Jak obliczany jest prawdopodobieństwo. Klasyczna formuła obliczeniowa prawdopodobieństwa

Stowarzyszenie (Logiczne) N Wydarzenia Zadzwoń na wydarzenie który obserwuje się za każdym razem co najmniej jeden zwydarzenia . W szczególności stowarzyszenie wydarzeń A i B nazywają wydarzeniem ZA.+ B. (w niektórych autorach
), który obserwuje się, kiedy twarzowylub ZAlub B.lub Oba te wydarzenia w tym samym czasie(Rys. 7). Znak przecięcia w formulacjach tekstowych wydarzeń jest Unia "lub".

Figa. 7. Kombinacja zdarzenia A + B

Należy pamiętać, że prawdopodobieństwa zdarzenia p (a) odpowiadają jako lewej części zacienionego na FIG. 7 kształtów i jego centralna część oznaczona jako
. I wyniki odpowiadające zdarzeniu B znajdują się zarówno po prawej stronie zacienionej figury, jak iw zaznaczonej
Środkowa część. Tak więc podczas dodawania i plac zabaw
naprawdę wprowadzić tę kwotę dwa razy, a dokładne wyrażenie dla obszaru zacienionego
.

Więc, prawdopodobieństwo unii Dwa wydarzenia A i B są równe

Aby uzyskać większą liczbę zdarzeń, ogólna ekspresja rozliczeniowa staje się niezwykle nieporęczna ze względu na konieczność uwzględnienia wielu opcji wzajemnych obszarów nakładających się. Jednakże, jeśli zjednoczone wydarzenia są niekompletne (patrz str. 33), wzajemne nałożenie obszarów jest niemożliwe, a korzystna strefa określa się bezpośrednio przez sumę obszarów odpowiadających poszczególnych zdarzeń.

Prawdopodobieństwo stowarzyszenie arbitralne numery nie-łóżkawydarzenia określone przez wyrażenie

Counterary 1.: Pełna grupa wydarzeń składa się z niekompletnych zdarzeń, z których jeden z doświadczenia jest koniecznie wdrażane. W rezultacie, jeśli wydarzenia. …
,formuj pełną grupęPotem dla nich

W ten sposób,

Zice 3. Bierzemy pod uwagę, że przeciwne oświadczenie "stanie się przynajmniej jednym z wydarzeń …
"To oświadczenie" żadne z wydarzeń …
nie zaimplementowano. " Te, innymi słowy, wydarzenia będą obserwowane w doświadczeniu. , JA. , i i "Jakie jest przecięcie zdarzeń przeciwnych do oryginalnego zestawu. Stąd, biorąc pod uwagę (2 .0), aby połączyć dowolną liczbę zdarzeń, które otrzymujemy

Corollary 2, 3 Pokaż, że w przypadkach, gdy natychmiastowe obliczenie prawdopodobieństwa niektórych zdarzeń jest problematyczne, przydatne jest ocenę rozważenia czasu badania zdarzeń dla niego. W końcu wiedząc
, dostać się z (2 .0) żądanej wartości
nie reprezentuje już żadnej pracy.

1. Przykłady obliczania prawdopodobieństw złożonych zdarzeń

Przykład 1. : Dwóch studentów (Ivanov i Petrov) razemprzeniesiony, aby chronić pracę laboratoryjną, po uczenia się pierwszego 8 condostępne pytania w trolę na 10 dostępnych. Sprawdzanie gotowości,stacja Duty ustawia każdy tylko jedenh Rastically wybrano pytanie. Określ prawdopodobieństwo następujących wydarzeń:

ZA. \u003d "Ivanov będzie chronić pracę laboratoryjną";

B. \u003d "Petrov ochroni pracę laboratoryjną";

DO. \u003d "Oba chronią pracę laboratoryjną";

RE. \u003d "Przynajmniej jeden ze studentów będzie chronić pracę";

MI. \u003d "Tylko jeden ze studentów będzie chronić pracę";

FA. \u003d "Żaden z nich nie będzie ochronić pracy".

Decyzja. Zauważ, że zdolność do ochrony pracy taka jak Ivanov, TaK i Petrov oddzielnie są określane tylko przez liczbę rozwiniętych problemów, poetaw. . (Uwaga: W tym przykładzie wartości uzyskanych frakcji świadomie nie zmniejszyły się, aby uprościć porównanie wyników obliczeń.)

ZdarzenieDO. Możliwe jest sformułowanie w przeciwnym razie, jak "praca będzie chroni zarówno Ivanov, jak i Petrov", tj. zdarzyći zdarzenieZA., i zdarzenieB.. Tak więc wydarzenieDO. Jest to skrzyżowanie wydarzeńZA. iB.i zgodnie z (2 .0)

gdzie rozpoczął się "7/9" z powodu faktu, że wydarzeniaZA. Oznacza to, że Ivanovo ma "udane" pytanie, co oznacza, że \u200b\u200bPetrov z pozostałych 9 pytań ma teraz tylko 7 "dobrych" problemów.

ZdarzenieRE. oznacza, że \u200b\u200b"praca będzie chronilub Ivanov,lub Petrov.lub Oboje są razem ", tj. zdarzy się przynajmniej jednym z wydarzeńZA. iB.. Więc wydarzenieRE. Jest to stowarzyszenie wydarzeńZA. iB.i zgodnie z (2 .0)

co pasuje do oczekiwań, ponieważ Nawet dla każdego z uczniów indywidualnie, szanse na sukces są dość duże.

Zcertyfikat E oznacza "Praca chroni Iwanow i Petrov "P",lub Ivanov będzie nieudanyplusy i Petrov z ochroną będą radzić sobie. " Dwie alternatywne opcje wzajemnie wykluczają (niekompletne), dlatego

Wreszcie oświadczenieFA. Okazuje się sprawiedliwe tylko wtedy, gdy "i Ivanov,i Petrov z ochronąnie Chract. " Więc,

W tym problemie zadanie jest zakończone, jednak przydatne jest zanotowanie następujących punktów:

1. Każda z uzyskanych prawdopodobieństw spełnia warunek (1,0),o Jeśli za
i
uzyskać konflikts. (1.0) Zasadniczo jest niemożliwe, a następnie
próba I.użyj (2 .0) zamiast (2 .0) prowadziłoby do oczywiście nieprawidłowejwartość nieruchomości
. Ważne jest, aby pamiętać, że taka wartość prawdopodobieństwa jest zasadniczo niemożliwa, a po otrzymaniu takiego wyniku paradoksowania, natychmiast przebiega do wyszukiwania błędu.

2. Znaleziono prawdopodobieństwa spełniające relacjem.

.

MI.to jest całkiem spodziewane, ponieważ WydarzeniaDO., MI. iFA. Forma pełnauU Group i wydarzeniaRE. iFA. przeciwny sobie nawzajem. Księgowość dla nichmożna stosować relacje z jednej stronywang do rekompectowanych obliczeń, aw innej sytuacji może służyć jako podstawa alternatywnego sposobu rozwiązania problemu.

