जीवित प्रणालियों के गणितीय मॉडलिंग की विशिष्टता। गणितीय जीवविज्ञान

पर्याप्त गणितीय उपकरण के साथ जैविक प्रणालियों का वर्णन करने की विधि। परिभाषा चटाई। उपकरण जैविक प्रणालियों के काम को पर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित करने वाला उपकरण उनके वर्गीकरण से जुड़ा एक जटिल कार्य है। जटिलताओं (राज्य संख्याओं के लॉगरिदम) द्वारा जैव-शक्ति का वर्गीकरण स्केल का उपयोग करके पैमाने का उपयोग करके किया जा सकता है, सरल प्रणालियों के अनुसार, ऐसे सिस्टम हैं जिनके पास एक हजार राज्यों तक जटिल है - एक हजार से लाखों और बहुत जटिल - एक मिलियन से अधिक राज्यों। बायोसिस्टम की दूसरी सबसे महत्वपूर्ण विशेषता राज्यों की संभावना के वितरण के कानून द्वारा व्यक्त पैटर्न है। इस कानून के तहत, के। शैनन और एक रिश्तेदार संगठन के आकलन पर अपने काम की अनिश्चितता निर्धारित करना संभव है। टी के बारे में।, BIOL। सिस्टम को जटिलता (अधिकतम विविधता या अधिकतम अनिश्चितता) और सापेक्ष संगठन, यानी, संगठन की डिग्री (जैविक प्रणाली संगठन देखें) द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है।

वर्गीकरण आरेख बायोसिस्टम:

सरल प्रणाली;

जटिल प्रणाली;

बहुत जटिल प्रणाली;

संभाव्य प्रणाल;

संभाव्य और निर्धारक प्रणाली;

निर्धारक प्रणाली।

अंजीर में। जैव प्रणाली का एक वर्गीकरण चार्ट उच्चतम संभावित अनिश्चितता की अक्षों में राज्य राज्यों की संख्या और राज्यों की लघुगणक संख्या, और सापेक्ष संरेखण के स्तर की विशेषता है, जो सिस्टम संगठन की डिग्री की विशेषता है। आरेख को संबंधित बैंड के नाम दिए गए हैं ताकि, उदाहरण के लिए, संख्या 8 के तहत क्षेत्र का अर्थ है "बहुत जटिल संभाव्य और नियतात्मक जीव तंत्र"। बायोसिस्टम के अध्ययन से पता चलता है कि यदि अध्ययन सूचक के विचलन के वितरण के हिस्टोग्राम द्वारा गणना की जाती है तो इसकी गणितीय अपेक्षा से 1.0 से 0.3 की सीमा में निहित है, तो हम मान सकते हैं कि यह एक निर्धारक जीव प्रणाली है। इस तरह के सिस्टम में नियंत्रण प्रणाली शामिल है। अधिकारियों, ज्यादातर हार्मोनल (humoral) प्रबंधन प्रणाली। न्यूरॉन, अंग आंतरिक। कुछ मानकों के अनुसार गोलाकार, चयापचय प्रणाली को निर्धारक जीव तंत्र के लिए भी जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। चटाई। ऐसे सिस्टम के मॉडल भौतिक-रसायन पर आधारित हैं। तत्वों या सिस्टम निकायों के बीच संबंध। इस मामले में मॉडलिंग इनपुट, इंटरमीडिएट और आउटपुट संकेतकों में परिवर्तन की गतिशीलता है। उदाहरण के लिए, तंत्रिका कोशिका, कार्डियोवैस्कुलर सिस्टम, रक्त शर्करा सामग्री नियंत्रण प्रणाली और अन्य के जैव-भौतिक मॉडल। चटाई। इस तरह के निर्धारक जीवविज्ञान के व्यवहार का पर्याप्त रूप से वर्णन करने वाला उपकरण diff का सिद्धांत है। और अभिन्न उर। चटाई के आधार पर। बायोसिस्टम के मॉडल स्वचालित सिद्धांत नियंत्रण के तरीकों का उपयोग कर सकते हैं, सफलतापूर्वक डीएफएफ कार्यों को हल करते हैं। उपचार का निदान और अनुकूलन। मॉडलिंग निर्धारक बायोसिस्टम का क्षेत्र सबसे पूरी तरह से विकसित किया गया है।

यदि अध्ययन सूचक (या सूचक प्रणाली) के संबंध में संगठित जैव-तंत्र 0.3 - 0.1 के भीतर स्थित है, तो सिस्टम को संभाव्य-निर्धारक माना जा सकता है। इनमें सिस्टम प्रबंधन प्रणाली शामिल हैं। तंत्रिका विनियमन (उदाहरण के लिए, पल्स दर नियंत्रण प्रणाली) के एक स्पष्ट घटक के साथ प्राधिकरण, साथ ही पैथोलॉजी के मामले में हार्मोनल विनियमन प्रणाली। पर्याप्त चटाई के रूप में। डिवाइस diff संकेतकों के परिवर्तन की गतिशीलता की प्रस्तुति हो सकता है। कुछ वितरण कानूनों का पालन करते हुए अंगों के साथ urms। ऐसे बायोसिस्टम का सिमुलेशन अपेक्षाकृत कमजोर रूप से विकसित किया गया है, हालांकि यह साइबरनेटिक्स मेडिकल के प्रयोजनों के लिए काफी हित है।

संभाव्य बायोसिस्टम को संगठन आर के मूल्य 0.1 से 0 तक की विशेषता है। इनमें उन प्रणालियों को शामिल किया गया है जो विश्लेषणकर्ताओं और व्यवहारिक प्रतिक्रियाओं की बातचीत को निर्धारित करते हैं, जिसमें सरल सशर्त रूप से प्रतिबिंब कार्यों और पर्यावरणीय संकेतों और जीव प्रतिक्रियाओं के बीच जटिल संबंधों में प्रशिक्षण प्रक्रियाएं शामिल हैं। पर्याप्त चटाई। उपकरण

ऐसे बायोसिस्टम को अनुकरण करने के लिए, निर्धारक और यादृच्छिक ऑटोमेटा का सिद्धांत निर्धारक और यादृच्छिक मीडिया, यादृच्छिक सिद्धांत प्रक्रियाओं के साथ बातचीत करता है।

चटाई। बोसिस्टम मॉडलिंग में प्रयोगात्मक परिणामों की प्रारंभिक सांख्यिकीय प्रसंस्करण (जैविक अनुसंधान गणितीय विधियों को देखें), जटिलता और संगठित जीवविज्ञान का अध्ययन, पर्याप्त चटाई की पसंद का अध्ययन शामिल है। पैरामीटर चटाई के संख्यात्मक मानों के मॉडल और परिभाषा। प्रायोगिक डेटा के अनुसार मॉडल (साइबरनेटिक्स जैविक देखें)। अंतिम कार्य आमतौर पर बहुत मुश्किल होता है। निर्धारक बायोसिस्टम के लिए, जिनके मॉडल को रैखिक diff द्वारा दर्शाया जा सकता है। यूआरएम, मॉडल के सर्वोत्तम पैरामीटर की परिभाषा (कोफ। डिफ। उरिया। उरिया) मॉडल पैरामीटर स्पेस में वंश की विधि (ग्रेडियेंट विधि देखें) की विधि द्वारा किया जा सकता है, त्रुटि के वर्ग से अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है। इस मामले में, आपको कार्यात्मक को कम करने के लिए मूल प्रक्रिया को लागू करने की आवश्यकता है

