Jaki jest produkt wektora i jeśli. Grafika wektorowa wektory podane przez współrzędne

Kąt między wektory

Aby nam wprowadzić koncepcję produktu wektorowego dwóch wektorów, musisz najpierw zrozumieć koncepcję jako kąt między tymi wektory.

Daj nam dwa Vector $ overline (α) $ i $ Overline (β) $. Wymagaj w przestrzeni dowolnego punktu $ O $ i opublikuj wektory $ Overline (α) \u003d Overline (OA) $ i $ Overline (β) \u003d Overline (OB) $, a następnie $ AOB $ kąt będzie Nazywany kątem między tymi wektory (rys. 1).

Oznaczenie: $ ∠ (Nadmierna linia (α), Overline (β)) $

Koncepcja grafiki wektorowej i formuły

Definicja 1.

Produkt wektorowy z dwóch wektorów nazywany jest wektor, prostopadle do obu wektorów danych, a jej długość będzie równa produktowi tych wektorów z sine rogiem między wektory danych, a także ten wektor z dwoma inicjałami mają mocniejszą orientację , Podobnie jak Kartański układ współrzędnych.

Oznaczenie: $ Overline (α) X Overline (β) $.

Matematycznie, wygląda tak:

1. $ | Overline (α) x Overline (β) | \u003d | Overline (α) || Overline (β) | Sin\u2061∠ (Nadmierna linia (α), Nadmierne (β)) $
2. $ Overline (α) x Nadmierność (β) ⊥ Overline (α) $, $ Nadmierność (α) x Nadmierna (β) ⊥ Nadmierna (β) $
3. $ (Overline (α) x Nadmierna (β), Nadmierna linia (α), Nadmierna (β)) $ i $ (Nadmierna linia (I), Nadmierna (J), Overline (k)) $ Równie zorientowany (rys. 2)

Oczywiście produkt zewnętrzny wektorów będzie równy zerowy wektor w dwóch przypadkach:

1. Jeśli długość jednego lub obu wektorów jest zero.
2. Jeśli kąt między tymi wektorami będzie wynosił 180 $ ^ 9 $ lub $ 0 ^ Circ $ (jak w tym przypadku zatokę wynosi zero).

Aby wizualnie zobaczyć, jak znajduje się wektor wektory, rozważ następujące przykłady rozwiązania.

Przykład 1.

Znajdź długość wektora $ Overline (Δ) $, który będzie wynikiem produktu wektorowego wektory, z koordynatami $ Overline (α) \u003d (0.4.0) $ i $ Overline (β) \u003d (β) \u003d 3.0.0) $.

Decyzja.

Zdjęcia Wektory te w przestrzeni współrzędnej kartezjańskiej (rys. 3):

Rysunek 3. Wektory w przestrzeni współrzędnej kartezjańskiej. Autor24 - Student Internet Exchange

Widzimy, że te wektory leżą odpowiednio na osi $ OY OX i $ Oy $, odpowiednio. W związku z tym kąt między nimi wynosi 90 USD ^ Circ $. Znajdź długości tych wektorów:

$ | Overline (α) | \u003d sqrt (0 + 16 + 0) \u003d 4 USD

$ | Overline (β) | \u003d sqrt (9 + 0 + 0) \u003d 3 USD

Następnie z definicji 1 uzyskujemy moduł $ | overline (δ) | $

$ | Overline (δ) | \u003d | Overline (α) || Overline (β) | Sin90 ^ Circ \u003d 4 CDOT 3 CDOT 1 \u003d 12 $

Odpowiedź: 12 $ $.

Obliczanie sztuki wektorowej zgodnie ze współrzędnymi wektory

Z definicji 1 natychmiast przepływa i metoda znalezienia produktu wektorowego dla dwóch wektorów. Ponieważ wektor oprócz wartości ma również kierunek, niemożliwe jest znaleźć go tylko z wartością skalarną. Ale poza nim jest nadal sposób na znalezienie wektorów z tymi współrzędnymi.

Daj nam Vector $ Overline (α) $ i $ Nadmierna (β) $, która będzie miała współrzędne $ (α_1, α_2, α_3) $ i $ (β_1, β_2, β_3) $) $ (β_1, β_2, β_3) $). Następnie wektor pracy wektorowej (mianowicie, jego współrzędne można znaleźć zgodnie z następującym wzorem:

$ Overline (α) X Overline (β) \u003d Rozpocznij (vmatrix) Overline (i) Overline (j) & Nadmierna (k) α_1 α_2 α_3 β_1 & α_2 _3 end (vmatrix) $

W przeciwnym razie ujawniając determinant, otrzymujemy następujące współrzędne

$ Overline (α) X Overline (β) \u003d (α_2 β_3-α_3 β_2, α_3 β_1-α_1 β_3, α_1 β_2-α_2 β_1) $

Przykład 2.

