Scolaro sulla teoria delle probabilità - Lyticas V.S. Caratteristiche dell'apprendimento delle fondamenta della teoria della probabilità nell'anno scolastico della matematica

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Ministero della Pubblica Istruzione della Repubblica di Bielorussia

Stabilimento educativo "Stato Bielorusso Pedagogico

Università che prende il nome dopo M. Tanka

Facoltà di fisica e matematica

Dipartimento di insegnamento matematica

Teoria della probabilità nel corso della scuola della matematica

Minsk, 2016.

introduzione

La questione del miglioramento dell'educazione matematica nella scuola patriottica è stata messa nei primi anni '60 del 20 ° secolo matematici eccezionali B.V. Groundenko, A.n. Kolmogorov, I.I. Kikoin, A.I. Markushevich, A.ya. Hinchin. B.V. Groundnko ha scritto: "C'è stato molto tempo fa e non tollera ulteriori depositi la questione dell'introduzione di elementi matematici di conoscenza statistica probabilistica nel corso scolastico. Le leggi della rigida determinazione, che è pienamente orientata dalla nostra educazione scolastica, solo la schiena rivela l'essenza del mondo. La natura casuale di molte realtà fenomeni è al di fuori dell'attenzione dei nostri scolari. Come risultato di ciò, le loro idee sulla natura di molti processi naturali e sociali sono unilaterali e inadeguati alla scienza moderna. È necessario presentarli con leggi statistiche che rivelano le multiforme comunicazioni dell'esistenza di oggetti e fenomeni ". IN E. Levin ha scritto: "... La cultura statistica necessaria per ... Le attività dovrebbero essere sollevate dalla tenera età. Non per caso nei paesi sviluppati, si paga molta attenzione: con elementi della teoria e delle statistiche di probabilità, gli studenti hanno già familiarità dai primi anni scolastici e durante i loro studi assorbe approcci statistici probabilistici all'analisi delle situazioni comuni incontrate in ogni giorno vita. " La riforma degli anni '80, gli elementi della teoria delle probabilità e delle statistiche sono stati inclusi nei programmi delle classi del profilo, in particolare, il fisico-matematico e naturale scientifico, nonché il corso facoltativo dello studio della matematica. Dato l'urgente necessità di sviluppare le singole qualità del pensiero degli studenti, gli sviluppi dell'autore dei corsi elettivi sulla teoria della probabilità appaiono. Un esempio di questo potrebbe essere il corso n.n. Avdeeva secondo le statistiche per 7 e 9 lezioni e un corso di elementi di statistiche matematiche per il decimo grado di scuola superiore. Nel decimo grado, sono stati effettuati lavori di prova, i risultati dei quali, così come le osservazioni degli insegnanti e del sondaggio degli studenti hanno dimostrato che il materiale proposto è stato completamente accessibile agli studenti, ha causato il loro grande interesse, mostrando l'uso specifico della matematica per risolvere i compiti pratici della scienza e della tecnologia. Il processo di introduzione di elementi della teoria della probabilità in un corso obbligatorio della matematica scolastica è stato molto difficile. Vi è un parere che, per l'assimilazione, la teoria della probabilità è necessaria con una fornitura preliminare di idee, idee, abitudini, fondamentalmente diverse da coloro che si sviluppano da scolari con formazione tradizionale in familiarizzazione con regolarità di fenomeni rigorosamente determinanti. Pertanto, secondo un numero di insegnanti - matematici, la teoria delle probabilità dovrebbe entrare matematica scolastica come sezione indipendente, che garantirebbe la formazione, la sistematizzazione e lo sviluppo di idee sulla natura probabilistica dei fenomeni del mondo che ci circonda. Dal momento che lo studio della teoria della probabilità nel corso della scuola è stato recentemente introdotto, quindi ci sono attualmente problemi con l'implementazione di questo materiale nei libri di testo scolastici. Inoltre, a causa della specificità di questo corso, anche il numero di letteratura metodologica è piccola. Secondo gli approcci stabiliti nella maggior parte della maggior parte della letteratura della letteratura, si ritiene che l'esperienza principale degli studenti dovrebbe essere la cosa principale nello studio di questo argomento, pertanto la formazione è desiderabile iniziare con domande che devono trovare soluzioni al problema contro il problema contro il problema Sfondo della situazione reale. Nel processo di apprendimento, tutti i teoremi non dovrebbero essere dimostrati, poiché vale la pena valere una grande quantità di tempo, mentre il corso del corso è la formazione di competenze utili, e la capacità di dimostrare che i teoremi a tali capacità non si applicano. L'origine della teoria della probabilità si è verificata alla ricerca di una risposta alla domanda: quanto spesso è disponibile un altro evento in una serie di test più ampia con risultati casuali che si verificano nelle stesse condizioni? Valutare la possibilità del verificarsi di qualsiasi evento, spesso diciamo: "È molto possibile," accadrà sicuramente "," è improbabile ",", "non succederà mai." Acquistando un biglietto della lotteria puoi vincere, ma non puoi vincere; Domani nella lezione, la matematica può essere causata al tabellone e non può causare; Alle prossime elezioni, la parte dominante può vincere e non può essere sconfitta. Considera un semplice esempio. Cosa ne pensi, quante persone dovrebbero essere in un certo gruppo, in modo che almeno due di loro, i compleanni hanno coinciso con una probabilità del 100% (che significa il giorno e il mese senza prendere la nascita della nascita)? Significava qui non è un anno bisestile, cioè anno in cui 365 giorni. La risposta è ovvia - ci dovrebbero essere 366 persone nel gruppo. Ora un'altra domanda: quanto dovrebbe essere una persona avere una coppia con il compleanno coinvolgente con una probabilità del 99,9%? A prima vista, tutto è semplice - 364 persone. In effetti, 68 persone sono sufficienti! Quindi, per svolgere tali calcoli interessanti e fare scoperte insolite per te stesso, studieremo una tale sezione della "teoria della probabilità" di matematica.

Capitolo I. Linea statistica probabilistica nel corso scolastico di base della matematica

1.1 Pensiero statistico e istruzione matematica scolastica

Ogni ERA attribuisce i suoi requisiti per la scienza matematica e l'educazione matematica. Attualmente, le voci dei metodologi stanno diventando sempre più rumorose, che verrà raccontata per il miglioramento di una linea statistica probabilistica nel corso della scuola di matematica, a partire dalle classi Junior High School. Ma molti insegnanti di matematica non hanno incontrato la combinazione, teoria della probabilità, statistiche, I.e., con tutto ciò che è incluso in probabilistico - la direzione statistica della matematica. Devono espandere le loro conoscenze su problemi approfonditi. Il ricercatore più autoritario del nostro paese nel campo della teoria delle probabilità e delle statistiche matematiche era Boris Vladimirovich Griedenko (1912-1995). Era autore di molti articoli nella rivista "Matematica a scuola".

Che cosa e come imparare a scuola, a quanto pare, appartenerà sempre al numero di problemi eterni che sorgono costantemente anche dopo aver dato una soluzione, il meglio rispetto al precedente. Ed è inevitabile, perché le nostre conoscenze scientifiche e approcci per spiegare i fenomeni intorno a noi sono costantemente riforniti. Non è dubbio che il contenuto dell'insegnamento scolastico dovrebbe cambiare con il progresso della scienza, in qualche modo ritardo dietro e consentendo nuove idee scientifiche e concetti di adottare ammissibili in termini psicologici e metodologici.

Tuttavia, dovrebbe essere considerato che il contenuto e la natura del corso scolastico di uno o dell'altro dovrebbero essere pienamente determinati dallo stato del relativo ramo scientifico della conoscenza e delle presentazioni che la dominano sui suoi concetti centrali sarebbero un errore grossolano. La stragrande maggioranza degli scolari non sarà esperta in questo campo della scienza. Di questi, entrambi i rappresentanti di altri interessi scientifici e aree pratiche di attività e rappresentanti di professioni libere sono scrittori, artisti, artisti. Ecco perché per tutti gli studenti è necessario ottenere informazioni sui concetti scientifici stabiliti e acquisire una solida base per le conoscenze scientifiche, e inoltre, la capacità di discutere logicamente e dichiarare chiaramente i tuoi pensieri. La scuola dovrebbe dare l'idea che la scienza e il suo concetto siano strettamente correlate alla pratica di cui disegna l'impostazione dei loro problemi, idee e poi restituisce la pratica delle nuove opportunità per risolvere i suoi problemi principali, crea nuovi metodi per questo. Senza questo, l'educazione sarà difettosa, strappata dalla vita e creerà numerose difficoltà per gli alunni scolastici. Ecco perché il contenuto dell'istruzione scolastica dovrebbe avere requisiti ampiamente compresi della pratica dei nostri giorni e futuro prevedibile.

Nelle nostre vite, elezioni e referendum, prestiti bancari e polizze assicurative, tavoli per l'occupazione e diagrammi di indagini sociologici sono entrati. La società sta aumentando più a fondo per studiare se stessa e sforzarsi di prendere previsioni su se stessi e sui fenomeni della natura che richiedono idee sulla probabilità. Persino i rapporti meteorologici nei giornali riferiscono che "domani sono previsti piove sono previsti con una probabilità del 40%".

L'esistenza completa di un cittadino in una società complessa, variabile e multi-tech è direttamente correlata al diritto di ricevere informazioni, con la sua disponibilità e affidabilità, con il diritto a una scelta consapevole, che non può essere fatta senza la capacità di effettuare elezioni e previsioni basate sull'analisi e la lavorazione spesso informazioni incomplete e controverse.

Dobbiamo insegnare ai bambini a vivere in una situazione probabilistica. E questo significa per estrarre, analizzare e elaborare le informazioni, effettuare soluzioni informate in una varietà di situazioni con risultati casuali. Orientamento sui principi democratici del pensiero, il multivariato del possibile sviluppo di situazioni ed eventi reali, sulla formazione di una persona, la capacità di vivere e lavorare in un mondo difficile e in continua evoluzione, con inevitabilità richiede lo sviluppo di probabilistici - statistici Pensando tra le giovani generazioni. Questo compito può essere risolto nel corso scolastico della matematica sulla base di un complesso di problemi relativi alle statistiche descrittive ed elementi delle statistiche matematiche, con la formazione del pensiero combinatorio e probabilistico (12). Tuttavia, non solo la situazione socio-economica detta la necessità di formare una nuova generazione di pensiero probabilistico. Le leggi probabilistiche sono universali. Sono diventati la base per la descrizione dell'immagine scientifica del mondo. La fisica moderna, la chimica, la biologia, la demografia, la sociologia, la linguistica, la filosofia, l'intero complesso di scienze socio-economiche sono costruite e sviluppando su una base probabilistica - statistica. Un adolescente non è separato da questo mondo un muro sordo, e nella sua vita affronta costantemente situazioni probabilistiche. Il gioco e l'eccitazione costituiscono una parte sostanziale della vita del bambino. La gamma di problemi relativi alle rapporti di relazione "Probabilità" e "Affidabilità", il problema di scegliere il meglio di diverse soluzioni, valutazione del grado di rischio e possibilità di successo, un'idea di giustizia e ingiustizia nei giochi e in Real Life Conflitti - Tutto questo è indubbiamente situato nella sfera dei veri interessi dell'adolescente. Preparazione per risolvere tali problemi e dovrebbe assumere il corso della matematica scolastica.

Oggi, nella scienza, l'importanza fondamentale ha acquisito il concetto di casuale e confidamente si rompe per trovare le soluzioni ottimali. La necessità di introdurre a scuola insegna il concetto di casuale, e questo è causato non solo dai requisiti dell'ordine scientifico e pratico, ma anche considerazioni puramente metodiche. Allo stesso tempo, il sistema classico dell'istruzione russa si basa principalmente su principi e approcci distinti in modo deterministico in matematica e in altri soggetti. Se non si rimuove, almeno indebolire la contraddizione tra le decisioni della determinazione del mondo formata nelle mura della scuola e delle idee scientifiche moderne basate su leggi statistiche probabilistiche, è impossibile senza l'introduzione dei fondamenti delle statistiche e della teoria di probabilità nell'istruzione scolastica obbligatoria. Il concetto moderno dell'istruzione matematica scolastica è orientato, prima di tutto, per registrare l'individualità del bambino, i suoi interessi e incongruenze. Ciò determina i criteri di selezione, lo sviluppo e l'implementazione di nuove tecniche di insegnamento interattiva, cambiamenti nei requisiti per la preparazione matematica dello studente. Allo stesso tempo, la conoscenza degli scolari con una regione molto particolare di matematica, dove c'è un'intera gamma di colori e sfumature tra bianco e nero, e non c'è anche "sì" e "no" (potrebbe esserci "forse" "Si prende cura di una stretta valutazione quantitativa!), Aiuta a eliminare la sensazione radicata che ciò che è accaduto nella lezione della matematica non è in alcun modo connesso con il mondo in tutto il mondo, con la vita di tutti i giorni.

