डिग्री के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान। सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान

कई को हल करते समय गणितीय कार्यविशेष रूप से उन लोगों को 10 वर्ग तक सामना करना पड़ा, किए गए कार्यों की प्रक्रिया, जो लक्ष्य का नेतृत्व करेगी, निश्चित रूप से परिभाषित की गई है। इस तरह के उद्देश्यों में, उदाहरण के लिए, रैखिक और वर्ग समीकरण, रैखिक और वर्ग असमानताओं, आंशिक समीकरणों और समीकरणों को शामिल किया गया है जो वर्ग में कम हो जाते हैं। प्रत्येक उल्लिखित कार्यों के सफल समाधान का सिद्धांत निम्नानुसार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि हल किए गए कार्य को कैसे सुलझाया गया कार्य है, जो वांछित परिणामों का नेतृत्व करेगा, यानी उत्तर, और इन कार्यों को निष्पादित करें।

यह स्पष्ट है कि एक या किसी अन्य कार्य को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि समीकरण के प्रकार को कैसे परिभाषित किया गया है कि इसके समाधान के सभी चरणों का अनुक्रम कितना सही है। बेशक, समान परिवर्तन और गणना करने के कौशल के लिए आवश्यक है।

अन्य स्थिति के साथ प्राप्त किया जाता है त्रिकोणमितीय समीकरण। इस तथ्य की स्थापना करें कि समीकरण त्रिकोणमितीय है, बिल्कुल मुश्किल नहीं है। कठिनाइयों के अनुक्रम को निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ दिखाई देती हैं जो सही उत्तर का नेतृत्व करेंगे।

समीकरण की उपस्थिति के अनुसार, कभी-कभी इसके प्रकार को निर्धारित करना मुश्किल होता है। और समीकरण के प्रकार को नहीं जानते, आवश्यक कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों से चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको कोशिश करनी चाहिए:

1. "समान कोनों" के समीकरण में शामिल सभी कार्यों को बनाएँ;
2. "समान कार्यों" के लिए एक समीकरण बनाएं;
3. फैक्ट्री समीकरण, आदि का बायां हिस्सा रखना

विचार करें त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को लाना

योजनाबद्ध समाधान

चरण 1। प्रसिद्ध घटकों के माध्यम से ट्रिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन एक्सप्रेस।

चरण दो। सूत्रों द्वारा एक तर्क समारोह खोजें:

कोस एक्स \u003d ए; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz।

पाप x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n є z।

tg x \u003d a; x \u003d arctg a + πn, n є z।

ctg x \u003d a; x \u003d arcctg a + πn, n є z।

चरण 3। एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 कॉस (3 एक्स - π / 4) \u003d -√2।

फेसला।

1) कॉस (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2।

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2π एन, एन є जेड;

3 एक्स - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2π एन, एन є जेड।

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2π एन, एन є जेड;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, एन є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z।

उत्तर: ± π / 4 + π / 12 + 2π एन / 3, एन є जेड।

द्वितीय। चर को बदलना

योजनाबद्ध समाधान

चरण 1। त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक के सापेक्ष बीजगणितीय रूप के लिए एक समीकरण बनाएं।

चरण दो। परिवर्तनीय टी (यदि आवश्यक हो, तो टी पर प्रतिबंध दर्ज करें) के परिणामस्वरूप फ़ंक्शन को नामित करें।

चरण 3। परिणामी बीजगणितीय समीकरण को रिकॉर्ड और हल करें।

चरण 4। एक प्रतिस्थापन करें।

चरण 5। सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0।

फेसला।

1) 2 (1 - पाप 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0।

2) पाप (x / 2) \u003d टी, कहाँ | टी | ≤ 1।

3) 2 टी 2 + 5 टी + 3 \u003d 0;

टी \u003d 1 या ई \u003d -3/2, इस स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है | टी | ≤ 1।

4) पाप (x / 2) \u003d 1।

5) एक्स / 2 \u003d π / 2 + 2π एन, एन є जेड;

x \u003d π + 4πn, n є z।

उत्तर: x \u003d π + 4πn, n є z।

तृतीय। समीकरण के क्रम को कम करने की विधि

योजनाबद्ध समाधान

चरण 1। इस रैखिक समीकरण को इसके लिए डिग्री कटौती सूत्र का उपयोग करके बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 · (1 - कॉस 2x);

कॉस 2 एक्स \u003d 1/2 · (1 + कॉस 2 एक्स);