Znajdź wektor zestaw wektorowych wektory Collinear $ Overline (α) $ i $ Overline (β) $ z współrzędnymi $ (0.3.3) $ i $ (- 1,2,6) $.

Decyzja.

Używamy formuły powyżej. Otrzymać

$ Overline (α) x Nadmierna (β) \u003d początek (vmatrix) Nadmierna (I) Nadmierna (j) & Nadmierna (k) 0 i 3 i 3 - 1 i 2 & 6 Koniec (VMATRIX) \u003d (18 -6) Nadmierna (I) - (0 + 3) Nadmierna (J) + (0 + 3) Overline (K) \u003d 12 Overline (I) -3 Overline (J ) +3 Overline (K) \u003d (12, -3,3) $

Odpowiedź: $ (12, -3,3) $.

Właściwości grafiki wektorowej

Dla arbitralnych mieszanych trzech wektorów overline (α) $, $ Overline (β) $ i $ Nadmierna (γ) $, a także $ R∈r $, następujące właściwości:

Przykład 3.

Znajdź obszar równoległoboku, którego wierzchołki mają współrzędne $ (3.0.0) $, $ (0.0.0) $, $ (0.8.0) $ i $ (3.8.0) $.

Decyzja.

Początkowo pokażemy ten równoległobok w przestrzeni współrzędnych (rys. 5):

Rysunek 5. Polgogram w przestrzeni współrzędnych. Autor24 - Student Internet Exchange

Widzimy, że dwie boki tego równoległoboku są skonstruowane przy użyciu wektory kolinezu z współrzędnymi Nadmierna (α) \u003d (3.0.0) $ i $ Nadmierna (β) \u003d (0.8.0) $. Korzystając z czwartej nieruchomości, otrzymujemy:

$ S \u003d | Overline (α) x Nadmierna (β) | $

Znajdziemy Vector $ overline (α) x Nadmierna (β) $:

$ Overline (α) x Overline (β) \u003d rozpocznij (VMATRIX) Nadmierna (I) Overline (J) & Nadmierna (K) 3 i 0 & 0 0 i 8 & 0 (VMATRIX) \u003d 0 Overline (I) -0 Overline (J) +24 Overline (K) \u003d (0,0,24) $

W związku z tym

$ S \u003d | Overline (α) x Overline (β) | \u003d SQRT (0 + 0 + 24 ^ 2) \u003d 24 $

Sztuka wektorowa - Jest to pseudoctor, prostopadła płaszczyzna, zbudowana na dwóch wątpliwościach, co jest wynikiem operacji binarnej "mnożenie" wektorowe "nad wektorami w trójwymiarowej przestrzeni euklidowej. Produkt wektorowy nie ma właściwości dojazdu do dojazdu i skojarzenia (jest przeciwzakrzewodzący) i, w przeciwieństwie do skalarnego produktu wektory, jest wektorem. Szeroko stosowany w wielu zastosowaniach technicznych i fizycznych. Na przykład, moment impulsu i mocy Lorentz matematycznie odnotowały w formie pracy wektorowej. Produkt wektorowy jest przydatny dla "pomiaru" prostopadłościowej wektory - moduł produktu wektorowego dwóch wektorów jest równy produktowi ich modułów, jeśli są prostopadły i zmniejszają się do zera, jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe .

Możesz określić produkt wektorowy na różne sposoby i teoretycznie, w przestrzeni dowolnego wymiaru N, możliwe jest obliczenie produktu wektory N-1, otrzymując jedyny wektor prostopadle do nich. Ale jeśli praca jest ograniczona do nietrywialnych prac binarnych z wynikami wektorowych, wówczas tradycyjny produkt wektorowy jest zdefiniowany tylko w przestrzeniach trójwymiarowych i siedmiuwymiarowych. Wynik produktu wektorowego, jako skalar, zależy od metryki przestrzeni euklidowej.

W przeciwieństwie do formuły obliczania według współrzędnych wektorów produktu skalarnego w trójwymiarowej prostokątnej układu współrzędnych, wzorze produktu wektorowego zależy od orientacji prostokątnego układu współrzędnych lub, w przeciwnym razie "chirality".

Definicja:
Produkt wektorowy A na wektor B w przestrzeni R3 nazywany jest Vector C, spełniające następujące wymagania:
Długość wektora C jest równa produktowi długości wektorów A i B na sinusie kąta φ między nimi:
| C | \u003d | a || b | grzech φ;
Wektor C jest ortogonalnym dla każdego z wektorów A i B;
Wektor C jest kierowany tak, że górna część wektorów ABC ma rację;
W przypadku przestrzeni R7 jest wymagana skojaństwo trzech wektorów A, B, C.
Przeznaczenie:
c \u003d\u003d\u003d a × b

Figa. 1. Obszar równoległoboku jest równy modułu produktu wektorowego

Właściwości geometryczne pracy wektorowej:
Niezbędny i wystarczający stan dla współczesności dwóch nie zerowych wektorów jest równość zero swojej sztuki wektorowej.