जहां टी - अवधि, संकेतक के लिए विशिष्ट समय, वाई जैव प्रणाली संकेतक, वाई-समाधान चटाई में परिवर्तनों का प्रयोगात्मक वक्र है। मॉडल। यदि आपको सबसे अच्छा (वर्ग त्रुटि के अभिन्न अंग के अर्थ में) अनुमानित चटाई प्राप्त करने की आवश्यकता है। जैव प्रणाली के विभिन्न आंतरिक राज्यों में या विभिन्न विशिष्ट बाहरी प्रभावों के लिए कई संकेतकों में जैव प्रणाली के संचालन के लिए मॉडल, यह संभव है, मॉडल पैरामीटर स्थान में मूल विधि का उपयोग करके, निजी कार्यकर्ताओं की मात्रा को कम करें। चटाई का चयन करने के लिए ऐसी प्रक्रिया का उपयोग करते समय। मॉडल कोफ के एक सेट को प्राप्त करने की संभावना को बढ़ा सकते हैं। गोद लेने वाली संरचना के अनुरूप मॉडल। बी के साथ। एमएम बायोसिस्टम, इसके तत्वों और तत्वों के अंतःक्रिया की विशेषताओं की विशेषताओं की मात्रात्मक विशेषताओं को प्राप्त करने के लिए वांछनीय है, बल्कि उनके सामान्य सिद्धांतों को स्थापित करने के लिए, बाओसिस्टम के काम के मानदंडों की पहचान करने के लिए भी वांछनीय है कार्य करना जलाया।: Glushkov V. एम। परिचय साइबरनेटिक्स। के। 1 9 64 [BIBLIOGR। से। 319-322]; जीवविज्ञान और चिकित्सा में मॉडलिंग, में। 1-3। के। 1 9 65-68; बुश आर।, सैपेल्लर एफ। स्टोकास्टिक प्रशिक्षण मॉडल। प्रति। अंग्रेजी से एम, 1 9 62. यू। जी। एंटोमन।

गोमेल, 2003

यूडीसी 57.082.14.002.2।

विकसित: स्टारोडुब्त्सेवा एम। एन।, कुज़नेत्सोव बी के।

"जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग" विषय पर ट्यूटोरियल

मैनुअल में दो प्रयोगशाला कार्य शामिल हैं, जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की मूल बातें के साथ चिकित्सक छात्रों को परिचित करते हुए, उनमें से एक (दो वर्ग) गणित के कंप्यूटर बीजगणित में लागू किया गया है। पहले काम में, "कार्डियोवैस्कुलर सिस्टम के कामकाज का मॉडलिंग" जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग को मानता है, जिसमें कार्डियोवैस्कुलर सिस्टम के कामकाज के मॉडल शामिल हैं। एक व्यवस्थित दृष्टिकोण को जटिल वस्तुओं के कामकाज के मॉडलिंग में माना जाता है, जैविक वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों की प्रणालियों के सिद्धांतों के साथ-साथ स्थिर और अस्थिर राज्यों, विभाजन, oscillators, प्रक्रियाओं के सिंक्रनाइज़ेशन जैसे अवधारणाओं। कार्य के व्यावहारिक हिस्से में बाकी पर रक्त परिसंचरण के पैरामीटर की गणना के लिए एक एल्गोरिदम होता है और उनके सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए प्रयोगात्मक डेटा और विधियों के अनुसार लोड करने के बाद। कंप्यूटर मॉडलिंग से जुड़े दूसरी नौकरी में, उपयोगकर्ता इंटरफ़ेस का विवरण, मैथकैड सिस्टम की इनपुट भाषा, मुख्य गणना विधियां (अंकगणितीय अभिव्यक्तियों की गणना करने, डेरिवेटिव्स की खोज, इंटीग्रल, अंतर समीकरणों का समाधान और अंतर समीकरणों की प्रणालियों ), भवन ग्राफ की नींव, कुछ आंकड़े कार्य (औसत मूल्य की गणना, मानक विचलन, रैखिक प्रतिगमन समीकरण और सहसंबंध गुणांक ढूंढना)।

सभी संकायों के चिकित्सा उच्च शैक्षिक संस्थानों के पहले वर्ष के छात्रों के लिए।

समीक्षक:

चेनकेविच एस एन,

प्रोफेसर, डी बीएन, बेल्जोसुनिवर्सिटा के भौतिकी संकाय के बायोफिजिक्स विभाग के प्रमुख,

Asenchik O. D.

के.एफ.एम.एन., गोमेल राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय की सूचना प्रौद्योगिकियों विभाग के प्रमुख। पी ओ ड्राईह।

एक ट्यूटोरियल के रूप में संस्थान की वैज्ञानिक और पद्धति परिषद द्वारा अनुमोदित _____________ 2003, इस विषय पर प्रोटोकॉल संख्या ____: "जैविक प्रक्रियाओं का गणितीय मॉडलिंग"

ओ गोमेल स्टेट मेडिकल इंस्टिट्यूट, 2003

विषय: जैविक गणितीय मॉडलिंग

प्रक्रियाओं

प्रयोगशाला कार्य 1।

जैविक प्रक्रियाओं का गणितीय मॉडलिंग।

कार्डियोवैस्कुलर फंक्शनिंग

प्रणाली

कक्षाएं समय - 135 मिनट।

उद्देश्य: कार्डियोवैस्कुलर सिस्टम के आधुनिक मॉडल का पता लगाने के लिए और जटिल जैविक वस्तुओं के व्यवहार की विशेषता विशेषताओं की स्थिति और पहचान की पहचान करने के लिए मॉडलिंग विधि के उपयोग की प्रभावशीलता दिखाएं।

1.1। प्रश्न सिद्धांत

1.1.1. जैविक प्रक्रियाओं का गणितीय मॉडलिंग। जटिल प्रणालियों के बायोफिजिक्स।

कार्डियोवैस्कुलर सिस्टम समेत एक जटिल जैविक प्रणाली का कामकाज, इसके तत्वों और प्रक्रियाओं के घटकों की बातचीत का परिणाम है। यह ध्यान में रखना चाहिए कि आंदोलन प्रकारों के ऊपरी पदानुक्रम के सामान्य सिद्धांत के अनुसार (यांत्रिक - भौतिक - रासायनिक - जैविक - सामाजिक), गति का जैविक रूप पूरी तरह से यांत्रिक, भौतिक या रासायनिक रूप में आंदोलन के रूप में कम नहीं किया जा सकता है , और जैविक प्रणालियों को आंदोलन के इन रूपों में से किसी एक के दृष्टिकोण से पूरी तरह से वर्णित नहीं किया जा सकता है। आंदोलन के ये रूप आंदोलन के जैविक रूप के मॉडल के रूप में कार्य कर सकते हैं, यानी, इसकी सरलीकृत छवियां हैं।

सिस्टम के पहले यांत्रिक, भौतिक या रासायनिक मॉडल के निर्माण का उपयोग करके एक जटिल जैविक प्रणाली की प्रक्रियाओं को विनियमित करने के लिए बुनियादी सिद्धांतों को जानने के लिए, और फिर अपने गणितीय मॉडल का निर्माण, यानी गणितीय कार्यों के इन मॉडलों का वर्णन करने वाले निष्कर्ष, समीकरणों सहित (गणितीय मॉडल बनाना)। पदानुक्रम का निचला स्तर मॉडल आसान है, वास्तविक प्रणाली के अधिक कारकों को विचार से बाहर रखा गया है।

सिमुलेशन एक विधि है जिसमें एक निश्चित जटिल वस्तु (प्रक्रिया, घटना) का अध्ययन अपने सरलीकृत एनालॉग मॉडल के अध्ययन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। शारीरिक, रसायन, जैविक और गणितीय मॉडल का व्यापक रूप से बायोफिजिक्स, जीवविज्ञान और चिकित्सा में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, जहाजों के अनुसार रक्त का प्रवाह पाइप (भौतिक मॉडल) पर तरल पदार्थ के आंदोलन द्वारा मॉडलिंग किया जाता है। जैविक मॉडल सरल जैविक वस्तुओं है जो प्रयोगात्मक शोध के लिए सुविधाजनक हैं, जिनका अध्ययन वास्तविक जटिल जैविक प्रणालियों के गुणों द्वारा किया जाता है। उदाहरण के लिए, तंत्रिका फाइबर कार्रवाई की क्षमता के घटनाओं और प्रसार के पैटर्न का अध्ययन जैविक मॉडल - विशाल स्क्विड एकोन पर किया गया था।

