المهمة B7 - تحويل التعبيرات اللوغارمية والتعبيرات الإرشادية. تعبيرات اللوغاريتمي

نوع الدرس: درس التعميم وتنظيم المعرفة

أهداف:

• لتحقيق معرفة الطلاب حول اللوغاريثز وخصائصهم في إطار التكرار المعمم والتحضير للاستخدام؛
• تعزيز تطوير النشاط العقلي للطلاب، ومهارات تطبيق المعرفة النظرية عند إجراء التدريبات؛
• تعزيز تطوير الصفات الشخصية للطلاب ومهارات ضبط النفس والتقييم الذاتي لأنشطتهم؛ تثقيف العمل الشاق والمريض والمثابرة والاستقلال.

ادوات:الكمبيوتر، العارض، العرض التقديمي (المرفقات 1)، بطاقات مع الواجبات المنزلية (يمكنك إرفاق ملف بمهمة في مذكرات إلكترونية).

خلال الفصول الدراسية

أولا لحظة التنظيمية. تحية، مزاج للدرس.

II. مناقشة الواجب المنزلي.

III. مواضيع ورسالة الدرس. التحفيز.(الشريحة 1) العرض التقديمي.

نواصل تعميم تكرار دورة الرياضيات استعدادا للامتحان. واليوم في الدرس سوف نتحدث عن اللوغاريثز وخصائصها.

توجد مهام لحساب اللوغاريثز وتحويل التعبيرات اللوغارمية بالضرورة في مواد التحكم والقياس في كل من المستويات الأساسية والملفية. لذلك، فإن الغرض من درسنا هو استعادة الأفكار حول معنى مفهوم "لوغاريتم" وتحديث المهارات لتحويل تعبيرات اللوغاريتمية. اكتب موضوع الدرس في أجهزة الكمبيوتر المحمولة.

IV. تحقيق المعرفة.

1. / شفه /لتبدأ، تذكر ما يسمى لوغاريتم. (الشريحة 2)

(لوغاريتم الأرقام الإيجابية B للقاعدة A (حيث A\u003e 0، آه؟ 1) يسمى مؤشرا للدرجة التي يجب أن تؤخذ فيها الرقم A للحصول على الرقم ب)

تسجيل ب \u003d ن<-> a n \u003d b، (a\u003e 0، و 1، b\u003e 0)

لذلك، "لوغاريتم" هو "مؤشر درجة"!

(الشريحة 3) ثم N \u003d B يمكن إعادة كتابتها \u003d B هو الهوية اللوغارية الرئيسية.

إذا كانت القاعدة \u003d 10، فسيتم تسمية LOGARIRMM ذات عشري وتم تشديد LGB.

إذا كان \u003d ه، فإن اللوغاريتمي يسمى الطبيعية وتشير إلى LNB.

2. / مكتوبة / (الشريحة 4)ملء التخطي للحصول على المساواة المؤمنة:

سجل؟ X + سجل أ \u003d سجل؟ (؟ ذ)

سجل - سجل؟ y \u003d سجل؟ (س /؟)

سجل X؟ \u003d plog؟ (؟)

الشيك:

واحد؛ واحد؛ A، Y، X؛ X، A، A، Y؛ ص، أ، س.

هذه هي خصائص اللوغاريتمي. وكذلك مجموعة من العقارات: (الشريحة 5)

الشيك:

a، 1، N، X؛ n، x، p، a؛ X، B، A، Y؛ أ، x، ب؛ أ، 1، ب.

خامسا العمل عن طريق الفم

(الشريحة 6) №1. حساب:

ا ب ت ث) ؛ ه).

إجابات : أ) 4؛ ب) - 2؛ في 2؛ د) 7؛ ه) 27.

(الشريحة 7) №2. ابحث عن x:

لكن) ؛ ب) (إجابات: أ) 1/4؛ ب) 9).

رقم 3. هل من المنطقي النظر في مثل هذا اللوغاريتم:

لكن) ؛ ب)؛ في) ؟ (لا)

السادس. العمل المستقل في مجموعات، تلميذ قوي - الاستشاريين. (الشريحة 8)

# 1. حساب: .

رقم 2. تبسيط:

# 3.جد قيمة التعبير إذا

№ 4. تبسيط التعبير:

№ 5. حساب:

№ 6. حساب:

№ 7. حساب:

رقم 8. حساب:

بعد التنفيذ - التحقق والمناقشة على الحل المحصوف أو استخدام الوثيقة - الكاميرات.

VII. حل مهمة زيادة التعقيد(طالب قوي على اللوحة، والباقي - في أجهزة الكمبيوتر المحمولة) (الشريحة 9)

ابحث عن قيمة التعبير:

VIII. الواجبات المنزلية (على البطاقات) متباينة.(الشريحة 10)

№1. حساب:

المساواة المدرجة في تحويل التعبيرات مع اللوغاريثيمس تستخدم على حد سواء على اليسار اليمنى واليسار إلى اليمين.

تجدر الإشارة إلى أنه لحفظ الآثار من الخصائص اختيارية: عند إجراء التحولات، من الممكن القيام بالخصائص الرئيسية ل LOGARIMMS وغيرها من الحقائق (على سبيل المثال، في ذلك مع B≥0)، منها المقابلة تتدفق العواقب. تجلى "التأثير الجانبي" لهذا النهج فقط فقط على أن القرار سيكون أطول قليلا. على سبيل المثال، للقيام دون التحقيق، والتي تعبر عنها من قبل الصيغة والاستمتاع فقط من الخصائص الرئيسية ل LOGARIMMS، سيتعين عليك تنفيذ سلسلة من تحويلات النوع التالي: .

يمكن قول الشيء نفسه عن الممتلكات الأخيرة من القائمة أعلاه، والتي تتوافق مع الصيغة لأنه يتبع أيضا من الخصائص الرئيسية لوغاريتمي. الشيء الرئيسي لفهم أن هناك دائما إمكانية وجود رقم إيجابي مع لوغاريتم في المؤشر لتغيير أساس الدرجة والعدد تحت علامة لوغاريتم. من أجل العدالة، نلاحظ أن الأمثلة التي تعني تنفيذ تحويلات هذا النوع نادرة في الممارسة العملية. نعطي بعض الأمثلة أسفل النص.

تحويل التعبيرات العددية مع اللوغاريتم

تذكر خصائص اللوغاريثز، الآن حان الوقت لتعلم تطبيقها في الممارسة العملية لتحويل التعبيرات. تبدأ بشكل طبيعي بتحويل التعبيرات العددية، وليس التعبيرات مع المتغيرات، لأنها أكثر ملاءمة وأسهل لمعرفة الأساسيات. لذلك سوف نفعل ذلك، ونبدأ بأمثلة بسيطة للغاية لتعلم كيفية اختيار الممتلكات المرغوبة ل LOGARIMM، لكننا سنقوم بتعاسة الأمثلة تدريجيا، حتى اللحظة التي تحتاج فيها إلى استخدام العديد من الخصائص في صف واحد للحصول على النتيجة النهائية.

اختيار الخصائص المرغوبة لل logaritms

خصائص اللوغاريتم ليست سوى القليل، ومن الواضح أنك بحاجة إلى أن تكون قادرا على الاختيار من بينها المناسبة، والتي ستؤدي في هذه الحالة بالذات إلى النتيجة المرجوة. من الصعب عادة القيام بذلك، مقارنة نوع اللوغاريتم أو التعبير المحول مع آراء الأجزاء اليمنى واليسرى من الصيغ المعبر عن خصائص اللوغاريتمي. إذا كان الجانب الأيسر أو الأيمن من أحد الصيغ يتزامن مع لوغاريتم أو تعبير معين، فمن المرجح أن يكون هذه الخاصية هذه الخاصية التي يجب تطبيقها عند التحويل. يتم إثبات الأمثلة التالية بوضوح.

دعنا نبدأ بأمثلة لتحويل التعبيرات باستخدام تعريف اللوغاريتمي الذي يتوافق مع صيغة سجل A B \u003d B، A\u003e 0، A ≠ 1، B\u003e 0.

مثال.

احسب إن أمكن: أ) 5 سجل 5 4، ب) 10 إل جي (1 + 2 · π)، ب) ، د) 2 سجل 2 (-7)، ه).

قرار.

في المثال، ضمن الحرف أ)، فإن بنية سجل A ب مرئية بوضوح، حيث \u003d 5، ب \u003d 4. تلبي هذه الأرقام الشروط A\u003e 0، A ≠ 1، B\u003e 0، حتى تتمكن من استخدام المساواة سجل A B \u003d B. لدينا 5 سجل 5 4 \u003d 4.

