Τελικό προϊόν διανυσμάτων

Συνεχίζουμε να ασχολούμαστε με διανύσματα. Στο πρώτο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαεξετάσαμε την έννοια του διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, συντεταγμένες ενός διανύσματος και τις απλούστερες εργασίες με διανύσματα. Εάν ήρθατε σε αυτήν τη σελίδα για πρώτη φορά από μια μηχανή αναζήτησης, σας συνιστώ να διαβάσετε το παραπάνω εισαγωγικό άρθρο, γιατί για να κατακτήσετε το υλικό, πρέπει να περιηγηθείτε στους όρους και τις σημειώσεις που χρησιμοποιώ, να έχετε βασικές γνώσεις διανυσμάτων και να μπορείτε για την επίλυση στοιχειωδών προβλημάτων. Αυτό το μάθημα είναι μια λογική συνέχεια του θέματος και σε αυτό θα αναλύσω λεπτομερώς τυπικές εργασίες στις οποίες χρησιμοποιείται το τελικό προϊόν των διανυσμάτων. Αυτή είναι μια ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ δραστηριότητα.... Προσπαθήστε να μην παραλείψετε παραδείγματα, συνοδεύονται από ένα χρήσιμο μπόνους - η εξάσκηση θα σας βοηθήσει να ενοποιήσετε το υλικό που καλύψατε και να βρείτε την λύση στα κοινά προβλήματα της αναλυτικής γεωμετρίας.

Προσθήκη διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό…. Θα ήταν αφελές να πιστεύουμε ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν καταλήξει σε κάτι άλλο. Εκτός από τις ενέργειες που έχουν ήδη εξεταστεί, υπάρχουν μια σειρά άλλων πράξεων με διανύσματα, και συγκεκριμένα: τελεία προϊόν διανυσμάτων, διάνυσμα προϊόν διανυσμάτωνκαι μικτό προϊόν διανυσμάτων... Το κλιμακωτό προϊόν των διανυσμάτων είναι γνωστό σε εμάς από το σχολείο, τα άλλα δύο προϊόντα σχετίζονται παραδοσιακά με την πορεία των ανώτερων μαθηματικών. Τα θέματα είναι απλά, ο αλγόριθμος για την επίλυση πολλών προβλημάτων είναι στερεότυπος και κατανοητός. Το μόνο πράγμα. Υπάρχουν πολλές πληροφορίες, επομένως είναι ανεπιθύμητο να προσπαθήσουμε να κυριαρχήσουμε, να λύσουμε τα πάντα ΜΙΑ ΦΟΡΑ. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τις τσαγιέρες, πιστέψτε με, ο συγγραφέας δεν θέλει να αισθάνεται καθόλου Τσικατίλο από τα μαθηματικά. Λοιπόν, και όχι από τα μαθηματικά, φυσικά, επίσης =) Οι πιο προετοιμασμένοι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα υλικά επιλεκτικά, κατά μια έννοια, "πάρουν" τις γνώσεις που λείπουν, για εσάς θα είμαι ένας ακίνδυνος κόμης Δράκουλας =)

Τέλος, ας ανοίξουμε την πόρτα και βλέπουμε με ενθουσιασμό τι συμβαίνει όταν δύο διανύσματα συναντιούνται….

Προσδιορισμός του τελικού προϊόντος των διανυσμάτων.
Ιδιότητες τελικών προϊόντων. Τυπικές εργασίες

Έννοια προϊόντος τελεία

Πρώτα περίπου γωνία μεταξύ διανυσμάτων... Νομίζω ότι όλοι διαισθητικά καταλαβαίνουν ποια είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, αλλά για κάθε περίπτωση, λίγο πιο λεπτομερώς. Εξετάστε τα δωρεάν μη μηδενικά διανύσματα και. Αν αναβάλλετε αυτά τα διανύσματα από ένα αυθαίρετο σημείο, θα έχετε μια εικόνα που πολλοί έχουν ήδη φανταστεί στο μυαλό τους:

Ομολογώ ότι εδώ έχω σκιαγραφήσει την κατάσταση μόνο σε επίπεδο κατανόησης. Εάν χρειάζεστε έναν αυστηρό ορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο, αλλά για πρακτικά προβλήματα, εμείς, κατ 'αρχήν, δεν το χρειαζόμαστε. Επίσης ΕΔΩ ΚΑΙ ΕΠΟΜΕΝΟ Σε ορισμένα σημεία θα αγνοήσω μηδενικά διανύσματα λόγω της χαμηλής πρακτικής τους σημασίας. Έκανα μια κράτηση ειδικά για προχωρημένους επισκέπτες του ιστότοπου που μπορούν να με κατακρίνουν για το θεωρητικό ημιτελές ορισμένων από τις ακόλουθες δηλώσεις.

μπορεί να λάβει τιμές από 0 έως 180 μοίρες (από 0 έως ακτίνια) συμπεριλαμβανομένων. Αναλυτικά, αυτό το γεγονός γράφεται με τη μορφή διπλής ανισότητας: ή (σε ακτίνια).

Στη βιβλιογραφία, το εικονίδιο γωνίας συχνά παραβλέπεται και γράφεται απλά.

Ορισμός:Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ο ΑΡΙΘΜΟΣ ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους:

Αυτός είναι ήδη ένας πολύ αυστηρός ορισμός.

Εστιάζουμε σε βασικές πληροφορίες:

Ονομασία:το προϊόν τελείας συμβολίζεται με ή απλά.

Το αποτέλεσμα της πράξης είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: Το διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με το διάνυσμα και το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός. Πράγματι, εάν τα μήκη των διανυσμάτων είναι αριθμοί, το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ένας αριθμός, τότε το γινόμενο τους θα είναι επίσης ένας αριθμός.

