Διακρίσεις από το 1681. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων, ριζικής φόρμουλας, παραδείγματα

Ελπίζω ότι η μελέτη αυτού του άρθρου θα μάθετε να βρείτε τις ρίζες μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης.

Με τη βοήθεια διακρίσεων, μόνο οι πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις επιλύονται, για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι που βρίσκετε στο άρθρο "Απόφαση ελλιπών τετραγωνικών εξισώσεων".

Ποιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται γεμάτες; το Εξισώσεις της μορφής ΑΗ 2 + Β x + c \u003d 0όπου οι συντελεστές Α, Β και δεν είναι ίσοι με το μηδέν. Έτσι, για την επίλυση μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η διακριτική Δ.

D \u003d B 2 - 4ας.

Ανάλογα με το είδος της σημασίας που είναι διακριτική, θα γράψουμε την απάντηση.

Εάν οι διακριτικές είναι ένας αρνητικός αριθμός (D< 0),то корней нет.

Εάν η διακριτική είναι μηδενική, Χ \u003d (-b) / 2Α. Όταν οι διακριτικές είναι θετικός αριθμός (d\u003e 0),

Τότε x 1 \u003d (-b - √d) / 2a και x 2 \u003d (-B + √ϋ) / 2a.

Για παράδειγμα. Επίλυση εξίσωσης x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Απάντηση: 2

Επίλυση εξίσωσης 2. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Απάντηση: Δεν υπάρχουν ρίζες.

Επίλυση εξίσωσης 2. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2,2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Απάντηση: - 3.5; ένας.

Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση των ολοκληρωμένων τετραγωνικών εξισώσεων με το σχήμα στο σχήμα1.

Σύμφωνα με αυτούς τους τύπους, μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Πρέπει μόνο να παρακολουθείτε προσεκτικά Η εξίσωση καταγράφηκε με ένα πολυώνυμο ενός τυπικού τύπου.

αλλά x 2 + BX + C, Διαφορετικά, μπορείτε να κάνετε λάθος. Για παράδειγμα, στην καταγραφή της εξίσωσης x + 3 + 2x 2 \u003d 0, μπορεί να λυθεί εσφαλμένα

a \u003d 1, b \u003d 3 και c \u003d 2. Στη συνέχεια

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 και στη συνέχεια η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό είναι εσφαλμένο. (Δείτε το διάλυμα του Παραδείγματος 2 παραπάνω).

Επομένως, εάν η εξίσωση δεν είναι γραμμένη όχι σε πολυώνυμο ενός τυποποιημένου είδους, αρχικά μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση πρέπει να καταγράφεται από ένα πολυώνυμο ενός τυποποιημένου είδους (στην πρώτη θέση θα πρέπει να ξεπεράσει με τον μεγαλύτερο δείκτη, δηλαδή αλλά x 2 Στη συνέχεια, με μικρότερη – bx.και στη συνέχεια δωρεάν πούτσο από.

Κατά την επίλυση μιας δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης και μια τετραγωνική εξίσωση με ομοιόμορφο συντελεστή, με τον δεύτερο όρο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και άλλοι τύποι. Ας εξοικειωθούμε με αυτές τις φόρμουλες. Εάν σε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση στον δεύτερο όρο, ο συντελεστής θα είναι ακόμη και (b \u003d 2k), τότε η εξίσωση σύμφωνα με τους τύπους στο σχήμα 2 μπορεί να λυθεί.

Η πλήρης τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται τα παραπάνω, αν ο συντελεστής είναι x 2 ίσο με ένα και η εξίσωση θα λάβει τη φόρμα x 2 + px + q \u003d 0. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να δοθεί στην επίλυση ή επιτυγχάνεται διαιρώντας όλους τους συντελεστές στην εξίσωση του συντελεστή αλλάπαραμένω x 2 .

Το σχήμα 3 δείχνει το σχήμα της επίλυσης του παραπάνω τεμαχίου
εξισώσεις. Σκεφτείτε το παράδειγμα την εφαρμογή των τύπων που εξετάζονται σε αυτό το άρθρο.

