Kaip apskaičiuojama tikimybė. Klasikinės tikimybės skaičiavimo formulė

Asociacija (loginiai) N įvykiai Skambinkite įvykiui kuris stebimas kiekvieną kartą, kai jis ateina bent vienas išrenginiai . Visų pirma, A ir B įvykių asociacija Skambinkite įvykiui A.+ B. (kai kuriuose autoriuose
), kuri pastebima, kada tampaarba. \\ T A.arba. \\ T B.arba. \\ T Abu šiuos įvykius tuo pačiu metu(7 pav.). Sankryžos požymis teksto formuluotės renginių yra Sąjunga "arba".

Fig. 7. A + B įvykio derinys

Reikėtų nepamiršti, kad įvykio P (A) tikimybė atitinka kairiąją pavidalo dalį pav. 7 formų ir jos centrinė dalis, pažymėta kaip
. Ir rezultatai, atitinkantys įvykį B, yra tiek dešinėje esančioje tamsesniam skaičiui ir pažymėtame
centrinė dalis. Taigi pridedant ir. \\ T Žaidimų aikštelė
tikrai įveskite šią sumą du kartus ir tiksli išraiška tamsesniam
.

Taigi, sąjungos tikimybė Du A ir B įvykiai yra lygūs

Didesniam įvykių skaičiui bendroji atsiskaitymo išraiška tampa labai didelė dėl poreikio atsižvelgti į daugybę savitarpio sutapimo vietų galimybių. Tačiau, jei Jungtiniai įvykiai yra neišsamūs (žr. 33 psl.), Abipusis sričių įvestas yra neįmanomas, o palanki zona tiesiogiai nustato atskirų renginių sričių sumą.

Tikimybė asociacija. \\ T savavališki skaičiai ne lovosrenginiai nustatoma pagal išraišką

Corollary 1.: Visa renginių grupė susideda iš neišsamių įvykių, kurių vienas iš jų būtinai įgyvendinamas. Kaip rezultatas, jei įvykiai …
,sudaro visą grupęTada už juos

Šiuo būdu,

Nuo.3 ledas. Atsižvelgiame į tai, kad priešingas pareiškimas "įvyks bent vienas iš įvykių …
"Yra pareiškimas" Nė vienas iš įvykių …
neįgyvendino. " Kitaip tariant, įvykiai bus stebimi patirtimi. , I. ir ... ir "Kas yra įvykių sankirta priešais originaliam rinkiniui. Nuo čia, atsižvelgiant į (2 .0), sujungti savavališką įvykių skaičių

2, 3 rodo, kad tais atvejais, kai tam tikrų įvykių tikimybės apskaičiavimas yra problemiškas, naudinga įvertinti jo tyrimo tyrimo laiką. Galų gale, žinant
, gaukite nuo (2 .0) norimos vertės
nereikia jokio darbo.

1. Sudėtingų įvykių tikimybių skaičiavimo pavyzdžiai

1 pavyzdys. : Du studentai (Ivanovas ir Petrovas) kartu ašpersikėlė apsaugoti laboratorinius darbus, sužinojęs pirmąjį 8 controlny klausimai dėl šio darbo iš 10 turimų. Patikrinti pasirengimą,mokesčių stotis nustato kiekvieną tik vienąh rostiškai pasirinktas klausimas. Nustatykite šių įvykių tikimybę:

A. \u003d "Ivanovas apsaugo laboratorinį darbą";

B. \u003d "Petrovas apsaugo laboratorinį darbą";

C. \u003d "Abu bus apsaugoti laboratorinį darbą";

D. \u003d "Bent vienas iš studentų apsaugo darbą";

E. \u003d "Tik vienas iš studentų apsaugo darbą";

F. \u003d "Nė vienas iš jų nesaugo darbo".

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad gebėjimas apsaugoti darbą kaip Ivanovas, taK ir Petrov atskirai nustatomas tik išsivysčiusių klausimų skaičius, poetasw. . (Pastaba: šiame pavyzdyje gautų frakcijų vertės sąmoningai nesumažinamos, kad būtų supaprastintos skaičiavimų rezultatų palyginimas.)

Įvykis. \\ TC. Galima suformuluoti kitaip, kaip "darbas apsaugo tiek Ivanovą, ir Petrov", t. Y. atsitiktiir. \\ T Įvykis. \\ TA., ir. \\ T Įvykis. \\ TB.. Taigi, įvykisC. Tai yra įvykių sankirtasA. ir. \\ TB.ir pagal (2 .0)

kai "7/9" prasidėjo dėl to, kad įvykiaiA. Tai reiškia, kad Ivanovo gavo "sėkmingą" klausimą, o tai reiškia, kad Petrovas nuo likusių 9 klausimų dabar turi tik 7 "gerus" klausimus.

Įvykis. \\ TD. reiškia, kad "darbas bus apsaugotasarba. \\ T Ivanovas,arba. \\ T Petrov.arba. \\ T Jie yra abu kartu ", t. Y. įvyks bent vienas iš įvykiųA. ir. \\ TB.. Taigi įvykisD. Tai yra įvykių asociacijaA. ir. \\ TB.ir pagal (2 .0)

kas atitinka lūkesčius, nes Net ir kiekvienam mokiniui individualiai sėkmės yra gana didelės.

Nuo.sertifikatas E reiškia "arba" darbas bus apsaugoti Ivanoir Petrov "n",arba. \\ T Ivanovas bus nesėkmingasprivalumai, ir Petrovas su apsauga bus susidoroti. " Dvi alternatyvios galimybės yra tarpusavyje išskirtinės (neišsamios)

Galiausiai pareiškimasF. Tai tampa teisinga tik tuo atveju, jei "ir. \\ T Ivanovas,ir. \\ T Petrovas su apsaugane Chact. " Taigi,

Dėl šios problemos užduotis yra baigta, tačiau naudinga pažymėti šiuos dalykus:

1. Kiekviena iš gautų tikimybių atitinka sąlygą (1.0),o jei. \\ T
ir. \\ T
gauti konfliktąs. (1.0) Iš esmės yra neįmanoma, tada
bandykite I.naudoti (2 .0) vietoj (2 .0) būtų akivaizdžiai neteisingaturto vertė
. Svarbu prisiminti, kad tokia tikimybė vertė yra iš esmės neįmanoma, ir gavus tokį paradoksliu rezultatus, jis iš karto eina į paiešką klaidos.

2. Rasta tikimybės atitinka santykiusm.

.

E.tai yra gana tikėtina, nes RenginiaiC., E. ir. \\ TF. FormauU grupė ir renginiaiD. ir. \\ TF. priešinasi vieni kitiems. Apskaita juosgalima naudoti santykius vienoje pusėjewang su pakartotiniais skaičiavimais ir kitoje situacijoje gali būti pagrindas, kad būtų galima išspręsti problemą.

P rometer : Nepamirškite rašytinio fiksavimotikslus renginio formuluotė, kitaip, sprendžiant problemą, galite netyčia pereiti prie kito šio įvykio reikšmės aiškinimo, dėl kurio reikštų argumentavimo klaidą.

