टेट्राहेड्रोन और उसका खंड। चतुष्फलक के खंडों का निर्माण और चतुष्फलक के खंडों का निर्माण कैसे करें
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पाठ का प्रकार:
नई सामग्री सीखने का एक पाठ.
पाठ का प्रकार:
आईसीटी का उपयोग कर पाठ.
ज्यामिति: कक्षा 10-11 के लिए पाठ्यपुस्तक। / एल.एस. अतानास्यान। - एम.: शिक्षा, 2010;
हैंडआउट: कार्यों वाले कार्ड।
इंटरैक्टिव बोर्ड;
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PowerPoint में प्रस्तुतीकरण;
पेंट प्रोग्राम में बनाए गए चित्र;
चतुष्फलक, समान्तर चतुर्भुज, घनाकार, घन के मॉडल।
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क्लासवर्क. पाठ का विषय: चतुष्फलक के खंडों का निर्माण। 29.10.
ए बी सी डी टेट्राहेड्रोन - डीएवीएस टेट्राहेड्रोन "टेट्रा" - चार, "हेड्रा" - चेहरा।
पाठ का उद्देश्य: पाठ का उद्देश्य: तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के साथ टेट्राहेड्रोन के अनुभागों का निर्माण करने की क्षमता विकसित करना। शैक्षिक: - एक काटने वाले विमान की परिभाषा और एक विमान द्वारा टेट्राहेड्रोन के अनुभाग का परिचय दें; - एक सीधी रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्माण के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करना; - एक समतल द्वारा टेट्राहेड्रोन के क्रॉस-सेक्शन के निर्माण के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें। विकासात्मक: - स्थानिक कल्पना और गणितीय भाषण का निर्माण जारी रखें; - एक रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु और पॉलीहेड्रा के अनुभाग के निर्माण के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करते समय विश्लेषणात्मक सोच विकसित करें। शिक्षक:- लक्ष्य की ओर सचेत रूप से काम करने की क्षमता विकसित करें; - संचार की संस्कृति को बढ़ावा देना।
स्टीरियोमेट्री के सिद्धांत और प्रमेय। 1. यदि दो समान्तर तलों को तीसरा प्रतिच्छेद करता है, तो प्रतिच्छेदन रेखाएँ समान्तर होती हैं। 2. एक समतल, और केवल एक, एक सीधी रेखा और उस पर न पड़े एक बिंदु से होकर गुजरता है। 3. यदि दो अलग-अलग तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो वे इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं। 4. यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक तल में स्थित हों, तो रेखा के सभी बिंदु इसी तल में स्थित होते हैं। 5. एक विमान दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है, और केवल एक। ए बी सी डी ई
कार्य: समतल M NK के साथ सीधी रेखा AB का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
2. कार्य: बिंदु M, N, K से गुजरने वाली रेखाओं का निर्माण करें।
धारा ए बी सी डी एम एन के
ए बी सी डी एम एन के α
ए बी सी डी एम एन के ट्रेस सेक्शन प्लेन और पॉलीहेड्रॉन के किसी भी चेहरे के विमान के चौराहे की सीधी रेखा है। एमके - विमान एबीसी एमएन पर विमान एमएनके का निशान - ... एनके - ...
एक खंड में कौन से बहुभुज प्राप्त किये जा सकते हैं? एक चतुष्फलक के 4 फलक होते हैं। अनुभागों का परिणाम हो सकता है: चतुर्भुज त्रिभुज
बिंदु E, F, K से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें। ई एफ के एल ए बी सी डी एम 1. के एफ को अंजाम दें। 2. हम एफई करते हैं। 3. EF के साथ जारी रखें, AC के साथ जारी रखें। 5. हम एमके करते हैं। 7. हम ईएल ईएफकेएल - आवश्यक अनुभाग नियम 6 को पूरा करते हैं। एमके एबी=एल 4. ईएफ एसी = एम
इस मामले में, निम्नलिखित को ध्यान में रखना आवश्यक है: 1. आप केवल एक चेहरे के विमान में स्थित दो बिंदुओं को जोड़ सकते हैं। एक खंड का निर्माण करने के लिए, आपको किनारों के साथ काटने वाले विमान के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्माण करना होगा और उन्हें खंडों से जोड़ना होगा। 2. यदि अनुभाग तल से संबंधित, मुख तल में केवल एक बिंदु चिह्नित है, तो एक अतिरिक्त बिंदु का निर्माण किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, पहले से निर्मित रेखाओं के समान फलकों पर स्थित अन्य रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजना आवश्यक है।
बिंदु E, F, K से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें। 1 रास्ता 2 रास्ता
निष्कर्ष: निर्माण विधि की परवाह किए बिना, अनुभाग समान हैं। विधि संख्या 1. विधि संख्या 2.
जांचें कि अनुभाग का निर्माण सही ढंग से किया गया है। त्रुटि स्पष्ट करें.
A B C D N K M X P T स्वयं का परीक्षण करें समाधान 1. KN = α ∩ ICE
बिंदु M चतुष्फलकीय DABC के फलक BC D का आंतरिक बिंदु है। इस टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण बिंदु M से गुजरने वाले विमान के साथ, विमान AB D के समानांतर करें। सी डी ए बी एम के एल एन
कार्य बीसीडी के समानांतर बिंदु आर से गुजरने वाले टेट्राहेड्रोन एबीसीडी के एक खंड का निर्माण करें। 2. चेहरे ABC के समानांतर बिंदु S से गुजरने वाले चतुष्फलक ABCD के एक खंड की रचना करें। 3. चेहरे ACD के समानांतर बिंदु T से गुजरने वाले चतुष्फलक ABCD के एक खंड की रचना करें। 4. टेट्राहेड्रोन डीएबीसी के एक खंड की रचना करें, जिसमें बिंदु एम से गुजरने वाले विमान, सतह बीसी डी के समानांतर हो।
ए डी बी सी एस 2 . ए डी बी सी आर 1 . ए डी बी सी टी 3 . 4.
