संभावना की शास्त्रीय परिभाषा के लिए कार्य। समाधान के उदाहरण। संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा

"दुर्घटना आकस्मिक नहीं है" ... ऐसा लगता है जैसे दार्शनिक ने कहा, लेकिन वास्तव में गणित के महान विज्ञान की यादृच्छिकता का अध्ययन करने के लिए। गणित में, संभाव्यता सिद्धांत की संभावना लगी हुई है। सूत्रों और कार्यों के उदाहरण, साथ ही इस विज्ञान की मुख्य परिभाषाएं लेख में प्रस्तुत की जाएंगी।

संभावना सिद्धांत क्या है?

संभावना का सिद्धांत गणितीय विषयों में से एक है जो यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है।

थोड़ा स्पष्ट होने के लिए, हम एक छोटा सा उदाहरण देते हैं: यदि आप एक सिक्का फेंक देते हैं, तो यह "ईगल" या "चौड़ा" गिर सकता है। जबकि सिक्का हवा में है, इन दोनों की संभावनाएं संभव हैं। यही है, संभावित परिणामों की संभावना 1: 1 से संबंधित है। यदि आप 36 कार्ड के साथ डेक में से एक को खींचते हैं, तो संभावना को 1:36 के रूप में इंगित किया जाएगा। ऐसा लगता है कि विशेष रूप से गणितीय सूत्रों की मदद से अन्वेषण और भविष्यवाणी करने के लिए कुछ भी नहीं है। हालांकि, यदि आप कई बार एक निश्चित कार्रवाई दोहराते हैं, तो कुछ नियमितता की पहचान करना संभव है और अन्य स्थितियों में घटनाओं के नतीजे की भविष्यवाणी करने के लिए इस पर आधारित है।

यदि हम उपरोक्त सभी को सामान्यीकृत करते हैं, तो शास्त्रीय समझ में संभावना का सिद्धांत संख्यात्मक मूल्य में संभावित घटनाओं में से एक की संभावना की खोज कर रहा है।

इतिहास पृष्ठों से

संभाव्यता, सूत्रों और पहले कार्यों के उदाहरणों की सिद्धांत मध्य युग में वापस दिखाई दी, जब पहली बार कार्ड गेम के नतीजे की भविष्यवाणी करने का प्रयास किया गया।

प्रारंभ में, संभाव्यता के सिद्धांत में गणित के साथ कुछ भी आम नहीं था। यह अनुभवजन्य तथ्यों या एक घटना के गुणों के साथ उचित है जिसे अभ्यास में पुन: उत्पन्न किया जा सकता है। गणितीय अनुशासन के रूप में इस क्षेत्र में पहला काम XVII शताब्दी में दिखाई दिया। पास्कल और पियरे फार्म ब्लेज़र की तुलना में ब्रश थे। लंबे समय तक, उन्होंने जुआ का अध्ययन किया और कुछ पैटर्न देखा कि उन्होंने समाज को बताने का फैसला किया।

उसी तकनीक का आविष्कार ह्यूजेंस ईसाईयों द्वारा किया गया था, हालांकि वह पास्कल और खेत के अध्ययन के परिणामों से परिचित नहीं थे। "संभाव्यता की सिद्धांत", सूत्रों और उदाहरणों की अवधारणा, जिन्हें अनुशासन के इतिहास में पहला माना जाता है, उन्हें उनके द्वारा पेश किया गया था।

जैकब बर्नौली, लैपलास और पोइसन प्रमेय महत्वपूर्ण महत्व हैं। उन्होंने गणितीय अनुशासन की तरह संभावना का सिद्धांत बनाया। कोल्मोगोरोव के सिद्धांतों के लिए संभावनाओं, सूत्रों और बुनियादी कार्यों के उदाहरणों के सिद्धांत के वर्तमान दृश्य प्राप्त किए गए थे। सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, संभावना का सिद्धांत गणितीय खंडों में से एक बन गया है।

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएं। आयोजन

इस अनुशासन की मुख्य अवधारणा घटना है। घटनाक्रम तीन प्रजाति हैं:

• विश्वसनीय। जो लोग किसी भी मामले में होंगे (सिक्का गिर जाएगा)।
• असंभव। ऐसी घटनाएं जो किसी भी प्रकार के साथ नहीं होंगी (सिक्का हवा में लटका रहेगा)।
• यादृच्छिक। जो लोग होंगे या नहीं होंगे। वे विभिन्न कारकों को प्रभावित कर सकते हैं जो भविष्यवाणी करना बहुत मुश्किल हैं। अगर हम एक सिक्का के बारे में बात करते हैं, तो यादृच्छिक कारक जो परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं: सिक्का की भौतिक विशेषताओं, इसका आकार, प्रारंभिक स्थिति, फेंक की शक्ति इत्यादि।

उदाहरणों में सभी घटनाओं को पूंजी लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है, पी के अपवाद के साथ, जिसे एक और भूमिका सौंपी गई है। उदाहरण के लिए:

• ए \u003d "छात्र व्याख्यान में आए।"
• Ā \u003d "छात्र व्याख्यान में नहीं गए थे।"

व्यावहारिक कार्यों में, घटनाओं को रिकॉर्ड करने के लिए घटनाओं को स्वीकार किया जाता है।

घटनाओं की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक उनके संतुलन है। यही है, अगर आप एक सिक्का फेंक देते हैं, तो शुरुआती गिरावट के लिए सभी विकल्प गिरने तक संभव होते हैं। लेकिन घटनाएं भी बराबर नहीं हैं। ऐसा तब होता है जब कोई विशेष रूप से परिणाम को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, "लेबल" कार्ड बजाना या हड्डियों को खेलना जिसमें गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थानांतरित हो जाता है।

यहां तक \u200b\u200bकि घटनाएं संगत और असंगत हैं। संगत घटनाएं एक दूसरे को बाहर नहीं करती हैं। उदाहरण के लिए:

• ए \u003d "छात्र व्याख्यान में आया।"
• बी \u003d "छात्र व्याख्यान के लिए आया था।"

ये घटनाएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को प्रभावित नहीं करती है। असंगत घटनाएं इस तथ्य से निर्धारित की जाती हैं कि एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को समाप्त करती है। यदि हम एक ही सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो "पकवान" का नुकसान एक ही प्रयोग में "ईगल" को प्रकट करना असंभव बनाता है।

घटनाओं पर कार्रवाई

घटनाओं को क्रमशः गुणात्मक, तार्किक अस्थिबंधन "और" और "या" "या" अनुशासन में पेश किया जा सकता है।

राशि इस तथ्य से निर्धारित की जाती है कि एक घटना ए, या बी, या दो एक साथ दिखाई देती है। इस मामले में जब वे असंगत होते हैं, तो अंतिम विकल्प असंभव होता है, गिर जाता है या ए, या वी।

घटनाओं का गुणा एक ही समय में ए और एक की उपस्थिति है।

अब आप मूल बातें, संभावनाओं और सूत्रों की सिद्धांत को बेहतर याद रखने के लिए कुछ उदाहरण दे सकते हैं। कार्य समाधान के उदाहरण अगले।

अभ्यास 1: कंपनी तीन किस्मों के लिए अनुबंधों के लिए प्रतियोगिता में भाग लेती है। संभावित घटनाएं जो हो सकती हैं:

• ए \u003d "कंपनी को पहला अनुबंध प्राप्त होगा।"
• और 1 \u003d "फर्म को पहला अनुबंध नहीं मिलेगा।"
• बी \u003d "फर्म को दूसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• 1 \u003d "फर्म को दूसरा अनुबंध नहीं मिलेगा"
• सी \u003d "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• 1 \u003d "कंपनी को तीसरा अनुबंध नहीं मिलेगा।"

घटनाओं पर कार्रवाई का उपयोग करके, आइए निम्नलिखित स्थितियों को व्यक्त करने का प्रयास करें:

• K \u003d "फर्म सभी अनुबंध प्राप्त करेगा।"

गणितीय रूप में, समीकरण में निम्न फ़ॉर्म होंगे: k \u003d abc।

• एम \u003d "कंपनी को एक अनुबंध नहीं मिलेगा।"

एम \u003d 1 एस 1 में 1।

कार्य पूरा करें: एच \u003d "कंपनी को एक अनुबंध प्राप्त होगा।" चूंकि यह बिल्कुल ज्ञात नहीं है कि किस प्रकार का अनुबंध एक कंपनी (पहला, दूसरा या तीसरा) प्राप्त करेगा, संभावित घटनाओं की पूरी श्रृंखला को रिकॉर्ड करना आवश्यक है:

N \u003d 1 सूर्य 1 av av 1 c 1 υ 1 c में 1।

और 1 सूर्य 1 कई घटनाएं हैं जहां कंपनी को पहला और तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होता है, लेकिन दूसरा प्राप्त होता है। अन्य संभावित घटनाओं को संबंधित विधि द्वारा दर्ज किया जाता है। अनुशासन में प्रतीक υ बंडल "या" इंगित करता है। यदि हम मानव भाषा पर दिए गए उदाहरण का अनुवाद करते हैं, तो फर्म प्राप्त होगी या तीसरा अनुबंध, या दूसरा, या पहला। इसी प्रकार, अन्य शर्तों को "सिद्धांत के सिद्धांत" अनुशासन में दर्ज किया जा सकता है। सूत्रों और उपर्युक्त कार्यों को हल करने के उदाहरण इसे स्वयं बनाने में मदद करेंगे।

वास्तव में, संभावना

शायद, इस गणितीय अनुशासन में, एक घटना की संभावना एक केंद्रीय अवधारणा है। 3 संभाव्यता परिभाषाएं हैं:

• क्लासिक;
• सांख्यिकीय;
• ज्यामितीय।

प्रत्येक की संभावनाओं के अध्ययन में इसकी जगह है। संभावना, सूत्रों और उदाहरणों (ग्रेड 9) का सिद्धांत मुख्य रूप से एक क्लासिक परिभाषा का उपयोग करता है जो इस तरह लगता है:

• स्थिति की संभावना परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है, जो संभावित परिणामों की संख्या के लिए अपनी उपस्थिति का पक्ष लेती है।

सूत्र इस तरह दिखता है: पी (ए) \u003d एम / एन।

ए - वास्तव में, घटना। यदि मामला विपरीत दिखाई देता है, तो इसे ā या 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

एम संभावित अनुकूल मामलों की संख्या है।

एन - सभी घटनाएं जो हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, ए \u003d "वर्म सूट का कार्ड खींचो।" एक मानक 36 कार्ड डेक में, उनमें से 9 कीड़े। तदनुसार, कार्य को हल करने के लिए सूत्र होगा:

पी (ए) \u003d 9/36 \u003d 0.25।

नतीजतन, संभावना है कि वर्म सूट का कार्ड डेक से बाहर खींच लिया जाएगा, 0.25 होगा।

उच्च गणित के लिए

अब यह थोड़ा ज्ञात हो गया है कि स्कूल कार्यक्रम में आने वाले कार्यों को हल करने की संभावना, सूत्रों और उदाहरणों का सिद्धांत क्या है। हालांकि, संभावना सिद्धांत उच्च गणित में मिलते हैं, जो विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है। अक्सर सिद्धांत और जटिल सूत्रों की ज्यामितीय और सांख्यिकीय परिभाषाओं द्वारा संचालित होता है।

बहुत ही रोचक संभावना सिद्धांत। सूत्र और उदाहरण (उच्च गणित) एक छोटे से अध्ययन शुरू करना बेहतर है - एक सांख्यिकीय (या आवृत्ति) संभावना निर्धारण से।

सांख्यिकीय दृष्टिकोण क्लासिक का खंडन नहीं करता है, और थोड़ा विस्तार करता है। यदि पहले मामले में यह निर्धारित करना आवश्यक था कि एक घटना कौन सा अधिक संभावना है, तो इस विधि में यह इंगित करना आवश्यक है कि यह कितनी बार होगा। यहां "रिश्तेदार आवृत्ति" की नई अवधारणा पेश की गई है, जिसे डब्ल्यू एन (ए) द्वारा दर्शाया जा सकता है। सूत्र क्लासिक से अलग नहीं है:

यदि शास्त्रीय सूत्र की गणना भविष्यवाणी के लिए की जाती है, तो प्रयोग के परिणामों के अनुसार सांख्यिकीय। उदाहरण के लिए, एक छोटा सा काम ले लो।

तकनीकी नियंत्रण विभाग गुणवत्ता के लिए उत्पादों की जांच करता है। 100 उत्पादों में से 3 कम गुणवत्ता वाले हैं। गुणवत्ता वाले उत्पाद की आवृत्ति की संभावना कैसे प्राप्त करें?

ए \u003d "उच्च गुणवत्ता वाले सामानों की उपस्थिति।"

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0.97

इस प्रकार, गुणवत्ता वाले उत्पाद की आवृत्ति 0.97 है। आपको 97 कहां मिला? 100 उत्पादों की जांच की गई थी, 3 खराब गुणवत्ता के लिए निकला। 100 टर्न 3 से, हमें 9 7 मिलते हैं, यह गुणवत्ता वाले उत्पाद की मात्रा है।

कॉम्बिनेट्रिक्स के बारे में थोड़ा

संभाव्यता की एक और विधि को संयोजक कहा जाता है। इसका मुख्य सिद्धांत यह है कि यदि एक निश्चित विकल्प ए को विभिन्न तरीकों से एम द्वारा किया जा सकता है, और बी की पसंद विभिन्न तरीकों से एन है, तो पसंद ए और बी गुणा करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, शहर और शहर में 5 सड़कों की ओर जाता है। शहर से शहर तक 4 तरीके से। शहर और शहर से कितने तरीके से पहुंचे जा सकते हैं?

सबकुछ सरल है: 5x4 \u003d 20, यानी, अलग-अलग तरीकों से बीस बिंदु ए से बिंदु एस तक पहुंचा जा सकता है।

जटिल कार्य। सॉलिटेयर में कार्ड रखने के कितने तरीके? एक 36 कार्ड डेक में - यह शुरुआती बिंदु है। तरीकों की संख्या को जानने के लिए, आपको प्रारंभिक बिंदु से एक ही मानचित्र पर "दूर ले" करने और गुणा करने की आवश्यकता है।

यही है, 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d परिणाम कैलकुलेटर स्क्रीन में फिट नहीं होगा, इसलिए इसे केवल 36 को दर्शाया जा सकता है! संकेत "!" संख्या के पास इंगित करता है कि संख्याओं की पूरी संख्या एक दूसरे के साथ भिन्न होती है।

कॉम्बिनेट्रिक्स इस तरह की अवधारणाओं को क्रमपरिवर्तन, आवास और संयोजन के रूप में प्रस्तुत करता है। उनमें से प्रत्येक का अपना सूत्र है।

सेट के सेट का एक आदेश सेट प्लेसमेंट कहा जाता है। प्लेसमेंट पुनरावृत्ति के साथ हो सकता है, यानी, एक तत्व का उपयोग कई बार किया जा सकता है। और पुनरावृत्ति के बिना, जब वस्तुओं को दोहराया नहीं जाता है। एन सभी तत्व हैं, एम ऐसे तत्व हैं जो आवास में शामिल हैं। पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट के लिए सूत्र होगा:

एक n m \u003d n! / (N-m)!

प्लेसमेंट के क्रम से भिन्न तत्वों से यौगिकों को क्रमपरिवर्तन कहा जाता है। गणित में, इसमें फॉर्म है: पी एन \u003d एन!

एम पर एन तत्वों से जोड़ते हैं जिन्हें ऐसे यौगिक कहा जाता है जिसमें यह महत्वपूर्ण है कि कौन से तत्व थे और उनका कुल क्या है। सूत्र को देखेंगे:

ए एन एम \u003d एन! / एम! (एन-एम)!

बर्नौली फॉर्मूला

संभाव्यता सिद्धांत में, साथ ही साथ प्रत्येक अनुशासन में, शोधकर्ताओं के अपने क्षेत्र में बकाया काम कर रहे हैं जो इसे एक नए स्तर पर लाए हैं। इनमें से एक कार्य बर्नौली सूत्र है, जो स्वतंत्र परिस्थितियों में एक निश्चित घटना की संभावना को निर्धारित करना संभव बनाता है। इससे पता चलता है कि प्रयोग में एक उपस्थिति उभरने पर निर्भर नहीं है या पहले आयोजित या बाद के परीक्षणों में एक ही घटना नहीं दिख रही है।

बर्नौली समीकरण:

पी एन (एम) \u003d सी एन एम × पी एम × क्यू एन-एम।

प्रत्येक घटना की उपस्थिति (ए) की संभावना (पी) प्रत्येक परीक्षण के लिए अपरिवर्तित है। यह संभावना है कि स्थिति में वास्तव में एम कई बार प्रयोग किए जाने वाले प्रयोगों की गणना ऊपर दी गई सूत्र द्वारा की जाएगी। तदनुसार, प्रश्न संख्या को जानने के तरीके पर उत्पन्न होता है।

यदि घटना क्रमशः समय की संख्या होती है, तो यह नहीं आ सकती है। इकाई अनुशासन में स्थिति के सभी परिणामों से अंकित होने की संख्या है। इसलिए, क्यू एक संख्या है जिसका अर्थ है गैर-घटनाओं की संभावना।

अब आप बर्नौली फॉर्मूला (संभाव्यता सिद्धांत) को जानते हैं। कार्यों को हल करने के उदाहरण (प्रथम स्तर) आगे पर विचार करें।

कार्य 2: स्टोर का आगंतुक 0.2 संभावना के साथ खरीदारी करेगा। 6 आगंतुकों ने दुकान का दौरा किया। आगंतुक खरीदारी करने की संभावना क्या है?

समाधान: चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि कितने आगंतुकों को खरीदारी, एक या सभी छह, बर्नौली फॉर्मूला का उपयोग करके सभी संभावित संभावनाओं की गणना करना आवश्यक है।

ए \u003d "आगंतुक एक खरीद करेगा।"

इस मामले में: पी \u003d 0.2 (जैसा कि कार्य में संकेत दिया गया है)। तदनुसार, q \u003d 1-0.2 \u003d 0.8।

n \u003d 6 (चूंकि स्टोर में 6 आगंतुक हैं)। संख्या एम 0 से बदल जाएगी (कोई खरीदार एक खरीद नहीं बनाता है) 6 (कुछ स्टोर करने के लिए सभी आगंतुक खरीदे जाएंगे)। नतीजतन, हम एक समाधान प्राप्त करते हैं:

पी 6 (0) \u003d सी 0 6 × पी 0 × क्यू 6 \u003d क्यू 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621।

खरीदारों में से कोई भी 0.2621 की संभावना के साथ खरीदारी नहीं करता है।

बर्नौली फॉर्मूला (संभाव्यता सिद्धांत) और और कैसे है? समस्याओं को हल करने के उदाहरण (द्वितीय स्तर) अगला।

उपर्युक्त उदाहरण के बाद, प्रश्नों के साथ कहां साझा करना है और आर। डिग्री 0 तक पी संख्या के सापेक्ष एक के बराबर होगा। सी के लिए, यह सूत्र में पाया जा सकता है:

सी एन एम \u003d एन! / एम! (एन-एम)!

