सार: आंकड़ों में उपयोग किए जाने वाले औसत मान। आंकड़ों में औसत मूल्यों का सार और अर्थ

यह अध्याय औसत मूल्यों के उद्देश्य का वर्णन करता है, उनके मुख्य प्रकार और रूपों पर विचार किया जाता है, गणना विधि। प्रस्तुत सामग्री का अध्ययन करते समय, औसत मूल्यों के निर्माण के लिए आवश्यकताओं को पूरा करना आवश्यक है, क्योंकि उनका पालन आपको इन मूल्यों का उपयोग सजातीय इकाइयों की कुलता के लिए संकेतों की सामान्य विशेषताओं के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है।

मोल्ड और औसत मूल्यों के प्रकार

औसत मूल्य यह साइन मानों के स्तर की एक सामान्यीकृत विशेषता है, जो कुल की प्रति इकाई प्राप्त की जाती है। सापेक्ष परिमाण के विपरीत, जो संकेतकों के अनुपात का एक उपाय है, औसत मूल्य कुल की प्रति इकाई एक संकेत का एक उपाय है।

औसत आकार की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति इस तथ्य में निहित है कि यह सामान्य रूप से दर्शाती है, जो परीक्षण दहन की सभी इकाइयों में निहित है।

संयोजन की व्यक्तिगत इकाइयों के संकेतों के संकेत एक दिशा में उतार-चढ़ाव या अन्य कारकों की बहुलता के प्रभाव में उतार-चढ़ाव करते हैं, जिनमें से महत्वपूर्ण और यादृच्छिक हो सकता है। उदाहरण के लिए, बैंक ऋण पर एक प्रतिशत दर सभी क्रेडिट संस्थानों के लिए निर्धारित की जाती है (आरक्षित आवश्यकताओं का स्तर और मूल ब्याज दर केंद्रीय बैंक, आदि द्वारा वाणिज्यिक बैंकों को प्रदान किए गए ऋण के लिए ऋण), साथ ही साथ विशिष्टताओं इस ऋण के जोखिम के आधार पर प्रत्येक विशिष्ट लेनदेन।, इसका आकार और परिपक्वता अवधि, ऋण के डिजाइन के लिए लागत और इसके पुनर्भुगतान पर नियंत्रण आदि।

औसत में, सुविधा के व्यक्तिगत मूल्य सामान्यीकृत होते हैं और सामान्य परिस्थितियों का प्रभाव स्थान और समय की विशेष परिस्थितियों में इस कुलता की अधिकांश विशेषता परिलक्षित होता है। औसत का सार और झूठ बोलता है कि यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के कारण कुल की व्यक्तिगत इकाइयों के संकेत के पारस्परिक विचलन हैं, और वास्तविक कारकों के कारण परिवर्तन को ध्यान में रखा जाता है। औसत मूल्य इकाइयों के इस सेट में सुविधा के सामान्य स्तर को प्रतिबिंबित करेगा, जब इसे गुणात्मक रूप से सजातीय कुल के लिए डिज़ाइन किया गया हो। इस संबंध में, समूह विधि के साथ संयोजन में औसत विधि का उपयोग किया जाता है।

पूरी तरह से कुटिलता की विशेषता वाले औसत मान को बुलाया जाता है सामान्य और औसत, समूह या उपसमूह की विशिष्टता को दर्शाता है, - समूह।

आम और समूह औसत का संयोजन समय और स्थान के दौरान तुलना की अनुमति देता है, महत्वपूर्ण रूप से सांख्यिकीय विश्लेषण की सीमाओं का विस्तार करता है। उदाहरण के लिए, 2002 की जनगणना को सारांशित करते समय, यह पाया गया कि रूस के लिए, अधिकांश यूरोपीय देशों के लिए, आबादी की उम्र बढ़ने की विशेषता है। 1 9 8 9 के पत्राचार की तुलना में, देश के निवासियों की औसत आयु तीन साल तक बढ़ी और 37.7 साल की राशि, पुरुष - 35.2 वर्ष, महिलाएं - 40.0 वर्ष (1 9 8 9 के अनुसार, ये संकेतक 34.7, 31, क्रमशः 9 और 37.2 थे वर्षों)। रोसस्टैट के अनुसार, 2011 में जन्म के जीवन प्रत्याशा, पुरुषों - 63 वर्ष, महिलाएं - 75.6 वर्ष।

प्रत्येक औसत एक ही संकेत पर आम कुल की विशिष्टता को दर्शाता है। एक नियम के रूप में व्यावहारिक समाधानों को अपनाने के लिए, कई सुविधाओं के लिए एक संयोजन विशेषता आवश्यक है। इस मामले में, औसत मूल्यों की प्रणाली का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, बैंकिंग गतिविधियों के जोखिम के एक स्वीकार्य स्तर पर संचालन की लाभप्रदता के उचित स्तर को प्राप्त करने के लिए, जारी किए गए ऋणों पर औसत ब्याज दरें जमा और अन्य वित्तीय उपकरणों पर औसत ब्याज दरों को ध्यान में रखते हुए स्थापित की जाती हैं।

औसत मूल्य की गणना करने के लिए फॉर्म और पद्धति अध्ययन के उद्देश्य, अध्ययन के उद्देश्य, अध्ययन के रूप में, साथ ही साथ स्रोत डेटा की प्रकृति पर निर्भर करती है। मध्य मूल्यों को दो मुख्य श्रेणियों में विभाजित किया गया है:

• 1) पावर माध्यम;
• 2) संरचनात्मक औसत।

औसत सूत्र उपयोग की गई सीमा के मूल्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। बढ़ती डिग्री के साथ क। औसत मूल्य तदनुसार बढ़ता है।

