Proof metodai teoremai. Matematinių įrodymų kūrimas

Įrodyti bet kokį patvirtinimą - tai reiškia įrodyti, kad šis pareiškimas logiškai matyti iš tikrųjų ir susijusių pareiškimų sistemos.

Įrodymai - Tai logiška operacija, kurios procese bet kokio patvirtinimo tiesa yra pateisinama su kitais teisingais ir susijusiais pareiškimais. Dėl šios priežasties pastatyta galutinė išvadų grandinė, o kiekvieno iš jų sudarymas (išskyrus pastarąjį) yra vienoje iš šių išvadų.

Pagrindiniai įstatymai Logika:

1. Tapatybės įstatymas. Kiekviena mintis, kartojimas argumentais, turėtų būti vienodi sau.

Tapatybės įstatymas reiškia, kad argumentavimo procese neįmanoma pakeisti kitos minties, viena kitų sąvoka. Neįmanoma išduoti identiškų minčių įvairiems ir skirtingiems - identiškiems.

2. Įstatymas yra neprieštaravimas.Pareiškimas ir jo atsisakymas negali būti vienu metu tiesa; Bent vienas iš jų yra neabejotinai klaidingas.

Jei formalus loginis prieštaravimas yra mąstymo (ir kalboje), toks mąstymas yra laikomas neteisingu, ir sprendimas, iš kurio prieštaravimas srautai yra laikoma klaidinga.

3. Trečiojo paneigimo įstatymas.Iš dviejų prieštaringų pareiškimų apie tą patį dalyką - tikrai, o kitas yra klaidingas, trečiasis nėra pateiktas.

4. Pakankamai įkūrimo įstatymas.Kiekvienas tikras pareiškimas turi būti pateisinamas su kitų teiginių pagalba, kurios tiesa yra įrodyta.

Kai kalbama apie matematinį įrodymą, būtina:

¾ turėti pareiškimą, kad tiesa turi būti įrodyta;

¾ suprasti, kad įrodymas yra dedukcinių išvadų grandinė; Jis įgyvendinamas pagal logikos taisykles ir įstatymus;

¾ suprasti, kokie kiti tikri teiginiai gali būti naudojami įrodymo procese.

Pagal tiesioginių ir netiesioginių įrodymų atlikimo metodą.

Tiesioginis patvirtinimo įrodymas Ir B yra išsamios išvadų grandinės, atliktos nuosekliai iš A iki laikantis logikos taisyklių ir įstatymų ir naudojant pareiškimo sistemą, kuri yra įrodyta.

(Jei keturračiai yra trys kampai tiesiai, tai yra stačiakampis)

Netiesioginių įrodymų pavyzdys Tai yra įrodymas bjaurus metodas. Esmė yra tokia. Leiskite jam reikia įrodyti teoriją A. su metodo įrodymu nuo kito, daroma prielaida, kad teorijos (c) išvada yra klaidinga, todėl jos neigimas yra teisingas. Pridedant pasiūlymą į tikrų sklypų, naudojamų įrodymų procese (tarp kurių sąlyga a) derinys yra pastatyta dedukcinių išvadų grandinės, kol patvirtinimas prieštarauja vienai iš sklypų ir, visų pirma, sąlyga A.

(A + 3\u003e 10, tada a ¹7)

Bilietas 15 atitikties sąvoka tarp rinkinių. Atitikties nustatymo metodai. Abipusiškai - nedviprasmiškas laikymasis. EQUAL rinkiniai. Atitikimo pavyzdžiai (įskaitant abipusiškai nedviprasmišką).

Pateikiame pavyzdį naudoti neišsamią indukciją dirbant su ikimokyklininkų: Žaidimo "nuostabus maišelis" su tūrinėmis geometrinėmis formomis, vaiko užduotimi: "Gaukite figūrą ir pavadinimą". Po kelių bandymų vaikas daro prielaidą:

Kamuolys. Kamuolys. Kamuolys. Čia tikriausiai visi rutuliai.

Užduotis 14.

Pasiūlyti tolesnius argumentus, kad įsitikintumėte, jog gauta patvirtinimas yra teisingas.

