Abstract: valori medi utilizzati in statistiche. Essenza e significato dei valori medi in statistiche

Questo capitolo descrive lo scopo dei valori medi, i loro tipi e moduli principali sono considerati, il metodo di calcolo. Durante lo studio del materiale presentato, è necessario assimilare i requisiti per la costruzione dei valori medi, poiché il loro osservanza consente di utilizzare questi valori come caratteristiche tipiche dei segni per una totalità di unità omogenee.

Stampi e tipi di valori medi

valore medio È una caratteristica generalizzata del livello dei valori dei segni, ottenuta per unità di aggregato. A differenza della magnitudine relativa, che è una misura del rapporto tra indicatori, il valore medio è una misura di un segno per unità di aggregato.

La proprietà più importante della dimensione media risiede nel fatto che riflette che in comune, che è inerente a tutte le unità della combustione del test.

I valori del segno delle singole unità della combinazione fluttuano in una direzione o nell'altro sotto l'influenza di una pluralità di fattori, tra i quali ci possono essere significativi e casuali. Ad esempio, un tasso percentuale sui prestiti bancari è determinato dai fattori per tutti gli enti creditizi (il livello dei requisiti di riserva e il tasso di interesse di base GO prestiti forniti alle banche commerciali da parte della Banca Centrale, ecc.), Così come le peculiarità di Ogni transazione specifica a seconda del rischio di questo prestito., il suo periodo di dimensioni e di scadenza, i costi per la progettazione del prestito e del controllo sul suo rimborso, ecc.

Nella media, i singoli valori della funzione sono generalizzati e l'influenza delle condizioni generali più caratteristiche di questa totalità in particolare condizioni di luogo e del tempo si riflettono. L'essenza della media e menzogna che vi sono deviazioni reciproche dei valori del segno delle singole unità di aggregato a causa dell'azione dei fattori casuali, e i cambiamenti causati dai fattori effettivi sono presi in considerazione. Il valore medio rifletterà il livello tipico della caratteristica in questo set di unità, quando è progettato per un aggregato qualitativamente omogeneo. A questo proposito, il metodo medio viene utilizzato in combinazione con il metodo di raggruppamento.

I valori medi che caratterizzano la totalità nel suo complesso sono chiamati comune e la media, riflettendo la peculiarità del gruppo o del sottogruppo, - gruppo.

La combinazione di medie comuni e di gruppo consente ai confronti nel tempo e nello spazio, amplia notevolmente i confini dell'analisi statistica. Ad esempio, quando si ottiene il censimento del 2002, è stato trovato che per la Russia, come per la maggior parte dei paesi europei, l'invecchiamento della popolazione è caratterizzato. Rispetto alla corrispondenza del 1989, l'età media degli abitanti del paese è aumentata per tre anni e ammontava a 37,7 anni, uomini - 35.2 anni, donne - 40,0 anni (secondo il 1989, questi indicatori erano 34,7, 31, rispettivamente, 9 e 37.2 anni). Secondo Rosstat, l'aspettativa di vita alla nascita nel 2011, uomini - 63 anni, donne - 75,6 anni.

Ogni media riflette la peculiarità dell'aggregato comune su un singolo segno. Per l'adozione di soluzioni pratiche, di regola, è necessaria una caratteristica di combinazione per diverse caratteristiche. In questo caso, vengono utilizzati il \u200b\u200bsistema dei valori medi.

Ad esempio, per raggiungere un adeguato livello di redditività delle operazioni a un livello accettabile di rischio di attività bancarie, i tassi di interesse medi sui prestiti emessi sono stabiliti tenendo conto dei tassi di interesse medi sui depositi e degli altri strumenti finanziari.

La forma, la forma e la metodologia per il calcolo del valore medio dipendono dallo scopo dello studio, dalla forma e dalle relazioni dei sintomi studiati, nonché sulla natura dei dati di origine. I valori medi sono suddivisi in due categorie principali:

• 1) supporto elettrico;
• 2) Medie strutturali.

La formula media è determinata dal valore della misura utilizzata. Con laurea in corso k. Il valore medio aumenta di conseguenza.

Le variabili militari hanno molta distribuzione in statistiche. I valori medi caratterizzano indicatori di alta qualità delle attività commerciali: costi di circolazione, profitti, redditività, ecc.

