Dowodliwe metody twierdzeń. Budowanie dowodów matematycznych

Udowodnij wszelkie zatwierdzenie - Oznacza to pokazać, że to oświadczenie logicznie wynika z systemu prawdziwych i powiązanych stwierdzeń.

Dowód - Jest to logiczna operacja, w tym procesie, którego prawda o wszelkich zatwierdzeniu jest uzasadniona innymi prawdziwymi i powiązanymi oświadczeniami. W tym celu zbudowany jest ostateczny łańcuch konkluzji, a zakończenie każdego z nich (z wyjątkiem tego ostatniego) jest paczką w jednym z następujących wniosków.

Prawa podstawowe Logic.:

1. Prawo tożsamości. Każda myśl, powtarzająca się w rozumowaniu, powinna być identyczna dla siebie.

Prawo tożsamości oznacza, że \u200b\u200bw procesie rozumowania niemożliwe jest zastąpienie jednej myśli o innej, jednej koncepcji innych. Niemożliwe jest wydanie identycznych myśli na różne i inne - dla identyczne.

2. Prawo jest nie sprzeczna.Oświadczenie i jej zaprzeczenie nie mogą być jednocześnie prawdziwe; Przynajmniej jeden z nich jest zdecydowanie fałszywy.

Jeśli w myśleniu (i mowie) znajduje się formalna sprzeczność logiczna, wtedy takie myślenie jest uważane za złe, a wyrok, z którego przepływy sprzeczności są uważane za fałszywe.

3. Prawo wyłączenia trzeciego.Dwóch sprzecznych stwierdzeń o tym samym temacie - prawdziwie, a drugi jest fałszywy, trzeci nie jest podany.

4. Prawo wystarczającej fundamentu.Każde prawdziwe oświadczenie musi być uzasadnione za pomocą innych stwierdzeń, której prawda jest udowodniona.

Jeśli chodzi o dowód matematyczny, konieczne jest:

¾, aby mieć oświadczenie, którego prawda musi być udowodniona;

¾ Aby zrozumieć, że dowód jest łańcuchem wniosków dedukcyjnych; Jest realizowany zgodnie z zasadami i prawami logiki;

¾ Zrozum, jakie inne prawdziwe stwierdzenia mogą być używane w procesie dowodowym.

Zgodnie z metodą prowadzenia dowodów bezpośrednich i pośrednich.

Bezpośredni dowód zatwierdzenia A B jest budową łańcucha wniosków dedukcyjnych konsekwentnie wykonywanych z zgodności z przepisami i przepisami logiki oraz przy użyciu systemu oświadczenia, którego prawda jest wykazana.

(Jeśli czworokątne są trzy kąt proste, to jest prostokąt)

Przykład pośrednich dowodów Jest dowodem przez metodę paskudnej. Istota jest następująca. Niech musi udowodnić twierdzenie A. Wraz z dowodem metody z drugiej, zakłada się, że zawarcie twierdzenia (C) jest fałszywe, a zatem jego zaprzeczenie jest prawdziwe. Dołączenie propozycji w połączeniu z prawdziwymi działkami stosowanymi w procesie dowodów (wśród których warunek A) jest zbudowany przez łańcuch wniosków dedukcyjnych, dopóki zatwierdzenie jest sprzeczne z jednym z paczek, a w szczególności warunek A.

(A + 3\u003e 10, a następnie ¹7)

Bilet 15 Koncepcja zgodności między zestawami. Metody ustawiania zgodności. Wzajemnie - jednoznaczna zgodność. Równe zestawy. Przykłady dopasowania (w tym wzajemnie - jednoznaczne).

Dajemy przykład korzystania z niekompletnej indukcji w pracy z przedszkolakami: Korzystanie z gry "Wspaniałe etui" z wolumetrycznymi kształtami geometrycznymi, zadaniem dziecka: "Zdobądź figurę i nazwę". Po kilku próbach dziecko składa założenie:

Piłka. Piłka. Piłka. Tutaj prawdopodobnie wszystkie kulki.

Zadanie 14.

