Co jest równe hipoteciu trójkąta równobocznego. Jak znaleźć Katetów, jeśli znane hipotenuse

Po studiowaniu tematu na temat trójkątów prostokątnych uczniowie często emitują wszystkie informacje o nich z głowy. W tym, jak znaleźć przeciwprostokątne, nie wspominając o tym, czym jest.

I na próżno. Ponieważ w przyszłości przekątna prostokąta okazuje się to hipotenuse, i należy go znaleźć. Lub średnica koła zbiega się z największą stroną trójkąta, której jeden z rogów jest prosta. I niemożliwe jest go znaleźć bez tej wiedzy.

Istnieje kilka opcji, jak znaleźć hipoteta trójkąta. Wybór metody zależy od zestawu danych źródłowych w wartościach wartości wartości.

Metoda Numer 1: Dowolna kategoria

Jest to najbardziej pamiętna metoda, ponieważ używa twierdzenia Pitagore. Czasami tylko uczniowie zapominają, że ta formuła jest kwadratem hipotenusa. Aby znaleźć samą stronę, musisz usunąć pierwiastek kwadratowy. Dlatego formuła przeciwpocania, która jest zwyczajowa, aby wyznaczyć literę "C" będzie wyglądać tak:

c \u003d √ (i 2 + w 2)gdzie litery "A" i "B" są rejestrowane przez obie kategorie trójkąta prostokątnego.

Metoda Numer 2: Dzianie CAT i kąt, który go idzie

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć hipotenuse, będziesz musiał przywołać funkcje trygonometryczne. Mianowicie Kosinus. Dla wygody zakładamy, że przyznawane są Catat "A" i kąt α.

Teraz musimy pamiętać, że cosinus kąta trójkąta prostokątnego jest równa postawie obu stron. Licznik będzie wytrzymać wartość kategorii, aw mianowniku - hipotetach. Wynika z tego, że ten ostatni można policzyć za pomocą wzoru:

c \u003d a / cos α.

Metoda przy numerze 3: Dana Catat i kąt, który leży przed nim

Aby nie mylić w formułach, wprowadzamy oznaczenie tego kąta - β, a bok opuści dawny "A". W tym przypadku wymagana jest inna funkcja trygonometryczna - zatok.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zatoka jest równa stosunku katechu dla hipotenuse. Formuła tej metody wygląda tak:

c \u003d A / SIN β.

Aby nie mylić w funkcjach trygonometrycznych, można zapamiętać prosty mnemoniczny podany: jeśli zadanie mówi owęgiel Tvolezhaya, a następnie musisz użyć inus, jeśli - o ikłamstwo, to ozatoka. Należy zwrócić uwagę na pierwsze samogłoski w językach słów kluczowych. Tworzą parę o-i. lub i o.

Metoda Numer 4: Opisany promień okręgu

Teraz, aby dowiedzieć się, jak znaleźć hipotenuse, konieczne będzie przypomnienie właściwości okręgu, które jest opisane w pobliżu trójkąta prostokątnego. Mówi o następujący sposób. Środek kręgu zbiega się pośrodkiem przeciwprosta. Jeśli powiesz inaczej, największa strona trójkąta prostokątnego jest równa koła przekątnej. To jest podwójny promień. Formuła tego zadania będzie wyglądać tak:

c \u003d 2 * rgdzie litera r jest wskazywana przez słynny promień.

Są to możliwe sposoby znalezienia prostokątnego hipoteny. Każde konkretne zadanie jest potrzebne przez tę metodę, która jest bardziej odpowiednia do zestawu danych.

Przykładowy problem numer 1

Stan: medianie zostały przeprowadzone w prostokątnym trójkącie do obu kategorii. Długość tego prowadzona do większej strony jest √52. Kolejny mediana ma długość √73. Wymagany jest obliczenie hipotenusa.

Ponieważ w trójkącie przeprowadzono mediany, dzielą Cats na dwa równe segmenty. Dla wygody rozumowania i znalezienia, jak znaleźć hipotenuse, musisz wprowadzić kilka oznaczeń. Niech oba połówki większej kategorii zostaną oznaczone literą "X", a drugi jest "Y".