Media - Questa è una delle tecniche comuni. La corretta comprensione dell'essenza della media determina il suo significato speciale nelle condizioni di un'economia di mercato, quando la media attraverso un singolo e casuale consente di identificare il generale e necessario, per identificare la tendenza dei modelli di sviluppo economico.

valore medio - Si tratta di indicatori di generalizzazione in cui sono studiati l'espressione dell'azione delle condizioni generali, i modelli dei fenomeni sono studiati.

Le medie statistiche sono calcolate sulla base di dati di massa in modo corretto sorveglianza di massa organizzata statisticamente (solida e selettiva). Tuttavia, la media statistica sarà oggettiva e tipica se è calcolata da dati di massa per una totalità qualitativamente omogenea (fenomeni di massa). Ad esempio, se si calcola lo stipendio medio in cooperative e in imprese statali, e il risultato è distribuito all'intero set, quindi la media fittizi, poiché è progettato per aggregato disomogeneo, e tale media perde un significato.

Con l'aiuto di medium, succede come se levigare differenze nel valore del segno, che sorgono per uno o un altro motivo nelle singole unità di osservazione.

Ad esempio, la produzione media del venditore dipende da molte ragioni: qualifiche, esperienza, età, forme di servizio, salute, ecc.

Lo sviluppo medio riflette la proprietà generale dell'intera totalità.

Il valore medio è un riflesso dei valori dell'attributo studiato, quindi, viene misurato nella stessa dimensione di questa funzione.

Ogni valore medio caratterizza la totalità studiata su qualsiasi singolo segno. Per ottenere un'idea completa e completa del complesso comune per un numero di caratteristiche essenziali, in generale, è necessario avere un sistema di valori medi in grado di descrivere il fenomeno da diversi lati.

Ci sono varie medie:

aritmetica media;

medio geometrico;

armonica media;

medio quadratico;

medio cronologico.

Considera alcuni tipi di medie più comunemente utilizzate nelle statistiche.

Mezza aritmetica

L'aritmetico medio semplice (non sviluppato) è uguale alla somma dei singoli valori della funzione divisa per il numero di questi valori.

I valori separati della funzione sono chiamati opzioni e denotano da x (); Il numero di unità di aggregato è denotato da n, il valore medio del segno è attraverso . Di conseguenza, l'aritmetica media è semplice uguale a:

Secondo una serie discreta di distribuzione, si può vedere che le stesse caratteristiche della funzione (opzioni) vengono ripetute più volte. Quindi, l'opzione X viene conteggiata insieme 2 volte e l'opzione X-16 volte, ecc.

Il numero di valori identici della funzione nelle righe di distribuzione è chiamato frequenza o peso ed è indicato dal simbolo N.

Calcoliamo il salario medio di un lavoratore in rubli:

Il Fondo salariale per ciascun gruppo di lavoratori è uguale alle opzioni di lavoro per la frequenza e la quantità di questi lavori fornisce un fondo salariale comune di tutti i lavoratori.

Conformemente a questo, i calcoli possono essere rappresentati in forma generale:

La formula risultante è chiamata una meditata aritmetica ponderata.

Il materiale statistico a seguito dell'elaborazione può essere rappresentato non solo sotto forma di righe di distribuzione discrete, ma anche sotto forma di varianti di intervalli con intervalli chiusi o aperti.

Il calcolo della media in base ai dati raggruppati viene effettuato dalla formula del medio aritmetico ponderato:

Nella pratica delle statistiche economiche, a volte è necessario calcolare la media nella media del gruppo o mediante parti medie individuali dell'aggregazione (media privata). In tali casi, le medie del gruppo o private sono accettate per le opzioni (X), sulla base della quale la media totale è calcolata come la consueta media aritmetica media.

Le principali proprietà della mezza aritmetica .

L'aritmetica media ha un numero di proprietà:

1. Dalla diminuzione o aumentando le frequenze di ciascun valore di carattere, il valore dell'aritmetico medio non cambierà.

Se tutte le frequenze sono divise o moltiplicate con qualsiasi numero, il valore della media non cambierà.

