Come viene calcolata la probabilità. Formula di calcolo della probabilità classica

Associazione (logica) N Eventi Chiama un evento che è osservato ogni volta che arriva almeno uno dieventi . In particolare, l'Associazione degli eventi A e B chiamano un evento UN.+ B. (in alcuni autori
), che è osservato quando divenireo UNo B.o Entrambi questi eventi allo stesso tempo(Fig. 7). Un segno dell'incrocio nelle formulazioni di testo degli eventi è l'Unione "o".

Fico. 7. A + B Combinazione di eventi

Va tenuto presente che le probabilità dell'evento P (A) corrispondono a come parte sinistra dell'ombreggiata in fig. 7 forme e la sua parte centrale etichettata come
. E i risultati corrispondenti all'evento B si trovano entrambi nel lato destro della figura ombreggiata e nel segnato
parte centrale. Quindi, quando si aggiunge e terreno di gioco
inserisci davvero questa quantità due volte, e l'espressione esatta per l'area dell'ombreggiata
.

Così, probabilità dell'Unione Due eventi A e B sono uguali

Per un numero maggiore di eventi, l'espressione complessiva degli insediamenti diventa estremamente ingombrante a causa della necessità di tenere conto di numerose opzioni per le aree di sovrapposizione reciproche. Tuttavia, se gli eventi uniti sono incompleti (vedi pagina 33), l'imposizione reciproca delle aree è impossibile e la zona favorevole è determinata direttamente dalla somma delle aree corrispondenti a singoli eventi.

Probabilità associazione Numeri arbitrari non-lettinieventi determinato dall'espressione

Corollario 1.: Un gruppo completo di eventi è costituito da eventi incompleti, uno dei quali nell'esperienza è necessariamente implementato. Di conseguenza, se gli eventi …
,forma gruppo completoQuindi per loro

In questo modo,

A PARTIRE DALghiaccio 3. Prendiamo in considerazione che la dichiarazione opposta "accadrà almeno uno degli eventi …
"È una dichiarazione" nessuno degli eventi …
non implementato. " Quelli, in altre parole, gli eventi saranno osservati nell'esperienza. , IO. , e e "Qual è l'intersezione degli eventi opposti al set originale. Da qui, tenendo conto (2 .0), per combinare un numero arbitrario di eventi che otteniamo

Corollary 2, 3 dimostrano che nei casi in cui il calcolo immediato della probabilità di qualche evento è problematico, è utile valutare il tempo considerazione della ricerca degli eventi a lui. Dopotutto, sapendo
, prendi (2 .0) il valore desiderato
nessun lavoro non rappresenta più.

1. Esempi di calcolare le probabilità di eventi complessi

Esempio 1. : Due studenti (Ivanov e Petrov) insieme iospostato per proteggere il lavoro di laboratorio, avendo imparato il primo 8 condomande TROLNY per questo lavoro su 10 disponibili. Controllo della preparazione,la stazione di servizio imposta ciascuno solo unoh Domanda prescelta rasticamente. Determina la probabilità dei seguenti eventi:

UN. \u003d "Ivanov proteggerà il lavoro di laboratorio";

B. \u003d "Petrov proteggerà il lavoro di laboratorio";

C. \u003d "Entrambi proteggeranno il lavoro di laboratorio";

D. \u003d "Almeno uno degli studenti proteggerà il lavoro";

E. \u003d "Solo uno degli studenti proteggerà il lavoro";

F. \u003d "Nessuno di loro proteggerà il lavoro."

Decisione. Si noti che la capacità di proteggere il lavoro come Ivanov, TaK e Petrov separatamente sono determinati solo dal numero di problemi sviluppati, poetaw. . (Nota: in questo esempio, i valori delle frazioni ottenuti erano coscientemente non ridotti per semplificare il confronto dei risultati dei calcoli).

EventoC. È possibile formulare altrimenti come "il lavoro proteggerà sia Ivanov e Petrov", cioè. accaderee eventoUN., e eventoB.. Quindi, un eventoC. È un'intersezione degli eventiUN. eB.e in conformità con (2 .0)

dove viene iniziato il "7/9", a causa del fatto che gli eventiUN. Significa che Ivanovo ha una domanda di "successo", il che significa che Petrov dalle restanti 9 domande ora ha solo 7 "buoni" problemi.

EventoD. implica che "il lavoro proteggerào Ivanov,o Petrov.o Sono entrambi insieme ", cioè succederà almeno uno degli eventiUN. eB.. Quindi eventoD. È un'associazione di eventiUN. eB.e in conformità con (2 .0)

cosa corrisponde alle aspettative, perché Anche per ciascuno degli studenti individualmente, le possibilità di successo sono abbastanza grandi.

A PARTIRE DALcertificato E significa "entrambi i lavori proteggerà Ivanoin, e Petrov "n",o Ivanov non cadrà infruttuoso inpro, e Petrov con protezione controlla. " Due opzioni alternative sono reciprocamente esclusive (incomplete), quindi

Infine, la dichiarazioneF. Si scopre giusto solo se "e Ivanov,e Petrov con protezionenon Chart. " Così,

Su questo problema, il compito è completato, tuttavia è utile notare i seguenti punti:

1. Ciascuna delle probabilità ottenuta soddisfa la condizione (1.0),o se per
e
ottenere conflittos. (1.0) in linea di principio è impossibile, quindi per
tentare che iousare (2 .0) anziché (2 .0) porterebbe ovviamente erratovalore immobiliare
. È importante ricordare che un tale valore di probabilità è fondamentalmente impossibile, e al ricevimento di un risultato tale paradossa, procede immediatamente alla ricerca di un errore.

2. Trovato le probabilità soddisfano le relazionim.

.

E.questo è abbastanza previsto, perché eventiC., E. eF. Forma pienagruppo UU e eventiD. eF. opposto l'uno all'altro. Contabilità per questile relazioni su un lato possono essere utilizzatewang per calcoli ricontrollati, e in un'altra situazione può servire come base per un modo alternativo per risolvere il problema.

P. rometer. : Non trascurare la fissazione scrittauna formulazione accurata dell'evento, altrimenti, nel corso della risoluzione del problema, è possibile passare involontariamente a un'altra interpretazione del significato di questo evento, che comporterà un errore nel ragionamento.