गणितीय मॉडल गणितीय वस्तुओं और उनके बीच संबंधों का संयोजन है, जो शोधकर्ताओं की रूचि रखने वाली वास्तविक वस्तु की गुणों और विशेषताओं को दर्शाता है। एक पर्याप्त गणितीय मॉडल केवल जटिल प्रक्रियाओं के तंत्र के बारे में विशिष्ट डेटा और विचारों की भागीदारी के साथ बनाया जा सकता है। निर्माण के बाद, गणितीय मॉडल अपने आंतरिक कानूनों में "रहता है", इसका ज्ञान आपको अध्ययन के तहत सिस्टम की विशिष्ट विशेषताओं की पहचान करने की अनुमति देता है (चित्र 1.1 में योजना देखें।)। सिमुलेशन परिणाम किसी भी प्रकृति की प्रक्रियाओं के प्रबंधन के लिए आधार हैं।

जैविक प्रणाली अनिवार्य रूप से बेहद जटिल संरचनात्मक और कार्यात्मक इकाइयां हैं।

अंजीर। 1.1। एक जैविक वस्तु मॉडलिंग में एक व्यवस्थित दृष्टिकोण की योजना।

अक्सर, जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल को अंतर या अंतर समीकरणों के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन अन्य प्रकार के मॉडल प्रतिनिधित्व भी संभव होते हैं। मॉडल के निर्माण के बाद, कार्य गणितीय कटौती या मशीन मॉडलिंग के तरीकों से अपनी संपत्तियों के अध्ययन में कम हो जाता है।

एक जटिल घटना का अध्ययन करते समय, कई वैकल्पिक मॉडल आमतौर पर पेश किए जाते हैं। ऑब्जेक्ट में इन मॉडलों के गुणात्मक अनुपालन की जांच करें। उदाहरण के लिए, मॉडल में स्थिर स्थिर राज्यों की उपस्थिति, oscillatory मोड के अस्तित्व की स्थापना। मॉडल, जो अध्ययन के तहत सिस्टम के लिए सबसे अच्छी तरह से प्रासंगिक है, को मुख्य के रूप में चुना जाता है। चयनित मॉडल अध्ययन के तहत विशिष्ट प्रणाली के संबंध में निर्दिष्ट है। प्रयोगात्मक डेटा के अनुसार पैरामीटर के संख्यात्मक मान सेट करें।

एक जटिल घटना के गणितीय मॉडल को खोजने की प्रक्रिया को चरणों में विभाजित किया जा सकता है, अनुक्रम और संबंध इस योजना को दर्शाता है और न ही अंजीर को दर्शाता है। 1.2।

अंजीर। 1. 2. गणितीय मॉडल का आरेख खोजें।

चरण 1 अध्ययन की जा रही वस्तु के अध्ययन पर डेटा के संग्रह से मेल खाता है।

चरण 2 पर, गुणवत्ता सुविधाओं के लिए संभावित वैकल्पिक मॉडल से बेस मॉडल (समीकरणों की प्रणाली) की पसंद की जाती है।

चरण 3 पर, मॉडल पैरामीटर की पहचान प्रयोगात्मक डेटा के अनुसार की जाती है।

चरण 4 पर, स्वतंत्र प्रयोगात्मक डेटा पर मॉडल का व्यवहार किया जाता है। इसके लिए, अतिरिक्त प्रयोगों को रखना अक्सर आवश्यक होता है।

यदि मॉडल में मॉडल "फिट नहीं" मॉडल को सत्यापित करने के लिए प्रयोगात्मक डेटा लिया जाता है, तो स्थिति का विश्लेषण करने और अन्य मॉडलों को आगे बढ़ाने के लिए आवश्यक है, इन नए मॉडल के गुणों की जांच करें, और उसके बाद प्रयोग करें जो निष्कर्ष निकालने के लिए संभव बनाते हैं उनमें से एक की वरीयता के बारे में (चरण 5)।

आधुनिक जीवविज्ञान का व्यापक रूप से गणितीय और कंप्यूटर विधियों द्वारा उपयोग किया जाता है। गणितीय विधियों के उपयोग के बिना, मानव जीनोम के रूप में ऐसी वैश्विक परियोजनाओं को लागू करना असंभव होगा, जटिल बायोमैकोमोल्यूल्स, रिमोट डायग्नोस्टिक्स, नई प्रभावी दवाओं के कंप्यूटर सिमुलेशन ("ड्रैग-डिज़ाइन") की स्थानिक संरचना को समझना, रोकने के उपायों को रोकने के लिए योजना बनाना असंभव होगा महामारी, औद्योगिक कार्य वस्तुओं, जैव प्रौद्योगिकी और बहुत कुछ के पर्यावरणीय परिणामों का विश्लेषण।

हाल के दशकों में जीवविज्ञान में गणितीय तरीकों का तेज़ परिचय मुख्य रूप से जैविक अनुसंधान के प्रयोगात्मक भौतिक विज्ञानिक तरीकों के विकास के कारण है। एक्स-रे संरचनात्मक और स्पेक्ट्रोस्कोपिक (एनएमआर, ईपीआर) विधियों, प्रयोगात्मक परिणामों की गणितीय प्रसंस्करण के बिना डीएनए अनुक्रम का विश्लेषण असंभव है।

दूसरी तरफ, गणितीय तरीकों का उपयोग कई जैविक प्रक्रियाओं के अंतर्गत कानूनों की समझ में योगदान दिया। अनुशंसित साहित्य में कई उदाहरण दिए गए हैं। उनमें से जनसंख्या संख्या में चक्रीय उतार-चढ़ाव के गुण हैं, प्रतिस्पर्धी प्रजातियों के लिए स्थूल प्रतिस्पर्धी बहिष्कार के सिद्धांत, गणितीय महामारी विज्ञान में दहलीज प्रमेय, तंत्रिका आवेग के प्रसार के लिए शर्तें, विभिन्न प्रकार के ऑटोवेव की घटना के लिए शर्तें सक्रिय ऊतकों में विशेष रूप से दिल की मांसपेशियों और कई अन्य लोगों में प्रक्रियाएं।

जैविक उद्देश्यों ने नए गणितीय सिद्धांतों के निर्माण की शुरुआत की जो गणित को समृद्ध करते हैं। पीसा (13 वीं शताब्दी) से लियोनार्डो खरगोशों की आबादी का पहला ज्ञात गणितीय मॉडल फाइबोनैकी की एक श्रृंखला है। बाद में नए गणितीय प्रोडक्शंस के उदाहरण जन्म और मृत्यु, प्रसार प्रक्रियाओं, निजी डेरिवेटिव के साथ समीकरणों में क्रॉस-प्रसार के साथ सिस्टम, हस्तांतरण समीकरणों के लिए नए प्रकार की सीमा मूल्य समस्याओं, विकासवादी गेम सिद्धांत, प्रतिकृति समीकरण प्रदान करते हैं। आधुनिक आंकड़ों की नींव आर फिशर द्वारा रखी गई, जिन्होंने जैविक समस्याओं का भी अध्ययन किया।

जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल

जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल को समर्पित पहला व्यवस्थित अध्ययन एडी से संबंधित है। ट्रे (1 910-19 20)। उनके मॉडल को महत्व नहीं मिला है। जैविक आबादी के आधुनिक गणितीय सिद्धांत के संस्थापक को इतालवी गणितज्ञ विटो वोल्टेरा माना जाता है, जिसने जैविक समुदायों का गणितीय सिद्धांत विकसित किया, जो अंतर और अभिन्न-विभेदक समीकरणों के रूप में कार्य करता है। (विटो वोल्टेरा। Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie। पेरिस, 1 9 31)। निम्नलिखित दशकों में, जनसंख्या गतिशीलता विकसित हुई, मुख्य रूप से इस पुस्तक में व्यक्त विचारों के अनुरूप। वी। वोल्टेरा के प्रकार (1 9 28) के प्रकार (1 9 28) के सह-अस्तित्व के सबसे प्रसिद्ध "जैविक मॉडल" का मालिक है, जो ऑसीलेशन के सिद्धांत पर सभी पाठ्यपुस्तकों में शामिल है। वोल्टेरा बुक का रूसी अनुवाद 1 9 76 में प्रकाशित हुआ था: "अस्तित्व के लिए संघर्ष का गणितीय सिद्धांत" संपादित और बाद के बाद के yu.m.virezhev के साथ, जहां 1 9 31-19 76 की अवधि में गणितीय पारिस्थितिकी के विकास का इतिहास माना जाता है। 20 वीं शताब्दी के चालीसियों से शुरू होने से, गणितीय मॉडल ने एक टिकाऊ स्थान पर कब्जा कर लिया: मोनो (1 9 42), नोविका और सजीलार्ड (1 9 50) के कार्यों ने सिंगल-सेल जीवों के विकास के पैटर्न का वर्णन करने की अनुमति दी।

जैविक प्रणालियों का काम गणितीय मॉडल के विकास के लिए मौलिक है, एलन ट्यूरिंग का काम, "मॉर्फोजेनेसिस के रासायनिक अड्डों" (ट्यूरिंग, 1 9 52) ने वितरित जैविक प्रणालियों को मॉडलिंग के लिए एक गतिशील दृष्टिकोण की नींव रखी। यह पहले स्थिर और असंगत संरचनाओं के सक्रिय गतिशील वातावरण में अस्तित्व की संभावना दिखाता है। इस काम में प्राप्त मौलिक परिणामों ने पशु स्किन्स (मरे 1 99 3; मुरे, 200 9), गोले (मेइनहार्ट 1 99 5), समुद्री सितारों और अन्य जीवित जीवों के निर्माण का वर्णन करने वाले मॉर्फोजेनेसिस के कई मॉडलों के आधार का आधार बनाया है।

गणितीय मॉडल ने तंत्रिका आवेग पैदा करने के लिए तंत्र के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। ए। होडकिन और ई। हक्सले, एक प्रयोगात्मक अध्ययन के साथ, झिल्ली के माध्यम से आयन परिवहन की प्रक्रियाओं और झिल्ली के साथ संभावित नाड़ी के पारित होने का प्रस्ताव एक मॉडल का प्रस्ताव दिया। ब्रिटिश वैज्ञानिकों के काम से 1 9 63 के नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था (सर जॉन ईकेएलएस, ऑस्ट्रेलिया के साथ)।

एक उत्तेजक माहौल के स्वयंसिद्ध मॉडल की मदद से कार्डियक एराइथेमिया की तंत्र का एक स्पष्टीकरण एन वीनर और ए रोसेनब्लट (वीनर और रोसेनब्लूथ 1 9 46) के पहले काम के लिए समर्पित था। रूसी अनुवाद पुस्तक में प्रकाशित किया गया है: साइबरनेटिक संग्रह। M..3। एम। आईएल, 1 9 61. एक सामान्य रूप में, सोवियत वैज्ञानिकों द्वारा गेलफैंड और जेटलिन (गेलफैंड एट अल।, 1 9 63; गेलफैंड, और अन्य, 1 9 66), और फिर सेलुलर मॉडल पर अन्य लेखकों द्वारा समान विचार विकसित किए गए थे। मॉडल बनाने के दौरान, इसे ध्यान में रखा गया था कि जैविक वस्तुओं में उत्तेजना की घटना और वितरण की प्रक्रिया, विशेष रूप से, तंत्रिका ऊतकों में कई स्पष्ट रूप से स्पष्ट गुण होते हैं, जिनसे आप इस घटना का औपचारिक मॉडल बना सकते हैं।

रूसी वैज्ञानिक स्कूल

रूसी वैज्ञानिक स्कूलों ने गणितीय जीवविज्ञान के विकास में एक बड़ा योगदान दिया है। एएन कोल्मोगोरोव, आई.जी. पेट्रोव्स्की, एनएस 1 9 37 में पिस्कुनोव, काम में "पदार्थ में वृद्धि से जुड़े प्रसार समीकरण की जांच, और एक जैविक समस्या के लिए इसके आवेदन ने तरंग मोर्चे को स्थानांतरित करने की सीमित गति की समस्या को हल किया और सामने के सीमा रूप को निर्धारित किया। यह काम क्लासिक हो गया है और विभिन्न प्रकृति की प्रणालियों में ऑटोवेव घटना के सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक अध्ययन के विकास की शुरुआत की शुरुआत की है।

रूसी बायोफिजिक्स वी.आई. क्रिंस्की, जीआर इवानिट्स्की एट अल। शानदार काम की एक श्रृंखला से संबंधित है, जिसने एक प्रयोगात्मक अध्ययन की शुरुआत और उत्तेजना ऊतकों (इवानिट्स्की, क्रिएंस, सेल्क "के सैद्धांतिक विवरण की शुरुआत की। कोशिकाओं के गणितीय बायोफिजिक्स। 1 9 78)। वर्तमान में, दिल की मांसपेशियों में घबराहट और लहरों के वितरण की प्रक्रियाओं के अध्ययन और कंप्यूटर मॉडलिंग के लिए दिशा तीव्रता से विकासशील है। इस क्षेत्र में नवीनतम उपलब्धियां "कोशिकाओं और उप-सेलुलर नैनोस्ट्रक्चर" में प्रक्रियाओं के गतिशील मॉडल ", 2010 में प्रस्तुत की गई हैं। सबसे उन्नत मॉडल दिल की विद्युत और यांत्रिक रासायनिक प्रक्रियाओं, संरचनात्मक और ज्यामितीय विषमता के संयोजन को ध्यान में रखते हैं।

रूसी वैज्ञानिक बी.पी. बेलोसोव (बेलोसोव 1 9 5 9, 1 9 81) रासायनिक प्रतिक्रियाओं के एक वर्ग द्वारा खोला गया था, जो वर्तमान में ज्ञात सभी प्रकार के वितरित सिस्टम के व्यवहार के सभी प्रकारों का निरीक्षण करने की इजाजत देता था। सुबह विस्तार से कर्मचारियों के साथ Zhabotinsky इन प्रतिक्रियाओं के गुणों और उनके प्रवाह के लिए शर्तों की जांच की, उन्होंने मनाए गए घटना (Zhabotinsky, 1 9 75) के पहले गणितीय मॉडल का भी प्रस्ताव दिया। भविष्य में, बेलोसोव-झोबोटिंस्की प्रतिक्रिया (बीजेड प्रतिक्रिया), एक वितरित सिस्टम मॉडल के रूप में विभिन्न प्रकार के स्थानिक-अस्थायी संगठन का प्रदर्शन करते हुए, दुनिया के सैकड़ों प्रयोगशालाओं (क्षेत्र और बर्गर 1 9 88; वानग, 2008) में जांच की गई थी। बहने वाली प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए कई मॉडल विकसित किए गए थे, सबसे प्रसिद्ध "ओरेगोनेटर" मॉडल हैं, जो ओरेगन विश्वविद्यालय (क्षेत्र, कोरो एट अल। 1 9 72; क्षेत्र और नोयस 1 9 74) के शोधकर्ताओं द्वारा प्रस्तावित हैं। वैज्ञानिक सेंटर फॉर जैविक शोध जी। पुशचिनो (रोविंस्की और Zhabotinsky 1984) के शोधकर्ताओं द्वारा प्रस्तावित "प्रेसर" मॉडल।

