सबूत विधियां प्रमेय। गणितीय साक्ष्य का निर्माण

किसी भी अनुमोदन को साबित करें - इसका मतलब यह दिखाना है कि यह कथन तारकीय रूप से वास्तविक और संबंधित बयान की प्रणाली से अनुसरण करता है।

सबूत - यह एक तार्किक संचालन है, जिसकी प्रक्रिया में किसी भी अनुमोदन की सच्चाई अन्य सत्य और संबंधित बयानों के साथ उचित है। इसके लिए, निष्कर्षों की अंतिम श्रृंखला बनाई गई है, और उनमें से प्रत्येक का निष्कर्ष (बाद के अलावा) निम्नलिखित निष्कर्षों में से एक में एक पार्सल है।

मूल कानून तर्क:

1. पहचान का कानून। प्रत्येक विचार, तर्क में दोहराना, खुद के समान होना चाहिए।

पहचान के कानून का अर्थ है कि तर्क की प्रक्रिया में दूसरे के विचार को प्रतिस्थापित करना असंभव है, दूसरों की एक अवधारणा। समान के लिए समान विचारों को जारी करना असंभव है, और अलग-अलग।

2. कानून गैर विरोधाभास है।बयान और इसका इनकार एक साथ सच नहीं हो सकता है; उनमें से कम से कम एक निश्चित रूप से गलत है।

यदि एक औपचारिक तार्किक विरोधाभास सोच (और भाषण) में पाया जाता है, तो इस तरह की सोच को गलत माना जाता है, और निर्णय जिसके द्वारा विरोधाभास प्रवाह को झूठी माना जाता है।

3. एक पलायन तीसरे का कानून।एक ही विषय के बारे में दो विरोधाभासी बयानों में से एक - वास्तव में, और दूसरा झूठा है, तीसरा नहीं दिया गया है।

4. पर्याप्त नींव का कानून।प्रत्येक सच्चे कथन को अन्य बयानों की मदद से उचित ठहराया जाना चाहिए, जिसका सत्य साबित हुआ है।

जब गणितीय सबूत की बात आती है, तो यह आवश्यक है:

¾ एक बयान देने के लिए कि जिसकी सच्चाई साबित की जानी चाहिए;

¾ यह समझने के लिए कि प्रमाण कटौती निष्कर्ष की एक श्रृंखला है; यह तर्क के नियमों और कानूनों के अनुसार लागू किया गया है;

¾ समझें कि सबूत प्रक्रिया में अन्य सच्चे कथनों का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष साक्ष्य आयोजित करने की विधि के अनुसार।

स्वीकृति का प्रत्यक्ष प्रमाण और बी डीड्यूक्टिव निष्कर्षों की एक श्रृंखला का निर्माण तर्क के नियमों और कानूनों के अनुपालन और बयान प्रणाली का उपयोग करने के साथ लगातार किया गया है, जिसकी सच्चाई साबित हुई है।

(यदि चतुर्भुज सीधे तीन कोण हैं, तो यह एक आयताकार है)

अप्रत्यक्ष साक्ष्य का एक उदाहरण यह बुराई की विधि से सबूत है। सार निम्नानुसार है। इसे प्रमेय ए को साबित करने की आवश्यकता हो। दूसरे से विधि के सबूत के साथ, यह माना जाता है कि प्रमेय (सी) का निष्कर्ष झूठा है, और इसलिए, इसका इनकार सत्य है। साक्ष्य की प्रक्रिया में उपयोग किए जाने वाले सच्चे पार्सल के संयोजन में प्रस्ताव को संलग्न करना (जिनमें से शर्त ए) कटौतीत्मक निष्कर्षों की एक श्रृंखला द्वारा बनाई गई है जब तक कि अनुमोदन पार्सल में से किसी एक के विपरीत नहीं है और विशेष रूप से, स्थिति ए।

(ए + 3\u003e 10, फिर एक ¹7)

टिकट 15 सेट के बीच अनुरूपता की अवधारणा। अनुपालन सेट करने के तरीके। परस्पर - अस्पष्ट अनुपालन। बराबर सेट। मिलान के उदाहरण (पारस्परिक रूप से - अस्पष्ट)।