सैन्य चर के आंकड़ों में बहुत सारे वितरण हैं। औसत मूल्य वाणिज्यिक गतिविधियों के उच्च गुणवत्ता वाले संकेतकों को दर्शाते हैं: परिसंचरण, लाभ, लाभप्रदता आदि की लागत

औसत - यह आम तकनीकों में से एक है। औसत के सार की सही समझ बाजार अर्थव्यवस्था की स्थितियों में इसका विशेष महत्व निर्धारित करती है, जब एकल और यादृच्छिक के माध्यम से औसत आपको आर्थिक विकास के पैटर्न की प्रवृत्ति की पहचान करने के लिए सामान्य और आवश्यक की पहचान करने की अनुमति देता है।

औसत मूल्य - यह संकेतकों को सामान्यीकृत कर रहा है जिसमें सामान्य परिस्थितियों की क्रिया की अभिव्यक्ति, घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन किया जाता है।

सांख्यिकीय औसत द्रव्यमान डेटा के आधार पर उचित रूप से सांख्यिकीय रूप से संगठित द्रव्यमान निगरानी (ठोस और चुनिंदा) के आधार पर की जाती है। हालांकि, सांख्यिकीय औसत उद्देश्यपूर्ण और विशिष्ट होगा यदि इसकी गणना गुणात्मक रूप से सजातीय कुलता (द्रव्यमान घटना) के लिए द्रव्यमान डेटा द्वारा गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि आप सहकारी समितियों और राज्य-उद्यमों में औसत वेतन की गणना करते हैं, और परिणाम पूरे सेट में वितरित किया जाता है, तो औसत काल्पनिक, क्योंकि इसे अमानवीय कुल के लिए डिज़ाइन किया गया है, और ऐसा औसत कोई अर्थ खो देता है।

मध्यम की मदद से, ऐसा होता है जैसे संकेत के मूल्य में मतभेदों को चिकनाई, जो व्यक्तिगत अवलोकन इकाइयों में एक या किसी अन्य कारण के लिए उत्पन्न होता है।

उदाहरण के लिए, औसत विक्रेता का उत्पादन कई कारणों पर निर्भर करता है: योग्यता, अनुभव, आयु, सेवा प्रपत्र, स्वास्थ्य इत्यादि।

औसत विकास पूरी समग्रता की समग्र संपत्ति को दर्शाता है।

औसत मूल्य अध्ययनित विशेषता के मानों का प्रतिबिंब है, इसलिए, इस सुविधा के समान आयाम में मापा जाता है।

प्रत्येक औसत मूल्य किसी भी एकल चिह्न पर अध्ययन की गई कुटिलता को दर्शाता है। कई आवश्यक सुविधाओं के लिए आम कुल योग का एक पूर्ण और व्यापक विचार प्राप्त करने के लिए, सामान्य रूप से, औसत मूल्यों की एक प्रणाली होना आवश्यक है जो विभिन्न पक्षों से घटना का वर्णन कर सकते हैं।

विभिन्न औसत हैं:

औसत अंकगणित;

मध्यम ज्यामितीय;

औसत हार्मोनिक;

मध्यम वर्ग;

मध्यम कालक्रम।

कुछ प्रकार के औसत पर विचार करें जो आमतौर पर आंकड़ों में उपयोग किए जाते हैं।

मध्य अंकगणित

औसत अंकगणितीय सरल (अविकसित) इन मानों की संख्या से विभाजित सुविधा के व्यक्तिगत मूल्यों के योग के बराबर है।

सुविधा के अलग-अलग मानों को विकल्प कहा जाता है और एक्स () द्वारा निरूपित किया जाता है; कुल इकाइयों की संख्या एन द्वारा दर्शाया गया है, औसत चिह्न मान के माध्यम से है । नतीजतन, औसत अंकगणित बराबर है:

वितरण की एक अलग श्रृंखला के अनुसार, यह देखा जा सकता है कि फीचर (विकल्प) की समान विशेषताएं कई बार दोहराई जाती हैं। तो, विकल्प एक्स को 2 बार एक साथ गिना जाता है, और विकल्प एक्स -16 बार इत्यादि।

वितरण पंक्तियों में सुविधा के समान मूल्यों की संख्या आवृत्ति या वजन कहा जाता है और एन प्रतीक द्वारा इंगित किया जाता है।

हम एक कार्यकर्ता के औसत वेतन की गणना करते हैं रूबल में:

श्रमिकों के प्रत्येक समूह के लिए मजदूरी निधि आवृत्ति के लिए कार्य विकल्पों के बराबर है, और इन कार्यों की राशि सभी श्रमिकों का एक आम मजदूरी निधि देती है।

इसके अनुसार, सामान्य रूप में गणना का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

परिणामी सूत्र को औसत अंकगणितीय भारित कहा जाता है।

प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप सांख्यिकीय सामग्री न केवल वितरण की असतत पंक्तियों के रूप में, बल्कि बंद या खुले अंतराल वाले अंतराल भिन्नताओं के रूप में भी प्रदर्शित की जा सकती है।

समूहित डेटा के अनुसार औसत की गणना मध्य अंकगणितीय भारित के सूत्र द्वारा की जाती है:

आर्थिक आंकड़ों के अभ्यास में, कभी-कभी समूह औसत में औसत की गणना करना आवश्यक होता है या कुल (निजी औसत) के औसत अलग-अलग हिस्सों द्वारा गणना करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, समूह या निजी औसत विकल्पों (एक्स) के लिए स्वीकार किए जाते हैं, जिसके आधार पर कुल औसत की गणना सामान्य औसत अंकगणितीय भारित होती है।

मध्य अंकगणित के मुख्य गुण .