Μερικά παραδείγματα προθέρμανσης:

Παράδειγμα 1

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο ... Σε αυτήν την περίπτωση:

Απάντηση:

Οι τιμές συνημιτόνου μπορούν να βρεθούν στο τριγωνομετρικός πίνακας... Σας συνιστώ να το εκτυπώσετε - θα απαιτείται σχεδόν σε όλα τα τμήματα του πύργου και θα απαιτείται πολλές φορές.

Από καθαρά μαθηματική άποψη, το τελικό προϊόν δεν έχει διαστάσεις, δηλαδή το αποτέλεσμα, σε αυτή την περίπτωση, είναι απλώς ένας αριθμός και αυτό είναι όλο. Από την άποψη των φυσικών προβλημάτων, το κλιμακωτό προϊόν έχει πάντα μια ορισμένη φυσική έννοια, δηλαδή, μετά το αποτέλεσμα, πρέπει να υποδεικνύεται η μία ή η άλλη φυσική μονάδα. Ένα κανονικό παράδειγμα υπολογισμού του έργου μιας δύναμης μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε σχολικό βιβλίο (ο τύπος είναι ακριβώς το τελικό προϊόν). Το έργο της δύναμης μετριέται σε Joules, επομένως, και η απάντηση θα γραφτεί πολύ συγκεκριμένα, για παράδειγμα,.

Παράδειγμα 2

Βρείτε αν , και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια λύση μόνος σου, η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του σεμιναρίου.

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων και τιμής προϊόντος τελεία

Στο Παράδειγμα 1, το τελικό προϊόν αποδείχθηκε θετικό και στο Παράδειγμα 2 ήταν αρνητικό. Ας μάθουμε από τι εξαρτάται το σημάδι του προϊόντος με κουκκίδες. Κοιτάμε τον τύπο μας: ... Τα μήκη των μη μηδενικών διανυσμάτων είναι πάντα θετικά: έτσι το πρόσημο μπορεί να εξαρτάται μόνο από την τιμή του συνημίτονου.

Σημείωση: Για καλύτερη κατανόηση των παρακάτω πληροφοριών, είναι καλύτερο να μελετήσετε το γράφημα συνημίτονο στο εγχειρίδιο Γραφήματα συνάρτησης και ιδιότητες... Δείτε πώς συμπεριφέρεται το συνημίτονο σε ένα τμήμα.

Όπως ήδη σημειώθηκε, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να ποικίλει εντός , και είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Αν ένεσημεταξύ διανυσμάτων αρωματώδης: (από 0 έως 90 μοίρες), τότε , και το προϊόν με κουκκίδες θα είναι θετικό συν-σκηνοθετημένος, τότε η γωνία μεταξύ τους θεωρείται μηδενική και το τελικό προϊόν θα είναι επίσης θετικό. Δεδομένου ότι, ο τύπος απλοποιείται :.

2) Αν ένεσημεταξύ διανυσμάτων χαζος: (από 90 έως 180 μοίρες), τότε , και αντίστοιχα, το τελικό προϊόν είναι αρνητικό:. Ειδική περίπτωση: εάν διανύσματα αντίθετη κατεύθυνση, τότε λαμβάνεται υπόψη η γωνία μεταξύ τους αναπτυχθεί: (180 μοίρες). Το τελικό προϊόν είναι επίσης αρνητικό, αφού

Οι αντίθετες δηλώσεις ισχύουν επίσης:

1) Εάν, τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι οξεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι κωδικοποιημένα.

2) Εάν, τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι αμβλεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα.

Αλλά η τρίτη περίπτωση έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον:

3) Αν ένεσημεταξύ διανυσμάτων ευθεία: (90 μοίρες), λοιπόν Το τελείωμα του προϊόντος είναι μηδέν:. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: αν, τότε. Η δήλωση διατυπώνεται συμπαγώς ως εξής: Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο εάν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια... Σύντομος μαθηματικός συμβολισμός:

! Σημείωση : επαναλαμβάνω θεμέλια της μαθηματικής λογικής: το εικονίδιο λογικής συνέπειας διπλής όψης διαβάζεται συνήθως "τότε και μόνο τότε", "αν και μόνο αν". Όπως μπορείτε να δείτε, τα βέλη κατευθύνονται και προς τις δύο κατευθύνσεις - "από αυτό ακολουθεί αυτό και αντίστροφα - από αυτό που προκύπτει από αυτό". Παρεμπιπτόντως, ποια είναι η διαφορά από το εικονίδιο μονόδρομης παρακολούθησης; Το εικονίδιο ισχυρίζεται μόνο αυτόότι «προκύπτει από αυτό», και δεν είναι γεγονός ότι ισχύει το αντίθετο. Για παράδειγμα: αλλά δεν είναι κάθε θηρίο πάνθηρας, οπότε το εικονίδιο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αυτήν την περίπτωση. Ταυτόχρονα, αντί για το εικονίδιο μπορώχρησιμοποιήστε ένα εικονίδιο μονής κατεύθυνσης. Για παράδειγμα, λύνοντας το πρόβλημα, διαπιστώσαμε ότι καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα διανύσματα είναι ορθογώνια: - μια τέτοια καταχώρηση θα είναι σωστή και ακόμη πιο κατάλληλη από .

Η τρίτη περίπτωση έχει μεγάλη πρακτική σημασία.αφού σας επιτρέπει να ελέγξετε αν τα διανύσματα είναι ορθογώνια ή όχι. Θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα στο δεύτερο τμήμα του μαθήματος.

Ιδιότητες τελικών προϊόντων

Ας επιστρέψουμε στην κατάσταση όταν δύο διανύσματα συν-σκηνοθετημένος... Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία μεταξύ τους είναι ίση με μηδέν και ο τύπος του τελικού προϊόντος παίρνει τη μορφή :.