P. rometer : Nie zaniedbuj pisemnej fiksacjidokładne brzmienie zdarzenia, w przeciwnym razie, w trakcie rozwiązywania problemu, można mimowolnie przenieść się do innej interpretacji znaczenia tego wydarzenia, co pociąga za sobą błąd w rozumowaniu.

Przykład 2. : W dużej partii, mikrokiriuchach, które nie przeszły kontroli jakości wyjściowej, 30% produktów jest uszkodzony.Jeśli musisz wybrać dowolne dwa żetony z tej partii, to coprawdopodobieństwo jest wśród nich:

ZA. \u003d "Zarówno odpowiednie";

B. \u003d "Dokładnie 1 odpowiedni układ";

DO. \u003d "Zarówno uszkodzony".

Przeanalizujmy następującą opcję rozumowania (PRZESTROGA, zawiera błąd):

Ponieważ rozmawiamy o głównej partii produktów, wycofanie go z niej przez kilka żetonów praktycznie nie wpływa na stosunek liczby odpowiednich i wadliwych produktów, a zatem, wybierając kilka razy z rzędu Niektóre mikrociąki z tej strony może Uważaj, że w każdym z przypadków pozostają niezmienione prawdopodobieństwem

= P.(Wybrano wadliwy produkt) \u003d 0,3 i

= P.(Wybrany produkt produkcyjny) \u003d 0,7.

Na imprezyZA. muszą byći pierwszy,i Po raz drugi został wybrany produkt twierdzący, a zatem (biorąc pod uwagę niezależność siebie sukcesu wyboru pierwszego i drugiego chipa), aby przejść przez wydarzenia

Podobnie, w przypadku wystąpienia zdarzenia, konieczne jest, aby oba produkty są uszkodzone, a do uzyskania b jest konieczne, aby wybrać antenalny raz, a jeden jest wadliwy produkt.

Znak błędu. H.jon Wszystkie powyższe prawdopodobieństwai wyglądają wiarygodne, gdy są wspólnie analizują, łatwo jestzmień to .Jednak przypadkiZA., B. iDO. Forma pełnanależy wykonać grupę wydarzeń .Ta sprzeczność wskazuje na jakiś błąd w rozumowaniu.

Z popieraj błędy. Przedstawiamy dwie zmiany do rozważeniawydarzenia Lion.:

\u003d "Pierwszy układ - odpowiedni, drugi - uszkodzony";

\u003d "Pierwszy układ jest uszkodzony, drugi - odpowiedni".

Oczywiście jednak ta opcja jest wykorzystywana powyżej, została użyta do uzyskania prawdopodobieństwa zdarzenia.B., Choć wydarzenia.B. i nie są E.quivalent.. Tak właściwie,
dlatego SformułowaniewydarzeniaB. wymaga dokładnie wśród żetonówjeden , ale w ogóleniekoniecznie pierwszy Było odpowiedni (a drugi był uszkodzony). Dlatego też zdarzenie nie do rozwiązań wydarzeń i należy wziąć pod uwagęoglądać niezależnie. Biorąc pod uwagę niekompletność wydarzeń i , Prawdopodobieństwo ich logicznej ilości będzie równe

Po określonej korekcji obliczeń mamy

co pośrednio potwierdza poprawność znalezionego prawdopodobieństwa.

Uwaga : Zwróć szczególną uwagę w przeciwieństwie do brzmienia tylko zdarzeń typupierwszy Z wymienionych elementów powinien ... "i" tylkojeden z elementów wymienionychedytniki powinny ... ". Ostatnie wydarzenie jest wyraźnie szersze i włączająct.w swojej kompozycji jest pierwsza, ponieważ jedna z (być może licznax) Opcje. Te alternatywne opcje (nawet z zbieżnością ich prawdopodobieństwa) należy uznać niezależnie od siebie.

P. rometer : Słowo "procent" wydarzył się z "za. cENT."I.e."Sto". Reprezentacja częstotliwości i prawdopodobieństwa w procentach pozwala działać z większymi wartościami, które czasami upraszcza postrzeganie wartości "na rozprawie". Jednak do użycia w obliczeniach prawidłowej normalizacji, mnożenia lub podziału na "100%" kłopotliwe i nieefektywnie. W tym względzie nieabby podczas korzystania z wartości, wspomnijzapytany jako procent, zastąpić ich w wyrażeniach rozliczeniowychtak samo w postaci frakcji od jednego (na przykład, 35% w obliczeniach jest rejestrowanyja "0,35"), aby zminimalizować ryzyko błędnej normalizacji wyników.

Przykład 3. : Zestaw rezystorów zawiera jeden rezystor4 com, trzy rezystory do 8 com i sześć opóroR z oporem 15 com. Wybrane Rapids Trzy rezystory są podłączone do siebie równolegle. Określ prawdopodobieństwo uzyskania ostatecznego oporu nieprzekraczającego 4 COM.

Solidny . Równoległe odporność na połączenieistorow można obliczyć według formuły

.

Pozwala to na wejście na wydarzenie, takie jak

ZA. \u003d "Wybrano trzy rezystory do 15 COM" \u003d "
”;

B. \u003d "B.dwa rezystory do 15 com i jeden z oporemm 8 com "\u003d"
”…

Kompletna grupa wydarzeń odpowiadających warunkom problemu obejmuje kolejną liczbę opcji i jest to dokładnie takisiffliers odpowiadają zaawansowanym wymogiem oporu nie więcej niż 4 COM. Jednak, chociaż "prosta" ścieżka decyzji, która zakłada obliczenia (i kolejne kwotyprawdopodobieństwa charakteryzujące wszystkie te wydarzenia i są poprawne, jest niepraktyczne w taki sposób.

Zauważ, że otrzymanie końcowej rezystancji mniejszej niż 4 comrównież w celu użycia co najmniej jednego rezystora z oporemjeść mniej niż 15 com. Tak więc tylko w przypadkuZA. Wymóg zadania nie jest wykonywany, tj. zdarzenieZA. to A.naprzeciwko w ramach studiów. Jednak,

.

W ten sposób, .

P. r. etykietka : Trzymanie prawdopodobieństwa jakiegoś wydarzeniaZA., nie zapomnij analizować intensywności pracy definicjijestem prawdopodobieństwem wydarzeń do niego odwrotnie. Jeśli Russ. Russ.czytać
Łatwe, to z tego należy uruchomićzadaniaUkończenie stosowania relacji (2 .0).

P. rymer 4. : W pudełku są dostępnen. Białym. Czarny I.k. Czerwone kulki. Kulki jeden po drugim losowo są wyodrębnione z pudełkai wrócił z powrotem po każdej ekstrakcji. Określ prawdopodobieństwowydarzeniaZA. \u003d "Biała piłkazostanie ekstrahowany wcześniej niż czarny” .