Moduł sztuki wektorowej równa się kwadratowi S. Równoległobok zbudowany na wersjach podanych do ogólnego początku wektorów zA. i b. (Patrz rys. 1).

Jeśli mI. - Pojedynczy wektor, ortogonalne wektory zA. i b. i wybrany tak, że Troika a, b, e - prawo i S. - obszar równoległoboku zbudowany na nich (podany na początku ogólnym), wówczas formuła jest ważna dla produktu wektorowego:
\u003d E.

Rys. 2. Objętość równoległego przy użyciu wektora i skalarnego produktu wektory; Kropkowane linie pokazują projekcje wektora C na × b i wektory A na B × C, pierwszym krokiem jest znalezienie dzieł skalarnych.

Jeśli dO. - jakiś wektor, π - dowolna płaszczyzna zawierająca ten wektor, mI. - Pojedynczy wektor leżący w samolocie π i ortogonalny K. c, G.- Pojedynczy wektor, ortogonalny do samolotu π i skierowane tak, że szczyt wektorów wektory eKG. ma rację, a następnie dla dowolnej płaszczyzny π Wektor zA. Targi Formuły:
\u003d Pr e a | c | g
gdzie prognozowanie wektora e na a
| C | moduł wektorowy z

Podczas korzystania z wektorowych i skalarnych działa, możesz obliczyć objętość równoległego, zbudowany na wersjach podanych do ogólnego rozpoczęcia wersji. a, B. i DO.. Taki produkt trzech wektorów nazywany jest mieszany.
V \u003d | A (b × c) |
Figura pokazuje, że objętość można znaleźć na dwa sposoby: wynik geometryczny jest zachowany nawet przy wymianie "skalaru" i "Vector" działa w miejscach:
V \u003d A × B C \u003d A B × C

Wielkość produktu wektorowego zależy od sine o kącie między oryginalnymi wektorami, więc produkt wektorowy może być postrzegany jako stopień "prostopadłości" wektory, a także produkt skalarny można uznać za stopień "równoległości" . Produkt wektorowy dwóch pojedynczych wektorów wynosi 1 (pojedynczy wektor), jeśli oryginalne wektory są prostopadłe i równe 0 (wektor zerowy), jeśli wektory są równoległe lub przeciw równolegle.

Wyrażenie do pracy wektorowej w współrzędnych kartezjańskich
Jeśli dwa wektory zA. i b. Definiowane przez ich prostokątne współrzędne kartezjańskie, a dokładniej - prezentowane w podstawach ortonormalnych
a \u003d (A X, A Y, A Z)
b \u003d (b x, b y, b z)
A układ współrzędnych jest właściwy, a jego sztuka wektorowa ma wygląd
\u003d (A y b z-z b y, z b x-x b z, a x b y -a y b x)
Aby zapamiętać tę formułę:
i \u003d σε ijk a j b k k
Gdzie ε ijk.- Symbol Levi-Civita.

Zanim dasz koncepcję pracy wektorowej, zwróć się do kwestii orientacji zamówionego potrójnego wektory A →, B → C → w przestrzeni trójwymiarowej.

Będziemy odłożyć wektory A → B →, C → z jednego punktu. Orientacja potrójnego →, B →, C → ma rację lub pozostawiona, w zależności od kierunku wektora C →. Na jakim kierunku najkrótsza obrót wektora A → K B → z końca wektora C →, określono rodzaj trojki A →, B → C → jest określony.

Jeśli najkrótsza obrót jest wykonywana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, potrójna potrójna wektory A →, B → C → zwana dobrzeJeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara - leva..

Następnie weź dwa nieinterlinear wektor A → i B →. Następnie opublikuję od punktu Wektory A B → \u003d A → i A → \u003d B →. Konstruujemy wektor A D → \u003d C →, który jest jednocześnie prostopadle do obu A B → i C →. Tak więc, gdy konstruując samego wektora A D → \u003d C → Możemy zrobić bicon, ustawienie go lub jeden kierunek lub odwrotnie (patrz ilustracja).

Zamówił trzy wektory A →, B →, C → Może, jak wymyśliliśmy prawo lub w lewo, w zależności od kierunku wektora.

Od powyższego możemy wprowadzić definicję pracy wektorowej. Definicja ta jest podana dla dwóch wektorów określonych w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja 1.

Produkt wektorowych dwóch wektorów A → i B → Zadzwonimy do takiego wektora określonego w prostokątnym układzie współrzędnych o trójwymiarowej przestrzeni, takiej, że:

• jeśli wektory są → i B → Collinear, będzie zero;
• będzie prostopadle do wektora A → i wektor B → I.e. ∠ A → C → \u003d ∠ B → C → \u003d π 2;
• jego długość zależy od wzoru: C → \u003d A → · B → · SIN ∠ A →, B →;
• oddział wektory A → B →, C → ma tę samą orientację jako określony układ współrzędnych.

