Czworościan i jego przekrój. Konstruowanie przekrojów czworościanu i Jak konstruować przekroje czworościanu

Typ lekcji:

Lekcja uczenia się nowego materiału.

Typ lekcji:

Lekcja z wykorzystaniem technologii ICT.

Geometria: podręcznik dla klas 10-11. / L.S. Atanazjan. – M.: Edukacja, 2010;

Materiały informacyjne: karty z zadaniami.

Tablica interaktywna;

Laptop;

Prezentacja wykonana w programie PowerPoint;

Rysunki wykonane w programie Paint;

Modele czworościanu, równoległościanu, prostopadłościanu, sześcianu.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Praca klasowa. Temat lekcji: Konstruowanie odcinków czworościanu. 29.10.

A B C D TETRAHEDRON - DAVS Czworościan „tetra” - cztery, „hedra” - twarz.

Cel lekcji: Cele lekcji: Wykształcenie umiejętności konstruowania odcinków czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez trzy dane punkty. Edukacyjne: - zapoznanie z definicją płaszczyzny przekroju i przekroju czworościanu przez płaszczyznę; - sformułować algorytm konstruowania punktu przecięcia prostej z płaszczyzną; - sformułować algorytm konstruowania przekroju czworościanu przez płaszczyznę. Rozwojowe: - kontynuuje kształtowanie wyobraźni przestrzennej i mowy matematycznej; - rozwijać myślenie analityczne przy opracowywaniu algorytmu konstruowania punktu przecięcia prostej z płaszczyzną oraz przekroju wielościanów. Wychowawcy: - rozwijają umiejętność świadomego działania na rzecz celu; - kształtowanie kultury komunikacji.

Aksjomaty i twierdzenia stereometrii. 1. Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, wówczas linie przecięcia są równoległe. 2. Płaszczyzna i tylko jedna przechodzi przez linię prostą i punkt na niej nie leżący. 3. Jeżeli dwie różne płaszczyzny mają wspólny punkt, to przecinają się po prostej przechodzącej przez ten punkt. 4. Jeżeli dwa punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to wszystkie punkty prostej leżą na tej płaszczyźnie. 5. Samolot przechodzi przez dwie przecinające się linie i tylko jedną. A B C D E

Zadanie: Znajdź punkt przecięcia prostej AB z płaszczyzną M NK.

2. Zadanie: Zbuduj proste przechodzące przez punkty M, N, K.

Sekcja A B C D M N K

A B C D M N K α

A B C D M N K Ścieżka jest linią prostą przecięcia płaszczyzny przekroju i płaszczyzny dowolnej ściany wielościanu. MK – ślad płaszczyzny MNK na płaszczyźnie ABC MN - … NK - …

Jakie wielokąty można uzyskać w przekroju? Czworościan ma 4 ściany. Z przekrojów mogą powstać: Czworokąty Trójkąty

Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. E F K L A B C D M 1. Wykonaj K F . 2. Wykonujemy FE. 3. Kontynuuj EF, kontynuuj AC. 5. Wykonujemy MK. 7. Wykonujemy EL EFKL – wymagany rozdział Zasada 6. MK AB=L 4. EF AC = M

W takim przypadku należy wziąć pod uwagę następujące kwestie: 1. Można połączyć tylko dwa punkty leżące na płaszczyźnie jednej ściany. Aby skonstruować przekrój, należy skonstruować punkty przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami i połączyć je segmentami. 2. Jeżeli na płaszczyźnie czołowej zaznaczony jest tylko jeden punkt należący do płaszczyzny przekroju, wówczas należy skonstruować dodatkowy punkt. Aby to zrobić, konieczne jest znalezienie punktów przecięcia już skonstruowanych linii z innymi liniami leżącymi na tych samych ścianach.

Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. 1 sposób 2 sposób

Wniosek: niezależnie od metody budowy, przekroje są takie same. Metoda numer 1. Metoda numer 2.

Sprawdź, czy sekcja jest poprawnie skonstruowana. Wyjaśnij błąd.