2. Il fattore generale dei singoli segni della funzione può essere reso per il segno medio:

3. L'importo medio (differenza) di due o più valori è uguale alla quantità (differenza) della loro media:

4. Se x \u003d c, dove c è un valore costante, quindi
.

5. La somma delle deviazioni dei valori del segno x dal centro aritmetico X è uguale a zero:

Armonia centrale.

Insieme all'aritmetica media, il valore medio armonico viene utilizzato in statistiche, invertire la mezza aritmetica dei valori di feedback. Come l'aritmetico medio, può essere semplice e sospeso.

Le caratteristiche della serie variazionale, insieme alla media, sono moda e mediana.

Moda - Questo è il valore del segno (opzione), più spesso ripetuto nell'aggregato comune. Per le righe discrete della distribuzione della moda sarà il valore dell'opzione con la frequenza più alta.

Per le righe di intervallo di distribuzione con uguali intervalli della moda è determinata dalla formula:

dove
- il valore iniziale dell'intervallo contenente la moda;

- la grandezza dell'intervallo modale;

- frequenza dell'intervallo modale;

- la frequenza dell'intervallo che precede il Modal;

- La frequenza dell'intervallo seguente modale.

Mediano - Questa è un'opzione situata nel mezzo della serie variazionale. Se un numero di distribuzione è discreto e ha un numero dispari di membri, la mediana sarà la variante nel mezzo di una serie ordinata (riga ordinata è la disposizione delle unità dell'aggregato in un ordine crescente o discendente).

Le statistiche utilizzano vari tipi di valori medi divisa in due grandi classi:

Media potenza (media armonica, media geometrica, aritmetica media aritmetica, media quad, media cubica);

Mezzo strutturale (moda, mediana).

Per il calcolo power Medium.È necessario utilizzare tutti i valori delle funzionalità disponibili. Modae medianosolo la struttura di distribuzione è determinata, quindi sono chiamate medie strutturali e posizionali. La mediana e la moda sono spesso utilizzate come caratteristica media in quegli aggregati, dove il calcolo della potenza media è impossibile o insignificante.

Il tipo più comune di medie dimensioni è l'aritmetica media. Sotto mezza aritmeticaresta inteso come il significato di un segno che avrebbe avuto ogni unità di aggregazione, se il risultato totale di tutti i segni del segno è stato distribuito uniformemente tra tutte le unità di aggregato. Il calcolo di questo valore è ridotto alla sommazione di tutti i valori della variazione e della divisione dell'ammontare totale del numero totale di unità di conformità. Ad esempio, cinque lavoratori hanno eseguito un ordine per la produzione di dettagli, mentre le prime parti hanno fatto 5 parti, il secondo - 7, il terzo - 4, il quarto - 10, cinque - 12. Poiché nei dati di origine, il valore di ciascuno L'opzione è stata trovata solo una volta, per determinare

la produzione media di un lavoratore dovrebbe applicare la formula di una semplice aritmetica centrale:

i.e. Nel nostro esempio, la generazione media di un workshop è uguale

Insieme a un semplice studio aritmetico centrale mezza aritmetica ponderata.Ad esempio, calcoliamo l'età media degli studenti in un gruppo di 20 persone, il cui età varia da 18 a 22 anni, dove xi. - Opzioni del segno in media, fi. - Frequenza che mostra quante volte viene trovato i-E.il valore nell'aggregato (tabella 5.1).

Tabella 5.1.

Studenti di mezza età

Usando la formula del medio aritmetico ponderato, otteniamo:

Per selezionare una medita aritmetica ponderata, c'è una regola specifica: se ci sono un numero di dati su due indicatori, per uno dei quali è necessario calcolare

il valore medio e i valori numerici del denominatore della sua formula logica sono noti e i valori del numeratore sono sconosciuti, ma possono essere trovati come un prodotto di questi indicatori, il valore medio dovrebbe essere calcolato dall'aritmetico centrale formula.

In alcuni casi, la natura dei dati statistici originali è tale che il calcolo dell'aritmetica media perde il suo significato e solo un singolo tipo di dimensione media può fungere da solo indicatore di generalizzazione - armonia centrale.Attualmente, le proprietà computazionali dell'aritmetica media hanno perso la loro rilevanza nel calcolo degli indicatori statistici generalizzanti a causa dell'introduzione diffusa dei computer elettronici. Grande importanza pratica ha acquisito il valore medio armonico, che è anche semplice e sospeso. Se i valori numerici del numero di formula logico sono noti e i valori del denominatore sono sconosciuti, ma possono essere trovati come divisione privata di un indicatore dall'altro, il valore medio è calcolato dalla formula del ponderato medio armonico.