रूसी वैज्ञानिकों ने गणितीय सिद्धांत के विकास में एक बड़ा योगदान दिया है। यह सबसे पहले, रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज (1 99 2 तक - रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के वैज्ञानिक कंप्यूटिंग सेंटर) के गणितीय समस्याओं के संस्थान के संग्रह का कार्य है - एएम मोलचानोवा के नेतृत्व में (एडी बिज़िकिन, एफएस बेरेज़ोवस्काया, एआई चिब्निक) और यू.एम.एसवीरेज़ेव के नेतृत्व के तहत रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के कम्प्यूटेशनल सेंटर के कर्मचारियों की टीम (डीओ, ए। तर्को, वी। डीज़ेवेकिन, डी। सरांसा, एनवी बेलोटेलोव, वी। पिस्चिक, वीवी शाकिन एट अल।)। 20 वीं शताब्दी के 70-80 वर्षों में, अकादमिक एनएन मिसिसीव के नेतृत्व में, रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के केंद्रीय बैंक में, वैश्विक और क्षेत्रीय मॉडलिंग पर काम किया गया था। यहां "परमाणु सर्दी" का प्रसिद्ध मॉडल बनाया गया था।

मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी के वैज्ञानिकों द्वारा ऊर्जा बनाने वाली झिल्ली में मॉडलिंग प्रक्रियाओं के लिए तरीकों के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया गया था। प्रकाश संश्लेषण की प्राथमिक प्रक्रियाओं के गतिशील मॉडल जैविक (एबी रूबिन, जी.यूयू रिज़निचेन्को, एनई बेलीवेवा) और भौतिक (ए। कुकुशकिन, एएन टिखोनोव, वी। करावेव, एस ए कुज़नेटोवा) द्वारा डिजाइन किए गए हैं। हाल के वर्षों में, मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के जैविक संकाय के बायोफिजिक्स विभाग में, सबसेल्यूलर सिस्टम (एब्रुबिन, जी। Yu.riznichenko में प्रक्रियाओं के प्रत्यक्ष बहु आवृत्ति कंप्यूटर सिमुलेशन की एक नई विधि विकसित करने के लिए कार्य सक्रिय रूप से चल रहा है। Ib Kovalenko। डीएम Deligin)

रूस के गणितीय जीवविज्ञान के गठन में एक बड़ी भूमिका लेखकों की टीम की टीम की वैज्ञानिक विकास और पुस्तकों द्वारा खेला गया था। रोमनोव्स्की, एनवी। स्टीफनोवा (मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी का भौतिक संकाय) और डीएस चेर्नवस्की (मियान): "बायोफिजिक्स में गणितीय मॉडल" एम, 1 9 76; "गणितीय बायोफिजिक्स" एम।, 1 9 84; "बायोफिजिक्स में गणितीय मॉडलिंग। सैद्धांतिक बायोफिजिक्स का परिचय »एम-इज़ेव्स्क, 2004. वे जैविक गतिशीलता, जीवविज्ञान में विकास और विकास के मॉडल, सेल आबादी के विकास मॉडल, वितरित गतिशील प्रणाली, जैविक गतिशीलता के सांख्यिकीय पहलुओं में ऑटोवेव्स की मूल बातें मानते हैं। यह दिशा फिजा (ए। पोरेज़हेव, वीआई वोल्कोव इत्यादि) में विकसित होती है।

संस्थान जहां जीवविज्ञान में गणितीय मॉडलिंग पर काम करते हैं

आधुनिक रूस में, जीवविज्ञान में गणितीय मॉडलिंग पर काम कर रहे कई शोध संस्थानों और विश्वविद्यालयों में किया जाता है। अग्रणी स्थानों में से एक पुष्चिनो में वैज्ञानिक केंद्र से संबंधित है, जहां 1 9 72 में रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज (निदेशक - एएम मोल्चनोव) का वैज्ञानिक कंप्यूटिंग सेंटर आयोजित किया गया था, जिसे 1 99 2 में जीवविज्ञान आरएएस की गणितीय समस्याओं के लिए संस्थान की स्थिति मिली थी । इम्फिबा के वर्तमान निदेशक वी.डी. लखनो हैं, जो गणितीय जीवविज्ञान और जैव सूचना विज्ञान में रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज की वैज्ञानिक परिषद के अध्यक्ष भी हैं। आईएमबी आरएएस इस मुद्दे पर एक प्रमुख वैज्ञानिक संस्थान है और इलेक्ट्रॉनिक पत्रिका "गणितीय जीवविज्ञान और जैव सूचना विज्ञान" जारी करता है

रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के पुष्पिन वैज्ञानिक केंद्र के अन्य संस्थानों में जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग पर भी आयोजित किया जाता है: रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के बायोफिजिक्स कोशिकाओं संस्थान। निदेशक - सीएचएल-कोर। आरएएस ई.ई.एफशेन्को (मुख्य रूप से बायोमाकोमोलेक्यूलिस में प्रक्रियाओं के आणविक गतिशील और क्वांटम-मैकेनिकल मॉडलिंग) और रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक बायोफिजिक्स संस्थान, निदेशक - कोर। रस g.r.ivanitsky (सक्रिय वातावरण में स्व-संगठन प्रक्रियाओं का मॉडलिंग, जीवित कोशिकाओं और बायोपॉलिमर्स में busholnovna)।

वैज्ञानिक स्कूल ऑफ अकादमिक जी और मार्चुक में, मॉडलिंग विधियां सक्रिय रूप से दवा के संबंध में विकासशील हो रही हैं, विशेष रूप से, प्रतिरक्षा के मॉडल और महामारी के प्रसार विकसित किए जा रहे हैं।

गणितीय मॉडल का उपयोग करके जैविक प्रणालियों का अध्ययन बायोफिजिक्स एसबी आरएएस (क्रास्नोयार्स्क, आरएएस (नोवोसिबिर्स्क, रास (नोवोसिबिर्स्क) के विश्वविद्यालयों में, मॉस्को भौतिकी के विश्वविद्यालयों में, मास्को भौतिकी के विश्वविद्यालयों में, नोवोसिबिर्स्क, रासिटोव, रोस्तोव-ऑन-डॉन, यारोस्लाव, प्रौद्योगिकी राज्य विश्वविद्यालय, राष्ट्रीय शोध परमाणु विश्वविद्यालय "miphy" और अन्य में।

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में जीवविज्ञान में गणितीय मॉडलिंग पर कार्य सक्रिय रूप से जैविक संकाय (प्राथमिक प्रकाश संश्लेषण प्रक्रियाओं के मॉडल और उप-सेलुलर और सेलुलर सिस्टम, प्रोटीन और बायोमेब्रेंस की आणविक गतिशीलता), मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के भौतिक संकाय) में आयोजित किया जाता है), मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी (आणविक मशीन मॉडल) ), गणित और साइबरनेटिक्स कंप्यूटिंग संकाय (जनसंख्या गतिशीलता, गणितीय पारिस्थितिकी, विकासवादी मॉडल, नियंत्रण मॉडल), यांत्रिकी और गणितीय संकाय (वेस्टिबुलर मशीन मॉडल, संयंत्र समुदायों का मॉडल)।

पत्रिकाएं

जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल पर लेख नियमित रूप से पत्रिकाओं में प्रकाशित होते हैं:

• बायोफिजिक्स (एम।, 1 9 56 -),
• "बुलेटिन ऑफ मैथमैटिकल बायोफिजिक्स" (1 9 3 9 -1972); "बुलेटिन गणितीय जीवविज्ञान" (1 9 72-); सैद्धांतिक जीवविज्ञान का जर्नल (1 9 61 -),
• जर्नल ऑफ मैथमैटिकल बायोलॉजी (1 9 74-);
• पारिस्थितिकीय मॉडलिंग (1 9 75-),
• कंप्यूटर रिसर्च एंड मॉडलिंग (200 9 -)।