चूंकि पहले उदाहरण एम \u003d 0 क्रमशः, सी \u003d 1, जो सिद्धांत रूप में परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। एक नए सूत्र का उपयोग करके, आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि दो आगंतुकों द्वारा माल खरीदने की संभावना क्या है।

पी 6 (2) \u003d सी 6 2 × पी 2 × क्यू 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 \u003d 15 × 0.04 × 0,4096 \u003d 0.246।

संभावना का सिद्धांत इतना जटिल नहीं है। बर्नौली फॉर्मूला, जिनके उदाहरण ऊपर प्रस्तुत किए जाते हैं, जो प्रत्यक्ष प्रमाण है।

फॉर्मूला पोइसन

POISSON समीकरण का उपयोग असंभव यादृच्छिक स्थितियों की गणना करने के लिए किया जाता है।

मूल सूत्र:

पी एन (एम) \u003d λ एम / एम! × ई (-λ)।

इस मामले में, λ \u003d एन एक्स पी। यह एक साधारण पोइसन फॉर्मूला (संभाव्यता सिद्धांत) है। कार्यों को हल करने के उदाहरण आगे विचार करते हैं।

कार्य 3।: कारखाने में 100,000 टुकड़े की मात्रा में भागों को बनाया। दोषपूर्ण भाग \u003d 0.0001 की उपस्थिति। यह संभावना है कि 5 दोषपूर्ण भागों पार्टी में होंगे?

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवाह एक असंभव घटना है, और इसके संबंध में जिनके साथ पोइसन फॉर्मूला (संभाव्यता सिद्धांत) की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। इस तरह की समस्याओं को हल करने के उदाहरण अनुशासन के अन्य कार्यों से अलग नहीं हैं, कम सूत्र में हम आवश्यक डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

ए \u003d "यादृच्छिक रूप से चयनित आइटम दोषपूर्ण होगा।"

पी \u003d 0.0001 (असाइनमेंट स्थिति के अनुसार)।

n \u003d 100000 (भागों की संख्या)।

एम \u003d 5 (दोषपूर्ण भागों)। हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी 100000 (5) \u003d 10 5/5! एक्स ई -10 \u003d 0.0375।

साथ ही बर्नौली फॉर्मूला (संभाव्यता सिद्धांत), ऊपर लिखे गए सहायता के साथ समाधान के उदाहरण, पोइसन समीकरण में एक अज्ञात ई है। वास्तव में, यह सूत्र में पाया जा सकता है:

e-λ \u003d lim n -\u003e ∞ (1-λ / n) n।

हालांकि, विशेष तालिकाएं हैं जिनमें लगभग सभी मूल्य हैं।

Moavorrolly लैपलेस प्रमेय

यदि बर्नौली योजना में बर्नौली में परीक्षणों की संख्या, और एक घटना की संभावना और सभी योजनाओं में समान है, तो घटनाओं की संभावना और परीक्षणों की एक श्रृंखला में कुछ निश्चित संख्याओं को लैपलेस फॉर्मूला की तरह पाया जा सकता है:

P n (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m)।

एक्स एम \u003d एम-एनपी / √NPQ।

लैपलेस (संभाव्यता सिद्धांत) के सूत्र को बेहतर याद रखने के लिए, नीचे मदद करने के लिए कार्यों के उदाहरण।

हम पहले एक्स एम ढूंढते हैं, हम फॉर्मूला में डेटा (वे सब ऊपर संकेत दिए गए हैं) को प्रतिस्थापित करते हैं और 0.025 प्राप्त करते हैं। तालिकाओं की मदद से, हमें संख्या φ (0.025) मिलती है, जिसका मूल्य 0.3988 है। अब आप सूत्र में सभी डेटा को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

पी 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03।

इस प्रकार, संभावना है कि विज्ञापन पुस्तिका बिल्कुल 267 गुना काम करेगी, 0.03 है।

फॉर्मूला बेयस।

बेयस फॉर्मूला (संभाव्यता सिद्धांत), उन कार्यों को हल करने के उदाहरण जिसके साथ नीचे दिखाए जाएंगे, एक समीकरण है जो ऐसी परिस्थितियों के आधार पर एक घटना की संभावना का वर्णन करता है जो इससे संबंधित हो सकते हैं। मुख्य सूत्र में निम्नलिखित रूप हैं:

पी (ए | बी) \u003d पी (इन | ए) एक्स पी (ए) / पी (सी)।

ए और बी कुछ घटनाएं हैं।

पी (ए | बी) - सशर्त संभावना, यानी, एक घटना एक हो सकती है, बशर्ते कि घटना सत्य है।

पी (इन | ए) - घटना वी की सशर्त संभावना

तो, छोटे पाठ्यक्रम "सिद्धांत का सिद्धांत" का अंतिम हिस्सा बेयस फॉर्मूला है, जो नीचे दिए गए कार्यों के समाधान के उदाहरण हैं।

कार्य 5।: गोदाम तीन कंपनियों से फोन लाया। साथ ही, पहले संयंत्र में निर्मित फोन का हिस्सा 25% है, दूसरे - 60%, तीसरे - 15% पर। यह भी ज्ञात है कि पहले कारखाने में दोषपूर्ण उत्पादों का औसत प्रतिशत दूसरे - 4%, और तीसरे - 1% में 2% है। संभावना को ढूंढना आवश्यक है कि यादृच्छिक रूप से चयनित फोन दोषपूर्ण होगा।

ए \u003d "बेतरतीब ढंग से लिया गया फोन।"

पहले कारखाने को बनाने वाले पहले फोन में। तदनुसार, 2 और 3 में परिचय (दूसरे और तीसरे कारखानों के लिए) दिखाई देंगे।

नतीजतन, हमें मिलता है:

पी (1 में) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; पी (2 में) \u003d 0.6; पी (3 में) \u003d 0.15 - इसलिए हमें प्रत्येक विकल्प की संभावना मिली।

अब आपको वांछित घटना की सशर्त संभावना को खोजने की ज़रूरत है, यानी, फर्मों में दोषपूर्ण उत्पादों की संभावना:

पी (ए / 1 में) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

पी (ए / 2 में) \u003d 0.04;

पी (ए / बी 3) \u003d 0.01।

अब हम बेयस फॉर्मूला में डेटा को प्रतिस्थापित करेंगे और प्राप्त करेंगे:

पी (ए) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305।

लेख संभावनाओं, सूत्रों और समस्याओं को हल करने के उदाहरणों के सिद्धांत प्रस्तुत करता है, लेकिन यह केवल हिमशैल के व्यापक अनुशासन का शीर्ष है। और सभी लिखे जाने के बाद, यह पूछने के लिए तार्किक होगा कि जीवन में संभावना के सिद्धांत की आवश्यकता है या नहीं। जवाब देने के लिए एक साधारण व्यक्ति का जवाब देना मुश्किल है, यह पूछना बेहतर है कि उसकी मदद के साथ, जैक-पसीने को तोड़ नहीं दिया।

संक्षिप्त सिद्धांत

उनकी उपस्थिति की संभावना की डिग्री में घटनाओं की मात्रात्मक तुलना के लिए, एक संख्यात्मक उपाय पेश किया जाता है, जिसे किसी घटना की संभावना कहा जाता है। एक यादृच्छिक घटना की संभावना एक घटना उपस्थिति की एक उद्देश्य की संभावना के उपाय की अभिव्यक्ति की संख्या कहा जाता है।

मान जो निर्धारित करते हैं कि घटनाओं पर महत्वपूर्ण उद्देश्य वाले आधार कितने महत्वपूर्ण हैं, एक घटना की संभावना से विशेषता है। इस बात पर जोर देना जरूरी है कि संभावना एक उद्देश्य मूल्य है जो सीखने की स्वतंत्र रूप से मौजूद है और किसी घटना के उद्भव में योगदान देने वाली स्थितियों के पूरे सेट के कारण।

संभाव्यता की अवधारणा जो स्पष्टीकरण गणितीय परिभाषा नहीं है, क्योंकि वे इस अवधारणा को मात्रात्मक रूप से निर्धारित नहीं करते हैं। एक यादृच्छिक घटना की कई संभावना परिभाषाएं हैं जिनका व्यापक रूप से विशिष्ट कार्यों को हल करने में उपयोग किया जाता है (शास्त्रीय, स्वयंसिद्ध, सांख्यिकीय, आदि)।

किसी घटना की संभावना की क्लासिक परिभाषा इस अवधारणा को संतुलन घटनाओं की एक और प्राथमिक अवधारणा के लिए समर्थन करता है, जिसे अब परिभाषित नहीं किया गया है और इसे सहज माना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि खेल की हड्डी एक सजातीय घन है, तो इस घन के किसी भी किनारों का पतन घटनाओं के बराबर होगा।

एक विश्वसनीय घटना संतुलन मामलों पर विघटित होने दें, जिसकी राशि एक घटना देती है। यही है, जिन मामलों में विघटन को घटना के लिए अनुकूल कहा जाता है, क्योंकि उनमें से एक की उपस्थिति आक्रामक प्रदान करती है।

घटनाओं की संभावना प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा।

किसी ईवेंट की संभावना के बराबर मामलों की संख्या के अनुपात के बराबर होती है, संख्या में केवल संभव, बराबर और विसंगतियों की कुल संख्या से, यानी

