Auksinis santykis - kas tai? Ar Fibonačio skaičiai? Kas bendro tarp DNR spiralės, apvalkalo, galaktikos ir Egipto piramidžių? Fibonačio spiralė yra užšifruotas gamtos dėsnis.

Leonardo Fibonači yra vienas didžiausių viduramžių matematikų. Viename iš savo darbų „Skaičiavimų knyga“ Fibonači aprašė indo-arabų skaičiavimo sistemą ir jos naudojimo pranašumus prieš romėniškąją.

Apibrėžimas
Fibonačio skaičiai arba Fibonačio seka yra skaitinė seka, turinti daugybę savybių. Pavyzdžiui, dviejų gretimų sekos skaičių suma suteikia kito skaičiaus vertę (pavyzdžiui, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 ir tt), o tai patvirtina vadinamųjų Fibonačio koeficientų egzistavimą. , t.y pastovūs santykiai.

Fibonačio seka prasideda taip: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Pilnas Fibonačio skaičių apibrėžimas

3.


Fibonačio sekos savybės

4.

1. Kiekvieno skaičiaus ir kito santykis vis labiau linkęs į 0,618, didėjant eilės skaičiui. Kiekvieno skaičiaus santykis su ankstesniu yra 1,618 (atvirkščiai - 0,618). Skaičius 0,618 vadinamas (PI).

2. Dalijant kiekvieną skaičių iš kito, po vieno, gaunamas skaičius 0.382; priešingai - atitinkamai 2.618.

3. Tokiu būdu pasirinkę koeficientus, gauname pagrindinį Fibonačio koeficientų rinkinį:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.


Ryšys tarp Fibonačio sekos ir „auksinio santykio“

6.

Fibonačio seka asimptotiškai (artėja vis lėčiau) linkusi į tam tikrą pastovų santykį. Tačiau šis santykis yra neracionalus, tai yra, tai skaičius, kurio trupmeninėje dalyje yra begalinė, nenuspėjama dešimtainių skaitmenų seka. Tiksliai to išreikšti neįmanoma.

Jei kuris nors Fibonačio sekos narys bus padalytas iš prieš tai esančio (pvz., 13: 8), rezultatas bus vertė, kuri svyruoja aplink neracionalią vertę 1.61803398875 ... ir kartkartėmis jo nepasiekti. Bet net ir palietus Amžinybę, neįmanoma tiksliai žinoti santykio iki paskutinio dešimtainio skaičiaus. Dėl kietumo mes jį išversime 1.618 pavidalu. Specialūs šio santykio pavadinimai buvo pradėti duoti dar prieš tai, kai Luca Pacioli (amžiaus vidurio matematikas) pavadino jį dieviškąja proporcija. Tarp šiuolaikinių pavadinimų yra tokie kaip Aukso santykis, Auksinis vidurkis ir besisukančių kvadratų santykis. Keplepas šiuos santykius pavadino vienu iš „geometrijos lobių“. Algebroje jos žymėjimą paprastai priima graikų raidė phi

Įsivaizduokime Auksinį santykį kaip pavyzdį naudodami linijos segmentą.

Apsvarstykite segmentą, kurio galai A ir B. Tegul taškas C padalija segmentą AB taip,

AC / CB = CB / AB arba

AB / CB = CB / AC.

Galite galvoti apie tai taip: A -C -B

7.

Auksinis santykis yra toks proporcingas segmento padalijimas į nevienodas dalis, kuriame visas segmentas nurodo didesnę dalį taip pat, kaip ir pati didesnė dalis nurodo mažesnę; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra susijęs su didesniu, kaip didesnis su viskuo.

8.

Auksinio santykio segmentai išreiškiami begaline neracionalia dalimi 0,618 ... jei AB imamas kaip vienetas, AC = 0,382 .. Kaip jau žinome, skaičiai 0,618 ir 0,382 yra Fibonačio sekos koeficientai.

9.

Fibonači ir Auksiniai santykiai gamtoje ir istorijoje

10.


Svarbu pažymėti, kad Fibonači žmonijai priminė jo seką. Ji buvo žinoma net senovės graikams ir egiptiečiams. Iš tiesų, nuo to laiko gamtoje, architektūroje, vaizduojamajame mene, matematikoje, fizikoje, astronomijoje, biologijoje ir daugelyje kitų sričių buvo rasti modeliai, aprašyti pagal Fibonačio koeficientus. Nuostabu, kiek konstantų galima apskaičiuoti naudojant „Fibonacci“ seką ir kaip jos nariai rodomi daugybe derinių. Tačiau nebūtų perdėta teigti, kad tai ne tik žaidimas su skaičiais, bet ir svarbiausia matematinė kada nors atrastų gamtos reiškinių išraiška.

11.

Žemiau pateikti pavyzdžiai rodo keletą įdomių šios matematinės sekos taikymo sričių.

12.

1. Korpusas suvyniotas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek prastesnį už gyvatės ilgį. Mažasis 10 centimetrų apvalkalas turi 35 cm ilgio spiralę.Spiraliniu būdu sulenkto apvalkalo forma patraukė Archimedo dėmesį. Esmė ta, kad apvalkalo garbanų matavimų santykis yra pastovus ir lygus 1,618. Archimedas studijavo kriauklių spiralę ir išvedė spiralės lygtį. Iš šios lygties nubrėžta spiralė pavadinta jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada yra vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama technologijose.

2. Augalai ir gyvūnai. Net Gėtė pabrėžė gamtos polinkį į spiralę. Sraigtinis ir spiralinis lapų išdėstymas ant medžių šakų buvo pastebėtas jau seniai. Spiralė buvo matoma išdėstant saulėgrąžų sėklas, kankorėžius, ananasus, kaktusus ir kt. Bendras botanikų ir matematikų darbas nušvietė šiuos nuostabius gamtos reiškinius. Paaiškėjo, kad išdėstant lapus ant saulėgrąžų sėklų, kankorėžių šakos, pasireiškia Fibonačio serija, todėl pasireiškia aukso santykio dėsnis. Voras audžia tinklą spiraliniu būdu. Uraganas sukasi spirale. Išsigandusi šiaurinių elnių banda išsisklaido spirale. DNR molekulė susukta į dvigubą spiralę. Goethe spiralę pavadino „gyvenimo vingiu“.

Tarp pakelės žolių auga nepastebimas augalas - cikorija. Pažvelkime į jį iš arčiau. Iš pagrindinio stiebo susiformavo procesas. Pirmasis lapas yra čia pat. Šaudymas stipriai išstumia į erdvę, sustoja, išleidžia lapą, bet yra trumpesnis už pirmąjį, vėl daro išmetimą į erdvę, tačiau su mažesne jėga išleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išstumia. Jei pirmoji emisija yra 100 vienetų, tai antroji yra 62 vienetai, trečioji - 38, ketvirtoji - 24 ir tt. Žiedlapių ilgiui taip pat taikomas auksinis santykis. Augdamas, užkariaudamas erdvę, augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai aukso pjūviui.

Driežas yra gyvybingas. Drieže iš pirmo žvilgsnio pagaunamos mūsų akims malonios proporcijos - jos uodegos ilgis yra tiek pat susijęs su likusio kūno ilgiu, kaip ir nuo 62 iki 38.

Tiek augalų, tiek gyvūnų pasaulyje nuolat formuojasi formuojanti gamtos tendencija - simetrija augimo ir judėjimo krypties atžvilgiu. Čia auksinis santykis atsiranda dalių, statmenų augimo krypčiai, proporcijose. Gamta padalijo į simetriškas dalis ir auksines proporcijas. Dalimis pasireiškia visumos sandaros kartojimas.

Šio amžiaus pradžioje Pierre'as Curie suformulavo daugybę gilių simetrijos idėjų. Jis teigė, kad negalima atsižvelgti į bet kurio kūno simetriją, neatsižvelgiant į aplinkos simetriją. Auksinės simetrijos modeliai pasireiškia elementarių dalelių energijos perėjimuose, kai kurių cheminių junginių struktūroje, planetų ir kosmoso sistemose, gyvų organizmų genetinėse struktūrose. Šie modeliai, kaip nurodyta aukščiau, yra atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia bioritmais ir smegenų bei regos suvokimo funkcionavimu.