Grafika wektorowa wektory A → i B → ma następujące oznaczenie: A → × B →.

Współrzędne pracy wektorowej

Ponieważ każdy wektor ma pewne współrzędne w układzie współrzędnych, możesz wprowadzić drugą definicję produktu wektorowego, który pozwoli Ci znaleźć współrzędne zgodnie z określonymi współrzędnymi wektory.

Definicja 2.

W prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej produkt wektorowych dwóch wektorów A → \u003d (A X; A Y; A Z) i B → \u003d (B X; B Y; B Z) Zwany Vector C → \u003d A → × B → \u003d (Ay · bz - az · przez) · i → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · By - Ay · BX) · K →, gdzie i →, J →, K → są wektory współrzędnych.

Produkt wektorowy można wprowadzić jako wyznacznik matrycy kwadratowej kwadratowej trzeciego, gdzie pierwsza linia jest lub →, J →, K →, druga linia zawiera współrzędne wektora A →, a trzeci - współrzędne wektora B → W danym prostokątnym układzie współrzędnych, ten determinant macierzy wygląda tak: C → \u003d A → × B → \u003d i → J → K → AXAYZBXBZ

Dekutowanie tego wyznacznika do elementów pierwszej linii, otrzymujemy równość: C → \u003d A → × B → \u003d i → J → K → AxazbxbyBz \u003d ayazbybx · i → AXAZBXBZ · J → + AXAYBXBY → K → \u003d \u003d A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ · przez) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · By - Ay · BX) · K →

Właściwości pracy wektorowej

Wiadomo, że produkt wektorowy we współrzędnych wydaje się być wyznacznikiem matrycy C → \u003d A → × B → \u003d i → J → K → A X A Y A Z B X B Y B Z, a następnie na podstawie właściwości wyznacznika matrycy Wyświetla następujące czynności właściwości pracy wektorowej:

1. anti-Commutatywny A → × B → \u003d - B → × A →;
2. dystrybucja A (1) → + A (2) → × B \u003d A (1) → × B → + A (2) → × B → lub → × B (1) → + B (2) → \u003d A → × b (1) → + A → × B (2) →;
3. skojarzenie λ · A → × B → \u003d λ · A → × B → lub → × (· B →) \u003d λ · A → × B →, gdzie λ jest dowolnym prawidłowym numerem.

Te właściwości nie mają trudnych dowodów.

Na przykład możemy udowodnić antystęczną własność produktu wektorowego.

Dowód antykomukatyczności

Z definicji A → × B → \u003d i → J → K → A X A Y A Z B X B Y B Z oraz B → K → \u003d i → J → K → B X B Y B Z A X A Y A Z. A jeśli dwie linie matryc zmieniają się w miejscach, wartość wyznacznika matrycy powinna zmieniać się na odwrót, dlatego A → × B → \u003d i → J → K → AXYAZBXBYBZ \u003d - I → J → K → Bxbybzaxaz \u003d - B → × A → to i udowadnia przestępczość pracy wektorowej.

Sztuka wektorowa - przykłady i rozwiązania

W większości przypadków istnieją trzy typy zadań.

W zadaniach pierwszego typu, długość dwóch wektorów i kąt między nimi jest zwykle ustawiona, a musisz znaleźć długość produktu wektorowego. W tym przypadku należy użyć następującego wzoru C → \u003d A → · B → SIN ∠ A →, B →.

Przykład 1.

Znajdź długość produktu wektorowego wektory A → i B →, jeśli jest znany A → \u003d 3, B → \u003d 5, ∠ A → B → \u003d π 4.

Decyzja

Korzystając z definicji długości ilustracji wektorowych wektory A → i B → Rozwiążę to zadanie: A → × B → \u003d A → · B → · SIN ∠ A →, B → \u003d 3 · 5 · SIN π 4 \u003d 15 2 2.

Odpowiedź: 15 2 2 .

Obiekty drugiego typu są związane z współrzędnymi wektorów, w nich produkt wektorowy, jego długość itp. Przeszukiwane przez znane współrzędne określonych wektorów A → \u003d (X; A Y; A Z) i B → \u003d (b x; b y; b z) .

Dla tego typu zadania można rozwiązać wiele opcji zadań. Na przykład, współrzędne wektory A → i B →, ale ich rozkłady na wektory współrzędnych formularza można podać. B → \u003d b x · i → + b · j → + b z · k → oraz C → \u003d A → × B → \u003d (Ay · bz - az · przez) · i → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · By - Ay · BX) · K → lub Wektory A → i B → można ustawić przez współrzędne punktów ich początku i końca.

Rozważ następujące przykłady.

Przykład 2.

W układzie prostokątnym, dwa wektory A → \u003d (2; 1; - 3), B → \u003d (0; - 1; 1) są podane. Znajdź ich sztukę wektorową.