हम प्रीस्कूलर के साथ काम करने में अपूर्ण प्रेरण का उपयोग करने का एक उदाहरण देते हैं: वॉल्यूमेट्रिक ज्यामितीय आकार के साथ गेम "अद्भुत पाउच" का उपयोग करके, एक बच्चे का कार्य: "आंकड़ा और नाम प्राप्त करें।" कई प्रयासों के बाद, बच्चा एक धारणा बनाता है:

गेंद। गेंद। गेंद। यहां, शायद, सभी गेंदें।

कार्य 14।

यह सुनिश्चित करने के लिए और अधिक तर्क प्रदान करें कि प्राप्त की गई स्वीकृति सत्य है।

हमारे जीवन और विशेष रूप से विज्ञान में साक्ष्य के महत्व को अधिक महत्व देना असंभव है। सब कुछ सबूतों का सहारा लिया जाता है, लेकिन हमेशा इस बारे में नहीं सोचता कि इसका क्या अर्थ है "साबित करें *। व्यावहारिक साक्ष्य कौशल और सहज विचार कई घरेलू उद्देश्यों के लिए पर्याप्त हैं, लेकिन वैज्ञानिक के लिए नहीं।

किसी भी बयान को साबित करने के लिए यह दिखाना है कि यह तार्किक कथन तारकीय रूप से वास्तविक और संबंधित बयानों की प्रणाली से निम्नानुसार है।

सबूत अन्य सत्य और संबंधित बयानों के साथ किसी भी अनुमोदन की सच्चाई को न्यायसंगत बनाने का एक तार्किक संचालन है।

तीन संरचनात्मक तत्व प्रमाण में प्रतिष्ठित हैं:

1) साबित दावा;

2) सच्चे दावों की प्रणाली, जिसकी सहायता से सिद्ध की सच्चाई प्रमाणित की जाती है;

3) पीपी के बीच तर्क कनेक्शन। 1 और 2।

गणितीय साक्ष्य का मुख्य तरीका है कटौती आउटपुट।

उनके रूप में सबूत- यह एक कटौतीत्मक निष्कर्ष या वास्तविक पार्सल से साबित कथन तक कटौतीत्मक निष्कर्षों की श्रृंखला है।

गणितीय प्रमाण में, उत्तेजना का क्रम महत्वपूर्ण है। प्रतिष्ठित रखने की विधि के अनुसार प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष साक्ष्य। प्रत्यक्ष साक्ष्य पूर्ण प्रेरण को संदर्भित करता है, जिस सवाल का अनुच्छेद 1.6 चला गया।

पूर्ण प्रेरण - साक्ष्य की एक विधि, जिसमें अनुमोदन की सच्चाई सभी विशेष मामलों में अपनी सच्चाई से होती है।

पूर्ण प्रेरण यह अक्सर प्रीस्कूलर के साथ गेम में उपयोग किया जाता है: "एक शब्द में नाम।"

बयान के प्रत्यक्ष साक्ष्य का एक उदाहरण "किसी भी चतुर्भुज में कोणों का योग 360 डिग्री है":

"एक मनमाना चतुर्भुज पर विचार करें। इसमें एक विकर्ण खर्च करने के बाद, हमें 2 त्रिकोण मिलता है। चतुर्भुज के कोणों का योग दो गठित त्रिकोणों के कोणों के योग के बराबर होगा। चूंकि किसी भी त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री और 180 डिग्री को फोल्ड करने के बाद, हम कोनों का योग दो त्रिकोणों में प्राप्त करते हैं, यह 360 डिग्री होगा। नतीजतन, किसी भी चतुर्भुज में कोणों की मात्रा 360 है, जिसे साबित करने की आवश्यकता थी। "

निम्नलिखित निष्कर्ष उपरोक्त प्रमाण में प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

1. यदि यह आंकड़ा एक चतुर्भुज है, तो इसमें आप एक विकर्ण आकर्षित कर सकते हैं, जो 2 त्रिकोणों से चतुर्भुज को तोड़ देता है। यह आंकड़ा एक चतुर्भुज है। नतीजतन, इसे एक विकर्ण बनाने, 2 त्रिकोणों में विभाजित किया जा सकता है।

2. किसी भी त्रिभुज में, कोणों का योग आईएसओ के बराबर है। "डेटा आंकड़े त्रिकोण। इसके परिणामस्वरूप, उनमें से प्रत्येक के कोणों का योग 180 डिग्री है।