Teraz musisz rozważyć dwa trójkąty prostokątne, z hipoteczkami, które są znanymi medianami. Dla nich musisz nagrać formułę twierdzenia Pitagora:

(2Y) 2 + x 2 \u003d (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 \u003d (√73) 2.

Te dwa równania tworzą system z dwoma nieznaniowymi. Decydowanie ich, można je łatwo znaleźć kręty początkowego trójkąta i jego hipotenuse na nich.

Najpierw musisz zbudować wszystko w drugim stopniu. Wyszło na to, że:

4. 2 + x 2 \u003d 52

w 2 + 4x 2 \u003d 73.

Od drugiego równania widać, że w 2 \u003d 73 - 4x 2. To wyrażenie musi być zastąpione w pierwszym i obliczaniu "X":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Po konwersji:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 lub 15x 2 \u003d 240.

Z ostatniej ekspresji X \u003d √16 \u003d 4.

Teraz możesz obliczyć "U":

w 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Zgodnie z danymi, okazuje się, że stosunki pierwotnego trójkąta są równe 6 i 8. możesz użyć wzoru z pierwszej metody i znajdź hipotenus:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Odpowiedź: Hypotenuse wynosi 10.

Przykładowy problem numer 2.

Stan: Oblicz przekątną spędzoną w prostokącie o mniejszej stronie równej 41. Jeśli wiadomo, że dzieli kąt do tych, które odnoszą się jako 2 do 1.

W tym problemie przekątna prostokąta jest największą stroną w trójkącie pod kątem 90º. Dlatego wszystko sprowadza się do tego, jak znaleźć hipotenuse.

Zadanie mówi o narożnikach. Oznacza to, że konieczne będzie użycie jednego z formuł, w których występują funkcje trygonometryczne. I najpierw musi określić wartość jednego z ostrych rogów.

Niech mniejsze z rogów, które są przedmiotem, omówione w stanie, zostaną wskazane przez α. Następnie kąt prawy podzielony przez przekątną będzie równy 3α. Nagrywanie matematyczne tego wygląda:

Z tego równania po prostu definiuje α. Będzie równa 30º. Co więcej, leży przeciwnie mniejsze bok prostokąta. Dlatego wymagana będzie formuła opisana w metodzie numer 3.

Hipotenus jest równy stosunku katechu do zatoki kąta przeciwnika, czyli:

41 / SIN 30º \u003d 41 / (0,5) \u003d 82.

Odpowiedź: Hypotenuse wynosi 82.

CATES nazywane są dwiema stronami prostokątnego trójkąta, który tworzy prosty kąt. Naprzeciwko bezpośredniego rogu jest najdłuższą stroną trójkąta, nazywany jest hipotenuse. Aby odkryć hipotenuse, musisz znać długość cewetów.

Instrukcja

1. Długości cewek i hipotenusów są związane z relacją, która jest opisana przez twierdzenie Pitagori. Sformułowanie algebraiczne: "W trójkącie prostokąta, kwadrat długości hipotenusu jest równy sumie kwadratów długości cewetów". Wzór Pitagii wygląda tak: C2 \u003d A2 + B2, gdzie C jest długości hipotenusa, a i b - długości katettów.

2. Znając długość cewek, zgodnie z twierdzeniem Pythagore, może wykryć prostokątny hipotenus: C \u003d? (A2 + B2).

3. Przykład. Długość jednej z cewetów wynosi 3 cm, długość innego wynosi 4 cm. Suma ich kwadratów wynosi 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? \u003d 25 cm ?. Hypotenuse. W naszym przypadku jest równy korzeniach kwadratowych od 25 cm? - 5 cm. Stało się, długość hipotenusa wynosi 5 cm.

Hipotenus nazywany jest bokiem w trójkącie prostokątnym, który jest przeciwieństwem kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy poznać długość jednej z cewetów i wielkości jednego z ostrych zakątków trójkąta.