गृहकार्य अध्ययन अनुच्छेद 14 2. संख्या 73 (पृष्ठ 29) 3. रचनात्मक कार्य (वैकल्पिक): चतुष्फलक का एक पेपर मॉडल बनाएं।
पूर्व दर्शन:
MBOU "किमोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय"
स्पैस्की नगरपालिका जिला
तातारस्तान गणराज्य"
पाठ विषय:
"चतुष्फलकीय वर्गों का निर्माण"
ग्रेड 10
विकसित
मामोनोवा एवगेनिया गेनाडीवना,
प्रथम योग्यता श्रेणी के गणित शिक्षक
अक्टूबर 2013
शैक्षिक उद्देश्य:
- पाठ के दौरान, टेट्राहेड्रोन के अनुभागों के निर्माण पर समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम की महारत सुनिश्चित करें।
- टेट्राहेड्रोन की अवधारणाओं को आत्मसात करना सुनिश्चित करें, स्टीरियोमेट्री के सिद्धांतों, परिभाषाओं, गुणों, अंतरिक्ष में बिंदुओं, रेखाओं और विमानों की सापेक्ष स्थिति की अवधारणा से संबंधित ज्ञान को व्यवस्थित करें।
- एक विमान पर प्रश्न में वस्तुओं को चित्रित करने और प्रस्तावित छवियों को "पढ़ने" में कौशल विकसित करना, ग्राफिक साक्षरता;
- तुलना, सामान्यीकरण और अनुमान की तकनीकों का उपयोग करने की क्षमता विकसित करना।
विकासात्मक कार्य:
- व्यवहार में स्टीरियोमेट्री में अर्जित ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करना,
- टेट्राहेड्रोन के अनुभागों के निर्माण पर समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में ज्ञान का विश्लेषण और सामान्यीकरण करने की क्षमता विकसित करना।
- क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के निर्धारण से संबंधित विभिन्न गणनाएँ करने में सक्षम होना।
शैक्षिक कार्य:
- ज्ञान की सचेत आवश्यकता को बढ़ावा देना,
- शैक्षिक कौशल और क्षमताओं में सुधार,
- स्थानिक कल्पना के अधिग्रहण और आसपास की दुनिया की सुंदरता को देखने की क्षमता के माध्यम से विषय में संज्ञानात्मक रुचि पैदा करना।
पाठ का प्रकार:
नई सामग्री सीखने का एक पाठ.
पाठ का प्रकार:
आईसीटी का उपयोग कर पाठ।
शिक्षण विधियों:
बातचीत;
फ्रंटल सर्वेक्षण;
उदाहरणात्मक और दृश्यात्मक;
व्यावहारिक;
तुलना की विधि, सामान्यीकरण।
शैक्षिक और कार्यप्रणाली उपकरण:
ज्यामिति: कक्षा 10-11 के लिए पाठ्यपुस्तक। / एल.एस. अतानास्यान। - एम.: शिक्षा, 2010;
हैंडआउट: कार्यों वाले कार्ड।
सामग्री और तकनीकी उपकरण:
इंटरैक्टिव बोर्ड;
लैपटॉप;
PowerPoint में प्रस्तुतीकरण;
पेंट प्रोग्राम में बनाए गए चित्र;
चतुष्फलक, समान्तर चतुर्भुज, घनाकार, घन के मॉडल।
पाठ संरचना:
- संगठन. पल (1 मिनट).
- पहले अर्जित ज्ञान को अद्यतन करना (3 मिनट)।
- नई सामग्री की धारणा के लिए तैयारी (3 मिनट)।
- समस्या की स्थिति बनाना (3 मिनट)।
- स्पष्टीकरणनई सामग्री (10 मिनट)।
- अध्ययन की गई सामग्री का समेकन (5 मिनट)।
- परीक्षण के बाद स्वतंत्र कार्य (3 मिनट)।
- कार्यशाला (5 मिनट)।
- समस्या का समाधान (8 मिनट)
- यह दिलचस्प है (1 मिनट)।
- होमवर्क सेट करना (1 मिनट)।
- पाठ का सारांश, प्रतिबिंब (2 मिनट)।
कक्षाओं के दौरान:
चरणों पाठ | शिक्षक गतिविधियाँ | गतिविधि छात्र | समय |
1.संगठन. पल | हैलो दोस्तों। बैठ जाओ। "मुझे लगता है कि हम पहले कभी इतने ज्यामितीय काल में नहीं रहे। चारों ओर सब कुछ ज्यामिति है।"(स्लाइड नंबर 2) बीसवीं सदी की शुरुआत में महान फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुज़िए द्वारा कहे गए ये शब्द हमारे समय को बहुत सटीक रूप से चित्रित करते हैं। जिस दुनिया में हम रहते हैं वह घरों और सड़कों, पहाड़ों और खेतों की ज्यामिति, प्रकृति और मनुष्य की रचनाओं से भरी हुई है। यह विज्ञान आपको इसे बेहतर ढंग से नेविगेट करने, नई चीजों की खोज करने और आपके आस-पास की दुनिया की सुंदरता और ज्ञान को समझने में मदद करेगा। इसलिए, मेरा सुझाव है कि आप ज्यामिति का अध्ययन और भी अधिक परिश्रम से करें। | शिक्षकों की ओर से नमस्कार. वे बैठ जाएं। | 1 मिनट |
2.पहले अर्जित ज्ञान को अद्यतन करना | मौखिक कार्य. प्रशन: पिछले पाठ में हम किस बहुफलक से मिले थे? चतुष्फलक को परिभाषित करें। (स्लाइड नंबर 3) मॉडल पर चतुष्फलक के तत्वों को दिखाएँ। आज के पाठ का विषय है "चतुष्फलक के खंडों का निर्माण"(स्लाइड संख्या 4)। विषय को अपनी नोटबुक में लिखें. हमें यह पता लगाना है कि किस तल को छेदक कहा जाता है, खंडों के निर्माण के तरीके और तरीके, चतुष्फलक के खंडों का निर्माण कैसे करें, यह सीखना होगा(स्लाइड नंबर 5)। पाठ के दौरान आप नोट्स के साथ काम करेंगे और उनमें टेट्राहेड्रोन के अनुभागों का निर्माण करेंगे। | चतुष्फलक के साथ। चार त्रिभुजों से बनी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है। चतुष्फलक बनाने वाले त्रिभुजों को फलक कहा जाता है, उनकी भुजाओं को किनारा कहा जाता है, और उनके शीर्षों को चतुष्फलक का शीर्ष कहा जाता है। एक चतुष्फलक में 4 फलक, 6 किनारे और 4 शीर्ष होते हैं। चतुष्फलक के एक फलक को आधार कहा जाता है, और अन्य तीन को पार्श्व फलक कहा जाता है। चतुष्फलक के दो किनारे जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते, विपरीत कहलाते हैं। पाठ की तिथि और विषय अपनी नोटबुक में लिखें। | 3 मिनट |