3. यदि चतुर्भुज दो त्रिकोण से बना है, तो इसके कोनों का योग इन त्रिकोणों के कोणों के योग के बराबर है। यह चतुर्भुज 180 डिग्री कोनों के साथ दो त्रिकोणों से बना है। 180 ° + 180o \u003d 360 °। नतीजतन, इस चतुर्भुज में कोणों का योग 360 डिग्री है।

सभी सूचीबद्ध निष्कर्ष राय के नियम के अनुसार किए जाते हैं, इसलिए कटौती की जाती है।

अप्रत्यक्ष साक्ष्य का एक उदाहरण बुराई से विधि का सबूत है। में इस मामले की अनुमति है यह निष्कर्ष झूठा है, इसलिए, उसका इनकार सत्य है। इस प्रस्ताव को सच्चे पार्सल के कुल योग को संलग्न करके, तर्क तब तक किया जाता है जब तक कि उन्हें विरोधाभास नहीं मिलता है।

हम विपरीत प्रमेय से सबूत का एक उदाहरण देते हैं: "यदि दो प्रत्यक्ष लेकिन अ तथा ख तीसरे सीधे सी के समानांतर, तो वे एक दूसरे के समानांतर हैं ":

"मान लीजिए कि प्रत्यक्ष लेकिन अ तथा बी समानांतर नहीं, फिर वे किसी बिंदु ए पर पार करेंगे, न कि एक सीधी रेखा से संबंधित नहीं है। फिर हम इसे बिंदु ए के माध्यम से प्राप्त करते हैं, आप दो सीधे और बी खर्च कर सकते हैं, समानांतर। यह समानांतरता के सिद्धांत के विपरीत है: "के संदर्भ में

8. रनटाइम परिभाषा नियम और प्रजाति अंतर शब्द।

9. क्या दृढ़ संकल्प कहा जाता है:

प्रासंगिक;

ओस्टेंस?

10. एक बयान क्या है, और व्हाटटेरल फॉर्म क्या है?

11. जब प्रजातियों के सुझाव "ए और बी", "ए या बी", "ए" नहीं "सत्य नहीं हैं, और कब गलत हैं?

12. समुदाय के समुदाय और क्वांटिफायर की मात्रा सूचीबद्ध करें। विभिन्न क्वांटिफायर के साथ प्रस्तावों की सच्चाई के मूल्य को कैसे सेट करें?

13. जब प्रस्तावों के बीच कोई संबंध होता है, और समकक्ष का अनुपात कब होता है? वे कैसे नामित हैं?

14. एक निष्कर्ष क्या है? किस तरह का निष्कर्ष निकालना कहा जाता है?

15. निष्कर्ष नियम के प्रतीकों की मदद के साथ रिकॉर्ड, इनकार करने का नियम, नशे में होने का नियम।

16. अधूरे प्रेरण किस तरह के निष्कर्षों को कहा जाता है, और समानता के निष्कर्ष क्या हैं?

17. किसी भी बयान को साबित करने का क्या मतलब है?

18. गणितीय सबूत क्या है?

19. पूर्ण प्रेरण की परिभाषा दें।

20. परिष्कार क्या है?

ग्रंथसूची विवरण: Grigoriev के.वी., ओचिरोवा ए बी, सरगोव ए ए, बर्लुकोवा एस एस, मुचामेव जी एम। गणितीय सबूत // युवा वैज्ञानिक के तरीकों की विविधता। - 2017. - №1। - पी। 45-46..03.2019)।



सबूत की बात करते हुए, रोजमर्रा की जिंदगी में, हम तैयार अनुमोदन के सत्यापन का मतलब है। सीधे गणित में, अवधारणाओं और सबूत संक्षेप में अलग हैं, हालांकि वे रिश्ते को ले जाते हैं।

आइए साबित करें कि यदि चतुर्भुज में तीन कोण 90 डिग्री है, तो इस तरह के एक चतुर्भुज एक आयताकार है।

एक चतुर्भुज पर विचार करें, जिसमें 90 डिग्री के बराबर तीन कोण है। हम चौथे कोने को मापेंगे और इसकी डिग्री पाएंगे। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि यह भी प्रत्यक्ष होगा। इस प्रकार का सत्यापन इस कथन की पुष्टि करता है, लेकिन सबूत नहीं है।

इस अनुमोदन को साबित करने के लिए, एक मनमानी चतुर्भुज पर विचार करना आवश्यक है, जिसमें 90⁰ के बराबर तीन कोण हैं। चूंकि किसी भी उत्तल चतुर्भुज में, कोणों का योग 360⁰ है, इसलिए वांछित कोण 90⁰ (360⁰ - 90 डिग्री * 3) है। आयताकार एक चतुर्भुज है, जिनके पास सभी कोनों को निर्देशित किया गया है। तो, यह चतुर्भुज एक आयताकार होगा। Q.E.D.