ESEMPIO 2. : In un grande batch, i microcircuiti che non hanno superato il controllo della qualità dell'uscita, il 30% dei prodotti è difettoso.Se devi scegliere due chips da questo batch, allora cosala probabilità è tra queste:

UN. \u003d "Entrambi adatti";

B. \u003d "Esattamente 1 chip adatto";

C. \u003d "Entrambi difettosi".

Analizziamo la seguente opzione di ragionamento (Attenzione, contiene un errore):

Dal momento che stiamo parlando di un grande gruppo di prodotti, il ritiro di esso da esso da esso da molti chip praticamente non influisce sul rapporto del numero di prodotti adatti e difettosi, e quindi, scegliendo più volte in fila alcuni microcircuiti da questa parte possono Sii considerato che in ciascuno dei casi rimangono probabilità invariate

= P.(È stato scelto un prodotto difettoso) \u003d 0.3 e

= P.(Prodotto produttivo selezionato) \u003d 0,7.

Per eventiUN. bisogno di esseree primo,e La seconda volta è stato selezionato un prodotto affermativo, e quindi (tenendo conto dell'indipendenza del proprio successo della selezione del primo e del secondo chip) per attraversare gli eventi

Allo stesso modo, per il verificarsi dell'evento, è necessario che entrambi i prodotti siano difettosi e per ottenere B è necessario scegliere l'antenuato una volta, e uno è un prodotto difettoso.

Segno di errore. H.iON tutte le probabilità di cui soprae sembrare plausibile, quando analizzano congiuntamente, è facileemendelo .Tuttavia, i casiUN., B. eC. Forma pienaun gruppo di eventi per il quale dovrebbe essere eseguito .Questa contraddizione indica un certo errore nel ragionamento.

A PARTIRE DAL errori di mosca. Introduciamo due modifiche alla considerazioneeventi del leone:

\u003d "Il primo chip - adatto, secondo - difettoso";

\u003d "Il primo chip è difettoso, il secondo - adatto."

Ovviamente, tuttavia, questa opzione è il calcolo sopra è stato utilizzato per ottenere una probabilità di un evento.B., Anche se gli eventiB. e non sono E.quivalent.. In realtà,
perché FormulazioneeventiB. richiede esattamente questo tra i chipuno , ma del tuttonon necessariamente prima Era adatto (e l'altro era difettoso). Pertanto, anche se evento non una poporsa di eventi e dovrebbe essere preso in considerazioneguarda in modo indipendente. Data l'incompletezza degli eventi e , La probabilità della loro quantità logica sarà uguale

Dopo la correzione specificata dei calcoli che abbiamo

ciò che conferma indirettamente la correttezza della probabilità trovata.

Nota : Prestare particolare attenzione in contrasto con la formulazione degli eventi di tipoprimo dagli elementi elencati dovrebbero ... "e" solouno da elementi elencatigli editori dovrebbero ... ". L'ultimo evento è chiaramente più ampio e inclusot.nella sua composizione è il primo come uno di (forse numerosix) opzioni. Queste opzioni alternative (anche con la coincidenza della loro probabilità) dovrebbero essere considerate indipendentemente l'una dall'altra.

P. rometer. : La parola "percentuale" è avvenuta da "per. centesimo.", I.e."Cento". La rappresentazione delle frequenze e delle probabilità in percentuale consente di operare con valori più grandi, che a volte semplifica la percezione dei valori "sull'udienza". Tuttavia, utilizzare nei calcoli per la corretta normalizzazione, moltiplicazione o divisione nel "100%" ingombrante e inefficiente. A questo proposito, nonabby quando si utilizzano valori, menzionechiesto come percentuale, di sostituirli nelle espressioni di insediamentolo stesso sotto forma di una frazione da una (ad esempio, il 35% nel calcolo è registratoi come "0,35") per minimizzare il rischio di normalizzazione errata dei risultati.

ESEMPIO 3. : Un set di resistori contiene un resistore4 com, tre resistori per 8 com e sei resistentioRS con resistenza 15 com. Rapids selezionati Tre resistori sono collegati tra loro in parallelo. Determinare la probabilità di ottenere la resistenza finale non superiore a 4 com.

Solido . Resistenza alla connessione parallelaistorov può essere calcolato dalla formula

.

Questo ti consente di inserire un evento, come ad esempio

UN. \u003d "Tre resistori sono selezionati per 15 com" \u003d "
”;

B. \u003d "B.due resistori per 15 com e uno con resistenzam 8 com "\u003d"
”…

Un gruppo completo di eventi corrispondenti alla condizione del problema include un altro numero di opzioni, ed è proprio tale dai siffliers corrispondono al requisito avanzato della resistenza non più di 4 com. Tuttavia, anche se il percorso "dritto" della decisione, che assume il calcolo (e le successive sommele probabilità che caratterizzano tutti questi eventi, ed è corretta, è poco pratico in questo modo.

Si noti che per ottenere la resistenza finale di meno di 4 comasclusivo, per essere utilizzato almeno un resistore con resistenzamangia meno di 15 com. Quindi, solo nel caso diUN. Il requisito dell'attività non viene eseguito, cioè. eventoUN. è undi fronte in studio. Tuttavia,

.

In questo modo, .

P. r. etichetta : Tenendo la probabilità di qualche eventoUN., non dimenticare di analizzare l'intensità del lavoro della definizionesono la probabilità di un evento per lui il contrario. Se Russ.leggere
facile, è da questo che devi iniziare risolverecompitiCompletando il suo utilizzo della relazione (2 .0).

P. rymer 4. : Nella casella sono disponibilin. biancam. Nero I.k. Palle rosse. Le palle una per una a caso vengono estratte fuori dalla scatolae tornò indietro dopo ogni estrazione. Determinare la probabilitàeventiUN. \u003d "Palla biancasarà estratto prima del nero” .

Solido . Considera il seguente set di eventi

\u003d "La palla bianca estratta al primo tentativo";

\u003d "All'inizio, la palla rossa è stata presa, e poi - bianca";

\u003d "Due volte invertito una palla rossa e per la terza volta - bianco”…

Quindi k.le palle AK vengono restituite, quindi la sequenzayyte. Può essere formalmente infinitamente esteso.

Questi eventi sono incoerenze e costituiscono il set di situazioni in cui si verifica l'eventoUN.. In questo modo,

È facile notare che i componenti dei componenti sono formatiprogressione geometrica. con elemento iniziale
e denominatore
. Ma sommeed elementi della progressione geometrica infinita sono uguali

In questo modo, . L.pensò che questa probabilità (come segue dall'ottualel'espressione) non dipende dal numero di palline rosse nella scatola.