3. नई सामग्री की धारणा के लिए तैयारी | ऐसा करने के लिए, हमें कई स्वयंसिद्ध सिद्धांतों और प्रमेयों को याद करने की आवश्यकता है। कार्य: ड्राइंग को प्रमेय या स्वयंसिद्ध के निर्माण के साथ सहसंबंधित करें। (स्लाइड 6) | स्वयंसिद्ध और प्रमेय तैयार करें और उन्हें चित्रों से जोड़ें। उत्तर: डी-1 दो पर बी 3 एक-4 जी 5 | 3 मिनट |
4. समस्यामूलक स्थिति का निर्माण। | 1. कार्य: (स्लाइड 7) समतल MNK के साथ सीधी रेखा AB का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। प्रशन: रेखा AB किस तल से संबंधित है? इसे बनाओ। एमएन रेखा किस तल से संबंधित है? इसे जारी रखें. आपने रेखाओं AB और MN का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त कर लिया है। इसे उपनाम दें। यह बिंदु किस तल का है? एक निष्कर्ष निकालो। 2. कार्य: (स्लाइड 8) बिंदु M, N, K से गुजरने वाली रेखाएँ बनाएँ। जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं तो कौन सी आकृति प्राप्त होती है? इस त्रिभुज की क्या विशेषता है? | कार्य को एक नोटबुक में लिखें: प्रश्नों के उत्तर दें: एबी = एमडीएन. एमएन = एमडीएन ∩ एमकेएन। पी = एमएन ∩ एबी पी є एमकेएन पी = एबी ∩ एमएनके। सीधी रेखाएँ MK, KN, MN बनाएँ। अपने उत्तर के कारण बताएं। जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक त्रिभुज MNK प्राप्त होता है। एक त्रिभुज एक चतुष्फलक को दो भागों में विभाजित करता है। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा बहुफलक के एक फलक से संबंधित है। | 3 मिनट |
5. नई सामग्री की व्याख्या. | तो, हमने टेट्राहेड्रोन का एक क्रॉस सेक्शन बनाया है। सीधी रेखाओं MK, MN, KN से बने त्रिभुज को खंड कहा जाता है (स्लाइड 9 ), और एमकेएन विमान एक छेदक विमान है।(स्लाइड 10) कटिंग प्लेन की विशेषताएं क्या हैं? (स्लाइड 9,10) बुनियादी अवधारणाओं (स्लाइड 11) अनुभाग का निर्माण करते समय, हमने ट्रेस विधि का उपयोग किया।(स्लाइड 12) अब आपको याद होगा कि हमने अनुभाग का निर्माण कैसे किया और ट्रेस विधि का उपयोग करके अनुभागों के निर्माण के लिए एक एल्गोरिदम तैयार किया। आइए एल्गोरिदम की जाँच करें। टेट्राहेड्रोन के क्रॉस सेक्शन में कौन से बहुभुज प्राप्त किए जा सकते हैं? (स्लाइड 13) समस्या का समाधान. (स्लाइड 14) टेट्राहेड्रोन के आधार के किनारे से गुजरने वाले एक विमान और विपरीत किनारे पर एक दिए गए बिंदु के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें। बिंदु E, F, K से गुजरने वाले एक खंड का निर्माण। (स्लाइड 15, 16) बिंदु E, F, K कैसे स्थित हैं? कौन सी रेखाएँ बनाई जा सकती हैं? एक अनुभाग के निर्माण के लिए हमें एक अतिरिक्त बिंदु की आवश्यकता होती है। ई.एफ.∩ एसी =एम. हम एमके का संचालन करते हैं। एमके∩ एबी = एल. ईएल को आगे बढ़ाएं. ईएफकेएल आवश्यक अनुभाग है। | 1. यह एक समतल है जिसके दोनों ओर किसी दिए गए बहुफलक के बिंदु हैं। 2. काटने वाला तल बहुफलक के फलकों को खंडों के अनुदिश काटता है। ट्रेस की परिभाषा पढ़ें. वाक्यांश जारी हैं. कलन विधि। 1. एक फलक पर दो खंड बिंदु खोजें। 2. चतुष्फलकीय तल पर एक सेक्शन ट्रेस का निर्माण करें। 3.चरण 1-2 को 2 बार और दोहराएँ। 4. परिणामी अनुभाग को छायांकित करें। व्याख्या लेना त्रिभुज और चतुर्भुज. ई, एफ = एडीसी, एफ, के = बीडीसी। आप सीधी रेखाएँ KF, FE बना सकते हैं। | दस मिनट |
6. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन। | इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर अनुभागों का निर्माण। दो रास्ते हैं। (स्लाइड 17) निष्कर्ष: निर्माण विधि की परवाह किए बिना, अनुभाग समान हैं। (स्लाइड 18) ट्रेस विधि का उपयोग करके क्रॉस सेक्शन का निर्माण करने के लिए हमें अपने एल्गोरिदम को किस स्थिति में पूरक करना चाहिए? सोचें और एक एल्गोरिदम जोड़ें. की जाँच करें। व्यायाम: जांचें कि अनुभाग का निर्माण सही ढंग से किया गया है। त्रुटि स्पष्ट करें.(स्लाइड 19) | चतुष्फलक के अनुभागों का निर्माण दो प्रकार से किया जाता है। चतुष्फलक के किनारे पर एक अतिरिक्त अनुभाग बिंदु खोजें ट्रेस पर परिणामी अतिरिक्त बिंदु और चयनित चेहरे में अनुभाग बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें चेहरे के किनारों के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। त्रुटियाँ: 1. कटिंग प्लेन टेट्राहेड्रोन के चेहरों को खंडों के साथ काटता है (एवीके चेहरे में ऐसा कोई खंड नहीं है, और चेहरे वीकेएस में 2 ऐसे खंड हैं) 2. चतुष्फलक का अनुप्रस्थ काट पंचकोण नहीं हो सकता। | 5 मिनट |
7. बाद के सत्यापन के साथ स्वतंत्र कार्य | (स्लाइड 20) | स्वतंत्र कार्य करें (-यदि समस्याएँ आती हैं, तो आप अपने डेस्क साथी से परामर्श कर सकते हैं) | 3 मिनट |