Secondo scienziati fisiologici e psicologi, oltre a numerose osservazioni degli insegnanti di matematica, la caduta di interesse per il processo di apprendimento in generale e alla matematica in particolare. Nelle lezioni di matematica nella scuola principale, nella quinta-nona gradi effettuata dallo schema abituale e sul materiale tradizionale, lo studente ha spesso una sensazione di un muro impenetrabile tra gli oggetti astratti-formali delineati e il mondo esterno. È la linea statistica probabilistica, o come ha cominciato a essere chiamato ultimamente - la linea stocastica, il cui studio è impossibile senza sostenere i processi osservati nel mondo in tutto il mondo, la vera esperienza della vita del bambino è in grado di promuovere il Restituzione degli interessi in materia di "matematica", propaganda della sua importanza e versatilità. Infine, il concetto di una società aperta, i processi di integrazione europea e globale sono inestricabilmente legati alla reciproca convergenza dei paesi e dei popoli, anche nel campo dell'educazione. La Russia, avendo una delle tradizioni più potenti e riconosciute dell'istruzione matematica della scuola nel mondo, allo stesso tempo rimane quasi l'unico paese sviluppato, dove nel corso scolastico principale della matematica non ci sono fondamentali di statistiche e la teoria della probabilità . Le tendenze delle trasformazioni economiche che suscitate nel nostro paese suggeriscono che gli organizzatori e i partecipanti alla produzione di un nuovo tipo che molti laureati delle scuole saranno richiesti nella società più scoperta. La cultura stocastica dovrebbe essere facilmente educata dalla tenera età. Non è per caso che nei paesi sviluppati, si paga molta attenzione a questo: con elementi della teoria delle probabilità e delle statistiche, gli studenti già familiariventati dai primi anni scolastici e durante i loro studi assorbono approcci statistici probabilistici all'analisi del comune Situazioni incontrate nella vita di tutti i giorni.

Il numero di esempi di approcci allo studio del materiale statistico probabilistico nel liceo potrebbe condurre molti, perché negli ultimi due decenni, quasi tutti i paesi hanno introdotto questo materiale per il curriculum scolastico e suggeriva uno o più approcci al suo studio. Interessante lavoro apparve in Polonia, Svezia, Israele, Francia. I problemi relativi alla creazione di un sistema di studio del materiale statistico probabilistico al liceo, nel nostro paese non è abbastanza coperto. L'analisi degli approcci noti a noi per studiare gli elementi della teoria e delle statistiche della probabilità nelle scuole secondarie di vari paesi fanno le seguenti conclusioni:

Nella stragrande maggioranza dei paesi, questo materiale inizia a essere studiato in scuola elementare;

Durante tutti gli anni di studio, gli studenti hanno familiarità con approcci statistici probabilistici all'analisi dei dati empirici, e i compiti di natura applicata svolgono un ruolo importante, l'analisi delle situazioni reali;

Nel processo di apprendimento, un ruolo importante è dato un ruolo importante ai compiti che richiedono agli studenti di lavorare in piccoli gruppi, dati auto-raccolta, riassumendo i risultati del Gruppo, conducendo ricerche indipendenti, lavori di lavoro, esercitazione di esperimenti, realizzando piccoli lavori di laboratorio, formazione di corsi a lungo termine - tutto ciò è dettato dall'unicità probabilistico - materiale statistico, il suo stretto rapporto con le attività pratiche;

Studiare gli stocastici in quanto doveva cadere su componenti probabilistici e statistici, strettamente correlati l'uno con l'altro, in molti paesi sono integrati con un piccolo frammento delle combinatorie.

Nel nostro paese, tentativi infruttuosi di introdurre la matematica nel corso scolastico, il concetto di probabilità di un evento è già stato preso. In virtù di isolanza e fiura, questo materiale è stato presto rimosso dai programmi e dai libri di testo in relazione al tasso scolastico tradizionale.

Alcune esperienze di apprendimento degli elementi della teoria della probabilità si sono accumulati nelle scuole con uno studio approfondito della matematica, ma conferma solo il fatto che i tentativi di risolvere il problema introducendo una nuova sezione isolata in una sezione tradizionale di matematica è condannata al fallimento. Lo studio degli elementi della teoria della probabilità come sezione chiusa di un programma relativo alla matematica "pulita", teorica, completamente screditata agli occhi degli insegnanti e ha portato al fatto che alcuni di loro generalmente esprimono dubbi che possono e dovrebbero essere studiati alle superiori. Allo stesso tempo, insegnanti di fisica, chimica, biologia ha ritenuto l'urgente necessità di esprimere i modelli principali di queste scienze nella lingua dei concetti probabilistici. Dopotutto, lo stato attuale della conoscenza umana del mondo suggerisce che una natura casuale è inerente ai fenomeni microworosi (base) principali.

L'aspetto nel programma scolastico di una linea statistica probabilistica incentrata sulla conoscenza degli studenti con la natura probabilistica della maggior parte dei fenomeni della realtà circostante contribuirà a rafforzare il suo potenziale culturale generale, l'emergere di nuove, profondamente ragionevoli relazioni interdisciplinari , l'umanitalizzazione dell'istruzione matematica scolastica.

Quando si seleziona il materiale per la nuova scuola di scuola, è necessario tenere conto del significato educativo generale e del potenziale ideologico degli argomenti proposti. È importante apprezzare correttamente quali sono necessarie la conoscenza di una persona moderna nella vita e nelle attività di tutti i giorni, quella di loro richiederà uno studente di studiare altri soggetti scolastici, per continuare l'istruzione, il quale contributo può fare queste conoscenze nella formazione di varie parti a l'intelletto dello studente. È inoltre necessario prendersi cura del fatto che il contenuto proposto garantisce le possibilità di coniugazione organica di un nuovo materiale educativo con il tradizionale, contribuito allo sviluppo di relazioni intramascolari.

E nel nostro paese oggi c'è un inevitabile processo di stadiazione come componente uguale nell'istruzione matematica della scuola obbligatoria.

Tutti i documenti educativi di stato degli ultimi anni contengono una linea statistica probabilistica nel corso della matematica della scuola principale alla pari con linee così familiari come "numeri", "funzioni", "equazioni e disuguaglianza", "forme geometriche", ecc.

1.2 Aspetti psicologici e pedagogici della teoria della probabilità di studio nel liceo

teoria della scuola di probabilità media

Lo studio degli psicologi (J. Piazhe, E. Fishbain) mostra che una persona è inizialmente adattata scarsamente a una valutazione probabilistica, alla consapevolezza e alla corretta interpretazione delle informazioni statistiche probabilistiche. Esperimenti condotti da EA Baynovich (Mosca, uno degli autori dei libri di testo contenenti elementi stocastici) sulla base della palestra di Mosca n. 710, Yaroslavl Gymnasium n. 20 e Kaluga Gymnasium n. 2. In studi sperimentali, rappresentazioni probabilistiche di scolari di Classi di profilo anziano che hanno iniziato al tasso approfondito della matematica, ma non ancora studiato sezioni probabilistiche. I risultati dello studio suggeriscono inequivocabilmente che anche una buona conoscenza e comprensione di altre sezioni di matematica di per sé non garantiscano lo sviluppo del pensiero probabilistico e non allevia anche dai banale pregiudizi probabilistici e delusioni (7).

Diamo un esempio. La domanda ha chiesto:

"Sulla stessa carta sportiva (6 di 49) numeri incrociati

1, 2, 3, 4, 5 e 6,

e dall'altra

5, 12, 17, 23, 35 e 41.

Cosa pensi che la conquista di che tipo di numeri sia più probabile? ".

Di tutti i partecipanti all'esperimento, il 22% degli studenti delle scuole superiori ha risposto che molto probabilmente la seconda carta. Interessante quasi la stessa risposta di due scolari di varie scuole (Mosca e Yaroslavl): "In generale, entrambi i casi sono ugualmente pari, ma il secondo caso è più probabile" che esprime la evidente contraddizione tra le idee familiari e scientifiche degli scolari.

È curioso che le classi economiche biologiche chimiche del profilo, dove il corso di matematica è significativamente più profondo della base, ma non esiste un materiale statistico probabilistico, dare quasi lo stesso risultato (fino al 30% delle risposte - "Le vincite del secondo set sono più probabilmente"). Non sono molto diversi dai dati dati e dai risultati delle risposte a una questione simile nel test, proposto nel 1998, insegnanti di matematica nei corsi di formazione avanzati a Mosca.

Noteremo dal modo in cui il famoso amatore dei giochi matematici e dei paradossi Martin Gardner scrisse in un'occasione simile che è in realtà più redditizio estrarre la combinazione di 1, 2, 3, 4, 5 e 6 o altre combinazioni "regolari" . Le possibilità di vincere lo stesso, ma la quantità quando le vincite potrebbero essere significativamente di più, dal momento che non è a malapena a qualcuno che verrà in mente di attraversare il numero da 1 a 6, e nel caso di buona fortuna, non doverlo Condividi un fondo premio con chiunque.

All'età delle classi primarie, c'è ancora molto nelle idee degli studenti del mondo non abbastanza formati, non c'è abbastanza apparecchiatura matematica (prima di tutto - semplici frazioni) per spiegare le idee sulla probabilità. Allo stesso tempo, le basi delle statistiche descrittive, le tabelle e i grafici a barre, nonché le basi dei combinatorie, il busto sistematico di possibili opzioni su una piccola serie di articoli possibili e deve anche essere introdotta nel corso di scuola elementare.

Inizia la dichiarazione delle basi della teoria della probabilità nelle scuole superiori è inefficace. Il desiderio di formalizzare rapidamente le conoscenze formate dal corso tradizionale della matematica, il desiderio di imparare nella lezione, prima di tutto, un certo insieme di regole, algoritmi e metodi di calcolo sostituisce effettivamente la formazione di rappresentazioni probabilistiche all'apprendimento formale delle formule di combinatori e calcolo della probabilità in base al classico modello di laplace.

Con elementi di pensiero statistico, devi iniziare a conoscere a scuola in numerosi oggetti, e non solo nel corso della matematica. È necessario renderlo alle lezioni di botanica e zoologia, astronomia e fisica, lingua russa e storia, di tanto in tanto, commenti ragionevoli sulla possibilità di fenomeni, che studia questa disciplina scientifica. Naturalmente, la matematica non può rimanere da parte. Le prime idee sul mondo dei bambini a caso ricevono da osservazioni di loro nella vita circostante. Allo stesso tempo, importanti caratteristiche caratteristiche dei fenomeni osservati sono chiariti durante la raccolta di informazioni statistiche e rappresentazione visiva. La possibilità di registrare informazioni statistiche e inviarli sotto forma di tabelle più semplici e diagrammi di per sé caratterizza la presenza di qualche esperienza statistica allo studente. Riflette il primo, anche se le idee coscienti sull'ambiguità e sulla variabilità dei fenomeni reali, sui risultati casuali, affidabili e impossibili delle osservazioni, sui tipi specifici di aggregazione statistica, delle loro caratteristiche e proprietà generali. Queste abilità consentono di formare una rappresentazione corretta non solo sui fenomeni con un incidente pronunciato, ma anche di tali fenomeni, la cui natura casuale non è ovvia, e bloccata con molte percezione complicanti da fattori.

Nella vita di tutti i giorni e al lavoro, un laureato di scuola superiore è di fronte alla necessità di ottenere e progettare alcune informazioni. Nelle lezioni di fisica, chimica, biologia, durante l'esecuzione di laboratorio e lavoro pratico, lo studente dovrebbe essere in grado di emettere i risultati di osservazione e esperimenti; Nelle lezioni della geografia della storia, delle scienze sociali, ha bisogno di utilizzare tabelle e directory, percepire le informazioni presentate in forma grafica. Queste competenze sono necessarie per ogni persona, poiché, con il materiale statistico presentato in varie forme, è costantemente trovato in tutte le fonti di informazioni progettate per un pubblico di massa - su giornali, riviste, libri, in televisione, ecc.

Comprendere la natura del fenomeno stocastico studiato è associato alla capacità di allocare la cosa principale, vedere caratteristiche e tendenze quando si considerano tabelle, grafici e grafici. Le competenze più semplici con la "lettura" di tavoli e grafici consentono di notare alcuni modelli di fenomeni osservati, vedere le forme di dati statistici, specifiche proprietà dei fenomeni con caratteristiche e relazioni causali inerente a loro.

Caratteristiche tipiche dei fenomeni studiati, le loro tendenze comuni possono essere rilevate utilizzando caratteristiche statistiche medie. La capacità di usarli caratterizza la presenza di idee degli studenti relative alle tendenze centrali nel mondo del casuale. Capire il significato delle medie più ordinarie, come la media aritmetica, ogni studente è necessario.

La natura stocastica dei fenomeni circostanti non può essere divulgata senza comprendere il grado di variabilità. Pertanto, è necessario quantificare la dispersione dei dati statistici, il che contribuisce a una comprensione più profonda dell'essenza di fenomeni e processi, consente di confrontare gli aggregati statistici del grado della loro variazione.