2 pavyzdys. : Didelėje partijoje mikrocikeliai, kurie nepraėjo išvesties kokybės kontrolės, 30% produktų yra sugedęs.Jei turite pasirinkti visus du lustus iš šios partijos, tai kastikimybė yra tarp jų:

A. \u003d "Abu tinka";

B. \u003d "Tiksliai 1 tinkamas lustas";

C. \u003d "Abu sugedęs".

Analizuojame šią galimybę argumentais (Atsargiai, yra klaida):

Kadangi mes kalbame apie didelę produktų partiją, iš jo pasitraukimas iš jo kelis lustus praktiškai neturi įtakos tinkamų ir defektinių produktų skaičiaus santykiui, todėl kelis kartus renkasi kai kurie iš šios partijos mikrocirto laikoma, kad kiekvienoje bylose lieka nepakitusios tikimybės

= P.(pasirinktas defektas produktas) \u003d \u200b\u200b0,3 ir

= P.(Pasirinktas produktyvus produktas) \u003d \u200b\u200b0,7.

ĮvykiamsA. reikia, kad būtųir. \\ T Pirmas,ir. \\ T Antrą kartą buvo atrinkta teigiamas produktas, todėl (atsižvelgiant į viena kitos pirmojo ir antrojo lusto pasirinkimo sėkmės nepriklausomumą) kirsti įvykius

Panašiai, dėl įvykio atsiradimo, būtina, kad abu produktai būtų sugadinti, ir gauti B tai yra būtina pasirinkti antenual vieną kartą, ir vienas yra sugedęs produktas.

Klaidos ženklas. H.visos pirmiau minėtos tikimybėsir atrodo tikėtina, kai jie yra bendrai analizuojami, tai lengvapakeisti .Tačiau atvejaiA., B. ir. \\ TC. FormaĮvykių grupė, kuriai turėtų būti atliekama .Šis prieštaravimas rodo tam tikrą klaidą.

Nuo. skristi klaidos. Pristatome du pakeitimusliūto įvykiai:

\u003d "Pirmasis lustas - tinkamas, antrasis - sugedęs";

\u003d "Pirmasis lustas yra sugedęs, antrasis - tinkamas."

Tačiau akivaizdu, kad ši galimybė yra pirmiau pateiktas skaičiavimas buvo naudojamas įvykio tikimybei gauti.B., Nors įvykiaiB. ir. \\ T nėra E.kvietimas. Tiesą sakant,
nes. FormulavimasrenginiaiB. reikalauja, kad tarp lustų tiksliaivienas , bet visaipirmiausia nebūtinai Jis buvo tinkamas (kitas buvo sugedęs). Todėl, nors Įvykis. \\ T ne įvykių , ir turėtų būti atsižvelgtastebėkite savarankiškai. Atsižvelgiant į įvykių nesąžiningumą ir. \\ T , Jų loginės sumos tikimybė bus lygi

Po nustatyto skaičiavimų korekcijos

kokie netiesiogiai patvirtina nustatyto tikimybės teisingumą.

Pastaba : Atkreipkite dėmesį į tik tipo renginių formuluotępirmas Iš išvardytų elementų turėtų ... "Ir"vienas iš išvardytų elementųedai turėtų ... ". Paskutinis įvykis yra aiškiai platesnis ir įskaitantt.savo sudėtyje yra pirmasis kaip vienas iš (galbūt daugx) parinktys. Šios alternatyvios galimybės (net ir su tikimybe sutapimo) turėtų būti laikoma nepriklausomai viena nuo kitos.

P rometer : "Procentas" atsitiko "už. cent.", T.y."Šimtas". Dažnių ir tikimybių atstovavimas procentais leidžia veikti su didesnėmis vertėmis, kurios kartais supaprastina vertybių suvokimą "posėdyje". Tačiau norint naudoti teisingą normalizavimo, dauginimo ar padalijimo į "100%" sudėtingus ir neefektyvius skaičiavimus. Šiuo atžvilgiu neabby naudojant vertes, paminėtipaprašė procentais, pakeiskite juos atsiskaitymo išraiškomistas pats frakcija iš vienos (pvz., 35% skaičiavimuoseaš kaip "0,35"), kad būtų sumažinta klaidingo rezultatų normalizavimo rizika.

3 pavyzdys. : Rezistorių rinkinys turi vieną rezistorių4 COM, trys rezistoriai 8 COM ir šeši atsispirtiarba atsparumas 15 com. Pasirinkti sparčiai trys rezistoriai yra tarpusavyje prijungti lygiagrečiai. Nustatykite tikimybę gauti galutinį pasipriešinimą neviršijant 4 com.

Solid. . Paralelinis ryšysistorovas gali būti apskaičiuojamas pagal formulę

.

Tai leidžia įvesti įvykį, pvz

A. \u003d "Trys rezistoriai yra atrinkti 15 com" \u003d "
”;

B. \u003d "B.du rezistoriai 15 COM ir vienas su atsparumum 8 com "\u003d"
”…

Pilna grupę renginių, atitinkančių problemos būklę, yra dar vienas galimybių skaičius, ir būtent tai yra"Siffliers" atitinka pažangų pasipriešinimo reikalavimus ne daugiau kaip 4 com. Tačiau, nors "tiesus" sprendimo kelias, kuris prisiima skaičiavimą (ir vėlesnes sumastikimybės, apibūdinančios visus šiuos įvykius ir yra teisingas, tai yra nepraktiška tokiu būdu.

Atkreipkite dėmesį, kad norint gauti galutinį atsparumą mažiau nei 4 comgyvena, kad būtų naudojamas bent vienas rezistorius su atsparumuvalgykite mažiau nei 15 com. Taigi tik tuo atvejuA. Užduoties reikalavimas nėra atliktas, t.y. Įvykis. \\ TA. yrapriešingas pagal tyrimą. Tačiau

.

Šiuo būdu, .

P r. Žyma. \\ T : Laikydami kai kurių įvykių tikimybęA., nepamirškite analizuoti apibrėžimo darbo intensyvumoaš esu tikimybė jam priešingai. Jei russ.skaityti
lengva, tai yra iš to, kad jums reikia pradėti išspręstiužduotysužbaigti jo naudojimą (2 .0).

P rymer 4. : Yra dėžutėjen. Balta.m. Juoda I.k. Raudonieji rutuliai. Rutuliai po vieną atsitiktinai išgaunami iš dėžutėsir grįžo atgal po kiekvieno ištraukimo. Nustatyti tikimybęrenginiaiA. \u003d "Balta kamuolysbus išgaunama anksčiau nei juoda” .

Solid. . Apsvarstykite šiuos įvykių rinkinį

\u003d "Baltas kamuolys ekstrahuojamas pirmuoju bandymu";

\u003d "Iš pradžių buvo paimtas raudonas rutulys, tada - balta";

\u003d "Du kartus pakeistas raudonas rutulys, o trečią kartą - balta”…

Taigi K.aK rutuliai grąžinami, tada sekayyte. Jis gali būti oficialiai pratęstas.

Šie įvykiai yra neatitikimai ir sudaro situacijų, kuriose įvyksta įvykis, rinkinįA.. Šiuo būdu,

Tai lengva pastebėti, kad sudedamųjų dalių komponentai yra suformuotigeometrinis progresavimas su pradiniu elementu
ir vardikatorius
. Bet sumosir begalinės geometrinės progresavimo elementai yra lygūs

Šiuo būdu, . L.manau, kad ši tikimybė (nuo gauto)išraiška) nepriklauso nuo raudonų kamuoliukų skaičiaus laukelyje.