Nell'economia, così come in altri settori dell'attività umana o della natura, devono costantemente affrontare eventi che non possono essere previsti accuratamente. Pertanto, le vendite di merci dipendono dalla domanda, che può essere significativamente modificata e da una serie di altri fattori che sono praticamente irrealistici. Pertanto, quando si organizzano la produzione e le vendite, è necessario prevedere l'esito di tali attività sulla base della propria esperienza precedente o di un'esperienza simile di altre persone o intuizione, che è in gran parte basata su dati esperti.

In qualche modo stimare l'evento in esame, è necessario tenere conto o organizzare specificamente le condizioni in cui questo evento è registrato.

Implementazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in esame sono chiamate esperienza o sperimentare.

L'evento è chiamato casualeSe come risultato dell'esperienza può verificarsi o non accadere.

L'evento è chiamato affidabileSe appare necessariamente come risultato di questa esperienza, e impossibileSe non può apparire in questa esperienza.

Ad esempio, la perdita di neve a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba giornaliera può essere considerata un evento affidabile. La perdita di neve all'equatore può essere vista come un evento impossibile.

Uno dei compiti principali della teoria della probabilità è il compito di determinare la misura quantitativa della possibilità di un evento.

Eventi algebra

Gli eventi sono chiamati incompleti se non possono essere osservati nella stessa esperienza. Quindi, la presenza di due e tre auto in un unico negozio in vendita allo stesso tempo è due eventi incompleti.

Somma Gli eventi sono chiamati un evento costituito nell'aspetto di almeno uno di questi eventi.

Ad esempio, la quantità di eventi può essere chiamata presenza nel negozio almeno uno dei due prodotti.

Lavoro Gli eventi sono chiamati un evento costituito nell'aspetto simultaneo di tutti questi eventi.

Un evento costituito nell'aspetto contemporaneamente nel negozio di due prodotti è il lavoro degli eventi: - un prodotto - l'aspetto di un altro prodotto.

Gli eventi formano un gruppo completo di eventi, se almeno uno di loro si verificherà nell'esperienza.

Esempio. Il porto ha due ormeggi per ricevere navi. Puoi considerare tre eventi: - L'assenza di navi agli ormeggi è la presenza di una nave da uno degli ormeggi - la presenza di due navi in \u200b\u200bdue ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.

Di fronte I due solo possibili eventi che formano un gruppo completo sono chiamati.

Se uno degli eventi che sono opposti a designare attraverso, l'evento opposto è solitamente indicato da.

Identificazione classica e statistica della probabilità di un evento

Ciascuno dei risultati del test di equilibrio (esperimenti) è chiamato esito elementare. Di solito sono denotati da lettere. Ad esempio, un osso che gioca corre. I risultati elementari possono essere sei dal numero di punti sui bordi.

Dai esiti elementari, è possibile effettuare un evento più complesso. Pertanto, l'evento della perdita di un numero pari di punti è determinato da tre esiti: 2, 4, 6.

La misura quantitativa della possibilità dell'aspetto dell'evento in esame è la probabilità.

La più diffusa ha ricevuto due definizioni dell'evento di un evento: classico e statistico.

La definizione classica della probabilità è associata al concetto di un risultato favorevole.

EXODUS è chiamato favorevole Questo evento, se il suo aspetto comporta l'insorgenza di questo evento.

Nell'esempio sopra, l'evento in questione è un numero pari di punti sulla faccia caduta, ha tre risultati favoriti. In questo caso, è anche noto al generale
Il numero di possibili esiti. Quindi, qui puoi usare la definizione classica della probabilità di un evento.

Definizione classicaequivale al rapporto tra il numero di risultati favorevoli al numero totale di possibili risultati

dove - la probabilità di un evento è il numero di eventi favorevoli dei risultati - il numero totale di possibili risultati.

Nell'esempio considerato

La definizione statistica della probabilità è associata al concetto della frequenza relativa dell'evento negli esperimenti.

La frequenza relativa dell'evento è calcolata dalla formula

dove - il numero di eventi nella serie da esperimenti (test).

Definizione statistica. La probabilità di un evento è chiamata un numero rispetto al quale stabilizza (imposta) frequenza relativa con un aumento illimitato del numero di esperimenti.

In attività pratiche, la frequenza relativa è presa per la probabilità di un evento con un numero sufficientemente elevato di test.

Da queste definizioni di probabilità, l'evento può essere visto che la disuguaglianza viene sempre eseguita.

Per determinare la probabilità di un evento basato sulla formula (1.1), vengono spesso utilizzate le formule di combinatori, che è il numero di risultati favoriti e il numero totale di possibili risultati.

Argomento 1. . Formula di calcolo della probabilità classica.

Le principali definizioni e formule:

Esperimento, il cui risultato è impossibile da prevedere, chiamare esperimento casuale (Se).

Un evento che in questo SE può verificarsi e potrebbe non accadere, chiamato evento casuale.

Risultati elementari Chiamare gli eventi che soddisfano i requisiti:

1. In tutta l'attuazione del SE, uno e solo un risultato elementare si verifica;

2. L'evento è una combinazione, qualche serie di esiti elementari.

L'insieme di tutti i possibili esiti elementari descrive completamente SE. Tale molto accettato spazio di esiti elementari (PEI). La scelta di PEI per descrivere questo SE è ambigua e dipende dal compito risolto.

P (a) \u003d n (a) / n,

dove n è il numero totale di risultati di equilibrio,

n (A) - il numero di risultati che costituiscono un evento A, come si suol dire, favorendo l'evento A.

Le parole "Mindach", "a caso", e garantiscono casualmente l'equilibrio dei risultati elementari.

Risolvere esempi tipici

Esempio 1. Dall'urn contenente 5 palle rosse, 3 nero e 2 bianche, il mutuo rimuove 3 palle. Trova le probabilità degli eventi:

MA - "Tutte le palle estratte sono rosse";

NEL - "tutte le palle estratte - un colore";

A PARTIRE DAL - "Tra gli estratti esattamente 2 neri".

Decisione:

L'esito elementare di questo SE è una tripla (disordinata!) Palle. Pertanto, il numero totale di risultati è il numero di combinazioni: n \u003d\u003d 120 (10 \u003d 5 + 3 + 2).

Evento MA Consiste solo di quei triple che sono stati rimossi da cinque palline rosse, cioè. n (A) \u003d\u003d 10.