प्रमाण के प्रमाण का अर्थ सही बयानों का निम्नलिखित अनुक्रम है: प्रमेय, सिद्धांत, परिभाषाएं जो तर्कसंगत रूप से इस बात का पालन करती हैं जो साबित की जानी चाहिए। बयान को साबित करने के लिए यह दिखाना है कि यह कथन तार्किक रूप से कई सच्चे और संबंधित बयानों से चलता है।

इस घटना में कि विचाराधीन बयान तर्कसंगत रूप से सिद्ध आरोपों से आता है, यह उचित और सत्य है। गणितीय साक्ष्य का आधार कटौतीत्मक विधि है। और सबूत स्वयं निष्कर्षों की एक श्रृंखला के रूप में कार्य करता है, और उत्तरार्द्ध के अलावा, उनमें से प्रत्येक का निष्कर्ष निम्नलिखित निष्कर्षों में से एक में एक पार्सल है।

निम्नलिखित निष्कर्षों की समीक्षा में निम्नलिखित निष्कर्ष आवंटित किए जा सकते हैं:

- किसी भी उत्तल चतुर्भुज में कोनों का योग 360⁰ है; यह आंकड़ा एक उत्तल चतुर्भुज है, इसलिए, 360⁰ में कोणों का योग;

- यदि चतुर्भुज के सभी कोणों और उनमें से तीन का योग ज्ञात है, तो घटाव चौथे की मात्रा पाया जा सकता है; इस चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360 डिग्री है, तीन 270⁰ (90 डिग्री · 3 \u200b\u200b\u003d 270⁰) का योग, फिर उनके अंतर को परिभाषित करके, हम वांछित कोण को 90⁰ के बराबर पाएंगे;

- यदि चतुर्भुज में सभी कोनों प्रत्यक्ष हैं, तो यह चतुर्भुज एक आयताकार है; हमारे मामले में, चतुर्भुज में, सभी कोनों प्रत्यक्ष हैं, इसलिए यह एक आयताकार है।

सभी विचार निष्कर्ष राय के नियम के अनुसार किए जाते हैं और तदनुसार, कटौती कर रहे हैं।

सबसे सरल सबूत में एक निष्कर्ष होता है। उदाहरण के लिए, इस कथन का प्रमाण है कि 5

गणितीय साक्ष्य की संरचना को ध्यान में रखते हुए, हम समझते हैं कि यह सब से ऊपर, एक बयान शामिल है जो साबित हुआ है, और सच्चे दावे की प्रणाली जिसके माध्यम से सबूत आयोजित किया जाता है।

यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गणितीय सबूत सिर्फ निष्कर्ष का एक सेट नहीं है, बल्कि निष्कर्ष एक निश्चित क्रम में स्थित है।

प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष साक्ष्य आयोजित करने की विधि के अनुसार। पहले माना गया साक्ष्य सीधे संबंधित है - इसमें, एक अलग सच्चे प्रस्ताव के आधार पर, एक अलग सच्चे प्रस्ताव के आधार पर और प्रमेय की स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, कटौतीत्मक निष्कर्षों की श्रृंखला जुड़ी हुई थी, जिसने सीधे एक वास्तविक निष्कर्ष निकाला।

