Metodi a prova di teoremi. Costruire prove matematiche

Dimostra qualsiasi approvazione - Significa dimostrare che questa affermazione segue logicamente dal sistema di dichiarazioni vere e correlate.

Prova - Questa è un'operazione logica, nel processo di cui la verità di qualsiasi approvazione è giustificata con altre affermazioni vere e correlate. Per questo, la catena finale delle conclusioni è costruita, e la conclusione di ciascuno di esse (tranne che per quest'ultimo) è un pacco in una delle seguenti conclusioni.

Logica di base leggi:

1. La legge dell'identità. Ogni pensiero, ripetendo nel ragionamento, dovrebbe essere identico a se stesso.

La legge dell'identità significa che nel processo di ragionamento è impossibile sostituire un pensiero di un altro, un concetto di altri. È impossibile emettere pensieri identici per vari e diversi - per identici.

2. La legge è non contraddizione.La dichiarazione e la sua negazione non possono essere simultaneamente veri; Almeno uno di loro è decisamente falso.

Se una contraddizione logica formale si trova nel pensiero (e nel discorso), quindi tale pensiero è considerato sbagliato e il giudizio da cui la contraddizione fluisce è considerata falsa.

3. La legge di un terzo escluso.Delle due dichiarazioni contraddittorie sullo stesso soggetto uno - veramente, e l'altra è falsa, il terzo non è dato.

4. Legge della fondazione sufficiente.Ogni vera affermazione deve essere giustificata con l'aiuto di altre dichiarazioni, la cui verità è dimostrata.

Quando si tratta di prove matematiche, è necessario:

¾ per avere una dichiarazione che la cui verità deve essere dimostrata;

¾ per capire che la prova è una catena di conclusioni deduttive; È implementato secondo le regole e le leggi della logica;

¾ Comprendere quali altre affermazioni vere possono essere utilizzate nel processo di prova.

Secondo il metodo di condurre le prove dirette e indirette.

Prova di approvazione diretta E B è la costruzione di una catena di conclusioni deduttive eseguite coerentemente da A a in conformità con le regole e le leggi della logica e utilizzando il sistema di istruzione, la cui verità è dimostrata.

(Se i quadrangoli sono di tre angoli, allora è un rettangolo)

Un esempio di prove indirette È una prova dal metodo di cattiva. L'essenza è la seguente. Lascia che sia tenuto a dimostrare il teorema A. Con la prova del metodo dall'altro, si presume che la conclusione del teorema (c) sia falsa, e, quindi, la sua negazione è vera. Allegamento della proposta nella combinazione di veri pacchi utilizzati nel processo di prova (tra cui la condizione A) è costruita da una catena di conclusioni deducenti fino a quando l'approvazione è contraria a uno dei pacchi e, in particolare, la condizione A.

(A + 3\u003e 10, quindi a ¹7)

Biglietto 15 Il concetto di conformità tra set. Metodi per l'impostazione della conformità. Conformità reciprocamente - non ambigua. Set uguali. Esempi di corrispondenza (compresa reciprocamente - non ambigua).

Diamo un esempio di utilizzo di induzione incompleta nel lavorare con i bambini in età prescolare: utilizzando il gioco "Busera meraviglioso" con forme geometriche volumetriche, un compito di un bambino: "Ottieni la figura e il nome". Dopo diversi tentativi, il bambino fa un'ipotesi:

Palla. Palla. Palla. Qui, probabilmente, tutte le palle.

Compito 14.

Offrire ulteriore ragionamento al fine di assicurarsi che l'approvazione ottenuta sia vera.

È impossibile sopravvalutare l'importanza delle prove nelle nostre vite e soprattutto nella scienza. Tutto è ricorso alle prove, ma non sempre pensa a cosa significa "dimostrare *. Le abilità pratiche di prove e le idee intuitive sono sufficienti per molti scopi domestici, ma non per scientifici.

Per dimostrare qualsiasi affermazione è mostrare che questa dichiarazione logica segue logicamente dal sistema di dichiarazioni vere e correlate.

La prova è un'operazione logica di giustificare la verità di qualsiasi approvazione con altre affermazioni vere e correlate.

Tre elementi strutturali si distinguono nella prova:

1) Asserzione comprovata;

2) il sistema di vere affermazioni, con l'aiuto di cui la verità del comprovata è stata motivata;

3) Connessione logica tra PP. 1 e 2.

