Zadania dla klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Przykłady rozwiązań. Podstawowa koncepcja teorii prawdopodobieństwa

"Wypadek nie jest przypadkowy" ... Brzmi, że filozof powiedział, ale w rzeczywistości, aby zbadać przypadkowość Wielkiej Science Matematyki. W matematyce jest zaangażowana szansa na teorię prawdopodobieństwa. Wzory i przykłady zadań, a także główne definicje tej nauki zostaną przedstawione w artykule.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych, które badają losowe zdarzenia.

Aby być nieco wyraźniejszym, dajemy niewielki przykład: Jeśli wyrzuciłeś monetę, może upaść "Eagle" lub "szeroki". Podczas gdy moneta znajduje się w powietrzu, obie te prawdopodobieństwa są możliwe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji koreluje 1: 1. Jeśli wyciągniesz jeden z pokładu z 36 kartami, prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydaje się, że nie ma nic do zbadania i przewidzenia, zwłaszcza z pomocą matematycznych formuł. Jeśli jednak wielokrotnie powtórzysz pewną akcję, możliwe jest określenie pewnej regularności i opiera się na nim, aby przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Jeśli uogólnimy wszystkie powyższe, teoria prawdopodobieństwa w klasycznym zrozumieniu zbadania możliwości jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Z stron historii.

Teoria prawdopodobieństwa, formuł i przykładów pierwszych zadań pojawiło się w odległości średniowiecza, gdy po raz pierwszy spróbował przewidzieć wynik gier karcianych po raz pierwszy.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Uzasadnione z empirycznymi faktami lub właściwościami wydarzenia, które można odtworzyć w praktyce. Pierwsza praca w tej dziedzinie jak w dyscyplinie matematycznej pojawiła się w XVII wieku. Pascal i Pierre Farm były szczotką niż blazery. Przez długi czas studiowali hazard i widzieli pewne wzorce, które postanowili powiedzieć społeczeństwu.

Ta sama technika została wymyślona przez Huygens Christans, choć nie znał wyników studiów Pascala i gospodarstwa. Koncepcja "teorii prawdopodobieństwa", formuł i przykładów, które są uważane za pierwsze w historii dyscypliny, zostały wprowadzone przez nich.

Jacob Bernoulli, Laplas i theoremy mają ważne znaczenie. Wykonali teorię prawdopodobieństwa bardziej jak dyscyplina matematyczna. Jego obecny pogląd na teorię prawdopodobieństw, wzorami i przykładami podstawowych zadań uzyskano dzięki aksjomomowi Kolmogorov. W wyniku wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z sekcji matematycznych.

Podstawowe koncepcje teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Główną koncepcją tej dyscypliny jest wydarzenie. Wydarzenia są trzy gatunki:

• Niezawodny. Te, które będą wystąpić w każdym przypadku (moneta spadnie).
• Niemożliwy. Wydarzenia, które nie zdarzają się z żadnym (moneta pozostanie wisząca w powietrzu).
• Losowy. Te, które pojawią się lub nie zdarzają. Mogą wpływać na różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monetę, a następnie czynniki losowe, które mogą wpływać na wynik: charakterystyki fizyczne monet, jego kształt, początkową pozycję, siłę rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach są oznaczone przez kapitałowe litery łacińskie, z wyjątkiem p, który przypisuje inną rolę. Na przykład:

• A \u003d "studenci przyszli do wykładu".
• Ā \u003d "uczniowie nie poszli do wykładu".

W zadaniach praktycznych wydarzenia są akceptowane do nagrywania słów.

Jedną z najważniejszych cech wydarzeń jest ich równowaga. To znaczy, jeśli rzutujesz monetę, wszystkie opcje dla początkowej upadku są możliwe, dopóki nie spadnie. Ale także wydarzenia nie są równe. Dzieje się tak, gdy ktoś specjalnie wpływa na wynik. Na przykład, "oznaczone" karty do gry lub granie kości, w których przesuwa się środek ciężkości.

Nawet wydarzenia są kompatybilne i niezgodne. Kompatybilne wydarzenia nie wykluczają się nawzajem. Na przykład:

• A \u003d "Student przyszedł do wykładu".
• B \u003d "Uczeń przyszedł do wykładu".

Wydarzenia te są niezależne od siebie, a wygląd jednego z nich nie wpływa na pojawienie się innego. Niezgodne wydarzenia są określane przez fakt, że wygląd jednego eliminuje wygląd innego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, utrata "dania" uniemożliwia wydawanie "orzeł" w tym samym eksperymencie.

Działania na temat wydarzeń

Zdarzenia można pomnożyć i składać, odpowiednio, ligamenty logiczne "i" i "lub" są wprowadzane w dyscyplinie.

Kwota jest określona przez fakt, że pojawia się zdarzenie A lub B lub dwa jednocześnie. W przypadku, gdy są niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa, spada lub A lub V.

Mnożenie zdarzeń jest wyglądem w tym samym czasie.

Teraz możesz dać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i formuł. Przykłady rozwiązań zadań następnych.

Ćwiczenie 1.: Spółka bierze udział w konkursie na kontrakty na trzy odmiany pracy. Możliwe wydarzenia, które mogą wystąpić:

• A \u003d "Spółka otrzyma pierwszą umowę".
• I 1 \u003d "firma nie otrzyma pierwszej umowy".
• B \u003d "firma otrzyma drugą umowę."
• W 1 \u003d "firma nie otrzyma drugiej umowy"
• C \u003d "firma otrzyma trzecią umowę."
• Od 1 \u003d "Spółka nie otrzyma trzeciej umowy".

Korzystając z działań na temat wydarzeń, spróbujmy wyrazić następujące sytuacje:

• K \u003d "firma otrzyma wszystkie umowy."

W postaci matematycznej równanie będzie miała następującą formę: K \u003d ABC.

• M \u003d "Spółka nie otrzyma jednej kontraktu."

M \u003d a 1 w 1 s 1.

Uzupełnij zadanie: H \u003d "Spółka otrzyma jedną umowę". Ponieważ nie wiadomo dokładnie, jakiego rodzaju umowy otrzyma firmę (pierwszy, drugi lub trzeci), konieczne jest rejestrowanie całej gamy możliwych wydarzeń:

N \u003d A 1 Słońce 1 υ AV 1 C 1 υ A 1 w 1 C.

I 1 Sun 1 jest szeregiem wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszej i trzeciej kontraktu, ale otrzymuje drugą. Inne możliwe zdarzenia są rejestrowane przez odpowiednią metodę. Symbol υ w dyscyplinie wskazuje pakiet "lub". Jeśli przełożymy podany przykład języka ludzkiego, firma otrzyma lub trzeci umowę lub drugi lub pierwszy. Podobnie, inne warunki mogą być rejestrowane w dyscyplinie "Teoria prawdopodobieństwa". Formuły i przykłady rozwiązania przedstawionych powyżej zadań pomogą to samodzielnie.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej dyscyplinie matematycznej prawdopodobieństwo wydarzenia jest centralną koncepcją. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

• klasyczny;
• statystyczny;
• geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństw. Teoria prawdopodobieństwa, formuł i przykładów (stopień 9) służy głównie z klasyczną definicję, która brzmi tak:

• Prawdopodobieństwo sytuacji jest równe stosowności liczby wyników, które sprzyja jej wyglądowi, do liczby możliwych wyników.

Formuła wygląda tak: p (a) \u003d m / n.

A - właściwie wydarzenie. Jeśli sprawa pojawi się naprzeciwko A, może być napisana jako ā lub 1.

m jest liczbą możliwych przypadków korzystnych.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą wystąpić.