Παράδειγμα. Επίλυση εξίσωσης

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Ας αποφασίσουμε αυτή την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που παρουσιάζονται στο σχήμα του σχήματος 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√d \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2,3) \u003d (6 (-1- √ (3)) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2,3) \u003d (6 (-1+ √ (3)) / 6 \u003d -1 + √3

Απάντηση: -1 - √3; -1 + √3

Μπορεί να φανεί ότι ο συντελεστής στο Χ σε αυτή την εξίσωση είναι ένας ζυγός αριθμός, δηλαδή, b \u003d 6 ή b \u003d 2k, από όπου k \u003d 3. Στη συνέχεια προσπαθούμε να λύσουμε την εξίσωση σύμφωνα με τους τύπους που εμφανίζεται στο διάγραμμα D στο διάγραμμα D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Απάντηση: -1 - √3; -1 + √3. Παρατηρήθηκε ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτή την τετραγωνική εξίσωση χωρίζονται σε 3 και με την εκτέλεση διαίρεσης, λαμβάνουμε την μειωμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + 2x - 2 \u003d 0 με την επίλυση αυτής της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τύπους για το καθορισμένο τετράγωνο για το καθορισμένο τετράγωνο
Εξισώσεις Εικόνα 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Απάντηση: -1 - √3; -1 + √3.

Όπως βλέπουμε, κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης σε διάφορους τύπους, λάβαμε την ίδια απάντηση. Επομένως, γνωρίζει καλά τους τύπους που εμφανίζονται στο σχήμα του σχήματος 1, μπορείτε πάντα να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση.

Η θέση, με πλήρη ή μερική αντιγραφή της αναφοράς υλικού στην αρχική πηγή.

Οι προκλήσεις ανά τετραγωνική εξίσωση μελετώνται στο σχολικό πρόγραμμα και στα πανεπιστήμια. Κάτω από αυτά κατανοούν τις εξισώσεις της φόρμας Α * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, όπου Χ - Μεταβλητή, Α, Β, Γ - σταθερές. ΕΝΑ.<>0. Το έργο είναι να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.

Γεωμετρική έννοια της τετραγωνικής εξίσωσης

Το γράφημα της λειτουργίας, το οποίο αντιπροσωπεύεται από την τετραγωνική εξίσωση είναι η Parabola. Οι λύσεις (ρίζες) της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα abscissa (x). Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις:
1) Η Parabola δεν έχει σημεία διασταύρωσης με έναν άξονα τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκεται στο ανώτερο επίπεδο με κλαδιά προς τα πάνω ή κάτω με κλαδιά προς τα κάτω. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει έγκυρες ρίζες (έχει δύο πολύπλοκες ρίζες).

2) Η Parabola έχει ένα σημείο διασταύρωσης με τον άξονα Ω. Ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται κορυφή της Πυκλοβόλης και η τετραγωνική εξίσωση σε αυτό αποκτά την ελάχιστη ή τη μέγιστη αξία του. Σε αυτή την περίπτωση, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία έγκυρη ρίζα (ή δύο ίδιες ρίζες).

3) Η τελευταία υπόθεση στην πράξη είναι ενδιαφέρον περισσότερο - υπάρχουν δύο σημεία διασταύρωσης της παραβολής με τον άξονα τεσσάρων. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο έγκυρες ρίζες εξίσωσης.

Με βάση την ανάλυση των συντελεστών στους βαθμούς μεταβλητών, είναι δυνατόν να πραγματοποιηθούν ενδιαφέροντα συμπεράσματα σχετικά με την τοποθέτηση της παραβολής.

1) Εάν ο συντελεστής είναι το μηδέν, η παραβολή κατευθύνεται προς τα πάνω, αν αρνητικό - τα υποκαταστήματα Parabola κατευθύνονται προς τα κάτω.

2) Εάν ο συντελεστής Β είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό μισό επίπεδο, αν χρειαστεί αρνητική τιμή - τότε στα δεξιά.

Έξοδος του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Μεταφέραμε τη σταθερά από την τετραγωνική εξίσωση

ανά σημάδι της ισότητας, λαμβάνουμε έκφραση

Πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη σε 4α

Για να πάρετε τα αριστερά του πλήρους πλατείας προσθέστε και στα δύο μέρη b ^ 2 και να εφαρμόσετε τον μετασχηματισμό

Από εδώ για να βρείτε

Τον τύπο των διακριτικών και τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης

Η διακριτική διακρίσεις ονομάζεται αξία της κλιμακωμένης έκφρασης, είναι θετική, η εξίσωση έχει δύο έγκυρες ρίζες που υπολογίζονται από τον τύπο Σε μηδενική διακριτική, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία λύση (δύο συμπτωματική ρίζα), η οποία μπορεί εύκολα να ληφθεί από τον παραπάνω τύπο για D \u003d 0 με αρνητική διακριτική διάκριση της εξίσωσης έγκυρων ριζών. Ωστόσο, για τη διατήρηση των λύσεων της τετραγωνικής εξίσωσης στο σύνθετο επίπεδο και η αξία τους υπολογίζεται από τον τύπο

Θεώρημα Vieta

Εξετάστε δύο ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης και κατασκευάστε στη βάση τους την τετραγωνική εξίσωση. Το ίδιο το αρχείο ακολουθείται εύκολα από το ίδιο το Θεώρημα Vieta: αν έχουμε μια τετράγωνη εξίσωση τύπου Το άθροισμα των ριζών του είναι ίση με τον συντελεστή Ρ, που λαμβάνεται με το αντίθετο σημείο και το προϊόν των ριζών εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο χρόνο Q. Η καταγραφή των τύπων των παραπάνω θα έχει δει στην κλασική εξίσωση μιας σταθεράς Α είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε όλη η εξίσωση πρέπει να χωριστεί σε αυτό και στη συνέχεια να εφαρμόσει το θεώρημα του Vieta.

Πρόγραμμα τετραγωνικής εξίσωσης για τους πολλαπλασιαστές

Αφήστε την εργασία: αποσύνθεση την τετραγωνική εξίσωση σε πολλαπλασιαστές. Για να το εκπληρώσουμε, λύουμε πρώτα την εξίσωση (βρίσκουμε τις ρίζες). Περαιτέρω, οι ρίζες βρήκαν υποκατεστημένες στον τύπο αποσύνθεσης της τετραγωνικής εξίσωσης, αυτή η εργασία θα επιτρέπεται.

Τετράγωνη εξίσωση

Εργασία 1. Βρείτε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Λύση: Γράφουμε τους συντελεστές και υποκαθιστούμε τον τύπο των διακριτικών

Η ρίζα αυτής της τιμής είναι 14, είναι εύκολο να το βρείτε με μια αριθμομηχανή ή να θυμάστε με τη συχνή χρήση, ωστόσο, για ευκολία, στο τέλος του άρθρου, θα σας δώσω μια λίστα με τετράγωνα αριθμών που μπορούν συχνά να συναντηθούν με τέτοιες εργασίες.
Το ίδρυμα είναι υποκατεστημένο στον τύπο ρίζας

Και παρε

Εργασία 2. Επίλυση εξίσωσης

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετράγωνη εξίσωση, γράφουμε τους συντελεστές και βρίσκουμε τις διακριτικές διακρίσεις


Σύμφωνα με διάσημους φόρμουλες βρίσκουμε τις ρίζες της πλατείας εξίσωσης

Εργασία 3. Επίλυση εξίσωσης

9x 2 -12x + 4 \u003d 0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Καθορίζουν τις διακρίσεις

Λάβαμε μια περίπτωση όταν οι ρίζες συμπίπτουν. Βρείτε τις τιμές των ριζών από τον τύπο

Εργασία 4. Επίλυση εξίσωσης

x ^ 2 + x-6 \u003d 0.

Λύση: Σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν μικρούς συντελεστές στο X, είναι σκόπιμο να εφαρμόσετε το θεώρημα της Vieta. Σύμφωνα με αυτήν, παίρνουμε δύο εξισώσεις

Από τη δεύτερη προϋπόθεση, παίρνουμε ότι το έργο πρέπει να είναι ίσο με -6. Αυτό σημαίνει ότι μια από τις ρίζες είναι αρνητική. Έχουμε το ακόλουθο πιθανό ζεύγος διαλυμάτων (-3, 2), (3, -2). Λαμβάνοντας υπόψη την πρώτη κατάσταση, το δεύτερο ζεύγος λύσεων απορρίπτει.
Οι εξισώσεις των ριζών είναι ίσες

Εργασία 5. Βρείτε τα μήκη της πλευράς του ορθογωνίου, εάν η περίμετρο του είναι 18 cm, και η περιοχή είναι 77 cm2.