Uno dei componenti più importanti del pensiero stocastico è una comprensione degli incidenti sostenibili del mondo, dell'ordinamento dei fatti casuali. È impossibile assumere gli studenti percepiti dall'echigina nella loro vita di studenti di fenomeni casuali percepiti da qualsiasi interconnessione. Il luogo centrale è occupato dalle opinioni relative a varie idee sperimentali della legge di grandi numeri. Il percorso più semplice ed economico consiste nella formazione di idee sulla probabilità come valore di frequenza "teoricamente previsto" con un aumento del numero di osservazioni. Allo stesso tempo, la comprensione del rapporto tra la probabilità e il suo prototipo empirico - la frequenza porta alla consapevolezza della stabilità statistica della frequenza. Allo stesso tempo, è inoltre svolto un ruolo importante da parte della comprensione che la valutazione quantitativa della possibilità del verificarsi di un determinato evento può essere effettuata prima dell'esperimento, in base ad alcune considerazioni teoriche. Quindi, arriviamo al calcolo delle probabilità nello schema classico.

Nel caso in cui quando si insegna alla matematica, l'intuizione probabilistica non si sviluppa, invece delle idee e dei concetti giusti, vengono apprese viste false, esprimono giudizi errati.

Uno degli obiettivi importanti dello studio del materiale statistico probabilistico a scuola è lo sviluppo dell'intuizione probabilistica, la formazione di idee adeguate sulle proprietà dei fenomeni casuali. Dopotutto, nella vita, è molto spesso necessario valutare le possibilità, per presentare ipotesi e suggerimenti, prevedere lo sviluppo della situazione, per discutere delle possibilità di conferma di una o di un'altra ipotesi, ecc. L'idea del Probabilità che viene appresa nel processo di studio organizzato e sistematico è diverso dall'ordinario, ... è proprio il fatto che sia un vettore di presenze sulla stabilità, la regolarità nel mondo del random, consente le conclusioni più pienamente e corrette dalle informazioni disponibili.

Notezziamo allo stesso tempo, che è ugualmente inefficace e persino pericoloso come formalizzazione precoce, e l'altro estremo, che ora si riflette in alcuni programmi sperimentali - ragionamento infinito sulla probabilità al di fuori del corso della matematica, al di fuori della costruzione di modelli probabilistici.

Capitolo 2. Concetti di base

2.1 Elementi di combinatori

Lo studio del corso dovrebbe iniziare con lo studio delle fondamenta dei combinatori e la teoria della probabilità dovrebbe essere studiata in parallelo, poiché il combinatorio viene utilizzato quando le probabilità contano. I metodi di combinatoria sono ampiamente utilizzati in fisica, chimica, biologia, economia e altre aree di conoscenza. Nella scienza e nella pratica, si trovano spesso compiti, che devono essere diverse combinazioni di un numero finito di elementi e calcolare il numero di combinazioni. Tali attività sono chiamate attività combinatoriali e la sezione Matematica in cui queste attività sono considerate, si chiama Combinatorias. Le combinatorie studiano metodi per il conteggio del numero di elementi nei set finali. Le formule dei combinatorie vengono utilizzate quando si calcolano le probabilità. Considera alcuni set X composto da n elementi. Sceglieremo da questo set diversi sottoinsiemi ordinati Y da K Elements. Posizionando gli elementi n degli elementi Set X da K, chiamiamo qualsiasi set ordinato di elementi del set X. Se la selezione degli elementi del set Y di X si verifica con il ritorno, I.e. Ogni elemento di set X può essere selezionato più volte, il numero di alloggi da n da k si trova secondo la formula (posizionamento con ripetizione). Se la scelta è fatta senza ritorno, cioè. Ogni elemento del set X può solo scegliere una volta, il numero di alloggi da n da k viene denotato ed è determinato da uguaglianza (posizionamento senza ripetizioni). Un caso speciale di collocamento a n \u003d k è chiamato permutazione da n elementi. Il numero di tutte le permutazioni da n elementi è uguale a ora dal set X, un sottoinsieme non ordinato Y (l'ordine degli elementi nel sottoinsieme non conta). Combina da n Elementi secondo K sono chiamati sottoinsiemi da elementi K che differiscono l'uno dall'altro almeno un elemento. Il numero totale di tutte le combinazioni da n da K è indicato e ugualmente uguale all'uguaglianza:, quando si risolvono i problemi, i combinatorie utilizzano le seguenti regole: la regola della regola. Se alcuni oggetti A possono essere selezionati dal set di metodi M OGGETTI, e un altro oggetto in è possibile selezionare i metodi n, quindi selezionare i metodi A, o in Poss M + N. La regola del lavoro. Se l'oggetto A può essere selezionato dal set di metodi M di oggetti e dopo ciascuna scelta, l'oggetto in è possibile selezionare da N in metodi, quindi una coppia di oggetti (A, B) nell'ordine specificato può essere selezionato M * n metodi.

2.2 Teoria della probabilità

Nella vita quotidiana, in attività pratica e scientifica, spesso osserviamo alcuni fenomeni, svolgiamo determinati esperimenti. Un evento che può verificarsi e non può verificarsi nel processo di osservazione o sperimentazione, chiamato evento casuale. Ad esempio, una lampadina si blocca sotto il soffitto - nessuno sa quando è sovrascritto. Ogni evento casuale è una conseguenza dell'azione di tante variabili casuali (la forza con cui viene lanciata la moneta, la forma della moneta e molto altro). È impossibile tenere conto dell'effetto sul risultato di tutti questi motivi, dal momento che il numero di essi è grande e le leggi dell'azione sono sconosciute. I modelli di eventi casuali studiano una sezione speciale di matematica, che è chiamata teoria della probabilità. La teoria della probabilità non imposta un'attività per prevedere, si verificherà o meno un singolo evento, è semplicemente in grado di farlo. Se stiamo parlando di eventi casuali omogenei di massa, allora obbediscono a determinati schemi, cioè leggi probabilistiche. Innanzitutto, consideriamo la classificazione degli eventi. Ci sono eventi collaborativi e incompleti. Gli eventi sono chiamati congiunti, se l'offensiva di uno di questi non esclude l'insorgenza dell'altro. In caso contrario, l'evento è chiamato incompleto. Ad esempio, due ossa di gioco sono legate. Evento A - Lascia cadere tre punti sul primo osso di gioco, evento B - cadere tre punti sul secondo osso. A e B - Eventi congiunti. Lascia che il negozio entrò nel negozio di scarpe di uno stile e dimensioni, ma di colori diversi. Evento A - Ruadach Prese la scatola sarà con una scarpa nera, un evento B - La scatola sarà con una scarpa marrone, un evento incompleto. L'evento è chiamato affidabile se si verificherà sicuramente nelle condizioni di questa esperienza. L'evento è chiamato impossibile se non può accadere nelle condizioni di questa esperienza. Ad esempio, un evento, che consiste nel fatto che una parte standard sarà presa dalla parte delle parti standard, è affidabile e non standard è impossibile. L'evento è chiamato possibile, o casuale, se a causa dell'esperienza potrebbe sembrare, ma potrebbe non apparire. Un esempio di evento casuale può essere l'identificazione dei difetti del prodotto quando si controlla un lotto di prodotti finiti, una non conformità della dimensione del prodotto che viene elaborata, il fallimento di una delle unità del sistema di controllo automatico. Gli eventi sono chiamati equilibrio se, sotto le condizioni di prova, nessuno di questi eventi è oggettivamente più possibile di altri. Ad esempio, lasciare che il negozio fornisca lampadine elettriche (e in quantità uguali) diversi produttori. Gli eventi nell'acquisto di lampadine di una qualsiasi di queste piante sono uguali. Un concetto importante è un gruppo completo di eventi. Diversi eventi in questa esperienza formano un gruppo completo se, a causa dell'esperienza, almeno uno di loro sarà sicuramente. Ad esempio, ci sono dieci palle nell'urna, di cui sei palle rosse, quattro bianche e cinque palle hanno numeri. A - L'aspetto di una palla rossa ad un'estrazione, B - l'aspetto di una palla bianca, c - l'aspetto di una palla con il numero. Eventi A, B, C Form Un gruppo completo di eventi congiunti. L'evento potrebbe essere opposto o facoltativo. Sotto l'evento opposto è inteso come un evento che deve verificarsi se non c'è stato un evento A. Gli eventi opposti sono incoerenti e l'unico possibile. Formano un gruppo completo di eventi. Ad esempio, se un lotto di prodotti fabbricati è costituito da adatti e difettosi, quindi quando si rimuove un prodotto, potrebbe essere adatto - evento A o difettoso - evento. Considera un esempio. Getta un cubo da gioco (cioè un piccolo cubo, sui bordi di cui occhiali 1, 2, 3, 4, 5, 6 erano rotti). Quando si getta un cubo di gioco sulla sua faccia superiore, un punto può cadere, due punti, tre punti, ecc. Ognuno di questi risultati è casuale. Condotto tale test. Il cubo da gioco ha lanciato 100 volte e ho guardato quante volte l'evento si verificherà "6 punti cadde sul cubo". Si è scoperto che in questa serie di esperimenti "sei" sono caduti 9 volte. Il numero 9, che mostra quante volte si è verificato l'evento in questo test, è chiamato la frequenza di questo evento e il rapporto di frequenza al numero totale di test, uguale, è chiamato la frequenza relativa di questo evento. In generale, lasciare che un certo test venga effettuato ripetutamente nelle stesse condizioni e allo stesso tempo ogni volta viene fissata, o non vi è alcun evento che ci interessa. La probabilità dell'evento è indicata dalla grande lettera latina P. Allora il probabilità di eventi e denoteremo: P (A). Definizione classica di probabilità: la probabilità di evento A è uguale al rapporto tra il numero di casi M favorevoli, dal numero totale di ns degli unici casi possibili, uguali e inconsistenti al numero n, cioè quindi, per trovare La probabilità di un evento, è necessario: considerare vari risultati del test; Trova la combinazione dell'unico possibile, equilibrio e incongruenze, per calcolare il loro totale n, il numero di casi M, favorevole a questo evento; Eseguire il calcolo della formula. Ne consegue dalla formula che la probabilità di un evento è un numero non negativo e può variare nell'intervallo da zero a uno, a seconda del quale una frazione è un numero favorevole di casi dal numero totale di casi: considerare un altro esempio. Ci sono 10 palle nella scatola. 