Decyzja

W drugiej definicji znajdujemy produkt wektorowy dwóch wektorów w określonych współrzędnych: A → × B → \u003d (ay · bz - az · przez) · i → + (AZ · BX - AX · BZ) · j → + (AX · By - Ay · BX) · K → \u003d \u003d (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · I → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + ( 2 · (- 1) - 1 · 0) · K → \u003d - 2 I → 2 J → - 2 K →.

Jeśli nagryjesz produkt wektorowy przez wyznacznik Matrix, to roztwór tego przykładu jest następujący: A → × B → \u003d i → J → K → AsayazbxbyBz \u003d i → J → K → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 I → - 2 J → - 2 K →.

Odpowiedź: A → × B → \u003d - 2 I → 2 J → - 2 K →.

Przykład 3.

Znajdź długość produktu wektorowego wektory I → - J → i I → + J → + K →, gdzie i →, J →, K → - Ortopy prostokątnego systemu współrzędnych kartezjańskich.

Decyzja

Aby rozpocząć, znajdziemy współrzędne określonego produktu wektorowego I → - J → → → + J → + K → w tym prostokątnym układzie współrzędnych.

Wiadomo, że wektory I → J → i I → + J → + K → mają współrzędne (1; - 1; 0) i (1; 1; 1), odpowiednio. Znajdź długość produktu wektorowego przy użyciu wyznacznika matrycy, a następnie mamy I → - J → × I → + J → K → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - I → - J → + 2 K →.

W związku z tym produkt wektorowy I → J → × I → + J → + K → ma współrzędne (- 1; - 1; 2) w danym układzie współrzędnych.

Znajdziemy długość produktu wektorowego zgodnie z formułą (patrz sekcja Znajdowanie długości wektora): i → - J → × I → + J → + K → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 \u003d 6.

Odpowiedź: I → - J → × I → + J → + K → \u003d 6. .

Przykład 4.

W prostokątnym układzie współrzędnych, współrzędnych trzech punktów A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) są ustawione. Znajdź trochę prostopadły a B → i C → w tym samym czasie.

Decyzja

Wektory A B → i C → mają odpowiednio następujące współrzędne (- 1; 2; 2) i (0; 4; 1). Po znalezieniu produktu wektorowego wektory A B → i C →, jest oczywiste, że jest wektor prostopadle z definicji i do A B → i do C →, to jest rozwiązanie naszego zadania. Znajdujemy go A B → × A C → \u003d i → J → K → 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 I → + J → - 4 K →.

Odpowiedź: - 6 I → + J → - 4 K →. - jeden z prostopadłych wektorów.

Zadania trzecie typu koncentrują się na użyciu właściwości sztuki wektorowej. Po użyciu otrzymamy rozwiązanie danego zadania.

Przykład 5.

Wektory A → i B → Prostopadły i ich długości są równe, odpowiednio 3 i 4. Znajdź długość produktu Produkt 3 · A → - B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A → - 2 · B → + - B → × A → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →.

Decyzja

Przez własność dystrybucji produktu wektorowego, możemy napisać 3 · A → - B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A → - 2 · B → + - B → → - 2 · b → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →

Według własności stowarzyszenia przeprowadzimy współczynniki numeryczne dla znaku wektora prac w ostatniej ekspresji: 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · (- 2) · A → × B → + (- 1) · B → × A → + (- 1) · (- 2 ) · B → × B → \u003d \u003d 3 · A → × A → - 6 · A → × B → - B → × A → + 2 · B → × B →

Wektor działa A → × A → i B → × B → równe 0, jako A → × A → \u003d A → → → · SIN 0 \u003d 0 i B → × B → \u003d B → · B → · SIN 0 \u003d 0, Następnie 3 · A → × A → - 6 · A → × B → - B → × A → + 2 · B → × B → \u003d - 6 · A → × B → - B → × A →. .

Od przestraszenia produktu produktu, 6 · A → × B → - B → → → \u003d - 6 · A → × B → (- 1) · A → × B → \u003d - 5 · A → × B → . .

Korzystając z właściwości pracy wektorowej, otrzymujemy równość 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d - 5 · A → × B →.

Według stanu, wektory A → i B → prostopadle, czyli kąt między nimi jest równy π 2. Teraz pozostaje tylko do zastąpienia wartości znalezionych w odpowiednich wzorach: 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d - 5 · A → × B → \u003d 5 · A → × B → \u003d 5 · → · B → · SIN (A → B →) \u003d 5 · 3 · 4 · SIN π 2 \u003d 60.

Odpowiedź: 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d 60.

