Triangolo uguale e sue feste. Triangolo isoscele
A questa lezione, sarà considerato il tema "Triangolo uguale e le sue proprietà". Imparerai ciò che sembra e triangoli equilaterali e equilaterali. Dimostra il teorema sull'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo equifiaglia. Considera anche il teorema sul bisettore (mediano e altezza) condotto alla fondazione di un triangolo inaccessibile. Alla fine della lezione, analizzerai due compiti usando la definizione e le proprietà di un ugualmente triangolo.
Definizione:Equamente Si chiama un triangolo, in cui sono uguali due lati.
Fico. 1. Triangolo uguale
Ab \u003d lati laterali AC. Il sole è la base.
L'area di un triangolo equilibrato è pari a metà del prodotto della sua base all'altezza.
Definizione:Equilatero Si chiama un triangolo, in cui tutti e tre i lati sono uguali.
Fico. 2. Triangolo attrezzatico.
Ab \u003d sun \u003d sa.
Teorema 1: In un triangolo equilibrio, gli angoli alla base sono uguali.
Dato: AU \u003d AU.
Dimostrare ∠v \u003d ∠С.
Fico. 3. Disegno al teorema
Prova: ABC Triangle \u003d DR Triangolo sul primo segno (su due parti uguali e l'angolo tra di loro). Dall'uguaglianza dei triangoli, segue la parità di tutti gli elementi pertinenti. Quindi, ∠v \u003d ∠c, che è stato richiesto di dimostrare.
Teorema 2: In un triangolo ugualmente scambiato bisettricecondotto a terra è mediano e altezza.
Dato: AU \u003d AC, ∠1 \u003d ∠2.
Dimostrare CD \u003d DC, annuncio perpendicolare a BC.
Fico. 4. Disegno al teorema 2
Prova: ADB Triangle \u003d Triangolo ADC sulla prima base (AD - Totale, AV \u003d AC per condizione, ∠bad \u003d ∠dac). Dall'uguaglianza dei triangoli, segue la parità di tutti gli elementi pertinenti. BD \u003d DC, mentre giacciono contro gli angoli uguali. Quindi, l'annuncio è mediano. Anche ∠3 \u003d ∠4, poiché giacciono contro i partiti uguali. Ma, inoltre, sono uguali nella quantità. Di conseguenza, ∠3 \u003d ∠4 \u003d. Quindi, l'annuncio è l'altezza del triangolo, che è stato richiesto di dimostrare.
Nell'unico caso A \u003d B \u003d. In questo caso, diretti AC e CD sono chiamati perpendicolari.
Poiché Bisector, Altezza e mediana è lo stesso segmento, le seguenti affermazioni sono entrambi:
L'altezza di un triangolo inaccessibile, condotto alla base, è mediana e bisettrice.
La mediana è un triangolo preceduto, condotto alla base, è altezza e bisettore.
Esempio 1: In un triangolo equilibrato, la base è due volte meno del lato, e il perimetro è di 50 cm. Trova i lati del triangolo.
Dato: AU \u003d AC, SUN \u003d AC. P \u003d 50 cm.
Trovare: Sole, come, Av.
Decisione:
Fico. 5. Disegno ad esempio 1
Dennare la base dell'aeromobile come a, quindi AV \u003d AC \u003d 2A.
2A + 2A + A \u003d 50.
5a \u003d 50, A \u003d 10.
Risposta: Sun \u003d 10 cm, AC \u003d AB \u003d 20 cm.
Esempio 2: Dimostra che nel triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali.
Dato: Ab \u003d sun \u003d sa.
Dimostrare ∠a \u003d ∠b \u003d ∠С.
Prova:
Fico. 6. Disegno ad esempio
∠B \u003d ∠C, poiché AV \u003d AC e ∠a \u003d ∠, dal momento che l'altoparlante \u003d sole.
Di conseguenza, ∠a \u003d ∠v \u003d ∠C, che è stato richiesto di dimostrare.
Risposta: Dimostrato.
Nella lezione di oggi, abbiamo guardato un triangolo equifiaglia, ha studiato le sue proprietà di base. Nella prossima lezione, tagliamo le sfide sul tema di un triangolo inaccessibile, per calcolare l'area di un triangolo inaccessibile ed equilatero.
- Alexandrov A.D., Werner A.l., Ryzhik V.I. E altri. Geometria 7. - m.: illuminazione.
- Atanasyan L.s., butuzov v.f., kadomtsev s.b. et al. Geometria 7. 5 ° ED. - m.: Illuminazione.
- Butuzov v.f., kadomtsev s.b., prasolova v.v. Geometria 7 / V.F. Butuzov, s.b. Kadomtsev, v.v. Prasolova, ed. Sadovnichny v.a. - m.: Illuminazione, 2010.
- Dizionari e enciclopedie all'Accademico ().
- Festival dell'idea pedagogica "Lezione aperta" ().
- Kaknauchit.ru ().
1. No. 29. Butuzov v.f., Kadomtsev S.B., Prasolova v.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, s.b. Kadomtsev, v.v. Prasolova, ed. Sadovnichny v.a. - m.: Illuminazione, 2010.
2. Il perimetro di un triangolo di equilibrio è di 35 cm e la base è tre volte meno lati laterale. Trova i lati del triangolo.
3. Dalally: Av \u003d Sun. Dimostrare che ∠1 \u003d ∠2.
4. Il perimetro di un triangolo equilibrato è di 20 cm, uno dei suoi lati è il doppio dell'altro. Trova i lati del triangolo. Quante soluzioni hanno un compito?
Triangolo isoscele - Questo è un triangolo, in cui due lati sono uguali all'altra di lunghezza. I partiti uguali sono chiamati parte, e quest'ultima è la base. Per definizione, il triangolo corretto è anche un ugualmente dispiaciuto, ma la dichiarazione opposta è errata.
Proprietà
- Gli angoli, opposti ai lati uguali di un triangolo equilibrio, sono uguali l'uno all'altro. Anche uguale a bisettrice, mediani e altezze condotte da questi angoli.
- Bisectrix, mediana, altezza e un mezzo perpendicolare, condotto alla base, coincidendo tra loro. I centri incisi e i cerchi descritti si trovano su questa linea.
- Gli angoli, opposti a parti uguali, sono sempre affilati (segue dalla loro uguaglianza).
Lascia che sia. uN. - la lunghezza di due lati uguali di un triangolo equifiaglia, b. - La lunghezza della terza parte, α e β - Angoli appropriati, R. - Raggio del cerchio descritto, r. - Il raggio inscritto.
Le parti possono essere trovate come segue:
Gli angoli possono essere espressi nei seguenti modi:
Il perimetro di un triangolo di equilibrio può essere calcolato da uno dei seguenti modi:
L'area del triangolo può essere calcolata in uno dei seguenti modi:
(Formula di Geron).Firmatario
- Due angolo del triangolo sono uguali.
- L'altezza coincide con la mediana.
- L'altezza coincide con il bisettore.
- Bissectrix coincide con la mediana.
- Sono uguali due altezze.
- Due mediani sono uguali.
- Due bisettori sono uguali (teorema Steiner - Lemus).
Guarda anche
Fondazione Wikimedia. 2010.