3 di loro sono rossi, 2 - verdi, il resto è bianco. Trova la probabilità che i rivelati a sfera casuale saranno rossi, verdi o bianchi. L'aspetto delle palline rosse, verdi e bianche costituisce un gruppo completo di eventi. Dentare l'aspetto di una palla rossa - un evento A, l'aspetto di un evento verde, l'aspetto del bianco - l'evento C. Quindi, in conformità con le formule registrate sopra, otteniamo:; ; Si noti che la probabilità del verificarsi di una delle due coppie di eventi incompleti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. La frequenza relativa dell'evento è chiamata l'atteggiamento del numero di esperimenti, come risultato della quale si è verificato un evento e al numero totale di esperimenti. La differenza tra la frequenza relativa sulla probabilità è che la probabilità viene calcolata senza direttamente il lavoro degli esperimenti, ma la frequenza relativa dopo l'esperienza. Così nell'esempio sopra, se sono state estratte da 5 palline fuori dalla scatola e 2 di loro erano rosse, allora la frequenza relativa della palla rossa è apparsa: Come si può vedere, questo valore non coincide con la probabilità trovata. Con un numero sufficientemente elevato di contorni prodotti, la frequenza relativa cambia poco, esitò circa un numero. Questo numero può essere accettato per la probabilità di un evento. Probabilità geometrica. La classica definizione della probabilità presume che il numero di esiti elementari ovviamente, che limita anche la sua applicazione in pratica. Nel caso in cui si utilizza il test con un numero infinito di risultati, viene utilizzata la definizione di una probabilità geometrica - il punto nell'area. Quando si determina la probabilità geometrica, si ritiene che ci sia un'area n e in esso una regione più piccola M. sulla zona n, la pompa viene gettata fino al punto (ciò significa che tutti i punti della regione n "uguale" in relazione al punto a discesa lì). Evento A - "colpisci il punto gettato nell'area M." La regione M è chiamata un evento favorevole A. La probabilità di entrare in qualsiasi parte n è proporzionale alla portata di questa parte e non dipende dalla sua posizione e dalla sua forma. L'area su cui è distribuita la probabilità geometrica può essere: un segmento (misura è lunghezza) una figura geometrica sul piano (la misura è l'area) il corpo geometrico nello spazio (la misura è il volume) Daremo una definizione di una probabilità geometrica per una figura piatta. Lascia che m sia parte del N. Evento A consiste in colpiti da casualmente abbandonati all'area del punto N nella regione M. La probabilità geometrica dell'evento A è chiamata la regione dell'area M Area per l'area della regione n : Mentre la probabilità di colpire il punto abbandonato a caso al confine della regione è considerato zero. Considera un esempio: l'orologio meccanico con un quadrante di dodici ore è rotto e smesso di camminare. Trova la probabilità che l'ora arrow si bloccò, raggiungendo il marchio 5, ma non ha raggiunto 8 ore. Decisione. Il numero di risultati è infinito, applica la definizione di una probabilità geometrica. Il settore tra 5 e 8 ore è parte dell'area dell'intero quadrante, quindi. Operazioni di eventi: gli eventi A e B sono chiamati uguali, se l'implementazione dell'evento e comporta l'implementazione dell'evento in e viceversa. L'associazione o la quantità di eventi si chiama evento A, il che significa l'aspetto di almeno uno degli eventi. A \u003d Intersezione o lavoro di eventi è un evento A, che è quello di implementare tutti gli eventi. A \u003d? La differenza di eventi A e B è chiamato un evento con, il che significa che si verifica un evento, ma l'evento non si verifica V. C \u003d A \\ B Esempio: A + B - "caduto 2; quattro; 6 o 3 punti "A B -" Dropped 6 Points "A - B -" è sceso 2 e 4 punti "aggiuntivo all'evento, ma è chiamato un evento che significa che l'evento non sta accadendo. I risultati elementari dell'esperienza sono i seguenti risultati dell'esperienza che si escludono reciprocamente e, a causa dell'esperienza, si verifica anche uno di questi eventi, che avrebbe anche un evento A, secondo il risultato elementare che arriva il risultato, può essere giudicato Se si verifica o questo evento non accade. La combinazione di tutti i risultati elementari dell'esperienza è chiamato lo spazio degli eventi elementari. Proprietà delle probabilità: Proprietà 1. Se tutti i casi sono favorevoli a questo evento A, questo evento avverrà sicuramente. Di conseguenza, l'evento in esame è affidabile, e la probabilità del suo aspetto, poiché in questo caso la proprietà 2. Se non vi è un singolo caso favorevole a questo evento, questo evento potrebbe non accadere a causa dell'esperienza. Di conseguenza, l'evento in esame è impossibile e la probabilità del suo aspetto, poiché in questo caso M \u003d 0: proprietà 3. La probabilità di occorrenza di eventi che formano un gruppo completo è uguale a uno. Proprietà 4 La probabilità dell'evento opposto è definita allo stesso modo della probabilità di occorrenza, eventi A: dove (n-m) è il numero di casi che favoriscono l'aspetto dell'evento opposto. Quindi la probabilità dell'evento opposto è uguale alla differenza tra l'unità e la probabilità di un evento A: aggiunta e moltiplicazione delle probabilità. L'evento A è chiamato un caso speciale di eventi in, se al verificarsi di un arrivo e V. qual è il caso speciale in, scrivi a? B. Eventi A e B sono chiamati uguali, se ognuno di loro è un caso particolare di un altro. L'uguaglianza degli eventi A e in registrazione A \u003d V. La somma degli eventi A e B è chiamata un evento A + B, che viene quindi e solo quando almeno uno degli eventi viene: A o V. Teorema sull'aggiunta di probabilità 1. La probabilità dell'aspetto di uno dei due eventi inconsistenti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. P \u003d P + P Notare che il teorema formulato è valido per qualsiasi numero di eventi incompleti: se gli eventi casuali formano un gruppo completo di eventi incompleti, quindi l'uguaglianza P + P + ... + P \u003d 1 per il lavoro degli eventi A e B è chiamato evento AB che viene e solo se entrambi gli eventi si verificano: A e nello stesso tempo. Gli eventi casuali A e B sono chiamati giunti, se entrambi questi eventi possono verificarsi con questo test. Il teorema sull'aggiunta di probabilità 2. La probabilità della quantità di eventi congiunti è calcolata dalla formula P \u003d P + P-P Esempi di attività su teorema aggiuntivo. A esami in geometria, uno scolaro ottiene una domanda dall'elenco dei problemi di esame. La probabilità che questa sia una domanda sull'argomento "Cerchio inscritto" è 0,2. La probabilità che questa è una domanda sull'argomento "parallelogrammi" è 0,15. Domande che si riferiscono simultaneamente a questi due argomenti, n. Trova la probabilità che l'esame dello studente avrà una domanda su uno di questi due argomenti. Decisione. La probabilità della somma di due eventi inconsistenti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi: 0,2 + 0,15 \u003d 0,35. Risposta: 0,35. Nel centro commerciale, due macchine identiche vendono il caffè. La probabilità che entro la fine della giornata nella macchina porterà il caffè, pari a 0,3. La probabilità che il caffè finirà in entrambe le macchine è 0,12. Trova la probabilità che entro la fine della giornata il caffè rimarrà in entrambe le macchine. Decisione. Considera gli eventi A - "Il caffè finirà nel primo Automa," In - "il caffè finirà nella seconda macchina." Allora A · B - "il caffè si concluderà in entrambe le macchine", A + B - "il caffè finirà almeno una macchina." Sotto la condizione p (A) \u003d P (B) \u003d 0.3; P (A · B) \u003d 0,12. Eventi A e B congiunti, la probabilità della somma di due eventi congiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro lavoro: P (A + B) \u003d P (A) + P (B)? P (A · B) \u003d 0,3 + 0,3? 0,12 \u003d 0,48. Di conseguenza, la probabilità dell'evento opposto consiste nel fatto che il caffè rimarrà in entrambe le macchine, è 1? 0,48 \u003d 0,52. Risposta: 0,52. Eventi Gli eventi A e B sono chiamati indipendenti se l'aspetto di uno di questi non cambia la probabilità dell'altro. L'evento A è chiamato dipendente dall'evento se la probabilità di evento si varia a seconda che un evento o meno si sia verificato. Gli eventi condizionali PROBABILITÀ P (A | B) sono chiamati la probabilità calcolata a condizione che l'evento sia avvenuto. Allo stesso modo, attraverso P (B | A) denota la probabilità condizionale di un evento a condizione che sia arrivato. Per eventi indipendenti per definizione P (A | B) \u003d P (A); P (B | A) \u003d P (B) Il teorema della moltiplicazione per gli eventi dipendenti La probabilità del prodotto degli eventi dipendenti è uguale al lavoro di V0.01 \u003d 0,0198 + 0,0098 \u003d 0,0296. Risposta: 0,0296.