Solidny . Rozważ następujący zestaw wydarzeń

\u003d "Biała piłka ekstrahowana przy pierwszej próbie";

\u003d "Początkowo czerwona piłka została wykonana, a potem - biała";

\u003d "Dwa razy odwrócił czerwoną piłkę, a po raz trzeci - biały”…

Więc K.kulki AK są zwracane, a następnie sekwencjęyyte. Może być formalnie nieskończenie przedłużony.

Wydarzenia te są niespójnościami i stanowią zestaw sytuacji, w których występuje zdarzenieZA.. W ten sposób,

Jest łatwo zauważyć, że składniki składników są utworzonepostęp geometryczny. z elementem początkowym
i mianownik
. Ale sumyi elementy nieskończonego progresji geometrycznego są równe

W ten sposób, . L.myśląc, że to prawdopodobieństwo (w następujący sposób od uzyskanegotH Expression) nie zależy od liczby czerwonych kulek w pudełku.

W gospodarce, a także w innych dziedzinach działalności człowieka lub natury, stale muszą radzić sobie z wydarzeniami, których nie można dokładnie przewidzieć. Zatem sprzedaż towarów zależy od popytu, który można znacznie się zmienić i z wielu innych czynników, które są praktycznie nierealistyczne. Dlatego przy organizowaniu produkcji i sprzedaży konieczne jest przewidywanie wyniku takich działań na podstawie ich własnych wcześniejszych doświadczeń lub podobnego doświadczenia z innymi ludźmi lub intuicją, która jest w dużej mierze oparta na doświadczonych danych.

Aby w jakiś sposób oszacować rozważane zdarzenie, konieczne jest uwzględnienie lub specjalnie zorganizowanie warunków, w których rejestrowane jest to zdarzenie.

Wdrożenie pewnych warunków lub działań w celu zidentyfikowania rozważanego zdarzenia doświadczenie lub eksperyment.

Wydarzenie jest nazywane losowyJeśli w wyniku doświadczenia może wystąpić lub się nie zdarza.

Wydarzenie jest nazywane niezawodnyJeśli koniecznie wydaje się w wyniku tego doświadczenia i niemożliwyJeśli nie może pojawić się w tym doświadczeniu.

Na przykład, utrata śniegu w Moskwie 30 listopada to przypadkowe wydarzenie. Codzienny wschód słońca można uznać za niezawodne wydarzenie. Utrata śniegu na równiku można oglądać jako wydarzenie niemożliwe.

Jednym z głównych zadań w teorii prawdopodobieństwa jest zadaniem określania ilości ilościowej możliwości zdarzenia.

Imprezy algebry.

Wydarzenia nazywane są niekompletne, jeśli nie można ich zaobserwować w tym samym doświadczeniu. Tak więc obecność dwóch i trzech samochodów w jednym sklepie na sprzedaż jednocześnie to dwa niepełne wydarzenia.

Suma Wydarzenia nazywane są wydarzeniem polegające na pojawieniu się przynajmniej jednego z tych zdarzeń.

Jako przykład, ilość zdarzeń można nazwać obecnością w sklepie co najmniej jeden z dwóch produktów.

Praca Wydarzenia nazywane są wydarzeniem polegające na jednoczesnym wyglądzie wszystkich tych wydarzeń.

Wydarzenie polegające na pojawieniu w tym samym czasie w sklepie dwóch produktów jest praca wydarzeń: - jeden produkt - pojawienie się innego produktu.

Wydarzenia tworzą pełną grupę zdarzeń, jeśli przynajmniej jeden z nich nastąpi w doświadczeniu.

Przykład. Port ma dwie kuszące do odbierania naczyń. Można rozważyć trzy wydarzenia: - brak statków w kuszetach jest obecność jednego naczynia od jednej z kuszetrów - obecność dwóch statków w dwóch berths. Te trzy wydarzenia tworzą pełną grupę wydarzeń.

Naprzeciwko Dwa tylko możliwe wydarzenia tworzące pełną grupę są nazywane.

Jeśli jeden z zdarzeń, które są przeciwne do wyznaczania, przeciwne zdarzenie jest zwykle oznaczone przez.

Klasyczna i statystyczna identyfikacja prawdopodobieństwa zdarzenia

Każda z wyników testów równowagi (eksperymenty) nazywany jest elementarnym wynikiem. Zazwyczaj są oznaczone literami. Na przykład gra gra do gry. Elementarne wyniki mogą być sześć przez liczbę punktów na krawędziach.

Z podstawowych wyników możesz wykonać bardziej złożone wydarzenie. Zatem zdarzenie utraty równej liczby punktów jest określone przez trzy wyniki: 2, 4, 6.

Ilościowa miara możliwości pojawienia się rozważanego wydarzenia jest prawdopodobieństwo.

Najbardziej rozpowszechnione otrzymało dwie definicje wydarzenia: klasyczny i statystyczny.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z koncepcją korzystnego wyniku.

Exodus jest nazywany korzystny To wydarzenie, jeśli jego wygląd pociąga za sobą wystąpienie tego wydarzenia.

W powyższym przykładzie, zdarzenie jest nawet liczbą punktów na upadłej twarzy, ma trzy faworyzowany wynik. W takim przypadku znany jest również ogólnemu
Liczba możliwych wyników. Tak więc możesz użyć klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia.

Klasyczna definicja.równa się stosunku liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby możliwych wyników

gdzie - prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczba wyników sprzyjających wydarzenia - całkowita liczba możliwych wyników.

W badanym przykładzie

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa jest związana z koncepcją względnej częstotliwości zdarzenia w eksperymentach.

Względna częstotliwość zdarzenia jest obliczana przez wzór

gdzie - liczba zdarzeń w serii z eksperymentów (testy).

Definicja statystyczna. Prawdopodobieństwo zdarzenia nazywa się numerem względem, do którego stabilizuje (zestaw) częstotliwości względnej z nieograniczonym wzrostem liczby eksperymentów.

W praktycznych zadaniach częstotliwość względna jest przyjmowana na prawdopodobieństwo zdarzenia z wystarczająco dużą liczbą testów.

Z tych definicji prawdopodobieństwa wydarzenie widać, że nierówność jest zawsze wykonywana.

Aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie wzoru (1.1), wzory kombinatoryczne są często używane, co jest liczbą ulubionego wyniku i całkowitej liczby możliwych wyników.

Temat 1. . Klasyczna formuła obliczeń prawdopodobieństwa.

Główne definicje i formuły:

Eksperyment, którego wynik jest niemożliwy do przewidzenia, zadzwoń losowy eksperyment. (SE).

Zdarzenie, które w tym SE może wystąpić, i może się nie zdarzyć zdarzenie losowe.

Efekty podstawowe Wydarzenia połączeń spełniające wymagania:

1. We wszystkich wdrażaniu SE, jeden i jedyny wynik podstawowy występuje;

2. Wydarzenie jest jakąś kombinację, jakiś zestaw podstawowych wyników.

Zestaw wszystkich możliwych podstawowych wyników w pełni opisuje SE. Takie akceptowane przestrzeń podstawowych wyników (Pei). Wybór Pei do opisania tego SE jest niejednoznaczny i zależy od rozwiązania zadania.