टीजी 2 एक्स \u003d (1 - कॉस 2 एक्स) / (1 + कॉस 2 एक्स)।

चरण दो। विधियों I और II का उपयोग करके प्राप्त समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

कॉस 2 एक्स + कॉस 2 एक्स \u003d 5/4।

फेसला।

1) कॉस 2 एक्स + 1/2 · (1 + कॉस 2 एक्स) \u003d 5/4।

2) सीओएस 2 एक्स + 1/2 + 1/2 · सीओएस 2 एक्स \u003d 5/4;

3/2 · COS 2X \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2π एन, एन є जेड;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z।

उत्तर: एक्स \u003d ± π / 6 + π एन, एन є जेड।

Iv। समान समीकरण

योजनाबद्ध समाधान

चरण 1। इस समीकरण को फॉर्म में लाएं

a) एक पाप x + b cos x \u003d 0 (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण)

या देखने के लिए

बी) एक पाप 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दो। समीकरण के दोनों भागों को विभाजित करें

a) cos x ≠ 0;

बी) सीओएस 2 एक्स ≠ 0;

और टीजी एक्स के सापेक्ष समीकरण प्राप्त करें:

ए) एक टीजी एक्स + बी \u003d 0;

बी) एक टीजी 2 एक्स + बी आरसीटीजी एक्स + सी \u003d 0।

चरण 3। ज्ञात विधियों द्वारा समीकरण हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0।

फेसला।

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

पाप 2 x + 3sin x · cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0।

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 \u003d 0।

3) TG X \u003d T को तब दें

टी 2 + 3 टी - 4 \u003d 0;

टी \u003d 1 या टी \u003d -4, फिर

टीजी एक्स \u003d 1 या टीजी एक्स \u003d -4।

पहले समीकरण x \u003d π / 4 + πn, n є z से; दूसरे समीकरण x \u003d -arctg 4 + से πk, k є z।

उत्तर: एक्स \u003d π / 4 + π एन, एन є जेड; x \u003d -arctg 4 + πk, k є z।

वी। त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को परिवर्तित करने की विधि

योजनाबद्ध समाधान

चरण 1। त्रिकोणमितीय सूत्रों के सभी प्रकारों का उपयोग करके, इस समीकरण को समीकरण, हल करने के तरीके, ii, iii, iv के लिए नेतृत्व किया।

चरण दो। परिणामी समीकरण ज्ञात विधियों को हल करें।

उदाहरण।

पाप एक्स + पाप 2x + पाप 3x \u003d 0।

फेसला।

1) (पाप एक्स + पाप 3 एक्स) + पाप 2x \u003d 0;

2sin 2x · कॉस एक्स + पाप 2x \u003d 0।

2) पाप 2x · (2cos x + 1) \u003d 0;

पाप 2x \u003d 0 या 2cos x + 1 \u003d 0;

पहले समीकरण 2x \u003d π / 2 + πn, n є z से; दूसरे समीकरण कॉस एक्स \u003d -1/2 से।

हमारे पास x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z है; दूसरे समीकरण x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z से।

नतीजतन, x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; एक्स \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z।

उत्तर: एक्स \u003d π / 4 + π एन / 2, एन є जेड; एक्स \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए कौशल और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों द्वारा काफी प्रयासों की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ, स्टीरियोमेट्री, भौतिकी, और अन्य की कई चुनौतियां ऐसे कार्यों को हल करने की प्रक्रिया से जुड़ी हुई हैं, क्योंकि यह कई ज्ञान और कौशल का निष्कर्ष निकाला गया है, जो त्रिकोणमिति के तत्वों के अध्ययन में खरीदे जाते हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण पूरी तरह से गणित और व्यक्तित्व विकास सीखने की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा करते हैं।

कोई सवाल? ट्रिगोनोमेट्रिक समीकरणों को हल करने के बारे में नहीं जानते?
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सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान।

जटिलता के किसी भी स्तर के त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान अंततः सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाता है। और इस में सबसे अच्छा सहायक फिर से एक त्रिकोणमितीय सर्कल बन गया।

कोसाइन और साइनस की परिभाषा को याद करें।

कोण की कोसाइन किसी भी कोण पर घूर्णन के अनुरूप इकाई सर्कल पर बिंदु के एब्सिसा (यानी, अक्ष पर समन्वय) है।

कोण के साइनस को दिए गए कोण पर घूर्णन के अनुरूप इकाई सर्कल पर बिंदु के ordinate (यानी, समन्वय) कहा जाता है।