Nel 2003, è stato deciso di includere gli elementi della teoria della probabilità nel corso scolastico della matematica della scuola secondaria (lettera istruttiva n. 03-93 pollici / 13-03 del 23 settembre 2003 del Ministero della Pubblica Istruzione del Russo Federazione "sull'introduzione di elementi di combinatorici, statistiche e teoria della probabilità nel contenuto della scuola materna matematica della scuola materna", "Matematica a scuola", n. 9 per il 2003). A questo punto, gli elementi della teoria della probabilità per più di dieci anni in una forma diversa erano presenti nelle nobili libri di testo scolastici algebras per le classi diverse (ad esempio, se "algebra: libri di testo per 7-9 classi di istituzioni generali educative" A cura di GvdoroFeyev; "Algebra e inizio dell'analisi: tutorial per 10- 11 classi di istituzioni generali educative" G.V.DoroFofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedov "), e sotto forma di singoli libri di testo. Tuttavia, la presentazione del materiale sulla teoria della probabilità in esse, di norma, non era sistematica, e gli insegnanti, il più delle volte, non ha fatto appello a queste sezioni, non li includevano nel curriculum. Il documento adottato dal Ministero dell'istruzione nel 2003 ha previsto la graduale inclusione graduale di queste sezioni nei corsi scolastici, consentendo alla comunità di insegnamento di prepararsi per le modifiche appropriate. Nel 2004-2008. C'è una serie di tutorial che completano l'algebra di testo esistenti. Questa è la pubblicazione Tyurin Yu.n., Makarov A.a., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teoria delle probabilità e delle statistiche", Tyurin Yu.n., Makarov A.a., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teoria e statistiche della probabilità: manuale metodologico per insegnante", makarychev yu.n., mindyuk n.g. "Algebra: elementi di statistica e teoria della probabilità: studi. Manuale per studenti 7-9 cl. educazione generale. Istituzioni ", Tkacheva M.V., Fedorova n.e. "Elementi statistici e probabilità: studi. Manuale per 7-9 cb. educazione generale. istituzioni. " Sono emerse anche manuali metodologici per aiutare gli insegnanti. Per un certo numero di anni, tutti questi aiuti didattici sono stati testati nelle scuole. In condizioni, quando è necessario il periodo transitorio di attuazione nei programmi scolastici, e le sezioni di statistica e la teoria della probabilità preleva il loro posto in 7-9 curricals, analisi e comprensione della coerenza delle definizioni di base e delle designazioni utilizzate in questi aiuti didattici sono necessari . Tutti questi tutorial sono stati creati in assenza di tradizioni di insegnamento di queste sezioni di matematica a scuola. Tale mancanza di libero o involontariamente provocato gli autori dei libri di testo per il confronto con i libri di testo esistenti per le università. Quest'ultimo, a seconda delle tradizioni consolidate sulle specializzazioni individuali, la scuola più alta ha spesso permesso una significativa differenza terminologica e differenze nelle designazioni dei concetti e dei registri di base delle formule. L'analisi del contenuto del testo di testo scolastico sopra menzionato mostra che oggi hanno ereditato queste caratteristiche dai libri di testo della scuola superiore. Con un maggiore grado di precisione, si può sostenere che la selezione di un materiale educativo specifico su uno nuovo per le sezioni scolastiche della matematica relativa al concetto di "casuale", attualmente si verifica il massimo che non è a caso, fino a I nomi e le designazioni. Pertanto, i team degli autori dei libri di testo scolastici leader sulla teoria delle probabilità e gli statistici hanno deciso di unirsi ai loro sforzi sotto gli auspici dell'istituto di Moscow dell'istruzione aperta per sviluppare posizioni concordate per l'unificazione delle definizioni di base e designazioni utilizzate negli aiuti dell'insegnamento Scuola sulla teoria e statistiche della probabilità. Analizzeremo l'introduzione dell'argomento "teoria della probabilità" nei libri di testo scolastici. Caratteristiche generali: Contenuto dell'insegnamento degli argomenti "Elementi della teoria della probabilità", assegnati nel "Programma per le istituzioni generali educative. Matematica", garantisce ulteriori sviluppi delle loro abilità matematiche, orientamento in professioni, sostanzialmente correlate alla matematica, allenamento per alto scuola. La specificità del contenuto matematico dell'argomento in esame ci consente di specificare il compito base assegnato di uno studio approfondito della matematica come segue. 1. Continuare la divulgazione della matematica, come sistema di conoscenza deduttivo. - costruire un sistema di definizioni di concetti di base; - identificare le proprietà aggiuntive dei concetti introdotti; - Stabilire le connessioni dei concetti introdotti e precedentemente studiati. 2. sistematizzare alcuni modi probabilistici per risolvere i problemi; Divulgare la composizione operativa della ricerca di soluzioni di specifici tipi di attività. 3. Creare le condizioni per la comprensione e la consapevole degli studenti dell'idea di base del significato pratico della teoria della probabilità analizzando i principali fatti teorici. Divulgare le applicazioni pratiche studiate in questa teoria. Il raggiungimento degli obiettivi educativi appropriati contribuirà alla soluzione dei seguenti compiti: 1. Formare un'idea di vari modi per determinare la probabilità di un evento (statistico, classico, geometrico, assiomatico) 2. Per formare la conoscenza di Operazioni di base sugli eventi e la capacità di applicarli a descrivere alcuni eventi attraverso gli altri. 3. rivelare l'essenza della teoria dell'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità; Determina i confini dell'utilizzo di questi teoremi. Mostra le loro applicazioni a produrre formule di probabilità complete. 4. Identificare gli algoritmi per trovare la probabilità di eventi A) secondo la definizione classica della probabilità; b) sulla teoria dell'aggiunta e della moltiplicazione; c) Secondo Formula0.99 + 0.98P (A | BN) Considera un esempio: la linea automatica produce le batterie. La probabilità che la batteria finita è difettosa sia 0,02. Prima di imballaggio, ogni batteria è sottoposta al sistema di controllo. La probabilità che il sistema prende la batteria difettosa è 0,99. La probabilità che il sistema di errore prende la batteria serviceable è 0,01. Trova la probabilità che la batteria selezionata dal pacchetto verrà rifiutata. Decisione. La situazione in cui la batteria sarà respinta può essere a causa di eventi: A - "La batteria è davvero difettosa e respinta giustamente" o in - "la batteria è buona, ma per errore è respinto." Questi sono eventi incompleti, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. Portiamo: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0,02P (A | B3) + ... + P (BN) P (A | B2) + P (B3) P (A | B1) + P (B2) di Aimeedice di uno di essi sulla probabilità condizionale dell'altro, a condizione che il primo accaduto: P (AB) \u003d P (A) P (B | A) P (AB) \u003d P ( b) P (A | b) (a seconda di quale evento è successo prima). Corollario del teorema: teorema di moltiplicazione per eventi indipendenti. La probabilità del lavoro di eventi indipendenti è uguale al prodotto della loro probabilità: P (AB) \u003d P (A) P (B) se a e in indipendente, quindi indipendente e coppie: (;), (; c), (un). Esempi di compiti sul teorema della moltiplicazione: se il Grandmaster A. gioca il bianco, quindi vince nel Grandmaster B. Con una probabilità di 0,52. Se A. riproduce il nero, A. Vince a B. con una probabilità di 0,3. Nonnakers A. e B. Riproduci due batch e nel secondo lotto, il colore delle figure cambiano. Trova la probabilità che A. vince entrambe le volte. Decisione. La capacità di vincere il primo e il secondo batch non dipende l'uno dall'altro. La probabilità del lavoro di eventi indipendenti è uguale al prodotto della loro probabilità: 0,52 · 0,3 \u003d 0,156. Risposta: 0,156. Il negozio ha due piattaforme. Ognuno di loro può essere difettoso con una probabilità di 0,05 indipendentemente dall'altra macchina. Trova la probabilità che almeno una macchina funzioni. Decisione. Troviamo la probabilità che entrambe le macchine siano difettose. Questi eventi sono indipendenti, la probabilità del loro lavoro è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi: 0,05 · 0,05 \u003d 0,0025. L'evento, costituito nel fatto che è in un modo almeno una macchina di fronte. Di conseguenza, la sua probabilità è uguale a 1? 0,0025 \u003d 0,9975. Risposta: 0,9975. La formula della completa probabilità di conseguenza dei teoremi e della moltiplicazione delle probabilità è la formula della probabilità completa: la probabilità p (A) degli eventi A, che può verificarsi solo sotto la condizione di uno degli eventi (ipotesi) B1 , B2, B3 ... BN, formando un gruppo completo in coppie di eventi incompleti, è uguale all'importo della probabilità di ciascuno degli eventi (ipotesi) B1, B2, B3, ..., nel corrispondente condizionale Probabilità dell'evento A: P (A) \u003d P (B1) di una probabilità completa. 5. Per formare una prescrizione che consente di scegliere razionalmente uno degli algoritmi durante la risoluzione di un compito specifico. Scopi educativi dedicati per studiare gli elementi della teoria della probabilità che integrano lo sviluppo e le scopture educative. Sviluppo degli obiettivi: formare gli studenti un costante interesse per il soggetto, identificare e sviluppare abilità matematiche; Nel processo di apprendimento, sviluppare parlato, pensiero, campi emotivi e spettatori e motivazionali; Trovare gli studenti indipendenti di nuovi modi per risolvere problemi e compiti; Applicazione della conoscenza in nuove situazioni e circostanze; Sviluppare la capacità di spiegare i fatti, collegamenti tra fenomeni, convertire materiale da una forma di sottomissione a un altro (verbale, simbolico, grafico); Imparare a dimostrare il corretto utilizzo dei metodi, vedere la logica di ragionamento, somiglianza e differenza di fenomeni. Obiettivi educativi: modellare le idee morali ed estetiche da scolari, il sistema di opinioni sul mondo, la capacità di seguire le norme di comportamento nella società; Formare i bisogni della personalità, i motivi del comportamento sociale, delle attività, dei valori e degli orientamenti del valore; Pratica la personalità capace di auto-istruzione e auto-educazione. Analizzeremo il libro di testo sull'algebra per il grado 9 "algebra: elementi di statistica e la teoria delle probabilità" Makarychev Yu.n. Questo tutorial è destinato agli studenti in gradi 7-9, completa i libri di testo: Makarychev Yu.n., Mindyuk n.g., Neshkov K.i., Suvorov S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", a cura di Telyakovsky S.A. Il libro è composto da quattro paragrafi. Ogni articolo contiene informazioni teoriche e esercizi appropriati. Alla fine del punto ci sono gli esercizi per la ripetizione. Ogni paragrafo fornisce ulteriori esercizi di un livello superiore di complessità rispetto agli esercizi principali. Secondo il "Programma per le istituzioni generali educative" per studiare l'argomento "Teoria delle probabilità e statistiche" nel corso scolastico, l'algebra è data 15 ore. Il materiale su questo argomento cade sul 9 ° grado e si inserisce nei paragrafi seguenti: §3 "Elementi combinatoriali" contiene 4 punti: esempi di attività combinatoriali. Su semplici esempi, è dimostrato dalla soluzione di compiti combinatoriali da parte del metodo di interazione per possibili opzioni. Questo metodo è illustrato costruendo un albero di possibili opzioni. La regola della moltiplicazione è considerata. Permutazioni. Viene introdotto il concetto molto e la formula per il calcolo della permutazione. Alloggio. Il concetto è inserito su un esempio specifico. La formula del numero di sistemazioni è derivata. Combinazione. Il concetto e la formula del numero di combinazioni. Lo scopo di questo paragrafo è di offrire agli studenti vari modi per descrivere tutti gli eventi elementari possibili in vari tipi di esperienza casuale. §4 "Informazioni iniziali dalla teoria della probabilità". Il contorno del materiale inizia con l'esame dell'esercizio, dopo di che viene introdotto il concetto di "evento casuale" e la "frequenza relativa di un evento casuale". La definizione statistica e classica della probabilità è stata introdotta. Il paragrafo è completato dall'elemento "Aggiunta e moltiplicazione della probabilità". I teoremi di aggiunta e moltiplicazione delle probabilità sono considerati, i concetti associati a loro sono eventi inconsistenti, opposti, indipendenti. Questo materiale è progettato per gli studenti che mostrano interesse e inclinazione alla matematica e possono essere utilizzati per lavoro individuale o su studi extracurricolari con studenti. Raccomandazioni metodiche per questo libro di testo sono fornite in numerosi articoli Makarychev e Mindyuk ("Elementi dei Combinatorici nell'Anno scolastico Algebra", "Informazioni iniziali della teoria delle probabilità nell'anno scolastico dell'Algebra"). Oltre a alcuni commenti critici su questo manuale di formazione sono contenuti nell'articolo da Studenthell e Fadeeva, che aiuteranno a prevenire errori quando si lavora con questo libro di testo. Scopo: transizione da una descrizione qualitativa degli eventi alla descrizione matematica. Il tema "teoria della probabilità" nei libri di testo Mordkovich A.G., Semenova P.V. Per 9-11 classi. Al momento, uno dei libri di testo esistenti a scuola è il libro di testo Mordkovich A.G., Semenova P.V. "Eventi, probabilità, elaborazione statistica dei dati", ci sono anche capitoli aggiuntivi per 7-9 classi. Analizzeremo. Secondo il "programma di lavoro algebra" per studiare gli argomenti "Elementi di combinatori, statistiche e teoria della probabilità", vengono fornite 20 ore. Il materiale sull'argomento "teoria della probabilità" è rivelato nei paragrafi seguenti: § 1. Attività combinatoriali più semplici. Regola di moltiplicazione e opzioni dell'albero. Permutazioni. Inizia con la considerazione di semplici compiti combinatoriali, è considerata una tabella di possibili opzioni, che mostra il principio della regola di moltiplicazione. Quindi gli alberi sono considerati possibili opzioni e permutazioni. Dopo il materiale teorico, vengono seguiti gli esercizi per ciascuna delle sotto-clausole. § 2. Selezione di diversi elementi. Combinazione. Innanzitutto, la formula viene visualizzata per 2 elementi, quindi per tre, e poi comuni a n elementi. § 3. Eventi casuali e le loro probabilità. La definizione classica della probabilità è stata introdotta. Il Plus di questo manuale è che è uno dei pochi contiene articoli in cui sono considerati i tavoli e gli alberi delle opzioni. Questi articoli sono necessari, poiché sono le tabelle e gli alberi delle opzioni per insegnare agli studenti alla presentazione e all'analisi iniziale dei dati. Anche in questo tutorial, la formula combinazioni viene introdotta con successo prima per due elementi, quindi per tre e riassunti per N elementi. Con la combinazione, il materiale è presentato pure. Ogni paragrafo contiene esercizi, che ti consente di fissare il materiale. Le osservazioni su questo manuale di allenamento sono contenute nell'articolo di Studenthell e Fadeeva. Nel 10 ° grado su questo argomento, sono dati tre paragrafi. Nel primo di questi, la "Regola di moltiplicazione". Riorganizzazione e fattoriari ", inoltre, in realtà la regola della moltiplicazione, l'obiettivo principale è stato presentato alla conclusione da questa regola di due principali identità combinatoriali: per il numero di permutazioni e per il numero di tutti i possibili sottoinsiemi del set costituito da n elementi. Allo stesso tempo, le fabbriche vengono introdotte come un modo conveniente per ridurre il record di risposta in molte attività combinatoriali specifiche prima del concetto di "permutazione". Nel secondo paragrafo 10 della classe "Selezione di diversi elementi. Coefficienti binomiali "Le attività combinatoriali classiche sono state considerate associate alla selezione simultanea (o alternativa) di diversi elementi da un determinato set finale. Il più significativo e davvero nuovo per la scuola completa russa è stato il paragrafo finale "eventi casuali e le loro probabilità". È stato considerato un classico schema probabilistico, la formula p (A + B) + P (AB) \u003d P (A) + P (B), P () \u003d 1-P (A), P (A) \u003d 1- P () e metodi del loro uso. Il paragrafo si è concluso con la transizione a ripetizioni indipendenti di test con due risultati. Questo è il più importante da un punto di vista pratico del modello probabilistico (test Bernoulli), che ha un numero significativo di applicazioni. L'ultimo materiale ha formato la transizione tra il contenuto del materiale educativo in classi 10 e 11. Nell'11 ° grado tema "elementi della teoria della probabilità" sono dedicati due paragrafi del libro di testo e il task book. Nel § 22 stiamo parlando di probabilità geometriche, nel § 23, la conoscenza delle ripetizioni di test indipendenti con due risultati viene ripetuta e ampliata.

