कैलकुलेटर आकृति स्क्वायर लिमिटेड। ऑनलाइन कैलकुलेटर। एक विशिष्ट अभिन्न (curvilinear trapezium क्षेत्र) समाशोधन

18.10.2019

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इस आलेख से, आप सीखेंगे कि इंटीग्रल का उपयोग करके गणनाओं का उपयोग करके लाइनों द्वारा सीमित आंकड़ों का एक क्षेत्र कैसे ढूंढें। पहली बार, हम हाई स्कूल में इस तरह के एक कार्य का सामना करते हैं, जब हमने कुछ इंटीग्रल के अध्ययन को पारित किया और अभ्यास में प्राप्त ज्ञान की ज्यामितीय व्याख्या शुरू करने का समय है।

तो, इंटीग्रल की मदद से आकृति के क्षेत्र की खोज की समस्या को सफलतापूर्वक हल करने की आवश्यकता होगी:

कौशल सक्षम रूप से चित्र बनाएँ;
प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिक फॉर्मूला की मदद से एक विशिष्ट अभिन्न को हल करने की क्षमता;
एक अधिक लाभदायक समाधान समाधान "देखने" की क्षमता - यानी समझें कि इस तरह के मामले में यह एकीकरण करने के लिए और अधिक सुविधाजनक होगा? एक्स अक्ष (ऑक्स) या खेल की धुरी (ओवाई) के साथ?
खैर, जहां सही कंप्यूटिंग के बिना?) इसमें यह समझ में शामिल है कि अन्य प्रकार के इंटीग्रल और सही संख्यात्मक गणनाओं को कैसे हल किया जाए।

आकृति के क्षेत्र की गणना करने के कार्य को हल करने के लिए एल्गोरिदम, सीमित लाइनें:

1. एक ड्राइंग का निर्माण। एक बड़े पैमाने के साथ, पिंजरे में एक टुकड़े पर ऐसा करने की सलाह दी जाती है। हम प्रत्येक चार्ट पर एक पेंसिल की सदस्यता लें इस फ़ंक्शन का नाम। ग्राफ का हस्ताक्षर विशेष रूप से आगे कंप्यूटिंग की सुविधा के लिए किया जाता है। वांछित आकृति का ग्राफ प्राप्त करने के बाद, ज्यादातर मामलों में यह तुरंत देखा जाएगा कि एकीकरण सीमा का उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार, हम एक ग्राफिक विधि के साथ कार्य को हल करते हैं। हालांकि, ऐसा होता है कि सीमा के मूल्य आंशिक या तर्कहीन हैं। इसलिए, आप अतिरिक्त गणना कर सकते हैं, चरण दो पर जाएं।

2. यदि एकीकरण सीमा स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं है, तो हमें एक-दूसरे के साथ ग्राफ के चौराहे बिंदु मिलते हैं, और हम देखते हैं कि विश्लेषणात्मक के साथ हमारे ग्राफिक समाधान का संयोग है या नहीं।

3. इसके बाद, ड्राइंग का विश्लेषण करना आवश्यक है। कार्यों के ग्राफिक्स के आधार पर इस पर निर्भर करता है कि आकृति के क्षेत्र को खोजने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण हैं। इंटीग्रल की मदद से आकृति के क्षेत्र को खोजने के लिए विभिन्न उदाहरणों पर विचार करें।

3.1. सबसे क्लासिक और सरल कार्य विकल्प तब होता है जब आपको Curvilinear Trapezium के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है। एक Curvilinear trapeze क्या है? यह एक फ्लैट आकृति है जो एक्स अक्ष तक सीमित है (y \u003d 0)सीधे x \u003d a, x \u003d b और अंतराल पर लगातार कोई वक्र ए। इससे पहले बी। उसी समय, यह आंकड़ा गैर-नकारात्मक है और एब्सिसा अक्ष से कम नहीं है। इस मामले में, Curvilinear Trapezium का क्षेत्र न्यूटन लैब्सेंडर फॉर्मूला द्वारा गणना की गई एक विशिष्ट अभिन्न अंग के बराबर है:

उदाहरण 1। y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

क्या लाइनें सीमित हैं? हमारे पास परवलबा y \u003d x2 - 3x + 3जो धुरी के ऊपर स्थित है ओह, यह गैर-नकारात्मक है, क्योंकि इस पैराबोला के सभी बिंदु सकारात्मक हैं। अगला, प्रत्यक्ष x \u003d 1। तथा x \u003d 3।जो एक्सिस के समानांतर चलते हैं कहांबाईं और दाईं ओर आकृति की प्रतिबंधक रेखाएं हैं। कुंआ y \u003d 0वह एक एक्स अक्ष है जो नीचे दिए गए आंकड़े को सीमित करती है। परिणामी आंकड़ा छायांकित है, जैसा कि बाईं ओर ड्राइंग से देखा जा सकता है। इस मामले में, आप तुरंत समस्या को हल करना शुरू कर सकते हैं। हमारे पास एक curvilinear trapezium का एक सरल उदाहरण है, जो कि न्यूटन-लीबनिक फॉर्मूला की मदद से आगे हल हो रहा है।

3.2. पिछले अनुच्छेद 3.1 में, Curvilinear Trapezium x अक्ष के ऊपर स्थित होने पर मामला अलग हो गया है। अब इस मामले पर विचार करें जब कार्य की शर्तें समान हों, सिवाय इसके कि फ़ंक्शन एक्स अक्ष के नीचे चलता है। मानक न्यूटन-लैबेंडर फॉर्मूला को शून्य जोड़ा गया है। इस तरह के एक कार्य को हल करने के लिए आगे विचार करें।