Ad esempio, lascia che la macchina abbia superato i primi 210 km ad una velocità di 70 km / h e il restante 150 km ad una velocità di 75 km / h. Determina la velocità media del veicolo durante l'intero percorso di 360 km utilizzando la formula aritmetica centrale, è impossibile. Quindi le opzioni sono velocità in aree separate xJ.\u003d 70 km / h e X2.\u003d 75 km / h, e la pesatura (fi) sono considerati i segmenti corrispondenti del percorso, il lavoro dei pesi non avrà un significato fisico né economico. In questo caso, il significato è acquisito da sezioni private dei segmenti del percorso alle corrispondenti velocità (opzioni XI), cioè il costo del tempo per il passaggio delle singole sezioni del percorso (fi / xi). Se i segmenti del percorso designavano attraverso fi, allora tutto per esprimere come? Fi, e il tempo trascorso per l'intero percorso - come? fi. / xi. , Quindi la velocità media può essere trovata come privata dal dividere l'intero percorso per i costi del tempo totale:

Nel nostro esempio, otteniamo:

Se si utilizza il peso armonico medio di tutte le varianti (f) sono uguali, quindi invece di una ponderata può essere utilizzata semplice (incredibile) armonica media:

dove xi sono opzioni separate; n. - il numero di condizioni della funzione media. Nell'esempio, con una velocità, una semplice armonica elevata potrebbe essere applicata se fosse uguale ai segmenti del percorso attraversato a velocità diverse.

Qualsiasi media deve essere calcolata in modo che al momento della sostituzione di ciascuna versione della funzione media, l'entità di un determinato indicatore finale di generalizzazione, associato all'indicatore della media non è cambiato. Quindi, quando si sostituisce le velocità effettive su segmenti separati dei percorsi della loro dimensione media (velocità media), la distanza totale non deve essere modificata.

La formula (Formula) del valore medio è determinata dalla natura (meccanismo) della relazione di questo indicatore finale con la media, quindi l'indicatore finale, il cui valore non deve essere modificato quando viene chiamata le opzioni per il loro valore medio determinare l'indicatore.Per l'uscita della formula, la media deve essere compilata e risolta dall'equazione utilizzando la relazione dell'indicatore Media con il decisivo. Questa equazione è costruita sostituendo le varianti della funzione media (indicatore) del loro valore medio.

Oltre alla mezza aritmetica e media armonica nelle statistiche, vengono utilizzati altri tipi di (moduli) del valore medio. Sono tutti casi speciali media potenza.Se si calcola tutti i tipi di medie di alimentazione per gli stessi dati, quindi i valori

saranno gli stessi, ecco la regola majo-melenessmedio. Con un aumento della media media, aumenta il valore medio stesso. Le formule più frequentemente utilizzate per il calcolo di vari tipi di medie di potenza sono presentate nella tabella. 5.2.

Tabella 5.2.

Tipi di supporto elettrico

Si applica la geometrica media quando c'è n.coefficienti di crescita, mentre i singoli valori della funzione sono, di regola, i valori relativi degli altoparlanti costruiti sotto forma di valori della catena come relazione con il livello precedente di ciascun livello in un numero di altoparlanti . La media caratterizza, quindi, il coefficiente di crescita medio. Semplice geometrico mediocalcolato dalla formula

Formula medio geometrico sospesoha il seguente modulo:

Le formule sopra riportate sono identiche, ma una è utilizzata a coefficienti correnti o tassi di crescita e il secondo - con valori assoluti dei livelli di riga.

Medio quadraticoviene utilizzato nel calcolo con i valori delle funzioni quadrate, viene utilizzato per misurare il grado della quantità di singoli valori della funzione attorno alla media aritmetica nei ranghi della distribuzione ed è calcolato dalla formula

Medio quadratico ponderatocalcolato per un'altra formula:

Cubico medioviene utilizzato nel calcolo con i valori delle funzioni cubiche ed è calcolato dalla formula

medio cubico ponderato:

Tutte le medie di cui sopra possono essere rappresentate come formula generale:

dov'è il valore medio; - Valore individuale; n. - il numero di unità del totale aggregato; k. - Indicatore che determina il tipo di supporto.