Ekonomikoje, taip pat kitose žmogaus veiklos srityse arba gamtoje nuolat turi susidoroti su įvykiais, kurių negalima tiksliai prognozuoti. Taigi prekių pardavimai priklauso nuo paklausos, kurią galima žymiai pakeisti ir iš kitų veiksnių, kurie yra praktiškai nerealūs. Todėl organizuojant gamybą ir pardavimus, būtina numatyti tokios veiklos rezultatus remiantis savo ankstesne patirtimi, arba panaši kitų žmonių patirtimi ar intuicija, kuri yra daugiausia pagrįsta patyrais duomenimis.

Kažkaip apskaičiuoti nagrinėjamą renginį, būtina atsižvelgti į arba konkrečiai organizuoti sąlygas, kuriomis šis įvykis įrašomas.

Įgyvendinant tam tikras sąlygas ar veiksmus, kad nustatytumėte nagrinėjamą įvykį yra vadinami patirtis arba. \\ T eksperimentas.

Renginys vadinamas atsitiktinaiJei dėl patirties jis gali įvykti arba neįvyksta.

Renginys vadinamas patikimas. \\ TJei tai nebūtinai pasirodo dėl šios patirties, ir neįmanomasJei ji negali pasirodyti šioje patirtyje.

Pavyzdžiui, lapkričio 30 d. Maskvos sniego netekimas yra atsitiktinis įvykis. Dienos saulėtekis gali būti laikomas patikimu įvykiu. Sniego netekimas į pusiaujo gali būti vertinamas kaip neįmanoma įvykis.

Viena iš pagrindinių užduočių tikimybės teorijos yra užduotis nustatyti kiekybinę priemonę įvykio galimybės užduotis.

Algebra renginiai

Renginiai vadinami neišsamiais, jei jie negali būti stebimi toje pačioje patirtyje. Taigi, dviejų ir trijų automobilių buvimas vienoje parduotuvėje parduoti tuo pačiu metu yra du neišsamūs įvykiai.

Suma Renginiai vadinami įvykiu, kurį sudaro bent vienas iš šių įvykių atsiradimo.

Pavyzdžiui, įvykių kiekis gali būti vadinamas buvimu parduotuvėje bent viename iš dviejų produktų.

Darbas. \\ T Renginiai vadinami įvykiu, kurį sudaro vienalaikis visų šių įvykių atsiradimas.

Renginys, sudarytas iš išvaizdos tuo pačiu metu dviejų produktų parduotuvėje yra įvykių darbas: - vienas produktas - kito produkto išvaizda.

Renginiai sudaro visišką įvykių grupę, jei patirtis bus bent viena iš jų.

Pavyzdys. Port turi dvi krantines laivams priimti. Galite apsvarstyti tris įvykius: - Burių laivų nebuvimas yra vieno laivo buvimas iš vienos iš krantinių - dviejų laivų buvimas dviem krantinėmis. Šie trys įvykiai sudaro visą įvykių grupę.

Priešingas Du tik galimi įvykiai, sudarantys visą grupę.

Jei vienas iš priešingų paskiriamų įvykių, priešingas įvykis paprastai žymi.

Klasikinis ir statistinis įvykio tikimybės identifikavimas

Kiekvienas pusiausvyros bandymų rezultatų (eksperimentų) yra vadinamas elementariu rezultatu. Jie paprastai žymi raidėmis. Pavyzdžiui, žaidimo kaulų skubėjimas. Elementary rezultatai gali būti šeši pagal taškų skaičių ant kraštų.

Nuo elementarių rezultatų galite padaryti sudėtingesnį įvykį. Taigi, nuostolių atveju netgi taškų skaičius lemia trys rezultatai: 2, 4, 6.

Kiekybinė priemonė, kai svarstoma įvykio atsiradimo galimybė yra tikimybė.

Labiausiai paplitusi gavo du įvykio atveju apibrėžimus: klasikinė. \\ T ir. \\ T statistiniai duomenys.

Klasikinės tikimybės apibrėžimas susijęs su palankaus rezultato koncepcija.

Exodus yra vadinamas palankumas Šis įvykis, jei jo išvaizda reiškia šio įvykio pradžią.

Pirmiau pateiktame pavyzdyje nagrinėjamas įvykis yra lygus taškų skaičiui dėl kritusios veido, turi tris palankius rezultatus. Šiuo atveju taip pat žinoma, kad bendrai
Galimų rezultatų. Taigi, čia galite naudoti klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą.

Klasikinis apibrėžimaslygus palankių rezultatų skaičiaus santykiui su bendru galimų rezultatų skaičiumi

kur - įvykio tikimybė yra rezultatų, palankų, skaičių - bendras galimų rezultatų skaičius.

Nagrinėjamame pavyzdyje

Statistinė tikimybės apibrėžtis yra susijusi su santykinio renginio dažnio koncepcija eksperimentams.

Santykinis įvykio dažnis apskaičiuojamas pagal formulę

kur - įvykių skaičius serijoje nuo eksperimentų (testai).

Statistinė apibrėžtis. \\ T. Renginio tikimybė vadinama skaičiumi, kurio jis stabilizuoja (nustatykite) santykinį dažnį su neribotais eksperimentų skaičiaus padidėjimu.

Praktinėmis užduotimis, santykinis dažnis imamas dėl įvykio tikimybės su pakankamai dideliu skaičiumi bandymų.

Iš šių tikimybių apibrėžimų atveju įvykis gali būti matomas, kad nelygybė visada atliekama.

Norint nustatyti įvykio tikimybę, pagrįstą formulę (1.1), dažnai naudojamos kombinatoriaus formulės, kuri yra palankių rezultatų skaičius ir bendras galimų rezultatų skaičius.

1 tema. . Klasikinės tikimybės skaičiavimo formulė.

Pagrindinės apibrėžtys ir formulės:

Eksperimentuoti, kurio rezultatas neįmanoma prognozuoti, skambinti atsitiktinis eksperimentas (SE).

Įvykis, kad šiame SE gali įvykti ir negali atsitikti, vadinama atsitiktinis įvykis.

Elementary rezultatai Skambučių renginiai, atitinkantys reikalavimus:

1. visame SE įgyvendinime įvyksta vienas ir tik vienas elementinis rezultatas;

2. Renginys yra kai kurie deriniai, kai kurie elementarių rezultatų rinkinys.

Visų galimų elementarių rezultatų rinkinys visiškai apibūdina SE. Tokia partija priimta elementinių rezultatų erdvė (PEI). PEI pasirinkimas apibūdinti šį SE yra dviprasmiška ir priklauso nuo užduoties išspręsta.

P (a) \u003d n (a) / n,

kur n yra bendras pusiausvyros rezultatų skaičius, \\ t

n (a) - rezultatų, sudarančių įvykį, skaičius, kaip sakoma, palanki renginiui A.

Žodžiai "Mindach", "atsitiktinai" ir atsitiktinai garantuoja elementarių rezultatų pusiausvyrą.

Tipiškų pavyzdžių sprendimas

1 pavyzdys. Iš URN, kuriame yra 5 raudonos, 3 juodos ir 2 baltos spalvos rutuliukai, hipotekos pašalina 3 kamuoliukus. Raskite įvykių tikimybę:

Bet - "Visi išgaunami rutuliai yra raudonos";

Į - "Visi išgaunami rutuliai - viena spalva";

Nuo. - "Tarp išgautos tiksliai 2 juodos".