एक त्रिकोणमितीय सर्कल पर आंदोलन की एक सकारात्मक दिशा आंदोलन विपरीत है। 0 डिग्री (या 0 रेडियन) चालू करें निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाता है (1; 0)

हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए इन परिभाषाओं का उपयोग करते हैं।

1. समीकरण को हल करना

यह समीकरण घूर्णन के कोण के ऐसे सभी मूल्यों को संतुष्ट करता है जो सर्कल के बिंदुओं से मेल खाता है, जिसके बराबर होता है।

हम ऑर्डिनेट एक्सिस को ऑर्डिनेट के साथ इंगित करते हैं:

हम सर्कल के साथ चौराहे पर एब्सिसा अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा को पूरा करते हैं। हमें सर्कल पर झूठ बोलने और समन्वय करने वाले दो अंक प्राप्त होंगे। ये बिंदु रोटेशन और रेडियंस के कोणों के अनुरूप हैं:

यदि हम, रेडियन पर घूर्णन के कोण से संबंधित बिंदु से बाहर आते हैं, तो पूर्ण सर्कल मजदूरी करते हैं, फिर हम रैडियन पर घूर्णन के कोण के अनुरूप एक बिंदु पर आते हैं और एक ही समन्वय करते हैं। यही है, रोटेशन का यह कोने भी हमारे समीकरण को संतुष्ट करता है। हम एक ही बिंदु पर लौटते हुए, "निष्क्रिय" क्रांति कितनी कर सकते हैं, और ये सभी कोण हमारे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। "निष्क्रिय" क्रांति की संख्या पत्र (या) को इंगित करेगा। चूंकि हम इन संशोधनों को सकारात्मक और नकारात्मक दिशा में दोनों बना सकते हैं, (या) कोई पूर्णांक मान ले सकते हैं।

यही है, स्रोत समीकरण के समाधानों की पहली श्रृंखला में फॉर्म है:

, - कई पूर्णांक (1)

इसी प्रकार, समाधानों की दूसरी श्रृंखला में फॉर्म है:

कहां है,। (2)

जैसा कि आपने अनुमान लगाया है, सर्कल का बिंदु घूर्णन के कोण के अनुरूप समाधान की इस श्रृंखला पर आधारित है।

समाधानों की इन दो श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में जोड़ा जा सकता है:

यदि हम इस रिकॉर्ड में लेते हैं (यानी, यहां तक \u200b\u200bकि), तो हमें समाधान की पहली श्रृंखला मिल जाएगी।

यदि हम इस रिकॉर्ड में लेते हैं (यानी एक अजीब) है, तो हमें दूसरी श्रृंखलाएं मिलेंगी।

2. अब समीकरण हल करते हैं

चूंकि यह कोण को चालू करके प्राप्त एक सर्कल के बिंदु का एब्रिसा है, इसलिए हम एब्सिसा के साथ धुरी बिंदु पर ध्यान देते हैं:

हम सर्कल के साथ चौराहे पर धुरी के समानांतर लंबवत रेखा करते हैं। हमें सर्कल पर दो अंक मिलेगा और फरसिसा हो जाएगा। ये बिंदु रोटेशन और रेडियंस के कोणों के अनुरूप हैं। याद रखें कि घड़ी की दिशा में चलते समय, हमें घूर्णन का नकारात्मक कोण मिलता है:

हम समाधान की दो श्रृंखला लिखते हैं:

,

,

(हम वांछित बिंदु पर गिरते हैं, मुख्य पूर्ण सर्कल से गुजरते हैं, यानी।

हम इन दो श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में जोड़ते हैं:

3. समीकरण को हल करना

टेंगेंट की रेखा ओई अक्ष के समानांतर एक एकल सर्कल के समन्वय (1.0) के साथ एक बिंदु से गुजरती है

हम उस बिंदु पर ध्यान देते हैं, 1 के बराबर के समन्वय के साथ (हम देख रहे हैं, किस कोणों की स्पर्शक 1 है):

इस बिंदु को सीधी रेखा के निर्देशांक की शुरुआत के साथ कनेक्ट करें और हम एक सर्कल के साथ सीधी रेखा के चौराहे बिंदुओं को ध्यान में रखते हैं। प्रत्यक्ष और सर्कल के चौराहे बिंदु चालू करने के कोनों से मेल खाते हैं और:

चूंकि रोटेशन के कोणों के अनुरूप बिंदु जो हमारे समीकरण को संतुष्ट करते हैं, एक दूसरे से रेडियन की दूरी पर झूठ बोलते हैं, तो हम इस तरह से समाधान लिख सकते हैं:

4. समीकरण को हल करना

Catangens लाइन धुरी के समानांतर एक सर्कल के निर्देशांक के साथ बिंदु के माध्यम से गुजरता है।

Catangents की रेखा पर ध्यान दें, Abscissa -1 के साथ बिंदु:

निर्देशांक की शुरुआत के साथ इस बिंदु को सीधे कनेक्ट करें और सर्कल को पार करने के लिए इसे जारी रखें। यह प्रत्यक्ष रोटेशन और रेडियंस के कोणों के अनुरूप अंक पर सर्कल को पार करता है:

चूंकि ये बिंदु एक दूसरे से अलग होंगे, बराबर, फिर इस समीकरण का सामान्य समाधान हम इस तरह से लिख सकते हैं:

उपरोक्त उदाहरणों में सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को चित्रित करते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों के तालिका मानों का उपयोग किया गया था।

हालांकि, यदि यह समीकरण के सही हिस्से में कोई तालिका मान नहीं है, तो हम समीकरण के सामान्य समाधान में मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

विशेष समाधान:

हम बिंदु की परिधि पर ध्यान देते हैं, जिनमें से अध्यादेश 0 हैं:

सर्कल पर ध्यान दें, एकमात्र बिंदु, जिसका क्रम 1 है:

सर्कल पर ध्यान दें, एकमात्र बिंदु जिसका नियम -1 -1 है:

चूंकि यह शून्य के निकटतम मानों को इंगित करने के लिए परंपरागत है, इसलिए हम समाधान लिखेंगे:

हम बिंदु की परिधि पर ध्यान देते हैं, जिसमें से एबीएससीआईएसए 0 है:

5.
हम सर्कल पर एकमात्र बिंदु पर ध्यान देते हैं, जिसमें से एब्सिसा 1 है:

सर्कल पर ध्यान दें, एकमात्र बिंदु, एब्सिसा जिसमें से -1 है:

और थोड़ा और जटिल उदाहरण:

1.

यदि तर्क बराबर है तो साइन एक के बराबर है

हमारे साइनस से तर्क बराबर है, इसलिए हमें मिलता है:

हम समानता के दोनों हिस्सों को 3 के लिए विभाजित करते हैं:

उत्तर:

2.

कोसाइन शून्य है यदि कोसाइन तर्क बराबर है

हमारी कोसाइन से तर्क बराबर है, इसलिए हमें मिलता है:

एक्सप्रेस, इसके लिए, पहले विपरीत संकेत के साथ दाईं ओर ले जाएं:

हम दाईं ओर सरलीकृत करते हैं:

हम -2 पर दोनों भागों को विभाजित करते हैं:

ध्यान दें कि संकेत शब्द से पहले नहीं बदलता है, क्योंकि के कोई पूर्णांक मान ले सकता है।

उत्तर:

और निष्कर्ष में, वीडियो ट्यूटोरियल को देखें "त्रिकोणमितीय चक्र का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरण में जड़ों का चयन"

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में इस बातचीत पर, हम समाप्त होंगे। अगली बार जब हम हल किए हैं, इस बारे में बात करेंगे।

इसके लिए त्रिकोणमिति के बुनियादी सूत्रों के ज्ञान की आवश्यकता है - साइनस और कोसाइन के वर्गों का योग, साइनस और कोसाइन और अन्य के माध्यम से स्पर्शक की अभिव्यक्ति। उन लोगों के लिए जो उन्हें भूल गए हैं या नहीं जानते हैं, हम लेख पढ़ने की सलाह देते हैं ""।
इसलिए, हम मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब अभ्यास में उनका उपयोग करने का समय है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना सही दृष्टिकोण के साथ, एक काफी रोमांचक गतिविधि, जैसे कि, उदाहरण के लिए, रुबिक के घन को इकट्ठा करने के लिए।

बहुत नाम के आधार पर, यह देखा जा सकता है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्य के तहत है।
तथाकथित सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। यहां वे क्या देखते हैं: सिंह \u003d ए, कॉस एक्स \u003d ए, टीजी एक्स \u003d ए। विचार करें इस तरह के त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करेंस्पष्टता के लिए, हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय सर्कल का उपयोग करेंगे।