Quando si utilizzano gli stessi dati di origine rispetto a più k.nella formula generale, il mezzo di alimentazione, maggiore è il valore medio. Ne consegue che tra i valori delle medie di potenza c'è un rapporto regolare:

I valori medi sopra descritti forniscono una rappresentazione generalizzata del comune aggregato e da questo punto di vista il loro significato teorico, applicato e cognitivo è indubbiamente. Ma succede che il valore della media non coincida con una delle opzioni effettivamente esistenti, quindi oltre ai significati considerati in un'analisi statistica, è consigliabile utilizzare i valori di opzioni specifiche che occupano in un ordine ordinato (classificato) segno dei segni di una posizione molto specifica. Tra tali valori sono più comunemente usati strutturaleo descrittivo, nella media - Moda (mo) e mediana (io).

Moda - Il valore del segno che si trova più spesso in questa totalità. Per quanto riguarda la serie variazionale della moda è il valore più comune della fila classificata, cioè l'opzione con la frequenza più alta. La moda può essere utilizzata per determinare negozi che sono più spesso visitati dal prezzo più comune per qualsiasi prodotto. Mostra la dimensione di un segno, che è caratteristica di una parte significativa della totalità, è determinata dalla formula

dove x0 è il limite inferiore dell'intervallo; h. - la grandezza dell'intervallo; fM. - la frequenza dell'intervallo; fm_1 - Frequenza dell'intervallo precedente; fM +.1 - La frequenza del prossimo intervallo.

Medianochiamato l'opzione situata nel centro della fila classificata. La mediana divide un numero in due parti uguali in modo tale che da entrambi i lati sia lo stesso numero di unità di aggregato. Allo stesso tempo, a metà delle unità del complesso, il valore del segno variabile è inferiore alla mediana, l'altro è di più. La mediana viene utilizzata nello studio dell'elemento il cui valore è maggiore o uguale o allo stesso tempo inferiore o uguale a metà degli elementi di una gamma di distribuzione. Mediana dà un'idea generale di dove sono focalizzati i valori del segno, in altre parole in cui si trova il loro centro.

La natura descrittiva della mediana si manifesta nel fatto che caratterizza il confine quantitativo dei valori della caratteristica caratteristica, che ha la metà delle unità dell'aggregato. Il compito di trovare mediani per un intervallo di variazione discreto è semplicemente risolto. Se tutte le unità di un numero di numeri ordinali, il numero di sequenza della variante mediana è definito come (P +1) / 2 con un numero dispari di membri p. Se il numero di membri di riga è anche il numero, allora la mediana sarà Il valore medio di due opzioni che hanno numeri di sequenza n./ 2 I. n./ 2 + 1.

Quando si determina la mediana nelle righe di variazione dell'intervallo, l'intervallo in cui è (l'intervallo mediano) è determinato. Questo intervallo è caratterizzato dal fatto che la sua quantità accumulata di frequenze è uguale o supera l'emishamm di tutte le frequenze della riga. Il calcolo delle mediane del numero di variazione dell'intervallo è fatto dalla formula

dove X0. - il limite inferiore dell'intervallo; h. - la grandezza dell'intervallo; fM. - la frequenza dell'intervallo; f.- il numero di membri della serie;

M. -1 - la somma dei membri accumulati della serie che precedono questo.

Insieme alla mediana per una caratteristica più completa della struttura del set totale, vengono utilizzati altri valori delle opzioni che occupano nella fila classificata di una posizione completamente definita. Questi includono quartierie decil.I trimestri condividono un numero di frequenze in 4 parti uguali e decil - su 10 parti uguali. Tre trimestri sono tre e decile - nove.

La mediana e la moda, in contrasto con l'aritmetica media, non ripagare le differenze individuali nei valori della funzione variabile e quindi sono caratteristiche aggiuntive e molto importanti dell'aggregato statistico. In pratica, vengono spesso usati invece della media o insieme ad essa. È particolarmente consigliabile calcolare la mediana e la moda nei casi in cui il set totale contiene un certo numero di unità con un valore molto grande o molto piccolo del segno di variazione. Questi, non molto caratteristici del valore impostato delle opzioni, che influenzano il valore della media aritmetica, non influenzare i valori mediani e di moda, il che rende l'ultimo molto prezioso per l'analisi economica e statistica.