Evento NEL Oltre a 10 triple rosse, le truppe nere sono favorite, il cui numero è uguale \u003d 1. Pertanto: N (B) \u003d 10 + 1 \u003d 11.

Evento A PARTIRE DAL Le cime delle palline che contengono 2 nero e uno non sono nere sono favorevoli. Ogni via per selezionare due palline nere può essere combinata con una scelta di un non nero (di sette). Pertanto: n (c) \u003d \u003d 3 * 7 \u003d 21.

Così: RA) = 10/120; P (B) = 11/120; P (c) = 21/120.

ESEMPIO 2. Secondo le condizioni del compito precedente, assumiamo che le palle di ciascun colore abbiano la loro numerazione, a partire da 1. Trova le probabilità degli eventi:

D. - "Il numero massimo estratto è 4";

E. - "Il numero massimo estratto è 3".

Decisione:

Per calcolare N (D), possiamo supporre che nell'urna c'è una palla con un numero 4, una palla con un numero elevato e 8 palle (3k + 3h + 2b) con numeri più piccoli. Evento D. Supporta le prime tre palline che contengono necessariamente una palla con palline numero 4 e 2 con numeri più piccoli. Pertanto: n (d) \u003d

P (D) \u003d 28/120.

Per il calcolo di N (E), consideriamo: nell'urn due palle con un numero 3, due con numeri di grandi dimensioni e sei palline con numeri più piccoli (2k + 2h + 2b). Evento E. Consiste di tre tipi di triple:

1. Una palla con un numero 3 e due con numeri più piccoli;

2. Una palla con un numero 3 e uno con un numero più piccolo.

Pertanto: n (e) \u003d

P (e) \u003d 36/120.

ESEMPIO 3. Ognuno di M di varie particelle si precipita a una delle cellule N. Trova le probabilità degli eventi:

MA - Tutte le particelle sono entrate nella seconda cella;

NEL - Tutte le particelle sono entrate in una cella;

A PARTIRE DAL - ogni cella non contiene più di una particella (m £ n);

D. - tutte le cellule sono occupate (m \u003d n +1);

E. - La seconda cella contiene senza intoppi per Particelle.

Decisione:

Per ogni particella, ci sono n metodi per entrare in una o in un'altra cella. Secondo il principio principale dei combinatorici per le particelle M, abbiamo n * n * n * ... * n (m-time). Quindi, il numero totale di risultati in questo SE n \u003d n m.

Per ogni particella abbiamo una possibilità di entrare nella seconda cella, quindi n (a) \u003d 1 * 1 * ... * 1 \u003d 1 m \u003d 1 e p (A) \u003d 1 / n m.

Entrare in una cella (tutte le particelle) significa arrivare a tutti nel primo, oa tutti nel secondo, o ecc. Tutto in N-. Ma ognuna di queste opzioni può essere realizzata in un modo. Pertanto, n (b) \u003d 1 + 1 + ... + 1 (n-) \u003d n e p (c) \u003d n / n m.

Un evento con significa che ogni particella ha il numero di modi per posizionare un'unità inferiore a quella della particella precedente, e il primo può entrare in una qualsiasi delle cellule N. Perciò:

n (c) \u003d n * (n -1) * ... * (n + m -1) e p (c) \u003d

In un caso particolare a m \u003d n: p (s) \u003d

Evento D significa che una delle cellule contiene due particelle e ciascuna delle cellule rimaste (N -1) contiene una particella. Per trovare N (D) discutiamo in questo modo: selezionare la cella in cui ci saranno due particelle, questo può essere fatto \u003d n modi; Quindi scegli due particelle per questa cella, ci sono modi per questo. Successivamente, le particelle rimanenti (N -1) saranno distribuite su una delle celle rimanenti (N -1), per questo c'è (n -1)! modi.

Quindi, n (d) \u003d

.

Il numero N (E) può essere calcolato come segue: per Le particelle per la seconda cella possono essere metodi che rimangono (m-k) le particelle sono distribuite casualmente in (N -1) cella (N -1) M-a metodi. Perciò:

"L'incidente non è casuale" ... Sembra che il filosofo abbia detto, ma in realtà per studiare la casualità della grande scienza della matematica. In matematica, è impegnata la possibilità della teoria della probabilità. Le formule ed esempi di compiti, nonché le principali definizioni di questa scienza saranno presentate nell'articolo.

Qual è la teoria del rischio?

La teoria della probabilità è una delle discipline matematiche che studia eventi casuali.

Per essere leggermente più chiara, diamo un piccolo esempio: se vomiti una moneta, può cadere "aquila" o "ampia". Mentre la moneta è nell'aria, entrambe queste probabilità sono possibili. Cioè, la probabilità di possibili conseguenze correla 1: 1. Se tiri fuori uno del mazzo con 36 carte, la probabilità sarà indicata come 1:36. Sembrerebbe che non vi sia nulla da esplorare e prevedere, specialmente con l'aiuto di formule matematiche. Tuttavia, se ripeti una certa azione molte volte, è possibile identificare una regolarità e si basa su di esso per prevedere l'esito degli eventi in altre condizioni.

Se generalizziamo tutto quanto sopra, la teoria della probabilità in una comprensione classica è esplorare la possibilità di uno dei possibili eventi nel valore numerico.

Dalle pagine di storia

La teoria delle probabilità, delle formule ed esempi dei primi compiti è apparso nel Medioevo della distanza, quando tentava di prevedere il risultato dei giochi di carte per la prima volta.

Inizialmente, la teoria della probabilità non aveva nulla in comune con la matematica. È giustificato con fatti e empirici o proprietà di un evento che potrebbe essere riprodotto nella pratica. Il primo lavoro in quest'area come nella disciplina matematica è apparso nel XVII secolo. Pascal e Pierre Farm erano pennello rispetto ai blazer. Per molto tempo, hanno studiato il gioco d'azzardo e hanno visto alcuni modelli che hanno deciso di dire alla società.

La stessa tecnica è stata inventata da Huygens Christians, anche se non ha familiarità con i risultati degli studi di Pascal e della fattoria. Il concetto di "teoria delle probabilità", formule ed esempi, che sono considerati il \u200b\u200bprimo nella storia della disciplina, sono stati introdotti da loro.

