Геометрические формы и их названия. Геометрические фигуры, или с чего начинается геометрия

Исторически понятие геометрической фигуры, так же как понятие натурального числа, было одним из исходных понятий математики. Как и натуральные числа, понятие геометрической фигуры образовалось с помощью абстракции отождествления, в основе которой лежит некоторое отношение эквивалентности. В дан­ном случае таким отношением является «сходство», «подобие» предметов по их форме, с помощью которого множество предметов разбивается на классы эквивалентности так, что любые два пред­мета одного класса имеют одинаковую форму, а любые два предме­та различных классов - различные формы. Абстрагируясь при этом от других свойств предметов (цвета, величины, материала, из …
кото­рого они сделаны, назначения и т. д.), мы получаем самостоя­тельное понятие геометрической фигуры.

В математике поступают и так: класс подобных по форме предметов определяется любым принадлежащим ему предметом и называется формой.

В связи с рассмотрением отношения эквивалентности (гла­ва IV, § 4) был приведен пример классификации блоков по их форме. Решая эту задачу, дети получают классы квадратных, круглых, треугольных и прямоугольных блоков, затем каждый из этих классов, так же как и отдельные их представители, называются соответственно квадратом, кругом, треугольником, прямоугольником. В основе выделения этих понятий лежит отношение эквивалентности

«иметь одинаковую форму».

В изучении геометрии, и в частности геометрических фигур,

различают несколько уровней мышления.

Первый, самый простейший уровень характеризуется тем, что геометрические фигуры рассматриваются как целые и разли­чаются только по своей форме. Если показать дошкольнику круг, квадрат, прямоугольник и сообщить ему соответствующие названия, 1 то после некоторого времени он сможет безошибочно распознавать } эти фигуры исключительно по их форме (причем еще не аиалиаиро-ванной), не отличая квадрат от прямоугольника. На этом уровне квадрат противопоставляется прямоугольнику.

На следующем, втором, уровне проводится анализ восприни­маемых форм, в результате которого выявляются их свойства. Геометрические фигуры выступают уже как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам, свойства фигур логически еще не упорядочены, они устанавливаются эмпирическим путем. Сами фигуры также не упорядочены, так как они только описываются, но не определяются. Этот уровень мышления в области геометрии еще не включает структуру логического следования.

©писанные выше два уровня вполне доступны детям 4-6 лет, и это обстоятельство следует учитывать при составлении программ «Лучения и разработке методики.

Из чего состоит геометрическая фигура?

Всякая геометрическая фигура подразумевается состоящей из точек, т. е. всякая геометрическая фигура представляет собой множество точек, ъ том числе одну точку тоже принято считать

геометрической фигурой.

Поэтому операции над множествами и отношения между мно­жествами, рассмотренные в главе Ш, можно переносить на геомет­рические фигуры как на множества точек.

Например, на рисунке 11 изображены всевозможные отношения, в которых могут находиться квадрат и круг:

/ - круг находится в квадрате;

Квадрат находится в круге;

Квадрат и круг пересекаются;

Квадрат и круг не пересекаются.

Предлагая детям располагать квадрат и круг всевозможными способами или нарисовать их и закрашивать общую часть (пе­ресечение) определенным цветом, тем самым помогаем им выявить особенности каждого из отношений, изображенных на рисунке И:

а) все точки круга являются точками -квадрата;

Рис. 11.

б) все точки квадрата являются также точками круга;

в) квадрат и круг имеют общие и необщие точки;

г) у квадрата и круга нет общих точек.

На предматематическом уровне дети знакомятся с простейши­ми, но наиболее. распространенными геометрическими фигурами: различными линиями, формами блоков - квадратом, кругом, тре­угольником, а также пятиугольником, шестиугольником. Строгих определений, разумеется, на этом уровне не дается.

§ 2. Виды геометрических фигур

Все геометрические фигуры делятся на плоские и простран­ственные. Так, например, квадрат, круг - плоские фигуры; куб, шар - пространственные. Начнем с рассмотрения линий. Под ли­нией будем иметь в виду плоскую линию -т- линию, все точки которой лежат на некоторой плоскости, а сама линия есть подмножество точек плоскости.

Очевидно, что такие разъяснения, как «длина без ширины» или «граница поверхности», не могут приниматься за точные оп­ределения, так как мы не знаем точный смысл терминов «длина», «ширина», «граница», «поверхность» и т. п. По существу в элемен­тарной геометрии понятие линии считается интуитивно ясным и их изучение, сводится к рассмотрению различных примеров: прямая, ломаная, кривая, замкнутая линия, незамкнутая линия, отрезок и др.

Прямую линию, или просто прямую, можно выделить среди дру­гих линий с помощью ее характеристических свойств, т. е. таких свойств, которыми обладает только прямая и никакие другие линии.

На рисунке 12 между деревом и домом проложено несколько тропинок. На геометрическом языке это означает: через две точки D и С проходит несколько линий. Прямая выделяется среди них тем, что это - линия кратчайшего расстояния.

Еще одно характеристическое свойство прямой: через две точки D и С можно провести много различных линий, прямых - только одну, т. е. через две точки проходит одна и только одна

Линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. На­пример, прямая - незамкнутая линия, окружность - замкнутая.

По отношению к прямой две точки могут находиться «по одну сторону» от нее или «по разные стороны». Например, дом и де­рево могут находиться по одну сторону от речки и тогда можно дойти от дома до дерева или обратно, не проходя через мост. Если же они находятся по разным сторонам от реки, то дойти от дома до сада или обратно, не проходя через мост, нельзя.

На геометрическом языке эта ситуация описывается следую-

Sf; щим образом. Две точки А к В находятся по одну сторону от

прямой /, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает

прямую / (рис. 13).

Две точки Л и С (рис. 13) находятся по разные стороны от прямой /, если отрезок Л С, соединяющий эти точки, пересекает

прямую I.

По существу прямая I разбивает множество всех не принадле­жащих ей точек плоскости на два класса (два подмножества), называемые п о л уплоскост я м и с границей /. Это раз­биение порождается отношением эквивалентности, введенным в множество всех не принадлежа­щих / точек плоскости следую­щим образом: две точки нахо­дятся в этом отношении, если отрезок, соединяющий их, не пересекает прямую /, и не нахо­дятся в этом отношении, если этот отрезок пересекает пря­мую /.

Дети довольно рано усваивают, что означает «внутри» и «вне» некоторой замкнутой ли­нии. Пример этого - детская игра в классы. Чтобы успешно переходить из класса в класс, нужно, прыгая и бросая биту, точно попадать внутрь опреде­ленного класса (квадрата). Первые представления о «внутри» и «вне» закрепляются в играх с обручами (глава III), когда дети встречаются со все усложняющимися ситуациями

определение блоков внутри и вне одного обруча, внутри одного и вне другого обруча, внутри всех трех обручей, внутри двух обручей и вне третьего и т. п. Поэтому перед решением задач, связанных с- классификацией блоков, или фигур в играх с обручами необхо­димо выяснить, распознают ли дети внутреннюю и внешнюю области по отношению к каждому обручу.

Переведем теперь эти ситуации на язык геометрии. Интуитивно ясно, что всякая окружность разбивает множество всех не принадлежащих ей точек плоскости на две области (рис. 14). Если две точки Л и В или D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии /; если две точки, например С и D, принадлежат различным областям, то соединяющий их отрезок пересекает линию / (в точке К)-

Одна из этих областей называется внутренней, другая - внешней. Каким же геометрическим свойством можно охаракте­ризовать внутреннюю или внешнюю область?

Область, которая интуитивно принимается за внешнюю, обладает следующим свойством: можно найти в этой области две точки, например D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой области. Вторая область, которая интуитивно прини­мается за внутреннюю, не обладает этим свойством или характери­зуется свойством, представляющим собой отрицание характеристи­ческого свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, чтобы прямая, проходящая через них, лежала целиком в этой области (или, иначе, прямая, проходящая через любые две точки этой области, обязательно пересекает линию /).

Выше мы пользовались понятием «отрезок» и связывали его неизменно с двумя точками: «отрезок АВ», «отрезок, соединяю­щий точки Л и В» и т. п. Что же такое отрезок? Иногда го­ворят «часть прямой». Это можно понимать как подмножество точек прямой. Но какое это подмножество?

Иногда пользуются отношением «между», применимым к трем

точкам. Это отношение соответст­вует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой меж­ду двумя другими точками: если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по пря­мой от Л к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представ­ления подсказывают и некоторые свойства отношения «между»: если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и Л; из трех точек только одна лежит между двумя другими, т. е. если С лежит между Л и В, то уже А

не лежит между С и В, а также В не лежит между А и С.

Имеются две различные трактовки понятия отрезка {ш су­ществу два различных понятия). По одной из них отрезку АВ принадлежат сами точки Л и В (концы отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По другой трактовке точки А я В не считаются принадлежащими отрезку АВ, хотя по-прежнему назы­ваются его концами (т. е. концы отрезка не принадлежат

Мы будем придерживаться первой трактовки, дидактически

более целесообразной.

Так как через две точки Л и В проходит единственная прямая АВ, то эти две точки определяют и единственный отрезок с

концами Л и В.

Зная, что такое отрезок, можно уточнить и понятие ломаной

Если Ль Л2, Аъ, … ,

Многие люди ошибочно полагают, что впервые они встречают геометрические фигуры в средней школе. Там они изучают их названия, свойства и формулы. Но на самом деле с самого детства любой предмет, который видит ребенок, ощущает, чувствует его запах или взаимодействует с ним любым другим образом, представляет собой именно геометрическую фигуру. Кушетка, на которой лежит только что родившая женщина - прямоугольник, лампа, что дает акушерам свет - круглая фигура, форточки в окне - квадраты. Этот список можно продолжать бесконечно.

Геометрические фигуры, непосредственно как элемент науки, впервые встречается школьникам в средних классах. Можно даже сказать, что геометрия начинается именно с них. Однако, как уже говорилось выше, первые взаимодействия с ними происходят задолго до этого. Возьмем, к примеру, точку. Она представляет собой самую маленькую фигуру в геометрии. Кроме того, ее принято считать основой всех остальных (как атомы в химии). Все треугольники, квадраты и прочие фигуры на любом чертеже состоят из множества точек. Они обладают определенными свойствами, каждое из которых присуще только одной фигуре (ни одна другая не может быть ими наделена).

Можно предположить, что все геометрические фигуры состоят непосредственно из линий, но чем является она? Это и есть множество точек, расположенных в ряд. Их можно продолжать бесконечно, поскольку прямая линия не заканчивается. Если же она ограничена с двух сторон, то ее принято называть отрезком. Если имеется только одно ограничение, то перед вами луч. Следовательно, все плоские фигуры в геометрии состоят из отрезков, так как составляющие имеют и конец, и начало. Стоит отметить, что прямая, которая была разделена точкой, является двумя лучами, направленными в противоположные друг другу стороны.

Не только из плоских элементов состоит геометрия, имеются также и объемные геометрические фигуры. К их изучению в школе приступают позже, ближе к окончанию учебы, но сталкивается с ними человек, опять же, гораздо раньше. К примеру, когда ребенок берет в руки кубик, то держит в ладонях куб. Или, если он смотрит на комод, то перед ним прямоугольный параллелепипед. Все объемные фигуры состоят из плоскостей (то есть, она является неопределенным первичным понятием, как и прямая). Тот же самый параллелепипед состоит из шести таких элементов. Наглядно ознакомиться с плоскостью можно, посмотрев на поверхность любого стола. Но это будет только ее часть, поскольку имеются ограничения. Непосредственно плоскость такая же бесконечная, как и прямая линия.

Таким образом, нет сферы, где бы не встречались геометрические фигуры. Названия их различны, они определяют свойства и особенности. К примеру, формула не подойдет для прямоугольника или квадрата.

Желательно приобщать ребенка к геометрическим фигурам еще в дошкольном возрасте. Можно сделать их своими руками, а затем выкладывать ими различные рисунки на бумаге (если это плоские элементы). Однако не стоит отказываться и от объемных фигур. В интернете можно найти множество связанных с этим. Но нельзя откладывать знакомство с ними, ведь все, что мы видим - геометрические фигуры. Даже человек состоит из них!

«Геометрические фигуры плоские и объёмные»

Цели урока :

1. Познавательная : создать условия для ознакомления с понятиями плоские и объёмные геометрические фигуры, расширить представление о видах объёмных фигур, научить определять вид фигуры, сравнивать фигуры.

2. Коммуникативная :создать условия для формирования умения работать в парах, группах; воспитание доброжелательного отношения друг к другу; воспитывать у учащихся взаимопомощь , взаимовыручку.

3. Регулятивная : создать условия для формирования планировать учебную задачу, выстраивать последовательность необходимых операций, корректировать свою деятельность.

4. Личностная : создать условия для развития вычислительных навыков, логического мышления, интереса к математике, формирования познавательных интересов, интеллектуальных способностей учащихся, самостоятельность в приобретении новых знаний и практических умений.

Планируемые результаты:

- личностные:

формирование познавательных интересов, интеллектуальных способностей учащихся; формирование ценностных отношений друг к другу;

самостоятельность в приобретении новых знаний и практических умений;

формирование умений воспринимать, перерабатывать полученную информацию, выделять основное содержание.

- метапредметные:

овладение навыками самостоятельного приобретения новых знаний;

развитие теоретического мышления на основе формирования умений устанавливать факты.

- предметные:

усвоить понятия плоские и объёмные фигуры, научиться сравнивать фигуры, находить плоские и объёмные фигуры в окружающей действительности, научиться работать с развёрткой.

УУД общенаучные :

поиск и выделение необходимой информации;

применение методов информационного поиска, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной форме.

УУД личностные :

оценивать свои и чужие поступки;

проявление доверия, внимательности, доброжелательности,

умение работать в паре,

выражать положительное отношение к процессу познания.

Оборудование : учебник, интерактивная доска, смайлики, модели фигур, развёртки фигур, светофоры индивидуальные, прямоугольники-средства обратной связи, Толковый словарь.

Тип урока : изучение нового материала.

Методы : словесные, исследовательские, наглядные, практические.

Формы работы : фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.

1. Организация начала урока.

Утром солнышко взошло.

Новый день нам принесло.

Сильными и добрыми

Новый день встречаем мы.

Вот мои руки, я раскрываю

Их навстречу солнцу.

Вот мои ноги, они твердо

Стоят на земле и ведут

Меня верной дорогой.

Вот моя душа, я раскрываю

Её навстречу людям.

Наступи, новый день!

Здравствуй, новый день!

2. Актуализация знаний.

1. Создадим хорошее настроение. Улыбнитесь мне и друг другу, садитесь!

Чтобы дойти до цели, надо прежде всего идти.
Перед вами высказывание, прочитайте. Что означает это высказывание?

(Чтобы чего-то добиться, нужно что-то делать)

И действительно, ребята, попадающим в цель может стать только тот, кто настраивает себя на собранность и организованность своих действий. И вот я надеюсь, что мы с вами на уроке достигнем своей цели.

Начнем наш путь к достижению цели сегодняшнего урока.

3. Подготовительная работа.

Посмотрите на экран. Что вы видите? (Геометрические фигуры)

Назовите эти фигуры.

Какое задание, вы можете предложить своим одноклассникам? (разделите фигуры на группы)

У вас на партах лежат карточки с этими фигурами. Выполните это задание в парах.

По какому признаку вы разделили эти фигуры?

· Плоские и объемные фигуры

· По основаниям объемных фигур

С какими фигурами мы уже работали? Что учились находить у них? Какие фигуры встречаются нам на геометрии впервые?

Какая же тема нашего урока? (Учитель добавляет слова на доске: объёмные, на доске появляется тема урока: Объёмные геометрические фигуры.)

Чему мы должны научиться на уроке?

V. «Открытие» нового знания в практической исследовательской работе.

(Учитель показывает куб и квадрат.)

Чем они похожи?

Можно ли сказать, что это одно и тоже?

Чем же отличается куб от квадрата?

Давайте проведём опыт. (Ученики получают индивидуальные фигуры – куб и квадрат.)

Попробуем приложить квадрат к плоской поверхности порты. Что видим? Он весь (целиком) лёг на поверхность парты? Вплотную?

! Как назовём фигуру, которую можно целиком расположить на одной плоской поверхности?

(Плоской фигурой.)

Можно ли куб полностью (весь) прижать к парте? Проверим.

Можно ли назвать куб плоской фигурой? Почему? Есть ли пространство между рукой и партой?

! Значит, что мы можем сказать о кубе? (Занимает определённое пространство, является объёмной фигурой.)

ВЫВОДЫ: Чем же отличаются плоские и объёмные фигуры? (Учитель вывешивает на доске выводы.)

ПЛОСКИЕ ОБЪЁМНЫЕ

Можно целиком расположить Занимают определённое пространство,

на одной плоской поверхности. возвышаются над плоской поверхностью.

Объёмные фигуры: пирамида, куб, цилиндр, конус, шар, параллелепипед.

4.Открытие новых знаний.

1. Назовите фигуры, изображенные на рисунке.

Какую форму имеют основания этих фигур?

Какие еще формы можно увидеть на поверхности куба и призмы?

2. Фигуры и линии на поверхности объемных фигур имеют свои названия.

Предложите свои названия.

Боковые стороны, образующие плоскую фигуру называются гранями. А боковые линии – рёбра. Углы многоугольников – вершины. Это элементы объемных фигур.

Ребята, а как вы думаете, как называются такие объемные фигуры, у которых много граней? Многогранники.

Работа с тетрадями: чтение нового материала

Соотнесение реальных объектов и объёмных тел.

А теперь подберите для каждого предмета ту объёмную фигуру, на которую он похож.

Коробка – параллелепипед.

Яблоко – шар.

Пирамидка – пирамида.

Банка – цилиндр.

Горшок из-под цветка - конус.

Колпачок – конус.

Ваза – цилиндр.

Мяч – шар.

5. Физминутка.

6. 1. Представьте себе большой шар, погладьте его со всех сторон. Он большой, гладкий.

(Ученики «обхватывают» руками и гладят воображаемый шар.)

А теперь представьте себе конус, дотроньтесь до его вершины. Конус растёт вверх, вот он уже выше вас. Допрыгните до его вершины.

Представьте, что вы внутри цилиндра, похлопайте по его верхнему основанию, потопайте по нижнему, а теперь руками по боковой поверхности.

Цилиндр стал маленькой подарочной коробочкой. Представьте, что вы сюрприз, который находится в этой коробочке. Я нажимаю кнопку и… сюрприз выскакивает из коробочки!

7. Групповая работа :

(Каждая группа получает одну из фигур: куб, пирамиду, параллелепипед. Полученную фигуру дети изучают, выводы записывают в подготовленную учителем карточку.)

Группа 1. (Для изучения параллелепипеда)

Группа 2. (Для изучения пирамиды)

Группа 3. (Для изучения куба)

8. Решение кроссворда

9. Итог урока. Рефлексия деятельности.

Решение кроссворда в презентации

Что нового вы для себя сегодня открыли?

Все геометрические фигуры можно разделить на объёмные и плоские.

А я узнал названия объёмных фигур