Instrukcja

1. Ze słynną cienką i ostrym rogiem prostokątnym trójkątem, wtedy rozmiar hipotenuse może być równy stosowaniu cote do cosinus / zatokę tego kąta, jeśli ten kąt jest przeciwny / przylegający do: H \u003d C1 (albo C2) / Sin ?; H \u003d C1 (lub C2) / COS ?. Na przykład: Pozwól abc prostokątnym trójkątowi z hipotestuisa AB i bezpośrednim kątem C. Niech kąt B ma 60 stopni, a kątem 30 stopni długości BC CATE 8 cm. Musisz wykryć długość przeciwprostanu AB. Aby to zrobić, może użyć dowolnej z proponowanych metod: AB \u003d BC / COS60 \u003d 8 cm.ab \u003d BC / SIN30 \u003d 8 cm.

Hypotenuse - najdłuższa strona prostokątnego trójkąt . Znajduje się naprzeciwko prostego rogu. Metoda znalezienia prostokątnego hipotenusa trójkąt To zależy od posiadanych danych początkowych.

Instrukcja

1. Jeśli wygrasz prostokątny Cattiet trójkąt , potem długość hipotenusu prostokątnego trójkąt Można go wykryć za pomocą taturze Pitagorue-pasma - kwadrat długości hipotenuszy jest równy sumie kwadratów długości spektaklu: C2 \u003d A2 + B2, gdzie A i B - długość rolek prostokątnych trójkąt .

2. Jeśli służymy jednym z katettów i ostrym kątem, wtedy formuła znalezienia hipotenusa będzie zależeć od tego, co dany kąt w odniesieniu do szerokości jest przylegający (znajduje się w pobliżu kategorii) lub odwrotnie (zlokalizowany wręcz przeciwnie. W Przypadek przylegającego kąta, hipotenuse jest równy stosunku kategorii na cosinusie tego kątu: C \u003d A / Cos?; E Kąt odwrotnego, przeciwstawiony Hypotenuse jest równy stosunku kategorii rogu: C \u003d a / grzech?

Wideo na ten temat

Hypotenus nazywany jest bokiem prostokątnego trójkąta leżącego na przeciwnym kierunku bezpośredniego. Jest to największa strona trójkąta prostokątnego. Jest dozwolony przez twierdzenie Pitagora lub wsparcie dla formułowych funkcji trygonometrycznych.

Instrukcja

1. CATES nazywane są bokami trójkąta prostokątnego, przylegający do prostego rogu. Na zdjęciu Civets są wskazywane jako AB i BC. Niech określono długość obu cewek. Oznacz je jako | ab | i | bc |. W celu wykrycia długości hipotenami | AC | Używamy twierdzenia Pitagora. Zgodnie z tym twierdzeniem, suma kwadratów cewet jest równa placu hipotenuse, tj. W notacji naszego rysunku | ab | ^ 2 + | BC | ^ 2 \u003d | AC | ^ 2. Z formuły otrzymujemy, że długość prywotenusa AC jest jak | AC | \u003d? (| Ab | ^ 2 + | BC | ^ 2).

2. Zobaczmy przykład. Niech ustawiona jest długość ceweków | ab | \u003d 13, | bc | \u003d 21. Zgodnie z twierdzeniem Pitagora, otrzymujemy, że | AC | ^ 2 \u003d 13 ^ 2 + 21 ^ 2 \u003d 169 + 441 \u003d 610. W celu uzyskania długości hipotenusa konieczne jest usunięcie korzenia kwadratowego z suma kwadratów cewek, tj Spośród 610: | AC | \u003d? 610. Korzystając z tabeli kwadratów liczb całkowitych, dowiadujemy się, że numer 610 nie jest kompletnym kwadratem niektórych całkowitej. W celu uzyskania ostatniej wartości długości przeciwprostkowej, spróbuj przenieść pełny kwadrat z znaku głównego. Aby to zrobić, rozkładać numer 610 dla mnożników. 610 \u003d 2 * 5 * 61. W tabeli liczb prymitywnych widzimy, że 61 jest prymitywnym numerem. Nawiasem mówiąc, późniejsza przyczyna liczby? 610 jest nierealistyczna. Dostajemy wynik końcowy | AC | \u003d 610. Jeśli kwadrat hipotenusu był równy, na przykład 675, a następnie 675 \u003d? (3 * 25 * 9) \u003d 5 * 3 *? 3 \u003d 15 *? 3 W przypadku, gdy podobna dokładność jest dopuszczalna, wykonaj kontrolę zwrotną - wykonaj wynik na placu i porównaj z wartością początkową.