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lavoro del corso, aggiunto 24.11.2010


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Nella vita quotidiana, in attività pratica e scientifica, spesso osserviamo alcuni fenomeni, svolgiamo determinati esperimenti. Un evento che può verificarsi e non può verificarsi nel processo di osservazione o sperimentazione, chiamato evento casuale. Ad esempio, una lampadina si blocca sotto il soffitto - nessuno sa quando è sovrascritto. Ogni evento casuale è una conseguenza dell'azione di tante variabili casuali (la forza con cui viene lanciata la moneta, la forma della moneta e molto altro). È impossibile tenere conto dell'effetto sul risultato di tutti questi motivi, dal momento che il numero di essi è grande e le leggi dell'azione sono sconosciute. I modelli di eventi casuali studiano una sezione speciale di matematica, che è chiamata teoria della probabilità. La teoria della probabilità non imposta un'attività per prevedere, si verificherà o meno un singolo evento, è semplicemente in grado di farlo. Se stiamo parlando di eventi casuali omogenei di massa, allora obbediscono a determinati schemi, cioè leggi probabilistiche. Innanzitutto, consideriamo la classificazione degli eventi. Ci sono eventi collaborativi e incompleti. Gli eventi sono chiamati congiunti, se l'offensiva di uno di questi non esclude l'insorgenza dell'altro. In caso contrario, l'evento è chiamato incompleto. Ad esempio, due ossa di gioco sono legate. Evento A - Lascia cadere tre punti sul primo osso di gioco, evento B - cadere tre punti sul secondo osso. A e B - Eventi congiunti. Lascia che il negozio entrò nel negozio di scarpe di uno stile e dimensioni, ma di colori diversi. Evento A - Ruadach Prese la scatola sarà con una scarpa nera, un evento B - La scatola sarà con una scarpa marrone, un evento incompleto. L'evento è chiamato affidabile se si verificherà sicuramente nelle condizioni di questa esperienza. L'evento è chiamato impossibile se non può accadere nelle condizioni di questa esperienza. Ad esempio, un evento, che consiste nel fatto che una parte standard sarà presa dalla parte delle parti standard, è affidabile e non standard è impossibile. L'evento è chiamato possibile, o casuale, se a causa dell'esperienza potrebbe sembrare, ma potrebbe non apparire. Un esempio di evento casuale può essere l'identificazione dei difetti del prodotto quando si controlla un lotto di prodotti finiti, una non conformità della dimensione del prodotto che viene elaborata, il fallimento di una delle unità del sistema di controllo automatico. Gli eventi sono chiamati equilibrio se, sotto le condizioni di prova, nessuno di questi eventi è oggettivamente più possibile di altri. Ad esempio, lasciare che il negozio fornisca lampadine elettriche (e in quantità uguali) diversi produttori. Gli eventi nell'acquisto di lampadine di una qualsiasi di queste piante sono uguali. Un concetto importante è un gruppo completo di eventi. Diversi eventi in questa esperienza formano un gruppo completo se, a causa dell'esperienza, almeno uno di loro sarà sicuramente. Ad esempio, ci sono dieci palle nell'urna, di cui sei palle rosse, quattro bianche e cinque palle hanno numeri. A - L'aspetto di una palla rossa ad un'estrazione, B - l'aspetto di una palla bianca, c - l'aspetto di una palla con il numero. Eventi A, B, C Form Un gruppo completo di eventi congiunti. L'evento potrebbe essere opposto o facoltativo. Sotto l'evento opposto è inteso come un evento che deve verificarsi se non c'è stato un evento A. Gli eventi opposti sono incoerenti e l'unico possibile. Formano un gruppo completo di eventi. Ad esempio, se un lotto di prodotti fabbricati è costituito da adatti e difettosi, quindi quando si rimuove un prodotto, potrebbe essere adatto - evento A o difettoso - evento. Considera un esempio. Getta un cubo da gioco (cioè un piccolo cubo, sui bordi di cui occhiali 1, 2, 3, 4, 5, 6 erano rotti). Quando si getta un cubo di gioco sulla sua faccia superiore, un punto può cadere, due punti, tre punti, ecc. Ognuno di questi risultati è casuale. Condotto tale test. Il cubo da gioco ha lanciato 100 volte e ho guardato quante volte l'evento si verificherà "6 punti cadde sul cubo". Si è scoperto che in questa serie di esperimenti "sei" sono caduti 9 volte. Il numero 9, che mostra quante volte si è verificato l'evento in questo test, è chiamato la frequenza di questo evento e il rapporto di frequenza al numero totale di test, uguale, è chiamato la frequenza relativa di questo evento. In generale, lasciare che un certo test venga effettuato ripetutamente nelle stesse condizioni e allo stesso tempo ogni volta viene fissata, o non vi è alcun evento che ci interessa. La probabilità dell'evento è indicata dalla grande lettera latina P. Allora il probabilità di eventi e denoteremo: P (A). Definizione classica di probabilità: la probabilità di evento A è uguale al rapporto tra il numero di casi M favorevoli, dal numero totale di ns degli unici casi possibili, uguali e inconsistenti al numero n, cioè quindi, per trovare La probabilità di un evento, è necessario: considerare vari risultati del test; Trova la combinazione dell'unico possibile, equilibrio e incongruenze, per calcolare il loro totale n, il numero di casi M, favorevole a questo evento; Eseguire il calcolo della formula. Ne consegue dalla formula che la probabilità di un evento è un numero non negativo e può variare nell'intervallo da zero a uno, a seconda del quale una frazione è un numero favorevole di casi dal numero totale di casi: considerare un altro esempio. Ci sono 10 palle nella scatola. 3 di loro sono rossi, 2 - verdi, il resto è bianco. Trova la probabilità che i rivelati a sfera casuale saranno rossi, verdi o bianchi. L'aspetto delle palline rosse, verdi e bianche costituisce un gruppo completo di eventi. Dentare l'aspetto di una palla rossa - un evento A, l'aspetto di un evento verde, l'aspetto del bianco - l'evento C. Quindi, in conformità con le formule registrate sopra, otteniamo:; ; Si noti che la probabilità del verificarsi di una delle due coppie di eventi incompleti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. La frequenza relativa dell'evento è chiamata l'atteggiamento del numero di esperimenti, come risultato della quale si è verificato un evento e al numero totale di esperimenti. La differenza tra la frequenza relativa sulla probabilità è che la probabilità viene calcolata senza direttamente il lavoro degli esperimenti, ma la frequenza relativa dopo l'esperienza. Così nell'esempio sopra, se sono state estratte da 5 palline fuori dalla scatola e 2 di loro erano rosse, allora la frequenza relativa della palla rossa è apparsa: Come si può vedere, questo valore non coincide con la probabilità trovata. Con un numero sufficientemente elevato di contorni prodotti, la frequenza relativa cambia poco, esitò circa un numero. Questo numero può essere accettato per la probabilità di un evento. Probabilità geometrica. La classica definizione della probabilità presume che il numero di esiti elementari ovviamente, che limita anche la sua applicazione in pratica. Nel caso in cui si utilizza il test con un numero infinito di risultati, viene utilizzata la definizione di una probabilità geometrica - il punto nell'area. Quando si determina la probabilità geometrica, si ritiene che ci sia un'area n e in esso una regione più piccola M. sulla zona n, la pompa viene gettata fino al punto (ciò significa che tutti i punti della regione n "uguale" in relazione al punto a discesa lì). Evento A - "colpisci il punto gettato nell'area M." La regione M è chiamata un evento favorevole A. La probabilità di entrare in qualsiasi parte n è proporzionale alla portata di questa parte e non dipende dalla sua posizione e dalla sua forma. L'area su cui è distribuita la probabilità geometrica può essere: un segmento (misura è lunghezza) una figura geometrica sul piano (la misura è l'area) il corpo geometrico nello spazio (la misura è il volume) Daremo una definizione di una probabilità geometrica per una figura piatta. Lascia che m sia parte del N. Evento A consiste in colpiti da casualmente abbandonati all'area del punto N nella regione M. La probabilità geometrica dell'evento A è chiamata la regione dell'area M Area per l'area della regione n : Mentre la probabilità di colpire il punto abbandonato a caso al confine della regione è considerato zero. Considera un esempio: l'orologio meccanico con un quadrante di dodici ore è rotto e smesso di camminare. Trova la probabilità che l'ora arrow si bloccò, raggiungendo il marchio 5, ma non ha raggiunto 8 ore. Decisione. Il numero di risultati è infinito, applica la definizione di una probabilità geometrica. Il settore tra 5 e 8 ore è parte dell'area dell'intero quadrante, quindi. Operazioni di eventi: gli eventi A e B sono chiamati uguali, se l'implementazione dell'evento e comporta l'implementazione dell'evento in e viceversa. L'associazione o la quantità di eventi si chiama evento A, il che significa l'aspetto di almeno uno degli eventi. A \u003d Intersezione o lavoro di eventi è un evento A, che è quello di implementare tutti gli eventi. A \u003d? La differenza di eventi A e B è chiamato un evento con, il che significa che si verifica un evento, ma l'evento non si verifica. C \u003d ab Esempio: A + B - "caduto 2; quattro; 6 o 3 punti "A B -" Dropped 6 Points "A - B -" è sceso 2 e 4 punti "aggiuntivo all'evento, ma è chiamato un evento che significa che l'evento non sta accadendo. I risultati elementari dell'esperienza sono i seguenti risultati dell'esperienza che si escludono reciprocamente e, a causa dell'esperienza, si verifica anche uno di questi eventi, che avrebbe anche un evento A, secondo il risultato elementare che arriva il risultato, può essere giudicato Se si verifica o questo evento non accade. La combinazione di tutti i risultati elementari dell'esperienza è chiamato lo spazio degli eventi elementari. Proprietà delle probabilità: Proprietà 1. Se tutti i casi sono favorevoli a questo evento A, questo evento avverrà sicuramente. Di conseguenza, l'evento in esame è affidabile, e la probabilità del suo aspetto, poiché in questo caso la proprietà 2. Se non vi è un singolo caso favorevole a questo evento, questo evento potrebbe non accadere a causa dell'esperienza. Di conseguenza, l'evento in esame è impossibile e la probabilità del suo aspetto, poiché in questo caso M \u003d 0: proprietà 3. La probabilità di occorrenza di eventi che formano un gruppo completo è uguale a uno. Proprietà 4 La probabilità dell'evento opposto è definita allo stesso modo della probabilità di occorrenza, eventi A: dove (n-m) è il numero di casi che favoriscono l'aspetto dell'evento opposto. Quindi la probabilità dell'evento opposto è uguale alla differenza tra l'unità e la probabilità di un evento A: aggiunta e moltiplicazione delle probabilità. L'evento A è chiamato un caso speciale di eventi in, se al verificarsi di un arrivo e V. qual è il caso speciale in, scrivi a? B. Eventi A e B sono chiamati uguali, se ognuno di loro è un caso particolare di un altro. L'uguaglianza degli eventi A e in registrazione A \u003d V. La somma degli eventi A e B è chiamata un evento A + B, che viene quindi e solo quando almeno uno degli eventi viene: A o V. Teorema sull'aggiunta di probabilità 1. La probabilità dell'aspetto di uno dei due eventi inconsistenti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. P \u003d P + P Notare che il teorema formulato è valido per qualsiasi numero di eventi incompleti: se gli eventi casuali formano un gruppo completo di eventi incompleti, quindi l'uguaglianza P + P + ... + P \u003d 1 per il lavoro degli eventi A e B è chiamato evento AB che viene e solo se entrambi gli eventi si verificano: A e nello stesso tempo. Gli eventi casuali A e B sono chiamati giunti, se entrambi questi eventi possono verificarsi con questo test. Il teorema sull'aggiunta di probabilità 2. La probabilità della quantità di eventi congiunti è calcolata dalla formula P \u003d P + P-P Esempi di attività su teorema aggiuntivo. A esami in geometria, uno scolaro ottiene una domanda dall'elenco dei problemi di esame. La probabilità che questa sia una domanda sull'argomento "Cerchio inscritto" è 0,2. La probabilità che questa è una domanda sull'argomento "parallelogrammi" è 0,15. Domande che si riferiscono simultaneamente a questi due argomenti, n. Trova la probabilità che l'esame dello studente avrà una domanda su uno di questi due argomenti. Decisione. La probabilità della somma di due eventi inconsistenti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi: 0,2 + 0,15 \u003d 0,35. Risposta: 0,35. Nel centro commerciale, due macchine identiche vendono il caffè. La probabilità che entro la fine della giornata nella macchina porterà il caffè, pari a 0,3. La probabilità che il caffè finirà in entrambe le macchine è 0,12. Trova la probabilità che entro la fine della giornata il caffè rimarrà in entrambe le macchine. Decisione. Considera gli eventi A - "Il caffè finirà nel primo Automa," In - "il caffè finirà nella seconda macchina." Allora A · B - "il caffè si concluderà in entrambe le macchine", A + B - "il caffè finirà almeno una macchina." Sotto la condizione p (A) \u003d P (B) \u003d 0.3; P (A · B) \u003d 0,12. Eventi A e B congiunti, la probabilità della somma di due eventi congiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro lavoro: P (A + B) \u003d P (A) + P (B)? P (A · B) \u003d 0,3 + 0,3? 0,12 \u003d 0,48. Di conseguenza, la probabilità dell'evento opposto consiste nel fatto che il caffè rimarrà in entrambe le macchine, è 1? 0,48 \u003d 0,52. Risposta: 0,52. Eventi Gli eventi A e B sono chiamati indipendenti se l'aspetto di uno di questi non cambia la probabilità dell'altro. L'evento A è chiamato dipendente dall'evento se la probabilità di evento si varia a seconda che un evento o meno si sia verificato. Gli eventi condizionali PROBABILITÀ P (A | B) sono chiamati la probabilità calcolata a condizione che l'evento sia avvenuto. Allo stesso modo, attraverso P (B | A) denota la probabilità condizionale di un evento a condizione che sia arrivato. Per eventi indipendenti per definizione P (A | B) \u003d P (A); P (B | A) \u003d P (B) Il teorema della moltiplicazione per gli eventi dipendenti La probabilità del prodotto degli eventi dipendenti è uguale al lavoro di V0.01 \u003d 0,0198 + 0,0098 \u003d 0,0296. Risposta: 0,0296.

Nel 2003, è stato deciso di includere gli elementi della teoria della probabilità nel corso scolastico della matematica della scuola secondaria (lettera istruttiva n. 03-93 pollici / 13-03 del 23 settembre 2003 del Ministero della Pubblica Istruzione del Russo Federazione "sull'introduzione di elementi di combinatorici, statistiche e teoria della probabilità nel contenuto della scuola materna matematica della scuola materna", "Matematica a scuola", n. 9 per il 2003). A questo punto, gli elementi della teoria della probabilità per più di dieci anni in una forma diversa erano presenti nelle nobili libri di testo scolastici algebras per le classi diverse (ad esempio, se "algebra: libri di testo per 7-9 classi di istituzioni generali educative" A cura di GvdoroFeyev; "Algebra e inizio dell'analisi: tutorial per 10- 11 classi di istituzioni generali educative" G.V.DoroFofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedov "), e sotto forma di singoli libri di testo. Tuttavia, la presentazione del materiale sulla teoria della probabilità in esse, di norma, non era sistematica, e gli insegnanti, il più delle volte, non ha fatto appello a queste sezioni, non li includevano nel curriculum. Il documento adottato dal Ministero dell'istruzione nel 2003 ha previsto la graduale inclusione graduale di queste sezioni nei corsi scolastici, consentendo alla comunità di insegnamento di prepararsi per le modifiche appropriate. Nel 2004-2008. C'è una serie di tutorial che completano l'algebra di testo esistenti. Questa è la pubblicazione Tyurin Yu.n., Makarov A.a., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teoria delle probabilità e delle statistiche", Tyurin Yu.n., Makarov A.a., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teoria e statistiche della probabilità: manuale metodologico per insegnante", makarychev yu.n., mindyuk n.g. "Algebra: elementi di statistica e teoria della probabilità: studi. Manuale per studenti 7-9 cl. educazione generale. Istituzioni ", Tkacheva M.V., Fedorova n.e. "Elementi statistici e probabilità: studi. Manuale per 7-9 cb. educazione generale. istituzioni. " Sono emerse anche manuali metodologici per aiutare gli insegnanti. Per un certo numero di anni, tutti questi aiuti didattici sono stati testati nelle scuole. In condizioni, quando è necessario il periodo transitorio di attuazione nei programmi scolastici, e le sezioni di statistica e la teoria della probabilità preleva il loro posto in 7-9 curricals, analisi e comprensione della coerenza delle definizioni di base e delle designazioni utilizzate in questi aiuti didattici sono necessari . Tutti questi tutorial sono stati creati in assenza di tradizioni di insegnamento di queste sezioni di matematica a scuola. Tale mancanza di libero o involontariamente provocato gli autori dei libri di testo per il confronto con i libri di testo esistenti per le università. Quest'ultimo, a seconda delle tradizioni consolidate sulle specializzazioni individuali, la scuola più alta ha spesso permesso una significativa differenza terminologica e differenze nelle designazioni dei concetti e dei registri di base delle formule. L'analisi del contenuto del testo di testo scolastico sopra menzionato mostra che oggi hanno ereditato queste caratteristiche dai libri di testo della scuola superiore. Con un maggiore grado di precisione, si può sostenere che la selezione di un materiale educativo specifico su uno nuovo per le sezioni scolastiche della matematica relativa al concetto di "casuale", attualmente si verifica il massimo che non è a caso, fino a I nomi e le designazioni. Pertanto, i team degli autori dei libri di testo scolastici leader sulla teoria delle probabilità e gli statistici hanno deciso di unirsi ai loro sforzi sotto gli auspici dell'istituto di Moscow dell'istruzione aperta per sviluppare posizioni concordate per l'unificazione delle definizioni di base e designazioni utilizzate negli aiuti dell'insegnamento Scuola sulla teoria e statistiche della probabilità. Analizzeremo l'introduzione dell'argomento "teoria della probabilità" nei libri di testo scolastici. Caratteristiche generali: Contenuto dell'insegnamento degli argomenti "Elementi della teoria della probabilità", assegnati nel "Programma per le istituzioni generali educative. Matematica", garantisce ulteriori sviluppi delle loro abilità matematiche, orientamento in professioni, sostanzialmente correlate alla matematica, allenamento per alto scuola. La specificità del contenuto matematico dell'argomento in esame ci consente di specificare il compito base assegnato di uno studio approfondito della matematica come segue. 1. Continuare la divulgazione della matematica, come sistema di conoscenza deduttivo. - costruire un sistema di definizioni di concetti di base; - identificare le proprietà aggiuntive dei concetti introdotti; - Stabilire le connessioni dei concetti introdotti e precedentemente studiati. 2. sistematizzare alcuni modi probabilistici per risolvere i problemi; Divulgare la composizione operativa della ricerca di soluzioni di specifici tipi di attività. 3. Creare le condizioni per la comprensione e la consapevole degli studenti dell'idea di base del significato pratico della teoria della probabilità analizzando i principali fatti teorici. Divulgare le applicazioni pratiche studiate in questa teoria. Il raggiungimento degli obiettivi educativi appropriati contribuirà alla soluzione dei seguenti compiti: 1. Formare un'idea di vari modi per determinare la probabilità di un evento (statistico, classico, geometrico, assiomatico) 2. Per formare la conoscenza di Operazioni di base sugli eventi e la capacità di applicarli a descrivere alcuni eventi attraverso gli altri. 3. rivelare l'essenza della teoria dell'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità; Determina i confini dell'utilizzo di questi teoremi. Mostra le loro applicazioni a produrre formule di probabilità complete. 4. Identificare gli algoritmi per trovare la probabilità di eventi A) secondo la definizione classica della probabilità; b) sulla teoria dell'aggiunta e della moltiplicazione; c) Secondo Formula0.99 + 0.98P (A | BN) Considera un esempio: la linea automatica produce le batterie. La probabilità che la batteria finita è difettosa sia 0,02. Prima di imballaggio, ogni batteria è sottoposta al sistema di controllo. La probabilità che il sistema prende la batteria difettosa è 0,99. La probabilità che il sistema di errore prende la batteria serviceable è 0,01. Trova la probabilità che la batteria selezionata dal pacchetto verrà rifiutata. Decisione. La situazione in cui la batteria sarà respinta può essere a causa di eventi: A - "La batteria è davvero difettosa e respinta giustamente" o in - "la batteria è buona, ma per errore è respinto." Questi sono eventi incompleti, la probabilità della loro somma è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi. Portiamo: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0,02P (A | B3) + ... + P (BN) P (A | B2) + P (B3) P (A | B1) + P (B2) di Aimeedice di uno di essi sulla probabilità condizionale dell'altro, a condizione che il primo accaduto: P (AB) \u003d P (A) P (B | A) P (AB) \u003d P ( b) P (A | b) (a seconda di quale evento è successo prima). Corollario del teorema: teorema di moltiplicazione per eventi indipendenti. La probabilità del lavoro di eventi indipendenti è uguale al prodotto della loro probabilità: P (AB) \u003d P (A) P (B) se a e in indipendente, quindi indipendente e coppie: (;), (; c), (un). Esempi di compiti sul teorema della moltiplicazione: se il Grandmaster A. gioca il bianco, quindi vince nel Grandmaster B. Con una probabilità di 0,52. Se A. riproduce il nero, A. Vince a B. con una probabilità di 0,3. Nonnakers A. e B. Riproduci due batch e nel secondo lotto, il colore delle figure cambiano. Trova la probabilità che A. vince entrambe le volte. Decisione. La capacità di vincere il primo e il secondo batch non dipende l'uno dall'altro. La probabilità del lavoro di eventi indipendenti è uguale al prodotto della loro probabilità: 0,52 · 0,3 \u003d 0,156. Risposta: 0,156. Il negozio ha due piattaforme. Ognuno di loro può essere difettoso con una probabilità di 0,05 indipendentemente dall'altra macchina. Trova la probabilità che almeno una macchina funzioni. Decisione. Troviamo la probabilità che entrambe le macchine siano difettose. Questi eventi sono indipendenti, la probabilità del loro lavoro è uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi: 0,05 · 0,05 \u003d 0,0025. L'evento, costituito nel fatto che è in un modo almeno una macchina di fronte. Di conseguenza, la sua probabilità è uguale a 1? 0,0025 \u003d 0,9975. Risposta: 0,9975. La formula della completa probabilità di conseguenza dei teoremi e della moltiplicazione delle probabilità è la formula della probabilità completa: la probabilità p (A) degli eventi A, che può verificarsi solo sotto la condizione di uno degli eventi (ipotesi) B1 , B2, B3 ... BN, formando un gruppo completo in coppie di eventi incompleti, è uguale all'importo della probabilità di ciascuno degli eventi (ipotesi) B1, B2, B3, ..., nel corrispondente condizionale Probabilità dell'evento A: P (A) \u003d P (B1) di una probabilità completa. 5. Per formare una prescrizione che consente di scegliere razionalmente uno degli algoritmi durante la risoluzione di un compito specifico. Scopi educativi dedicati per studiare gli elementi della teoria della probabilità che integrano lo sviluppo e le scopture educative. Sviluppo degli obiettivi: formare gli studenti un costante interesse per il soggetto, identificare e sviluppare abilità matematiche; Nel processo di apprendimento, sviluppare parlato, pensiero, campi emotivi e spettatori e motivazionali; Trovare gli studenti indipendenti di nuovi modi per risolvere problemi e compiti; Applicazione della conoscenza in nuove situazioni e circostanze; Sviluppare la capacità di spiegare i fatti, collegamenti tra fenomeni, convertire materiale da una forma di sottomissione a un altro (verbale, simbolico, grafico); Imparare a dimostrare il corretto utilizzo dei metodi, vedere la logica di ragionamento, somiglianza e differenza di fenomeni. Obiettivi educativi: modellare le idee morali ed estetiche da scolari, il sistema di opinioni sul mondo, la capacità di seguire le norme di comportamento nella società; Formare i bisogni della personalità, i motivi del comportamento sociale, delle attività, dei valori e degli orientamenti del valore; Pratica la personalità capace di auto-istruzione e auto-educazione. Analizzeremo il libro di testo sull'algebra per il grado 9 "algebra: elementi di statistica e la teoria delle probabilità" Makarychev Yu.n. Questo tutorial è destinato agli studenti in gradi 7-9, completa i libri di testo: Makarychev Yu.n., Mindyuk n.g., Neshkov K.i., Suvorov S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", a cura di Telyakovsky S.A. Il libro è composto da quattro paragrafi. Ogni articolo contiene informazioni teoriche e esercizi appropriati. Alla fine del punto ci sono gli esercizi per la ripetizione. Ogni paragrafo fornisce ulteriori esercizi di un livello superiore di complessità rispetto agli esercizi principali. Secondo il "Programma per le istituzioni generali educative" per studiare l'argomento "Teoria delle probabilità e statistiche" nel corso scolastico, l'algebra è data 15 ore. Il materiale su questo argomento cade sul 9 ° grado e si inserisce nei paragrafi seguenti: §3 "Elementi combinatoriali" contiene 4 punti: esempi di attività combinatoriali. Su semplici esempi, è dimostrato dalla soluzione di compiti combinatoriali da parte del metodo di interazione per possibili opzioni. Questo metodo è illustrato costruendo un albero di possibili opzioni. La regola della moltiplicazione è considerata. Permutazioni. Viene introdotto il concetto molto e la formula per il calcolo della permutazione. Alloggio. Il concetto è inserito su un esempio specifico. La formula del numero di sistemazioni è derivata. Combinazione. Il concetto e la formula del numero di combinazioni. Lo scopo di questo paragrafo è di offrire agli studenti vari modi per descrivere tutti gli eventi elementari possibili in vari tipi di esperienza casuale. §4 "Informazioni iniziali dalla teoria della probabilità". Il contorno del materiale inizia con l'esame dell'esercizio, dopo di che viene introdotto il concetto di "evento casuale" e la "frequenza relativa di un evento casuale". La definizione statistica e classica della probabilità è stata introdotta. Il paragrafo è completato dall'elemento "Aggiunta e moltiplicazione della probabilità". I teoremi di aggiunta e moltiplicazione delle probabilità sono considerati, i concetti associati a loro sono eventi inconsistenti, opposti, indipendenti. Questo materiale è progettato per gli studenti che mostrano interesse e inclinazione alla matematica e possono essere utilizzati per lavoro individuale o su studi extracurricolari con studenti. Raccomandazioni metodiche per questo libro di testo sono fornite in numerosi articoli Makarychev e Mindyuk ("Elementi dei Combinatorici nell'Anno scolastico Algebra", "Informazioni iniziali della teoria delle probabilità nell'anno scolastico dell'Algebra"). Oltre a alcuni commenti critici su questo manuale di formazione sono contenuti nell'articolo da Studenthell e Fadeeva, che aiuteranno a prevenire errori quando si lavora con questo libro di testo. Scopo: transizione da una descrizione qualitativa degli eventi alla descrizione matematica. Il tema "teoria della probabilità" nei libri di testo Mordkovich A.G., Semenova P.V. Per 9-11 classi. Al momento, uno dei libri di testo esistenti a scuola è il libro di testo Mordkovich A.G., Semenova P.V. "Eventi, probabilità, elaborazione statistica dei dati", ci sono anche capitoli aggiuntivi per 7-9 classi. Analizzeremo. Secondo il "programma di lavoro algebra" per studiare gli argomenti "Elementi di combinatori, statistiche e teoria della probabilità", vengono fornite 20 ore. Il materiale sull'argomento "teoria della probabilità" è rivelato nei paragrafi seguenti: § 1. Attività combinatoriali più semplici. Regola di moltiplicazione e opzioni dell'albero. Permutazioni. Inizia con la considerazione di semplici compiti combinatoriali, è considerata una tabella di possibili opzioni, che mostra il principio della regola di moltiplicazione. Quindi gli alberi sono considerati possibili opzioni e permutazioni. Dopo il materiale teorico, vengono seguiti gli esercizi per ciascuna delle sotto-clausole. § 2. Selezione di diversi elementi. Combinazione. Innanzitutto, la formula viene visualizzata per 2 elementi, quindi per tre, e poi comuni a n elementi. § 3. Eventi casuali e le loro probabilità. La definizione classica della probabilità è stata introdotta. Il Plus di questo manuale è che è uno dei pochi contiene articoli in cui sono considerati i tavoli e gli alberi delle opzioni. Questi articoli sono necessari, poiché sono le tabelle e gli alberi delle opzioni per insegnare agli studenti alla presentazione e all'analisi iniziale dei dati. Anche in questo tutorial, la formula combinazioni viene introdotta con successo prima per due elementi, quindi per tre e riassunti per N elementi. Con la combinazione, il materiale è presentato pure. Ogni paragrafo contiene esercizi, che ti consente di fissare il materiale. Le osservazioni su questo manuale di allenamento sono contenute nell'articolo di Studenthell e Fadeeva. Nel 10 ° grado su questo argomento, sono dati tre paragrafi. Nel primo di questi, la "Regola di moltiplicazione". Riorganizzazione e fattoriari ", inoltre, in realtà la regola della moltiplicazione, l'obiettivo principale è stato presentato alla conclusione da questa regola di due principali identità combinatoriali: per il numero di permutazioni e per il numero di tutti i possibili sottoinsiemi del set costituito da n elementi. Allo stesso tempo, le fabbriche vengono introdotte come un modo conveniente per ridurre il record di risposta in molte attività combinatoriali specifiche prima del concetto di "permutazione". Nel secondo paragrafo 10 della classe "Selezione di diversi elementi. Coefficienti binomiali "Le attività combinatoriali classiche sono state considerate associate alla selezione simultanea (o alternativa) di diversi elementi da un determinato set finale. Il più significativo e davvero nuovo per la scuola completa russa è stato il paragrafo finale "eventi casuali e le loro probabilità". È stato considerato un classico schema probabilistico, la formula p (A + B) + P (AB) \u003d P (A) + P (B), P () \u003d 1-P (A), P (A) \u003d 1- P () e metodi del loro uso. Il paragrafo si è concluso con la transizione a ripetizioni indipendenti di test con due risultati. Questo è il più importante da un punto di vista pratico del modello probabilistico (test Bernoulli), che ha un numero significativo di applicazioni. L'ultimo materiale ha formato la transizione tra il contenuto del materiale educativo in classi 10 e 11. Nell'11 ° grado tema "elementi della teoria della probabilità" sono dedicati due paragrafi del libro di testo e il task book. Nel § 22 stiamo parlando di probabilità geometriche, nel § 23, la conoscenza delle ripetizioni di test indipendenti con due risultati viene ripetuta e ampliata.