ب) هنا A \u003d 10، B \u003d 1 + 2 · π، ظروف a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0 مصنوعة. في هذه الحالة، هناك مساواة من 10 LG (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π.

ج) وفي هذا المثال، نتعامل مع درجة من نوع سجل A B، حيث و B \u003d LN15. وبالتالي .

على الرغم من الانتماء إلى نفس النوع من سجل A (هنا \u003d 2، B \u003d -7)، لا يمكن تحويل التعبير تحت الحرف D) بواسطة الصيغة سجل A B \u003d B. السبب هو أنه لا معنى له، لأنه يحتوي على رقم سلبي تحت علامة اللوغاريتم. علاوة على ذلك، فإن الرقم B \u003d -7 لا يرضي الحالة ب\u003e 0، الذي لا يسمح اللجوء إلى الصيغة سجل A B \u003d B، لأنه يتطلب تحقيق الشروط A\u003e 0، A 1، B \u003e 0. لذلك، من المستحيل التحدث عن حساب قيمة سجل 2 (-7). في هذه الحالة، تسجيل 2 سجل 2 (-7) \u003d -7 سيكون خطأ.

وبالمثل، في المثال تحت الحرف D)، لا يمكن إحضار الحل لأن التعبير الأولي لا معنى له.

إجابه:

أ) 5 سجل 5 4 \u003d 4، ب) 10 إل جي (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π، C) ، د)، ه) التعبيرات لا معنى لها.

غالبا ما يكون مفيدا للتحويل الذي يتم فيه عرض رقم إيجابي في شكل درجة من أي رقم إيجابي ومختلف مع لوغاريتم في المؤشر. إنه يستند إلى نفس التعريف من LOGARITHM A LOG A B \u003d B، A\u003e 0، A ≠ 1، B\u003e 0، ولكن يتم تطبيق الصيغة على اليسار الأيمن، أي في النموذج B \u003d سجل B. على سبيل المثال، 3 \u003d E LN3 أو 5 \u003d 5 سجل 5 5.

انتقل إلى تطبيق خصائص اللوغاريتمي لتحويل التعبيرات.

مثال.

العثور على قيمة التعبير: أ) سجل -2 1، ب) سجل 1 1، ج) سجل 0 1، د) Log 7 1، E) LN1، E) LG1، G) سجل 3،75، S) 5 · 7 1.

قرار.

في الأمثلة تحت الحروف A)، B) و C) تعبيرات سجل -2 1، سجل 1 1، سجل 0 1، الذي لا معنى له، لأنه في قاعدة اللوغاريتم يجب ألا يكون رقما سالبا، صفر أو وحدة، لأننا حددنا اللوغاريتم فقط لإيجابية ومختلفة عن الوحدة الأساسية. لذلك، في أمثلة أ) - ج) لا يمكن أن يكون هناك شك في العثور على قيمة التعبير.

في جميع المهام الأخرى، من الواضح أن هناك أرقاما إيجابية ومختلفة من الوحدة 7، E، 10، 3.75 و 5 · π 7، على التوالي، وتحت علامات اللوغاريثيمز في كل مكان هناك وحدات. ونحن نعرف ملك وحدة لوغاريتم: سجل 1 \u003d 0 لأي a\u003e 0، a ≠ 1. وبالتالي، فإن قيم التعبيرات ب) - ه) تساوي الصفر.

إجابه:

أ)، ب)، ج) التعبيرات لا معنى لها، د) سجل 7 1 \u003d 0، D) LN1 \u003d 0، E) LG1 \u003d 0، G) سجل 3،75 1 \u003d 0، H) سجل 5 · ه 7 1 \u003d 0.

مثال.

حساب: أ)، ب) LNE، C) LG10، د) سجل 5 · 3 -2 (5 · 3 -2)، ه) سجل -3 (-3)، ه) سجل 1 1.

قرار.

من الواضح أنه يتعين علينا الاستفادة من خاصية Logarithm of the Base، والتي تتوافق مع Formula Log a \u003d 1 في a\u003e 0، a ≠ 1. في الواقع، في المهام تحت جميع الحروف، يتزامن الرقم تحت علامة اللوغاريتم مع أساسه. وبالتالي، أريد أن أقول على الفور أن معنى كل من التعبيرات المحددة هو 1. ومع ذلك، ليس من الضروري أن تتعجل باستنتاجات: في المهام بموجب الحروف أ) - د) قيم التعبيرات تساوي حقا واحدة، وفي المهام د) و E) التعبيرات الأولية لا تجعل بمعنى، لذلك لا يمكن القول أن قيم هذه التعبيرات هي 1.

إجابه:

a)، B) LNE \u003d 1، C) LG10 \u003d 1، د) سجل 5 · 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1، د)، ه) التعبيرات لا معنى لها.

مثال.

العثور على قيمة: أ) سجل 3 3 11، ب) ، ج)، د) سجل -10 (-10) 6.

قرار.

من الواضح، تحت علامات لوغاريتمي هناك بعض درجات الأساس. بناء على ذلك، نفهم أنه من المفيد بالنسبة لنا هنا درجة المؤسسة: سجل A P \u003d P، حيث A\u003e 0، A ≠ 1 و P هو أي رقم صالح. بالنظر إلى هذا، لدينا النتائج التالية: أ) سجل 3 3 11 \u003d 11، ب) ، في) وبعد هل من الممكن تسجيل مساواة مماثلة للمثال بموجب الرسالة D) من نوع السجل -10 (-10) 6 \u003d 6؟ لا، من المستحيل، لأن سجل التعبير -10 (-10) 6 لا معنى له.

إجابه:

أ) سجل 3 3 11 \u003d 11، ب) ، في) ، د) التعبير لا معنى له.

مثال.

تخيل تعبيرا في شكل مجموع أو اختلاف اللوغاريتمي على نفس الأساس: أ) ، ب)، ج) إل جي ((- 5) · (-12)).

قرار.

أ) تحت علامة اللوجارث هو عمل، ونحن نعرف خاصية لوغاريتمي لعمل سجل A (X · Y) \u003d سجل الفأس + سجل AY، A\u003e 0، A ≠ 1، x\u003e 0، y\u003e 0. في حالتنا، يكون الرقم الموجود في قاعدة اللوغاريتمية والعدد في العمل إيجابيا، أي إرضاء ظروف الخاصية المحددة، حتى نتمكن من تطبيقها بهدوء: .

ب) هنا نستخدم خاصية لوغاريتم من القطاع الخاص، حيث a\u003e 0، a ≠ 1، x\u003e 0، y\u003e 0. في حالتنا، فإن قاعدة اللوجارث هي رقم إيجابي ه، البسط والمقاوم π موجبة، مما يعني أن شروط الممتلكات مرضية، لذلك لدينا الحق في استخدام الصيغة المختارة: .

ج) أولا، نلاحظ أن التعبير LG ((- 5) · (-12)) من المنطقي. ولكن في الوقت نفسه، بالنسبة له، ليس لدينا الحق في تطبيق صيغة logaritm لعمل سجل A (X · y) \u003d سجل الفأس + سجل AY، A\u003e 0، A ≠ 1، x\u003e 0، Y\u003e 0، منذ الأرقام -5 و -12 - سلبية ولا ترضي الظروف X\u003e 0، Y\u003e 0. هذا، من المستحيل إجراء مثل هذا التحويل: إل جي ((- 5) · (-12)) \u003d LG (-5) + LG (-12)وبعد و ما العمل؟ في مثل هذه الحالات، يحتاج التعبير الأولي إلى تحول أولي يسمح لك بالابتعاد عن الأرقام السلبية. سنتحدث عن حالات تحويل التعبيرات هذه بالأرقام السلبية تحت علامة لوغاريتم بالتفصيل في أحد الأمثلة التالية، والتي مفهومة، ودون تفسير: إل جي ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.

إجابه:

لكن) ب) ، ج) إل جي ((- 5) · (-12)) \u003d LG5 + LG12.

مثال.

تبسيط التعبير: أ) سجل 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0.5، B).

قرار.

هنا سوف نساعد كل خصائص LOGARITH في أعمال العمل و logaritm من القطاع الخاص، والتي استخدمناها في الأمثلة السابقة، فقط سنقوم الآن بتطبيقها على اليسار. وهذا هو، فإن كمية اللوغاريتمي تتحول إلى لوغاريتم العمل، والفرق بين اللوغاريتمي - في لوغاريتم من القطاع الخاص. لديك
لكن) سجل 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0.5 \u003d Log 3 (0.25 · 16 · 0.5) \u003d Log 3 2.
ب) .

