Okul çocuğu olasılık teorisi hakkında - Lyutikas V.S. Matematik okul dersinde olasılık teorisinin temellerini incelemenin özellikleri

24.09.2019

Ayrıca okuyun

İyi çalışmalarınızı bilgi tabanına gönderin basittir. Aşağıdaki formu kullanın

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, genç bilim adamları size çok minnettar olacaktır.

Yayınlanan http://www.allbest.ru/

BELARUS CUMHURİYETİ EĞİTİM BAKANLIĞI

EĞİTİMİN KURULMASI "BELARUS DEVLET PEDAGOJİSİ

M. TANK ADI ÜNİVERSİTE "

FİZİKSEL VE MATEMATİK FAKÜLTESİ

MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ BÖLÜMÜ

OKUL MATEMATİK DERSİNDE OLASILIK TEORİSİ

Minsk, 2016

GİRİŞ

Rus okullarında matematik eğitimini geliştirme sorunu, XX yüzyılın 60'lı yıllarının başında seçkin matematikçiler B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, I.I. Kikoin, A.I. Markusheviç, A. Ya. Khinchin. B.V. Gnedenko şunları yazdı: “Olasılık ve istatistiksel bilgi unsurlarını matematik okul müfredatına sokma sorunu uzun zamandır olgunlaştı ve daha fazla gecikmeye tahammül etmiyor. Okul eğitimimizin tamamen odaklandığı katı kararlılık yasaları, çevremizdeki dünyanın özünü yalnızca tek taraflı olarak ortaya koymaktadır. Birçok gerçeklik olgusunun rastgele doğası, okul çocuklarımızın dikkatinin ötesindedir. Sonuç olarak, birçok doğal ve sosyal sürecin doğası hakkındaki fikirleri tek taraflıdır ve modern bilim için yetersizdir. Onları, nesnelerin ve fenomenlerin varlığının çok yönlü bağlantılarını ortaya çıkaran istatistiksel yasalarla tanıştırmak gerekir. VE. Levin şunları yazdı: “… Aktivite için gerekli olan istatistiksel kültür, erken yaşlardan itibaren yetiştirilmelidir. Gelişmiş ülkelerde buna çok dikkat edilmesi tesadüf değildir: öğrenciler daha ilk okul yıllarından itibaren olasılık teorisi ve istatistiğin unsurları ile tanışırlar ve eğitimleri boyunca, yaygın olarak karşılaşılan durumların analizine olasılıksal ve istatistiksel yaklaşımlar kazanırlar. gündelik Yaşam. " 1980'lerin reformu ile, olasılık ve istatistik teorisinin unsurları, özellikle fizik ve matematik ve doğa bilimlerinde uzmanlaşmış sınıfların müfredatına ve ayrıca matematik çalışmasında seçmeli bir derse dahil edildi. Öğrencilerin düşünmelerinin bireysel niteliklerinin geliştirilmesine yönelik acil ihtiyaç dikkate alındığında, yazarın olasılık teorisindeki seçmeli dersler konusundaki gelişmeleri ortaya çıkmaktadır. Bunun bir örneği N.N. Avdeeva 7. ve 9. sınıflar için istatistik ve ortaokul 10. sınıf için matematiksel istatistik unsurları üzerine bir ders. 10. sınıfta, sonuçları, öğretmenlerin gözlemleri ve öğrencilerle yapılan bir anketin yanı sıra, önerilen materyalin öğrenciler için oldukça erişilebilir olduğunu gösteren, onlara büyük ilgi uyandıran ve matematiğin özel uygulamasını gösteren testler yapıldı. bilim ve teknolojinin pratik problemlerini çözmek. Olasılık teorisinin unsurlarını okul matematiğinin zorunlu dersine sokma süreci çok zor bir konu oldu. Olasılık teorisinin ilkelerini özümsemek için, kalıplara aşina olma çerçevesinde geleneksel eğitim sırasında okul çocuklarında gelişenlerden temelde farklı olan bir ön fikir, algı, alışkanlık stoğunun gerekli olduğuna dair bir görüş vardır. kesinlikle şartlandırma fenomenleri. Bu nedenle, bazı eğitimcilere - matematikçilere göre, olasılık teorisi, çevremizdeki dünyanın fenomenlerinin olasılıklı doğası hakkında fikirlerin oluşumunu, sistemleştirilmesini ve geliştirilmesini sağlayacak bağımsız bir bölüm olarak okul matematiğine girmelidir. Okul kursunda olasılık teorisi çalışması yakın zamanda tanıtıldığından, bu materyalin okul ders kitaplarında uygulanmasıyla ilgili şu anda sorunlar var. Ayrıca, bu dersin özgünlüğü nedeniyle, metodolojik literatürün miktarı da hala azdır. Literatürün büyük çoğunluğunda ana hatlarıyla belirtilen yaklaşımlara göre, bu konunun çalışılmasındaki ana şeyin öğrencilerin pratik deneyimi olması gerektiğine inanılmaktadır, bu nedenle öğrenmeye bir soru bulmanın gerekli olduğu sorularla başlanması tavsiye edilir. gerçek bir durumun arka planına karşı ortaya çıkan soruna çözüm. Öğrenme sürecinde, tüm teoremler kanıtlanmamalıdır, çünkü buna çok zaman harcanır, kursun görevi ise yararlı beceriler geliştirmektir ve teoremleri kanıtlama yeteneği bu becerilere ait değildir. Olasılık teorisinin kökeni, şu soruya bir cevap arayışında ortaya çıktı: Bu veya bu olay, aynı koşullar altında meydana gelen rastgele sonuçlara sahip daha geniş bir deneme dizisinde ne sıklıkla meydana geliyor? Bir olayın meydana gelme olasılığını değerlendirirken, sık sık “Bu çok olası”, “Kesinlikle gerçekleşecek”, “Muhtemel değil”, “Asla olmayacak” deriz. Piyango bileti alarak kazanabilirsiniz ama kazanamazsınız; yarın matematik dersinde tahtaya çağrılabilir veya çağrılmayabilirsiniz; bir sonraki seçimlerde iktidar partisi kazanabilir veya kazanamayabilir. Basit bir örneğe bakalım. En az ikisinin aynı doğum gününe sahip olması için (doğum yılı dikkate alınmadan gün ve ay anlamına gelir) %100 olasılıkla belirli bir grupta kaç kişi olması gerektiğini düşünüyorsunuz? Bu artık yıl anlamına gelmez, yani. 365 gün olan bir yıl. Cevap açık - grupta 366 kişi olmalı. Şimdi başka bir soru: aynı doğum gününe sahip bir çifti %99.9 olasılıkla bulabilmek için kaç kişi olması gerekir? İlk bakışta her şey basit - 364 kişi. Aslında 68 kişi yeter! Böyle ilginç hesaplamalar yapmak ve kendimiz için olağandışı keşifler yapmak için, matematiğin böyle bir bölümünü "Olasılık Teorisi" inceleyeceğiz.