Jacob Bernoulli, Laplas e Poisson Teorems hanno importanza importante. Hanno fatto la teoria della probabilità più come la disciplina matematica. La sua vista attuale della teoria delle probabilità, delle formule ed esempi di compiti di base sono stati ottenuti grazie agli assiomi di Kolmogorov. Come risultato di tutte le modifiche, la teoria della probabilità è diventata una delle sezioni matematiche.

I concetti di base della teoria della probabilità. Eventi

Il concetto principale di questa disciplina è l'evento. Gli eventi sono tre specie:

• Affidabile. Quelli che si verificheranno in ogni caso (la moneta cadrà).
• Impossibile. Eventi che non accadranno con nessun tipo (la moneta rimarrà appesa nell'aria).
• Casuale. Quelli che si verificheranno o non accadranno. Possono influenzare diversi fattori che sono molto difficili da prevedere. Se parliamo di una moneta, allora fattori casuali che possono influire sul risultato: le caratteristiche fisiche della moneta, la sua forma, la posizione iniziale, la forza del tiro, ecc.

Tutti gli eventi negli esempi sono indicati dalle lettere del capitale latino, ad eccezione del P, che è assegnato un altro ruolo. Per esempio:

• A \u003d "Gli studenti sono venuti alla conferenza."
• Â \u003d "Gli studenti non sono andati alla conferenza."

In attività pratiche, gli eventi sono accettati per registrare parole.

Una delle caratteristiche più importanti degli eventi è il loro equilibrio. Cioè, se lanci una moneta, tutte le opzioni per la caduta iniziale sono possibili fino a quando non è caduto. Ma anche gli eventi non sono uguali. Questo succede quando qualcuno colpisce appositamente il risultato. Ad esempio, "etichettated" carte da gioco o giocando le ossa in cui il centro di gravità è spostato.

Anche gli eventi sono compatibili e incompatibili. Gli eventi compatibili non escludono l'un l'altro. Per esempio:

• A \u003d "Lo studente è arrivato alla conferenza."
• B \u003d "Lo studente è arrivato alla conferenza."

Questi eventi sono indipendenti l'uno dall'altro e l'aspetto di uno di questi non influisce sull'apparizione di un altro. Gli eventi incompatibili sono determinati dal fatto che l'aspetto di uno elimina l'aspetto di un altro. Se parliamo della stessa moneta, la perdita del "piatto" rende impossibile apparire la "aquila" nello stesso esperimento.

Azioni sugli eventi

Gli eventi possono essere moltiplicati e piegati, rispettivamente, i legamenti logici "e" e "o" sono introdotti nella disciplina.

L'importo è determinato dal fatto che viene visualizzato un evento A, o B o due simultaneamente. Nel caso in cui sono incompatibili, l'ultima opzione è impossibile, cade o A, o V.

La moltiplicazione degli eventi è l'aspetto di A e allo stesso tempo.

Ora puoi dare alcuni esempi per ricordare meglio le basi, la teoria delle probabilità e delle formule. Esempi di soluzioni di attività successive.

Esercizio 1: La società partecipa alla concorrenza per i contratti per tre varietà di lavoro. Eventi possibili che potrebbero verificarsi:

• A \u003d "La società riceverà il primo contratto."
• E 1 \u003d "L'azienda non riceverà il primo contratto."
• B \u003d "L'azienda riceverà il secondo contratto."
• In 1 \u003d "L'azienda non riceverà il secondo contratto"
• C \u003d "L'azienda riceverà il terzo contratto".
• Da 1 \u003d "La società non riceverà il terzo contratto".

Usando l'azione sugli eventi, proviamo ad esprimere le seguenti situazioni:

• K \u003d "L'azienda riceverà tutti i contratti."

In forma matematica, l'equazione avrà la seguente forma: K \u003d ABC.

• M \u003d "La società non riceverà un singolo contratto."

M \u003d A 1 in 1 s 1.

Completa il compito: H \u003d "La società riceverà un contratto." Dal momento che non è noto esattamente quale tipo di contratto riceverà un'azienda (prima, secondo o terzo), è necessario registrare l'intera gamma di eventi possibili:

N \u003d A 1 Sun 1 υ AV 1 c 1 υ A 1 in 1 C.

E 1 Sun 1 è un certo numero di eventi in cui la società non riceve il primo e il terzo contratto, ma riceve il secondo. Altri eventi possibili sono registrati dal metodo corrispondente. Il simbolo υ nella disciplina indica il bundle "o". Se traduciamo il dato esempio sul linguaggio umano, l'azienda riceverà o il terzo contratto o il secondo, o il primo. Allo stesso modo, altre condizioni possono essere registrate nella "teoria della probabilità" della disciplina. Formule ed esempi di risoluzione dei compiti presentati sopra ti aiuteranno a farcela da solo.

In realtà, probabilità

Forse, in questa disciplina matematica, la probabilità di un evento è un concetto centrale. Ci sono 3 definizioni di probabilità:

• classico;
• statistico;
• geometrico.

Ognuno ha il suo posto nello studio delle probabilità. La teoria delle probabilità, formule ed esempi (grado 9) utilizza principalmente una definizione classica che suona come questa:

• La probabilità della situazione è pari al rapporto tra il numero di risultati, che favorisce il suo aspetto, al numero di possibili risultati.

La formula sembra così: p (a) \u003d m / n.

A - In realtà, evento. Se il caso appare di fronte a, può essere scritto come à o 1.

m è il numero di possibili casi favorevoli.

n - Tutti gli eventi che possono verificarsi.

Ad esempio, A \u003d "Tirare la scheda del vestito del verme." In un ponte standard da 36 carte, 9 di loro vermi. Di conseguenza, la formula per risolvere il compito sarà:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Di conseguenza, la probabilità che la carta del vestito del verme verrà estratta dal ponte, sarà 0,25.

Alla matematica superiore

Ora è diventato un po 'conosciuto su quale sia la teoria delle probabilità, delle formule ed esempi di risoluzione dei compiti che incontrano nel programma scolastico. Tuttavia, la teoria delle probabilità si riunisce in matematica superiore, che viene insegnata nelle università. Molto spesso è gestito da definizioni geometriche e statistiche di teoria e formule complesse.

Teoria della probabilità molto interessante. Formule ed esempi (matematica superiore) È meglio iniziare a studiare da un piccolo, da una determinazione di probabilità statistica (o frequenza).