Nella fase di lavorazione statistica, è possibile consegnare un'ampia varietà di attività di ricerca, per risolvere quale è necessario scegliere la media appropriata. Allo stesso tempo, è necessario essere guidati dalla seguente regola: i valori che sono il numeratore e il denominatore medio devono essere logicamente interconnessi.

• supporto elettrico;
• medie strutturali.

Introduciamo le seguenti convenzioni:

I valori per i quali è calcolata la media;

La media, dove il tratto dall'alto indica che vi è una media di valori individuali;

Frequenza (ripetibilità dei valori dei singoli caratteri).

Vari medium sono derivati \u200b\u200bdalla formula generale della media potenza:

(5.1)

a k \u003d 1 - l'aritmetica media; k \u003d -1 - media armonica; k \u003d 0 - media geometrica; k \u003d -2 - medio quadratico.

I valori medi sono semplici e ponderati.

Medie ponderate Chiamato i valori che tengono conto del fatto che alcune opzioni per i segni potrebbero avere numeri diversi, quindi ogni opzione deve moltiplicare questo numero. In altre parole, i "pesi" sono il numero di unità di aggregato in diversi gruppi, cioè. Ogni opzione è "pesata" alla sua frequenza. La frequenza f è chiamata peso statistico o peso medio.

È noto che le transazioni sono state effettuate entro 5 giorni (5 transazioni), il numero di azioni vendute al tasso di vendita è stato distribuito come segue:

1 - 800 AK. - 1010 strofinatura.

2 - 650 AK. - 990 rubli.

3 - 700 AK. - 1015 strofina.

4 - 550 AK. - 900 rubli.

5 - 850 AK. - 1150 rubli.

La relazione iniziale per la determinazione del tasso medio del valore delle Azioni è il rapporto tra l'importo totale delle transazioni (OSS) al numero di azioni vendute (KPA):

OSSS \u003d 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 \u003d 3 634 500;

KPA \u003d 800 + 650 + 700 + 550 + 850 \u003d 3550.

In questo caso, il tasso medio del valore delle scorte era uguale a:

È necessario conoscere le proprietà della media aritmetica, che è molto importante sia per il suo uso che quando calcolarlo. Si possono distinguere tre proprietà principali, che più comunemente hanno portato all'ampio uso delle medie aritmetiche nei calcoli statistici ed economici.

Primo piano (zero): La somma di deviazioni positive dei singoli valori della caratteristica dal suo valore medio è pari alla somma delle deviazioni negative. Questa è una proprietà molto importante, poiché mostra che eventuali deviazioni (sia C + che C -) causate da cause casuali saranno reciprocamente rimborsate.

Prova:

Seconda proprietà (minimo): La somma dei quadrati delle deviazioni dei singoli valori della caratteristica dalla media aritmetica inferiore a qualsiasi altro numero (A), cioè. C'è un numero minimo.

Prova.

Faremo la somma dei quadrati delle deviazioni dalla variabile A:

(5.4)

Per trovare un estremo di questa funzione, è necessario equipararlo ad esso:

Da qui otteniamo:

(5.5)

Di conseguenza, le somme estremose dei quadrati di deviazioni sono raggiunti a. Questo estremo è minimo, poiché la funzione non può avere un massimo.

La proprietà è il terzo: Il valore costante aritmetico medio è uguale a questa costante: quando A \u003d Const.

Oltre a questi tre, le proprietà più importanti dell'aritmetica media esistono il cosiddetto proprietà stimateche gradualmente perdono il loro significato dovuto all'uso di computer elettronici:

• se il valore individuale della funzione di ciascuna unità viene moltiplicato o diviso in un numero costante, l'aritmetico medio aumenta o diminuisce allo stesso tempo;
• l'aritmetica media non cambierà se il peso (frequenza) di ciascun valore di carattere è diviso in un numero costante;
• se i singoli valori della funzione di ciascuna unità sono ridotti o aumentati dello stesso valore, allora l'aritmetica media diminuirà o aumenta lo stesso valore.