Długość produktu wektorowego wektory montażu jest równa A → × B → \u003d A → · B → SIN ∠ A →, B →. Ponieważ jest już znany (z kursu szkolnego), że obszar trójkąta jest równy połowie pracy długości jego dwóch stron pomnożonych przez róg między tymi stronami. Dlatego długość produktu wektorowego jest równa powierzchni równoległoboku - podwójnego trójkąta, a mianowicie produktu stron w postaci wektorów A → i B →, w oczekiwaniu z jednego punktu, na rogu zatok między SIN ∠ A →, B →.

Jest to geometryczne znaczenie produktu wektorowego.

Fizyczne znaczenie pracy wektorowej

W mechanice jeden z sekcji fizyki, dzięki produktowi wektorowi, możesz określić moment siły w stosunku do punktu przestrzeni.

Definicja 3.

W ramach momentu mocy F → zastosowane do punktu b, w stosunku do punktu A rozumiemy następujący produkt wektorowy A B → F →.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter

Język angielski: Wikipedia jest bardziej bezpieczna. Używasz starej przeglądarki internetowej, która nie będzie mogła połączyć się z Wikipedią w przyszłości. Zaktualizuj urządzenie lub skontaktuj się z administratorem IT.

中文: 维基 的 您 请 的 的 的 的 正 请 的 的 的 的 正 的 的 的 的 的 的 请 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 您 的 的 的 的 的 的更 (仅 英语).

Español: Wikipedia Está Haciendo El Sitio Más Seguro. Usted Está Utilizando Un Navegador Web Viejo Que No Será Capaz de Conceptarse A Wikipedia El Futuro. ATERTERICE SU DIFSITIVO O SCETE A SU Administrador Informático. Más Abajo Hay Una ActualZolión Más Larga y Más Técnica pl Inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia VA Bientôt Augmenter La Sécurité de Sio Site. Vous Utilisez Aktywowanie UN Nawigacja Web Ancien, Qui Ne Pourra Plus SE Connecder à Wikipédia Lorsque CE Sea Fait. Merci de Metre à Jour Votre Appareil OU de Contacter Votre Administrationur Informacje o Cetette Fin. DES Informations Suppleires Plus Techniques et en Anglais Sont Sfitibles CI-Dessous.

日本語: Zdjęcie Seryjne技術 面 詳しい 詳しい 更 情報 は 以下 に で 情報 は 以下 に で 提供 し い い以下

Deutsch: Wikipedia Erhöht Die Sicherheita der Webseiteite. Du Benutzt Einen Alten WebBrowser, Der w Zukunft Nicht Mehr Auf Wikipedia Zugreifen Können Wird. Bitte Aktualisiere Dein Gerät Oder Sprich Deinen It-Administrator an. Ausführlichere (Und Technisch Detaillierrete) Hinweise Envestest Du Niezwalenie w języku angielskim Sprache.

Italiano: Wikipedia Sta Renendo Il Sito Più Sicuro. Stai USando ONZ przeglądarki Web Che Non SAR w Grado di Conneterssi A Wikipedia w Futuro. Na favore, Aggiorna Il Tuo Dispositivo o Contatta Il Tuo Amministratore Informatico. Più w basso è dispibile ONZ Aggiornato Più Dettagliato E Tecnico w Inglese.

Magyar: BiztonSágosabb Lesz a Wikipédia. A Böngésző, Amit Használsz, Nem Lesz Képes Kapcsolódni a Jövőben. Használj ModerNeBB Szofttver Vagy Jelezd Problemát Rendszergazdádnak. Alább Olvashatod A RészleteseBB Magyarázatot (Angolul).

Svenska: Wikipedia Gör Sidan Mer Säker. Du använder en äldre webbläsare som inteligentny kommer att Kunna Läsa Wikipedia I Framtiden. Uppdatera DIN Enhet Eller Kontakta DIN IT-Administratör. Det Fins En Längre OCH Mer Teknisk Förklaring På Engelska Längre Ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Usuwanie wsparcia dla niepewnych wersji protokołu TLS, specyficznie TLSV1.0 i TLSV1.1, które oprogramowanie przeglądarki polega na połączeniu z naszymi stronami. Jest to zwykle spowodowane przez przestarzałe przeglądarki lub starsze smartfony Android. Lub może być ingerencja z oprogramowania korporacyjnego lub osobistego "Web Security", która faktycznie obniża bezpieczeństwo połączenia.

Musisz zaktualizować przeglądarkę internetową lub w inny sposób naprawić ten problem, aby uzyskać dostęp do naszych witryn. Ta wiadomość pozostanie do 1 stycznia 2020 r. Po tej dacie Twoja przeglądarka nie będzie w stanie nawiązać połączenia z naszymi serwerami.