अप्रत्यक्ष साक्ष्य के उदाहरण के रूप में, सबूत बुराई से विधि का सबूत है। इसका सार निम्न में शामिल है: अन्य से विधि के सबूत में प्रमेय ए ⇒ वी को साबित करने के लिए इसे आवश्यक होने दें, यह माना जाता है कि प्रमेय (सी) का निष्कर्ष झूठा है, और इसलिए, यह अस्वीकार सच होगा। प्रस्ताव को संलग्न करना "इन नहीं" को सबूत प्रक्रिया में उपयोग किए जाने वाले सच्चे पार्सल के संयोजन के लिए (किस स्थिति में ए) को कटौतीत्मक निष्कर्षों की एक श्रृंखला द्वारा किया जाता है जब तक कि हम पार्सल में से किसी एक के विपरीत, विशेष रूप से, स्थिति के विपरीत नहीं होते हैं ए केवल इतना विरोधाभास स्थापित किया गया है, सबूत की प्रक्रिया पूरी हो गई है और इस विश्वास में आ गई है कि परिणामी विरोधाभास एक ⇒ में प्रमेय की सच्चाई साबित करता है।

कार्य 1. साबित करें कि यदि x + 2\u003e 10, x ≠ 8. विधि का विरोध किया जाता है।

कार्य 2. साबित करें कि यदि u² एक संख्या भी है, तो वाई - यहां तक \u200b\u200bकि। बुरा से विधि।

कार्य 3. लगातार चार प्राकृतिक संख्याएं हैं। क्या यह सच है कि इस अनुक्रम की औसत संख्या का उत्पाद 2 पर चरम के उत्पाद से अधिक है? अधूरा प्रेरण की विधि।

पूर्ण प्रेरण साक्ष्य की यह विधि है, जिसमें अनुमोदन की सच्चाई सभी विशेष मामलों में अपनी सच्चाई से होती है।

कार्य 4. साबित करें कि प्रत्येक समग्र प्राकृतिक संख्या, 4 से अधिक, लेकिन छोटे 20, दो सरल संख्याओं के योग के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं।

इस प्रकार, गणितीय सबूत किसी भी अनुमोदन (प्रमेय) की सच्चाई को साबित करने के लिए तर्कसंगत है, तार्किक निष्कर्षों की एक श्रृंखला, यह दर्शाता है कि, सिद्धांतों और निष्कर्ष के एक निश्चित सेट की सच्चाई के अधीन, अनुमोदन सत्य है।

साहित्य:

1. ज्यामिति / 7-9 कक्षाएं: अध्ययन। सामान्य शिक्षा के लिए। संस्थान / [एल। एस अटानुसांस, वी। एफ। बटुज़ोव, एस बी Kadomtsev]। - 21 एड। - एम।: ज्ञान, 2011।

व्याख्यान 10. गणितीय साक्ष्य के तरीके

1. गणितीय साक्ष्य के तरीके

2. प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष साक्ष्य। गंदा की विधि से सबूत।

3. मूल निष्कर्ष

रोजमर्रा की जिंदगी में, अक्सर, जब वे सबूत के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब सिर्फ अनुमोदन का सत्यापन होता है। गणित में, जांच और सबूत अलग-अलग चीजें हैं, यद्यपि जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए आवश्यक है कि यदि चतुर्भुज तीन कोनों में प्रत्यक्ष हैं, तो यह एक आयताकार है।

यदि हम एक चतुर्भुज लेते हैं, जिनके पास सीधे तीन कोण होते हैं, और चौथे को मापते हैं, सुनिश्चित करें कि वह वास्तव में सीधे है, तो यह जांच इस अनुमोदन को अधिक विश्वसनीय बना देगी, लेकिन अभी तक साबित नहीं हुई है।

इस कथन को साबित करने के लिए, एक मनमानी चतुर्भुज पर विचार करें, जिसमें तीन कोनों के प्रत्यक्ष हैं। चूंकि किसी भी उत्तल चतुर्भुज में कोणों का योग 360⁰ है, तो यह 360 डिग्री है। तीन प्रत्यक्ष कोणों का योग 270 डिग्री (90⁰ 3 \u003d 270⁰) है, और इसका मतलब है, चौथे का मूल्य 90⁰ (360⁰ - 270⁰) का मूल्य है। यदि चतुर्भुज के सभी कोनों सीधे हैं, तो यह एक आयताकार है जिसके परिणामस्वरूप, यह चतुर्भुज एक आयताकार होगा। Q.E.D.

ध्यान दें कि सबूत के सबूत का सार सच्चे बयानों (प्रमेय, सिद्धांतों, परिभाषाओं) के अनुक्रम का निर्माण करना है, जिसमें से अनुमोदन को तार्किक रूप से प्रस्तावित किया जाना चाहिए।

बिलकुल किसी भी बयान को साबित करें - यह दिखाने का मतलब है कि यह कथन तारकीय रूप से वास्तविक और संबंधित बयानों की प्रणाली से निम्नानुसार है.