Sprendimas:

Elementinis šio SE rezultatas yra trivietis (netvarkingas!) Kamuoliukus. Todėl bendras rezultatų skaičius yra derinių skaičius: n \u003d\u003d 120 (10 \u003d 5 + 3 + 2).

Įvykis. \\ T Bet Jis susideda tik iš tų trijų, kurie buvo pašalinti iš penkių raudonų kamuoliukų, t.y. n (a) \u003d\u003d 10.

Įvykis. \\ T Į Be 10 raudonų triviečių, juodos kariai yra palankūs, kurių skaičius yra lygus \u003d 1. Todėl: n (b) \u003d 10 + 1 \u003d 11.

Įvykis. \\ T Nuo. Kamuoliukų, kuriuose yra 2 juoda ir viena yra ne juoda, viršūnės yra palankios. Kiekvienas būdas pasirinkti du juoduosius rutulius galima derinti su viena ne juoda (septyni) pasirinkimas. Todėl: n (c) \u003d \u003d \u003d 3 * 7 \u003d 21.

Taip: R (a) = 10/120; P (b) = 11/120; P (c) = 21/120.

2 pavyzdys. Pagal ankstesnės užduoties sąlygas, mes manome, kad kiekvienos spalvos rutuliai turi savo numeraciją, pradedant nuo 1. Rasti įvykių tikimybę:

D. - "Didžiausias ekstrahuotas skaičius yra 4";

E. - "Didžiausias ekstrahuotas skaičius yra 3".

Sprendimas:

Apskaičiuoti N (D), mes galime manyti, kad Urn yra vienas kamuolys su numeriu 4, vienas kamuolys su dideliu skaičiumi ir 8 kamuoliukus (3K + 3H + 2b) su mažesniais numeriais. Įvykis. \\ T D. Palaiko tris viršutinius rutulius, kurie būtinai yra rutulys su 4 ir 2 rutuliais su mažesniais numeriais. Todėl: n (d) \u003d

P (d) \u003d 28/120.

Apskaičiuojant N (E), mes manome: URN du rutuliai su numeriu 3, du su dideliais skaičiais ir šeši rutuliai su mažesniais numeriais (2K + 2H + 2b). Įvykis. \\ T E. Susideda iš trijų trijų tipų:

1. Vienas kamuolys su numeriu 3 ir du su mažesniais numeriais;

2. kamuolys su numeriu 3 ir vienas su mažesniu skaičiumi.

Todėl: n (e) \u003d

P (e) \u003d 36/120.

3 pavyzdys. Kiekvienas iš įvairių dalelių sklido į vieną iš N ląstelių. Raskite įvykių tikimybę:

Bet - visos dalelės pateko į antrąją ląstelę;

Į - visos dalelės pateko į vieną langelį;

Nuo. - Kiekvienoje ląstelėje yra ne daugiau kaip vienos dalelės (M £ N);

D. - visos ląstelės yra užimtos (m \u003d n +1);

E. - Antroji ląstelė turi sklandžiai iki Dalelės.

Sprendimas:

Kiekvienai dalelėms yra N metodai patekti į vieną ar kitą langelį. Remiantis pagrindiniu M dalelių kombinatorių principu, turime N * N * N * ... * N (M-Time). Taigi, bendras rezultatų skaičius šiame se n \u003d n m.

Kiekvienai dalelėms turime vieną galimybę patekti į antrąją ląstelę, todėl n (a) \u003d 1 * 1 * ... * 1 \u003d 1 m \u003d 1, ir p (a) \u003d 1 / n m.

Norėdami patekti į vieną ląstelę (visas daleles) reiškia, kad visi pirmiau pateikiami visi, arba visi antrajame, arba tt Visi n-. Bet kiekvienas iš šių N variantų gali būti realizuotas vienaip. Todėl, n (b) \u003d 1 + 1 + ... + 1 (n-) \u003d n ir p (c) \u003d n / n m.

Renginys su reiškia, kad kiekviena dalelė turi būdų, kaip įdėti vienetą mažiau nei ankstesnės dalelės, o pirmasis gali patekti į bet kurią N ląsteles. Todėl:

n (c) \u003d n * (n -1) * ... * (n + m -1) ir p (c) \u003d

Tam tikru atveju M \u003d N: P (c) \u003d

Renginys D reiškia, kad viena iš ląstelių yra dvi dalelės, o kiekvienas iš (N -1) likusių ląstelių yra viena dalelė. Norint rasti N (d) Mes ginčijame kaip šis: pasirinkite ląstelę, kurioje bus dvi dalelės, tai gali būti padaryta \u003d N būdai; Tada pasirinkite dvi dalelių šiam langeliui, yra būdų. Po to likusios (N -1) dalelės bus paskirstytos per vieną su likusių (N -1) ląstelių, nes tai yra (N -1)! būdai.

Taip, n (d) \u003d

.

N numeris n (e) gali būti apskaičiuojamas taip: iki Antrosios ląstelės dalelės gali būti likusios (M-k) dalelės, paskirstytos atsitiktinai (N -1) ląstelėje (N -1) m-į metodus. Todėl:

"Nelaimingas atsitikimas nėra atsitiktinis" ... tai skamba kaip filosofas, bet iš tikrųjų studijuoti didžiojo matematikos mokslo atsitiktinumą. Matematikoje yra tikimybės teorijos tikimybė. Formulės ir užduočių pavyzdžiai, taip pat pagrindiniai šio mokslo apibrėžimai bus pateikti straipsnyje.

Kas yra tikimybės teorija?

Tikimybės teorija yra viena iš matematinių disciplinų, kurie studijuoja atsitiktinius įvykius.

Kad būtų šiek tiek aiškesnis, mes duodame nedidelį pavyzdį: jei mesti monetą, jis gali nukristi "erelis" arba "pločio". Nors moneta yra ore, abi šios tikimybės yra įmanoma. Tai yra, galimų pasekmių tikimybė koreliuoja 1: 1. Jei ištraukiate vieną iš denio su 36 kortelėmis, tikimybė bus nurodyta kaip 1:36. Atrodytų, kad nėra nieko ištirti ir prognozuoti, ypač su matematinėmis formulėmis. Tačiau, jei kartojate tam tikrą veiksmą daug kartų, galima nustatyti kai kuriuos reguliarumą ir grindžiamas jį prognozuoti įvykių rezultatus kitomis sąlygomis.

Jei apibendriname visus pirmiau minėtus dalykus, tikimybės klasikiniame supratimui teorija tyrinėja vieno iš galimų skaitinės vertės įvykių galimybę.

Nuo istorijos puslapių

Pirmųjų užduočių tikimybės, formulių ir pavyzdžių teorija pasirodė atstumo viduramžiais, kai bandoma prognozuoti kortelių žaidimų rezultatus pirmą kartą.

Iš pradžių tikimybės teorija neturėjo nieko bendro su matematika. Tai pateisinama su empiriniais faktais ar įvykio savybėmis, kurios galėtų būti atgamintos praktikoje. Pirmasis darbas šioje srityje kaip matematinėje disciplinoje pasirodė XVII a. Pascal ir Pierre Farm buvo šepečiu nei blazers. Ilgą laiką jie studijavo lošimus ir pamatė tam tikrus modelius, kuriuos jie nusprendė pasakyti visuomenei.