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triangolo - Triangle1, e, m che o da Oda. L'oggetto con una forma di forma geometrica, limitata da tre intersezione dritta, formando tre angoli interni. Ha spostato le lettere di suo marito i triangoli davanti ingialliti. Triangle2, A, M ... ... Dizionario esplicativo di nomi russi
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Dizionario enciclopedico
triangolo - ma; m. 1) a) una forma geometrica, limitata da tre intersecanti dritte, formando tre angoli interni. Thug rettangolare, equilibrato / lino. Calcolare l'area del triangolo. b) Ott. Cosa o da Oda. Figura o soggetto di tale forma. ... ... Dizionario di molte espressioni
MA; m. 1. Forma geometrica, limitata da tre intersezione dritta, formando tre angoli interni. Rettangolare, equitoso t. Calcolare l'area del triangolo. // Cosa o da ODA. Figura o soggetto di tale forma. T. Tetto. T. ... ... Dizionario enciclopedico
I primi storici della nostra civiltà sono gli antichi greci - si riferiscono all'Egitto come luogo dell'origine della geometria. È difficile non essere d'accordo con loro, sapendo, con quale incredibile accuratezza è la gigantesca tomba dei faraoni. Il layout reciproco degli aerei delle piramidi, le loro proporzioni, l'orientamento sui lati del mondo - per raggiungere tale perfezione sarebbe impensabile, non conoscendo le basi della geometria.
La parola "geometria" stessa può essere tradotta come "misurazione della terra". E la parola "terra" agisce non come un pianeta - parte del sistema solare, ma come aereo. Il markup dell'area sotto il mantenimento dell'agricoltura è probabile che sia la base più iniziale della scienza su figure geometriche, i loro tipi e proprietà.
Il triangolo è la più semplice figura spaziale di Planimetria, contenente solo tre punti - vertici (non meno). La base della fondazione può essere perché è appesa qualcosa di misterioso e antico. L'OCO OCO all'interno del triangolo è uno dei primi dei famosi segnali occulti, e la geografia della sua distribuzione e del tempo è semplicemente fantastica immaginazione. Dall'antico egizio, sumeriano, azteco e altre civiltà a comunità più moderne di amatori di occultismo sparse in tutto il mondo.
Quali sono i triangoli
Un normale triangolo versatile è una figura geometrica chiusa, costituita da tre segmenti di diverse lunghezze e tre angoli, nessuna delle quali non è diretta. Oltre a lui, ci sono diverse specie speciali.
Il triangolo ha acutamente tutti gli angoli di meno di 90 gradi. In altre parole, tutti gli angoli di un tale triangolo sono nitidi.
Il triangolo rettangolare su cui piangevano gli scolari a causa dell'abbondanza del teorema, ha un angolo con un valore di 90 gradi o, come viene anche chiamato diretto.
Lo stupido triangolo è caratterizzato dal fatto che uno dei suoi angoli è stupido, cioè, il suo valore è più di 90 gradi.
Il triangolo equilatero ha tre lati della stessa lunghezza. Una tale figura è anche uguale a tutti gli angoli.
Infine, a un triangolo equifiaglia di tre lati, due sono tra loro.
Caratteristiche distintive
Le proprietà di un triangolo equifiaglia determinano il suo principale, soprattutto, la differenza è l'uguaglianza di entrambi i lati. Queste parti sono considerate chiamate i fianchi (o, più spesso, i lati laterali), ma la terza parte è chiamata "base".
Sulla figura considerata A \u003d b.
Il secondo segno di un triangolo equifiaglia segue dal teorema sinusale. Poiché i lati di A e B sono uguali ai sines dei loro angoli opposti:
a / Sin γ \u003d B / Sin α, da dove abbiamo: Sin γ \u003d Sin α.
Dall'eguaglianza dei seni, è seguito l'uguaglianza degli angoli: γ \u003d α.
Quindi, il secondo segno di un triangolo di equilibrio è l'uguaglianza di due angoli adiacenti alla base.
Terzo segno. Il triangolo distingue così elementi come altezza, bisettore e mediana.
Se nel processo di risolvere il problema si scopre che nel triangolo in esame, due di questi elementi coincidono: altezza con bisettore; Bissectrix con mediana; Mediana con un'altezza - in modo non ambiguo possiamo concludere che il triangolo è decorato.
Proprietà geometriche della figura
1. Proprietà di un triangolo ISCED. Una delle caratteristiche distintive della figura è l'uguaglianza di angoli adiacenti alla base:
<ВАС = <ВСА.
2. Un'altra proprietà è discussa sopra: la mediana, il bisettore e l'altezza in un triangolo equilibrio coincidono se sono costruiti dai suoi vertici alla base.
3. L'uguaglianza di Bissectris condotta da vertici alla base:
Se AE è il bisettore dell'angolo di te, e il CD è Bisectrice dell'angolo BCA, quindi: AE \u003d DC.
4. Le proprietà di un triangolo equifiaglia forniscono anche l'uguaglianza di altezze che vengono eseguite dai vertici alla base.
Se si costruisce l'altezza del triangolo ABS (dove Av \u003d Sun) dai vertici A e C, quindi i segmenti CD ottenuti e AE saranno uguali.
5. Anche le medie spese dagli angoli alla base saranno uguali.
Quindi, se AE e DC sono mediani, cioè, AD \u003d DB, ed essere \u003d CE, quindi AE \u003d DC.
L'altezza di un triangolo inaccessibile
L'uguaglianza dei lati laterali e gli angoli con loro introduce alcune caratteristiche nel calcolare le lunghezze degli elementi del figura in esame.
L'altezza in un triangolo equilibrio divide la figura su 2 triangoli rettangolari simmetrici, con ipotene in cui sono i lati laterali. L'altezza in questo caso è determinata secondo il teorema di Pitagora come Catat.
Il triangolo può essere uguale a tutti e tre i lati, allora verrà chiamato equilatero. L'altezza nel triangolo equilatero è determinata allo stesso modo, solo per i calcoli è sufficiente sapere solo un valore - la lunghezza del lato di questo triangolo.
Puoi determinare l'altezza e altro modo, ad esempio, conoscendo la base e l'angolo adiacente ad esso.
La mediana è un triangolo preceduto
Il tipo di triangolo è considerato, a causa delle caratteristiche geometriche, è risolta semplicemente nel set minimo dei dati di origine. Poiché la mediana in un triangolo equilibrio è pari alla sua altezza, e il suo bisettore, l'algoritmo della sua definizione non differisce dall'ordine di calcolo di questi elementi.
Ad esempio, è possibile determinare la lunghezza della mediana nel lato ben noto e la grandezza dell'angolo in alto.
Come determinare perimetro
Dal momento che la figura planimetrica in questione, le due parti sono sempre uguali, quindi è sufficiente sapere la lunghezza della base e la lunghezza di una delle parti per determinare il perimetro.
Considera un esempio quando è necessario determinare il perimetro del triangolo sulla ben nota base e altezza.
Il perimetro è uguale alla somma della base e al doppio della lunghezza del lato. Il lato laterale, a sua volta, è determinato usando il teorema del pithagora come hypotenus rettangolare. La sua lunghezza è uguale alla piazza radice della somma della piazza dell'altezza e del quadrato della metà della base.
Quadrato di un triangolo ugualmente incatenato
Non causa, come regola, difficoltà e calcolo di un'area triangolare allo stesso modo. La regola universale di determinare l'area del triangolo della metà del prodotto della base sulla sua altezza è applicabile, ovviamente, nel nostro caso. Tuttavia, le proprietà di un triangolo equilibrio facilitano nuovamente il compito.
Supponiamo che l'altezza e l'angolo adiacenti alla base siano conosciuti. È necessario determinare l'area della figura. Puoi farlo in questo modo.
Poiché la somma degli angoli di qualsiasi triangolo è di 180 °, quindi non è difficile determinare l'angolo. Successivamente, utilizzando la proporzione compilata in base al teorema sinusale, viene determinata la lunghezza della base del triangolo. Tutto, base e altezza - dati sufficienti per determinare l'area - sono disponibili.
Altre proprietà di un triangolo di equilibrio
La posizione del centro del cerchio descritta intorno a un triangolo equilibrio dipende dalla grandezza dell'angolo del vertice. Quindi, se un triangolo anoscele è acuto, il centro del cerchio si trova all'interno della figura.
Il centro del cerchio, che è descritto intorno a uno stupido triangolo istessed, giace fuori da esso. E, infine, se la grandezza dell'angolo in alto è di 90 °, il centro si trova esattamente nel mezzo della base, e attraverso la base stessa passa il diametro del cerchio.
Per determinare il raggio del cerchio descritto vicino a un triangolo equilibrato, è sufficiente dividere il lato laterale verso il doppio coseno della metà dell'angolo dell'angolo al vertice.
Controllando i compiti
№ 111.
Dato: CD = Bd. , 1 = 2
Dimostrare: A. B. C - wireless.
№ 107.
lato UN. 2 volte meno AV
P \u003d 50 cm,
P \u003d 50 cm
x + 2x + 2x \u003d 50
x \u003d 10.
2 h.
2 h.
AC \u003d 10 cm,
Ab \u003d sole \u003d 20 cm
Quale dei triangoli è ugualmente rivolto? Per i triangoli di equilibrio, nominare la base e i lati.
È dato: AD - Bisettore Δ BAC, BAC \u003d 74 0. Trova: BA D. (Fig.1)
Diched: KL - Altezza Δ Kmn. Trova: KLN. (Fig.2)
Dana: QS - Median Δ PQR, PS \u003d 5.3 cm. Trova: PR. (Fig. 3)
- È dato: Δ ABC è addolorato con la base dell'AU, VK BisectRis, AC \u003d 46cm. Trova: AK. (Fig.4)
- Viene dato: Δ ABC è addolorato con la base dell'AU, VK Altezza, ABC \u003d 46 0. Trova: AVK. (Fig. 5)
- Viene dato: Δ con BD ishived con la base B c, da mediana, vs \u003d 120 0. Trova: adb. (Fig.6)
7 ° grado
Proprietà di un triangolo ugualmente incatenato
Tre modi portano alla conoscenza:
Il percorso di riflettanza è il percorso più nobile
Il percorso di imitazione è il modo più semplice,
E il percorso dell'esperienza è il percorso è il più amaro.
Confucio.
In un triangolo equilibrio, gli angoli alla base sono uguali.
Dano: ABC è un preceduto
Dimostrare
Prova:
1. Effettuiamo BisecTris BD Angle V.
2. Considerare Δ AB D e Δ CBD:
Ab \u003d BC (sotto la condizione),
In D - lato generale,
∠ A BD \u003d ∠ con BD
Δ avd \u003d Δcbd (1 segno di uguaglianza di triangoli)
3. Nei triangoli uguali, gli angoli corrispondenti sono uguali a ∠ A \u003d ∠ S.
In un triangolo equilibrato di bisettrice, condotto alla base, è mediana e altezza.
Dato: ABC è un preceduto,
MA D - bisettrice .
Dimostrare MA D. - altezza,
MA D. - mediana.
Prova:
1) Considerare:
Δ Bad \u003d ΔCAD (1 segno dell'uguaglianza dei triangoli).
2) Nei triangoli uguali, rispettivamente, il rispettivo lato e angoli sono uguali
1 \u003d 2 \u003d 90 ° (angoli adiacenti).
Pertanto, l'annuncio è mediano e altezza Δ ABC.
Risolvere compiti.
Savrasova S.M., Yarstreyskysky G.A. "Esercizi su Planimetria su disegni pronti"
110
70
70
Risolvere compiti.
Diched: Av \u003d in c, 1 \u003d 130 0.
L. S. Atanasyan. Geometria 7-9 n. 112.
Risolvere compiti.
Trova: AB D.
Triangolo
ABC - uguale
In D - mediana
Quindi, in D - Bisector
40 0
40 0
CM. Savrasova, G.A. Yatrevilky "esercizi sui disegni finiti"
Compiti a casa:
- p. 19 (p. 35 - 36), n. 109, 112, 118.