3. Pozwól nam znać dla nas jedną z cewek i kąt przylegających do niego. W celu uzyskania pewności, niech będzie Civets | AB | i róg? Następnie możemy skorzystać z formuły do \u200b\u200bfunkcji trygonometrycznej Cosinus - Cosinus kątowy jest równy nastawieniu sąsiednich katechu dla hipotenusa. Te. W naszych oznaczeniach? \u003d | Ab | / | AC | Panel Uzyskaj długość hipotenusa | AC | \u003d | Ab | / Cos? Gdybyśmy byli znani dla nas Kartat | BC | i kąt? Następnie używamy formuły do \u200b\u200bobliczania kąta sinusego - zatok narożny jest równy nastawce przeciwnej kategorii do hipotenuszy: grzech? \u003d | Bc | / | AC | Dostajemy, że długość hipotenusa jest jak | AC | \u003d | Bc | / Cos?

4. Dla jasności zobaczymy przykład. Niech Dana Cate Długość | AB | \u003d 15. i kąt? \u003d 60 °. Dostajemy | AC | \u003d 15 / COS 60 ° \u003d 15/0,5 \u003d 30. Zobaczymy, jak może sprawdzić wynik z twierdzeniem Pitagorety. Aby to zrobić, musimy policzyć długość drugiej kategorii | BC |. Korzystanie z formuły do \u200b\u200btangent tg rogu? \u003d | BC | / | AC |, Get | BC | \u003d | Ab | * Tg? \u003d 15 * TG 60 ° \u003d 15 *? 3. Dalsze zastosowanie twierdzenia Pythagore, otrzymujemy 15 ^ 2 + (15 * 3) ^ 2 \u003d 30 ^ 2 \u003d\u003e 225 + 675 \u003d 900. Test jest wykonywany.

Pomocna rada
Obliczanie hipotenuse, wykonaj czek - czy otrzymaną wartość twierdzenia Pitagora spełnia.

Na samym początku przypominamy, że trójkąt jest polihedronem, który ma 3 kąt. Jak znaleźć prostokątny hipotenuzu, jeśli znane są inne wartości trójkąta?

Instrukcja

1. Znana długość cewetów. W tym przypadku hipotenuse można obliczyć za pomocą twierdzenia pytagora. Ten twierdzenie brzmi w ten sposób: suma kwadratów cewet jest równa placu hipotenuse. Z tego wynika, aby obliczyć długość hipotenusa, konieczne jest zbudowanie kwadratu na przemian każdej kategorii. Po tym uzyskane dane są złożone, a z ogólnego wyniku już usuwają pierwiastek kwadratowy.
2. Jak znaleźć hipotenneuetę w trójkącie KFB, jeśli znasz do niego kategorii Catat (VC) i sąsiedztwo? Znany kąt jest oznaczony α. Jedną z właściwości trójkąta prostokątnego mówi, że stosunek długości stosunku trójkąta prostokątnego do długości hipotenusu jest równe cosinus kąta znajdującego się między hipotenurem a tym ciatorem. Można to zapisać w następujący sposób: FB \u003d BK * COS (α).
3. Znany inny Catat (KF) i ten sam róg α, teraz będzie przeciwieństwem. Pripotenuse można również znaleźć, jeśli zastosujesz te same właściwości trójkąta prostokątnego. Dostajemy, stosunek długości stosunku trójkąta prostokątnego do długości jej hipotenusa jest równe zatokę kąta, przeciwnika katoselek. Piszemy: FB \u003d KF * SIN (α).
4. Jak znaleźć hipoteta trójkąta, jeśli krąg jest opisany w pobliżu, znany ze swojego promienia. Od właściwości okręgu, który jest opisany wokół trójkąta prostokątnego, wiadomo, że centrum ma centrum z punktem hipotenuse, który dzieli go na pół. Innymi słowy, promień jest równy połowie przeciwprosta. Oznacza to, że dwa promień tworzą hipotenuse: fb \u003d 2 * R.

