Discriminante dal 1681. Soluzione di equazioni quadrate, formula di radice, esempi

Spero che studiando questo articolo, imparerai a trovare le radici di un'equazione quadrata completa.

Con l'aiuto di discriminanti, vengono risolti solo equazioni quadrate complete, per risolvere le equazioni quadrate, vengono utilizzati altri metodi che trovi nell'articolo "Decisione di equazioni quadri incomplete".

Quali equazioni quadrate sono chiamate piene? esso equazioni del modulo AH 2 + B X + C \u003d 0dove i coefficienti A, B e non sono uguali a zero. Quindi, per risolvere un'equazione quadrata completa, è necessario calcolare il Discriminante D.

D \u003d B 2 - 4S.

A seconda del tipo di importanza è discriminante, scriveremo la risposta.

Se discriminante è un numero negativo (D< 0),то корней нет.

Se il discriminante è zero, x \u003d (-b) / 2a. Quando il discriminante è un numero positivo (D\u003e 0),

quindi x 1 \u003d (-b - √d) / 2a e x 2 \u003d (-b + √d) / 2a.

Per esempio. Risolvi l'equazione x 2. - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Risposta: 2.

Risolvi l'equazione 2. x 2. + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Risposta: nessuna radicazione.

Risolvi l'equazione 2. x 2. + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Risposta: - 3.5; uno.

Quindi immaginiamo la soluzione di equazioni quadrate complete dello schema in figura1.

Secondo queste formule, è possibile risolvere qualsiasi equazione quadrata completa. Devi solo monitorare attentamente l'equazione è stata registrata da un polinomio di un tipo standard.

ma x 2. + BX + C, Altrimenti puoi effettuare un errore. Ad esempio, nel record dell'equazione x + 3 + 2x 2 \u003d 0, è erroneamente può essere risolto

a \u003d 1, B \u003d 3 e C \u003d 2. Quindi

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 E poi l'equazione ha due radici. E questo non è corretto. (Vedi la soluzione dell'esempio 2 sopra).

Pertanto, se l'equazione non è stata scritta non a un polinomio di una specie standard, in prima equazione quadrata completa deve essere registrata da un polinomio di una specie standard (in primo luogo dovrebbe essere incrociata con il più grande indicatore, cioè ma x 2. Quindi con più piccolo – bx.e poi il cazzo gratis a partire dal.

Quando risolve una data equazione quadrata e un'equazione quadrata con un coefficiente uniforme, con il secondo termine, possono essere utilizzate altre formule. Facciamo conoscere queste formule. Se in un'equazione quadrata completa nel secondo termine, il coefficiente sarà anche (B \u003d 2K), quindi l'equazione in base alle formule nella figura 2 può essere risolta.

L'equazione quadrata completa è chiamata sopra, se il coefficiente è x 2. uguale a uno e l'equazione prenderà la forma x 2 + PX + Q \u003d 0. Tale equazione può essere data per risolvere, o si ottiene dividendo tutti i coefficienti all'equazione del coefficiente maIn piedi per x 2. .

La figura 3 mostra lo schema di risolvere il quadrato sopra
equazioni. Considera sull'esempio l'applicazione delle formule considerate in questo articolo.

Esempio. Risolvi l'equazione

3x 2. + 6x - 6 \u003d 0.

Decidiamo questa equazione utilizzando le formule mostrate nello schema di figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√d \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Risposta: -1 - √3; -1 + √3.

Si può vedere che il coefficiente in X in questa equazione è un numero pari, cioè, B \u003d 6 o B \u003d 2K, da dove k \u003d 3. Quindi cerchiamo di risolvere l'equazione in base alle formule mostrate nel diagramma D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Risposta: -1 - √3; -1 + √3.. Notato che tutti i coefficienti in questa equazione quadrata sono suddivisi in 3 e eseguendo la divisione, otteniamo la ridotta equazione quadrata x 2 + 2x - 2 \u003d 0 risolvendo questa equazione usando le formule per il quadrato specificato per il quadrato specificato per il quadrato specificato
equazioni figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3)))) / 2 \u003d - 1 + √3

Risposta: -1 - √3; -1 + √3.

Come vediamo, quando risolve questa equazione su varie formule, abbiamo ricevuto la stessa risposta. Pertanto, è ben consapevole delle formule mostrate nello schema di figura 1, è sempre possibile risolvere qualsiasi equazione quadrata completa.

il sito, con la copia completa o parziale del riferimento del materiale è richiesto.

Le sfide per equazione quadrata sono studiate nel programma scolastico e nelle università. Sotto loro comprende le equazioni della forma A * x ^ 2 + B * X + C \u003d 0, dove x - variabile, A, B, C - costanti; UN.<>0. Il compito è trovare le radici dell'equazione.