L'approccio statistico non contraddice il classico e lo espande leggermente. Se nel primo caso è stato necessario determinare quale è più probabile che si verifichi un evento, quindi in questo metodo è necessario indicare quanto spesso si verificherà. Qui viene introdotto il nuovo concetto di "frequenza relativa", che può essere denotato da w n (a). La formula non è diversa dal classico:

Se la formula classica è calcolata per la previsione, allora statistica - in base ai risultati dell'esperimento. Prendere, ad esempio, un piccolo compito.

Il dipartimento di controllo tecnologico controlla i prodotti per la qualità. Tra 100 prodotti trovati 3 di bassa qualità. Come trovare la probabilità di frequenza del prodotto di qualità?

A \u003d "L'aspetto di beni di alta qualità."

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0.97

Pertanto, la frequenza del prodotto di qualità è 0.97. Dove hai preso 97? Di 100 prodotti che sono stati controllati, 3 si è rivelata scarsa qualità. Dal 100 turni 3, otteniamo 97, questa è la quantità di prodotto di qualità.

Un po 'di combinatoria

Un altro metodo di probabilità è chiamato combinatoria. Il suo principio principale è che se una certa scelta a può essere eseguita da m in modi diversi, e la scelta di B è in modi diversi, quindi la scelta A e B può essere eseguita moltiplicando.

Ad esempio, dalla città e nella città di conducono 5 strade. Dalla città in città con 4 modi. Quanti modi possono essere raggiunti dalla città e alla città s?

Tutto è semplice: 5x4 \u003d 20, cioè venti in modi diversi può essere raggiunto dal punto A al punto S.

Compito complicato. Quanti modi per laici in solitario? In un ponte da 36 carte - questo è il punto di partenza. Per scoprire il numero di modi, è necessario dal punto iniziale di "portare via" sulla stessa mappa e moltiplicare.

Cioè, 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d risultato non si adatta allo schermo della calcolatrice, quindi può essere semplicemente denotato 36!. Cartello "!" Vicino al numero indica che l'intero numero di numeri varia tra loro.

I combinatori presentano tali concetti come permutazione, alloggio e combinazione. Ognuno di loro ha la sua formula.

Un set ordinato di set di set è chiamato collocamento. Il posizionamento può essere con ripetizioni, cioè, un elemento può essere utilizzato più volte. E senza ripetizioni, quando gli articoli non vengono ripetuti. n sono tutti gli elementi, sono elementi che sono coinvolti nell'alloggio. La formula per il posizionamento senza ripetizione sarà:

A n m \u003d n! / (N-m)!

I composti da n elementi che differiscono solo dall'ordine del posizionamento sono chiamati permutazione. In matematica, ha la forma: p n \u003d n!

Si combina da n Elements On M sono chiamati composti tali in cui è importante quali elementi erano e quale sia il loro totale. La formula guarderà:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Formula Bernoulli.

Nella teoria della probabilità, così come in ogni disciplina, ci sono lavori in circolazione nel loro campo di ricercatori che lo hanno portato a un nuovo livello. Uno di questi lavori è la formula Bernoulli, che consente di determinare la probabilità di un determinato evento in condizioni indipendenti. Ciò suggerisce che l'aspetto di A nell'esperimento non dipende dall'emergenza o non appare lo stesso evento in test precedentemente condotti o successivi.

Bernoulli Equazione:

P N (M) \u003d C N M × P m × q n-m.

La probabilità (P) dell'aspetto di un evento (A) è invariato per ogni test. La probabilità che la situazione accadrà esattamente che m tempi in N quantità di esperimenti saranno calcolate dalla formula che viene presentata sopra. Di conseguenza, la domanda sorge su come scoprire il numero Q.

Se l'evento si verifica un numero di volte, rispettivamente, potrebbe non venire. L'unità è il numero da denotare da tutti i risultati della situazione nella disciplina. Pertanto, Q è un numero che significa la possibilità di eventi non attivi.

Ora conosci la formula Bernoulli (teoria della probabilità). Esempi di attività di risoluzione (primo livello) Considera ulteriormente.

Attività 2: Il visitatore del negozio effettuerà un acquisto con una probabilità di 0,2. 6 I visitatori hanno visitato il negozio. Qual è la probabilità che il visitatore effettui un acquisto?

Soluzione: poiché non è noto quanti visitatori dovrebbero effettuare un acquisto, uno o tutti e sei, è necessario calcolare tutte le probabilità possibili utilizzando la formula di Bernoulli.

A \u003d "Il visitatore farà un acquisto."

In questo caso: p \u003d 0,2 (come indicato nel compito). Di conseguenza, q \u003d 1-0.2 \u003d 0.8.

n \u003d 6 (dal momento che il negozio ha 6 visitatori). Il numero M cambierà da 0 (nessun acquirente effettua un acquisto) a 6 (tutti i visitatori per memorizzare qualcosa saranno acquistati). Di conseguenza, otteniamo una soluzione:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0,2621.

Nessuno degli acquirenti effettua un acquisto con una probabilità di 0,2621.

In quale altro modo è la formula Bernoulli (teoria della probabilità)? Esempi di risoluzione dei problemi (secondo livello) Avanti.

Dopo il suddetto esempio, sorgono domande su dove condividere con e r. Relativo al numero P a grado 0 sarà uguale a uno. Per quanto riguarda C, può essere trovato nella formula:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Dal momento che nel primo esempio m \u003d 0, rispettivamente, c \u003d 1, che in linea di principio non influisce sul risultato. Usando una nuova formula, proviamo a scoprire qual è la probabilità di acquistare beni da due visitatori.

P 6 (2) \u003d C 6 2 × P 2 × Q 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Non così complesso la teoria della probabilità. Formula di Bernoulli, esempi di cui sono presentati sopra, che è una prova diretta.

Formula Poisson.

L'equazione di Poisson viene utilizzata per calcolare situazioni improbabili casuali.

Formula di base:

P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).

In questo caso, λ \u003d n x p. Questa è una semplice formula di Poisson (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione dei compiti considerano ulteriormente.

Attività 3.: Alla fabbrica ha reso parti nella quantità di 100.000 pezzi. L'aspetto della parte difettosa \u003d 0,0001. Qual è la probabilità che 5 parti difettose saranno nella parte?