Neįmanoma pervertinti įrodymų svarbą mūsų gyvenime ir ypač moksle. Viskas pasinaudojama įrodymais, bet ne visada galvoja apie tai, ką reiškia "įrodyti *. Praktiniai įrodymai įgūdžiai ir intuityvios idėjos yra pakankamos daugeliu buitinių tikslų, bet ne mokslo.

Norint įrodyti bet kokį pareiškimą yra parodyti, kad šis loginis pareiškimas logiškai išplaukia iš tiesų ir susijusių pareiškimų sistemos.

Įrodymas yra loginis veikimas, pateisinantis bet kokio patvirtinimo tiesą su kitais teisingais ir susijusiais pareiškimais.

Įrodyme išskiriami trys struktūriniai elementai:

1) įrodyta tvirtinimas;

2) tikrų teiginių sistema, padedanti įrodyta tiesa;

3) loginis ryšys tarp PP. 1 ir 2.

Pagrindinis matematinių įrodymų būdas yra dedukcinis produkcija.

Jų forma įrodymai- tai yra dedukcinė išvada arba grandinė dedukcinių išvadų, vedančių iš tikrųjų sklypų į įrodymo pareiškimą.

Matematiniu įrodymu, susijaudinimo tvarka yra svarbi. Pagal išskirtinio tvarkymo metodą tiesioginiai ir netiesioginiai įrodymai. Tiesioginiai įrodymai yra susiję su visišku indukcija, kurio klausimas nuvyko į 1.6 punktą.

Visas indukcija - įrodymų, kuriuose patvirtinimo tiesa yra iš tiesos visais ypatingais atvejais.

Visas indukcija Jis dažnai naudojamas žaidimuose su ikimokyklinio amžiaus vaikais: "Pavadinimas vienu žodžiu".

Tiesioginio pareiškimo įrodymų pavyzdys "Kiekvieno keturkampio kampų suma yra 360 °":

"Apsvarstykite savavališką keturis. Išleisdami įstrižainę, mes gauname 2 trikampius. Keturkampio kampų suma bus lygi dviejų suformuotų trikampių kampų suma. Kadangi kampų suma bet kuriuo trikampiu yra 180 °, tada po 180 ° ir 180 ° sulankstymo gauname kampų sumą dviejuose trikampiuose, jis bus 360 °. Todėl bet kokio kvadratų kampų kiekis yra 360 ", kuris turėjo įrodyti."

Pirmiau pateiktuose įrodymuose galima išskirti šias išvadas:

1. Jei šis skaičius yra keturkampis, tada į jį galite atkreipti įstrižainę, kuri pertrauka keturkampį 2 trikampiais. Šis skaičius yra keturkampis. Todėl jis gali būti suskirstytas į 2 trikampius, kuriant įstrižainę.

2. Bet kuriuo trikampiu kampų suma yra lygi ISO. "Duomenų skaičiai trikampiai. Todėl kiekvienos iš jų kampų suma yra 180 °.

3. Jei keturkampis susideda iš dviejų trikampių, jo kampų suma yra lygi šių trikampių kampų sumai. Šis keturkonis yra sudarytas iš dviejų trikampių su 180 ° kampais. 180 ° + 180O \u003d 360 °. Todėl šio keturkampio kampų suma yra 360 °.

Visos išvardytos išvados pateikiamos pagal nuomonės taisyklę, todėl yra dedukciniai.

Netiesioginio įrodymų pavyzdys yra metodo įrodymas nuo bjaurus. Į Šis atvejis leidžiamas Ši išvada yra klaidinga, todėl jo atsisakymas yra teisingas. Pridedant šį pasiūlymą į tikrų sklypų suvestinę, argumentai atliekami tol, kol jie gauna prieštaravimą.

Pateikiame priešingų teorijos įrodymų pavyzdį: "Jei du tiesiogiai bet ir. \\ T B. lygiagrečiai su trečiuoju tiesiu C, tada jie yra lygiaverčiai vieni kitiems ":

"Tarkime, kad tiesiogiai bet ir. \\ T b. Ne lygiagrečiai, tada jie kirs tam tikru a punkte, nesusijęs tiesiai su. Tada mes gauname tai per tašką, galite praleisti du tiesius ir B, lygiagretus su. Tai prieštarauja lygiagretumo aksiomui: "

8. Žodis Runtime Apibrėžimo taisyklės ir rūšių skirtumas.