P (a) \u003d n (a) / n,

gdzie n jest całkowitą liczbą wyników równowagi,

n (a) - liczba wyników tworzących wydarzenie A, jak mówią, sprzyjającej wydarzeniu A.

Słowa "Mindach", "losowe" i losowo gwarantują równowagę podstawowych efektów.

Rozwiązywanie typowych przykładów.

Przykład 1. Z URN zawierający 5 czerwonych, 3 czarne i 2 białe kulki, hipoteka usuwa 3 kulki. Znajdź prawdopodobieństwa wydarzeń:

ALE - "Wszystkie ekstrahowane kulki są czerwone";

W - "Wszystkie ekstrahowane kulki - jeden kolor";

Z - "Wśród ekstrahowanych dokładnie 2 czarny".

Decyzja:

Elementaryczny wynik tego SE jest potrójną (nieuporządkowaną!) Kulki. Dlatego całkowita liczba wyników jest liczba kombinacji: n \u003d\u003d 120 (10 \u003d 5 + 3 + 2).

Zdarzenie ALE Składa się tylko z tych potrójnych, które zostały usunięte z pięciu czerwonych piłek, tj. n (a) \u003d\u003d 10.

Zdarzenie W Oprócz 10 czerwonych potrójnych, czarne wojska są faworyzowane, z których liczba jest równa \u003d 1. Dlatego: N (b) \u003d 10 + 1 \u003d 11.

Zdarzenie Z Wierzchołki kulki zawierające 2 czarne i nie są czarne, są korzystne. Każdy sposób na wybranie dwóch czarnych kulek można połączyć z wyborem jednego nie czarnego (siedmiu). Dlatego: N (c) \u003d \u003d 3 * 7 \u003d 21.

Więc: R (a) = 10/120; P (b) = 11/120; P (c) = 21/120.

Przykład 2. Zgodnie z warunkami poprzedniego zadania zakładamy, że kule każdego koloru mają ich numerowanie, począwszy od 1. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń:

RE. - "Maksymalna wyekstrahowana liczba wynosi 4";

MI. - "Maksymalna wyekstrahowana liczba wynosi 3".

Decyzja:

Aby obliczyć N (D), możemy założyć, że w Urn znajduje się jedna piłka z numerem 4, jedną piłką z dużą liczbą i 8 kulami (3K + 3H + 2b) z mniejszymi numerami. Zdarzenie RE. Obsługuje trzy trzy kulki, które muszą zawierać piłkę z numerem 4 i 2 kulkami z mniejszymi numerami. Dlatego: n (d) \u003d

P (d) \u003d 28/120.

Do obliczania N (e) rozważamy: w Urn Dwie kule z liczbą 3, dwie z dużą liczbą i sześcioma kulkami o mniejszych liczbach (2K + 2H + 2b). Zdarzenie MI. Składa się z trzech typów potrójnych:

1. Jedna piłka z numerem 3 i dwiema z mniejszymi numerami;

2. Piłka z numerem 3 i jedną z mniejszą liczbą.

Dlatego: n (e) \u003d

P (e) \u003d 36/120.

Przykład 3. Każda z m różnych cząstek pędzi do jednej z nowych komórek. Znajdź prawdopodobieństwa wydarzeń:

ALE - wszystkie cząstki wszedł do drugiej komórki;

W - wszystkie cząstki dostały się do jednej komórki;

Z - Każda komórka zawiera nie więcej niż jedna cząstka (m £ n);

RE. - Wszystkie komórki są zajęte (m \u003d N +1);

MI. - Druga komórka zawiera płynnie do Cząstki.

Decyzja:

Dla każdej cząstki istnieją metody N, aby dostać się do jednej lub innej komórki. Zgodnie z główną zasadą kombinatorii cząstek M, mamy N * N * N * ... * N (M-Time). Więc całkowita liczba wyników w tej SE n \u003d n m.

Dla każdej cząstki mamy jedną możliwość wejścia do drugiej komórki, dlatego N (A) \u003d 1 * 1 * ... * 1 \u003d 1 m \u003d 1 i p (A) \u003d 1 / n m.

Aby dostać się do jednej komórki (wszystkie cząstki) oznacza, aby dostać się do wszystkich w pierwszej kolejności lub do wszystkich w drugim, lub itd. Wszystko w n-. Ale każda z tych opcji można zrealizować w jedną stronę. Dlatego N (b) \u003d 1 + 1 + ... + 1 (N-) \u003d N i P (C) \u003d N / N M.

Zdarzenie za pomocą oznacza, że \u200b\u200bkażda cząstka ma wiele sposobów umieszczenia jednostki mniejszej niż poprzedniej cząstki, a pierwsza może dostać się do dowolnej z n W związku z tym:

n (c) \u003d n * (n -1) * ... * (N + M -1) i P (C) \u003d

W konkretnym przypadku w m \u003d n: p (s) \u003d

Zdarzenie D oznacza, że \u200b\u200bjedna z komórek zawiera dwie cząstki, a każdy z pozostałych komórek (N-1) zawiera jedną cząstkę. Aby znaleźć n (d) kłócić się w ten sposób: Wybierz komórkę, w której pojawią się dwie cząstki, można to zrobić \u003d n sposoby; Następnie wybierz dwie cząstki do tej komórki, istnieją sposoby na to. Po tym pozostałe (N -1) cząstki będą rozprowadzane na jeden do pozostałych komórek (N -1), dla tego istnieje (N-1)! sposoby.

Więc n (d) \u003d

.

Numer N (e) można obliczyć w następujący sposób: do Cząstki dla drugiej komórki mogą być metodami, które pozostałe (M - K) są rozmieszczone losowo w komórce (N-1) komórki (N -1) M-do metodach. W związku z tym:

"Wypadek nie jest przypadkowy" ... Brzmi, że filozof powiedział, ale w rzeczywistości, aby zbadać przypadkowość Wielkiej Science Matematyki. W matematyce jest zaangażowana szansa na teorię prawdopodobieństwa. Wzory i przykłady zadań, a także główne definicje tej nauki zostaną przedstawione w artykule.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych, które badają losowe zdarzenia.

Aby być nieco wyraźniejszym, dajemy niewielki przykład: Jeśli wyrzuciłeś monetę, może upaść "Eagle" lub "szeroki". Podczas gdy moneta znajduje się w powietrzu, obie te prawdopodobieństwa są możliwe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji koreluje 1: 1. Jeśli wyciągniesz jeden z pokładu z 36 kartami, prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydaje się, że nie ma nic do zbadania i przewidzenia, zwłaszcza z pomocą matematycznych formuł. Jeśli jednak wielokrotnie powtórzysz pewną akcję, możliwe jest określenie pewnej regularności i opiera się na nim, aby przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Jeśli uogólnimy wszystkie powyższe, teoria prawdopodobieństwa w klasycznym zrozumieniu zbadania możliwości jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Z stron historii

Teoria prawdopodobieństwa, formuł i przykładów pierwszych zadań pojawiło się w odległości średniowiecza, gdy po raz pierwszy spróbował przewidzieć wynik gier karcianych po raz pierwszy.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Uzasadnione z empirycznymi faktami lub właściwościami wydarzenia, które można odtworzyć w praktyce. Pierwsza praca w tej dziedzinie jak w dyscyplinie matematycznej pojawiła się w XVII wieku. Pascal i Pierre Farm były szczotką niż blazery. Przez długi czas studiowali hazard i widzieli pewne wzorce, które postanowili powiedzieć społeczeństwu.