Na przykład A \u003d "Pociągnij kartę garnituru robaka." W standardowej 36 talii kart, 9 z nich robaków. W związku z tym formuła do rozwiązania zadania będzie:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że karta garnituru jest wyciągnięta z pokładu, będzie 0,25.

Do wyższej matematyki

Teraz stało się trochę znane, co teoria prawdopodobieństwa, formuł i przykładów rozwiązywania zadań, które spotykają się w programie szkolnym. Jednak prawdopodobieństwa teorii spotyka się w wyższej matematyce, która jest nauczana na uniwersytetach. Najczęściej jest obsługiwany przez definicje geometryczne i statystyczne teorii i złożonych formuł.

Bardzo ciekawa teoria prawdopodobieństwa. Formuły i przykłady (wyższa matematyka) Lepiej jest rozpocząć studia z małego ustalenia prawdopodobieństwa statystycznego (lub częstotliwości).

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z klasyk, a nieznacznie go rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, które wystąpi więcej zdarzenia, w tym sposobie konieczne jest wskazanie, jak często wystąpi. Tutaj wprowadzono nową koncepcję "częstotliwości względnej", która może być oznaczona przez w n (a). Formuła nie różni się od klasyka:

Jeśli klasyczna formuła jest obliczona dla przewidywania, a następnie statystyczna - zgodnie z wynikami eksperymentu. Weźmy na przykład niewielkie zadanie.

Dział kontroli technologicznych sprawdza produkty do jakości. Wśród 100 produktów znaleziono 3 niskiej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A \u003d "pojawienie się wysokiej jakości towarów".

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Tak więc częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Gdzie dostałeś 97? 100 produktów, które zostały sprawdzone, 3 okazało się słabą jakość. Od 100 obrotu 3 otrzymujemy 97, jest to ilość produktu.

Trochę o kombinatorii

Inną metodą prawdopodobieństwa nazywane jest kombinatoryką. Jego główną zasadą jest to, że jeśli pewny wybór A można przeprowadzić przez M na różne sposoby, a wybór b jest N na różne sposoby, a następnie wybór A i B można przeprowadzić przez pomnożenie.

Na przykład, z miasta i miasta w prowadzeniu 5 dróg. Z miasta do miasta z 4 sposobami. Ile sposobów można dojechać z miasta i do miasta?

Wszystko jest proste: 5x4 \u003d 20, to znaczy dwadzieścia na różne sposoby można osiągnąć z punktu A do punktu S.

Komplikować zadanie. Ile sposobów na świecce w Solitaire? W pokładzie kart 36 - jest to punkt wyjścia. Aby znaleźć liczbę sposobów, potrzebujesz z punktu początkowego, aby "odebrać" na tej samej mapie i pomnóż.

To znaczy, 36x35x34x33x32 ... X2X1 \u003d Wynik nie pasuje do ekranu Kalkulatora, dzięki czemu można go po prostu oznaczyć 36!. Znak "!" W pobliżu numeru wskazuje, że cała liczba liczb zmienia się ze sobą.

Kombinatoria przedstawia takie koncepcje jako permutacja, zakwaterowanie i kombinację. Każdy z nich ma własną formułę.

Zamówiony zestaw zestawów zestawów jest nazywany rozmieszczeniem. Umieszczenie może być z powtórzeniami, czyli jeden element może być kilka razy używany. I bez powtórzeń, gdy przedmioty nie są powtarzane. n to wszystkie elementy, m są elementy, które są zaangażowane w zakwaterowanie. Wzór do umieszczenia bez powtórzeń będzie:

A n m \u003d n! / (N-m)!

Związki z elementów N, które różnią się jedynie kolejnością umieszczenia, nazywają się permutacją. W matematyce ma formularz: p n \u003d n!

Kombajny z N Elementy na M nazywane są takimi związkami, w których ważne są, które elementy były i jakie jest ich suma. Formuła będzie wyglądać:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Formuła Bernoulli.

W teorii prawdopodobieństwa, jak również w każdej dyscyplinie, istnieją prace w dziedzinie naukowców, którzy przywieźli go na nowy poziom. Jednym z tych prac jest formuła Bernoulli, która umożliwia określenie prawdopodobieństwa określonego wydarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że pojawienie się w eksperymencie nie zależy od pojawienia się lub nie pojawiającego się tego samego zdarzenia w poprzednio przeprowadzonych lub kolejnych testach.

Równanie Bernoulli:

P n (m) \u003d c n × p m × q n-m.

Prawdopodobieństwo (p) wyglądu zdarzenia (a) jest niezmienione dla każdego testu. Prawdopodobieństwo, że sytuacja stanie się dokładnie M razy w N ilościach eksperymentów zostanie obliczona przez wzór, który jest przedstawiony powyżej. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć numer Q.

Jeśli wydarzenie występuje odpowiednio ile razy, może nie nadejść. Urządzenie jest liczbą, która ma być oznaczona przez wszystkie wyniki sytuacji w dyscyplinie. Dlatego Q jest liczbą, która oznacza możliwość niezakłatych zdarzeń.

Teraz znasz formułę Bernoulli (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania zadań (pierwszy poziom) rozważają dalej.

Zadanie 2: Odwiedzający sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. 6 odwiedzających odwiedziło sklep. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinien dokonać zakupu, jednego lub wszystkiego sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństwa przy użyciu formuły Bernoulli.

A \u003d "Gość dokonuje zakupu".

W tym przypadku: p \u003d 0,2 (jak wskazano w zadaniu). Odpowiednio, Q \u003d 1-0.2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (ponieważ sklep ma 6 odwiedzających). Numer M zmieni się od 0 (żaden kupujący dokonuje zakupu) do 6 (wszyscy odwiedzający zostaną zakupione). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Żaden z kupujących dokonuje zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak inaczej jest formuła Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązywania problemów (drugiego poziomu) Dalej.

Po powyższym przykładzie pojawią się pytania dotyczące dzielenia się w i r. W stosunku do numeru P do stopnia 0 będzie równy jednemu. Jeśli chodzi o C, można go znaleźć we wzorze:

C n m \u003d n! / M! (N-M)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie M \u003d 0, odpowiednio C \u003d 1, co w zasadzie nie wpływa na wynik. Korzystając z nowej formuły, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo zakupu towarów przez dwóch odwiedzających.

P 6 (2) \u003d C6 2 × P 2 × Q 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Nie tak złożone teorię prawdopodobieństwa. Formuła Bernoulliego, których przykłady przedstawiono powyżej, co jest bezpośrednio dowodem.

Formula Poisson.

Równanie Poissona służy do obliczania nieprawdopodobnych sytuacji losowych.

Podstawowa formuła:

P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).

W tym przypadku λ \u003d n x p. Jest to taki prosty formuła poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania zadań uważają dalej.

Zadanie 3.: Na fabryce wykonane części w ilości 100 000 sztuk. Pojawienie się wadliwej części \u003d 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 5 wadliwych części będzie na imprezie?

Jak widać, małżeństwo jest mało prawdopodobnym zdarzeniem i w związku z którym stosuje się formułę POISSON (teoria prawdopodobieństwa) do obliczenia. Przykłady tego rodzaju rozwiązywania tego rodzaju nie różnią się od innych zadań dyscypliny, w zmniejszonej formule zastępujemy niezbędne dane:

A \u003d "Losowo wybrany element będzie uszkodzony".

p \u003d 0,0001 (zgodnie z warunkami przypisania).

n \u003d 100000 (liczba części).

m \u003d 5 (wadliwe części). Zastępujemy dane w formule i otrzymujemy:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Oprócz formuły Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązań przy pomocą których są zapisywane powyżej, równanie Poissona ma nieznany E. W rzeczywistości można znaleźć w wzorze:

e -λ \u003d LIM N -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Istnieją jednak specjalne tabele, w których istnieją prawie wszystkie wartości.

