Il concetto di sistemi di manutenzione di massa (SMO).

27.09.2019

introduzione

L'argomento del mio lavoro di laurea è lo studio del sistema di servizio di massa. Nel suo stato originale, me considerato da me è uno dei casi classici e specificamente m / m / 2/5 secondo la Kedella adottata. Dopo lo studio del sistema, sono state fatte conclusioni sulla inefficacia del suo lavoro. Sono stati proposti i metodi per ottimizzare il lavoro della SMO, ma con queste modifiche il sistema cessa di essere classico. Il problema principale nello studio dei sistemi di manutenzione di massa è che in realtà può essere studiato utilizzando la teoria della manutenzione di massa classica solo in rari casi. I flussi di applicazioni in entrata e in uscita potrebbero non essere semplici, quindi, il fondamento delle probabilità limite degli Stati che utilizzano il sistema di equazioni differenziali di Kolmogorov è impossibile, le classi prioritarie possono essere presenti nel sistema, quindi il calcolo degli indicatori principali di Anche la CMO è impossibile.

Per ottimizzare il lavoro della SMO, è stato introdotto un sistema di due classi prioritarie e il numero di canali di servizio è stato migliorato. In questo caso, è consigliabile applicare i metodi di modellazione della simulazione, ad esempio, il metodo del Monte Carlo. L'idea principale del metodo è che invece di una variabile casuale sconosciuta, la sua aspettativa matematica è presa in una serie abbastanza ampia di test. Viene riprodotta una variabile casuale (in questo caso, è l'intensità dei flussi in entrata e in uscita) è inizialmente distribuito uniformemente. Quindi la transizione dalla distribuzione uniforme alla distribuzione accurata, mediante le formule di transizione. È stato scritto un programma in Visualbasico, implementando questo metodo.

1 catene Markov con un numero finito di stati e tempo discreto

Lascia che un sistema s possa essere in uno degli stati della finale (o numerabile) del set di possibili Stati S 1, S 2, ..., SN e la transizione da uno stato all'altro è possibile solo in certi discreti Times T 1, T 2, T 3, chiamato passi.

Se il sistema si muove da uno stato all'altro per caso, dicono che esiste un processo casuale con tempo discreto.

Il processo casuale è chiamato Markov, se la probabilità di transizione da parte di qualsiasi stato I a qualsiasi stato S j non dipende da come e quando il sistema è stato in stato I (cioè, nel sistema s non c'è conseguenza). In questo caso, si dice che il funzionamento del sistema s sia descritto dalla catena discreta di Markov.

Le transizioni del sistema a diversi stati sono convenientemente rappresentati utilizzando un grafico di stato (Fig. 1).

Figura 1 - Esempio del grafico di stato contrassegnato

I vertici del grafico S 1, S 2, S 3 denotano i possibili stati del sistema. La freccia diretta dal Vertex S al vertice s j denota la transizione; Il numero accanto alla freccia indica la grandezza della probabilità di questa transizione. La freccia, chiusura sull'i-Quel vertice del grafico, denota che il sistema rimane in stato I con la probabilità delle frecce.

Il grafico del sistema contenente N vertici può essere messo in base alla matrice NXN, gli elementi dei quali sono le probabilità delle transizioni P IJ tra i vertici del grafico. Ad esempio, un grafico in fig. 1 è descritto da Matrix P:

chiamato le probabilità di transizione matrice. Gli elementi della matrice P IJ soddisfano le condizioni:

Elementi della matrice P IJ - Dare le probabilità delle transizioni nel sistema in un unico passaggio. Transizione

S I - S J per due gradini possono essere considerati come si verificano nel primo passo da s I a alcuni stati intermedi S k e al secondo passo da S k in s I. Pertanto, per gli elementi delle probabilità delle transizioni da parte di I in S J in due passaggi, otteniamo:

In generale, la transizione per m passi per gli elementi della matrice di probabilità di transizione è una formula valida:

(3)

Otteniamo due espressioni equivalenti per:

Lasciare che il sistema s sia descritto dalla matrice di probabilità di transizione r:

Se si designa una matrice per P (M), gli elementi dei quali sono le probabilità PI delle transizioni da s I a s j per m passi, allora la formula è valida

dove è ottenuta la matrice r m moltiplicando la matrice p stessa m m volte.

Lo stato iniziale del sistema è caratterizzato dal vettore di stato del sistema Q System Q (Q I) (anche chiamato un vettore stocastico).

dove q j è la probabilità che lo stato iniziale del sistema sia lo stato S J. Allo stesso modo (1) e (2) relazioni azionari

Dentare entro

il vettore di stato del sistema dopo M gradini, dove q j è la probabilità che dopo M passi il sistema sia in condizioni S. Quindi la formula è vera

Se le probabilità di transizioni P IJ rimangono costanti, quindi tali catene di Markov sono chiamate fermi. In caso contrario, la catena Markov è chiamata nonstativa.

2. Catene Markov con un numero finito di stati e tempi continui

Se il sistema S può passare a un altro stato in modo casuale in un punto arbitrario nel tempo, quindi parlano di un processo casuale con tempo continuo. In assenza di Amersion, tale processo è chiamato una catena continua Markov. In questo caso, le probabilità delle transizioni per qualsiasi I e J in qualsiasi momento sono zero (a causa della continuità del tempo). Per questo motivo, invece della probabilità della transizione, viene introdotto il valore - la densità di probabilità della transizione dallo stato a uno stato definito come limite:

Se i valori non dipendono da T, il processo di Markov è chiamato omogeneo. Se durante il sistema può modificare la sua condizione per nient'altro che una volta, si dice che il processo casuale sia ordinario. Il valore è chiamato l'intensità della transizione del sistema da s I in S J. Nella colonna di sistema, i valori numerici vengono impostati accanto alle frecce che mostrano le transizioni ai vertici del grafico.

Conoscendo le intensità delle transizioni È possibile trovare i valori di P 1 (T), P 2 (T), ..., PN (T) - le probabilità di trovare il sistema s negli Stati S 1, S 2 ,. .., SN, rispettivamente. La condizione è soddisfatta:

La distribuzione della probabilità dello stato del sistema, che può essere caratterizzata dal vettore, è chiamata stazionaria, se non dipende dal tempo, cioè. Tutti i componenti vettoriali sono costanti.

Gli stati I e SJ sono chiamati reporting se sono possibili transizioni.

Lo stato I è chiamato essenziale se qualsiasi S J, raggiungibile da s I, sta comunicando con s I. Lo stato I è chiamato insignificante se non è essenziale.

Se ci sono probabilità limite degli stati del sistema:

indipendentemente dallo stato iniziale del sistema, dicono che la modalità stazionaria è stabilita quando nel sistema.

Il sistema in cui esistono le probabilità dei limiti (finali), chiamata ergodica e il processo casuale di ergodico.

Teorema 1. Se s I è uno stato insignificante, allora io. Il sistema esce da qualsiasi stato insignificante.

Teorema 2. Affinché il sistema con un numero finito di Stati abbiano l'unica distribuzione limite delle probabilità degli Stati, è necessario e sufficiente per tutti i suoi stati essenziali per comunicare.

Se un processo casuale che si verifica in un sistema con stati discreti è una catena di Markov continuo, quindi per probabilità p 1 (t), p 2 (t), ..., PN (T), è possibile effettuare un sistema di equazioni differenziali lineari chiamato equazioni di Kolmogorov. Nella preparazione delle equazioni, è conveniente utilizzare il grafico dello stato del grafico. Sul lato sinistro di ciascuno di loro è il derivato di probabilità di alcuni (j-th) stato. Sul lato destro - la somma dei prodotti delle probabilità di tutti gli Stati, di cui è possibile passare a questo stato, sull'intensità dei rispettivi flussi, meno l'intensità totale di tutti i flussi che visualizzano il sistema da questo ( J-th) Stato moltiplicato per la probabilità di questo (j-th) stato.

