طرق إثبات النظرية. بناء البراهين الرياضية
إثبات أي بيان- يعني إظهار أن هذا البيان منطقيًا يتبع من نظام العبارات الصحيحة وذات الصلة.
دليلهي عملية منطقية ، يتم من خلالها إثبات صحة أي بيان بمساعدة بيانات أخرى صحيحة وذات صلة. لهذا ، تم بناء سلسلة محدودة من الاستدلالات ، واستنتاج كل منها (باستثناء الأخير) هو مقدمة في أحد الاستنتاجات اللاحقة.
قوانين المنطق الأساسية:
1. قانون الهوية. كل فكرة ، تكرر نفسها في التفكير ، يجب أن تكون متطابقة مع نفسها.
يعني قانون الهوية أنه في عملية التفكير لا يمكن لأحد أن يستبدل فكرًا بآخر ، أو مفهومًا بآخر. لا يمكن تمرير الأفكار المتطابقة على أنها مختلفة ومختلفة - على أنها متطابقة.
2. قانون التناسق.لا يمكن أن يكون البيان وإنكاره صحيحين في نفس الوقت ؛ واحد منهم على الأقل خاطئ بالضرورة.
إذا وجد تناقض شكلي - منطقي في تفكير الشخص (وكلامه) ، فإن هذا التفكير يعتبر غير صحيح ، والحكم الذي يتبعه التناقض يعتبر خاطئًا.
3. قانون الثلث المستبعد.من بين عبارتين متناقضتين حول نفس الموضوع ، أحدهما صحيح والآخر خاطئ ، والثالث غير معطى.
4. قانون السبب الكافي.يجب إثبات أي بيان صحيح بمساعدة عبارات أخرى ، تم إثبات صحتها.
عندما يتعلق الأمر بالإثبات الرياضي ، يجب عليك:
¾ لديك هذا البيان ، والحقيقة التي تحتاج إلى إثبات ؛
¾ يفهم أن الدليل هو سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية ؛ يتم إجراؤه وفقًا لقواعد وقوانين المنطق ؛
¾ فهم العبارات الصحيحة الأخرى التي يمكن استخدامها في عملية الإثبات.
وفقًا لطريقة الإجراء ، يتم تمييز الأدلة المباشرة وغير المباشرة.
دليل مباشر على البيان A B هو بناء سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية يتم تنفيذها بالتتابع من A إلى B وفقًا لقواعد وقوانين المنطق وباستخدام نظام البيانات ، وقد تم إثبات حقيقته.
(إذا كان هناك ثلاث زوايا مستقيمة في المربعات ، فهو مستطيل)
مثال على الأدلة الظرفيةهو دليل بالتناقض. جوهرها على النحو التالي. افترض أنه مطلوب إثبات النظرية أ ب. في الإثبات بالتناقض ، يُفترض أن استنتاج النظرية (ب) خاطئ ، وبالتالي فإن نفيها صحيح. من خلال ضم الجملة B إلى مجموعة المقدمات الحقيقية المستخدمة في عملية الإثبات (من بينها الشرط A) ، فإنهم يبنون سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية حتى يتم الحصول على بيان يتعارض مع أحد المباني ، وعلى وجه الخصوص ، الشرط A.
(أ + 3> 10 ، ثم 7)
التذكرة 15 مفهوم المراسلات بين المجموعات. طرق ضبط المراسلات. المراسلات المتبادلة - واحد لواحد. مجموعات مكافئة. أمثلة على المراسلات (بما في ذلك واحد لواحد).
دعنا نعطي مثالاً على استخدام الاستقراء غير المكتمل في العمل مع الأطفال في مرحلة ما قبل المدرسة: باستخدام لعبة "حقيبة رائعة" بأشكال هندسية حجمية ، ننبح مهمة الطفل: "احصل على الشكل وقم بتسميته". بعد عدة محاولات ، يفترض الطفل:
كرة. كرة. كرة. ربما توجد كل الكرات هنا.
المهمة 14
اقترح مزيدًا من التفكير للتأكد من أن العبارة صحيحة (أو خاطئة).
لا يمكن المبالغة في التأكيد على أهمية الأدلة في حياتنا وخاصة في العلم. يلجأ الجميع إلى البراهين ، لكنهم لا يفكرون دائمًا في معنى "الإثبات". المهارات العملية للإثبات والأفكار البديهية حوله كافية للعديد من الأغراض اليومية ، ولكن ليس للأغراض العلمية.