Τι συμβαίνει εάν το διάνυσμα πολλαπλασιαστεί από μόνο του; Είναι σαφές ότι το διάνυσμα είναι κωδικοποιημένο από μόνο του, οπότε χρησιμοποιούμε τον παραπάνω απλοποιημένο τύπο:

Ο αριθμός καλείται κλίμακα κλίμακαςδιάνυσμα, και συμβολίζεται ως.

Ετσι, το κλιμακωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του δεδομένου διανύσματος:

Από αυτήν την ισότητα, μπορείτε να πάρετε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:

Ενώ φαίνεται ασαφές, αλλά οι εργασίες του μαθήματος θα βάλουν τα πάντα στη θέση τους. Για να λύσουμε προβλήματα, χρειαζόμαστε επίσης ιδιότητες προϊόντος κουκκίδας.

Για αυθαίρετα διανύσματα και οποιονδήποτε αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) - μετατοπίσιμο ή μεταλλακτικόκλιμακωτός νόμος προϊόντων.

2) - διανομή ή διανεμητικήκλιμακωτός νόμος προϊόντων. Απλά, μπορείτε να επεκτείνετε τις παρενθέσεις.

3) - συνδυασμός ή προσεταιριστικήκλιμακωτός νόμος προϊόντων. Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το τελικό προϊόν.

Συχνά, κάθε είδους ιδιότητες (που πρέπει επίσης να αποδειχθούν!) Εκλαμβάνονται από τους μαθητές ως περιττά σκουπίδια, τα οποία πρέπει απλώς να απομνημονευτούν και να ξεχαστούν με ασφάλεια αμέσως μετά τις εξετάσεις. Φαίνεται ότι αυτό που είναι σημαντικό εδώ, όλοι γνωρίζουν από την πρώτη τάξη ότι το προϊόν δεν αλλάζει από τη μετάθεση των παραγόντων :. Πρέπει να σας προειδοποιήσω, στα ανώτερα μαθηματικά με παρόμοια προσέγγιση, είναι εύκολο να σπάσετε ξύλο. Έτσι, για παράδειγμα, η ιδιότητα μετατόπισης δεν είναι έγκυρη για αλγεβρικές μήτρες... Επίσης δεν ισχύει για διάνυσμα προϊόν διανυσμάτων... Επομένως, τουλάχιστον είναι καλύτερα να εμβαθύνεις σε τυχόν ιδιότητες που συναντάς κατά τη διάρκεια των ανώτερων μαθηματικών για να καταλάβεις τι μπορεί και τι δεν μπορεί να γίνει.

Παράδειγμα 3

.

Λύση:Αρχικά, ας ξεκαθαρίσουμε την κατάσταση με το διάνυσμα. Τι είναι αυτό τέλος πάντων; Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ένα καλά καθορισμένο διάνυσμα, το οποίο συμβολίζεται με. Η γεωμετρική ερμηνεία των ενεργειών με διανύσματα μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Διανύσματα για ανδρείκελα... Ο ίδιος μαϊντανός με διάνυσμα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και.

Επομένως, υπό προϋποθέσεις απαιτείται η εύρεση του προϊόντος με κουκκίδες. Θεωρητικά, πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο εργασίας , αλλά το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε τα μήκη των διανυσμάτων και τη γωνία μεταξύ τους. Αλλά η συνθήκη δίνει παρόμοιες παραμέτρους για διανύσματα, οπότε θα πάμε αντίστροφα:

(1) Αντικατάσταση διανυσματικών εκφράσεων.

(2) Επεκτείνουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων, ένα χυδαίο στρίψιμο γλώσσας μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Σύνθετοι αριθμοίή Ενσωμάτωση κλασματικής ορθολογικής λειτουργίας... Δεν θα επαναληφθώ =) Παρεμπιπτόντως, η ιδιότητα διανομής του κλιμακωτού προϊόντος μας επιτρέπει να επεκτείνουμε τις αγκύλες. Έχουμε το δικαίωμα.

(3) Στον πρώτο και τελευταίο όρο, γράφουμε συμπαγώς κλιμακωτά τετράγωνα διανυσμάτων: ... Κατά τον δεύτερο όρο, χρησιμοποιούμε τη διαπερατότητα του κλιμακωτού προϊόντος :.

(4) Δίνουμε παρόμοιους όρους :.

(5) Στον πρώτο όρο, χρησιμοποιούμε τον κλιμακωτό τύπο τετραγώνου, ο οποίος αναφέρθηκε όχι πολύ καιρό πριν. Στην τελευταία περίοδο, αντίστοιχα, λειτουργεί το ίδιο πράγμα :. Επεκτείνουμε τον δεύτερο όρο σύμφωνα με τον τυποποιημένο τύπο .

(6) Αντικαθιστούμε αυτούς τους όρους , και κάντε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τους τελικούς υπολογισμούς.

Απάντηση:

Η αρνητική τιμή του τελείου προϊόντος δηλώνει το γεγονός ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία.

Η εργασία είναι τυπική, εδώ είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 4

Βρείτε το τελείωμα των διανυσμάτων και, αν είναι γνωστό ότι .

Τώρα μια άλλη κοινή εργασία, μόνο για τη νέα φόρμουλα για το μήκος ενός διανύσματος. Οι ονομασίες εδώ θα επικαλύπτονται λίγο, οπότε για λόγους σαφήνειας, θα το ξαναγράψω με διαφορετικό γράμμα:

Παράδειγμα 5

Βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Λύσηθα είναι ως εξής:

(1) Δώστε μια διανυσματική έκφραση.

(2) Χρησιμοποιούμε τον τύπο μήκους :, ενώ ολόκληρη η έκφραση λειτουργεί ως διάνυσμα "ve".

(3) Χρησιμοποιούμε τη σχολική φόρμουλα για το τετράγωνο του αθροίσματος. Σημειώστε πώς λειτουργεί περίεργα εδώ: - στην πραγματικότητα, είναι το τετράγωνο της διαφοράς και, στην πραγματικότητα, είναι. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να αναδιατάξουν τα διανύσματα κατά τόπους: - αποδείχθηκε το ίδιο μέχρι μια αναδιάταξη των όρων.

(4) Τα υπόλοιπα είναι ήδη γνωστά από τα δύο προηγούμενα προβλήματα.

Απάντηση:

Όσο μιλάμε για το μήκος, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τη διάσταση - "μονάδες".

Παράδειγμα 6

Βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια λύση που θα φτιάξετε μόνοι σας. Ολοκληρωμένη λύση και απάντηση στο τέλος του σεμιναρίου.

Συνεχίζουμε να πιέζουμε χρήσιμα πράγματα από το τελείωμα του προϊόντος. Ας δούμε ξανά τον τύπο μας ... Σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, ας επαναφέρουμε τα μήκη των διανυσμάτων στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς:

Και θα αλλάξουμε τα μέρη:

Ποια είναι η σημασία αυτού του τύπου; Αν γνωρίζετε τα μήκη δύο διανυσμάτων και το τελικό γινόμενο τους, τότε μπορείτε να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων και, ως εκ τούτου, την ίδια τη γωνία.

Είναι το τελικό προϊόν ένας αριθμός; Αριθμός. Είναι τα μήκη των διανυσμάτων αριθμοί; Αριθμοί. Επομένως, το κλάσμα είναι επίσης ένας ορισμένος αριθμός. Και αν είναι γνωστό το συνημίτονο της γωνίας: , τότε χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση είναι εύκολο να βρούμε την ίδια τη γωνία: .

Παράδειγμα 7

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, αν είναι γνωστό ότι.

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Στο τελικό στάδιο των υπολογισμών, χρησιμοποιήθηκε μια τεχνική - η εξάλειψη του παραλογισμού στον παρονομαστή. Για να εξαλείψω τον παραλογισμό, πολλαπλασίασα τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί.

Οπότε αν , τότε:

Οι τιμές των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορούν να βρεθούν από τριγωνομετρικός πίνακας... Αν και αυτό συμβαίνει σπάνια. Σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, κάποιο είδος αδέξιας αρκούδας εμφανίζεται πολύ πιο συχνά και η τιμή της γωνίας πρέπει να βρεθεί περίπου χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Στην πραγματικότητα, θα δούμε μια τέτοια εικόνα περισσότερες από μία φορές.

Απάντηση:

Και πάλι, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τη διάσταση - ακτίνια και μοίρες. Προσωπικά, για να "καθαρίσω εν γνώσει μου όλες τις ερωτήσεις", προτιμώ να αναφέρω τόσο αυτό όσο και αυτό (εκτός εάν, φυσικά, υπό τον όρο, δεν απαιτείται η παρουσίαση της απάντησης μόνο σε ακτίνια ή μόνο σε μοίρες).

Τώρα θα μπορείτε να αντιμετωπίσετε μόνοι σας ένα πιο δύσκολο έργο:

Παράδειγμα 7 *

Δίνονται τα μήκη των διανυσμάτων και η γωνία μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ διανυσμάτων ,.

Το έργο δεν είναι τόσο δύσκολο όσο πολλαπλών βημάτων.
Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο λύσης:

1) Σύμφωνα με τον όρο, απαιτείται να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, ως εκ τούτου, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο .

2) Βρείτε το προϊόν με κουκκίδες (βλέπε παραδείγματα αρ. 3, 4).

3) Βρείτε το μήκος του διανύσματος και το μήκος του διανύσματος (βλ. Παραδείγματα Αρ. 5, 6).

4) Το τέλος της λύσης συμπίπτει με το Παράδειγμα Αρ. 7 - γνωρίζουμε τον αριθμό, πράγμα που σημαίνει ότι είναι εύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία:

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του σεμιναρίου.

Η δεύτερη ενότητα του μαθήματος εστιάζει στο ίδιο προϊόν με τελείες. Συντεταγμένες. Θα είναι ακόμη πιο εύκολο από ό, τι στο πρώτο μέρος.

Τελικό προϊόν διανυσμάτων,
δίνεται από συντεταγμένες σε ορθονομική βάση

Απάντηση:

Περιττό να πούμε ότι η ενασχόληση με τις συντεταγμένες είναι πολύ πιο ευχάριστη.

Παράδειγμα 14

Βρείτε το τελικό γινόμενο των διανυσμάτων και, αν

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια λύση που θα φτιάξετε μόνοι σας. Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συσχέτιση της λειτουργίας, δηλαδή να μην μετράτε, αλλά να μετακινήσετε αμέσως το τριπλό από το κλιμακωτό προϊόν και να το πολλαπλασιάσετε τελευταίο. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στο τέλος της παραγράφου, ένα προκλητικό παράδειγμα υπολογισμού του μήκους ενός διανύσματος:

Παράδειγμα 15

Βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων , αν

Λύση:Και πάλι ο τρόπος της προηγούμενης ενότητας υποδηλώνει τον εαυτό του :, αλλά υπάρχει ένας άλλος τρόπος:

Βρείτε το διάνυσμα:

Και το μήκος του σύμφωνα με τον ασήμαντο τύπο :

Το προϊόν με κουκκίδες δεν αποκλείεται εδώ!

Όπως είναι εκτός επιχείρησης, είναι κατά τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:
Να σταματήσει. Γιατί να μην επωφεληθείτε από την προφανή ιδιότητα του διανυσματικού μήκους; Τι γίνεται με το μήκος του διανύσματος; Αυτό το διάνυσμα είναι 5 φορές μεγαλύτερο από το διάνυσμα. Η κατεύθυνση είναι αντίθετη, αλλά δεν έχει σημασία, επειδή η συζήτηση είναι για το μήκος. Προφανώς, το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με το γινόμενο μονάδα μέτρησηςαριθμοί ανά διάνυσμα μήκος:
- το πρόσημο της ενότητας "τρώει" ένα πιθανό μείον του αριθμού.

Ετσι:

Απάντηση:

Ο τύπος για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ διανυσμάτων, οι οποίοι δίνονται με συντεταγμένες

Τώρα έχουμε πλήρεις πληροφορίες για να εκφράσουμε τον προηγούμενο τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων ως προς τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

Συνωμίτης της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων του επιπέδουκαι δίνεται σε ορθοφυσική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:
.

Συνωμίτης της γωνίας μεταξύ διανυσμάτων χώρουδίνεται σε ορθοφυσική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 16

Δίνονται τρεις κορυφές του τριγώνου. Εύρεση (γωνία κορυφής).

Λύση:Κατά συνθήκη, το σχέδιο δεν απαιτείται να εκτελεστεί, αλλά ακόμα:

Η απαιτούμενη γωνία επισημαίνεται με πράσινο τόξο. Θυμηθείτε αμέσως το σχολικό χαρακτηρισμό της γωνίας: - ιδιαίτερη προσοχή σε μέση τιμήτο γράμμα - αυτή είναι η κορυφή της γωνίας που χρειαζόμαστε. Για λόγους συντομίας, θα μπορούσε επίσης να γραφτεί απλά.

Από το σχέδιο είναι προφανές ότι η γωνία του τριγώνου συμπίπτει με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, με άλλα λόγια: .

Είναι επιθυμητό να μάθετε πώς να πραγματοποιείτε την ανάλυση που πραγματοποιείται διανοητικά.

Βρείτε διανύσματα:

Ας υπολογίσουμε το τελικό προϊόν:

Και τα μήκη των διανυσμάτων:

Κοσμικό σχήμα γωνίας:

Αυτή είναι η σειρά ολοκλήρωσης της εργασίας που προτείνω στις τσαγιέρες. Οι πιο εξελιγμένοι αναγνώστες μπορούν να γράψουν υπολογισμούς "σε μια γραμμή":

Ακολουθεί ένα παράδειγμα "κακής" τιμής συνημιτόνου. Η τιμή που προκύπτει δεν είναι τελική, οπότε δεν έχει νόημα να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Ας βρούμε την ίδια τη γωνία:

Αν κοιτάξετε το σχέδιο, το αποτέλεσμα είναι αρκετά εύλογο. Για έλεγχο, η γωνία μπορεί επίσης να μετρηθεί με ένα μοιρογνωμόνιο. Μην βλάψετε το κάλυμμα της οθόνης =)

Απάντηση:

Στην απάντηση, μην το ξεχνάτε ρώτησε για τη γωνία του τριγώνου(και όχι για τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων), μην ξεχάσετε να υποδείξετε την ακριβή απάντηση: και την κατά προσέγγιση τιμή της γωνίας: βρέθηκε με την αριθμομηχανή.

Όσοι έχουν απολαύσει τη διαδικασία μπορούν να υπολογίσουν τις γωνίες και να επαληθεύσουν την εγκυρότητα της κανονικής ισότητας

Παράδειγμα 17

Ένα τρίγωνο ορίζεται στο διάστημα από τις συντεταγμένες των κορυφών του. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των πλευρών και

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια λύση που θα φτιάξετε μόνοι σας. Ολοκληρωμένη λύση και απάντηση στο τέλος του σεμιναρίου

Ένα σύντομο τελικό τμήμα θα αφιερωθεί στις προβολές, στις οποίες το κλιμακωτό προϊόν είναι επίσης "μικτό":

Προβολή από διάνυσμα σε διάνυσμα. Η προβολή του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων.
Κατεύθυνση συνημίτονα ενός διανύσματος

Εξετάστε διανύσματα και:

Προβάλλουμε το διάνυσμα στο διάνυσμα, για αυτό παραλείπουμε από την αρχή και το τέλος του διανύσματος κάθεταανά διάνυσμα (πράσινες διακεκομμένες γραμμές). Φανταστείτε ότι οι ακτίνες φωτός πέφτουν κάθετα στο διάνυσμα. Τότε το τμήμα (κόκκινη γραμμή) θα είναι η "σκιά" του διανύσματος. Σε αυτή την περίπτωση, η προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα είναι το ΜΗΚΟΣ του τμήματος. Δηλαδή, Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Αυτός ο ΑΡΙΘΜΟΣ συμβολίζεται ως εξής :, "μεγάλο διάνυσμα" δηλώνει ένα διάνυσμα ΠΟΙΟΙ ΟΙέργο, "μικρός φορέας υπογραφής" δηλώνει ένα διάνυσμα ΕΠΙπου προβάλλεται.

Ο ίδιος ο δίσκος διαβάζεται ως εξής: "η προβολή του διανύσματος" a "στο διάνυσμα" bh "".

Τι συμβαίνει εάν το διάνυσμα "bs" είναι "πολύ σύντομο"; Σχεδιάζουμε μια ευθεία που περιέχει το διάνυσμα "είναι". Και το διάνυσμα "α" θα προβληθεί ήδη στην κατεύθυνση του διανύσματος "bh", απλά - στην ευθεία που περιέχει το διάνυσμα "να". Το ίδιο θα συμβεί εάν το διάνυσμα "α" αναβληθεί στο τριακοστό βασίλειο - θα εξακολουθεί να προβάλλεται εύκολα στην ευθεία που περιέχει το διάνυσμα "bh".