तर्क में, ऐसा माना जाता है कि यदि तर्क के तहत अनुमोदन तार्किक रूप से पहले से सिद्ध दावों से पहले ही होता है, तो यह उचित और भी सत्य है, साथ ही साथ।

इस प्रकार, गणितीय साक्ष्य का आधार एक कटौतीत्मक निष्कर्ष है। और सबूत स्वयं निष्कर्षों की एक श्रृंखला है, और उनमें से प्रत्येक का निष्कर्ष (बाद के अलावा) निम्नलिखित निष्कर्षों में से एक में एक पार्सल है।

उदाहरण के लिए, उपर्युक्त प्रमाण में, निम्नलिखित निष्कर्षों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

1. चतुर्भुज के किसी भी उत्तल में, कोणों का योग 360 डिग्री है; यह आंकड़ा एक उत्तल चतुर्भुज है, इसलिए, 360⁰ में कोणों का योग।

2. यदि चतुर्भुज के सभी कोणों का योग और उनमें से तीन का योग ज्ञात है, तो घटाव चौथे की मात्रा पाया जा सकता है; इस चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360 डिग्री है, तीन 270⁰ (90⁰ 3 \u003d 270⁰) का योग, फिर चौथे 360⁰ की परिमाण - 270⁰ \u003d 90⁰।

3. यदि चतुर्भुज में सभी कोनों प्रत्यक्ष हैं, तो यह चतुर्भुज एक आयताकार है; इस चतुर्भुज में, सभी कोनों प्रत्यक्ष हैं, इसलिए, यह एक आयताकार है।

सभी सूचीबद्ध निष्कर्ष राय के नियम के अनुसार किए जाते हैं और इसलिए, कटौतीत्मक हैं।

सबसे सरल सबूत में एक निष्कर्ष होता है। उदाहरण के लिए, इस कथन का प्रमाण है कि 6< 8.

तो, गणितीय साक्ष्य की संरचना के बारे में बात करते हुए, हमें यह समझना चाहिए कि इसमें मुख्य रूप से एक बयान शामिल है जो साबित हुआ है, और सच्चे बयानों की प्रणाली, किस सबूत की सहायता से।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय सबूत सिर्फ निष्कर्ष का एक सेट नहीं है, ये एक निश्चित क्रम में स्थित निष्कर्ष हैं।

रखने की विधि के अनुसार (रूप में) अंतर प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष का प्रमाण। पहले विचार किया गया सबूत सीधे था - इसमें, कुछ सच्चे वाक्य के आधार पर और, प्रमेय की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, कटौतीत्मक निष्कर्षों की एक श्रृंखला का निर्माण किया गया था, जिसके कारण एक वास्तविक निष्कर्ष निकाला गया।

अप्रत्यक्ष साक्ष्य का एक उदाहरण सबूत है गंदा से विधि . सार निम्नानुसार है। इसे प्रमेय साबित करने की आवश्यकता है

एक ⇒ वी। विपरीत से विधि के सबूत में, यह माना जाता है कि प्रमेय (सी) का निष्कर्ष झूठा है, और इसलिए, इसका इनकार सत्य है। प्रस्ताव को संलग्न करना "नहीं" साक्ष्य की प्रक्रिया में उपयोग किए जाने वाले सच्चे पार्सल के सेट (जिनमें से शर्त ए) को कटौतीत्मक निष्कर्षों की एक श्रृंखला द्वारा बनाया गया है जब तक कि एक बयान पार्सल में से किसी एक के विपरीत नहीं है और विशेष रूप से, स्थिति ए केवल इतना विरोधाभास स्थापित किया गया है, सबूत प्रक्रिया खत्म हो जाती है और कहती है कि परिणामी विरोधाभास प्रमेय की सच्चाई साबित करता है

कार्य 1. साबित करें कि यदि ए + 3\u003e 10, तो एक ≠ 7. विधि का विरोध किया जाता है।

कार्य 2. साबित करें कि यदि x² एक संख्या भी है, x - यहां तक \u200b\u200bकि। बुरा से विधि।

कार्य 3. लगातार चार प्राकृतिक संख्याएं हैं। क्या यह सच है कि इस अनुक्रम की औसत संख्या का उत्पाद 2 पर चरम के काम से अधिक है? अधूरा प्रेरण की विधि।

पूर्ण प्रेरण - यह सबूत की एक विधि है, जिसमें अनुमोदन की सच्चाई सभी विशेष मामलों में इसकी सच्चाई से होती है।

कार्य 4. साबित करें कि प्रत्येक समग्र प्राकृतिक संख्या, 4 से अधिक, लेकिन छोटे 20, दो सरल संख्याओं के योग के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं।

टास्क 5 क्या यह सच है कि यदि प्राकृतिक संख्या एन एकाधिक 3 नहीं है, तो अभिव्यक्ति का मूल्य N² + 2 अधिक बार 3? पूर्ण प्रेरण की विधि।

ब्रोशर में, भाषा द्वारा सस्ती भाषाएं कुछ मौलिक सिद्धांतों का वर्णन करती हैं जिन पर गणित का विज्ञान बनाया जा रहा है: गणितीय सबूत की अवधारणा अन्य विज्ञानों में और रोजमर्रा की जिंदगी में अपनाए गए साक्ष्य की अवधारणा से अलग है, क्या साक्ष्य के सबसे सरल अनुप्रयोगों का उपयोग गणित में किया जाता है, क्योंकि "उचित" सबूत के विचार के विचार के विचार के बारे में विचार है कि इस तरह की एक स्वायत्त विधि सत्य और सबूत के बीच के अंतर के कारण है।
पाठकों के एक बहुत विस्तृत सर्कल के लिए, हाई स्कूलों के स्कूली बच्चों के साथ शुरू।

गणित और सबूत।
यहां तक \u200b\u200bकि गणित के आदमी से भी अपरिचित, गणित में एक पुस्तक लेना, एक नियम के रूप में, तुरंत यह निर्धारित कर सकता है कि यह पुस्तक वास्तव में गणित में है, न कि किसी अन्य विषय के लिए। और यह सिर्फ इतना नहीं है कि निश्चित रूप से बहुत सारे सूत्र होंगे: भौतिकी में दोनों पुस्तकों में भौतिकी, खगोल विज्ञान या पुल भवनों में सूत्र हैं। तथ्य यह है कि गणित में किसी भी गंभीर पुस्तक में निश्चित रूप से सबूत हैं। यह गणितीय बयानों की प्रकीला है कि गणितीय ग्रंथों में साक्ष्य की उपस्थिति यह है कि यह ज्ञान के अन्य क्षेत्रों से गणित द्वारा स्पष्ट रूप से प्रतिष्ठित है।

एक ही ग्रंथ को कवर करने का पहला प्रयास सभी गणित ने III शताब्दी में हमारे युग में एक प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लाइड लिया। नतीजतन, प्रसिद्ध "शुरुआत" यूक्लिडा दिखाई दिया। और दूसरा प्रयास केवल एक्सएक्स शताब्दी में हुआ था। ई।, और वह निकोल बर्बाकी के फ्रांसीसी गणित से संबंधित है, जो 1 9 3 9 में एक बहु-मात्रा ग्रंथ "गणित शुरू करने" प्रकाशित करने के लिए शुरू हुई थी। यह वाक्यांश बॉम्बाकी को उनके ग्रंथ खोलता है: "चूंकि ग्रीक के समय के बाद से," गणित "कहते हैं, इसका मतलब है" सबूत "कहना है। इस प्रकार, "गणित" और "सबूत" - इन दो शब्दों को लगभग समानार्थी घोषित किया जाता है।

विषयसूची
गणित और साक्ष्य
गणितीय शर्तों की सटीकता और अनियमितता पर
बातचीत करने की विधि से सबूत
अस्तित्व का अप्रत्यक्ष सबूत। सिद्धांत दिलाह
सबूत "विपरीत से"
सबसे महान और सबसे छोटे और अनंत वंश की विधि के सिद्धांत
अधिष्ठापन
गणितीय प्रेरण द्वारा साक्ष्य
पूर्ण प्रेरण और अधूरा प्रेरण
गणितीय साक्ष्य का विचार समय के साथ बदल रहा है।
दो भौतिक विधियों - अनौपचारिक और औपचारिक
अनौपचारिक अक्षीय विधि
औपचारिक विषम विधि
गोडेल प्रमेय।

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