Zaoferować dodatkowe rozumowanie, aby upewnić się, że uzyskane zatwierdzenie jest prawdziwe.

Nie można przecenić znaczenia dowodów w naszym życiu, a zwłaszcza w nauce. Wszystko jest uciekane do dowodów, ale nie zawsze myślę o tym, co to znaczy "udowodnić *. Praktyczne umiejętności dowodowe i intuicyjne pomysły są wystarczające do wielu celów krajowych, ale nie dla nauki.

Aby udowodnić, że każde oświadczenie jest pokazanie, że ta logiczna oświadczenie logicznie wynika z systemu prawdziwych i powiązanych stwierdzeń.

Dowód jest logiczną obsługą uzasadnienia prawdy o wszelkich zatwierdzeniu z innymi prawdziwymi i powiązanymi oświadczeniami.

Trzy elementy konstrukcyjne wyróżniają się na dowodzie:

1) sprawdzone twierdzenie;

2) system prawdziwych twierdzeń, z pomocą, której prawda sprawdzonego jest uzasadniona;

3) Połączenie logiki między PP. 1 i 2.

Głównym sposobem na dowody matematyczne jest wyjście dedukcyjne.

W ich formie dowód- Jest to zakończenie dedukcyjne lub łańcuchy wniosków dedukcyjnych prowadzących z prawdziwych paczek do oświadczenia dowodowego.

W dowodzie matematycznym jest ważna jest kolejność pobudzenia. Zgodnie z metodą utrzymania wyróżniania bezpośrednie i pośrednie dowody. Bezpośredni dowód odnosi się do pełnej indukcji, której kwestia poszła do pkt 1.6.

Pełna indukcja - Sposób dowodów, w których prawda zatwierdzenia następuje z jego prawdy we wszystkich przypadkach specjalnych.

Pełna indukcja Często jest używany w grach z preschoolers typem: "Nazwa w jednym słowie".

Przykład bezpośrednich dowodów oświadczenia "Suma kątów w dowolnym czworoboku wynosi 360 °":

"Rozważ dowolną czworokąt. Po wydaniu przekątnej w nim otrzymujemy 2 trójkąty. Suma kątów czworobronu będzie równa sumie kątów dwóch utworzonych trójkątów. Ponieważ suma kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180 °, a następnie po składaniu 180 ° i 180 °, otrzymujemy sumę narożników w dwóch trójkątach, będzie to 360 °. W związku z tym ilość kątów w dowolnym czworoboku wynosi 360 ", co było wymagane do udowodnienia."

Poniższe konkluzje można wyróżnić w powyższym dowodzie:

1. Jeśli figura jest czworokątna, to w nim możesz narysować przekątną, która przerywa czworokąt o 2 trójkąty. Ta figura jest czworobokiem. W związku z tym można go podzielić na 2 trójkąty, budując przekątną.

2. W każdym trójkącie suma kątów jest równa ISO. "Dane dane trójkątów. W konsekwencji suma kątów każdego z nich wynosi 180 °.

3. Jeśli czworobok składa się z dwóch trójkątów, suma jego narożników jest równa sumie kątów tych trójkątów. Ten czworobok składa się z dwóch trójkątów z rogami 180 °. 180 ° + 180O \u003d 360 °. W związku z tym suma kątów w tym czworoboku wynosi 360 °.

Wszystkie wymienione wnioski są dokonywane zgodnie z zasadą opinii, dlatego dedukcyjne.

Przykładem dowodów pośrednich jest dowód metody z paskudnej. W ten przypadek jest dozwolony Wniosek ten jest fałszywy, dlatego jego zaprzeczenie jest prawdziwe. Mocując tę \u200b\u200bpropozycję do agregatu prawdziwych paczek, rozumowanie jest przeprowadzane, dopóki nie otrzymają sprzeczności.