Significato geometrico dell'equazione quadrata

Il grafico della funzione, che è rappresentato dall'equazione quadrata è la parabola. Le soluzioni (radici) dell'equazione quadrata sono i punti di intersezione della parabola con l'asse Ascissa (X). Ne consegue che ci sono tre casi possibili:
1) La parabola non ha punti intersezione con un asse Ascissa. Ciò significa che è nel piano superiore con rami o in basso con i rami verso il basso. In tali casi, l'equazione quadrata non ha radici valide (ha due radici complesse).

2) La parabola ha un punto di intersezione con l'asse oh. Tale punto è chiamato Peatabol Vertex e l'equazione quadrata acquista il suo valore minimo o massimo. In questo caso, l'equazione quadrata ha una root valida (o due identiche radice).

3) L'ultimo caso in pratica è interessante di più - ci sono due punti di intersezione della parabola con l'asse Ascissa. Ciò significa che ci sono due root di equazione valide.

Sulla base dell'analisi dei coefficienti nei gradi di variabili, è possibile apportare interessanti conclusioni sul posizionamento della parabola.

1) Se il coefficiente è più zero, la parabola è diretta verso l'alto, se negativo - le filiali della parabola sono dirette verso il basso.

2) Se il coefficiente B è maggiore di zero, la parte superiore della parabola si trova nel mezzo piano a sinistra, se ci vuole un valore negativo, quindi a destra.

Uscita della formula per risolvere un'equazione quadrata

Trasferiamo la costante dall'equazione quadrata

Per segno di uguaglianza, otteniamo espressione

Moltiplicare entrambe le parti su 4a

Per ottenere la sinistra del quadrato completo aggiungere entrambe le parti B ^ 2 e attuare la trasformazione

Da qui per trovare

La formula dei discriminanti e delle radici dell'equazione quadrata

Il discriminante è chiamato il valore dell'espressione condizionata, è positivo, l'equazione ha due radici valide calcolate dalla formula A uno zero discriminante, l'equazione quadrata ha una soluzione (due radice di coincidenza), che può essere facilmente ottenuta dalla formula di cui sopra per D \u003d 0 con un discriminante negativo dell'equazione delle radici valide. Tuttavia, per mantenere le soluzioni dell'equazione quadrata nel piano complesso, e il loro valore è calcolato dalla formula

Vieta teorema

Considerare due radici dell'equazione quadrata e costruire sulla loro base l'equazione quadrata. Il record stesso è facilmente seguito dal teorema Vieta stesso: se abbiamo un'equazione quadrata di tipo la somma delle sue radici è uguale al coefficiente P, preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici dell'equazione è uguale al termine gratuito Q. Il record di formule di cui sopra sarà visto nell'equazione classica di un costante A è diverso da zero, quindi tutta l'equazione dovrebbe essere divisa in esso, quindi applicare il teorema della vieta.

Programma di un'equazione quadrata per i moltiplicatori

Lascia che il compito: decomponi l'equazione quadrata sui moltiplicatori. Per realizzarlo, risolviamo per la prima volta l'equazione (troviamo le radici). Inoltre, le radici trovate sostituite nella formula di decomposizione dell'equazione quadrata sarà consentita.

Equazione quadrata

Attività 1. Trova le radici dell'equazione quadrata

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Soluzione: scriviamo i coefficienti e il sostituto della formula del discriminante

La radice di questo valore è 14, è facile trovarlo con una calcolatrice, o ricordare con un uso frequente, tuttavia, per comodità, alla fine dell'articolo, ti darò un elenco di quadrati di numeri che possono spesso incontrarti Tali compiti.
La fondazione è sostituita nella formula di radice

E prendi

Attività 2. Risolvi l'equazione

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Soluzione: abbiamo un'equazione quadrata completa, scriviamo i coefficienti e troviamo il discriminante


Secondo le famose formule troviamo le radici dell'equazione quadrata

Attività 3. Risolvi l'equazione

9x 2 -12x + 4 \u003d 0.

Soluzione: abbiamo un'equazione quadrata completa. Determinare discriminante

Abbiamo ricevuto un caso quando le radici coincidono. Trova i valori delle radici della formula

Attività 4. Risolvi l'equazione

x ^ 2 + X-6 \u003d 0.

Soluzione: nei casi in cui ci sono piccoli coefficienti a X è consigliabile applicare il teorema della Vieta. Secondo lei, otteniamo due equazioni

Dalla seconda condizione, otteniamo che il lavoro dovrebbe essere uguale a -6. Ciò significa che una delle radici è negativa. Abbiamo la seguente possibile coppia di soluzioni (-3; 2), (3; -2). Tenendo conto della prima condizione, il secondo paio di soluzioni rifiutano.
Le equazioni di root sono uguali

Attività 5. Trova le lunghezze del lato del rettangolo, se il suo perimetro è di 18 cm e l'area è di 77 cm 2.