मैथमैटिकल मॉडलिंग पर अलग-अलग लेख पत्रिकाओं में भी मुद्रित होते हैं:

• भौतिक विज्ञान की सफलता (1 9 18 -)
• वेस्टनिक मास्को विश्वविद्यालय
• बायोसिस्टम (1 9 67)
• जर्नल ऑफ बायोलॉजिकल सिस्टम्स (1 99 3)
• चिकित्सा में कम्प्यूटेशनल और गणितीय तरीके (1 99 7)
• गणितीय बायोसाइंसेस (1 9 67)
• गणितीय बायोसाइंसेस और इंजीनियरिंग
• पीएनएएस (1 9 15)
• विज्ञान पत्रिका (1880)
• पत्रिका प्रकृति (1869)
• एक्टा बायोथोरिटिका (1 9 35)
• सैद्धांतिक जीवविज्ञान पर टिप्पणियाँ
• रिवाइस्टा डी बायोलॉजिया / बायोलॉजी फोरम (1 99 6)
• सिस्टम नटुरा / अन्नाली डी बायोलॉजिया टोरिका (1 99 8)
• सैद्धांतिक और लागू जेनेटिक्स (1 9 2 9)
• सैद्धांतिक चिकित्सा और बायोएथिक्स (1 9 80)
• सैद्धांतिक जनसंख्या जीवविज्ञान ()
• बायोसाइंसेस / थियोरी इन डेन BiowissensChaften में सिद्धांत
• प्राकृतिक घटना का गणितीय मॉडलिंग (2006)

संस्करण

बायोलॉजीज में गणितीय मॉडलिंग पर किताबें बायोफिजिक्स श्रृंखला में पीसीडी-आईकी पब्लिशिंग हाउस द्वारा प्रकाशित की जाती हैं। गणितीय जीवविज्ञान, "विज्ञान, यूआरएसएस और वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य के अन्य प्रकाशक।

Ivanitsky जीआर, Krinskaya v.i., सेल्कोव ई। गणितीय बायोफिजिक्स कोशिकाएं। विज्ञान, 1 9 78।

मरे डी गणितीय जीवविज्ञान। वॉल्यूम 1. परिचय। ईडी। आईकेआई-आरएचडी, एम-इज़ेव्स्क, 200 9

Matlev, v.d., पंचेंको एलए।, Risnichenko G.Yu., तेरेखिन एटी। उच्च गणित और जीवविज्ञान के लिए इसके आवेदन। संभावना और गणितीय आंकड़ों का सिद्धांत। गणितीय मॉडल। अकादमी। एम।, 200 9।

Risnichenko G.Yu. जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल पर व्याख्यान। ईडी। आरएचडी, एम-इज़ेव्स्क, 2003।

Risnichenko G.U., रूबिन एबी उत्पादन प्रक्रियाओं की बायोफिजिकल गतिशीलता। ईडी। आईकेआई-आरएचडी, एम-इज़ेव्स्क, 2004

Romanovsky Yu.M., Stepanova N.V., चेर्नव्स्की डीएस बायोफिजिक्स में गणितीय मॉडलिंग। ईडी। आईकेआई-आरएचडी, 2004

रूबिन एबी बायोफिजिक्स। टी। आई एम।, 2004. टी 2. एम।, 2004 (एड। 3)

स्विंगज़ेव यू.एम., Logohet D.O. जैविक समुदायों की स्थिरता। एम, विज्ञान। 1978।

स्विंगज़ेव यू.एम. Nonlinear लहरें। पारिस्थितिकी में अपव्यय संरचनाएं और आपदाएं। एम, विज्ञान, 1 9 87

स्मरनोवा ओ.ए. विकिरण और स्तनधारी जीव: मॉडल दृष्टिकोण। ईडी। आरएचडी, एम-इज़ेव्स्क, 2006

व्याख्यान का कोर्स "जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल"

यह एमोसो स्टेट यूनिवर्सिटी के स्नातक के स्नातक के प्रशिक्षण के दूसरे वर्ष के छात्रों के लिए एमओस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के छात्रों के लिए पढ़ा जाता है। वी। लोमोनोसोव के नाम पर। व्याख्यान के साथ समानांतर में, सेमिनार (प्रैक्टिकल क्लासेस) आयोजित किए जाते हैं, जिसके दौरान छात्र व्याख्यान पर प्राप्त ज्ञान को प्राप्त करते हैं और गणितीय मॉडल का विश्लेषण करने और कंप्यूटिंग प्रयोगों का संचालन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सॉफ़्टवेयर से परिचित होते हैं। पाठ्यक्रम पारित करने के बाद, छात्र परीक्षा उत्तीर्ण करते हैं। पाठ्यक्रम में 2 शैक्षणिक घंटों में 14 व्याख्यान शामिल हैं।

• पाठयपुस्तक Risnichenko जी यू। जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल पर व्याख्यान (एड। 2, प्रतिलिपि। और इसके अलावा।) प्रकाशन हाउस आरसीडी, 2011 560 पी। आईएसबीएन 978-5-93972-847-8। पिछला संस्करण (बहुत अधिक छोटा!) लिंक के लिए इंटरनेट पर मुफ्त पहुंच में है http://www.library.biophys.msu.ru/lectmb/
• पाठयपुस्तक Matlev, v.d., पंचेंको एलए।, Risnichenko G.Yu., तेरेखिन एटी। संभावना और गणितीय आंकड़ों का सिद्धांत। गणितीय मॉडल (एड। 2, प्रतिलिपि। और अतिरिक्त।) एम।: प्रकाशन हाउस युगरिट, 2018. - 321 पी। - (श्रृंखला: रूस के विश्वविद्यालय)। - आईएसबीएन 978-5-534-01698-7।
• ट्यूटोरियल Plusinina t.ya., फरोवा पी वी।, टॉर्लोवा एल डी, रिस्नीचेन्को जी यू। जीवविज्ञान में गणितीय मॉडल (एड। 2-ई अतिरिक्त। ट्यूटोरियल एम-इज़ेव्स्क: एनआईसी: "नियमित और अराजक गतिशीलता", 2014. 136 पी। आईएसबीएन: 978-5-4344-0224-8) - इलेक्ट्रॉनिक संस्करण
• शिक्षकों को एक प्रश्न पूछें जो आप कर सकते हैं वेब।-मंच
• आप शिक्षक का उपयोग करके व्याख्यान प्रश्नों के उत्तर भेज सकते हैं वेब।-मंच। कृपया फोरम के नियम पढ़ें

व्याख्यान में पढ़ा जाएगा बिग जैविक दर्शक (बीबीए, द्वितीय तल) 7 सितंबर से 21 दिसंबर, 2018 तक मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी के जैविक संकाय 13 से शुक्रवार को 13 से 40 .

