Mavhum: statistikada ishlatiladigan o'rtacha qiymatlar. Statistikada o'rtacha qiymatlarning mohiyati va ma'nosi

Ushbu bob o'rtacha qiymatlarning maqsadi, ularning asosiy turlari va shakllarining maqsadi hisoblash usuli hisoblanadi. Taqdim etilgan materialni o'rganishda o'rtacha qiymatlarni qurish uchun talablarni o'zlashtirish kerak, chunki ularga rioya qilish ushbu qiymatlarni aldagen birliklarning umumiyligi uchun belgilarning odatiy xususiyatlari sifatida ishlatishga imkon beradi.

O'rtacha qiymatlarning mog'orlari va turlari

o'rtacha qiymat Bu agregat birligi uchun olingan belgi qiymatlari darajasining o'ziga xos xususiyati. Ko'rsatkichlarning nisbati bo'lgan nisbiy kattalikdan farqli o'laroq, o'rtacha qiymat agregat birligi belgisidir.

O'rtacha o'lchamdagi eng muhim xususiyati shundaki, u umumiy kontsentsiyaning barcha bo'linmalariga xos bo'lganligini aks ettiradi.

Kombinatning alohida bo'linmalarining belgisining qiymati bir yo'nalishda yoki boshqa omillar ta'siri ostida, ular orasida katta va tasodifiy bo'lishi mumkin. Masalan, bank kreditlari bo'yicha foiz stavkasi barcha kredit tashkilotlari (zaxira talablari darajasi va tijorat banklari tomonidan Markaziy bank tomonidan tijorat banklariga taqdim etiladigan kreditlar va boshqalar), shuningdek o'ziga xos xususiyatlar Ushbu kredit xavfiga qarab har bir aniq bitim., uning hajmi va etuklik davri, kreditni dizayni va uni qaytarish va hokazolarni boshqarish uchun xarajatlar.

O'rtacha, xususiyatning individual qiymatlari umumlashtirilgan va umumiy sharoitlarning ta'siri bu butun maqsadga nisbatan ko'pchilik va vaqtning o'ziga xos sharoitida aks ettirilgan. O'rmonning mohiyati va tasodifiy omillarning ta'siri tufayli individual mos keladigan individual bloklarning belgisi bo'lganligi va haqiqiy omillar hisobga olinadigan o'zgarishlar bo'lgan. O'rtacha qiymat ushbu bo'limlar to'plamidagi xususiyatlarning o'ziga xos xususiyatlarini sifatli bir hil jamg'arma uchun mo'ljallangan. Shu munosabat bilan o'rtacha usul guruhlash usuli bilan birgalikda qo'llaniladi.

Umuman olganda, umumiylikni tavsiflovchi o'rtacha qadriyatlar deyiladi umumiy va guruh yoki kichik guruhning o'ziga xosligini aks ettiruvchi o'rtacha guruh.

Ommaviy va guruhning o'rtacha ko'rsatkichlarining kombinatsiyasi vaqt va makondan ko'proq taqqoslashga imkon beradi, statistik tahlil chegarasini sezilarli darajada kengaytiradi. Masalan, 2002 yildagi ro'yxatga olishni sarhisob qilganda, Rossiyaning aksariyat mamlakatlariga kelsak, aholining qarishi xarakterga ega ekanligi aniqlandi. 1989 yilning sirtqi bilan taqqoslaganda, mamlakat aholisining o'rtacha yoshi uch yilga oshdi va 37,2 yil, erkaklar - 40,0 yil (1989 yilgacha) 9 va 37.2 ni tashkil etdi yillar). Rosstatning so'zlariga ko'ra, 2011 yilda tug'ilganda umr ko'rish davomiyligi, erkaklar - 63 yosh, ayollar - 75,6 yil.

Har bir o'rtacha bitta belgida umumiy agregatning o'ziga xosligini aks ettiradi. Amaliy echimlarni qabul qilish uchun, qoida tariqasida, bir nechta xususiyatlar uchun kombinatsiyalangan birikma zarur. Bunday holda, o'rtacha qiymatlar tizimi qo'llaniladi.

Masalan, bank faoliyatining maqbul xavfi yuqori darajada bo'lishiga erishish uchun bank tomonidan berilgan kreditlar bo'yicha foiz stavkalari omonatlar va boshqa moliyaviy hujjatlar bo'yicha o'rtacha foiz stavkalarini hisobga olgan holda tashkil etiladi.

Forma, o'rtacha qiymatni hisoblashning o'rtacha qiymatini o'rganish, o'rganilgan simptomlarning shakli, shakli va munosabatlari, shuningdek manba ma'lumotlarining xususiyatiga bog'liq. O'rta qadriyatlar ikkita asosiy toifaga bo'linadi:

• 1) Quvvat muhiti;
• 2) tarkibiy o'rtacha ko'rsatkichlar.

O'rtacha formulalar ishlatilgan samara bilan belgilanadi. O'sish darajasi bilan k K. O'rtacha qiymat shunga mos ravishda oshadi.

Harbiy o'zgaruvchilar statistikaga juda ko'p tarqalgan. O'rtacha qiymatlar tijorat faoliyatining yuqori sifatli ko'rsatkichlarini tavsiflaydi: muomala, daromadlar, rentabellik va boshqalar.