यह एक क्लासिक संभावना परिभाषा है। इस प्रकार, किसी घटना की संभावना को खोजने के लिए, परीक्षण के विभिन्न परिणामों पर विचार करने के लिए, केवल संभव, बराबर और असंगत मामलों के सेट को खोजने के लिए, उनके कुल संख्या एन की गणना करने के लिए, एम मामलों की संख्या को अनुकूलित करने के लिए यह घटना, और फिर उपरोक्त सूत्र के अनुसार गणना की गणना करें।

अनुभव के परिणामों की कुल संख्या के अनुभव के अनुभव की अनुकूल घटनाओं की संख्या के बराबर घटना की संभावना को अनुभव किया जाता है क्लासिक संभावना यादृच्छिक घटना।

निर्धारण निम्नलिखित संभाव्यता गुणों को बहता है:

संपत्ति 1. एक विश्वसनीय घटना की संभावना एक के बराबर है।

संपत्ति 2. एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।

संपत्ति 3. एक यादृच्छिक घटना की संभावना शून्य और इकाई के बीच एक सकारात्मक संख्या समाप्त होती है।

संपत्ति 4. एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की घटना की संभावना एक के बराबर है।

संपत्ति 5 एक विपरीत घटना की संभावना को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे घटना ए की घटना की संभावना के रूप में।

विपरीत घटना की उपस्थिति के लिए अनुकूल मामलों की संख्या। यहां से विपरीत घटना की संभावना इकाई के बीच के अंतर के बराबर है और घटना की संभावना ए:

किसी घटना की संभावना की शास्त्रीय परिभाषा का एक महत्वपूर्ण लाभ यह है कि इसकी मदद से, किसी ईवेंट की संभावना प्रयोग के लिए और तार्किक तर्क के आधार पर निर्धारित की जा सकती है।

शर्तों का एक जटिल प्रदर्शन करते समय, एक विश्वसनीय घटना निश्चित रूप से होती है, और असंभव रूप से असंभव नहीं होगा। घटनाओं में से कि, परिस्थितियों का एक परिसर बनाते समय, हो सकता है, और ऐसा नहीं हो सकता है, कुछ लोगों की उपस्थिति पर एक छोटे से आधार के साथ दूसरों की उपस्थिति के लिए एक बड़े आधार पर भरोसा कर सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, काले रंग की तुलना में सफेद गेंदों के उर में, फिर एक सफेद कटोरे की उपस्थिति के लिए आशा है कि एक काले कटोरे की उपस्थिति के मुकाबले यूआरएन से बहुत अधिक कारणों को हटा दें।

समस्या को हल करने का एक उदाहरण

उदाहरण 1।

बॉक्स में 8 सफेद, 4 काले और 7 लाल गेंदें हैं। मार्ग 3 गेंदों को पुनः प्राप्त किया। निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएं ढूंढें: - कम से कम 1 लाल गेंद निकाली गई है - एक रंग की कम से कम 2 गेंदें हैं, - कम से कम 1 लाल और 1 सफेद गेंद है।

समस्या का समाधान

परीक्षण परिणामों की कुल संख्या 3 के 19 (8 + 4 + 7) तत्वों के संयोजनों के रूप में मिल जाएगी:

एक घटना की संभावना का पता लगाएं - कम से कम 1 लाल गेंद (1.2 या 3 लाल गेंदों) निकाले गए

वांछित संभावना:

घटना को छोड़ दें - एक रंग के कम से कम 2 कटोरे हैं (2 या 3 सफेद गेंदें, 2 या 3 काले गेंदें और 2 या 3 लाल गेंदें)

घटनाओं के अनुकूल परिणामों की संख्या:

वांछित संभावना:

घटना को छोड़ दें - कम से कम एक लाल और 1 सफेद गेंद है

(1 लाल, 1 सफेद, 1 काला या 1 लाल, 2 सफेद या 2 लाल, 1 सफेद)

घटनाओं के अनुकूल परिणामों की संख्या:

वांछित संभावना:

उत्तर:पी (ए) \u003d 0.773; पी (सी) \u003d 0.7688; P (d) \u003d 0.6068

उदाहरण 2।

दो बजाने वाली हड्डियों को फेंक दिया गया। संभावना का पता लगाएं कि अंक की मात्रा 5 से कम नहीं है।

फेसला

घटना को चलो - कम से कम 5 अंक की मात्रा

हम क्लासिक संभाव्यता परिभाषा का उपयोग करते हैं:

संभावित परीक्षण परिणामों की कुल संख्या

आपके द्वारा रुचि रखने वाली घटना के लिए अनुकूल परीक्षणों की संख्या

पहले खेल घन के गिरने वाले चेहरे पर, एक बिंदु प्रकट हो सकता है, दो अंक ..., छह अंक। इसी तरह, दूसरा घन फेंकते समय छह परिणाम संभव होते हैं। पहले पासा फेंकने के प्रत्येक परिणाम को दूसरे के परिणामों के साथ जोड़ा जा सकता है। इस प्रकार, संभावित प्राथमिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या पुनरावृत्ति के साथ प्लेसमेंट की संख्या के बराबर है (वॉल्यूम 6 की कुल मात्रा से 2 तत्वों को रखने के साथ विकल्प):

विपरीत घटना की संभावना का पता लगाएं - अंक की मात्रा 5 से कम है

पसंदीदा घटना चमकते बिंदुओं के निम्नलिखित संयोजन होंगे:

संभावना की ज्यामितीय परिभाषा निर्धारित की गई है और व्यापक रूप से ज्ञात मीटिंग कार्य का समाधान दिया गया है।

संभावना का सिद्धांत गणित का एक बल्कि एक व्यापक स्वतंत्र खंड है। स्कूल वर्ष में, संभावना के सिद्धांत को बहुत ही सतही माना जाता है, हालांकि, इस विषय के लिए कार्य हैं। हालांकि, स्कूल के पाठ्यक्रम के कार्यों को हल करना इतना मुश्किल नहीं है (कम से कम अंकगणितीय परिचालनों की चिंता क्या है) - यहां आपको डेरिवेटिव पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है, इंटीग्रल लेना और जटिल त्रिकोणमितीय परिवर्तन हल करना - मुख्य बात यह है कि संभाल सकें सरल संख्या और अंश।

संभाव्यता सिद्धांत - मूल शर्तें

संभावना के सिद्धांत की मुख्य शर्तें परीक्षण, एक परिणाम और एक यादृच्छिक घटना हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में परीक्षण को एक प्रयोग कहा जाता है - एक सिक्का फेंकने के लिए, कार्ड खींचने के लिए, ड्रॉ खींचें - यह सब परीक्षण। परीक्षण के परिणाम, जैसा कि आपने पहले ही अनुमान लगाया है, को एक परिणाम कहा जाता है।

यादृच्छिक घटना क्या है? संभावना के सिद्धांत में यह माना जाता है कि परीक्षण कई बार कई बार किया जाता है। यादृच्छिक घटना को बहुत सारे परीक्षण परिणाम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्का फेंकते हैं, तो दो यादृच्छिक घटनाएं हो सकती हैं - ईगल या रश फॉल्स।

परिणाम और यादृच्छिक घटना को भ्रमित न करें। परिणाम एक परीक्षण का एक परिणाम है। यादृच्छिक घटना विभिन्न प्रकार के संभावित परिणाम हैं। वैसे, और एक असंभव घटना के रूप में इस तरह के एक शब्द है। उदाहरण के लिए, मानक गेम क्यूब पर "संख्या 8" की घटना असंभव है।

एक संभावना कैसे प्राप्त करें?

हम सभी समझते हैं कि संभावना क्या है, और अक्सर इस शब्द का उपयोग आपकी शब्दावली में करती है। इसके अलावा, हम किसी विशेष घटना की संभावना के बारे में कुछ निष्कर्ष भी कमा सकते हैं, उदाहरण के लिए, यदि बर्फ की खिड़की के पीछे, तो हम कहने की संभावना रख सकते हैं कि अब गर्मी नहीं है। हालांकि, इस धारणा को संख्यात्मक रूप से कैसे व्यक्त किया जाए?

संभाव्यता को खोजने के लिए सूत्र को पेश करने के लिए, हम एक और अवधारणा शुरू करते हैं - एक अनुकूल परिणाम, यानी परिणाम जो किसी विशेष घटना के लिए अनुकूल है। परिभाषा निश्चित रूप से अस्पष्ट है, हालांकि, समस्या की स्थिति से, यह हमेशा स्पष्ट है कि कौन से परिणाम अनुकूल हैं।

उदाहरण के लिए: कक्षा 25 लोगों में, उनमें से तीन काटती। शिक्षक ओलिया कर्तव्य की नियुक्ति करता है, और उसे एक साथी की जरूरत है। साथी कैट्या बनने की संभावना क्या है?

इस उदाहरण में, एक अनुकूल परिणाम - कटिया के साथी। थोड़ी देर बाद हम इस कार्य को हल करेंगे। लेकिन सबसे पहले हम संभावना को खोजने के लिए एक अतिरिक्त परिभाषा सूत्र की मदद से परिचय देते हैं।

• पी \u003d ए / एन, जहां पी संभावना है, ए अनुकूल परिणामों की संख्या है, एन परिणामों की कुल संख्या है।

सभी स्कूल चुनौतियां इस सूत्र में से एक के आसपास कताई कर रही हैं, और मुख्य कठिनाई आमतौर पर परिणामों को खोजने में होती है। कभी-कभी वे खोजने के लिए सरल होते हैं, कभी-कभी - बहुत नहीं।

संभावना के लिए कार्यों को कैसे हल करें?