A B C D N K M X P T Sprawdź się Rozwiązanie 1. KN = α ∩ ICE X = K N ∩ BC T = MX ∩ AB P = TX ∩ AC RT = α ∩ ABC, M є RT PN = α ∩ ADS TP N K - wymagany odcinek

Punkt M jest wewnętrznym punktem ściany BC D czworościanu DABC. Skonstruuj odcinek tego czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkt M, równoległą do płaszczyzny AB D. C D A B M K L N

Zadanie Skonstruuj odcinek czworościanu ABCD przechodzący przez punkt R, równolegle do ściany BCD. 2. Skonstruuj odcinek czworościanu ABCD przechodzący przez punkt S równoległy do ​​ściany ABC. 3. Skonstruuj odcinek czworościanu ABCD przechodzący przez punkt T, równoległy do ​​ściany ACD. 4. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkt M, równoległą do ściany BC D.

A D B C  S 2 . A D B C  R 1 . A D B C T  3 . 4.

Praca domowa Studium akapit 14 2. Nr 73 (s. 29) 3. Zadanie twórcze (do wyboru): wykonaj papierowy model czworościanu.

Zapowiedź:

MBOU „Szkoła średnia Kimovskaya”

Okręg miejski Spasski

Republika Tatarstanu”

Temat lekcji:

„Budowa odcinków czworościanu”

klasa 10

Rozwinięty

Mamonova Evgenia Gennadievna,

Nauczyciel matematyki pierwszej kategorii kwalifikacyjnej

Październik 2013

Cele edukacyjne:

• podczas lekcji upewnij się, że znasz algorytm rozwiązywania problemów związanych z konstruowaniem odcinków czworościanu.
• zapewnić przyswojenie pojęć czworościanu, usystematyzować wiedzę dotyczącą aksjomatów stereometrii, definicji, własności, pojęcia względnego położenia punktów, linii i płaszczyzn w przestrzeni.
• rozwinięcie umiejętności przedstawiania przedmiotowych obiektów na płaszczyźnie i „czytania” proponowanych obrazów, umiejętności graficznych;
• rozwinięcie umiejętności stosowania technik porównań, uogólnień i wnioskowania.

Zadania rozwojowe:

• rozwijanie umiejętności zastosowania zdobytej wiedzy ze stereometrii w praktyce,
• rozwijanie umiejętności analizowania i uogólniania wiedzy w procesie rozwiązywania problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu.
• potrafić wykonywać różne obliczenia związane z wyznaczaniem pola przekroju poprzecznego.

Zadania edukacyjne:

• kształtowanie świadomej potrzeby wiedzy,
• doskonalenie umiejętności i zdolności edukacyjnych,
• kultywowanie zainteresowania poznawczego tematem poprzez nabywanie wyobraźni przestrzennej i umiejętności dostrzegania piękna otaczającego świata.

Typ lekcji:

Lekcja uczenia się nowego materiału.

Typ lekcji:

Lekcja z wykorzystaniem technologii ICT.

Metody nauczania:

Rozmowa;

Badanie czołowe;

Ilustracyjne i wizualne;

Praktyczny;

Metoda porównania, uogólnianie.

Sprzęt dydaktyczno-metodyczny:

Geometria: podręcznik dla klas 10-11. / L.S. Atanazjan. – M.: Edukacja, 2010;

Materiały informacyjne: karty z zadaniami.

Materiał i wyposażenie techniczne:

Tablica interaktywna;

Laptop;

Prezentacja wykonana w programie PowerPoint;

Rysunki wykonane w programie Paint;

Modele czworościanu, równoległościanu, prostopadłościanu, sześcianu.

Struktura lekcji:

1. Org. chwila (1 minuta).
2. Aktualizacja wcześniej zdobytej wiedzy (3 min).
3. Przygotowanie do percepcji nowego materiału (3 min).
4. Tworzenie sytuacji problemowej (3 min).
5. Wyjaśnienienowy materiał (10 min).
6. Utrwalenie badanego materiału (5 min).
7. Samodzielna praca, po której następuje testowanie (3 min).
8. Warsztaty (5 minut).
9. Rozwiązanie problemu (8 min)
10. To ciekawe (1 min).
11. Zadawanie zadań domowych (1 min).
12. Podsumowanie lekcji, refleksja (2 min).

Podczas zajęć:

Dzisiaj ponownie przyjrzymy się, jak to zrobić skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną.
Rozważmy najprostszy przypadek (poziom obowiązkowy), gdy 2 punkty płaszczyzny przekroju należą do jednej ściany, a trzeci punkt należy do drugiej ściany.

Przypomnijmy algorytm konstruowania przekrojów tego typu (przypadek: 2 punkty należą do tej samej ściany).

1. Szukamy ściany zawierającej 2 punkty płaszczyzny przekroju. Narysuj linię prostą przechodzącą przez dwa punkty leżące na tej samej ścianie. Znajdujemy punkty jego przecięcia z krawędziami czworościanu. Część linii prostej kończąca się na powierzchni to bok przekroju.

2. Jeśli wielokąt można zamknąć, oznacza to, że przekrój został skonstruowany. Jeśli zamknięcie nie jest możliwe, znajdujemy punkt przecięcia skonstruowanej linii i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt.

1. Widzimy, że punkty E i F leżą na tej samej ścianie (BCD), narysuj linię prostą EF na płaszczyźnie (BCD).
2. Znajdźmy punkt przecięcia prostej EF z krawędzią czworościanu BD, jest to punkt H.
3. Teraz musisz znaleźć punkt przecięcia prostej EF i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt G, tj. płaszczyzna (ADC).
Prosta CD leży w płaszczyznach (ADC) i (BDC), co oznacza, że ​​przecina prostą EF, a punkt K jest punktem przecięcia prostej EF i płaszczyzny (ADC).
4. Następnie znajdujemy jeszcze dwa punkty leżące w tej samej płaszczyźnie. Są to punkty G i K, oba leżą w płaszczyźnie lewej ściany bocznej. Rysujemy linię GK i zaznaczamy punkty, w których linia ta przecina krawędzie czworościanu. Są to punkty M i L.
4. Pozostaje „zamknąć” sekcję, czyli połączyć punkty leżące na tej samej powierzchni. Są to punkty M i H, a także L i F. Obydwa te odcinki są niewidoczne, rysujemy je linią przerywaną.

Przekrój okazał się czworokątem MHFL. Wszystkie jego wierzchołki leżą na krawędziach czworościanu. Wybierzmy wynikową sekcję.

Teraz sformułujmy „właściwości” poprawnie skonstruowanej sekcji:

1. Wszystkie wierzchołki wielokąta będącego przekrojem leżą na krawędziach czworościanu (równoległościanu, wielokąta).

2. Wszystkie boki przekroju leżą na ścianach wielościanu.
3. Każda ściana wielokąta może zawierać nie więcej niż jeden (jeden lub żaden!) bok przekroju

Rozwój lekcji

na temat „Budowa odcinków czworościanu i równoległościanu” w klasie 10 „A”

Cel lekcji:

uczyć konstruowania odcinków czworościanu i równoległościanu z płaszczyzną;

rozwinąć umiejętność analizowania, porównywania, uogólniania i wyciągania wniosków;

rozwijanie umiejętności samodzielnego działania uczniów i umiejętności pracy w grupie.

Sprzęt: rzutnik, tablica interaktywna, ulotki.

Typ lekcji: lekcja uczenia się nowego materiału.

Metody i techniki wykorzystywane na lekcji: wizualne, praktyczne, problemowe, grupowe, elementy działalności badawczej.

I . Organizowanie czasu.

Nauczyciel ogłasza temat i cel lekcji (slajd numer 1 ).

II . Aktualizowanie wiedzy.

Nauczyciel: W trakcie odrabiania lekcji należało znaleźć punkty styku prostych i płaszczyzn, ślad płaszczyzny tnącej na płaszczyźnie ściany wielościanu. Skomentuj, co należy w tym celu zrobić.

(Uczniowie komentują pracę domową (slajdy nr 2-3 ).

Nauczyciel: Aby przejść do studiowania nowego tematu, przejrzyjmy materiał teoretyczny, odpowiadając na pytania:

Tak zwana płaszczyzna cięcia (slajd numer 4 )? (Uczniowie podają definicję.)