जो लोग बीमारी व्याख्यान नियंत्रण या इलेक्ट्रॉनिक परीक्षण को याद करते हैं, वे उन्हें 24 दिसंबर, 2018 को 15.35 और 17.10 पर लिख सकते हैं।

भाग 1. परिचय। मॉडल की अवधारणा। वस्तुओं, उद्देश्यों और मॉडलिंग के तरीके। विभिन्न विज्ञान में मॉडल। कंप्यूटर और गणितीय मॉडल। जीवविज्ञान में पहले मॉडल का इतिहास। जैविक प्रक्रिया मॉडल का आधुनिक वर्गीकरण। प्रतिगमन, अनुकरण, उच्च गुणवत्ता वाले मॉडल। सिमुलेशन के सिद्धांत और मॉडल के उदाहरण। जीवित प्रणालियों के विशिष्टता मॉडलिंग।

• कार्यक्रम: डेटा और ज्ञान का एकीकरण। मॉडलिंग लक्ष्यों। मूल अवधारणा
• ट्यूटोरियल: परिचय (1 संस्करण से)
• परिचय (दूसरे प्रकाशन से)
• प्रस्तुति (डाउनलोड पीडीएफ)

भाग 2। । एक अंतर समीकरण के लिए अग्रणी मॉडल। एक स्वायत्त अंतर समीकरण को हल करने की अवधारणा। स्थिर राज्य (संतुलन की स्थिति)। संतुलन राज्य की स्थिरता। स्थायित्व का आकलन करने के तरीके।

• कार्यक्रम:
• ट्यूटोरियल: पहले आदेश के एक अलग समीकरण द्वारा वर्णित जैविक प्रणालियों के मॉडल
• प्रस्तुति (डाउनलोड)

निरंतर मॉडल: घातीय वृद्धि, रसद वृद्धि, एक छोटी सी महत्वपूर्ण संख्या के साथ मॉडल। मानव विकास का मॉडल। गैर-परिष्कृत पीढ़ियों के साथ मॉडल। विस्मित रसद समीकरण। चित्रा और सीढ़ी Lamerey। पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों पर समाधान के प्रकार: एकान्त और क्षय समाधान, चक्र, quasisthastic व्यवहार, संख्यात्मक प्रकोप। आबादी के मैट्रिक्स पैटर्न। देरी का प्रभाव। आबादी के संभाव्य पैटर्न।

• कार्यक्रम: एक स्वायत्त अंतर समीकरण द्वारा वर्णित मॉडल
• ट्यूटोरियल: पहले आदेश के एक अलग समीकरण द्वारा वर्णित जैविक प्रणालियों के मॉडल
• ट्यूटोरियल: आबादी के विकास मॉडल
• प्रस्तुति (डाउनलोड पीडीएफ)

21 सितंबर। व्याख्यान 3।। आबादी के विकास मॉडल।

भाग 1. जनसंख्या वृद्धि के मॉडल। आबादी के मैट्रिक्स पैटर्न। देरी का प्रभाव। आबादी के संभाव्य पैटर्न।

भाग 2. दो स्वायत्त विभेदक समीकरणों के सिस्टम द्वारा वर्णित मॉडल। चरण विमान। चरण पोर्ट्रेट। विधि Isoclin। मुख्य आइसोकlines। स्थिर स्थिति की स्थिरता। रैखिक प्रणाली। एकवचन बिंदु के प्रकार: नोड, सैडल, फोकस, केंद्र। उदाहरण: प्रथम क्रम रासायनिक प्रतिक्रियाएं।

• कार्यक्रम: दो स्वायत्त अंतर समीकरणों के सिस्टम द्वारा वर्णित मॉडल
• ट्यूटोरियल: दो स्वायत्त अंतर समीकरणों के सिस्टम द्वारा वर्णित मॉडल
• ट्यूटोरियल: Nonlinear द्वितीय क्रम प्रणाली के स्थिर राज्यों की स्थिरता की जांच
• प्रस्तुति: मैट्रिक्स आबादी (पीडीएफ डाउनलोड करें)
• प्रस्तुति: दो स्वायत्त विभेदक समीकरणों की प्रणालियों द्वारा वर्णित मॉडल (पीडीएफ डाउनलोड करें)

28 सितंबर। व्याख्यान 4।। Nonlinear द्वितीय क्रम प्रणाली के स्थिर राज्यों की स्थिरता की जांच

ट्रिगर दो टिकाऊ स्थिर राज्यों के साथ सिस्टम के उदाहरण। पावर और पैरामीट्रिक ट्रिगर स्विचिंग। क्रमागत उन्नति। दो में से एक और कई समान प्रजातियों का चयन। असीमित और सीमित विकास के मामले में दो प्रजातियों की प्रतियोगिता। जेनेटिक ट्रिगर जैकब और मोनो। गतिशील प्रणालियों का विभाजन। विभाजन के प्रकार। विभाजन आरेख और पोर्ट्रेट्स का चरण-परमिशन। आपदा।

• कार्यक्रम: बहु स्टेशन सिस्टम
• ट्यूटोरियल: बहुस्तरीकरण प्रणाली
• ट्यूटोरियल: तेज और धीमी चर की समस्या। Tikhonov प्रमेय। विभाजन के प्रकार। तबाही
• प्रस्तुति: स्थिरता और असीमित स्थिरता (पीडीएफ डाउनलोड करें)
• प्रस्तुति: जैविक ट्रिगर्स (पीडीएफ डाउनलोड करें)
• आपदाओं के सिद्धांत पर सामग्री:
  • अर्नोल्ड वी.आई. आपदा सिद्धांत // विज्ञान और जीवन, 1 9 8 9, № 10
  • अर्नोल्ड वी.आई. आपदाओं का सिद्धांत // गतिशील प्रणालियों - 5, विज्ञान और Tehn के परिणाम। Ser। समकालीन Probl। चटाई। फाउंडाम। दिशानिर्देश, 5, विनीति, एम।, 1 9 86, 21 9-277
  • अर्नोल्ड वी.आई. आपदा सिद्धांत। एम, विज्ञान, 1 99 0 - 128 पी।

आत्म-ऑसीलेशन की अवधारणा। चरण विमान पर एक ऑटो-ऑसीलेटिंग सिस्टम के व्यवहार की एक छवि। चक्रों को सीमित करें। सीमा चक्र के अस्तित्व के लिए शर्तें। सीमा चक्र का जन्म। एंड्रोनोवा बिफुरकेशन - होप। मुलायम और कठोर उत्तेजना oscillations। मॉडल ब्रसेल्टोर। लाइव सिस्टम में प्रक्रियाओं के स्व-ऑसीलेटर मॉडल के उदाहरण। अंधेरे प्रकाश संश्लेषण प्रक्रियाओं में oscillations। ग्लाइकोलिसिस मॉडल में ऑटोकलबानिया। कैल्शियम एकाग्रता के इंट्रासेल्यूलर ऑसीलेशन।

• कार्यक्रम:
• ट्यूटोरियल: जैविक प्रणालियों में उतार-चढ़ाव
• प्रस्तुति (डाउनलोड पीडीएफ)

गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत की मुख्य अवधारणाएं। सीमा सेट। आकर्षण। अजीब आकर्षण। गतिशील अराजकता। प्रक्षेपवक्र की स्थिरता का रैखिक विश्लेषण। अपव्यय प्रणाली। अराजक समाधान की स्थिरता। अजीब आकर्षणों का आयाम।

तीन प्रजातियों के समुदाय में स्थिर राज्यों और गतिशील तरीके। प्रजातियों की बातचीत के मॉडल में गतिशील अराजकता। पदार्थ की एक निश्चित मात्रा के साथ ट्रॉफिक सिस्टम। चार जैविक प्रजातियों की एक प्रणाली का मॉडल।

फ्रैक्टल और फ्रैक्टल आयाम। कोहा वक्र। त्रिकोण और नैपकिन सर्पिंस्की। कैंटोर सेट। कैंटोर्स रॉड, हालांकि सीढ़ी। लाइव सिस्टम में फ्रैक्टल सेट के उदाहरण। ताज के पेड़ों का गठन। एल्वोलि फेफड़े। माइटोकॉन्ड्रियल झिल्ली।

• कार्यक्रम: quasisthastic प्रक्रियाओं। गतिशील अराजकता
• पाठ्यपुस्तक:
• प्रस्तुति (डाउनलोड पीडीएफ)

2 नवंबर। व्याख्यान 9।। दो प्रकार की बातचीत के मॉडल। माइक्रोबियल आबादी का सिमुलेशन

वोल्टेरा परिकल्पना। रासायनिक किनेटिक्स के साथ अनुरूपता। Volterrov मॉडल इंटरैक्शन। इंटरैक्शन के प्रकारों का वर्गीकरण। प्रतियोगिता। शिकारी बलिदान। प्रजातियों की बातचीत के सामान्यीकृत मॉडल। मॉडल कोल्मोगोरोव। दो प्रकार की कीड़े मैकआर्थर की बातचीत का मॉडल। मूल प्रणाली के पैरामीट्रिक और चरण पोर्ट्रेट।

