Diskriminant nuo 1681 m. Kvadratinių lygčių sprendimas, šaknų formulė, pavyzdžiai

Tikiuosi, kad mokytis šio straipsnio, jūs išmoksite rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminant, išspręstos tik visos kvadratinės lygtys, sprendžiami kvadratinėms lygtims, kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje "Nugaliųjų kvadratinių lygčių sprendimas".

Kokios kvadratinės lygtys yra pilnos? IT aH 2 + B X + C \u003d 0 lygtyskai koeficientai A, B ir nėra lygūs nuliui. Taigi, išspręsti visą kvadratinę lygtį, būtina apskaičiuoti diskriminuotoją D.

D \u003d B 2 - 4A.

Priklausomai nuo to, kokios svarbos yra diskriminant, mes parašysime atsakymą.

Jei diskriminant yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminant yra nulis, x \u003d (-b) / 2a. Kai diskriminant yra teigiamas skaičius (D\u003e 0),

tada x 1 \u003d (-B - √d) / 2a ir x 2 \u003d (-b + √d) / 2a.

Pavyzdžiui. Išspręsti lygtį x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Atsakymas: Nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Atsakymas: - 3.5; vienas.

Taigi, įsivaizduojame visiškų kvadratinių lygčių sprendimą pagal schemą1.

Pagal šias formules galite išspręsti bet kokią išsamią kvadratinę lygtį. Jums reikia tik atidžiai stebėti lygtis buvo užfiksuota standartinio tipo polinominiu.

bet x 2 + BX + C, Priešingu atveju galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, X + 3 + 2x 2 \u003d 0 lygties įraše, tai klaidingai gali būti išspręsta

a \u003d 1, b \u003d 3 ir c \u003d 2. Tada

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 Ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai neteisinga. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą).

Todėl, jei lygtis nėra parašyta ne į standartinės rūšies polinomą, iš pradžių visoje kvadratinėje lygtis turėtų būti užregistruotas standartinių rūšių polinominiu (pirmiausia turėtų būti neatskleista su didžiausiu rodikliu, tai yra bet x 2 Tada su mažesniu – bX.ir tada nemokamai penis nuo.

Sprendžiant tam tikrą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su net koeficientu, su antruoju terminu galima naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei į visą kvadratinę lygtį antrajame termine, koeficientas bus lygus (b \u003d 2k), tada lygtis pagal formules 2 paveiksle gali būti išspręsta.

Visa kvadratinė lygtis vadinama pirmiau minėtu, jei koeficientas yra x 2 lygus vienai ir lygtis bus formuojama x 2 + px + q \u003d 0. Tokia lygtis gali būti skiriama išspręsti arba gaunama dalijant visus koeficientų koeficiento lygtį betstovėti x 2 .

3 paveiksle parodyta pirmiau minėtos kvadrato sprendimo schema
lygtys. Apsvarstykite pavyzdį šiame straipsnyje nagrinėjamų formulių taikymas.

Pavyzdys. Išspręsti lygtį

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Nuspręskime šią lygybę naudodami 1 paveikslo schemoje nurodytus formules.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; -1 + √3.

Galima matyti, kad x koeficientas šioje lygtyje yra lygus skaičius, ty B \u003d 6 arba b \u003d 2k, iš kur k \u003d 3. Tada mes stengiamės išspręsti lygtį pagal d diagramoje parodytą formulę 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 33) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; -1 + √3.. Pastebėjo, kad visi šios kvadratinio lygties koeficientai yra suskirstyti į 3 ir atliekant padalijimą, mes gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x - 2 \u003d 0 sprendžiant šią lygtį naudojant formules nurodytam kvadratams
3 lygtis.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; -1 + √3.

Kaip matome, sprendžiant šią lygtį įvairiomis formulėmis, gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai žino apie 1 paveiksle schemoje formules, visada galite išspręsti bet kokią išsamią kvadratinę lygtį.

svetainė, visiškai arba dalinis kopijavimas medžiagos nuoroda į pradinį šaltinį reikalingas.