BÖLÜM I. TEMEL OKUL MATEMATİK DERSİNDE OLASILIK-İSTATİSTİKSEL ÇİZGİ

1.1 İstatistiksel düşünme ve okul matematik eğitimi

Her çağın matematik ve matematik eğitimi için kendi gereksinimleri vardır. Şu anda, ortaokulun alt sınıflarından başlayarak okul matematik dersinde olasılıksal - istatistiksel çizginin güçlendirilmesini savunan metodolojistlerin sesleri giderek daha yüksek hale geliyor. Ancak birçok matematik öğretmeni uzun süredir kombinatorik, olasılık teorisi, istatistik sorularıyla, yani matematiğin olasılıksal-istatistiksel yönüne dahil olan her şeyle ilgilenmedi. Gelişmiş konular hakkındaki bilgilerini genişletmeleri gerekiyor. Ülkemizde olasılık teorisi ve matematiksel istatistik alanında en otoriter araştırmacı Boris Vladimirovich Gnedenko'dur (1912-1995). Okulda Matematik dergisinde birçok makalenin yazarıydı.

Görünüşe göre okulda neyin ve nasıl öğretileceği, öncekinden daha iyi bir çözüm verildikten sonra bile sürekli olarak ortaya çıkan sonsuz sorunların sayısına ait olacaktır. Ve bu kaçınılmazdır, çünkü bilimsel bilgimiz ve çevremizdeki fenomenleri açıklamaya yönelik yaklaşımlarımız sürekli artmaktadır. Kuşkusuz, okul öğretiminin içeriği bilimin ilerlemesiyle değişmeli, biraz geri kalmalı ve yeni bilimsel fikirlerin ve kavramların psikolojik ve metodolojik olarak kabul edilebilir biçimler almasını mümkün kılmalıdır.