• कार्यक्रम: प्रजातियों की बातचीत के मॉडल
• कार्यक्रम: माइक्रोबायोलॉजी में मॉडल
• ट्यूटोरियल: दो प्रकार की बातचीत के मॉडल
• ट्यूटोरियल: गतिशील अराजकता। जैविक समुदायों के मॉडल
• प्रस्तुति (डाउनलोड पीडीएफ)

समीकरण प्रतिक्रिया-प्रसार। क्यों आवधिक संरचनाएं और तरंगें होती हैं। लाइव सिस्टम में सक्रिय गतिशील वातावरण। गठन की समस्या। उत्तेजना तरंगों का वितरण। रासायनिक और जैव रासायनिक प्रतिक्रियाओं में स्थानिक संरचनाएं और ऑटोवेव प्रक्रियाएं।

प्रसार समीकरण। प्राथमिक और सीमा की स्थिति। प्रसार समीकरण हल करना। शून्य सीमा की स्थिति के साथ एक सजातीय प्रसार समीकरण को हल करना। चर के अलगाव की विधि। आक्रमण-लियूविले कार्य के स्वयं के मूल्य और अपने कार्य। शून्य प्रारंभिक स्थितियों के साथ एक अमानवीय समीकरण का समाधान। एक सामान्य सीमा मूल्य समस्या को हल करना। एक एकल प्रतिक्रिया प्रकार समीकरण के सजातीय स्थिर समाधान की स्थिरता का रैखिक विश्लेषण।

• कार्यक्रम:
• पाठ्यपुस्तक:
• पाठ्यपुस्तक:
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16 नवंबर। व्याख्यान 11।। वितरित जैविक प्रणाली। वितरित ट्रिगर्स और morphogenesis। रंग मॉडल पशु खाल

प्रसार प्रतिक्रिया के प्रकार के दो समीकरणों की एक प्रणाली के सजातीय स्थिर समाधान की स्थिरता। Duspative संरचनाएं। एक सजातीय स्थिर स्थिति की स्थिरता का रैखिक विश्लेषण। तरंग संख्या से अस्थिरता के प्रकार की निर्भरता। ट्यूरिंग अस्थिरता। वितरित ब्रसेसेल के सजातीय स्थिर स्थिति की स्थिरता का रैखिक विश्लेषण। अस्थिरता की दहलीज के पास duspative संरचनाएं। स्थानीयकृत अपव्यय संरचनाएं। इलेक्ट्रोडफ्यूजन प्रतिक्रिया प्रणाली का रैखिक विश्लेषण। स्पेस-टाइम मोड के प्रकार।

वितरित ट्रिगर्स और morphogenesis। मॉडल जानवरों की खाल रंग। भेदभाव और morphogenesis। प्रसार के साथ जेनेटिक ट्रिगर का मॉडल (चेर्नव्स्की एट अल।)। एक सजातीय स्थिर स्थिति की स्थिरता का अध्ययन। आनुवांशिक ट्रिगर, सब्सट्रेट्स के प्रसार को ध्यान में रखते हुए। मॉडल गिररा-मिनरैंड गिररा। सिमुलेशन रंग पशु खाल। मॉडल एकत्रीकरण Ameb।

• कार्यक्रम: लाइव सिस्टम और सक्रिय गतिशील वातावरण
• ट्यूटोरियल: वितरित जैविक प्रणाली। प्रसार समीकरण
• ट्यूटोरियल: प्रसार समीकरण को हल करना। सजातीय स्थिर राज्यों की स्थिरता
• ट्यूटोरियल: प्रसार प्रणालियों में एकाग्रता लहर का वितरण
• प्रस्तुति (डाउनलोड पीडीएफ)

23 नवंबर। व्याख्यान 12।। दालों, मोर्चों और लहरों का वितरण। तंत्रिका आवेग के प्रसार के मॉडल। ऑटोमोलॉजिकल प्रक्रियाएं और दिल एरिथमियास

दालों, मोर्चों और लहरों का वितरण। मॉडल पेट्रोव्स्की-कोल्मोगोरोव-पिस्कुनोवा-फिशर की लहर के सामने फैल रहा है। प्रजनन और प्रसार प्रक्रियाओं की बातचीत। स्थानीय प्रजनन कार्य। स्वचालित चर। एम्ब्रोसिसियन पत्ती का वितरण।

तंत्रिका आवेग के प्रसार के मॉडल। ऑटोमोलॉजिकल प्रक्रियाएं और दिल एरिथमियास। तंत्रिका आवेग का प्रचार। प्रयोग और मॉडल हेर्ककुन-हक्सले। कम मॉडल फिट्ज़ू-नागुमो। स्थानीय प्रणाली का उत्साहजनक तत्व। विषय और आउटगोइंग उत्तेजना। दालें चल रही हैं। कार्डोसाइट्स के विस्तृत मॉडल। उत्तेजक वातावरण के स्वय्यक्त मॉडल। ऑटोमोलॉजिकल प्रक्रियाएं और दिल एरिथमियास।

• कार्यक्रम: लाइव सिस्टम और सक्रिय गतिशील वातावरण
• कार्यक्रम: प्रजातियों की बातचीत के मॉडल
• कार्यक्रम: माइक्रोबायोलॉजी में मॉडल
• ट्यूटोरियल: वितरित जैविक प्रणाली। प्रसार समीकरण
• ट्यूटोरियल: प्रसार समीकरण को हल करना। सजातीय स्थिर राज्यों की स्थिरता
• पाठ्यपुस्तक:

इस पाठ्यपुस्तक में, जैव भौतिक प्रक्रियाओं का विश्लेषण करने के लिए मुख्य आधुनिक गणितीय मॉडल, पारिस्थितिकी में रहने वाले सिस्टम का अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व किया जाता है। पुस्तक में तीन खंड होते हैं जो बायोफिजिक्स, आबादी और पारिस्थितिकी की गतिशीलता में बुनियादी मॉडल का वर्णन करते हैं, और संबंधित वर्णनात्मक उदाहरण दिए जाते हैं, गणना विधियां और सांख्यिकीय डेटा प्रस्तुत किए जाते हैं। फिलहाल, कुछ सांख्यिकीय डेटा पुराने हैं। हालांकि, यह जैविक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग के साथ सीखने की प्रक्रिया को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करता है, और किए गए परिवर्तनों को शिक्षकों द्वारा ध्यान में रखा जा सकता है।

चरण 1. निर्देशिका में किताबें चुनें और "खरीदें" बटन पर क्लिक करें;

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   • ऑनलाइन बैंकिंग: भुगतान सेवा के साथ सहयोग करने वाले बैंक अपने फॉर्म भरने के लिए पेशकश करेंगे। हम निश्चित रूप से सभी क्षेत्रों में डेटा दर्ज करते हैं।
     उदाहरण के लिए, के लिए "कक्षा \u003d" पाठ-प्राथमिक "\u003e सबरबैंक ऑनलाइन मोबाइल फोन नंबर और ईमेल चाहता था। के लिये "कक्षा \u003d" पाठ-प्राथमिक "\u003e अल्फा बैंक आपको अल्फा स्वच्छ सेवा और ईमेल में लॉगिन की आवश्यकता होगी।
   • इलेक्ट्रॉनिक वॉलेट: यदि आपके पास एक यांडेक्स-वॉलेट या क्यूई वॉलेट है, तो आप उनके माध्यम से आदेश के लिए भुगतान कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, उचित भुगतान विधि का चयन करें और प्रस्तावित फ़ील्ड भरें, फिर सिस्टम आपको चालान की पुष्टि करने के लिए पृष्ठ पर रीडायरेक्ट करेगा।