Tą pačią techniką išrado "Huygens" krikščionys, nors jis nebuvo susipažinęs su Pascal ir ūkio studijų rezultatais. "Tikimybės" teorijos sąvoka, formulės ir pavyzdžiai, kurie yra laikomi pirmaisiais disciplinos istorijoje, buvo įvesta.

Jokūbas Bernoulli, Laplas ir Poisson teoremai yra svarbūs. Jie padarė tikimybės teoriją kaip matematinę discipliną. Jo dabartinis požiūris į tikimybių teoriją, formules ir pavyzdžių pagrindinių užduočių buvo gauti dėka Kolmogorovo aksiomų. Dėl visų pakeitimų tikimybės teorija tapo viena iš matematinių skyrių.

Pagrindinės tikimybės teorijos sąvokos. Renginiai

Pagrindinė šios disciplinos koncepcija yra įvykis. Renginiai yra trys rūšys:

• Patikimas. Tie, kurie įvyks bet kuriuo atveju (moneta sumažės).
• Neįmanomas. Įvykiai, kurie neįvyks su jokiu būdu (moneta pakabinama ore).
• Atsitiktinai. Tie, kurie įvyks arba neįvyks. Jie gali turėti įtakos skirtingiems veiksniams, kuriuos labai sunku prognozuoti. Jei kalbame apie monetą, tada atsitiktiniai veiksniai, kurie gali turėti įtakos rezultatui: fizinės monetos savybės, jos formos, pradinė padėtis, metimo jėga ir kt.

Visi pavyzdžių renginiai žymimi kapitalo lotyniškomis raidėmis, išskyrus P, kuris yra priskirtas dar vienas vaidmuo. Pavyzdžiui:

• A \u003d "Studentai atvyko į paskaitą."
• Â \u003d "Studentai nesikreipė į paskaitą."

Praktinėmis užduotimis įvykiai priimami įrašyti žodžius.

Vienas iš svarbiausių įvykių savybių yra jų pusiausvyros. Tai yra, jei mesti monetą, visos pradinio rudens parinktys yra įmanoma, kol jis sumažėjo. Bet taip pat renginiai nėra lygūs. Taip atsitinka, kai kažkas specialiai paveikia rezultatus. Pavyzdžiui, "pažymėtos" žaidimo kortelės arba kaulai, kuriuose keičiamas svorio centras.

Net įvykiai yra suderinami ir nesuderinami. Suderinami įvykiai neatmeta vieni kitų. Pavyzdžiui:

• A \u003d "Studentas atvyko į paskaitą."
• B \u003d "Studentas atvyko į paskaitą."

Šie įvykiai yra nepriklausomi vienas nuo kito, o vieno iš jų išvaizda neturi įtakos kito išvaizdai. Nesuderinamais įvykiais lemia tai, kad vienos išvaizda pašalina kito išvaizdą. Jei kalbame apie tą pačią monetą, tada "patiekalas" praradimas neįmanoma pasirodyti "erelis" tame pačiame eksperimente.

Veiksmai apie įvykius

Renginius galima padauginti ir sulankstyti atitinkamai, loginiai raiščiai "ir" ir "arba" yra įvesta disciplina.

Šią sumą lemia tai, kad pasirodo įvykis A arba B arba du du kartus. Tuo atveju, kai jie yra nesuderinami, paskutinis variantas yra neįmanomas, nukrenta arba A arba V.

Įvykių dauginimas yra A ir vienu metu išvaizda.

Dabar galite pateikti keletą pavyzdžių, kad geriau prisimintumėte tikimybės ir formulių pagrindus, teoriją. Kitas užduočių sprendimų pavyzdžiai.

1 pratimas: Bendrovė dalyvauja konkurse dėl trijų darbo veislių sutarčių. Galimi įvykiai, kurie gali įvykti:

• A \u003d "Bendrovė gaus pirmąją sutartį."
• Ir 1 \u003d "įmonė negaus pirmosios sutarties."
• B \u003d "Įmonė gaus antrąją sutartį."
• 1 \u003d "įmonė negaus antrosios sutarties"
• C \u003d "įmonė gaus trečiąją sutartį."
• Nuo 1 \u003d "Bendrovė negaus trečiosios sutarties."

Naudojant veiksmus renginiuose, bandykime išreikšti šias situacijas:

• K \u003d "Įmonė gaus visas sutartis".

Matematinėje formoje lygtis turės tokią formą: k \u003d abc.

• M \u003d "Bendrovė negauna vienos sutarties."

M \u003d 1 1 s 1.

Užpildykite užduotį: H \u003d "Bendrovė gaus vieną sutartį." Kadangi tai nėra žinoma, kokia sutartis gaus bendrovę (pirmoji, antroji ar trečioji), būtina įrašyti visą galimų įvykių spektrą:

N \u003d 1 saulė 1 υ AV 1 C1 υ a 1 iš 1 C.

Ir 1 saulė 1 yra įvykių, kuriuose įmonė negauna pirmosios ir trečiosios sutarties, bet gauna antrą. Kiti galimi įvykiai įrašomi atitinkamu metodu. Simbolis υ disciplinoje rodo paketą "arba". Jei mes išversti nurodytą pavyzdį žmogaus kalba, įmonė gaus arba trečią sutartį, arba antrą, arba pirmojo. Panašiai, kitos sąlygos gali būti įrašytos į disciplinos "tikimybės teoriją". Formulės ir pirmiau pateiktų užduočių sprendimo pavyzdžiai padės tai padaryti.

Tiesą sakant, tikimybė

Galbūt šiame matematinėje disciplinoje įvykio tikimybė yra pagrindinė koncepcija. Yra 3 tikimybių apibrėžimai:

• klasikinis;
• statistiniai;
• geometrinis.

Kiekvienas turi savo vietą tikimybių tyrime. Tikimybės, formulių ir pavyzdžių teorija (9 klasė) daugiausia naudoja klasikinį apibrėžimą, kuris skamba taip:

• Situacijos tikimybė yra lygi rezultatų skaičiaus santykiui, kuris palankiai vertina savo išvaizdą, į galimų rezultatų skaičių.

Formulė atrodo taip: P (a) \u003d m / n.

A - Tiesą sakant, įvykis. Jei atvejis yra priešais A, jis gali būti parašytas kaip  arba 1.

m yra galimų palankių atvejų skaičius.

n - visi įvykiai.

Pavyzdžiui, a \u003d "Patraukite širdies kostiumo kortelę". Standartiniame 36 kortelių denyje, 9 iš jų kirminų. Todėl užduoties sprendimo formulė bus:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Kaip rezultatas, tikimybė, kad kirminų kostiumas bus ištrauktas iš denio, bus 0,25.

Į aukštesnę matematiką

Dabar ji tapo šiek tiek žinoma, kokia tikimybė, formulės ir pavyzdžių sprendžiant užduotis, kurios susiduria mokykloje programoje. Tačiau tikimybės teorija susitinka aukštesnėje matematikoje, kuri mokoma universitetuose. Dažniausiai ten veikia geometriniai ir statistiniai teorijos ir sudėtingos formulės apibrėžimai.

Labai įdomi tikimybės teorija. Formulės ir pavyzdžiai (aukštesnė matematika) Geriau pradėti mokytis nuo mažo vieno - nuo statistinio (arba dažnio) tikimybės nustatymo.