لإثبات أي بيان هو إظهار أن هذه العبارة المنطقية تتبع منطقيًا من نظام العبارات الصحيحة وذات الصلة.
الإثبات عملية منطقية لإثبات صحة أي بيان بمساعدة العبارات الأخرى الصحيحة وذات الصلة.
هناك ثلاثة عناصر هيكلية في الإثبات:
1) البيان المطلوب إثباته ؛
2) نظام من البيانات الصحيحة ، بمساعدة حقيقة ما يتم إثباته ؛
3) اتصال منطقي بين ص. 1 و 2.
الطريقة الرئيسية للإثبات الرياضي الاستدلال الاستنتاجي.
في شكله دليلهو استنتاج استنتاجي أو سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية تؤدي من المقدمات الصحيحة إلى بيان مثبت.
في البرهان الرياضي ، ترتيب الاستدلال مهم. حسب طريقة إجراء ، فإنهم يميزون دليل مباشر وغير مباشر.الاستقراء الكامل ، الذي تمت مناقشته في القسم 1.6 ، هو دليل مباشر.
الاستقراء الكامل- أسلوب الإثبات الذي تنبع فيه حقيقة البيان من صدقه في جميع الأحوال الخاصة.
الاستقراء الكاملغالبًا ما يتم استخدامه في الألعاب مع الأطفال في مرحلة ما قبل المدرسة مثل: "الاسم في كلمة واحدة".
مثال على الدليل المباشر لعبارة "مجموع الزوايا في أي رباعي الزوايا 360 درجة":
"النظر في رباعي تعسفي. بعد رسم قطري فيه ، نحصل على مثلثين. مجموع زوايا الشكل الرباعي سيكون مساويًا لمجموع زوايا المثلثين الناتج. نظرًا لأن مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة ، إذن بإضافة 180 درجة و 180 درجة ، نحصل على مجموع الزوايا في مثلثين ، سيكون 360 درجة. وبالتالي ، فإن مجموع الزوايا في أي رباعي الزوايا هو 360 "، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته".
في الدليل المقدم ، يمكن تمييز الاستنتاجات التالية:
1. إذا كان الشكل رباعي الزوايا ، فيمكن رسم قطري فيه ، والذي سيقسم الشكل الرباعي إلى مثلثين. هذا الشكل رباعي الأضلاع. لذلك ، يمكن تقسيمها إلى مثلثين من خلال بناء قطري.
2. مجموع زوايا أي مثلث هو ISO "هذه الأشكال مثلثات ، وبالتالي مجموع زوايا كل منها هو 180 درجة.
3. إذا كان الشكل الرباعي يتكون من مثلثين ، فإن مجموع زواياه يساوي مجموع زوايا هذين المثلثين. يتكون هذا الشكل الرباعي من مثلثين بمجموع زوايا 180 درجة لكل منهما. 180 درجة + 180 درجة = 360 درجة. إذن ، مجموع الزوايا في هذا الشكل الرباعي هو 360 درجة.
يتم إجراء جميع الاستنتاجات المذكورة أعلاه وفقًا لقاعدة الاستنتاج ، وبالتالي فهي استنتاجية.
مثال على الأدلة الظرفية هو الدليل بالتناقض. الخامس في هذه الحالة اعترفأن النتيجة خاطئة ، وبالتالي فإن نفيها صحيح. بعد إرفاق هذه الجملة بمجموع المقدمات الحقيقية ، فإنهم ينفذون التفكير حتى يحصلوا على تناقض.
دعونا نعطي مثالاً عن برهان من خلال تناقض النظرية: "إذا سطرين أ و ب موازية للخط الثالث ج ، فهما متوازيتان ":
"افترض ذلك مباشرة أ و ب ليست متوازية ، ثم ستتقاطع عند نقطة ما لا تنتمي إلى الخط ج. بعد ذلك ، عبر النقطة A ، يمكننا رسم خطين مستقيمين أ و ب متوازيين مع ج. هذا يتناقض مع بديهية التوازي:
8. صياغة قواعد التحديد الواضح من خلال اختلاف الجنس والأنواع.