Tak zwany odcinek wielościanu (slajd numer 5 )? (Definicja została sformułowana.)

Co należy zrobić, aby skonstruować przekrój wielościanu przez płaszczyznę?

Konstruowanie przekroju sprowadza się do konstruowania linii przecięcia płaszczyzny przekroju i płaszczyzn ścian wielościanu.)

Czy konieczne jest, aby płaszczyzna przekroju przecinała płaszczyzny wszystkich ścian wielościanu?

Nauczyciel: Zróbmy trochę badań i odpowiedzmy na pytanie: „Jaką figurę można uzyskać w przekroju czworościanu lub równoległościanu przez płaszczyznę?”

(Uczniowie, pracując w grupach, szukają odpowiedzi na postawione pytanie.)

(Po kilku minutach formułują swoje założenia i rozpoczyna się demonstracjaslajdy 6 – 7 .)

Nauczyciel: Powtórzmy zasady, o których należy pamiętać przy konstruowaniu odcinków wielościanu (uczniowie zapamiętują i formułują niezbędne aksjomaty, twierdzenia, właściwości):

Jeżeli do płaszczyzny przecięcia i płaszczyzny jakiejś ściany wielościanu należą dwa punkty, to prosta przechodząca przez te punkty będzie śladem płaszczyzny przecięcia na płaszczyźnie ściany.

Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do prostej leżącej w pewnej płaszczyźnie i przecina tę płaszczyznę, to linia przecięcia tych płaszczyzn jest równoległa do tej prostej.

Kiedy dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z płaszczyzną cięcia, otrzymujemy linie równoległe.

Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do pewnej płaszczyzny, to te dwie płaszczyzny przecinają trzecią płaszczyznę wzdłuż prostych równoległych do siebie.

Jeżeli płaszczyzna przekroju i płaszczyzny dwóch przecinających się ścian mają wspólny punkt, to leży on na linii zawierającej wspólną krawędź tych ścian.

Nauczyciel: Znajdź błędy w tych rysunkach, uzasadnij swoje stwierdzenie (slajdy8-9 ).

Nauczyciel: Tak więc, chłopaki, przygotowaliśmy podstawy teoretyczne do nauki konstruowania odcinków wielościanów z płaszczyzną, w szczególności odcinków czworościanu i równoległościanu. Większość zadań wykonacie samodzielnie, pracując w grupach, dlatego każdy z Was ma karty pracy z pustymi rysunkami wielościanów, na których będzie budować przekroje. W razie potrzeby możesz zasięgnąć porady nauczyciela lub starszej osoby w grupie.

Dlatego zwracamy uwagępierwsze zadanie : ( slajd numer 10 ) skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez dane punktyM, N, K. (Przekrój okazuje się trójkątem, sprawdź -slajd numer 11 .)

Nauczyciel: Rozważmydrugie zadanie : Biorąc pod uwagę czworościanDABC. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyznąMNK, JeśliMDC, NOGŁOSZENIE, KAB. ( Slajd nr 12 )

(Rozwiąż zadanie z klasą, komentując konstrukcję.)

( Zadanie nr 3 – samodzielna praca w grupach (slajd nr 14 ). Badanie -slajd numer 15 .)

Zadanie nr 4 : Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyznąMNK, GdzieMIN– środek żeberABIPNE. ( slajd numer 16 ). (Sprawdzićslajd nr 17 .)

Nauczyciel : Przejdźmy do dalszej części lekcji. Rozważmy problem konstruowania odcinków równoległościanu przez płaszczyznę. Odkryliśmy, że gdy równoległościan jest podzielony przez płaszczyznę, może powstać trójkąt, czworokąt, pięciokąt lub sześciokąt. Zasady konstruowania sekcji są takie same. Sugeruję przejście do kolejnego problemu, który rozwiążesz samodzielnie.

(Wykazanoslajd nr 18 )

Problem nr 5

Skonstruuj przekrój równoległościanuABCDA 1 B 1 C 1 D 1 samolotMNK, JeśliMAA 1 , Nnocleg ze śniadaniem 1 , KCC 1 . (Sprawdzićslajd numer 19 ).

Problem nr 6 : ( Slajd numer 20 ) Skonstruuj odcinek równoległościanuABCDA 1 B 1 C 1 D 1 samolotWOM, Jeśli P, T, Onależą odpowiednio do krawędzi AA 1, BB 1, SS 1.

(Rozwiązanie jest omawiane, uczniowie konstruują przekrój na poszczególnych arkuszach i notują postęp budowy (slajd numer 21 ).)

TO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL– wymagana sekcja.

Zadanie nr 7: (slajd nr 22) Skonstruuj odcinek równoległościanu z płaszczyznąKMN, JeśliKA 1 D 1 , N, MAB.

Rozwiązanie: (slajd numer 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

PO POŁUDNIU;

NE II PK; KF II MN;

FE

MPKFENżądaną sekcję.

Zadania kreatywne (karty według opcji):

W regularnej trójkątnej piramidzieSABC przez wierzchołek C iśrodek żebraSNarysuj odcinek piramidy równoległy doS.B.. Punkt znajduje się na krawędzi ABFtak, że AF: FB=3:1. Przez punktFIśrodek żebraSLinię prostą poprowadzono od C. Czy ta linia będzierównolegle do płaszczyzny przekroju?

AB 1 Z -przekrój prostokątnego równoległościanu ABCDA 1 W 1 Z 1 D 1. Przez punkty E,F, K, które są odpowiedniośrodek żeberDD 1 , A 1 D 1 , D 1 C 1 odbyła się druga część.Udowodnić, że trójkąty EFK i AB 1 Cpodobne i zainstalujjakie kąty tych trójkątów są sobie równe?

Podsumowanie lekcji: Zapoznaliśmy się więc z zasadami konstruowania odcinków czworościanu i równoległościanu, sprawdziliśmy rodzaje przekrojów i rozwiązaliśmy najprostsze problemy przy konstruowaniu przekrojów. Na następnej lekcji będziemy kontynuować studiowanie tematu i przyglądać się bardziej złożonym problemom.

Podsumujmy teraz lekcję, odpowiadając na nasze tradycyjne pytania (slajd numer 24 ):

„Lekcja podobała mi się (nie podobała mi się), ponieważ…”

„Dzisiaj na zajęciach dowiedziałem się…”

"Chcę..."

(Ocena za lekcję.)

Praca domowa: paragraf 14 nr 105, 106. (slajd numer 25 )

Zadanie dodatkowe do nr 105 : Znajdź stosunek, w którym płaszczyznaMNKdzieli krawędźAB, JeśliCN : ND = 2:1, B.M. = lekarz medycynyi okresK– środek środkowejglintrójkątABC.

(Zakończ zadanie twórcze.)

Na tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). Rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu, stosując ogólną metodę konstruowania przekrojów.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Zagadnienia konstrukcji przekrojów czworościanu

Jak zbudować czworościan? Weźmy dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D, nie leżącego w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone tą powierzchnią są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
A,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, PNE., BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, BDC, ADC - twarze czworościanu.

Komentarz: można brać na płasko ABC za podstawa czworościanu, a następnie wskaż D Jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB- to jest przecięcie płaszczyzn ABD I ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek A leży w płaszczyznach ABC, ABD, ADZ. Kropka A jest przecięciem trzech wyznaczonych płaszczyzn. Fakt ten zapisano w następujący sposób: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, czworościan to powierzchnia utworzona przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Z 6 zapałek utwórz 4 równe trójkąty. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A jest to łatwe do zrobienia w kosmosie. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będą cztery równe trójkąty. Problem jest rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, kropka N należy do krawędzi czworościanu WD i okres R należy do krawędzi DZ(ryc. 2.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy ścianę czworościanu DSłońce. Z tej strony N I P należą do twarzy DSłońce, a zatem czworościan. Ale zgodnie z warunkiem punktu N., P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, NP- jest to linia przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzna twarzy DSłońce i płaszczyzna cięcia. Załóżmy, że linie proste NP I Słońce nie równolegle. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłońce. Znajdźmy punkt przecięcia linii NP I Słońce. Oznaczmy to mi(ryc. 3.).