3 processi nati e morte

Questo è il nome della larga classe di processi casuali che si verificano nel sistema, il grafico posto degli stati dei quali è rappresentato in FIG. 3.

Figura 2 - Contare stati per i processi di morte e riproduzione

Qui, i valori, ..., - l'intensità delle transizioni del sistema dallo stato allo stato da sinistra a destra, può essere interpretata come intensità della nascita (applicazioni) nel sistema. Allo stesso modo, i quantitativi, ..., - l'intensità delle transizioni del sistema dallo stato allo stato a destra a sinistra, può essere interpretata come intensità della morte (esecuzione di applicazioni) nel sistema.

Poiché tutti gli stati sono segnalati ed essenziali, vi è (in virtù del teorema 2) il limite (finale) distribuzione della probabilità degli Stati. Otteniamo la formula per le probabilità finali degli stati del sistema.

Nelle condizioni stazionarie, per ogni stato, il flusso incluso in questo stato dovrebbe essere uguale a un flusso in uscita da questo stato. Quindi, abbiamo:

Per lo stato S 0:

Quindi:

Per lo stato S 1:

Quindi:

Considerando che :

(4)

, ,…, (5)

4. Concetti di base e classificazione dei sistemi di manutenzione di massa

L'applicazione (o il requisito) è la domanda di soddisfare qualsiasi esigenza (di seguito viene assunta la necessità di essere lo stesso tipo). L'esecuzione dell'applicazione è chiamata il servizio dell'applicazione.

Il sistema di manutenzione di massa (SMO) è chiamato qualsiasi sistema per eseguire applicazioni che lo entra in momenti di tempo casuali.

La ricezione dell'applicazione nella SMO è chiamata un evento. La sequenza di eventi che consiste nel ricevimento delle applicazioni nella SMO è chiamata flusso in arrivo di applicazioni. La sequenza di eventi costituite da soddisfare le applicazioni nella SMO è chiamata il flusso emergente delle applicazioni.

Il flusso di applicazioni è chiamato il più semplice se soddisfa le seguenti condizioni:

1) L'assenza di un follow-up, I.e. Le applicazioni vengono indipendentemente l'una dall'altra;

2) Stazionarità, I.e. La probabilità di ricezione di questo numero di applicazioni in qualsiasi segmento di tempo dipende solo dal valore di questo segmento e non dipende dal valore di T 1, che ci consente di parlare del numero medio di applicazioni per unità di tempo, λ, chiamato l'intensità del flusso di applicazioni;

3) ORGANITÀ, I.E. In qualsiasi momento, solo una domanda è disponibile nella SMO e la ricevuta di due e più applicazioni è trascurabile allo stesso tempo.

Per il flusso più semplice, la probabilità p I (T) di ricevimento nella SMO esattamente I Applicazioni per il tempo T è calcolato dalla formula:

(6)

quelli. Le probabilità sono distribuite sotto la legge di Poisson con il parametro λt. Per questo motivo, il flusso più semplice è anche chiamato Poisson Flow.

La funzione della distribuzione f (t) dell'intervallo di tempo casuale T tra due applicazioni consecutive per definizione è uguale . Ma dove è la probabilità che il prossimo dopo l'ultima applicazione proceda verso la SMO dopo T, I.e. Durante il T T nella SMO non riceverà alcuna applicazione. Ma la probabilità di questo evento è da (6) a I \u003d 0. Quindi:

La densità di probabilità F (T) della variabile casuale T è determinata dalla formula:

L'aspettativa matematica, la dispersione e la deviazione quadratica media del valore casuale T sono uguali, rispettivamente:

Il canale di servizio è chiamato il dispositivo nella SMO, che serve l'applicazione. SMO, contenente un canale di servizio, è chiamato un singolo canale e contenente più di un canale di servizio - Multichannel.

Se l'applicazione che entri nella SMO può ricevere un rifiuto di mantenere (a causa dell'occupazione di tutti i canali di servizio) e in caso di rifiuto è costretto a lasciare la SMO, quindi tale CMO è chiamato il CLO con guasti.

Se nel caso di un rifiuto di mantenere un'applicazione può fare la fila, quindi un clo è chiamato SMO con la coda (o con aspettativa). Allo stesso tempo distinguere con una coda limitata e illimitata. La coda può essere limitata sia dal numero di luoghi che dal tempo di attesa. Ci sono SMOS aperti e chiusi. Nel tipo OPEN SMO, il flusso di applicazioni non dipende dalla SMO. Un cerchio client limitato viene servito nel tipo chiuso, e il numero di applicazioni può dipendere in modo significativo sullo stato della SMO (ad esempio, una brigata di fabbri - regolatori che servono macchine per la fabbrica).

La SMO può anche differire nella disciplina del servizio.

Se non vi è priorità nella SMO, le applicazioni vengono selezionate dalla coda al canale in base a varie regole.

· Il primo arrivato - il primo riparatore (FCFS - per primo è arrivato - primo servito)

· L'ultimo arrivato - il primo è revisionato (LCFS - Ultimo arrivato - primo servito)

· Requisiti di servizio prioritario con la durata del servizio più breve (SPT / SJE)

· Requisiti prioritari per i requisiti con il tempo di inattività più corto (SRPT)

· Requisiti di servizio prioritario con la durata media del servizio più breve (settembre)

· Manutenzione prioritaria dei requisiti con il servizio più breve medio di dobblica (Serpt)

Le priorità sono due tipi - Assoluto e relativo.

Se il requisito durante il processo di servizio può essere rimosso dal canale e restituito alla coda (a tutti i foglie la SMO) Quando viene ricevuto il requisito con una priorità più alta, il sistema funziona con una priorità assoluta. Se il mantenimento di qualsiasi esigenza nel canale non può essere interrotto, la SMO funziona con una priorità relativa. Ci sono anche priorità attuate utilizzando una regola o una serie di regole specifiche. Un esempio è una variabile prioritaria nel tempo.

Il CLO è descritto da alcuni parametri che caratterizzano l'efficienza del sistema.

- numero di canali nella SMO;

- l'intensità dell'ammissione alle applicazioni SMO;

- intensità del servizio di servizio;

- il coefficiente di avvio della SMO;

- il numero di posti in coda;

- la probabilità di rifiutare di mantenere la richiesta ricevuta nella SMO;

- la probabilità di manutenzione delle applicazioni ricevute nella SMO (la capacità relativa della SMO);

In cui:

(8)

A - Numero medio di applicazioni servite nella SMI per unità di tempo (la capacità assoluta della SMO)

- Il numero medio di applicazioni nella SMO

- Il numero medio di canali nella SMO, servizio dipendente. Allo stesso tempo, questo è il numero medio di applicazioni servite nel SMO per unità di tempo. Il valore è definito come un'aspettativa matematica di un numero casuale di persone impiegate da n canali.

, (10)

dove è la probabilità di trovare il sistema nella condizione Q.

- Coefficiente di lavoro del canale

- Applicazione media in attesa del tempo in linea

- Intensità delle applicazioni dalla coda

- Il numero medio di applicazioni in coda. È definito come un'aspettativa matematica di una variabile casuale M - il numero di applicazioni in coda

(11)

Ecco la probabilità di localizzare nelle applicazioni della coda I;

- il tempo medio che resiste all'applicazione con la SMO

- il tempo medio che soggiorna in linea

Per gli smosti aperti, i valori sono validi:

(12)

Queste relazioni sono chiamate piccole formule e si applicano solo per le offerte stazionarie e i flussi di manutenzione.