9. Koks sprendimas vadinamas:

Konteksto;

Ostense?

10. Kas yra pareiškimas ir kas yra rakto forma?

11. Kai "A ir B" rūšies pasiūlymai "A arba B", "ne" yra tiesa, ir kada yra klaidingi?

12. Nurodykite Bendrijos ir buvimo kiekybinių kiekybinius. Kaip nustatyti įvairių kiekybinių pasiūlymų tiesos vertę?

13. Kai yra pasiūlymų santykis, ir kada yra lygiavertiškumo santykis? Kaip jie yra paskirti?

14. Kas yra išvada? Kokia išvada vadinama dedukciniu?

15. Įrašykite su išvados taisyklės simboliais, paneigimo taisyklę, šūkio taisyklę.

16. Kokios išvados vadinamos neišsamiu būdu, ir kokios yra išvados pagal analogiją?

17. Ką reiškia įrodyti bet kokį pareiškimą?

18. Kas yra matematiniai įrodymai?

19. Pateikite visiško indukcijos apibrėžimą.

20. Kas yra sofizmai?

Bibliografinis aprašymas: Grigoriev K.V., Ochirova A. B., Saragov A. A., Barlukova S. S., Muchkayev G. M. Matematinių įrodymų metodų įvairovė // Jaunasis mokslininkas. - 2017. - №1. - P. 45-46..03.2019).



Kalbant apie įrodymą, kasdieniame gyvenime, mes suprantame suformuluoto patvirtinimo patikrinimą. Tiesiogiai matematikos sąvokos ir įrodymai iš esmės skiriasi, nors jie atlieka santykius.

Įrodykime, kad jei trijų kampų keturkampyje yra 90 laipsnių, tada toks kvadrantas yra stačiakampis.

Apsvarstykite keturkampį, kuris turi tris kampą, lygus 90 laipsnių. Mes matysime ketvirtąjį kampą ir surasime savo laipsnį. Darome išvadą, kad taip pat bus tiesioginė. Šis patikrinimas patvirtina šį pareiškimą, tačiau nėra įrodymas.

Norėdami įrodyti šį patvirtinimą, būtina apsvarstyti savavališką keturis, kuris turi tris kampą, lygus 90⁰. Kadangi bet kuriame išgaubiu keturkampyje, kampų suma yra 360⁰, todėl norimas kampas yra 90⁰ (360⁰ - 90 ° 3). Stačiakampis yra keturkampis, kuris turi visus kampus tiesiogiai. Taigi, šis keturkampis bus stačiakampis. Q.E.D.

Įrodymų įrodymo prasmė yra tokia tikros ataskaitos seka: teoremai, aksiomos, apibrėžimai, kurie logiškai atitinka tvirtinimą, kuris turi būti įrodytas. Norint įrodyti pareiškimą yra parodyti, kad šis pareiškimas logiškai matyti iš kelių tikrų ir susijusių pareiškimų.

Jei nagrinėjamas pareiškimas logiškai matyti iš įrodytų įtarimų, tai yra pagrįsta ir teisinga. Matematinių įrodymų pagrindas yra dedukcinis metodas. Ir pats įrodymas veikia kaip išvadų grandinė, o kiekvienos iš jų sudarymas, be to, yra vienos iš šių išvadų.

Peržiūrėta įrodymai gali būti skiriami šioms išvadoms:

- bet kuriame išgaubta keturkampyje kampų suma yra 360⁰; Šis skaičius yra išgaubtas keturkampis, todėl kampų suma jame 360⁰;

- jei žinomi visų keturkampio kampų ir trijų iš jų sumos suma, tada atimta galima rasti ketvirtojo kiekį; Visų šio keturkampio kampų suma yra 360 °, trijų 270⁰ (90 ° · 3 \u003d 270⁰) suma, tada apibrėžiant jų skirtumą, mes surasime norimą kampą, lygų 90⁰;

- jei keturkampyje visi kampai yra tiesioginiai, tada šis keturkampis yra stačiakampis; Mūsų atveju keturkampyje visi kampai yra tiesioginiai, todėl tai yra stačiakampis.