Ryż. 3. Rysunek problemu 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na prostej NP i linię prostą NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Wskaż także mi leży w samolocie ABC, ponieważ leży na prostej Słońce wyjść z samolotu ABC.

Rozumiemy to JEŚĆ- linia przecięcia płaszczyzn ABC I MNP, od punktów mi I M leżą jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC I MNP. Połączmy kropki M I mi i jedź dalej prosto JEŚĆ do przecięcia z linią AC. Punkt przecięcia linii JEŚĆ I AC oznaczmy Q.

Więc w tym przypadku NPQМ- wymagana sekcja.

Ryż. 4. Rysunek problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, kiedy NP równoległy PNE.. Jeśli prosto NP równolegle do jakiejś linii, na przykład linii prostej Słońce wyjść z samolotu ABC, potem prosto NP równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Żądana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą NP, równolegle do płaszczyzny ABC, i przecina płaszczyznę po linii prostej MQ. Zatem linia przecięcia MQ równolegle do linii NP. Dostajemy NPQМ- wymagana sekcja.

Kropka M leży na boku ADW czworościan ABCD. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Płaszczyzna cięcia φ równolegle do płaszczyzny ABC zgodnie z warunkiem oznacza to, że ten samolot φ równolegle do linii AB, AC, Słońce.
W samolocie ABD przez punkt M zróbmy bezpośredni PQ równoległy AB(ryc. 5). Prosty PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R zróbmy bezpośredni PR równoległy AC. Mam rację R. Dwie przecinające się linie PQ I PR samolot PQR odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB I AC samolot ABC, czyli samoloty ABC I PQR równoległy. PQR- wymagana sekcja. Problem jest rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt na ścianie czworościanu ABD. N- punkt wewnętrzny odcinka DZ(ryc. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać ten problem, zbudujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech będzie prosto DM przecina w punkcie prostą AB DO(ryc. 7.). Następnie, SKD- to jest fragment samolotu DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamstwa i prosto N.M. i wynikową linię prostą SK. Więc jeśli N.M. nie równolegle SK, to w pewnym momencie się przetną R. Kropka R i pojawi się pożądany punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 7. Rysunek problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DZ(ryc. 8.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N I R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia prosta MN nie jest równoległy do ​​płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samoloty ABC. O to chodzi DO, uzyskuje się to za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. my robimy DM i mamy punkt F. Wykonujemy CF i na skrzyżowaniu MN zdobywamy punkt DO.

Ryż. 9. Rysunek problemu 5. Znalezienie punktu K

Zróbmy bezpośredni KR. Prosty KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak i w płaszczyźnie ABC. Zdobycie punktów P 1 I R2. Złączony P 1 I M i jako kontynuacja rozumiemy sedno M 1. Łączenie kropki R2 I N. W rezultacie otrzymujemy pożądaną sekcję Р 1 Р 2 NM 1. W pierwszym przypadku problem został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia prosta MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę ABC wzdłuż jakiejś linii prostej R 1 R 2, potem prosto R 1 R 2 równolegle do danej linii MN(ryc. 10.).

Ryż. 10. Rysunek problemu 5. Wymagana sekcja

Teraz narysujmy linię prostą R1 M i mamy punkt M 1.Р 1 Р 2 NM 1- wymagana sekcja.

Przyjrzeliśmy się więc czworościanowi i rozwiązaliśmy kilka typowych problemów z czworościanem. W następnej lekcji przyjrzymy się równoległościanowi.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalizowany)

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :il. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego obejmujący pogłębioną i specjalistyczną naukę matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak skonstruować przekrój czworościanu. Matematyka ().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Rozwiązuj w domu zadania na temat „Czworościan”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA czworościan MAVS. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty PNE I mi.

3. W czworościanie MABC punkt M należy do ściany AMV, punkt P należy do ściany BMC, punkt K należy do krawędzi AC. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, R, K.

4. Jakie kształty można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu z płaszczyzną?