Considera alcuni tipi specifici di SMO. Si presume che la densità della distribuzione del tempo tra due eventi consecutivi nella SMO abbia una distribuzione indicativa (7), e tutti i flussi sono i più semplici.

5. Tipi principali di sistemi di manutenzione di massa aperti

5.1 Sistema di manutenzione di massa a singolo canale

Il grafico pubblicato dello stato di SMO di un canale è presentato nella figura 3.

Figura 3 - Conteggio del paese del paese singolo

Ecco l'intensità del flusso di applicazioni e rispettivamente l'esecuzione delle applicazioni. Lo stato del sistema S O denota che il canale è gratuito, e S 1 è che il canale è impegnato a servire l'applicazione.

Il sistema di equazioni differenziali Kolmogorov per un simile clo ha la forma:

dove p o (t) e p 1 (t) sono le probabilità di trovare rispettivamente la SMO in stati di SO e S1. Equazioni per le probabilità finali P O e P 1 otteniamo, equiparando a zero derivati \u200b\u200bnelle prime due equazioni del sistema. Di conseguenza, otteniamo:

(14)

(15)

La probabilità P 0 nel suo significato è la probabilità di manutenzione delle applicazioni P OBC, poiché il canale è gratuito e la probabilità di P 1 nel suo significato è la probabilità di rifiuto di mantenere l'applicazione dell'applicazione P OTV, poiché il canale è impegnati a servire la domanda precedente.

5.2 Sistema di manutenzione di massa multicanale

Lasciare che la SMO contenga n canali, l'intensità del flusso di applicazioni in entrata è uguale a, e l'intensità del servizio di applicazione è uguale a ciascun canale. Il grafico posizionato dello stato del sistema è mostrato nella figura 4.

Figura 4 - Conta Stati di SMO multicanale con guasti

Condizione S 0 significa che tutti i canali sono gratuiti, lo stato S k (k \u003d 1, n) significa che i canali K sono occupati da applicazioni di manutenzione. La transizione da uno stato a un'altra destra adiacente si verifica improvvisamente sotto l'influenza del flusso in entrata dell'intensità delle applicazioni indipendentemente dal numero di canali operativi (frecce superiori). Per cambiare il sistema da uno stato alla successiva a sinistra, non importa quale tipo di canale sarà gratuito. Il valore caratterizza l'intensità delle applicazioni di manutenzione quando si lavora nei canali SMO K (frecce inferiori).

Confronto dei grafici in FIG. 3 e in fig. 5 È facile vedere che il Multichannel SMO con fallimenti è un caso privato della nascita e della morte, se in quest'ultimo accetta e

(16)

Allo stesso tempo, per trovare le probabilità finali, è possibile utilizzare formule (4) e (5). Tenendo conto (16) riceviamo da loro:

(17)

(18)

Formule (17) e (18) sono chiamate formule erland - il fondatore della teoria della manutenzione di massa.

La probabilità di rifiutare di mantenere l'applicazione della domanda P della SPE è uguale alla probabilità che tutti i canali siano occupati, cioè. Il sistema è in uno stato s n. In questo modo,

(19)

La larghezza di banda relativa della SMO troverà da (8) e (19):

(20)

La larghezza di banda assoluta troverà da (9) e (20):

Il numero medio di servizio del canale può essere trovato dalla formula (10), ma è più facile. Poiché ogni canale occupato per unità di unità serve su applicazioni medio, può essere trovata dalla formula:

5.3 Sistema di manutenzione di massa a singolo canale con una coda limitata a lungo

In una coda limitata, il numero di M in linea è limitato. Di conseguenza, l'applicazione ha ricevuto al momento in cui tutti i posti in coda sono occupati, devia e lascia la SMO. Il grafico è presentato in figura 5.

S 0.

Figura 5 - Contare gli stati di un SMO a canale singolo con coda limitata

Gli stati del CMO sono i seguenti:

S 0 - Il servizio del canale è gratuito,

S 1 - canale di servizio è occupato, ma non c'è coda,

S 2 - canale di servizio è occupato, in linea un'applicazione,

S K +1 - Channel Service è occupato, in coda della richiesta,

S m +1 - Il canale di servizio è occupato, tutti i posti in linea sono occupati.

Per ottenere le formule necessarie, è possibile utilizzare il fatto che la SMO in Figura 5 è un caso speciale del sistema di nascita e morte mostrato nella figura 2, se in quest'ultimo accetta e

(21)

Le espressioni per le probabilità finali degli Stati in esame possono essere trovate da (4) e (5) tenendo conto (21). Di conseguenza, otteniamo:

A P \u003d 1 formula (22), (23) prendere il modulo

A m \u003d 0 (nessuna coda, non c'è no) di formula (22), (23), andare alla formula (14) e (15) per un SMO a un canale singolo con guasti.

L'applicazione ricevuta nell'UMO riceve un rifiuto di manutenzione, se la SMO è in uno stato S M +1, cioè. La probabilità di rifiuto di mantenere l'applicazione è:

La larghezza di banda relativa della SMO è:

Il numero medio di applicazioni che rivolge a L PTS si trova dalla formula

e può essere registrato nella forma:

(24)

A Formula (24) prende il modulo:

- Il numero medio di applicazioni nella SMO è nella formula (10)

e può essere registrato nella forma:

(25)

Quando, da (25) otteniamo:

Il tempo medio della permanenza della domanda nella SMO e nella coda è nelle formule (12) e (13), rispettivamente.

5.4 Sistema di manutenzione di massa a singolo canale con coda illimitata

Un esempio di tale CMO può fungere da direttore dell'impresa, costretto a risolvere questioni relative alla sua competenza, o, ad esempio, una coda in panetteria con un cassiere. Il grafico è scintillato nella figura 6.

Figura 6 - Contare gli stati di un SMO a canale singolo con una coda illimitata

Tutte le caratteristiche di tale CMO possono essere ottenute dalle formule della sezione precedente, credendo in loro. Allo stesso tempo è necessario distinguere tra due casi essenzialmente diversi: A); b). Nel primo caso, come si può vedere dalle formule (22), (23), P 0 \u003d 0 e P K \u003d 0 (con tutti i valori finiti K). Ciò significa che con la svolta è in aumento indefinitamente, cioè. Questo caso non è un interesse pratico.

Considera il caso quando. Le formule (22) e (23) allo stesso tempo saranno registrate nella forma:

Poiché nella SMO non vi è alcuna restrizione sulla lunghezza della coda, quindi qualsiasi applicazione può essere servita, cioè.

La larghezza di banda assoluta è uguale a:

Il numero medio di applicazioni nella coda sarà ottenuto dalla formula (24) con:

Il numero medio di applicazioni riparazioni è:

La presenza media di un'applicazione nella SMO e in linea è determinata da formule (12) e (13).

5.5 Sistema di manutenzione di massa multicanale con coda limitata

Lasciare che il flusso di Poisson di applicazioni con intensità entra nell'ingresso della SMO con i canali di servizio. L'intensità di manutenzione dell'applicazione da ciascun canale è uguale e il numero massimo di posti nella coda è uguale.

Il grafico di tale sistema è mostrato nella figura 7.

Figura 7 - Stati Uniti di Multichannel SMO con coda limitata

- Tutti i canali sono gratuiti, nessuna coda;

- Occupato l. Canali ( l. \u003d 1, n), nessuna coda;

Sono occupati tutti i canali n, nella coda si trova iO. Applicazioni ( iO. \u003d 1, m).