إجابه:

لكن) سجل 3 0.25 + سجل 3 16 + سجل 3 0.5 \u003d سجل 3 2ب) .

مثال.

تخلص من المدى تحت علامة لوغاريتم: أ) سجل 0.7 5 11، ب) ، ج) سجل 3 (-5) 6.

قرار.

من السهل أن نرى أننا نتعامل مع تعبيرات سجل A B P. تتميز الممتلكات المقابلة ل LOGARIRMM بنوع سجل B P \u003d P · سجل A B، حيث A\u003e 0، A ≠ 1، B\u003e 0، P هو أي رقم صالح. وهذا هو، عند أداء الظروف A\u003e 0، A ≠ 1، B\u003e 0 من LOGARIMM من درجة السجل A B P، يمكننا الانتقال إلى المنتج P · سجل A B. سنقوم بإجراء هذا التحويل مع تعبيرات محددة.

أ) في هذه الحالة، A \u003d 0.7، B \u003d 5 و P \u003d 11. لذلك سجل 0.7 5 11 \u003d 11 · سجل 0.7 5.

ب) هنا، الظروف A\u003e 0، A ≠ 1، B\u003e 0 يتم تنفيذها. لذا

ج) سجل التعبير 3 (-5) 6 له نفس الهيكل سجل A B P، A \u003d 3، B \u003d -5، P \u003d 6. ولكن بالنسبة ل B، الحالة B\u003e 0 غير راض، مما يجعل من المستحيل استخدام السجل A B P \u003d P · سجل A B. لذلك، من المستحيل التعامل مع المهمة؟ من الممكن، ولكن تعبير محول مسبقا مطلوبا، وسوف نتحدث بالتفصيل أدناه في نقطة العنوان. سيكون القرار: سجل 3 (-5) 6 \u003d سجل 3 5 6 \u003d 6 · سجل 3 5.

إجابه:

أ) سجل 0.7 5 11 \u003d 11 · سجل 0.7 5،
ب)
ج) سجل 3 (-5) 6 \u003d 6 · سجل 3 5.

في كثير من الأحيان، من الضروري أن تكون صيغة اللوغاريتم درجة الحموضة أثناء التحول من الضروري تطبيق الحق في اليسار ك L Log A B \u003d سجل A B P (يتطلب هذا أداء نفس الشروط ل A، B و P). على سبيل المثال، 3 · LN5 \u003d LN5 3 و LG2 · سجل 2 3 \u003d سجل 2 3 LG2.

مثال.

أ) احسب قيمة السجل 2 5، إذا كان معروفا أن LG2≈0،3010 و LG5≈0،6990. ب) تقديم جزء صغير في شكل لوغاريتم بناء على 3.

قرار.

أ) يسمح الصيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة من LOGARIRMM بتمثيل هذا اللوغاريتم في شكل نسبة من اللوغاريات العشرية، التي تعرف قيمها بالنسبة لنا :. لا يزال فقط لتنفيذ الحسابات، لدينا .

ب) هنا يكفي للاستفادة من الانتقال إلى قاعدة جديدة، وتطبيقه على اليسار الأيمن، وهذا هو، في شكل وبعد تسلم .

إجابه:

أ) سجل 2 5≈2،3223، ب) .

في هذه المرحلة، اعتبرنا بدقة بما فيه الكفاية تحويل التعبيرات الأكثر بساطة باستخدام الخصائص الرئيسية لوغاريتمي وتعريف اللوغاريتمي. في هذه الأمثلة، كان علينا تطبيق نوع من الممتلكات ولا شيء أكثر. الآن مع ضمير هادئ، يمكنك الانتقال إلى أمثلة، يتطلب التحول الذي يتطلب استخدام العديد من خصائص اللوغاريتمية وغيرها من التحولات الإضافية. سنذهب في الفقرة التالية. ولكن قبل ذلك، باختصار، سنركز لفترة وجيزة على أمثلة عواقب الخصائص الرئيسية لوجريتز.

مثال.

أ) تخلص من الجذر تحت علامة اللوغاريتم. ب) تحويل الكسر في اللوغاريتم في قاعدة 5. ج) في كثير من الأحيان من الدرجات تحت علامة لوغاريتم وفي أساسها. د) حساب قيمة التعبير وبعد ه) استبدال التعبير عن الدرجة مع القاعدة 3.

قرار.

أ) إذا كنت تتذكر نتيجة خاصية لوغاريتم يمكنك الإجابة على الفور: .

ب) نستخدم الصيغة الحق في اليسار لدينا .

ج) في هذه الحالة، تؤدي النتيجة إلى الصيغة وبعد تسلم .

د) وهنا يكفي تطبيق نتيجة أن الصيغة مسؤولة وبعد وبالتالي .

ه) لوغاريتم العقار يسمح لنا بتحقيق النتيجة المرجوة: .

إجابه:

لكن) وبعد ب) وبعد في) وبعد د) وبعد ه) .

الاستخدام المتسلسل للعديد من الخصائص

عادة ما تكون المهام الحقيقية لتحويل التعبيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمي أكثر تعقيدا من قبل أولئك الذين نشاركوا في الفقرة السابقة. فيها، كقاعدة عامة، والنتيجة ليست خطوة واحدة، والحل موجود بالفعل في التطبيق الثابت لممتلكات واحدة بعد آخر، إلى جانب تحويل الهوية الإضافية، مثل الكشف عن الأقواس، وجلب منصات مماثلة، والحد من الكسور، إلخ وبعد لذلك دعنا نقترب من هذه الأمثلة. لا يوجد شيء صعب في هذا الأمر، والشيء الرئيسي هو التصرف بدقة ومتسقة، باستمرار مراقبة إجراءات الإجراءات.

مثال.

حساب قيمة التعبير (سجل 3 15-Log 3 5) 7 سجل 7 5.

قرار.

لا يمكن استبدال اختلاف اللوغاريثز بين قوسين بين قوسين عن خاصية LOGARIRMM من LOGARIMM LOG 3 (15: 5)، ومزيد من حساب سجل القيمة 3 (15: 5) \u003d Log 3 3 \u003d 1. وقيمة التعبير 7 سجل 7 5 بحكم تعريف اللوغاريتم تساوي 5. استبدل هذه النتائج في التعبير الأصلي، نحصل (سجل 3 15-Log 3 5) 7 سجل 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

دعونا تعطي حلا دون تفسير:
(سجل 3 15 - سجل 3 5) 7 سجل 7 5 \u003d سجل 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d سجل 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

إجابه:

(سجل 3 15-log 3 5) 7 سجل 7 5 \u003d 5.

مثال.

ما هي قيمة سجل التعبير العددي 3 سجل 2 2 3 -1؟

قرار.

نقوم أولا بتحويل LOGARITMM، وهو موجود تحت علامة اللوغاريتم، وفقا لصيغة LOGARITMM: LOG 2 2 3 \u003d 3. وبالتالي، سجل 3 سجل 2 2 3 \u003d سجل 3 3 وآخر سجل 3 3 \u003d 1. لذا سجل 3 سجل 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.

إجابه:

سجل 3 سجل 2 2 3 -1 \u003d 0.

مثال.

تبسيط التعبير.

قرار.

تتيح صيغة الانتقال إلى قاعدة LOGARITMM الجديدة لعلاقة اللوغاريتمي إلى قاعدة واحدة كمسجل 3 5. في هذه الحالة، سيستغرق التعبير الأولي النموذج. بحكم تعريف logarithm 3 سجل 3 5 \u003d 5، وهذا هو ، وقيمة التعبير التي تم الحصول عليها، بسبب نفس التعريف لوغاريتم، هي اثنين.

فيما يلي نسخة مختصرة من الحل الذي يعطى عادة: .

إجابه:

.

للحصول على انتقال سلس إلى معلومات العنصر التالية، دعونا نلقي نظرة على التعبيرات 5 2 + Log 5 3، و LG0.01. هيكلهم غير مناسب لأي من خصائص اللوغاريتمي. إذن ما يحدث، لا يمكن تحويلها باستخدام خصائص اللوغاريتمي؟ من الممكن إذا كنت تستطيع إجراء تحويلات أولية تقوم بإعداد هذه التعبيرات لتطبيق خصائص اللوغاريتمي. وبالتالي 5 2 + سجل 5 3 \u003d 5 2 · 5 سجل 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, و LG0.01 \u003d LG10 -2 \u003d -2. ثم سنفهم بالتفصيل كيف يتم تنفيذ هذا التدريب للتعبيرات.

إعداد التعبيرات إلى تطبيق خصائص اللوغاريتمي

غالبا ما تختلف اللوغاريثز في تكوين التعبير المحول كثيرا عن الأجزاء اليمنى والأيمن من الصيغ المقابلة خصائص اللوغاريتمي. ولكن في كثير من الأحيان لا يعني تحول هذه التعبيرات هذه التعبيرات استخدام خصائص اللوغاريتمي: لاستخدامها يتطلب فقط إعداد أولي. وهذا الإعداد هو تنفيذ بعض التحولات المتطابقة اللوغارية الرائدة في النموذج، مريحة لتطبيق الخصائص.

بالنسبة للعدالة، نلاحظ أن أي تحويلات تعبيرات تقريبا يمكن أن تعمل كحولات مبدئية، من المحرك العاديين لهذه الشروط لاستخدام الصيغ المثلثية. هذا مفهوم، لأن التعبيرات المحولة قد تحتوي على أي كائنات رياضية: الأقواس والوحدات والكسرات والجذور والدرجات، إلخ. وبالتالي، يجب أن تكون جاهزا لأداء أي تحويل مطلوب لتتمكن من استخدام خصائص اللوغاريتمي.

على الفور، دعنا نقول أنه في هذه المرحلة، لا نحدد أنفسنا المهمة لتصنيف وتفكيك جميع التحولات الأولية التي يمكن تخيلها، والتي تطبق خصائص اللوغاريتمي أو تعريف اللوغاريتمي. هنا سوف نسكن فقط على أربعة منهم فقط، والتي هي الأكثر تميزا والأكثر في كثير من الأحيان في الممارسة العملية.

والآن بالتفصيل حول كل منها، وبعد ذلك، كجزء من موضوعنا، لن يبقى فقط للتعامل مع تحويل التعبيرات مع المتغيرات تحت علامات اللوغاريتمي.

اختيار الدرجات تحت علامة لوغاريتم وفي أساسها

دعنا نبدأ على الفور من المثال. دعونا نكون لوغاريتم. من الواضح، في هذا النموذج، لا يتعين على هيكلها استخدام خصائص اللوغاريتمي. هل من الممكن تحويل هذا التعبير بطريقة أو بأخرى لتبسيطه، وحتى تحسين قيمته بشكل أفضل؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا ننظر بعناية بالأرقام 81 و 1/9 في سياق مثالنا. من السهل أن تسمح هذه الأرقام بتمثيل درجة الرقم 3، في الواقع، 81 \u003d 3 4 و 1/9 \u003d 3 -2. في هذه الحالة، يتم عرض اللوغاريتم الأولي في النموذج وإمكانية تطبيق الصيغة وبعد وبالتالي، .

يخلق تحليل المثال المفكك للفكر التالي: إذا كان ذلك ممكنا، يمكنك محاولة تسليط الضوء على الشهادة تحت علامة اللوجارث وفي أساسها لتطبيق خاصية اللوغاريتم أو نتيجة لها. لا يزال فقط لمعرفة كيفية تخصيص هذه الدرجات. دعونا نقدم بعض التوصيات بشأن هذه المسألة.

في بعض الأحيان، من الواضح أن الرقم تحت علامة اللوغاريتم و / أو في مؤسسه هو بعض الدرجة بأكملها كما في المثال أعلاه. يجب أن يتعارض بشكل دائم بشكل عملي مع الكشف عن TWOS، الذي تم التفكير فيه جيدا: 4 \u003d 2 2، 8 \u003d 2 3، 16 \u003d 2 4، 32 \u003d 2 5، 64 \u003d 2 6، 128 \u003d 2 7، 256 \u003d 2 8 ، 512 \u003d 2 9، 1024 \u003d 2 10. يمكن القول هذا عن درجة ثلاثية: 9 \u003d 3 2، 27 \u003d 3 3، 81 \u003d 3 4، 243 \u003d 3 5، ... بشكل عام، لا تؤذي إذا كان سيكون قبل أعيننا جدول درجات الأرقام الطبيعية داخل عشرات. ليس من الصعب أيضا العمل مع درجات عدد صحيح من عشرة، مائة، الآلاف، إلخ.

مثال.

احسب قيمة أو تبسيط التعبير: أ) سجل 6 216، B)، C) سجل 0.000001 0.001.

قرار.

أ) من الواضح أن 216 \u003d 6 3، وبالتالي سجل 6 216 \u003d سجل 6 6 3 \u003d 3.

ب) يتيح لك جدول درجات الأرقام الطبيعية تقديم أرقام 343 و 1/243 في شكل درجات 7 3 و 3 -4 على التوالي. لذلك، من الممكن اتباع التحول التالي ل LOGARITHM معين:

ج) AS 0.000001 \u003d 10 -6 و 0.001 \u003d 10 -3، ثم سجل 0.000001 0.001 \u003d سجل 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.

إجابه:

أ) سجل 6 216 \u003d 3، ب) ، ج) سجل 0.000001 0.001 \u003d 1/2.

في حالات أكثر تعقيدا، لتسليط الضوء على درجات الأرقام يجب أن اللجوء إلى.

مثال.

تحويل التعبير إلى نوع أبسط من سجل 3 648 · سجل 2 3.

قرار.

دعونا نرى ما هو تحلل عدد 648 لكل عوامل بسيطة:

وهذا هو، 648 \u003d 2 3 · 3 4. في هذا الطريق، سجل 3 648 · سجل 2 3 \u003d سجل 3 (2 3 · 3 4) سجل 2 3.

الآن محول اللوغاريتم الأعمال في كمية اللوغاريتمي، وبعد ذلك هي خصائص logaritm من الدرجة قابلة للتطبيق:
سجل 3 (2 3 · 3 4) · سجل 2 3 \u003d (سجل 3 2 3 + سجل 3 3 4) سجل 2 3 \u003d
\u003d (3 · سجل 3 2 + 4) سجل 2 3.

بسبب التحقيق من خاصية اللوغاريت التي تكون الصيغة مسؤولة log32 المنتج · log23 هو عمل، ومن المعروف أنه واحد. النظر في ذلك، نحصل 3 · سجل 3 2 · سجل 2 3 + 4 · سجل 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · سجل 2 3 \u003d 3 + 4 · سجل 2 3.

إجابه:

سجل 3 648 · سجل 2 3 \u003d 3 + 4 · سجل 2 3.

في كثير من الأحيان، تعتبر التعبيرات تحت علامة لوغاريتم وفي مؤسستها تعمل أو نسب الجذور و / أو درجات من بعض الأرقام، على سبيل المثال،. يمكن تمثيل مثل هذه التعبيرات كدرجة. لهذا، الانتقال من الجذور إلى الدرجات، وتطبيقها. تتيح لك هذه التحويلات تسليط الضوء على درجات أسفل علامة اللوغاريتم وفي قاعدتها، وبعد ذلك تطبق خصائص اللوغاريتمي.

مثال.

حساب: أ) ، ب).

قرار.

أ) التعبير في قاعدة اللوغاريتم هو نتاج الدرجات بنفس القواعد، وفقا للملكية المناسبة للدرجات، لدينا 5 2 · 5 -0،5 · 5 -1 \u003d 5 2-0.5-1 \u003d 5 0.5.

الآن نحن نتحول الكسر تحت علامة لوغاريتم: ننتقل من الجذر إلى الدرجة، وبعد ذلك سوف نستخدم خاصية الدرجات بأسباب نفسها: .

يبقى استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأولي، استخدم الصيغة والانتهاء التحولات:

ب) منذ 729 \u003d 3 6، و 1/9 \u003d 3 -2، ثم يمكن إعادة كتابة التعبير الأولي في النموذج.

بعد ذلك، قم بتطبيق خاصية الجذر من الدرجة، ونحن ننفذ الانتقال من الجذر إلى درجة واستخدام خاصية نسبة الشهادة لتحويل اللوغاريتم إلى الدرجة: .

النظر في النتيجة الأخيرة، لدينا .

إجابه:

لكن) ، ب).

من الواضح أنه بشكل عام، للحصول على درجات تحت علامة لوغاريتم، وفي مؤسستها، قد تكون هناك حاجة إلى تحولات مختلفة من التعبيرات المختلفة. نعطي بعض الأمثلة.

مثال.

ما هي قيمة التعبير: أ) ب) .

قرار.