MOAVOURAL Laplace Twierdzenie

Jeśli liczba testów w Bernoulli w programie Bernoulli i prawdopodobieństwa zdarzenia i we wszystkich programach jest taka sama, wówczas prawdopodobieństwo wydarzeń i pewnej liczby razy w serii testów można znaleźć jak Formula Laplace:

P n (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Aby lepiej pamiętać o formule Laplace (teoria prawdopodobieństwa), przykłady zadań, które pomogą poniżej.

Najpierw znajdziemy x m, zastępujemy dane (wszystkie są wskazane powyżej) we wzorze i otrzymują 0,025. Z pomocą tabel znajdziemy numer φ (0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz zastąpić wszystkie dane we wzorze:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Tak więc prawdopodobieństwo, że ulotka reklamowa będzie działać dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formula Bayes.

Formuła Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązywania zadań, z którymi pojawi się poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo wydarzenia, w oparciu o okoliczności, które mogą być związane z tym. Główna formuła ma następujący formularz:

P (a | b) \u003d p (w | a) x p (a) / p (c).

A i B są pewnymi wydarzeniami.

P (A | b) - warunkowe prawdopodobieństwo, że zdarzenie może wystąpić, pod warunkiem, że wydarzenie jest prawdziwe.

P (w | a) - warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia V.

Ostateczną częścią małego kursu "teoria prawdopodobieństwa" jest formułą Bayesa, przykłady rozwiązań zadań, z którymi poniżej.

Zadanie 5.: Magazyn przyniósł telefony z trzech firm. Jednocześnie część telefonów produkowanych w pierwszej instalacji wynosi 25%, w drugim - 60%, na trzecim - 15%. Wiadomo również, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugim - 4%, a na trzecim - 1%. Konieczne jest znalezienie prawdopodobieństwa, że \u200b\u200blosowo wybrany telefon będzie uszkodzony.

A \u003d "losowo telefon."

W pierwszym telefonie, który wykonał pierwszą fabrykę. W związku z tym pojawi się wprowadzenie w 2 i 3 (dla drugiego i trzeciego fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (w 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (w 2) \u003d 0,6; P (w 3) \u003d 0,15 - więc znaleźliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć warunkowe prawdopodobieństwo pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo uszkodzonych produktów w firmach:

P (A / in 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / w 2) \u003d 0,04;

P (A / w 3) \u003d 0,01.

Teraz zastąpimy dane w formule Bayesa i uzyskać:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

W artykule przedstawiono teorię prawdopodobieństwa, formuł i przykładów rozwiązywania problemów, ale jest to tylko wierzchołek lodowej rozległej dyscypliny. A po czym napisano, będzie logiczna, aby zapytać, czy potrzebna jest teoria prawdopodobieństwa w życiu. Trudno odpowiedzieć na prostą osobę, aby odpowiedzieć, lepiej zapytać o to, kto z jej pomocą nie złamał jack-potu.

Krótka teoria

W przypadku ilościowego porównania zdarzeń w stopniu możliwości ich wyglądu należy wprowadzić środek numeryczny, który nazywany jest prawdopodobieństwem wydarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego Numer, który jest wyrazem środka obiektywnej możliwości pojawienia się wydarzenia.

Wartości, które określają, w jaki sposób znaczące podstawy obiektywne mają liczyć na zdarzenia, charakteryzują się prawdopodobieństwem wydarzenia. Konieczne jest podkreślenie, że prawdopodobieństwo jest wartością obiektywną istniejącą niezależnie od uczenia się i ze względu na cały zestaw warunków, które przyczyniają się do pojawienia się wydarzenia.

Wyjaśnienia, które daliśmy koncepcję prawdopodobieństwa, nie są definicją matematyczną, ponieważ nie określają tej koncepcji ilościowo. Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego, które są szeroko stosowane w rozwiązywaniu konkretnych zadań (klasyczne, aksjomatyczne, statystyczne itp.).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia Obsługuje tę koncepcję do bardziej elementarnej koncepcji zdarzeń równowagi, który nie jest już zdefiniowany i zakłada się, że jest intuicyjny. Na przykład, jeśli kość gra jest jednorodną kostką, wtedy opadanie dowolnej z krawędzi tej kostki będzie równy zdarzeń.

Niech niezawodny zdarzenie rozpad się na przypadkach równowagi, której ilość daje wydarzenie. Oznacza to, że przypadki, z których rozpad się, są nazywane sprzyjającym wydarzeniu, ponieważ pojawienie się jednego z nich zapewnia ofensywę.

Prawdopodobieństwo zdarzeń zostanie oznaczone symbolem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosowności liczby przypadków sprzyjającej do niego z całkowitej liczby jedynych, równych i niespójności na numer, tj.

Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, konieczne jest, aby rozważyć różne wyniki testu, aby znaleźć zestaw jedynych możliwych, równych i niespójnych przypadków, aby obliczyć całkowitą liczbę N, liczba przypadków M sprzyja To zdarzenie, a następnie oblicz obliczenie zgodnie z powyższym wzorem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia równego stosunku liczby korzystnych zdarzeń doświadczeń doświadczeń w całkowitej liczbie wyników doświadczeń jest nazywany klasyczne prawdopodobieństwo Zdarzenie losowe.

Określenie przepływa następujące właściwości prawdopodobieństwa:

Właściwość 1. Prawdopodobieństwo niezawodnego zdarzenia jest równe.

Nieruchomość 2. Prawdopodobieństwo imprezy niemożliwej wynosi zero.

Nieruchomość 3. Prawdopodobieństwo przypadkowego zdarzenia jest liczbą dodatnią zawartą między zerową a jednostką.

Nieruchomość 4. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń tworzącego pełną grupę jest równa jednej.

Nieruchomość 5 Prawdopodobieństwo odwrotnego wydarzenia jest zdefiniowane w taki sam sposób, jak prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Liczba przypadków sprzyja wyglądem odwrotnego wydarzenia. Stąd prawdopodobieństwo odwrotnego wydarzenia jest równe różnicy między jednostką a prawdopodobieństwem wydarzenia A:

Ważną zaletą klasycznej definicji prawdopodobieństwa wydarzenia jest to, że przy pomocy, prawdopodobieństwo zdarzenia można określić bez uciekania się do eksperymentu i na podstawie logicznego rozumowania.

Podczas wykonywania kompleksu warunków, niezawodne wydarzenie na pewno się wydarzy, a niemożliwe niekoniecznie wystąpi. Wśród wydarzeń, które przy tworzeniu kompleksu mogą wystąpić kompleks warunków, i może się nie zdarzyć, na temat wyglądu niektórych może liczyć na dużą bazę, do wyglądu innych z mniejszą podstawą. Jeśli na przykład, w Urnie białych kulek więcej niż czarny, wtedy nadzieję na pojawienie się białej miski podczas wyjmowania z Urn o wiele więcej powodów niż pojawienie się czarnej miski.

Przykład rozwiązania problemu

Przykład 1.

W pudełku jest 8 białych, 4 czarnych i 7 czerwonych kulek. Trasa pobrała 3 kulki. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: - Wyodrębnia co najmniej 1 czerwona piłka - jest co najmniej 2 kulki jednego koloru, - jest co najmniej 1 czerwona i 1 biała piłka.