Znając właściwości trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pepagora, bardzo łatwo jest obliczyć długość hipotenusa. Jeśli nadal trudno będzie pamiętać wszystkie właściwości, po prostu dowiedz się, że gotowe formuły, w których jest bardzo łatwa do zastąpienia znanych wartości do obliczenia długości hipotenusa.

Geometria nie jest prostą nauką. Wymaga szczególnej uwagi i znajomości dokładnych formuł. Ten rodzaj matematyki przyszedł do nas z starożytnej Grecji, a nawet po kilku tysiącach lat nie traci ich znaczenia. Nie trzeba myśleć na próżno, że jest to bezużyteczna rzecz, która zdobywa szef uczniów i uczniów. W rzeczywistości geometria ma zastosowanie w wielu sferach życia. Bez swojej wiedzy o geometrii żadna struktura architektoniczna nie jest budowa, samochody, statki kosmiczne i samoloty są tworzone. Kompleks, a nie bardzo Związek Drogi i Króla - wszystko wymaga obliczeń geometrycznych. Tak, nawet czasami naprawy w swoim pokoju, nie możesz zrobić bez znajomości podstawowych formuł. Więc nie lekceważ znaczenia tego tematu. Najczęstszymi formułami, które muszą być używane w wielu decyzjach, studiujemy w szkole. Jednym z nich jest odkrycie hipotenów w prostokątnym trójkącie. Aby to rozgryźć, czytaj poniżej.

Przed przystąpieniem do postępowania zacznijmy od podstaw i definiujemy, jaki nienawiści w trójkącie prostokątnym.

Hypotenuse jest jedną z boków w prostokątnym trójkącie, który znajduje się naprzeciwko kąta 90 stopni (prosty kąt) i jest zawsze najdłuższy.

Istnieje kilka sposobów na znalezienie długości pożądanego przeciwpocania w danym prostokątnym trójkącie.

W przypadku, gdy Cats są nam już znane, używamy twierdzenia Pitagore, gdzie składamy sumę kwadratów dwóch cewetów, które będą równe kwadratowi przeciwprosta.

a i B - Cute, C- Hypotenuse.

W naszym przypadku, dla prostokątnego trójkąta odpowiednio formuła będzie następująca:

Jeśli zastąpimy znaną liczby centów A i B, niech będzie A \u003d 3 A B \u003d 4, następnie C \u003d √32 + 42, a następnie otrzymujemy C \u003d √25, C \u003d 5

Gdy mamy długość tylko jednej kategorii, formuła można konwertować, aby znaleźć długość drugiego. To wygląda tak:

W przypadku, gdy zgodnie z warunkami zadania jesteśmy znani z katata A i Hypotenuse C, a następnie można obliczyć prosty kąt trójkąta, zadzwoń do tego α.

Aby to zrobić, używamy formuły:

Niech drugi kąt musimy obliczyć, będzie β. Biorąc pod uwagę, że znamy sumę narożników trójkąta, który wynosi 180 °, a następnie: β \u003d 180 ° -90 ° -α

W przypadku znamy wartości centów, można znaleźć wartość ostrego rogu trójkąta o wzorze:

W zależności od znanych ogólnie zaakceptowanych wartości, strona prostokąta można znaleźć na różnych różnych formułach. Tutaj jest kilka z nich:

Podczas rozwiązywania problemów z znalezieniem nieznanego w trójkącie prostokątnym jest bardzo ważne, aby podkreślić zwrócenie uwagi już cię znanemu i, na tym, zastępować je w pożądanej formule. Natychmiast pamiętaj, że będą trudne, więc doradzimy, abyś mógł dokonać małego podpowiedzi i ponieść w notebooku.

Jak widać, jeśli jesteś we wszystkich subtelności tej formuły, możesz łatwo zrozumieć. Zalecamy próbę rozwiązania kilku zadań w oparciu o tę formułę. Po zobaczeniu wyniku, będziesz jasny, zrozumiałeś ten temat, czy nie. Staraj się nie zapamiętać, ale pluć do materiału, będzie znacznie bardziej przydatny. Materiał ząbkowany jest zapomniany po pierwszej kontroli, a ta formuła zostanie znaleziona dość często, więc najpierw go zrozumiesz, a następnie zapamiętaj. Jeśli te zalecenia nie dawały pozytywnego działania, to znaczy sens w dodatkowych klasach tego tematu. I pamiętaj: nauka światła, nie ucząc się ciemności!