Definicja. Wektor wektora A na wektor B jest nazywany wektorem oznaczonym symbolem [", B] (lub LXB), takim, że 1) długość wektora [A, B] jest równa (P, gdzie Y jest kątem między wektory A i B (Rys.31); 2) Wektor [A, B) prostopadle do wektorów A i B, tj. prostopadle do płaszczyzny tych wektorów; 3) Wektor [A, B] jest skierowany tak, że od końca tego wektora najkrótsza obrót z A do B jest widoczna w lewo (rys. 32). Figa. 32 Rys.31 Innymi słowy, wektory A, B i [A, B) tworzą właściwe trzy wektory, tj. Znajduje się jak duże, indeksowe i środkowe palce prawej strony. Jeśli wektory Collinear, zakładamy, że [A, B] \u003d 0. Z definicji, długość produktu wektorowego jest numerycznie równa powierzchni równoległoboku SA (rys. 33), zbudowany na wektory zmiennych A i B jako po bokach: 6.1. Właściwości pracy 1. Produkt wektorowy jest równy zerowym wektorze, a tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów zmiennych jest zero lub gdy te wektory kolczaste (jeśli wektory A i B Collinear, a następnie kąt między nimi wynosi 0 lub 7g). Łatwo jest uzyskać z faktu, że jeśli policzysz zero wektora crincons dowolnego wektora, warunek współczesności wektorów A i B można wyrazić, więc 2. Produkt wektorowy jest przeciwdziałający obozów, tj. Zawsze. W rzeczywistości wektory (A, B) i mają tę samą długość i kolinę. Wskazówki tych wektorów są przeciwieństwami są przeciwne ze względu na koniec wektora [A, B] najkrótszy obrót z A do B będzie widoczny przeciwko wskazówce wskazówek zegara i od końca wektora [B, A] - zgodnie z ruchem wskazówek zegara (w prawo ( Rys. 34). 3. Produkt wektorowy ma właściwość dystrybucji w odniesieniu do dodawania. 4. Multiplier numeryczny L może być wykonany do znaku produktu wektorowego 6.2. Produkt wektorowy wektory określonych przez współrzędnych pozwala wektory, a także ustalane przez ich współrzędne w podstawie. Korzystając z właściwości dystrybucji produktu wektorowego, znajdujemy produkt wektorowy wektorów podanych przez współrzędne. Praca mieszana. Odnosimy prace wektorowe władz współrzędnych (rys. 35): Dlatego dla produktu wektorowego wektory A i B otrzymujemy z wzoru (3) Poniższy wzór wyrażenia (4) można zapisać w symbolicznym, łatwo niezapomnianym Formularz, jeśli używasz wyznacznika 3RD zamówienia: rozkłada tego determinant dla elementów linii pierwszej linii, otrzymujemy (4). Przykłady. 1. Znajdź obszar równoległoboku wbudowany w żądanym obszarze wektorowym, więc znajdziemy \u003d z miejsca 2. Znajdź obszar trójkąta (rys. 36). Jest oczywiste, że obszar B "D Trójkąt jest równy połowę równoległoboku Square S o AU V. Obliczanie produktu wektorowego (A, B | Wektory A \u003d OA i B \u003d Och, otrzymujemy uwagę. Produkt wektorowy jest nie skojarzone, tj. Równość ((A, B), C) \u003d [A, | B, C)) w ogólnym przypadku jest nieprawidłowa. Na przykład, gdy A \u003d SS J, mamy § 7. Produkt mieszany Wektory pozwalają im mieć trzy wektory A, B i s. Przesuń wektory A i 1\u003e Wkrótce, otrzymujemy wektor [A, 1\u003e]. Pomnożyć to skalar do wektora C: (k b), c). Numer ([A, B], E) nazywany jest produktem mieszanym wektory A, b. Z i wskazanym symbolem (A, 1), E). 7.1. Znaczenie geometryczne pracy mieszanej wektory A , B i z wydawanego punktu O (rys. 37). Jeśli wszystkie cztery punkty OH, A, B, C leżą w tej samej płaszczyźnie (wektory A, B i C są wywoływane w tym przypadku towarzyszy), a następnie produkt mieszany ( [A, B], C) \u003d 0. Wynika to z faktu, że wektor [A, B | Prostopadły do \u200b\u200bpłaszczyzny, w której wektory A i 1 są prosto ", więc, wektor z. / IF t Punkty O, A, B, C nie leżą w tej samej płaskiej kości (wektory A, B oraz z niezgodnym z niezrównaną), zbudujemy na krawędziach OA, OB i równoległego (FIG. 38 a). Z definicji produktu wektorowego, mamy (A, B) \u003d tak, gdzie jest to obszar równoległobok OADB, a C jest pojedynczym wektorem, prostopadłym do wektorów A i B oraz tak, że Troika A, B, C - prawo , tj Wektory A, B i C znajdują się odpowiednio jako