Il modo principale delle prove matematiche è uscita deduttiva.

Nella loro forma prova- Questa è una conclusione deduttiva o una catena di conclusioni deduttive che portano dai veri pacchi alla dichiarazione di dimostrazione.

Nella prova matematica, l'ordine di eccitazione è importante. Secondo il metodo di mantenimento del distinto prove dirette e indirette. Le prove dirette si riferiscono alla completa induzione, la cui questione è andata al paragrafo 1.6.

Induzione completa - Un metodo di prova, in cui la verità di approvazione deriva dalla sua verità in tutti i casi speciali.

Induzione completa Viene spesso utilizzato nei giochi con tipo in età prescolare: "Nome in una parola".

Un esempio di evidenza diretta della dichiarazione "La somma degli angoli in qualsiasi quadrilateria è a 360 °":

"Considera un quadrangolo arbitrario. Dopo aver trascorso una diagonale in esso, otteniamo 2 triangoli. La somma degli angoli del quadrilatero sarà uguale alla somma degli angoli dei due triangoli formati. Poiché la somma degli angoli in qualsiasi triangolo è di 180 °, quindi, dopo aver piegato 180 ° e 180 °, otteniamo la somma degli angoli in due triangoli, sarà a 360 °. Di conseguenza, la quantità di angoli in qualsiasi quadrilatingement è 360 ", che è stato richiesto di dimostrare".

Le seguenti conclusioni possono essere distinte nella prova di cui sopra:

1. Se la figura è un quadrilaterale, in esso è possibile disegnare una diagonale, che rompe il quadrilatero di 2 triangoli. Questa figura è un quadrilatero. Di conseguenza, può essere diviso in 2 triangoli, costruendo una diagonale.

2. In qualsiasi triangolo, la somma degli angoli è uguale a ISO. "Dati figure triangoli. Di conseguenza, la somma degli angoli di ciascuno di essi è di 180 °.

3. Se il quadrilatero è composto da due triangoli, la somma dei suoi angoli è uguale alla somma degli angoli di questi triangoli. Questo quadrilatero è composto da due triangoli con angoli a 180 °. 180 ° + 180O \u003d 360 °. Di conseguenza, la somma degli angoli in questa quadrilateria è di 360 °.

Tutte le conclusioni elencate sono fatte secondo lo stato di opinione, quindi sono deducenti.

Un esempio di prove indirette è la prova del metodo da cattivo. NEL questo caso è permesso Quella conclusione è falsa, quindi, la sua negazione è vera. Attaccando questa proposta all'aggregato dei veri pacchi, il ragionamento viene effettuato fino a quando non ricevono una contraddizione.

Diamo un esempio di prova dal teorema opposto: "Se due diretti ma e B. parallelo al terzo c, quindi sono paralleli l'uno all'altro ":

"Supponi quella diretta ma e b. Non parallelo, quindi attraverseranno un certo punto A, non appartenente a una linea retta con. Poi ci arriviamo attraverso il punto A, puoi trascorrere due dritto e b, parallelo con. Questo è contrario all'assioma del parallelismo: "In termini di

8. Parola le regole della definizione di runtime e la differenza di specie.

9. Quale determinazione è chiamata:

Contestuale;

Ostentato?

10. Cos'è una dichiarazione, e qual è la forma utera?

11. Quando i suggerimenti della specie "A e B", "A o B", "non A" sono vere, e quando sono falsi?

12. Elenca i quantificatori della Comunità e dei quantificatori dell'esistenza. Come impostare il valore della verità delle proposte con vari quantificatori?

13. Quando esiste una relazione tra le proposte, e quando è il rapporto tra equivalenza? Come sono designati?

14. Qual è una conclusione? Che tipo di conclusione è chiamato deduttivo?

15. Registra con l'aiuto dei simboli della regola di conclusione, la regola di negare, la regola dello slogismo.

16. Che tipo di conclusioni sono chiamati induzione incompleta e quali sono le conclusioni per analogia?

17. Cosa significa provare qualsiasi affermazione?

18. Quali sono le prove matematiche?

19. Dare la definizione di induzione completa.

20. Cos'è il sofism?

Descrizione bibliografica: Grigoriev K.V., Ochirova A. B., Saragov A. A., Barlukova S. S., Muchkayev G. M. Varietà di metodi di prove matematiche // Giovane scienziato. - 2017. - №1. - P. 45-46..03.2019).