O'rtacha - Bu umumiy usullardan biridir. O'rtacha o'rtacha indeksining to'g'ri tushunishi uning bozor iqtisodiyoti sharoitida o'ziga xos ahamiyatini belgilaydi, o'rtacha va tasodifiy, iqtisodiy rivojlanish naqshlari tendentsiyasini aniqlash uchun umumiy va zaruriy ma'lumotlarni aniqlashga imkon beradi.

o'rtacha qiymat - U umumiy shartlarning ta'sirini ifoda etadigan ko'rsatkichlar umumlashtiradigan ko'rsatkichlar, hodisalar naqshlari o'rganilmoqda.

Statistik o'rtacha ko'rsatkichlar ommaviy ma'lumotlar asosida hisoblab chiqiladi, ular statistik jihatdan tashkil etilgan ommaviy kuzatuv (qattiq va tanlab). Biroq, statistik o'rtacha, agar u ommaviy ma'lumotlarga (ommaviy hodisalar) hisoblangan bo'lsa, ob'ektiv va odatiy bo'ladi. Masalan, agar siz kooperativlar va davlat-korxonalarda o'rtacha ish haqini hisoblasangiz va natijada o'rtacha xayoliy, shundan dalolat beradi, chunki u indomoniya agregati uchun mo'ljallangan va bunday ma'noni yo'qotadi.

O'rta, u individual kuzatuv birligi uchun bir yoki boshqa sabablarga ko'ra yuzaga keladigan belgi qiymatidagi farqning ahamiyati bilan bog'liq bo'lgan go'yo farqlarni buzadigan kabi.

Masalan, sotuvchining o'rtacha ishlab chiqarish ko'p sabablarga ko'ra: malaka, tajriba, yosh, xizmat shakllari, sog'liq va boshqalar.

O'rtacha rivojlanish butunlay umumiy mulkini aks ettiradi.

O'rtacha qiymat o'rganilgan atribut qiymatlarining aksidir, shuning uchun ushbu xususiyat kabi bir xil o'lchovda o'lchanadi.

Har bir o'rtacha qiymat har qanday bitta belgidan o'rganilgan umumiylikni tavsiflaydi. Umuman olganda, umumiy muhim xususiyatlar uchun umumiy umumiy fikrlarni to'liq va har tomonlama tasavvurga ega bo'lish maqsadida, turli tomonlardan bo'lgan hodisani tavsiflashi mumkin bo'lgan o'rtacha qiymatlar tizimiga ega bo'lish kerak.

Turli xil o'rtacha ko'rsatkichlar mavjud:

o'rtacha arifmetik;

o'rta geometrik;

o'rtacha uyg'un;

o'rtacha kvadrat;

o'rta xronologik.

Statistikada eng ko'p ishlatiladigan ba'zi o'rtacha ko'rsatkichlarni ko'rib chiqing.

O'rta arifmetik

Oddiy arifmetik oddiy (rivojlanmagan) ushbu qiymatlar soniga bo'lingan xususiyatning individual qiymatlari yig'indisiga tengdir.

Xususiyning alohida qiymatlari variantlar deb nomlanadi va x (); Agregat birliklari soni N, o'rtacha belgi qiymati orqali amalga oshiriladi . Binobarin, o'rtacha arifmetika:

Diskret qatoriga ko'ra, xususiyatning bir xil xususiyatlari (variantlarning) bir necha bor takrorlanganini ko'rish mumkin. Shunday qilib, V variantlari 2 marta va variantni X-16 marta va boshqa va boshqa va boshqa va boshqa va boshqa va boshqa variantlar bilan birga hisoblanadi.

Tarqatish spektaklidagi xususiyatning bir xil qiymatlari soni chastotalar yoki vazni deb ataladi va N belgisi bilan ko'rsatilgan.

Biz bitta ishchining o'rtacha ish haqini hisoblaymiz rublda:

Har bir ishchi uchun ish haqi jamg'armasi chastota uchun ish imkoniyatlariga teng va ushbu asarlarning miqdori barcha ishchilarning umumiy ish haqi jamg'armasini beradi.

Shunga ko'ra, hisob-kitoblar umumiy shaklda ifodalanishi mumkin:

Olingan formulani o'rtacha arifmetik og'irlik deb ataladi.

Qayta ishlash natijasida statistik material nafaqat taqsimot va ajratish shaklida, balki yopiq yoki ochiq vaqt oralig'i bilan interval ko'rinishida ham ifodalanishi mumkin.

Kengaytirilgan ma'lumotlarga muvofiq o'rtacha hisobni hisoblash o'rta arifmetik o'lchov formulasi bilan amalga oshiriladi:

Iqtisodiy statistika amaliyotida ba'zida o'rtacha guruhda o'rtacha yoki umumiy tarkibning o'rtacha aholiga (xususiy o'rtacha) hisoblamaslik kerak. Bunday hollarda guruh yoki xususiy o'rtacha ko'rsatkichlar Variantlar (X) uchun qabul qilinadi, buning asosida umumiy o'rtacha o'rtacha arifmetik o'lchanadi.

O'rta arifmetikaning asosiy xususiyatlari .

O'rtacha arifmetika bir qator xususiyatlarga ega:

1. Har bir belgi qiymatining pasayishi yoki ko'payishidan, o'rtacha arifmetikaning qiymati o'zgarmaydi.

Agar barcha chastotalar har qanday raqam bilan bo'linsa yoki ko'paysa, unda o'rtacha qiymat o'zgarmaydi.