Αν η γωνίαμεταξύ διανυσμάτων αρωματώδης(όπως στην εικόνα) τότε

Αν διανύσματα ορθογώνιο, τότε (η προβολή είναι ένα σημείο του οποίου οι διαστάσεις θεωρείται ότι είναι μηδέν).

Αν η γωνίαμεταξύ διανυσμάτων χαζος(στο σχήμα, αναδιατάξτε νοερά το βέλος του διανύσματος), στη συνέχεια (το ίδιο μήκος, αλλά τραβηγμένο με σύμβολο μείον).

Ας αναβάλουμε αυτά τα διανύσματα από ένα σημείο:

Προφανώς, όταν το διάνυσμα κινείται, η προβολή του δεν αλλάζει

Θα υπάρχουν επίσης εργασίες για μια ανεξάρτητη λύση, στις οποίες μπορείτε να δείτε τις απαντήσεις.

Εάν στο πρόβλημα τόσο τα μήκη των διανυσμάτων όσο και η γωνία μεταξύ τους παρουσιάζονται "σε ασημένια πιατέλα", τότε η κατάσταση του προβλήματος και η λύση του μοιάζουν με αυτό:

Παράδειγμα 1.Δίνονται διανύσματα. Βρείτε το τελείωμα των διανυσμάτων εάν τα μήκη τους και η γωνία μεταξύ τους αντιπροσωπεύονται από τις ακόλουθες τιμές:

Ισχύει επίσης ένας άλλος ορισμός, ο οποίος είναι απολύτως ισοδύναμος με τον ορισμό 1.

Ορισμός 2... Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ένας αριθμός (κλιμακωτός) ίσος με το γινόμενο του μήκους ενός από αυτά τα διανύσματα με την προβολή του άλλου φορέα στον άξονα που καθορίζεται από το πρώτο από αυτά τα διανύσματα. Τύπος σύμφωνα με τον ορισμό 2:

Θα λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο μετά το επόμενο σημαντικό θεωρητικό σημείο.

Προσδιορισμός του τελικού προϊόντος των διανυσμάτων ως προς τις συντεταγμένες

Ο ίδιος αριθμός μπορεί να ληφθεί εάν τα διανύσματα που πολλαπλασιάζονται δίνονται με τις συντεταγμένες τους.

Ορισμός 3.Το τελικό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ένας αριθμός ίσος με το άθροισμα των ζευγαρωτών προϊόντων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους.

Στην επιφάνεια

Αν δύο διανύσματα και στο επίπεδο ορίζονται από τα δύο τους Καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες

τότε το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των ζευγαρωτών προϊόντων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους:

.

Παράδειγμα 2.Βρείτε την αριθμητική τιμή της προβολής του διανύσματος σε έναν άξονα παράλληλο με το διάνυσμα.

Λύση. Βρίσκουμε το τελικό προϊόν των διανυσμάτων προσθέτοντας τα ζευγαρωτά προϊόντα των συντεταγμένων τους:

Τώρα πρέπει να εξισώσουμε το κλιμακωτό προϊόν που προκύπτει με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και την προβολή του διανύσματος στον άξονα παράλληλα με το διάνυσμα (σύμφωνα με τον τύπο).

Βρίσκουμε το μήκος του διανύσματος ως τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του:

.

Σχεδιάζουμε μια εξίσωση και την λύνουμε:

Απάντηση. Η επιθυμητή αριθμητική τιμή είναι μείον 8.

Στο διάστημα

Αν δύο διανύσματα και στο διάστημα ορίζονται από τις τρεις καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες τους

,

τότε το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι επίσης ίσο με το άθροισμα των ζευγαρωτών προϊόντων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους, μόνο που υπάρχουν ήδη τρεις συντεταγμένες:

.

Το πρόβλημα της εύρεσης του τελείου προϊόντος με την εξεταζόμενη μέθοδο είναι μετά την ανάλυση των ιδιοτήτων του τελικού προϊόντος. Επειδή στην εργασία θα είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ποια γωνία σχηματίζουν τα πολλαπλασιασμένα διανύσματα.

Διανυσματικές ιδιότητες προϊόντος κουκκίδων

Αλγεβρικές ιδιότητες

1. (ιδιότητα μετατόπισης: το μέγεθος του τελικού προϊόντος τους δεν αλλάζει από την αλλαγή στις θέσεις των διανυσμάτων που πολλαπλασιάζονται).

2. (πολλαπλασιαστική συνδυαστική ιδιότητα: το τελικό γινόμενο ενός διανύσματος πολλαπλασιασμένο με κάποιον συντελεστή και ένα άλλο διάνυσμα είναι ίσο με το τελικό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο συντελεστή).

3. (ιδιότητα διανομής σε σχέση με το άθροισμα των διανυσμάτων: το τελικό προϊόν του αθροίσματος δύο διανυσμάτων από το τρίτο διάνυσμα είναι ίσο με το άθροισμα των προϊόντων τελικών του πρώτου διανύσματος κατά το τρίτο διάνυσμα και του δεύτερου διανύσματος από το τρίτο διάνυσμα).

4. (το κλιμακωτό τετράγωνο του διανύσματος είναι μεγαλύτερο από το μηδέν), εάν είναι μη μηδενικό διάνυσμα και, εάν, είναι μηδενικό διάνυσμα.

Γεωμετρικές ιδιότητες

Στους ορισμούς της υπό μελέτη μελέτης, έχουμε ήδη αγγίξει την έννοια της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων. It'sρθε η ώρα να ξεκαθαρίσουμε αυτήν την έννοια.

Στην παραπάνω εικόνα, είναι ορατά δύο διανύσματα, τα οποία φέρονται σε κοινή προέλευση. Και το πρώτο πράγμα που πρέπει να προσέξετε: υπάρχουν δύο γωνίες μεταξύ αυτών των διανυσμάτων - φ 1 και φ 2 ... Ποια από αυτές τις γωνίες εμφανίζεται στους ορισμούς και τις ιδιότητες του τελικού προϊόντος των διανυσμάτων; Το άθροισμα των θεωρούμενων γωνιών είναι 2 π και συνεπώς τα συνημίτονα αυτών των γωνιών είναι ίσα. Ο ορισμός του τελικού προϊόντος περιλαμβάνει μόνο το συνημίτονο μιας γωνίας, όχι την τιμή της έκφρασης. Αλλά στις ιδιότητες λαμβάνεται υπόψη μόνο μία γωνία. Και αυτή είναι η μία από τις δύο γωνίες που δεν ξεπερνά π , δηλαδή 180 μοίρες. Στο σχήμα, αυτή η γωνία ορίζεται ως φ 1 .

1. Λέγονται δύο διανύσματα ορθογώνιο και η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ευθεία (90 μοίρες ή π / 2) αν το τελικό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι μηδέν :

.

Η ορθογωνικότητα στη διανυσματική άλγεβρα είναι η κάθετοτητα δύο διανυσμάτων.

2. Δύο μη μηδενικά διανύσματα συνθέτουν αιχμηρή γωνία (από 0 έως 90 μοίρες, ή, που είναι το ίδιο - λιγότερο π Το προϊόν με κουκκίδες είναι θετικό .

3. Δύο μη μηδενικά διανύσματα συνθέτουν αμβλεία γωνία (από 90 έως 180 μοίρες, ή, που είναι το ίδιο - περισσότερο π / 2) εάν και μόνο εάν τους το τελικό προϊόν είναι αρνητικό .

Παράδειγμα 3.Τα διανύσματα δίνονται σε συντεταγμένες:

.

Υπολογίστε τα τελεία όλων των ζευγών δεδομένων διανυσμάτων. Τι γωνία (οξεία, ευθεία, αμβλύ) σχηματίζουν αυτά τα ζεύγη διανυσμάτων;

Λύση. Θα υπολογίσουμε προσθέτοντας τα προϊόντα των αντίστοιχων συντεταγμένων.

Έχουμε αρνητικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν αμβλεία γωνία.

Πήραμε θετικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία.

Πήραμε μηδέν, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν ορθή γωνία.

Πήραμε θετικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία.

.

Πήραμε θετικό αριθμό, οπότε τα διανύσματα σχηματίζουν οξεία γωνία.

Για αυτοέλεγχο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονική αριθμομηχανή Τελικό προϊόν διανυσμάτων και συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους .

Παράδειγμα 4.Δίνονται τα μήκη δύο διανυσμάτων και η γωνία μεταξύ τους:

.

Καθορίστε σε ποια τιμή του αριθμού τα διανύσματα και είναι ορθογώνια (κάθετα).

Λύση. Πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού πολυωνύμων:

Τώρα ας υπολογίσουμε κάθε όρο:

.

Ας συνθέσουμε μια εξίσωση (ισότητα του προϊόντος στο μηδέν), δώστε παρόμοιους όρους και λύστε την εξίσωση:

Απάντηση: πήραμε την τιμή λ = 1,8, για τα οποία τα διανύσματα είναι ορθογώνια.

Παράδειγμα 5.Αποδείξτε ότι το διάνυσμα ορθογώνιο (κάθετο) στο διάνυσμα

Λύση. Για να ελέγξουμε την ορθογωνία, πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και ως πολυώνυμα, αντικαθιστώντας την έκφραση που δίνεται στη δήλωση προβλήματος:

.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο (όρο) του πρώτου πολυωνύμου με κάθε όρο του δεύτερου και να προσθέσετε τα προϊόντα που προκύπτουν:

.

Ως αποτέλεσμα, το κλάσμα μειώνεται σε βάρος. Το αποτέλεσμα είναι το εξής:

Συμπέρασμα: ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, πήραμε μηδέν, επομένως, αποδεικνύεται η ορθογώνια (κάθετη) των διανυσμάτων.

Λύστε το πρόβλημα μόνοι σας και, στη συνέχεια, δείτε τη λύση

Παράδειγμα 6.Λαμβάνοντας υπόψη τα μήκη των διανυσμάτων και, και η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι π /4 Καθορίστε σε ποια τιμή μ διανύσματα και είναι αμοιβαία κάθετα.

Για αυτοέλεγχο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονική αριθμομηχανή Τελικό προϊόν διανυσμάτων και συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους .

Αναπαράσταση μήτρας τελικών προϊόντων διανυσμάτων και προϊόντος διανυσμάτων n-διαστάσεων

Μερικές φορές είναι πλεονεκτικό για τη σαφήνεια να αναπαραστήσουμε τα δύο διανύσματα που πολλαπλασιάζονται με τη μορφή πινάκων. Στη συνέχεια, το πρώτο διάνυσμα αντιπροσωπεύεται ως μήτρα γραμμών και το δεύτερο - ως μήτρα στήλης:

Τότε θα είναι το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων προϊόν αυτών των πινάκων :

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με αυτό που ελήφθη με τη μέθοδο που έχουμε ήδη εξετάσει. Λαμβάνεται ένας μοναδικός αριθμός και το γινόμενο της μήτρας γραμμής από τη μήτρα στήλης είναι επίσης ένας μοναδικός αριθμός.

Είναι βολικό να αναπαραστήσουμε το προϊόν των αφηρημένων διανυσμάτων n-διαστάσεων σε μορφή μήτρας. Έτσι, το προϊόν δύο τετραδιάστατων διανυσμάτων θα είναι το προϊόν μιας μήτρας γραμμών με τέσσερα στοιχεία και μιας μήτρας στήλης επίσης με τέσσερα στοιχεία, το προϊόν δύο πενταδιάστατων διανυσμάτων θα είναι το προϊόν μιας μήτρας γραμμών με πέντε στοιχεία και μήτρα στήλης επίσης με πέντε στοιχεία κ.ο.κ.

Παράδειγμα 7.Βρείτε τελείες προϊόντων ζευγών διανυσμάτων

,

χρησιμοποιώντας αναπαράσταση μήτρας.

Λύση. Το πρώτο ζεύγος διανυσμάτων. Αναπαριστούμε το πρώτο διάνυσμα ως μήτρα γραμμών και το δεύτερο ως μήτρα στήλης. Βρίσκουμε το τελικό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων ως το γινόμενο της μήτρας γραμμών από τη μήτρα στήλης:

Ομοίως, αντιπροσωπεύουμε το δεύτερο ζεύγος και βρίσκουμε:

Όπως μπορείτε να δείτε, τα αποτελέσματα είναι ίδια με αυτά των ίδιων ζευγαριών από το παράδειγμα 2.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Η εξαγωγή του τύπου για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι πολύ όμορφη και συνοπτική.

Να εκφράσει το τελείωμα του προϊόντος των διανυσμάτων

(1)

σε μορφή συντεταγμένων, βρίσκουμε πρώτα το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων μονάδας. Το τελικό προϊόν ενός διανύσματος από μόνο του εξ ορισμού:

Αυτό που γράφεται στον παραπάνω τύπο σημαίνει: το τελικό προϊόν ενός διανύσματος από μόνο του είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του... Το μηδενικό συνημίτονο είναι ίσο με ένα, οπότε το τετράγωνο κάθε ort θα είναι ίσο με ένα:

Από διανύσματα

είναι κάθετα κατά ζεύγη, τότε τα ζευγαρωτά γινόμενα μονάδων διανυσμάτων θα είναι ίσα με το μηδέν:

Τώρα ας κάνουμε τον πολλαπλασιασμό των διανυσματικών πολυωνύμων:

Αντικαθιστούμε στη δεξιά πλευρά της ισότητας τις τιμές των αντίστοιχων κλιμακωτών προϊόντων των διανυσμάτων μονάδας:

Παίρνουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων:

Παράδειγμα 8.Δίνεται τρεις βαθμοί ΕΝΑ(1;1;1), σι(2;2;1), ντο(2;1;2).

Βρείτε τη γωνία.

Λύση. Βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

,

.

Σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο μιας γωνίας, παίρνουμε:

Ως εκ τούτου, .

Για αυτοέλεγχο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονική αριθμομηχανή Τελικό προϊόν διανυσμάτων και συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους .

Παράδειγμα 9.Δίνονται δύο διανύσματα

Βρείτε το άθροισμα, τη διαφορά, το μήκος, το τελικό προϊόν και τη γωνία μεταξύ τους.

2. Διαφορά

I. Το τελικό προϊόν εξαφανίζεται εάν και μόνο εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα είναι μηδέν ή εάν τα διανύσματα είναι κάθετα. Πράγματι, εάν ή, ή τότε.

Αντίθετα, εάν τα διανύσματα που πολλαπλασιάζονται δεν είναι μηδέν, τότε επειδή από την συνθήκη

όταν ακολουθεί:

Δεδομένου ότι η κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος είναι απροσδιόριστη, το μηδενικό διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα. Επομένως, η υποδεικνυόμενη ιδιότητα του κλιμακωτού προϊόντος μπορεί να διατυπωθεί σε συντομότερη μορφή: το κλιμακωτό προϊόν εξαφανίζεται εάν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι κάθετα.

II Το κουκκίδιο προϊόν έχει την ιδιότητα μεταφοράς:

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό:

γιατί διαφορετικοί χαρακτηρισμοί για την ίδια γωνία.

III. Ο νόμος διανομής είναι υψίστης σημασίας. Η εφαρμογή του είναι τόσο μεγάλη όσο στη συνήθη αριθμητική ή άλγεβρα, όπου διατυπώνεται ως εξής: για να πολλαπλασιάσετε το άθροισμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο και να προσθέσετε τα προκύπτοντα προϊόντα, δηλ.

Προφανώς, ο πολλαπλασιασμός των πολυτιμημένων αριθμών σε αριθμητικά ή πολυώνυμα στην άλγεβρα βασίζεται σε αυτήν την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Αυτός ο νόμος έχει την ίδια βασική έννοια στη διανυσματική άλγεβρα, αφού με βάση αυτόν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον συνηθισμένο κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων στα διανύσματα.

Ας αποδείξουμε ότι για τα τρία διανύσματα A, B, C η ισότητα

Σύμφωνα με τον δεύτερο ορισμό του προϊόντος με κουκκίδες, που εκφράζεται με τον τύπο, παίρνουμε:

Εφαρμόζοντας τώρα την ιδιότητα 2 των προβολών από 5 §, βρίσκουμε:

Q.E.D.

IV. Το τελικό προϊόν έχει την ιδιότητα να συνδυάζεται σε σχέση με έναν αριθμητικό παράγοντα. αυτή η ιδιότητα εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:

Δηλαδή, για να πολλαπλασιάσουμε το τελικό γινόμενο των διανυσμάτων με έναν αριθμό, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε έναν από τους παράγοντες με αυτόν τον αριθμό.