لذلك، نلاحظ أن التعبير المحدد لديه شكل سجل A B P، حيث A \u003d 2، B \u003d X + 1 و P \u003d 4. تعبيرات رقمية عن هذا النوع تم تحويلنا من قبل خاصية LOGARITHM من مدى سجل ABP \u003d P سجل AB، وبالتالي، مع تعبير معين، أريد أن أفعل نفس الشيء كما، ومن السجل 2 (x + 1) 4 انتقل إلى 4 · سجل 2 (x + 1). والآن لنحسب قيمة التعبير الأولي والتعبير الذي تم الحصول عليه بعد التحول، على سبيل المثال، مع X \u003d -2. لديك سجل 2 (-2 + 1) 4 \u003d سجل 2 1 \u003d 0، و 4 · سجل 2 (-2 + 1) \u003d 4 · سجل 2 (-1) - لا معنى التعبير. هذا يسبب سؤال طبيعي: "ماذا فعلنا خطأ"؟

والسبب هو كما يلي: أجرينا سجل التحويل 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · سجل 2 (x + 1)، بناء على سجل الصيغة ABP \u003d P · سجل AB، ولكن لدينا الحق في تطبيق هذا الصيغة فقط عند الشرط a\u003e 0، a ≠ 1، b\u003e 0، p - أي رقم صالح. وهذا هو، فإن التحويل المنجز من قبلنا يحدث إذا كان X + 1\u003e 0، وهو نفس X\u003e -1 (من أجل A و P - الشروط مصنوعة). ومع ذلك، في حالتنا، يتكون متغير OTZ X للتعبير الأولي ليس فقط من الفاصل الزمني X\u003e -1، ولكن أيضا من الفترة X<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

الحاجة إلى مراعاة ...

سوف نستمر في تفكيك تحول السجل 2 (x + 1) 4 تعبيرات محددة من قبلنا، والآن لنرى ما يحدث مع OTZ عند الانتقال إلى التعبير 4 · سجل 2 (x + 1). في الفقرة السابقة، وجدنا حتى التعبير المصدر - هذه مجموعة (-∞، -1) ∪ (-1، + ∞). الآن نجد مساحة القيم المسموح بها للمتغير X للتعبير 4 · سجل 2 (x + 1). يتم تحديده حسب الحالة X + 1\u003e 0، والذي يتوافق مع مجموعة (-1 و + ∞). من الواضح، عند الانتقال من سجل 2 (x + 1) 4 إلى 4 · سجل 2 (x + 1)، تحدث مساحة القيم الصالحة. واتفقنا على تجنب التحولات التي تؤدي إلى تضييق OTZ، لأن هذا يمكن أن يؤدي إلى عواقب سلبية مختلفة.

تجدر الإشارة هنا بنفسك إلى أنه من المفيد السيطرة على OTZ في كل خطوة من خطوة التحول ومنع تضييقها. وإذا كان فجأة، في مرحلة ما من التحول، كان هناك ضيق من OST، ثم يستحق النظر بعناية فائقة، وما إذا كان هذا التحول مسموح به وما إذا كان لدينا الحق في تنفيذه.

على سبيل المثال، دعنا نقول أنه في الممارسة العملية، من الضروري عادة العمل مع التعبيرات، التي تكون متغيرات OTZ هذه، عند تنفيذ التحولات، استخدم خصائص اللوغاريتمي دون قيود في النموذج المعروف بالفعل بالنسبة لنا، وكلاهما من اليسار إليه الحق والحق في اليسار. تعتاد بسرعة على ذلك، وتبدأ في تنفيذ التحولات ميكانيكيا، دون التفكير، وما إذا كان من الممكن إجراءها. وفي مثل هذه اللحظات، كما تم تفريغها، فإن Slipper أكثر تعقيدا أمثلة أكثر تعقيدا حيث يؤدي استخدام خصائص LOGARIMMS إلى أخطاء. لذلك عليك أن تكون دائما على شيك، واتبع ذلك لا يوجد تضييق OTZ.

لا يضر بشكل منفصل بتحديد التحولات الرئيسية بناء على خصائص اللوغاريتمي التي تحتاج إلى تنفيذها بعناية فائقة، والتي يمكن أن تؤدي إلى تضييق OTZ، ونتيجة لذلك - أخطاء:

يمكن أن تؤدي بعض تحويلات التعبيرات وفقا لخصائص اللوغاريتمي إلى التوسع العكري في OTZ. على سبيل المثال، الانتقال من 4 · سجل 2 (x + 1) إلى السجل 2 (x + 1) 4 يتوسع الفرد من المجموعة (-1، + ∞) إلى (-∞، -1) ∪ (-1، + ∞). تحدث هذه التحولات إذا تبقى داخل ODZD للتعبير الأولي. لذلك التحويل المذكور الوحيد 4 · سجل 2 (x + 1) \u003d سجل 2 (x + 1) 4 يتم على متغير OTZ X للتعبير الأصلي 4 · سجل 2 (x + 1)، أي مع X + 1\u003e 0، وهو نفسه (-1، + ∞).

الآن بعد أن ناقشنا الفروق الدقيقة التي تحتاج إلى إيلاء الاهتمام عند تحويل التعبيرات مع المتغيرات باستخدام خصائص اللوغاريتمي، فلا يزال لمعرفة مدى صحة هذه التحولات يجب تنفيذها.

X + 2\u003e 0. هل يعمل في قضيتنا؟ للإجابة على هذا السؤال، نلقي نظرة على متغير OTZ X. يتم تحديده بواسطة نظام عدم المساواة وهو ما يعادل الحالة X + 2\u003e 0 (إذا لزم الأمر، راجع المقال حل أنظمة عدم المساواة). وبالتالي، يمكننا تطبيق ملكية لوغاريتم بهدوء بهدوء.

لديك
3 · LG (X + 2) 7 -lg (X + 2) -5 · LG (X + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · LG (X + 2) -lg (X + 2) -5 · 4 · LG (X + 2) \u003d
\u003d 21 · إل جي (x + 2) -lg (x + 2) -20 · LG (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · إل جي (X + 2) \u003d 0.

يمكنك التصرف وغير ذلك، فإن فائدة OTZ تسمح بذلك، على سبيل المثال:

إجابه:

3 · LG (X + 2) 7 -lg (X + 2) -5 · LG (X + 2) 4 \u003d 0.

وماذا تفعل عندما تكون شروط الخصائص المرافقة لل LogARIMMS غير راضين؟ سنتعامل مع هذا على الأمثلة.

افترض منا لتبسيط التعبير LG (X + 2) 4 -lg (x + 2) 2. تحول هذا التعبير، على عكس التعبير من المثال السابق، لا يسمح بسجل درجة اللوغاريتم. لماذا ا؟ OTZ متغير X في هذه الحالة هو مزيج من اثنين من الفجوات x\u003e -2 و x<−2 . При x>-2 يمكننا تطبيق عقار اللوغاريتم بهدوء وتتصرف كما تفكيك أعلاه: lG (X + 2) 4 -lg (X + 2) 2 \u003d 4 · LG (X + 2) -2 · LG (X + 2) \u003d 2 · LG (X + 2)وبعد لكن OTZ يحتوي على فترة أخرى من X + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | X + 2 |) 4 -lg (- | X + 2 |) 2 بالإضافة إلى قوة خصائص درجة LG | X + 2 | 4 -lg | X + 2 | 2. يمكن تحويل التعبير الناتج عن طريق LOGARITHM الخاصية، بماذا | X + 2 |\u003e 0 لأي قيم للمتغير. لديك lG | X + 2 | 4 -lg | X + 2 | 2 \u003d 4 · LG | X + 2 | -2 · LG | X + 2 | \u003d 2 · LG | X + 2 |وبعد الآن يمكنك تحرير نفسك من الوحدة، كما فعل وظيفته. منذ أن نجري التحويل في X + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

النظر في مثال آخر بحيث أصبح العمل مع وحدات مألوفة. دعنا نتصور من التعبير انتقل إلى المجموع والفرق بين LOGARIMMS من Bunces الخطي X-1، X-2 و X-3. أولا نجد ...

في الفاصل الزمني (3، + ∞) تكون قيم التعبيرات X-1، X-2 و X-3 إيجابية، لذلك نحن نطبق بهدوء خصائص اللوغاريتمي من المبالغ والاختلافات:

وعلى الفاصل الزمني (1، 2)، تكون قيم التعبير X-1 إيجابية، وقيم التعبيرات X-2 و X-3 هي سلبية. لذلك، في الفاصل الزمني قيد النظر، نقدم X-2 و X-3 باستخدام الوحدة النمطية كما - | X-2 | و - | X-3 | على التوالى. حيث

الآن يمكنك تطبيق خصائص LOGARRITH من العمل والخاصة، كما هو الحال في الفاصل الزمني (1، 2) قيم التعبيرات X-1، | X-2 | و | X-3 | - إيجابي.