Soluzione: la metà del perimetro del rettangolo è uguale alla somma dei lati vicini. Dennare da x - la maggior parte del lato, quindi 18-x è un lato più piccolo. L'area del rettangolo è uguale al prodotto di queste lunghezze:
x (18-x) \u003d 77;
o
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Troviamo il discriminante dell'equazione

Calcolare le radici dell'equazione

Se un x \u003d 11,quella 18h \u003d 7, Al contrario, è anche vero (se x \u003d 7, quindi 21-x \u003d 9).

Compito 6. Square Square 10x 2 -11x + 3 \u003d 0 Equazioni per moltiplicatori.

Soluzione: calcolare le radici dell'equazione, per questo troviamo discriminanti

Sosteniamo il valore trovato nella formula di radice e calcola

Applicare la formula di decomposizione dell'equazione quadrata lungo le radici

Il layout della staffa riceverà l'identità.

Equazione quadrata con parametro

Esempio 1. Sotto quali valori del parametro ma , Equazione (A-3) x 2 + (3-A) X-1/4 \u003d 0 ha una radice?

Soluzione: una sostituzione diretta del valore A \u003d 3 vediamo che non ha soluzione. Successivamente, usiamo che a zero discriminanti, l'equazione ha una radice di molteplicità 2. Bere discriminante

semplificarlo ed equivale a zero

Ha ricevuto un'equazione quadrata sul parametro A, la cui soluzione è facile da ottenere sul teorema Vieta. La quantità delle radici è 7 e il loro lavoro 12. Busto semplice installando che i numeri 3.4 saranno equazioni radicate. Dal momento che la soluzione A \u003d 3, abbiamo già rifiutato all'inizio dei calcoli, l'unico diritto sarà - a \u003d 4.Quindi, quando A \u003d 4, l'equazione ha una radice.

Esempio 2. Sotto quali valori del parametro ma , l'equazione a (A + 3) X ^ 2 + (2A + 6) X-3A-9 \u003d 0ha più di una radice?

Soluzione: considerare i primi punti singolari, saranno valori A \u003d 0 e A \u003d -3. Quando A \u003d 0, l'equazione sarà semplificata al modulo 6x-9 \u003d 0; x \u003d 3/2 e ci sarà una radice. Quando A \u003d -3, otteniamo l'identità 0 \u003d 0.
Calcolare discriminante

e trova valori e in cui è positivo

Dalla prima condizione otterremo un\u003e 3. Per il secondo troviamo il discriminante e le radici dell'equazione


Definiamo le lacune in cui la funzione prende valori positivi. Punto di figura A \u003d 0 3>0 . Quindi, oltre l'intervallo (-3; 1/3) la funzione è negativa. Non dimenticare il punto a \u003d 0,questo dovrebbe essere escluso perché l'equazione iniziale in essa ha una radice.
Di conseguenza, otteniamo due intervalli che soddisfano la condizione del compito

Ci saranno molti compiti simili nella pratica, cercheranno di affrontare i compiti da solo e non dimenticare di considerare le condizioni che si escludono reciprocamente. Ben letto la formula per risolvere le equazioni quadrate, sono spesso necessarie quando si calcolano in diversi compiti e scienze.

Ad esempio, per tre colpi \\ (3x ^ 2 + 2x-7 \\), il discriminante sarà uguale a \\ (2 ^ 2-4 \\ cdot3 \\ clot (-7) \u003d 4 + 84 \u003d 88 \\). E per tre colpi \\ (x ^ 2-5x + 11 \\), sarà uguale a \\ ((- 5) ^ 2-4 \\ cdot1 \\ clot11 \u003d 25-44 \u003d -19 \\).

Il discriminante è indicato dalla lettera \\ (D \\) ed è spesso usato durante la risoluzione. Inoltre, il valore del discriminante può essere compreso come appare il programma come qualcosa (vedi sotto).

Equazione discriminante e di radici

Il valore del discriminante mostra il numero di equazione quadrata:
- Se \\ (D \\) è positivo - l'equazione avrà due radici;
- Se \\ (D \\) è zero - solo una radice;
- Se \\ (D \\) è negativo - nessuna radicazione.

Questo non è necessario per imparare, è facile venire a questa conclusione, solo sapendo che dal discriminante (cioè, \\ (\\ sqrt (d) \\) è incluso nella formula per calcolare le radici dell'equazione: \\ ( x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) e \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d)) (2a) \\). Consideriamo ogni caso leggi di più.

Se discriminante è positivo

In questo caso, la radice di esso è un numero positivo, e quindi \\ (X_ (1) \\) e \\ (X_ (2) \\) sarà diverso per valore, perché nella prima formula \\ (\\ sqrt (D) \\) aggiunge e nel secondo sottratto. E abbiamo due diverse radici.