Rozwiązanie problemu

Łączna liczba wyników testowych znajdzie jako szereg kombinacji 19 (8 + 4 + 7) elementów 3:

Znajdź prawdopodobieństwo wydarzenia - Wyodrębniono co najmniej 1 czerwoną piłkę (1,2 lub 3 czerwone kulki)

Pożądane prawdopodobieństwo:

Pozwól wydarzeniu - Jest co najmniej 2 miseczki jednego koloru (2 lub 3 białe kulki, 2 lub 3 czarne kulki i 2 lub 3 czerwone kulki)

Liczba wyników sprzyjających wydarzeniom:

Pożądane prawdopodobieństwo:

Pozwól wydarzeniu - Jest co najmniej jedna czerwona i 1 biała piłka

(1 czerwony, 1 biały, 1 czarny lub 1 czerwony, 2 biały lub 2 czerwony, 1 biały)

Liczba wyników sprzyjających wydarzeniom:

Pożądane prawdopodobieństwo:

Odpowiedź:P (a) \u003d 0,773; p (c) \u003d 0,7688; P (d) \u003d 0,6068

Przykład 2.

Wrzucono dwa kości gry. Znajdź prawdopodobieństwo, że ilość punktów nie jest mniejsza niż 5.

Decyzja

Niech wydarzenie - ilość punktów co najmniej 5

Używamy klasycznego definicji prawdopodobieństwa:

Całkowita liczba możliwych wyników testowych

Liczba testów sprzyjających zainteresowanym wydarzeniu

Na upadłej twarzy pierwszego grania kostki może pojawić się jeden punkt, dwa punkty ..., sześć punktów. Podobnie, sześć wyników jest możliwe podczas rzucania drugiego kostki. Każda z wyników rzucania pierwszych kości można łączyć z każdym z wyników drugiego. W ten sposób łączna liczba możliwych podstawowych wyników testowych jest równa liczbie miejsc docelowych z powtórzeniami (wybór z umieszczeniem 2 elementów z całkowitej objętości objętości 6):

Znajdź prawdopodobieństwo odwrotnego wydarzenia - ilość punktów jest mniejsza niż 5

Ulubione wydarzenie będzie następującymi kombinacjami świecących punktów:

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa jest określona i podano roztwór szeroko znanego zadania spotkania.

Teoria prawdopodobieństwa jest dość dużą niezależną sekcją matematyki. W roku szkolnym teoria prawdopodobieństwa jest uważane za bardzo powierzchownie, jednak istnieją zadania dla tego tematu. Jednak nie jest to trudne do rozwiązania zadań kursu szkoły (przynajmniej to, co dotyczy operacji arytmetycznych) - tutaj nie musisz rozważyć instrumentów pochodnych, biorąc integralni i rozwiązywać złożone transformacje trygonometryczne - główną rzeczą jest móc obsłużyć proste liczby i frakcje.

Teoria prawdopodobieństwa - Warunki podstawowe

Główne warunki teorii prawdopodobieństwa testują, wynik i zdarzenie losowe. Test w teorii prawdopodobieństwa jest nazywany eksperymentem - rzucenie monet, pociągnij kartę, wyciągnąć rysunek - wszystkie te testy. Wynik testu, jak już się domyśliłeś, nazywa się wynikiem.

Jakie jest wydarzenie losowe? W teorii prawdopodobieństwa zakłada się, że test jest przeprowadzany przez wiele razy wiele wyników. Wydarzenie Losowe nazywa się dużą ilością wyników testowych. Na przykład, jeśli rzucisz monetę, mogą wystąpić dwa losowe zdarzenia - upadki Eagle lub Rush.

Nie mylić wyniku i zdarzenia losowego. Wynik to jeden wynik jednego testu. Wydarzenie Losowe jest różnorodne możliwe wyniki. Przy okazji i takim terminem jako niemożliwe wydarzenie. Na przykład wydarzenie "upuściło numer 8" na standardowej kostce gry jest niemożliwe.

Jak znaleźć prawdopodobieństwo?

Wszyscy rozumiemy, co jest prawdopodobieństwo, a dość często używają tego słowa w swoim słownictwie. Ponadto, możemy nawet dokonać konkretnych wniosków dotyczących prawdopodobieństwa konkretnego wydarzenia, na przykład, jeśli za oknem śniegu możemy prawdopodobnie powiedzieć, że teraz nie jest lato. Jednak jak wyrazić to numerycznie założenie?

Aby wprowadzić formułę do znalezienia prawdopodobieństwa, przedstawiamy inną koncepcję - korzystny wynik, tj. Wynik, który jest korzystny dla konkretnego wydarzenia. Definicja jest oczywiście dość niejednoznaczna, jednak przez warunek problemu, jest zawsze jasny, który z wyników jest korzystny.

Na przykład: w klasie 25 osób, trzy z nich Kati. Nauczyciel mianuje obowiązek olya, a ona potrzebuje partnera. Jakie jest prawdopodobieństwo, że partner będzie katya?

W tym przykładzie, korzystny wynik - partner Katyi. Nieco później rozwiążymy to zadanie. Ale najpierw przedstawiamy za pomocą dodatkowej formuły definicji do znalezienia prawdopodobieństwa.

• P \u003d A / N, gdzie p jest prawdopodobieństwem, a liczba korzystnych wyników, n jest całkowitą liczbą wyników.

Wszystkie wyzwania szkolne wirują się wokół jednego z tej formuły, a główna trudność polega na znalezieniu wyników. Czasami są proste do znalezienia, czasami - niezbyt.

Jak rozwiązać zadania dotyczące prawdopodobieństwa?

Zadanie 1.

Więc teraz zdecydujmy powyższe zadanie.

Liczba korzystnych wyników (nauczyciel wybiera Katya) jest równa trzeciej, ponieważ kot w klasie trzy, a łączne wyniki - 24 (25-1, ponieważ olya jest już wybrana). Następnie prawdopodobieństwo jest równe: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0,125. Tak więc prawdopodobieństwo, że Katya okaże się 12,5%. To jest łatwe? Zastanawajmy się coś bardziej wszechstronnym.

Zadanie 2.

Moneta została wyrzucona dwukrotnie, jakie jest prawdopodobieństwo kombinacji: jeden orzeł i jeden pośpiech?

Rozważamy więc całkowite wyniki. W jaki sposób monety mogą wypadnąć - Eagle / Eagle, Rushka / Rushka, Eagle / Rush, Rushka / Eagle? Więc łączna liczba wyników - 4. Ile korzystnych wyników? Dwa - Eagle / Rush and Rush / Eagle. Tak więc prawdopodobieństwo kombinacji orła / pośpiechu jest równe:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 lub 50 procent.

A teraz rozważ tak zadanie. Masha w kieszeni 6 monet: Dwa - denominacja 5 rubli i cztery - denominacja 10 rubli. Masha przesunęła 3 monety do innej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że monety 5-rublowe będą w różnych kieszeniach?

Dla prostoty oznaczamy monety z liczbami - 1,2 - monety pięcioosobowe, 3,4,5,6 - monety dziesięciokrotne. Jak więc monety mogą się położyć w kieszeni? W sumie jest 20 kombinacji:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że niektóre kombinacje zniknęły, na przykład 231, jednak w naszym przypadku kombinacje 123, 231 i 321 są równoważne.

Teraz uważamy, ile mamy korzystne wyniki. Dla nich bierzemy te kombinacje, w których istnieją albo liczba 1, albo liczba 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Są one 12. Tak więc, Prawdopodobieństwo jest równe:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 lub 60%.