Dajemy przykład dowodów od przeciwnego twierdzenia: "Jeśli dwa bezpośrednie ale i b równolegle do trzeciej prostej C, to są równoległe do siebie ":

"Załóżmy, że bezpośredni ale i b. Nie równoległy, wówczas będą krzyżować w pewnym momencie, nie należący do linii prostej. Potem dostajemy to przez punkt A, możesz spędzić dwa proste i b, równolegle. Jest to sprzeczne z aksjomatem równoległości: "Pod względem

8. Słowo zasady definicji środowiska wykonawczego i różnica gatunków.

9. Jaką jest określenie:

Kontekstowy;

Ostense?

10. Co to jest oświadczenie, a jaka jest twoja forma?

11. Kiedy sugestie gatunków "A i B", "A lub B", "AND A" są prawdziwe, a kiedy są fałszywe?

12. Wymień kwantyfikaty wspólnotowych i kwantyfikatorów istnienia. Jak ustawić wartość prawdy propozycji z różnymi kwantyfikatorami?

13. Kiedy istnieje związek między propozycjami, a gdy jest stosunek równoważności? Jak są wyznaczone?

14. Co to jest wniosek? Jaki wniosek jest nazywany dedukcyjnym?

15. Zapis za pomocą symboli reguły wniosku, zasada zaprzeczania, zasady slogizmu.

16. Jakie konkluzje nazywają się niepełną indukcją, a jakie są wnioski analogiczne?

17. Co to znaczy udowodnić jakieś oświadczenie?

18. Jakie są dowody matematyczne?

19. Podaj definicję pełnej indukcji.

20. Co to jest sofizmy?

Opis bibliograficzny: Grigoriev K.v., Ochirova A. B. Saragov A. A., Barlukova S. S., Muchkayev G. M. Różnorodność metod matematycznych dowodów // młody naukowiec. - 2017. - №1. - P. 45-46..03.2019).



Mówiąc o dowodzie, w życiu codziennym, mamy na myśli weryfikację formułowanej homologacji. Bezpośrednio w matematyce, koncepcje i dowód są różne w istocie, chociaż noszą relacje.

Udowodnijmy, że jeśli trzech kąt w czworoboku wynosi 90 stopni, taki czworokąt jest prostokątem.

Rozważ czworokąt, który ma trzy kąt równy 90 stopni. Będziemy mierzyć czwarty róg i znajdziemy jego stopień. Doszliśmy do wniosku, że będzie również bezpośredni. Ten rodzaj weryfikacji potwierdza to oświadczenie, ale nie jest dowodem.

Aby udowodnić to zatwierdzenie, konieczne jest rozważenie dowolnego czworoboku, który ma trzy kątowy równy 90⁰. Ponieważ w dowolnym wypukłym czworoboku suma kątów wynosi 360⁰, dlatego pożądany kąt wynosi 90⁰ (360⁰ - 90 ° * 3). Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie narożniki bezpośrednio. Więc to czworokąt będzie prostokątem. co było do okazania

Znaczenie dowodu dowodu jest następną sekwencją prawdziwych oświadczeń: twierdzenia, aksjomatów, definicji, które logicznie podążają za twierdzeniem, które należy udowodnić. Aby udowodnić, że oświadczenie jest pokazanie, że to oświadczenie logicznie wynika z wielu prawdziwych i powiązanych stwierdzeń.

W przypadku, gdy rozważanie rozważenia logicznie wynika z udowodnionych zarzutów, jest uzasadniona i prawdziwa. Podstawą dowodów matematycznych jest metoda dedukcyjna. I sam dowód działa jako łańcuch konkluzji, a zawarcie każdego z nich, oprócz tego ostatniego, jest paczką w jednym z następujących wniosków.

Poniższe konkluzje można przydzielić na dowodzie:

- w dowolnym wypukłym czworoboku suma narożników wynosi 360⁰; Liczba ta jest zatem wypukłym czworokątem, suma kątów w IT 360⁰;

- Jeśli znana jest suma wszystkich kątów czworokątnej i sumę trzech z nich, odejmowanie można znaleźć ilość czwartej; Suma wszystkich kątów tego czworoboku wynosi 360 °, suma trzech 270⁰ (90 ° C3 \u003d 270⁰), a następnie określając ich różnicę, znajdziemy pożądany kąt równy 90⁰;

- Jeśli w czworogłoście wszystkie narożniki są bezpośrednie, to czworokąt jest prostokąt; W naszym przypadku, w czworoboku, wszystkie narożniki są bezpośrednim, dlatego jest prostokąt.