8.कार्यशाला | अनुभागों के निर्माण में उपयोग की जाने वाली एक अन्य विधि समानांतर रेखाओं की विधि है। कार्य: (स्लाइड 21) बिंदु M चतुष्फलकीय DAVS के फलक VSD का आंतरिक बिंदु है। इस टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण बिंदु M से गुजरने वाले विमान के साथ, विमान ABP के समानांतर करें। विधि का नाम याद रखें और अनुभाग के निर्माण का एक तरीका सुझाएं। समाधान। क्योंकि यदि काटने वाला तल समतल AB के समानांतर है, तो यह सीधी रेखाओं AD, AB, DV के समानांतर है। नतीजतन, काटने वाला तल टेट्राहेड्रोन के पार्श्व चेहरों को त्रिभुज एबीडी की भुजाओं के समानांतर सीधी रेखाओं के साथ काटता है। यह वांछित अनुभाग के निर्माण के लिए निम्नलिखित विधि की ओर ले जाता है। आइए खंड वीडी के समानांतर, बिंदु एम के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें, और पार्श्व किनारों डीवी और डीएस के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को अक्षर एल और एन द्वारा निरूपित करें। फिर बिंदु L के माध्यम से हम खंड AC के समानांतर एक रेखा खींचते हैं, और किनारे AC के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर K से निरूपित करते हैं। त्रिभुज LKN आवश्यक अनुभाग है. व्यायाम . इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर एक अनुभाग का निर्माण करें कार्य: (स्लाइड 22) अनुभागों का निर्माण करें. आइए उत्तरों की जाँच करें (स्लाइड 23) | 5 मिनट |
|
9 समस्या का समाधान | परिशिष्ट 1 | 8 मि |
|
10.यह दिलचस्प है | ड्राइंग में अनुभाग, कपड़ों की मॉडलिंग करते समय, जीवन में। (स्लाइड्स 24-26) | 1 मिनट |
|
11. होमवर्क सेट करना | अध्ययन अनुच्छेद 14, संख्या 73 (पृष्ठ 29)(स्लाइड 27) रचनात्मक कार्य (वैकल्पिक): टेट्राहेड्रोन का एक पेपर मॉडल बनाएं। | 1 मिनट |
|
12. चिंतन, पाठ सारांश |
(स्लाइड 29) | दो मिनट |
आज हम फिर देखेंगे कि कैसे एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें.
आइए सबसे सरल मामले (अनिवार्य स्तर) पर विचार करें, जब अनुभाग विमान के 2 बिंदु एक चेहरे से संबंधित होते हैं, और तीसरा बिंदु दूसरे चेहरे से संबंधित होता है।
आइए हम आपको याद दिला दें अनुभागों के निर्माण के लिए एल्गोरिदमइस प्रकार का (मामला: 2 बिंदु एक ही चेहरे के हैं)।
1. हम एक ऐसे फलक की तलाश कर रहे हैं जिसमें अनुभाग तल के 2 बिंदु हों। एक ही चेहरे पर स्थित दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। हम टेट्राहेड्रोन के किनारों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदु पाते हैं। सीधी रेखा का वह भाग जो चेहरे पर समाप्त होता है, अनुभाग का किनारा है।
2. यदि बहुभुज को बंद किया जा सकता है, तो अनुभाग का निर्माण किया गया है। यदि इसे बंद करना असंभव है, तो हम निर्मित रेखा और तीसरे बिंदु वाले तल का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं।
1. हम देखते हैं कि बिंदु E और F एक ही फलक (BCD) पर स्थित हैं, समतल (BCD) में एक सीधी रेखा EF खींचें। 
2. आइए चतुष्फलक BD के किनारे के साथ सीधी रेखा EF का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें, यह बिंदु H है।
3. अब आपको सीधी रेखा EF और तीसरे बिंदु G वाले तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना होगा, अर्थात। विमान (एडीसी)।
सीधी रेखा CD समतल (ADC) और (BDC) में स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह सीधी रेखा EF को प्रतिच्छेद करती है, और बिंदु K सीधी रेखा EF और समतल (ADC) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
4. इसके बाद, हमें एक ही तल में स्थित दो और बिंदु मिलते हैं। ये बिंदु G और K हैं, दोनों बाईं ओर के चेहरे के तल में स्थित हैं। हम एक रेखा GK खींचते हैं और उन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं जिन पर यह रेखा चतुष्फलक के किनारों को काटती है। ये बिंदु M और L हैं।
4. यह अनुभाग को "बंद" करने के लिए बना हुआ है, यानी एक ही चेहरे पर स्थित बिंदुओं को कनेक्ट करें। ये बिंदु एम और एच हैं, और एल और एफ भी हैं। ये दोनों खंड अदृश्य हैं, हम उन्हें एक बिंदीदार रेखा से खींचते हैं।
क्रॉस-सेक्शन एक चतुर्भुज एमएचएफएल निकला। इसके सभी शीर्ष चतुष्फलक के किनारों पर स्थित हैं। आइए परिणामी अनुभाग का चयन करें।
अब आइये सूत्रीकरण करें सही ढंग से निर्मित अनुभाग के "गुण":
1. बहुभुज के सभी शीर्ष, जो एक खंड है, एक चतुष्फलक (समानांतर चतुर्भुज, बहुभुज) के किनारों पर स्थित होते हैं।
2. खंड की सभी भुजाएँ बहुफलक के फलकों पर स्थित हैं।
3. बहुभुज के प्रत्येक फलक में अनुभाग के एक से अधिक (एक या कोई नहीं!) पक्ष शामिल नहीं हो सकता
पाठ विकास
ग्रेड 10 "ए" में "चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज के वर्गों का निर्माण" विषय पर
पाठ का उद्देश्य:
एक समतल के साथ चतुष्फलक और समान्तर चतुर्भुज के खंडों का निर्माण करना सिखा सकेंगे;
विश्लेषण, तुलना, सामान्यीकरण और निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना;
छात्रों की स्वतंत्र गतिविधि कौशल और समूह में काम करने की क्षमता विकसित करना।
उपकरण: प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, हैंडआउट्स।
पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखने का पाठ.