औसत अंकगणित में कई गुण होते हैं:

1. प्रत्येक चरित्र मूल्य की आवृत्तियों को कम करने या बढ़ाने से, औसत अंकगणित का मूल्य नहीं बदलेगा।

यदि सभी आवृत्तियों को किसी भी संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो औसत का मूल्य नहीं बदलेगा।

2. फीचर के व्यक्तिगत संकेतों का सामान्य कारक औसत चिह्न के लिए प्रस्तुत किया जा सकता है:

3. दो या अधिक मानों की औसत राशि (अंतर) उनके औसत की राशि (अंतर) के बराबर है:

4. यदि x \u003d c, जहां c निरंतर मूल्य है, तो
.

5. मध्य अंकगणितीय एक्स से साइन एक्स के मूल्यों के विचलन का योग शून्य के बराबर है:

मध्य हार्मोनिक।

औसत अंकगणित के साथ, औसत हार्मोनिक मान आंकड़ों में उपयोग किया जाता है, प्रतिक्रिया मानों के मध्य अंकगणित को उलट देता है। औसत अंकगणित की तरह, यह सरल और निलंबित हो सकता है।

औसत के साथ भिन्नता श्रृंखला की विशेषताएं, फैशन और औसत हैं।

फैशन - यह संकेत (विकल्प) का मूल्य है, अक्सर आम कुल में दोहराया जाता है। फैशन वितरण की असतत पंक्तियों के लिए उच्चतम आवृत्ति के साथ विकल्प का मूल्य होगा।

फैशन के बराबर अंतराल के साथ वितरण की अंतराल पंक्तियों के लिए सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहा पे
- फैशन वाले अंतराल का प्रारंभिक मूल्य;

- मोडल अंतराल की परिमाण;

- मॉडल अंतराल की आवृत्ति;

- मॉडल से पहले अंतराल की आवृत्ति;

- मामूली के बाद अंतराल की आवृत्ति।

मंझला - यह भिन्नता श्रृंखला के बीच में स्थित एक विकल्प है। यदि कई वितरण अलग-अलग हैं और सदस्यों की एक विषम संख्या है, तो औसत श्रृंखला के बीच में संस्करण होगा (आदेशित पंक्ति एक बढ़ते या अवरोही क्रम में कुल की इकाइयों की व्यवस्था है)।

आंकड़े विभिन्न प्रकार के औसत मानों का उपयोग करते हैं जो दो बड़े वर्गों में विभाजित होते हैं:

पावर माध्यम (औसत हार्मोनिक, मध्यम ज्यामितीय, औसत अंकगणित, मध्यम क्वाड, मध्यम घन);

संरचनात्मक माध्यम (फैशन, औसत)।

गणना के लिए पावर माध्यमआपको सभी उपलब्ध फीचर मानों का उपयोग करना होगा। फैशनतथा मंझलाकेवल वितरण संरचना निर्धारित की जाती है, इसलिए उन्हें संरचनात्मक, स्थितित्मक औसत कहा जाता है। औसत और फैशन अक्सर उन समेकितों में औसत विशेषता के रूप में उपयोग किया जाता है, जहां मध्यम शक्ति की गणना असंभव या अक्षम्य है।

मध्यम आकार का सबसे आम प्रकार औसत अंकगणित है। के अंतर्गत मध्य अंकगणितयह एक संकेत के अर्थ के रूप में समझा जाता है जिसमें कुल की हर इकाई होगी, यदि संकेत के सभी संकेतों का कुल परिणाम कुल की सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित किया गया था। इस मूल्य की गणना अनुपालन इकाइयों की कुल संख्या की कुल राशि की भिन्नता और विभाजन के सभी मूल्यों के योग के योग को कम कर दी गई है। उदाहरण के लिए, पांच श्रमिकों ने विवरण के निर्माण के लिए एक आदेश किया, जबकि पहले 5 भागों, दूसरे - 7, तीसरे - 4, चौथे - 10, पांच - 12. चूंकि स्रोत डेटा में, प्रत्येक का मूल्य निर्धारण केवल एक बार पाया गया था, यह निर्धारित करने के लिए

एक कार्यकर्ता के औसत उत्पादन को एक साधारण मध्य अंकगणित के सूत्र को लागू करना चाहिए:

यानी हमारे उदाहरण में, एक कार्यशाला की औसत पीढ़ी बराबर है

एक साधारण मध्य अंकगणितीय अध्ययन के साथ मध्य अंकगणित भारित।उदाहरण के लिए, हम 20 लोगों के समूह में छात्रों की औसत आयु की गणना करते हैं, जिसकी आयु 18 से 22 वर्ष तक भिन्न होती है, जहां ग्यारहवीं - औसत संकेत के विकल्प, फाई - आवृत्ति जो दिखाती है कि कितनी बार यह पाया जाता है अर्थात।कुल (तालिका 5.1) में मान।

तालिका 5.1

मध्य आयु छात्र

मध्य अंकगणितीय भारित के सूत्र का उपयोग करके, हमें मिलता है:

औसत अंकगणित भारित का चयन करने के लिए, एक विशिष्ट नियम है: यदि दो संकेतकों पर कई डेटा हैं, जिनमें से एक के लिए गणना करना आवश्यक है

औसत मूल्य, और अपने तार्किक सूत्र के संप्रदाय के संख्यात्मक मान ज्ञात हैं, और संख्याकार मूल्य अज्ञात हैं, लेकिन इन संकेतकों के उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है, औसत मूल्य की गणना मध्य अंकगणित द्वारा की जानी चाहिए सूत्र।