Statistinis požiūris neprieštarauja klasikei ir šiek tiek plečia. Jei pirmuoju atveju buvo būtina nustatyti, kuri labiau tikėtina įvykis, tada šiame metode būtina nurodyti, kaip dažnai tai įvyks. Čia įvesta nauja "santykinio dažnio" koncepcija, kurią galima pažymėti w n (a). Formulė nesiskiria nuo klasikinės:

Jei klasikinė formulė apskaičiuojama dėl prognozės, tada statistikos - pagal eksperimento rezultatus. Paimkite, pavyzdžiui, nedidelę užduotį.

Technologijų kontrolės departamentas tikrina produktus už kokybę. Tarp 100 produktų rasta 3 žemos kokybės. Kaip rasti kokybės produkto dažnio tikimybę?

A \u003d "Aukštos kokybės prekių išvaizda".

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Taigi kokybės produkto dažnis yra 0,97. Kur gausite 97? Iš 100 produktų, kurie buvo patikrinti, 3 pasirodė esąs prastos kokybės. Nuo 100 posūkio 3, mes gauname 97, tai yra kokybiško produkto kiekis.

Šiek tiek apie kombinatorių

Kitas tikimybės metodas vadinamas deriniai. Jo pagrindinis principas yra tas, kad jei tam tikras pasirinkimas gali būti atliekamas pagal m skirtingais būdais, o b yra N pasirinkimas įvairiais būdais, tada A ir B pasirinkimas gali būti atliekamas dauginant.

Pavyzdžiui, iš miesto ir mieste Vadovuose 5 keliuose. Nuo miesto iki miesto su 4 būdais. Kiek būdų galima pasiekti iš miesto ir miesto s?

Viskas yra paprasta: 5x4 \u003d 20, tai yra dvidešimt skirtingais būdais galima pasiekti nuo A taško iki S.

Apsunkinti užduotį. Kiek būdų sukurti korteles Solitaire? 36 kortelių denyje - tai yra pradinis taškas. Norėdami sužinoti būdų, jums reikia nuo pradinio taško "atimti" ant to paties žemėlapio ir dauginti.

Tai yra, 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d rezultatas netelpa skaičiuoklės ekrane, todėl jis gali būti paprasčiausiai pažymėtas 36!. Ženklas "!" Netoli skaičiaus rodo, kad visas skaičius skaičius skiriasi vienas su kitu.

Kombinatoriai pateikia tokias sąvokas kaip Permutacija, apgyvendinimas ir derinys. Kiekvienas iš jų turi savo formulę.

Užsisakytas rinkinių rinkinys yra vadinamas išdėstymu. Įdarbinimas gali būti su pakartojimais, tai yra, vienas elementas gali būti naudojamas kelis kartus. Ir be pakartojimų, kai daiktai nėra kartojami. N yra visi elementai, m yra elementai, kurie dalyvauja apgyvendintuose. Įdarbinimo formulė be pakartojimo bus:

A n m \u003d n! / (N-m)!

Junginiai iš N elementų, kurie skiriasi tik pagal paskirties tvarka yra vadinama Permutacija. Matematikoje jis turi formą: p n \u003d n!

Sujungia nuo N elementų M yra vadinami tokiais junginiais, kuriuose svarbu, kokie elementai buvo ir kokie jų bendra yra. Formulė apžvelgs:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernoulli formulė. \\ T

Tikimybės teorija, taip pat kiekvienoje disciplinoje, yra puikių darbų savo mokslo darbuotojų, kurie atnešė jį į naują lygį. Vienas iš šių darbų yra "Bernoulli" formulė, kuri leidžia nustatyti tam tikro įvykio tikimybę nepriklausomomis sąlygomis. Tai rodo, kad eksperimento išvaizda nepriklauso nuo atsiradimo ar neatsižvelgiant į tą patį įvykį anksčiau atliktuose ar vėlesniuose bandymuose.

Bernoulli lygtis:

P N (m) \u003d C n m × p m × q N-m.

Įvykio (a) išvaizdos tikimybė (P) yra nepakitusi kiekvienam bandymui. Tikimybė, kad situacija įvyks tiksliai M kartus N kiekiai eksperimentų bus apskaičiuojamas pagal formulę, pateiktą pirmiau. Atitinkamai kyla klausimas, kaip išsiaiškinti numerį Q.

Jei įvykis yra atitinkamai, jis negali ateiti. Įrenginys yra numeris, kurį reikia žymėti visi disciplinos situacijos rezultatai. Todėl Q yra numeris, kuris reiškia neįmanomų įvykių galimybę.

Dabar žinote Bernoulli formulę (tikimybės teorija). Užduočių sprendimo pavyzdžiai (pirmasis lygis) Apsvarstykite toliau.

2 užduotis: Parduotuvės lankytojas atliks pirkimą su 0,2 tikimybe. 6 lankytojai lankėsi parduotuvėje. Kokia yra tikimybė, kad lankytojas atliks pirkimą?

Sprendimas: Kadangi nežinoma, kiek lankytojų turėtų pirkti, vieną ar visus šešis, būtina apskaičiuoti visas galimas tikimybes naudodami Bernoulli formulę.

A \u003d "Lankytojas atliks pirkimą."

Šiuo atveju: P \u003d 0,2 (kaip nurodyta užduotyje). Atitinkamai, Q \u003d 1-0,2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (nes parduotuvėje yra 6 lankytojai). Numeris m pasikeis nuo 0 (pirkėjas nepareiškia pirkimo) iki 6 (visi lankytojai saugoti kažką bus įsigytas). Kaip rezultatas, mes gauname sprendimą:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Nė vienas iš pirkėjų pirkti su 0,2621 tikimybe.

Kaip dar yra Bernoulli formulė (tikimybės teorija)? Pavyzdžiai sprendžiant problemas (antrasis lygis) toliau.

Po pirmiau minėto pavyzdžio kyla klausimų, kur pasidalinti su ir r. Palyginti su P numeriu iki 0 laipsnio bus lygi vienai. Kaip C, tai galima rasti formulėje:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Kadangi pirmame pavyzdyje M \u003d 0, atitinkamai C \u003d 1, kuris iš esmės neturi įtakos rezultatui. Naudojant naują formulę, pabandykime išsiaiškinti, kokia yra tikimybė pirkti prekes dviem lankytojais.

P 6 (2) \u003d C6 2 × P2 × 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Ne taip sudėtinga tikimybės teorija. Bernoulli formulė, kurių pavyzdžiai pateikiami pirmiau, kuris yra tiesioginis įrodymas.

Formulė Poisson.

"Poisson" lygtis naudojama mažai tikimybėms apskaičiuoti atsitiktines situacijas.

Pagrindinė formulė:

P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).

Šiuo atveju λ \u003d N x p. Tai toks paprastas poissono formulė (tikimybės teorija). Užduočių sprendimo pavyzdžiai toliau svarsto.

3 užduotis.: Gamykloje sudarė 100 000 vienetų kiekį. Sugedusios dalies išvaizda \u003d 0,0001. Kokia yra tikimybė, kad 5 trūkumai bus partijoje?