duże, indeksowe i środkowe palce prawej strony (rys. 38 b). Pomnożyć obie części ostatniej równości po prawym skalarnym do wektora C, otrzymujemy, że produkt wektorowy wektory określonych współrzędnych. Praca mieszana. Liczba RGS C jest równa wysokości H zbudowaną równoległością, wykonaną za pomocą znaku "+", jeśli kąt między wektory z ostrą (Troika A, B, C - po prawej), a ze znakiem "-" , jeśli kąt jest głupi (Troika A, B, С - pozostawiony), tak, że tym samym mieszany produkt wektory A, B i równy objętości V równolegiped, zbudowany na tych wektorach, jak na rozdartach, jeśli Troika A, B, C - Right i -v, jeśli Troika A, B, S - Left. Na podstawie geometrycznego znaczenia pracy mieszanej można stwierdzić, że pomnożenie wektory TC A, B i C w jakimkolwiek innym porządku, zawsze otrzymamy +7 lub -k. Znak produkcji. 38 Konserwacja będzie zależeć tylko dlatego, że trójki tworzą zmienne wektory - prawo lub w lewo. Jeśli wektory A, B, z właściwą trojką, a następnie Triogy B, C, A i C, A, B są również właściwe. Jednocześnie wszystkie trzy oddziały B i, z; A, s, b i s, b, a - lewy. Zatem, (A, B, C) \u003d (B, S, A) \u003d (S, A, B) \u003d - (B, A, C) \u003d - (A, S, B) \u003d - (S, B, ale). Eserase Podkreślamy, że produkt mieszany wektory jest równy Nuduchoga tylko wtedy, gdy zmienne wektory A, B, z towarzyską: (A, B, z towarzyską) 7.2. Mieszane prace we współrzędnych pozwalają na wektory A, B, są ustalane przez ich współrzędne na podstawie I, J, K: A \u003d (X, Y, Z]), B \u003d (x2, Y2\u003e Z2), C \u003d (x3, UZ, 23). Znajdujemy wyrażenie ich mieszanej pracy (A, B, C). Posiadamy mieszany produkt wektory podanych przez współrzędne w bazie I, J, K, równe wyznacznikowi trzeciego rzędu, których wiersze są składane odpowiednio od współrzędnych pierwszej, drugiej i trzeciej zmiennych wektorów. Wymagany i wystarczający stan dla towarzysza wektorów i Y, Z |), B \u003d (H U2. 22), C \u003d (ZHZ, UZ, 23) zostaną nagrane w następujący sposób | Z, AG2 y2 -2 \u003d 0. Ultra przykład. Sprawdź, czy wektory są "\u003d (7,4,6), b \u003d (2, 1,1), C \u003d (19, II, 17). Wektory rozważane będą towarzyszyć lub niezadowolenie w zależności od tego, czy będzie zero lub nie ma wyznacznika do rozkładania go zgodnie z elementami pierwszego ciągu, otrzymujemy d \u003d 7-6-4-15 + 6-3 \u003d 0 ^ - Wektory N, B, z towarzyską. 7.3. Podwójny produkt produktu Produkt podwójny wektorowy [A, [B, C]] jest wektorowym prostopadłym do wektorów A i [B, C]. Dlatego leży w płaszczyźnie wektorów B i C i można go rozkładać na te wektory. Można pokazać, że formuła jest ważna [A, [!\u003e, S]] \u003d B (A, E) - z (A, K). Ćwiczenia 1. Trzy wektory AV \u003d C, F? \u003d O i ca \u003d b służą jako boki trójkąta. Express przez A, B i wektory pasujące do median am, DN, trójkąt CP. 2. Jaki stan p i q był związany z wektorą p + q podzielony kąt między nimi na pół? Zakłada się, że wszystkie trzy wektory są przypisane do ogólnego rozpoczęcia. 3. Oblicz długość przekątnych równoległoboku skonstruowanych w wektorach A \u003d 5P + 2Q i B \u003d P - 3Q, jeśli wiadomo, że | P | \u003d 2v / 2, | q | \u003d 3 h- (P7CI) \u003d f. 4. Przeliczając romb jako bok rombu, udowodnij, że przekątnej romb jest wzajemnie prostopadły. 5. Oblicz scalar produkt wektory A \u003d 4I + 7J + 3K i B \u003d 31 - 5J + K. 6. Znajdź wektor A0, równoległe wektor A \u003d (6, 7, -6). 7. Znajdź projekcję wektora A \u003d L + J-Kha Vector B \u003d 21 - J - 3K. 8. Zlokalizuj Cosinus kąta między wektory, jeśli A (-4,0,4), w (-16,7), C (1,10,9). 9. Znajdź pojedynczy wektor p °, jednocześnie prostopadle wektor A \u003d (3, 6, 8) i OX. 10. Oblicz zatokę narożną między przekątnymi przekątnymi benzynowoofammą, wbudowaną wektory A \u003d 2I + J-K, B \u003d I-3J + K jak po bokach. Oblicz wysokość H równoległego, wbudowany wektory A \u003d 31 + 2J - 5K, B \u003d I- j + 4knc \u003d I-3J + K, jeśli podstawa jest pobierana przez równoległoki, wbudowany wektory A i I). Odpowiedzi