Visos laikomos išvados pateikiamos pagal nuomonės taisyklę ir atitinkamai yra dedukciniai.

Paprasčiausias įrodymas susideda iš vienos išvados. Pavyzdžiui, yra įrodymas, kad pareiškimas, kad 5

Atsižvelgiant į matematinių įrodymų struktūrą, mes suprantame, kad ji visų pirma apima pareiškimą, kuris yra įrodytas ir tikrų teiginių sistema, per kurią atliekami įrodymai.

Taip pat svarbu pažymėti, kad matematinis įrodymas yra ne tik išvadų rinkinys, tačiau išvados, esančios tam tikru užsakymu.

Pagal tiesioginių ir netiesioginių įrodymų atlikimo metodą. Anksčiau aptariami įrodymai yra tiesiogiai susiję - jame remiantis atskirais tikru pasiūlymu ir atsižvelgiant į teorijos sąlygas, buvo prijungta dedukcinių išvadų grandinė, kuri tiesiogiai sudarė tikrą išvadą.

Kaip netiesioginių įrodymų pavyzdys, įrodymas yra metodo įrodymas nuo bjaurus. Jos esmė - tai būtina įrodyti teoriją a ⇒ V. įrodymu nuo kito metodo, daroma prielaida, kad teorijos (c) išvada yra klaidinga, todėl jos atsisakymas bus tiesa. Pasiūlymo pridėjimas "ne" į tikrų sklypų derinį, naudojamą įrodymo procese (tarp kurių sąlygos) derinys atlieka dedukcinių išvadų grandinę, kol mes gauname teiginį prieštaravimą vienam iš sklypų ir ypač sąlyga A. Įsteigiamas tik toks prieštaravimas, įrodinėjimo procesas baigtas ir pasiekiamas įsitikinimu, kad prieštaravimas įrodo teorijos tiesą.

Užduotis 1. Įrodyti, kad jei x + 2\u003e 10, x ≠ 8. Šis metodas prieštarauja.

Užduotis 2. Įrodyti, kad jei u² yra lygus skaičius, tada y - net. Metodas nuo bjaurus.

3. Užduotis Yra keturi iš eilės natūralūs numeriai. Ar tiesa, kad vidutinio šios sekos numerių produktas yra didesnis už ekstremalių 2? Neišsamios indukcijos metodas.

Visas indukcija yra šis įrodymų metodas, kuriame patvirtinimo tiesa taip iš tiesos visais ypatingais atvejais.

4. Įrodyti, kad kiekvienas sudėtinis natūralus skaičius, didesnis nei 4, bet mažesnis 20, atstovauja dviejų paprastų numerių sumos forma.

Taigi, matematinis įrodymas yra argumentavimas, siekiant pagrįsti bet kokio patvirtinimo (teoremo) tiesą, loginių išvadų grandinę, parodydama, kad, atsižvelgiant į tam tikros aksiomų ir išvados tiesos, patvirtinimas yra teisingas tiesa.

Literatūra:

1. Geometrija / 7-9 klasės: studijos. Bendrojo lavinimo. Institucijos / [L. S. ATANASYAN, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomtsev]. - 21 d. - m.: Apšvietimas, 2011 m.

Paskaita 10. Matematinių įrodymų metodai

1. Matematinių įrodymų metodai

2. Tiesioginiai ir netiesioginiai įrodymai. Įrodymas pagal bjaurus.

3. Pagrindinės išvados

Kasdieniame gyvenime dažnai kalbant apie įrodymus, jie reiškia tik patvirtinimo patvirtinimą. Matematikos, tikrinimo ir įrodymų yra skirtingi dalykai, nors ir tarpusavyje susiję. Pavyzdžiui, leiskite įrodyti, kad jei Quadrangle trys kampai yra tiesiogiai, tai yra stačiakampis.