उदाहरण 2। । आकार, सीमित लाइनों के क्षेत्र की गणना करें y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

इस उदाहरण में, हमारे पास एक पैराबोला है y \u003d x2 + 6x + 2जो धुरी से उत्पन्न होता है ओह, सीधे x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0। यहाँ y \u003d 0 ऊपर से वांछित आकृति को सीमित करता है। सीधे x \u003d -4। तथा x \u003d -1। ये सीमाएं हैं जिनके भीतर एक विशिष्ट अभिन्न की गणना की जाएगी। आंकड़े के क्षेत्र को खोजने की समस्या को हल करने का सिद्धांत लगभग पूरी तरह से उदाहरण संख्या 1 के साथ मेल खाता है। केवल अंतर यह है कि निर्दिष्ट फ़ंक्शन सकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर सबकुछ भी निरंतर है [-4; -1] । सकारात्मक का क्या मतलब नहीं है? जैसा कि आकृति से देखा जा सकता है, आंकड़ा, जो निर्दिष्ट आईसीएस के भीतर स्थित है, विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक है, जिसे हमें समस्या को हल करते समय देखने और याद रखने की आवश्यकता है। आंकड़े का क्षेत्र न्यूटन लैब्स्सा फॉर्मूला की तलाश में है, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

लेख पूरा नहीं हुआ है।

अभिन्न अनुप्रयोग अनुप्रयोगों पर विचार करने के लिए जाओ। इस पाठ में, हम ठेठ और सबसे आम कार्य का विश्लेषण करेंगे। एक विशिष्ट अभिन्न के साथ एक फ्लैट आकृति की गणना। अंत में, उच्चतम गणित में अर्थ के सभी अर्थ - उन्हें पाया जाएगा। थोड़ा। हमें देश क्षेत्र को प्राथमिक कार्यों के साथ जीवन में लाना होगा और एक विशिष्ट अभिन्न का उपयोग करके अपने क्षेत्र को ढूंढना होगा।

सफल भौतिक विकास के लिए, यह आवश्यक है:

1) कम से कम एक औसत स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझने के लिए। इस प्रकार, टीपोट्स को पाठ से परिचित होना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन लैबनिक फॉर्मूला को लागू करने और एक विशिष्ट अभिन्न गणना करने में सक्षम होने के लिए। पृष्ठ पर कुछ इंटीग्रल के साथ गर्म दोस्ती स्थापित करने के लिए कुछ अभिन्न। समाधान के उदाहरण. कार्य "एक विशिष्ट अभिन्न की मदद से क्षेत्र की गणना करें" हमेशा ड्राइंग के निर्माण का तात्पर्य हैइसलिए, चित्र बनाने के आपके ज्ञान और कौशल भी एक जरूरी मुद्दा होगा। कम से कम, आपको एक सीधे, पैराबोला और हाइपरबोला बनाने में सक्षम होना चाहिए।

चलो एक curvilinear trapezium के साथ शुरू करते हैं। एक curvilinear trapezium एक आदर्श विशेषता है जो कुछ सुविधा के एक ग्राफ द्वारा सीमित है। वाई = एफ(एक्स।), एक्सिस बैल। और लाइनें एक्स। = ए।; एक्स। = बी.

Curvilinear Trapezium का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक विशिष्ट अभिन्न के बराबर है

कोई भी विशेष अभिन्न (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ है। सबक पर कुछ अभिन्न। समाधान के उदाहरणहमने कहा कि एक निश्चित अभिन्न एक संख्या है। और अब यह एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय है। ज्यामिति के दृष्टिकोण से, एक निश्चित अभिन्न एक क्षेत्र है। अर्थात, एक विशिष्ट अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से कुछ आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है। एक विशिष्ट अभिन्न पर विचार करें

एकीकरण

विमान पर वक्र निर्दिष्ट करता है (वांछित होने पर इसे खींचा जा सकता है), और एक निश्चित अभिन्न अंग संख्यात्मक curvilinear trapezium के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1।

, , , .

यह एक सामान्य कार्य फॉर्मूलेशन है। निर्णय का सबसे महत्वपूर्ण बिंदु एक ड्राइंग बनाना है। और ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

ड्राइंग का निर्माण करते समय, मैं निम्नलिखित आदेश की अनुशंसा करता हूं: प्रथम यह सब सीधे बनाना बेहतर है (यदि वे हैं) और केवल बाद में - पैराबोलास, हाइपरबोलास, अन्य कार्यों के कार्यक्रम। चेक-इन निर्माण की तकनीक संदर्भ सामग्री में पाया जा सकता है। प्राथमिक कार्यों के चार्ट और गुण। वहां आप हमारे पाठ के संबंध में एक बहुत ही उपयोगी सामग्री भी पा सकते हैं - कैसे एक पैराबोला का निर्माण कैसे करें।

इस कार्य में, निर्णय इस तरह दिख सकता है।

ड्राइंग करें (ध्यान दें कि समीकरण वाई \u003d 0 एक्सिस सेट करता है बैल।):

एक curvilinear trapeionion हड़ताल नहीं होगा, यह स्पष्ट है कि किस क्षेत्र में एक भाषण है। निर्णय इस तरह जारी है:

सेगमेंट पर [-2; 1] समारोह अनुसूची वाई = एक्स। 2 + 2 स्थित है धुरी से अधिकबैल।, तोह फिर:

उत्तर: .