A proposito di prove, nella vita di tutti i giorni, intendiamo la verifica dell'approvazione formulata. Direttamente in matematica, i concetti e le prove sono diversi in sostanza, sebbene portano la relazione.

Dimostriamo che se tre angoli nel quadrilatero è di 90 gradi, allora un quadrangolo è un rettangolo.

Considera un quadrilatero, che ha tre angoli pari a 90 gradi. Misureremo il quarto angolo e troveremo il suo grado. Concludiamo che sarà anche diretto. Questo tipo di verifica conferma questa affermazione, ma non è la prova.

Per dimostrare questa approvazione, è necessario considerare un quadrilatero arbitrario, che ha tre angoli uguali a 90⁰. Poiché in qualsiasi quadrilatero convesso, la somma degli angoli è 360⁰, quindi l'angolo desiderato è 90⁰ (360⁰ - 90 ° * 3). Il rettangolo è un quadrilatero, che ha tutti gli angoli diretti. Quindi, questo quadrilatero sarà un rettangolo. Q.e.d.

Il significato della prova della prova è la seguente sequenza di dichiarazioni vere: teoremi, assiomi, definizioni che seguono logicamente l'affermazione che deve essere dimostrata. Per dimostrare che la dichiarazione è quella di dimostrare che questa affermazione segue logicamente da un numero di dichiarazioni vere e correlate.

Nel caso in cui la dichiarazione in esame deriva logicamente da accuse comprovate, è ragionevole e vero. La base delle prove matematiche è il metodo deduttivo. E la prova stessa funge da catena di conclusioni e la conclusione di ciascuno di esse, oltre a quest'ultimo, è un pacco in una delle seguenti conclusioni.

Le seguenti conclusioni possono essere assegnate nella prova rivista:

- in qualsiasi quadrilatero convesso la somma degli angoli è 360⁰; Questa figura è un quadrangolo convesso, quindi, la somma degli angoli in esso 360⁰;

- Se la somma di tutti gli angoli del quadrilatero e la somma di tre di loro è conosciuta, allora la sottrazione può essere trovata la quantità del quarto; La somma di tutti gli angoli di questo quadrilatero è di 360 °, la somma di tre 270⁰ (90 ° · 3 \u003d 270⁰), quindi definendo la loro differenza, troveremo l'angolo desiderato uguale a 90⁰;

- Se nel quadrilatero tutti gli angoli sono diretti, questo quadrilatero è un rettangolo; Nel nostro caso, nel quadrilatero, tutti gli angoli sono diretti, quindi è un rettangolo.

Tutte le conclusioni considerate sono fatte secondo la regola dell'opinione e, di conseguenza, sono deducenti.

La prova più semplice è costituita da una conclusione. Tale, ad esempio, è la prova della dichiarazione che 5

Considerando la struttura delle prove matematiche, comprendiamo che, soprattutto, include una dichiarazione che viene dimostrata e il sistema di vere asserzioni attraverso la quale la prova è condotta.

È anche importante notare che la prova matematica non è solo una serie di conclusioni, ma le conclusioni situate in un determinato ordine.

Secondo il metodo di condurre le prove dirette e indirette. Le prove precedentemente considerate sono direttamente correlate - in esso, sulla base di una proposta vera separata e tenendo conto delle condizioni del teorema, è stata collegata la catena di conclusioni deduttive, che ha portato direttamente a una vera conclusione.

Come esempio di prove indirette, la prova è la prova del metodo da parte. L'essenza di ciò consiste nel seguente: Lascia che sia necessario dimostrare il teorema A ⇒ V. Nella prova del metodo dall'altro, si presume che la conclusione del teorema (c) sia falsa, e, quindi, la sua la negazione sarà vera. Attaccare la proposta "Non in" alla combinazione di veri pacchi utilizzati nel processo di prova (tra cui la condizione A) viene effettuato da una catena di conclusioni deducenti fino a quando riceviamo l'affermazione contraria a uno dei pacchi e, in particolare, condizione A. Viene stabilita solo una tale contraddizione, il processo di prova è completato e giunto alla convinzione che la consadrazione risultante dimostra la verità del teorema a ⇒ in.

Attività 1. Dimostrare che se X + 2\u003e 10, x ≠ 8. Il metodo è contrario.