कुछ मामलों में, मूल सांख्यिकीय डेटा की प्रकृति ऐसी है कि औसत अंकगणितीय की गणना इसका अर्थ खो देती है और केवल एक ही प्रकार का मध्यम आकार केवल सामान्यीकरण संकेतक के रूप में कार्य कर सकता है - मध्य हार्मोनिक।वर्तमान में, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के व्यापक परिचय के कारण औसत अंकगणितीय के कम्प्यूटेशनल गुणों ने सांख्यिकीय संकेतकों को सामान्य करने की गणना में अपनी प्रासंगिकता खो दी है। महान व्यावहारिक महत्व ने औसत हार्मोनिक मान का अधिग्रहण किया, जो कि सरल और निलंबित भी है। यदि तार्किक सूत्र संख्या के संख्यात्मक मान ज्ञात हैं, और denominator के मान अज्ञात हैं, लेकिन एक दूसरे पर एक संकेतक के एक निजी विभाजन के रूप में पाया जा सकता है, औसत मूल्य की गणना के सूत्र द्वारा की जाती है औसत हार्मोनिक भारित।

उदाहरण के लिए, इसे बताएं कि कार 70 किमी / घंटा की रफ्तार से पहले 210 किमी, और शेष 150 किमी 75 किमी / घंटा की रफ्तार से हुई थी। मध्य अंकगणितीय सूत्र का उपयोग करके 360 किमी के पूरे मार्ग में वाहन की औसत गति निर्धारित करें, यह असंभव है। तो विकल्प अलग-अलग क्षेत्रों में गति हैं एक्सजे।\u003d 70 किमी / घंटा और एक्स 2\u003d 75 किमी / घंटा, और वजन (एफआई) को पथ के संबंधित खंडों पर विचार किया जाता है, फिर वजन के काम में शारीरिक और न ही आर्थिक अर्थ नहीं होगा। इस मामले में, अर्थ इसी गति (विकल्प xi), यानी पथ के व्यक्तिगत खंडों के पारित होने के लिए समय की लागत (फाई) के निजी वर्गों द्वारा अधिग्रहित किया जाता है। / xi)। यदि पथ खंड FI के माध्यम से नामित करता है, तो कैसे? फाई, और पूरे रास्ते पर बिताए गए समय - कैसे? फाई / ग्यारहवीं , फिर औसत गति पूरे पथ को कुल समय की लागत को विभाजित करने से निजी के रूप में पाया जा सकता है:

हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है:

यदि सभी प्रकारों (एफ) के औसत हार्मोनिक वजन का उपयोग बराबर होते हैं, तो एक भारित के बजाय उपयोग किया जा सकता है सरल (अविश्वसनीय) औसत हार्मोनिक:

जहां xi अलग विकल्प हैं; एन - औसत सुविधा की शर्तों की संख्या। उदाहरण में, एक गति के साथ, सरल उच्च हार्मोनिक लागू किया जा सकता है यदि यह विभिन्न गति से छिद्रित पथ के खंडों के बराबर था।

किसी भी औसत की गणना की जानी चाहिए ताकि औसत फीचर के प्रत्येक संस्करण को प्रतिस्थापित किया जा सके, एक निश्चित फाइनल की परिमाण, सामान्यीकरण संकेतक, जो औसत संकेतक से जुड़ा हुआ नहीं बदलेगा। इसलिए, अपने औसत आकार (औसत गति) के पथों के अलग-अलग खंडों पर वास्तविक गति को प्रतिस्थापित करते समय, कुल दूरी को बदला नहीं जाना चाहिए।

औसत मूल्य का सूत्र (सूत्र) औसत के साथ इस अंतिम सूचक के रिश्ते के प्रकृति (तंत्र) द्वारा निर्धारित किया जाता है, इसलिए अंतिम संकेतक, जिसका मूल्य तब बदला नहीं जाना चाहिए जब उनके औसत मूल्य के विकल्प कहा जाता है संकेतक का निर्धारण।सूत्र के उत्पादन के लिए, औसत के साथ औसत संकेतक के रिश्ते का उपयोग करके औसत को समन्वयित और हल किया जाना चाहिए। यह समीकरण अपने औसत मूल्य के औसत सुविधा (संकेतक) के रूपों को बदलकर बनाया गया है।

आंकड़ों में मध्य अंकगणित और मध्यम हार्मोनिक के अलावा, औसत मूल्य के अन्य प्रकार के (रूपों) का उपयोग किया जाता है। वे सभी विशेष मामले हैं बिजली औसत।यदि आप एक ही डेटा के लिए सभी प्रकार के पावर एवरेज की गणना करते हैं, तो मान

वे वही होंगे, यहां नियम है माजो-प्रारंभिकतामध्यम। औसत औसत में वृद्धि के साथ, औसत मूल्य स्वयं बढ़ता है। विभिन्न प्रकार के पावर एवरेज की गणना के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को तालिका में प्रस्तुत किया जाता है। 5.2।

तालिका 5.2।

पावर माध्यम के प्रकार

औसत ज्यामितीय लागू होने पर लागू होता है एनविकास गुणांक, जबकि सुविधा के व्यक्तिगत मूल्य एक नियम के रूप में हैं, कई वक्ताओं में प्रत्येक स्तर के पिछले स्तर के संबंध में श्रृंखला मूल्यों के रूप में बनाए गए स्पीकर के सापेक्ष मूल्य । औसत विशेषता, औसत वृद्धि गुणांक। औसत ज्यामितीय सरलसूत्र द्वारा गणना की गई

सूत्र मध्य ज्यामितीय निलंबितइसमें निम्नलिखित रूप हैं:

उपरोक्त सूत्र समान हैं, लेकिन एक वर्तमान गुणांक या विकास दर, और दूसरा - पंक्ति के स्तर के पूर्ण मूल्यों के साथ प्रयोग किया जाता है।

मध्यम द्विघातइसका उपयोग स्क्वायर फ़ंक्शंस के मूल्यों के मूल्यों के साथ किया जाता है, इसका उपयोग वितरण के रैंक में औसत अंकगणित के आसपास की फीचर के अलग-अलग मूल्यों की मात्रा को मापने के लिए किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

मध्यम द्विघात भारितकिसी अन्य सूत्र के लिए गणना:

मध्यम घनइसका उपयोग क्यूबिक फ़ंक्शंस के मूल्यों के साथ गणना में किया जाता है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

मध्यम घन भारित:

उपरोक्त सभी औसत को सामान्य सूत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है:

औसत मूल्य कहां है; - व्यक्तिगत मूल्य; एन - आम कुल की इकाइयों की संख्या; क। - संकेतक जो माध्यम के प्रकार को निर्धारित करता है।

अधिक से अधिक स्रोत डेटा का उपयोग करते समय क।सामान्य सूत्र में, बिजली माध्यम, औसत मूल्य जितना अधिक होगा। यह इस प्रकार है कि बिजली औसत के मूल्यों के बीच एक नियमित अनुपात है:

ऊपर वर्णित औसत मान सामान्य कुल योग का सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं और इस दृष्टिकोण से उनके सैद्धांतिक, लागू और संज्ञानात्मक महत्व निस्संदेह हैं। लेकिन ऐसा होता है कि औसत का मूल्य वास्तव में मौजूदा विकल्पों में से किसी के साथ मेल नहीं खाता है, इसलिए सांख्यिकीय विश्लेषण में विचार किए गए अर्थों के अलावा, एक आदेशित (रैंक) में कब्जे वाले विशिष्ट विकल्पों के मूल्यों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है एक बहुत ही विशिष्ट स्थिति के संकेतों का संकेत। ऐसे मूल्यों में से सबसे अधिक उपयोग किया जाता है संरचनात्मकया वर्णनात्मक, औसत - फैशन (एमओ) और मध्य (एमई)।

फैशन - उस संकेत का मूल्य जो अक्सर इस कुटिलता में पाया जाता है। फैशन की विविधता श्रृंखला के संबंध में रैंकिंग पंक्ति का सबसे आम मूल्य है, यानी उच्चतम आवृत्ति वाला विकल्प। फैशन का उपयोग उन स्टोरों को निर्धारित करने में किया जा सकता है जिन्हें अक्सर किसी भी उत्पाद के लिए सबसे आम कीमत से देखा जाता है। यह एक संकेत का आकार दिखाता है, जो कुल्ला के एक महत्वपूर्ण हिस्से की विशेषता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जहां x0 अंतराल की निचली सीमा है; एच - अंतराल की परिमाण; एफएम। - अंतराल की आवृत्ति; fM_1 - पूर्ववर्ती अंतराल की आवृत्ति; एफएम +1 - अगले अंतराल की आवृत्ति।

मंझलारैंक की पंक्ति के केंद्र में स्थित विकल्प कहा जाता है। मध्ययुगामी इस तरह से दो बराबर भागों में एक संख्या को विभाजित करता है कि इसके दोनों किनारों में कुल इकाइयों की संख्या समान है। साथ ही, कुल इकाइयों के एक आधे हिस्से में, अलग-अलग संकेत का मूल्य औसत से कम है, दूसरा और अधिक है। औसत उस तत्व का अध्ययन करने में उपयोग किया जाता है जिसका मान वितरण की एक श्रृंखला के आधे से कम या उसके बराबर या उससे कम या बराबर होता है। Mediana एक सामान्य विचार देता है कि साइन मान केंद्रित हैं, अन्य शब्दों में जहां उनका केंद्र स्थित है।

मध्ययुगीन की वर्णनात्मक प्रकृति इस तथ्य को प्रकट करती है कि यह भिन्नता विशेषता के मूल्यों की मात्रात्मक सीमा को दर्शाती है, जिसमें कुल इकाइयां हैं। एक अलग भिन्नता सीमा के लिए मध्यस्थों को खोजने का कार्य बस हल किया जाता है। यदि कई ऑर्डिनल नंबरों की सभी इकाइयां, मध्य संस्करण की अनुक्रम संख्या को (पी +1) / 2 के रूप में परिभाषित किया जाता है (सदस्यों की एक विषम संख्या के साथ पी। यदि पंक्ति के सदस्यों की संख्या भी संख्या है, तो मध्ययुगीन होगा अनुक्रम संख्या वाले दो विकल्पों का औसत मूल्य एन/ 2 I. एन/ 2 + 1.

अंतराल भिन्नता पंक्तियों में औसत निर्धारित करते समय, यह अंतराल (औसत अंतराल) निर्धारित होता है। इस अंतराल को इस तथ्य से विशेषता है कि आवृत्तियों की एकत्रित राशि पंक्ति की सभी आवृत्तियों के हेमिशम के बराबर या उससे अधिक है। अंतराल भिन्नता संख्या के मध्यस्थों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

कहा पे X0। - अंतराल की निचली सीमा; एच - अंतराल की परिमाण; एफएम। - अंतराल की आवृत्ति; एफ- श्रृंखला के सदस्यों की संख्या;

म। -1 - इस से पहले श्रृंखला के संचित सदस्यों का योग।

कुल सेट की संरचना की एक और पूर्ण विशेषताओं के लिए औसत के साथ, पूरी तरह से निश्चित स्थिति की रैंकिंग पंक्ति में कब्जा करने वाले विकल्पों के अन्य मूल्य का उपयोग किया जाता है। इसमे शामिल है तिमाहियोंतथा decil।क्वार्टर 4 बराबर भागों में कई आवृत्तियों को साझा करते हैं, और decil - 10 बराबर भागों पर। तीन तिमाहियों तीन हैं, और डेसील - नौ।