Esempio : Trova le radici dell'equazione \\ (x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 \\)
Decisione :

Risposta : \\ (x_ (1) \u003d 1 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

Se il discriminante è zero

E quante radici saranno se il discriminante è zero? Parliamo.

Le formule di root sembrano questo: \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) e \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac ( -b- \\ sqrt (d)) (2a) \\). E se il discriminante è zero, anche la radice di esso è anche zero. Quindi si scopre:

\\ (X_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (0)) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-b + 0) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b) (2a) \\)

\\ (X_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d)) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (0)) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-b-0) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b) (2a) \\)

Cioè, i valori delle radici dell'equazione coincidono, perché l'aggiunta o la sottrazione di zero non cambia nulla.

Esempio : Trova le radici dell'equazione \\ (x ^ 2-4x + 4 \u003d 0 \\)
Decisione :

Risposta : \\ (x \u003d 2 \\)

L'equazione quadrata è un'equazione che sembra aX 2 + DX + C \u003d 0. In esso, il valore a, B. e a partire dal qualsiasi numero ma Non ugualmente zero.

Tutte le equazioni quadrate sono divise in diverse specie, vale a dire:

Equazioni in cui solo una radice.
-Avalutazione con due diverse radici.
-Avalutazione in cui non ci sono affatto radici.

Questo distingue le equazioni lineari in cui la radice è sempre unite, dal quadrato. Al fine di capire quanto il numero di radici nell'espressione e necessità Equazione quadrata discriminante.

Diciamo la nostra equazione AX 2 + DX + C \u003d 0. Così Equazione quadrata discriminante -

D \u003d B 2 - 4 AC

E deve essere ricordato per sempre. Con questa equazione, determiniamo il numero di radici nell'equazione quadrata. E lo facciamo come segue:

Quando D è inferiore a zero, non ci sono radici nell'equazione.
- Quando D è zero, c'è solo una radice.
- Quando D è più grande, rispettivamente, nelle due equazioni radice.
Ricorda che il discriminante mostra quante radici nell'equazione, senza cambiare i segni.

Considera per chiarezza:

È necessario scoprire quale numero di radici in questa equazione quadrata.

1) x 2 - 8x + 12 \u003d 0
2) 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0
3) x 2 -6x + 9 \u003d 0

Inserisci i valori nella prima equazione, troviamo il discriminante.
A \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 12
D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16
Discriminante con un segno più, il che significa due radici in questa uguaglianza.

Fai lo stesso con la seconda equazione
A \u003d 1, B \u003d 3, c \u003d 7
D \u003d 3 2 - 4 * 5 * 7 \u003d 9 - 140 \u003d - 131
Il valore è meno, il che significa no roots in questa uguaglianza.

La seguente equazione è decomponibile per analogia.
A \u003d 1, B \u003d -6, c \u003d 9
D \u003d (-6) 2 - 4 * 1 * 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0
Di conseguenza, abbiamo una radice nell'equazione.

È importante che in ogni equazione dimemmo i coefficienti. Naturalmente, questo non è un sacco di un lungo processo, ma ci ha aiutato a non confondere e impedito la comparsa di errori. Se risolvi spesso tali equazioni, allora i calcoli possono essere effettuati mentalmente e in anticipo per sapere quante radici nell'equazione.

Considera un altro esempio:

1) x 2 - 2x - 3 \u003d 0
2) 15 - 2x - x 2 \u003d 0
3) x 2 + 12x + 36 \u003d 0

Sblocca prima
A \u003d 1, B \u003d -2, c \u003d -3
D \u003d (- 2) 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 16, che è più zero, quindi due radici, portali
x 1 \u003d 2+? 16/2 * 1 \u003d 3, x 2 \u003d 2-? 16/2 * 1 \u003d -1.

Dichiariamo il secondo.
A \u003d -1, B \u003d -2, c \u003d 15
D \u003d (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 \u003d 64, che è più zero e ha anche due radici. Portiamoli:
x 1 \u003d 2+? 64/2 * (-1) \u003d -5, x 2 \u003d 2-? 64/2 * (- 1) \u003d 3.

Sbloccare il terzo.
A \u003d 1, B \u003d 12, c \u003d 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, che è zero e ha una radice
x \u003d -12 +? 0/2 * 1 \u003d -6.
Non è difficile risolvere queste equazioni.

Se ci viene data un'equazione quadrata incompleta. Ad esempio

1x 2 + 9x \u003d 0
2x 2 - 16 \u003d 0

Queste equazioni differiscono da quelle che erano più alte, poiché non è completa, non c'è il terzo valore in esso. Ma nonostante questo è più facile di un'equazione quadrata completa e non ha bisogno di cercare un discriminante.

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