जो एक निश्चित अभिन्न और न्यूटन-लीबिया सूत्र के उपयोग की गणना के साथ कठिनाइयों है

व्याख्यान का संदर्भ लें कुछ अभिन्न। समाधान के उदाहरण। कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग और अनुमान को देखने के लिए हमेशा उपयोगी होता है, वास्तविक एक निकला। इस मामले में, "आंखों पर" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या की गणना करते हैं - ठीक है, लगभग 9 उड़ाए जाएंगे, यह सच लगता है। यह स्पष्ट है कि अगर हमारे पास कहा गया है, जवाब: 20 वर्ग इकाइयां, यह स्पष्ट है कि एक त्रुटि कहीं भी की जाती है - 20 कोशिकाओं के आंकड़े में, यह एक दर्जन की ताकत से स्पष्ट रूप से फिट नहीं होता है। यदि उत्तर नकारात्मक हो गया है, तो कार्य को गलत तरीके से तय किया जाता है।

उदाहरण 2।

आकार, सीमित लाइनों के क्षेत्र की गणना करें xy। = 4, एक्स। = 2, एक्स। \u003d 4 और एक्सिस बैल।.

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। सबक के अंत में पूरा समाधान और उत्तर।

क्या करना है अगर curvilinear trapezium स्थित है अक्ष के तहतबैल।?

उदाहरण 3।

आकार, सीमित लाइनों के क्षेत्र की गणना करें वाई = ई - एक्स।, एक्स। \u003d 1 और कुल्हाड़ियों को समन्वयित करें।

समाधान: ड्राइंग करें:

यदि एक curvilinear trapezium पूरी तरह से अक्ष के नीचे स्थित है बैल। , फिर इसका क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपको किसी भी ज्यामितीय अर्थ के बिना एक साधारण अभिन्न को हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक विशिष्ट अभिन्न का उपयोग करके आकृति का आंकड़ा खोजने के लिए आमंत्रित किया जाता है, तो क्षेत्र हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि माना जाता सूत्र में शून्य दिखाई देता है।

व्यावहारिक रूप से, यह आंकड़ा अक्सर ऊपरी और निचले आधे विमान में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूल चार्ट से, अधिक सार्थक उदाहरणों पर जाते हैं।

उदाहरण 4।

क्षेत्र फ्लैट आकार सीमित लाइनों का पता लगाएं वाई = 2एक्स। – एक्स। 2 , वाई = -एक्स।.

समाधान: सबसे पहले आपको एक ड्राइंग खींचने की जरूरत है। क्षेत्र में कार्यों में एक ड्राइंग का निर्माण करते समय, हम लाइनों के चौराहे बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। पैराबोला के चौराहे के अंक खोजें वाई = 2एक्स। – एक्स। 2 और प्रत्यक्ष वाई = -एक्स।। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण को हल करते हैं:

तो, एकीकरण की निचली सीमा ए। \u003d 0, ऊपरी एकीकरण सीमा बी \u003d 3. अक्सर प्रवाह की रेखाओं को बनाने के लिए अक्सर अधिक लाभदायक और तेज़ होता है, जबकि एकीकरण सीमा को "स्वयं द्वारा" के रूप में स्पष्ट किया जाता है। हालांकि, सीमाओं को खोजने का एक विश्लेषणात्मक तरीका, कभी-कभी आवेदन करना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, कार्यक्रम काफी बड़ा है, या एक प्रशिक्षित निर्माण ने एकीकरण सीमाओं को प्रकट नहीं किया (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। हम अपने कार्य पर लौटते हैं: अधिक तर्कसंगत पहले एक सीधी रेखा का निर्माण और केवल फिरवलोला। ड्राइंग करें:

वर्तमान निर्माण में दोहराएं, एकीकरण सीमा सबसे अधिक बार "स्वचालित रूप से" पता लगाती है।

और अब काम का सूत्र:

यदि खंड पर [ ए।; बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स।) अधिक या बराबर कुछ निरंतर कार्य जी(एक्स।), तो संबंधित आंकड़े का क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

यहां, यह सोचने की आवश्यकता नहीं है कि आकृति अक्ष या अक्ष के नीचे स्थित है, और महत्वपूर्ण क्या ग्राफ ऊपर है(दूसरे अनुसूची के सापेक्ष) और क्या - नीचे.

इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पैराबोला के खंड पर सीधे ऊपर स्थित है, और इसलिए 2 में से एक्स। – एक्स। 2 घटाने की जरूरत है एक्स।.

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा पैराबोला तक सीमित है वाई = 2एक्स। – एक्स। 2 शीर्ष और सीधे वाई = -एक्स। तल।

सेगमेंट 2 पर। एक्स। – एक्स। 2 ≥ -एक्स।। इसी सूत्र के अनुसार:

उत्तर: .

वास्तव में, निचले अर्ध-विमान में curvilinear trapezium के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (उदाहरण संख्या 3 देखें) - सूत्र का एक विशेष मामला

धुरी के बाद से बैल। समीकरण द्वारा मान्य वाई \u003d 0, और एक समारोह अनुसूची जी(एक्स।) धुरी के नीचे स्थित है बैल।टी

और अब एक स्वतंत्र निर्णय के लिए कुछ उदाहरण हैं

उदाहरण 5।

उदाहरण 6।

आंकड़े सीमित लाइनों का एक क्षेत्र खोजें

एक विशिष्ट अभिन्न अंग की गणना के लिए कार्यों को हल करने के दौरान, एक अजीब मामला कभी-कभी होता है। ड्राइंग सही ढंग से पूरा हो गया है, गणना - ठीक है, लेकिन, असावधानी से, ... पाया क्षेत्र आंकड़ा नहीं है।

उदाहरण 7।

पहले ड्राइंग निष्पादित करें:

चित्र किसका क्षेत्र को खोजने की जरूरत है नीले रंग में छायांकित है(स्थिति पर ध्यान से देखो - आंकड़े सीमित है!)। लेकिन व्यावहारिक रूप से, असंतोषजनक से, अक्सर यह तय करते हैं कि आपको आकृति के क्षेत्र को खोजने की ज़रूरत है, जो हरे रंग के साथ छायांकित है!