औसत अंकगणित के विपरीत, औसत और फैशन, अलग-अलग विशेषता के मूल्यों में व्यक्तिगत मतभेदों का भुगतान नहीं करते हैं और इसलिए सांख्यिकीय कुल की अतिरिक्त और बहुत महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं। अभ्यास में, वे अक्सर औसत या इसके साथ के बजाय उपयोग किए जाते हैं। यह विशेष रूप से उन मामलों में औसत और फैशन की गणना करने की सलाह दी जाती है जहां कुल सेट में भिन्नता चिह्न के बहुत बड़े या बहुत छोटे मूल्य के साथ इकाइयों की एक निश्चित संख्या होती है। ये, विकल्पों के सेट मूल्य की बहुत विशेषता नहीं, औसत अंकगणित के मूल्य को प्रभावित करते हुए, औसत और फैशन मूल्यों को प्रभावित नहीं करते हैं, जो आर्थिक और सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए नवीनतम मूल्यवान बनाता है।

सांख्यिकीय प्रसंस्करण के चरण में, विभिन्न प्रकार के शोध कार्यों को वितरित किया जा सकता है, जो उचित औसत चुनने के लिए आवश्यक है। साथ ही, निम्न नियम द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है: संख्याए गए मान और औसत denominator को तर्कसंगत रूप से जुड़े होना चाहिए।

• बिजली माध्यम;
• संरचनात्मक औसत।

हम निम्नलिखित सम्मेलनों का परिचय देते हैं:

जिन मानों की औसत गणना की जाती है;

औसत, जहां ऊपर से विशेषता इंगित करती है कि व्यक्तिगत मूल्यों का औसत है;

आवृत्ति (व्यक्तिगत चरित्र मूल्यों की पुनरावृत्ति)।

विभिन्न माध्यम बिजली औसत के सामान्य सूत्र से प्राप्त होते हैं:

(5.1)

k \u003d 1 पर - औसत अंकगणित; के \u003d -1 - औसत हार्मोनिक; के \u003d 0 - मध्यम ज्यामितीय; के \u003d -2 - मध्यम वर्ग।

मध्य मूल्य सरल और भारित होते हैं।

भारित औसत उन मानों को कहा जाता है जो ध्यान में रखते हैं कि संकेतों के कुछ विकल्पों में अलग-अलग संख्या हो सकती हैं, इसलिए प्रत्येक विकल्प को इस संख्या को गुणा करना पड़ता है। दूसरे शब्दों में, "वजन" विभिन्न समूहों में कुल इकाइयों की संख्या हैं, यानी प्रत्येक विकल्प इसकी आवृत्ति पर "वजन" है। आवृत्ति एफ को सांख्यिकीय वजन या कहा जाता है मध्य वजन.

यह ज्ञात है कि लेनदेन 5 दिनों (5 लेनदेन) के भीतर किया गया था, बिक्री दर पर बेचे गए शेयरों की संख्या निम्नानुसार वितरित की गई थी:

1 - 800 एके। - 1010 रगड़।

2 - 650 एके। 990 रूबल।

3 - 700 एके। - 1015 रगड़।

4 - 550 एके। - 900 रूबल।

5 - 850 एके। - 1150 रूबल।

शेयरों के मूल्य की औसत दर निर्धारित करने के लिए प्रारंभिक संबंध लेनदेन की कुल राशि (ओएसएस) (केपीए) की संख्या (केपीए) की संख्या का अनुपात है:

ओएसएस \u003d 1010 · 800 + 9 0 9 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 \u003d 3 634 500;

केपीए \u003d 800 + 650 + 700 + 550 + 850 \u003d 3550।

इस मामले में, स्टॉक मूल्य की औसत दर बराबर थी:

अंकगणितीय औसत के गुणों को जानना आवश्यक है, जो इसके उपयोग के लिए और इसकी गणना करते समय बहुत महत्वपूर्ण है। तीन मुख्य गुणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जिसे आमतौर पर सांख्यिकीय और आर्थिक गणनाओं में अंकगणितीय औसत का व्यापक उपयोग किया जाता है।

पहले संपत्ति (शून्य): इसके औसत मूल्य से सुविधा के व्यक्तिगत मूल्यों के सकारात्मक विचलन का योग नकारात्मक विचलन के योग के बराबर है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है, क्योंकि यह दिखाती है कि यादृच्छिक कारणों के कारण किसी भी विचलन (सी + और सी - दोनों) को पारस्परिक रूप से चुकाया जाएगा।

सबूत:

दूसरी संपत्ति (न्यूनतम): किसी अन्य संख्या (ए), यानी से औसत अंकगणितीय से फीचर के अलग-अलग मूल्यों के विचलन के वर्गों का योग। न्यूनतम संख्या है।

साक्ष्य।

हम परिवर्तनीय ए से विचलन के वर्गों का योग बना देंगे:

(5.4)

इस फ़ंक्शन के एक चरम को खोजने के लिए, इसे समझना आवश्यक है:

यहां से हमें मिलता है:

(5.5)

नतीजतन, विचलन के वर्गों की चरम राशि हासिल की जाती है। यह चरम न्यूनतम है, क्योंकि फ़ंक्शन में अधिकतम नहीं हो सकता है।

संपत्ति तीसरी है: औसत अंकगणितीय निरंतर मूल्य इस स्थिर के बराबर है: जब ए \u003d कॉन्स।

इन तीनों के अलावा, औसत अंकगणित के सबसे महत्वपूर्ण गुण तथाकथित होते हैं अनुमानित गुणजो इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर के उपयोग के कारण धीरे-धीरे अपना महत्व खो देता है:

• यदि प्रत्येक इकाई की सुविधा का व्यक्तिगत मूल्य गुणा या निरंतर संख्या में विभाजित है, तो औसत अंकगणित एक ही समय में बढ़ता है या घटता है;
• प्रत्येक वर्ण मूल्य के वजन (आवृत्ति) को निरंतर संख्या में विभाजित किया गया है, तो औसत अंकगणितीय नहीं बदलेगा;
• यदि प्रत्येक इकाई की सुविधा के व्यक्तिगत मान एक ही मूल्य से कम या बढ़ जाते हैं, तो औसत अंकगणित समान मूल्य में कमी या बढ़ जाएगा।