Medio armonico.. Questo mezzo è chiamato l'aritmetico medio inversa, poiché questo valore viene utilizzato a K \u003d -1.

Semplice medio armonico. Viene utilizzato quando i pesi dei valori dei segni sono gli stessi. La sua formula può essere derivata dalla formula di base, sostituire K \u003d -1:

Ad esempio, dobbiamo calcolare la velocità media delle due auto che sono passate allo stesso modo, ma a velocità diverse: la prima - a una velocità di 100 km / h, il secondo è 90 km / h.

Applicazione del metodo medio armonico, calcoliamo la velocità media:

Nella pratica statistica, una formula ponderata armonica è più spesso utilizzata:

Questa formula viene utilizzata nei casi in cui i pesi (o volumi di fenomeni) non sono uguali per ciascun segno. Nel rapporto originale per il calcolo del numeratore noto medio, ma il denominatore è sconosciuto.

Ad esempio, quando si calcola il prezzo medio, dobbiamo utilizzare il rapporto tra la quantità di realizzazione al numero di unità implementate. Non conosciamo il numero di unità realizzate (stiamo parlando di prodotti diversi), ma è nota la somma dell'attuazione di questi beni diversi.

Supponiamo che sia necessario conoscere il prezzo medio dei prodotti implementati:

Ricevere

Se qui è una formula per medio aritmetica, allora puoi ottenere un prezzo medio che sarà irreale:

Medio geometrico. Molto spesso, la geometrica media rileva il suo uso nel determinare i tassi di crescita medi (coefficienti medi di crescita), quando i singoli valori della funzione sono presentati come valori relativi. Viene anche utilizzato se è necessario trovare la media tra i valori minimi e massimi della funzione (ad esempio, tra 100 e 100.000.000). Ci sono formule per un mezzo e sospeso medio geometrico.

Per semplici medium geometrici:

Per sospeso medio geometrico:

Valore quadratico medio.. La portata principale della sua applicazione è misurare la variazione della funzione nell'aggregato (calcolo della deviazione quadratica media).

Semplice formula quadratica media:

Formula quadratica media ponderata:

(5.11)

Di conseguenza, possiamo dire che la soluzione di successo dei compiti di uno studio statistico dipende dalla giusta scelta del tipo di valore medio in ciascun caso.

La scelta della media assume una tale sequenza:

a) l'istituzione di un riassunto dell'aggregato;

b) la definizione di questo indicatore di sintesi del rapporto matematico dei valori;

c) sostituendo i valori individuali per valori medi;

d) il calcolo della media con l'aiuto dell'equazione corrispondente.

Iniziare a ragionare sui valori medi, più spesso ricorda come finire la scuola e sono andato a un'istituzione educativa. Quindi il punteggio medio è stato calcolato sul certificato: tutte le stime (e il bene, e non molto) sono state piegate, l'importo risultante è stato diviso per il loro numero. Questo è il tipo di supporto più semplice, che è chiamato la media aritmetica semplice. In pratica, vari tipi di dimensioni medie sono utilizzate in statistiche: mezzi aritmetici, armonici, geometrici, quadratici, strutturali. Questo o che la loro specie viene utilizzata a seconda della natura dei dati e degli obiettivi dello studio.

valore medio È l'indicatore statistico più comune, con l'aiuto di cui le caratteristiche generalizzanti del set di fenomeni di un tipo viene somministrata in base a uno dei segni di variazione. Mostra il livello della caratteristica per unità di aggregato. Con l'aiuto dei media, viene confrontato un confronto tra vari gruppi di funzioni variabili, vengono studiati i modelli di sviluppo dei fenomeni e dei processi di vita pubblica.

Nelle statistiche, vengono utilizzate due classi di media: potenza (analitica) e strutturale. Quest'ultimo è usato per caratterizzare la struttura della serie di variazioni e sarà discusso in seguito in CH. otto.

Il gruppo di medie di potenza si riferisce alla media aritmetica, armonica, geometrica, quadratica. Le formule individuali per il loro calcolo possono essere portate in mente, comune a tutte le medie di potere, cioè

dove m è l'indicatore della media potenza: a M \u003d 1 otteniamo una formula per calcolare la mezza aritmetica, a M \u003d 0 - media geometrica, m \u003d -1 - l'armonica media, a M \u003d 2 - medio quadratico;

x I - opzioni (valori adottati);

f I - Frequenze.