Jei mes paimsime keturvietį, kuris turi tris kampą tiesiai, ir, matuoti ketvirtą, įsitikinkite, kad jis yra tikrai tiesus, tada šis patikrinimas bus padaryti šį patvirtinimą labiau tikėtina, bet dar neįrodyta.

Norėdami įrodyti šį pareiškimą, apsvarstykite savavališką keturis, kuriame trys kampai yra tiesioginiai. Kadangi bet kuriame išgaubiu keturkampyje kampų suma yra 360⁰, tada ji yra 360 °. Trys tiesioginiai kampai yra 270 ° (90⁰ 3 \u003d 270⁰), o tai reiškia, kad ketvirtas yra 90⁰ (360⁰ - 270⁰) vertė. Jei visi keturkampio kampai yra tiesūs, tai yra stačiakampis, šis keturkonis bus stačiakampis. Q.E.D.

Atkreipkite dėmesį, kad įrodinėjimo įrodymo esmė yra sukurti tokią tikrų pareiškimų seką (teoremai, axioms, apibrėžimai), kurių patvirtinimas turėtų būti siūlomas logiškai.

Iš viso Įrodyti bet kokį pareiškimą - tai reiškia, kad šis teiginys logiškai susijęs iš tikrosios ir susijusių pareiškimų sistemos.

Į logiką manoma, kad jei svarstomas patvirtinimas logiškai išplaukia iš jau įrodytų teiginių, tai yra pagrįsta ir taip pat tiesa, taip pat paskutinis.

Taigi matematinių įrodymų pagrindas yra dedukcinė išvada. Ir pats įrodymas yra išvadų grandinė, o kiekvieno iš jų sudarymas (išskyrus pastarąjį) yra sklypas vienoje iš šių išvadų.

Pavyzdžiui, pirmiau pateiktame įrodinėjime galima išskirti šias išvadas:

1. Bet kuriame keturkampio išgaubta, kampų suma yra 360 °; Šis skaičius yra išgaubtas keturkampis, todėl IT kampų suma 360⁰.

2. Jei yra žinomi visų keturkampio kampų ir trijų iš jų sumos suma, tada atimta galima rasti ketvirtojo kiekį; Visų šio keturkampio kampų suma yra 360 °, trijų 270⁰ (90⁰ 3 \u003d 270⁰) suma, tada ketvirtosios 360⁰ - 270⁰ \u003d 90⁰.

3. Jei Quadrangle visi kampai yra tiesioginiai, tada šis keturkampis yra stačiakampis; Šiame kvadratiniame, visi kampai yra tiesiogiai, todėl tai yra stačiakampis.

Visos išvardytos išvados pateikiamos pagal nuomonės taisyklę, todėl yra išskaitytos.

Paprasčiausias įrodymas susideda iš vienos išvados. Pavyzdžiui, yra įrodymas, kad pareiškimas, kad 6< 8.

Taigi, kalbant apie matematinių įrodymų struktūrą, turime suprasti, kad ji pirmiausia apima pareiškimą, kuris yra įrodytas ir tikrų pareiškimų sistema, kurios pagalba yra pagalba.

Taip pat reikėtų pažymėti, kad matematiniai įrodymai yra ne tik išvadų rinkinys, tai yra išvados, esančios tam tikra tvarka.

Pagal išlaikymo metodą (forma) atskirti tiesioginis ir netiesioginis įrodymas. Anksčiau nagrinėjami įrodymai buvo tiesiogiai - jame, remiantis tam tikru tikru sakiniu ir, atsižvelgiant į teorijos būklę, buvo pastatyta dedukcinių išvadų grandinė, kuri lėmė tikrą išvadą.

Netiesioginių įrodymų pavyzdys yra įrodymas metodas nuo bjaurus . Esmė yra tokia. Leiskite jam reikia įrodyti teoremą

A ⇒ V. Remiantis metodo įrodymu nuo priešingo, manoma, kad teorijos (c) sudarymas yra klaidingas, todėl jo atsisakymas yra teisingas. Pritaikymas pasiūlymą "ne" į tikrų sklypų, naudojamų įrodymų procese (tarp kurių sąlyga a) yra pastatyta dedukcinių išvadų grandinės, kol pareiškimas prieštarauja vienai iš sklypų ir, ypač sąlyga A. Įsteigiamas tik toks prieštaravimas, įrodymo procesas baigia ir teigia, kad gautas prieštaravimas įrodo teorijos tiesą

Užduotis 1. Įrodyti, kad jei + 3\u003e 10, tada ≠ 7. Šis metodas yra prieštarauja.