मध्यम हार्मोनिक। इस मध्य को रिवर्स मध्यम अंकगणित कहा जाता है, क्योंकि इस मान का उपयोग के \u003d -1 पर किया जाता है।

सरल माध्यम हार्मोनिक इसका उपयोग तब किया जाता है जब साइन मानों के वजन समान होते हैं। इसका सूत्र मूल सूत्र से लिया जा सकता है, के \u003d -1 को प्रतिस्थापित करना:

उदाहरण के लिए, हमें दो कारों की औसत वेग की गणना करने की आवश्यकता है जो एक ही तरीके से पारित हो गए हैं, लेकिन विभिन्न गति पर: पहला - 100 किमी / घंटा की रफ्तार से, दूसरा 9 0 किमी / घंटा है।

मध्य हार्मोनिक विधि को लागू करना, हम औसत गति की गणना करते हैं:

सांख्यिकीय अभ्यास में, एक हार्मोनिक भारित सूत्र का अधिक उपयोग किया जाता है:

इस सूत्र का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां वजन (या घटना की मात्रा) प्रत्येक संकेत के बराबर नहीं होती है। औसत ज्ञात संख्या की गणना के लिए मूल अनुपात में, लेकिन denominator अज्ञात है।

उदाहरण के लिए, औसत मूल्य की गणना करते समय, हमें लागू इकाइयों की संख्या में प्राप्ति की राशि के अनुपात का उपयोग करना होगा। हम नहीं जानते कि इकाइयों की संख्या का एहसास (हम विभिन्न उत्पादों के बारे में बात कर रहे हैं), लेकिन इन अलग-अलग सामानों के कार्यान्वयन का योग ज्ञात है।

मान लीजिए कि लागू किए गए उत्पादों की औसत कीमत जानना आवश्यक है:

प्राप्त करें

यदि यहां मध्यम अंकगणित के लिए एक सूत्र है, तो आप औसत मूल्य प्राप्त कर सकते हैं जो अवास्तविक होगा:

मध्यम ज्यामितीय। अक्सर, औसत ज्यामितीय औसत वृद्धि दर (औसत वृद्धि गुणांक) को निर्धारित करने में इसका उपयोग करता है, जब सुविधा के व्यक्तिगत मूल्य सापेक्ष मूल्यों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यह भी प्रयोग किया जाता है यदि फीचर के न्यूनतम और अधिकतम मानों (उदाहरण के लिए, 100 और 100,000,000 के बीच) के बीच औसत खोजने के लिए आवश्यक है। सरल और निलंबित माध्यम ज्यामितीय के लिए सूत्र हैं।

सरल माध्यम ज्यामितीय के लिए:

निलंबित माध्यम ज्यामितीय के लिए:

मध्यम वर्गिक मूल्य। इसके आवेदन का मुख्य दायरा कुल मिलाकर (औसत वर्गिक विचलन की गणना) में सुविधा की विविधता को मापना है।

सरल माध्यम क्वाड्रैटिक फॉर्मूला:

भारित औसत वर्गबद्ध सूत्र:

(5.11)

नतीजतन, हम कह सकते हैं कि सांख्यिकीय अध्ययन के कार्यों का सफल समाधान प्रत्येक मामले में औसत मूल्य के प्रकार की सही पसंद पर निर्भर करता है।

औसत की पसंद इस तरह के अनुक्रम को मानती है:

ए) कुल के सारांश की स्थापना;

बी) मूल्यों के गणितीय अनुपात के इस सारांश संकेतक की परिभाषा;

सी) औसत मूल्यों द्वारा व्यक्तिगत मूल्यों को बदलना;

डी) इसी समीकरण की मदद से औसत की गणना।

औसत मूल्यों के बारे में तर्क शुरू करना, अक्सर याद रखें कि स्कूल को कैसे खत्म किया जाए और एक शैक्षिक संस्थान में गया। फिर मध्य स्कोर की गणना प्रमाणपत्र पर की गई थी: सभी अनुमान (और अच्छे, और बहुत) को तब्दील नहीं किया गया था, परिणामी राशि उनके संख्या से विभाजित की गई थी। यह सबसे आसान प्रकार का माध्यम है, जिसे औसत अंकगणितीय सरल कहा जाता है। व्यावहारिक रूप से, आंकड़ों में विभिन्न प्रकार के मध्यम आकार का उपयोग किया जाता है: अंकगणित, हार्मोनिक, ज्यामितीय, वर्गिक, संरचनात्मक माध्यम। यह या उनकी प्रजातियों का उपयोग डेटा की प्रकृति और अध्ययन के उद्देश्यों के आधार पर किया जाता है।

औसत मूल्य यह सबसे आम सांख्यिकीय संकेतक है, जिसकी सहायता से एक प्रकार की घटना के सेट की सामान्यीकरण विशेषताओं को भिन्नता संकेतों में से एक के अनुसार दिया जाता है। यह कुल की प्रति इकाई की विशेषता का स्तर दिखाता है। मीडिया की मदद से, विभिन्न सुविधाओं के विभिन्न सेटों की तुलना की तुलना में की जाती है, घटनाओं के विकास के पैटर्न और सार्वजनिक जीवन प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है।

आंकड़ों में, मध्यम के दो वर्गों का उपयोग किया जाता है: पावर (विश्लेषणात्मक) और संरचनात्मक। उत्तरार्द्ध का उपयोग भिन्नता श्रृंखला की संरचना को दर्शाने के लिए किया जाता है और बाद में च में चर्चा की जाएगी। आठ।

बिजली औसत का समूह औसत अंकगणित, हार्मोनिक, ज्यामितीय, वर्गबद्ध एक का संदर्भ देता है। उनकी गणना के लिए व्यक्तिगत सूत्रों को ध्यान में लाया जा सकता है, सभी बिजली औसत के लिए आम है, अर्थात्

