या अंकगणित एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह आलेख विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे प्राप्त किया जाए।

यह प्रगति क्या है?

प्रश्न पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले (एक अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने योग्य है कि क्या चर्चा की जाएगी।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या से कुछ मान जोड़कर (घटाना) प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणित) प्रगति कहलाता है। गणित की भाषा में अनुवादित यह परिभाषा, रूप लेती है:

यहाँ मैं पंक्ति के तत्व की क्रमिक संख्या i है। इस प्रकार, केवल एक बीज को जानकर, आप आसानी से पूरी श्रृंखला का पुनर्निर्माण कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति का अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित समानता विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए है:

ए एन = ए 1 + डी * (एन -1)।

अर्थात्, क्रम में n-वें तत्व का मान ज्ञात करने के लिए पहले तत्व में d के अंतर को 1 n-1 बार जोड़ें।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि के लिए एक सूत्र देने से पहले, यह एक साधारण विशेष मामले पर विचार करने योग्य है। 1 से 10 तक प्राकृत संख्याओं की प्रगति को देखते हुए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ सदस्य हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, अर्थात सभी तत्वों को क्रम से जोड़ना।

एस १० = १ + २ + ३ + ४ + ५ + ६ + ७ + ८ + ९ + १० = ५५।

यह एक दिलचस्प बात पर विचार करने योग्य है: चूंकि प्रत्येक शब्द अगले एक से समान मूल्य d = 1 से भिन्न होता है, फिर दसवें के साथ पहले का जोड़-तोड़ योग, नौवें के साथ दूसरा, और इसी तरह एक ही परिणाम देगा। सचमुच:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 योग हैं, अर्थात श्रृंखला में तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम है। फिर प्रत्येक योग (11) के परिणाम से योगों की संख्या (5) को गुणा करने पर, आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर आ जाएंगे।

यदि हम इस तर्क का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित व्यंजक लिख सकते हैं:

एस एन = एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि एक पंक्ति में सभी तत्वों का योग करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, यह पहले a 1 और अंतिम a n के मान के साथ-साथ n पदों की कुल संख्या को जानने के लिए पर्याप्त है।

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में सोचा था जब वह अपने स्कूल शिक्षक द्वारा निर्धारित समस्या के समाधान की तलाश में थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग करें।

एम से एन तक के तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देता है कि अंकगणितीय प्रगति (प्रथम तत्व) का योग कैसे प्राप्त किया जाए, लेकिन अक्सर समस्याओं में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला को जोड़ना आवश्यक होता है। यह कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लें कि m-th से n-th तक के पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। इस निरूपण में, mवाँ पद a m पहला होगा, और n n- (m-1) होगा। इस स्थिति में, योग के लिए मानक सूत्र को लागू करने पर, आपको निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

एस एम एन = (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

एक अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए, यह जानने के लिए, दिए गए सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है, आपको इसके सदस्यों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो ५वें से शुरू होकर १२वें पर समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए व्यंजक का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें पदों के मान ज्ञात कर सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 = ए 1 + डी * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

ए 12 = ए 1 + डी * 11 = -4 + 3 * 11 = 29।

माना बीजीय प्रगति के सिरों पर संख्याओं के मूल्यों को जानना, और यह भी जानना कि वे किस पंक्ति में हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यह निकलेगा:

एस ५ १२ = (१२ - ५ + १) * (8 + २९) / २ = १४८।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग तरह से प्राप्त किया जा सकता है: पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं।

एक सामान्य शिक्षा स्कूल (ग्रेड 9) में बीजगणित का अध्ययन करते समय, महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम अंकगणितीय प्रगति और समाधानों के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, मानी गई प्रगति की परिभाषा देना आवश्यक है, साथ ही उन बुनियादी सूत्रों को भी देना है जिनका उपयोग आगे समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय प्रगति में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7 वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1. हम इसमें ज्ञात डेटा को स्थिति से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात, संख्याएँ a 1 और a 7, हमारे पास है: 18 = 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, हमने समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया है।

7 शब्दों तक के अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको एक बीजीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: ए 1 = 6, ए 2 = 6 + 2 = 8, ए 3 = 8 + 2 = 10, ए 4 = 10 + 2 = 12, ए 5 = 12 + 2 = 14 , ए ६ = १४ + २ = १६, ए ७ = १८।

उदाहरण # 3: प्रगति करना

आइए समस्या की स्थिति को और भी जटिल करें। अब इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। आप निम्नलिखित उदाहरण दे सकते हैं: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए - 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और शब्द फिट हों।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और पद होंगे, तो a 1 = -4 और a 5 = 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम समस्या पर आगे बढ़ते हैं, जो पिछले वाले के समान है। फिर से, nवें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें प्राप्त होता है: a 5 = a 1 + 4 * d। कहां से: डी = (ए 5 - ए 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25। यहां हमें अंतर का पूर्णांक मान नहीं मिला, बल्कि यह एक परिमेय संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब पाया गया अंतर 1 में जोड़ें और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करें। हम पाते हैं: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, जो कि समस्या की स्थिति के साथ।

उदाहरण # 4: प्रगति का पहला पद

आइए समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखें। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। उस संख्या को खोजना आवश्यक है जिससे यह क्रम शुरू होता है।

अब तक प्रयुक्त सूत्र 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या विवरण में इन संख्याओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, हम प्रत्येक सदस्य के लिए ऐसे व्यंजक लिखते हैं जिनके बारे में जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। दो समीकरण प्राप्त हुए जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

इस प्रणाली को हल करने का सबसे आसान तरीका प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करना है, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करना है। पहला समीकरण: a १ = a १५ - १४ * d = ५० - १४ * d; दूसरा समीकरण: ए 1 = ए 43 - 42 * डी = 37 - 42 * डी। इन व्यंजकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जहाँ से अंतर d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप उपरोक्त 2 में से किसी एक का उपयोग 1 के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला वाला: a १ = ५० - १४ * d = ५० - १४ * (- ०.४६४) = ५६.४९६।

यदि आपको परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति की 43 अवधि निर्धारित करें, जो कि शर्त में निर्दिष्ट है। हम पाते हैं: a ४३ = a १ + ४२ * d = ५६.४९६ + ४२ * (- ०.४६४) = ३७.००८। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना का उपयोग हजारवें हिस्से तक किया जाता है।

उदाहरण # 5: राशि

आइए अब एक अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। आप इन 100 संख्याओं के योग की गणना कैसे करते हैं?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल करना संभव है, अर्थात्, सभी संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ना, जो कंप्यूटर जैसे ही कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाता है, करेगा। हालाँकि, समस्या को मन में हल किया जा सकता है, यदि हम ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के लिए सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a १ + ए) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, जबकि अभी भी केवल 10 वर्ष का था, कुछ ही सेकंड में इसे अपने सिर में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और इन राशियों में से ठीक 50 (100/2) होगी, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, यह 50 को 101 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण # 6: n से m . तक के सदस्यों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि 8 से 14 तक के सदस्यों का योग क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना शामिल है, और फिर उनका अनुक्रमिक योग। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n पदों के बीच बीजीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। आइए हम दोनों स्थितियों के योग के लिए दो व्यंजक लिखें:

1. एस एम = एम * (ए एम + ए 1) / 2।
2. एस एन = एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n> m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहला शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द एम जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग एस एन से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन = एस एन - एस एम + एम = एन * (ए 1 + ए) / 2 - एम * (ए 1 + एम) / 2 + एम = ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए * एन/2 + पूर्वाह्न * (1- मी / 2)। इस व्यंजक में n और m के सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है; फिर भी, S mn का योग केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि दिए गए समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इनमें से किसी भी समस्या के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, शर्त को ध्यान से पढ़ने की सिफारिश की जाती है, स्पष्ट रूप से समझें कि क्या खोजने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही समाधान के लिए आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना किसी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान # 6 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn = n * (a 1 + a) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am पर रुक सकता है, और ब्रेक कर सकता है अलग-अलग उप-कार्यों में सामान्य समस्या (इस मामले में, पहले सदस्यों को खोजें और मैं)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। हमने पता लगाया कि अंकगणितीय प्रगति कैसे प्राप्त करें। यदि आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं है।

इससे पहले कि हम निर्णय लेना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्या, विचार करें कि एक संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व की अपनी क्रमिक संख्या होती है... इस समुच्चय के तत्वों को अनुक्रम का सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पांचवा तत्व;

- अनुक्रम का "nth" तत्व, अर्थात। आइटम "कतार में" n.

एक अनुक्रम तत्व के मूल्य और उसकी क्रम संख्या के बीच एक संबंध है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में सोच सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम तीन तरीकों से सेट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके सेट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और शुरुआत करने के लिए, गणना करें कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय बिताता है। तालिका में समय लिखते हुए, उसे सात तत्वों से युक्त एक क्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिनों की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, यानी सोमवार को, किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को, केवल 15।

2 . अनुक्रम को nवें पद सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, अनुक्रम तत्व के मूल्य की संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो

दी गई संख्या के साथ अनुक्रम के एक तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

हम ऐसा ही करते हैं यदि हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है यदि तर्क का मान ज्ञात है। हम फ़ंक्शन के समीकरण के बजाय तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , फिर

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक अनुक्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक कार्य के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 ... अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्य पर क्रमांकित अनुक्रम सदस्य के मूल्य की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए इसका मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम के सदस्यों के मूल्य पा सकते हैं क्रम सेतीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार, अनुक्रम के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर वापस जाते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द . से पुनरावर्ती- वापस लौटें।

अब हम एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। अंकगणितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति का अंतर... अंकगणितीय प्रगति में अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

यदि शीर्षक = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, २; 5; आठ; ग्यारह;...

यदि, तो समांतर श्रेणी का प्रत्येक सदस्य पिछले वाले से कम है, और प्रगति है कम होनेवाला.

उदाहरण के लिए, २; -1; -4; -7;...

यदि, तो प्रगति के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है स्थावर.

उदाहरण के लिए, 2; 2; 2; 2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर को देखें।

हम देखते है कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

समानता के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, चूंकि

, और उस समय पर ही

, फिर

, और इसलिए

शीर्षक से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य का सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए, निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

जरूरी!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को पा सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम से समान दूरी वाले सदस्यों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n पदों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। माना इस प्रगति के n सदस्यों का योग है।

आइए हम प्रगति के सदस्यों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए जोड़े में जोड़ें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग समान है, युग्मों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति के लिए समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें पद सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक समांतर श्रेढ़ी है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर समान संख्या के बराबर है।

हमने पाया कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और स्थिर है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . आपको एक समांतर श्रेणी -31 दी गई है; -27;...

ए) प्रगति के 31 सदस्यों का पता लगाएं।

बी) निर्धारित करें कि इस प्रगति में संख्या 41 शामिल है या नहीं।

ए)हम देखते है कि;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसलिए

हम पाते हैं:

बी)मान लीजिए 41 अनुक्रम का सदस्य है। आइए जानते हैं उसका नंबर। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

हमें n का एक प्राकृतिक मान मिला है, इसलिए, हाँ, संख्या 41 प्रगति का सदस्य है। यदि n का पाया गया मान एक प्राकृत संख्या नहीं होता, तो हम उत्तर देते कि संख्या 41 प्रगति का सदस्य नहीं है।

3 ... क) संख्या 2 और 8 के बीच, 4 संख्याएँ डालें ताकि वे दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति करें।

b) परिणामी प्रगति के सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

ए)संख्या 2 और 8 के बीच चार अंक डालें:

हमें 6 सदस्यों के साथ अंकगणितीय प्रगति मिली।

आइए इस प्रगति का अंतर खोजें। ऐसा करने के लिए, हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे:

अब संख्याओं का मान ज्ञात करना आसान है:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

बी)

उत्तर: ए) हाँ; बी) 30

4. ट्रक 240 टन वजन के कुचल पत्थर के एक बैच का परिवहन करता है, प्रतिदिन परिवहन दर में समान संख्या में वृद्धि करता है। ज्ञात हुआ है कि पहले दिन के दौरान 2 टन कुचल पत्थर का परिवहन किया गया था। निर्धारित करें कि बारहवें दिन कितने टन मलबे का परिवहन किया गया था यदि सभी काम 15 दिनों में पूरा हो गया था।

समस्या की स्थिति के अनुसार, ट्रक द्वारा परिवहन किए जाने वाले मलबे की मात्रा में हर दिन समान संख्या में वृद्धि होती है। इसलिए, हम एक अंकगणितीय प्रगति के साथ काम कर रहे हैं।

आइए हम इस समस्या को अंकगणितीय प्रगति के रूप में तैयार करें।

पहले दिन के दौरान 2 टन कुचल पत्थर का परिवहन किया गया: a_1 = 2.

15 दिनों में पूरा हुआ सारा काम:.

ट्रक 240 टन वजन वाले कुचल पत्थर के एक बैच का परिवहन करता है:

हमें खोजने की जरूरत है।

सबसे पहले, प्रगति में अंतर खोजें। आइए प्रगति के n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करें।

हमारे मामले में:

हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, अगर आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप-साक्ष्य मुझे बताता है कि आप अभी तक नहीं जानते कि एक अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचय के साथ परेशान नहीं करूंगा और सीधे मुद्दे पर आऊंगा।

आइए कुछ उदाहरणों से शुरू करते हैं। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन वास्तव में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए जज। पहला सेट केवल क्रमागत संख्या है, प्रत्येक अगले एक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पांच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें। हालांकि, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, और $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, यानी। और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व बस $ \ sqrt (2) $ से बढ़ जाता है (और डरो मत कि यह संख्या अपरिमेय है)।

तो: ऐसे सभी अनुक्रमों को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगला पिछले से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाता है। जिस राशि से संख्याएँ भिन्न होती हैं, उसे प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे अक्सर $ d $ अक्षर से दर्शाया जाता है।

पदनाम: $ \ बाएँ (((a) _ (n)) \ दाएँ) $ - प्रगति ही, $ d $ - इसका अंतर।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। पहला, केवल व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उस क्रम में सख्ती से पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप नंबरों को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम स्वयं या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप आत्मा में कुछ लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अंतहीन प्रगति है। चार के बाद का दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि अभी भी काफी संख्याएँ चल रही हैं। असीम रूप से कई, उदाहरण के लिए। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - वही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। और यहाँ घटती प्रगति के उदाहरण हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

ठीक है, ठीक है: यह अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आपके लिए स्पष्ट है। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ पेश करेंगे:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति को कहा जाता है:

1. बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से बड़ा है;
2. घट रहा है, अगर इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...)

केवल एक ही प्रश्न बना रहता है: बढ़ती हुई प्रगति को घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यह सब संख्या $ d $ के संकेत पर निर्भर करता है, अर्थात। अंतर प्रगति:

1. यदि $ d \ gt 0 $, तो प्रगति बढ़ रही है;
2. यदि $ d \ lt 0 $, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $ d = 0 $ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए ऊपर दी गई तीन घटती प्रगति के लिए अंतर $ d $ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, यह किन्हीं दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा) को लेने के लिए पर्याप्त है और बाईं ओर की संख्या को दाईं ओर की संख्या से घटाएं। यह इस तरह दिखेगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके गुण क्या हैं।

प्रगति सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रमों के तत्वों की अदला-बदली नहीं की जा सकती है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\ [\ बाएं (((ए) _ (एन)) \ दाएं) = \ बाएं \ (((ए) _ (1)), \ ((ए) _ (2)), ((ए) _ (3 )), ... \ अधिकार \) \]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या से दर्शाया जाता है: पहला पद, दूसरा पद, आदि।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\ [((ए) _ (एन)) - ((ए) _ (एन -1)) = डी \ दायां तीर ((ए) _ (एन)) = ((ए) _ (एन -1)) + डी \]

संक्षेप में, प्रगति में $ n $ वां पद खोजने के लिए, आपको $ n-1 $ वां पद और $ d $ अंतर जानने की आवश्यकता है। इस तरह के सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप किसी भी संख्या को पा सकते हैं, केवल पिछले एक को जानकर (और वास्तव में - सभी पिछले वाले)। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक कठिन सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\ [((ए) _ (एन)) = ((ए) _ (1)) + \ बाएं (एन -1 \ दाएं) डी \]

निश्चित रूप से आप इस सूत्र से पहले ही मिल चुके हैं। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रीशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, वह सबसे पहले आती है।

फिर भी, मेरा सुझाव है कि हम थोड़ा अभ्यास करें।

समस्या नंबर १। अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पदों को लिखें $ \ बाएँ (((a) _ (n)) \ दाएँ) $ यदि $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $।

समाधान। तो, हम पहले पद $ ((a) _ (1)) = 8 $ और प्रगति का अंतर $ d = -5 $ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $ n = 1 $, $ n = 2 $ और $ n = 3 $ को प्रतिस्थापित करें:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन)) = ((ए) _ (1)) + \ बाएं (एन -1 \ दाएं) डी; \\ और ((ए) _ (1)) = ((ए) _ (1)) + \ बाएं (1-1 \ दाएं) डी = ((ए) _ (1)) = 8; \\ और ((ए) _ (2)) = ((ए) _ (1)) + \ बाएं (2-1 \ दाएं) डी = ((ए) _ (1)) + डी = 8-5 = 3; \\ और ((ए) _ (3)) = ((ए) _ (1)) + \ बाएं (3-1 \ दाएं) डी = ((ए) _ (1)) + 2 डी = 8-10 = -2। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! कृपया ध्यान दें: हमारी प्रगति घट रही है।

बेशक, $ n = 1 $ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - पहला शब्द हमें पहले से ही ज्ञात है। हालाँकि, एक को प्रतिस्थापित करते हुए, हमने सुनिश्चित किया कि हमारा सूत्र पहले कार्यकाल के लिए भी काम करता है। अन्य मामलों में, यह सब तुच्छ अंकगणित तक उबाल गया।

समस्या संख्या २। समांतर श्रेणी के प्रथम तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद −40 है और सत्रहवाँ पद −50 है।

समाधान। आइए समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखें:

\ [((ए) _ (7)) = - 40; \ क्वाड ((ए) _ (17)) = - 50। \]

\ [\ बाएं \ (\ शुरू (संरेखित) और ((ए) _ (7)) = ((ए) _ (1)) + 6 डी \\ और ((ए) _ (17)) = ((ए) _ (१)) + १६डी \\ \ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

\ [\ बाएं \ (\ शुरू (संरेखित) और ((ए) _ (1)) + 6d = -40 \\ और ((ए) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ अंत (संरेखित) \ अधिकार। \]

मैंने सिस्टम का संकेत दिया है क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब ध्यान दें कि यदि हम दूसरे समीकरण से पहले घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\ [\ प्रारंभ (संरेखित करें) और ((ए) _ (1)) + 16d- \ बाएँ (((a) _ (1)) + 6d \ दाएँ) = - 50- \ बाएँ (-40 \ दाएँ); \\ और ((ए) _ (1)) + 16 डी - ((ए) _ (1)) - 6 डी = -50 + 40; \\ और 10d = -10; \\ और डी = -1। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

यह कितना आसान है कि हमने प्रगति में अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\ [\ शुरू (मैट्रिक्स) ((ए) _ (1)) + 6d = -40; \ क्वाड डी = -1 \\ \ डाउनएरो \\ ((ए) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((ए) _ (1)) = - ४० + ६ = -३४। \\ \ अंत (मैट्रिक्स) \]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, दूसरे और तीसरे पदों को खोजना बाकी है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (2)) = ((ए) _ (1)) + डी = -34-1 = -35; \\ और ((ए) _ (3)) = ((ए) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

तैयार! समस्या सुलझा ली गई है।

उत्तर: (-34; -35; -36)

प्रगति की एक दिलचस्प संपत्ति पर ध्यान दें जो हमने खोजा: यदि हम $ n $ th और $ m $ th शब्द लेते हैं और उन्हें एक दूसरे से घटाते हैं, तो हमें प्रगति का अंतर $ n-m $ से गुणा किया जाता है:

\ [((ए) _ (एन)) - ((ए) _ (एम)) = डी \ cdot \ बाएं (एन-एम \ दाएं) \]

एक सरल, लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति जिसे आपको निश्चित रूप से जानना चाहिए - इसकी मदद से, आप प्रगति में कई समस्याओं के समाधान में काफी तेजी ला सकते हैं। यहाँ एक प्रमुख उदाहरण है:

समस्या संख्या 3. समांतर श्रेणी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस प्रगति का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूंकि $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $, और आपको $ ((a) _ (15)) $ खोजने की आवश्यकता है, तो हम निम्नलिखित नोट करते हैं :

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (15)) - ((ए) _ (10)) = 5 डी; \\ और ((ए) _ (10)) - ((ए) _ (5)) = 5 डी। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

लेकिन शर्त से $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = $ 6, इसलिए $ 5d = $ 6, जहां से हमारे पास है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (15)) - १४.४ = ६; \\ और ((ए) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की कुछ प्रणालियों की रचना करने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ एक-दो पंक्तियों में हल हो गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार के कार्यों पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों को खोजने के लिए। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि पहला पद ऋणात्मक है, तो देर-सबेर उसमें सकारात्मक पद प्रकट होंगे। और इसके विपरीत: घटती प्रगति के सदस्य जल्दी या बाद में नकारात्मक हो जाएंगे।

उसी समय, इस क्षण को "सिर पर" टटोलना हमेशा संभव नहीं होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से जा रहा है। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणना में कई शीट लग जाती हैं - जब तक हमें उत्तर मिल जाता है, हम सो जाते हैं। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

समस्या संख्या 4. समांतर श्रेणी में कितने ऋणात्मक पद हैं -38.5; -35.8; ...?

समाधान। तो, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, जहां से हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ जाती है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए किसी बिंदु पर हम वास्तव में सकारात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएंगे। एकमात्र सवाल यह है कि यह कब होगा।

आइए पता लगाने की कोशिश करें: कब तक (यानी किस प्राकृतिक संख्या $ n $ तक) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन)) \ lt 0 \ दायां तीर ((ए) _ (1)) + \ बाएं (एन -1 \ दाएं) डी \ lt 0; \\ & -38.5+ \ बाएँ (n-1 \ दाएँ) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ बाएँ | \ cdot 10 \ सही। \\ & -385 + 27 \ cdot \ बाएँ (n-1 \ दाएँ) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ और 27n \ लेफ्टिनेंट 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ दायां तीर ((n) _ (\ अधिकतम)) = 15. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अंतिम पंक्ति को कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो, हम जानते हैं कि $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $। दूसरी ओर, हम संख्या के केवल पूर्णांक मानों से संतुष्ट होंगे (इसके अलावा: $ n \ in \ mathbb (N) $), इसलिए सबसे बड़ी अनुमत संख्या बिल्कुल $ n = 15 $ है, और किसी भी तरह से नहीं 16.

समस्या संख्या 5. समांतर श्रेणी में $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $। इस प्रगति के पहले धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह बिल्कुल पिछली समस्या जैसी ही होगी, लेकिन हम $ ((a) _ (1)) $ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $ ((a) _ (5)) $ और $ ((a) _ (6)) $, इसलिए हम आसानी से प्रगति का अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, हम मानक सूत्र के अनुसार पांचवें पद को पहले और अंतर के रूप में व्यक्त करने का प्रयास करेंगे:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन)) = ((ए) _ (1)) + \ बाएं (एन -1 \ दाएं) \ cdot d; \\ और ((ए) _ (5)) = ((ए) _ (1)) + 4 डी; \\ & -150 = ((ए) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ और ((ए) _ (1)) = - 150-12 = -162। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अब हम पिछले कार्य के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे क्रम में किस बिंदु पर सकारात्मक संख्याएँ होंगी:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन)) = - 162+ \ बाएँ (n-1 \ दाएँ) \ cdot 3 \ gt 0; \\ और -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ और 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ दायां तीर ((n) _ (\ मिनट)) = 56। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

इस असमानता का सबसे छोटा पूर्णांक हल 56 है।

कृपया ध्यान दें: पिछले कार्य में, सब कुछ एक सख्त असमानता में घटा दिया गया था, इसलिए $ n = 55 $ विकल्प हमें शोभा नहीं देगा।

अब जब हमने सीख लिया है कि सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं की ओर बढ़ते हैं। लेकिन पहले, आइए अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत उपयोगी संपत्ति का अध्ययन करें, जो भविष्य में हमें बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगा। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ते अंकगणितीय प्रगति $ \ बाएँ (((a) _ (n)) \ दाएँ) $ के कई लगातार सदस्यों पर विचार करें। आइए उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

एक संख्या रेखा पर एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य

मैंने विशेष रूप से $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, न कि कोई $ ((a) _ (1)), \ ( (ए) _ (2)), \ ((ए) _ (3)) $, आदि। क्योंकि जिस नियम के बारे में मैं अब बात करूंगा, वह किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान काम करता है।

और नियम बहुत सरल है। आइए पुनरावृत्ति सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन -2)) = ((ए) _ (एन -3)) + डी; \\ और ((ए) _ (एन -1)) = ((ए) _ (एन -2)) + डी; \\ और ((ए) _ (एन)) = ((ए) _ (एन -1)) + डी; \\ और ((ए) _ (एन + 1)) = ((ए) _ (एन)) + डी; \\ और ((ए) _ (एन + 2)) = ((ए) _ (एन + 1)) + डी; \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन -1)) = ((ए) _ (एन)) - डी; \\ और ((ए) _ (एन -2)) = ((ए) _ (एन)) - 2 डी; \\ और ((ए) _ (एन -3)) = ((ए) _ (एन)) - 3 डी; \\ और ((ए) _ (एन + 1)) = ((ए) _ (एन)) + डी; \\ और ((ए) _ (एन + 2)) = ((ए) _ (एन)) + 2 डी; \\ और ((ए) _ (एन + 3)) = ((ए) _ (एन)) + 3 डी; \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अच्छा, तो क्या? और तथ्य यह है कि शब्द $ ((a) _ (n-1)) $ और $ ((a) _ (n + 1)) $ $ ((a) _ (n)) $ से समान दूरी पर स्थित हैं। . और यह दूरी $d$ के बराबर है। सदस्यों के बारे में भी यही कहा जा सकता है $ ((a) _ (n-2)) $ और $ ((a) _ (n + 2)) $ - उन्हें $ ((a) _ (n) से भी हटा दिया जाता है। ) $ समान दूरी $ 2d $ के बराबर। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन अर्थ चित्र द्वारा अच्छी तरह से चित्रित किया गया है।

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि आप पड़ोसी संख्याएं ज्ञात हैं तो आप $ ((ए) _ (एन)) $ पा सकते हैं:

\ [((ए) _ (एन)) = \ फ्रैक (((ए) _ (एन -1)) + ((ए) _ (एन + 1))) (2) \]

हम एक उत्कृष्ट कथन के साथ आए: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी शब्दों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा: हम अपने $ ((a) _ (n)) $ बाएँ और दाएँ से एक कदम नहीं, बल्कि $ k $ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\ [((ए) _ (एन)) = \ फ़्रेक (((ए) _ (एन-के)) + ((ए) _ (एन + के))) (2) \]

वे। यदि हम $ ((a) _ (100)) $ और $ ((a) _ (200)) $ जानते हैं, तो हम कुछ $ ((a) _ (150)) $ आसानी से पा सकते हैं, क्योंकि $ ((a) _ (१५०)) = \ फ्रैक (((ए) _ (१००)) + ((ए) _ (२००))) (२) $। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणितीय माध्य के उपयोग के लिए कई समस्याओं को विशेष रूप से "तेज" किया जाता है। जरा देखो तो:

समस्या संख्या 6. $x $ के सभी मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ और $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ लगातार सदस्य हैं अंकगणितीय प्रगति (क्रम में)।

समाधान। चूंकि संकेतित संख्याएं प्रगति के सदस्य हैं, उनके लिए अंकगणितीय माध्य की स्थिति संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $ x + 1 $ को आसन्न तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\ [\ start (संरेखण) और x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ और x + 1 = \ फ़्रेक (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ और x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ और ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

परिणाम एक क्लासिक द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें: $ x = 2 $ और $ x = -3 $ - ये उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

समस्या संख्या 7. $$ मान खोजें जिसके लिए संख्या $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ अंकगणितीय प्रगति (दिखाए गए क्रम में) बनाते हैं।

समाधान। फिर से, हम मध्य पद को पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के रूप में व्यक्त करते हैं:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ और 4x-3 = \ फ़्रेक (((x) ^ (2)) + x) (2); \ क्वाड \ बाएँ | \ cdot 2 \ सही।; \\ और 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ और ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

फिर से द्विघात समीकरण। और फिर दो जड़ें हैं: $ x = 6 $ और $ x = 1 $।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आप कुछ क्रूर संख्याएँ निकालते हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत तकनीक है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

उदाहरण के लिए, समस्या संख्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 प्राप्त हुए। यह कैसे जांचें कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें प्रारंभिक स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर हैं ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ और $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $ x = -3 $:

\ [\ प्रारंभ (संरेखित करें) और x = -3 \ दायां तीर \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - ५४; \\ और एक्स + 1 = -2; \\ और 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50। \ अंत (संरेखित करें) \]

प्राप्त संख्या -54; -2; 50, जो कि 52 से भिन्न है, निस्संदेह एक समांतर श्रेणी है। $ x = 2 $ के लिए भी ऐसा ही होता है:

\ [\ प्रारंभ (संरेखित करें) और x = 2 \ दायां तीर \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ और एक्स + 1 = 3; \\ और 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30। \ अंत (संरेखित करें) \]

फिर से एक प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। रुचि रखने वाले लोग दूसरी समस्या की जांच स्वयं कर सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत कहूंगा: वहां भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, पिछली समस्याओं को हल करते समय, हमें एक और दिलचस्प तथ्य मिला, जिसे याद रखने की भी आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का समान्तर माध्य है, तो ये संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हम समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" कर सकेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" पर उतरें, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो सीधे पहले से ही माना जा चुका है।

तत्वों का समूहन और योग

आइए फिर से संख्या अक्ष पर वापस जाएं। आइए हम प्रगति के कई सदस्यों पर ध्यान दें, जिनके बीच, शायद। कई अन्य सदस्य हैं:

संख्या रेखा में 6 अवयव अंकित हैं

आइए "बाएं पूंछ" को $ ((a) _ (n)) $ और $ d $ के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें, और "दाएं पूंछ" को $ ((a) _ (k)) $ और $ d $ के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें। . यह बहुत सरल है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन + 1)) = ((ए) _ (एन)) + डी; \\ और ((ए) _ (एन + 2)) = ((ए) _ (एन)) + 2 डी; \\ और ((ए) _ (के -1)) = ((ए) _ (के)) - डी; \\ और ((ए) _ (के -2)) = ((ए) _ (के)) - 2 डी। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अब, ध्यान दें कि निम्नलिखित योग बराबर हैं:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (एन)) + ((ए) _ (के)) = एस; \\ और ((ए) _ (एन + 1)) + ((ए) _ (के -1)) = ((ए) _ (एन)) + डी + ((ए) _ (के)) - डी = एस; \\ और ((ए) _ (एन + 2)) + ((ए) _ (के -2)) = ((ए) _ (एन)) + 2 डी + ((ए) _ (के)) - 2 डी = एस. \ अंत (संरेखित करें) \]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के दो तत्वों को एक शुरुआत के रूप में मानते हैं, जो कुल मिलाकर कुछ संख्या $ S $ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करते हैं (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत हटाने के लिए), फिर जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$ एस $। इसे ग्राफिक रूप से सबसे स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

समान इंडेंटेशन समान मात्रा देता है

इस तथ्य को समझना हमें उन समस्याओं की तुलना में मौलिक रूप से उच्च स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा जिन्हें हमने ऊपर माना था। उदाहरण के लिए, जैसे:

समस्या संख्या 8. उस समांतर श्रेणी का अंतर ज्ञात कीजिए जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए वह सब कुछ लिखें जो हम जानते हैं:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (1)) = ६६; \\ और डी =? \\ और ((ए) _ (2)) \ cdot ((ए) _ (12)) = \ मिनट। \ अंत (संरेखित करें) \]

इसलिए, हम प्रगति $ d $ के अंतर को नहीं जानते हैं। दरअसल, पूरा समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (2)) = ((ए) _ (1)) + डी = 66 + डी; \\ और ((ए) _ (12)) = ((ए) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ बाएँ (66 + d \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (66 + 11d \ दाएँ) = \\ और = 11 \ cdot \ बाएँ (d + ६६ \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (d + ६ \ दाएँ)। \ अंत (संरेखित करें) \]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे कोष्ठक से 11 का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकाला। इस प्रकार, मांगा गया उत्पाद चर $ d $ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन $ f \ बाएँ (d \ दाएँ) = 11 \ बाएँ (d + 66 \ दाएँ) \ बाएँ (d + 6 \ दाएँ) $ पर विचार करें - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक का विस्तार करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और f \ बाएँ (d \ दाएँ) = 11 \ बाएँ (((d) ^ (2)) + ६६d + ६d + ६६ \ cdot ६ \ दाएँ) = \\ और = ११ (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (संरेखण) \]

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रमुख पद पर गुणांक 11 है - यह एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

द्विघात फलन ग्राफ - परवलय

कृपया ध्यान दें: यह परवलय अपने शीर्ष पर भुज $ ((d) _ (0)) $ के साथ अपना न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना के अनुसार इस एब्सिस्सा की गणना कर सकते हैं (इसमें सूत्र भी है $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), लेकिन यह बहुत अधिक उचित होगा ध्यान दें कि वांछित शीर्ष परवलय के अक्ष समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $ ((d) _ (0)) $ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $ f \ बाएँ (d \ दाएँ) = 0 $:

\ [\ प्रारंभ (संरेखित करें) और f \ बाएँ (d \ दाएँ) = 0; \\ और 11 \ cdot \ बाएँ (d + 66 \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (d + 6 \ दाएँ) = 0; \\ और ((डी) _ (1)) = - 66; \ क्वाड ((डी) _ (2)) = - 6. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

इसलिए मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ें बहुत, बहुत आसान थीं। इसलिए, भुज −66 और −6 की संख्याओं के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\ [((डी) _ (0)) = \ फ़्रेक (-66-6) (2) = - 36 \]

खोजी गई संख्या हमें क्या देती है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद सबसे छोटा मान लेता है (वैसे, हमने $ ((y) _ (\ min)) $ की गणना नहीं की है - हमें इसकी आवश्यकता नहीं है)। साथ ही, यह संख्या मूल प्रगति के बीच का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर: -36

समस्या संख्या 9. संख्याओं $ - \ frac (1) (2) $ और $ - \ frac (1) (6) $ के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि वे दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति करें।

समाधान। मूल रूप से, हमें पहले और अंतिम संख्याओं के साथ पहले से ज्ञात पांच संख्याओं का अनुक्रम बनाने की आवश्यकता है। आइए लापता संख्याओं को चर $ x $, $ y $ और $ z $ द्वारा निरूपित करें:

\ [\ बाएँ (((a) _ (n)) \ दाएँ) = \ बाएँ \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ दाएँ \ ) \]

ध्यान दें कि संख्या $ y $ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह दोनों संख्याओं $ x $ और $ z $ से समान दूरी पर है, और संख्याओं से $ - \ frac (1) (2) $ और $ - \ फ्रैक (१) (६) $. और अगर इस समय हम $ x $ और $ z $ संख्याओं से $ y $ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के सिरों के साथ स्थिति अलग है। अंकगणित माध्य याद रखना:

अब, $y$ जानने के बाद, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x $ संख्याओं $ - \ frac (1) (2) $ और $ y = - \ frac (1) (3) $ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी प्रकार तर्क करने पर हम शेष संख्या पाते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $ - \ फ़्रेक (5) (12); \ - \ फ़्रेक (1) (3); \ - \ फ़्रेक (1) (4) $

समस्या संख्या 10. संख्या 2 और 42 के बीच कई संख्याएँ डालें, जो इन संख्याओं के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि आप जानते हैं कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले के समान योजना के अनुसार हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हमें ठीक-ठीक पता नहीं है कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित करनी हैं। इसलिए, निश्चितता के लिए, मान लें कि सब कुछ डालने के बाद बिल्कुल $ n $ संख्याएं होंगी, और उनमें से पहला 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\ [\ बाएँ (((a) _ (n)) \ दाएँ) = \ बाएँ \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( ए) _ (एन -1)); 42 \ दाएं \) \]

\ [((ए) _ (2)) + ((ए) _ (3)) + ((ए) _ (एन -1)) = 56 \]

ध्यान दें, हालांकि, संख्याएं $ ((a) _ (2)) $ और $ ((a) _ (n-1)) $ एक दूसरे की ओर एक कदम से किनारों पर संख्या 2 और 42 से प्राप्त की जाती हैं, यानी ... अनुक्रम के केंद्र में। इस का मतलब है कि

\ [((ए) _ (2)) + ((ए) _ (एन -1)) = 2 + 42 = 44 \]

लेकिन फिर ऊपर लिखे गए व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (2)) + ((ए) _ (3)) + ((ए) _ (एन -1)) = ५६; \\ और \ बाएं (((ए) _ (2)) + ((ए) _ (एन -1)) \ दाएं) + ((ए) _ (3)) = 56; \\ और 44 + ((ए) _ (3)) = 56; \\ और ((ए) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

$ ((a) _ (3)) $ और $ ((a) _ (1)) $ को जानकर, हम आसानी से प्रगति का अंतर पा सकते हैं:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (3)) - ((ए) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ और ((ए) _ (3)) - ((ए) _ (1)) = \ बाएं (3-1 \ दाएं) \ cdot d = 2d; \\ और 2d = 10 \ दायां तीर d = 5। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

यह केवल बाकी सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (1)) = 2; \\ और ((ए) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ और ((ए) _ (3)) = 12; \\ और ((ए) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ और ((ए) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ और ((ए) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ और ((ए) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ और ((ए) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ और ((ए) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

इस प्रकार, पहले से ही 9 वें चरण में हम अनुक्रम के बाएं छोर पर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 नंबर सम्मिलित करना आवश्यक था: 7; 12; 17; 22; २७; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; २७; 32; 37

प्रगति के साथ शब्द समस्याएं

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल कार्यों पर विचार करना चाहूंगा। खैर, कितना आसान है: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित पढ़ते हैं और जो ऊपर लिखा है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य टिन की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ठीक ऐसी समस्याएं हैं जो गणित में OGE और USE में आती हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे खुद को परिचित करें।

समस्या संख्या 11. ब्रिगेड ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और प्रत्येक अगले महीने में पिछले एक की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में टीम ने कितने हिस्से बनाए?

समाधान। जाहिर है, महीने के हिसाब से निर्धारित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति का प्रतिनिधित्व करेगी। इसके अलावा:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (1)) = 62; \ क्वाड डी = 14; \\ और ((ए) _ (एन)) = 62+ \ बाएँ (n-1 \ दाएँ) \ cdot 14. \\ \ अंत (संरेखित) \]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $ ((a) _ (11)) $ खोजने की जरूरत है:

\ [((ए) _ (11)) = ६२ + १० \ cdot १४ = २०२ \]

नतीजतन, नवंबर में 202 भागों का निर्माण किया जाएगा।

समस्या संख्या 12. बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 पुस्तकों को बाध्य किया, और प्रत्येक अगले महीने इसने पिछले एक की तुलना में 4 अधिक पुस्तकों को बाध्य किया। कार्यशाला ने दिसम्बर में कितनी पुस्तकें बाँधी?

समाधान। सब एक जैसे:

$ \ शुरू (संरेखित करें) और ((ए) _ (1)) = 216; \ क्वाड डी = 4; \\ और ((ए) _ (एन)) = 216+ \ बाएँ (n-1 \ दाएँ) \ cdot 4. \\ \ अंत (संरेखित) $

दिसंबर साल का आखिरी, १२वां महीना है, इसलिए हम $ ((a) _ (12)) $ की तलाश कर रहे हैं:

\ [((ए) _ (12)) = २१६ + ११ \ cdot ४ = २६० \]

ये है जवाब- 260 किताबें दिसंबर में बंधी होंगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अब तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने के लिए जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" को सफलतापूर्वक पास कर लिया है। आप सुरक्षित रूप से अगले पाठ के लिए आगे बढ़ सकते हैं, जहां हम प्रगति के योग के सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इसके महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणामों का भी अध्ययन करेंगे।

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

संख्या क्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरा नंबर (जैसे -th नंबर) हमेशा एक होता है।
संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य एक ही अक्षर है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक होता है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस संख्या अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" 6 वीं शताब्दी में रोमन लेखक बोथियस द्वारा पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थों में एक अंतहीन संख्या अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से लिया गया था, जिस पर प्राचीन यूनानियों का कब्जा था।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझा? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
एकअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम प्रगति की संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं बचा है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य बराबर है।

2. विधि

क्या होगा यदि हमें प्रगति में वें पद का मान ज्ञात करना है? सारांश में हमें एक घंटे से अधिक समय लगेगा, और यह एक तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमसे गलती नहीं होगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर पर करीब से नज़र डालें ... निश्चित रूप से आप पहले से ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दे चुके हैं, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें सदस्य का मान कैसे जोड़ा जाता है:


दूसरे शब्दों में:

स्वतंत्र रूप से किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य को इस तरह से खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? अपने नोट्स की तुलना उत्तर से करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको ठीक वैसी ही संख्या मिली है जैसी पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे सामान्य रूप में लाएंगे और प्राप्त करेंगे:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है और कभी-कभी घट रही है।

आरोही- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक होता है।
उदाहरण के लिए:

घटाना- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है: आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति की संख्या क्या होगी यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं:

तब से:

इस प्रकार, हमने सुनिश्चित किया कि सूत्र घटती और बढ़ती अंकगणितीय प्रगति दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के वें और वें पदों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए प्राप्त परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात कीजिए।
आसान, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और हम जो खोज रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन यदि हमें इस स्थिति में संख्याएँ दी जाती हैं? इसे स्वीकार करें, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब सोचो, क्या किसी सूत्र का उपयोग करके इस समस्या को एक क्रिया में हल करना संभव है? बेशक, हाँ, और यह वह है जिसे हम अब वापस लेने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने के लिए सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जो हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, फिर:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति का अगला सदस्य है:

आइए प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य का दोगुना मूल्य है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ प्रगति के सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को ठीक करें। प्रगति के लिए मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! सीखने के लिए केवल एक ही सूत्र बचा है, जो कि किंवदंती के अनुसार, आसानी से अपने लिए सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो अन्य ग्रेड में छात्रों के काम की जाँच में लगे एक शिक्षक ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना करें जब उनके एक छात्र (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट में समस्या का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने, लंबी गणना के बाद, गलत परिणाम प्राप्त किया ...

यंग कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास -वें सदस्यों से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति है: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करना है। बेशक, हम सभी मूल्यों को मैन्युअल रूप से जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य में इसके सदस्यों का योग खोजना आवश्यक है, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए एक दी गई प्रगति बनाएं। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को करने का प्रयास करें।


या तुमने कोशिश की? आपने क्या गौर किया? सही! उनकी राशि बराबर है

अब मुझे बताओ, दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि एक समान्तर श्रेणी के दो सदस्यों का योग समान है, और समान समान युग्म हैं, हम पाते हैं कि कुल योग है:
.
इस प्रकार, किसी समांतर श्रेणी के प्रथम पदों के योग का सूत्र इस प्रकार होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति में अंतर जानते हैं। योग के सूत्र में, वें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुमने क्या किया?

बहुत बढ़िया! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस को दी गई थी: स्वयं की गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि सदस्यों का योग बराबर होता है और सदस्यों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, मजाकिया लोग अंकगणितीय प्रगति के गुणों का अधिकतम उपयोग कर रहे थे।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे महत्वाकांक्षी निर्माण स्थल की कल्पना करें - पिरामिड का निर्माण ... आकृति इसका एक पक्ष दिखाती है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? बारीकी से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


क्या यह एक अंकगणितीय प्रगति नहीं है? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता है यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया है। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली चलाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है वह सब कुछ याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या की गणना करेंगे)।

विधि १।

विधि २।

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह एक साथ आया? अच्छा किया, आपने अंकगणितीय प्रगति की शर्तों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉक से पिरामिड नहीं बना सकते हैं, लेकिन कहां से? इस स्थिति के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की गणना करने की कोशिश करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

व्यायाम

कार्य:

1. गर्मियों तक माशा आकार में आ रहा है। वह हर दिन स्क्वैट्स की संख्या में वृद्धि करती है। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी, अगर पहली कसरत में उसने स्क्वाट किया।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग को स्टोर करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से स्टैक करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक लॉग कम होता है। एक चिनाई में कितने लॉग होते हैं, यदि लॉग चिनाई के आधार के रूप में काम करते हैं।

उत्तर:

1. आइए अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह के बाद, माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
   में विषम संख्याओं की संख्या आधी है, तथापि, हम एक अंकगणितीय प्रगति का -वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करेंगे:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   उपलब्ध डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर होता है।

3. आइए पिरामिड समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, फिर केवल परतों के एक समूह में, यानी।
   आइए डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

आइए संक्षेप करें

1. - एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह आरोही और घट सकता है।
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है -, प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
3. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति- - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
4. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मूल्यों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्या क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं। लेकिन आप हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, दूसरा कौन सा है, और इसी तरह, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है, और केवल एक ही। और हम इस नंबर को इस सेट से किसी अन्य नंबर को असाइन नहीं करेंगे।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य एक ही अक्षर है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक होता है:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम निर्दिष्ट करता है:

और सूत्र निम्नलिखित अनुक्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

वां टर्म फॉर्मूला

हम आवर्तक को एक सूत्र कहते हैं जिसमें वें सदस्य का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले वाले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस तरह के सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

अच्छा, अब सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किस लिए? बहुत आसान: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब बहुत अधिक सुविधाजनक है, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

एक समान्तर श्रेणी में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है। क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे अंतर कहा जाता है, जो प्रगति के लगातार सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 वर्षीय लड़के के रूप में इस राशि की गणना कुछ ही मिनटों में की थी। उसने देखा कि पहली और आखिरी संख्याओं का योग बराबर है, दूसरी और आखिरी का योग है लेकिन एक समान है, तीसरे और तीसरे का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े होंगे? यह सही है, सभी संख्याओं की आधी संख्या, यानी। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या है। प्रत्येक अगला पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस प्रगति का वां पद सूत्र है:

कितने सदस्य प्रगति में हैं यदि उन सभी को दोहरे अंक में होना है?

बहुत आसान: ।

प्रगति में अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय लें:

1. हर दिन, एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मी दौड़ता है तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक हर दिन पिछले वाले की तुलना में अधिक किलोमीटर ड्राइव करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. किमी को तय करने के लिए उसे कितने दिनों की यात्रा करने की आवश्यकता है? यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. एक स्टोर में एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि हर साल एक रेफ्रिजरेटर की कीमत कितनी कम हो गई है, अगर रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया है, तो छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले सदस्यों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यह यहाँ दिया गया है: इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, तो जवाब है।
   आइए th टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके अंतिम दिन के लिए तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी)।
   उत्तर:

3. दिया गया:। पाना: ।
   यह आसान नहीं हो सकता:
   (रगड़)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति आरोही () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

समांतर श्रेणी का n-वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा गया है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको आसानी से प्रगति के सदस्य को खोजने की अनुमति देता है यदि इसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हैं - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योग

राशि खोजने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप उस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात आती है।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगाया। और फिर, यह है ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, एक बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं।

लेकिन यह भी मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके लिए और भी बहुत सारे अवसर हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? मालूम नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों की तुलना में निश्चित रूप से बेहतर होने और अंततः ... अधिक खुश होने के लिए क्या करना पड़ता है?

इस विषय पर हाथ से हल करने की समस्या प्राप्त करें।

परीक्षा में आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा कुछ समय के लिए समस्याओं का समाधान करें.

और अगर आपने उन्हें हल नहीं किया (बहुत कुछ!), तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं गलत तरीके से जाएंगे या बस समय नहीं होगा।

यह खेलों की तरह है - निश्चित रूप से जीतने के लिए आपको इसे बार-बार दोहराना होगा।

एक संग्रह खोजें जहाँ आप चाहते हैं, आवश्यक रूप से समाधान के साथ, विस्तृत विश्लेषणऔर तय करो, तय करो, तय करो!

आप हमारे कार्यों (वैकल्पिक) का उपयोग कर सकते हैं और निश्चित रूप से, हम उनकी अनुशंसा करते हैं।

हमारे कार्यों के साथ अपना हाथ भरने के लिए, आपको YouClever पाठ्यपुस्तक के जीवन को बढ़ाने में मदद करने की आवश्यकता है जिसे आप वर्तमान में पढ़ रहे हैं।

कैसे? दो विकल्प हैं:

1. इस लेख में सभी छिपे हुए कार्यों को साझा करें - 299 आर
2. ट्यूटोरियल के सभी 99 लेखों में सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच अनलॉक करें - 999 रूबल

हां, हमारी पाठ्यपुस्तक में ऐसे 99 लेख हैं, और सभी कार्यों और उनमें छिपे हुए सभी पाठों तक पहुंच एक ही बार में खोली जा सकती है।

दूसरे मामले में हम आपको देंगेसिम्युलेटर "समाधान और उत्तर के साथ 6000 समस्याएं, प्रत्येक विषय के लिए, जटिलता के सभी स्तरों के लिए।" यह निश्चित रूप से किसी भी विषय पर समस्याओं को हल करने के लिए एक संभाल पाने के लिए पर्याप्त होगा।

वास्तव में, यह सिर्फ एक सिम्युलेटर से कहीं अधिक है - एक संपूर्ण प्रशिक्षण कार्यक्रम। यदि आवश्यक हो, तो आप इसे मुफ़्त में भी उपयोग कर सकते हैं।

साइट के पूरे जीवनकाल के लिए सभी ग्रंथों और कार्यक्रमों तक पहुंच प्रदान की जाती है।

निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आप हमारे कार्यों को पसंद नहीं करते हैं, तो दूसरों को खोजें। बस सिद्धांत पर ध्यान मत दो।

"समझ गया" और "मैं हल करने में सक्षम हूं" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!