Come puoi vedere, il matrimonio è un evento improbabile e in connessione con cui viene utilizzata la formula di Poisson (teoria della probabilità) per calcolare. Esempi di risoluzione dei problemi di questo tipo non sono diversi da altri compiti della disciplina, nella formula ridotta che sostituiamo i dati necessari:

A \u003d "L'oggetto selezionato a caso sarà difettoso."

p \u003d 0,0001 (secondo la condizione di assegnazione).

n \u003d 100000 (numero di parti).

m \u003d 5 (parti difettose). Sosteniamo i dati nella formula e otteniamo:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Oltre alla formula Bernoulli (teoria della probabilità), esempi di soluzioni con l'aiuto dei quali sono scritti sopra, l'equazione di Poisson ha una e sconosciuta e. In effetti, può essere trovato nella formula:

e -λ \u003d Lim n -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Tuttavia, ci sono tavoli speciali in cui ci sono quasi tutti i valori.

Moavirow Laplace Teorem

Se il numero di test a Bernoulli nello schema Bernoulli e la probabilità di un evento e in tutti gli schemi è lo stesso, quindi la probabilità di eventi e un certo numero di volte in una serie di test può essere trovato come laplace formula:

P n (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Per ricordare meglio la formula della laplace (teoria della probabilità), esempi di compiti per aiutare sotto.

Per prima cosa troviamo x m, sostituiamo i dati (sono tutti indicati sopra) nella formula e otteniamo 0,025. Con l'aiuto dei tavoli, troviamo il numero φ (0,025), il cui valore è 0,3988. Ora puoi sostituire tutti i dati nella formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0,03.

Pertanto, la probabilità che il volantino pubblicitario funzionerà esattamente 267 volte, è 0,03.

Bays di Formula.

Bayes Formula (teoria della probabilità), esempi di risoluzione dei compiti con cui sarà mostrato di seguito, è un'equazione che descrive la probabilità di un evento, in base alle circostanze che potrebbero essere legate. La formula principale ha il seguente modulo:

P (A | B) \u003d P (in | a) x p (a) / p (c).

A e B sono alcuni eventi.

P (A | B) - La probabilità condizionale, cioè un evento può verificarsi a, a condizione che l'evento sia vero.

P (in | a) - La probabilità condizionale dell'evento V.

Quindi, la parte finale del piccolo corso "teoria della probabilità" è la formula di Bayes, esempi di soluzioni di compiti con cui di seguito.

Attività 5.: Il magazzino ha portato i telefoni da tre società. Allo stesso tempo, parte dei telefoni fabbricati al primo impianto è del 25%, nel secondo - 60%, al terzo - 15%. È anche noto che la percentuale media dei prodotti difettosi alla prima fabbrica è del 2%, nel secondo - 4% e nel terzo dell'1%. È necessario trovare la probabilità che il telefono selezionato a caso sarà difettoso.

A \u003d "Preso a caso il telefono".

Nel 1 ° telefono che ha reso la prima fabbrica. Di conseguenza, l'introduzione in 2 e 3 (per la seconda e la terza fabbrica) apparirà.

Di conseguenza, otteniamo:

P (in 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (in 2) \u003d 0.6; P (in 3) \u003d 0,15 - Quindi abbiamo trovato la probabilità di ogni opzione.

Ora è necessario trovare la probabilità condizionale dell'evento desiderato, cioè la probabilità di prodotti difettosi nelle imprese:

P (A / in 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / in 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Ora sostituiremo i dati nella formula di Bayes e otteniamo:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

L'articolo presenta la teoria delle probabilità, delle formule ed esempi di problem solving, ma è solo il vertice della disciplina ampia dell'iceberg. E dopo tutto scritto, sarà logico chiedere se la teoria della probabilità è necessaria nella vita. È difficile rispondere a una persona semplice per rispondere, è meglio chiedere ciò che, con il suo aiuto, non ha spezzato il sudore del jack.

Ci saranno compiti per una soluzione indipendente a cui puoi vedere le risposte.

L'impostazione generale del problema: le probabilità di alcuni eventi sono note, ed è necessario calcolare la probabilità di altri eventi associati a questi eventi. Questi compiti derivano la necessità di tali azioni sulle probabilità come aggiunta e moltiplicazione delle probabilità.

Ad esempio, due colpi guidati sulla caccia. Evento UN. - Anatra caduta dal primo scatto, evento B. - colpire dal secondo colpo. Quindi la somma degli eventi UN. e B. - colpire dal primo o al secondo colpo o da due colpi.

Compiti di un altro tipo. Esistono diversi eventi, ad esempio, una moneta viene generata tre volte. È tenuto a trovare la probabilità che l'emblema cadrà o tutte e tre volte, o l'emblema cadrà almeno una volta. Questo è il compito di moltiplicazione delle probabilità.

Aggiunta di probabilità di eventi incompleti

L'aggiunta di probabilità viene utilizzata quando è necessario calcolare la probabilità di combinare o la somma logica degli eventi casuali.

La quantità di eventi UN. e B. denota UN. + B. o UN. ∪ B.. La somma di due eventi è chiamata un evento che viene quando e solo quando si verifica almeno uno degli eventi. Significa che UN. + B. - un evento che viene quindi e solo quando si è verificato un evento se osservato UN.o evento B., o allo stesso tempo UN.e B..

Se gli eventi UN.e B.vengono fornite reciprocamente incoerenti e le loro probabilità, quindi la probabilità che, come risultato di un test, si verificherà uno di questi eventi, calcolato utilizzando l'aggiunta di probabilità.

Probabilità Aggiunta teorema. La probabilità che uno dei due eventi reciprocamente incompleti avverrà è pari alla somma delle probabilità di questi eventi:

Ad esempio, due colpi prodotti sulla caccia. Evento MA - Anatra caduta dal primo scatto, evento NEL- colpire dal secondo scatto, evento ( MA+ NEL) - colpire dal primo o dal secondo colpo o da due colpi. Quindi, se due eventi MAe NEL - eventi incompleti, quindi MA+ NEL- L'inizio di almeno uno di questi eventi o due eventi.

Esempio 1.Nel cassetto 30 palle delle stesse dimensioni: 10 rosso, 5 blu e 15 bianco. Calcola la probabilità che senza guardare verrà preso la palla di colore (non bianco).

Decisione. Prenderemo che l'evento MA- "Una palla rossa è presa," e l'evento NEL- "La palla blu è presa." Quindi l'evento è palla "prese colore (non bianco)." Trova la probabilità di un evento MA:

ed eventi NEL:

Eventi MAe NEL - reciprocamente incompatibile, perché se viene presa una palla, allora non puoi prendere le palle di colori diversi. Pertanto, usiamo l'aggiunta di probabilità:

Probabilità Aggiunta teorema per più eventi incompleti. Se gli eventi costituiscono una serie completa di eventi, la somma delle loro probabilità è 1:

La somma della probabilità di eventi opposti è anche uguale a 1:

Gli eventi opposti formano un insieme completo di eventi e la probabilità di un set completo di eventi è 1.