Ta sama technika została wymyślona przez Huygens Christans, choć nie znał wyników studiów Pascala i gospodarstwa. Koncepcja "teorii prawdopodobieństwa", formuł i przykładów, które są uważane za pierwsze w historii dyscypliny, zostały wprowadzone przez nich.

Jacob Bernoulli, Laplas i theoremy mają ważne znaczenie. Wykonali teorię prawdopodobieństwa bardziej jak dyscyplina matematyczna. Jego obecny pogląd na teorię prawdopodobieństw, wzorami i przykładami podstawowych zadań uzyskano dzięki aksjomomowi Kolmogorov. W wyniku wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z sekcji matematycznych.

Podstawowe koncepcje teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Główną koncepcją tej dyscypliny jest wydarzenie. Wydarzenia są trzy gatunki:

• Niezawodny. Te, które będą wystąpić w każdym przypadku (moneta spadnie).
• Niemożliwy. Wydarzenia, które nie zdarzają się z żadnym (moneta pozostanie wisząca w powietrzu).
• Losowy. Te, które pojawią się lub nie zdarzają. Mogą wpływać na różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monetę, a następnie czynniki losowe, które mogą wpływać na wynik: charakterystyki fizyczne monet, jego kształt, początkową pozycję, siłę rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach są oznaczone przez kapitałowe litery łacińskie, z wyjątkiem p, który przypisuje inną rolę. Na przykład:

• A \u003d "studenci przyszli do wykładu".
• Ā \u003d "uczniowie nie poszli do wykładu".

W zadaniach praktycznych wydarzenia są akceptowane do nagrywania słów.

Jedną z najważniejszych cech wydarzeń jest ich równowaga. To znaczy, jeśli rzutujesz monetę, wszystkie opcje dla początkowej upadku są możliwe, dopóki nie spadnie. Ale także wydarzenia nie są równe. Dzieje się tak, gdy ktoś specjalnie wpływa na wynik. Na przykład, "oznaczone" karty do gry lub granie kości, w których przesuwa się środek ciężkości.

Nawet wydarzenia są kompatybilne i niezgodne. Kompatybilne wydarzenia nie wykluczają się nawzajem. Na przykład:

• A \u003d "Student przyszedł do wykładu".
• B \u003d "Uczeń przyszedł do wykładu".

Wydarzenia te są niezależne od siebie, a wygląd jednego z nich nie wpływa na pojawienie się innego. Niezgodne wydarzenia są określane przez fakt, że wygląd jednego eliminuje wygląd innego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, utrata "dania" uniemożliwia wydawanie "orzeł" w tym samym eksperymencie.

Działania na temat wydarzeń

Zdarzenia można pomnożyć i składać, odpowiednio, ligamenty logiczne "i" i "lub" są wprowadzane w dyscyplinie.

Kwota jest określona przez fakt, że pojawia się zdarzenie A lub B lub dwa jednocześnie. W przypadku, gdy są niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa, spada lub A lub V.

Mnożenie zdarzeń jest wyglądem w tym samym czasie.

Teraz możesz dać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i formuł. Przykłady rozwiązań zadań następnych.

Ćwiczenie 1.: Spółka bierze udział w konkursie na kontrakty na trzy odmiany pracy. Możliwe wydarzenia, które mogą wystąpić:

• A \u003d "Spółka otrzyma pierwszą umowę".
• I 1 \u003d "firma nie otrzyma pierwszej umowy".
• B \u003d "firma otrzyma drugą umowę."
• W 1 \u003d "firma nie otrzyma drugiej umowy"
• C \u003d "firma otrzyma trzecią umowę."
• Od 1 \u003d "Spółka nie otrzyma trzeciej umowy".

Korzystając z działań na temat wydarzeń, spróbujmy wyrazić następujące sytuacje:

• K \u003d "firma otrzyma wszystkie umowy."

W postaci matematycznej równanie będzie miała następującą formę: K \u003d ABC.

• M \u003d "Spółka nie otrzyma jednej kontraktu."

M \u003d a 1 w 1 s 1.

Uzupełnij zadanie: H \u003d "Spółka otrzyma jedną umowę". Ponieważ nie wiadomo dokładnie, jakiego rodzaju umowy otrzyma firmę (pierwszy, drugi lub trzeci), konieczne jest rejestrowanie całej gamy możliwych wydarzeń:

N \u003d A 1 Słońce 1 υ AV 1 C 1 υ A 1 w 1 C.

I 1 Sun 1 jest szeregiem wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszej i trzeciej kontraktu, ale otrzymuje drugą. Inne możliwe zdarzenia są rejestrowane przez odpowiednią metodę. Symbol υ w dyscyplinie wskazuje pakiet "lub". Jeśli przełożymy podany przykład języka ludzkiego, firma otrzyma lub trzeci umowę lub drugi lub pierwszy. Podobnie, inne warunki mogą być rejestrowane w dyscyplinie "Teoria prawdopodobieństwa". Formuły i przykłady rozwiązania przedstawionych powyżej zadań pomogą to samodzielnie.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej dyscyplinie matematycznej prawdopodobieństwo wydarzenia jest centralną koncepcją. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

• klasyczny;
• statystyczny;
• geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństw. Teoria prawdopodobieństwa, formuł i przykładów (stopień 9) służy głównie z klasyczną definicję, która brzmi tak:

• Prawdopodobieństwo sytuacji jest równe stosowności liczby wyników, które sprzyja jej wyglądowi, do liczby możliwych wyników.

Formuła wygląda tak: p (a) \u003d m / n.

A - właściwie wydarzenie. Jeśli sprawa pojawi się naprzeciwko A, może być napisana jako ā lub 1.

m jest liczbą możliwych przypadków korzystnych.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą wystąpić.

Na przykład A \u003d "Pociągnij kartę garnituru robaka." W standardowej 36 talii kart, 9 z nich robaków. W związku z tym formuła do rozwiązania zadania będzie:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że karta garnituru jest wyciągnięta z pokładu, będzie 0,25.

Do wyższej matematyki

Teraz stało się trochę znane, co teoria prawdopodobieństwa, formuł i przykładów rozwiązywania zadań, które spotykają się w programie szkolnym. Jednak prawdopodobieństwa teorii spotyka się w wyższej matematyce, która jest nauczana na uniwersytetach. Najczęściej jest obsługiwany przez definicje geometryczne i statystyczne teorii i złożonych formuł.