Wszyscy uważane wnioski są wykonane zgodnie z zasadą opinii, a zatem są dedukcyjne.

Najprostszym dowodem składa się z jednego wniosku. Na przykład jest to dowód stwierdzenia, który 5

Biorąc pod uwagę strukturę dowodów matematycznych, rozumiemy, że przede wszystkim obejmuje oświadczenie, które są udowodnione, a system prawdziwych twierdzeń, dzięki któremu prowadzone jest dowód.

Ważne jest również, aby pamiętać, że dowód matematyczny nie jest tylko zestawem wniosków, ale wnioski zlokalizowane w określonej kolejności.

Zgodnie z metodą prowadzenia dowodów bezpośrednich i pośrednich. Dowody wcześniej rozpatrywane są bezpośrednio powiązane - w nim, oparte na oddzielnej prawdziwej propozycji i uwzględniając warunki twierdzenia, podłączony jest łańcuch wniosków dedukcyjnych, które bezpośrednio doprowadziły do \u200b\u200bprawdziwego wniosku.

Jako przykład dowodów pośrednich dowód jest dowodem metody z paskudnej. Istotność tego polega na następujący sposób: niech będzie to konieczne, aby udowodnić twierdzenie A ⇒ V. W dowodzie sposobu z drugiej, zakłada się, że zawarcie twierdzenia (C) jest fałszywe, a zatem jego odmowa będzie prawdziwa. Mocowanie wniosku "Nie w" do kombinacji prawdziwych działek stosowanych w procesie dowodowym (wśród których stan A) prowadzi się przez łańcuch wniosków dedukcyjnych, dopóki nie otrzymamy stwierdzenia sprzecznego z jedną z paczek, a w szczególności stan A. Ustalona jest tylko taka sprzeczność, proces dowodu jest zakończony i przekonuje się, że wynikowa sprzeczność świadczy prawdę o twierdzeniu A ⇒ w.

Zadanie 1. Udowodnij, że jeśli x + 2\u003e 10, x ≠ 8. Metoda jest przeciwna.

Zadanie 2. Udowodnij, że jeśli U² jest numerem, a następnie Y - nawet. Metoda z paskudnej.

Zadanie 3. Istnieją cztery kolejne liczby naturalne. Czy to prawda, że \u200b\u200bprodukt średniej liczby tej sekwencji jest większa niż produkt ekstremalnych na 2? Metoda niepełnej indukcji.

Pełna indukcja to ta metoda dowodów, w której prawda zatwierdzenia wynika z jego prawdy we wszystkich przypadkach specjalnych.

Zadanie 4. Udowodnij, że każda kompozytowa liczba naturalna, większa niż 4, ale mniejsza 20, reprezentuje w formie sumy dwóch prostych numerów.

W ten sposób dowód matematyczny jest rozumowaniem, aby uzasadnić prawdę o wszelkich zatwierdzeniu (twierdzeniu), łańcuchu logicznych wniosków, pokazując, że z zastrzeżeniem prawdy o pewnym zestawie aksjomom i zawarciu, zatwierdzenie jest prawdziwe.

Literatura:

1. Geometria / 7-9 Zajęcia: Studia. Na edukację ogólną. Instytucje / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev]. - 21 ed. - m.: Oświecenie, 2011.

Wykład 10. Metody dowodów matematycznych

1. Metody dowodów matematycznych

2. Dowody bezpośrednie i pośrednie. Dowód przez metodę paskudnej.

3. Podstawowe wnioski

W życiu codziennym często, kiedy mówią o dowodach, mają na myśli tylko weryfikację zatwierdzenia. W matematyce sprawdzanie i dowód to różne rzeczy, choć połączone. Niech, na przykład, jest to wymagane, aby udowodnić, że jeśli w czworokątnym trzech rogach są bezpośrednio, to jest prostokąt.