لديك

يمكن دمج النتائج:

بشكل عام، تسمح حجج مماثلة لصيغة اللوغاريتم على أساس اللوغاريتم، والعلاقات والدرجات للحصول على ثلاث نتائج مفيدة عمليا، والتي تكون مريحة للغاية للاستخدام:

• LOGARITHM يعمل من تعبيرين تعسفين X و Y من نوع السجل A (x · y) يمكن استبداله ب LOGMARIMMS Log A | X | + Log A | Y | ، A\u003e 0، A ≠ 1.
• LOGARITHM السجل الخاص A (X: Y) يمكن استبداله بالفرق بين LOGARIMMS LOG A | X | - Log A | Y | ، A\u003e 0، A ≠ 1، X و Y - التعبيرات التعسفية.
• من لوغاريتم من بعض التعبير B في درجة أعلى ص من سجل A B P النموذج يمكنك الذهاب إلى التعبير P · سجل A | B | ، حيث\u003e 0، A ≠ 1، P هو رقم حتى و B - تعبير تعسفي.

يتم تقديم نتائج مماثلة، على سبيل المثال، بتعليمات لحل المعادلات الإرشادية واللوغارمية في جمع المشاكل في الرياضيات للمتقدمين في الجامعات بموجب محرري M. I. Scanavi.

مثال.

تبسيط التعبير .

قرار.

سيكون من الجيد تطبيق خصائص اللوغاريتمية والمبالغ والاختلافات. ولكن هل يمكننا أن نفعل ذلك هنا؟ للإجابة على هذا السؤال، نحتاج إلى معرفة OTZ.

نحددها:

من الواضح أن التعبيرات x + 4، x-2 و x-2 و (x + 4) 13 على قيم القيم المسموح بها للمتغير X يمكن أن تأخذ قيم إيجابية وسالبة. لذلك، سنضطر إلى التصرف من خلال الوحدات النمطية.

تتيح لك خصائص الوحدة أن تعيد كتابتها

كما لا شيء يمنع من خاصية درجة اللوغاريتم، ثم إحضار مصطلحات مماثلة إلى:

يؤدي التسلسل الآخر من التحولات إلى نفس النتيجة:

وبما أن التعبير X-2 يمكن أن يأخذ قيم إيجابية وسالبة، ثم عند تقديم معدل حتى درجة 14

المهام التي تكمن حلها تحويل تعبيرات اللوغاريتمي، غالبا ما يجتمع في الامتحان.

للتأمل بنجاح معهم في الحد الأدنى من الوقت باستثناء الهويات اللوغارية الرئيسية، تحتاج إلى معرفة بعض الصيغ واستخدام بعض الصيغ بشكل صحيح.

هذا هو: سجل A B \u003d B، حيث A، B\u003e 0، و ≠ 1 (يتبع مباشرة من تعريف logarithm).

سجل A B \u003d سجل مع B / LOG مع A أو سجل A B \u003d 1 / LOG B A
حيث أ، ب، ج\u003e 0؛ A، C ≠ 1.

سجل A M B N \u003d (M / N) سجل | A | | ب |
حيث a، b\u003e 0، a ≠ 1، m، n є r، n ≠ 0.

وتسجيل مع B \u003d B سجل مع
حيث A، B، C\u003e 0 و A، B، S ≠ 1

لإظهار نزاهة المساواة الرابعة، والدوافير الأيسر والجانب الأيمن من A. نحصل على تسجيل الدخول (وتسجيل الدخول ب) \u003d سجل A (سجل B مع أ) أو سجل مع B \u003d سجل مع سجل A · ب؛ سجل مع B \u003d سجل مع A · (سجل مع B / LOG مع A)؛ تسجيل الدخول مع B \u003d سجل مع ب.

لقد أثبتنا المساواة في اللوغاريثز، مما يعني تساوي التعبيرات تحت اللوغاريثز. ثبت الفورمولا 4.

مثال 1.

حساب 81 سجل 27 5 سجل 5 4.

قرار.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

سجل 27 5 \u003d 1/3 سجل 3 5، سجل 5 4 \u003d سجل 3 4 / Log 3 5. بالتالي،

سجل 27 5 · سجل 5 4 \u003d 1/3 سجل 3 5 · (سجل 3 4 / log 3 5) \u003d 1/3 سجل 3 4.

ثم 81 سجل 27 5 سجل 5 4 \u003d (3 4) 1/3 سجل 3 4 \u003d (3 سجل 3 4) 4/3 \u003d (4) 4/3 \u003d 4 3 √4.

يمكنك إجراء المهمة التالية بشكل مستقل.

حساب (8 سجل 2 3 + 3 1 / log 2 3) - سجل 0.2 5.

كإحزمة 0.2 \u003d 1/5 \u003d 5 -1؛ سجل 0.2 5 \u003d -1.

الجواب: 5.

مثال 2.

حساب (11) سجل. √3 9- سجل 121 81.

قرار.

أداء استبدال التعبيرات: 9 \u003d 3 2، 3 \u003d 3 1/2، سجل √3 9 \u003d 4،

121 \u003d 11 2، 81 \u003d 3 4، سجل 121 81 \u003d 2 سجل 11 3 (تم استخدام صيغة 3).

ثم (11) سجل 3 9- سجل 121 81 \u003d (11 1/2) 4-2 سجل 11 3 \u003d (11) 2- سجل 11 3 \u003d 11 2/11) سجل 11 3 \u003d 11 2 / ( 11 سجل 11 3) \u003d 121/3.

مثال 3.

حساب سجل 2 24 / سجل 96 2- سجل 2 192 / log 12 2.

قرار.

اللوغاريثز الموجودة في المثال، استبدل اللوغاريتمي مع قاعدة 2.

سجل 96 2 \u003d 1 / Log 2 96 \u003d 1 / Log 2 (2 5 · 3) \u003d 1 / (Log 2 2 5 + Log 2 3) \u003d 1 / (5 + Log 2 3)؛

سجل 2 192 \u003d Log 2 (2 6 · 3) \u003d (سجل 2 2 6 + سجل 2 3) \u003d (6 + سجل 2 3)؛

سجل 2 24 \u003d Log 2 (2 3 · 3) \u003d (Log 2 2 3 + Log 2 3) \u003d (3 + Log 2 3)؛

log 12 2 \u003d 1 / Log 2 12 \u003d 1 / Log 2 (2 2 · 3) \u003d 1 / (Log 2 2 2 + Log 2 3) \u003d 1 / (2 + Log 2 3).

ثم سجل 2 24 / Log 96 2 - Log 2 192 / Log 12 2 \u003d (3 + Log 2 3) / (1 / (5 + Log 2 3)) - ((6 + سجل 2 3) / (1 / ( 2 + سجل 2 3)) \u003d

\u003d (3 + Log 2 3) · (5 + Log 2 3) - (6 + Log 2 3) (2 + Log 2 3).

بعد الكشف عن الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، نحصل على الرقم 3. (مع تبسيط التعبير، يمكن تعيين سجل 2 3 عبر N وتبسيط التعبير

(3 + n) · (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).

الجواب: 3.

يمكنك إجراء المهمة التالية بشكل مستقل بشكل مستقل:

حساب (سجل 3 4 + سجل 4 3 + 2) سجل 3 16 · سجل 2 144 3.

من الضروري هنا إجراء انتقال إلى اللوغاريثيمتين بناء على 3 وتحلل على مضاعفات بسيطة للأرقام الكبيرة.

الجواب: 1/2.

مثال 4.

ثلاثة أرقام A \u003d 1 / (سجل 3 0.5)، ب \u003d 1 / (سجل 0.5 3)، C \u003d سجل 0.5 12 - سجل 0.5 3. ضعها في ترتيب تصاعدي.

قرار.

نحن نتحمل الأرقام A \u003d 1 / (سجل 3 0.5) \u003d سجل 0.5 3؛ C \u003d سجل 0.5 12 - سجل 0.5 3 \u003d سجل 0.5 12/3 \u003d سجل 0.5 4 \u003d -2.

قارنهم

سجل 0.5 3\u003e سجل 0.5 4 \u003d -2 وسجل 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

أو 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

إجابه. وبالتالي، فإن إجراءات وضع الأرقام: ج؛ لكن؛ في.

مثال 5.

كم عدد الأعداد الصحيحة الموجودة على الفاصل الزمني (سجل 3 1/16؛ سجل 2 48).