कार्य 1।

तो, अब उपरोक्त कार्य तय करते हैं।

अनुकूल परिणामों की संख्या (शिक्षक काट्या चुनता है) तीन के बराबर है, क्योंकि कक्षा तीन में बिल्ली, और कुल परिणाम - 24 (25-1, क्योंकि ओल्या पहले से ही चुना गया है)। फिर संभावना बराबर है: पी \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0.125। इस प्रकार, यह संभावना है कि कट्या 12.5% \u200b\u200bहो जाएगा। यह आसान है? चलो कुछ और व्यापक आश्चर्य करते हैं।

कार्य 2।

सिक्का को दो बार फेंक दिया गया था, संयोजन की संभावना क्या है: एक ईगल और एक भीड़?

तो, हम कुल परिणामों पर विचार करते हैं। सिक्के कैसे गिर सकते हैं - ईगल / ईगल, रशका / रशका, ईगल / रश, रशका / ईगल? तो, परिणामों की कुल संख्या - 4. कितने अनुकूल परिणाम? दो - ईगल / रश और रश / ईगल। इस प्रकार, एक ईगल / रश के संयोजन की संभावना के बराबर है:

• पी \u003d 2/4 \u003d 0.5 या 50 प्रतिशत।

और अब ऐसे कार्य पर विचार करें। 6 सिक्कों की जेब में माशा: दो - 5 रूबल और चार का एक मूल्यवरण - 10 रूबल का एक संप्रदाय। माशा ने 3 सिक्के को एक और जेब में स्थानांतरित कर दिया। यह संभावना है कि 5-रूबल सिक्के अलग-अलग जेब में होंगे?

सादगी के लिए, हम संख्याओं के साथ सिक्कों को दर्शाते हैं - 1.2 - पांच सदस्यीय सिक्के, 3,4,5,6 - दस मीटर के सिक्के। तो सिक्के आपकी जेब में कैसे झूठ बोल सकते हैं? कुल में 20 संयोजन हैं:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि कुछ संयोजन गायब हो जाते हैं, उदाहरण के लिए, 231, हालांकि, हमारे मामले में, संयोजन 123, 231 और 321 समकक्ष हैं।

अब हम मानते हैं कि हमारे पास कितने अनुकूल परिणाम हैं। उनके लिए हम उन संयोजनों को लेते हैं जिनमें कोई संख्या 1 है, या संख्या 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. वे 12 वर्ष हैं। इस प्रकार, संभावना के बराबर है:

• पी \u003d 12/20 \u003d 0.6 या 60%।

यहां प्रस्तुत संभावना के सिद्धांत पर कार्य काफी सरल हैं, लेकिन यह नहीं सोचते कि संभावना का सिद्धांत गणित का एक साधारण वर्ग है। यदि आप विश्वविद्यालय में शिक्षा जारी रखने का निर्णय लेते हैं (मानवीय विशिष्टताओं के अपवाद के साथ), तो आपके पास निश्चित रूप से कुछ उच्च गणित होंगे जिन पर आप इस सिद्धांत की अधिक जटिल शर्तों से परिचित होंगे, और कार्यों को और अधिक कठिन होगा ।

प्रारंभ में, हड्डी में खेल के सूचना और अनुभवजन्य अवलोकनों की एक बैठक होने के नाते, संभावना का सिद्धांत एक ठोस विज्ञान बन गया है। जिसने अपना गणितीय ढांचा दिया, वह पहला और पास्कल था।

अनंतता के बारे में सोचने से संभाव्यता सिद्धांत

दो व्यक्तित्व जो कई मौलिक सूत्रों, ब्लेस पास्कल और थॉमस बेयस द्वारा बाध्य हैं, को गहराई से विश्वासियों के रूप में जाना जाता है, उत्तरार्द्ध प्रेस्बिटेरियन पुजारी था। जाहिर है, इन दो वैज्ञानिकों की इच्छा किसी प्रकार के भाग्य पर विचारों की झूठी साबित करने की इच्छा, अपने पालतू जानवरों को शुभकामनाएं देकर, इस क्षेत्र में अनुसंधान के लिए उत्साह दिया। आखिरकार, वास्तव में, इसकी जीत और हानि के साथ कोई भी जुआ गणितीय सिद्धांतों की एक सिम्फनी है।

अज़ार्ट कैवेलर के लिए धन्यवाद, जो समान रूप से एक खिलाड़ी और एक व्यक्ति जो विज्ञान से उदासीन नहीं था, पास्कल को संभावना की गणना करने का एक तरीका खोजने के लिए मजबूर होना पड़ा। डायरेज को इस तरह के एक प्रश्न में दिलचस्पी थी: "आपको दो हड्डियों को जोड़े में कितनी बार फेंकना चाहिए ताकि 12 अंक प्राप्त करने की संभावना 50% से अधिक हो?"। दूसरा प्रश्न कैवलार में बेहद दिलचस्पी है: "एक अधूरे खेल के प्रतिभागियों के बीच शर्त कैसे साझा करें?" बेशक, पास्कल ने सफलतापूर्वक दोनों प्रश्नों का जवाब दिया, जो संभाव्यता सिद्धांत के विकास के लिए अनैच्छिक उत्साह बन गए। दिलचस्प बात यह है कि व्यक्ति का व्यक्ति कला में जाना जाता है, न कि साहित्य में।

पहले, कोई गणितज्ञ ने अभी तक घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने का प्रयास नहीं किया है, क्योंकि ऐसा माना जाता था कि यह सिर्फ एक गैडी निर्णय है। ब्लेज़ पास्कल ने एक घटना की संभावना की पहली परिभाषा दी और दिखाया कि यह एक विशिष्ट आंकड़ा है जिसे गणितीय माध्यमों के साथ उचित ठहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत आंकड़ों के लिए आधार बन गया है और आधुनिक विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

दुर्घटना क्या है

अगर हम परीक्षण पर विचार करते हैं कि आप अनंत संख्या को दोहरा सकते हैं, तो आप एक यादृच्छिक घटना को परिभाषित कर सकते हैं। यह अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है।

अनुभव निरंतर परिस्थितियों में ठोस कार्यों का कार्यान्वयन है।

अनुभव के परिणामों के साथ काम करने के लिए, घटनाओं को आमतौर पर अक्षरों ए, बी, सी, डी, ई द्वारा दर्शाया जाता है ...

एक यादृच्छिक घटना की संभावना

ताकि आप संभावना के गणितीय हिस्से को शुरू कर सकें, आपको इसके सभी घटकों को परिभाषित करने की आवश्यकता है।

अनुभव की संभावना के परिणामस्वरूप किसी निश्चित घटना (ए या बी) की उपस्थिति के माप के संख्यात्मक रूप में एक घटना की संभावना को दर्शाया जाता है। पी (ए) या पी (बी) की संभावना का संकेत दिया जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत में, अंतर करें:

• विश्वसनीय प्रयोग पी (ω) \u003d 1 के परिणामस्वरूप आयोजन की गारंटी है;
• असंभव घटना कभी पी (Ø) \u003d 0 नहीं हो सकती है;
• बिना सोचे समझे यह घटना विश्वसनीय और असंभव के बीच स्थित है, यानी, इसकी उपस्थिति की संभावना संभव है, लेकिन गारंटी नहीं है (यादृच्छिक घटना की संभावना हमेशा 0pp (a) ≤ 1 के भीतर होती है)।

घटनाओं के बीच संबंध

ए + बी की घटनाओं के समान और योग दोनों पर विचार करें, जब घटना को कम से कम एक घटकों, ए या बी, या दोनों के कार्यान्वयन में गिना जाता है - ए और वी।

एक दूसरे के संबंध में, घटनाएं हो सकती हैं:

• संतुलन।
• संगत।
• असंगत।
• विपरीत (परस्पर अनन्य)।
• आश्रित।

यदि दो घटनाएं समान संभावना के साथ हो सकती हैं, तो वे संतुलन.

यदि किसी घटना की उपस्थिति और एक घटना बी की उपस्थिति की संभावना को कम नहीं करता है, तो वे संगत।

यदि घटनाएं ए और बी एक ही अनुभव में कभी भी नहीं होती हैं, तो उन्हें बुलाया जाता है असंगत। फेंकने वाले सिक्के एक अच्छा उदाहरण है: भीड़ की उपस्थिति स्वचालित रूप से ईगल की गलती है।

इस तरह की असंगत घटनाओं की मात्रा के लिए संभावना में प्रत्येक घटना की संभावना होती है:

पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (सी)

यदि एक कार्यक्रम की शुरुआत अन्य को असंभव बनाती है, तो उन्हें विपरीत कहा जाता है। फिर उनमें से एक को ए के रूप में नामित किया गया है, और दूसरा - ā ("ए" के रूप में पढ़ा गया ")। एक घटना की उपस्थिति का मतलब है कि नहीं हुआ। ये दो घटनाएं 1 के बराबर संभावना के योग के साथ एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

आश्रित घटनाओं में एक आपसी प्रभाव पड़ता है, एक दूसरे की संभावना को कम करना या बढ़ाना है।

घटनाओं के बीच संबंध। उदाहरण

संभाव्यता सिद्धांत और घटनाओं के संयोजन के सिद्धांतों को समझने के लिए उदाहरण बहुत आसान हैं।

जो अनुभव आयोजित किया जाएगा वह बॉक्स से गेंदों को खींचना है, और प्रत्येक अनुभव का परिणाम एक मौलिक परिणाम है।

घटना अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है - एक लाल गेंद, एक नीली गेंद, एक संख्या छह के साथ एक गेंद इत्यादि।

परीक्षण संख्या 1। 6 गेंदें शामिल हैं, जिनमें से तीन को नीले रंग में चित्रित किया गया है, विषम संख्याएं उन पर लागू की जाती हैं, और तीन अन्य भी संख्याओं के साथ लाल होते हैं।

परीक्षण संख्या 2। एक से छह से संख्याओं के साथ नीले रंग की गेंदें शामिल हैं।

इस उदाहरण के आधार पर, आप संयोजन पर कॉल कर सकते हैं:

• विश्वसनीय घटना। में №2 घटना "एक नीली गेंद प्राप्त करें" विश्वसनीय है, क्योंकि इसकी उपस्थिति की संभावना 1 के बराबर है, क्योंकि सभी गेंदें नीली और याद नहीं हो सकती हैं। जबकि घटना "संख्या 1 के साथ एक गेंद प्राप्त करें" यादृच्छिक है।
• असंभव घटना। में №1 नीले और लाल गेंदों के साथ घटना "बैंगनी गेंद प्राप्त करें" असंभव है, क्योंकि इसकी उपस्थिति की संभावना 0 है।
• समान घटनाएं। में №1 घटनाक्रम "एक संख्या 2 के साथ एक गेंद प्राप्त करें" और "एक नंबर 3 के साथ एक गेंद प्राप्त करें" संतुलन, और घटनाओं "एक भी संख्या के साथ एक गेंद प्राप्त करें" और "एक संख्या 2 के साथ एक गेंद प्राप्त करें" एक अलग संभावना है ।
• संगत घटनाक्रम। एक पंक्ति में दो बार एक खेल की हड्डी फेंकने की प्रक्रिया में छह पाने के लिए - ये संगत घटनाएं हैं।
• असंगत घटनाएं। उसी आईएसपी में। №1 घटनाओं "एक लाल गेंद प्राप्त करें" और "एक विषम संख्या के साथ एक गेंद प्राप्त करें" को एक ही अनुभव में जोड़ा नहीं जा सकता है।
• विपरीत घटनाएं। इसका सबसे हड़ताली उदाहरण सिक्कों को फेंकना है जब ईगल खींचना नदी की गैर-कैद के लिए tantamount है, और उनकी संभावनाओं का योग हमेशा 1 (पूर्ण समूह) है।
• आश्रित घटनाक्रम। तो, आईएसपी में। №1 आप एक पंक्ति में दो बार लाल गुब्बारे को हटाने के लिए लक्ष्य निर्धारित कर सकते हैं। पहली बार उनके निष्कर्षण या अज्ञात दूसरी बार निकालने की संभावना को प्रभावित करता है।

यह देखा जा सकता है कि पहली घटना दूसरे (40% और 60%) की संभावना को काफी प्रभावित करती है।

घटना संभावना फार्मूला

गैडेटिंग प्रतिबिंब से सटीक डेटा में संक्रमण गणितीय विमान में अनुवाद विषय के कारण है। यही है, "उच्च संभावना" या "न्यूनतम संभावना" जैसे यादृच्छिक घटना के बारे में निर्णय विशिष्ट संख्यात्मक डेटा में स्थानांतरित किया जा सकता है। ऐसी सामग्री अधिक जटिल गणनाओं में मूल्यांकन, तुलना और परिचय करने की अनुमति है।

गणना के दृष्टिकोण से, किसी घटना की संभावना की परिभाषा अपेक्षाकृत विशिष्ट घटना के अनुभव के सभी संभावित परिणामों की मात्रा के प्राथमिक सकारात्मक परिणामों की संख्या का अनुपात है। यह पी (ए) की संभावना से संकेत मिलता है, जहां आर का अर्थ है "संभाव्य" शब्द, जिसका अनुवाद फ्रेंच से "संभावना" के रूप में किया जाता है।

तो, संभावना फॉर्मूला घटना:

जहां एम घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है, एन - इस अनुभव के लिए सभी परिणामों का योग संभव है। इस मामले में, घटनाओं की संभावना हमेशा 0 और 1 के बीच है:

0 ≤ पी (ए) ≤ 1।

किसी घटना की संभावना की गणना। उदाहरण

जादू लें। गेंदों के साथ №1, जो पहले वर्णित है: 3 नीली गेंदों के साथ संख्या 1/3/5 और 3 लाल 2/4/6 संख्याओं के साथ।

इस परीक्षण के आधार पर, कई अलग-अलग कार्यों को देखा जा सकता है:

• ए - लाल कटोरे का नुकसान। लाल गेंदें 3, और कुल विकल्प 6. यह सबसे सरल उदाहरण है जिसमें ईवेंट की संभावना पी (ए) \u003d 3/6 \u003d 0.5 है।
• बी - एक संख्या का नुकसान। कुल संख्या 3 (2,4,6) में, और संभावित संख्यात्मक रूपों की कुल संख्या 6 है। इस घटना की संभावना पी (बी) \u003d 3/6 \u003d 0.5 है।
• सी संभावित परिणामों की कुल राशि से कुल विकल्प 4 (3,4,5,6) से अधिक संख्या का नुकसान होता है। पी (सी) \u003d 4/6 \u003d 0.67 के बराबर घटना की संभावना ।

गणना से देखा जा सकता है, घटना सी में अधिक संभावना है, क्योंकि संभावित सकारात्मक परिणामों की संख्या ए और वी की तुलना में अधिक है।

अमान्य घटनाक्रम

ऐसी घटनाएं एक ही अनुभव में एक साथ दिखाई नहीं दे सकती हैं। जैसे की №1 नीले और लाल गेंद तक पहुंचना असंभव है। यही है, आप या तो नीली या लाल गेंद प्राप्त कर सकते हैं। खेल की हड्डी में उसी तरह, एक ही समय में एक और विषम संख्या हो सकती है।

दो घटनाओं की संभावना को उनके योग या कार्य की संभावना के रूप में माना जाता है। ऐसी घटनाओं की मात्रा ए + बी को ऐसी घटना माना जाता है जो एक ईवेंट ए या बी के उद्भव में होता है, और उनमें से उनका काम दोनों की उपस्थिति में होता है। उदाहरण के लिए, एक फेंक में दो क्यूब्स के किनारों पर तुरंत दो छक्के की उपस्थिति।

कई घटनाओं का योग एक घटना है जिसमें उनमें से कम से कम एक के उद्भव शामिल है। कई घटनाओं का काम उन सभी की संयुक्त उपस्थिति है।

संभावना के सिद्धांत में, एक नियम के रूप में, संघ का उपयोग "और" राशि को दर्शाता है, संघ "या" - गुणा। उदाहरणों के साथ सूत्र संभावना के सिद्धांत में अतिरिक्त और गुणा के तर्क को समझने में मदद करेंगे।

अपूर्ण घटनाओं की संभावना

यदि असंगत घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है, तो घटनाओं की मात्रा की संभावना उनकी संभावना के अतिरिक्त के बराबर होती है:

पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (सी)

उदाहरण के लिए: मैं पीसी में संभावना की गणना करता हूं। संख्या 1 नीले और लाल गेंदों के साथ, 1 और 4 की संख्या 4. एक क्रिया में नहीं बल्कि प्राथमिक घटकों की संभावनाओं की गणना। तो, इस अनुभव में केवल 6 गेंदों या सभी संभावित परिणामों में से 6। ऐसी संख्याएं जो शर्त को पूरा करती हैं - 2 और 3. चित्रा 2 की संभावना 1/6 है, चित्रा 3 की संभावना भी 1/6 है। संभावना है कि अंक 1 और 4 के बीच गिर जाएगा:

पूर्ण समूह की असंगत घटनाओं की संभावना 1 के बराबर है।

इसलिए, यदि घन के साथ प्रयोग में, सभी संख्याओं के पतन की संभावनाओं को रखें, तो परिणामस्वरूप हम एक इकाई प्राप्त करते हैं।

यह विपरीत घटनाओं के लिए भी सच है, उदाहरण के लिए, एक सिक्का के साथ अनुभव, जहां एक तरफ एक घटना है, और दूसरा विपरीत घटना है, जैसा कि ज्ञात है,

पी (ए) + पी (ā) \u003d 1

गैर-प्रमुख घटनाओं के काम की संभावना

संभावनाओं का गुणा लागू होता है जब वे एक अवलोकन में दो या अधिक अपूर्ण घटनाओं के उद्भव पर विचार करते हैं। संभावना है कि घटनाएं ए और बी एक साथ दिखाई देगी, उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर, या:

पी (ए * बी) \u003d पी (ए) * पी (बी)

उदाहरण के लिए, आईएसपी में संभावना है। №1 दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, एक नीली गेंद दो बार, बराबर दिखाई देगी

यही है, किसी घटना की घटना की संभावना, जब, गेंदों को हटाने के साथ दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, केवल नीली गेंदों को 25% के बराबर निकाला जाएगा। इस कार्य के व्यावहारिक प्रयोग करना बहुत आसान है और देखें कि यह वास्तव में है या नहीं।

संयुक्त घटनाक्रम

घटनाओं को संयुक्त रूप से माना जाता है जब उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे के उद्भव के साथ मेल खा सकती है। इस तथ्य के बावजूद कि वे संयुक्त हैं, स्वतंत्र घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो बजाना हड्डियों को फेंकना परिणाम दे सकता है जब संख्या 6 उन दोनों पर पड़ती है। हालांकि घटनाएं एक साथ संयोग और प्रकट हुईं, वे एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं - केवल एक छः, दूसरी हड्डी पर इसका प्रभाव नहीं पड़ता है ।

संयुक्त घटनाओं की संभावना को उनके योग की संभावना के रूप में माना जाता है।

संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना। उदाहरण

घटनाओं ए और बी की मात्रा की संभावना, जो एक दूसरे के जोड़ों के संबंध में, अपने काम की संभावना की कटौती के साथ घटना की संभावना के बराबर होती है (यानी, उनके संयुक्त कार्यान्वयन):

पी संयुक्त। (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - पी (एवी)

मान लीजिए कि एक शॉट के साथ लक्ष्य में आने की संभावना 0.4 है। फिर घटना - दूसरे में, पहले प्रयास में लक्ष्य को मारना। ये घटनाएं संयुक्त हैं, क्योंकि यह संभव है कि लक्ष्य को पहले और दूसरे शॉट से हिट किया जा सके। लेकिन घटनाएं निर्भर नहीं हैं। दो शॉट्स (कम से कम एक) से एक लक्ष्य हार की घटना की संभावना क्या है? सूत्र के अनुसार:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

प्रश्न का उत्तर निम्नानुसार है: "दो शॉट्स से लक्ष्य में आने की संभावना 64% है।"

यह घटना संभाव्यता फॉर्मूला अपूर्ण घटनाओं पर भी लागू हो सकती है, जहां घटना पी (एवी) की उपस्थिति की संभावना (एवी) \u003d 0. इसका मतलब है कि अपूर्ण घटनाओं की संभावना प्रस्तावित सूत्र का एक विशेष मामला माना जा सकता है।

स्पष्टता के लिए संभाव्यता ज्यामिति

दिलचस्प बात यह है कि संयुक्त घटनाओं की मात्रा की संभावना को दो क्षेत्रों ए और बी के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो एक साथ छेड़छाड़ करता है। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, उनके संगठन का क्षेत्र उनके चौराहे क्षेत्रों के प्रति मिनट कुल क्षेत्र के बराबर है। यह ज्यामितीय स्पष्टीकरण पहली नज़र फॉर्मूला में अधिक समझने योग्य अजीब बनाता है। ध्यान दें कि संभाव्यता के सिद्धांत में ज्यामितीय समाधान असामान्य नहीं हैं।

सेट की राशि (दो से अधिक) संयुक्त घटनाओं की संभावना का निर्धारण काफी बोझिल है। इसकी गणना करने के लिए, आपको इन मामलों के लिए प्रदान किए गए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

आश्रित घटनाक्रम

आश्रित घटनाओं को बुलाया जाता है यदि उनमें से एक (ए) का आक्रामक दूसरे (बी) की संभावना को प्रभावित करता है। इसके अलावा, दोनों घटनाओं के प्रभाव और इसके दोषों को ध्यान में रखा जाता है। हालांकि घटनाओं को परिभाषा पर निर्भर कहा जाता है, लेकिन उनमें से केवल एक (बी) निर्भर है। सामान्य संभावना को पी (बी) या स्वतंत्र घटनाओं की संभावना के रूप में नामित किया गया था। आश्रित के मामले में, एक नई अवधारणा पेश की जाती है - सशर्त संभावना पी ए (बी), जो आश्रित घटना की संभावना है, बशर्ते कि घटना (परिकल्पना) तब हुई जिसके द्वारा यह निर्भर करता है।

लेकिन आखिरकार, एक घटना भी मौके से है, इसलिए इसमें एक मौका भी है कि आपको गणना की गई गणनाओं में ध्यान में रखा जा सकता है। इसके बाद, उदाहरण दिखाया जाएगा कि आश्रित घटनाओं और परिकल्पना के साथ कैसे काम किया जाए।

आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना का एक उदाहरण

आश्रित घटनाओं की गणना के लिए एक अच्छा उदाहरण कार्ड का एक मानक डेक हो सकता है।

36 कार्ड में एक डेक के उदाहरण पर, आश्रित घटनाओं पर विचार करें। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि डेक से निकाला गया दूसरा कार्ड एक टैम्बोरिन होगा, अगर पहले निकाला गया हो:

1. BUBNOVY।
2. एक और सूट।

यह स्पष्ट है कि दूसरी घटना की संभावना पहले ए पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि पहला विकल्प सत्य है कि डेक 1 कार्ड (35) और 1 टैम्बोरिन (8) कम हो गया है, तो एक घटना की संभावना:

पी ए (बी) \u003d 8/35 \u003d 0.23

यदि दूसरा विकल्प उचित है, तो डेक 35 कार्ड बन गया है, और टैम्बोरिन (9) की कुल संख्या अभी भी संरक्षित है, फिर अगली घटना की संभावना:

पी ए (बी) \u003d 9/35 \u003d 0.26।

यह देखा जा सकता है कि यदि घटना इस तथ्य पर सहमत है कि पहला कार्ड एक टैम्बोरिन है, तो एक घटना की संभावना कम हो जाती है, और इसके विपरीत।

आश्रित घटनाओं को गुणा करना

पिछले अध्याय द्वारा निर्देशित, हम पहले घटना (ए) को एक तथ्य के रूप में स्वीकार करते हैं, लेकिन अगर हम संक्षेप में कहते हैं, तो इसमें एक यादृच्छिक चरित्र है। इस घटना की संभावना, अर्थात् कार्ड के डेक से टैम्बर्न का निष्कर्षण, बराबर है:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

चूंकि सिद्धांत स्वयं में मौजूद नहीं है, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए सेवा के लिए डिज़ाइन किया गया है, यह ध्यान रखना सही है कि आश्रित घटनाओं के उत्पाद की संभावना की संभावना अक्सर आवश्यक होती है।

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद पर प्रमेय के अनुसार, संयुक्त रूप से आश्रित घटनाओं ए और बी की उपस्थिति की संभावना एक घटना की संभावना के बराबर है, एक घटना की सशर्त संभावना से गुणा (आश्रित ए):

P (ab) \u003d p (a) * p a (b)

फिर एक डेक के साथ उदाहरण में, टैम्बोरिन की माही के साथ दो कार्ड निकालने की संभावना यह है:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, या 5.7%

और निकालने की संभावना पहले एक टैम्बोरिन नहीं है, और फिर tambourines के बराबर हैं:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19, या 19%

यह देखा जा सकता है कि एक घटना की उपस्थिति की संभावना अधिक है, बशर्ते कि पहला निष्कर्षण कार्ड टैम्बोरिन से निकाला जाए। यह परिणाम काफी तार्किक और समझने योग्य है।

घटना की पूर्ण संभावना

जब सशर्त संभावनाओं के साथ समस्या बहुमुखी हो जाती है, तो सामान्य तरीकों की गणना करना असंभव है। जब परिकल्पना दो से अधिक होती है, अर्थात् ए 1, ए 2, ..., और एन, .. प्रदान की गई घटनाओं का एक पूर्ण समूह को ठंडा करना:

• पी (ए i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• ए मैं ∩ J \u003d Ø, मैं ≠ जे।
• Σ के k \u003d ω।

तो, यादृच्छिक घटनाओं के पूर्ण समूह में घटना के लिए पूर्ण संभावना के लिए सूत्र ए 1, ए 2, ..., और एन है:

भविष्य में एक नज़र

एक यादृच्छिक घटना की संभावना विज्ञान के कई क्षेत्रों में बेहद जरूरी है: अर्थेट्रिक, सांख्यिकी, भौतिकी इत्यादि। कुछ प्रक्रियाओं को निर्धारित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनके पास स्वयं की संभाव्य प्रकृति है, काम के विशेष तरीकों की आवश्यकता है। किसी ईवेंट की संभावना का सिद्धांत किसी भी तकनीकी क्षेत्र में किसी त्रुटि या खराबी की संभावना को निर्धारित करने के तरीके के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

यह कहा जा सकता है कि, संभावना सीखना, हम भविष्य में सैद्धांतिक कदम कर रहे हैं, किसी भी तरह से, सूत्र के प्रिज्म के माध्यम से इसे देख रहे हैं।

दुनिया में सब कुछ निर्धारित या संयोग से ...
अरस्तू

संभावना: बुनियादी नियम

संभाव्यता सिद्धांत विभिन्न घटनाओं की संभावना की गणना करता है। संभावना के सिद्धांत में मुख्य एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा है।

उदाहरण के लिए, आप एक सिक्का फेंक देते हैं, यह यादृच्छिक रूप से हथियारों के कोट पर या एक व्यापक होता है। आप पहले से नहीं जानते कि किस प्रकार का सिक्का गिर जाएगा। आप एक बीमा अनुबंध में प्रवेश करते हैं, आप पहले से नहीं जानते कि कोई भुगतान नहीं होगा या नहीं।

Actuarial गणनाओं में, आपको विभिन्न घटनाओं की संभावना का मूल्यांकन करने में सक्षम होना चाहिए, इसलिए संभावना सिद्धांत एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। गणित का कोई अन्य क्षेत्र घटनाओं की संभावनाओं के साथ काम नहीं कर सकता है।

सिक्का फेंकने के लिए अधिक जानकारी पर विचार करें। 2 पारस्परिक रूप से अनन्य पलायन हैं: हथियारों के कोट का उत्सर्जन या भीड़ की हानि। श्रृंखला का नतीजा यादृच्छिक है, क्योंकि पर्यवेक्षक परिणाम को प्रभावित करने वाले सभी कारकों का विश्लेषण और ध्यान में रख सकता है। प्रतीक की संभावना क्या है? अधिकांश ½ का जवाब देंगे, लेकिन क्यों?

औपचारिक रूप से लेकिन अ हथियारों के कोट के बयान को इंगित करता है। सिक्का चलाता है एन समय। फिर एक घटना की संभावना लेकिन अ उन लोगों के हिस्से के रूप में निर्धारित करना संभव है, जिसके परिणामस्वरूप हथियारों का कोट गिरता है:

कहा पे एन कुल फेंकता है, n (ए) बाहों के कोट की रिक्तियों की संख्या।

संबंध (1) कहा जाता है आवृत्ति आयोजन लेकिन अ परीक्षणों की एक लंबी श्रृंखला में।

यह पता चला है कि विभिन्न श्रृंखलाओं में बड़े पैमाने पर संबंधित आवृत्ति एन कुछ स्थायी मूल्यों के बारे में बढ़ता है आर (ए)। इस मान को कहा जाता है घटना की संभावना लेकिन अ और पत्र को दर्शाता है आर- अंग्रेजी शब्द से संक्षिप्त संभावना - संभावना.

औपचारिक रूप से, हमारे पास है:

(2)

इस कानून को बुलाया जाता है बड़ी संख्या का कानून।

यदि सिक्का सही है (सममित), हथियारों के कोट के उत्सर्जन की संभावना नदी के नुकसान की संभावना के बराबर है और ½ के बराबर है।

रहने दो लेकिन अ तथा में कुछ घटनाएं, उदाहरण के लिए, बीमाकृत घटना नहीं हुई है या नहीं। दो घटनाओं का संयोजन एक घटना है जिसमें एक घटना को निष्पादित करने में शामिल है। लेकिन अ, आयोजन में, या दोनों घटनाओं एक साथ। दो घटनाओं का चौराहा लेकिन अ तथा में दोनों घटनाओं को लागू करने में एक कार्यक्रम कहा जाता है लेकिन अऔर घटनाएं में.

मौलिक नियम घटना संभावना गणना निम्नानुसार हैं:

1. शून्य और इकाई के बीच किसी भी घटना की संभावना समाप्त हो गई है:

2. ए और दो घटनाओं में, फिर:

इस तरह पढ़ें: दो घटनाओं को जोड़ने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है, जो घटनाओं को पार करने की संभावना को कम करती है। यदि घटनाएं अपूर्ण या अल्पकालिक हैं, तो दो घटनाओं के संयोजन (मात्रा) की संभावना संभाव्यता के योग के बराबर है। इस कानून को कानून कहा जाता है परिवर्धन संभावित.

हम कहते हैं कि घटनाएं विश्वसनीय हैं यदि इसकी संभावना 1. के बराबर है। कुछ घटनाओं का विश्लेषण करते समय, प्रश्न उत्पन्न होता है, क्योंकि घटना प्रभावित होती है में घटनाओं पर लेकिन अ। इसके लिए पेश किया गया सशर्त संभाव्यता :

(4)

इस तरह पढ़ें: आक्रामक की संभावना लेकिन अ मान लें कि में चौराहे की संभावना के बराबर है लेकिन अ तथा मेंएक घटना की संभावना से विभाजित में.
सूत्र (4) में यह माना जाता है कि एक घटना की संभावना में शून्य के ऊपर।

फॉर्मूला (4) को भी लिखा जा सकता है:

(5)

यह सूत्र संभावनाओं का गुणा।

सशर्त संभावना भी कहा जाता है क्षय घटना की संभावना लेकिन अ - आक्रामक की संभावना लेकिन अ शुरुआत के बाद में.

इस मामले में, संभावना को खुद कहा जाता है संभवतः संभावना। कुछ और महत्वपूर्ण सूत्र हैं जिनका असुरक्षित गणना में गहन रूप से उपयोग किया जाता है।

फॉर्मूला पूर्ण संभावना

मान लीजिए कि अनुभव किया जाता है, जिनकी शर्तें पहले से ही की जा सकती हैं। आपस लगीं अनन्य मान्यताओं (परिकल्पना):

हम मानते हैं कि या तो एक परिकल्पना है या ... या तो। इन परिकल्पनाओं की संभावनाएं ज्ञात और समान हैं:

फिर एक सूत्र है पूर्ण संभावना :

(6)

एक घटना की संभावना लेकिन अ आक्रामक की संभावना की राशि के बराबर लेकिन अ इस परिकल्पना की संभावना पर प्रत्येक परिकल्पना के साथ।

फॉर्मूला बेयस।

फॉर्मूला बेयस। आपको उस नई जानकारी के प्रकाश में परिकल्पना की संभावना को पुनर्मूल्यांकन करने की अनुमति देता है जो परिणाम दिया जाता है लेकिन अ.

एक निश्चित अर्थ में बेयस फॉर्मूला पूर्ण संभाव्यता सूत्र के विपरीत है।

निम्नलिखित व्यावहारिक कार्य पर विचार करें।

कार्य 1।

मान लीजिए कि विमान दुर्घटना के साथ होता है और विशेषज्ञ अपने कारणों का अध्ययन करने में लगे हुए हैं। ऐसे 4 कारण हैं जिनके लिए एक आपदा हुई: या तो कारण या, या, या। मौजूदा आंकड़ों के मुताबिक, इन कारणों में निम्नलिखित संभावनाएं हैं:

आपदा स्थान की जांच करते समय, आंकड़ों के मुताबिक, ईंधन इग्निशन के निशान पाए गए, इस घटना की संभावना कुछ कारणों से है:

प्रश्न: आपदा का कारण क्या है सबसे अधिक संभावना है?

घटना की घटना के कारणों की संभावनाओं की गणना करें लेकिन अ.

यह देखा जा सकता है कि पहला कारण सबसे अधिक संभावना है, क्योंकि इसकी संभावना अधिकतम है।

कार्य 2।

एयरफील्ड पर विमान लैंडिंग पर विचार करें।

जब लैंडिंग, मौसम की स्थिति ऐसी हो सकती है: कोई बादल नहीं है (), एक कम बादल () है। पहले मामले में, समृद्ध लैंडिंग की संभावना बराबर होती है पी 1। दूसरे मामले में - पी 2।। यह स्पष्ट है कि पी 1\u003e पी 2।.

जिन उपकरणों में अंधे लैंडिंग प्रदान करते हैं, वह मुसीबत मुक्त होने की संभावना है आर। यदि अंधेरे लैंडिंग के कम बादल और उपकरणों से इनकार कर दिया गया है, तो एक सफल लैंडिंग की संभावना के बराबर है पी 3, तथा पी 3<Р2 । यह ज्ञात है कि इस एयरफील्ड के लिए, कम बादल के साथ वर्ष के दिनों का हिस्सा बराबर है।

विमान की एक सुरक्षित लैंडिंग की संभावना का पता लगाएं।

एक मौका खोजने के लिए आवश्यक है।

दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं: अंधेरे लैंडिंग के उपकरण संचालित होते हैं, अंधेरे लैंडिंग के उपकरणों से इनकार कर दिया गया था, इसलिए हमारे पास है:

इसलिए पूर्ण संभावना का सूत्र:

कार्य 3।

बीमा कंपनी जीवन बीमा में लगी हुई है। इस कंपनी में बीमाकृत का 10% धूम्रपान करने वालों हैं। यदि बीमित व्यक्ति धूम्रपान नहीं करता है, तो पूरे वर्ष की मौत की संभावना 0.01 है यदि वह धूम्रपान करने वाला है, तो यह संभावना 0.05 है।

बीमाधारकों के बीच धूम्रपान करने वालों का अनुपात क्या है जो वर्ष के दौरान मर गया था?

उत्तर विकल्प: (ए) 5%, (बी) 20%, (सी) 36%, (डी) 56%, (ई) 9 0%।

फेसला

हम घटनाओं का परिचय देते हैं:

कार्य की स्थिति का मतलब है कि

इसके अलावा, घटनाओं के बाद से जो जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाते हैं।
ब्याज की संभावना है।

बेयस फॉर्मूला का उपयोग करके, हमारे पास है:

इसलिए, विकल्प सत्य है ( में).

कार्य 4।

बीमा कंपनी तीन श्रेणियों के लिए जीवन बीमा अनुबंध बेचती है: मानक, विशेषाधिकार प्राप्त और अल्ट्रा-रिज़ॉलिक।

सभी बीमाधारक का 50% मानक, 40% - विशेषाधिकार प्राप्त और 10% - अल्ट्रा-रिज़ॉलिकेड हैं।

मानक बीमाधारक के लिए वर्ष के दौरान मृत्यु की संभावना 0.010 है, विशेषाधिकार के लिए - 0.005, और अल्ट्रा विशेषाधिकार के लिए - 0.001।

यह संभावना है कि मृत बीमाधारक अल्ट्रा-लचीला है?

फेसला

हम निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करने के लिए पेश करते हैं:

इन घटनाओं के संदर्भ में, हमारे लिए ब्याज की संभावना है। शर्त से:

क्योंकि घटनाएं, हमारे पास बेयस फॉर्मूला का उपयोग करके जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाती हैं:

यादृच्छिक चर और उनकी विशेषताएं

कुछ यादृच्छिक मूल्य दें, उदाहरण के लिए, आग से क्षति या बीमा भुगतान की राशि।
यादृच्छिक मूल्य पूरी तरह से इसके वितरण समारोह द्वारा विशेषता है।

परिभाषा।समारोह बुला हुआ वितरण समारोह अनियमित चर ξ .

परिभाषा।यदि ऐसा कोई कार्य है जो मनमानी के लिए ए। किया हुआ