Jeśli weźmiemy czworokąt, który ma trzy kąt prosty, a mierząc czwarty, upewnij się, że jest naprawdę prosty, to sprawdzenie sprawi, że to zatwierdzenie bardziej wiarygodne, ale jeszcze nie udowodnione.

Aby udowodnić to stwierdzenie, rozważ dowolną czworokątę, w której trzy rogi są bezpośrednim. Ponieważ w dowolnym wypukłą czworokąt suma kątów wynosi 360⁰, to jest 360 °. Suma trzech kątów bezpośredniej wynosi 270 ° (90⁰ 3 \u003d 270⁰), a oznacza to, czwarty ma wartość 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Jeśli wszystkie narożniki czworoboku są proste, w konsekwencji jest prostokąt, ten czworokąt będzie prostokątem. co było do okazania

Należy pamiętać, że istotą dowodu dowodu jest budowanie takiej sekwencji prawdziwych oświadczeń (twierdzenia, aksjomów, definicji), z których należy zaproponować logicznie zatwierdzenie.

W ogóle udowodnij każde oświadczenie - oznacza pokazanie, że to oświadczenie logicznie wynika z systemu prawdziwych i powiązanych stwierdzeń.

W Logic uważa się, że jeśli zatwierdzenie zgodnie z rozważaniem logicznie wynika z już udowodnionych twierdzeń, jest to rozsądne, a także prawdziwe, a także ostatnie.

Tak więc podstawą dowodów matematycznych jest zakończeniem dedukcyjnym. A sam dowód jest łańcuchem wniosków, a zawarcie każdego z nich (z wyjątkiem tego ostatniego) jest paczką w jednym z następujących wniosków.

Na przykład, w powyższym dowodzie, można wyróżnić następujące wnioski:

1. W dowolnym wypukaniu czworoboku suma kątów wynosi 360 °; Liczba ta jest zatem wypukłym czworokątem, suma kątów w IT 360⁰.

2. Jeżeli znana jest suma wszystkich kątów czworokątnej i suma trzech z nich, odejmowanie można znaleźć ilość czwartej; Suma wszystkich kątów tego czworoboku wynosi 360 °, suma trzech 270⁰ (90⁰ 3 \u003d 270⁰), a następnie wielkość czwartej 360⁰ - 270⁰ \u003d 90⁰.

3. Jeśli w czworoboku wszystkie narożniki są bezpośrednie, to czworokąt jest prostokąt; W tym czworobocznym, wszystkie narożniki są bezpośrednie, dlatego jest prostokąt.

Wszystkie wymienione wnioski są dokonywane zgodnie z zasadą opinii, a zatem są dedukcyjne.

Najprostszym dowodem składa się z jednego wniosku. Na przykład jest to dowód stwierdzenia, który 6< 8.

Tak więc, mówiąc o strukturze dowodów matematycznych, musimy zrozumieć, że obejmuje przede wszystkim oświadczenie, które jest udowodnione, oraz system prawdziwych stwierdzeń, z pomocą tego dowodu.

Należy również zauważyć, że dowody matematyczne to nie tylko zestaw wniosków, są one wnioski zlokalizowane w określonej kolejności.

Zgodnie z metodą utrzymywania (w formie) rozróżniają bezpośredni i pośredni dowodem. Wcześniej rozpatrywany był bezpośrednio - w nim, oparty na niektórych prawdziwych zdaniu i, biorąc pod uwagę stan twierdzenia, zbudowano łańcuch wniosków dedukcyjnych, co doprowadziło do prawdziwego wniosku.

Przykładem dowodów pośrednich jest dowód metoda z passasty . Istota jest następująca. Niech wymaga udowodnienia twierdzenia

A ⇒ V. W dowodzie sposobu z odwrotu zakłada się, że wniosek twierdzenia (C) jest fałszywy, a zatem jego zaprzeczenie jest prawdziwe. Dołączenie wniosku "Nie w" do zestawu prawdziwych działek stosowanych w procesie dowodów (wśród których warunek A) jest zbudowany przez łańcuch dedukcyjnego wniosków, dopóki oświadczenie jest sprzeczne z jedną z paczek, aw szczególności, warunku O. Ustalona jest tylko taka sprzeczność, proces dowodowy wykończy i mówią, że wynikowa sprzeczność okazuje prawdę o twierdzeniu

Zadanie 1. Udowodnij, że jeśli A + 3\u003e 10, a następnie ≠ 7. Metoda jest przeciwna.