पाठ में प्रयुक्त विधियाँ और तकनीकें: दृश्य, व्यावहारिक, समस्या-खोज, समूह, अनुसंधान गतिविधि के तत्व।
मैं . आयोजन का समय.
शिक्षक पाठ के विषय और उद्देश्य की घोषणा करता है (स्लाइड नंबर 1 ).
द्वितीय . ज्ञान को अद्यतन करना।
अध्यापक: अपना होमवर्क करते समय, आपको सीधी रेखाओं और तलों के मिलन बिंदु, एक बहुफलक के मुख के तल पर एक काटने वाले तल का निशान ढूंढना था। इसके लिए क्या करना होगा इस पर टिप्पणी करें।
(छात्र होमवर्क पर टिप्पणी करते हैं (स्लाइड संख्या 2-3 ).
अध्यापक: किसी नए विषय का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ने के लिए, आइए प्रश्नों के उत्तर देकर सैद्धांतिक सामग्री की समीक्षा करें:
कटिंग प्लेन किसे कहते हैं (स्लाइड संख्या 4 )? (छात्र एक परिभाषा देते हैं।)
बहुफलक का एक भाग क्या कहलाता है (स्लाइड नंबर 5 )? (परिभाषा तैयार की गई है।)
एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है?
एक खंड का निर्माण काटने वाले तल और बहुफलक के फलकों के तलों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं के निर्माण के लिए आता है।)
क्या काटने वाले तल के लिए बहुफलक के सभी फलकों के तलों को काटना आवश्यक है?
अध्यापक: आइए थोड़ा शोध करें और इस प्रश्न का उत्तर दें: "एक चतुष्फलक या समतल चतुर्भुज के खंड में कौन सी आकृति प्राप्त की जा सकती है?"
(छात्र, समूहों में काम करते हुए, पूछे गए प्रश्न का उत्तर ढूंढते हैं।)
(कुछ मिनटों के बाद वे अपनी धारणाएँ बनाते हैं, और एक प्रदर्शन शुरू होता हैस्लाइड 6-7 .)
अध्यापक: आइए उन नियमों को दोहराएं जिन्हें पॉलीहेड्रॉन के अनुभागों का निर्माण करते समय याद रखने की आवश्यकता है (छात्र आवश्यक सिद्धांतों, प्रमेयों, गुणों को याद करते हैं और तैयार करते हैं):
यदि दो बिंदु कटिंग प्लेन और पॉलीहेड्रॉन के कुछ चेहरे के विमान से संबंधित हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा चेहरे के तल पर कटिंग प्लेन का निशान होगी।
यदि कोई काटने वाला तल एक निश्चित तल में पड़ी रेखा के समानांतर है और इस तल को काटता है, तो इन तलों की प्रतिच्छेदन रेखा इस रेखा के समानांतर होती है।
जब दो समान्तर तलों को एक काटने वाले तल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो समांतर रेखाएँ प्राप्त होती हैं।
यदि काटने वाला तल एक निश्चित तल के समानांतर है, तो ये दोनों तल तीसरे तल को एक दूसरे के समानांतर सीधी रेखाओं के अनुदिश काटते हैं।
यदि काटने वाले तल और दो प्रतिच्छेदी फलकों के तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो यह इन फलकों के उभयनिष्ठ किनारे वाली एक रेखा पर स्थित होता है।
अध्यापक: इन रेखाचित्रों में त्रुटियाँ ढूँढ़ें, अपने कथन का औचित्य सिद्ध करें (स्लाइड8-9 ).
अध्यापक: तो, दोस्तों, हमने एक समतल के साथ पॉलीहेड्रा के अनुभागों का निर्माण करना सीखने के लिए एक सैद्धांतिक आधार तैयार किया है, विशेष रूप से टेट्राहेड्रोन और पैरेललपिप के अनुभागों में। आप समूहों में काम करते हुए अधिकांश कार्यों को स्वतंत्र रूप से पूरा करेंगे, इसलिए आप में से प्रत्येक के पास पॉलीहेड्रा के खाली चित्रों के साथ कार्यपत्रक हैं, जिन पर आप अनुभाग बनाएंगे। यदि आवश्यक हो, तो आप किसी शिक्षक या समूह के किसी वरिष्ठ से सलाह ले सकते हैं।
तो, हम आपके ध्यान में प्रस्तुत करते हैंपहला कार्य : ( स्लाइड नंबर 10 ) दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करेंएम, एन, क. (क्रॉस-सेक्शन एक त्रिकोण बनता है, जांचें -स्लाइड नंबर 11 .)