Zadania na temat teorii prezentowanych tutaj prawdopodobieństwa są dość proste, ale nie sądzą, że teoria prawdopodobieństwa jest prostą sekcją matematyki. Jeśli zdecydujesz się kontynuować edukację na Uniwersytecie (z wyjątkiem specjałów humanitarnych), na pewno będziesz miał kilka wyższych matematyki, na których będziesz znać bardziej złożone warunki tej teorii, a zadania będą znacznie trudniejsze .

Początkowo będąc tylko spotkaniem informacji i empirycznymi obserwacjami gry w kości, teoria prawdopodobieństwa stała się solidną nauką. Pierwszy, który dał jej matematyczne ramy, była gospodarstwo i Pascal.

Od myślenia o wiecznej teorii prawdopodobieństwa

Dwie osobowości, które są zobowiązane przez wiele podstawowych formuł, Blaise Pascal i Thomas Bayes, są znani jako głęboko wierzący, tym ostatni był kapłanem Prezbiteriańskim. Najwyraźniej pragnienie tych dwóch naukowców do udowodnienia błędu poglądów na jakimś fortunie, dając powodzenia w swoich zwierzętach, dał impuls do badań w tej dziedzinie. W rzeczywistości każdy hazard z wygranami i stratami jest tylko symfonią zasad matematycznych.

Dzięki Azart Cavaller, który był równie graczem i osobą, która nie jest obojętna dla nauki, Pascal został zmuszony znaleźć sposób na obliczenie prawdopodobieństwa. Deverage był zainteresowany takim pytaniem: "Ile razy powinieneś rzucić dwie kości w parach, tak że prawdopodobieństwo uzyskania 12 punktów przekroczyło 50%?". Drugie pytanie jest niezwykle zainteresowany Cavallar: "Jak dzielić się zakładem między uczestnikami niedokończonej gry?" Oczywiście Pascal z powodzeniem odpowiedział na oba pytania, które stały się mimowolnym impulsem na rozwój teorii prawdopodobieństwa. Co ciekawe, osoba osoby pozostała znana w dziedzinie, a nie w literaturze.

Wcześniej żaden matematyk nie podjął jeszcze prób obliczenia prawdopodobieństw wydarzeń, ponieważ uważano, że jest to tylko decyzja Gady. Blaise Pascal dał pierwszą definicję prawdopodobieństwa zdarzenia i wykazało, że jest to specyficzna postać, która może być uzasadniona środkami matematycznymi. Teoria prawdopodobieństwa stała się podstawą statystyk i jest szeroko stosowana we współczesnej nauce.

Co to jest wypadki

Jeśli rozważymy test, który możesz powtórzyć nieskończoną liczbę razy, a następnie możesz zdefiniować zdarzenie losowe. Jest to jeden z prawdopodobnych wyników doświadczeń.

Doświadczenie jest wdrażaniem konkretnych działań w stałych warunkach.

Aby pracować z wynikami doświadczenia, wydarzenia są zwykle oznaczone literami A, B, C, D, e ...

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

Więc możesz rozpocząć matematyczną część prawdopodobieństwa, musisz zdefiniować wszystkie jego składniki.

Prawdopodobieństwo wydarzenia jest wymawiane w formie numerycznej środka wyglądu określonego wydarzenia (A lub B) w wyniku doświadczenia. Wskazano prawdopodobieństwo, że wskazano P (A) lub P (b).

W teorii prawdopodobieństwa rozróżnij:

• niezawodny Wydarzenie jest zagwarantowane w wyniku eksperymentu P (Ω) \u003d 1;
• niemożliwy Wydarzenie nigdy nie wystąpi p (Ø) \u003d 0;
• losowy Wydarzenie polega na niezawodnym i niemożliwym, czyli prawdopodobieństwo jego wyglądu jest możliwe, ale nie gwarantowane (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest zawsze w odległości 0≤p (a) ≤ 1).

Relacje między wydarzeniami

Rozważmy zarówno tak samo, jak i suma zdarzeń A + B, gdy zdarzenie jest liczone we wdrażaniu co najmniej jednego ze składników, A lub B, lub zarówno - A, jak i V.

W odniesieniu do siebie wydarzenia mogą być:

• Równowaga.
• Zgodny.
• Niekompatybilny.
• Naprzeciwko (wzajemnie wyłączny).
• Zależny.

Jeśli dwa zdarzenia mogą wystąpić z równym prawdopodobieństwem, to oni równowaga.

Jeśli pojawienie się wydarzenia i nie zmniejsza prawdopodobieństwa wyglądu wydarzenia B, to oni zgodny.

Jeśli wydarzenia A i B nigdy nie zdarzają się jednocześnie w tym samym doświadczeniu, nazywają się niekompatybilny. Monety rzucające jest dobrym przykładem: pojawienie się pośpiechu jest automatycznie błędem orła.

Prawdopodobieństwo ilości takich niezgodnych wydarzeń składa się z prawdopodobieństwa każdego z wydarzeń:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Jeśli początek jednego wydarzenia uniemożliwia wystąpienie innym, są one nazywane odwrotnie. Wtedy jeden z nich jest wyznaczony jako A, a drugi - ā (czytaj jako "nie"). Wygląd zdarzenia oznacza, że \u200b\u200bnie miało miejsce. Te dwa zdarzenia tworzą kompletną grupę z sumą prawdopodobieństwa równej 1.

Zdarzenia zależne mają wzajemny wpływ, zmniejszając lub zwiększając swoje prawdopodobieństwo.

Relacje między wydarzeniami. Przykłady.

Przykłady są znacznie łatwiejsze do zrozumienia zasad teorii prawdopodobieństwa i kombinacji wydarzeń.

Doświadczenie, które zostanie przeprowadzone, jest wyciągnięcie piłek z pudełka, a wynik każdego doświadczenia jest elementem elementarnym.

Wydarzenie jest jednym z możliwych wyników doświadczeń - czerwona piłka, niebieska piłka, piłka z sześć lat itp.

Testuj numer 1. Zaangażowane są 6 kulki, z których trzy są malowane w niebieskie, numery nieparzyste są na nich stosowane, a trzy inne są czerwone z liczbami nawet.

Testuj numer 2. Zaangażowane są 6 kulki niebieskiego z liczbami od jednego do sześciu.

Na podstawie tego przykładu możesz dzwonić do kombinacji:

• Niezawodne wydarzenie. W №2 Zdarzenie "Get A Blue Ball" jest niezawodne, ponieważ prawdopodobieństwo jego wyglądu jest równe 1, ponieważ wszystkie kulki niebieskie i nie mogą być. Podczas gdy zdarzenie "dostanie piłkę z numerem 1" jest losowe.
• Niemożliwe wydarzenie. W №1 Z Błękitnymi i czerwonymi kulkami Wydarzenie "Get the Purple Ball" jest niemożliwe, ponieważ prawdopodobieństwo jego wyglądu wynosi 0.
• Równe wydarzenia. W №1 Uzyskaj piłkę z numerem 2 "i" Uzyskaj piłkę z równowagą numeryczną ", a wydarzenia" Pobierz piłkę z numerem parzystym "i" Get ball z numerem 2 "ma inne prawdopodobieństwo .
• Kompatybilne wydarzenia. Dwa razy w rzędzie, aby uzyskać sześć w procesie rzucania kości gry - są to kompatybilne wydarzenia.
• Niezgodne wydarzenia. W tej samej ISP. №1 Zdarzenia "Get The Red Ball" i "Get ball z numerem nieparzystym" nie można łączyć w tym samym doświadczeniu.
• Naprzeciwko imprez. Najbardziej uderzającym przykładem jest rzucenie monet, gdy orzeł ciągnięcie jest równoznaczny z niewoli rzeki, a suma ich prawdopodobieństw jest zawsze 1 (pełna grupa).
• Wydarzenia zależne. Więc na ISP. №1 Można ustawić cel, aby usunąć czerwony balon dwa razy z rzędu. Jego wydobycie lub nieznane po raz pierwszy wpływa na prawdopodobieństwo wyodrębniania po raz drugi.

Można zauważyć, że pierwsze zdarzenie znacząco wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (40% i 60%).

Formuła prawdopodobieństwa zdarzenia

Przejście od refleksji pakietu do dokładnych danych wynika z motywu tłumaczenia do samolotu matematycznego. Oznacza to osądy o zdarzeniu losowym, takie jak "wysokie prawdopodobieństwo" lub "minimalne prawdopodobieństwo", mogą być przenoszone do określonych danych numerycznych. Taki materiał jest dopuszczalny do oceny, porównywania i wprowadzania do bardziej złożonych obliczeń.

Z punktu widzenia obliczenia definicja prawdopodobieństwa zdarzenia jest stosunek liczby podstawowych dodatnich wyników do wysokości wszystkich możliwych wyników doświadczeń stosunkowo określonego wydarzenia. Jest wskazywany przez prawdopodobieństwo p (a), gdzie r oznacza słowo "probibilite", który jest tłumaczony z francuskiego jako "prawdopodobieństwo".

Więc wydarzenie o formule prawdopodobieństwa:

Gdzie m jest liczbą korzystnych wyników dla wydarzenia A, N - suma wszystkich możliwych dla tego doświadczenia. W tym przypadku prawdopodobieństwo wydarzeń zawsze leży między 0 a 1:

0 ≤ p (a) ≤ 1.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia. Przykład

Weź mowę. №1 Z piłkami, która jest wcześniej opisana: 3 niebieskie kulki z liczbami 1/3/5 i 3 czerwone numery 2/4/6.

Na podstawie tego testu można oglądać kilka różnych zadań:

• A - utrata czerwonej miski. Czerwone kulki 3 i całkowite opcje 6. Jest to najprostszy przykład, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia jest p (a) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - Utrata liczby parzystej. W sumie numery nawet 3 (2,4,6), a całkowita liczba możliwych wariantów numerycznych wynosi 6. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest p (b) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C jest utratą liczby większej niż 2. Całkowite opcje 4 (3,4,5,6) z całkowitej ilości możliwych wyników 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia równe P (C) \u003d 4/6 \u003d 0,67 .

Jak widać z obliczeń, zdarzenie C ma większe prawdopodobieństwo, ponieważ liczba prawdopodobnych dodatnich wyników jest wyższa niż w A i V.

Nieprawidłowe wydarzenia.

Takie wydarzenia nie mogą jednocześnie pojawiać się w tym samym doświadczeniu. Jak w №1 Nie można jednocześnie osiągnąć niebieską i czerwoną piłkę. To znaczy, możesz dostać niebieską lub czerwoną piłkę. W ten sam sposób w kości, a nawet nieparzysta może być w tym samym czasie.

Prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń jest uważane za prawdopodobieństwo ich sumy lub pracy. Ilość takich zdarzeń A + B uważa się za takie wydarzenie, które polega na pojawieniu się zdarzenia A lub B, a prace ich AW jest w pojawieniu się obu. Na przykład pojawienie się dwóch szóstek natychmiast na krawędziach dwóch kostek w jednym rzucie.

Suma kilku wydarzeń jest wydarzeniem obejmującym pojawienie się przynajmniej jednego z nich. Praca kilku wydarzeń jest wspólnym wyglądem ich wszystkich.

W teorii prawdopodobieństwa, z reguły, stosowanie związku "i" oznacza kwotę, związek "lub" - mnożenie. Formuły z przykładami pomogą zrozumieć logikę dodawania i mnożenia w teorii prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo niekompletnych zdarzeń

Jeśli uważa się, że prawdopodobieństwo niespójnych zdarzeń, prawdopodobieństwo ilości zdarzeń jest równe dodaniu ich prawdopodobieństwa:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Na przykład: obliczam prawdopodobieństwo, że na komputerze. Nr 1 z niebieskimi i czerwonymi kulkami, liczba 1 i 4. Oblicz nie w jednej akcji, ale suma prawdopodobieństw podstawowych elementów. Tak więc w tym doświadczeniu tylko 6 piłek lub 6 wszystkich możliwych wyników. Liczby spełniające warunki - 2 i 3. Prawdopodobieństwo Figura 2 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo figury 3 wynosi również 1/6. Prawdopodobieństwo, że cyfra spadnie między 1 a 4 to:

Prawdopodobieństwo niezgodnych zdarzeń kompletnej grupy jest równe 1.

Tak więc, jeśli w eksperymencie z kostką, połóż prawdopodobieństwa opadu wszystkich numerów, w wyniku czego otrzymujemy jednostkę.

Jest to również prawdą dla naprzeciwko zdarzeń, na przykład, doświadczenie z monetą, gdzie jedna strona jest zdarzeniem A, a drugi jest odwrotny wydarzenie ā, jak wiadomo,

P (a) + p (ā) \u003d 1

Prawdopodobieństwo pracy wydarzeń niepojnych

Mnożenie prawdopodobieństw stosuje się, gdy rozważają pojawienie się dwóch lub więcej niepełnych zdarzeń w jednej obserwacji. Prawdopodobieństwo, że wydarzenia A i B będą wyświetlane jednocześnie, równi produktowi ich prawdopodobieństw lub:

P (a * b) \u003d p (a) * p (b)

Na przykład prawdopodobieństwo, że na ISP. №1 W wyniku dwóch prób, niebieska piłka pojawi się dwa razy, równa

Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, gdy w wyniku dwóch prób usuwania piłek, tylko błękitne kulki zostaną wyodrębnione, równe 25%. Bardzo łatwo jest robić praktyczne eksperymenty tego zadania i sprawdzić, czy tak naprawdę jest.

Wspólne wydarzenia.

Wydarzenia są uważane za wspólnie, gdy pojawienie się jednego z nich może zbiegać się z pojawieniem się innego. Pomimo faktu, że są one wspólne, prawdopodobieństwo rozważania niezależnych wydarzeń. Na przykład rzucanie dwoma kościami grającymi może dać wynik, gdy numer 6 spadnie na obu. Chociaż zdarzenia zbiegły się i pojawiły się jednocześnie, są one niezależne od siebie - tylko jeden sześć, druga kość nie ma na to wpływu .

Prawdopodobieństwo wspólnych wydarzeń jest uważane za prawdopodobieństwo ich sumy.

Prawdopodobieństwo sumy wspólnych wydarzeń. Przykład

Prawdopodobieństwo ilości zdarzeń A i B, która w odniesieniu do siebie nawzajem równa się sumą prawdopodobieństwa zdarzenia z potrąceniem prawdopodobieństwa ich pracy (to znaczy ich wspólną realizację):

P staw. (A + c) \u003d p (a) + p (b) - p (av)

Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo wejścia do celu z jednym strzałem wynosi 0,4. Następnie wydarzenie a - uderzając w cel w pierwszej próbie, w - w drugim. Wydarzenia te są stawem, ponieważ możliwe jest, że cel może zostać trafiony i od pierwszego i z drugiego strzału. Ale wydarzenia nie są zależne. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia porażki docelowej z dwóch strzałów (co najmniej jeden)? Według wzoru:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpowiedź na pytanie jest następująca: "Prawdopodobieństwo wejścia do celu z dwóch strzałów wynosi 64%".