Istnieją trzy opcje rozwiązania tego zadania. Pierwszy - jeśli w warunkach problemu, otrzymuje, że CAT są równe (w rzeczywistości, mamy prostokątny trójkąt ANOSSELE). Drugi jest wtedy, gdy nadal podano jakiś kąt (z wyjątkiem kąt 45%, mamy ten sam trójkąt anoscele i powrócić do pierwszej wersji). I trzeci - kiedy znana jest jedna z cewetów. Rozważ te opcje bardziej szczegółowo.

Jak znaleźć równe cewki, ze znanym przeciwprostem

• pierwszy Catat (oznaczamy listem "A") jest równy drugim katelestowi ((oznaczając literę "B"): a \u003d b;

• rozmiar cewek;

W tym przykładzie wykonania rozwiązanie problemu opiera się na stosowaniu twierdzenia Pitagorów. Jest stosowany do trójkątów prostokątnych, a jego główna opcja brzmi: "Plac hipotenusa jest równy sumie kwadratów centów". Możemy więc być równi nam, możemy wyznaczyć obie kategorie z tym samym parapetem: a \u003d b, oznacza to \u003d a.

1. Zastępujemy nasze warunkowe notacji w twierdzeniu (w tym powyższym):
   C ^ 2 \u003d A ^ 2 + A ^ 2,
2. Następnie upraszczamy formułę jak najwięcej:
   C ^ 2 \u003d 2 * (A ^ 2) - Grupa,
   C \u003d √2 * a - przynieś obie części równania do korzenia kwadratowego,
   A \u003d c / √2 - znosimy pożądane.
3. Podstawiono tę wartość hipotenusa i otrzymujemy rozwiązanie:
   a \u003d x / √2

Jak znaleźć katenetów, znanymi przeciwpocalnikiem i węglem

• hipotenuse (oznaczony literą "C") równą X cm: C \u003d X;
• kąt β jest równy q: β \u003d q;

• rozmiar cewek;

Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest użycie funkcji trygonometrycznych. Cztery więcej popularnych dwóch:

• funkcja zatoki - zatok pożądanego kąta jest równa postawie przeciwnej kategorii do przeciwprostanu;
• funkcja Cosinus - Cosinus pożądanego kąta jest równy nastawieniu sąsiedniego katechu do przeciwpocania;

Możesz użyć dowolnego. Pojawiam się przykład przy użyciu pierwszego. Niech katenetów wskazujemy znaki "A" (przylegające do rogu) i "B" (przeciwne do rogu). W związku z tym nasz kąt leży między Cerbetem "A" i Hipotenuse.

1. Zastępujemy wybrane konwencje we wzorze:
   sinβ \u003d b / c
2. Przynosimy Catat:
   b \u003d c * sinβ
3. Zastępujemy naszą daną i mamy jeden kód.
   b \u003d c * sinq

Drugi Catat można znaleźć za pomocą drugiej funkcji trygonometrycznej lub przejdź do trzeciej opcji.

Jak znaleźć jeden Catat, jeśli znany jest hipotenuse i inne Catat

• hipotenuse (oznaczony literą "C") równą X cm: C \u003d X;
• catat (oznaczamy literę "B") jest równy Y CM: B \u003d Y;

• wielkość innej kategorii (oznaczamy swój list "A");

W tym przykładzie wykonania rozwiązanie problemu, jak w pierwszej, jest stosowanie twierdzenia Pitagorów.

1. Zastępujemy nasze warunkowe notacji w twierdzeniu:
   C ^ 2 \u003d A ^ 2 + B ^ 2,
2. Wykonujemy niezbędny Catat:
   A ^ 2 \u003d C ^ 2-B ^ 2
3. Wierz obie części równania do korzenia kwadratowego:
   A \u003d √ (C ^ 2-B ^ 2)
4. Zastępujemy te wartości i mają rozwiązanie:
   a \u003d √ (x ^ 2-y ^ 2)