Θεωρήσεις μεθόδων απόδειξης. Δημιουργία μαθηματικών στοιχείων

Να αποδείξει οποιαδήποτε έγκριση - Σημαίνει να δείξει ότι αυτή η δήλωση ακολουθεί λογικά από το σύστημα αληθινών και σχετικών δηλώσεων.

Απόδειξη - Αυτή είναι μια λογική λειτουργία, στη διαδικασία της οποίας η αλήθεια οποιασδήποτε έγκρισης δικαιολογείται με άλλες αληθινές και σχετικές δηλώσεις. Για αυτό, κατασκευάζεται η τελική αλυσίδα συμπερασμάτων και η σύναψη καθενός από αυτούς (εκτός από το τελευταίο) είναι ένα δέμα σε ένα από τα ακόλουθα συμπεράσματα.

Βασική λογική νομοθεσία:

1. Ο νόμος της ταυτότητας. Κάθε σκέψη, η επανάληψη της συλλογιστικής, πρέπει να είναι ταυτόσημη με τον εαυτό του.

Ο νόμος της ταυτότητας σημαίνει ότι στη διαδικασία της συλλογιστικής είναι αδύνατο να αντικατασταθεί μια σκέψη άλλου, μια έννοια των άλλων. Είναι αδύνατο να εκδώσει πανομοιότυπες σκέψεις για διάφορες και διαφορετικές - για ίδιο τρόπο.

2. Ο νόμος δεν είναι αντίθετος.Η δήλωση και η άρνησή της δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα αληθινά. Τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι σίγουρα ψευδής.

Εάν μια επίσημη λογική αντίφαση βρίσκεται στη σκέψη (και η ομιλία), τότε η σκέψη αυτή θεωρείται λανθασμένη και η κρίση από την οποία οι ροές αντίφασης θεωρούνται ψευδείς.

3. Ο νόμος ενός αποκλεισμένου τρίτου.Από τις δύο αντιφατικές δηλώσεις σχετικά με το ίδιο θέμα ένα - αληθινό, και το άλλο είναι ψευδές, το τρίτο δεν δίνεται.

4. Νόμος επαρκούς ίδρυσης.Κάθε αληθινή δήλωση πρέπει να δικαιολογείται με τη βοήθεια άλλων δηλώσεων, η αλήθεια της οποίας αποδεικνύεται.

Όταν πρόκειται για μαθηματική απόδειξη, είναι απαραίτητο:

¾ να έχει δήλωση ότι η αλήθεια του οποίου πρέπει να αποδειχθεί ·

¾ Να κατανοήσουμε ότι η απόδειξη είναι μια αλυσίδα αφαιρετικών συμπερασμάτων. Εφαρμόζεται σύμφωνα με τους κανόνες και τους νόμους της λογικής.

¾ Κατανοήστε ποιες άλλες αληθινές δηλώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη διαδικασία απόδειξης.

Σύμφωνα με τη μέθοδο διεξαγωγής των άμεσων και έμμεσων στοιχείων.

Άμεση απόδειξη έγκρισης Και το Β είναι η κατασκευή μιας αλυσίδας αφαιρετικών συμπερασμάτων που πραγματοποιήθηκε με συνέπεια από το Α σε σχέση με τη συμμόρφωση με τους κανόνες και τους νόμους της λογικής και τη χρήση του συστήματος δήλωσης, η αλήθεια της οποίας αποδεικνύεται.

(Εάν οι Quadrangles είναι τρεις γραμμές ευθεία, τότε είναι ένα ορθογώνιο)

Ένα παράδειγμα έμμεσων στοιχείων Είναι απόδειξη με τη μέθοδο του Nasty. Η ουσία έχει ως εξής. Ας υποχρεωθεί να αποδείξει το θεώρημα Α. Με την απόδειξη της μεθόδου από το άλλο, θεωρείται ότι η σύναψη του θεώρημα (γ) είναι ψευδής και, ως εκ τούτου, η άρνησή της είναι αληθινή. Η τοποθέτηση της πρότασης στον συνδυασμό αληθινών αγροτεμαχίων που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία αποδείξεων (μεταξύ των οποίων η κατάσταση Α) κατασκευάζεται από μια αλυσίδα αφαιρετικών συμπερασμάτων έως ότου η έγκριση αντίκειται σε ένα από τα αγροτεμάχια και, ειδικότερα, την κατάσταση Α.

(Α + 3\u003e 10, τότε ένα ¹7)

Εισιτήριο 15 Η έννοια της συμμόρφωσης μεταξύ των συνόλων. Μέθοδοι για τη ρύθμιση της συμμόρφωσης. Αμοιβαία - αδιαμφισβήτητη συμμόρφωση. Ίσα σύνολα. Παραδείγματα αντιστοίχισης (συμπεριλαμβανομένων αμοιβαία - αδιαμφισβήτων).

Δίνουμε ένα παράδειγμα χρήσης ατελούς επαγωγής στην εργασία με τα παιδιά προσχολικής ηλικίας: χρησιμοποιώντας το παιχνίδι "υπέροχη σακούλα" με ογκομετρικά γεωμετρικά σχήματα, ένα έργο ενός παιδιού: "Πάρτε το σχήμα και το όνομα". Μετά από αρκετές προσπάθειες, το παιδί κάνει μια υπόθεση:

Μπάλα. Μπάλα. Μπάλα. Εδώ, πιθανώς, όλες οι μπάλες.

Εργασία 14.

Προσφέρετε περαιτέρω συλλογιστική για να βεβαιωθείτε ότι η έγκριση που αποκτήθηκε είναι αληθής.

Είναι αδύνατο να υπερεκτιμηθεί η σημασία των αποδεικτικών στοιχείων στη ζωή μας και ειδικά στην επιστήμη. Τα πάντα καταφεύγονται στα αποδεικτικά στοιχεία, αλλά δεν σκέφτονται πάντα τι σημαίνει να "αποδείξει *. Οι πρακτικές δεξιότητες αποδεικτικών στοιχείων και οι διαισθητικές ιδέες επαρκούν για πολλούς εγχώριους σκοπούς, αλλά όχι για επιστημονικούς.

Για να αποδείξετε οποιαδήποτε δήλωση είναι να δείξετε ότι αυτή η λογική δήλωση ακολουθεί λογικά από το σύστημα των πραγματικών και σχετικών δηλώσεων.

Η απόδειξη είναι μια λογική λειτουργία που δικαιολογεί την αλήθεια οποιασδήποτε έγκρισης με άλλες αληθινές και σχετικές δηλώσεις.

Τρία δομικά στοιχεία διακρίνονται στην απόδειξη:

1) αποδεδειγμένη ισχυρισμός ·

2) το σύστημα αληθινών ισχυρισμών, με τη βοήθεια της οποίας τεκμηριώνεται η αλήθεια της αποδεδειγμένης.

3) Λογική Σύνδεση μεταξύ σελ. 1 και 2.

Ο κύριος τρόπος των μαθηματικών στοιχείων είναι Εκπαιδευτική έξοδος.

Στη μορφή τους απόδειξη- Πρόκειται για ένα συμπιεστικό συμπέρασμα ή την αλυσίδα των συμπερασμάτων που οδηγούν από τα αληθινά αγροτεμάχια στη δήλωση αποδεδειγμένης δήλωσης.

Στη μαθηματική απόδειξη, η σειρά της διέγερσης είναι σημαντική. Σύμφωνα με τη μέθοδο της διατήρησης της διακρίνησης Άμεσες και έμμεσες αποδείξεις. Τα άμεσα στοιχεία αναφέρονται στην πλήρη επαγωγή, το ζήτημα της οποίας πήγε στην παράγραφο 1.6.

Πλήρης επαγωγή - μια μέθοδος αποδείξεων, στην οποία η αλήθεια της έγκρισης ακολουθείται από την αλήθεια σε όλες τις ειδικές περιπτώσεις.

Πλήρης επαγωγή Χρησιμοποιείται συχνά σε παιχνίδια με τύπους Preschoolers: "Όνομα με μια λέξη."

Ένα παράδειγμα άμεσης απόδειξης της δήλωσης "Το άθροισμα των γωνιών σε οποιοδήποτε τετράκλιθο είναι 360 °":

"Εξετάστε ένα αυθαίρετο τετράγωνο. Μετά από μια διαγώνια σε αυτό, παίρνουμε 2 τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών του τετράπλευρου θα είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών των δύο σχηματισμένων τριγώνων. Εφόσον το άθροισμα των γωνιών σε οποιοδήποτε τρίγωνο είναι 180 °, μετά, μετά την αναδίπλωση 180 ° και 180 °, λαμβάνουμε το άθροισμα των γωνιών σε δύο τρίγωνα, θα είναι 360 °. Κατά συνέπεια, η ποσότητα των γωνιών σε οποιοδήποτε τετράκλινο είναι 360 ", το οποίο ήταν υποχρεωμένο να αποδείξει."

Τα ακόλουθα συμπεράσματα μπορούν να διακριθούν στην παραπάνω απόδειξη:

1. Εάν το σχήμα είναι τετράπλευρο, τότε σε αυτό μπορείτε να σχεδιάσετε μια διαγώνια, η οποία σπάει το τετράγωνο με 2 τρίγωνα. Αυτός ο αριθμός είναι ένα τετράγωνο. Κατά συνέπεια, μπορεί να χωριστεί σε 2 τρίγωνα, κατασκευάζοντας μια διαγώνιο.

2. Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με το ISO. "Τα τρίγωνα των δεδομένων. Κατά συνέπεια, το άθροισμα των γωνιών καθενός από αυτά είναι 180 °.

3. Εάν το τετράπλευρο αποτελείται από δύο τρίγωνα, τότε το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών αυτών των τριγώνων. Αυτό το τετράπλευρο αποτελείται από δύο τρίγωνα με γωνίες 180 °. 180 ° + 180o \u003d 360 °. Κατά συνέπεια, το άθροισμα των γωνιών σε αυτό το τετράπλευρο είναι 360 °.

Όλα τα αναφερόμενα συμπεράσματα γίνονται σύμφωνα με τον κανόνα της προτάγγελιας, επομένως αφαιρετικών.

Ένα παράδειγμα έμμεσων στοιχείων είναι η απόδειξη της μεθόδου από το Nasty. ΣΕ Αυτή η περίπτωση επιτρέπεται Το συμπέρασμα αυτό είναι λανθασμένο, επομένως, η άρνησή του είναι αλήθεια. Επισυνάπτοντας αυτή την πρόταση στο σύνολο των αληθινών αγροτεμαχίων, η συλλογιστική πραγματοποιείται μέχρι να λάβουν αντίφαση.

Δίνουμε ένα παράδειγμα αποδεικτικών στοιχείων από το αντίθετο θεώρημα: "Αν δύο άμεσα αλλά και σι Παράλληλα με την τρίτη ευθεία C, τότε είναι παράλληλα μεταξύ τους ":

"Ας υποθέσουμε ότι το άμεσο αλλά και ΣΙ. Όχι παράλληλα, τότε θα περάσουν σε κάποιο σημείο Α, που δεν ανήκουν σε ευθεία γραμμή με. Στη συνέχεια, το παίρνουμε μέσα από το σημείο Α, μπορείτε να περάσετε δύο ευθεία και Β, παράλληλα με. Αυτό αντίκειται στο αξίωμα του παραλληλισμού: "Από την άποψη του

8. Λέξτε τους κανόνες ορισμού χρόνου εκτέλεσης και διαφορά ειδών.

9. Ποια αποφασιστικότητα καλείται:

Συναφής;

Ostense;

10. Τι είναι μια δήλωση και ποια είναι η αρτητική μορφή;

11. Όταν οι προτάσεις του είδους "Α και Β", "Α ή Β", "όχι Α" είναι αληθινές και πότε είναι ψευδές;

12. Καταγράψτε τους ποσοτικοποιητές της Κοινότητας και των ποσοτικοποιητών της ύπαρξης. Πώς να ορίσετε την αξία της αλήθειας των προτάσεων με διάφορους ποσοτικοποιητές;

13. Όταν υπάρχει σχέση μεταξύ προτάσεων και πότε είναι η αναλογία ισοδυναμίας; Πώς έχουν ορίσει;

14. Ποιο είναι το συμπέρασμα; Τι είδους συμπέρασμα ονομάζεται deductive;

15. Καταγράψτε με τη βοήθεια των συμβόλων του κανόνα του συμπέρασμα, ο κανόνας της άρνησης, ο κανόνας του σλόγκους.

16. Τι είδους συμπεράσματα ονομάζονται ελλιπή επαγωγή και ποια είναι τα συμπεράσματα κατ 'αναλογία;

17. Τι σημαίνει να αποδείξει οποιαδήποτε δήλωση;

18. Ποια είναι τα μαθηματικά στοιχεία;

19. Δώστε τον ορισμό της πλήρους επαγωγής.

20. Τι είναι οι σοφισμοί;

Βιβλιογραφική περιγραφή: Grigoriev Κ.Β., Ochirova Α. Β., Saragov Α. Α., Barlukova S. S., Muchkayev G. M. Ποικιλία μεθόδων μαθηματικών στοιχείων // Νέος επιστήμονας. - 2017. - №1. - Σελ. 45-46..03.2019).



Μιλώντας για την απόδειξη, στην καθημερινή ζωή, εννοούμε την επαλήθευση της διαμορφωμένης έγκρισης. Αμέσως στα μαθηματικά, οι έννοιες και η απόδειξη είναι διαφορετικές στην ουσία, αν και φέρουν τη σχέση.

Ας αποδείξουμε ότι αν τρεις γωνίες στο τετράπλευρο είναι 90 μοίρες, τότε ένα τέτοιο τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο.

Εξετάστε ένα τετράκλινο, το οποίο έχει τρεις γωνίες ίσο με 90 μοίρες. Θα μετρήσουμε την τέταρτη γωνία και θα βρούμε το πτυχίο του. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι θα είναι επίσης άμεση. Αυτό το είδος επαλήθευσης επιβεβαιώνει αυτή τη δήλωση, αλλά δεν αποτελεί απόδειξη.

Για να αποδείξει αυτή την έγκριση, είναι απαραίτητο να εξεταστεί ένα αυθαίρετο τετράγωνο, το οποίο έχει τρεις γωνίες ίσο με 90 ° C. Επειδή σε οποιοδήποτε κυρτό τετράγωνο, το άθροισμα των γωνιών είναι 360 ° C, επομένως η επιθυμητή γωνία είναι 90 ° C (3605 - 90 ° * 3). Το ορθογώνιο είναι ένα τετράκλινο, ο οποίος έχει όλες τις γωνίες άμεση. Έτσι, αυτό το τετράπλευρο θα είναι ένα ορθογώνιο. Q.e.d.

Η έννοια της απόδειξης της απόδειξης είναι η ακόλουθη ακολουθία αληθινών δηλώσεων: Θεωρητικά, αξίωμα, ορισμοί που ακολουθούν λογικά τον ισχυρισμό που πρέπει να αποδειχθεί. Για να αποδείξετε ότι η δήλωση είναι να δείξει ότι αυτή η δήλωση ακολουθεί λογικά από μια σειρά αληθινών και σχετικών δηλώσεων.

Σε περίπτωση που η υπό εξέταση δήλωση ακολουθεί λογικά από αποδεδειγμένους ισχυρισμούς, είναι λογικό και αληθινό. Η βάση των μαθηματικών στοιχείων είναι η μέθοδος έκπτωσης. Και η ίδια η απόδειξη ενεργεί ως αλυσίδα συμπερασμάτων και η σύναψη καθενός από αυτά, εκτός από το τελευταίο, είναι ένα δέμα σε ένα από τα ακόλουθα συμπεράσματα.

Τα ακόλουθα συμπεράσματα μπορούν να κατανεμηθούν στην απόδειξη:

- σε οποιοδήποτε κυρτό τετράγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι 360⁰. Αυτός ο αριθμός είναι ένα κυρτό τετράγωνο, επομένως, το άθροισμα των γωνιών σε αυτό 360⁰.

- Εάν το άθροισμα όλων των γωνιών του τετραγώνου και το άθροισμα των τριών από αυτά είναι γνωστό, τότε η αφαίρεση μπορεί να βρεθεί η ποσότητα του τέταρτου. Το άθροισμα όλων των γωνιών αυτού του τετράπλευρου είναι 360 °, το άθροισμα των τριών 270 ° (90 °-3 \u003d 270⁰), στη συνέχεια, καθορίζοντας τη διαφορά τους, θα βρούμε την επιθυμητή γωνία ίση με 90⁰.

- Εάν στο τετράκλινο, όλες οι γωνίες είναι άμεσες, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι ένα ορθογώνιο. Στην περίπτωσή μας, στο τετράγωνο, όλες οι γωνίες είναι άμεσες, επομένως είναι ένα ορθογώνιο.

Όλα τα εξεταζόμενα συμπεράσματα γίνονται σύμφωνα με τον κανόνα της γνώμης και, κατά συνέπεια, αφαιρούνται.

Η απλούστερη απόδειξη αποτελείται από ένα συμπέρασμα. Τέτοιες, για παράδειγμα, είναι απόδειξη της δήλωσης ότι 5

Λαμβάνοντας υπόψη τη δομή των μαθηματικών στοιχείων, καταλαβαίνουμε ότι, πάνω απ 'όλα, περιλαμβάνει μια δήλωση που αποδεικνύεται και το σύστημα πραγματικών ισχυρισμών μέσω των οποίων διεξάγεται η απόδειξη.

Είναι επίσης σημαντικό να σημειωθεί ότι η μαθηματική απόδειξη δεν είναι μόνο ένα σύνολο συμπερασμάτων, αλλά τα συμπεράσματα που βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη σειρά.

Σύμφωνα με τη μέθοδο διεξαγωγής των άμεσων και έμμεσων στοιχείων. Τα αποδεικτικά στοιχεία που εξετάστηκαν προηγουμένως συνδέονται άμεσα - σε αυτήν, με βάση μια ξεχωριστή πραγματική πρόταση και λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες του θεώρημα, συνδέθηκε η αλυσίδα των συμπερασμάτων συμπερασμάτων, η οποία οδήγησε άμεσα σε πραγματικό συμπέρασμα.

Ως παράδειγμα έμμεσων στοιχείων, η απόδειξη είναι η απόδειξη της μεθόδου Nasty. Η ουσία της συνίσταται στα εξής: ας είναι απαραίτητο να αποδείξει το θεώρημα Α ⇒ V. στην απόδειξη της μεθόδου από το άλλο, θεωρείται ότι η σύναψη του θεώρημα (γ) είναι ψευδής και, επομένως, της η άρνηση θα είναι αλήθεια. Η τοποθέτηση της πρότασης "δεν είναι σε" στον συνδυασμό αληθινών αγροτεμαχίων που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία απόδειξης (μεταξύ των οποίων η κατάσταση α) πραγματοποιείται από μια αλυσίδα αφαιρετικών συμπερασμάτων μέχρι να λάβουμε τον ισχυρισμό αντίθετο προς ένα από τα αγροτεμάχια και, ειδικότερα, την κατάσταση Α. Μόνο μια τέτοια αντίφαση καθορίζεται, η διαδικασία της απόδειξης ολοκληρώνεται και έρχεται στην πεποίθηση ότι η προκύπτουσα αντίφαση αποδεικνύει την αλήθεια του θεώρημα Α ⇒ στο.

Εργασία 1. Αποδείξτε ότι εάν x + 2\u003e 10, x ≠ 8. Η μέθοδος είναι αντίθετη.

Εργασία 2. Αποδείξτε ότι αν u² είναι ένας ζυγός αριθμός, τότε y - ακόμα και. Μέθοδος από το Nasty.

Εργασία 3. Υπάρχουν τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Είναι αλήθεια ότι το προϊόν των μέσων αριθμών αυτής της ακολουθίας είναι μεγαλύτερο από το προϊόν ακραίων 2; Τη μέθοδο της ελλιπούς επαγωγής.

Η πλήρης επαγωγή είναι αυτή η μέθοδος αποδείξεων, στην οποία η αλήθεια της έγκρισης ακολουθεί από την αλήθεια σε όλες τις ειδικές περιπτώσεις.

Εργασία 4. Αποδείξτε ότι κάθε σύνθετο φυσικό αριθμό, μεγαλύτερο από 4, αλλά το μικρότερο 20, αντιπροσωπεύει με τη μορφή του ποσού δύο απλών αριθμών.

Έτσι, η μαθηματική απόδειξη είναι ένας λόγος για να τεκμηριώσει την αλήθεια κάθε έγκρισης (θεώρημα), μια αλυσίδα λογικών συμπερασμάτων, που δείχνει ότι, υπό την επιφύλαξη της αλήθειας ενός ορισμένου συνόλου αξιωματικών και συμπέρασμα, η έγκριση είναι αληθής.

Βιβλιογραφία:

1. Γεωμετρία / 7-9 Μαθήματα: Μελέτες. Για τη γενική εκπαίδευση. Ιδρύματα / [L. S. Atanasyan, Β. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev]. - 21 ed. - M.: Διαφωτισμός, 2011.

Διάλεξη 10. Μέθοδοι μαθηματικών στοιχείων

1. Μέθοδοι μαθηματικών στοιχείων

2. Άμεσες και έμμεσες αποδείξεις. Απόδειξη με τη μέθοδο του Nasty.

3. Βασικά συμπεράσματα

Στην καθημερινή ζωή, συχνά, όταν μιλάνε για στοιχεία, εννοούν μόνο μια επαλήθευση της έγκρισης που έγινε. Στα μαθηματικά, ο έλεγχος και η απόδειξη είναι διαφορετικά πράγματα, αν και διασυνδεδεμένα. Αφήστε, για παράδειγμα, ότι απαιτείται να αποδείξει ότι αν στο τετράκλινο τρεις γωνίες είναι άμεσες, τότε είναι ένα ορθογώνιο.

Αν πάμε ένα τετράκλινο, ο οποίος έχει τρεις γωνίες ευθεία και, μετράει το τέταρτο, βεβαιωθείτε ότι είναι πραγματικά ευθεία, τότε αυτός ο έλεγχος θα κάνει αυτή την έγκριση πιο πιστότητα, αλλά όχι ακόμα αποδεδειγμένη.

Για να αποδείξετε αυτή τη δήλωση, σκεφτείτε ένα αυθαίρετο τετράγωνο, στο οποίο τρεις γωνίες είναι άμεσες. Δεδομένου ότι σε οποιοδήποτε κυρτό τετράγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι 360 °, τότε είναι 360 °. Το άθροισμα των τριών άμεσων γωνιών είναι 270 ° (90 ° 3 \u003d 270⁰) και, σημαίνει ότι το τέταρτο έχει τιμή 90 ° C (360 ° C-270⁰). Εάν όλες οι γωνίες του τετράκλιου είναι ευθεία, τότε είναι ένα ορθογώνιο, κατά συνέπεια, αυτό το τετράπλευρο θα είναι ένα ορθογώνιο. Q.e.d.

Σημειώστε ότι η ουσία της απόδειξης της απόδειξης είναι να οικοδομηθεί μια τέτοια ακολουθία πραγματικών δηλώσεων (θεωρήματα, αξιώματα, ορισμοί), εκ των οποίων η έγκριση πρέπει να προταθεί λογικά.

Καθόλου Αποδείξτε οποιαδήποτε δήλωση - σημαίνει να δείξετε ότι αυτή η δήλωση ακολουθεί λογικά από το σύστημα αληθινών και σχετικών δηλώσεων.

Στη λογική, πιστεύεται ότι εάν η υπό εξέταση έγκριση ακολουθεί λογικά από ήδη αποδεδειγμένους ισχυρισμούς, είναι λογικό και επίσης αλήθεια, καθώς και το τελευταίο.

Έτσι, η βάση των μαθηματικών στοιχείων είναι ένα συμπερασματικό συμπέρασμα. Και η ίδια η απόδειξη είναι μια αλυσίδα συμπερασμάτων και η σύναψη καθενός από αυτούς (εκτός από το τελευταίο) είναι ένα δέμα σε ένα από τα ακόλουθα συμπεράσματα.

Για παράδειγμα, στην παραπάνω απόδειξη, μπορούν να διακριθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

1. Σε κάθε κυρτό του τετράκλιου, το άθροισμα των γωνιών είναι 360 °. Αυτός ο αριθμός είναι ένας κυρτός τετράπλευρος, επομένως, το άθροισμα των γωνιών σε αυτό 360⁰.

2. Εάν είναι γνωστό το άθροισμα όλων των γωνιών του τετραγώνου και το άθροισμα των τριών από αυτά, τότε η αφαίρεση μπορεί να βρεθεί η ποσότητα του τέταρτου. Το άθροισμα όλων των γωνιών αυτού του τετράπλευρου είναι 360 °, το άθροισμα των τριών 270 ° (9083 \u003d 270 ° C), τότε το μέγεθος του τέταρτου 360 ° C-270⁰ \u003d 90 ° C.

3. Εάν στο τετράκλινο, όλες οι γωνίες είναι άμεσες, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι ένα ορθογώνιο. Σε αυτό το τετράπλευρο, όλες οι γωνίες είναι άμεσες, επομένως, είναι ένα ορθογώνιο.

Όλα τα εισηγμένα συμπεράσματα γίνονται σύμφωνα με τον κανόνα της γνώμης και, ως εκ τούτου, είναι αφαιρετικές.

Η απλούστερη απόδειξη αποτελείται από ένα συμπέρασμα. Τέτοιες, για παράδειγμα, είναι απόδειξη της δήλωσης ότι 6< 8.

Έτσι, μιλώντας για τη δομή των μαθηματικών αποδεικτικών στοιχείων, πρέπει να καταλάβουμε ότι περιλαμβάνει κατά κύριο λόγο μια δήλωση που αποδεικνύεται και το σύστημα πραγματικών δηλώσεων, με τη βοήθεια των αποδείξεων.

Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι τα μαθηματικά στοιχεία δεν είναι μόνο ένα σύνολο συμπερασμάτων, αυτά είναι συμπεράσματα που βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη σειρά.

Σύμφωνα με τη μέθοδο της διατήρησης (σε μορφή) διακρίνει Άμεση και έμμεση απόδειξη του. Η απόδειξη που εξετάστηκε προηγουμένως ήταν άμεσα - σε αυτήν, με βάση κάποια πραγματική ποινή και, λαμβάνοντας υπόψη την προϋπόθεση του θεώρημα, χτίστηκε μια αλυσίδα εκπτωτικών συμπερασμάτων, η οποία οδήγησε σε πραγματικό συμπέρασμα.

Ένα παράδειγμα έμμεσων στοιχείων είναι απόδειξη Μέθοδος από δυσάρεστο . Η ουσία έχει ως εξής. Αφήστε το να χρειαστεί να αποδείξει το θεώρημα

A ⇒ V. Στην απόδειξη της μεθόδου από το αντίθετο, θεωρείται ότι η σύναψη του θεώρημα (γ) είναι ψευδής και, ως εκ τούτου, η άρνησή της είναι αληθινή. Η τοποθέτηση της πρότασης "όχι στο πλαίσιο των αληθινών αγροτεμαχίων που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία αποδείξεων (μεταξύ των οποίων η προϋπόθεση α) χτίζεται από μια αλυσίδα αφαιρετικών συμπερασμάτων έως ότου μια δήλωση αντίκειται σε ένα από τα αγροτεμάχια και, ειδικότερα, κατάσταση Α. Μόνο μια τέτοια αντίφαση δημιουργείται, η διαδικασία απόδειξης τελειώνει και λέει ότι η προκύπτουσα αντίφαση αποδεικνύει την αλήθεια του θεώρημα

Εργασία 1. Αποδείξτε ότι εάν ένα + 3\u003e 10, στη συνέχεια A ≠ 7. Η μέθοδος είναι αντίθετη.

Εργασία 2. Αποδείξτε ότι εάν το x² είναι ένας ζυγός αριθμός, x - ακόμα και. Μέθοδος από το Nasty.

Εργασία 3. Υπάρχουν τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Είναι αλήθεια ότι το προϊόν του μέσου αριθμού αυτής της ακολουθίας είναι περισσότερο από το έργο του Extreme στις 2; Τη μέθοδο της ελλιπούς επαγωγής.

Πλήρης επαγωγή - Πρόκειται για μια μέθοδο απόδειξης, στην οποία η αλήθεια της έγκρισης ακολουθεί την αλήθεια σε όλες τις ειδικές περιπτώσεις.

Εργασία 4. Αποδείξτε ότι κάθε σύνθετο φυσικό αριθμό, μεγαλύτερο από 4, αλλά το μικρότερο 20, αντιπροσωπεύει με τη μορφή του ποσού δύο απλών αριθμών.

Εργασία 5 Είναι αλήθεια ότι αν ο φυσικός αριθμός N δεν είναι πολλαπλές 3, τότε η τιμή της έκφρασης n² + 2 περισσότερες φορές 3; Μέθοδος πλήρους επαγωγής.

Στο φυλλάδιο, οι γλώσσες που προσιτούνται από τη γλώσσα περιγράφουν μερικές από τις θεμελιώδεις αρχές στις οποίες χτίζεται η επιστήμη των μαθηματικών: η έννοια των μαθηματικών στοιχείων διαφέρει από την έννοια των αποδεικτικών στοιχείων που υιοθετήθηκαν σε άλλες επιστήμες και στην καθημερινή ζωή, τι Οι απλούστερες εφαρμογές των αποδεικτικών στοιχείων χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά, ως η ιδέα της ιδέας της "σωστής" απόδειξης ότι μια τέτοια αξιοζωτική μέθοδος οφείλεται στη διαφορά μεταξύ της αλήθειας και της απόδειξης.
Για έναν πολύ ευρύ κύκλο αναγνωστών, ξεκινώντας από μαθητές γυμνασίων.

Μαθηματικά και αποδεικτικά στοιχεία.
Ακόμη άγνωστο με τους μαθηματικούς άνδρα, λαμβάνοντας ένα βιβλίο στα μαθηματικά, μπορεί, κατά κανόνα, να καθορίσει αμέσως ότι αυτό το βιβλίο είναι πράγματι στα μαθηματικά και όχι για κάποιο άλλο θέμα. Και δεν είναι μόνο ότι σίγουρα θα υπάρχουν πολλοί τύποι: Υπάρχουν τύποι και στα δύο βιβλία της φυσικής, στην αστρονομία ή σε κτίρια γέφυρας. Το γεγονός είναι ότι σε οποιοδήποτε σοβαρό βιβλίο στα μαθηματικά υπάρχουν σίγουρα υπάρχουν αποδείξεις. Είναι η αποδεκτότητα των μαθηματικών δηλώσεων ότι η παρουσία αποδείξεων στα μαθηματικά κείμενα είναι ότι διακρίνεται σαφώς από τα μαθηματικά από άλλους τομείς της γνώσης.

Η πρώτη προσπάθεια κάλυψης μιας ενιαίας πραγματοποίησης όλων των μαθηματικών πήρε ένα αρχαίο ελληνικό μαθηματικό ευκλείίδιο στο σημείο ΙΙΙ στην εποχή μας. Ως αποτέλεσμα, η διάσημη "αρχή" Euclida εμφανίστηκε. Και η δεύτερη προσπάθεια έλαβε χώρα μόνο στο XX αιώνα. Ε. Και ανήκει στα γαλλικά μαθηματικά του Nikol Burbaki, η οποία ξεκίνησε το 1939 να δημοσιεύσει μια πολυεπίπεδη πραγματεία "άρχισε μαθηματικά". Αυτή η φράση ανοίγει το Bombaki Treatise: "Από την εποχή των Ελλήνων, λέει" μαθηματικά ", σημαίνει να πούμε" απόδειξη ". Έτσι, τα "Μαθηματικά" και "Απόδειξη" - αυτές οι δύο λέξεις δηλώνονται σχεδόν συνώνυμα.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Μαθηματικά και αποδεικτικά στοιχεία
Σχετικά με την ακρίβεια και την αδιαμφισβήτητη των μαθηματικών όρων
Αποδεικτικά στοιχεία με τη μέθοδο αλληλεπίδρασης
Έμμεσα στοιχεία ύπαρξης. Αρχή Dirichle
Απόδειξη "από το αντίθετο"
Τις αρχές της μεγαλύτερης και μικρότερης και της μεθόδου άπειρης καταγωγής
Επαγωγή
Αποδεικτικά στοιχεία από τη μαθηματική επαγωγή
Πλήρης επαγωγή και ελλιπής επαγωγή
Η ιδέα των μαθηματικών στοιχείων αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.
Δύο αξιωματικές μέθοδοι - άτυπη και επίσημη
Ανεπίσημη αξονική μέθοδος
Τυπική αξονική μέθοδος
Το Θεώρημα Gödel.

Δωρεάν λήψη e-book σε μια βολική μορφή, δείτε και διαβάστε:
Κατεβάστε το βιβλίο τα πιο απλά παραδείγματα μαθηματικών στοιχείων, Uspensky v.a., 2009 - FileSkachat.com, γρήγορη και δωρεάν λήψη.