Il confronto dei grafici nella figura 2 e la figura 7 mostra che l'ultimo sistema è un caso speciale del sistema di nascita e morte, se i seguenti sostituti sono fatti in esso (le designazioni sinistra si riferiscono al sistema di nascita e morte):

Le espressioni per le probabilità finali sono facili da trovare da formule (4) e (5). Di conseguenza, otteniamo:

(26)

La formazione della coda si verifica quando tutti i canali sono occupati al momento dell'arrivo nella SMO, I.e. Il sistema contiene le applicazioni N n o (N + 1), ... o (N + M- 1). Perché Questi eventi sono incompleti, la probabilità della formazione della coda P è uguale alla somma della corrispondente probabilità :

(27)

La larghezza di banda relativa è:

Il numero medio di applicazioni in coda è determinata dalla formula (11) e può essere registrata nel modulo:

(28)

Il numero medio di applicazioni nella SMO:

Il tempo medio della permanenza dell'applicazione nella SMO e nella coda è determinata da formule (12) e (13).

5.6 Sistema di manutenzione di massa multicanale con coda illimitata

Il grafico è mostrato nella figura 8 ed è ottenuto dal grafico in figura 7.

Figura 8 - Stati Uniti di Multichannel SMO con una coda illimitata

Le formule per le probabilità finali possono essere ottenute dalla formula per la SMO del canale N con una coda limitata. Va tenuto presente che con probabilità p 0 \u003d p 1 \u003d ... \u003d p n \u003d 0, I.e. La svolta aumenta indefinitamente. Pertanto, questo caso di interesse pratico non rappresenta e sotto è considerato solo il caso. Con da (26) otteniamo:

Le formule per altre probabilità sono le stesse di una coda limitata:

Da (27) otteniamo un'espressione per la probabilità di formazione della coda delle applicazioni:

Dal momento che la coda non è limitata, la probabilità di rifiutare di mantenere l'applicazione:

Larghezza di banda assoluta:

Dalla formula (28) quando otteniamo un'espressione per il numero medio di applicazioni nella coda:

Il numero medio di applicazioni è determinato dalla formula:

Il tempo medio della permanenza nella SMO e nella coda è determinata da formule (12) e (13).

5.7 Sistema di manutenzione di massa multicanale con coda limitata e tempo di attesa limitato in coda

La differenza tra SMO dalla SMO, considerata nella sottosezione 5.5, è che il tempo di servizio è in attesa, quando l'applicazione è in linea, è considerata una variabile casuale distribuita in termini di legge indicativa con un parametro, dove - il timeout medio Tempo dell'applicazione in coda e - ha intensità di senso della portata delle applicazioni dalla coda. Il grafico è spostato nella figura 9.

Figura 9 - Conta Multishannel SMO con coda limitata e tempo di attesa limitato in coda

Le restanti designazioni hanno lo stesso significato qui come nella sottosezione.

Confronto dei grafici in fig. 3 e 9 mostrano che l'ultimo sistema è un caso speciale del sistema di nascita e morte, se vengono effettuati le seguenti sostituzioni (le designazioni sinistra si riferiscono al sistema di nascita e morte):

Le espressioni per le probabilità finali sono facili da trovare da formule (4) e (5) tenendo conto (29). Di conseguenza, otteniamo:

dove. La probabilità della formazione della coda è determinata dalla formula:

Il rifiuto di mantenere l'applicazione si verifica quando tutti i metri in coda sono occupati, cioè. La probabilità di rifiuto di mantenere:

Banda di banda relativa:

Larghezza di banda assoluta:

Il numero medio di applicazioni in coda è nella formula (11) ed è:

Il numero medio di applicazioni servito nella SMO è nella formula (10) e uguale:

Il soggiorno medio della domanda nell'SMO è costituito da tempo di attesa medio nella coda e nel servizio di servizio medio:

6. Metodo Monte Carlo

6.1 Idea principale del metodo

L'essenza del metodo del Monte Carlo è il seguente: è necessario trovare un valore ma Qualche grandezza studiata. Per fare ciò, scegli una quantità così casuale X, la cui aspettativa matematica è uguale a: M (x) \u003d a.

Praticamente fare questo: producono n test, come risultato di cui sono ottenuti i possibili valori di X; Calcolare la loro media aritmetica e viene presa come stima (valore approssimativo) uN. * Il seguente numero A:

Dal momento che il metodo del Monte Carlo richiede un numero elevato di test, viene spesso definito il metodo dei test statistici.

6.2 Riproduzione di una variabile casuale continua

Lasciare che sia necessario ottenere i valori di una variabile casuale distribuita nell'intervallo con una densità. Dimostriamo che i valori possono essere trovati dall'equazione

dove è un valore casuale uniformemente distribuito sull'intervallo.

Quelli. Scegliere il valore successivo È necessario risolvere l'equazione (30) e trovare un altro valore. Per la prova, considera la funzione:

Abbiamo proprietà di densità di probabilità comuni:

Da (31) e (32) ne consegue , un derivato .

Quindi, la funzione aumenta monotonicamente da 0 a 1. e qualsiasi diretto, dove attraversa il grafico della funzione in un singolo punto, l'ascissa di cui accettiamo. Pertanto, l'equazione (30) ha sempre una sola soluzione.

Scegli ora un intervallo arbitrario contenuto all'interno. I punti di questo intervallo corrispondono all'ordine della curva, soddisfacendo la disuguaglianza . Pertanto, se l'intervallo appartiene, quindi

Appartiene all'intervallo e viceversa. Così :. Perché uniformemente distribuito, quindi

E questo è esattamente ciò che significa il valore casuale, che è la radice dell'equazione (30) ha una densità di probabilità.

6.3 Valore casuale con la distribuzione esponenziale

Il flusso più semplice (o il flusso di Poisson) è chiamato tale flusso di applicazioni, quando l'intervallo di tempo tra due applicazioni consecutive è una variabile casuale distribuita sull'intervallo con densità

Calcola l'aspettativa matematica:

Dopo aver integrato in parti, otteniamo:

Il parametro è l'intensità del flusso di applicazione.

La formula per il disegno è ottenuta dall'equazione (30), che in questo caso verrà registrata come segue :.

Calcolando la posizione integrale a sinistra, otteniamo il rapporto. Da qui, esprimendo, otteniamo:

(33)

Perché Il valore è distribuito così come, quindi, la formula (33) può essere scritta nel modulo:

7 Ricerca del sistema di manutenzione di massa

7.1 Controllo dell'ipotesi sulla distribuzione indicativa

La società in studio è un sistema di manutenzione di massa a due canali con una coda limitata. L'ingresso del flusso di Poisson di applicazioni con l'intensità λ è ricevuto. Le intensità di applicazioni di manutenzione di ciascuno dei canali μ e il numero massimo di posti nella coda m.

Parametri iniziali:

Il tempo di servizio dell'applicazione ha una distribuzione empirica specificata di seguito e ha un valore medio.

Ho effettuato le misurazioni del controllo del trattamento del tempo di applicazioni che entrano in questa SMO. Per avviare uno studio, è necessario stabilire su queste misurazioni la legge della distribuzione del tempo di elaborazione delle applicazioni.

Tabella 6.1 - Raggruppamento delle applicazioni per il tempo di elaborazione

L'ipotesi viene presentata sulla distribuzione indicativa della popolazione generale.

Al fine di, con il livello di significato, controllare l'ipotesi che il valore casuale continuo è distribuito in termini di legge indicativa, è necessario:

1) Trova la distribuzione media selettiva sulla distribuzione empirica specificata. Per questo, ogni intervallo I-TH sostituisce il centro e compone la sequenza di opzione equivalente e le frequenze corrispondenti.

2) prendere come stima del parametro λ La distribuzione indicativa dell'importo, nella media selettiva inversa:

3) Trova le probabilità di inserire X in intervalli parziali da parte della formula:

4) Calcola le frequenze teoriche:

dove - la dimensione del campione

5) Confrontare frequenze empiriche e teoriche utilizzando il criterio Pearson prendendo il numero di gradi di libertà, dove è il numero di intervalli del campione iniziale.

Tabella 6.2 - Raggruppare le applicazioni per il tempo di elaborazione con intervallo di tempo mediato

Troviamo il mezzo selettivo:

2) Avremo approvazione come stima del parametro λ del valore di distribuzione esponenziale uguale a . Poi:

()

3) Trova le probabilità di entrare in X a ciascuno degli intervalli da parte della formula:

Per il primo intervallo:

Per il secondo intervallo:

Per il terzo intervallo:

Per il quarto intervallo:

Per il quinto intervallo:

Per il sesto intervallo:

Per il settimo intervallo:

Per l'ottavo intervallo:

4) Calcola le frequenze teoriche:

I risultati dei calcoli sono nella tabella. Confronta frequenze empiriche e teoriche utilizzando il Criter Pearson.

Per fare ciò, calcolare la differenza, i loro quadrati, quindi la relazione. Sommando i valori dell'ultima colonna, troviamo il valore osservato del criterio Person. Secondo la tabella dei punti di distribuzione critici a livello di significato e numero di gradi di libertà, troviamo un punto critico.

Tabella 6.3 - Risultati informatici

iO.
1	22	0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
2	25	0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
3	23	0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
4	16	0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
5	14	0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
6	10	0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
7	8	0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
8	4	0,027	3,294	0,706	0,498	0,151
122

Perché , quindi non c'è motivo di rifiutare l'ipotesi sulla distribuzione x dalla legge indicativa. In altre parole, queste osservazioni sono coerenti con questa ipotesi.

7.2 Calcolo degli indicatori principali del sistema di manutenzione di massa

Questo sistema è un caso speciale del sistema di morte e riproduzione.

Conta di questo sistema:

Figura 10 - Contare gli stati in studio

Poiché tutti gli stati sono riportati ed essenziali, quindi c'è una distribuzione limite di probabilità degli stati. Nelle condizioni stazionarie, il flusso che entra in questo stato dovrebbe essere uguale a un flusso emergente da questo stato.

(1)

Per lo stato S 0:

Quindi:

Per lo stato S 1:

Quindi:

Considerando che :

Allo stesso modo, otteniamo equazioni per gli stati rimanenti del sistema. Di conseguenza, otteniamo il sistema di equazioni:

La soluzione di questo sistema guarderà:

; ; ; ; ;

; .

O, tenendo conto (1):

Coefficiente di carico SMO:

Dato questo limite probabilità di riscrivere nel modulo:

Lo stato più adatto - entrambi i canali della SMO sono occupati e sono impegnati tutti i posti nella coda.

Probabilità di formazione della coda:

Il rifiuto di mantenere l'applicazione si verifica quando tutti i posti sono occupati, I.e.:

La larghezza di banda relativa è:

La probabilità che la nuova applicazione ricevuta sarà servita, pari a 0,529

Larghezza di banda assoluta:

SMO serve una media di 0,13225 applicazioni al minuto.

Il numero medio di applicazioni nella coda:

Il numero medio di applicazioni nella coda è vicino alla lunghezza massima della coda.

Il numero medio di applicazioni servito nella SMO può essere registrato nel modulo:

In media, tutti i canali cm sono costantemente occupati.

Il numero medio di applicazioni nella SMO:

Per SMOS open, formula piccole formule sono valide:

Il tempo medio rimane dell'applicazione con la SMO:

Il tempo medio che rimane applicazione in linea:

7.3 Conclusioni sul lavoro della SMO studiata

Lo stato più probabile di questo SMO è l'impiego di tutti i canali e i luoghi nella coda. Circa la metà di tutte le applicazioni in arrivo lascia il SMO non ascoltando. Circa il 66,5% del tempo di attesa è di attendere in coda. Entrambi i canali sono costantemente occupati. Tutto ciò suggerisce che in generale questo schema SMO sia insoddisfacente.

Per ridurre il caricamento del canale, ridurre il tempo di attesa nella coda e ridurre la probabilità di guasto, è necessario aumentare il numero di canali e immettere il sistema prioritario per le applicazioni. Il numero di canali è consigliabile aumentare fino a 4. È inoltre necessario modificare la disciplina della manutenzione con FIFO al sistema con priorità. Tutte le applicazioni ora avranno appartenenti a una delle due classi prioritarie. Applicazioni I Lezioni hanno una priorità relativa in relazione alle applicazioni di classe II. Per calcolare gli indicatori principali di questa SMO modificata, è consigliabile applicare uno qualsiasi dei metodi di simulazione. È stato scritto un programma in Visualbasic, implementando il metodo del Monte Carlo.

8 Ricerca della SMO modificata

Quando si lavora con il programma, è necessario specificare i parametri di base della SMO, come intensità di streaming, il numero di canali, le classi di priorità, i luoghi nella coda (se il numero di posti in coda è zero, quindi con i guasti), così come l'intervallo di tempo di modulazione e il numero di test. Il programma converte numeri casuali generati da Formula (34), quindi, l'utente riceve una sequenza di intervalli di tempo, distribuiti in modo significativo. Quindi l'applicazione è selezionata con minima, ed è in coda, in base alla sua priorità. Durante lo stesso tempo, la coda e i canali ricalcolano. Quindi questa operazione viene ripetuta fino alla fine del tempo di modulazione specificato inizialmente. Ci sono contatori nel corpo del programma, sulla base della testimonianza di cui sono formati gli indicatori principali della SMO. Se diversi test sono stati impostati per aumentare la precisione, allora una stima della serie di esperimenti è presa come risultati finali. Il programma si è rivelato piuttosto universale, con il suo aiuto può essere studiato dalla SMO con qualsiasi numero di classi prioritarie o senza priorità. Per verificare la correttezza dell'algoritmo, i dati di origine della SMO classica sono stati introdotti in sezione 7. Il programma simulato il risultato vicino a quello è stato ottenuto utilizzando i metodi della teoria della massa di massa (vedere Appendice B). L'errore che si è verificato durante la modellazione di simulazione può essere spiegato dal numero insufficiente di test. I risultati ottenuti utilizzando il programma SMO con due classi di priorità e un numero ingrandito di canali mostrano la fattibilità di tali modifiche (vedi Appendice B). La massima priorità è stata assegnata a applicazioni più "veloci", che consente di esaminare rapidamente le attività brevi. La lunghezza media della coda nel sistema è ridotta, e quindi minimizza i mezzi per organizzare una coda. Come svantaggio principale di questa organizzazione, è possibile allocare che le applicazioni "lunghe" sono in coda per un lungo periodo o generalmente ricevono un rifiuto. Le priorità inserite possono essere riassegnate dopo aver valutato l'utilità di uno o un altro tipo di applicazioni per il cm.

Conclusione

In questo documento sono stati studiati un metodo SMO a due canali per la teoria della messa a manutenzione di massa, sono stati calcolati gli indicatori principali che caratterizzano il suo funzionamento. Si è concluso che questa modalità di funzionamento della SMO non è ottimale e i metodi che riducono il carico e aumentano il sistema di larghezza di banda sono stati proposti. Per verificare questi metodi, è stata creata una modellazione del programma il metodo del Monte Carlo, con il quale sono stati confermati i risultati dei calcoli per il modello di origine SMO, nonché gli indicatori principali per il modificato. L'errore dell'algoritmo può essere stimato e ridotto aumentando il numero di test. La versatilità del programma ti consente di usarlo nello studio di varie SMO, incluso classico.