Compito 2. Dimostrare che se U² è un numero pari, allora y - anche. Metodo da cattivo.

Compito 3. Ci sono quattro numeri naturali consecutivi. È vero che il prodotto del numero medio di questa sequenza è maggiore del prodotto di estremo su 2? Il metodo di induzione incompleta.

La piena induzione è questo metodo di prova, in cui la verità dell'approvazione deriva dalla sua verità in tutti i casi speciali.

Attività 4. Dimostrare che ogni numero naturale composito, maggiore di 4, ma il più piccolo 20, rappresenta nella forma della somma di due numeri semplici.

Pertanto, la prova matematica è un ragionamento al fine di sostenere la verità di qualsiasi approvazione (teorema), una catena di conclusioni logiche, mostrando che, soggette alla verità di un certo insieme di assiomi e conclusione, l'approvazione è vera.

Letteratura:

1. Geometry / 7-9 classi: studi. Per l'educazione generale. Istituzioni / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev]. - 21 Ed. - m.: Illuminazione, 2011.

Conferenza 10. Metodi di prove matematiche

1. Metodi di prove matematiche

2. Evidenza diretta e indiretta. Prova del metodo di cattiva.

3. Conclusioni di base

Nella vita di tutti i giorni, spesso, quando parlano di prove, significano solo una verifica dell'approvazione fatta. In matematica, il controllo e la dimostrazione sono cose diverse, anche se interconnesse. Lasciare, ad esempio, è necessario dimostrare che se nel quadrangolo tre angoli sono diretti, allora è un rettangolo.

Se prendiamo un quadrangolo, che ha tre angoli dritti, e, misurando il quarto, assicurati di essere veramente dritto, allora questo controllo farà questa approvazione più credibile, ma non ancora provata.

Per dimostrare questa affermazione, considerare un quadrilatero arbitrario, in cui tre angoli sono diretti. Poiché in qualsiasi quadrilatero convesso la somma degli angoli è 360⁰, quindi è a 360 °. La somma di tre angoli diretti è 270 ° (90⁰ 3 \u003d 270⁰), e, significa che il quarto ha un valore di 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Se tutti gli angoli del quadrilatero sono dritti, quindi è un rettangolo di conseguenza, questo quadrilatero sarà un rettangolo. Q.e.d.

Si noti che l'essenza della prova della prova è quella di costruire tale sequenza di affermazioni vere (teoremi, assiomi, definizioni), di cui l'approvazione dovrebbe essere proposta logicamente.

Affatto dimostra qualsiasi affermazione: significa mostrare che questa affermazione segue logicamente dal sistema di dichiarazioni vere e correlate.

Nella logica, si ritiene che se l'approvazione in esame segue logicamente da già dimostrate affermazioni, è ragionevole e anche vero, così come l'ultimo.

Pertanto, la base delle prove matematiche è una conclusione deduttiva. E la prova stessa è una catena di conclusioni, e la conclusione di ciascuna di esse (tranne quest'ultima) è un pacco in una delle seguenti conclusioni.

Ad esempio, nella prova di cui sopra, si possono distinguere le seguenti conclusioni:

1. In qualsiasi convesso del quadrilatero, la somma degli angoli è di 360 °; Questa figura è un quadrilaterale convesso, quindi, la somma degli angoli in esso 360⁰.

2. Se la somma di tutti gli angoli del quadrilatero e la somma di tre di loro sono conosciute, allora la sottrazione può essere trovata la quantità del quarto; La somma di tutti gli angoli di questo quadrilatero è di 360 °, la somma di tre 270⁰ (90⁰ 3 \u003d 270⁰), quindi la grandezza del quarto 360⁰ - 270⁰ \u003d 90⁰.

3. Se nel quadrilatero tutti gli angoli sono diretti, questo quadrilatero è un rettangolo; In questo quadrilatero, tutti gli angoli sono diretti, quindi, è un rettangolo.

Tutte le conclusioni elencate sono fatte secondo la regola dell'opinione e, pertanto, sono deducenti.

La prova più semplice è costituita da una conclusione. Tale, ad esempio, è la prova della dichiarazione che 6< 8.

Quindi, parlando della struttura delle prove matematiche, dobbiamo capire che include principalmente una dichiarazione che è dimostrata e il sistema di affermazioni vere, con l'aiuto di quali prove.