Iššūkiai vienam kvadratinei lygtimi yra tiriami mokyklos programoje ir universitetuose. Po jais supranta formos a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 lygtis, kur x - Kintamasis, A, B, C - konstantos; A.<>0. Užduotis yra rasti lygties šaknis.

Geometrinė reikšmė kvadratinėje lygtyje

Funkcijos, kurią atstovauja kvadratinė lygtis, grafikas yra parabola. Sprendimai (šaknys) kvadratinėje lygtyje yra parabolos sankirtos taškai su abscisa ašimi (x). Iš to išplaukia, kad yra trys galimi atvejai:
1) Parabola neturi sankryžos taškų su abscissa ašimi. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje su šakomis arba apačioje su šakomis. Tokiais atvejais kvadratinės lygties neturi galiojančių šaknų (turi dvi sudėtingas šaknis).

2) Parabola turi vieną sankirtos tašką su ašimi. Toks taškas vadinamas Pearabol viršūniu, o kvadratinė lygtis jame įgyja minimalią arba maksimalią vertę. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną galiojančią šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis praktikos atvejis yra įdomesnis - yra du parabolos sankirtos taškai su abscisa ašimi. Tai reiškia, kad yra dvi galiojančios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomias išvadas apie Parabolos išdėstymą.

1) Jei koeficientas yra daugiau nulio, parabola yra nukreipta į viršų, jei neigiama - parabolos šakos yra nukreiptos žemyn.

2) Jei koeficientas B yra didesnis nei nulis, tada parabolos viršuje yra kairiajame pusėje plokštumoje, jei ji užima neigiamą vertę - tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestis

Mes perkeliame pastovią nuo kvadratinės lygties

vienam lygybės ženklui, mes gauname išraišką

Padauginkite abi dalis 4a

Norėdami gauti kairę nuo pilno kvadrato pridėti abiejų dalių B ^ 2 ir įgyvendinti transformaciją

Iš čia rasti

Diskriminacinės ir kvadratinės lygties šaknų formulė

Diskriminieriai vadinama sąlyginės išraiškos verte, tai yra teigiama, lygtis turi dvi galiojančias šaknis, apskaičiuotas pagal formulę Esant nuliui diskriminant, kvadratinių lygtis turi vieną tirpalą (du sutampa šaknis), kuri gali būti lengvai gaunama iš pirmiau minėtos formulės D \u003d 0 su neigiama diskriminant į galiojančių šaknų lygtį. Tačiau, siekiant išlaikyti kvadratinės lygties sprendimus sudėtingoje plokštumoje, ir jų vertė apskaičiuojama pagal formulę

Vieta teorema

Apsvarstykite dvi kvadratinės lygties šaknis ir statyti savo pagrindu kvadratinę lygtį. Įrašas yra lengvai po to, kai pati Vieta teorema pati: jei mes turime kvadratinę lygtį tipo jo šaknų suma yra lygi P koeficientui, atsižvelgiant į priešingą ženklą, o lygties šaknų produktas yra lygus laisvam terminui Q. Pirmiau minėtų formulės įrašas parodė klasikinę pastovaus A lygtį skiriasi nuo nulio, tada visa lygtis turėtų būti suskirstyta į jį ir tada taikyti Vietos teoriją.

Kvadratinių lygčių grafikas daugiklio

Tegul užduotis: suskaidykite kvadratinę lygtį daugiklio. Norėdami tai įvykdyti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (mes randame šaknis). Be to, šaknys buvo pakeistos skilimo formulėje kvadratinio lygties ši užduotis bus leidžiama.

Kvadratinė lygtis

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Sprendimas: rašome koeficientus ir pakeiskite diskriminacinį formulę

Šios vertės šaknis yra 14, tai yra lengva rasti jį su skaičiuotuvu arba prisiminti dažnai naudojimą, tačiau, patogumui, tuo straipsnio pabaigoje, aš duosiu jums numerių kvadratų sąrašą, kuris dažnai gali susitikti tokios užduotys.
Fondas yra pakeistas šaknų formulėje

Ir gauti

2 užduotis. Išspręsti lygtį

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Sprendimas: Mes turime pilną kvadratinę lygtį, mes rašome koeficientus ir surasime diskriminant


Pasak žinomų formulių, mes randame kvadratinės lygties šaknis

3 užduotis. Išspręsti lygtį

9x 2 -12x + 4 \u003d 0.

Sprendimas: Mes turime išsamią kvadratinę lygtį. Nustatyti diskriminant

Gavome bylą, kai šaknys sutampa. Raskite šaknų vertes pagal formulę

4 užduotis. Išspręsti lygtį

x ^ 2 + x-6 \u003d 0.

Sprendimas: tais atvejais, kai yra mažų koeficientų X, patartina taikyti Vietos teoriją. Pasak jos, mes gauname dvi lygtis

Nuo antros sąlygos mes gauname, kad darbas turėtų būti lygus -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Mes turime tokią galimą sprendimų porą (-3; 2), (3; -2). Atsižvelgiant į pirmąją sąlygą, antroji sprendimų pora atmeta.
Šaknų lygtys yra lygios

Užduotis 5. Raskite stačiakampio pusės ilgį, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas yra 77 cm 2.

Sprendimas: pusė stačiakampio perimetro yra lygi kaimyninių šonų sumai. Nurodykite x - dauguma pusės, tada 18-x yra mažesnė pusė. Stačiakampio plotas yra lygus šių ilgių produktui:
x (18-x) \u003d 77;
arba. \\ T
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Mes randame lygties diskriminant

Apskaičiuokite lygties šaknis

Jeigu x \u003d 11,tam. \\ T 18h \u003d 7, Priešingai, tai taip pat tiesa (jei x \u003d 7, tada 21-x \u003d 9).

Užduotis 6. Kvadratinė kvadratinė 10x 2 -11x + 3 \u003d 0 lygtis daugikliai.

Sprendimas: Apskaičiuokite lygties šaknis, kad galėtume diskriminuoti

Mes pakeisime vertę, nustatytą šaknų formulėje ir apskaičiuoti

Taikyti skilimo formulę kvadratinio lygties palei šaknis

Laikiklio išdėstymas gaus tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Pagal kokias parametro vertės Bet, bet, Lygtis (A-3) x 2 + (3-a) x-1/4 \u003d 0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: tiesioginis vertės pakeitimas a \u003d 3 matome, kad jis neturi sprendimo. Be to, mes naudojame, kad nulinėje diskriminant, lygtis turi vieną šaknų daugialypiam nuožiūra 2. Gerti diskriminant

supaprastinti ir prilyginti nuliui

Gavo kvadratinę lygtį parametrui A, kurio sprendimas yra lengva gauti ant Vieta teorem. Šaknų kiekis yra 7 ir jų darbas 12. Paprasta biustas įdiegiant, kad numeriai 3.4 bus įsišaknijusi lygtis. Kadangi tirpalas A \u003d 3, mes jau atmetėme skaičiavimų pradžioje, vienintelė teisė bus - a \u003d 4.Taigi, kai a \u003d 4, lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Pagal kokias parametro vertės bet, bet, lygtis. \\ T a (A + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 \u003d 0turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: Apsvarstykite pirmuosius vienaskaitos taškus, jie bus vertės a \u003d 0 ir a \u003d -3. Kai A \u003d 0, lygtis bus supaprastinta iki 6x-9 \u003d 0 formos; x \u003d 3/2 ir bus viena šaknų. Kai a \u003d -3, mes gauname tapatybę 0 \u003d 0.
Apskaičiuoti diskriminant

ir rasti reikšmes ir kurioje yra teigiamas

Nuo pirmos būklės gausime\u003e 3. Antrajai randame disgliniją ir lygties šaknis


Mes apibrėžiame spragas, kuriose funkcija trunka teigiamos vertės. Paveikslas a \u003d 0 gauti 3>0 . Taigi, už intervalo (-3; 1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite apie tašką a \u003d 0,tai turėtų būti atmesta, nes pirminė lygtis jame turi vieną šaknį.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius užduoties sąlygą

Praktiškai bus daug panašių užduočių, pabandykite susidoroti su užduotimis ir nepamirškite apsvarstyti abipusiškai išskirtinių sąlygų. Na perskaitykite kvadratinių lygčių sprendimo formulę, jie dažnai reikalingi apskaičiuojant įvairias užduotis ir mokslus.

Pavyzdžiui, trijų nuotraukų (3x ^ 2 + 2x-7) diskriminant bus lygi (2 ^ 2-4 cdot3 cdot3 (-7) \u003d 4 + 84 \u003d 88). Ir trijų nuotraukų (x ^ 2-5x + 11), jis bus lygus ((- 5) ^ 2-4 cdot1 cdot11 \u003d 25-44 \u003d -19).

Diskriminant nurodoma raide (D) ir dažnai naudojamas sprendžiant. Be to, diskriminano vertė gali būti suprantama, kaip grafikas atrodo kaip kažkas (žr. Toliau).

Diskriminant ir šaknų lygtis

Diskriminavimo vertė rodo kvadratinės lygties skaičių:
- jei (D) yra teigiamas - lygtis turės dvi šaknis;
- jei (d) yra nulis - tik viena šaknis;
- jei (d) yra neigiamas - nėra šaknų.

Tai nėra būtina išmokti, tai lengva ateiti į šią išvadą, tik žinant, kad nuo diskriminacinio (tai yra, \\ t (SQRT (d)) yra įtraukta į formulę apskaičiuojant lygties šaknis: \\ ( x_ (1) \u003d \\ t (frac (-b + (d)) (2a)) ir \\ (x_ (2) \u003d) \\ (FRAC (-B- \\ t (d)) \\ t (2a). Apsvarstykite kiekvieną atvejį daugiau.

Jei diskriminant yra teigiama

Tokiu atveju jo šaknis yra teigiamas skaičius, todėl (x_ (1)) ir (x_ (2)) bus skirtingas pagal vertę, nes pirmojoje formulėje (SQRT (D) ) prideda ir antrajame - atimta. Ir mes turime dvi skirtingas šaknis.

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis (x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0)
Sprendimas Šis sprendimas :

Atsakymas : (x_ (1) \u003d 1); x_ (2) \u003d - 3 \\ t

Jei diskriminant yra nulis

Ir kiek šaknų bus, jei diskriminant yra nulis? Pakalbėkime.

Root Formules atrodo taip: \\ (x_ (1) \u003d) \\ (FRAC (-B + \\ t (-ų (d)) (2a) (x_ (2) \u003d \\ t (FRAC (\\ t -B- \\ t (d)) (2a). Ir jei diskriminant yra nulis, tada jo šaknis taip pat yra nulis. Tada paaiškėja:

(X_ (1) \u003d) \\ (FRAC (-B + (d)) (2a) \\ (\u003d) \\ (frac (-B + \\ t (0)) (2a) ) \\ (\u003d) \\ (Frac (-b + 0) (2a) \\ (frac (-B) (2a) \\) \\ t

X_ (2) \u003d \\ t (frac (-b- \\ t (d)) (2a) \\ (frac (-b- \\ t (-b- \\ t 0)) (2a) ) \\ (\u003d) \\ (FRAC (-B-0) (2a) \\ (\u003d \\ frac (-B) (2a) \\) \\ t

Tai reiškia, kad lygties šaknų vertės sutaps, nes nulio pridėjimas ar atimtumas nieko nekeičia.

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis (x ^ 2-4x + 4 \u003d 0 \\)
Sprendimas Šis sprendimas :

Atsakymas : (x \u003d 2)

Kvadratinė lygtis yra lygtis, kuri atrodo aX 2 + DX + C \u003d 0. Jame vertė a, B. ir. \\ T nuo. bet kokie skaičiai bet Ne taip pat nulis.

Visos kvadratinės lygtys yra suskirstytos į kelias rūšis, būtent:

Lygtys, kuriose tik viena šaknis.
-Aleidimas su dviem skirtingomis šaknimis.
-Edaluacija, kurioje nėra jokių šaknų.

Tai išskiria linijines lygtis, kuriose šaknis visada yra vieninga, nuo kvadrato. Siekiant suprasti, kiek šaknų skaičius išraiška ir reikia Diskriminavimo aikštės lygtis.

Pasakykime savo lygties AX 2 + DX + C \u003d 0. SO Diskriminavimo aikštės lygtis -

D \u003d B 2 - 4 AC

Ir jis turi būti prisimintas amžinai. Su šia lygtimi mes nustatome šaknų skaičių kvadratinėje lygtyje. Ir mes tai darome taip:

Kai D yra mažesnis nei nulis, lygtis nėra šaknų.
- Kai D yra nulis, yra tik viena šaknis.
- kai D yra didesnis, atitinkamai dviem šaknų lygtimyje.
Atminkite, kad diskriminant parodo, kiek šaknų lygtyje, nekeičiant ženklų.

Apsvarstykite aiškumą:

Būtina išsiaiškinti, kokie šaknų skaičius šioje kvadratinėje lygtyje.

1) x 2 - 8x + 12 \u003d 0
2) 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0
3) x 2 -6x + 9 \u003d 0

Įveskite pirmosios lygties reikšmes, mes rasti diskriminant.
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12
D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16
Diskriminant su pliuso ženklu, o tai reiškia dvi šaknis šioje lygyboje.

Daryti tą patį su antra lygtimi
a \u003d 1, b \u003d 3, c \u003d 7
D \u003d 3 2 - 4 * 5 * 7 \u003d 9 - 140 \u003d - 131
Vertė yra minus, o tai reiškia, kad ši lygybė nėra šaknys.

Analogiškai tokia lygtis yra skaidoma.
a \u003d 1, b \u003d -6, c \u003d 9
D \u003d (-6) 2 - 4 * 1 * 9 \u003d 36 \u003d 0
Kaip rezultatas, mes turime vieną šaknį lygtyje.

Svarbu, kad kiekvienoje lygtyje išleido koeficientus. Žinoma, tai nėra daug ilgo proceso, bet tai padėjo mums ne supainioti ir neleisti klaidų atsiradimo. Jei dažnai išspręsite tokias lygtis, skaičiavimai gali būti protiškai ir iš anksto žinoti, kiek šaknų lygtyje.

Apsvarstykite kitą pavyzdį:

1) x 2 - 2x - 3 \u003d 0
2) 15 - 2x - x 2 \u003d 0
3) x 2 + 12x + 36 \u003d 0

Atrakinti
a \u003d 1, b \u003d -2, c \u003d -3
D \u003d (- 2) 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 16, o tai yra nulis, tada dvi šaknys, atneša juos
x 1 \u003d 2+? 16/2 * 1 \u003d 3, x 2 \u003d 2-? 16/2 * 1 \u003d -1.

Mes deklaruojame sekundę
a \u003d -1, b \u003d -2, c \u003d 15
D \u003d (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 \u003d 64, kuri yra daugiau nulio ir taip pat turi dvi šaknis. Atneškime juos:
x 1 \u003d 2+? 64/2 * (-1) \u003d -5, x 2 \u003d 2-? 64/2 * (- 1) \u003d 3.

Atrakinkite trečiąjį
A \u003d 1, B \u003d 12, C \u003d 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, kuris yra nulis ir turi vieną šaknį
x \u003d -12 +? 0/2 * 1 \u003d -6.
Šias lygtis nėra sunku išspręsti.

Jei mes suteiksime neišsamią kvadratinę lygtį. Toks kaip

1x 2 + 9x \u003d 0
2x 2 - 16 \u003d 0

Šios lygtys skiriasi nuo tų, kurie buvo didesni, nes tai nėra baigta, jame nėra trečioji vertė. Tačiau, nepaisant to, tai yra lengviau nei visos kvadratinės lygties ir nereikia ieškoti diskriminano.

Ką daryti, kai skubiai reikia disertacijos ar abstrakčių, ir nėra laiko jo rašymui? Visa tai ir daug daugiau gali būti patiko svetainėje Deaplom.by (http://deeplom.by/) ir gauti aukščiausią rezultatą.