Le probabilità di eventi opposti sono solitamente indicati da piccole lettere. p. e q.. In particolare,

cosa segue le seguenti formule come gli eventi opposti:

ESEMPIO 2.L'obiettivo nel trattino è diviso in 3 zone. La probabilità che un certo sparatutto sparirà nell'obiettivo nella prima zona sia 0,15, nella seconda zona - 0,23, nella terza zona - 0.17. Trova la possibilità che lo sparatutto cadrà nell'obiettivo e la probabilità che il tiratore cadrà oltre l'obiettivo.

Soluzione: troveremo la probabilità che lo sparatutto cadrà nell'obiettivo:

Troveremo la probabilità che il tiratore cadrà oltre il bersaglio:

I compiti sono più completi in cui è necessario applicare l'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità - sulla pagina "Varie attività per l'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità".

Aggiunta di probabilità di eventi congiunti reciprocamente

Due eventi casuali sono chiamati congiunti, se l'insorgenza di un evento non esclude l'inizio del secondo evento nella stessa osservazione. Ad esempio, quando si getta un evento osseo di gioco MAil Dropout del numero 4 è considerato e l'evento NEL- Perdita di un lettore. Poiché il numero 4 è un numero pari, questi due eventi sono compatibili. In pratica, ci sono compiti sul calcolo della probabilità del verificarsi di uno degli eventi congiunti reciprocamente.

Aggiunta di probabilità Teorema per eventi congiunti. La probabilità che uno degli eventi congiunti verrà pari alla somma delle probabilità di tali eventi da cui viene dedotta la probabilità dell'inizio complessivo di entrambi gli eventi, cioè il prodotto delle probabilità. La formula delle probabilità degli eventi congiunti ha il seguente modulo:

Dal momento che eventi MAe NEL Compatibile, evento MA+ NELarriva se uno dei tre possibili eventi si verifica: o Au.. Secondo l'aggiunta di eventi incompleti, calcoliamo questo:

Evento MAverrà se uno dei due eventi inconsistenti si verifica: o Au.. Tuttavia, la probabilità del verificarsi di un evento da diversi eventi incompleti è uguale alla somma delle probabilità di tutti questi eventi:

Allo stesso modo:

Sostituire le espressioni (6) e (7) nell'espressione (5), otteniamo una formula di probabilità per gli eventi congiunti:

Quando si utilizza la formula (8), dovrebbe essere tenuta a mente che gli eventi MA e NELpuò essere:

• reciprocamente indipendente;
• dipendente reciprocamente.

Formula probabilità per eventi reciprocamente indipendenti:

Formula di probabilità per eventi reciprocamente dipendenti:

Se gli eventi MAe NELincoerente, la loro coincidenza è il caso impossibile e, quindi, P.(Ab.) \u003d 0. La quarta formula di probabilità per eventi incompleti è il seguente:

ESEMPIO 3.Sulla macchina da corsa all'arrivo alla prima auto, la probabilità di vincere, all'arrivo nella seconda auto. Trovare:

• la probabilità che entrambe le macchine vincessero;
• la probabilità che almeno una macchina vincerà;

1) la probabilità che la prima auto vincerà non dipenderà dal risultato della seconda auto, quindi eventi MA(Vinci la prima auto) e NEL (Il secondo veicolo vincerà) - eventi indipendenti. Troveremo la probabilità che entrambe le auto vincessero:

2) Troveremo la probabilità che una delle due auto vincerà:

I compiti sono più completi in cui è necessario applicare l'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità - sulla pagina "Varie attività per l'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità".

Risolvi il compito per l'aggiunta di probabilità te stesso, e poi vedi la decisione

ESEMPIO 4. Due monete si precipitano. Evento UN. - La perdita dello stemma sulla prima moneta. Evento B. - La perdita dello stemma sulla seconda moneta. Trova la probabilità di eventi C. = UN. + B. .

Moltiplicazione delle probabilità

La moltiplicazione delle probabilità utilizzare quando la probabilità del prodotto logico degli eventi dovrebbe essere calcolato.

Allo stesso tempo, gli eventi casuali dovrebbero essere indipendenti. Due eventi sono chiamati reciprocamente indipendenti se l'insorgenza di un evento non influisce sulla probabilità del secondo evento.

Teorema di moltiplicazione della probabilità per eventi indipendenti. La probabilità del verificarsi simultanea di due eventi indipendenti MAe NELÈ uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi ed è calcolato dalla formula:

ESEMPIO 5.La moneta viene lanciata tre volte di seguito. Trova la probabilità che lo stemma cada tre volte.

Decisione. La probabilità che le monete cadranno con la prima moneta da lancio, la seconda volta, per la terza volta. Troveremo la probabilità che l'emblema cadrà tre volte:

Risolvi i compiti per la moltiplicazione delle probabilità in modo indipendente e quindi vedere la decisione

ESEMPIO 6. C'è una scatola con nove nuove palline da tennis. Perché il gioco prendi tre gol, dopo il gioco vengono rimessi. Quando si sceglie le palle, i giocatori non si distinguono dalle non sedie. Qual è la probabilità che dopo tre giochi nella scatola non rimarrà non sedie?

Esempio 7. 32 Lettere dell'alfabeto russo sono scritte sul cerchio dell'alfabeto diviso. Cinque carte vengono rimosse a caso uno dopo l'altro e impilato sul tavolo nell'ordine dell'aspetto. Trova la probabilità che la parola "fine" si rivelerà.

ESEMPIO 8. Quattro carte vengono rimosse dal mappatura completa delle mappe (52 fogli). Trova la probabilità che tutte queste quattro carte saranno trame diverse.

Esempio 9. Lo stesso compito è che nell'esempio 8, ma ogni carta dopo la rimozione dei ritorni al ponte.

I compiti sono più completi in cui è necessario applicare l'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità, oltre a calcolare il prodotto di diversi eventi - sulla pagina "Varie attività per l'aggiunta e la moltiplicazione delle probabilità".

La probabilità che almeno uno degli eventi reciprocamente indipendenti si verifichi può essere calcolato sottraendo da 1 prodotto della probabilità di eventi opposti, cioè dalla formula.