Ta formuła prawdopodobieństwa zdarzeń może być również stosowana do niepełnych zdarzeń, gdzie prawdopodobieństwo wyglądu zdarzenia p (AV) \u003d 0. Oznacza to, że prawdopodobieństwo niekompletnych zdarzeń można uznać za szczególny przypadek proponowanej formuły.

Geometria prawdopodobieństwa dla jasności

Co ciekawe, prawdopodobieństwo ilości wspólnych zdarzeń może być reprezentowany jako dwa regiony A i B, które przecinają się razem. Jak widać z obrazu, obszar ich stowarzyszenia jest równa całkowitej powierzchni na minutę ich obszarów przecięcia. To geometryczne wyjaśnienie ma bardziej zrozumiałe nielogiczne na pierwszym formule spojrzenia. Należy pamiętać, że roztwory geometryczne nie są rzadkością w teorii prawdopodobieństwa.

Określenie prawdopodobieństwa suma zestawu (więcej niż dwóch) wspólnych wydarzeń jest dość kłopotliwe. Aby go obliczyć, musisz użyć formuł, które są dostępne dla tych przypadków.

Wydarzenia zależne

Zdarzenia zależne są nazywane, jeśli ofensywa z nich (a) z nich wpływa na prawdopodobieństwo innego (b). Ponadto uwzględniono wpływ zarówno wydarzeń A, jak i jego usterki. Chociaż wydarzenia są nazywane uzależnione od definicji, ale zależy tylko jeden z nich (b). Zwykłe prawdopodobieństwo zostało wyznaczone jako p (b) lub prawdopodobieństwo niezależnych wydarzeń. W przypadku zależnego wprowadzono nową koncepcję - warunkowe prawdopodobieństwo p (b), które jest prawdopodobieństwem zdarzenia zależnego w pod warunkiem, że zdarzenie A (hipoteza) miała miejsce, z którego zależy.

Ale w końcu wydarzenie jest również przypadkowo, więc ma również szansę, że potrzebujesz i można je brać pod uwagę w obliczonej obliczeniach. Następnie przykład zostanie przedstawiony, jak pracować z wydarzeniami zależnymi i hipotezą.

Przykład obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych

Dobrym przykładem obliczania zdarzeń zależnych może być standardowym pokładem kart.

Na przykładzie pokładu w 36 kartach, rozważ zdarzenia zależne. Konieczne jest określenie prawdopodobieństwa, że \u200b\u200bdruga karta wydobyta z pokładu będzie tamburynowym, jeśli pierwsza ekstrahowana:

1. Bubnovy.
2. Inny garnitur.

Jest oczywiste, że prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia zależy od pierwszego A. Więc, jeśli pierwsza opcja jest prawdziwa, że \u200b\u200btalia stała się 1 kartą (35) i 1 tamburyn (8) mniej, prawdopodobieństwo zdarzenia w:

P a (b) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Jeśli druga opcja jest sprawiedliwi, talia stała się 35 kart, a całkowita liczba tamburyn (9) jest nadal zachowana, wówczas prawdopodobieństwo następnego wydarzenia w:

P a (b) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Można zauważyć, że jeśli wydarzenie zostanie uzgodnione w fakcie, że pierwsza karta jest tamburynowym, a potem prawdopodobieństwo zdarzenia w zmniejszeniu i odwrotnie.

Mnożenie zdarzeń zależnych

Kierując się poprzedniego rozdziału, akceptujemy pierwsze wydarzenie (a) jako fakt, ale jeśli mówimy w istocie, ma losowy charakter. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, a mianowicie ekstrakcję tamburynowej z talii kart, jest równe:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Ponieważ teoria nie istnieje sama, ale ma na celu służyć do celów praktycznych, ma prawo zauważyć, że prawdopodobieństwo produktu zdarzeń zależnych jest najczęściej potrzebny.

Zgodnie z twierdzeniem prawdopodobieństwa prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych, prawdopodobieństwo wyglądu współzależnych zdarzeń A i B są równe prawdopodobieństwach jednego zdarzenia A, pomnożone przez warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia w (zależne a):

P (ab) \u003d p (a) * p a (b)

Następnie w przykładzie z pokładem prawdopodobieństwo wyodrębniania dwóch kart z mahimią tamburynowym jest:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 lub 5,7%

A prawdopodobieństwo wydobywania nie jest pierwszym tamburynem, a następnie tamburynowie są równe:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19 lub 19%

Można zauważyć, że prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia większe, pod warunkiem że pierwsza karta ekstrakcyjna jest ekstrahowana z tamburynowej. Wynik ten jest dość logiczny i zrozumiały.

Pełne prawdopodobieństwo zdarzenia

Gdy problem z warunkowymi prawdopodobieństwami staje się wieloaspektowy, niemożliwe jest obliczenie zwykłych metod. Gdy hipotezy są więcej niż dwa, a mianowicie A1, A2, ... i N,. Chłodzenie pełnej grupy podanych wydarzeń:

• P (a)\u003e 0, I \u003d 1,2, ...
• A I ∩ A J \u003d Ø, I ≠ J.
• Σ k a k \u003d Ω.

Tak więc formuła pełnego prawdopodobieństwa imprezy w pełnej grupie zdarzeń losowych A1, A2, ... i N to:

Spojrzenie w przyszłość

Prawdopodobieństwo przypadkowego wydarzenia jest niezwykle konieczne w wielu dziedzinach nauki: ekonometryczne, statystyki, fizyki itp. Ponieważ niektóre procesy nie mogą być określone, jak sami mają naturę probabilistyczną, potrzebne są specjalne metody pracy. Teoria prawdopodobieństwa zdarzenia może być stosowana w dowolnej sferze technologicznej jako sposób na określenie możliwości błędu lub awarii.

Można powiedzieć, że, ucząc się prawdopodobieństwem, robimy w jakiś sposób w przyszłości, patrząc na nią przez pryzmat formuły.

Wszystko na świecie jest określane lub przypadkowo ...
Arystoteles.

Prawdopodobieństwo: podstawowe zasady

Teoria prawdopodobieństwa oblicza prawdopodobieństwo różnych zdarzeń. Głównym w teorii prawdopodobieństwa jest koncepcja przypadkowego zdarzenia.

Na przykład rzucasz monetą, losowo spada na herb lub szeroki. Nie wiesz z góry, jaki rodzaj monety spadnie. Wchodzisz do umowy ubezpieczenia, nie wiesz z góry, czy nie będzie płatności.

W obliczeniach aktuarialnych musisz mieć możliwość oceny prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, dlatego teoria prawdopodobieństwa odgrywa kluczową rolę. Żadna inna dziedzina matematyki może działać z prawdopodobieństwem wydarzeń.

Rozważ więcej szczegółów, aby rzucić monetę. Istnieją 2 wzajemnie ekskluzywny exodus: emisja herbu lub utrata pośpiechu. Wynik łańcucha jest losowy, ponieważ obserwator nie może analizować i uwzględniać wszystkich czynników, które wpływają na wynik. Jakie jest prawdopodobieństwo emblematu? Większość odpowie ½, ale dlaczego?

Niech formalnie ALE Wskazuje osadzanie herbu. Pozwól, aby moneta pędzi N. czas. Potem prawdopodobieństwo wydarzenia ALE Możliwe jest określenie jako udział tych rzutów, w wyniku czego spada warstwa broni:

gdzie n. Łączne rzuty, n (a) Liczba opróżniania herbu.

Relacja (1) zwana częstotliwość Wydarzenia ALE W długiej serii testów.

Okazuje się, że w różnych seriach testów odpowiednia częstotliwość na dużym n. rośnie o niektórych stałych wartościach R (a). Ta wartość jest nazywana prawdopodobieństwo zdarzenia ALE I oznacza literę R.- Skrót z angielskiego słowa prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo.