Λύση: το ήμισυ της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι ίσο με το άθροισμα των γειτονικών πλευρών. Δηλώστε με x - η μεγαλύτερη πλευρά, τότε 18-x είναι μια μικρότερη πλευρά. Η περιοχή του ορθογωνίου είναι ίση με το προϊόν αυτών των μήκους:
x (18-x) \u003d 77;
ή
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Βρίσκουμε τις διακρίσεις της εξίσωσης

Υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης

Αν ένα x \u003d 11,ότι 18h \u003d 7, Αντίθετα, είναι επίσης αλήθεια (εάν x \u003d 7, στη συνέχεια 21-x \u003d 9).

Εργασία 6. τετράγωνο τετράγωνο 10x 2 -11x + 3 \u003d 0 εξισώσεις για πολλαπλασιαστές.

Λύση: Υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης, γι 'αυτό θεωρούμε διακριτικές

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρίσκεται στον τύπο ρίζας και υπολογίζουμε

Εφαρμόστε τον τύπο αποσύνθεσης της τετραγωνικής εξίσωσης κατά μήκος των ριζών

Η διάταξη του βραχίονα θα λάβει ταυτότητα.

Τετράγωνη εξίσωση με παράμετρο

Παράδειγμα 1. Υπό ποιες τιμές της παραμέτρου αλλά , Εξίσωση (Α-3) Χ 2 + (3-Α) Χ-1/4 \u003d 0 έχει μια ρίζα;

Λύση: μια άμεση υποκατάσταση της τιμής Α \u003d 3 βλέπουμε ότι δεν έχει λύση. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε ότι σε μηδενικές διακρίσεις, η εξίσωση έχει μία ρίζα πολλαπλότητας 2. Ποτό διακρίσεις

Απλοποιήστε το και ισοδυναμεί με μηδέν

Έλαβε μια τετραγωνική εξίσωση στην παράμετρο Α, το διάλυμα του οποίου είναι εύκολο να αποκτηθεί στο θεώρημα Vieta. Το ποσό των ριζών είναι 7, και η δουλειά τους 12. Απλή προτομή εγκαθιστώντας ότι οι αριθμοί 3.4 θα είναι ριζωμένες εξισώσεις. Από τη λύση Α \u003d 3, απορρίφθηκαν ήδη στην αρχή των υπολογισμών, το μόνο δικαίωμα θα είναι - Α \u003d 4.Έτσι, όταν ένα \u003d 4, η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Παράδειγμα 2. Υπό ποιες τιμές της παραμέτρου αλλά , την εξίσωση Α (Α + 3) Χ ^ 2 + (2Α + 6) Χ-3Α-9 \u003d 0Έχει περισσότερες από μία ρίζες;

Λύση: Εξετάστε τα πρώτα μοναδικά σημεία, θα είναι τιμές A \u003d 0 και A \u003d -3. Όταν ένα \u003d 0, η εξίσωση θα απλουστευθεί στη φόρμα 6x-9 \u003d 0. x \u003d 3/2 και θα υπάρξει μια ρίζα. Όταν ένα \u003d -3, λαμβάνουμε την ταυτότητα 0 \u003d 0.
Υπολογίζω τις διακρίσεις

και να βρουν τιμές και στις οποίες είναι θετικό

Από την πρώτη κατάσταση θα πάρετε ένα\u003e 3. Για το δεύτερο βρούμε τις διακριτικές και τις ρίζες της εξίσωσης


Ορίζουμε τα κενά όπου η λειτουργία λαμβάνει θετικές τιμές. Σχήμα Α \u003d 0 Πάρτε 3>0 . Έτσι, πέρα \u200b\u200bαπό το διάστημα (-3, 1/3) η λειτουργία είναι αρνητική. Μην ξεχάσετε το σημείο a \u003d 0,Αυτό θα πρέπει να αποκλειστεί επειδή η αρχική εξίσωση σε αυτήν έχει μια ρίζα.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο διαστήματα που ικανοποιούν την κατάσταση της εργασίας

Θα υπάρξουν πολλά παρόμοια καθήκοντα στην πράξη, προσπαθήστε να αντιμετωπίσετε τον εαυτό σας τα καθήκοντα και μην ξεχάσετε να εξετάσετε τις συνθήκες που είναι αμοιβαία αποκλειστικές. Διαβάστε καλά τον τύπο για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, συχνά χρειάζονται κατά τον υπολογισμό σε διαφορετικές εργασίες και επιστήμες.

Για παράδειγμα, για τρεις λήψεις \\ (3x ^ 2 + 2x-7 \\), οι διακριτικές διακρίσεις θα είναι ίσες με \\ (2 ^ 2-4 \\ cdot3 \\ cdot (-7) \u003d 4 + 84 \u003d 88 \\). Και για τρία πλάνα \\ (x ^ 2-5x + 11 \\), θα είναι ίσο με \\ ((- 5) ^ 2-4 \\ CDOT1 \\ CDOT11 \u003d 25-44 \u003d -19 \\).

Οι διακριτικές διακρίσεις υποδεικνύονται από το γράμμα \\ (d \\) και χρησιμοποιείται συχνά κατά την επίλυση. Επίσης, η αξία των διακριτικών μπορεί να γίνει κατανοητή πώς το χρονοδιάγραμμα μοιάζει με κάτι (βλ. Παρακάτω).

Ισχύς διακριτικής και ρίζας

Η αξία των διακρίσεων δείχνει τον αριθμό της τετραγωνικής εξίσωσης:
- εάν \\ (d \\) είναι θετική - η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες.
- εάν \\ (d \\) είναι μηδέν - μόνο μία ρίζα.
- εάν \\ (d \\) είναι αρνητική - δεν υπάρχουν ρίζες.

Αυτό δεν είναι απαραίτητο να μάθουν, είναι εύκολο να έρθει σε αυτό το συμπέρασμα, γνωρίζοντας ότι από τις διακριτικές διακρίσεις (δηλαδή, \\ (\\ sqrt (d) \\) περιλαμβάνεται στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών της εξίσωσης: \\ ( x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) και \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d)) (2α) \\). Ας εξετάσουμε κάθε περίπτωση να διαβάσει περισσότερα.

Εάν η διακριτική είναι θετική

Σε αυτή την περίπτωση, η ρίζα του είναι κάποιος θετικός αριθμός και ως εκ τούτου \\ (x_ (1) \\) και \\ (x_ (2) \\) θα είναι διαφορετικός κατά αξία, διότι στον πρώτο τύπο \\ (\\ sqrt (d) \\) προσθέτει, και στο δεύτερο - αφαιρεθεί. Και έχουμε δύο διαφορετικές ρίζες.

Παράδειγμα : Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \\ (x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 \\)
Απόφαση :

Απάντηση : \\ (x_ (1) \u003d 1 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

Εάν η διακριτική είναι μηδενική

Και πόσες ρίζες θα είναι εάν οι διακριτικές είναι μηδέν; Ας μιλήσουμε.

Οι τύποι ρίζας μοιάζουν με αυτό: \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) και \\ (x_ (2) \u003d \\) -B- \\ SQRT (D)) (2α) \\). Και αν οι διακριτικές είναι μηδέν, τότε η ρίζα του είναι επίσης μηδέν. Τότε αποδεικνύεται:

\\ (X_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (0)) (2Α) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-b + 0) (2α) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b) (2α))

\\ (X_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d)) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (0)) (2Α) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-b-0) (2a) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (-b) (2α))

Δηλαδή, οι τιμές των ριζών της εξίσωσης θα συμπίπτουν, επειδή η προσθήκη ή η αφαίρεση του μηδέν δεν αλλάζει τίποτα.

Παράδειγμα : Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \\ (x ^ 2-4x + 4 \u003d 0 \\)
Απόφαση :

Απάντηση : \\ (x \u003d 2 \\)

Η τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση που μοιάζει με aX 2 + DX + C \u003d 0. Σε αυτό, η αξία Α, Β. και από Οποιοσδήποτε αριθμός αλλά Δεν είναι εξίσου μηδέν.

Όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις χωρίζονται σε διάφορα είδη, δηλαδή:

Εξισώσεις στις οποίες μόνο μία ρίζα.
-Είθεση με δύο διαφορετικές ρίζες.
-Αποθέτηση στην οποία δεν υπάρχουν ρίζες.

Αυτό διακρίνει γραμμικές εξισώσεις στις οποίες η ρίζα είναι πάντα ενωμένη, από την πλατεία. Προκειμένου να καταλάβουμε πόσο ο αριθμός των ριζών στην έκφραση και την ανάγκη Διακριτική ισοπέδωση.

Ας πούμε την εξίσωση AX 2 + DX + C \u003d 0. Έτσι Διακριτική ισοπέδωση -

D \u003d B 2 - 4 AC

Και πρέπει να θυμόμαστε για πάντα. Με αυτή την εξίσωση, καθορίζουμε τον αριθμό των ριζών στην τετραγωνική εξίσωση. Και το κάνουμε αυτό ως εξής:

Όταν το D είναι μικρότερο από το μηδέν, δεν υπάρχουν ρίζες στην εξίσωση.
- Όταν το D είναι μηδέν, υπάρχει μόνο μία ρίζα.
- Όταν το D είναι μεγαλύτερο, αντίστοιχα, στην δύο ριζική εξίσωση.
Θυμηθείτε ότι οι διακριτικές δηλώσεις δείχνουν πόσες ρίζες στην εξίσωση, χωρίς να αλλάζουν σημάδια.

Σκεφτείτε για λόγους σαφήνειας:

Είναι απαραίτητο να μάθετε τι ο αριθμός των ριζών σε αυτή την τετραγωνική εξίσωση.

1) x 2 - 8x + 12 \u003d 0
2) 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0
3) x 2 -6x + 9 \u003d 0

Καταχωρίστε τις τιμές στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε τις διακριτικές διακρίσεις.
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12
D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16
Διακρίσεις με ένα σύμβολο συν, πράγμα που σημαίνει δύο ρίζες σε αυτή την ισότητα.

Κάνετε το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση
a \u003d 1, b \u003d 3, c \u003d 7
D \u003d 3 2 - 4 * 5 * 7 \u003d 9 - 140 \u003d - 131
Η τιμή είναι μείον, πράγμα που δεν σημαίνει ρίζες σε αυτή την ισότητα.

Η ακόλουθη εξίσωση αποσυντίθεται κατ 'αναλογία.
a \u003d 1, b \u003d -6, c \u003d 9
D \u003d (-6) 2 - 4 * 1 * 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0
Ως αποτέλεσμα, έχουμε μια ρίζα στην εξίσωση.

Είναι σημαντικό σε κάθε εξίσωση να αποφορτίσαμε τους συντελεστές. Φυσικά, αυτό δεν είναι μεγάλη μακρά διαδικασία, αλλά μας βοήθησε να μην μπερδευτούν και να εμποδίσουμε την εμφάνιση σφαλμάτων. Εάν λάβετε συχνά τέτοιες εξισώσεις, τότε οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν διανοητικά και εκ των προτέρων να γνωρίζουν πόσες ρίζες στην εξίσωση.

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα:

1) x 2 - 2x - 3 \u003d 0
2) 15 - 2x - x 2 \u003d 0
3) x 2 + 12x + 36 \u003d 0

Ξεκλειδώστε πρώτα
Α \u003d 1, Β \u003d -2, C \u003d -3
D \u003d (- 2) 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 16, το οποίο είναι περισσότερο μηδέν, τότε δύο ρίζες, φέρτε τα
x 1 \u003d 2+; 16/2 * 1 \u003d 3, Χ2 \u003d 2- α 16/2 * 1 \u003d -1.

Δηλώνουμε το δεύτερο
a \u003d -1, b \u003d -2, c \u003d 15
D \u003d (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 \u003d 64, το οποίο είναι περισσότερο μηδέν και έχει επίσης δύο ρίζες. Ας τα φέρουμε:
x 1 \u003d 2+; 64/2 * (-1) \u003d -5, x 2 \u003d 2-44/2 * (- 1) \u003d 3.

Ξεκλειδώστε το τρίτο
A \u003d 1, B \u003d 12, C \u003d 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, το οποίο είναι μηδέν και έχει μία ρίζα
x \u003d -12 +; 0/2 * 1 \u003d -6.
Δεν είναι δύσκολο να λύσουμε αυτές τις εξισώσεις.

Αν μας δοθεί μια ελλιπή τετραγωνική εξίσωση. Οπως

1x 2 + 9x \u003d 0
2x 2 - 16 \u003d 0

Αυτές οι εξισώσεις διαφέρουν από εκείνους που ήταν υψηλότερες, καθώς δεν είναι πλήρης, δεν υπάρχει τρίτη αξία σε αυτήν. Αλλά παρά το γεγονός αυτό είναι ευκολότερο από μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση και δεν χρειάζεται να ψάξει για διακριτικές διακρίσεις.

Τι να κάνετε όταν χρειάζεστε επειγόντως μια διατριβή ή μια αφηρημένη, και δεν υπάρχει χρόνος για τη γραφή του; Όλα αυτά και πολλά άλλα μπορούν να απολαύσουν στην ιστοσελίδα Deeplom.by (http://deblomom.by/) και να πάρετε το υψηλότερο σκορ.