1 Ventcel, E.S. Ricerca di operazioni / E.S. Ventcel. - M.: Radio sovietica, 1972. - 552 p.

2 Gmurman, v.e. La teoria delle probabilità e delle statistiche matematiche / V.E. Gmurman. - m.: "Scuola superiore", 2003. - 479 p.

3 Lavetles, O.e. Teoria della manutenzione di massa. Istruzioni metodiche / O.E. Lavrus, f.s. Mironov. - Samara: Samgaps, 2002.- 38 p.

4 Sahakyan, G.R. Teoria della manutenzione di massa: lezioni / G. Sahakyan. - Miniera: Yurgues, 2006. - 27 p.

5 Avsievich, A.V. Teoria della manutenzione di massa. Flussi di requisiti, sistemi di manutenzione di massa / A.V. Avsievich, e.n. Avsievich. - Samara: Samgaps, 2004. - 24 p.

6 Chernenko, V.D. Matematica più alta in esempi e compiti. A 3. T. T. 3 / V.D. Chernenko. - San Pietroburgo: Politecnico, 2003. - 476 p.

7 Kleinock, L. teoria della massa di massa / L. Kleinrok. Per.s inglese / corsia. I.I. Pere; Ed. IN E. Neuman. - m.: Ingegneria meccanica, 1979. - 432 p.

8 Olzoev, S.I. Modellazione e calcolo dei sistemi di informazione distribuita. Tutorial / S.I. Olzoeva. - Ulan-UDE: VGTU, 2004. - 66 p.

9 SABLE, I.M. Metodo Monte Carlo / I.M. Sable. - m.: "Scienza", 1968. - 64 p.

Durante lo studio delle operazioni, è spesso necessario affrontare i sistemi progettati per l'uso riutilizzabile durante la risoluzione dello stesso tipo di compiti. I processi derivanti da questo nome processi di servizioe sistemi - sistemi di manutenzione di massa (SMO). Esempi di tali sistemi sono sistemi telefonici, negozi di riparazione, complessi di calcolo, biglietteria, negozi, parrucchieri, ecc.

Ogni SMO è composta da un certo numero di unità di servizio (dispositivi, dispositivi, punti, stazioni), che saranno chiamati canali di servizio. I canali possono essere linee di comunicazione, punti operativi, macchine informatiche, venditori, ecc. Secondo il numero di canali, la SMO è divisa in canale singolo e multicanale.

Le applicazioni vengono al SMO di solito non regolarmente, ma per caso, formando il cosiddetto flusso casuale di applicazioni (requisiti). Servizio di servizio, in generale, continua anche alcuni tempi casuali. La natura casuale del flusso di applicazioni e del tempo di servizio porta al fatto che il CMO risulta essere caricato in modo non uniforme: in alcuni periodi di tempo si accumula un numero molto elevato di applicazioni (stanno diventando una coda o lasciare la SMO non reclamata ), agli altri periodi di SMO che lavorano con il sottocarico o inattivo.

Il tema della teoria della manutenzione di massa È la costruzione di modelli matematici che collegano le condizioni specificate per il funzionamento della SMO (numero di canali, le loro prestazioni, la natura del flusso di applicazioni, ecc.) Con l'efficacia della SMO, descrivendo la sua capacità di far fronte al Flusso di applicazioni.

Come indicatori di efficienza di SMO Usato: numero medio di applicazioni servite per unità di tempo; Il numero medio di applicazioni in coda; Servizio medio tempo di attesa; probabilità di rifiuto di mantenere senza aspettare; La probabilità che il numero di applicazioni in coda supererà un determinato valore, ecc.

SMO è diviso in due tipi principali (classe): SMO con fallimenti e SMO con aspettativa (coda). Nella SMO con i fallimenti, l'applicazione ricevuta al momento in cui tutti i canali sono impiegati, riceve un rifiuto, lascia la SMO e in futuro il processo di servizio non partecipa (ad esempio, un'applicazione per una conversazione telefonica al momento in cui tutto I canali sono occupati, riceve un rifiuto e lascia il non coinvolto). Nella SMO con aspettativa, l'applicazione che è arrivata in quel momento in cui tutti i canali sono occupati, non va via, ma diventa una coda per il servizio.

L'aspettativa è divisa in diverse specie a seconda di come viene organizzata la coda: con una linea limitata o illimitata della coda, con tempo di attesa limitato, ecc.

Per la classificazione, il CLO ha importanza importante disciplina Manutenzione, Definizione della procedura per la selezione delle applicazioni tra quelle ricevute e la procedura per distribuirle tra canali liberi. Su questa base, il servizio di applicazione può essere organizzato in base al principio "il primo è arrivato - il primo riportato", "l'ultimo è arrivato - il primo è servito" (tale ordine può essere utilizzato, ad esempio, quando si estrae I prodotti da un magazzino, per l'ultimo di essi sono spesso più accessibili) o servizio con priorità (quando le applicazioni più importanti sono principalmente revisionate). La priorità può essere assoluta quando un'applicazione più importante "sposta" da sotto servizio un'applicazione regolare (ad esempio, in caso di emergenza, il lavoro pianificato dei team di riparazione viene interrotto prima della risposta di emergenza) e relativa quando un più importante L'applicazione riceve solo la coda "migliore".

Il concetto del processo casuale di Markov

Il processo di funzionamento del CMO è processo informale.

Sotto processo casuale (probabilistico o stocastico) È inteso come il processo di modifica del tempo dello stato di qualsiasi sistema in conformità con i modelli probabilistici.

Il processo è chiamato processo con stati discretiSe i suoi stati possibili possono essere trasferiti in anticipo, e la transizione del sistema dallo stato allo stato avviene all'istante (salta). Il processo è chiamato processo continuoSe i momenti di possibili transizioni del sistema dallo Stato non sono fissati in anticipo, ma casuali.

Il processo SMO è un processo casuale con stati discreti e tempi continui. Ciò significa che lo stato del SMO cambia con un salto a momenti casuali dell'aspetto di alcuni eventi (ad esempio, l'arrivo della nuova applicazione, la fine del servizio, ecc.).

L'analisi matematica del lavoro della SMO è notevolmente semplificata se il processo di questo lavoro è Markovsky. Il processo casuale è chiamato markovsky. o processo casuale senza conseguenzeSe per qualsiasi momento le caratteristiche probabilistiche del processo in futuro dipendono solo dal suo stato al momento e non dipendono da quando e in che modo il sistema è arrivato a questo stato.

Un esempio del processo Markov: il sistema è un metro in un taxi. Lo stato del sistema è in quel momento caratterizzato dal numero di chilometri (decimi di chilometri) percorsa da un'auto a questo punto. Lascia che il momento del contatore mostri. La probabilità che al momento il misuratore mostrerà questo o quel numero di chilometri (più precisamente, il corrispondente numero di rubli) dipende da, ma non dipende da quali punti di tempo in cui le letture del contatore sono cambiate nel momento.

Molti processi possono essere approssimativamente considerati Markov. Ad esempio, il gioco di giocare a scacchi; Il sistema è un gruppo di pezzi degli scacchi. Lo stato del sistema è caratterizzato dal numero di forme dell'avversario, conservata sulla tavola al momento. La probabilità che al momento del vantaggio del materiale sarà dalla parte di uno degli avversari, dipende principalmente da quale sistema è attualmente posizionato, e non da quando e in quale sequenza le figure sono scomparse dal tabellone fino al momento .

In alcuni casi, la preistoria dei processi in esame può essere semplicemente trascurata e applicata allo studio dei modelli di Markov.

Quando si analizzano i processi casuali con stati discreti, è conveniente utilizzare lo schema geometrico - il cosiddetto conte di stati.. Di solito lo stato del sistema è rappresentato da rettangoli (cerchi) e possibili transizioni dallo Stato alle frecce dello stato (archi orientati) che collegano gli stati.