Zadanie 2. Udowodnij, że jeśli x² jest numerem, X - nawet. Metoda z paskudnego.

Zadanie 3. Istnieją cztery kolejne liczby naturalne. Czy to prawda, że \u200b\u200bprodukt średniej liczby tej sekwencji jest bardziej pracą ekstremalnej na 2? Metoda niepełnej indukcji.

Pełna indukcja - Jest to metoda dowodu, w której prawda zatwierdzenia wynika z prawdy we wszystkich przypadkach specjalnych.

Zadanie 4. Udowodnij, że każda kompozytowa liczba naturalna, większa niż 4, ale mniejsza 20, reprezentuje w formie sumy dwóch prostych numerów.

Zadanie 5 Czy to prawda, że \u200b\u200bjeśli liczba Naturalna N nie jest maksymalna 3, to wartość ekspresji N² + 2 więcej razy 3? Metoda pełnej indukcji.

W broszurze języki przystępne w języku opisano niektóre z podstawowych zasad, na których buduje się nauka matematyki: koncepcja dowodów matematycznych różni się od koncepcji dowodów przyjętych w innych naukach iw codziennym życiu, co Najprostsze zastosowania dowodów stosuje się w matematyce, jako ideę idei "właściwego" dowodu, że taka metoda aksjomatyczna wynika z różnicy między prawdą a dowodem.
Dla bardzo szerokiego kręgu czytelników, począwszy od uczniów szkół średnich.

Matematyka i dowody.
Nawet nieznany człowiek matematyki, biorąc książkę w matematyce, może z reguły, natychmiast określać, że ta książka jest rzeczywiście w matematyce, a nie dla innego obiektu. I to nie tylko, że na pewno będzie wiele formuł: istnieją formuły w obu księgach w fizyce, na astronomii lub w budynkach mostowych. Faktem jest, że w każdej poważnej książce w matematyce jest z pewnością istnieją dowody. Jest to gruntowność stwierdzeń matematycznych, że obecność dowodów w tekstach matematycznych jest to, że wyraźnie wyróżnia się matematyką z innych obszarów wiedzy.

Pierwsza próba pokrycia pojedynczego traktatu wszystkie matematyki wzięło starożytnego greckiego euclide matematyk w III wieku do naszej epoki. W rezultacie pojawił się słynny "początek" Euclida. A druga próba odbyła się tylko w XX wieku. E., a ona należy do francuskiej matematyki Nikol Burbaki, która rozpoczęła się w 1939 r., Aby opublikować traktat wielojęzyczny "rozpoczął matematykę". Ta fraza otwiera bomby jego traktat: "Od czasów Greków" Matematyka "mówi, oznacza to powiedzieć" dowód ". Tak więc "matematyka" i "dowód" - te dwa słowa są zadeklarowane prawie synonimy.

Spis treści
Matematyka i dowody
Na dokładności i niewspółmierności terminów matematycznych
Dowody przez metodę interakcji
Pośrednie dowody istnienia. Zasada Dirichle.
Dowód "Od odwrotnego"
Zasady największej i najmniejszej i metody nieskończonej zejścia
Indukcja
Dowody przez indukcję matematyczną
Pełna indukcja i niekompletna indukcja
Idea dowodów matematycznych zmienia się w czasie.
Dwie metody aksjomatyczne - nieformalne i formalne
Nieformalna metoda aksjomatyczna
Formalna metoda aksjomatyczna
Twierdzenie Gödel.

Bezpłatne pobieranie e-book w wygodnym formacie, zobacz i czytaj:
Pobierz książkę Najprostsze przykłady dowodów matematycznych, USPENSKY V.A., 2009 - filesKachat.com, szybkie i bezpłatne pobieranie.