3. Erdvė. Iš astronomijos istorijos žinoma, kad XVIII amžiaus vokiečių astronomas I. Titius, padedamas šios serijos (Fibonači), nustatė taisyklingumą ir tvarką atstumuose tarp Saulės sistemos planetų

Tačiau vienas atvejis, kuris iš pažiūros prieštaravo įstatymams: tarp Marso ir Jupiterio nebuvo planetos. Koncentruotas šio dangaus regiono stebėjimas leido atrasti asteroido juostą. Tai atsitiko po Titijaus mirties XIX amžiaus pradžioje.

Fibonačio serija yra plačiai naudojama: ji naudojama vaizduojant gyvų būtybių architektūrą, žmogaus sukurtas struktūras ir galaktikų struktūrą. Šie faktai liudija skaičių eilių nepriklausomybę nuo jos pasireiškimo sąlygų, o tai yra vienas iš jos universalumo požymių.

4. Piramidės. Daugelis bandė atskleisti Gizos piramidės paslaptis. Skirtingai nuo kitų Egipto piramidžių, tai nėra kapas, o greičiau neišsprendžiamas skaičių derinių galvosūkis. Nepaprastas piramidės architektų išradingumas, įgūdžiai, laikas ir darbas, kurį jie panaudojo kurdami amžinąjį simbolį, rodo nepaprastą pranešimo, kurį jie norėjo perduoti ateities kartoms, svarbą. Jų era buvo išankstinė literatūra, prieš hieroglifą, o simboliai buvo vienintelė atradimų fiksavimo priemonė. Raktą į geometrinę-matematinę Gizos piramidės paslaptį, kuri žmonijai taip ilgai buvo paslaptis, iš tikrųjų šventyklos kunigai perdavė Herodotui ir pranešė, kad piramidė pastatyta taip, kad kiekvienas jo veidas buvo lygus jo aukščio kvadratui.

Trikampio sritis

356 x 440/2 = 78320

Kvadrato plotas

280 x 280 = 78400

Gizos piramidės pagrindo krašto ilgis yra 783,3 pėdos (238,7 m), piramidės aukštis - 147,6 m. Pagrindo briaunos ilgis, padalytas iš aukščio, lemia santykį Ф = 1,618. 484,4 pėdų aukštis atitinka 5813 colių (5-8-13)-tai skaičiai iš Fibonačio sekos. Šie įdomūs pastebėjimai rodo, kad piramidės dizainas pagrįstas proporcija Φ = 1,618. Kai kurie šiuolaikiniai mokslininkai linkę aiškinti, kad senovės egiptiečiai ją kūrė turėdami vienintelį tikslą perduoti žinias, kurias norėjo išsaugoti ateities kartoms. Intensyvūs Gizos piramidės tyrimai parodė, kokios plačios tuo metu buvo matematikos ir astrologijos žinios. Visomis vidinėmis ir išorinėmis piramidės proporcijomis pagrindinis skaičius yra 1.618.

Piramidės Meksikoje. Ne tik Egipto piramidės yra pastatytos pagal tobulas aukso santykio proporcijas, tas pats reiškinys buvo aptiktas ir Meksikos piramidėse. Kyla mintis, kad tiek Egipto, tiek Meksikos piramides maždaug tuo pačiu metu pastatė bendros kilmės žmonės.

Visatoje vis dar yra daug neišspręstų paslapčių, kai kurias iš jų mokslininkai jau sugebėjo atpažinti ir aprašyti. Fibonačio skaičiai ir auksinis santykis yra pagrindas sprendžiant aplinkinį pasaulį, konstruojant jo formą ir optimalų žmogaus vizualinį suvokimą, kurio pagalba jis gali pajusti grožį ir harmoniją.

Auksinis santykis

Aukso pjūvio dydžio nustatymo principas yra viso pasaulio ir jo dalių tobulumo struktūra ir funkcijomis, jo pasireiškimas matomas gamtoje, mene ir technologijose. Auksinio santykio doktrina buvo sukurta remiantis senovės mokslininkų tyrimais apie skaičių prigimtį.

Jis pagrįstas segmentų padalijimo proporcijų ir santykių teorija, kurią sukūrė senovės filosofas ir matematikas Pitagoras. Jis įrodė, kad padalijus segmentą į dvi dalis: X (mažesnis) ir Y (didesnis), didesnio ir mažesnio santykis bus lygus jų sumos (viso segmento) santykiui:

Rezultatas yra lygtis: x 2 - x - 1 = 0, kuris išspręstas kaip x = (1 ± √5) / 2.

Jei atsižvelgsime į santykį 1 / x, tada jis bus lygus 1,618…

Senovės mąstytojų aukso pjūvio panaudojimo įrodymai pateikti Euklido knygoje „Pradžia“, parašytoje dar III amžiuje. Kr., Kuris pritaikė šią taisyklę, kad sukonstruotų įprastus 5 gonus. Tarp pitagoriečių ši figūra laikoma šventa, nes ji yra ir simetriška, ir asimetriška. Pentagrama simbolizavo gyvybę ir sveikatą.

Fibonačio skaičiai

Garsioji matematiko iš Italijos Leonardo iš Pizos, vėliau žinomo kaip Fibonači, knyga „Liber abaci“ buvo išleista 1202 m. Jame mokslininkas pirmą kartą nurodo skaičių taisyklingumą, kurio eilutėje kiekvienas skaičius yra 2 ankstesnių skaitmenų suma. Fibonačio skaičių seka yra tokia:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ir kt.

Mokslininkas taip pat nurodė keletą modelių:

• Bet koks skaičius iš serijos, padalytas iš kito, bus lygus 0,618 vertei. Be to, pirmieji Fibonačio skaičiai tokio skaičiaus nesuteikia, tačiau judant nuo sekos pradžios šis santykis taps vis tikslesnis.
• Jei skaičių iš eilės padalinsime iš ankstesnio, tada rezultatas pasieks 1,618.
• Vienas skaičius, padalytas iš kito po vieno, parodys reikšmę, linkusią į 0,382.

Ryšio taikymą ir auksinio santykio dėsnius, Fibonačio skaičių (0,618), galima rasti ne tik matematikoje, bet ir gamtoje, istorijoje, architektūroje ir statyboje bei daugelyje kitų mokslų.

Archimedo spiralė ir auksinis stačiakampis

Spiralės, kurios yra labai paplitusios gamtoje, buvo tiriamos Archimedo, kuris netgi išvedė jos lygtį. Spiralės forma pagrįsta aukso pjūvio dėsniais. Kai jis nesusukamas, gaunamas ilgis, kuriam gali būti taikomos proporcijos ir Fibonačio skaičiai, žingsnis tolygiai didėja.

Fibonačio skaičių ir aukso santykio paralelę galima pamatyti sukūrus „auksinį stačiakampį“, kurio kraštinės proporcingos 1,618: 1. Jis sukonstruotas, pereinant iš didelio stačiakampio į mažus, kad kraštinių ilgiai būtų lygūs skaičiams iš eilės. Jo konstrukciją galima atlikti atvirkštine tvarka, pradedant langeliu „1“. Kai šio stačiakampio kampai yra sujungti linijomis jų sankirtos centre, gaunama Fibonačio spiralė arba logaritminė spiralė.

Auksinių proporcijų naudojimo istorija

Daugelis senovės Egipto architektūros paminklų buvo pastatyti naudojant auksines proporcijas: garsiosios Cheopso piramidės ir kt. Senovės Graikijos architektai jas plačiai naudojo statydami architektūros objektus, tokius kaip šventyklos, amfiteatrai, stadionai. Pavyzdžiui, tokios proporcijos buvo naudojamos statant senovinę Partenono šventyklą, (Atėnai) ir kitus objektus, kurie tapo senovės architektūros šedevrais, demonstruojančiais harmoniją, pagrįstą matematiniais įstatymais.

Vėlesniais amžiais susidomėjimas Aukso santykiu nuslūgo, o modeliai buvo pamiršti, tačiau vėl atsinaujino Renesanse, kartu su vienuolio pranciškono L. Pacioli di Borgo knyga „Dieviškoji proporcija“ (1509). Jame buvo Leonardo da Vinci iliustracijos, įtvirtinusios naują pavadinimą „auksinis santykis“. Taip pat moksliškai buvo įrodyta 12 aukso pjūvio savybių, o autorius kalbėjo apie tai, kaip jis pasireiškia gamtoje, mene ir pavadino jį „pasaulio ir gamtos kūrimo principu“.

Vitruvijos žmogus Leonardo

Piešinyje, kuriuo Leonardo da Vinci 1492 m. Iliustravo Vitruvijaus knygą, pavaizduota žmogaus figūra 2 padėtyse, išskėstomis rankomis. Figūra užrašyta apskritimu ir kvadratu. Šis piešinys laikomas kanoninėmis žmogaus kūno (vyro) proporcijomis, kurias apibūdino Leonardo remdamasis savo tyrimu romėnų architekto Vitruvijaus traktatuose.

Bamba laikoma kūno centru kaip vienodo atstumo taškas nuo rankų ir kojų galo, rankų ilgis yra lygus žmogaus ūgiui, didžiausias pečių plotis = 1/8 aukščio, atstumas nuo krūtinės viršaus iki plaukų = 1/7, nuo krūtinės viršaus iki galvos viršaus = 1/6 ir pan.

Nuo to laiko piešinys buvo naudojamas kaip simbolis, rodantis vidinę žmogaus kūno simetriją.

Leonardo vartojo terminą „auksinis santykis“, nurodydamas proporcingus asmens figūros santykius. Pavyzdžiui, atstumas nuo juosmens iki pėdų yra susijęs su tuo pačiu atstumu nuo bambos iki galvos vainiko, taip pat aukščiu iki pirmo ilgio (nuo juosmens žemyn). Šis skaičiavimas atliekamas panašiai kaip segmentų santykis skaičiuojant auksinį santykį ir yra linkęs į 1,618.

Visas šias harmoningas proporcijas menininkai dažnai naudoja kurdami gražius ir įspūdingus kūrinius.

Aukso santykio tyrimai XVI-XIX a

Naudojant auksinį santykį ir Fibonačio skaičių, proporcijų tyrimai vyksta šimtmečius. Kartu su Leonardo da Vinci vokiečių dailininkas Albrechtas Dureris taip pat dirbo kurdamas teisingų žmogaus kūno proporcijų teoriją. Tam jis netgi sukūrė specialų kompasą.

XVI a. klausimas apie Fibonačio skaičiaus ir aukso santykio santykį buvo astronomo I. Keplerio, kuris pirmasis šias taisykles pritaikė botanikai, darbų objektas.

Aukso santykio XIX amžiuje laukė naujas „atradimas“. išleidus vokiečių mokslininko profesoriaus Zeisigo „Estetinius tyrimus“. Jis pakėlė šias proporcijas iki absoliučių ir paskelbė, kad jos yra universalios visiems gamtos reiškiniams. Jis atliko daugybės žmonių, tiksliau jų kūno proporcijų (apie 2 tūkst.), Tyrimus, kuriais remiantis buvo padarytos išvados apie statistiškai patvirtintus įvairių kūno dalių santykio modelius: pečių, dilbių, rankų ilgį. , pirštai ir kt.

Taip pat buvo tiriami meno objektai (vazos, architektūrinės struktūros), muzikiniai tonai, dydžiai rašant eilėraščius - Zeisig visa tai atspindėjo segmentų ilgiais ir skaičiais, taip pat įvedė terminą „matematinė estetika“. Gavus rezultatus paaiškėjo, kad gaunama Fibonačio serija.

Fibonačio skaičius ir auksinis santykis gamtoje

Augalų ir gyvūnų pasaulyje yra tendencija formuotis simetrijos pavidalu, kuris pastebimas augimo ir judėjimo kryptimi. Skirstymas į simetriškas dalis, kuriose stebimos auksinės proporcijos, yra būdingas daugeliui augalų ir gyvūnų.

Mus supančią gamtą galima apibūdinti naudojant Fibonačio skaičius, pavyzdžiui:

• bet kokių augalų lapų ar šakų vieta, taip pat atstumai yra susiję su daugybe nurodytų skaičių 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ir toliau;
• saulėgrąžų sėklos (svarstyklės ant kūgių, ananasų ląstelių), išdėstytos dviem eilėmis išilgai susuktų spiralių skirtingomis kryptimis;
• uodegos ilgio ir viso driežo kūno santykis;
• kiaušinio forma, jei per plačią jo dalį sąlyginai nubrėžiate liniją;
• pirštų dydžio santykis ant žmogaus rankos.

Ir, žinoma, įdomiausios formos yra sraigtiniai sraigių kriauklės, voratinklių modeliai, vėjo judėjimas uragano viduje, dviguba spiralė DNR ir galaktikų struktūra - visa tai apima Fibonačio skaičių seką. .

Aukso pjūvio panaudojimas mene

Mokslininkai, ieškantys aukso pjūvio panaudojimo pavyzdžių mene, išsamiai tyrinėja įvairius architektūros objektus ir paveikslus. Žinomi garsūs skulptūros kūriniai, kurių kūrėjai laikėsi auksinių proporcijų - Olimpinio Dzeuso, Apolono Belvederio ir

Vienas iš Leonardo da Vinci kūrinių - „Monos Lizos portretas“ - daugelį metų buvo tyrinėtas mokslininkų. Jie nustatė, kad kūrinio kompoziciją sudaro tik „auksiniai trikampiai“, sujungti į įprastą penkiakampę žvaigždę. Visi da Vinci darbai liudija, kaip giliai jis žinojo apie žmogaus kūno sandarą ir proporcijas, kurių dėka jis sugebėjo pagauti neįtikėtinai paslaptingą La Gioconda šypseną.

Auksinis santykis architektūroje

Kaip pavyzdį mokslininkai studijavo architektūros šedevrus, sukurtus pagal „auksinio pjūvio“ taisykles: Egipto piramides, Panteoną, Partenoną, Paryžiaus Dievo Motinos katedrą, Šv. Vasilijaus katedrą ir kt.

Partenonas - vienas gražiausių Senovės Graikijos (V a. Pr. Kr.) Pastatų - turi 8 stulpelius ir 17 iš skirtingų pusių, jo aukščio ir šonų ilgio santykis yra 0,618. Jo fasadų iškyšos padarytos pagal „auksinį santykį“ (nuotrauka žemiau).

Vienas iš mokslininkų, išradusių ir sėkmingai pritaikiusį architektūrinių objektų modulinės proporcijų sistemos tobulinimą (vadinamąjį „moduliatorių“), buvo prancūzų architektas Le Corbusier. Moduliatorius yra pagrįstas matavimo sistema, susieta su sąlyginiu suskirstymu į žmogaus kūno dalis.

Rusų architektas M. Kazakovas, Maskvoje pastatęs keletą gyvenamųjų pastatų, taip pat Senato pastatus Kremliuje ir Golitsyno ligoninę (dabar 1 -oji klinika, pavadinta NI Pirogovo vardu), buvo vienas iš architektų, naudojusių įstatymus. dizainas ir konstrukcija apie auksinį santykį.

Proporcijų taikymas projektuojant

Drabužių dizaino srityje visi mados dizaineriai kuria naujus įvaizdžius ir modelius, atsižvelgdami į žmogaus kūno proporcijas ir auksinio santykio taisykles, nors iš prigimties ne visi žmonės turi idealias proporcijas.

Planuojant kraštovaizdžio dizainą ir kuriant tūrines parko kompozicijas naudojant augalus (medžius ir krūmus), fontanus ir mažosios architektūros objektus, taip pat gali būti taikomi „dieviškųjų proporcijų“ dėsniai. Galų gale, parko kompozicija turėtų būti nukreipta į įspūdžio sukūrimą lankytojui, kuris gali laisvai jame naršyti ir rasti kompozicijos centrą.

Visi parko elementai yra tokių proporcijų, kad geometrinės struktūros, tarpusavio išdėstymo, apšvietimo ir šviesos pagalba sukuria žmogui harmonijos ir tobulumo įspūdį.

Aukso santykio taikymas kibernetikoje ir inžinerijoje

Auksinio santykio ir Fibonačio skaičių modeliai taip pat pasireiškia energijos perėjimuose, procesuose, vykstančiuose su elementariomis dalelėmis, sudarančiomis cheminius junginius, erdvės sistemose, genetinėje DNR struktūroje.

Panašūs procesai vyksta ir žmogaus kūne, pasireiškiantys jo gyvenimo bioritmais, veikiant organams, pavyzdžiui, smegenims ar regėjimui.

Auksinių proporcijų algoritmai ir modeliai yra plačiai naudojami šiuolaikinėje kibernetikoje ir informatikoje. Viena iš paprastų užduočių, kurias turi išspręsti pradedantieji programuotojai, yra programavimo kalbomis parašyti formulę ir nustatyti Fibonačio skaičių sumą iki tam tikro skaičiaus.

Šiuolaikiniai aukso santykio teorijos tyrimai

Nuo XX amžiaus vidurio smarkiai išaugo susidomėjimas problemomis ir auksinių proporcijų modelių įtaka žmogaus gyvenimui ir daugelio įvairių profesijų mokslininkų: matematikų, etnoso tyrinėtojų, biologų, filosofų, medicinos. darbininkai, ekonomistai, muzikantai ir kt.

Nuo 1970 -ųjų JAV leidžiamas žurnalas „The Fibonacci Quarterly“, kuriame skelbiami darbai šia tema. Spaudoje yra darbų, kuriuose apibendrintos aukso pjūvio taisyklės ir Fibonačio serija naudojamos įvairiose žinių šakose. Pavyzdžiui, informacijos kodavimui, cheminiams tyrimams, biologiniams ir kt.

Visa tai patvirtina senovės ir šiuolaikinių mokslininkų išvadas, kad aukso santykis yra daugiašalis susijęs su pagrindiniais mokslo klausimais ir pasireiškia daugelio mus supančio pasaulio kūrinių ir reiškinių simetrija.

pagal B. Bigso knygą „gyvatvorė išėjo iš rūko“

Apie „Fibonacci“ numerius ir prekybą

Kaip įvadą į temą trumpai pereikime prie techninės analizės. Trumpai tariant, technine analize, remiantis ankstesniais istoriniais duomenimis, siekiama numatyti būsimą turto kainos judėjimą. Garsiausia jo šalininkų formuluotė yra ta, kad į kainą jau įtraukta visa reikalinga informacija. Techninės analizės įgyvendinimas prasidėjo plėtojant spekuliacijas akcijomis ir tikriausiai iki šiol nėra visiškai baigtas, nes tai potencialiai žada neribotą pelną. Garsiausi techninės analizės metodai (terminai) yra palaikymo ir atsparumo lygiai, japoniškos žvakidės, modeliai, numatantys kainų pasikeitimą ir kt.

Situacijos paradoksas, mano nuomone, yra toks - dauguma aprašytų metodų taip išplito, kad, nepaisant to, kad trūko įrodymų apie jų veiksmingumą, jie tikrai turėjo galimybę daryti įtaką rinkos elgesiui. Todėl net skeptikai, kurie naudoja pagrindinius duomenis, turėtų apsvarstyti šias sąvokas vien todėl, kad į jas atsižvelgia labai daug kitų žaidėjų („technikų“). Techninė analizė gali gerai veikti istorijoje, tačiau praktiškai niekas negali su ja nuolat uždirbti pinigų - daug lengviau praturtėti išleidus didelį tiražą knygos „Kaip tapti milijonieriumi naudojant techninę analizę“. .

Šia prasme išsiskiria Fibonačio teorija, kuri taip pat naudojama prognozuojant skirtingų laikotarpių kainas. Jos pasekėjai paprastai vadinami „bangų lyderiais“. Jis išsiskiria, nes atsirado ne vienu metu su rinka, o daug anksčiau - net 800 metų. Kitas jos bruožas yra tas, kad teorija savo atspindį atrado beveik kaip pasaulinę koncepciją, apibūdinančią viską ir visus, o rinka yra tik ypatingas jos taikymo atvejis. Teorijos veiksmingumas ir jos trukmė suteikia jai naujų rėmėjų ir naujų bandymų pagal ją sudaryti mažiausiai prieštaringai vertinamą ir visuotinai priimtiną rinkų elgesio aprašymą. Bet, deja, teorija nepasistūmėjo toliau nei pavienės sėkmingos rinkos prognozės, kurias galima prilyginti sėkmei.

Fibonačio teorijos esmė

Fibonači, ypač savo laikui, gyveno ilgą gyvenimą, kurį skyrė daugybei matematinių problemų spręsti, jas suformulavo savo apimtyje esančiame darbe „Abako knyga“ (XIII a. Pradžia). Jį visada domino skaičių mistika - jis tikriausiai buvo ne mažiau puikus nei Archimedas ar Euklidas. Problemos, susijusios su kvadratinėmis lygtimis, buvo iškeltos ir iš dalies išspręstos prieš Fibonacci, pavyzdžiui, garsus Omaras Khayyamas, mokslininkas ir poetas; tačiau Fibonači suformulavo triušių veisimo problemą, kurios išvados atnešė jam tai, kas leido šimtmečiais neprarasti jo vardo.

Trumpai tariant, užduotis yra tokia. Pora triušių buvo patalpinta į vietą, aptvertą iš visų pusių siena, ir kiekviena triušių pora kiekvieną mėnesį gimdo kitą porą, pradedant nuo antrojo gyvavimo mėnesio. Triušių dauginimasis laiku bus aprašytas tokia seka: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ir kt. Matematiniu požiūriu seka pasirodė tiesiog unikali, nes turėjo daugybę išskirtinių savybių:

• bet kurių dviejų iš eilės einančių skaičių suma yra kitas skaičius iš eilės;

• kiekvieno sekos skaičiaus santykis, pradedant nuo penkto, iki ankstesnio, yra lygus 1,618;

• skirtumas tarp bet kurio skaičiaus kvadrato ir dviejų skaičių pozicijų kvadrato kairėje bus Fibonačio skaičius;

• gretimų skaičių kvadratų suma bus Fibonačio skaičius, kuris yra dvi pozicijos po didesnio iš kvadratinių skaičių

Iš šių išvadų įdomiausia yra antroji, nes joje naudojamas skaičius 1.618, žinomas kaip aukso santykis. Šis skaičius jau buvo žinomas senovės graikams, kurie jį naudojo statant Partenoną (beje, kai kuriais pranešimais, centrinis bankas tarnavo graikams). Ne mažiau įdomu yra ir tai, kad skaičių 1,618 galima rasti gamtoje tiek mikro-, tiek makro skalėje - nuo spiralinių posūkių ant sraigės apvalkalo iki didelių kosminių galaktikų spiralių. Gizos piramidėse, kurias sukūrė senovės egiptiečiai, jų statybos metu taip pat buvo keli Fibonačio serijos parametrai. Labiausiai akiai atrodo stačiakampis, kurio viena pusė yra 1,618 karto didesnė už kitą - šį santykį savo paveikslams naudojo Leonardo da Vinci, o kasdienine prasme jis kartais buvo naudojamas kuriant langus ar durų angos. Netgi banga, kaip ir paveikslėlyje straipsnio pradžioje, gali būti pavaizduota kaip Fibonačio spiralė.

Gyvoje gamtoje Fibonačio seka pasireiškia ne rečiau - ją galima rasti nagais, dantimis, saulėgrąžomis, voratinkliais ir net daugintis bakterijoms. Jei pageidaujama, nuoseklumo galima rasti beveik visur, įskaitant žmogaus veidą ir kūną. Nepaisant to, yra nuomonė, kad daugelis teiginių, kuriuose Fibonačio skaičiai randami gamtos ir istoriniuose reiškiniuose, yra neteisingi - tai yra paplitęs mitas, kuris dažnai pasirodo netinkamas norimam rezultatui.

Fibonačio skaičiai finansų rinkose

Vienas pirmųjų, kuris buvo labiausiai susijęs su Fibonačio skaičiaus taikymu finansų rinkai, buvo R. Elliotas. Jo darbas nebuvo iššvaistytas ta prasme, kad rinkos aprašymai, naudojant Fibonačio teoriją, dažnai vadinami „Elioto bangomis“. Rinkos plėtra čia buvo pagrįsta žmogaus vystymosi modeliu iš super ciklų su trimis žingsniais į priekį ir dviem žingsniais atgal. Tai, kad žmonija vystosi netiesiškai, yra akivaizdu beveik visiems - žinios apie Senovės Egiptą ir atomistinis Demokrito mokymas buvo visiškai prarastos viduramžiais, t.y. po maždaug 2000 metų; XX amžius sukėlė tokį siaubą ir žmogaus gyvenimo menkumą, kurį buvo sunku įsivaizduoti net graikų punų karų eroje. Tačiau net jei žingsnių teoriją ir jų skaičių pripažįstame tiesa, kiekvieno žingsnio dydis lieka neaiškus, todėl Elioto bangos yra panašios į galvų ir uodegų nuspėjamąją galią. Pradinis taškas ir teisingas bangų skaičiavimas buvo ir tikriausiai bus pagrindinis teorijos trūkumas.

Nepaisant to, teorija turėjo vietinės sėkmės. Bobas Pretcheris, kurį galima laikyti Ellioto mokiniu, teisingai išpranašavo 80 -ųjų pradžios bulių rinką, o 1987 m. - kaip kertinius metus. Tai iš tikrųjų atsitiko, po to Bobas akivaizdžiai jautėsi kaip genijus - bent jau kitų akyse jis tikrai tapo investicijų guru. Prechterio „Elliott Wave Theorist“ prenumerata tais metais išaugo iki 20 000.tačiau dešimtojo dešimtmečio pradžioje jis sumažėjo, nes prognozuojamas Amerikos rinkos „pražūtis ir niūrumas“ nusprendė šiek tiek atidėti. Tačiau Japonijos rinkai tai pasiteisino, ir nemažai teorijos šalininkų, kurie ten „pavėlavo“ viena banga, prarado arba savo kapitalą, arba savo įmonių klientų kapitalą. Tuo pačiu būdu ir su tokia pačia sėkme teoriją dažnai bandoma pritaikyti prekybai užsienio valiutų rinkoje.

Teorija apima įvairius prekybos laikotarpius - nuo savaitės, todėl ji yra susijusi su standartinėmis techninės analizės strategijomis, iki skaičiavimų dešimtmečiams, t.y. įsiveržia į esminių prognozių teritoriją. Tai įmanoma keičiant bangų skaičių. Aukščiau paminėti teorijos trūkumai leidžia jos šalininkams kalbėti ne apie bangų nenuoseklumą, bet apie savo klaidingus skaičiavimus, įskaitant neteisingą pradinės pozicijos nustatymą. Tai atrodo kaip labirintas - net jei turite tinkamą žemėlapį, galite jį pereiti tik tada, jei tiksliai suprantate, kur esate. Priešingu atveju kortelė nenaudinga. „Elliott“ bangų atveju yra visi ženklai, leidžiantys abejoti ne tik jos buvimo vietos teisingumu, bet ir pačios kortelės teisingumu.

išvadas

Žmonijos bangų raida turi realų pagrindą - viduramžiais infliacijos ir defliacijos bangos kaitaliojosi viena su kita, kai karai pakeitė gana ramų taikų gyvenimą. Fibonačio sekos stebėjimas gamtoje, bent jau kai kuriais atvejais, taip pat nekelia abejonių. Todėl kiekvienas turi teisę atsakyti į klausimą, kas yra Dievas: matematikas ar atsitiktinių skaičių generatorius. Mano asmeninė nuomonė yra ta, kad nors visa žmonijos istorija ir rinkos gali būti pavaizduotos bangų koncepcijoje, niekas negali numatyti kiekvienos bangos aukščio ir trukmės.

Tuo pačiu metu, 200 metų stebint Amerikos rinką ir praėjus daugiau nei 100 metų po likusių metų, akivaizdu, kad akcijų rinka auga, išgyvena įvairius augimo ir sąstingio laikotarpius. Šio fakto visiškai pakanka ilgalaikiam uždarbiui vertybinių popierių rinkoje, nesinaudojant prieštaringai vertinamomis teorijomis ir patikint joms daugiau kapitalo, nei turėtų būti pagrįsta rizika.

Išsiaiškinkime, kas bendra tarp senovės Egipto piramidžių, Leonardo da Vinci paveikslo „Mona Liza“, saulėgrąžų, sraigių, kankorėžių ir žmogaus pirštų?

Atsakymas į šį klausimą yra paslėptas nuostabiais skaičiais italų viduramžių matematikas Leonardas Pizas, geriau žinomas Fibonačio vardu (g. apie 1170 m. - mirė po 1228 m.), italų matematikas ... Keliaudamas Rytuose susipažinau su arabų matematikos pasiekimais; prisidėjo prie jų perkėlimo į Vakarus.

Po jo atradimo šie skaičiai buvo pradėti vadinti garsaus matematiko vardu. Nuostabi Fibonačio sekos esmė yra ta kad kiekvienas šios sekos skaičius gaunamas iš dviejų ankstesnių skaičių sumos.

Taigi, skaičiai, sudarantys seką:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

vadinami „Fibonačio skaičiais“, o pati seka vadinama Fibonačio seka.

Fibonačio skaičiuose yra viena labai įdomi savybė. Padalijus bet kurį skaičių iš sekos iš skaičiaus, esančio priešais jį eilutėje, rezultatas visada bus vertė, kuri svyruoja aplink neracionalią vertę 1.61803398875 ... ir per tą laiką ji pakyla arba nepasiekia. (Pastaba: neracionalus skaičius, t. Y. Skaičius, kurio dešimtainis vaizdas yra begalinis, o ne periodinis)

Be to, po 13 -osios sekos šis padalijimo rezultatas tampa pastovus neribotą laiką ... Būtent šis nuolatinis padalijimų skaičius viduramžiais buvo vadinamas dieviška proporcija, o šiais laikais jis vadinamas aukso santykiu, aukso viduriu arba auksine proporcija ... Algebroje šis skaičius žymimas graikų raide phi (Ф)

Taigi, aukso santykis = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Žmogaus kūnas ir auksinis santykis

Menininkai, mokslininkai, mados dizaineriai, dizaineriai skaičiavimus, piešinius ar eskizus atlieka remdamiesi aukso santykio santykiu. Jie naudoja žmogaus kūno matavimus, taip pat sukurtus pagal auksinio santykio principą. Leonardo Da Vinci ir Le Corbusier, prieš kurdami savo šedevrus, paėmė žmogaus kūno parametrus, sukurtus pagal aukso santykio dėsnį.

Svarbiausioje visų šiuolaikinių architektų knygoje, E. Neuferto žinyne „Pastatų projektavimas“ pateikiami pagrindiniai žmogaus kūno parametrų skaičiavimai, kuriuose yra auksinė proporcija.

Įvairių mūsų kūno dalių proporcijos sudaro labai artimą auksiniam skaičiui. Jei šios proporcijos sutampa su aukso santykio formule, tada žmogaus išvaizda ar kūnas laikomi puikiai sulankstytais. Aukso mato žmogaus kūne apskaičiavimo principą galima pavaizduoti kaip diagramą:

M / m = 1,618

Pirmasis aukso santykio žmogaus kūno struktūroje pavyzdys:
Jei bambos tašką laikysime žmogaus kūno centru, o atstumą tarp žmogaus pėdų ir bambos taško - matavimo vienetu, tai žmogaus ūgis prilygs 1,618.

Be to, yra dar kelios pagrindinės auksinės mūsų kūno proporcijos:

* atstumas nuo pirštų galiukų iki riešo iki alkūnės yra 1: 1,618;

* atstumas nuo pečių lygio iki galvos vainiko ir galvos dydžio yra 1: 1,618;

* atstumas nuo bambos taško iki galvos vainiko ir nuo pečių lygio iki galvos vainiko yra 1: 1,618;

* bambos taško atstumas iki kelių ir nuo kelių iki pėdų yra 1: 1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės lūpos galiuko ir nuo viršutinės lūpos iki šnervių yra 1: 1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko yra 1: 1,618;

* atstumas nuo smakro galiuko iki viršutinės antakių linijos ir nuo viršutinės antakių linijos iki vainiko yra 1: 1,618:

Auksinis žmogaus veido bruožų santykis kaip tobulo grožio kriterijus.

Taip pat yra daug žmogaus veido bruožų struktūros pavyzdžių, kurie artėja prie auksinio santykio formulės vertės. Tačiau neskubėkite iškart po valdovo matuoti visų žmonių veidų. Kadangi tikslus aukso santykio atitikimas, pasak mokslininkų ir meno žmonių, menininkų ir skulptorių, egzistuoja tik tobulo grožio žmonėse. Tiesą sakant, tikslus aukso pjūvio buvimas žmogaus veide yra grožio idealas žmogaus akiai.

Pavyzdžiui, jei sudedame dviejų priekinių viršutinių dantų plotį ir padalijame šią sumą iš dantų aukščio, tada, gavus aukso santykio skaičių, galima teigti, kad šių dantų struktūra yra ideali.

Žmogaus veide yra ir kitų auksinio santykio taisyklės įsikūnijimų. Štai keletas šių santykių:

* Veido aukštis / veido plotis;

* Centrinis lūpų sandūros taškas prie nosies pagrindo / nosies ilgis;

* Veido aukštis / atstumas nuo smakro galiuko iki lūpų sandūros centro taško;

* Burnos plotis / nosies plotis;

* Nosies plotis / atstumas tarp šnervių;

* Atstumas tarp vyzdžių / atstumas tarp antakių.

Žmogaus ranka

Pakanka tik dabar priartinti delną prie savęs ir atidžiai pažvelgti į rodomąjį pirštą, ir iš karto jame rasite auksinio santykio formulę. Kiekvienas mūsų rankos pirštas susideda iš trijų falangų.

* Pirmųjų dviejų piršto falangų suma viso piršto ilgio atžvilgiu ir pateikia aukso pjūvio skaičių (išskyrus nykštį);

* Be to, vidurinio ir mažojo piršto santykis taip pat yra lygus auksiniam pjūviui;

* Žmogus turi 2 rankas, kiekvienos rankos pirštus sudaro 3 falangos (išskyrus nykštį). Kiekviena ranka turi 5 pirštus, tai yra iš viso 10, tačiau, išskyrus du dvifazius nykščius, pagal auksinio santykio principą sukuriami tik 8 pirštai. Kadangi visi šie skaičiai 2, 3, 5 ir 8 yra Fibonačio sekos skaičiai:

Auksinė proporcija žmogaus plaučių struktūroje

Amerikiečių fizikas B. D. Westas ir daktaras A. L. Goldbergeris, atlikdamas fizinius ir anatominius tyrimus, nustatė, kad auksinis santykis egzistuoja ir žmogaus plaučių struktūroje.

Bronchų, sudarančių žmogaus plaučius, ypatumas slypi jų asimetrijoje. Bronchus sudaro du pagrindiniai kvėpavimo takai, iš kurių vienas (kairėje) yra ilgesnis, o kitas (dešinysis) trumpesnis.

* Nustatyta, kad ši asimetrija tęsiasi bronchų šakose, visuose mažesniuose kvėpavimo takuose. Be to, trumpųjų ir ilgųjų bronchų ilgio santykis taip pat sudaro auksinį santykį ir yra lygus 1: 1,618.

Auksinio stačiakampio keturkampio ir spiralės sandara

Auksinis santykis yra toks proporcingas segmento padalijimas į nevienodas dalis, kuriame visas segmentas nurodo didesnę dalį taip pat, kaip ir pati didesnė dalis nurodo mažesnę; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra susijęs su didesniu, kaip didesnis su viskuo.

Geometrijoje stačiakampis su tokiu kraštinių santykiu buvo vadinamas auksiniu stačiakampiu. Jo ilgosios pusės lyginamos su trumpomis pusėmis santykiu 1,168: 1.

Auksinis stačiakampis taip pat turi daug nuostabių savybių. Auksinis stačiakampis turi daug neįprastų savybių. Nupjovę kvadratą nuo auksinio stačiakampio, kurio kraštinė lygi mažesnei stačiakampio pusei, vėl gauname mažesnį auksinį stačiakampį. Šis procesas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Toliau iškirpdami kvadratus, gausime vis mažesnius auksinius stačiakampius. Be to, jie bus išdėstyti palei logaritminę spiralę, kuri yra svarbi matematiniuose gamtos objektų modeliuose (pavyzdžiui, sraigių kriauklėse).

Spiralinis polius yra pradinio stačiakampio įstrižainių ir pirmojo pjaunamo vertikalaus pjūvio sankirtoje. Be to, visų vėlesnių mažėjančių auksinių stačiakampių įstrižainės yra ant šių įstrižainių. Žinoma, yra ir auksinis trikampis.

Anglų dizaineris ir estetikas Williamas Charltonas teigė, kad žmonėms spiralinės formos atrodo malonios akiai ir jas naudoja tūkstantmečius, paaiškindamos taip:

„Mums patinka spiralės išvaizda, nes vizualiai mes ją lengvai matome“.

Gamtoje

* Auksinio santykio taisyklė, kuria grindžiama spiralės struktūra, gamtoje labai dažnai sutinkama kūriniuose, kurių grožis neprilygstamas. Ryškiausi pavyzdžiai - spiralinė forma matoma saulėgrąžų sėklų išdėstyme, kankorėžuose, ananasuose, kaktusuose, rožių žiedlapių struktūroje ir kt .;

* Botanikai nustatė, kad išdėstant lapus ant šakos, saulėgrąžų sėklų ar kankorėžių, Fibonačio serija yra aiškiai išreikšta, taigi ir aukso pjūvio dėsnis;

Aukščiausiasis Viešpats kiekvienai savo kūrinijai nustatė ypatingą matą ir proporcingumą, tai patvirtina gamtoje rasti pavyzdžiai. Galima paminėti daugybę pavyzdžių, kai gyvų organizmų augimo procesas vyksta griežtai laikantis logaritminės spiralės formos.

Visos ritės spyruoklės yra vienodos formos. Matematikai nustatė, kad net padidėjus spyruoklių dydžiui, spiralės forma išlieka nepakitusi. Matematikoje nėra kitos formos, kuri turėtų tas pačias unikalias savybes kaip spiralė.

Jūros kriauklių struktūra

Mokslininkai, ištyrę jūros dugne gyvenančių minkštųjų moliuskų kriauklių vidinę ir išorinę struktūrą, teigė:

„Vidinis kriauklių paviršius yra nepriekaištingai lygus, o išorinis paviršius padengtas šiurkštumu ir nelygumais. Moliuskas buvo kriauklėje, todėl vidinis lukšto paviršius turėjo būti visiškai lygus. Išoriniai apvalkalo kampai-lenkimai padidina jo stiprumą, kietumą ir taip padidina jo stiprumą. Kevalo (sraigės) struktūros tobulumas ir nuostabus intelektas yra nuostabus. Spiralinė kriauklių idėja yra tobula geometrinė forma ir stebina savo šlifuotu grožiu “.

Daugumos sraigių, turinčių lukštus, lukštas auga logaritminėje spiralėje. Tačiau neabejotina, kad šios nepagrįstos būtybės nė neįsivaizduoja ne tik logaritminės spiralės, bet net neturi paprasčiausių matematinių žinių, kad sukurtų sau spiralinį apvalkalą.

Bet kaip tada šios nepagrįstos būtybės galėjo nustatyti ir pasirinkti sau idealią augimo ir egzistavimo formą spiralinio apvalkalo pavidalu? Ar šios gyvos būtybės, kurias pasaulio mokslininkai vadina primityviomis gyvybės formomis, galėtų apskaičiuoti, kad logaritminė apvalkalo forma būtų ideali jų egzistavimui?

Žinoma, ne, nes toks planas negali būti įgyvendintas be priežasties ir žinių. Tačiau nei primityvių moliuskų, nei nesąmoningos prigimties, kurią kai kurie mokslininkai vadina gyvenimo žemėje kūrėju (?!)

Bandymas paaiškinti tokios net pačios primityviausios gyvybės formos kilmę atsitiktiniu tam tikrų gamtinių aplinkybių sutapimu yra bent jau absurdas. Akivaizdu, kad šis projektas yra sąmoningas kūrinys.

Biologas seras D'arkey Thompsonas vadina tokį jūros kriauklių augimą "Gnomų augimo forma".

Seras Thompsonas pateikia tokį komentarą:

„Nėra paprastesnės sistemos nei jūros kriauklių augimas, kurios proporcingai auga ir plečiasi, išlaikydamos tą pačią formą. Keista, labiausiai stebina, auga, bet niekada nekeičia formos “.

Kelių centimetrų skersmens nautilus yra ryškiausias gnomo tipo augimo pavyzdys. S. Morrisonas aprašo šį „nautilus“ augimo procesą, kurį suplanuoti net žmogaus protas atrodo gana sudėtingas:

„„ Nautilus “apvalkalo viduje yra daug skyrių-kambarių su perlamutro pertvaromis, o pats apvalkalas viduje yra spiralė, besiplečianti nuo centro. Augant nautilus, korpuso priekinėje dalyje auga dar vienas kambarys, bet jau didesnis už ankstesnį, o paliktos kambario pertvaros yra padengtos perlamutro sluoksniu. Taigi spiralė visą laiką proporcingai plečiasi “.

Štai tik keletas spiralinių apvalkalų tipų, kurių logaritminis augimas atitinka jų mokslinius pavadinimus:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Soliarium Trochleare.

Visos atrastos iškastinės kriauklių liekanos taip pat turėjo išvystytą spiralę.

Tačiau logaritminė augimo forma gyvūnų karalystėje randama ne tik moliuskuose. Antilopių, laukinių ožkų, avinų ir kitų panašių gyvūnų ragai taip pat vystosi spiralės pavidalu pagal auksinio santykio dėsnius.

Auksinis santykis žmogaus ausyje

Vidinėje žmogaus ausyje yra organas Cochlea („Sraigė“), kuris atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją.. Ši į kaulą panaši struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat sukurta sraigės pavidalu, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73º 43 “.

Spiralės formos gyvūnų ragai ir iltys

Dramblių ir išnykusių mamutų iltys, liūtų nagai ir papūgų snapai yra logaritminės formos ir panašūs į ašį, linkusią virsti spirale. Vorai visada sukasi savo tinklus logaritmine spirale. Tokių mikroorganizmų kaip planktonas (globigerinae, planorbis, sūkurys, terebra, turitellae ir trochida) struktūra taip pat yra spiralės formos.

Auksinis santykis mikropasaulių struktūroje

Geometrinės formos neapsiriboja tik trikampiais, kvadratais, penkiakampiais ar šešiakampiais. Jei šias figūras tarpusavyje sujungsime skirtingais būdais, gausime naujų trimatių geometrinių figūrų. To pavyzdžiai yra tokios formos kaip kubas ar piramidė. Tačiau, be jų, yra ir kitų trimačių figūrų, kurių mums neteko sutikti kasdieniame gyvenime ir kurių vardus girdime galbūt pirmą kartą. Šios trimatės figūros apima tetraedrą (įprastą keturių pusių figūrą), oktaedrą, dodekaedrą, ikosaedrą ir kt. Dodekaedrą sudaro 13 penkiakampių, ikosaedrą - 20 trikampių. Matematikai pastebi, kad šie skaičiai yra matematiškai labai lengvai transformuojami, o jų transformacija vyksta pagal aukso pjūvio logaritminės spiralės formulę.

Mikrokosmose visur paplitusios trimatės logaritminės formos, sukurtos pagal auksines proporcijas. ... Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geometrinę ikosaedro formą. Bene garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltymas yra sudarytas iš 252 baltymų ląstelių vienetų, išdėstytų tam tikra seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 baltymų ląstelių vienetų penkiakampės prizmės pavidalu, o iš šių kampų tęsiasi į smaigalį panašios struktūros.

Pirmą kartą auksinis santykis virusų struktūroje buvo atrastas 1950 -aisiais. mokslininkai iš Londono Birkbeko koledžo A. Klug ir D. Kasparas. 13 Polio virusas pirmasis pasirodė logaritminėje formoje. Nustatyta, kad šio viruso forma yra panaši į Rhino 14 viruso.

Kyla klausimas, kaip virusai sudaro tokias sudėtingas trimates formas, kurių struktūroje yra auksinis santykis, kurį net mūsų žmogaus protas yra gana sunkiai sukonstruotas? Šių virusų formų atradėjas virusologas A. Klug komentuoja taip:

„Mes su daktaru Kasparu parodėme, kad sferiniam viruso apvalkalui optimaliausia forma yra simetrija, pavyzdžiui, ikosaedro forma. Šis išdėstymas sumažina jungiamųjų elementų skaičių ... Dauguma Buckminster Fuller geodezinių pusrutulio kubelių yra pastatyti panašiu geometriniu principu. 14 Tokiems kubeliams montuoti reikalinga itin tiksli ir išsami paaiškinamoji schema. Tuo tarpu nesąmoningi virusai sukuria tokį sudėtingą elastingų, lanksčių baltymų ląstelių vienetų apvalkalą “.

Italų matematikas Leonardo Fibonači gyveno XIII amžiuje ir vienas pirmųjų Europoje pradėjo naudoti arabiškus (indiškus) skaičius. Jis sugalvojo šiek tiek dirbtinę problemą dėl triušių, kurie auginami ūkyje, visi jie laikomi patelėmis, patinai ignoruojami. Triušiai pradeda veistis sulaukę dviejų mėnesių, o vėliau kas mėnesį atsiveda triušį. Triušiai niekada nemiršta.

Būtina nustatyti, kiek triušių bus ūkyje n mėnesių, jei iš pradžių buvo tik vienas naujagimis triušis.

Akivaizdu, kad pirmąjį mėnesį ūkininkas turi vieną triušį ir antrą mėnesį. Trečią mėnesį bus du triušiai, ketvirtą - trys ir kt. Pažymėkime triušių skaičių n mėnuo kaip. Taigi,
,
,
,
,
, …

Norint surasti, galima sukurti algoritmą bet kuriam n.

Atsižvelgiant į problemos būklę, bendras triušių skaičius
v n+1 mėnuo suskirstytas į tris komponentus:

vieno mėnesio triušių, negalinčių veistis, kiekiu

;

Taigi, mes gauname

. (8.1)

Formulė (8.1) leidžia apskaičiuoti skaičių seriją: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,. ..

Šios sekos skaičiai vadinami Fibonačio skaičiai .

Jei sutiksite
ir
, tada naudojant formulę (8.1) galima nustatyti visus kitus Fibonačio skaičius. Formulė (8.1) vadinama pasikartojantis pagal formulę ( pasikartojimas - „grįžti“ lotynų kalba).

8.1 pavyzdys. Tarkime, yra laiptai nžingsniai. Mes galime lipti vienu žingsniu, arba - dviem žingsniais. Kiek yra skirtingų kėlimo būdų derinių?

Jei n= 1, yra tik vienas problemos sprendimas. Dėl n= 2 yra 2 variantai: du pavieniai žingsniai arba vienas dvigubas. Dėl n= 3 yra 3 variantai: trys vienetiniai žingsniai arba vienas vienetas ir vienas dvigubas, arba vienas dvigubas ir vienas vienetas.

Kitu atveju n= 4, turime 5 galimybes (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

Norėdami atsakyti į savavališkai užduotą klausimą n, pažymėkime variantų skaičių kaip ir pabandykite apibrėžti
pagal gerai žinomą ir
... Jei pradedame nuo vieno žingsnio, tada turime derinius likusiems nžingsniai. Jei pradėsime nuo dvigubo žingsnio, tada turėsime
derinius likusiems n- 1 žingsnis. Bendras parinkčių skaičius n+1 rungtis lygi

. (8.2)

Gautoji formulė primena (8.1) formulę kaip dvynė. Tačiau tai neleidžia nustatyti derinių skaičiaus su Fibonačio skaičiais ... Mes matome, pavyzdžiui, tai
, bet
... Tačiau vyksta šie santykiai:

.

Tai tiesa n= 1, 2, ir tai taip pat tinka kiekvienam n... Fibonačio skaičiai ir derinių skaičius apskaičiuojami pagal tą pačią formulę, tačiau pradinės vertės
,
ir
,
jie skiriasi.

8.2 pavyzdys.Šis pavyzdys yra praktiškai svarbus klaidų taisymo kodavimo problemoms spręsti. Raskite visų dvejetainių ilgio žodžių skaičių n kuriuose nėra kelių nulių iš eilės. Šį skaičių žymime ... Akivaizdu,
, o mūsų suvaržymą atitinkantys 2 ilgio žodžiai yra: 10, 01, 11, t.y.
... Leisti būti
- toks žodis iš n personažai. Jei simbolis
, tada
gali būti savavališkas (
) -žodinis žodis, kuriame nėra kelių nulių iš eilės. Taigi žodžių, kurių pabaigoje yra vienetas, skaičius yra
.

Jei simbolis
, tada tikrai
ir pirmasis
simbolis
gali būti savavališkas, atsižvelgiant į svarstomus apribojimus. Todėl yra
žodžio ilgio n pabaigoje su nuliu. Taigi bendras mus dominančių žodžių skaičius yra lygus

.

Turint omenyje
ir
, gauta skaičių seka yra Fibonačio skaičiai.

8.3 pavyzdys. 7.6 pavyzdyje mes nustatėme, kad pastovaus svorio dvejetainių žodžių skaičius t(ir ilgis k) yra lygus ... Dabar randame pastovaus svorio dvejetainių žodžių skaičių t kuriuose nėra kelių nulių iš eilės.

Galite samprotauti taip. Leisti būti
nulių skaičių atitinkamuose žodžiuose. Bet koks žodis turi
tarpai tarp artimiausių nulių, kurių kiekviename yra vienas ar daugiau. Manoma, kad
... Priešingu atveju nėra nė vieno žodžio be gretimų nulių.

Jei iš kiekvieno intervalo pašalinsime tiksliai vieną vienetą, gausime ilgio žodį
kuriuose yra nuliai. Bet kurį tokį žodį galima gauti nurodytu būdu iš kai kurių (ir, be to, tik vieno) k-žodinis žodis, kuriame yra nuliai, kurių nėra du vienas šalia kito. Taigi reikalingas skaičius sutampa su visų ilgio žodžių skaičiumi
kuriame yra tiksliai nuliai, t.y. lygus
.

8.4 pavyzdys.Įrodykime, kad suma
yra lygus bet kurio sveikojo skaičiaus Fibonačio skaičiams ... Simbolis
žymi mažiausias sveikasis skaičius didesnis arba lygus ... Pavyzdžiui, jei
, tada
; kas, jeigu
, tada
lubos(„lubos“). Taip pat atsiranda simbolis
kuris reiškia didžiausias sveikasis skaičius yra mažesnis arba lygus ... Anglų kalba ši operacija vadinama grindis („grindys“).

Jei
, tada
... Jei
, tada
... Jei
, tada
.

Taigi nagrinėjamais atvejais suma iš tikrųjų yra lygi Fibonačio skaičiams. Dabar mes pateikiame bendrosios bylos įrodymą. Kadangi Fibonačio skaičius galima gauti naudojant pasikartojančią lygtį (8.1), tada lygybė turi būti patenkinta:

.

Ir iš tikrųjų tai daro:

Čia mes naudojome anksčiau gautą formulę (4.4):
.

Fibonačio skaičių suma

Nustatykime pirmojo sumą n Fibonačio skaičiai.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Nesunku pastebėti, kad pridėję vienybę prie kiekvienos lygties dešinės pusės, mes vėl gauname Fibonačio skaičių. Bendroji pirmojo sumos nustatymo formulė n Fibonačio skaičiai yra:

Įrodykime tai matematinės indukcijos metodu. Norėdami tai padaryti, užsirašykite:

Ši suma turėtų būti lygi
.

Sumažinę kairę ir dešinę lygties puses –1, gauname (6.1) lygtį.

Fibonačio skaičių formulė

8.1 Teorema. Fibonačio skaičių galima apskaičiuoti naudojant formulę

.

Įrodymas... Patikrinkime šios formulės galiojimą n= 0, 1, tada įrodykite šios formulės galiojimą savavališkai n indukcijos būdu. Apskaičiuokime dviejų artimiausių Fibonačio skaičių santykį:

Matome, kad šių skaičių santykis svyruoja apie 1,618 (jei nekreipiame dėmesio į pirmąsias vertes). Pagal šią savybę Fibonačio skaičiai primena geometrinės progresijos narius. Mes priimsime
, (
). Tada išraiška

konvertuotas į

kuris po supaprastinimų atrodo taip

.

Gavome kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra lygios:

Dabar galime parašyti:

(kur c yra pastovus). Abu nariai ir neduokite tokių Fibonačio skaičių
, tuo tarpu
... Tačiau skirtumas
atitinka pasikartojančią lygtį:

Dėl n= 0 šis skirtumas suteikia , tai yra:
... Tačiau su n= 1 mes turime
... Gauti
, būtina priimti:
.

Dabar turime dvi sekas: ir
kurie prasideda tais pačiais dviem skaičiais ir atitinka tą pačią pasikartojimo formulę. Jie turi būti lygūs:
... Teorema įrodyta.

Didėjantis n narys tampa labai didelis, tuo tarpu
, ir nario vaidmenį skirtumas yra sumažintas. Todėl dideliems n galime apytiksliai parašyti

.

Mes ignoruojame 1/2 (nes Fibonačio skaičiai pasiekia begalybę n iki begalybės).

Požiūris
paskambino aukso santykis, jis naudojamas už matematikos ribų (pavyzdžiui, skulptūroje ir architektūroje). Auksinis santykis yra įstrižainės ir šono santykis taisyklingas penkiakampis(8.1 pav.).

Ryžiai. 8.1. Taisyklingas penkiakampis ir jo įstrižainės

Auksiniam lygiui žymėti įprasta naudoti raidę
garsaus Atėnų skulptoriaus Phidias garbei.

pirminiai skaičiai

Visi natūralūs skaičiai, dideli vienetai, skirstomi į dvi klases. Pirmasis apima skaičius, turinčius lygiai du natūralius daliklius, vieną ir save, antrasis - visus kitus. Vadinami pirmos klasės numeriai paprasta, o antrasis - sudedamoji dalis... Pirminiai skaičiai per pirmąsias tris dešimtis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Pradinių skaičių savybes ir jų ryšį su visais natūraliaisiais skaičiais tyrė Euklidas (III a. Pr. M. E.). Jei parašysite pirminius skaičius iš eilės, pastebėsite, kad jų santykinis tankis mažėja. Pirmame dešimtuke jų yra 4, t.y. 40%, šimte - 25, t.y. 25%, tūkstančiui - 168, t.y. mažiau nei 17%, vienam milijonui - 78498, t.y. mažiau nei 8%ir tt Tačiau bendras jų skaičius yra begalinis.

Tarp pirminių yra tokių porų, kurių skirtumas lygus dviem (vadinamasis paprasti dvyniai), tačiau tokių porų baigtinumas ar begalybė nebuvo įrodyta.

Euklidas laikė akivaizdu, kad padauginus tik pirminius skaičius, galima gauti visus natūralius skaičius, o kiekvienas natūralusis skaičius gali būti unikaliai pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga (iki veiksnių eilės). Taigi, pirminiai skaičiai sudaro dauginamąjį natūralių serijų pagrindą.

Pradinių skaičių pasiskirstymo tyrimas leido sukurti algoritmą, leidžiantį gauti pirminių skaičių lenteles. Šis algoritmas yra Eratosteno sietas(III a. Pr. Kr.). Šis metodas apima tam tikros sekos sveikųjų skaičių pašalinimą (pavyzdžiui, perbraukiant)
kurie dalijasi bent vienu iš pirminių skaičių mažiau nei
.

Teorema 8 . 2 . (Euklido teorema). Primų skaičius yra begalinis.

Įrodymas... Įrodykime Euklido teoremą apie pirminių skaičių begalybę Leonardo Eulerio (1707–1783) pasiūlytu metodu. Euleris įvertino šį produktą visais pagrindais p:

adresu
... Šis produktas susilieja ir, jei jį išplėsite, dėl natūraliųjų skaičių skaidymo į pirminius veiksnius unikalumo paaiškėja, kad jis yra lygus serijos sumai iš kur seka Eulerio tapatybė:

.

Kadangi nuo
serija dešinėje skiriasi (harmoninė serija), tada Euklido teorema išplaukia iš Eulerio tapatybės.

Rusijos matematikas P.L. Čebyševas (1821–1894) išvedė formulę, kuri nustato ribas, kuriomis priskiriamas pirminių skaičių
neviršijantis X:

,

kur
,
.