Tarasevich Alyona Konstantinovna, studente di Smolensk State University, City Smolensk [Email protetta];

Morozova Elena Valentinovna, grado di candidato delle scienze pedagogiche, professore postale del dipartimento di informazioni e tecnologie educative, Smolensk State University, City Smolensk [Email protetta]

Caratteristiche dell'apprendimento delle fondamenta della teoria della probabilità nell'anno scolastico della matematica

Annotazione. L'articolo è dedicato alle peculiarità di studiare le fondamenta della teoria della probabilità nel corso della scuola della matematica. L'attenzione particolare è rivolta agli obiettivi dell'insegnamento, delle caratteristiche e dei periodi, nonché esempi di studio di questa disciplina con l'aiuto di programmi appositamente creati.

Parole chiave: metodologia per studiare la teoria della probabilità a scuola, modi per studiare i concetti di base, i metodi di apprendimento della matematica.

Studiare le fondamenta della teoria della probabilità nella matematica del corso scolastico sono alcune funzionalità. Da un lato, questo è un processo abbastanza capiente e grave, che è difficile almeno ad un'età più cosciente, per non parlare della scuola, tuttavia, nessuno dubita dell'adozione necessaria di questa denadisciplina nel corso di pre-conduzione, come la Aiuta a sviluppare una serie di abilità in un bambino che lo sarà utile non solo in ulteriore formazione, ma anche nella vita in generale. È necessario insegnare agli scolari a pensare, dato tutti i tipi di probabilità. Cioè, è necessario insegnare loro a ricevere, analizzare e gestire informazioni, realizzate, ha acquistato deliberatamente varie situazioni con risultati innevati. Scolari della sua vita Ogni giorno si affacciano i gusti. Il gioco e il coraggio occupano un posto certo e significativo di Jim. Tutte queste domande sono associate al confronto dei concetti di "probabilità" e "affidabilità", la difficoltà è la migliore di diverse opzioni per l'azione, la probabilità di successo e fiasco, l'idea del bene e del male nei giochi e in Le situazioni attuali, tutto questo, ovviamente, è in cerchio vero e necessari hobby di un adolescente. L'attività matematica degli scolari deve andare oltre i modelli probabilistici finiti. Scolari che eseguono compiti, che poi aiutano a prendere decisioni in situazioni di vita reale, svolge un ruolo enorme e richiede l'insegnamento giusto ed esperto dei materiali da parte del denaro. La conoscenza dello stocastica è uno dei fattori più importanti delle prospettive per l'insegnante di matematica. Abbiamo bisogno di un look multilaterale allo stocastico, compreso sia sulla metodologia speciale, comprese le conclusioni pertinenti e statistiche della loro relazione. Il supervisore dovrebbe sapere e realizzare accuratamente l'avvento del rischio di decisioni errate durante l'analisi dei casi che si verificano nel caso di il caso. Una comprensione ingannevole, ad esempio, può sorgere a causa delle piccole informazioni statistiche. Gli insegnanti appaiono una formazione insolita in avvicinamento. Docente, Determinazione del livello di conoscenza da parte degli scolari di qualsiasi abilità rodiascica, può affrontare alcune difficoltà, ad esempio, quando si risolvono compiti, gli scolari sono spesso necessari, quindi diciamo, pensiamo a pensare sano, e non agire rigorosamente secondo l'algoritmo, le regole, così Le loro risposte alla stessa domanda diversa. In questo caso, il compito dell'insegnante sarà una valutazione del diritto all'errore di un studente, poiché è possibile. Va tenuto presente che i bambini più sviluppati sono più veloci iniziano a fare cose relative alla condotta degli esperimenti e della ricerca di interesse per noi e prendersi cura di prendersi cura dei loro compagni.

Pertanto, non è sufficiente distinguere tra il livello di competenze e abilità individualmente e senza l'aiuto degli estranei per creare la produzione studiata. Avviando l'insegnamento degli studenti di azioni, l'insegnante deve rendersi conto del motivo per cui è stato necessario introdurre un nuovo programma per il corso dello studio. La corretta comprensione dell'insegnante presso la scuola degli obiettivi di formazione stocastica, una chiara rappresentazione del loro rapporto con matematica e luoghi di stocastica in una serie di altri argomenti, la conoscenza dei requisiti finali per questa preparazione degli studenti è la base principale Del Matematica Insegnante per implementare la nuova linea. Non annotarlo, che l'apprendimento di qualsiasi sezione section è positivo nello sviluppo mentale degli adolescenti, perché dà le loro abilità con il pensiero esclusivo, basato esclusivamente sui concetti fedeli e necessari. Tutto quanto sopra nell'istigazione si riferisce alla formazione della teoria della probabilità, ma l'insegnamento del Larmit ha un valore molto maggiore, andando oltre la regione del solito. Dopo aver studiato la teoria della probabilità, lo studente inizia a capire come applicare le tecniche del pensiero logico quando si imbatteranno in un'incertezza (e ci sono un'enorme pratica di tali pratiche).

Tutto quanto sopra può essere definito come gli obiettivi dello studio di questa disciplina e cosa ci presenta esattamente nell'anno scolastico, cosa studia gli studenti quali concetti di base sono stati trovati lì?

Se è necessario avvicinarsi ai dettagli e alle fasi, il corso scolastico della teoria della probabilità è meglio iniziare nel 5 ° grado, dove verranno introdotte le principali definizioni della teoria della probabilità sugli esempi specifici, "live". L'inizio della teoria delle probabilità è componentatoria, in cui i compiti saranno risolti con il metodo di estinguere, cioè gli studi delle opzioni della soluzione dei THELLESTWASHTVOS possibili. Naturalmente, è necessario considerare la soluzione delle attività combinatoriali utilizzando l'albero delle possibili opzioni.

La fase successiva apprese dal caso di eventi: casuale, affidabile, impossibile, equilibrio, equilibrio, il che è illustrato in esempi di tutti i giorni. È anche possibile considerare la regola di moltiplicazione, che è un nuovo mezzo per risolvere le attività combinatoriali, che suona come Questo: "Se il primo elemento di qualche coppia può essere scelto M Metodi e per ciascuno di questi metodi, il secondo elemento può essere selezionato da n in modi, quindi questa coppia può essere selezionata MOTODI M * N." È necessario illustrare le funzionalità di questa regola su specifici esempi.

Un capitolo separato dovrebbe essere considerato le principali caratteristiche aritmestatiche: l'aritmetica media (serie media aritmetica di numeri è chiamata privata dal dividere la quantità di questi numeri sul loro numero), la moda (la moda è chiamata il numero di righe, che si trova in questo riga più spesso), la differenza tra i più grandi e i valori più piccoli di un numero di dati), la mediana (mediana è un numero che condivide un numero di dati in due parti, lo stesso in termini di numero di membri) , che avrà una pluralità di esempi dalla vita. La formazione più importante è prendere in considerazione esempi che si legano alla pratica, vengono descritti vari esempi di vita, che saranno utili e interessanti per i bambini.

Dopo aver analizzato il precedente, possiamo formulare i rivelatori caratteriali di probabilità, che è stato dato per la prima volta nelle opere di matematica francese di Laplace e considerano anche gli elementi dei combinatori: alloggio e combinazioni. Puoi illustrare una definizione classica utilizzando una tabella: Tabella 1 Attività usando definizione classica

Già nelle scuole superiori, gli studi statistici sono studiati, la definizione di statistica (apprendimento scientifico che produce e analizzando i dati quantitativi su un'ampia varietà di fenomeni di massa nella vita è in fase di introduzione), nuovi concetti di campionamento, rappresentatività, combinazione generale, classifica, campionamento sono considerati. Viene introdotto un nuovo metodo di rappresentazione grafica dei risultati del Poligono. La dispersione del nuovo campione e la deviazione quadratica secondaria vengono studiate.

Lo studio di quest'ultimo richiede non solo la comprensione delle fondamenta, dei dati in precedenza, ma anche una relazione più dettagliata e attenta, per in matematica, come nella vita, quindi, più difficile.

Naturalmente, come in tutte le discipline e nel corso scolastico, lo studio della teoria della probabilità è stato il proprio metodo speciale per studiare teoremi, il cui principale sono i teoremi dell'aggiunta di probabilità e dell'effetto di questi e teorema di moltiplicazione della probabilità . Lo studio di teoremi deve essere dimostrato su esempi specifici che illustrano la loro applicazione, ma forniremo insegnanti scolastici e Sim Sim annuncia semplicemente il contenuto di questi teoremi, e così, il teorema di probabilità suona come questo: "La probabilità della somma di due incoerenti Gli eventi sono uguali alla somma delle probabilità di questi eventi ", e, rispettivamente, la formula per questo teorema P (A + C) \u003d P (A) + P (B). Il teorema di moltiplicazione della probabilità "La probabilità di un lavoro di due eventi è pari al prodotto della probabilità di un evento sulla probabilità condizionale dell'altro, a condizione che il primo evento sia avvenuto", la formula sembra così p (AV) \u003d P (A) * P (V / A). Insieme a questi teoremi, la teoria della matematica è anche studiata con la teoria della matematica, in cui sono studiate le proprietà generali dei gruppi di elementi di elementi di natura arbitraria, che hanno una proprietà totale. Se gli studenti avranno conoscenza della teoria Di set, saranno in grado di comunicare con interporazioni sugli eventi dei set sui set. Grazie a questo, gli studenti saranno in grado di concludere che gli oggetti e le relazioni nella teoria delle probabilità sono simili a oggetti e relazioni nella teoria dei set. La descrizione è i nomi dei termini utilizzati. Nei primi pori, è necessario compilare Una tabella consolidata, che riflette le informazioni di base. Sperimentalità dei risultati nionabili degli eventi favorevoli dell'evento sperimentali per questo evento A: P (A) \u003d m / non sbocciando Coin2 ENEL11 / 2 Prove Colente BEAD211 EXTRACSONE CUBE 11/24 Bere cubo6Na cubo Point Points33 / 6 \u003d 1/2 W percussioni alla lotteria250 Vigità, acquistando un ticket1010 / 250 \u003d 1/25

Nel processo di studio delle attività degli eventi necessari per essere necessari il più possibile, che riflettono non solo l'essenza delle operazioni, ma anche differenze in esse. Alunni con esitoia dell'importo e il lavoro degli eventi che utilizzano la definizione. La difficoltà è formare gli studenti la comprensione e la consapevolezza dell'essenza delle operazioni sugli eventi. Per fare ciò, puoi usare vari compiti per lavorare con le operazioni sugli eventi. Più vicino a cui è possibile incontrare una spiegazione di questo argomento è la complessità di allocare eventi semplici. La decisione è ovvia, tutta la cosa nell'esperienza, più compito è deciso, più comprensione e minimo di giudizi errati. Incidenti di questo trasformando lo studente in una comprensione e comprensione molto dettagliata di tali concetti come "elementary", "eventi incompleti "," eventi affidabili "," eventi impossibili "," eventi opposti ", poiché tutti questi concetti possono essere determinati sulla base delle operazioni sugli eventi. Sembra che qualsiasi sistema abbia i suoi inconvenienti e commenti. Una delle definizioni di probabilità generalmente accettata è il suo uso limitato, in quanto è adatto per solo esperimenti classici, che non si verificano così spesso alla stampa moderna. La cosa più importante sarà convinta che gli studenti abbiano imparato che l'introduzione della probabilità sia molto specificata Nel suo utilizzo, motivo per cui esiste un bisogno di studiare il numero di approcci all'interpretazione del concetto di probabilità. Uno degli approcci più importanti da un punto di vista pratico è un approccio statistico alla definizione del concetto di "probabilità". La sua attuazione è considerata come la prossima fase della formazione di idee sensibili teoriche tra gli studenti. Lo sviluppo della definizione statistica del concetto di "probabilità" è importante per il successivo uso nelle sezioni delle statistiche matematiche per valutare le caratteristiche statistiche di un'ampia classe di fenomeni di varie natura. La pratica ha dimostrato che la teoria della probabilità è molto tempo Consumando e il processo pesante per gli studenti a scuola, ed è difficile per gli insegnanti, dal punto di vista del suo trasferimento agli studenti. Pertanto, non semplifica errori e carenze, che, diciamo, possono essere consentiti nelle lezioni di musica e della musica, prima di tutto perché è coerente, strutturale e ogni particella della sua struttura si integra.

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Vedi: N. L. Stefanov, N. S. Approcci. Metodologia e tecnologia di apprendimento della matematica. Corso di lezioni: beneficio per le università. -M. : Goccia, 2005. -416 p.