यह उदाहरण भी उपयोगी है कि इसे दो विशिष्ट इंटीग्रल के आकार में माना जाता है। सच में:

1) सेगमेंट पर [-1; 1] एक्सिस पर बैल। प्रत्यक्ष अनुसूची प्रत्यक्ष वाई = एक्स।+1;

2) धुरी के ऊपर सेगमेंट पर बैल। हाइपरबोले का एक चार्ट स्थित है वाई = (2/एक्स।).

यह स्पष्ट है कि स्क्वायर (और आवश्यकता) को विघटित करने के लिए, तो:

उत्तर:

उदाहरण 8।

आकार, सीमित लाइनों के क्षेत्र की गणना करें

"स्कूल" रूप में समीकरण की कल्पना करें

और वर्तमान ड्राइंग करें:

ड्राइंग से यह स्पष्ट है कि ऊपरी सीमा हमारे पास "अच्छा" है: बी = 1.

लेकिन निचली सीमा क्या है?! यह स्पष्ट है कि यह एक पूर्णांक नहीं है, लेकिन क्या?

हो सकता है, ए।\u003d (- 1/3)? लेकिन यह गारंटी कहां है कि ड्राइंग आदर्श सटीकता के साथ बनाई गई है, यह अच्छी तरह से हो सकती है ए।\u003d (- 1/4)। और अगर हम आम तौर पर अनुचित तरीके से एक कार्यक्रम बनाते हैं?

ऐसे मामलों में, आपको अतिरिक्त समय बिताना होगा और एकीकरण सीमा को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट करना होगा।

ग्राफ के चौराहे का पता लगाएं

ऐसा करने के लिए, समीकरण हल करें:

इसलिये, ए।=(-1/3).

आगे समाधान तुच्छ है। मुख्य बात प्रतिस्थापन और संकेतों में उलझन में नहीं है। गणना सबसे सरल नहीं हैं। कटार

, ,

इसी सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

पाठ के समापन में, दो कार्यों को और अधिक कठिन मानें।

उदाहरण 9।

आकार, सीमित लाइनों के क्षेत्र की गणना करें

समाधान: ड्राइंग में इस आकार को दिखाएं।

ड्राइंग के कुटीर निर्माण के लिए, साइनसॉइड की उपस्थिति जानना आवश्यक है। आम तौर पर, यह सभी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ के साथ-साथ कुछ साइनस मानों को जानना उपयोगी होता है। वे मूल्यों की तालिका में पाए जा सकते हैं त्रिकोणमितीय कार्य। कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, इसमें), इसे एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाने की अनुमति है, जिस पर ग्राफ और एकीकरण सीमा सिद्धांत रूप में दिखाई देनी चाहिए।

एकीकरण की सीमाओं के साथ, यहां कोई समस्या नहीं है, वे सीधे स्थिति से पालन करते हैं:

- "एक्स" शून्य से "पीआई" में भिन्न होता है। हम एक और समाधान तैयार करते हैं:

कट ग्राफ समारोह पर वाई \u003d पाप 3। एक्स। धुरी के ऊपर स्थित है बैल।, तोह फिर:

(1) विषम डिग्री में साइन और cosines को एकीकृत करने के लिए, आप सबक देख सकते हैं त्रिकोणमितीय कार्यों से इंटीग्रल। एक साइन को प्लग करें।

(2) हम के रूप में मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं

(3) हम चर को बदल देंगे टी \u003d कोस। एक्स।, फिर: धुरी के ऊपर स्थित, तो:

ध्यान दें: ध्यान दें कि क्यूबा में टेंगेंट से अभिन्न अंग कैसे लिया जाता है, मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का एक परिणाम यहां प्रयोग किया जाता है।

पिछले एक इंटीग्रल के ज्यामितीय अर्थ के विश्लेषण के लिए समर्पित पिछले अनुभाग में, हमें Curvilinear Trapezium के क्षेत्र की गणना के लिए कई सूत्र प्राप्त हुए:

Yandex.rtb r-a-339285-1

एस (जी) \u003d ∫ ए बी एफ (एक्स) डी एक्स निरंतर और गैर-नकारात्मक कार्यों के लिए y \u003d f (x) सेगमेंट पर [ए; बी]

एस (जी) \u003d - ∫ ए बी एफ (एक्स) डी एक्स निरंतर और गैर-पॉजिटिव फ़ंक्शन y \u003d f (x) सेगमेंट पर [ए; B]।

ये सूत्र अपेक्षाकृत सरल कार्यों को हल करने के लिए लागू होते हैं। वास्तव में, हमें अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के साथ काम करना होगा। इस संबंध में, यह अनुभाग हम आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के लिए एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए समर्पित हैं, जो स्पष्ट रूप से कार्यों द्वारा सीमित हैं, यानी Y \u003d f (x) या x \u003d g (y) के रूप में।

प्रमेय

कार्यों को y \u003d f 1 (x) और y \u003d f 2 (x) को निर्धारित किया जाता है और इंटरफ़ेस पर निरंतर और निरंतर होता है [ए; बी], किसी भी मूल्य एक्स के लिए एफ 1 (एक्स) ≤ एफ 2 (एक्स) के साथ [ए; B]। फिर आकृति जी के क्षेत्र की गणना करने के लिए सूत्र, x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) और y \u003d f 2 (x) द्वारा बाध्य फॉर्मूला एस (जी) \u003d ∫ देखा जाएगा एबीएफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डीएक्स।

एक समान सूत्र आकृति के क्षेत्र में लागू होगा, लाइनों द्वारा सीमित, वाई \u003d सी, वाई \u003d डी, एक्स \u003d जी 1 (वाई) और एक्स \u003d जी 2 (वाई): एस (जी) \u003d ∫ सीडी (जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई) डीई।

सबूत

हम उन तीन मामलों का विश्लेषण करेंगे जिनके लिए सूत्र निष्पक्ष होगा।

पहले मामले में, क्षेत्र की additivity की संपत्ति को देखते हुए, मूल आकृति जी के क्षेत्र का योग और curvilinear trapezium जी 1 आकृति जी 2 के क्षेत्र के बराबर है। इसका मतलब है कि

इसलिए, एस (जी) \u003d एस (जी 2) - एस (जी 1) \u003d ∫ एबीएफ 2 (एक्स) डीएक्स - ∫ एबीएफ 1 (एक्स) डीएक्स \u003d ∫ एबी (एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डीएक्स।

एक विशिष्ट अभिन्न की तीसरी संपत्ति का उपयोग कर हम अंतिम संक्रमण करें।

दूसरे मामले में, समानता सत्य है: एस (जी) \u003d एस (जी 2) + एस (जी 1) \u003d ∫ एबीएफ 2 (एक्स) डीएक्स + - ∫ एबीएफ 1 (एक्स) डीएक्स \u003d ∫ एबी (एफ 2 (एक्स) ) - एफ 1 (एक्स)) डीएक्स

ग्राफिक चित्रण देखेंगे:

यदि दोनों कार्य गैर-सकारात्मक हैं, तो हम प्राप्त करते हैं: एस (जी) \u003d एस (जी 2) - एस (जी 1) \u003d - ∫ एबीएफ 2 (एक्स) डीएक्स - - ∫ एबीएफ 1 (एक्स) डीएक्स \u003d ∫ एबी (एफ 2 (x) - f 1 (x)) dx। ग्राफिक चित्रण देखेंगे:

आइए \u003d एफ 1 (एक्स) और वाई \u003d एफ 2 (एक्स) ओ एक्स एक्सिस को पार करते समय सामान्य मामले के विचार को चालू करें।

चौराहे बिंदु हम x i, i \u003d 1, 2 के रूप में निरूपित करते हैं। । । , एन - 1। ये बिंदु खंड तोड़ते हैं [ए; बी] एन पार्ट्स एक्स I - 1 पर; x i, i \u003d 1, 2 ,. । । , एन, जहां α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

इसलिये,

S (g) \u003d σ i \u003d 1 n s (g i) \u003d σ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f (x) )) डीएक्स \u003d ∫ एबीएफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डीएक्स

हम एक विशिष्ट अभिन्न के पांचवें गुणों का उपयोग करके अंतिम संक्रमण को लागू कर सकते हैं।

हम चार्ट में एक सामान्य मामले में चित्रित करते हैं।

सूत्र एस (जी) \u003d ∫ ए बी एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डी एक्स सिद्ध माना जा सकता है।

और अब हम आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के उदाहरणों के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ते हैं, जो y \u003d f (x) और x \u003d g (y) लाइनों तक सीमित हैं।

अनुसूची के निर्माण के साथ हम किसी भी उदाहरण पर विचार करेंगे। छवि हमें सरल आंकड़ों के संयोजन के रूप में जटिल आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगी। यदि ग्राफ और आंकड़ों का निर्माण उनके लिए मुश्किल बनाता है, तो आप मूल प्राथमिक कार्यों, कार्यों के ग्राफ के ज्यामितीय रूपांतरण के साथ-साथ फ़ंक्शन रिसर्च के दौरान ग्राफ का निर्माण करने पर अनुभाग का पता लगा सकते हैं।

उदाहरण 1।

आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है, जो पैराबोला y \u003d - x 2 + 6 x - 5 तक सीमित है और सीधी रेखाएं y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4 ।

फेसला

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में ग्राफ पर रेखाएं दिखाएं।

सेगमेंट पर [1; 4] Parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 का चार्ट सीधे y \u003d - 1 3 x - 1 2 से ऊपर स्थित है। इस संबंध में, एक उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम पहले सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ ही न्यूटन-लीबनीट्सा फॉर्मूला के अनुसार एक विशिष्ट अभिन्न गणना के लिए एक विधि भी:

S (g) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 DX \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 1 9 6 + 9 2 \u003d 13

उत्तर: एस (जी) \u003d 13

अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2।

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो लाइनों y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7 तक सीमित है।

फेसला

इस मामले में, हमारे पास Abscissa अक्ष के समानांतर स्थित केवल एक सीधी रेखा है। यह x \u003d 7 है। यह हमें अपनी दूसरी एकीकरण सीमा को खोजने की आवश्यकता है।

हम एक कार्यक्रम तैयार करते हैं और इस पर लाइनों को लाते हैं, कार्य शर्त पर डेटा।

आंखों के सामने एक चार्ट होने के बाद, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एकीकरण की निचली सीमा अनुसूची वाई \u003d एक्स और पैराबोला वाई \u003d एक्स + 2 की मंजिल के चौराहे बिंदु का एब्रिसा होगी। Abscissa खोजने के लिए, समानता का उपयोग करें:

वाई \u003d एक्स + 2 ओ डी जेड: एक्स ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 डी \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ ओ डीजेएक्स 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ ओडीजेड

यह पता चला है कि चौराहे बिंदु का एब्सीसा x \u003d 2 है।

हम इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करते हैं कि रेखा के चित्र में सामान्य उदाहरण में वाई \u003d एक्स + 2, वाई \u003d एक्स बिंदु (2; 2) पर छेड़छाड़ करता है, इसलिए ऐसी विस्तृत गणना अनावश्यक लग सकती है। हमने यहां एक विस्तृत निर्णय लिया है क्योंकि केवल जटिल मामलों में निर्णय इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है। इसका मतलब है कि लाइनों के चौराहे के निर्देशांक हमेशा विश्लेषणात्मक रूप से गणना करने के लिए बेहतर होते हैं।

अंतराल पर [2; 7] फ़ंक्शन y \u003d x का ग्राफ़ फ़ंक्शन y \u003d x + 2 के ग्राफ के ऊपर स्थित है। स्क्वायर गणना के लिए सूत्र लागू करें:

S (g) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 \u003d 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

उत्तर: एस (जी) \u003d 59 6

उदाहरण 3।

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो कार्यों के ग्राफ द्वारा सीमित है y \u003d 1 x और y \u003d - x 2 + 4 x - 2।

फेसला

शेड्यूल पर लाइनों को लागू करें।

एकीकरण की सीमा के साथ निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम लाइनों के चौराहे बिंदुओं के निर्देशांक को परिभाषित करते हैं, अभिव्यक्ति 1 एक्स और - एक्स 2 + 4 एक्स -2 को दर्शाते हैं। बशर्ते एक्स शून्य नहीं है, समानता 1 x \u003d x 2 + 4 x - 2 तीसरी डिग्री के समतुल्य समीकरण बन जाता है - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 पूर्णांक गुणांक के साथ। इस तरह के समीकरणों को हल करके स्मृति में एल्गोरिदम को ताज़ा करने के लिए, हम "घन समीकरणों के समाधान" अनुभाग से संपर्क कर सकते हैं।

इस समीकरण की जड़ x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0 है।

अभिव्यक्ति को विभाजित करना - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 प्रति बाउंस एक्स - 1, हम प्राप्त करते हैं: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0।

शेष जड़ें हम समीकरण x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 से पा सकते हैं:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 डी \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3। 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0। 3।

हमें एक अंतराल x ∈ 1 मिला; 3 + 13 2, जिस पर आकृति जी नीले और लाल रेखा के नीचे समाप्त होता है। यह हमें आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने में मदद करता है:

एस (जी) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - एलएन 3 + 13 2 - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - एलएन 1 \u003d 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2 ।

उत्तर: एस (जी) \u003d 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उदाहरण 4।

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो वक्र y \u003d x 3, y \u003d - लॉग 2 x + 1 और Abscissa की धुरी तक सीमित है।

फेसला

हम शेड्यूल पर सभी लाइनें लागू करेंगे। हम फ़ंक्शन y \u003d - ग्राफ़ से 2 x + 1 का एक फ़ंक्शन प्राप्त कर सकते हैं y \u003d लॉग 2 x से लॉग इन करें, अगर हम इसे एब्रिसा अक्ष के साथ समरूप रूप से रिश्तेदार बनाते हैं और एक इकाई को ऊपर उठाते हैं। ABSCISSA AXIS समीकरण y \u003d 0।

लाइनों के चौराहे बिंदुओं को दर्शाते हैं।

जैसा कि आकृति से देखा जा सकता है, कार्यों के ग्राफ y \u003d x 3 और y \u003d 0 बिंदु (0; 0) पर छेड़छाड़ करते हैं। यह प्राप्त किया जाता है क्योंकि x \u003d 0 समीकरण x 3 \u003d 0 की एकमात्र मान्य जड़ है।

एक्स \u003d 2 समीकरण का एकमात्र जड़ है - 2 x + 1 \u003d 0 लॉग करें, इसलिए कार्यों के ग्राफ y \u003d - लॉग 2 x + 1 और y \u003d 0 बिंदु पर इंटरक्ट (2; 0)।

x \u003d 1 समीकरण x 3 \u003d - लॉग 2 x + 1 का एकमात्र जड़ है। इस संबंध में, कार्यों के ग्राफ y \u003d x 3 और y \u003d - लॉग 2 x + 1 बिंदु पर इंटरक्ट (1; 1)। अंतिम कथन अस्पष्ट हो सकता है, लेकिन समीकरण x 3 \u003d - लॉग 2 x + 1 में एक से अधिक रूट नहीं हो सकता है, क्योंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 सख्ती से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y \u003d - लॉग 2 x + 1 सख्ती से घट रहा है ।

एक और समाधान में कई विकल्प शामिल हैं।

विकल्प संख्या 1

चित्रा जी हम Abscissa अक्ष के ऊपर स्थित दो curvilinear trapezes के योग के रूप में कल्पना कर सकते हैं, जिसमें सेगमेंट x ∈ 0 पर midline के नीचे स्थित है; 1, और सेगमेंट एक्स ∈ 1 पर लाल रेखा के नीचे दूसरा; 2। इसका मतलब है कि क्षेत्र एस (जी) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 के बराबर होगा (- लॉग 2 x + 1) डी एक्स।

विकल्प संख्या 2।

चित्रा जी को दो आंकड़ों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें से पहला एब्रिसा अक्ष के ऊपर स्थित है और सेगमेंट x ∈ 0 पर नीली रेखा के नीचे स्थित है; 2, और सेगमेंट एक्स ∈ 1 पर लाल और नीली रेखाओं के बीच दूसरा; 2। यह हमें क्षेत्र को निम्नानुसार खोजने की अनुमति देता है:

S (g) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- 2 x + 1 लॉग करें) d x

इस मामले में, क्षेत्र को खोजने के लिए फॉर्म एस (जी) \u003d ∫ सी डी (जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई)) डी वाई के सूत्र का उपयोग करना होगा। वास्तव में, आंकड़े को सीमित करने वाली रेखाओं को तर्क वाई से कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समीकरण y \u003d x 3 और - X के सापेक्ष 2 x + 1 लॉग इन करने की अनुमति दी:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - 2 x + 1 ⇒ लॉग 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

हमें वांछित क्षेत्र मिलता है:

एस (जी) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - वाई - वाई 3) डीवाई \u003d - 2 1 - वाई एलएन 2 - वाई 4 4 0 1 \u003d - 2 1 - 1 एलएन 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

उत्तर: एस (जी) \u003d 1 एलएन 2 - 1 4

उदाहरण 5।

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो लाइनों y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 तक सीमित है।

फेसला

एक लाल रेखा के साथ, हम फ़ंक्शन y \u003d x द्वारा निर्दिष्ट ग्राफ़ पर एक पंक्ति लागू करेंगे। एक पंक्ति के साथ नीला वाई \u003d - 1 2 x + 4, काले रंग में, हम लाइन y \u003d 2 3 x - 3 को दर्शाते हैं।

चौराहे बिंदुओं पर ध्यान दें।

कार्यों के ग्राफ के चौराहे के अंक खोजें y \u003d x और y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 o d z: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 d \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 पी आर ओ ई पी के ए: एक्स 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 n मैं ली में हूँ एक्सपी और एन और आईएक्स 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 मैं ni ⇒ (4; 2) Tohkaperesen में lietsirenemura में हूँ और मैं y \u003d x और y \u003d - 1 2 x + 4

हम कार्यों के ग्राफ के चौराहे का बिंदु पाएंगे वाई \u003d एक्स और वाई \u003d 2 3 एक्स - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 o d z: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 d \u003d (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 п р о е р k a: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 मैं Liemiraneni ⇒ (9; 3) toh में aperecechiy \u003d x और y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 में हूँ 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 n e i l i e t w with i r e n e m u r a in n e n i

हमें लाइनों के चौराहे का बिंदु मिलेगा y \u003d - 1 2 x + 4 और y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) टी के बारे में TANERECENIY \u003d - 1 2 x + 4 और y \u003d 2 3 x - 3

विधि संख्या 1।

व्यक्तिगत आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के रूप में वांछित आकृति के क्षेत्र की कल्पना करें।

फिर आंकड़े का आंकड़ा बराबर है:

S (g) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

विधि संख्या 2।

मूल आंकड़े के क्षेत्र को दो अन्य आंकड़ों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फिर हम एक्स के सापेक्ष रेखा के समीकरण को हल करते हैं, और केवल उसके बाद हम आकृति के आंकड़े की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं।

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 से r और n और i l और i y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 h e r n i l और i y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 एस और नील और नी

इस प्रकार, क्षेत्र बराबर है:

एस (जी) \u003d ∫ 1 2 3 2 वाई + 9 2 - - 2 वाई + 8 डीई + ∫ 2 3 3 2 वाई + 9 2 - वाई 2 डीवाई \u003d ∫ 1 2 7 2 वाई - 7 2 डीवाई + ∫ 2 3 3 2 वाई + 9 2 - वाई 2 डीवाई \u003d 7 4 वाई 2 - 7 4 वाई 1 2 + - वाई 3 3 + 3 वाई 2 4 + 9 2 वाई 2 3 \u003d 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल्य मेल खाता है।

उत्तर: एस (जी) \u003d 11 3

परिणाम

आकृति के क्षेत्र को खोजने के लिए, जो निर्दिष्ट लाइनों तक सीमित है, हमें विमान पर लाइनों को बनाने, अपने चौराहे के अंक ढूंढने की आवश्यकता है, क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्र लागू करें। इस खंड में, हमने सबसे आम कार्य विकल्पों पर विचार किया।

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कौशल सक्षम रूप से चित्र बनाएँ;
प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिक फॉर्मूला की मदद से एक विशिष्ट अभिन्न को हल करने की क्षमता;
एक अधिक लाभदायक समाधान समाधान "देखने" की क्षमता - यानी समझें कि इस तरह के मामले में यह एकीकरण करने के लिए और अधिक सुविधाजनक होगा? एक्स अक्ष (ऑक्स) या खेल की धुरी (ओवाई) के साथ?
खैर, जहां सही कंप्यूटिंग के बिना?) इसमें यह समझ में शामिल है कि अन्य प्रकार के इंटीग्रल और सही संख्यात्मक गणनाओं को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण 1। y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

लेख पूरा नहीं हुआ है।

वास्तव में, आकृति के क्षेत्र को खोजने के लिए, अनिश्चित और परिभाषित अभिन्न का कोई ज्ञान नहीं है। कार्य "एक विशिष्ट अभिन्न की मदद से क्षेत्र की गणना करें" हमेशा ड्राइंग के निर्माण का तात्पर्य हैइसलिए, एक और अधिक प्रासंगिक मुद्दा आपके ज्ञान और निर्माण चित्रों के कौशल होगा। इस संबंध में, यह मूल प्राथमिक कार्यों के ग्राफिक्स की स्मृति में ताज़ा करने के लिए उपयोगी है, और कम से कम एक सीधे, और हाइपरबोला बनाने में सक्षम हो।

Curvilinear trapezion एक फ्लैट आकृति कहा जाता है, एक समारोह के एक खंड पर धुरी, सीधे, और एक निरंतर अनुसूची तक सीमित है जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है। इस आंकड़े को स्थित होने दें कम नहीं है Abscissa धुरी:

फिर curvilinear Trapezium का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक विशिष्ट अभिन्न के बराबर है। कोई भी विशेष अभिन्न (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ है।

ज्यामिति के दृष्टिकोण से, एक निश्चित अभिन्न एक क्षेत्र है.

अर्थात, एक विशिष्ट अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से कुछ आकार के क्षेत्र से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, एक विशिष्ट अभिन्न पर विचार करें। एकीकृत फ़ंक्शन एक्सिस के ऊपर स्थित विमान पर एक वक्र सेट करता है (जो इच्छाएं ड्राइंग को आकर्षित कर सकती हैं), और विशिष्ट अभिन्न स्वयं संख्यात्मक curvilinear trapezium के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1।

यह एक सामान्य कार्य फॉर्मूलेशन है। निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण बिंदु - एक ड्राइंग बनाना। और ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

इस कार्य में, निर्णय इस तरह दिख सकता है।
ड्राइंग करें (ध्यान दें कि समीकरण एक्सिस सेट करता है):

सेगमेंट पर एक फ़ंक्शन शेड्यूल शेड्यूल किया गया है धुरी से अधिक, तोह फिर:

उत्तर:

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग और अनुमान को देखने के लिए हमेशा उपयोगी होता है, वास्तविक एक निकला। इस मामले में, "आंखों पर" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या की गणना करते हैं - ठीक है, लगभग 9 उड़ाए जाएंगे, यह सच लगता है। यह स्पष्ट है कि अगर हमारे पास कहा गया है, जवाब: 20 वर्ग इकाइयां, यह स्पष्ट है कि एक त्रुटि कहीं भी की जाती है - 20 कोशिकाओं के आंकड़े में, यह एक दर्जन की ताकत से स्पष्ट रूप से फिट नहीं होता है। यदि उत्तर नकारात्मक हो गया है, तो कार्य को गलत तरीके से तय किया जाता है।

उदाहरण 3।

आकार, सीमित लाइनों, और समन्वय अक्ष के क्षेत्र की गणना करें।

फेसला: ड्राइंग करें:

यदि curvilinear trapezium स्थित है अक्ष के तहत(या कम से कम अधिक नहीं यह धुरी), फिर इसका क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

उदाहरण 4।

एक फ्लैट आकृति, सीमित लाइनों का क्षेत्र खोजें।

फेसला: सबसे पहले आपको एक ड्राइंग खींचने की जरूरत है। आम तौर पर, क्षेत्र में कार्यों में एक ड्राइंग बनाने के दौरान, हम लाइनों के चौराहे बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। पैराबोला और डायरेक्ट के चौराहे के अंक खोजें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण को हल करते हैं:

तो, निचली एकीकरण सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।

यह तरीका बेहतर है, यदि संभव हो, तो उपयोग न करें.

यह लाइन की रेखाओं को बनाने के लिए बहुत अधिक लाभदायक और तेज़ है, जबकि एकीकरण सीमा को "स्वयं द्वारा" के रूप में स्पष्ट किया जाता है। हालांकि, सीमाओं को खोजने का एक विश्लेषणात्मक तरीका, कभी-कभी आवेदन करना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, कार्यक्रम काफी बड़ा है, या एक प्रशिक्षित निर्माण ने एकीकरण सीमाओं को प्रकट नहीं किया (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और इस तरह का एक उदाहरण, हम भी विचार करते हैं।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं: अधिक तर्कसंगत पहले एक सीधी रेखा का निर्माण और केवल फिरवलोला। ड्राइंग करें:

और अब काम का सूत्र: यदि सेगमेंट पर कुछ निरंतर कार्य अधिक या बराबर कुछ निरंतर कार्य, आकृति का क्षेत्र, इन कार्यों के ग्राफों द्वारा सीमित और प्रत्यक्ष, सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

यहां यह सोचना आवश्यक नहीं है कि यह आंकड़ा कहां स्थित है - धुरी या धुरी के नीचे, और मोटे तौर पर बोलते हुए, महत्वपूर्ण क्या ग्राफ ऊपर है(दूसरे अनुसूची के सापेक्ष) और क्या - नीचे.

इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पैराबोला के खंड पर सीधे ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा ऊपर और सीधे नीचे से पैराबोला तक सीमित है।
संबंधित सूत्र के अनुसार, सेगमेंट पर:

उत्तर:

उदाहरण 4।

आकार, सीमित लाइनों के क्षेत्र की गणना करें,।

फेसला: पहले ड्राइंग करें:

चित्र किसका क्षेत्र को खोजने की जरूरत है नीले रंग में छायांकित है (स्थिति पर ध्यान से देखो - आंकड़े सीमित है!)। लेकिन व्यावहारिक रूप से, "गड़बड़" अक्सर दिमागीपन में उत्पन्न होती है, जिसे आपको आकृति का एक क्षेत्र खोजने की ज़रूरत है, जो हरे रंग के साथ छायांकित है!

यह उदाहरण अभी भी उपयोगी है और तथ्य यह है कि इस में आंकड़े के क्षेत्र को दो विशिष्ट इंटीग्रल का उपयोग करके माना जाता है।

सच में:

1) एक सीधी अनुसूची धुरी पर सेगमेंट पर स्थित है;

2) एक्सिस पर सेगमेंट पर हाइपरबोल का एक ग्राफ होता है।

यह स्पष्ट है कि स्क्वायर (और आवश्यकता) को विघटित करने के लिए, तो: