Το διάλυμα τριγωνομετρικών εξισώσεων με βαθμούς. Η λύση των απλούστεων τριγωνομετρικών εξισώσεων

Κατά την επίλυση πολλών Μαθηματικά καθήκονταΕιδικά εκείνοι που συναντήθηκαν έως και 10 τάξεις, η διαδικασία δράσης που εκτελούνται, η οποία θα οδηγήσει στον στόχο, οριστικά ορίζεται. Τέτοιοι στόχοι περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισότητες, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που μειώνονται στο τετράγωνο. Η αρχή της επιτυχημένης λύσης καθενός από τα αναφερόμενα καθήκοντα έχει ως εξής: Είναι απαραίτητο να καθοριστεί ο τρόπος με τον οποίο αναφέρεται ο τύπος, η ανάκληση της απαραίτητης ακολουθίας ενεργειών που θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. Απάντηση και εκτελέστε αυτές τις ενέργειες.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία της επίλυσης μιας ή άλλης εργασίας εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά ο τύπος της εξίσωσης ορίζεται πόσο σωστά αναπαράγεται η αλληλουχία όλων των σταδίων της λύσης του. Φυσικά, είναι απαραίτητο να κατέχουν τις δεξιότητες της εκτέλεσης πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.

Άλλη κατάσταση επιτυγχάνεται με τριγωνομετρικές εξισώσεις. Καθορίστε το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική, απολύτως όχι δύσκολη. Οι δυσκολίες εμφανίζονται κατά τον καθορισμό της ακολουθίας ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Σύμφωνα με την εμφάνιση της εξίσωσης, μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του. Και δεν γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε από αρκετές δεκάδες τριγωνομετρικές φόρμουλες που είναι απαραίτητες.

Για να λύσετε την τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Δημιουργήστε όλες τις λειτουργίες που περιλαμβάνονται στην εξίσωση με τις "ίδιες γωνίες".
2. Δημιουργήστε μια εξίσωση με τις "ίδιες λειτουργίες".
3. Τοποθετήστε το αριστερό μέρος της εργοστασιακής εξίσωσης κ.λπ.

Σκεφτείτε Βασικές μέθοδοι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Φέρνοντας στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Σχηματική λύση

Βήμα 1. Εκφράστε τριγωνομετρική λειτουργία μέσω γνωστών στοιχείων.

Βήμα 2. Βρείτε μια λειτουργία επιχειρήματος από τους τύπους:

cos x \u003d a; Χ \u003d ± arccos a + 2πΝ, n єz.

sin x \u003d a; Χ \u003d (-1) Ν Arcsin Α + ΠΝ, N є Z.

tg x \u003d a; x \u003d arctg a + pn, n є z.

ctg x \u003d a; x \u003d arcctg a + pn, n є z.

Βήμα 3. Βρείτε μια άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos (3x - p / 4) \u003d -√2.

Απόφαση.

1) COS (3x - Π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3Χ - Π / 4 \u003d ± (π - Π / 4) + 2πΝ, Ν є Z;

3Χ - Π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πΝ, Ν є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πΝ, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πΝ / 3, n є z;

x \u003d ± Π / 4 + Π / 12 + 2πΝ / 3, N є z.

Απάντηση: ± Π / 4 + Π / 12 + 2πΝ / 3, N є z.

Ii. Αντικατάσταση της μεταβλητής

Σχηματική λύση

Βήμα 1. Δημιουργήστε μια εξίσωση με την αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές λειτουργίες.

Βήμα 2. Ορίστε τη λειτουργία που προκύπτει από τη μεταβλητή t (εάν είναι απαραίτητο, εισάγετε τους περιορισμούς στο t).

Βήμα 3. Καταγράψτε και λύστε την προκύπτουσα αλγεβρική εξίσωση.

Βήμα 4. Να αντικαταστήσει.

Βήμα 5. Λύστε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Απόφαση.

1) 2 (1 - SIN 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Αφήστε την αμαρτία (x / 2) \u003d t, όπου | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 ή e \u003d -3/2, δεν ικανοποιεί την κατάσταση | t | ≤ 1.

4) SIN (X / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πΝ, n є z;

x \u003d π + 4πΝ, n є z.

Απάντηση: x \u003d π + 4πΝ, n є z.

III. Τη μέθοδο μείωσης της σειράς της εξίσωσης

Σχηματική λύση

Βήμα 1. Αντικαταστήστε αυτή τη γραμμική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν τύπο μείωσης του βαθμού για αυτό:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - COS 2X);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2. Επίλυση της ληφθείσας εξίσωσης χρησιμοποιώντας μεθόδους Ι και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Απόφαση.

1) Cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · COS 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± Π / 3 + 2πΝ, Ν є z;

x \u003d ± Π / 6 + ΠΝ, N є z.

Απάντηση: x \u003d ± Π / 6 + ΠΝ, n є z.

Iv. Ομοιόμορφες εξισώσεις

Σχηματική λύση

Βήμα 1. Φέρτε αυτή την εξίσωση με τη φόρμα

α) μια αμαρτία x + b cos x \u003d 0 (ομοιογενής εξίσωση του πρώτου βαθμού)

ή για θέαμα

β) μια αμαρτία 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (ομοιογενής εξίσωση του δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2. Χωρίζουν και τα δύο μέρη της εξίσωσης

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και να πάρετε την εξίσωση σε σχέση με το tg x:

α) ένα tg x + b \u003d 0;

β) ένα tg2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Βήμα 3. Να λύσει την εξίσωση με γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

Απόφαση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (SIN 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) Tg 2 x + 3tg x - 4 \u003d 0.

3) Αφήστε το TG X \u003d T, τότε

t 2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 ή t \u003d -4, τότε

tg x \u003d 1 ή tg x \u003d -4.

Από την πρώτη εξίσωση X \u003d Π / 4 + ΠΝ, N є z; Από τη δεύτερη εξίσωση X \u003d -ARCTG 4 + ΠΚ, K є z.

Απάντηση: x \u003d π / 4 + πΝ, n є z; x \u003d -arctg 4 + πΚ, k є z.

V. Μέθοδος μετατροπής μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους

Σχηματική λύση

Βήμα 1. Χρησιμοποιώντας όλα τα είδη τριγωνομετρικών τύπων, οδηγούν αυτή την εξίσωση με την εξίσωση, λυμένες μέθοδοι I, II, III, IV.

Βήμα 2. Λύστε τις γνωστές μεθόδους εξίσωσης που προκύπτουν.

Παράδειγμα.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

Απόφαση.

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2X \u003d 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x \u003d 0.

2) sIN 2x · (2cos x + 1) \u003d 0;

sIN 2X \u003d 0 ή 2COS x + 1 \u003d 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x \u003d π / 2 + πΝ, n є z; Από τη δεύτερη εξίσωση cos x \u003d -1/2.

Έχουμε x \u003d Π / 4 + ΠΝ / 2, N є z; Από τη δεύτερη εξίσωση X \u003d ± (π - Π / 3) + 2πκ, Κ є z.

Ως αποτέλεσμα, το Χ \u003d Π / 4 + ΠΝ / 2, N є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πκ, k є z.

Απάντηση: x \u003d Π / 4 + ΠΝ / 2, N є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πκ, k є z.

Οι δεξιότητες και οι δεξιότητες για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ Σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντικές προσπάθειες, τόσο από τον φοιτητή όσο και από τον δάσκαλο.

Με τη λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων, πολλές προκλήσεις της στερεομετρίας, της φυσικής και άλλων συνδέονται με τη διαδικασία επίλυσης τέτοιων εργασιών, όπως ήταν, ολοκληρώνει πολλές γνώσεις και δεξιότητες, οι οποίες αγοράζονται στη μελέτη στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις καταλαμβάνουν ένα σημαντικό μέρος στη διαδικασία της μάθησης των μαθηματικών και της ανάπτυξης της προσωπικότητας στο σύνολό της.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρω πώς να λύσει τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να πάρει τη βοήθεια ενός εκπαιδευτή -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.Set, με πλήρη ή μερική αντιγραφή της αναφοράς υλικού στην αρχική πηγή.

Η λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Το διάλυμα τριγωνομετρικών εξισώσεων οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας μειώνεται τελικά στην επίλυση των απλούστεων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Και σε αυτό το καλύτερο βοηθό ξανά αποδεικνύεται για να είναι ένας τριγωνομετρικός κύκλος.

Θυμηθείτε τον ορισμό της Cosine και του κόλπου.

Η συνήθεια της γωνίας είναι η τετμημένη (δηλαδή η συντεταγμένη στον άξονα) του σημείου στον κύκλο μονάδας που αντιστοιχεί στην περιστροφή στη δεδομένη γωνία.

Ο κόλπος της γωνίας ονομάζεται ο τεταγμένος (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) του σημείου στον κύκλο μονάδας που αντιστοιχεί στην περιστροφή στη δεδομένη γωνία.

Μια θετική κατεύθυνση κίνησης σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο είναι η κίνηση αριστερόστροφα. Ενεργοποίηση σε 0 μοίρες (ή 0 ακτίνα) αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (1, 0)

Χρησιμοποιούμε αυτούς τους ορισμούς για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

1. Επίλυση εξίσωσης

Αυτή η εξίσωση ικανοποιεί όλες αυτές τις τιμές της γωνίας περιστροφής που αντιστοιχούν στα σημεία του κύκλου, ο τετηγμένος του οποίου είναι ίσος με.

Σημειώνουμε τον άξονα του εντοπισμού του σημείου με τη βαθμολογία:

Διεξάγουμε την οριζόντια γραμμή παράλληλα με τον άξονα abscissa στη διασταύρωση με τον κύκλο. Θα λάβουμε δύο σημεία που βρίσκονται στον κύκλο και έχουν τη τεταγμένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής και ακτίνων:

Εάν βγαίνουμε από το σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής στην ακτίνα, ο μισθός του πλήρους κύκλου, τότε θα έρθουμε σε ένα σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής στην ακτίνα και έχει την ίδια τεταγμένη. Δηλαδή, αυτή η γωνιά περιστροφής ικανοποιεί επίσης την εξίσωση μας. Μπορούμε να κάνουμε πόσες "αδρανές" επαναστατικές, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο και όλες αυτές οι γωνίες θα ικανοποιήσουν την εξίσωση μας. Ο αριθμός επαναστάσεων "αδρανών" θα υποδείξει το γράμμα (ή). Δεδομένου ότι μπορούμε να κάνουμε αυτούς τους αναβριές τόσο σε θετικές όσο και στην αρνητική κατεύθυνση, (ή) μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.

Δηλαδή, η πρώτη σειρά λύσεων της εξίσωσης της πηγής έχει τη μορφή:

, - Πολλοί ακέραιοι (1)

Ομοίως, η δεύτερη σειρά λύσεων έχει τη μορφή:

όπου,. (2)

Όπως μαντέψατε, το σημείο του κύκλου βασίζεται σε αυτή τη σειρά λύσεων, που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής.

Αυτές οι δύο σειρές λύσεων μπορούν να συνδυαστούν σε μία καταχώρηση:

Εάν παίρνουμε σε αυτό το αρχείο (δηλαδή, ακόμη και), τότε θα πάρουμε την πρώτη σειρά λύσεων.

Αν παίρνουμε σε αυτό το αρχείο (δηλαδή, ένα περίεργο), τότε θα πάρουμε τη δεύτερη σειρά λύσεων.

2. Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση

Δεδομένου ότι είναι η τετμημένη στο σημείο ενός ενιαίου κύκλου που λαμβάνεται μετατρέποντας τη γωνία, σημειώνουμε στο σημείο άξονα με την τετμημένη:

Πραγματοποιούμε την κατακόρυφη γραμμή παράλληλα με τον άξονα στη διασταύρωση με τον κύκλο. Θα πάμε δύο σημεία που βρίσκονται στον κύκλο και έχοντας τετσίσσα. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν στις γωνίες της περιστροφής και των ακτίνων. Θυμηθείτε ότι όταν μετακινείται δεξιόστροφα, έχουμε αρνητική γωνία περιστροφής:

Γράφουμε δύο σειρές λύσεων:

,

,

(Πέφτουμε στο επιθυμητό σημείο, περνώντας από τον κύριο πλήρες κύκλο, δηλαδή.

Συνδυάζουμε αυτές τις δύο σειρές σε μία είσοδο:

3. Επίλυση της εξίσωσης

Η γραμμή των εφαπτομένων περνά μέσα από ένα σημείο με συντεταγμένες (1.0) ενός μόνο κύκλου παράλληλα με τον άξονα Oy

Σημειώνουμε το σημείο πάνω του, με τη βαθμολόγηση ίσου με 1 (ψάχνουμε για, την εφαπτόμενη από τις οποίες γωνίες είναι 1):

Συνδέστε αυτό το σημείο με την έναρξη των συντεταγμένων της ευθείας γραμμής και σημειώνουμε τα σημεία διασταύρωσης της ευθείας γραμμής με έναν μόνο κύκλο. Τα σημεία διασταύρωσης του άμεσου και του κύκλου αντιστοιχούν στις γωνίες της ενεργοποίησης και:

Δεδομένου ότι τα σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής που ικανοποιούν την εξίσωση μας βρίσκονται σε απόσταση από την ακτινοβολία το ένα από το άλλο, τότε μπορούμε να γράψουμε τη λύση με αυτόν τον τρόπο:

4. Επίλυση εξίσωσης

Η γραμμή catangens περνά μέσα από το σημείο με τις συντεταγμένες ενός μόνο κύκλου παράλληλα προς τον άξονα.

Σημείωση σχετικά με τη γραμμή των Καθηγητών, το σημείο με την τετμημένη -1:

Συνδέστε αυτό το σημείο με την έναρξη των συντεταγμένων άμεσης και συνεχίστε να διασχίζετε τον κύκλο. Αυτό το άμεσο διασχίζει τον κύκλο σε σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες της περιστροφής και των ακτίνων:

Δεδομένου ότι αυτά τα σημεία θα διαρκέσουν μεταξύ τους, ίσες, τότε η γενική λύση αυτής της εξίσωσης μπορούμε να γράψουμε με αυτόν τον τρόπο:

Στα παραπάνω παραδείγματα που απεικονίζουν το διάλυμα των απλούστεων τριγωνομετρικών εξισώσεων, χρησιμοποιήθηκαν επιτραπέζιες τιμές τριγωνομετρικών λειτουργιών.

Ωστόσο, εάν δεν είναι μια τιμή πίνακα στο δεξιό μέρος της εξίσωσης, τότε υποκαθιστούμε την τιμή στη γενική λύση της εξίσωσης:

Ειδικές λύσεις:

Σημειώνουμε την περιφέρεια του σημείου, οι εντολές των οποίων είναι 0:

Σημείωση σχετικά με τον κύκλο, το μόνο σημείο, η εντολή του οποίου είναι 1:

Σημείωση στον κύκλο, το μόνο σημείο του οποίου ο εντοπισμός είναι -1:

Δεδομένου ότι είναι συνηθισμένο να αναφέρετε τις τιμές που πλησιάζει στο μηδέν, θα γράψουμε τη λύση:

Σημειώνουμε την περιφέρεια του σημείου, το τετμημόριο του οποίου είναι 0:

5.
Σημειώνουμε τον κύκλο το μόνο σημείο, το τετμημόχαρτο του οποίου είναι 1:

Σημείωση σχετικά με τον κύκλο, το μόνο σημείο, το τετμημόριο του οποίου είναι -1:

Και λίγο πιο σύνθετα παραδείγματα:

1.

Η ηλιοβασίλεμα είναι ίση με ένα εάν το επιχείρημα είναι ίσο

Το επιχείρημα από τον κόλπο μας είναι ίσο, έτσι έχουμε:

Διαχωρίζουμε και τα δύο μέρη της ισότητας για 3:

Απάντηση:

2.

Το Cosine είναι μηδέν εάν το όρισμα συνημίνων είναι ίσο

Το επιχείρημα από την συνήτησή μας είναι ίση, έτσι έχουμε:

Express, γι 'αυτό, πρώτα να μεταβείτε στα δεξιά με το αντίθετο σημάδι:

Απλοποιούμε τη δεξιά πλευρά:

Διαχωρίζουμε και τα δύο μέρη σε -2:

Σημειώστε ότι το σημάδι δεν αλλάζει πριν από τον όρο, επειδή το k μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.

Απάντηση:

Και στο συμπέρασμα, κοιτάξτε το βίντεο Tutorial "η επιλογή των ριζών στην τριγωνομετρική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο"

Σε αυτή τη συζήτηση σχετικά με την επίλυση των απλούστεων τριγωνομετρικών εξισώσεων, θα τελειώσουμε. Την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για το πώς να λύσουμε.

Απαιτεί τη γνώση των βασικών τύπων τριγωνομετρίας - το άθροισμα των τετραγώνων του κόλπου και της συνημίας, της έκφρασης της εφαπτομένης μέσω του κόλπου και της συνάλτας και των άλλων. Για όσους τους ξέχασαν ή δεν γνωρίζουν, σας συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο "".
Έτσι, γνωρίζουμε τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, ήρθε η ώρα να τα χρησιμοποιήσουμε στην πράξη. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Με τη σωστή προσέγγιση, μια αρκετά συναρπαστική δραστηριότητα, όπως, για παράδειγμα, για τη συλλογή του κύβου του Rubik.

Με βάση το ίδιο το όνομα, μπορεί να φανεί ότι η τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο είναι υπό τριγωνομετρική λειτουργία.
Υπάρχουν λεγόμενες απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Εδώ είναι αυτό που φαίνονται: sinh \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a. Σκεφτείτε Πώς να λύσετε τέτοιες τριγωνομετρικές εξισώσειςΓια λόγους σαφήνειας, θα χρησιμοποιήσουμε τον ήδη γνωστό τριγωνομετρικό κύκλο.

sinh \u003d α.

cos x \u003d a

tg x \u003d a

cot x \u003d a

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση επιλύεται σε δύο στάδια: Δώστε την εξίσωση με την απλούστερη μορφή και στη συνέχεια να το λύσει ως την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.
Υπάρχουν 7 βασικές μέθοδοι με τις οποίες λυθούν τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. Μέθοδος για την αντικατάσταση μιας μεταβλητής και υποκατάστασης

Επίλυση εξίσωσης 2coS 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

Χρησιμοποιώντας τους τύπους, έχουμε:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Αντικαταστήστε το COS (X + / 6) σε Y για να απλοποιήσετε και να πάρετε μια συμβατική τετραγωνική εξίσωση:

2Y 2 - 3Y + 1 + 0

Τις ρίζες των οποίων y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Τώρα πηγαίνουμε σε αντίστροφη σειρά

Αντικαθιστούμε τις τιμές που βρέθηκαν y και λάβουμε δύο απαντήσεις:

2. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μέσω αποσύνθεσης πολλαπλασιαστών

Πώς να λύσετε την εξίσωση SIN X + COS X \u003d 1;

Μεταφέραμε τα πάντα προς τα αριστερά προς τα δεξιά υπολείμματα 0:

sIN X + COS X - 1 \u003d 0

Χρησιμοποιούμε τις αυξημένες ταυτότητες για να απλοποιήσουμε την εξίσωση:

sIN X - 2 SIN 2 (x / 2) \u003d 0

Κάνουμε την επέκταση των πολλαπλασιαστών:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Παίρνουμε δύο εξισώσεις

3. Φέρνοντας σε μια ομοιογενή εξίσωση

Η εξίσωση είναι ομοιογενής σε σχέση με τον κόλπο και την συνίνη, εάν όλα τα μέλη του σε σχέση με τον κόλπο και το συνίνη του ίδιου βαθμού της ίδιας γωνίας. Για την επίλυση μιας ομοιογενούς εξίσησης, εισάγετε ως εξής:

α) Μεταφέρετε όλα τα μέλη της στην αριστερή πλευρά.

β) Κάνετε όλους τους κοινούς παράγοντες για αγκύλες.

γ) ίσο όλων των πολλαπλασιαστές και τις παρενθέσεις στο 0 ·

δ) σε παρένθεση που λαμβάνονται μια ομοιογενή εξίσωση με μικρότερο βαθμό, με τη σειρά του χωρίζεται σε κόλπο ή συνάρτηση στον υψηλό βαθμό.

ε) Επίλυση της εξίσωσης που προκύπτει σε σχέση με το TG.

Επίλυση εξίσωση 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Χρησιμοποιούμε την αμαρτία 2 x + cos 2 x \u003d 1 φόρμουλα και να απαλλαγείτε από το ανοιχτό δύο φορές προς τα δεξιά:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

sIN 2 x + 4 SIN X COS x + 3 cos 2 x \u003d 0

Διαχωρίζουμε στο cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 \u003d 0

Αντικαταστήσαμε το TG X στο Y και έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση:

y 2 + 4y +3 \u003d 0, οι ρίζες των οποίων y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

Από εδώ βρίσκουμε δύο λύσεις της εξίσωσης πηγής:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Επίλυση εξισώσεων, μέσω της μετάβασης στη μισή γωνία

Επίλυση εξίσωσης 3sin x - 5cos x \u003d 7

Πηγαίνετε στο X / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin2 (x / 2) \u003d 7sin2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Preen όλα Αριστερά:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Διαχωρίζουμε στο COS (X / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 \u003d 0

5. Την εισαγωγή της βοηθητικής γωνίας

Για εξέταση, πάρτε την εξίσωση της φόρμας: μια αμαρτία x + b cos x \u003d c,

Όπου Α, Β, Γ είναι ορισμένοι αυθαίρετοι συντελεστές και το Χ είναι άγνωστο.

Και τα δύο μέρη της εξίσωσης χωρίζονται σε:



Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης σύμφωνα με τους τριγωνομετρικούς τύπους έχουν τις ιδιότητες της αμαρτίας και της COs, δηλαδή: η μονάδα τους δεν είναι μεγαλύτερη από 1 και το άθροισμα των τετραγώνων \u003d 1. δηλώνουν τα, αντίστοιχα, ως COS και την αμαρτία, όπου είναι το λεγόμενη βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια, η εξίσωση θα λάβει τη φόρμα:

cos * sin x + sin * cos x \u003d c

ή την αμαρτία (x +) \u003d c

Από την επίλυση αυτής της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης θα είναι

x \u003d (-1) k * arcsin c - + k, όπου



Πρέπει να σημειωθεί ότι οι ονομασίες της COS και της αμαρτίας είναι εναλλάξιμοι.

Επίλυση SIN 3X Εξίσωση - COS 3X \u003d 1

Σε αυτή την εξίσωση, οι συντελεστές:

a \u003d, B \u003d -1, έτσι διαιρούμε και τα δύο μέρη με \u003d 2

Έννοια της επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

• Για την επίλυση της τριγωνομετρικής εξίσωσης, το μετατρέπουν σε μία ή περισσότερες από τις κύριες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Το διάλυμα της τριγωνομετρικής εξίσωσης μειώνεται τελικά στην επίλυση τεσσάρων κύριων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η συμμόρφωση με το απόρρητό σας είναι σημαντικό για εμάς. Για το λόγο αυτό, αναπτύξαμε μια πολιτική απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου και μας ενημερώστε εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Κάτω από προσωπικές πληροφορίες υπόκεινται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον εντοπισμό ενός συγκεκριμένου προσώπου ή της επικοινωνίας με αυτό.

Μπορείτε να σας ζητήσετε να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν συνδέεστε μαζί μας.

Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που μπορούμε να συλλέξουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τέτοιες πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν αφήνετε μια εφαρμογή στον ιστότοπο, μπορούμε να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, συμπεριλαμβανομένου του ονόματός σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείου κ.λπ.

Καθώς χρησιμοποιούμε τις προσωπικές σας πληροφορίες:

• Συλλέξαμε προσωπικά στοιχεία μας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να αναφέρετε τις μοναδικές προτάσεις, τις προωθήσεις και άλλες εκδηλώσεις και τις πλησιέστερες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλετε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε εξατομικευμένες πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως ο έλεγχος, η ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτες προκειμένου να βελτιωθούν οι υπηρεσίες των υπηρεσιών μας και να σας παρέχουμε συστάσεις για τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε στα βραβεία, τον ανταγωνισμό ή στην παρόμοια διεγερτική εκδήλωση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για να διαχειριστείτε τέτοια προγράμματα.

Γνωστοποίηση πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνονται από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, στη δίκη ή / και βάσει δημόσιων ερωτημάτων ή αιτήσεων από κρατικούς φορείς στο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - για να αποκαλύψουν τα προσωπικά σας στοιχεία. Μπορούμε επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς αν ορίσουμε ότι η εν λόγω γνωστοποίηση είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για την ασφάλεια, τη διατήρηση του νόμου και της τάξης ή άλλες κοινωνικά σημαντικές περιπτώσεις.
• Στην περίπτωση της αναδιοργάνωσης, των συγχωνεύσεων ή των πωλήσεων, μπορούμε να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε τα αντίστοιχα στο τρίτο μέρος - διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Πραγματοποιούμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένου του διοικητικού, τεχνικού και σωματικού - για την προστασία των προσωπικών σας πληροφοριών από την απώλεια, την κλοπή και την αδίστακτη χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, αλλαγές και καταστροφή.

Συμμόρφωση με το απόρρητό σας στο επίπεδο της εταιρείας

Προκειμένου να διασφαλιστεί ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, φέρνουμε τον κανόνα εμπιστευτικότητας και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και ακολουθούμε αυστηρά την εκτέλεση μέτρων εμπιστευτικότητας.