Esempio 1. Costruisci un grafico degli stati del prossimo processo casuale: il dispositivo è composto da due nodi, ciascuno dei quali a punto casuale potrebbe fallire, dopo il quale avvia immediatamente la riparazione del nodo, che continua in anticipo da un tempo casuale sconosciuto.

Decisione. Possibile stato del sistema: - entrambi i nodi sono buoni; - Il primo nodo è riparato, il secondo è corretto; - il secondo nodo è riparato, il primo è corretto; - Entrambi i nodi sono riparati. Il grafico del sistema è mostrato in FIG. uno.

La freccia diretta, ad esempio, da B, indica la transizione del sistema al momento del rifiuto del primo nodo, da B - la transizione alla fine della riparazione di questo nodo.

Sulla colonna non ci sono frecce da dentro e da c. Ciò è spiegato dal fatto che le uscite dei nodi sono previste indipendenti l'una dall'altra e, ad esempio, la probabilità del fallimento simultaneo di due nodi (transizione da c) o della fine simultanea delle riparazioni di due nodi (la transizione da c ) può essere trascurato.

Per la descrizione matematica del processo casuale di Markov con stati discreti e tempo continuo che scorre nella SMO, faremo conoscere uno dei concetti importanti della teoria della probabilità - il concetto del flusso di eventi.

Flussi di evento

Sotto flusso di eventi Resta intesa come la sequenza di eventi omogenei, dopo uno dopo l'altro in alcuni momenti casuali di tempo (ad esempio, il flusso di chiamate sulla stazione telefonica, il flusso dei guasti della posta elettronica, il flusso di acquirenti, ecc.).

Il flusso è caratterizzato intensità - la frequenza degli eventi o un numero medio di eventi che entrano nel SMO per unità di tempo.

Il flusso di eventi è chiamato regolareSe gli eventi seguono uno dopo un altro dopo determinati intervalli uguali. Ad esempio, il flusso di prodotti sul trasportatore del negozio di assemblaggio (con una velocità costante del movimento) è regolare.

Il flusso di eventi è chiamato stazionarioSe le sue caratteristiche probabilistiche non dipendono dal tempo. In particolare, l'intensità del flusso stazionario è la grandezza della costante :. Ad esempio, il flusso di auto sulla città Avenue non è stazionario durante il giorno, ma questo torrente può essere considerato fermo durante il giorno, ad esempio, nelle ore di punta. Esinciamo l'attenzione sul fatto che in quest'ultimo caso il numero effettivo di prendere auto per unità di tempo (ad esempio, in ogni minuto) possa differire significativamente l'uno dall'altro, ma il loro numero medio sarà costantemente e non dipenderà dal tempo.

Il flusso di eventi è chiamato stream senza Amersion.Se per due sezioni di tempo non ciclo di tempo e il numero di eventi che cadono su uno di questi non dipendono dal numero di eventi che cadono sugli altri. Ad esempio, il flusso di passeggeri incluso nella metropolitana praticamente non ha l'amersione. E, diciamo, il flusso di acquirenti che partono dall'acquisto dalla spinta ha già l'amersione (almeno perché l'intervallo di tempo tra gli acquirenti individuali non può essere inferiore al tempo di servizio minimo di ciascuno di essi).

Il flusso di eventi è chiamato ordinarioSe la probabilità di colpire una porzione piccola (elementare) del tempo di due o più eventi è trascurabile rispetto alla probabilità di entrare in un singolo evento. In altre parole, lo standard degli eventi è ordinario se gli eventi appaiono in esso per uno, e non da gruppi. Ad esempio, il flusso di treni adatto alla stazione, ordinario e il flusso di auto non è ordinario.

Il flusso di eventi è chiamato il più semplice (o stazionario Poissongsky.) Se è simultaneamente stazionario, ordinario e non ha amersione. Il nome "più semplice" è spiegato dal fatto che la SMO con i flussi più semplici ha la più semplice descrizione matematica. Si noti che il flusso normale non è "più semplice", in quanto ha una aifferenza: i momenti di eventi che appaiono in un tale flusso sono rigidamente fissi.

Il flusso più semplice come il massimo avviene nella teoria dei processi casuali come naturali come nella teoria della probabilità che la distribuzione normale sia ottenuta come limite per la somma delle variabili casuali: quando si applica (sovrapposizione), un numero sufficientemente elevato di flussi indipendenti, fermi e ordinari (paragonabile tra le intensità è un flusso vicino al protozoi con un'intensità pari alla quantità di intensità di flusso in entrata, cioè considerare sull'asse del tempo (Fig. 1) Il flusso di eventi più semplice come una sequenza illimitata di punti casuali.

Può essere dimostrato che per il flusso più semplice, il numero di eventi (punti) che entra nel tempo arbitrario del tempo è distribuito da la legge di Poisson

per il quale l'aspettativa matematica di una varietà casuale è uguale alla sua dispersione :.

In particolare, la probabilità che nessun evento avverrà durante il periodo in cui è uguale a

Troveremo la distribuzione dell'intervallo di tempo tra due eventi adiacenti arbitrari del flusso più semplice.

In conformità con (2) la probabilità che nessuno degli eventi successivi apparirà nel periodo di tempo

e la probabilità dell'evento opposto, cioè. La funzione di distribuzione di una variabile casuale è

La densità di probabilità di una variabile casuale è il derivato della sua funzione di distribuzione (Fig. 3), I.e.

La distribuzione specificata dalla densità di probabilità (5) o la funzione di distribuzione (4) è chiamata indicativo (o esponenziale). Pertanto, l'intervallo di tempo tra due eventi arbitrari adiacenti ha una distribuzione indicativa per la quale l'aspettativa matematica è uguale alla deviazione quadratica media della variabile casuale

e ritorno in termini di intensità del flusso.

La proprietà più importante della distribuzione indicativa (inerente alla distribuzione indicativa) è la seguente: se l'intervallo di tempo distribuito in termini di legge indicativa è già durata per un po ', quindi ciò non influisce sulla legge della distribuzione dei rimanenti Parte del divario: sarà la stessa della legge sulla distribuzione di tutto il divario.

In altre parole, per l'intervallo di tempo tra due eventi di flusso adiacenti consecutivi, che ha una distribuzione indicativa, qualsiasi informazione su quanto tempo fluido questo intervallo, non influisce sulla legge della distribuzione del resto. Questa proprietà della legge indicativa è, in sostanza, un'altra formulazione per la "mancanza di indiazione" è la proprietà principale del flusso più semplice.

Per il flusso più semplice con intensità, la probabilità di entrare

(Notiamo che questa formula approssimativa ottenuta dalla sostituzione della funzione è solo due primi membri della sua decomposizione in fila in gradi, più precisamente, meno).

SMO dall'inglese è tradotto come ottimizzazione dei social media. Persegue il compito di attrarre e mantenendo i visitatori nei social network. È anche rivolto al lavoro sulla modernizzazione del sito.

La CMO è la promozione interna e CMM è esterna.

La SMO ottimizza solo il componente interno, non riguarda la promozione del sito web nei social network.

Ogni imprenditore promettente cerca di ottimizzare e promuovere il tuo sito. Ma insieme all'ottimizzazione nei motori di ricerca ci sono anche ottimizzazione sociale. Questa è la SMO e la SMM. L'ottimizzazione sociale può aumentare significativamente la frequenza del pubblico di destinazione. Pertanto, non dovresti essere limitato solo alla promozione del tuo sito. SMO e SMM differiscono leggermente nella procedura.

Se la promozione del sito è destinata agli algoritmi dei robot, quindi in SMOS e CMMS lavorano sull'ottimizzazione del pubblico.