अध्यापक: चलो गौर करते हैंदूसरा कार्य : एक चतुष्फलक दिया गया हैडीएबीसी. एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करेंएमएनके, अगरएमडीसी, एनविज्ञापन, कअब. ( स्लाइड संख्या 12 )
(निर्माण पर टिप्पणी करते हुए कक्षा के साथ समस्या का समाधान करें।)
( कार्य क्रमांक 3 – समूहों में स्वतंत्र कार्य (स्लाइड संख्या 14 ). इंतिहान -स्लाइड संख्या 15 .)
टास्क नंबर 4 : एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करेंएमएनके, कहाँएमऔरएन- पसलियों के बीच का हिस्साअबऔरईसा पूर्व ( स्लाइड संख्या 16 ). (की जाँच करेंस्लाइड संख्या 17 .)
अध्यापक : चलिए पाठ के अगले भाग पर चलते हैं। आइए एक समतल द्वारा समांतर चतुर्भुज के खंडों के निर्माण की समस्या पर विचार करें। हमने पाया कि जब एक समांतर चतुर्भुज को एक समतल द्वारा खंडित किया जाता है, तो इसका परिणाम एक त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचकोण या षट्भुज हो सकता है। अनुभागों के निर्माण के नियम समान हैं। मैं अगली समस्या पर आगे बढ़ने का सुझाव देता हूं, जिसे आप स्वयं ही हल कर लेंगे।
(प्रदर्शित किया गयास्लाइड संख्या 18 )
समस्या #5
एक समांतर चतुर्भुज का एक क्रॉस सेक्शन बनाएंएबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 विमानएमएनके, अगरएमए.ए. 1 , एनबी बी 1 , कसीसी 1 . (की जाँच करेंस्लाइड संख्या 19 ).
समस्या क्रमांक 6 : ( स्लाइड संख्या 20 ) समांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करेंएबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 विमानपीटीओ, अगर पी, टी, हेक्रमशः किनारों AA से संबंधित हैं 1, बीबी 1, एसएस 1.
(समाधान पर चर्चा की जाती है, छात्र अलग-अलग शीट पर एक अनुभाग बनाते हैं और निर्माण की प्रगति को रिकॉर्ड करते हैं (स्लाइड संख्या 21 ).)
प्रति ∩ बीसी = एम
टीपी ∩ एबी = एन
एनएम ∩ एडी = एल
एनएम ∩ सीडी = एफ
पीएल, एफओ
पीटीओएफएल– आवश्यक अनुभाग.
कार्य संख्या 7: (स्लाइड संख्या 22) एक समतल के साथ समांतर चतुर्भुज के एक खंड का निर्माण करेंकेएमएन, अगरकए 1 डी 1 , एन, एमअब.
समाधान: (स्लाइड संख्या 23)
एम.एन.∩ एडी=क्यू;
QK∩AA 1 =पी;
पीएम;
एनई II पीके; केएफ II एमएन;
एफ.ई.
एमपीकेफेनवांछित अनुभाग.
रचनात्मक कार्य (विकल्पों के अनुसार कार्ड):
एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड मेंएसएबीसी शीर्ष सी के माध्यम से औरपसली के मध्यएसपिरामिड का एक भाग इसके समानांतर बनाएंएस.बी.. किनारे AB पर एक बिंदु लिया गया हैएफताकि एएफ: एफबी=3:1. बिंदु के माध्यम सेएफऔरपसली के मध्यएसC से एक सीधी रेखा खींची गई है। क्या ये लाइन होगीअनुभाग तल के समानांतर?
अब 1 साथ -आयताकार समांतर चतुर्भुज एबीसी का खंडडीए 1 में 1 साथ 1 डी 1. बिंदु E के माध्यम से,एफ, K, जो क्रमशः हैंपसलियों के बीच मेंडीडी 1 , ए 1 डी 1 , डी 1 सी 1 द्वितीय खण्ड का प्रदर्शन किया गया।सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज Eएफके और एबी 1 सीसमान, और स्थापित करेंइन त्रिभुजों के कौन से कोण एक दूसरे के बराबर हैं?
पाठ सारांश: इसलिए, हम चतुष्फलक और समांतर चतुर्भुज के अनुभागों के निर्माण के नियमों से परिचित हुए, अनुभागों के प्रकारों की जांच की, और अनुभागों के निर्माण के लिए सबसे सरल समस्याओं का समाधान किया। अगले पाठ में हम विषय का अध्ययन करना जारी रखेंगे और अधिक जटिल समस्याओं पर गौर करेंगे।
आइए अब हमारे पारंपरिक प्रश्नों का उत्तर देकर पाठ को सारांशित करें (स्लाइड संख्या 24 ):
"मुझे पाठ पसंद आया (नापसंद) क्योंकि..."
"आज कक्षा में मैंने सीखा..."
"मैं चाहता हूँ..."
(पाठ के लिए ग्रेडिंग।)
गृहकार्य: अनुच्छेद 14 संख्या 105, 106. (स्लाइड संख्या 25 )
105 नंबर पर अतिरिक्त कार्य : वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें समतलएमएनकेएक किनारे को विभाजित करता हैअब, अगरसीएन : रा = 2:1, बी.एम. = एम.डी.और अवधिक- माध्यिका का मध्य भागअलत्रिकोणएबीसी.
(रचनात्मक कार्य समाप्त करें।)
इस पाठ में हम चतुष्फलक और उसके तत्वों (चतुष्फलकीय किनारा, सतह, फलक, शीर्ष) को देखेंगे। और हम अनुभागों के निर्माण की सामान्य विधि का उपयोग करके, टेट्राहेड्रोन में अनुभागों के निर्माण पर कई समस्याओं का समाधान करेंगे।
विषय: रेखाओं और तलों की समानता
पाठ: चतुष्फलक. चतुष्फलक में अनुभागों के निर्माण में समस्याएँ
चतुष्फलक का निर्माण कैसे करें? आइए एक मनमाना त्रिभुज लें एबीसी. कोई बात डी, इस त्रिभुज के तल में स्थित नहीं है। हमें 4 त्रिभुज प्राप्त होते हैं। इन 4 त्रिभुजों से बनी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है (चित्र 1.)। इस सतह से घिरे आंतरिक बिंदु भी टेट्राहेड्रोन का हिस्सा हैं।
चावल। 1. टेट्राहेड्रोन एबीसीडी
चतुष्फलक के तत्व
ए,बी,
सी,
डी - चतुष्फलक के शीर्ष.
अब,
एसी।,
विज्ञापन,
ईसा पूर्व,
बी.डी,
सीडी - चतुष्फलकीय किनारे.
एबीसी,
अब्द,
बीडीसी,
एडीसी - चतुष्फलकीय फलक.
टिप्पणी:फ्लैट लिया जा सकता है एबीसीपीछे चतुष्फलकीय आधार, और फिर बिंदु डीहै चतुष्फलक का शीर्ष. चतुष्फलक का प्रत्येक किनारा दो तलों का प्रतिच्छेदन है। उदाहरण के लिए, पसली अब- यह विमानों का प्रतिच्छेदन है अबडीऔर एबीसी. चतुष्फलक का प्रत्येक शीर्ष तीन तलों का प्रतिच्छेदन है। शिखर एविमानों में निहित है एबीसी, अबडी, एडीसाथ. डॉट एतीन नामित विमानों का प्रतिच्छेदन है। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है: ए= एबीसी ∩ अबडी ∩ एसीडी.
टेट्राहेड्रोन परिभाषा
इसलिए, चतुर्पाश्वीयचार त्रिभुजों से बनी एक सतह है।
चतुष्फलकीय किनारा- चतुष्फलक के दो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा।
6 माचिस की तीलियों से 4 बराबर त्रिकोण बनाएं। एक स्तर पर समस्या का समाधान करना असंभव है। और अंतरिक्ष में ऐसा करना आसान है. आइए एक चतुष्फलक लें। 6 माचिस इसके किनारे हैं, चतुष्फलक के चार फलक हैं और चार समान त्रिभुज होंगे। समस्या सुलझ गई है।
एक चतुष्फलक दिया गया एबीसीडी. डॉट एमटेट्राहेड्रोन के एक किनारे से संबंधित है अब, बिंदु एनटेट्राहेड्रोन के एक किनारे से संबंधित है मेंडीऔर अवधि आरकिनारे का है डीसाथ(अंक 2।)। एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एमएनपी.
चावल। 2. समस्या 2 के लिए आरेखण - एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें
समाधान:
चतुष्फलक के मुख पर विचार करें डीसूरज. मुद्दे के इस पहलू पर एनऔर पीचेहरों के हैं डीसूरज, और इसलिए टेट्राहेड्रोन। लेकिन बिंदु की स्थिति के अनुसार एन, पीकाटने वाले विमान से संबंधित हैं। मतलब, एनपी- यह दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा है: चेहरे का तल डीसूरजऔर विमान काटना. चलिए मान लेते हैं कि सीधी रेखाएँ एनपीऔर सूरजसमानांतर नहीं. वे एक ही तल में लेटे हैं डीसूरज।आइए रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें एनपीऔर सूरज. आइए इसे निरूपित करें इ(चित्र 3.).
चावल। 3. समस्या के लिए आरेखण 2. बिंदु E ढूँढना
डॉट इसेक्शन प्लेन के अंतर्गत आता है एमएनपी, क्योंकि यह लाइन पर है एनपी, और सीधी रेखा एनपीपूरी तरह से सेक्शन प्लेन में स्थित है एमएनपी.
यह भी इंगित करें इएक विमान में पड़ा है एबीसी, क्योंकि यह एक सीधी रेखा पर स्थित है सूरजहवाई जहाज से बाहर एबीसी.
हमें वह मिल गया खाओ- समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा एबीसीऔर एमएनपी,अंक के बाद से इऔर एमदो तलों में एक साथ लेटें - एबीसीऔर एमएनपी.आइए बिंदुओं को जोड़ें एमऔर इ, और सीधे जारी रखें खाओलाइन के साथ चौराहे तक एसी. रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु खाओऔर एसीचलो निरूपित करें क्यू.
तो इस मामले में एनपीक्यूМ- आवश्यक अनुभाग.
चावल। 4. समस्या 2 के लिए चित्रण। समस्या 2 का समाधान
आइए अब उस मामले पर विचार करें जब एनपीसमानांतर ईसा पूर्व. अगर सीधा है एनपीकिसी रेखा के समानांतर, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा सूरजहवाई जहाज से बाहर एबीसी, फिर सीधे एनपीपूरे विमान के समानांतर एबीसी.
वांछित अनुभाग तल सीधी रेखा से होकर गुजरता है एनपी, समतल के समानांतर एबीसी, और समतल को एक सीधी रेखा में काटता है एमक्यू. तो चौराहे की रेखा एमक्यूरेखा के समानांतर एनपी. हम पाते हैं एनपीक्यूМ- आवश्यक अनुभाग.
डॉट एमकिनारे पर पड़ा है एडीमेंचतुर्पाश्वीय एबीसीडी. बिंदु से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें एमआधार के समानांतर एबीसी.
चावल। 5. समस्या 3 के लिए आरेखण एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें
समाधान:
विमान काटना φ
विमान के समानांतर एबीसीशर्त के अनुसार इसका मतलब यह है कि यह विमान φ
रेखाओं के समानांतर अब, एसी, सूरज.
हवाई जहाज में अबडीबिंदु के माध्यम से एमचलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं पी क्यूसमानांतर अब(चित्र 5)। सीधा पी क्यूएक विमान में पड़ा है अबडी. इसी प्रकार विमान में एसीडीबिंदु के माध्यम से आरचलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं जनसंपर्कसमानांतर एसी. एक बात समझ में आ गयी आर. दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ पी क्यूऔर जनसंपर्कविमान पीक्यूआरक्रमशः दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर अबऔर एसीविमान एबीसी, जिसका अर्थ है विमान एबीसीऔर पीक्यूआरसमानांतर। पीक्यूआर- आवश्यक अनुभाग. समस्या सुलझ गई है।
एक चतुष्फलक दिया गया एबीसीडी. डॉट एम- आंतरिक बिंदु, चतुष्फलक के मुख पर बिंदु अबडी. एन- खंड का आंतरिक बिंदु डीसाथ(चित्र 6.). एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें एन.एम.और विमान एबीसी.
चावल। 6. समस्या 4 के लिए चित्रण
समाधान:
इसे हल करने के लिए हम एक सहायक विमान का निर्माण करेंगे डीएम.एन.. इसे सीधा रहने दो डीएमरेखा AB को बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है को(चित्र 7.). तब, एसकेडी- यह विमान का एक भाग है डीएम.एन.और चतुष्फलक. हवाई जहाज में डीएम.एन.झूठ और सीधा एन.एम., और परिणामी सीधी रेखा एसके. तो यदि एन.एम.समानांतर नहीं एसके, फिर वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे आर. डॉट आरऔर वहां रेखा का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु होगा एन.एम.और विमान एबीसी.
चावल। 7. समस्या 4 के लिए चित्रण। समस्या 4 का समाधान
एक चतुष्फलक दिया गया एबीसीडी. एम- चेहरे का आंतरिक बिंदु अबडी. आर- चेहरे का आंतरिक बिंदु एबीसी. एन- किनारे का आंतरिक बिंदु डीसाथ(चित्र 8.). बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें एम, एनऔर आर.
चावल। 8. समस्या 5 के लिए आरेखण एक समतल के साथ चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें
समाधान:
आइए पहले मामले पर विचार करें, जब सीधी रेखा एम.एन.समतल के समानांतर नहीं एबीसी. पिछली समस्या में हमने रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु पाया एम.एन.और विमान एबीसी. यही वह बिंदु है को, यह सहायक विमान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है डीएम.एन., अर्थात। क र ते हैं डीएमऔर हमें एक बिंदु मिलता है एफ. हम निभाते हैं सीएफ़और चौराहे पर एम.एन.हमें एक बिंदु मिलता है को.
चावल। 9. समस्या के लिए आरेखण 5. बिंदु K ज्ञात करना
चलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं के.आर. सीधा के.आरसेक्शन प्लेन और प्लेन दोनों में स्थित है एबीसी. अंक प्राप्त करना पी 1और आर 2. कनेक्ट पी 1और एमऔर निरंतरता के रूप में हमें बात समझ में आती है एम 1. बिंदु को जोड़ना आर 2और एन. परिणामस्वरूप, हमें वांछित अनुभाग प्राप्त होता है Р 1 Р 2 एनएम 1. पहले मामले में समस्या हल हो गई है।
आइए दूसरे मामले पर विचार करें, जब सीधी रेखा एम.एन.विमान के समानांतर एबीसी. विमान एमएनपीएक सीधी रेखा से होकर गुजरता है एम.एन.विमान के समानांतर एबीसीऔर समतल को काटता है एबीसीकुछ सीधी रेखा के साथ आर 1 आर 2, फिर सीधे आर 1 आर 2दी गई रेखा के समानांतर एम.एन.(चित्र 10.).
चावल। 10. समस्या के लिए आरेखण 5. आवश्यक अनुभाग
अब एक सीधी रेखा खींचते हैं आर 1 एमऔर हमें एक बिंदु मिलता है एम 1.Р 1 Р 2 एनएम 1- आवश्यक अनुभाग.
इसलिए, हमने टेट्राहेड्रोन को देखा और कुछ विशिष्ट टेट्राहेड्रोन समस्याओं को हल किया। अगले पाठ में हम एक समान्तर चतुर्भुज को देखेंगे।
1. आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी। : बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (बुनियादी और विशिष्ट स्तर)
2. शैरगिन आई.एफ. - एम.: बस्टर्ड, 1999. - 208 पी.: आईएल। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक
3. ई. वी. पोटोस्कुएव, एल. आई. ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम.: बस्टर्ड, 008. - 233 पी. :il. ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित के गहन और विशेष अध्ययन के साथ सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक
अतिरिक्त वेब संसाधन
2. टेट्राहेड्रोन के क्रॉस सेक्शन का निर्माण कैसे करें। अंक शास्त्र ()।
3. शैक्षणिक विचारों का उत्सव ()।
"टेट्राहेड्रोन" विषय पर घर पर समस्याएं हल करें, टेट्राहेड्रोन के किनारे, टेट्राहेड्रोन के चेहरे, कोने और टेट्राहेड्रोन की सतह का पता कैसे लगाएं
1. ज्यामिति. ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों (बुनियादी और विशिष्ट स्तर) के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पीपी.: बीमार। कार्य 18, 19, 20 पृष्ठ 50
2. बिंदु इमध्य शिरा एमएचतुर्पाश्वीय एमएवीएस. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें बी, सीऔर इ.
3. टेट्राहेड्रोन एमएबीसी में, बिंदु एम चेहरे एएमवी से संबंधित है, बिंदु पी चेहरे बीएमसी से संबंधित है, बिंदु के किनारे एसी से संबंधित है। बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें एम, आर, के.
4. एक समतल के साथ चतुष्फलक के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप कौन सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं?