słonecznika, w szyszkach, ananasach, kaktusach itp. Wspólna praca botaników i matematyków rzuciła światło na te niesamowite zjawiska naturalne. Okazało się, że w ułożeniu liści na gałęzi nasion słonecznika, szyszkach przejawia się seria Fibonacciego, a zatem przejawia się prawo złotego podziału. Pająk tka sieć spiralnie. Huragan kręci się w spiralę. Przestraszone stado reniferów rozprasza się spiralą. Cząsteczka DNA jest skręcona w podwójną helisę. Goethe nazwał spiralę „krzywą życia”.

Wśród przydrożnych traw rośnie niepozorna roślina - cykoria. Przyjrzyjmy się mu bliżej. Z głównego pnia uformował się proces. Pierwszy arkusz znajduje się właśnie tam. Pęd silnie wyrzuca w przestrzeń, zatrzymuje się, wypuszcza liść, ale jest krótszy niż pierwszy, ponownie wyrzuca w przestrzeń, ale z mniejszą siłą, wypuszcza jeszcze mniejszy liść i wyrzuca ponownie. Jeśli pierwsza emisja zostanie przyjęta jako 100 jednostek, druga to 62 jednostki, trzecia to 38, czwarta to 24 itd. Długość płatków również podlega złotemu podziałowi. We wzroście, podboju kosmosu, roślina zachowała pewne proporcje. Impulsy jego wzrostu stopniowo malały proporcjonalnie do złotej sekcji.

Jaszczurka jest żyworodna. U jaszczurki na pierwszy rzut oka uchwycone są przyjemne dla oka proporcje – długość ogona jest tak samo powiązana z długością reszty ciała, jak 62 do 38.

Zarówno w świecie roślin, jak i zwierząt nieustannie przebija się kształtująca tendencja natury - symetria względem kierunku wzrostu i ruchu. Tutaj złoty podział pojawia się w proporcjach części prostopadłych do kierunku wzrostu. Natura dokonała podziału na symetryczne części i złote proporcje. W partiach przejawia się powtarzalność struktury całości.

Pierre Curie na początku tego stulecia sformułował szereg głębokich idei symetrii. Twierdził, że nie można rozpatrywać symetrii jakiegokolwiek ciała bez uwzględnienia symetrii otoczenia. Wzory złotej symetrii przejawiają się w przemianach energetycznych cząstek elementarnych, w budowie niektórych związków chemicznych, w układach planetarnych i kosmicznych, w strukturach genetycznych organizmów żywych. Te wzorce, jak wskazano powyżej, znajdują się w strukturze poszczególnych narządów osoby i ciała jako całości, a także przejawiają się w biorytmach oraz funkcjonowaniu mózgu i percepcji wzrokowej.

3. Przestrzeń. Z historii astronomii wiadomo, że I.Titius, niemiecki astronom z XVIII wieku, za pomocą tej serii (Fibonacci) odnalazł prawidłowość i porządek w odległościach między planetami Układu Słonecznego

Jednak jeden przypadek, który pozornie przeczył prawu: między Marsem a Jowiszem nie było planety. Skoncentrowana obserwacja tego obszaru nieba doprowadziła do odkrycia pasa planetoid. Stało się to po śmierci Tycjusza na początku XIX wieku.

Seria Fibonacciego jest szeroko stosowana: służy do reprezentowania architektury żywych istot, struktur stworzonych przez człowieka i struktury galaktyk. Fakty te świadczą o niezależności szeregu liczbowego od warunków jego manifestacji, co jest jednym z przejawów jego powszechności.

4. Piramidy. Wielu próbowało rozwikłać tajemnice piramidy w Gizie. W przeciwieństwie do innych egipskich piramid nie jest to grobowiec, ale nierozwiązalna zagadka kombinacji liczb. Niezwykła pomysłowość, umiejętności, czas i praca architektów piramidy, które wykorzystali przy budowie wiecznego symbolu, wskazują na ogromną wagę przesłania, które chcieli przekazać przyszłym pokoleniom. Ich epoka była przedpiśmienna, prehieroglificzna, a symbole były jedynym sposobem utrwalania odkryć. Klucz do tajemnicy geometryczno-matematycznej piramidy w Gizie, od dawna zagadkowej dla ludzkości, wręczył Herodotowi kapłani świątynni, którzy poinformowali go, że piramida została zbudowana tak, aby obszar każda z jego twarzy była równa kwadratowi jej wysokości.

Obszar trójkąta

356 x 440/2 = 78320

Powierzchnia kwadratowa

280 x 280 = 78400

Długość krawędzi podstawy piramidy w Gizie wynosi 783,3 stopy (238,7 m), wysokość piramidy to 484,4 stopy (147,6 m). Długość żebra podstawy podzielona przez wysokość daje stosunek Ф = 1,618. Wysokość 484,4 stopy odpowiada 5813 calom (5-8-13) - są to liczby z ciągu Fibonacciego. Te interesujące obserwacje sugerują, że konstrukcja piramidy opiera się na proporcji Φ = 1,618. Niektórzy współcześni uczeni są skłonni interpretować, że starożytni Egipcjanie zbudowali go wyłącznie w celu przekazania wiedzy, którą chcieli zachować dla przyszłych pokoleń. Intensywne badania piramidy w Gizie pokazały, jak rozległa była wówczas wiedza matematyczna i astrologiczna. We wszystkich wewnętrznych i zewnętrznych proporcjach piramidy centralną rolę odgrywa liczba 1.618.

Piramidy w Meksyku. Piramidy egipskie są nie tylko zbudowane zgodnie z idealnymi proporcjami złotego podziału, ale to samo zjawisko występuje w piramidach meksykańskich. Powstaje pomysł, że piramidy egipskie i meksykańskie zostały wzniesione mniej więcej w tym samym czasie przez ludzi wspólnego pochodzenia.

We wszechświecie wciąż istnieje wiele nierozwiązanych tajemnic, z których część naukowcy byli już w stanie zidentyfikować i opisać. Liczby Fibonacciego i złoty podział stanowią podstawę do rozwiązywania otaczającego świata, konstruowania jego kształtu i optymalnej percepcji wzrokowej przez człowieka, za pomocą której może poczuć piękno i harmonię.

Złoty stosunek

Zasada określania wielkości złotego przekroju leży u podstaw doskonałości całego świata i jego części w jego budowie i funkcjach, jej przejawy widać w przyrodzie, sztuce i technice. Doktryna złotego podziału powstała w wyniku badań starożytnych naukowców nad naturą liczb.

Opiera się na teorii proporcji i stosunków podziałów segmentów, którą stworzył starożytny filozof i matematyk Pitagoras. Udowodnił, że dzieląc odcinek na dwie części: X (mniejszy) i Y (większy), stosunek większego do mniejszego będzie równy stosunkowi ich sumy (całego odcinka):

Rezultatem jest równanie: x 2 - x - 1 = 0, który jest rozwiązany jako x = (1 ± √5) / 2.

Jeśli weźmiemy pod uwagę stosunek 1 / x, to jest on równy 1,618…

Dowody na użycie złotego podziału przez starożytnych myślicieli są podane w książce Euklidesa „Początki”, napisanej w III wieku. BC, który zastosował tę zasadę do budowy regularnych 5-gonów. Wśród pitagorejczyków postać ta jest uważana za świętą, ponieważ jest zarówno symetryczna, jak i asymetryczna. Pentagram symbolizował życie i zdrowie.

Liczby Fibonacciego

W 1202 roku ukazała się słynna książka Liber abaci włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, znanego później jako Fibonacci. suma 2 poprzednich cyfr. Sekwencja liczb Fibonacciego jest następująca:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Naukowiec przytoczył również szereg wzorców:

• Każda liczba z serii podzielona przez następną będzie równa wartości, która dąży do 0,618. Co więcej, pierwsze liczby Fibonacciego nie dają takiej liczby, ale w miarę przesuwania się od początku ciągu stosunek ten będzie się stawał coraz dokładniejszy.
• Jeśli podzielimy liczbę z serii przez poprzednią, wynik przyspieszy do 1,618.
• Jedna liczba podzielona przez następną po jednej pokaże wartość zmierzającą do 0,382.

Zastosowanie związku i praw złotego podziału, liczby Fibonacciego (0,618) można znaleźć nie tylko w matematyce, ale także w przyrodzie, w historii, w architekturze i budownictwie oraz w wielu innych naukach.

Spirala Archimedesa i złoty prostokąt

Spirale, które są bardzo powszechne w przyrodzie, zostały zbadane przez Archimedesa, który nawet wyprowadził ich równanie. Kształt spirali opiera się na prawach złotego podziału. Po rozkręceniu uzyskuje się długość, do której można zastosować proporcje i liczby Fibonacciego, krok wzrasta równomiernie.

Równoległość między liczbami Fibonacciego a złotym podziałem można zobaczyć, konstruując „złoty prostokąt” o bokach proporcjonalnych do 1,618:1. Jest skonstruowany, przechodząc od dużego prostokąta do małych tak, aby długości boków były równe liczbom z rzędu. Jego budowę można wykonać w odwrotnej kolejności, zaczynając od pudełka „1”. Gdy narożniki tego prostokąta są połączone liniami w środku ich przecięcia, otrzymuje się spiralę Fibonacciego lub spiralę logarytmiczną.

Historia stosowania złotych proporcji

Wiele starożytnych zabytków architektury Egiptu zostało wzniesionych w złotych proporcjach: słynne piramidy Cheopsa itp. Architekci starożytnej Grecji szeroko wykorzystywali je przy budowie obiektów architektonicznych, takich jak świątynie, amfiteatry, stadiony. Na przykład takie proporcje zostały wykorzystane przy budowie starożytnej świątyni Partenonu (Ateny) i innych obiektów, które stały się arcydziełami starożytnej architektury, wykazując harmonię opartą na prawach matematycznych.

W późniejszych wiekach zainteresowanie Złotym Podziałem opadło, a wzorce zostały zapomniane, ale ponownie zostały wznowione w renesansie, wraz z księgą franciszkańskiego mnicha L. Pacioli di Borgo „Boska proporcja” (1509). Zawierał ilustracje Leonarda da Vinci, który utrwalił nową nazwę „złoty podział”. Naukowo udowodniono także 12 właściwości złotego podziału, a autor mówił o tym, jak przejawia się on w przyrodzie, w sztuce i nazwał to „zasadą budowania świata i natury”.

Człowiek witruwiański Leonardo

Rysunek, którym Leonardo da Vinci zilustrował Księgę Witruwiusza w 1492 roku, przedstawia postać ludzką w 2 pozycjach z rozłożonymi rękami. Postać wpisana w okrąg i kwadrat. Ten rysunek jest uważany za kanoniczne proporcje ludzkiego ciała (mężczyzny), opisane przez Leonarda na podstawie ich badań w traktatach rzymskiego architekta Witruwiusza.

Pępek jest uważany za środek ciała jako punkt równoodległy od końca ramion i nóg, długość ramion jest równa wysokości osoby, maksymalna szerokość ramion = 1/8 wysokości, odległość od szczytu klatki piersiowej do włosów = 1/7, od szczytu klatki piersiowej do czubka głowy = 1/6 itd.

Od tego czasu rysunek jest używany jako symbol pokazujący wewnętrzną symetrię ludzkiego ciała.

Leonardo użył terminu „Golden Ratio” w odniesieniu do proporcjonalnych relacji w figurze osoby. Na przykład odległość od talii do stóp jest powiązana z taką samą odległością od pępka do korony jak i wysokością do pierwszej długości (od pasa w dół). To obliczenie jest wykonywane podobnie do stosunku segmentów przy obliczaniu złotego podziału i ma tendencję do 1,618.

Wszystkie te harmonijne proporcje są często wykorzystywane przez artystów do tworzenia pięknych i imponujących dzieł.

Studia nad Złotym Podziałem w XVI-XIX wieku

Wykorzystując złoty podział i liczby Fibonacciego, badania nad proporcjami trwają od wieków. Równolegle z Leonardo da Vinci niemiecki artysta Albrecht Durer pracował również nad rozwojem teorii prawidłowych proporcji ludzkiego ciała. W tym celu stworzył nawet specjalny kompas.

W XVI wieku. kwestia związku między liczbą Fibonacciego a złotym podziałem była przedmiotem prac astronoma I. Keplera, który jako pierwszy zastosował te zasady do botaniki.

W XIX wieku złoty podział czekał na nowe „odkrycie”. wraz z publikacją „Badań Estetycznych” niemieckiego naukowca prof. Zeisiga. Podniósł te proporcje do absolutnych i ogłosił, że są uniwersalne dla wszystkich zjawisk naturalnych. Przeprowadził badania na ogromnej liczbie osób, a raczej ich proporcjach cielesnych (około 2 tys.), na podstawie których wyciągnięto wnioski o statystycznie potwierdzonych wzorcach w proporcjach różnych części ciała: długości ramion, przedramiona, dłonie, palce itp.

Badano także przedmioty sztuki (wazony, konstrukcje architektoniczne), tony muzyczne, rozmiary przy pisaniu wierszy - Zeisig odzwierciedlał to wszystko poprzez długości segmentów i liczb, wprowadzał też termin "estetyka matematyczna". Po otrzymaniu wyników okazało się, że otrzymujemy szereg Fibonacciego.

Liczba Fibonacciego i złoty podział w przyrodzie

W świecie roślin i zwierząt istnieje tendencja do tworzenia formacji w postaci symetrii, którą obserwuje się w kierunku wzrostu i ruchu. Podział na symetryczne części, w których obserwuje się złote proporcje, jest wzorem nieodłącznym dla wielu roślin i zwierząt.

Otaczającą nas przyrodę można opisać za pomocą liczb Fibonacciego, na przykład:

• położenie liści lub gałęzi jakichkolwiek roślin, a także odległości są związane z liczbą podanych liczb 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i dalej;
• nasiona słonecznika (łuski na szyszkach, komórki ananasa), ułożone w dwóch rzędach wzdłuż skręconych spiral w różnych kierunkach;
• stosunek długości ogona do całego ciała jaszczurki;
• kształt jajka, jeśli narysujesz linię warunkowo przez jego szeroką część;
• stosunek wielkości palców na dłoni osoby.

I oczywiście najciekawszymi kształtami są spiralne muszle ślimaków, wzory na pajęczynach, ruch wiatru wewnątrz huraganu, podwójna helisa w DNA i struktura galaktyk – wszystko to zawiera sekwencję liczb Fibonacciego .

Zastosowanie złotego podziału w sztuce

Badacze poszukujący przykładów zastosowania złotego podziału w sztuce szczegółowo badają różne obiekty architektoniczne i obrazy. Znane są słynne dzieła rzeźbiarskie, których twórcy trzymali się złotych proporcji - posągi Zeusa Olimpijskiego, Apolla Belvedere i

Jedno z dzieł Leonarda da Vinci – „Portret Mony Lisy” – od wielu lat jest przedmiotem badań naukowców. Odkryli, że kompozycja dzieła w całości składa się ze „złotych trójkątów” połączonych razem, tworząc regularną gwiazdę pięciokąta. Wszystkie prace da Vinci świadczą o tym, jak głęboka była jego wiedza w strukturze i proporcjach ludzkiego ciała, dzięki której udało mu się uchwycić niesamowicie tajemniczy uśmiech La Giocondy.

Złoty podział w architekturze

Jako przykład naukowcy badali arcydzieła architektury stworzone zgodnie z zasadami „złotej sekcji”: egipskie piramidy, Panteon, Partenon, katedra Notre Dame de Paris, katedra św. Bazylego itp.

Partenon, jedna z najpiękniejszych budowli starożytnej Grecji (V wiek pne), ma 8 kolumn i 17 po różnych stronach, stosunek jego wysokości do długości boków wynosi 0,618. Występy na jego fasadach wykonane są według „złotego podziału” (zdjęcie poniżej).

Jednym z naukowców, którzy wymyślili iz powodzeniem zastosowali ulepszenie modułowego systemu proporcji obiektów architektonicznych (tzw. „modulator”), był francuski architekt Le Corbusier. Modulator opiera się na układzie pomiarowym związanym z warunkowym podziałem na części ciała człowieka.

Rosyjski architekt M. Kazakow, który zbudował kilka budynków mieszkalnych w Moskwie, a także budynki Senatu na Kremlu i Szpital Golicyna (obecnie 1. Klinika im. NI Pirogowa), był jednym z architektów, którzy zastosowali prawo w projekt i konstrukcja o złotym podziale.

Stosowanie proporcji w projektowaniu

W projektowaniu odzieży wszyscy projektanci mody tworzą nowe obrazy i modele, biorąc pod uwagę proporcje ludzkiego ciała i zasady złotego podziału, chociaż z natury nie wszyscy ludzie mają idealne proporcje.

Planując projektowanie krajobrazu i tworząc wolumetryczne kompozycje parkowe z wykorzystaniem roślin (drzewa i krzewy), fontann i małych obiektów architektonicznych, można również zastosować prawa „boskich proporcji”. W końcu kompozycja parku powinna skupiać się na wywarciu wrażenia na zwiedzającym, który może się w nim swobodnie poruszać i znaleźć centrum kompozycyjne.

Wszystkie elementy parku są w takich proporcjach, że za pomocą geometrycznej konstrukcji, wzajemnego ułożenia, oświetlenia i światła, wywierają na człowieku wrażenie harmonii i perfekcji.

Zastosowanie złotego podziału w cybernetyce i inżynierii

Wzory złotego podziału i liczb Fibonacciego przejawiają się również w przejściach energetycznych, w procesach zachodzących z cząstkami elementarnymi tworzącymi związki chemiczne, w układach kosmicznych, w strukturze genetycznej DNA.

Podobne procesy zachodzą w ludzkim ciele, przejawiając się w biorytmach jego życia, w działaniu narządów, na przykład mózgu czy wzroku.

Algorytmy i wzorce złotych proporcji są szeroko stosowane we współczesnej cybernetyce i informatyce. Jednym z prostych zadań, które muszą rozwiązać początkujący programiści, jest napisanie formuły i określenie sumy liczb Fibonacciego do określonej liczby za pomocą języków programowania.

Współczesne badania nad teorią złotego podziału

Od połowy XX wieku gwałtownie rośnie zainteresowanie problematyką i wpływem wzorców złotych proporcji na życie człowieka i to ze strony wielu naukowców różnych profesji: matematyków, badaczy etnosu, biologów, filozofów, medyków. pracownicy, ekonomiści, muzycy itp.

Od lat 70. w Stanach Zjednoczonych ukazuje się kwartalnik The Fibonacci Quarterly, w którym publikowane są prace na ten temat. W prasie pojawiają się prace, w których uogólnione zasady złotego podziału i serii Fibonacciego wykorzystywane są w różnych dziedzinach wiedzy. Na przykład do kodowania informacji, badań chemicznych, biologicznych itp.

Wszystko to potwierdza wnioski starożytnych i współczesnych naukowców, że złoty podział jest wielostronnie powiązany z podstawowymi zagadnieniami nauki i przejawia się w symetrii wielu tworów i zjawisk otaczającego nas świata.

na podstawie książki B. Biggsa „żywopłot wyszedł z mgły”

O liczbach Fibonacciego i handlu

Jako wprowadzenie do tematu przejdźmy pokrótce do analizy technicznej. Krótko mówiąc, analiza techniczna ma na celu przewidzenie przyszłego ruchu ceny aktywów na podstawie danych historycznych z przeszłości. Najbardziej znanym sformułowaniem jego zwolenników jest to, że cena zawiera już wszystkie niezbędne informacje. Wdrożenie analizy technicznej rozpoczęło się wraz z rozwojem spekulacji akcjami i prawdopodobnie nie jest jeszcze do końca zakończone, ponieważ potencjalnie obiecuje nieograniczone zyski. Najbardziej znane techniki (terminy) w analizie technicznej to poziomy wsparcia i oporu, japońskie świece, formacje zapowiadające odwrócenie ceny itp.

Paradoks sytuacji jest moim zdaniem następujący – większość z opisanych metod stała się na tyle rozpowszechniona, że ​​mimo braku bazy dowodowej na ich skuteczność, naprawdę dostały możliwość wpływania na zachowanie rynku. Dlatego nawet sceptycy, którzy korzystają z podstawowych danych, powinni wziąć pod uwagę te koncepcje tylko dlatego, że są one brane pod uwagę przez bardzo dużą liczbę innych graczy („techników”). Analiza techniczna może działać dobrze na historii, ale praktycznie nikt nie jest w stanie na niej konsekwentnie zarabiać w praktyce – znacznie łatwiej jest się wzbogacić wydając duży nakład książki „Jak zostać milionerem za pomocą analizy technicznej”.. .

W tym sensie wyróżnia się teoria Fibonacciego, która służy również do przewidywania cen dla różnych okresów. Jego zwolennicy są zwykle określani jako „przywódcy fal”. Wyróżnia się tym, że nie pojawiła się jednocześnie z rynkiem, ale dużo wcześniej – bo aż 800 lat. Inną jej cechą jest to, że teoria znalazła swoje odbicie niemal jako światowa koncepcja opisu wszystkiego i wszystkich, a rynek jest tylko szczególnym przypadkiem jej zastosowania. Skuteczność teorii i czas jej trwania dostarczają jej zarówno nowych zwolenników, jak i nowe próby komponowania na jej podstawie najmniej kontrowersyjnego i powszechnie akceptowanego opisu zachowań rynków. Niestety, teoria nie posunęła się dalej niż indywidualne, udane prognozy rynkowe, które można utożsamiać ze szczęściem.

Istota teorii Fibonacciego

Fibonacci żył długo, szczególnie jak na swój czas, życie, które poświęcił na rozwiązanie szeregu problemów matematycznych, formułując je w swoim obszernym dziele „Księga liczydła” (początek XIII wieku). Zawsze interesował się mistycyzmem liczb - był prawdopodobnie nie mniej błyskotliwy niż Archimedes czy Euklides. Problemy związane z równaniami kwadratowymi stawiał i częściowo rozwiązywał przed Fibonacciem, na przykład słynny Omar Khayyam, naukowiec i poeta; Fibonacci sformułował jednak problem hodowli królików, z którego wnioski przyniosły mu to, co pozwoliło mu nie zaginąć na przestrzeni wieków.

Krótko mówiąc, zadanie jest następujące. Para królików została umieszczona w miejscu odgrodzonym ze wszystkich stron murem, a każda para królików rodzi co miesiąc kolejną parę, począwszy od drugiego miesiąca swojego istnienia. Rozmnażanie królików w czasie będzie opisane ciągiem: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 itd. Z matematycznego punktu widzenia sekwencja okazała się po prostu wyjątkowa, ponieważ posiadała szereg wybitnych właściwości:

• suma dowolnych dwóch kolejnych liczb jest kolejną liczbą w ciągu;

• stosunek każdej liczby w sekwencji, począwszy od piątej do poprzedniej, wynosi 1,618;

• różnica między kwadratem dowolnej liczby a kwadratem liczby dwa miejsca w lewo będzie liczbą Fibonacciego;

• suma kwadratów sąsiednich liczb będzie liczbą Fibonacciego, która jest dwiema pozycjami po większej z kwadratów liczb

Spośród tych wniosków najciekawszy jest ten drugi, który wykorzystuje liczbę 1,618, znaną jako „złoty podział”. Liczba ta była znana nawet starożytnym Grekom, którzy używali jej przy budowie Partenonu (nawiasem mówiąc, według niektórych źródeł Bank Centralny służył Grekom). Nie mniej interesujący jest fakt, że liczbę 1,618 można znaleźć w przyrodzie zarówno w mikro, jak i makroskali - od spiralnych skrętów na muszli ślimaka do wielkich spiralnych galaktyk kosmicznych. Piramidy w Gizie, stworzone przez starożytnych Egipcjan, podczas ich budowy zawierały jednocześnie kilka parametrów serii Fibonacciego. Najmilej dla oka wygląda prostokąt, którego jedna strona jest 1,618 razy większa od drugiej – taką proporcję wykorzystywał w swoich obrazach Leonardo da Vinci, a w bardziej codziennym sensie używano jej czasem do tworzenia okien lub drzwi. Nawet falę, jak na rysunku na początku artykułu, można przedstawić jako spiralę Fibonacciego.

W żywej naturze sekwencja Fibonacciego przejawia się nie rzadziej - można ją znaleźć w pazurach, zębach, słonecznikach, pajęczynach, a nawet rozmnażaniu się bakterii. W razie potrzeby spójność można znaleźć prawie we wszystkim, w tym w ludzkiej twarzy i ciele. A mimo to istnieje opinia, że ​​wiele stwierdzeń, które znajdują liczby Fibonacciego w zjawiskach przyrodniczych i historycznych, jest błędnych – to powszechny mit, który często okazuje się niedokładnym dopasowaniem do pożądanego rezultatu.

Liczby Fibonacciego na rynkach finansowych

Jednym z pierwszych najbardziej zaangażowanych w zastosowanie liczb Fibonacciego na rynku finansowym był R. Elliot. Jego praca nie poszła na marne w tym sensie, że opisy rynku wykorzystujące teorię Fibonacciego są często nazywane „falami Elliota”. Rozwój rynków tutaj opierał się na modelu rozwoju człowieka z supercykli z trzema krokami do przodu i dwoma krokami wstecz. To, że ludzkość rozwija się nieliniowo, jest oczywiste prawie dla każdego – wiedza o starożytnym Egipcie i atomistycznej doktrynie Demokryta zostały całkowicie utracone w średniowieczu, tj. po około 2000 latach; Wiek XX przyniósł taki horror i znikomość ludzkiego życia, które trudno było sobie wyobrazić nawet w dobie wojen punickich Greków. Jednak nawet jeśli przyjmiemy teorię kroków i ich liczby za prawdziwą, wielkość każdego kroku pozostaje niejasna, co sprawia, że ​​fale Elliota są porównywalne z mocą predykcyjną orłów i reszek. Punkt wyjścia i prawidłowe obliczenie liczby fal były i prawdopodobnie będą główną słabością teorii.

Niemniej jednak teoria odniosła lokalne sukcesy. Bob Pretcher, którego można uznać za ucznia Elliota, trafnie przewidział hossę na początku lat 80. i 1987 r. – jako rok kluczowy. To się rzeczywiście wydarzyło, po czym Bob najwyraźniej poczuł się geniuszem – przynajmniej w oczach innych, zdecydowanie stał się guru inwestycyjnym. Subskrypcja Prechtera Elliotta Wave Theorist wzrosła w tym roku do 20 000.jednak spadła na początku lat 90., gdy przewidywany „zagładę i mrok” rynku amerykańskiego postanowił nieco odroczyć. Udało się to jednak na rynku japońskim, a wielu zwolenników teorii, którzy „spóźnili się” tam jedną falą, traciło albo swój kapitał, albo kapitał klientów swoich firm. W ten sam sposób i z takim samym sukcesem często próbuje się zastosować teorię do handlu na rynku walutowym.

Teoria ta obejmuje różne okresy handlowe - od tygodniowych, co sprawia, że ​​jest powiązana ze standardowymi strategiami analizy technicznej, po obliczanie przez dziesięciolecia, tj. włamuje się na terytorium fundamentalnych przepowiedni. Jest to możliwe dzięki zmianie liczby fal. Wspomniane wyżej słabości teorii pozwalają jej zwolennikom mówić nie o niespójności fal, ale o własnych błędach w obliczeniach, w tym o nieprawidłowym określeniu pozycji wyjściowej. Wygląda jak labirynt – nawet jeśli masz odpowiednią mapę, możesz przez nią przejść tylko wtedy, gdy dokładnie rozumiesz, gdzie jesteś. W przeciwnym razie karta jest bezużyteczna. W przypadku fal Elliotta wszystko wskazuje na to, że można wątpić nie tylko w poprawność jej lokalizacji, ale także w poprawność samej karty.

wnioski

Falowy rozwój ludzkości ma realne podstawy - w średniowieczu fale inflacji i deflacji przeplatały się ze sobą, kiedy wojny zastąpiły stosunkowo spokojne, spokojne życie. Obserwacja ciągu Fibonacciego w przyrodzie, przynajmniej w niektórych przypadkach, również nie budzi wątpliwości. Dlatego każdy ma prawo udzielić własnej odpowiedzi na pytanie, kim jest Bóg: matematyk czy generator liczb losowych. Moja osobista opinia jest taka, że ​​chociaż cała historia ludzkości i rynki mogą być przedstawione w koncepcji fali, nikt nie jest w stanie przewidzieć wysokości i czasu trwania każdej fali.

Jednocześnie 200 lat obserwacji rynku amerykańskiego i ponad 100 lat dla pozostałych pokazuje, że giełda rośnie, przechodząc przez różne okresy wzrostu i stagnacji. Ten fakt w zupełności wystarcza dla długoterminowych zarobków na giełdzie, bez uciekania się do kontrowersyjnych teorii i powierzania im większego kapitału, niż powinno być w granicach rozsądnego ryzyka.

Dowiedzmy się, co jest wspólnego między starożytnymi egipskimi piramidami, obrazem Leonarda da Vinci „Mona Lisa”, słonecznikiem, ślimakiem, szyszką i ludzkimi palcami?

Odpowiedź na to pytanie kryje się w niesamowitych liczbach, które zostały odkryte włoski matematyk średniowiecza Leonardo z Pizy, lepiej znany pod imieniem Fibonacci (ur. ok. 1170 - zm. po 1228), włoski matematyk ... Podróżując po Wschodzie zapoznałem się z osiągnięciami matematyki arabskiej; przyczynił się do ich przeniesienia na Zachód.

Po jego odkryciu liczby te zaczęto nazywać nazwiskiem słynnego matematyka. Niesamowitą esencją ciągu Fibonacciego jest że każda liczba w tej sekwencji jest otrzymywana z sumy dwóch poprzednich liczb.

Tak więc liczby tworzące ciąg:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

są nazywane „liczbami Fibonacciego”, a sam ciąg nazywa się ciągiem Fibonacciego.

Jest jedna bardzo interesująca cecha liczb Fibonacciego. Dzieląc dowolną liczbę z ciągu przez liczbę znajdującą się przed nią w rzędzie, wynik zawsze będzie wartością, która oscyluje wokół wartości niewymiernej 1,61803398875 ... i z biegiem czasu albo rośnie, albo jej nie osiąga. (Uwaga: liczba niewymierna, tj. liczba, której reprezentacja dziesiętna jest nieskończona, a nie okresowa)

Co więcej, po 13. w kolejności ten wynik dzielenia staje się stały w nieskończoność ... To właśnie ta stała liczba podziałów w średniowieczu nazywana była Boską proporcją, a obecnie nazywa się ją złotą proporcją, złotym środkiem lub złotą proporcją. ... W algebrze liczba ta jest oznaczona grecką literą phi (Ф)

Tak więc złoty podział = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Ludzkie ciało i złoty podział

Artyści, naukowcy, projektanci mody, projektanci dokonują obliczeń, rysunków lub szkiców w oparciu o stosunek złotego podziału. Wykorzystują pomiary z ludzkiego ciała, również stworzone zgodnie z zasadą złotego podziału. Leonardo Da Vinci i Le Corbusier, zanim stworzyli swoje arcydzieła, wzięli parametry ludzkiego ciała, stworzonego zgodnie z prawem Złotego Podziału.

Najważniejsza książka wszystkich współczesnych architektów, księga informacyjna E. Neuferta „Projekt budowlany” zawiera podstawowe obliczenia parametrów ludzkiego ciała, zawierające złotą proporcję.

Proporcje różnych części naszego ciała składają się na liczbę bardzo zbliżoną do złotego podziału. Jeśli te proporcje pokrywają się z formułą złotego podziału, wówczas wygląd lub ciało osoby uważa się za idealnie złożone. Zasadę obliczania złotej miary na ludzkim ciele można przedstawić na diagramie:

M / m = 1,618

Pierwszy przykład złotego podziału w budowie ludzkiego ciała:
Jeśli przyjmiemy punkt pępka jako środek ludzkiego ciała, a odległość między stopami osoby a punktem pępka jako jednostkę miary, to wzrost osoby jest równy 1,618.

Ponadto istnieje jeszcze kilka podstawowych złotych proporcji naszego ciała:

* odległość od opuszków palców do nadgarstka do łokcia wynosi 1: 1,618;

* odległość od poziomu ramion do czubka głowy i rozmiar głowy wynosi 1: 1,618;

* odległość od punktu pępka do czubka głowy i od poziomu barków do czubka głowy wynosi 1: 1,618;

* odległość punktu pępka do kolan i od kolan do stóp wynosi 1: 1,618;

* odległość od czubka podbródka do czubka wargi górnej i od czubka wargi górnej do nozdrzy wynosi 1: 1,618;

* odległość od czubka brody do górnej linii brwi i od górnej linii brwi do korony wynosi 1: 1,618;

* odległość od czubka brody do górnej linii brwi i od górnej linii brwi do korony wynosi 1: 1,618:

Złoty podział w rysach twarzy człowieka jako kryterium doskonałego piękna.

W strukturze rysów twarzy człowieka jest również wiele przykładów, które wartościowo zbliżają się do formuły złotego podziału. Jednak nie spiesz się natychmiast za władcą, aby zmierzyć twarze wszystkich ludzi. Ponieważ dokładne odpowiedniki złotego podziału, według naukowców i ludzi sztuki, artystów i rzeźbiarzy, istnieją tylko u osób o doskonałej urodzie. W rzeczywistości dokładna obecność złotego podziału na twarzy osoby jest ideałem piękna dla ludzkiego oka.

Na przykład, jeśli zsumujemy szerokość dwóch przednich górnych zębów i podzielimy tę wielkość przez wysokość zębów, to po otrzymaniu numeru Golden Ratio można argumentować, że struktura tych zębów jest idealna.

Na ludzkiej twarzy znajdują się inne wcielenia zasady złotego podziału. Oto niektóre z tych relacji:

* Wysokość twarzy / szerokość twarzy;

* Środkowy punkt połączenia ust z podstawą nosa / długość nosa;

* Wysokość twarzy / odległość od czubka podbródka do środka skrzyżowania warg;

* Szerokość ust/szerokość nosa;

* Szerokość nosa / odległość między nozdrzami;

* Odległość między źrenicami / odległość między brwiami.

Ludzka ręka

Wystarczy teraz zbliżyć do siebie dłoń i uważnie przyjrzeć się palecowi wskazującemu, a od razu znajdziesz w nim formułę złotego podziału. Każdy palec naszej dłoni składa się z trzech paliczków.

* Suma dwóch pierwszych paliczków palca w stosunku do całej długości palca i daje liczbę złotego podziału (bez kciuka);

* Ponadto stosunek środkowego i małego palca jest również równy złotemu podziałowi;

* Osoba ma 2 ręce, palce każdej dłoni składają się z 3 paliczków (bez kciuka). Każda ręka ma 5 palców, czyli w sumie 10, ale z wyjątkiem dwóch kciuków dwupaliczkowych tylko 8 palców powstaje zgodnie z zasadą złotego podziału. Natomiast wszystkie te liczby 2, 3, 5 i 8 są liczbami ciągu Fibonacciego:

Złota proporcja w budowie ludzkich płuc

Amerykański fizyk B.D. West i dr A.L. Goldberger podczas badań fizycznych i anatomicznych odkrył, że złoty podział istnieje również w strukturze ludzkich płuc.

Osobliwością oskrzeli tworzących ludzkie płuca jest ich asymetria. Oskrzela składają się z dwóch głównych dróg oddechowych, z których jedna (lewa) jest dłuższa, a druga (prawa) krótsza.

* Stwierdzono, że ta asymetria utrzymuje się w gałęziach oskrzeli, we wszystkich mniejszych drogach oddechowych. Co więcej, stosunek długości oskrzeli krótkich i długich również składa się na złoty stosunek i wynosi 1: 1,618.

Struktura złotego czworoboku ortogonalnego i spirali

Złoty podział to taki proporcjonalny podział segmentu na nierówne części, w którym cały segment odnosi się do większej części w taki sam sposób, jak sama większa część odnosi się do mniejszej; innymi słowy, mniejszy segment odnosi się do większego, a większy do wszystkiego.

W geometrii prostokąt o takim współczynniku kształtu został nazwany złotym prostokątem. Jego długie boki porównują się z krótkimi bokami w stosunku 1,168:1.

Złoty prostokąt ma też wiele niesamowitych właściwości. Złoty prostokąt ma wiele niezwykłych właściwości. Odcinając kwadrat ze złotego prostokąta, którego bok jest równy mniejszemu bokowi prostokąta, ponownie otrzymujemy mniejszy złoty prostokąt. Ten proces może być kontynuowany w nieskończoność. Gdy będziemy dalej wycinać kwadraty, otrzymamy coraz mniejsze złote prostokąty. Co więcej, będą one usytuowane wzdłuż spirali logarytmicznej, co ma znaczenie w modelach matematycznych obiektów naturalnych (np. muszli ślimaków).

Słup spiralny leży na przecięciu przekątnych początkowego prostokąta i pierwszego pionowego cięcia do wycięcia. Co więcej, przekątne wszystkich kolejnych malejących złotych prostokątów leżą na tych przekątnych. Oczywiście jest też złoty trójkąt.

Angielski projektant i estetyk William Charlton stwierdził, że ludzie uważają spiralne kształty za miłe dla oka i używają ich od tysiącleci, wyjaśniając to w ten sposób:

„Podoba nam się wygląd spirali, ponieważ wizualnie możemy ją łatwo zobaczyć”.

W naturze

* Zasada złotego podziału leżąca u podstaw struktury spirali występuje w naturze bardzo często w kreacjach nieporównywalnych pod względem piękna. Najbardziej żywe przykłady - spiralny kształt widać w ułożeniu nasion słonecznika, w szyszkach, w ananasach, kaktusach, w strukturze płatków róż itp .;

* Botanicy ustalili, że w ułożeniu liści na gałęzi, nasionach słonecznika lub szyszkach wyraźnie manifestuje się seria Fibonacciego, a zatem objawia się prawo złotej sekcji;

Najwyższy Pan ustanowił specjalną miarę i proporcjonalność dla każdego Swego stworzenia, co potwierdzają przykłady znalezione w naturze. Można przytoczyć bardzo wiele przykładów, kiedy proces wzrostu organizmów żywych przebiega ściśle według kształtu spirali logarytmicznej.

Wszystkie sprężyny w cewce mają ten sam kształt. Matematycy odkryli, że nawet przy zwiększeniu rozmiaru sprężyn kształt spirali pozostaje niezmieniony. Nie ma innej formy w matematyce, która ma takie same unikalne właściwości jak spirala.

Struktura muszli morskich

Naukowcy, którzy badali wewnętrzną i zewnętrzną strukturę muszli mięczaków o miękkim ciele żyjących na dnie mórz, stwierdzili:

„Wewnętrzna powierzchnia muszli jest nieskazitelnie gładka, podczas gdy zewnętrzna powierzchnia pokryta jest chropowatością i nierównościami. Mięczak znajdował się w muszli, a do tego wewnętrzna powierzchnia muszli musiała być idealnie gładka. Zewnętrzne naroża-zagięcia skorupy zwiększają jej wytrzymałość, twardość, a tym samym zwiększają jej wytrzymałość. Doskonałość i niesamowita inteligencja budowy muszli (ślimaka) jest niesamowita. Spiralny pomysł muszli ma doskonały geometryczny kształt i zadziwia swoim dopracowanym pięknem.”

U większości ślimaków, które mają muszle, muszla rośnie w spiralę logarytmiczną. Nie ma jednak wątpliwości, że te nierozsądne stworzenia nie mają pojęcia nie tylko o spirali logarytmicznej, ale nie mają nawet najprostszej wiedzy matematycznej, aby stworzyć dla siebie spiralną powłokę.

Ale jak te nierozsądne istoty mogły określić i wybrać dla siebie idealną formę wzrostu i istnienia w postaci spiralnej muszli? Czy te żywe stworzenia, które światowi naukowcy nazywają prymitywnymi formami życia, mogą obliczyć, że logarytmiczna forma powłoki byłaby idealna dla ich istnienia?

Oczywiście, że nie, bo takiego planu nie da się zrealizować bez rozumu i wiedzy. Ale ani prymitywne mięczaki, ani nieświadoma natura, którą jednak niektórzy naukowcy nazywają twórcą życia na ziemi (?!)

Próba wyjaśnienia pochodzenia tak nawet najbardziej prymitywnej formy życia przypadkowym zbiegiem pewnych naturalnych okoliczności jest co najmniej absurdalna. Wyraźnie widać, że ten projekt to świadoma kreacja.

Biolog Sir D'arkey Thompson nazywa ten rodzaj wzrostu muszli morskich „Forma wzrostu gnomów”.

Sir Thompson czyni następujący komentarz:

„Nie ma prostszego systemu niż wzrost muszelek, które rosną i rozszerzają się proporcjonalnie, zachowując ten sam kształt. Co zaskakujące, muszla rośnie, ale nigdy nie zmienia kształtu ”.

Łodzik o średnicy kilku centymetrów jest najbardziej dramatycznym przykładem wzrostu typu gnom. S. Morrison opisuje ten proces wzrostu łodzika w następujący sposób, dość trudny do zaplanowania nawet ludzkim umysłem:

„Wewnątrz muszli łodzika znajduje się wiele przegródek-pokojów z przegrodami z masy perłowej, a sama muszla w środku to spirala rozciągająca się od środka. W miarę wzrostu łodzika w przedniej części muszli wyrasta kolejne pomieszczenie, ale już większe od poprzedniego, a pozostałe przegrody pomieszczenia pokrywa warstwa masy perłowej. W ten sposób spirala cały czas rozszerza się proporcjonalnie.”

Oto tylko niektóre rodzaje muszli spiralnych o logarytmicznym wzroście zgodnie z ich naukowymi nazwami:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Wszystkie odkryte skamieniałe szczątki muszli miały również rozwinięty spiralny kształt.

Jednak logarytmiczna forma wzrostu występuje w królestwie zwierząt nie tylko u mięczaków. Rogi antylop, dzikich kóz, baranów i innych podobnych zwierząt również rozwijają się w formie spirali zgodnie z prawami złotego podziału.

Złoty podział w ludzkim uchu

W uchu wewnętrznym człowieka znajduje się narząd zwany ślimakiem („ślimak”), który pełni funkcję przenoszenia wibracji dźwiękowych. Ta kostna struktura jest wypełniona płynem i jest również utworzona w postaci ślimaka, zawierającego stabilny kształt spirali logarytmicznej = 73º 43 '.

Rogi i kły zwierząt rozwijających się spiralnie

Kły słoni i wymarłych mamutów, pazury lwów i dzioby papug mają kształt logarytmiczny i przypominają kształt osi, która ma tendencję do zamieniania się w spiralę. Pająki zawsze kręcą swoje sieci w spirali logarytmicznej. Struktura drobnoustrojów, takich jak plankton (gatunek globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae i trochida), również ma kształt spirali.

Złoty podział w strukturze mikroświatów

Kształty geometryczne nie ograniczają się tylko do trójkąta, kwadratu, pięciokąta czy sześciokąta. Jeśli połączymy te figury na różne sposoby, otrzymamy nowe trójwymiarowe kształty geometryczne. Przykładami tego są kształty takie jak sześcian czy piramida. Jednak oprócz nich pojawiają się też inne trójwymiarowe postacie, z którymi nie musieliśmy spotykać się na co dzień, a których imiona słyszymy być może po raz pierwszy. Te trójwymiarowe figury obejmują czworościan (zwykły czworobok), ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan itp. Dwunastościan składa się z 13 pięciokątów, dwudziestościan z 20 trójkątów. Matematycy zauważają, że liczby te matematycznie bardzo łatwo przekształcają się, a ich przekształcenie następuje zgodnie ze wzorem logarytmicznej spirali złotego podziału.

W mikrokosmosie wszędzie rozpowszechnione są trójwymiarowe formy logarytmiczne zbudowane według złotych proporcji. ... Na przykład wiele wirusów ma trójwymiarowy geometryczny kształt dwudziestościanu. Być może najbardziej znanym z tych wirusów jest wirus Adeno. Płaszcz białkowy adenowirusa składa się z 252 jednostek komórek białkowych ułożonych w określonej sekwencji. W każdym rogu dwudziestościanu znajduje się 12 jednostek komórek białkowych w postaci graniastosłupa pięciokątnego, a od tych narożników rozciągają się struktury przypominające kolce.

Po raz pierwszy złoty podział w strukturze wirusów odkryto w latach pięćdziesiątych. naukowcy z London Birkbeck College A. Klug i D. Kaspar. 13 Wirus polio jako pierwszy pojawił się w formie logarytmicznej. Stwierdzono, że forma tego wirusa jest podobna do formy wirusa Rhino 14.

Powstaje pytanie, w jaki sposób wirusy tworzą tak złożone trójwymiarowe formy, których struktura zawiera złoty podział, który nawet nasz ludzki umysł jest dość trudny do skonstruowania? Odkrywca tych form wirusów, wirusolog A. Klug, podaje następujący komentarz:

„Dr Kaspar i ja wykazaliśmy, że dla kulistej otoczki wirusa najbardziej optymalnym kształtem jest symetria, taka jak kształt dwudziestościanu. Taki układ minimalizuje liczbę elementów łączących ... Większość półkulistych sześcianów geodezyjnych Buckminster Fuller zbudowana jest na podobnej zasadzie geometrycznej. 14 Instalacja takich kostek wymaga niezwykle dokładnego i szczegółowego schematu objaśniającego. Natomiast nieświadome wirusy same budują tak złożoną powłokę elastycznych, elastycznych jednostek komórek białkowych.”

Włoski matematyk Leonardo Fibonacci żył w XIII wieku i był jednym z pierwszych w Europie, który używał liczb arabskich (indyjskich). Wymyślił nieco sztuczny problem dotyczący królików hodowanych na farmie, z których wszystkie są uważane za samice, a samce są ignorowane. Króliki rozpoczynają rozmnażanie po ukończeniu dwóch miesięcy, a następnie co miesiąc rodzą królika. Króliki nigdy nie umierają.

Konieczne jest ustalenie, ile królików będzie na fermie w n miesięcy, jeśli początkowo był tylko jeden nowonarodzony królik.

Oczywiście rolnik ma jednego królika w pierwszym miesiącu i jednego królika w drugim miesiącu. W trzecim miesiącu będą dwa króliki, w czwartym trzy itd. Oznaczmy liczbę królików w n miesiąc jak. Zatem,
,
,
,
,
, …

Można skonstruować algorytm, aby znaleźć dla każdego n.

W zależności od stanu problemu, całkowita liczba królików
v n+1 miesiąc jest rozłożony na trzy składniki:

jednomiesięczne króliki niezdolne do rozrodu, w ilości

;

W ten sposób otrzymujemy

. (8.1)

Formuła (8.1) pozwala obliczyć ciąg liczb: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ...

Liczby w tej sekwencji są nazywane Liczby Fibonacciego .

Jeśli akceptujesz
oraz
, to za pomocą wzoru (8.1) można wyznaczyć wszystkie pozostałe liczby Fibonacciego. Formuła (8.1) nazywa się nawracający według wzoru ( nawrót - „powrót” po łacinie).

Przykład 8.1. Załóżmy, że w środku są schody n kroki. Możemy się na nią wspinać schodkiem jednego stopnia, lub - schodkiem dwóch stopni. Ile jest kombinacji różnych metod podnoszenia?

Gdyby n= 1, jest tylko jedno rozwiązanie problemu. Do n= 2 są 2 opcje: dwa pojedyncze stopnie lub jeden podwójny. Do n= 3 są 3 opcje: trzy stopnie jednostkowe lub jedna jednostka i jedna podwójna lub jedna podwójna i jedna jednostka.

W następnym przypadku n= 4, mamy 5 możliwości (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Aby odpowiedzieć na zadane pytanie arbitralnie n, oznaczmy liczbę opcji jako i spróbuj zdefiniować
według znanych oraz
... Jeśli zaczniemy od jednego kroku, to mamy kombinacje dla pozostałych n kroki. Jeśli zaczniemy od podwójnego kroku, to mamy
kombinacje dla pozostałych n–1 kroki. Całkowita liczba opcji dla n+1 szczebel równa się

. (8.2)

Otrzymana formuła przypomina formułę (8.1) jako bliźniak. Nie pozwala to jednak na określenie liczby kombinacji z liczbami Fibonacciego ... Widzimy na przykład, że
, ale
... Zachodzi jednak następująca zależność:

.

Dotyczy to n= 1, 2, i jest to również prawdziwe dla każdego n... Liczby Fibonacciego i liczba kombinacji są obliczane przy użyciu tego samego wzoru, ale wartości początkowe
,
oraz
,
Różnią się.

Przykład 8.2. Ten przykład ma praktyczne znaczenie dla problemów z korekcją błędów kodowania. Znajdź liczbę wszystkich binarnych słów o długości n które nie zawierają kilku zer z rzędu. Oznaczamy tę liczbę przez ... Oczywiście,
, a słowa o długości 2 spełniające nasze ograniczenie to: 10, 01, 11, czyli
... Zostawiać
- takie słowo od n postacie. Jeśli symbol
, następnie
może być arbitralny (
) -dosłowne słowo, które nie zawiera kilku zer z rzędu. Stąd liczba słów z jednostką na końcu wynosi
.

Jeśli symbol
, to na pewno
i pierwszy
symbol
może być dowolny, biorąc pod uwagę rozważane ograniczenia. Dlatego istnieje
długość słowa n z zerem na końcu. Zatem łączna liczba interesujących nas słów jest równa

.

Jeśli się uwzględni
oraz
, wynikowa sekwencja liczb to liczby Fibonacciego.

Przykład 8.3. W przykładzie 7.6 stwierdziliśmy, że liczba słów binarnych o stałej wadze T(i długość k) równa się ... Teraz znajdujemy liczbę słów binarnych o stałej wadze T które nie zawierają kilku zer z rzędu.

Możesz tak rozumować. Zostawiać
liczba zer w danych słowach. Każde słowo ma
przerwy między najbliższymi zerami, z których każde zawiera jedną lub więcej jedynek. Zakłada się, że
... W przeciwnym razie nie ma ani jednego słowa bez sąsiednich zer.

Jeśli usuniemy dokładnie jedną jednostkę z każdego przedziału, otrzymamy słowo o długości
zawierający zera. Każde takie słowo można uzyskać we wskazany sposób od niektórych (a w dodatku tylko jednego) k-dosłowne słowo zawierające zera, z których żadne dwa nie znajdują się obok siebie. Stąd wymagana liczba pokrywa się z liczbą wszystkich słów o długości
zawierające dokładnie zera, czyli równa się
.

Przykład 8.4. Udowodnijmy, że suma
jest równa liczbom Fibonacciego dla dowolnej liczby całkowitej ... Symbol
oznacza najmniejsza liczba całkowita większa lub równa ... Na przykład, jeśli
, następnie
; co jeśli
, następnie
stropować("sufit"). Występuje również symbol
co oznacza największa liczba całkowita mniejsza lub równa ... W języku angielskim ta operacja nazywa się piętro ("piętro").

Gdyby
, następnie
... Gdyby
, następnie
... Gdyby
, następnie
.

Zatem w rozważanych przypadkach suma jest rzeczywiście równa liczbom Fibonacciego. Teraz dajemy dowód na ogólny przypadek. Ponieważ liczby Fibonacciego można otrzymać za pomocą równania rekurencyjnego (8.1), to równość musi być spełniona:

.

I faktycznie:

Tutaj użyliśmy wzoru (4.4) uzyskanego wcześniej:
.

Suma liczb Fibonacciego

Określmy sumę pierwszych n Liczby Fibonacciego.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Łatwo zauważyć, że dodając jedność po prawej stronie każdego równania, ponownie otrzymujemy liczbę Fibonacciego. Ogólny wzór na określenie sumy pierwszego n Liczby Fibonacciego to:

Udowodnijmy to metodą indukcji matematycznej. Aby to zrobić, napisz:

Ta kwota powinna być równa
.

Zmniejszając lewą i prawą stronę równania o –1, otrzymujemy równanie (6.1).

Wzór na liczby Fibonacciego

Twierdzenie 8.1. Liczby Fibonacciego można obliczyć za pomocą wzoru

.

Dowód... Sprawdźmy słuszność tego wzoru na n= 0, 1, a następnie udowodnić słuszność tego wzoru dla dowolnego n przez indukcję. Obliczmy stosunek dwóch najbliższych liczb Fibonacciego:

Widzimy, że stosunek tych liczb oscyluje wokół 1,618 (jeśli zignorujemy kilka pierwszych wartości). Dzięki tej własności liczby Fibonacciego przypominają elementy postępu geometrycznego. Zaakceptujemy
, (
). Następnie wyrażenie

zamienione na

co po uproszczeniach wygląda tak

.

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, którego pierwiastki są równe:

Teraz możemy napisać:

(gdzie C jest stała). Obaj członkowie oraz nie podawaj liczb Fibonacciego jak
, podczas
... Jednak różnica
spełnia powtarzające się równanie:

Do n= 0 ta różnica daje , to jest:
... Jednak z n= 1 mamy
... Pozyskać
, należy zaakceptować:
.

Mamy teraz dwie sekwencje: oraz
które zaczynają się od tych samych dwóch liczb i spełniają tę samą formułę powtarzalności. Muszą być równe:
... Twierdzenie jest udowodnione.

Rosnąco n członek staje się bardzo duży, podczas gdy
i rola członka różnica jest zmniejszona. Dlatego dla dużych n możemy z grubsza napisać

.

Ignorujemy 1/2 (ponieważ liczby Fibonacciego idą do nieskończoności z n do nieskończoności).

Postawa
nazywa złoty podział, jest używany poza matematyką (na przykład w rzeźbie i architekturze). Złoty podział to stosunek przekątnej do boku pięciokąt foremny(rys. 8.1).

Ryż. 8.1. Pięciokąt foremny i jego przekątne

Na oznaczenie złotego podziału zwyczajowo używa się litery
na cześć słynnego ateńskiego rzeźbiarza Fidiasza.

liczby pierwsze

Wszystkie liczby naturalne, duże jednostki, dzielą się na dwie klasy. Pierwsza obejmuje liczby, które mają dokładnie dwa naturalne dzielniki, jeden i siebie, do drugiej - wszystkie pozostałe. Numery pierwszej klasy nazywają się prosty, i drugi - składnik... Liczby pierwsze w obrębie pierwszych trzech dziesiątek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Własności liczb pierwszych i ich związek ze wszystkimi liczbami naturalnymi badał Euklides (III wiek p.n.e.). Jeśli wypiszesz liczby pierwsze w rzędzie, zauważysz, że ich względna gęstość maleje. W pierwszej dziesiątce jest ich 4, czyli 40%, w stu – 25, czyli 25% na tysiąc - 168, tj. mniej niż 17%, na milion - 78498, tj. mniej niż 8% itd. Jednak ich łączna liczba jest nieskończona.

Wśród liczb pierwszych są pary takich, których różnica jest równa dwóm (tzw proste bliźniaki), ale skończoność lub nieskończoność takich par nie została udowodniona.

Euklides uważał za oczywiste, że mnożąc tylko liczby pierwsze, można otrzymać wszystkie liczby naturalne, a każda liczba naturalna może być jednoznacznie reprezentowana jako iloczyn liczb pierwszych (do rzędu czynników). W ten sposób liczby pierwsze tworzą multiplikatywną podstawę dla szeregu naturalnego.

Badanie rozkładu liczb pierwszych doprowadziło do stworzenia algorytmu umożliwiającego uzyskanie tablic liczb pierwszych. Ten algorytm to sito Eratostenesa(III wiek p.n.e.). Metoda ta polega na usunięciu (np. przez przekreślenie) tych liczb całkowitych z danego ciągu
podzielnych przez co najmniej jedną z liczb pierwszych mniejszych niż
.

Twierdzenie 8 . 2 . (Twierdzenie Euklidesa). Liczba liczb pierwszych jest nieskończona.

Dowód... Udowodnijmy twierdzenie Euklidesa o nieskończoności liczby liczb pierwszych metodą zaproponowaną przez Leonarda Eulera (1707-1783). Euler rozważył produkt po wszystkich liczbach pierwszych P:

w
... Ten iloczyn jest zbieżny, a jeśli go rozszerzysz, to ze względu na wyjątkowość rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze okazuje się, że jest on równy sumie szeregu , skąd tożsamość Eulera jest następująca:

.

Ponieważ w
szereg po prawej jest rozbieżny (szereg harmoniczny), to twierdzenie Euklidesa wynika z tożsamości Eulera.

Rosyjski matematyk P.L. Czebyszew (1821-1894) wyprowadził wzór określający granice, w których zawarta jest liczba liczb pierwszych
nieprzekraczającej x:

,

gdzie
,
.