2. Įrodyti, kad jei x² yra lygus numeris, X - netgi. Metodas nuo bjaurus.

3. Užduotis Yra keturi iš eilės natūralūs numeriai. Ar tiesa, kad vidutinio šios sekos numerių produktas yra daugiau ekstremalių darbų 2? Neišsamios indukcijos metodas.

Visas indukcija - tai yra įrodinėjimo metodas, kuriame patvirtinimo tiesa taip iš tiesos visais ypatingais atvejais.

4. Įrodyti, kad kiekvienas sudėtinis natūralus skaičius, didesnis nei 4, bet mažesnis 20, atstovauja dviejų paprastų numerių sumos forma.

5 užduotis yra tiesa, kad jei natūra N yra ne kelis 3, tada išraiškos n² + dar 2 kartus 3 kartus? Visiško indukcijos metodas.

Brošiūroje, kalbos prieinamos kalbomis apibūdina kai kurie iš pagrindinių principų, kuriais yra pastatytas mokslas: matematinių įrodymų sąvoka skiriasi nuo kitų mokslų ir kasdieniame gyvenime, kas yra Paprasčiausias įrodymų taikymas naudojamas matematikoje, kaip idėja apie "tinkamą" įrodymą, kad toks aksiomatinis metodas yra dėl to, kad yra skirtumas tarp tiesos ir įrodymų.
Labai plačiam skaitytojų ratui, pradedant nuo vidurinių mokyklų moksleivių.

Matematika ir įrodymai.
Net nepažįstamas su matematikos žmogumi, atsižvelgiant į matematikos knygą, gali paprastai nustatyti, kad ši knyga iš tiesų yra matematika, o ne kai kuriam kitam dalykui. Ir tai ne tik tai, kad neabejotinai bus daug formulių: abiejose fizikos knygose yra formulės ant astronomijos ar tiltų pastatų. Faktas yra tai, kad bet kokioje rimtoje matematikos knygoje yra įrodymų. Tai yra matematinių teiginių, kad įrodymų matematiniais tekstais buvimas yra tai, kad matematika aiškiai išsiskiria nuo kitų žinių sričių.

Pirmasis bandymas padengti vieną traktuoja visas matematika paėmė senovės graikų matematikos euklidą III amžiuje iki mūsų eros. Kaip rezultatas, garsus "pradžia" Euklida pasirodė. Ir antrasis bandymas vyko tik XX a. E., ir ji priklauso prancūzų matematikai Nikol Burbaki, kuris prasidėjo 1939 m skelbti daugelio tūrio traktavimą "prasidėjo matematika". Ši frazė atveria bombakį savo gydymą: "Nuo graikų laikų" matematika "sako, reiškia pasakyti" įrodymą ". Taigi "matematika" ir "įrodymas" - šie du žodžiai yra deklaruojami beveik sinonimai.

TURINYS
Matematika ir įrodymai.
Apie matematinių terminų tikslumą ir vienareikšmiškumą
Įrodymai pagal sąveikos metodą
Netiesioginiai egzistavimo įrodymai. Principas Dirichle.
Įrodymas "nuo priešingos"
Didžiausio ir mažiausio ir begalinio nusileidimo metodo principai
Indukcija
Matematinio indukcijos įrodymai
Visas indukcijos ir neišsamios indukcijos
Matematinių įrodymų idėja keičiasi laikui bėgant.
Du aksiomatiniai metodai - neoficialus ir formalus
Neformalus aksiomatinis metodas
Oficialus aksiomatinis metodas
Gödel teorema.

Nemokama atsisiųsti e-knygą patogiu formatu, pamatyti ir skaityti:
Atsisiųskite knygą paprasčiausius matematinių įrodymų pavyzdžius, "Uspensky V.a., 2009" - "Fileskachat.com", greitas ir nemokamas atsisiuntimas.