ل تعتبر تقديرات احتمال حدوث حدوث أي حدث عشوائي مهم للغاية تمثله بشكل مسبقي ما إذا كان احتمال ظهور احتمالية أحداث اهتمام الولايات المتحدة عن كيفية تطوير الأحداث الأخرى.

في حالة مخطط كلاسيكي، عندما تكون جميع النتائج على قدم المساواة حتى، يمكننا بالفعل تقييم قيم احتمالية فرد من الاهتمام بنا بشكل مستقل. يمكننا أن نفعل ذلك حتى لو كان الحدث مجموعة معقدة من العديد من النتائج الأولية. وإذا حدث العديد من الأحداث العشوائية في وقت واحد أو بالتتابع؟ كيف يؤثر هذا على احتمال أحداث الاهتمام بالنسبة لنا؟

إذا قمت بإلقاء عظم اللعب عدة مرات، وأريد أن أسقط "ستة"، وأنا لست محظوظا طوال الوقت، فهذا يعني أنه من الضروري زيادة الرهان، لأنه، وفقا لنظرية الاحتمالات، أنا 'م على وشك أن تأخذ حظا؟ للأسف، لن توافق نظرية الاحتمال أي شيء من هذا القبيل. لا العظام ولا البطاقة ولا عملة لا أعرف كيفية حفظ ما أظهروه لنا آخر مرة. إنهم لا يهتمون تماما، لأول مرة أو في الوقت العاشر اليوم، وأعربوا عن مصيري. في كل مرة أكرر فيها رمي، أعرف شيئا واحدا فقط: هذه المرة احتمال تعايش "ستة" مرة أخرى سادسا. بالطبع، هذا لا يعني أن الرقم الذي تحتاجه لن يسقط أبدا. هذا يعني فقط حقيقة أن خسارتي بعد المرمى الأولى وبعد أي أحداث إلقاء مستقل أخرى.

الأحداث A و B تسمى مستقلإذا لم يؤثر تنفيذ أحدهم على احتمال حدوث حدث آخر. على سبيل المثال، لا تعتمد احتمالات الهزيمة على الهدف الأول من سلاحين على ما إذا كان الهدف قد ضرب أداة أخرى، وبالتالي فإن الأحداث "ضربت البندقية الأولى الهدف" و "الأداة الثانية ضرب الهدف" المستقل.

إذا كان هناك حدثان أما ومستقلا واحدا، فإن احتمال كل منهم معروف، يمكن حساب احتمالية الحدوث والفعاليات المتزامنة A، والأحداث الواردة في (المعينة (المعينة) باستخدام Theorem التالي.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة

P (AB) \u003d p (a) * p (b) - احتمالا متزامنة بداية اثنين مستقل الأحداث المساوية عملاحتمالات هذه الأحداث.

مثال.احتمالات دخول الهدف في إطلاق النار للأدوات الأولى والثانية متساوية على التوالي: P 1 \u003d 0.7؛ ص 2 \u003d 0.8. ابحث عن احتمال الدخول في طائرة واحدة مع كل من البنادق في نفس الوقت.

قرار:كما رأينا بالفعل الأحداث A (ضرب البندقية الأولى) وفي (ضرب الأداة الثانية) مستقلة، I.E. P (AV) \u003d p (a) * p (c) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0.56.

ماذا يحدث تقديراتنا إذا كانت الأحداث المصدر غير مستقلة؟ دعنا نغير المثال السابق قليلا.

مثال.سهامان في مسابقات تبادل لاطلاق النار أهداف، وإذا أطلق أحدهم يطلق النار على الملصق، يبدأ الخصم في أن يكون عصبيا، وتدهور نتائجها. كيفية تحويل هذا الوضع اليومي إلى مهمة رياضية وطرق مخطط لها لحلها؟ بديهية أنه من الضروري تقسيم الخيارين بطريقة أو بأخرى لتطوير الأحداث، لتجميع سيناريوهات، مهمتان مختلفتان. في الحالة الأولى، إذا غاب الخصم، فإن البرنامج النصي سيكون مواتيا للرياضي العصبي وستكون دقتها أعلى. في الحالة الثانية، إذا أدرك الخصم لائق الفرصة له، فإن احتمال ضرب الهدف للرياضي الثاني يتم تقليله.

لفصل السيناريوهات المحتملة (غالبا ما يطلق عليهم الفرضيات)، سنبحث في كثير من الأحيان مخطط "شجرة الاحتمالات". هذا المخطط مشابه في معنى مشاركة شجرة القرارات التي ربما تعرضت لها بالفعل للتعامل معها. كل فرع هو سيناريو منفصل لتطوير الحدث، والآن فقط لديها قيمة خاصة به لما يسمى الشرط احتمال (Q 1، Q 2، Q 1 -1، Q 2 -1).

هذا المخطط مناسب جدا لتحليل الأحداث العشوائية المتتالية.

يبقى معرفة سؤال مهم آخر: أين تأتي قيم الاحتمالات الأولية من المواقف الحقيقية ؟ بعد كل شيء، تعمل نظرية الاحتمالات مع نفس العملات المعدنية والعب العظام؟ عادة ما تؤخذ هذه التقديرات من الإحصاءات، وعندما لا توجد معلومات إحصائية، ننفذ أبحاثنا الخاصة. وغالبا ما يكون من الضروري بدء تشغيله من جمع البيانات، ولكن من السؤال، ما هي المعلومات التي يجب أن نحتاجها.

مثال.لنفترض أننا نحتاج إلى تقييمها في المدينة التي يبلغ عدد سكانها مائة ألف سكان حجم السوق لمنتج جديد، وهو ليس الموضوع، على سبيل المثال، للحصول على بلسم لرعاية الشعر المطلية. النظر في مخطط "شجرة الاحتمالات". في الوقت نفسه، فإن قيمة الاحتمالية على كل "فرع" نحتاج إلى تقييم تقريبا. لذلك، تقديرات سعة السوق لدينا:

1) من جميع سكان مدينة النساء 50٪،

2) من جميع النساء فقط 30٪ الشعر الطلاء في كثير من الأحيان،

3) منهم فقط 10٪ استمتع بلسم للشعر المطلية،

4) من هذه، 10٪ فقط يمكنهم الحصول على الشجاعة لتجربة منتج جديد،

5) من هؤلاء، 70٪ عادة ما يشتري كل شيء منا، ولكن من منافسينا.

قرار:وفقا لقانون مضاعفة الاحتمالات، نحدد احتمال أحداث الفائدة بالنسبة لنا \u003d (أحد المقيمين في المدينة يشتري هذا البلسم الجديد) \u003d 0.00045.

اضرب هذه القيمة من احتمال عدد سكان المدينة. نتيجة لذلك، لدينا 45 مشترين محتملين فقط، وإذا اعتبرنا أن فقاعة واحدة من هذا الصندوق كافية لعدة أشهر، فإن التجارة ليست مشغولة للغاية.

ومع ذلك، هناك فوائد من تقديراتنا.

أولا، يمكننا مقارنة تنبؤات الأفكار التجارية المختلفة، في المخططات، سيكون لديهم "تنمية" مختلفة، بطبيعة الحال، ستكون قيم الاحتمالية مختلفة أيضا.

ثانيا، كما تكلمنا بالفعل، فإن قيمة عشوائية ليست لأنها تسمى عشوائيا أنها لا تعتمد على أي شيء. فقط لها دقيق القيمة غير معروفة مقدما. نحن نعلم أن متوسط \u200b\u200bعدد المشترين يمكن زيادة (على سبيل المثال، بمساعدة الإعلان عن منتج جديد). لذلك من المنطقي التركيز على تلك "التنمية"، حيث لا يناسبنا توزيع الاحتمالات بشكل خاص، على العوامل التي يمكننا التأثير عليها.

النظر في مثال كمي آخر لدراسة سلوك العملاء.

مثال.خلال النهار، يزور سوق الطعام ما معدله 10،000 شخص. احتمال أن يأتي زائر السوق في جناح منتجات الألبان هو 1/2. ومن المعروف أنه في هذا الجناح في المتوسط \u200b\u200bللبيع يوميا 500 كجم من مختلف المنتجات.

هل من الممكن أن يجادل أن متوسط \u200b\u200bالشراء في الجناح يزن 100 غرام فقط؟

مناقشة.بالطبع، من المستحيل. من الواضح أنه ليس كل شخص ذهب إلى الجناح، نتيجة لذلك، اشترى شيء ما هناك.

كما هو مبين في الرسم البياني للإجابة على مسألة متوسط \u200b\u200bوزن عملية الشراء، يجب أن نجد الإجابة على السؤال، ما هو احتمال أن يشتري الشخص الذي جاء إلى الجناح شيئا هناك. إذا لم تكن هناك مثل هذه البيانات تحت تصرفنا، ونحن بحاجة إليها، فسيتعين عليك الحصول عليها بنفسك، بعد مشاهدة زوار الجناح لبعض الوقت. لنفترض أن ملاحظاتنا أظهرت أن خمس زوار الجناح فقط يشتري شيئا ما.

بمجرد الحصول على هذه التقديرات من قبلنا، تصبح المهمة بسيطة. من بين 10،000 شخص يأتون إلى السوق، سيدخل 5000 جناح منتجات الألبان، والتسوق سيكون فقط 1000. متوسط \u200b\u200bوزن الشراء هو 500 جرام. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه من أجل بناء صورة كاملة لما يحدث، يجب تحديد منطق "بريزر" الشرطي في كل مرحلة من مراحل منطقنا وكذلك إذا عملنا مع وضع "محدد"، وليس مع الاحتمالات.

مهام الاختبار الذاتي

1. لنفترض أن هناك دائرة كهربائية تتكون من سلسلة N من العناصر المتصلة، كل منها يعمل بشكل مستقل عن البقية.

يعرف احتمال ص في ترتيب كل عنصر. تحديد احتمال تشغيل مساحة السلسلة بأكملها (حدث أ).

2. يعرف الطالب 20 من أصل 25 أسئلة امتحان. ابحث عن احتمال أن يعرف الطالب الأسئلة الثلاثة التي تقدمها به.

3. يتكون الإنتاج من أربع خطوات متتالية، في كل منها تعمل المعدات، التي تساوي احتمالات الفشل في الشهر المقبل P 1، P 2، P 3 و P 4. ابحث عن احتمالية أنه في غضون شهر لن يكون هناك محطة واحدة للإنتاج بسبب خلل المعدات.

الأحداث التي تحدث حقا أو في خيالنا يمكن تقسيمها إلى 3 مجموعات. هذه هي الأحداث الموثوقة التي ستتحدث بالتأكيد، والأحداث المستحيلة والأحداث العشوائية. دراسة نظرية الاحتمالات من قبل الأحداث العشوائية، أي. الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث. ستقدم هذه المقالة في شكل قصير من نظرية احتمال الصيغ وأمثلة على حل المشكلات الناجمة عن نظرية الاحتمالية التي ستكون في 4 مهام في الرياضيات EE (مستوى الملف الشخصي).

لماذا تحتاج نظرية الاحتمالات

من الناحية التاريخية، نشأت الحاجة إلى دراسة هذه المشكلات في القرن السابع عشر فيما يتعلق بتطوير ومحترفين من المقامرة ومظهر كازينو. كانت ظاهرة حقيقية تتطلب دراسته وأبحاثه.

لعبة البطاقات والعظام والروليت تم إنشاؤها في المواقف عند حدوث أي من العدد المحدود من الأحداث المتساوية. كانت هناك حاجة لإعطاء تقييمات عدديية إمكانية حدوث حدث واحد أو آخر.

في القرن العشرين، اتضح أن هذا العلم التافؤي يلعب دورا مهما في معرفة العمليات الأساسية التي تحدث في ميكرومتر. تم إنشاء نظرية الاحتمالات الحديثة.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالية

الهدف من دراسة نظرية الاحتمالية هو الأحداث واحتمالاتها. إذا كان الحدث معقدا، فيمكن تقسيمه إلى مكونات بسيطة من السهل العثور على احتمالاته.

يطلق على مجموع الأحداث A و B حدث ج، والتي تتكون في حقيقة أن هناك إما حدث أ، أو حدث في أو أحداث في نفس الوقت.

وتسمى عمل الأحداث A و B حدثا مع الاعتبار أن الحدث حدث الحدث.

تسمى الأحداث A و B الاهتمام إذا كان لا يمكن أن تحدث في وقت واحد.

يطلق عليه الحدث A المستحيل إذا كان لا يمكن أن يحدث. يشار إلى هذا الحدث بالرمز.

حدث ما يسمى موثوقية إذا كان بالتأكيد يحدث. يشار إلى هذا الحدث بالرمز.

دع كل حدث يتوافق مع الرقم P (A). يسمى هذا الرقم p (a) احتمال الحدث A، إذا تم تلبية الشروط التالية مع هذا الامتثال.

حالة معينة مهمة هي الموقف عند وجود نتائج أولية سليمة بنفس القدر، ويتم تشكيل النتائج التعسفية من قبل الأحداث A. في هذه الحالة، يمكن إدخال الاحتمال من قبل الصيغة. يسمى الاحتمالية المفروضة بهذه الطريقة احتمال كلاسيكي. يمكن إثبات أنه في هذه الحالة يتم إجراء خصائص 1-4.

ترتبط المهام الناجمة عن نظرية الاحتمالات الموجودة في الامتحان في الرياضيات بشكل أساسي بالاحتمال الكلاسيكي. هذه المهام يمكن أن تكون بسيطة للغاية. بسيطة خاصة هي المهام في نظرية الاحتمالات في خيارات العرض التوضيحي. من السهل حساب عدد النتائج المواتية، مباشرة في الحالة مكتوبة عدد جميع النتائج.

يتم الحصول على الإجابة من قبل الصيغة.

مثال على مهمة من كلمة الرياضيات لتحديد الاحتمالية

على الطاولة تكمن 20 فطائر - 5 مع الملفوف، 7 مع التفاح و 8 مع الأرز. مارينا تريد أن تأخذ بات. ما هو احتمال أن تأخذ بات مع الأرز؟

قرار.

في المجموع النتائج الأولية المساواة 20، أي أن مارينا يمكن أن تأخذ أي من الفطائر 20. لكننا نحتاج إلى تقدير احتمال أن تأخذ المرسى بيدريت مع الأرز، وهذا هو، حيث هو اختيار دمية مع الأرز. وهذا يعني أن لدينا عدد من النتائج المواتية (انتخابات الفطائر مع الأرز) فقط 8. ثم سيتم تحديد الاحتمالية من قبل الصيغة:

أحداث مستقلة وعكسية وتعسفية

ومع ذلك، في البنك المفتوح، بدأت المهام في تلبية المهام الأكثر تعقيدا. لذلك، إيلاء الاهتمام للقارئ وغيرها من القضايا التي تمت دراستها في نظرية الاحتمالات.

تسمى الأحداث A و B مستقلة إذا لم يعتمد احتمال كل منهم على ما إذا كان حدث آخر حدث.

الحدث ب هو أن الحدث لا يحدث، أي الحدث B هو عكس الحدث A. احتمال الحدث المعاكس يساوي واحدة ناقص احتمال حفل مباشر، أي وبعد

نظرية الجمع والضرب من الاحتمالات، الصيغ

للأحداث التعسفية A واحتمال مقدار هذه الأحداث يساوي مجموع احتمالاتهم دون احتمال حالتهم المشتركة، أي. وبعد

بالنسبة للأحداث المستقلة، أ، وفي احتمالية عمل هذه الأحداث تساوي نتاج احتمالاتها، أي. في هذه الحالة .

تسمى آخر 2 عبارة نظرية إضافة الإحتمالات والضرب.

لا تحسب دائما عدد النتائج بسيطة للغاية. في بعض الحالات، من الضروري استخدام الصيغ المختلط. في هذه الحالة، فإن الأهم هو حساب عدد الأحداث التي تلبي شروط معينة. في بعض الأحيان يمكن أن يصبح هذا النوع من العد مهام مستقلة.

كم عدد الطرق التي يمكنني الجلوس فيها 6 طلاب في 6 أماكن مجانية؟ أول طالب سوف يأخذ أي من المقاعد 6. كل من هذه الخيارات يتوافق مع 5 طرق لإجراءها إلى الطالب الثاني. بالنسبة للطالب الثالث، هناك 4 أماكن مجانية، للرابع - 3، في الخامس - 2، سيستغرق السادس المكان الوحيد المتبقي. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى العثور على منتج يشار إليه رمز 6! وقراءة "ستة فصيل".

بشكل عام، تعطي الإجابة على هذا السؤال صيغة لعدد التباديل من عندات P في قضيتنا.

النظر الآن في حالة أخرى مع طلابنا. كم عدد الطرق التي يمكنني الجلوس 2 طلابها في 6 أماكن مجانية؟ أول طالب سوف يأخذ أي من المقاعد 6. كل من هذه الخيارات يتوافق مع 5 طرق لإجراءها إلى الطالب الثاني. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى العثور على عمل.

بشكل عام، تعطي الإجابة على هذا السؤال الصيغة لعدد الإقامة من عناصر N بواسطة عناصر K

في حالتنا هذه .

والحالة الأخيرة من هذه السلسلة. كم عدد الطرق التي يمكنك اختيار ثلاثة طلاب من 6؟ يمكن اختيار الطالب الأول 6 في الأساليب الثانية - 5 في الأساليب الثالثة - أربعة. ولكن من بين هذه الخيارات، تم العثور على واحد ونفس الشيء من الطلاب 6 مرات. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى حساب القيمة :. بشكل عام، تعطي الإجابة على هذا السؤال صيغة لعدد مجموعات من العناصر عناصر:

في حالتنا هذه .

أمثلة على حل المشكلات من كلمة الرياضيات إلى تعريف الاحتمال

المهمة 1. من مجموعة إد. Yashchenko.

على طبق من 30 فطائر: 3 مع اللحوم، 18 مع الملفوف و 9 مع الكرز. ساشا في عشويم يختار بات واحد. العثور على احتمال أن يكون مع الكرز.

.

الجواب: 0.3.

المهمة 2. من مجموعة إد. Yashchenko.

في كل دفعة من 1000 مصباح كهربائي في المتوسط \u200b\u200b20 المعيبة. ابحث عن احتمال أن تكون المصباح الكهربائي في عشوائي من الحفلة جيدة.

الحل: عدد الأنوار الجيدة 1000-20 \u003d 980. ثم احتمال أن المصباح الكهربائي الجلب من الحزب سيكون جيدا:

الجواب: 0.98.

احتمال الاختبار في طالب الرياضيات U هو، ستحل أكثر من 9 مهام أكثر من 9 مهام، يساوي 0.67. احتمال حدوث حفل U. بشكل صحيح أكثر من 8 مهام، يساوي 0.73. ابحث عن احتمال أن تحل U. بشكل صحيح 9 مهام بالضبط.

إذا فاتنا أن نتخيل رقمي مباشر ونذكر النقاط 8 و 9، فسنرى أن الحالة "W. سيتم حلها بشكل صحيح بالضبط 9 مهام "في الحالة" W. صحيح لحل أكثر من 8 مهام، ولكن لا ينطبق على الحالة "W. بالتأكيد ستحل أكثر من 9 مهام ".

ومع ذلك، الحالة "U. بالتأكيد ستحل أكثر من 9 مهام "موجودة في" U. سيكون بالتأكيد حل أكثر من 8 مهام ". وهكذا، إذا ذكرنا الأحداث: "W. صحيح لحل 9 مهام بالضبط "- من خلال"، "W. سوف يحل بشكل صحيح أكثر من 8 مهام "- من خلال B،" W. سوف يحل بالتأكيد أكثر من 9 مهام "من خلال C. سيبدو الحل هكذا:

الجواب: 0.06.

في امتحان الهندسة، يجيب SchoolBoy على سؤال واحد من قائمة مشكلات الفحص. احتمال أن هذا سؤال حول موضوع "علم المثلثات" هو 0.2. احتمال أن يكون هذا السؤال حول موضوع "الزوايا الخارجية" هو 0.15. الأسئلة التي تشير في وقت واحد إلى هذين الموضوعين، لا. ابحث عن احتمال أن يدرس امتحان الطالب سؤالا على أحد هذين الموضوعين.

دعونا نفكر في ما يتم تقديم أحداثنا. نحن نحصل على أحداث اثنين غير كاملة. وهذا هو، إما أن السؤال سيشير إلى موضوع "علم المثلثات" أو إلى موضوع "الزوايا الخارجية". من خلال نظرية الاحتمالات، فإن احتمالية الأحداث غير المكتملة تساوي مجموع احتمالات كل حدث، يجب أن نجد مجموع احتمالات هذه الأحداث، وهذا هو:

الجواب: 0.35.

تتضير الغرفة مع فانوس مع ثلاثة مصابيح. احتمال كسر مصباح واحد خلال العام هو 0.29. ابحث عن احتمال أن تفشل مصباح واحد على الأقل خلال العام.

النظر في الأحداث المحتملة. لدينا ثلاثة لمبات خفيفة، كل منها يمكن أن يتغلب عليها أو تفريغ بشكل مستقل عن أي لمبة كهربائية أخرى. هذه هي الأحداث المستقلة.

ثم حددنا الخيارات لمثل هذه الأحداث. نحن نقبل التعيين: - حروق الضوء، ومصباح الضوء أحرقت. وعلى الفور، نحسب احتمال الحدث. على سبيل المثال، احتمال حدوث حدث فيها ثلاث أحداث مستقلة "مصباح كهربائي مصباح مستقل"، "يحترق المصباح الكهربائي"، "حروق المصباح الكهربائي": حيث يتم احتمال حساب احتمال "المصباح الكهربائي" كاحتمال الحدث المعاكس للحدث "المصباح الكهربائي"، أي :.

لاحظ أن لدينا أحداث غير مكتملة مواتية فقط 7. احتمال مثل هذه الأحداث تساوي مجموع احتمالات كل من الأحداث :.

الجواب: 0،975608.

يمكنك البحث عن مهمة أخرى في الصورة أدناه:

وبالتالي، نحن نفهم أن نظرية احتمالية الصيغ والأمثلة على حل المشكلات التي يمكنك تلبيةها في إصدار EGE يمكن الوفاء بها.

ما هو الاحتمال؟

في مواجهة هذا المصطلح لأول مرة، لن أفهم ما هو عليه. لذلك، سأحاول شرح المتاحة.

الاحتمال هو فرصة أن يحدث الحدث الذي تحتاجه.

على سبيل المثال، قررت الذهاب إلى صديق، تذكر المدخل وحتى الكلمة التي يعيش فيها. لكن الغرفة وموقع الشقة نسيت. وأنت تقف على الدرج، وأمامي أبوابك للاختيار من بينها.

ما هي فرصة (احتمال) ما إذا كنت تسمون الباب الأول، هل ستفتح صديقك؟ مجموع الشقق، ويعيش الصديق فقط لأحدهم فقط. مع فرصة متساوية، يمكننا اختيار أي باب.

ولكن ما هي هذه الفرصة؟

الأبواب، الباب الذي تريده. احتمال التخمين عن طريق استدعاء الباب الأول :. وهذا هو، مرة واحدة من الثلاثة تخمين بدقة.

نريد معرفة أوقات الاتصال، كم مرة سنعتقد الباب؟ دعونا نفكر في كل الخيارات:

1. كنت اتصلت ب. 1y. باب
2. كنت اتصلت ب. 2Y. باب
3. كنت اتصلت ب. 3Y. باب

الآن النظر في جميع الخيارات التي يمكن أن يكون فيها صديق:

لكن. لكل 1i. باب
ب. لكل 2Y. باب
في. لكل 3i. باب

نقارن جميع الخيارات في شكل طاولة. يشير علامة الاختيار إلى الخيارات عندما يتزامن اختيارك مع موقع الصديق، والتعبير - عندما لا يتطابق.

كما ترون كل شيء ربما خيارات موقع صديق واختيارك، أي باب للاتصال به.

لكن النتائج المواتية المجموع . وهذا هو، لأنك تخمين، استدعاء الباب مرة واحدة، أي وبعد

هذا احتمال - نسبة النتيجة المواتية (عندما تزامن اختيارك مع موقع صديق) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف هو صيغة. يتم الاحتمال للإشارة إلى P، لذلك:

هذه الصيغة ليست مريحة للغاية، لذلك سنقبل عدد النتائج المواتية، ومن أجل إجمالي عدد النتائج الإجمالية.

يمكن تسجيل الاحتمال كنسبة مئوية، لذلك تحتاج إلى مضاعفة النتيجة الناتجة عن:

ربما، هرعت كلمة "النتائج" لك. نظرا لأن الرياضيات تدعو إلى إجراءات مختلفة (لدينا مثل هذا الإجراء - هذه تجارب دعوة)، فإن نتيجة هذه التجارب معتادا أن يسمى نتيجة.

حسنا، النتائج مواتية وغير مواتية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا اتصلنا بأحد الأبواب، لكن رجل غير مألوف فتح لنا. نحن لم نخمن. ما هو احتمال أنه إذا اتصلت بأحد الأبواب المتبقية، فسوف نفتح صديقنا؟

إذا كنت تعتقد أن هذا خطأ. دعونا نتعامل معها.

لدينا اثنين من الأبواب اليسار. وبالتالي، لدينا خطوات ممكنة:

1) اتصل 1-Uu. باب
2) اتصل في 2-Uu. باب

صديق، بكل هذا، هو بدقة وراء واحد منهم (لأنه بالنسبة للواحد الذي اتصلنا فيه، لم يكن):

أ) صديق ل 1st. باب
شاطئ بحر 2-O. باب

دعونا رسم طاولة مرة أخرى:

كما ترون، هناك خيارات مواتية. وهذا هو، الاحتمال يساوي.

لما لا؟

الوضع الذي نعتبره - مثال على الأحداث المعالين. الحدث الأول هو أول مكالمة على الباب، والحدث الثاني هو الجرس الثاني.

ويعتمد عليهم أنهم يؤثرون على الإجراءات التالية. بعد كل شيء، إذا كان بعد الدعوة الأولى، فتحنا صديقا في الباب، فما الذي سيكون من احتماله أنه في أحدهما الآخران؟ حق، .

ولكن إذا كانت هناك أحداث معالين، فيجب أن يكون هناك مستقل؟ صحيح، هناك.

مثال الكتاب المدرسي هو رمي العملة.

1. رمي وقت عملة. ما هو احتمال أن يسقط النسر، على سبيل المثال؟ هذا صحيح -، لأن خيارات الجميع (إما النسر، أو الاندفاع، سوف نهمل احتمال العملة على الحافة)، ولكنها ترتب لنا فقط.
2. لكن الاندفاع سقط خارج. حسنا، رمي مرة أخرى. ما هو احتمال سقوط النسر؟ لم يتغير شيء، كل شيء هو نفسه. كم عدد الخيارات؟ اثنين. وكم يناسبنا؟ واحد.

واسمحوا ألف مرة على التوالي سوف تسقط الاندفاع. احتمال سقوط النسر سيكون كل شيء كذلك. الخيارات دائما، ومواتية -.

التمييز بين الأحداث المعالين من مستقلة بسهولة:

1. إذا تم تنفيذ التجربة مرة واحدة (بمجرد إلقاء عملة عملة واحدة، دعوة مرة واحدة على الباب، وما إلى ذلك)، ثم الأحداث مستقلة دائما.
2. إذا تم تنفيذ التجربة عدة مرات (يتم إلقاء العملة مرة واحدة، فإن الباب يسمى عدة مرات)، ثم الحدث الأول مستقل دائما. ثم، إذا كان عدد مناسب أو عدد جميع النتائج يتغير، فإن الأحداث تعتمد، وإذا لم يكن، مستقلا.

لنأخذ عض صغيرا لتحديد الاحتمالية.

مثال 1.

يتم إلقاء العملة مرتين. ما هو احتمال أن يسقط النسر مرتين على التوالي؟

قرار:

النظر في كل الخيارات الممكنة:

1. النسر أوريل
2. Eagle-Rush.
3. راش أوريل
4. rusk-ruska.

كما ترون الخيار بأكمله. من هذه، نحن راضون فقط. هذا احتمال:

إذا طلب من الشرط ببساطة العثور على احتمال، فيجب تقديم الإجابة في شكل جزء كبير من الكسر العشري. إذا تم الإشارة إلى أن الإجابة يجب أن تعطى كنسبة مئوية، فإننا نضرب.

إجابه:

مثال 2.

في علبة من الحلوى، يتم تعبئة جميع الحلوى في نفس التفاف. ومع ذلك، من الحلوى - مع المكسرات، مع براندي، مع الكرز، مع الكرمل ومع نوجوي.

ما هو احتمال، تناول حلوى واحدة، والحصول على الحلوى مع المكسرات. الإجابة تعطي في المئة.

قرار:

كم عدد النتائج الممكنة؟ وبعد

وهذا هو، أخذ حلوى واحدة، سيكون أحد المربع الحالي.

وعدد النتائج المواتية؟

لأنه في الصندوق فقط الحلوى مع المكسرات.

إجابه:

مثال 3.

في علبة كرات. أبيض منهم، - أسود.

1. ما هو احتمال سحب الكرة البيضاء؟
2. أضفنا كرات سوداء إلى المربع. ما هو احتمال سحب الكرة البيضاء الآن؟

قرار:

أ) في المربع من الكرات بأكملها. أبيض منهم.

الاحتمال هو:

ب) الآن أصبحت الكرات في المربع. وظل أبيض كثيرا -.

إجابه:

احتمال كامل

احتمال كل الأحداث الممكنة يساوي ().

لنفترض في درج الكرات الحمراء والأخضر. ما هو احتمال سحب كرة حمراء؟ الكرة الخضراء؟ الكرة الحمراء أو الأخضر؟

احتمال سحب كرة حمراء

كرة خضراء:

الأحمر أو الأخضر الكرة:

كما ترون، فإن مجموع جميع الأحداث الممكنة يساوي (). سوف تساعدك فهم هذه اللحظة في حل العديد من المهام.

مثال 4.

في الصندوق الأكاذيب علامات: الأخضر والأحمر والأزرق والأصفر والأسود.

ما هو احتمال سحب أي قلم أحمر شعر أحمر؟

قرار:

دعونا نفكر في العدد نتائج مواتية.

ليس قلم نصيح أحمر، وهذا يعني الأخضر والأزرق والأصفر أو الأسود.

احتمال حدوث الحدث يساوي ناقص احتمال حدوث الحدث.

حكم ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

ما هي الأحداث المستقلة التي تعرفها بالفعل.

وإذا كنت بحاجة إلى العثور على احتمال أن تحدث أحداث (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما احتمالية رمي وقت العملة، وسنرى النسر مرتين؟

لقد فكرنا بالفعل.

وإذا قمت برمي وقت عملة؟ ما هو احتمال رؤية النسر على التوالي؟

الخيارات الكلية:

1. نسر
2. نسر
3. نسر
4. نسر
5. نسر
6. سرعه
7. النسر الاندفاع
8. Rusk-Rush.

أنا لا أعرف كيف أنت، لكنني كنت مخطئا، مما جعل هذه القائمة. رائع! وفقط الخيار (أولا) يناسبنا.

لمدة 5 رميات، يمكنك إجراء قائمة من النتائج الممكنة بنفسك. لكن الرياضيات ليست المجتهد مثلك.

لذلك، لاحظوا لأول مرة، ثم أثبتوا أن احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يتم تقليل كل مرة في احتمال احتمال حدوث حدث واحد.

بعبارات أخرى،

النظر في مثال كل نفس، غير مصنف، العملات المعدنية.

احتمالية النسر في الاختبار؟ وبعد الآن نحن رمي عملة عملة مرة واحدة.

ما هو احتمالية النسر المتتابع؟

تعمل هذه القاعدة ليس فقط إذا طلب منا العثور على احتمال أن يحدث الحدث نفسه عدة مرات على التوالي.

إذا أردنا العثور على تسلسل النهر النهري، عندما الجمجمة على التوالي، سنفعل أيضا.

احتمال السقوط الاندفاع - النسر -.

احتمال سقوط تسلسل نهر النهر النهر النهري:

يمكنك التحقق من نفسك، والوصول إلى الجدول.

حكم إضافة احتمالات الأحداث غير المكتملة.

حتى يوقفوا! تعريف جديد.

دعونا نتعامل معها. خذ عملة البالية ورميها مرات.
خيارات ممكنة:

1. نسر
2. نسر
3. نسر
4. نسر
5. نسر
6. سرعه
7. النسر الاندفاع
8. Rusk-Rush.

أحداث غير مكتملة للغاية، وهذا تسلسل معين محدد من الأحداث. - هذه أحداث غير كاملة.

إذا كنا نريد تحديد ما احتمالي الأحداث غير المكتملة (أو أكثر)، فنحن نطوي احتمال هذه الأحداث.

من الضروري أن نفهم أن تداعيات النسر أو الاندفاع هو حدثان مستقلان.

إذا كنا نريد تحديد ما يشبه احتمال التسلسل) (أو أي شيء آخر)، فإننا نستخدم قاعدة الضرب من الاحتمالات.
ما هو احتمال الوقوع في المرمى الأولى من النسر، وخلال الاندفاع الثاني والثالث؟

ولكن إذا كنا نريد أن نعرف ما هو احتمال السقوط من تسلسل عدة تسلسل، على سبيل المثال، عندما يسقط النسر مرات بالضبط، أي. خيارات، يجب أن نحوي احتمالية هذه التسلسلات.

الخيارات الكلية، يناسبنا.

يمكننا أن نحصل على نفسه عن طريق إنشاء احتمال ظهور كل تسلسل:

وبالتالي، نقوم بتطوير احتمال عندما نريد تحديد احتمالية بعض الأحداث غير المكتملة من الأحداث غير المكتملة.

هناك قاعدة ممتازة تساعد في عدم الخلط عند مضاعفة، ومتى تطوي:

دعنا نعود على سبيل المثال عندما رمى وقت عملة العمل، ونريد معرفة احتمال رؤية أوقات النسر.
ماذا سيحدث؟

يجب أن تسقط:
(النسر والاندفاع والاندفاع) أو (الاندفاع والنسر والعجل) أو (الاندفاع والاندفاع والنسر).
لذلك اتضح:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5.

في المربع يكمن بأقلام أقلام. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال سحب أقلام حمراء أو خضراء؟

قرار:

مثال 6.

يتم إلقاء عظم اللعب مرتين، ما هو احتمال انخفاض 8 نقاط في المبلغ؟

قرار.

كيف يمكننا الحصول على نظارات؟

(ق) أو (و) (و) (و) (و) (و) (و).

احتمال انخفاض واحد (أي) الوجه.

نحن نعتبر احتمال:

اكتشف - حل.

أعتقد الآن أنه أصبح من الواضح لك عندما تحتاج إلى النظر في الاحتمالات عند إضافتها، ومتى تتضاعف. أليس كذلك؟ دعونا نمارس قليلا.

مهام:

خذ سطح البطاقة بطاقات، الذروة، الديدان، 13 حرفا و 13 حمارا. من ace من كل بدلة.

1. ما هو احتمال سحب ثلاثي الأرثيات على التوالي (البطاقة المنقولة الأولى التي نعود فيها إلى سطح السفينة وخلطها)؟
2. ما هو احتمال سحب خريطة سوداء (قمم أو روائح)؟
3. ما هو احتمال سحب صورة (Warta، سيدة، الملك أو الآس)؟
4. ما هو احتمال سحب صورتين على التوالي (نقوم بإزالة أول بطاقة منقط من سطح السفينة)؟
5. ما هو الاحتمال، وأخذ بطاقتين، وجمع مجموعة - (العملة أو السيدة أو الملك) و ace of the التسلسل الذي سيتم سحب البطاقات فيه، لا يهم.

الإجابات:

إذا كنت تستطيع حل جميع المهام بنفسك، فأنت كبير! الآن التحديات الناجمة عن نظرية الاحتمالية في الامتحان ستؤخذ مثل المكسرات!

نظرية الاحتمالات. مستوى متوسط

النظر في مثال. لنفترض أننا يرمون عظم اللعب. أي نوع من العظام هو هذا، كما تعلمون؟ وهذا ما يسمى مكعب بأرقام على الحواف. كم عدد الوجوه، الكثير من الأرقام: من كم؟ قبل.

لذلك، نحن نرمي العظام وتريد سقطت أو. ويسقط.

في نظرية الاحتمالات، يقولون ما حدث حدث مواتية (لا تخلط بين المزدهرة).

إذا سقطت، فإن الحدث سيكون مواتيا أيضا. المجموع يمكن أن يكون هناك كل من أحداث مواتية فقط.

وكم غير مواتية؟ منذ الأحداث المحتملة، هذا يعني أن الأحداث غير المواتية هي (هذا إذا سقطت أو).

تعريف:

يسمى الاحتمال نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث الممكنة.وبعد وهذا هو، فإن الاحتمال يظهر أي نسبة من جميع الأحداث الممكنة تقع على إيجابية.

تدل على احتمال وجود خطاب لاتيني (على ما يبدو، من احتمال كلمة الإنكليزية).

من المعتاد قياس الاحتمال في المئة (انظر الموضوع،). لهذا، يجب أن تضاعف قيمة الاحتمالية. في مثال مع لعبة اللعب، احتمال.

وفي المئة:

أمثلة (حل نفسك):

1. ما هو الاحتمال عند إلقاء عملة عملة تسقط النسر؟ وأود أن يسقط الاندفاع؟
2. ما هو الاحتمال عند إلقاء عظم اللعب سوف يسقط رقما؟ ومع ما هو الغريب؟
3. في المربع من أقلام الرصاص العادية والأزرق والحمراء. في عشوائي tyant قلم رصاص واحد. ما هو احتمال سحب بسيط؟

حلول:

1. كم عدد الخيارات؟ النسر والاندفاع - اثنين فقط. وكم منهم مواتية؟ واحد فقط - النسر. وبالتالي احتمال

   مع قبعة، نفس الشيء :.

2. الخيارات الكلية: (عدد جوانب المكعب، الكثير من الخيارات المختلفة). مواتية لهم: (هذه جميع الأرقام حتى :).
   احتمالا. مع غريبة، بطبيعة الحال، نفس الشيء.
3. مجموع: . ملائم:. احتمالا:.

احتمال كامل

جميع أقلام الرصاص في المربع الأخضر. ما هو احتمال سحب قلم رصاص أحمر؟ لا توجد فرصة: احتمال (بعد كل شيء، أحداث مواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى المستحيل.

وما هو احتمال سحب قلم رصاص أخضر؟ الأحداث المواتية هي نفسها تماما مثل أحداث كل شيء (جميع الأحداث مواتية). وهذا يعني أن الاحتمال يساوي أو.

مثل هذا الحدث يسمى موثوقة.

إذا كان في المربع من أقلام أقلام خضراء وحمراء، ما هو احتمال سحب الأخضر أو \u200b\u200bالأحمر؟ مرة أخرى. لاحظ هذا الشيء: احتمال سحب الأخضر متساو وأحمر -.

باختصار، هذه الاحتمالات تساوي بالضبط. بمعنى آخر، مجموع احتمالات جميع الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في صندوق قلم رصاص، من بينها الأزرق والأحمر والأخضر والبسيط والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم سحب الأخضر؟

قرار:

تذكر أن جميع الاحتمالات تعطى في المبلغ. واحتمال سحب الأخضر متساو. وهذا يعني أن احتمال عدم سحب الأخضر على قدم المساواة.

تذكر هذه التقنية:احتمال حدوث الحدث لا يحدث مساويا للحفاظ على احتمال حدوث الحدث.

أحداث مستقلة وقاعدة الضرب

يمكنك رمي وقت عملة عملة، وتريد كلا الزمنين سقطت النسر. ما هو احتمال هذا؟

دعونا تشغيل جميع الخيارات الممكنة وتحديد عددهم:

Eagle-Eagle، نهر النسر، النسر النهر، Rushka-River. ماذا بعد؟

الخيار الإجمالي. شيء واحد فقط مناسب بالنسبة لنا: إيجل أوريل. الاحتمال الكلي متساو.

تمام. والآن نرمي وقتا عموديا. هدئ نفسك. حدث؟ (إجابه).

يمكنك أن ترى أنه مع إضافة كل رمي مقبل، يتم تقليل الاحتمالية. وتسمى القاعدة العامة حكم الضرب:

احتمالات الأحداث المستقلة متغيرة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هذه هي تلك التي لا تعتمد على بعضها البعض. على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية عدة مرات، يتم إنتاج رمي جديد، والنتيجة التي لا يعتمدها على جميع الرميات السابقة. مع نفس النجاح، يمكننا رمي عملات مختلفة في نفس الوقت.

مزيد من الأمثلة:

1. يتم إلقاء العظم اللعب مرتين. ما هو احتمال أن كلا المرتين يقعان؟
2. العملة التي يتم طرحها أوقاتا. ما هو احتمال أن يسقط النسر لأول مرة، ثم مرتين الاندفاع؟
3. اللاعب يلقي عظامين. ما هو احتمال أن تكون كمية الأرقام عليها متساوين؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة، وهذا يعني أن قاعدة الضرب تعمل :.
2. احتمال النسر يساوي. احتمال الاندفاع هو أيضا. البديل:
3. 12 قد يعمل فقط إذا سقطت طريقتين :.

الأحداث غير المكتملة وقاعدة الإضافة

تسمى Invobility الأحداث التي تكمل بعضها البعض حتى احتمال كامل. من الواضح من الاسم الذي لا يمكن أن يحدث في وقت واحد. على سبيل المثال، إذا قمت بإلقاء عملة معدنية، فقد تسقط إما النسر أو الاندفاع.

مثال.

في صندوق قلم رصاص، من بينها الأزرق والأحمر والأخضر والبسيط والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال سحب الأخضر أو \u200b\u200bالأحمر؟

قرار .

احتمال سحب القلم الرصاص الأخضر متساو. أحمر -.

الأحداث المواتية في المجموع: الأخضر + الأحمر. وهذا يعني أن احتمال سحب الأخضر أو \u200b\u200bالأحمر مساويا.

يمكن تمثيل نفس الاحتمالية في هذا النموذج :.

هذه هي قاعدة الإضافة:احتمالات الأحداث غير المكتملة مطوية.

مهام نوع مختلطة

مثال.

يتم إلقاء العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتيجة الرميات مختلفة؟

قرار .

من المفهوم أنه إذا سقط النسر الأول، فإن الثانية يجب أن يكون اندفاعا والعكس صحيح. اتضح أن هناك أزواج من الأحداث المستقلة، وهؤلاء الأزواج غير مفهومة مع بعضهم البعض. بغض النظر عن كيفية الخلط في الخلط أين تتضاعف، ولكن إلى أين أضعاف.

هناك قاعدة بسيطة لمثل هذه الحالات. حاول أن تصف ما يجب أن يحدث من خلال توصيل أحداث النقابات "أو" أو ". على سبيل المثال، في هذه الحالة:

يجب أن تنخفض (النسر والاندفاع) أو (Rushka و Eagle).

حيث يوجد تحالف "و"، سيكون هناك الضرب، وأين "أو" - إضافة:

جربها بنفسك:

1. ما هو الاحتمال مع اثنين من العملات رمي \u200b\u200bكلا الزمن في نفس الجانب؟
2. يتم إلقاء العظم اللعب مرتين. ما هو احتمال تسقط النقاط؟

حلول:

مثال آخر:

رمي وقت عملة. ما هو احتمال أن يسقط النسر مرة واحدة على الأقل؟

قرار:

نظرية الاحتمالات. لفترة وجيزة عن الشيء الرئيسي

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث الممكنة.

أحداث مستقلة

حدثان مستقلان إذا لم يتغير في حدوث احتمال واحد لبداية الآخر.

احتمال كامل

احتمال كل الأحداث الممكنة يساوي ().

احتمال حدوث الحدث يساوي ناقص احتمال حدوث الحدث.

حكم ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

إن احتمالية تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي نتاج احتمالات كل حدث.

أحداث غير صالحة

إن غير مكتملة هي الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد نتيجة للتجربة. يشكل عدد من الأحداث غير المكتملة مجموعة كاملة من الأحداث.

احتمالات الأحداث غير المكتملة مطوية.

وصف ما يجب أن يحدث باستخدام التحالفات "و" أو "أو"، بدلا من "و" ضع علامة الضرب، وبدلا من "أو" - إضافة.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا قرأت هذه الخطوط، فأنت بارد جدا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء بمفرده. وإذا قرأت إلى النهاية، ثم وصلت إلى هذه 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية في هذا الموضوع. وأكرر ذلك ... انها مجرد سوبر! أنت أفضل من الأغلبية المطلقة لأقرانك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

بالنسبة للنجاح الناجح للاستخدام، للقبول في المعهد في الميزانية، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك أي شيء، سأقول شيئا واحدا فقط ...

الأشخاص الذين تلقوا تعليما جيدا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقواها. هذه هي إحصائيات.

لكنه ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذا البحث). ربما لأن هناك المزيد من الفرص لصالحهم والحياة تصبح أكثر إشراقا؟ انا لا اعلم...

ولكن، أعتقد نفسي ...

ما تحتاج إلى أن تأكد منه أن تكون أفضل من غيرها في الامتحان ويكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يد عن طريق حل المهام في هذا الموضوع.

لن تطلب النظرية في الامتحان.

سوف تحتاج حل المهام لفترة من الوقت.

وإذا لم تحلها (كثيرا!)، فكانت بالتأكيد مخطئ بحماقة أو ليس لدي وقت.

انها مثل في الرياضة - تحتاج إلى تكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن المكان الذي تريد مجموعة، إلزامي مع الحلول، تحليل مفصل واتخاذ قرار، اتخاذ قرار، اتخاذ قرار!

يمكنك استخدام مهامنا (وليس بالضرورة) ونحن، بالطبع، نوصي بها.

من أجل ملء اليد بمساعدة مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة الحياة إلى الكتاب المدرسي YOUCEVER، الذي تقرأه الآن.

كيف؟ هناك خياران:

1. الوصول المفتوح إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات 99 من الكتاب المدرسي - 499 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة في كتابنا المدرسي والوصول إلى جميع المهام ويمكن فتح جميع النصوص المخفية على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية للحصول على كامل الموقع.

ختاما...

إذا كانت مهامنا لا تحب، فابحث عن الآخرين. فقط لا تتوقف على النظرية.

"أفهم" و "يمكنني أن أقرر" مهارات مختلفة تماما. تحتاج إلى حد سواء.

العثور على المهمة وتقرر!

القسم 1. أحداث عشوائية (50 ساعة)

خطة الانضباط المواضيعي لطلاب التعلم بدوام جزئي

خطة الانضباط المواضيعي لطلاب التدريب

2.3. نظام الانضباط الهيكلية والمنطقية

الرياضيات الجزء 2. نظرية الاحتمالات وعناصر نظرية الإحصاء الرياضي

القسم 1 الأحداث العشوائية

القسم 3 عناصر الإحصاء الرياضي

القسم 2 القيم العشوائية

2.5. كتلة عملية

2.6. نظام تصنيف Ballery

موارد المعلومات من الانضباط

القائمة الببليوغرافية الرئيسية:

3.2. دعم الضغط بمعدل "الرياضيات الجزء 2. نظرية احتمالية وعناصر الإحصاء الرياضي "مقدمة

القسم 1. الأحداث العشوائية

1.1. مفهوم حدث عشوائي

1.1.1. معلومات من نظرية المجموعات

1.1.2. مساحة الأحداث الابتدائية

1.1.3. تصنيف الأحداث

1.1.4. كمية وعمل الأحداث

1.2. احتمال الأحداث العشوائية.

1.2.1. تردد الحدث النسبي، البديهيات نظرية الاحتمالات. تعريف الاحتمال الكلاسيكي

1.2.2. تعريف هندسي الاحتمال

حساب احتمال الحدث عن طريق عناصر التحليل المختلطي

1.2.4. خصائص احتمالية الأحداث

1.2.5. أحداث مستقلة

1.2.6. حساب احتمالية تشغيل خالية من المتاعب للجهاز

الصيغ لحساب احتمال الأحداث

1.3.1. تسلسل اختبار مستقل (مخطط برنولي)

1.3.2. احتمال شرطي للحدث

1.3.4. صيغة احتمالية كاملة وصيغة

القسم 2. المتغيرات العشوائية

2.1. وصف المتغيرات العشوائية

2.1.1. تحديد وأساليب تحديد متغير عشوائي أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالية هو مفهوم متغير عشوائي. النظر في بعض الأمثلة على المتغيرات العشوائية:

لتعيين مبلغ عشوائي، تحتاج إلى تحديد قانون التوزيع الخاص به. يتم إجراء متغيرات عشوائية للإدلاء بالحروف اليونانية ، ، ، وقيمها المحتملة - رسائل اللاتينية مع الفهارس، يي، زي.

2.1.2. متغيرات عشوائية منفصلة

النظر في أحداث منظمة العفو الدولية التي تحتوي على جميع الأحداث الابتدائية ، مما يؤدي إلى قيمة XI:

دع PI يدل على احتمال حدث AI:

2.1.3. متغيرات عشوائية مستمرة

2.1.4. وظيفة التوزيع والخصائص

2.1.5. كثافة توزيع الاحتمالات وخصائصها

2.2. الخصائص الرقمية للمتغيرات العشوائية

2.2.1. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي

2.2.2. تشتت متغير عشوائي

2.2.3. التوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي

2.2.4. توزيع ثنائي

2.2.5. توزيع السم

القسم 3. عناصر الإحصاء الرياضي

3.1. التعاريف الرئيسية

شريط الرسم البياني

3.3. تقديرات نقطة معلمات التوزيع

مفاهيم أساسية

تقييم تقييم التوقعات الرياضية والتشتت

3.4. تقديرات الفاصل

مفهوم التقييم الفاصل

بناء تقديرات الفاصل

التوزيعات الإحصائية الأساسية

تقديرات الفاصل من التوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي

التقييم الفاصل لتباين التوزيع الطبيعي

استنتاج

قائمة المصطلحات

4. تعليمات منهجية للعمل المختبري

قائمة ببليوغرافي

العمل المختبر 1 وصف للمتغيرات العشوائية. الخصائص العددية

إجراءات أداء العمل المختبري

العمل المختبر 2 التعاريف الرئيسية. تنظيم أخذ العينات. معلمات توزيع التباعد. تقديرات الفاصل.

مفهوم الفرضية الإحصائية حول شكل التوزيع

إجراءات أداء العمل المختبري

قيمة رمز الخلية

5. تعليمات منهجية لأداء مهمة عمل اختبار لاختبار

إرشادات منهجية لأداء عمل الاختبار واحتمالاتها

المتغيرات العشوائية

متوسط \u200b\u200bالانحراف التربيعي

عناصر الإحصاء الرياضي

6. وحدة مراقبة التنمية الانضباط

أسئلة للامتحان في الدورة "الرياضيات الجزء 2. نظرية احتمالية وعناصر الإحصاءات الرياضية "

استمرار الجدول ب.

نهاية الجدول ب.

أرقام عشوائية موزعة بشكل موحد

محتوى

القسم 1. الأحداث العشوائية ........................................... ... الثامنة عشر

القسم 2. متغيرات عشوائية .. .............................. .....

القسم 3. عناصر الإحصاء الرياضي ................ 64.

4. تعليمات منهجية لتنفيذ المختبر

5. تعليمات منهجية لتنفيذ التحكم

1. الصيغ لحساب احتمال الأحداث

1.3.1. تسلسل اختبار مستقل (مخطط برنولي)

لنفترض أن بعض التجربة يمكن تنفيذها مرارا وتكرارا بنفس الشروط. دع هذه التجربة يتم إنتاجها ن. مرة واحدة، I.E.، يتم تنفيذ التسلسل من ن. اختبارات.

تعريف. تسلسل ن. اختبارات دعا مستقلة المتبادلة إذا لم يعتمد أي حدث مرتبط بهذا الاختبار على أي أحداث تتعلق باختبارات أخرى.

لنفترض بعض الحدث أ. قد تحدث مع احتمال p. نتيجة اختبار واحد أو لا يحدث مع الاحتمال س:= 1- p..

تعريف . التسلسل هو ن.تشكل الاختبارات نظام Bernoulli إذا تم تنفيذ الشروط التالية:

تسلسل ن. الاختبارات مستقلة بشكل متبادل

2) احتمال الحدث أ. لا يختلف عن الاختبار إلى الاختبار ولا يعتمد على النتيجة في اختبارات أخرى.

حدث أ. يسمون "نجاح" الاختبار، والحدث المعاكس هو "الفشل". النظر في حدث

\u003d (ب. ن. حدثت الاختبارات Rivne. م. "نجاح").

لحساب احتمالية هذا الحدث، برنولي صيغة صالحة

p.() =
, م. = 1, 2, …, ن. , (1.6)

أين - عدد المجموعات من ن. عناصر في م. :

=
=
.

مثال 1.16. مكعبات رمي \u200b\u200bثلاث مرات. لايجاد:

أ) احتمال سقوط 6 نقاط مرتين؛

ب) احتمال أن يظهر عدد الست لأكثر من مرتين.

قرار . سيتم اعتبار اختبارات "النجاح" تسقط على مكعب الوجه مع صورة 6 نقاط.

أ) إجمالي عدد الاختبارات - ن.\u003d 3، عدد "النجاح" - م. \u003d 2. احتمال "النجاح" - p.=, واحتمال "الفشل" - س:\u003d 1 - \u003d. ثم، وفقا لصيغة برنولي، فإن احتمال أن تكون نتيجة صب مكعب ثلاث مرات مرتين على جانب ست نقاط ستسقط، ستكون مساوية

.

ب) تشير إليها لكن الحدث الذي يكمن في حقيقة أن الوجه مع عدد النقاط 6 سيظهر أكثر من مرتين. ثم يمكن تمثيل الحدث كما مجموع ثلاثة تناسق الأحداث a \u003d.
,

أين في 3 0 - حدث عندما لا يظهر خط الفائدة،

في 3 1 - الحدث عندما يظهر وجه الاهتمام مرة واحدة،

في 3 2 - الحدث عندما يظهر وجه الاهتمام مرتين.

وفقا لبرندولي الفورمولا (1.6) نجد

p.(لكن) \u003d ص (
) = p.(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. احتمال شرطي للحدث

يعكس الاحتمالية الشرطية تأثير حدث واحد على احتمال وجود آخر. تغيير الظروف التي تنفذ فيها التجربة أيضا

احتمال ظهور حدث مثير للاهتمام.

تعريف. اسمحوا ان أ. و ب. - بعض الأحداث، والاحتمال p.(ب.)> 0.

احتمال مشروط الأحداث أ. شريطة أن "الحدث ب. سابقاحدث ذلك "يسمى نسبة احتمالية نتاج هذه الأحداث إلى احتمال حدوث حدث حدث سابقا من الحدث الذي يلزم العثور على احتمالاته. يشار إلى الاحتمال الشرطي p.(أ. ب.). ثم بحكم التعريف

p. (أ.  ب.) =
. (1.7)

مثال 1.17. اثنين من مكعبات رمي. تتكون مساحة الأحداث الابتدائية من أزواج من الأرقام المطلوبة

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

مثال 1.16 تم العثور على هذا الحدث أ. \u003d (عدد النظارات على أول مكعب\u003e 4) والحدث جيم \u003d (كمية النقاط 8) تعتمد. من بين العلاقة

.

يمكن تفسير هذه العلاقة على النحو التالي. لنفترض أن نتيجة الرمي الأولى معروفة بأن عدد النقاط في أول مكعب\u003e 4. يتبع أن صب المكعب الثاني يمكن أن يؤدي إلى إحدى النتائج ال 12 التي تشكل الحدث أ.:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

في نفس الوقت حدث جيم اثنين فقط منهم قد يتوافق مع (5.3) (6.2). في هذه الحالة، احتمال الحدث جيم سوف تكون متساوية
وبعد وبالتالي، معلومات حول حدوث حدث أ. أثرت على احتمال الحدث جيم.

احتمال عمل الأحداث

نظرية الضرب

احتمال عمل الأحداثأ. 1 أ. 2  أ. ن. الصيغة مصممة

p.(أ. 1 أ. 2  أ. ن.) \u003d ص(أ. 1) P.(أ. 2  أ. 1)) p.(أ. ن.  أ. 1 أ. 2  أ. ن- 1). (1.8)

لعمل اثنين من الأحداث، يتبع ذلك

p.(من) \u003d ص(أ. ب) ص{ب.) \u003d ص(ب. أ.) P.{أ.). (1.9)

مثال 1.18. في دفعة من 25 منتجات 5 منتجات معيبة. يتم اختيار منتجين على التوالي. تحديد احتمال أن جميع المنتجات المختارة معيبة.

قرار. تشير إلى الأحداث:

أ. 1 \u003d (المنتج الأول المعيب)،

أ. 2 \u003d (المنتج الثاني معيب)،

أ. 3 \u003d (المنتج الثالث المعيب)،

أ. \u003d (جميع المنتجات معيبة).

حدث لكن هناك عمل ثلاثة أحداث أ. = أ. 1 أ. 2 أ. 3 .

من نظرية الضرب (1.6) تسلم

p.(أ.) \u003d ص ( أ. 1 أ. 2 أ. 3 ) = p.(أ. 1) p.(أ. 2  أ. 1))p.(أ. 3  أ. 1 أ. 2).

تعريف الاحتمال الكلاسيكي يسمح لك أن تجد p.(أ. 1) هي نسبة عدد المنتجات المعيبة إلى إجمالي عدد المنتجات:

p.(أ. 1)= ;

p.(أ. 2) – هذا هو نسبة عدد المنتجات المعيبة المتبقية بعد الاستيلاء على واحد، إلى إجمالي عدد المنتجات المتبقية:

p.(أ. 2  أ. 1))= ;

p.(أ. 3) هو نسبة عدد المنتجات المعيبة المتبقية بعد الاستيلاء على اثنين من المعيبة، إلى إجمالي عدد المنتجات المتبقية:

p.(أ. 3  أ. 1 أ. 2)=.

ثم احتمالية الحدث أ. سوف تكون متساوية

p.(أ.) ==
.

كثير منهم، واجهوا مفهوم "نظرية الاحتمالات" خائفون، معتقدين أن هذا شيء لا يطاق، معقد للغاية. لكن كل شيء ليس حقا مأساوية جدا. اليوم سننظر في المفهوم الأساسي لتعلم حل المشكلات في أمثلة محددة.

العلم

ما هي الدراسات هذه القسم من الرياضيات مثل "نظرية الاحتمالات"؟ انها تلاحظ أنماط والقيم. لأول مرة هذا السؤال، كان العلماء مهتمين في القرن الثامن عشر، عندما تمت دراسة المقامرة. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو حدث. هذه هي الحقيقة التي يتم ذكرها عن طريق التجربة أو الملاحظة. ولكن ما هي التجربة؟ مفهوم آخر أساسي لنظرية الاحتمالات. وهذا يعني أن تكوين الظروف لا يتم إنشاؤه عن طريق الصدفة، ولكن مع هدف معين. أما بالنسبة للملاحظة، فإن الباحث هنا لا يشارك في التجربة، ولكن ببساطة شاهد أحداث البيانات، فهو لا يؤثر على ما يحدث.

الأحداث

علمنا أن المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالية هو حدث، ولكن لا يعتبر التصنيف. يتم تقسيم كل منهم إلى الفئات التالية:

• موثوق.
• مستحيل.
• عشوائي.

بغض النظر عن الأحداث التي لوحظت أو تنشئ أثناء التجربة، يخضع كل منهم لهذا التصنيف. نحن نقدم كل نوع من النوع للتعرف على حدة.

حدث موثوق

هذا هو الظروف التي يتم بها مجموعة الأحداث اللازمة. من أجل الخوض بشكل أفضل في الجوهر، من الأفضل إحضار بعض الأمثلة. تخضع الفيزياء والكيمياء والكيمياء والاقتصاد، والرياضيات العليا لهذا القانون. تشمل نظرية الاحتمالية هذا المفهوم المهني كحدث موثوق. نعطي أمثلة:

• نحن نعمل ونحصل على مكافأة في شكل أجور.
• مرت الامتحانات جيدا، عقدت المنافسة، نتلقى مكافأة على هذا في شكل قبول في مؤسسة تعليمية.
• لقد استثمرنا الأموال في البنك، إذا لزم الأمر، نحصل عليها.

هذه الأحداث موثوقة. إذا استوفنا جميع الشروط اللازمة، فسنحصل بالتأكيد النتيجة المتوقعة.

أحداث مستحيلة

الآن نحن نعتبر عناصر نظرية الاحتمال. نقترح أن نذهب إلى شرح النوع التالي من الحدث التالي، أي أنه من المستحيل. لتبدأ، سنناقش القاعدة الأكثر أهمية - احتمال الحدث المستحيل هو الصفر.

من هذه الصياغة، من المستحيل التراجع عند حل المشاكل. لشرح، نعطي أمثلة على هذه الأحداث:

• الماء المجمد في درجة حرارة بالإضافة إلى عشرة (من المستحيل).
• لا توجد كهرباء لا يؤثر على الإنتاج (من المستحيل أيضا، كما هو الحال في المثال السابق).

يجب عدم إعطاء المزيد من الأمثلة، كما ذكر أعلاه الموصوف أعلاه تعكس جوهر هذه الفئة. لن يحدث الحدث المستحيل أبدا خلال أي ظرف من الظروف.

الأحداث العشوائية

دراسة عناصر نظرية الاحتمالية، ينبغي إيلاء اهتمام خاص لهذا النوع من الأحداث. هوهم أن هذه الدراسات العلمية. نتيجة الخبرة، قد يحدث شيء ما أم لا. بالإضافة إلى ذلك، قد يتم إجراء الاختبار عددا غير محدود من المرات. أمثلة مشرقة يمكن أن تخدم:

• يلقي من العملات المعدنية هو تجربة، أو اختبار، هبوط النسر هو حدث.
• سحب الكرة عمياء - اختبار، كرة حمراء اشتعلت - هذا هو الحدث وما إلى ذلك.

قد تكون هذه الأمثلة كمية غير محدودة، ولكن بشكل عام، يجب أن يكون الجوهر واضحا. لتلخيص ومعرفة المعرفة المكتسبة في الأحداث، يتم تقديم جدول. نظرية دراسات الاحتمالية فقط الرأي الأخير لجميع المعروضة.

اسم	تعريف
موثوق	الأحداث التي تحدث مع ضمان 100٪ عند الامتثال لظروف معينة.	القبول في مؤسسة تعليمية مع استسلام جيد لامتحان القبول.
مستحيل	الأحداث التي لن تحدث أبدا تحت أي ظرف من الظروف.	هناك ثلج في درجة حرارة الهواء بالإضافة إلى ثلاثين درجة مئوية.
عشوائي	حدث قد يحدث أم لا أثناء التجربة / الاختبار.	الذكاء أو يخطئ عند إلقاء كرة كرة السلة في حلقة.

القوانين

نظرية الاحتمالية هي علم يدرس القدرة على تساقط أي حدث. مثل الآخرين، لديها بعض القواعد. القوانين التالية من نظرية الاحتمالات موجودة:

• تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية.
• قانون الأرقام الكبيرة.

عند حساب إمكانية معقد، يمكنك استخدام مجمع من الأحداث البسيطة لتحقيق النتيجة أسهل وسريع. لاحظ أن قوانين نظرية الاحتمالات تثبت بسهولة استخدام بعض النظرية. نحن نقدم للبدء في التعرف على القانون الأول.

تقارب المتغيرات العشوائية

لاحظ أن أنواع التقارب هي إلى حد ما:

• تسلسل المتغيرات العشوائية مطلوبة من خلال الاحتمال.
• مستحيل تقريبا.
• ص يعني التقارب مربع.
• توزيع التقارب.

لذلك، مع الصيف، من الصعب جدا الخوض في الجوهر. نعطي التعريفات التي ستساعد في معرفة هذا الموضوع. لتبدأ الرؤية الأولى. تسمى التسلسل كثيرا مثل الاحتمالاتإذا لوحظت الشرط التالي: N يميل إلى ما لا نهاية، فإن الرقم الذي يسعى التسلسل يسعى إليه، أكثر صفرا وهو تقريبي إلى واحد.

انتقل إلى النموذج التالي ربما تقريباوبعد يقال أن التسلسل يتفصل ربما تقريبا إلى متغير عشوائي ل N، تسعى جاهدة ل Infinity، و P، يسعى إلى درجة تقريبية إلى واحد.

النوع التالي هو التقارب ريفيوبعد عند استخدام Curvergence SK، يتم تقليل دراسة العمليات العشوائية متجه إلى دراسة عملياتها العشوائية الإحداثية.

ظل آخر نوع، دعونا نفهم لفترة وجيزة وأن يتحرك مباشرة لحل المهام. التقارب للتوزيع له اسم آخر - "ضعيف"، ثم اشرح السبب. التقارب الضعيف - هذه هي تقارب وظائف التوزيع في جميع نقاط الموقع الخاصة بوظيفة التوزيع الحد الأقصى.

تأكد من الوفاء بالوعد: يختلف التقارب الضعيف عن كل حقيقة أن القيمة العشوائية غير محددة على مساحة الاحتمالية. هذا ممكن لأن الشرط يتم تشكيل وظائف التوزيع فقط فقط.

قانون الأرقام الكبيرة

سيكون المساعدون الممتازون في إثبات هذا القانون نظرية نظرية الاحتمالية، مثل:

• عدم المساواة تشيبشيف.
• نظرية تشيبشيف.
• نظرية تشيبشيف المعمم.
• نظرية ماركوف.

إذا اعتبرنا كل هذه النظرية، فيمكن أن تؤخر هذه المشكلة عدة عشرات من الأوراق. لدينا أيضا المهمة الرئيسية - هذا هو استخدام نظرية الاحتمالات في الممارسة العملية. نحن نقدم لك الآن والقيام بذلك. ولكن قبل ذلك، النظر في بديهيات نظرية الاحتمالات، سيكونون المساعدين الرئيسيين عند حل المشكلات.

البديهية

من الأول التقينا بالفعل عندما تحدثوا عن الحدث المستحيل. دعونا نتذكر: احتمال الحدث المستحيل هو الصفر. مثال جلبنا مشرق للغاية ولا تنسى: سقطت الثلوج في درجة حرارة الهواء ثلاثين درجة مئوية.

الأصوات الثانية كما يلي: يحدث حدث موثوق به مع احتمال يساوي واحد. الآن نعرض كيفية كتابة ذلك بمساعدة لغة رياضية: P (C) \u003d 1.

ثالثا: يمكن أن يحدث حدث عشوائي أم لا، ولكن القدرة على تختلف دائما من الصفر إلى واحد. أقرب قيمة إلى واحد، والفرص أكثر؛ إذا كانت القيمة تقترب من الصفر، فإن الاحتمال صغير جدا. نحن نكتبها باللغة الرياضية: 0<Р(С)<1.

النظر في آخر، بديهي الرابع، الذي يبدو وكأنه هذا: احتمال مجموع الحدثين مساويا بمجموع احتمالاتهم. نحن نكتب اللغة الرياضية: p (a + c) \u003d p (a) + p (b).

أسماء نظرية الاحتمالات هي أبسط قواعد لن يكون من الصعب تذكرها. دعونا نحاول حل بعض المهام، والاعتماد على المعرفة التي تلقتها بالفعل.

بطاقة اليانصيب

لتبدأ، والنظر في أبسط مثال - اليانصيب. تخيل أنك اشتريت تذكرة يانصيب واحدة حظا سعيدا. ما هو احتمال الفوز في عشرين روبل على الأقل؟ تشارك ألف تذاكر في الدورة الدموية، واحدة منها لديها جائزة في خمسمائة روبل، وعشرة مئة روبل، وحمسين روبل، ومائة وخمسة. تستند المهام الناجمة عن نظرية الاحتمالية إلى العثور على فرصة حظا سعيدا. الآن معا سوف نحلل الحل فوق المهام المقدمة.

إذا كنا خطاب وتدهور عن أرباح خمسمائة روبل، فإن احتمال السقوط سيكون يساوي 0.001. كيف حصلنا عليه؟ تحتاج فقط إلى مشاركة عدد التذاكر "السعيدة" لمشاركة عددهم (في هذه الحالة: 1/1000).

ب هي أرباح مائة روبل، سيكون الاحتمال يساوي 0.01. الآن تصرفنا على نفس المبدأ كما في العمل الماضي (10/1000)

ج - الأرباح تساوي عشرين روبل. نجد الاحتمال، يساوي 0.05.

لا تهتم بقية التذاكر بنا، لأن تجمع جائزها أقل من المحدد في الحالة. تطبيق البديه الرابع: احتمال الفوز في عشرين روبل على الأقل هو p (a) + p (c) + p (c). يتم الإشارة إلى الحرف P من قبل احتمالية أصل هذا الحدث، لقد وجدناهم بالفعل في الإجراءات السابقة. لا يزال فقط أضعاف البيانات اللازمة، نحصل على 0.061 في الإجابة. هذا هو الرقم وسيكون ردا على مسألة المهمة.

بطاقة سطح السفينة

المهام الناجمة عن نظرية الاحتمالية هي أكثر تعقيدا، على سبيل المثال، تأخذ المهمة التالية. أمامك من السطح من ستة وثلاثين بطاقات. مهمتك هي سحب خرائطين على التوالي دون تحريك مكدس، يجب أن تكون البطاقات الأولى والثانية ACES، لا تملك الدعوى أي شيء.

لتبدأ، نجد احتمال أن تكون البطاقة الأولى هي ACE، لهذا الفجوة الأربعة لمدة ستة وثلاثين. أجله جانبا. أعط البطاقة الثانية، وسوف تكون آس مع احتمال ثلاثة ثلاثين أخماس. يعتمد احتمال الحدث الثاني على الخريطة التي سحبتناها أولا، ونتساءل، لقد كانت آس أم لا. يتبع ذلك من هذا الحدث يعتمد على الحدث A.

الإجراء التالي نجد احتمال التنفيذ المتزامن، وهذا هو، مع طي A و B. عملهم هو كما يلي: احتمال حدث واحد يتضاعف على الاحتمال الشرطي للآخر، الذي نحسب، على افتراض أن الحدث الأول حدث ، أي أننا سحبتنا الأول إلى الآس.

من أجل أن تصبح كل شيء واضحا، نعطي التعيين لهذا العنصر كحداث. يتم احتسابها، على افتراض أن الحدث هو ما حدث. يتم حسابها على النحو التالي: P (V / A).

دعونا نواصل حل مشكلتنا: P (A * C) \u003d p (a) * p (in / a) أو p (a * c) \u003d p (c) * p (a / c). يساوي الاحتمال (4/36) * ((3/35) / (4/36). حساب، تقريب إلى المئات. لدينا: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0، 82 \u003d 0.09. احتمال أننا نقوم بتوسيع ذراعين على التوالي هو تسعة مئات. القيمة صغيرة جدا، ويترتب على ذلك من أن احتمال الحدث صغير للغاية.

الرقم المنسي

نقترح تفكيك العديد من الخيارات للمهام التي تدرس نظرية الاحتمالية. أمثلة على حل بعضها منهم رأيت بالفعل في هذه المقالة، حاول حل المهمة التالية: نسيت الصبي الرقم الأخير من رقم هاتف صديقه، ولكن نظرا لأن المكالمة كانت مهمة للغاية، ثم بدأت تجنيد كل شيء بدوره وبعد نحتاج إلى حساب احتمال أن تستبعد أكثر من ثلاث مرات. مشكلة المشكلة هي أبسط، إذا كانت القواعد والقوانين والكياني من نظرية الاحتمالية معروفة.

قبل مشاهدة الحل، حاول حل نفسك. نحن نعلم أن الرقم الأخير يمكن أن يكون من الصفر إلى تسعة، أي أن هناك عشرة قيم فقط. احتمال كتابة المطلوب هو 1/10.

بعد ذلك، نحتاج إلى النظر في خيارات أصل الحدث، لنفترض أن الصبي يخمين واكتسبت على الفور من الضرورة، واحتمال مثل هذا الحدث هو 1/10. الخيار الثاني: الجرس الأول للانزلاق، والثاني إلى الهدف. احسب احتمال حدوث هذا الحدث: 9/10 مضاعفة بحلول 1/9، نتيجة لذلك نحصل أيضا على 1/10. الخيار الثالث: لم تكن الدعوة الأولى والثانية ليست على العنوان، فقط من الصبي الثالث وصل إلى هناك حيث أراد. احسب احتمال مثل هذا الحدث: 9/10 مضاعفة في 8/9 و 1/8، نحصل على 1/10 نتيجة لذلك. خيارات أخرى تحت حالة المهمة ليست مهتمة بنا، لقد ظلنا طيها النتائج، ونتيجة لذلك لدينا 3/10. الإجابة: احتمال أن يطلق الولد أكثر من ثلاث مرات يساوي 0.3.

بطاقات مع الأرقام

هناك تسع بطاقات أمامك، كل منها مكتوب الرقم من واحد إلى تسعة، لا تتكرر الأرقام. تم وضعها في المربع وخلطها جيدا. تحتاج إلى حساب احتمالية ذلك

• سوف يسقط الرقم حتى؛
• مكون من رقمين.

قبل التبديل إلى الحل، سنناقش ذلك م هو عدد الحالات الناجحة، و N هو إجمالي عدد الخيارات. نجد احتمال أن الرقم سيكون حتى. ليس من الصعب حساب ذلك حتى أربعة أرقام، سيكون لدينا م، كل شيء ممكن تسع خيارات، أي م \u003d 9. ثم الاحتمال هو 0.44 أو 4/9.

نعتبر الحالة الثانية: عدد الخيارات لمدة تسعة، ولا يمكن أن تكون هناك نتائج ناجحة على الإطلاق، أي م هي صفر. احتمال أن تحتوي البطاقة الممدودة على رقم مكون من رقمين، وهو نفسه يساوي صفر.