9. ما يسمى التعريف:
سياقية
مذكور؟
10. ما هو البيان ، وما هو شكل البيان؟
11. عندما تكون الجمل من النوع "A و B" ، "A أو B" ، "Not A" صحيحة ، ومتى تكون خاطئة؟
12. ضع قائمة بالمحددات الكمية للعموم ومحددات الوجود. كيف تحدد قيمة الحقيقة للجمل بمحددات كمية مختلفة؟
13. متى توجد علاقة تالية بين الجمل ومتى تكون علاقة التكافؤ؟ كيف يتم تعيينهم؟
14. ما هو الاستدلال؟ ما يسمى الاستدلال الاستنتاجي؟
15. باستخدام الرموز ، اكتب قواعد الاستنتاج ، وقاعدة النفي ، وقاعدة القياس.
16. ما هي الاستنتاجات التي تسمى الاستقراء غير الكامل ، وما هي الاستدلالات عن طريق القياس؟
17. ماذا يعني إثبات بيان؟
18. ما هو الدليل الرياضي؟
19. أعط تعريف الاستقراء الكامل.
20. ما هي المغالطات؟
الوصف الببليوغرافي: Grigoriev K.V. ، Ochirova AB ، Sarangov AA ، Barlykova S.S. ، Muchkaeva GM مجموعة متنوعة من طرق الإثبات الرياضي // عالم شاب. - 2017. - رقم 1. - س 45-46.03.2019).
بالحديث عن الدليل ، في الحياة اليومية ، فإننا نعني التحقق من البيان المصوغ. تختلف مفاهيم التحقق والإثبات من حيث الجوهر في الرياضيات ، على الرغم من وجود علاقة بينهما.
لنثبت أنه إذا كانت ثلاث زوايا في الشكل الرباعي تساوي 90 درجة ، فإن هذا الشكل الرباعي هو مستطيل.
اعتبر شكلًا رباعيًا بثلاث زوايا يساوي 90 درجة. لنقيس الزاوية الرابعة ونوجد قياس درجتها. لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه سيكون مباشرًا أيضًا. هذا النوع من التحقق يؤكد هذا البيان ، لكنه لا يشكل دليلاً.
لإثبات هذا البيان ، من الضروري النظر في رباعي الزوايا بثلاث زوايا تساوي 90 درجة. نظرًا لأن مجموع الزوايا في أي شكل رباعي محدب هو 360 درجة ، فإن الزاوية المرغوبة هي 90 درجة (360 درجة - 90 درجة * 3). المستطيل هو رباعي الزوايا مستقيمة الزوايا. هذا يعني أن هذا الشكل الرباعي سيكون مستطيلاً. Q.E.D.
يتكون معنى الدليل المنجز من التسلسل التالي من العبارات الصحيحة: النظريات ، والبديهيات ، والتعريفات ، التي يتبع منها البيان الذي سيتم إثباته منطقيًا. إن إثبات بيان يعني إظهار أن بيانًا معينًا يتبع منطقيًا عددًا من العبارات الصحيحة وذات الصلة.
إذا كان التأكيد المعني ينبع منطقيًا من التأكيدات المثبتة بالفعل ، فإنه يكون مبررًا وصحيحًا. تعمل الطريقة الاستنتاجية كأساس للإثبات الرياضي. والدليل نفسه بمثابة سلسلة من الاستدلالات ، واستنتاج كل منها ، باستثناء الأخير ، هو مقدمة في أحد الاستنتاجات اللاحقة.
يمكن تمييز الاستنتاجات التالية في الدليل المدروس:
- في أي شكل رباعي محدب ، يكون مجموع الزوايا 360 درجة ؛ هذا الشكل رباعي الزوايا محدب ، لذلك مجموع الزوايا فيه 360 درجة ؛
- إذا كان مجموع زوايا رباعي الزوايا ومجموع ثلاثة منهم معروفًا ، فبإمكانك إيجاد قيمة الرابع عن طريق الطرح ؛ مجموع زوايا هذا المربع هو 360⁰ ، ومجموع الثلاثة هو 270⁰ (90⁰ · 3 = 270⁰) ، ثم بتحديد الفرق بينهما ، نجد الزاوية المطلوبة تساوي 90⁰ ؛
- إذا كانت جميع الزوايا في رباعي الزوايا صحيحة ، فإن هذا المربع يكون مستطيلًا ؛ في حالتنا ، جميع الزوايا في رباعي الزوايا صحيحة ، ومن ثم فهي مستطيل.
يتم تنفيذ جميع الاستنتاجات المعتبرة وفقًا لقاعدة الاستنتاج ، وبالتالي فهي استنتاجية.
يتكون الدليل الأبسط من استنتاج واحد. هذا ، على سبيل المثال ، هو دليل على البيان أن 5
بالنظر إلى بنية الدليل الرياضي ، فإننا نفهم أنه ، أولاً وقبل كل شيء ، يتضمن بيانًا يتم إثباته ، ونظامًا من البيانات الصحيحة يتم بواسطته إجراء الإثبات.
من المهم أيضًا ملاحظة أن الدليل الرياضي ليس مجرد مجموعة من الاستدلالات ، بل الاستنتاجات مرتبة بترتيب معين.
وفقًا لطريقة الإجراء ، يتم تمييز الأدلة المباشرة وغير المباشرة. الدليل الذي تم اعتباره سابقًا مباشر - في ذلك ، بناءً على اقتراح حقيقي منفصل ومع مراعاة شروط النظرية ، تم ربط سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية ، مما أدى مباشرة إلى استنتاج حقيقي.
مثال على الأدلة الظرفية هو دليل متناقض. جوهرها هو كما يلي: دعها مطلوبة لإثبات النظرية أ ⇒ ب. عند الإثبات بالتناقض ، يُفترض أن استنتاج النظرية (ب) خاطئ ، وبالتالي فإن نفيها سيكون صحيحًا. بإضافة الجملة "ليس B" إلى مجموعة المقدمات الصحيحة المستخدمة في عملية الإثبات (من بينها الشرط أ) ، فإننا ننفذ سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية حتى نحصل على بيان يتعارض مع أحد المقدمات ، وعلى وجه الخصوص ، الشرط أ. كيف يتم إنشاء مثل هذا التناقض فقط ، تنتهي عملية الإثبات ويصل المرء إلى استنتاج مفاده أن التناقض الناتج يثبت صحة النظرية أ ، ب.
المشكلة 1. برهن أنه إذا كانت + 2> 10 ، ثم х ≠ 8. طريقة عن طريق التناقض.
المشكلة 2. أثبت أنه إذا كان y2 عددًا زوجيًا ، فإن y يكون عددًا زوجيًا. الطريقة عن طريق التناقض.
المشكلة الثالثة: تحصل على أربعة أعداد طبيعية متتالية. هل صحيح أن حاصل ضرب وسيلة هذا التسلسل أكبر من حاصل ضرب الطرف بمقدار 2؟ طريقة الحث غير المكتملة.
الاستقراء الكامل هو طريقة إثبات تنبع فيها حقيقة البيان من حقيقته في جميع الحالات الخاصة.
المشكلة 4. إثبات أن كل عدد طبيعي مركب أكبر من 4 ولكن أقل من 20 يمكن تمثيله كمجموع اثنين من الأعداد الأولية.
وبالتالي ، فإن الدليل الرياضي هو تفكير لغرض إثبات حقيقة أي بيان (نظرية) ، سلسلة من الاستدلالات المنطقية توضح أنه ، بشرط أن تكون مجموعة معينة من البديهيات وقواعد الاستدلال صحيحة ، فإن البيان صحيح.
المؤلفات:
- علم الهندسة / 7-9 درجات: كتاب مدرسي. للتعليم العام. المؤسسات / [L. S. Atanasyan ، V. F. Butuzov ، S. B. Kadomtsev]. - 21 إد. - م: التعليم ، 2011.
محاضرة 10. طرق الإثبات الرياضي
1. طرق الإثبات الرياضي
2. دليل مباشر وغير مباشر. الإثبات بالتناقض.
3. النتائج الرئيسية
في الحياة اليومية ، عندما يتحدثون عن الدليل ، فإنهم غالبًا ما يقصدون مجرد التحقق من البيان المذكور. في الرياضيات ، التحقق والإثبات شيئان مختلفان ، وإن كانا مرتبطين. لنفترض ، على سبيل المثال ، أنه مطلوب إثبات أنه إذا كان رباعي الزوايا له ثلاث زوايا مستقيمة ، فهو مستطيل.
إذا أخذنا أي شكل رباعي بثلاث زوايا مستقيمة ، وقمنا بقياس الزاوية الرابعة ، وتأكدنا من أنها مستقيمة بالفعل ، فإن هذا الفحص سيجعل هذا البيان أكثر منطقية ، ولكن لم يتم إثباته بعد.
لإثبات هذا البيان ، ضع في اعتبارك رباعي الزوايا التعسفي حيث تكون الزوايا الثلاثة عبارة عن خطوط مستقيمة. نظرًا لأن مجموع الزوايا في أي شكل رباعي محدب هو 360 درجة ، فهو 360 درجة في هذه الزاوية. مجموع الزوايا الثلاث القائمة هو 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) ، وبالتالي فإن قياس الزوايا الرابعة هو 90⁰ (360⁰ - 270⁰). إذا كانت جميع زوايا الشكل الرباعي مستقيمة ، فهذا مستطيل ، لذلك ، هذا الرباعي سيكون مستطيلاً. Q.E.D.
لاحظ أن جوهر الدليل يكمن في بناء مثل هذا التسلسل من العبارات الصحيحة (النظريات ، البديهيات ، التعريفات) ، التي يتبع منها البيان المراد إثباته منطقيًا.
عموما إن إثبات أي بيان يعني إظهار أن هذا البيان منطقيًا ينبع من نظام العبارات الصحيحة وذات الصلة.
في المنطق ، يُعتقد أنه إذا كانت العبارة المعنية تتبع منطقيًا من البيانات المثبتة بالفعل ، فهي مبررة وصحيحة تمامًا مثل الأخيرة.
وبالتالي ، فإن أساس الدليل الرياضي هو الاستدلال الاستنتاجي. والدليل نفسه عبارة عن سلسلة من الاستدلالات ، واستنتاج كل منها (باستثناء الأخير) هو مقدمة في أحد الاستنتاجات اللاحقة.
على سبيل المثال ، في الدليل أعلاه ، يمكن إبراز الاستنتاجات التالية:
1. في أي شكل رباعي محدب ، يكون مجموع الزوايا 360 درجة ؛ هذا الشكل هو شكل رباعي محدب ، لذلك مجموع الزوايا فيه هو 360 درجة.
2. إذا كنت تعرف مجموع كل زوايا المربع ومجموع ثلاثة منهم ، فبإمكانك إيجاد قيمة الرابع عن طريق الطرح ؛ مجموع زوايا هذا الشكل الرباعي هو 360⁰ ، ومجموع الثلاثة هو 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) ، ثم قيمة الرابع هي 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.
3. إذا كانت جميع الزوايا صحيحة في الشكل الرباعي ، فهذا الشكل الرباعي مستطيل. في هذا الشكل الرباعي ، جميع الزوايا قائمة ، وبالتالي فهو مستطيل.
يتم إجراء جميع الاستنتاجات المذكورة أعلاه وفقًا لقاعدة الاستدلال ، وبالتالي فهي استنتاجية.
يتكون الدليل الأبسط من استنتاج واحد. هذا ، على سبيل المثال ، هو دليل على البيان أن 6< 8.
لذا ، عند الحديث عن هيكل البرهان الرياضي ، يجب أن نفهم أنه ، أولاً وقبل كل شيء ، يتضمن البيان الذي يتم إثباته ، ونظام العبارات الصحيحة التي يتم من خلالها إجراء الإثبات.
وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن الدليل الرياضي ليس مجرد مجموعة من الاستدلالات ، بل هو استدلالات مرتبة بترتيب معين.
حسب طريقة إجراء (في الشكل) يميزون مباشر و غير مباشر دليل. كان الدليل الذي تم النظر فيه سابقًا مباشرًا - في ذلك ، بناءً على اقتراح حقيقي معين ومع مراعاة شروط النظرية ، تم بناء سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية ، مما أدى إلى استنتاج حقيقي.
مثال على الأدلة الظرفية هو الدليل بالتناقض . جوهرها على النحو التالي. افترض أنه مطلوب لإثبات النظرية
أ ⇒ ب في البرهان بالتناقض ، يفترض أن استنتاج النظرية (ب) خاطئ ، وبالتالي فإن نفيها صحيح. من خلال إرفاق الجملة "ليس B" بمجموعة المقدمات الصحيحة المستخدمة في عملية الإثبات (من بينها أيضًا الشرط أ) ، فإنهم يبنون سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية حتى يتم الحصول على بيان يتعارض مع أحد المباني و ، على وجه الخصوص ، الشرط أ. كيف يتم إنشاء مثل هذا التناقض فقط ، تنتهي عملية الإثبات ، ويقال أن التناقض الناتج يثبت صحة النظرية
المشكلة 1. برهن على أنه إذا كانت a + 3> 10 ، ثم a 7. الطريقة عن طريق التناقض.
المشكلة 2. أثبت أنه إذا كان x2 عددًا زوجيًا ، فإن x يكون عددًا زوجيًا. الطريقة عن طريق التناقض.
المشكلة الثالثة: تحصل على أربعة أعداد طبيعية متتالية. هل صحيح أن حاصل ضرب وسيلة هذا التسلسل أكبر من حاصل ضرب الطرف بمقدار 2؟ طريقة الحث غير المكتملة.
الاستقراء الكامل- وهي طريقة إثبات تنبع فيها حقيقة القول من صدقه في جميع الحالات الخاصة.
المشكلة 4. إثبات أن كل عدد طبيعي مركب أكبر من 4 ولكن أقل من 20 يمكن تمثيله كمجموع اثنين من الأعداد الأولية.
المشكلة 5. هل صحيح أنه إذا كان العدد الطبيعي n ليس من مضاعفات 3 ، فإن قيمة التعبير n² + 2 هي مضاعف 3؟ طريقة الحث الكامل.
يخبر الكتيب ، بلغة يسهل الوصول إليها لغير المتخصصين ، عن بعض المبادئ الأساسية التي يُبنى عليها علم الرياضيات: كيف يختلف مفهوم البرهان الرياضي عن مفهوم الإثبات المعتمد في العلوم الأخرى وفي الحياة اليومية ، ماذا؟ تُستخدم طرق البرهان البسيطة في الرياضيات ، كيف مفهوم الدليل "الصحيح" لماهية الطريقة البديهية ، ما هو الفرق بين الحقيقة والإثبات.
لمجموعة كبيرة جدًا من القراء ، بدءًا من طلاب المدارس الثانوية.
الرياضيات والأدلة.
حتى الشخص غير المألوف بالرياضيات ، الذي يلتقط كتابًا عن الرياضيات ، يمكنه ، كقاعدة عامة ، أن يقرر على الفور أن هذا الكتاب هو حقًا في الرياضيات ، وليس في بعض المواد الأخرى. والنقطة ليست فقط أنه سيكون هناك بالضرورة العديد من الصيغ: فهناك صيغ في كتب الفيزياء أو علم الفلك أو بناء الجسور. الحقيقة هي أنه في أي كتاب جاد عن الرياضيات ، هناك دليل بالتأكيد. إنها قابلية إثبات العبارات الرياضية ، ووجود البراهين في النصوص الرياضية - وهذا هو أكثر ما يميز الرياضيات بوضوح عن مجالات المعرفة الأخرى.
المحاولة الأولى لتغطية جميع الرياضيات في أطروحة واحدة قام بها عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس في القرن الثالث قبل الميلاد. نتيجة لذلك ، ظهرت "مبادئ" إقليدس الشهيرة. وحدثت المحاولة الثانية فقط في القرن العشرين بعد الميلاد. هـ ، وهي ملك لعالم الرياضيات الفرنسي نيكولاس بورباكي ، الذي بدأ في عام 1939 بنشر أطروحة متعددة الأجزاء "مبادئ الرياضيات". بهذه العبارة يفتح بوربكي أطروحته: "منذ زمن الإغريق ، فإن قول" رياضيات "يعني قول" إثبات "." وهكذا ، فإن "الرياضيات" و "الإثبات" - تم اعتبار هاتين الكلمتين مترادفتين تقريبًا.
جدول المحتويات
الرياضيات والبرهان
على دقة وعدم غموض المصطلحات الرياضية
براهين العد
دليل غير مباشر على الوجود. مبدأ ديريتشليت
الدليل بالتناقض
مبادئ العدد الأصغر والأكبر وطريقة النسب اللانهائية
الحث
البراهين عن طريق الاستقراء الرياضي
الاستقراء الكامل والاستقراء غير الكامل
تتغير فكرة البرهان الرياضي بمرور الوقت
طريقتان بديهية - رسمية وغير رسمية
طريقة بديهية غير رسمية
طريقة بديهية رسمية
نظرية جوديل.
قم بتنزيل الكتاب الإلكتروني مجانًا بتنسيق مناسب ، شاهد واقرأ:
قم بتنزيل كتاب أبسط الأمثلة على البراهين الرياضية ، Uspensky V.A. ، 2009 - fileskachat.com ، تنزيل سريع ومجاني.