I componenti dell'ottimizzazione interna della SMO

Quando si lavora, tutto il lavoro può essere fatto sul sito senza investimento in contanti. Il lavoro di ottimizzazione interno include componenti tecnici e auditing del sito, lavori di riempimento e gestione dei contenuti, funzionano sull'aspetto, il trabocco, l'installazione dei pulsanti, la mappa del sito, i commenti dei social network, formazione del blocco.

L'audit include l'analisi delle debolezze del sito e delle loro correzioni. Il design, l'ottimizzazione delle parole di input per facilità di ricerca, la competitività è rivista. Quando l'audit tecnico, i contenuti sono controllati per l'alfabetizzazione, le prestazioni di riferimento, la velocità di download. Inoltre, l'audit viene controllato da molti altri parametri, e tutto ciò è essenziale per il lavoro efficace della pagina.

Non è un segreto che il contenuto del sito deve costantemente essere aggiornato, cambiare, portare innovazioni. Di norma, dopo aver sviluppato un sito a pieno titolo, un cambiamento nel contenuto è un processo continuo. Gli articoli alfabetizzati e coerenti sono molto importanti. La risposta comportamentale dei sistemi di motori di ricerca è in gran parte dipendente.

Anche suonare l'aspetto del sito, il suo design. Dovrebbe essere bello, non sovraccarico di fiori aronamato, differiscono dai siti competitivi, essere posizionato correttamente. La percezione visiva attrae anche i visitatori. Se l'aspetto è bello e buono, fa un'impressione positiva del proprietario del sito, in quanto fa piacere estetico. È ancora molto importante che le informazioni siano chiare e logiche per trovare rapidamente le informazioni di cui hai bisogno.

Il sito trasfinale influisce sulla navigazione. Il sito diventa più comprensibile per i motori di ricerca e gli utenti.

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Un'altra cosa utile è formare blocchi. Il sito dal bordo può essere collocato colonna (sagebar) con articoli freschi e interessanti. Attraggerà i lettori, poiché le persone amano essere consapevoli degli eventi. Forse sarà un buon incentivo a visitare il sito più di una volta.

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Tipi di sistemi di manutenzione di massa

A seconda di come vengono con un'applicazione nel caso in cui tutti i canali si siano dimostrati impegnati, distinguere:

SMO con rifiuto di mantenere l'applicazione e la WMO con aspettativa.

Per il CLF, è caratteristico che l'applicazione che rende occupato tutti i canali, lascia immediatamente il sistema.

Nel CLO, con aspettativa, l'applicazione, che rende tutti i canali sono impiegati, non lascia il sistema, ma è in coda e quando viene servita il rilascio di uno dei canali. Nella SMO, con aspettativa, tutte le restrizioni possono essere sovrapposte al processo di attesa delle applicazioni. In quest'ultimo caso, dicono che si occupano delle aspettative "pulite". Se le restrizioni vengono impostano il processo di attesa, la SMO è chiamata il "sistema di tipo misto". In tali sistemi, a causa di restrizioni sovrapposte, ci sono casi in cui l'applicazione riceverà un rifiuto di manutenzione, cioè. Il tipo misto SMO mostra anche segni di clo con rifiuto.

Le seguenti restrizioni possono essere sovrapposte nei sistemi di tipo misto:

a) sul numero di applicazioni che si affacciano sulla coda;

b) al momento di rimanere un'applicazione in coda;

c) per il tempo totale per trovare un'applicazione nella SMO.

La tecnologia Rau incontra più spesso un tipo misto.

Descrizione matematica della SMO con rifiuto

Considera un sistema di servizio di massa con un rifiuto avendo p. canali. Supponiamo che il flusso di applicazioni che entra nel SMO, il più semplice e ha una densità l. Inoltre, presumeremo che il tempo di servizio delle domande sia distribuito in legge esponenziale con un parametro

dove M (Tamb) - Aspettativa matematica del tempo di servizio dell'applicazione.

Di conseguenza, la densità della distribuzione del tempo di servizio

Per il sistema in esame, sono possibili i seguenti stati:

x 0. - Tutti i canali sono gratuiti;

x 1 - occupato un canale;

x k - Occupato k. canali;

x n - Occupato all p. canali.

I dati di stato del sistema di servizio possono essere descritti dalle equazioni di Erlang differenziali. La loro soluzione consente di ottenere formule per il calcolo delle probabilità, che sono costanti per la modalità Stabile. Questa modalità si verifica al momento t® ¥..

Il coefficiente è definito come

dove M (Tamb) - Aspettativa matematica del tempo di servizio di una domanda.

Le formule Erlan sono ottenute per l'occasione della distribuzione esponenziale del tempo di servizio, ma sono valide anche per qualsiasi altra legge, se solo il flusso di applicazioni era il più semplice.

La probabilità di non-serving l'applicazione è definita come

Il tempo medio del tempo in cui il sistema di servizio sarà determinato semplicemente dalla probabilità di uno stato. x 0, quelli.

P Idle \u003d P (x 0) \u003d P 0

Esempio. Lasciare che gli strumenti con una densità media arrivino al processo di riparazione di attrezzature tecnologiche. l. \u003d 2 u / h. Il tempo medio di manutenzione di un'unità di equipaggiamento è di 24 minuti (0,4 ore). L'applicazione che rende tutti i canali sono impegnati impegnati in errore.

È tenuto a determinare le caratteristiche della SMO sotto l'assunzione della presenza di un luogo di lavoro. Inoltre, è necessario stabilire come vengono modificate le caratteristiche SMO quando viene introdotto il secondo posto di lavoro.

Decisione. Sotto la condizione del compito, abbiamo un telecomando. Supponiamo che il flusso di applicazioni entrando nella SMO, il più semplice con la densità media L.

1. Calcolare il rapporto di caricamento del canale o la densità delle applicazioni

2. Trova le caratteristiche del CLO con il numero di canali n = 1. Probabilità di applicazioni non che non servono:

Larghezza di banda relativa q. Determinare come

q \u003d 1- p = 1 – 0,44 = 0,56.

Pertanto, ci sarà circa il 56% delle domande ricevute nella SMO.

Probabilità di inattività del canale p 0.

Il concetto di sistemi di manutenzione di massa (SMO).

Leggi anche

introduzione

1 catene Markov con un numero finito di stati e tempo discreto

2. Catene Markov con un numero finito di stati e tempi continui

3 processi nati e morte

4. Concetti di base e classificazione dei sistemi di manutenzione di massa

5. Tipi principali di sistemi di manutenzione di massa aperti

5.1 Sistema di manutenzione di massa a singolo canale

5.2 Sistema di manutenzione di massa multicanale

5.3 Sistema di manutenzione di massa a singolo canale con una coda limitata a lungo

5.4 Sistema di manutenzione di massa a singolo canale con coda illimitata

5.5 Sistema di manutenzione di massa multicanale con coda limitata

5.6 Sistema di manutenzione di massa multicanale con coda illimitata

5.7 Sistema di manutenzione di massa multicanale con coda limitata e tempo di attesa limitato in coda

6. Metodo Monte Carlo

6.1 Idea principale del metodo

6.2 Riproduzione di una variabile casuale continua

6.3 Valore casuale con la distribuzione esponenziale

7.1 Controllo dell'ipotesi sulla distribuzione indicativa

7.2 Calcolo degli indicatori principali del sistema di manutenzione di massa

7.3 Conclusioni sul lavoro della SMO studiata

8 Ricerca della SMO modificata

Conclusione

Il concetto del processo casuale di Markov

Flussi di evento

I componenti dell'ottimizzazione interna della SMO

Tipi di sistemi di manutenzione di massa