2. Fazimning individual belgilarining o'rtacha belgisi uchun ko'rsatilishi mumkin:

3. Ikki yoki undan ortiq qiymatlarning o'rtacha miqdori (farq) ularning o'rtacha miqdori (farq):

4. Agar x \u003d c bo'lsa, C doimiy qiymat
.

5. X belgisi x dan kichik belgisining qiymatlarining og'ishlari nolga teng:

O'rta uyg'unlik.

O'rtacha arifmetikasi bilan bir qatorda o'rtacha uyg'unlik qiymati statistikada qo'llaniladi, fikr-mulohaza qiymatlarining o'rta arifmetikasini bekor qiladi. O'rtacha arifmetik kabi, u sodda va to'xtatib turish mumkin.

O'zgaruvchan seriyalarning xususiyatlari, shu bilan birga moda va medianiya.

Moda - Bu belgining qiymati (variant) ning qiymati, ko'pincha umumiy birlashtirilgan. Fashr taqsimotining diskret qatorlari uchun eng yuqori chastota bilan bog'liq bo'lgan variantning qiymati bo'ladi.

Modaning teng oralig'i bilan taqsimlash oralig'i formulasi bilan belgilanadi:

qayerda
moda tarkibidagi intervalning boshlang'ich qiymati;

- modal intervalning kattaligi;

- modal intervalning chastotasi;

- modalni oldingi vaqt oralig'ining chastotasi;

- quyidagi modal oralig'i chastotasi.

Median - Bu o'zgaruvchan seriyalar o'rtasida joylashgan variant. Agar bir qator tarqatish diskret bo'lsa va toq sonli a'zo bo'lsa, unda buyurtma qilingan seriyalar o'rtasida o'rtacha bo'ladi (buyurtma qilingan qatorlar jamg'arma bo'linmalarining ko'payishi yoki kamayib borayotgan vaqtda).

Statistika ikkita katta sinfga bo'lingan o'rtacha qiymat turlaridan foydalanadi:

Quvvat muhiti (o'rtacha uyg'un, o'rta geometrik, o'rtacha arifmetika, o'rta to'rt kub);

Strukturaviy vositalar (moda, median).

Hisoblash uchun quvvat muhitisiz barcha mavjud xususiyatlardan foydalanishingiz kerak. Modava medianfaqat tarqatish tarkibi aniqlanadi, shuning uchun ular tarkibiy, pozitsiyaviy o'rtacha ko'rsatkichlar deb ataladi. O'rta quvvatni hisoblash mumkin bo'lmagan yoki o'rtacha hisoblash mumkin bo'lmagan agregatlar uchun ko'pincha o'rtacha belgi sifatida ishlatiladi.

O'rta o'lchamdagi eng keng tarqalgan turdagi arifmetik hisoblanadi. Ostida o'rta arifmetikagar barcha agregat bir bo'lagini o'z ichiga oladigan belgining ma'nosi bilan tushuniladi, agar uning barcha belgilari barcha agregat birliklari o'rtasida teng ravishda taqsimlandi. Ushbu qiymatni hisoblash muvofiqlik bo'linmalarining umumiy hajmining o'zgarishi va bo'linishining barcha turlari va bo'linishining barcha qiymatlari umumlashtirilishi uchun kamayadi. Masalan, besh ishchi tafsilotlarni ishlab chiqarish uchun buyurtma qildi, birinchi - 7, uchinchi - 4, uchinchi - 4, to'rt - 10, besh - 12. Har birining qiymati variantini aniqlash uchun bir marta topildi

bir ishchining o'rtacha ishlab chiqarish oddiy o'rta arifmetikaning formulasini qo'llashi kerak:

i.E. BIZNING ISHLAB CHIQARILGAN ISHLAB CHIQARILGAN ISHLAB CHIQARILGAN

Oddiy o'rta arifmetik o'rganish bilan bir qatorda o'rta arifmetik og'irlik.Masalan, biz talabalarning o'rtacha yoshini 20 kishilik guruhda hisoblaymiz, uning yoshi 18 yoshdan 22 yoshgacha o'zgaradi xi - o'rtacha belgining variantlari, fi - qancha vaqt topilgan chastota i-E.umumiy qiymati (5.1-jadval).

5.1-jadval

O'rta yoshli talabalar

O'rta arifmetik o'lchov formulasi yordamida biz olamiz:

O'rtacha arifmetikani tanlash uchun aniq qoida bor: agar ikkita ko'rsatkich bo'yicha bir qator ma'lumotlar bo'lsa, ulardan biri hisoblash kerak

uning mantiqiy formulasi mazhabiy mazmulani denominatorining o'rtacha qiymati va raqamli qiymatlar ma'lum emas, ammo ushbu ko'rsatkichlarning mahsuloti sifatida topilishi mumkin, o'rtacha qiymat o'rta arifmetik hisoblab chiqilishi kerak formula.

Ba'zi hollarda, asl statistik ma'lumotlarning tabiati shundan iboratki, o'rtacha arifmetikani hisoblash uning ma'nosini yo'qotadi va o'rtacha o'rtacha turdagi yagona umumiy ahamiyatga ega bo'lgan ko'rsatkich - yagona umumlashtirilgan ko'rsatkich - o'rta uyg'unlik.Ayni paytda o'rtacha arifmetikaning hisoblash xususiyatlari elektron kompyuterlarning keng joriy etilishi tufayli statistik ko'rsatkichlarni umumiy kiritish hisobiga kamroq yutqazdi. Ajoyib amaliy ahamiyatga ega bo'lgan eng oddiy va to'xtatib turiladigan o'rtacha uyg'unlik ahamiyatga ega. Agar mantiqiy formulalarning raqamli raqamlarning raqamli qiymatlari ma'lum bo'lsa va denominatorning qiymatlari noma'lum bo'lsa, lekin boshqa ko'rsatkichni boshqa bir ko'rsatkichning shaxsiy bo'linmasi sifatida topish mumkin emas, o'rtacha qiymat o'rtacha qiymati o'rtacha qiymat o'rtacha uyg'un vaznli.

Masalan, mashina birinchi 210 km / soat / soat tezlikda, qolgan 150 km tezlikda soatiga 75 km tezlikda o'tdi. O'rta arifmetik formuladan foydalangan holda transport vositasining o'rtacha tezligini 360 km masofada joylashgan holda aniqlang, bu mumkin emas. Shunday qilib, parametrlar alohida joylarda tezlik xJ.\u003d 70 km / soat va X2\u003d 75 km / soat va tortishish (FI) yo'lning tegishli segmentlari hisoblanadi, shunda og'irliklar ishi jismoniy ham, iqtisodiy ma'noga ega bo'lmaydi. Bunday holda, ma'nosi yo'l segmentlarining shaxsiy qismlari tegishli tezliklarga (variant Xi), I.E. yo'lning alohida sektsiyalarini o'tish vaqti (FI). / xi). Agar yo'l segmentlari FI orqali belgilansa, unda qanday qilib fi va butun yo'lda sarflangan vaqt - qanday qilib? fi / xi , Keyin o'rtacha tezlik butun yo'lni to'liq vaqt xarajatlariga ajratish uchun shaxsiy sifatida topish mumkin:

Bizning misolda biz:

Agar barcha variantlar (F) ning o'rtacha haroratiy og'irligidan foydalangan bo'lsa, unda o'lchanadigan narsadan foydalanish mumkin oddiy (ishonib bo'lmaydigan) o'rtacha uyg'unlik:

xi alohida variantlar; n. - o'rtacha xususiyatlarning shartlari. Masalan, tezlik bilan, agar u turli tezlikda o'tib ketayotgan yo'l segmentlariga teng bo'lsa, oddiy yuqori tiyinik qo'llanilishi mumkin.

Har qanday o'rtacha hisoblab chiqilishi kerak, shunda o'rtacha ko'rsatkichning har bir versiyasini almashtirishda o'rtacha ko'rsatkich bilan bog'liq bo'lgan ma'lum bir yakuniy ko'rsatkich o'zgarmadi. Shunday qilib, haqiqiy tezlikni ularning o'rtacha o'lchamlari (o'rtacha tezligi) bo'lgan yo'llarning alohida segmentlariga almashtirishda umumiy masofani o'zgartirilmasligi kerak.

O'rtacha o'rtacha qiymatdagi formula (formulasi) o'rtacha ko'rsatkichning tabiati (mexanizmi), shuning uchun ularning o'rtacha qiymati deb nomlangan bo'lsa, uning qiymati o'zgarganda o'zgartirilmasligi kerak indikatorni aniqlash.Formula ishlab chiqarish uchun o'rtacha ko'rsatkich bilan bog'liq bo'lgan ko'rsatkich bilan bog'liq bo'lgan tenglama bilan belgilangan va echilgan tenglama bilan tuzilishi kerak. Ushbu tenglama o'rtacha qiymat (indikatori) variantlarini ularning o'rtacha qiymatini almashtirish orqali quriladi.

O'rta arifmetik va o'rta uyg'unlik statistikaga qo'shimcha ravishda statistika, boshqa turdagi (shakllar) qo'llaniladi. Ularning barchasi alohida holatlar quvvat o'rtacha.Agar siz barcha turdagi quvvat elementlarini bir xil ma'lumotlarga, keyin qiymatlar uchun hisoblasangiz

ular bir xil bo'ladi, bu erda qoida fohodao'rta. O'rtacha o'rtacha o'rtacha o'sish bilan o'rtacha qiymatning o'zi oshadi. Har xil turdagi quvvatning o'rtacha ko'rsatkichlarini hisoblash uchun eng tez-tez ishlatiladigan formulalar jadvalda keltirilgan. 5.2.

5.2-jadval.

Quvvat muhitining turlari

O'rtacha geometrik narsalar bo'lganda qo'llaniladi n.o'sish koeffitsientlari, ehtiyotkorlikning individual qiymatlari, odatda, bir qator ma'ruzachilarda har bir darajadagi har bir darajadagi oldingi darajaga nisbatan zanjir qiymatlari shaklida joylashgan ma'ruzachilarning nisbiy qiymatlari . O'rtacha o'rtacha o'sish koeffitsientini o'rtacha tavsiflaydi. O'rtacha geometrik oddiyformulasi bilan hisoblangan

Formula o'rta geometrik to'xtatilganu quyidagi shaklga ega:

Yuqoridagi formulalar bir xil, ammo bittasi hozirgi koeffitsullar yoki o'sish sur'atlarida, ikkinchisi - satr sathining mutlaq qiymati bilan ishlatiladi.

O'rtacha kvadratu kvadrat funktsiyalarining hisob-kitoblarida foydalaniladi, u o'rtacha arifmetikaning individual arifmetikasi miqdori miqdorini taqsimlash safida hisoblab chiqilishi va formulasi bilan o'lchash uchun ishlatiladi

O'rtacha kvadratik og'irlikboshqa formula uchun hisoblangan:

O'rta kubiku kub funktsiyalar qiymatlari bilan hisoblashda ishlatiladi va formulaga qarab hisoblanadi

o'rta kubik og'irlik:

Yuqoridagi barcha o'rtacha ko'rsatkichlar umumiy formula sifatida ifodalanishi mumkin:

o'rtacha qiymat qayerda; - individual qiymat; n. - umumiy agregatlarning birligi; k K. - o'rtacha o'rta turini belgilaydigan ko'rsatkichi.

Ko'proq ma'lumotdan foydalanganda k K.umumiy formulada, elektr energiyasi o'rtacha qiymat darajasi yuqori. Bundan kelib chiqadi, bu energetika o'rtacha ko'rsatkichlari orasidagi muntazam nisbati mavjud:

Yuqorida tavsiflangan o'rtacha qiymatlar umumiy agregatsiyaning umumiy vakilligini ta'minlaydi va shu nuqtai nazaridan ularning nazariy, amaliy va kognitiv ahamiyati shubhasizdir. Ammo bu holat o'rtacha darajada mavjud variantlardan biriga mos kelmaydi, shuning uchun statistik tahlilda ko'rib chiqilgan ma'nolardan tashqari, buyurtma qilingan (tartibda) bo'lgan aniq variantlarning qiymatlarini ishlatish tavsiya etiladi juda aniq pozitsiyaning belgilari belgisi. Bunday qiymatlar orasida eng ko'p ishlatiladigan tarkoriyaliyoki tavsiflovchi, o'rtacha - Moda (MO) va Median (men).

Moda - bu butunlay topilgan belgining qiymati. Modaning o'zgaruvchan seriyasiga kelsak, Rank satrining eng keng tarqalgan qiymatidir, i.e. eng yuqori chastotali tanlovdir. Har qanday mahsulot uchun eng keng tarqalgan narx, ko'pincha tashrif buyuradigan do'konlarni aniqlashda foydalanish mumkin. Bu umumiylikning muhim qismiga xos bo'lgan belgining hajmini ko'rsatadi, bu formulalar bilan belgilanadi

x0 bu oraliqning pastki chegarasi; h. - oraliqning kattaligi; fM. - intervalning chastotasi; fM_1 - oldingi oralig'i chastotasi; fM +.1 - Keyingi oralig'ining chastotasi.

Mediantartiblangan qatorning markazida joylashgan variant deb nomlangan. Median bir necha teng qismga teng qismga ajratadi, bu ikkala tomonning ikkala tomonida ham bir xil miqdordagi birliklar sonining bir xil sonini ajratadi. Shu bilan birga, yalpi birliklarning yarmi, o'zgaruvchan belgining qiymati mediandan kam, boshqasi ko'proq. Median qiymatni o'rganishda yoki teng bo'lgan elementni o'rganishda qo'llaniladi yoki bir vaqtning o'zida bir vaqtning o'zida taqsimot elementlarining yarmiga yoki yarmiga teng yoki yarmiga teng bo'lsa. Mediana, belgi qiymatlari qayerda ekanligi haqida umumiy tasavvur beradi, boshqacha aytganda ularning markazi joylashgan joyda.

Medianning tavsifi xarakteri shundaki, u agregat birligining yarmi bo'lgan o'zgaruvchanlik xususiyatlarining miqdoriy xarakterini tavsiflaydi. Diskret o'zgaruvchan diapazon uchun medianlarni topish vazifasi shunchaki hal qilinadi. Agar bir qator tartib raqamlarining barcha bo'linmalari, median variantning ketma-ketligi (P +1) / 2 sifatida, agar qator a'zolar soni hatto raqam bo'lsa, unda median bo'ladi ketma-ketlik raqamlariga ega bo'lgan ikkita variantning o'rtacha qiymati n./ 2 I. n./ 2 + 1.

Medianni intervaldagi o'zgarishlar bo'yicha belgilashda, u (median oralig'i) bo'lgan interval aniqlanadi. Ushbu oraliq uning to'plangan miqdordagi chastotalar qatorning barcha chastotalarining hemmatamiga teng yoki oshishi bilan tavsiflanadi. Interval o'zgaruvchan raqami bo'yicha medianlarni hisoblash formulasi bilan amalga oshiriladi

qayerda X0. - intervalning pastki chegarasi; h. - oraliqning kattaligi; fM. - intervalning chastotasi; f.- seriya a'zolari soni;

M. -1 - Oldindan ketma-ket to'plangan a'zolarning yig'indisi.

Median bilan bir qatorda to'liq to'plamning to'liq tarkibi, to'liq aniqlikdagi pozitsiyaning satrida joylashgan variantlarning boshqa qiymatlari qo'llaniladi. Bular kiradi kvartalva dehil.Kvartiralar 4 teng qismdagi bir qator chastotalarni va 10 ta teng qismlarda. Uch chorak uch, yuzi - to'qqiztasi.

O'rta arifmetikadan farqli o'laroq, o'rtacha arifmetikadan farqli o'laroq, turli xil xususiyat qadriyatlari bo'yicha individual farqlarni to'lamang va shuning uchun statistik tarifning qo'shimcha va muhim xususiyatlari. Amalda, ular ko'pincha o'rtacha yoki u bilan birga ishlatiladi. Umumiy belgilangan belgi bilan belgilangan miqdordagi yoki juda kichik qiymatga ega bo'lgan ba'zi bir qator birlik mavjud bo'lgan hollarda mediani va modani hisoblash tavsiya etiladi. Bular o'rtacha arifmetikaning qiymatiga ta'sir qiladigan variantlarning belgilangan qiymatiga ko'ra, o'rtacha va statistik tahlil uchun eng muhim ahamiyatga ega.

Statistik ishlov berish bosqichida, tegishli o'rtacha ko'rsatkichni tanlash kerakligini ta'minlash uchun turli xil ilmiy vazifalar etkazib berilishi mumkin. Shu bilan birga, quyidagi qoidalarga amal qilish kerak: hisoblovchi va o'rtacha denominator mantiqiy bog'liq bo'lishi kerak.

• quvvat muhiti;
• tarkibiy o'rtacha ko'rsatkichlar.

Biz quyidagi konventsiyalarni taqdim etamiz:

O'rtacha hisoblangan qiymatlar;

Yuqoridagi fazilatning o'rtacha darajasi individual qiymatlarning o'rtacha darajada ekanligini ko'rsatadi;

Chastota (individual xarakter qiymatlarini takrorlash).

Turli xil vosita energiya o'rtacha ko'rsatkichidan kelib chiqadi:

(5.1)

k \u003d 1 - o'rtacha arifmetik; k \u003d -1 - o'rtacha uyg'unlik; K \u003d 0 - o'rta geometrik; K \u003d -2 - o'rtacha kvadratik.

O'rta qadriyatlar oddiy va og'irlik qiladi.

Og'irlik o'rtacha Belgilangan qiymatlarni hisobga olgan qiymatlar turli raqamlarga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun har bir variant ushbu raqamni ko'paytirishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, "vaznlar" turli guruhlarda agregat birliklari sonini, ya'ni. Har bir variant uning chastotasida "tortildi". F chastotasi f statistik vazni yoki o'rta vazn.

Ma'lumki, bitimlar 5 kun ichida (5 ta bitim) amalga oshirilgan, sotilgan aktsiyalar soni quyidagicha taqsimlandi:

1 - 800 AK. - 1010 rub.

2 - 650 AK. - 990 rubl.

3 - 700 AK. - 1015 rub.

4 - 550 AK. - 900 rubl.

5 - 850 AK. - 1150 rubl.

Aktsiyalarning o'rtacha ko'rsatkichini aniqlashning dastlabki aloqasi bitimlar umumiy miqdorining (OSS) sotilgan aktsiyalar soniga nisbati (KPA):

OSS \u003d 1010 · 810 + 950 + 1015 · 900 · 9550 + 1150 · 850 · 850 \u003d 3550 · 8504 500;

KPA \u003d 800 + 650 + 700 + 550 + 850 \u003d 3550.

Bunday holda, fond qiymati o'rtacha darajasi:

Uning ishlatilishi uchun ham, uni hisoblashda ham juda muhim bo'lgan arifmetik o'rtacha xususiyatlarini bilish kerak. Ko'pincha uchta asosiy xususiyatni ajratish mumkin, ular statistik va iqtisodiy hisob-kitoblardagi arifmetik o'rtacha ko'rsatkichlardan keng foydalanishga olib keldi.

Avval mulk (nol): Xususiyatning individual qiymatlarining ijobiy og'rilishi summasi nisbatan salbiy og'ishlar yig'indisiga teng. Bu juda muhim omil, chunki tasodifiy sabablar tufayli yuzaga keladigan og'ishlar (ham C + va C -) o'zaro to'lanadi.

Dalil:

Ikkinchi mulki (eng kam): Buzoqning har qanday arifmetikasidan (a) boshqa raqamlardan (A), I.E. dan og'ishlarning kvadratlarining yig'indislari yig'indisi Minimal raqam mavjud.

Dalillar.

Biz o'zgaruvchining o'zgaruvchisidan og'ish kvadratlarining yig'indisini tashkil qilamiz:

(5.4)

Ushbu funktsiyani ekstreum topish uchun uni unga tenglashtirish kerak:

Bu yerdan biz olamiz:

(5.5)

Binobarin, og'ish kvadratlarining ekstreum summasiga erishiladi. Bu ekstreum minimal, chunki funktsiya maksimal bo'lishi mumkin emas.

Mulk uchinchi: O'rtacha arifmetik doimiy qiymati bu doimiy deb teng: A \u003d Konst.

Ushbu uchtadan tashqari, o'rtacha arifmetikaning eng muhim xususiyatlari shunday deb ataladi hisoblangan xususiyatlarElektron kompyuterlardan foydalanish hisobiga asta-sekin o'z ahamiyatini yo'qotadi:

• agar har bir birlik xususiyatining shaxsiy qiymati ko'paytirilsa yoki doimiy raqamga bo'linsa, unda o'rtacha arifmetik ortadi yoki bir vaqtning o'zida pasayadi;
• har bir belgi qiymatining og'irligi (chastotasi) bo'lsa, o'rtacha raqamga bo'linsa, o'rtacha arifmetik o'zgarmaydi;
• agar har bir birlikning xususiyatining alohida qiymatlari bir xil qiymatga kamayadi yoki ko'paysa, unda o'rtacha arifmetik bir xil qiymatni kamaytiradi yoki oshiradi.

O'rta barbodkor. Bu o'rtada teskari o'rta arifmetik deb ataladi, chunki ushbu qiymat k \u003d -1 da ishlatiladi.

Oddiy o'rtacha uyg'unlik Belgi qiymatlarining og'irligi bir xil bo'lganda ishlatiladi. Uning formulasi K \u003d -1 o'rnini bosadigan asosiy formuladan olinishi mumkin:

Masalan, biz xuddi shu tarzda o'tgan ikkita mashinaning o'rtacha tezligini hisoblashimiz kerak, ammo har xil tezlikda: birinchi - 100 km tezlikda, ikkinchisi esa 90 km / soat tezlikda.

O'rta garmonik usulni qo'llash, biz o'rtacha tezlikni hisoblaymiz:

Statistik amaliyotda, garovga olingan funktsiyalar ko'pincha ishlatiladi:

Ushbu formula har bir belgi uchun og'irlik (yoki hodisalar) bo'lgan hollarda ishlatiladi. O'rtacha taniqli hisoblovchini hisoblash uchun asl nisbatda, ammo denominator noma'lum.

Masalan, o'rtacha narxni hisoblashda biz amalga oshirish miqdorini amalga oshirilgan birliklar soniga sarflashimiz kerak. Biz amalga oshirilgan birliklar sonini bilmaymiz (biz turli xil mahsulotlar haqida gapiramiz), ammo ushbu turli xil mahsulotlarni joriy etish summasi ma'lum.

Aytaylik, amalga oshirilgan mahsulotlarning o'rtacha narxini bilish kerak.

Qabul qilmoq

Agar bu erda o'rta arifmetika uchun formula bo'lsa, unda siz o'rtacha narxni olishingiz mumkin:

O'rta geometrik. Ko'pincha, o'rtacha geometrik o'rtacha o'sish sur'atlarini (o'rtacha o'sish koeffitsientlari) aniqlashda, nisbiy qiymatlar sifatida taqdim etilganda o'zidan foydalaniladi. Shuningdek, funktsiyaning minimal va maksimal qiymatlari orasidagi o'rtacha (masalan, 100 va 100,000,000 dan orasidagi o'rtacha) ni topish kerak bo'lsa. Oddiy va to'xtatilgan o'rta geometrik uchun formulalar mavjud.

Oddiy o'rta geometrik uchun:

To'xtatilgan o'rtacha geometrik:

O'rta kvadratik qiymati. Uning qo'llashning asosiy doirasi ushbu xususiyatning o'zgarishini jami (o'rtacha kvadrat og'ishni hisoblash).

Oddiy o'rta kvadratik formula:

Og'irligi o'rtacha kvadratik formula:

(5.11)

Natijada, aytishimiz mumkinki, statistik o'rganish vazifalarini muvaffaqiyatli hal qilish har bir holatda o'rtacha qiymat turining to'g'ri tanloviga bog'liq.

O'rtacha tanlash bunday ketma-ketlikni anglatadi:

a) umumiy xulosani tashkil etish;

b) qiymatlar matematik nisbatining ushbu xulosasi ko'rsatkichi;

v) individual qiymatlarni o'rtacha qiymatlar bilan almashtirish;

d) o'rtacha tenglama yordamida o'rtacha hisoblash.

O'rtacha qiymatlar haqida mulohaza qilishni boshlaydi, ko'pincha maktabni tugatish va o'quv muassasasiga borgan. Keyin o'rta hisob sertifikatiga hisoblangan: barcha hisob-kitoblar (va yaxshi emas, unchalik emas) katlanmış, natijada summa ularning soni bilan bo'lingan. Bu o'rtacha muhitning eng oson turi, bu o'rtacha arifmetik oddiy deb ataladi. Amalda, statistikada turli xil o'rta o'lchamlarda qo'llaniladi: Arifmetik, garmonik, geometrik, kvadrat materiallari, strukturaviy muhit. Bu yoki ularning turlari ma'lumotlarning tabiati va maqsadlariga qarab qo'llaniladi.

o'rtacha qiymat Bu eng keng tarqalgan statistik ko'rsatkich, uning yordamida bir xil hodisalar to'plamining o'zgaruvchan belgilaridan biriga muvofiq beriladi. Bu umumiy birlik uchun xarakteristikaning darajasini ko'rsatadi. Ommaviy axborot vositalarining yordami bilan turli xil funktsiyalarni taqqoslash bilan taqqoslanadi, hodisalarning rivojlanish naqshlari va jamoat hayot jarayonlari o'rganilmoqda.

Statistikada, ikkita o'rta sinflar qo'llaniladi: quvvat (tahliliy) va tarkibiy. Ikkinchisi o'zgaruvchanlik seriyasining tuzilishini tavsiflash uchun ishlatiladi va keyinchalik CHda muhokama qilinadi. sakkiz.

Ichki quvvat guruhi o'rtacha arifmetik, garmonik, geometrik, kvartalciye-ga tegishli. Hisoblash uchun individual formulalarni yodgorliklarga ko'ra, barcha quvvatlarning o'rtacha ko'rsatkichlari, ya'ni

bu erda metr o'rtacha ko'rsatkich: m \u003d 1 o'rta arifmetikani hisoblash uchun formulani, m \u003d 0 - o'rtacha gerometrik, m \u003d 2 - o'rtacha kvadratik;

x i - variantlar (qabul qilingan qiymatlar);

f i - chastotalar.

Statistik tahlilda kuchli statistik tahlildan foydalanishning asosiy holati, belgilangan ma'lumotlarning bir xilligi, bu ularning miqdoriy qiymatida aniq farq qilmasligi kerak (ular adabiyotlarda adabiy kuzatiladi).

Ushbu holatning muhimligini quyidagi misolda namoyish etamiz.

6.1-misol. Men kichik korxona xodimlarining o'rtacha maoshini hisoblayman.

Ish haqining o'rtacha sonini hisoblash uchun korxonaning barcha xodimlariga hisoblangan ish haqini (I.E., ish haqi fondini topish, ishchilar soniga bo'lingan ish haqini to'lash kerak va xodimlar soniga bo'linadi:

Va endi men yakka tartibdagi (ushbu korxona direktori), ammo 50 ming rubldan ish haqi bilan bir kishini qo'shaman. Bunday holda hisoblangan o'rtacha o'rtacha butunlay boshqacha bo'ladi:

Ko'rinib turibdiki, u 7000 rubldan oshadi. Va boshqalar. Albatta, bu oyat-mo''jiza alomatlaridan boshqa har bir kuzatuvdan boshqa narsa emas.

Bunday hollarda, bu amaliyotda amalga oshirilmaydi va o'rtacha ko'rsatkich o'z ma'nosini yo'qotmaydi (6.1-misolda, bu umumiy miqdorning umumiy xususiyatlarining rolini bajarmaydi), o'rtacha hisoblashda, g'ayritabiiy, keskin tanazzul yoki bir hil guruhlar uchun agregatlarni ajratish yoki har bir guruh uchun o'rtacha qiymatni buzish va har bir guruh uchun o'rtacha qiymatni hisobga olish va umumiy o'rtacha ko'rsatkichni hisobga olmaydi.

6.1. O'rtacha arifmetik va uning xususiyatlari

O'rtacha arifmetika oddiy yoki og'ir qiymat sifatida hisoblanadi.

6.1-misol jadvaliga muvofiq o'rtacha ish haqini hisoblashda biz barcha belgi qiymatlarini katlab, ularni ajratdik. Hisob-kitoblarimiz kursi o'rta arifmetik oddiy oddiy narsa formulasi shaklida yozadi

xerm men parametrlar (xususiyatning individual qiymatlari);

p - agregatdagi birliklar soni.

6.2 misol. Endi bizning ma'lumotlarimizni 6.1 va hk. Biz amal qilish muddati bo'yicha ish haqi miqdorini taqsimlashning diskret variantini quramiz. Guruh natijalari jadvalda keltirilgan.

O'rtacha ish haqini yanada kompakt shaklda hisoblash uchun ifoda yozamiz:

6.2-misolda o'rtacha arifmetik og'ir bo'lgan formula qo'llanilgan

bu erda F i - chastotalar, x i y ning x i y xususiyatlarini qanday qilib uch marta duch kelmoqda.

O'rtacha arifmetikani o'lchash quyidagicha ko'rsatilgandek, stolda qulay tarzda amalga oshiriladi (6.3-jadval):

Ta'kidlash joizki, ma'lumotlar birlashtirilmagan yoki guruhlangan holatlarda o'rtacha arifmetikasidan foydalaniladi, ammo barcha chastotalar bir-biriga teng.

Ko'pincha kuzatuv natijalari taqsimotning interval oralig'i shaklida keltirilgan (6,4-misolda jadvalga qarang). Keyin, X men vaqt oralig'ini olib ketayotganimda, men Agar birinchi va oxirgi intervallar ochiq bo'lsa (chegaralardan biri yo'q), ular shartli ravishda "yopiq", bu vaqt oralig'ining qiymati va hokazo. Birinchisi ikkinchi qiymat asosida yopiq va oxirgisi - bu so'nggi eng katta.

6.3-misol. Aholining guruhlaridan birini tanlab o'rganish natijalariga ko'ra biz aholi jon boshiga o'rtacha pul daromadlari miqdorini hisoblaymiz.

Birinchi intervalning o'rta qismidagi belgilangan jadval 500 ni tashkil qiladi. Haqiqatan ham ikkinchi oralig'ning qiymati 1000 (2000-1000); Keyin birinchi chegarasi birinchi (1000-1000) va uning 500 o'rtalari. Xuddi shunday, biz oxirgi vaqt bilan bajaramiz. Ortasi uchun biz 25000 kishini olamiz: 10 000 (20,000-10,000), shundan so'ng uning yuqori chegarasi - 30,000 (20,000 + 10000) va o'rtada 25 000 kishini tashkil etadi.

Keyin o'rtacha oylik daromad bo'ladi