Va anche notato che la prova matematica non è solo una serie di conclusioni, queste sono conclusioni situate in un determinato ordine.

Secondo il metodo di mantenimento (nella forma) distinguere diretto e indiretto prova di. La prova precedentemente considerata era direttamente - in esso, in base ad una vera frase e, tenendo conto della condizione del teorema, è stata costruita una catena di conclusioni deduttive, che ha portato a una vera conclusione.

Un esempio di prove indirette è la prova metodo da Nasty. . L'essenza è la seguente. Lascia che sia richiesto di dimostrare il teorema

A ⇒ V. Nella prova del metodo dal contrario, si presume che la conclusione del teorema (c) sia falsa, e, quindi, la sua negazione è vera. Attaccare la proposta "non in" alla serie di true pacchi utilizzati nel processo di prova (tra cui la condizione A) è costruita da una catena di conclusioni deducenti fino a quando una dichiarazione è contraria a uno dei pacchi e, in particolare, condizione A. Viene stabilita solo una tale contraddizione, il processo di prova finisce e dice che la contraddizione risultante dimostra la verità del teorema

Attività 1. Dimostrare che se a + 3\u003e 10, quindi a ≠ 7. il metodo è contrario.

Compito 2. Dimostrare che se X² è un numero pari, X - anche. Metodo da cattivo.

Compito 3. Ci sono quattro numeri naturali consecutivi. È vero che il prodotto del numero medio di questa sequenza è più del lavoro di estremo su 2? Il metodo di induzione incompleta.

Induzione completa - Questo è un metodo di prova, in cui la verità dell'approvazione deriva dalla verità di essa in tutti i casi speciali.

Attività 4. Dimostrare che ogni numero naturale composito, maggiore di 4, ma il più piccolo 20, rappresenta nella forma della somma di due numeri semplici.

Task 5 è vero che se il numero naturale n non è più 3, quindi il valore dell'espressione n² + 2 più volte 3? Metodo di completa induzione.

Nella brochure, le lingue accessibili dalla lingua descrive alcuni dei principi fondamentali su cui si sta costruendo la scienza della matematica: il concetto di prove matematiche differisce dal concetto di prove adottate in altre scienze e nella vita di tutti i giorni, cosa il Le applicazioni più semplici di prove sono utilizzate in matematica, come l'idea dell'idea della prova "corretta" che un metodo così assiomatico è dovuto alla differenza tra verità e prova.
Per un cerchio molto ampio di lettori, partendo da scolari delle scuole superiori.

Matematica e prove.
Persino sconosciuto con l'uomo di matematica, prendendo un libro in matematica, può, di regola, determinare immediatamente che questo libro è davvero in matematica, e non per qualche altro argomento. E non è solo che ci saranno sicuramente molte formule: ci sono formule in entrambi i libri in fisica, all'astronomia o in un edificio del ponte. Il fatto è che in qualsiasi libro serio in matematica ci sono sicuramente prove. È la provvistabilità delle dichiarazioni matematiche che la presenza di prove nei testi matematici è che è chiaramente distinta dalla matematica da altre aree di conoscenza.

Il primo tentativo di coprire un singolo trattato tutte le matematiche hanno preso un antico euclide matematico greco nel III secolo alla nostra era. Di conseguenza, è apparso il famoso "inizio" Euclida. E il secondo tentativo ha avuto luogo solo nel XX secolo. E., e appartiene alla matematica francese di Nikol Burbaki, iniziata nel 1939 per pubblicare un trattato multi-volume "iniziò matematica". Questa frase si apre Bombaki il suo trattato: "Dal momento che i tempi dei greci," matematica "dice, significa dire" prova ". Quindi, "Matematica" e "Prova" - Queste due parole sono dichiarate quasi sinonimi.

SOMMARIO
Matematica e prove
Sulla precisione e un'inboliguità dei termini matematici
Prova del metodo di interazione
Evidenza indiretta dell'esistenza. Principio dirichle.
Prova "dal contrario"
I principi del più grande e più piccolo e il metodo di discesa infinita
Induzione
Prova da induzione matematica
Induzione completa e induzione incompleta
L'idea delle prove matematiche sta cambiando nel tempo.
Due metodi assiomatici - informale e formale
Metodo assiomatico informale
Metodo assiomatico formale
Teorema di Gödel.

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