Bardzo ciekawa teoria prawdopodobieństwa. Formuły i przykłady (wyższa matematyka) Lepiej jest rozpocząć studia z małego ustalenia prawdopodobieństwa statystycznego (lub częstotliwości).

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z klasyk, a nieznacznie go rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, które wystąpi więcej zdarzenia, w tym sposobie konieczne jest wskazanie, jak często wystąpi. Tutaj wprowadzono nową koncepcję "częstotliwości względnej", która może być oznaczona przez w n (a). Formuła nie różni się od klasyka:

Jeśli klasyczna formuła jest obliczona dla przewidywania, a następnie statystyczna - zgodnie z wynikami eksperymentu. Weźmy na przykład niewielkie zadanie.

Dział kontroli technologicznych sprawdza produkty do jakości. Wśród 100 produktów znaleziono 3 niskiej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A \u003d "pojawienie się wysokiej jakości towarów".

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Tak więc częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Gdzie dostałeś 97? 100 produktów, które zostały sprawdzone, 3 okazało się słabą jakość. Od 100 obrotu 3 otrzymujemy 97, jest to ilość produktu.

Trochę o kombinatorii

Inną metodą prawdopodobieństwa nazywane jest kombinatoryką. Jego główną zasadą jest to, że jeśli pewny wybór A można przeprowadzić przez M na różne sposoby, a wybór b jest N na różne sposoby, a następnie wybór A i B można przeprowadzić przez pomnożenie.

Na przykład, z miasta i miasta w prowadzeniu 5 dróg. Z miasta do miasta z 4 sposobami. Ile sposobów można dojechać z miasta i do miasta?

Wszystko jest proste: 5x4 \u003d 20, to znaczy dwadzieścia na różne sposoby można osiągnąć z punktu A do punktu S.

Komplikować zadanie. Ile sposobów na świecce w Solitaire? W pokładzie kart 36 - jest to punkt wyjścia. Aby znaleźć liczbę sposobów, potrzebujesz z punktu początkowego, aby "odebrać" na tej samej mapie i pomnóż.

To znaczy, 36x35x34x33x32 ... X2X1 \u003d Wynik nie pasuje do ekranu Kalkulatora, dzięki czemu można go po prostu oznaczyć 36!. Znak "!" W pobliżu numeru wskazuje, że cała liczba liczb zmienia się ze sobą.

Kombinatoria przedstawia takie koncepcje jako permutacja, zakwaterowanie i kombinację. Każdy z nich ma własną formułę.

Zamówiony zestaw zestawów zestawów jest nazywany rozmieszczeniem. Umieszczenie może być z powtórzeniami, czyli jeden element może być kilka razy używany. I bez powtórzeń, gdy przedmioty nie są powtarzane. n to wszystkie elementy, m są elementy, które są zaangażowane w zakwaterowanie. Wzór do umieszczenia bez powtórzeń będzie:

A n m \u003d n! / (N-m)!

Związki z elementów N, które różnią się jedynie kolejnością umieszczenia, nazywają się permutacją. W matematyce ma formularz: p n \u003d n!

Kombajny z N Elementy na M nazywane są takimi związkami, w których ważne są, które elementy były i jakie jest ich suma. Formuła będzie wyglądać:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Formuła Bernoulli.

W teorii prawdopodobieństwa, jak również w każdej dyscyplinie, istnieją prace w dziedzinie naukowców, którzy przywieźli go na nowy poziom. Jednym z tych prac jest formuła Bernoulli, która umożliwia określenie prawdopodobieństwa określonego wydarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że pojawienie się w eksperymencie nie zależy od pojawienia się lub nie pojawiającego się tego samego zdarzenia w poprzednio przeprowadzonych lub kolejnych testach.

Równanie Bernoulli:

P n (m) \u003d c n × p m × q n-m.

Prawdopodobieństwo (p) wyglądu zdarzenia (a) jest niezmienione dla każdego testu. Prawdopodobieństwo, że sytuacja stanie się dokładnie M razy w N ilościach eksperymentów zostanie obliczona przez wzór, który jest przedstawiony powyżej. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć numer Q.

Jeśli wydarzenie występuje odpowiednio ile razy, może nie nadejść. Urządzenie jest liczbą, która ma być oznaczona przez wszystkie wyniki sytuacji w dyscyplinie. Dlatego Q jest liczbą, która oznacza możliwość niezakłatych zdarzeń.

Teraz znasz formułę Bernoulli (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania zadań (pierwszy poziom) rozważają dalej.

Zadanie 2: Odwiedzający sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. 6 odwiedzających odwiedziło sklep. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinien dokonać zakupu, jednego lub wszystkiego sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństwa przy użyciu formuły Bernoulli.

A \u003d "Gość dokonuje zakupu".

W tym przypadku: p \u003d 0,2 (jak wskazano w zadaniu). Odpowiednio, Q \u003d 1-0.2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (ponieważ sklep ma 6 odwiedzających). Numer M zmieni się od 0 (żaden kupujący dokonuje zakupu) do 6 (wszyscy odwiedzający zostaną zakupione). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Żaden z kupujących dokonuje zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak inaczej jest formuła Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązywania problemów (drugiego poziomu) Dalej.

Po powyższym przykładzie pojawią się pytania dotyczące dzielenia się w i r. W stosunku do numeru P do stopnia 0 będzie równy jednemu. Jeśli chodzi o C, można go znaleźć we wzorze:

C n m \u003d n! / M! (N-M)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie M \u003d 0, odpowiednio C \u003d 1, co w zasadzie nie wpływa na wynik. Korzystając z nowej formuły, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo zakupu towarów przez dwóch odwiedzających.

P 6 (2) \u003d C6 2 × P 2 × Q 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Nie tak złożone teorię prawdopodobieństwa. Formuła Bernoulliego, których przykłady przedstawiono powyżej, co jest bezpośrednio dowodem.

Formula Poisson.

Równanie Poissona służy do obliczania nieprawdopodobnych sytuacji losowych.

Podstawowa formuła:

P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).

W tym przypadku λ \u003d n x p. Jest to taki prosty formuła poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania zadań uważają dalej.

Zadanie 3.: Na fabryce wykonane części w ilości 100 000 sztuk. Pojawienie się wadliwej części \u003d 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 5 wadliwych części będzie na imprezie?

Jak widać, małżeństwo jest mało prawdopodobnym zdarzeniem i w związku z którym stosuje się formułę POISSON (teoria prawdopodobieństwa) do obliczenia. Przykłady tego rodzaju rozwiązywania tego rodzaju nie różnią się od innych zadań dyscypliny, w zmniejszonej formule zastępujemy niezbędne dane:

A \u003d "Losowo wybrany element będzie uszkodzony".

p \u003d 0,0001 (zgodnie z warunkami przypisania).

n \u003d 100000 (liczba części).

m \u003d 5 (wadliwe części). Zastępujemy dane w formule i otrzymujemy:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Oprócz formuły Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązań przy pomocą których są zapisywane powyżej, równanie Poissona ma nieznany E. W rzeczywistości można znaleźć w wzorze:

e -λ \u003d LIM N -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Istnieją jednak specjalne tabele, w których istnieją prawie wszystkie wartości.