قرار.

نحدد بين درجات الرقم 3 هو الرقم 1/16. نحصل على 1/27.< 1 / 16 < 1 / 9 .

نظرا لأن وظيفة Y \u003d Log 3 X تتزايد، ثم سجل 3 (1/2 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

سجل 6 48 \u003d سجل 6 (36 · 4/3) \u003d سجل 6 36 + سجل 6 (4/3) \u003d 2 + Log 6 (4/3). قارن سجل 6 (4/3) و 1/5. ولهذا، مقارنة الأرقام 4/3 و 6 1/5. أقام كلا الأرقام في 5 درجة. نحصل على (4/3) 5 \u003d 1024/243 \u003d 4 52/243< 6. Следовательно,

سجل 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

وبالتالي، فإن الفاصل الزمني (سجل 3 1/16؛ سجل 6 48) يشمل الفاصل الزمني [-2؛ 4] ويتم وضع الأعداد الصحيحة على ذلك؛ -واحد؛ 0؛ واحد؛ 2؛ 3 أربعة.

الجواب: 7 أعداد صحيحة.

مثال 6.

حساب 3 LGLG 2 / LG 3 - LG20.

قرار.

3 LG LG 2 / LG 3 \u003d (3 1 / LG3) LG LG 2 \u003d (3 LO G 3 10) LG LG 2 \u003d 10 LG LG 2 \u003d LG2.

ثم 3 LGLG2 / LG3 - LG 20 \u003d LG 2 - LG 20 \u003d LG 0.1 \u003d -1.

الجواب: -1.

مثال 7.

ومن المعروف أن السجل 2 (3 + 1) + سجل 2 (6 - 2) \u003d أ. ابحث عن السجل 2 (3 -1) + سجل 2 (6 + 2).

قرار.

الأرقام (3 + 1) و (√3 - 1)؛ (6 - 2) و (√6 + 2) - التعاويير.

سنقوم بإجراء التحول التالي للتعبيرات

3 - 1 \u003d (3 - 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) \u003d 2 / (√3 + 1)؛

6 + 2 \u003d (6 + 2) · (√6 - 2)) / (√6 - 2) \u003d 2 / (6 - 2).

ثم سجل 2 (3 - 1) + Log 2 (6 + 2) \u003d Log 2 (2 / (3 + 1)) + Log 2 (2 / (6 - 2)) \u003d

سجل 2 2 - Log 2 (3 + 1) + Log 2 2 - Log 2 (6 - 2) \u003d 1 - سجل 2 (3 + 1) + 1 - Log 2 (6 - 2) \u003d

2 - سجل 2 (3 + 1) - سجل 2 (6 - 2) \u003d 2 - أ.

الجواب: 2 - أ.

مثال 8..

تبسيط وإيجاد القيمة التقريبية للتعبير (سجل 3 2 · سجل 4 3 · سجل 5 4 · سجل 6 5 · ... سجل 10 9.

قرار.

جميع اللوغاريثيمز نقدمها للقاعدة الإجمالية 10.

(سجل 3 2 · سجل 4 3 · سجل 5 4 · سجل 6 5 · ... سجل 10 9 \u003d (LG 2 / LG 3) · (LG 3 / LG 4) · (LG 4 / LG 5) · ( LG 5 / LG 6) · ... · (LG 8 / LG 9) · LG 9 \u003d LG 2 ≈ 0.3010. (يمكن العثور على قيمة LG 2 التقريبية باستخدام جدول أو خط لوغاريتمي أو آلة حاسبة).

الجواب: 0،3010.

مثال 9..

احسب سجل A 2 B 3 √ (A 11 B -3) إذا كان السجل A B 3 \u003d 1. (في هذا المثال، و 2 B 3 هو قاعدة اللوغاريتم).

قرار.

إذا سجل A B 3 \u003d 1، ثم 3 / (0.5 سجل A B \u003d 1. وسجل A B \u003d 1/6.

ثم قم بتسجيل A 2 B 3√ (a 11 b -3) \u003d 1/2 سجل a 2 b 3 (a 11 b -3) \u003d سجل a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) \u003d (سجل AA 11 + Log AB -3) / (2 (سجل AA 2 + Log AB 3) \u003d (11 - 3log AB) / (2 (2 + 3LOG AB)) بالنظر إلى أن هذا السجل ب \u003d تم الحصول على 1/6 (11 - 3 · 1/6) / (2 (2 + 3 · 1/6)) \u003d 10.5 / 5 \u003d 2.1.

الجواب: 2.1.

يمكنك إجراء المهمة التالية بشكل مستقل بشكل مستقل:

حساب سجل 3 6 2.1 إذا سجل 0.7 27 \u003d أ.

الإجابة: (3 + أ) / (3A).

مثال 10.

حساب 6.5 4 / Log 3 169 · 3 1 / Log 4 13 + Log125.

قرار.

6.5 4 / log 3 169 · 3 1 / log 4 13 + log 125 \u003d (13/2) 4/2 سجل 3 13 · 3 2 / log 2 13 + 2log 5 5 3 \u003d (13/2) 2 سجل 13 3 · 3 2 سجل 13 2 + 6 \u003d (13 سجل 13 3/2 سجل 13 3) 2 · (3 سجل 13 2) 2 + 6 \u003d (3/2 سجل 13 3) 2 · (3 سجل 13 2) 2 + 6 \u003d (3 2 / (2 سجل 13 3) 2) · (سجل 2 3 3) 2 + 6.

(سجل 2 3 3 \u003d 3 سجل 13 2 (الفورمولا 4))

نحصل على 9 + 6 \u003d 15.

الجواب: 15.

لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية العثور على قيمة التعبير اللوغاري؟
للحصول على مساعدة المعلم - سجل.
الدرس الأول مجاني!

مطلوب الموقع، مع نسخ كامل أو جزئي من الإشارة المادية إلى المصدر الأصلي.

تعبيرات اللوغاريتمي، حل الأمثلة. في هذه المقالة، سننظر في المهام المرتبطة بحل اللوغاريتمي. المهام تثير مسألة العثور على قيمة التعبير. تجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم استخدامه في العديد من المهام وفهم معناه مهم للغاية. بالنسبة للاستخدام، يتم استخدام اللوغاريتم في حل المعادلات، في المهام التطبيقية، أيضا في المهام المرتبطة بدراسة الوظائف.

نعطي أمثلة لفهم إحساس اللوغاريتم:

الهوية اللوغارية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمية التي يجب تذكرها دائما:

* لوغاريتم العمل يساوي مجموع لوغاريتمي للعوامل.

* * *

* logaritm الخاص (الكسر) يساوي الفرق في لوغاريتم العوامل.

* * *

* اللوغاريتم تساوي نتاج درجة في لوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

يرتبط حساب اللوغاريتمي ارتباطا وثيقا باستخدام خصائص مؤشرات الدرجة.

قائمة بعض منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عند نقل البسط إلى القاسم، وعلى العكس من ذلك، يتغير علامة المؤشر إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة لهذا العقار:

* * *

عند إنشاء شهادة إلى درجة، تظل المؤسسة هي نفسها، والمؤشرات متغيرة.

* * *

كيف رأيت مفهوم لوغاريتم بسيطة. الشيء الرئيسي هو أن هناك حاجة إلى ممارسة جيدة، مما يعطي مهارة معينة. بالطبع، يجب أن المعرفة بالصيغ. إذا لم يتم تشكيل المهارة في تحويل اللوغاريات الابتدائية، فعندئذ عند حل المهام البسيطة، يمكنك بسهولة السماح للخطأ.

الممارسة، حدد أولا أبسط أمثلة من مسار الرياضيات، ثم انتقل إلى أكثر تعقيدا. في المستقبل، سأظل بالتأكيد كيف يتم حل لوغاراتيات "فظيعة"، لن تكون هناك مثل هذه في الامتحان، لكنها ذات أهمية، لا تفوت!

هذا كل شئ! النجاح لك!

مع خالص التقدير، ألكسندر كروتو

P.S: سأكون ممتنا إذا أخبرت عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

اللوغاريثز، مثل أي أرقام، يمكن طيها، خصم وتحويل. ولكن نظرا لأن اللوغاريثز ليست أرقاما عاديا تماما، فهناك قواعدها التي تسمى الخصائص الأساسية.

يجب أن تعرف هذه القواعد بالضرورة - لا يتم حل أي مهمة خطيرة لوغاريتمي بدونها. بالإضافة إلى ذلك، فهي قليلا - كل شيء يمكن تعلمه في يوم واحد. لذلك، المضي قدما.