सिंह \u003d ए।

cos x \u003d a

tg x \u003d a

cot x \u003d a

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: समीकरण को सरलतम रूप में दें और फिर इसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें।
7 बुनियादी विधियां हैं जिनके साथ त्रिकोणमितीय समीकरण हल किए जाते हैं।

1. एक चर और प्रतिस्थापन की जगह के लिए विधि

समीकरण 2cos 2 (x + / 6) हल करें - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

सूत्रों का उपयोग करके, हमें मिलता है:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

कोस (x + / 6) को सरल बनाने और एक पारंपरिक वर्ग समीकरण प्राप्त करने के लिए बदलें:

2y 2 - 3Y + 1 + 0

जिनकी जड़ें y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

अब हम रिवर्स ऑर्डर में जाते हैं

हम वाई के पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर प्राप्त करते हैं:

2. गुणक अपघटन के माध्यम से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

समीकरण सीन एक्स + कॉस एक्स \u003d 1 को कैसे हल करें?

हम बाईं ओर बाईं ओर सब कुछ स्थानांतरित करते हैं 0:

पाप एक्स + कॉस एक्स - 1 \u003d 0

हम समीकरण को सरल बनाने के लिए उन्नत पहचान का उपयोग करते हैं:

पाप एक्स - 2 पाप 2 (x / 2) \u003d 0

हम गुणक का विस्तार करते हैं:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 पाप 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

3. एक सजातीय समीकरण के लिए

समीकरण साइनस और कोसाइन के सापेक्ष सजातीय है, अगर इसके सभी सदस्य साइनस के सापेक्ष और उसी कोण की समान डिग्री के कोसाइन करते हैं। एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार दर्ज करें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) कोष्ठक के लिए सभी सामान्य कारकों को बनाओ;

सी) सभी गुणक और कोष्ठक के बराबर 0;

डी) कोष्ठक में कम हद तक एक सजातीय समीकरण प्राप्त हुआ, बदले में इसे साइनस या कोसाइन में उच्च डिग्री में विभाजित किया गया है;

ई) टीजी के रिश्तेदार परिणामस्वरूप समीकरण को हल करें।

समीकरण 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2 को हल करें

हम पाप 2 x + cos 2 x \u003d 1 सूत्र का उपयोग करते हैं और दाईं ओर दो बार खुले से छुटकारा पा सकते हैं:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

पाप 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

हम cos x पर विभाजित करते हैं:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 \u003d 0

हम टीजी एक्स को वाई को प्रतिस्थापित करते हैं और हमें एक वर्ग समीकरण मिलता है:

वाई 2 + 4Y +3 \u003d 0, जिनकी जड़ें y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

यहां से हमें स्रोत समीकरण के दो समाधान मिलते हैं:

x 2 \u003d ARCTG 3 + K

4. आधे कोने में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण 3sin x - 5cos x \u003d 7 हल करें

X / 2 पर जाएं:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

सब छोड़ दिया:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

हम cos (x / 2) पर विभाजित करते हैं:

टीजी 2 (एक्स / 2) - 3 टीजी (एक्स / 2) + 6 \u003d 0

5. सहायक कोने का परिचय

विचार के लिए, फॉर्म का समीकरण लें: एक पाप एक्स + बी कॉस एक्स \u003d सी,

जहां ए, बी, सी कुछ मनमानी गुणांक हैं, और एक्स अज्ञात है।

समीकरण के दोनों हिस्सों में विभाजित किया गया है:



अब त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार समीकरण के गुणांक में पाप और कॉस के गुण होते हैं, अर्थात्: उनका मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग \u003d 1. क्रमशः, को निरूपित करता है, क्योंकि यह है कि यह है तथाकथित सहायक कोण। फिर समीकरण फॉर्म ले जाएगा:

cos * sin x + sin * cos x \u003d c

या पाप (x +) \u003d सी

इस सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान से होगा

x \u003d (-1) k * arcsin c - + k, कहाँ



यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कॉस और पाप के पद विनिमेय हैं।

पाप 3x समीकरण हल करें - कोस 3x \u003d 1

इस समीकरण में, गुणांक:

ए \u003d, बी \u003d -1, इसलिए हम दोनों भागों को \u003d 2 से विभाजित करते हैं

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की अवधारणा।

• त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक या अधिक मुख्य त्रिकोणमितीय समीकरणों में परिवर्तित करें। त्रिकोणमितीय समीकरण का समाधान अंततः चार मुख्य त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाता है।

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