MOAVOURAL Laplace Twierdzenie

Jeśli liczba testów w Bernoulli w programie Bernoulli i prawdopodobieństwa zdarzenia i we wszystkich programach jest taka sama, wówczas prawdopodobieństwo wydarzeń i pewnej liczby razy w serii testów można znaleźć jak Formula Laplace:

P n (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Aby lepiej pamiętać o formule Laplace (teoria prawdopodobieństwa), przykłady zadań, które pomogą poniżej.

Najpierw znajdziemy x m, zastępujemy dane (wszystkie są wskazane powyżej) we wzorze i otrzymują 0,025. Z pomocą tabel znajdziemy numer φ (0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz zastąpić wszystkie dane we wzorze:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Tak więc prawdopodobieństwo, że ulotka reklamowa będzie działać dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formula Bayes.

Formuła Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązywania zadań, z którymi pojawi się poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo wydarzenia, w oparciu o okoliczności, które mogą być związane z tym. Główna formuła ma następujący formularz:

P (a | b) \u003d p (w | a) x p (a) / p (c).

A i B są pewnymi wydarzeniami.

P (A | b) - warunkowe prawdopodobieństwo, że zdarzenie może wystąpić, pod warunkiem, że wydarzenie jest prawdziwe.

P (w | a) - warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia V.

Ostateczną częścią małego kursu "teoria prawdopodobieństwa" jest formułą Bayesa, przykłady rozwiązań zadań, z którymi poniżej.

Zadanie 5.: Magazyn przyniósł telefony z trzech firm. Jednocześnie część telefonów produkowanych w pierwszej instalacji wynosi 25%, w drugim - 60%, na trzecim - 15%. Wiadomo również, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugim - 4%, a na trzecim - 1%. Konieczne jest znalezienie prawdopodobieństwa, że \u200b\u200blosowo wybrany telefon będzie uszkodzony.

A \u003d "losowo telefon."

W pierwszym telefonie, który wykonał pierwszą fabrykę. W związku z tym pojawi się wprowadzenie w 2 i 3 (dla drugiego i trzeciego fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (w 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (w 2) \u003d 0,6; P (w 3) \u003d 0,15 - więc znaleźliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć warunkowe prawdopodobieństwo pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo uszkodzonych produktów w firmach:

P (A / in 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / w 2) \u003d 0,04;

P (A / w 3) \u003d 0,01.

Teraz zastąpimy dane w formule Bayesa i uzyskać:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

W artykule przedstawiono teorię prawdopodobieństwa, formuł i przykładów rozwiązywania problemów, ale jest to tylko wierzchołek lodowej rozległej dyscypliny. A po czym napisano, będzie logiczna, aby zapytać, czy potrzebna jest teoria prawdopodobieństwa w życiu. Trudno odpowiedzieć na prostą osobę, aby odpowiedzieć, lepiej zapytać o to, kto z jej pomocą nie złamał jack-potu.

Będą zadania dla niezależnego rozwiązania, do którego można zobaczyć odpowiedzi.

Ogólne ustawienie problemu: znane są prawdopodobieństwa pewnych zdarzeń i konieczne jest obliczenie prawdopodobieństwa innych zdarzeń związanych z tymi wydarzeniami. Zadania te powstają potrzebę takich działań prawdopodobieństw jako dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw.

Na przykład dwa strzały prowadzone na polowaniu. Zdarzenie ZA. - Kaczka spadają z pierwszego strzału, wydarzenia B. - trafienie z drugiego strzału. Następnie suma wydarzeń ZA. i B. - trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów.

Zadania innego typu. Na przykład jest kilka wydarzeń, moneta jest wyrzucana trzy razy. Wymagane jest znalezienie prawdopodobieństwa, że \u200b\u200bemblemat spadnie lub wszystkie trzy razy lub emblemat spadnie przynajmniej raz. Jest to zadanie mnożenia prawdopodobieństw.

Dodanie prawdopodobieństwa niepełnych zdarzeń

Dodawanie prawdopodobieństwa jest używane, gdy konieczne jest obliczenie prawdopodobieństwa łączenia lub logicznej sumy zdarzeń losowych.

Ilość wydarzeń ZA. i B. oznaczać ZA. + B. lub ZA. ∪ B.. Suma dwóch wydarzeń nazywa się wydarzeniem, które pojawia się, gdy pojawia się przynajmniej jeden z wydarzeń. To znaczy, że ZA. + B. - zdarzenie, które przychodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wystąpiło zdarzenie podczas obserwowania ZA.lub wydarzenie B.lub w tym samym czasie ZA.i B..

Jeśli wydarzenia. ZA.i B.wzajemnie niezgodne i ich prawdopodobieństwa są podane, wówczas prawdopodobieństwo, że w wyniku jednego testu wystąpi jeden z tych zdarzeń, obliczony przy użyciu dodania prawdopodobieństw.

Twierdzenie o prawdopodobieństwie prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo, że wystąpi jeden z dwóch wzajemnie niekompletnych zdarzeń, jest równy sumie prawdopodobieństwa tych zdarzeń:

Na przykład dwa strzały produkowane na polowaniu. Zdarzenie ALE - Kaczka spadają z pierwszego strzału, wydarzenia W- trafiony z drugiego strzału, wydarzenia ( ALE+ W) - trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów. Więc jeśli dwa wydarzenia ALEi W - Niekompletne zdarzenia, a następnie ALE+ W- początek co najmniej jednego z tych wydarzeń lub dwóch zdarzeń.

Przykład 1.W szufladzie 30 kulek tych samych rozmiarów: 10 czerwony, 5 niebieski i 15 białych. Oblicz prawdopodobieństwo, że bez szukania będzie brać kolor (nie biały) piłkę.

Decyzja. Zajmiemy to wydarzenie ALE- "Czerwona piłka jest zabierana", a wydarzenie W- "Błękitna piłka jest zabierana". Wtedy wydarzenie jest "brać kolor (nie biała) piłka". Znajdź prawdopodobieństwo wydarzenia ALE:

i wydarzenia. W:

Wydarzenia ALEi W - wzajemnie niekompatybilny, ponieważ jeśli zostanie wykonana jedna piłka, nie możesz wziąć kulek różnych kolorów. Dlatego używamy dodania prawdopodobieństw:

Prawdopodobieństwo dodawania twierdzenia dla wielu niepełnych zdarzeń. Jeśli zdarzenia tworzą kompletny zestaw zdarzeń, suma ich prawdopodobieństw wynosi 1:

Suma prawdopodobieństwa przeciwnych zdarzeń jest również równa 1:

Naprzeciwko wydarzeń tworzą kompletny zestaw zdarzeń, a prawdopodobieństwo kompletnego zestawu wydarzeń wynosi 1.

Prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych są zwykle oznaczone małymi literami. p. i p.. W szczególności,

co następuje następujące wzory, takie jak przeciwnie:

Przykład 2.Cel w desce rozdzielczej jest podzielony na 3 strefy. Prawdopodobieństwo, że pewna strzelca będzie strzelać w celu w pierwszej strefie wynosi 0,15, w drugiej strefie - 0,23, w strefie trzeciej - 0,17. Znajdź szansę, że strzelanka wpadnie w cel i prawdopodobieństwo, że strzelanka spadnie obok bramki.

Rozwiązanie: znajdziemy prawdopodobieństwo, że strzelanka wpadnie do celu:

Znajdziemy prawdopodobieństwo, że strzelec spadnie obok celu:

Zadania są bardziej kompleksowe, w których należy zastosować dodatek i mnożenie prawdopodobieństwami - na stronie "Różne zadania do dodawania i mnożenia prawdopodobieństw".

Dodanie prawdopodobieństwa wzajemnie wspólnych wydarzeń

Dwa losowe zdarzenia nazywane są złącze, jeśli początek jednego zdarzenia nie wyklucza początku drugiego zdarzenia w tej samej obserwacji. Na przykład podczas rzucania zdarzenia kości ALErozważany jest przerwanie numeru 4, a wydarzenie W- Utrata czytnika. Ponieważ numer 4 jest liczbą parzystą, te dwa zdarzenia są kompatybilne. W praktyce istnieją zadania na obliczanie prawdopodobieństwa występowania jednego z wzajemnie wspólnych zdarzeń.

Prawdopodobieństwo dodawania twierdzenia o imprezach wspólnych. Prawdopodobieństwo, że wystąpi jeden ze wspólnych wydarzeń, jest równy sumie prawdopodobieństw tych wydarzeń, z których potrącono prawdopodobieństwo ogólnego początku obu zdarzeń, czyli produkt prawdopodobieństw. Formuła prawdopodobieństwa wspólnych zdarzeń ma następującą formę:

Od wydarzeń ALEi W Kompatybilny, wydarzenie ALE+ Wprzychodzi, jeśli wystąpi jeden z trzech możliwych zdarzeń: lub Au.. Zgodnie z dodatkiem niekompletnych zdarzeń, obliczamy to:

Zdarzenie ALEprzyjdzie, jeśli wystąpi jeden z dwóch niespójnych wydarzeń: lub Au.. Jednak prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia z kilku niepełnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństwa wszystkich tych wydarzeń:

Podobnie:

Zastępowanie wyrażeń (6) i (7) w wyrażeniu (5) otrzymujemy formułę prawdopodobieństwa do wspólnych zdarzeń:

Podczas stosowania wzoru (8) należy pamiętać o tym wydarzenia ALE i Wmoże:

• wzajemnie niezależny;
• wzajemnie zależny.

Formuła prawdopodobieństwa do wzajemnie niezależnych zdarzeń:

Formuła prawdopodobieństwa dla wzajemnie zależnych zdarzeń:

Jeśli wydarzenia. ALEi Wniespójny, ich zbieg okoliczności jest niemożliwy przypadek, a zatem, P.(Ab) \u003d 0. Formuła czwartego prawdopodobieństwa dla niepełnych zdarzeń jest następująca:

Przykład 3.Na wyścigowym samochodowym po przyjeździe do pierwszego samochodu, prawdopodobieństwo wygranej, po przyjeździe w drugim samochodzie. Znaleźć:

• prawdopodobieństwo wygrają oba samochody;
• prawdopodobieństwo wygranej przynajmniej jednego samochodu;

1) Prawdopodobieństwo, że pierwszy samochód wygrany nie zależy od wyniku drugiego samochodu, więc wydarzenia ALE(Wygraj pierwszy samochód) i W (Drugi pojazd wygra) - niezależne wydarzenia. Znajdziemy prawdopodobieństwo, że obie samochody wygra:

2) Znajdziemy prawdopodobieństwo, że jeden z dwóch samochodów wygra:

Zadania są bardziej kompleksowe, w których należy zastosować dodatek i mnożenie prawdopodobieństwami - na stronie "Różne zadania do dodawania i mnożenia prawdopodobieństw".

Rozwiąż zadanie na dodanie prawdopodobieństw, a następnie zobacz decyzję

Przykład 4. Dwie monety pośpiechu. Zdarzenie ZA. - utrata herbu na pierwszej monecie. Zdarzenie B. - utrata herbu na drugą monetę. Znajdź prawdopodobieństwo wydarzeń DO. = ZA. + B. .

Mnożenie prawdopodobieństw

Mnożenie prawdopodobieństw Używać, gdy należy obliczyć prawdopodobieństwo logicznego produktu zdarzeń.

Jednocześnie przypadkowe wydarzenia powinny być niezależne. Dwa zdarzenia nazywane są wzajemnie niezależne, jeśli początek jednego wydarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego wydarzenia.

Prawdopodobieństwo twierdzenia mnożenia dla niezależnych zdarzeń. Prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych wydarzeń ALEi Wjest równy produktowi prawdopodobieństw tych zdarzeń i jest obliczany przez wzór:

Przykład 5.Moneta jest rzucana trzy razy z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że warstwa broni spadnie trzy razy.

Decyzja. Prawdopodobieństwo, że monety wypadnie z pierwszą monetą rzucającą, po raz drugi po raz trzeci. Znajdziemy prawdopodobieństwo, że emblemat spadnie trzy razy:

Rozwiązuj zadania dotyczące mnożenia prawdopodobieństw niezależnie, a następnie zobacz decyzję

Przykład 6. Jest pudełko z dziewięcioma nowymi piłkami tenisowymi. W przypadku gry weź trzy bramki, po tym, jak grę są odkładane. Wybierając kulki, gracze nie są wyróżniani od nie-krzeseł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trzech grach w pudełku nie pozostanie krzesła?

Przykład 7. 32 litery alfabetu rosyjskiego są napisane na okręgu alfabetu podzielonego. Pięć kart jest usuwany losowo po drugim i ułożone na stole w kolejności wyglądu. Znajdź prawdopodobieństwo, że sprawdził "koniec".

Przykład 8. Cztery karty są usuwane z pełnej talii map (52 arkuszy). Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie te cztery karty będą różne tekstury.

Przykład 9. To samo zadanie jest takie, że w przykładzie 8, ale każda karta po usunięciu powrót do pokładu.

Zadania są bardziej kompleksowe, w których należy stosować dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw, a także obliczyć produkt kilku zdarzeń - na stronie "Różne zadania do dodawania i mnożenia prawdopodobieństw."

Prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden z wzajemnie niezależnych zdarzeń występuje, można obliczyć, odejmując od 1 produktu prawdopodobieństwa przeciwnych zdarzeń, czyli o wzorze.