La condizione principale in cui è possibile utilizzare la potente media in analisi statistica è l'uniformità del set, che non dovrebbe contenere i dati di origine, differire bruscamente nel loro valore quantitativo (sono chiamati un'osservazione anomala in letteratura).

Dimostreremo l'importanza di questa condizione nell'esempio seguente.

Esempio 6.1. Calcola il salario medio dei dipendenti di una piccola impresa.

Per calcolare la dimensione media dei salari, è necessario riassumere retribuzioni maturate a tutti i dipendenti dell'impresa (I.e., trovare il Fondo salariato) e diviso per il numero di dipendenti:

E ora aggiungerò solo una persona alla nostra totalità (direttore di questa impresa), ma con uno stipendio di 50.000 rubli. In questo caso, la media calcolata sarà completamente diversa:

Come puoi vedere, supera i 7000 rubli., Ecc. È più di tutti i segni del segno tranne che per un'obso osservazione.

Affinché tali casi, non si verificherebbe in pratica, e la media non avrebbe perso il suo significato (nell'esempio 6.1, non soddisfa più il ruolo delle caratteristiche generalizzanti dell'aggregato, che dovrebbe essere), quando si calcola la media, Osservazioni anormali, bruscamente distinte o escluse dall'analisi e dal tema il più associato ad omogeneo, o infrangere l'aggregato per gruppi omogenei e calcolare i valori medi per ciascun gruppo e analizzare non la media totale, ma medie di gruppo.

6.1. Aritmetica media e le sue proprietà

L'aritmetica media viene calcolata come semplice o come valore ponderato.

Quando si calcola il salario medio in base alla tabella di esempio 6.1, abbiamo piegato tutti i valori dei segni e li ha suddivisi. Il corso dei nostri calcoli scriverà sotto forma di una formula del medio aritmetico semplice

dove x I sono le opzioni (singoli valori della funzione);

p è il numero di unità nell'aggregato.

Esempio 6.2. Ora raggruppa i nostri dati dalla tabella di esempio 6.1, ecc. Costruiremo una variazione variazionale discreta di distribuzione del salario che opera in termini di livello. I risultati del raggruppamento sono presentati nella tabella.

Scriviamo l'espressione per calcolare il livello salariale medio in una forma più compatta:

Nell'esempio 6.2, è stata applicata una formula media aritmetica areitmetica

dove f I - frequenze che mostrano quante volte viene incontrata la caratterizzazione della X I Y delle unità dell aggregato.

Il calcolo della medio aritmetico ponderato è comodamente effettuato nella tabella, come mostrato di seguito (Tabella 6.3):

Va notato che l'aritmetica media viene utilizzata nei casi in cui i dati non sono raggruppati o raggruppati, ma tutte le frequenze sono uguali l'una all'altra.

Spesso, i risultati dell'osservazione sono rappresentati sotto forma di una gamma di intervallo di distribuzione (vedere la tabella nell'esempio 6.4). Quindi, quando si calcola la media come X prendo il mezzo degli intervalli. Se i primi e gli ultimi intervalli sono aperti (non hanno uno dei limiti), sono condizionatamente "chiusi", prendendo i valori di questo intervallo la grandezza dell'intervallo adiacente, ecc. Il primo è chiuso sulla base del secondo valore, e l'ultimo è il più grande del penultimo.

Esempio 6.3. Secondo i risultati di un esame selettivo di uno dei gruppi della popolazione, calcoliamo la dimensione del reddito medio di denaro pro capite.

La tabella specificata del centro del primo intervallo è 500. Infatti, il valore del secondo intervallo è 1000 (2000-1000); Quindi il limite inferiore del primo è 0 (1000-1000) e la sua metà-500. Allo stesso modo, facciamo con l'ultimo intervallo. Per il suo mezzo, prendiamo 25.000: la grandezza del penultimo intervallo di 10 000 (20.000-10.000), quindi il suo limite superiore - 30.000 (20.000 + 10.000), e il centro, rispettivamente, è 25.000.

Quindi il reddito medio mensile permanente sarà