إضافة والطرح اللوغاريثز

النظر في اثنين من اللوغاريتم مع نفس القواعد: السجل أ. عاشر وسجل. أ. ذ.وبعد ثم يمكن طيها وخصمها و:

1. سجل. أ. عاشر + سجل. أ. ذ. \u003d سجل. أ. (عاشر · ذ.);
2. سجل. أ. عاشر - سجل. أ. ذ. \u003d سجل. أ. (عاشر : ذ.).

لذلك، فإن كمية اللوغاريتمي تساوي لوغاريتم العمل، والفرق هو اللوغاريتمي من القطاع الخاص. يرجى ملاحظة: نقطة المفتاح هنا نفس الأسبابوبعد إذا كانت المؤسسات مختلفة، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعد هذه الصيغ في حساب تعبير اللوغاريتمي حتى عندما لا يتم النظر في الأجزاء الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة - وتأكد من:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

منذ القواعد في اللوغاريثز هي نفسها، نستخدم مجموع المبلغ:
سجل 6 4 + سجل 6 9 \u003d سجل 6 (4 · 9) \u003d سجل 6 36 \u003d 2.

مهمة. ابحث عن قيمة التعبير: سجل 2 48 - سجل 2 3.

المؤسسات هي نفسها، باستخدام صيغة الفرق:
سجل 2 48 - Log 2 3 \u003d Log 2 (48: 3) \u003d Log 2 16 \u003d 4.

مهمة. ابحث عن قيمة التعبير: سجل 3 135 - سجل 3 5.

مرة أخرى الأسس هي نفسها، لذلك لدينا:
log 3 135 - Log 3 5 \u003d Log 3 (135: 5) \u003d سجل 3 27 \u003d 3.

كما ترون، فإن التعبيرات الأولية تتكون من لوغاراتيات "سيئة"، والتي لا تعتبر بشكل منفصل بشكل منفصل. ولكن بعد التحول، يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. في هذه الحقيقة، يتم بناء العديد من أعمال الاختبار. ولكن ما هو التحكم - يتم تقديم مثل هذه التعبيرات بالكامل (في بعض الأحيان - دون تغيير تقريبا) في الامتحان.

شهادة تنفيذية من لوغاريتم

الآن تعقد القليل من المهمة. ماذا لو في قاعدة أو وسيطة لوغاريتم تكاليف درجة؟ ثم يمكن إخراج مؤشر هذا الحد من علامة اللوجارث وفقا للقواعد التالية:

من السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع أول اثنين. ولكن من الأفضل أن تتذكرها، في بعض الحالات، سوف تقلل بشكل كبير من كمية العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد منطقية إذا كان الامتثال ل LogARIrmm OTZ: أ. > 0, أ. ≠ 1, عاشر \u003e 0. وأيضا: تعلم تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن على العكس من ذلك، I.E. يمكنك إنشاء أرقام تواجه اللوغاريتم، إلى اللوغاريتم نفسها. هذا هو في كثير من الأحيان مطلوب.

مهمة. ابحث عن قيمة التعبير: سجل 7 49 6.

تخلص من الحد في الحجة في الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 \u003d 6 · سجل 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

مهمة. ابحث عن قيمة التعبير:

[التوقيع على الشكل]

لاحظ أنه في المقام، يوجد لوغاريتم، والقاعدة والحجة منها دقة درجات: 16 \u003d 2 4؛ 49 \u003d 7 2. نحن لدينا:

[التوقيع على الشكل]

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب توضيحا. أين اختفت اللوغاريتم؟ حتى اللحظة الأخيرة، نحن نعمل فقط مع القاسم. قدموا الأساس والحجة ل LOGARITHM هناك في شكل درجات وتم تنفيذ مؤشرات - جزء "ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الأساسي. الرقم الموجود في البسط والمقاينة هو نفس الرقم: Log 2 7. منذ Log 2 7 ≠ 0، يمكننا تقليل الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. وفقا لقواعد الحساب، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، الذي تم القيام به. وكانت النتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى قاعدة جديدة

تحدث عن قواعد إضافة وإعطاء اللوغاريتمي، وأكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا إذا كانت المؤسسات مختلفة؟ ماذا لو لم تكن درجات دقيقة من نفس العدد؟

الصيغ للانتقال إلى قاعدة جديدة تأتي إلى الإنقاذ. نحن صياونها في شكل نظرية:

دع لوغاريتم تسجيل الدخول أ. عاشروبعد ثم لأي عدد جيم مثل ذلك جيم \u003e 0 جيم ≠ 1، المساواة الحقيقية:

[التوقيع على الشكل]

على وجه الخصوص، إذا وضعت جيم = عاشرسنحصل على:

[التوقيع على الشكل]

من الصيغة الثانية، يتبع أن قاعدة ووسيطة اللوغاريتمية يمكن تغييرها في الأماكن، ولكن في نفس الوقت تعبير "يتحول"، أي اللوغاريتم تبين أنه في المقام.

هذه الصيغ نادرة في التعبيرات العددية التقليدية. تقييم مدى ملاءمة، من الممكن فقط عند حل المعادلات اللوغارمية وعدم المساواة.

ومع ذلك، هناك مهام غير محملة عموما في أي مكان كنقل إلى قاعدة جديدة. النظر في زوجين:

مهمة. ابحث عن قيمة التعبير: سجل 5 16 · سجل 2 25.

لاحظ أن حجج كلا اللوغاريتمي هي درجات دقيقة. سألخص: سجل 5 16 \u003d سجل 5 2 4 \u003d 4Log 5 2؛ سجل 2 25 \u003d سجل 2 5 2 \u003d 2Log 2 5؛

والآن "عكس" اللوغاريتم الثاني:

[التوقيع على الشكل]

نظرا لأن العمل لا يتغير من إعادة ترتيب المضاعفات، إلا أننا غيرنا هدوءا من الأربعة والأربعة، ثم تم فرزها مع اللوغاريثز.

مهمة. ابحث عن قيمة التعبير: سجل 9 100 · LG 3.

الأساس والحجة لأول لوغاريتم - درجات دقيقة. نحن نكتبها والتخلص من المؤشرات:

[التوقيع على الشكل]

تخلص الآن من اللوغاريتم عشري، عن طريق التحول إلى القاعدة الجديدة:

[التوقيع على الشكل]

الهوية اللوغارية الأساسية

في كثير من الأحيان، يلزم الحل تقديم رقم كقواس لوغاريتم قاعدة محددة. في هذه الحالة، ستساعدنا الصيغ:

في الحالة الأولى ن. يصبح مؤشرا للمدى في الحجة. عدد ن. يمكن أن يكون أي شخص على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتم.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف مخطرة. ويسمى: الهوية اللوغارية الرئيسية.

في الواقع، ماذا سيحدث إذا كان الرقم ب. بناء في مثل هذه الدرجة أن الرقم ب. إلى هذا الحد يعطي الرقم أ.؟ بشكل صحيح: هذا هو الأكثر أ.وبعد قراءة هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - العديد من "تعليق" على ذلك.

مثل الصيغ الانتقالية إلى قاعدة جديدة، فإن الهوية اللوغارية الرئيسية هي في بعض الأحيان الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن قيمة التعبير:

[التوقيع على الشكل]

لاحظ أن سجل 25 64 \u003d Log 5 8 - جعلت مربعا فقط من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد الضرب بالدرجات مع نفس القاعدة، نحصل على:

[التوقيع على الشكل]

إذا لم يكن شخص ما على علم، فقد كانت مهمة حقيقية من EGE :)

وحدة اللوغاريتمي و اللوغاريتمي صفر

في الختام، سأقدم هويتين من الصعب تسمية الخصائص - بل وهذا هو نتيجة تعريف اللوغاريتمي. تم العثور عليها باستمرار في المهام، وهي مفاجئة، وخلق مشاكل حتى بالنسبة للطلاب "المتقدمة".

1. سجل. أ. أ. \u003d 1 هي وحدة لوغاريتمي. سجل مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم على أي أساس أ. من القاعدة ذاتها تساوي واحدة.
2. سجل. أ. 1 \u003d 0 هو logaritmic صفر. يتمركز أ. ربما بطريقة ما، ولكن إذا كانت الوسيطة وحدة - لوغاريتم صفر! لأن أ. 0 \u003d 1 هي نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه هي جميع الخصائص. تأكد من ممارسة تطبيقها في الممارسة! قم بتنزيل CRIB في بداية الدرس، وطباعته - وحل المهام.