Formalnie mamy:

(2)

Ta ustawa jest nazywana prawo dużych liczb.

Jeśli moneta jest prawidłowa (symetryczna), prawdopodobieństwo emisji herbu jest równa prawdopodobieństwu utraty rzeki i jest równa ½.

Zostawiać ALE i W Niektóre wydarzenia, na przykład, wystąpił lub nie ubezpieczony. Łączenie dwóch wydarzeń jest wydarzeniem polegającym na wykonaniu zdarzenia. ALE, wydarzenia Wlub obu zdarzeń razem. Skrzyżowanie dwóch wydarzeń ALE i W Nazywany wydarzeniem polegającym na wdrożeniu obu wydarzeń ALEi wydarzenia. W.

Podstawowe zasady Obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń są następujące:

1. Prawdopodobieństwo jakiejkolwiek zdarzenia jest zawarte między zerową a jednostką:

2. Niech a w dwóch wydarzeniach, a następnie:

Czytaj tak: Prawdopodobieństwo łączenia dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń minus prawdopodobieństwo przejścia zdarzeń. Jeśli zdarzenia są niekompletne lub krótkotrwałe, prawdopodobieństwo łączenia (kwoty) dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństwa. Prawo to nazywa się prawem wzbogacenie prawdopodobieństwo.

Mówimy, że wydarzenia są niezawodne, jeśli jego prawdopodobieństwo jest równe 1. Podczas analizy określonych zjawisk, pojawia się pytanie, ponieważ wydarzenie wpływa W Na wydarzeniach ALE. Do tego wprowadzonego warunkowe prawdopodobieństwo :

(4)

Czytaj tak: prawdopodobieństwo ofensywy ALE jeśli się uwzględni W równa się prawdopodobieństwem skrzyżowania ALE i Wpodzielony przez prawdopodobieństwo zdarzenia W.
W wzorze (4) zakłada się, że prawdopodobieństwo wydarzenia W Powyżej zera.

Formuła (4) może być również napisana jako:

(5)

Ta formuła. mnożenie prawdopodobieństw.

Nazywany jest również prawdopodobieństwo warunkowe aposterior. Prawdopodobieństwo zdarzenia ALE - Prawdopodobieństwo ofensywy ALE Po wystawie W.

W takim przypadku sama jest taka prawdopodobieństwo apriorycznie prawdopodobieństwo. Istnieją pewniejsze formuły, które są intensywnie używane w obliczeniach aktuarialnych.

Formuła pełne prawdopodobieństwo

Przypuśćmy, że doświadczenie jest przeprowadzane, których warunki można wykonać z góry. wzajemnie Ekskluzywne założenia (hipotezy):

Zakładamy, że jest albo hipoteza, albo ... albo. Prawdopodobieństwa tych hipotez jest znane i równe:

Wtedy jest formuła pełny prawdopodobieństwo :

(6)

Prawdopodobieństwo wydarzenia ALE równa ilości prawdopodobieństwa ofensywy ALE Z każdą hipotezą prawdopodobieństwa tej hipotezy.

Formula Bayes.

Formula Bayes. pozwala na ponowne obliczenie prawdopodobieństwa hipotezy w świetle nowych informacji, które dał wynik ALE.

Formuła Bayesa w pewnym sensie jest odwrotność pełnego formuły prawdopodobieństwa.

Rozważ następujące zadanie prakcyjne.

Zadanie 1.

Przypuśćmy, że występują z katastrofą samolotu, a eksperci są zaangażowani w badania jego przyczyn. Istnieją 4 powody, dla których nastąpiło katastrofę: albo powód, albo, lub. Zgodnie z istniejącymi statystykami powody mają następujące prawdopodobieństwa:

Przy badaniu lokalizacji katastrofy stwierdzono ślady zapłonu paliwa, zgodnie z statystykami, prawdopodobieństwo tego wydarzenia z pewnymi względami:

Pytanie: Jaka jest przyczyna katastrofy najprawdopodobniej?

Oblicz prawdopodobieństwa przyczyn występowania zdarzenia ALE.

Można zauważyć, że pierwszy powód jest najbardziej prawdopodobny, ponieważ jego prawdopodobieństwo jest maksimum.

Zadanie 2.

Rozważ lądowanie samolotu na lotnisku.

Podczas lądowania warunki pogodowe mogą być takie: nie ma niskiej zachmurzenia (), istnieje niski zachmurzenie (). W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo prosperującego lądowania jest równe P1.. W drugim przypadku - P2.. Jest oczywiste, że P1\u003e P2..

Urządzenia, które zapewniają ślepy lądowanie mają prawdopodobieństwo bezproblemowe R.. Jeśli nie ma niskiej zmętnienia i urządzenia ślepego lądowania odmówiły, prawdopodobieństwo udanego lądowania jest równe P3., i P3.<Р2 . Wiadomo, że dla tego lotniska część dni w roku o niskiej zachmurzeniu jest równe.

Znajdź prawdopodobieństwo bezpiecznego lądowania samolotu.

Konieczne jest znalezienie szans.

Istnieją dwie wzajemnie ekskluzywne opcje: Urządzenia ślepego lądowania działają, odmówiono urządzeń ślepych lądowania, więc mamy:

Stąd formuła pełnego prawdopodobieństwa:

Zadanie 3.

Firma ubezpieczeniowa zajmuje się ubezpieczeniem na życie. 10% ubezpieczonych w tej firmie to palacze. Jeśli ubezpieczony nie palenia, prawdopodobieństwo jego śmierci przez cały rok wynosi 0,01, jeśli jest palaczem, to prawdopodobieństwo to 0,05.

Jaki jest odsetek palaczy wśród osób ubezpieczonych, którzy zmarł w ciągu roku?

Odpowiedzi Opcje: A) 5%, (b) 20%, (c) 36%, (d) 56%, (e) 90%.

Decyzja

Przedstawiamy wydarzenia:

Stan zadania oznacza to

Ponadto, ponieważ zdarzenia i tworzą pełną grupę imprez niezgodnych parami.
Prawdopodobieństwo zainteresowania jest.

Używanie formuły Bayesa mamy:

dlatego opcja jest prawdziwa ( W).

Zadanie 4.

Firma ubezpieczeniowa sprzedaje umowę ubezpieczenia na życie dla trzech kategorii: standard, uprzywilejowany i ultrafonowany.

50% wszystkich ubezpieczonych jest standardowo, 40% - uprzywilejowane i 10% - Ultra-sprężone.

Prawdopodobieństwo śmierci w ciągu roku dla standardowego ubezpieczenia wynosi 0,010, dla uprzywilejowanych - 0,005, a dla Ultra Uprzywilejowany - 0,001.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmarłym ubezpieczeniem jest ultra sprężystość?

Decyzja

Przedstawiamy następujące wydarzenia do rozważenia:

Pod względem tych wydarzeń jest prawdopodobieństwo zainteresowania nas. Według stanu:

Ponieważ zdarzenia tworzą pełną grupę parami niezgodnych zdarzeń za pomocą formuły Bayesa, które mamy:

Zmienne losowe i ich cechy

Niech pewną wartość losową, na przykład, uszkodzenia z pożaru lub kwoty płatności ubezpieczeniowych.
Wartość losowa jest w pełni scharakteryzowana przez jego funkcję dystrybucji.

Definicja.Funkcjonować nazywa funkcja dystrybucyjna zmienna losowa ξ .

Definicja.Jeśli istnieje taka funkcja, która dla arbitralnego zA. gotowy