जहां एम पावर औसत का संकेतक है: एम \u003d 1 पर हम मध्य अंकगणित की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं, एम \u003d 0 - मध्यम ज्यामितीय, एम \u003d -1 - औसत हार्मोनिक, एम \u003d 2 - मध्यम वर्ग में;

एक्स I - विकल्प (मानने वाले मूल्य);

एफ मैं - आवृत्तियों।

मुख्य स्थिति जिसमें सांख्यिकीय विश्लेषण में शक्तिशाली औसत का उपयोग किया जा सकता है, सेट की एकरूपता है, जिसमें स्रोत डेटा नहीं होना चाहिए, उनके मात्रात्मक मूल्य में तेजी से भिन्न हो (उन्हें साहित्य में विसंगतिपूर्ण अवलोकन कहा जाता है)।

हम निम्नलिखित उदाहरण पर इस स्थिति के महत्व का प्रदर्शन करेंगे।

उदाहरण 6.1। मैं एक छोटे उद्यम के कर्मचारियों के औसत वेतन की गणना करता हूं।

मजदूरी के औसत आकार की गणना करने के लिए, उद्यम के सभी कर्मचारियों (यानी, मजदूरी कोष को ढूंढें) के लिए अर्जित मजदूरी को समेटना आवश्यक है, और कर्मचारियों की संख्या से विभाजित है:

और अब मैं केवल एक व्यक्ति को हमारी कुलता (इस उद्यम के निदेशक) में जोड़ दूंगा, लेकिन 50,000 रूबल के वेतन के साथ। इस मामले में, गणना औसत पूरी तरह से अलग होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह 7000 रूबल से अधिक है। आदि। यह एकमात्र अवलोकन को छोड़कर संकेत के सभी संकेतों से अधिक है।

ऐसे मामलों के लिए, यह अभ्यास में नहीं होता है, और औसत इसका अर्थ नहीं खोएगा (उदाहरण 6.1 में, यह औसत की गणना करते समय कुल की सामान्यीकरण विशेषताओं की भूमिका को पूरा नहीं करता है, जो औसत की गणना करता है, असामान्य, तेजी से प्रतिष्ठित अवलोकन या विश्लेषण और विषय से अलग-अलग समेकित, या सजातीय समूहों के लिए कुल संबंध तोड़ते हैं और प्रत्येक समूह के लिए औसत मानों की गणना करते हैं और कुल औसत नहीं, बल्कि समूह औसत का विश्लेषण करते हैं।

6.1। औसत अंकगणित और इसकी गुण

औसत अंकगणित की गणना या तो सरल या भारित मूल्य के रूप में की जाती है।

उदाहरण 6.1 की तालिका के अनुसार औसत मजदूरी की गणना करते समय, हमने सभी संकेत मूल्यों को तब्दील कर दिया और उन्हें विभाजित किया। हमारी गणना का पाठ्यक्रम मध्य अंकगणितीय सरल के सूत्र के रूप में लिखेगा

जहां x मैं विकल्प (सुविधा के व्यक्तिगत मूल्य) है;

पी कुल इकाइयों की संख्या है।

उदाहरण 6.2। अब उदाहरण 6.1, आदि की तालिका से हमारे डेटा को समूहीकृत किया गया। हम स्तर के संदर्भ में मजदूरी के वितरण की एक अलग भिन्नता श्रृंखला का निर्माण करेंगे। ग्रुपिंग परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए जाते हैं।

हम एक अधिक कॉम्पैक्ट फॉर्म में औसत वेतन स्तर की गणना करने के लिए अभिव्यक्ति लिखते हैं:

उदाहरण 6.2 में, एक औसत अंकगणितीय-भारित सूत्र लागू किया गया था

जहां मैं - आवृत्तियों को दर्शाता है कि कुल की इकाइयों के x i y की विशेषता कितनी बार सामना किया जाता है।

औसत अंकगणितीय भारित की गणना आसानी से तालिका में की जाती है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है (तालिका 6.3):

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि औसत अंकगणित उन मामलों में उपयोग किया जाता है जहां डेटा को समूहीकृत या समूहीकृत नहीं किया जाता है, लेकिन सभी आवृत्तियों एक दूसरे के बराबर होती हैं।

अक्सर, अवलोकन परिणाम वितरण की अंतराल सीमा के रूप में दर्शाए जाते हैं (उदाहरण 6.4 में तालिका देखें)। फिर, एक्स के रूप में औसत की गणना करते समय मैं अंतराल के बीच में लेता हूं। यदि पहला और आखिरी अंतराल खुला है (सीमाओं में से कोई भी नहीं है), तो वे सशर्त रूप से "बंद" हैं, इस अंतराल के मूल्यों को आसन्न अंतराल, आदि की परिमाण के मूल्यों को ले रहे हैं। पहला दूसरे मूल्य के आधार पर बंद है, और आखिरी व्यक्ति अंतिम रूप से सबसे बड़ा है।

उदाहरण 6.3। आबादी के समूहों में से एक की चुनिंदा परीक्षा के परिणामों के मुताबिक, हम प्रति व्यक्ति मनी आय औसत के आकार की गणना करते हैं।

पहले अंतराल के बीच की निर्दिष्ट तालिका 500 है। दरअसल, दूसरे अंतराल का मूल्य 1000 (2000-1000) है; फिर पहले की निचली सीमा 0 (1000-1000) है, और इसके मध्य 500 है। इसी तरह, हम अंतिम अंतराल के साथ करते हैं। इसके मध्य के लिए, हम 25,000 लेते हैं: परिशुद्ध अंतराल 10 000 (20,000-10,000) की परिमाण, फिर इसकी ऊपरी सीमा - 30,000 (20,000 + 10,000), और मध्य क्रमश: 25,000 है।

फिर औसत स्थायी मासिक आय होगी