Kaip matote, santuoka yra mažai tikėtinas įvykis ir ryšium su kuris yra naudojamas skaičiuoti polissono formulė (tikimybės teorija). Pavyzdžiai sprendžiant problemas tokio pobūdžio nesiskiria nuo kitų užduočių disciplinos, sumažintos formulės mes pakeisti būtinus duomenis:

A \u003d "Atsitiktinai pasirinktas elementas bus sugedęs."

p \u003d 0,0001 (pagal priskyrimo sąlygą).

n \u003d 100000 (dalių skaičius).

m \u003d 5 (defektinės dalys). Mes pakeisdami duomenis formulėje ir gauti:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Taip pat Bernoulli formulė (tikimybės teorija), sprendimų, kurių pagalba yra nurodyta pirmiau, pavyzdžiai, "Poisson" lygtis turi nežinomą e. Tiesą sakant, jį galima rasti formulėje:

e -λ \u003d Lim N -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Tačiau yra specialios lentelės, kuriose yra beveik visos vertės.

MoavorRow Laplaso teorema

Jei Bernoulli schemoje Bernoulli bandymų skaičius ir įvykio ir visose schemose tikimybė yra tokia pati, tada įvykių tikimybė ir tam tikras skaičius bandymų serijoje galima rasti kaip LAPLAPL formulė:

P N (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Norėdami geriau prisiminti Laplaso formulę (tikimybės teoriją), užduočių pavyzdžiai žemiau.

Pirmiausia surasime X m, mes pakeisime duomenis (jie yra visi nurodyti aukščiau) formulėje ir gauti 0,025. Naudodamiesi lentelėmis, mes randame numerį φ (0,025), kurio vertė yra 0,3988. Dabar galite pakeisti visus duomenis formulėje:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Taigi tikimybė, kad reklamos lapelis veiks tiksliai 267 kartus, yra 0,03.

Formulės Bayes.

"Bayes" formulė (tikimybės teorija), užduočių sprendimo pavyzdžiai, su kuriais bus parodyta toliau, yra lygtis, apibūdinanti įvykio tikimybę, remiantis aplinkybėmis, kurios gali būti susijusios su ja. Pagrindinė formulė yra tokia forma:

P (a | b) \u003d p (a) x p (a) / p (c).

A ir B yra tam tikri įvykiai.

P (a | b) - sąlyginė tikimybė, ty įvykis gali įvykti a, su sąlyga, kad įvykis yra teisingas.

P (a) - įvykio sąlyginė tikimybė V.

Taigi, galutinė mažo kurso dalis "Tikimybės teorija" yra "Bayes" formulė, užduočių sprendimų pavyzdžiai, su kuriais toliau pateikiami.

5 užduotis.: Sandėlis atnešė telefonus iš trijų įmonių. Tuo pačiu metu dalis telefonų, kurie gaminami pirmame augale, yra 25%, antrajame - 60%, trečią - 15%. Taip pat žinoma, kad vidutinė defektinių produktų procentinė dalis pirmojoje gamykloje yra 2%, antrajame - 4%, o trečiame - 1%. Būtina rasti tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas telefonas bus sugedęs.

A \u003d "Atsitiktinai paimta telefonas."

1-ame telefone, kuris padarė pirmąją gamyklą. Atitinkamai pasirodys 2 ir 3 įžanginė (antroji ir trečioji gamyklų).

Kaip rezultatas, mes gauname:

P (1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (2) \u003d 0,6; P (3) \u003d 0,15 - Taigi mes nustatėme kiekvienos galimybės tikimybę.

Dabar jums reikia rasti sąlyginę tikimybę norimo įvykio, tai yra, defektinių produktų tikimybė įmonėms:

P (A / IN 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / IN 2) \u003d 0,04;

P (a / in 3) \u003d 0,01.

Dabar mes pakeisime "Bayes" formulės duomenis ir gausime:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Straipsnyje pateikiama tikimybės, formulių ir problemų sprendimo pavyzdžių teorija, tačiau tai yra tik ledkalnio disciplinos viršūnė. Ir po visų parašytų, tai bus logiška paklausti, ar tikimybės teorija reikalinga gyvenime. Sunku atsakyti į paprastą asmenį atsakyti, geriau paklausti apie tai, kas su savo pagalba, nepažeidė Jack-prakaito.

Užduotys yra nepriklausomo sprendimo, į kurį galite matyti atsakymus.

Bendras problemos nustatymas: kai kurių įvykių tikimybės yra žinomos, ir būtina apskaičiuoti kitų įvykių, susijusių su šiais įvykiais, tikimybę. Šios užduotys kyla dėl tokių veiksmų dėl tikimybių, kaip ir tikimybių papildymas ir dauginimas.

Pavyzdžiui, du šūviai vadovaujasi medžioklei. Įvykis. \\ T A. - ančių patenka nuo pirmojo fotografavimo, įvykio B. - nukentėjo nuo antrojo fotografavimo. Tada įvykių suma A. ir. \\ T B. - nukentėjo nuo pirmojo arba antrojo fotografavimo arba iš dviejų nuotraukų.

Kitos rūšies užduotys. Yra keletas įvykių, pavyzdžiui, moneta yra išmesta tris kartus. Būtina rasti tikimybę, kad emblema nukris ar tris kartus, arba emblema iškirs bent vieną kartą. Tai yra tikimybių dauginimo uždavinys.

Neužbaigtų įvykių tikimybės papildymas

Tikimybės papildymas naudojamas, kai būtina apskaičiuoti tikimybę derinant arba logiška atsitiktinių įvykių sumą.

Įvykių dydis A. ir. \\ T B. žymi A. + B. arba. \\ T A. ∪ B.. Dviejų įvykių suma vadinama įvykiu, kuris ateina, kai ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių. Tai reiškia kad A. + B. - įvykis, kuris ateina ir tik tada, kai įvyko įvykis, kai pastebėtas A.arba įvykis B., arba tuo pačiu metu A.ir. \\ T B..

Jei įvykiai A.ir. \\ T B.suderinami nesuderinami ir jų tikimybės, tada tikimybė, kad dėl vieno testo, vienas iš šių įvykių įvyks, apskaičiuotas naudojant tikimybių pridėjimą.

Tikimybės papildymas teorema. Tikimybė, kad bus vienas iš dviejų abipusiškai neišsamių įvykių yra lygus šių įvykių tikimybių sumai:

Pavyzdžiui, du medžiotiems fotografai. Įvykis. \\ T Bet - ančių patenka nuo pirmojo fotografavimo, įvykio Į- nukentėjo nuo antrojo fotografavimo, įvykio ( Bet+ Į) - nukentėjo nuo pirmojo arba antrojo fotografavimo arba iš dviejų nuotraukų. Taigi, jei du įvykiai Betir. \\ T Į - neišsamūs įvykiai Bet+ Į- bent vieno iš šių įvykių ar dviejų įvykių pradžia.

1 pavyzdys.30 stalčių 30 rutulių tų pačių dydžių: 10 raudonos, 5 mėlynos ir 15 baltos spalvos. Apskaičiuokite tikimybę, kad be ieškojimo bus imtasi spalvos (ne baltos) kamuolys.

Sprendimas. Mes imsimės to įvykio Bet- "Raudonasis rutulys priimamas" ir įvykis Į- "mėlynas rutulys." Tada įvykis yra "spalvotas (ne baltas) kamuolys". Raskite įvykio tikimybę Bet:

ir įvykiai Į:

Renginiai Betir. \\ T Į - abipusiai nesuderinama, nes jei vienas kamuolys yra paimtas, tada jūs negalite vartoti skirtingų spalvų kamuoliukus. Todėl mes naudojame tikimybių pridėjimą:

Tikimybės papildymas teorema dėl kelių neišsamių įvykių. Jei įvykiai sudaro išsamų įvykių rinkinį, tada jų tikimybių suma yra 1:

Priešingų įvykių tikimybės suma taip pat yra lygi 1:

Priešingi įvykiai sudaro išsamų įvykių rinkinį, o visiško įvykių rinkinio tikimybė yra 1.

Priešingų įvykių tikimybės paprastai žymi mažomis raidėmis. p. ir. \\ T q.. Ypač,

kas seka tokias formules, pvz., Priešingus įvykius:

2 pavyzdys.Tikslas brūkšnys yra padalintas į 3 zonas. Tikimybė, kad tam tikras šaulys fotografuos į pirmosios zonos tikslą yra 0,15, antroje zonoje - 0,23, trečiojoje zonoje - 0,17. Raskite galimybę, kad šaulys pateks į tikslą ir tikimybę, kad šaulys pateks į tikslą.

Sprendimas: mes surasime tikimybę, kad šaulys patenka į tikslą:

Mes surasime tikimybę, kad šaulys patenka į tikslą:

Užduotys yra išsamesnės, kai turėtų būti taikomas papildomas ir dauginimasis tikimybių - puslapyje "Įvairios užduotys papildant ir dauginant tikimybių."

Abipusiai bendrų renginių tikimybės papildymas

Du atsitiktiniai įvykiai vadinami sąnariais, jei vieno įvykio pradžia neatmeta antrojo įvykio pradžios toje pačioje stebėjime. Pavyzdžiui, kai išmeskite žaidimo kaulų įvykį Betnumato 4 numerį ir įvykis Į- skaitytojo praradimas. Kadangi 4 numeris yra lygus skaičius, šie du įvykiai yra suderinami. Praktikoje yra užduočių apskaičiuojant vienos iš abipusiai bendrų įvykių atsiradimo tikimybę.

Tikimybės papildymo teorema bendrų renginių. Tikimybė, kad vienas iš bendrų įvykių bus lygus šių įvykių tikimybių sumai, iš kurių yra išskaičiuojamas bendras abiejų įvykių atsiradimo tikimybė, ty tikimybių produktas. Jungtinių įvykių tikimybių formulė yra tokia forma:

Nuo įvykių Betir. \\ T Į Suderinamas, įvykis Bet+ Įateina, jei įvyksta vienas iš trijų galimų įvykių: arba Au. Pagal neišsamių įvykių pridėjimą, mes apskaičiuojame tai:

Įvykis. \\ T Betjis ateis, jei įvyksta vienas iš dviejų nenuoseklių įvykių: arba Au. Tačiau vienos įvykio atsiradimo tikimybė iš kelių neišsamių įvykių yra lygūs visų šių įvykių tikimybių sumai:

Panašiai:

Išraiškos (5) išraiškos (5), mes gauname tikimybės formulę bendrų renginių:

Naudojant formulę (8), reikia nepamiršti, kad įvykiai Bet ir. \\ T Įgal būt:

• abipusiškai nepriklausomas;
• abipusiškai priklausomi.

Tikimybės formulė abipusiai nepriklausomų įvykių:

Tikimybės formulė abipusiai priklausomiems įvykiams:

Jei įvykiai Betir. \\ T Įnesuderinamas, jų sutapimas yra neįmanoma, ir tokiu būdu, P.(AB.) \u003d 0. Ketvirtoji tikimybės formulė neišsamių įvykių yra tokia:

3 pavyzdys.Dėl automobilio lenktynių atvykus į pirmąjį automobilį, laimėjimo tikimybę, atvykus į antrąjį automobilį. Rasti:

• tikimybė, kad abu automobiliai laimės;
• tikimybė, kad bent vienas automobilis laimės;

1) tikimybė, kad pirmasis automobilis laimės, nepriklauso nuo antrojo automobilio rezultato, todėl įvykiai Bet(Laimėkite pirmąjį automobilį) ir Į (Antroji transporto priemonė laimės) - nepriklausomi įvykiai. Mes surasime tikimybę, kad abu automobiliai laimės:

2) Mes surasime tikimybę, kad vienas iš dviejų automobilių laimės:

Užduotys yra išsamesnės, kai turėtų būti taikomas papildomas ir dauginimasis tikimybių - puslapyje "Įvairios užduotys papildant ir dauginant tikimybių."

Išspręskite užduotį už tai, kad būtų galima įsigyti tikimybių, ir pamatyti sprendimą

4 pavyzdys. Du monetos skubėja. Įvykis. \\ T A. - pirmosios monetos kailio praradimas. Įvykis. \\ T B. - ant antrosios monetos herbo praradimas. Raskite įvykių tikimybę C. = A. + B. .

Tikimybių dauginimas

Tikimybių dauginimas Naudokite, kai turėtų būti apskaičiuojami įvykių loginio produkto tikimybė.

Tuo pačiu metu atsitiktiniai įvykiai turėtų būti nepriklausomi. Du renginiai vadinami abipusiai nepriklausomais, jei vieno įvykio pradžia neturi įtakos antrojo įvykio tikimybei.

Tikimybės dauginimo teorema nepriklausomiems įvykiams. Vienalaikio įvykio dviejų nepriklausomų įvykių tikimybė Betir. \\ T Įjis yra lygus šių įvykių tikimybių produktui ir apskaičiuojamas pagal formulę:

5 pavyzdys.Moneta išmesta tris kartus iš eilės. Raskite tikimybę, kad herbas bus tris kartus.

Sprendimas. Tikimybė, kad monetos išliks su pirmuoju mesti moneta, antrą kartą, jau trečią kartą. Mes surasime tikimybę, kad emblema iškris tris kartus:

Išspręskite savarankiško tikimybių dauginimo uždavinius ir pamatysite sprendimą

6 pavyzdys. Yra dėžutė su devyniais naujais teniso kamuoliais. Žaidimui imtis trijų tikslų, po to, kai jie sugrįš. Renkantis kamuoliukus, žaidėjai neskiriami nuo ne kėdės. Kokia yra tikimybė, kad po trijų žaidimų dėžutėje nebus lieka ne kėdės?

7 pavyzdys. 32 Rusijos abėcėlės raidės yra parašytos ant padalinto abėcėlės. Penkios kortelės pašalinamos atsitiktinai po kito ir sukrauti ant stalo išvaizdos tvarka. Raskite tikimybę, kad žodis "pabaiga" pasirodys.

8 pavyzdys. Keturios kortelės pašalinamos iš pilno žemėlapių denio (52 lapų). Raskite tikimybę, kad visos šios keturios kortelės bus skirtingos tekstūros.

9 pavyzdys. Ta pati užduotis yra ta, kad 8 pavyzdyje, bet kiekviena kortelė nuimusi grįžta į denį.

Užduotys yra išsamesnės, kai turėtų būti taikomas tikimybių papildymas ir dauginimas, taip pat apskaičiuoti kelių renginių produktą - puslapyje "Įvairios užduotys papildymui ir tikimybių dauginimui."

Tikimybė, kad bent vienas iš abipusiai nepriklausomų įvykių galima apskaičiuoti atimant nuo 1 priešingų įvykių tikimybės produkto, tai yra formulė.