Bununla birlikte, belirli bir bilimin okul dersinin içeriğinin ve doğasının, ilgili bilimsel bilgi dalının durumu ve merkezi kavramları hakkında hakim fikirler tarafından tamamen belirlenmesi gerektiğine inanmak büyük bir hata olacaktır. Okul çocuklarının ezici çoğunluğu bu bilim alanında uzman olmayacak. Yazarlar, sanatçılar, sanatçılar gibi diğer bilimsel ilgi alanlarının ve pratik faaliyet alanlarının temsilcilerinin yanı sıra liberal mesleklerin temsilcilerini içerecekler. Bu nedenle, tüm öğrencilerin okulda yerleşik bilimsel kavramlar hakkında bilgi edinmeleri ve sağlam bir bilimsel bilgi temeli edinmelerinin yanı sıra, mantıksal olarak akıl yürütme ve düşüncelerini açık bir şekilde ifade etme yeteneği kazanmaları gerekir. Okul, bilimin ve kavramının pratikle yakından ilişkili olduğu fikrini vermelidir, buradan sorunları, fikirleri hakkında ifadeler alır ve daha sonra ana problemlerini çözmek için uygulamaya geri döner, onun için yeni yöntemler yaratır. Bu olmadan eğitim yarım kalacak, hayattan kopacak ve okul öğrencileri için sayısız zorluk yaratacaktır. Bu nedenle okul eğitiminin içeriği, günümüz uygulamalarının ve öngörülebilir geleceğin geniş çapta anlaşılan gereksinimlerinden etkilenmelidir.

Seçimler ve referandumlar, banka kredileri ve sigorta poliçeleri, istihdam tabloları ve kamuoyu yoklamaları hayatımıza egemen oldu. Toplum kendini daha derinden incelemeye başlar ve kendisi ve olasılık hakkında fikir gerektiren doğal olaylar hakkında tahminlerde bulunmaya çalışır. Gazetelerdeki hava durumu raporları bile "yarın %40 yağmur ihtimali var" diye bildiriyor.

Karmaşık, değişken ve çok yapılı bir toplumda bir vatandaşın tam teşekküllü varlığı, mevcudiyeti ve güvenilirliği ile bilgi alma hakkı ile, yetenek olmadan gerçekleştirilemeyen bilinçli bir seçim hakkı ile doğrudan ilgilidir. genellikle eksik ve çelişkili bilgilerin analizine ve işlenmesine dayalı seçimler ve tahminler yapmak.

Çocuklara olasılıklı bir durumda yaşamayı öğretmeliyiz. Bu da, bilginin çıkarılması, analiz edilmesi ve işlenmesi, rastgele sonuçlarla çeşitli durumlarda bilinçli kararlar alınması anlamına gelir. Demokratik düşünce ilkelerine yönelim, gerçek durumların ve olayların olası gelişiminin çok değişkenliliği, kişiliğin oluşumu, karmaşık, sürekli değişen bir dünyada yaşama ve çalışma yeteneği, kaçınılmaz olarak olasılıksal ve istatistiksel düşüncenin gelişmesini gerektirir. genç nesil. Bu problem, bir okul matematik dersinde, tanımlayıcı istatistikler ve matematiksel istatistik unsurları ile ilgili bir dizi soru temelinde, kombinatoryal ve olasılıksal düşünmenin oluşumu ile çözülebilir (12). Ancak, yeni nesilde olasılıkçı düşüncenin oluşması ihtiyacını sadece sosyo-ekonomik durum belirlemez. Olasılık yasaları evrenseldir. Dünyanın bilimsel resmini tanımlamanın temeli oldular. Modern fizik, kimya, biyoloji, demografi, sosyoloji, dilbilim, felsefe, tüm sosyo - ekonomik bilimler kompleksi olasılıksal - istatistiksel bir temelde inşa edilir ve gelişir. Bir genç, bu dünyadan boş bir duvarla ayrılmaz ve hayatında sürekli olarak olasılıksal durumlarla karşı karşıya kalır. Oyun ve heyecan, bir çocuğun hayatının önemli bir parçasıdır. "Olasılık" ve "güvenilirlik" kavramları arasındaki ilişki, çeşitli seçenekler arasından en iyi çözümü seçme sorunu, risk derecesini ve başarı şansını değerlendirme sorunu, adalet ve adaletsizlik fikri oyunlarda ve gerçek hayattaki çatışmalarda - tüm bunlar şüphesiz gençlerin gerçek çıkarları alanındadır. Bu tür problemleri çözme hazırlığı, okul matematiği dersi tarafından ele alınmalıdır.

Bugün bilimde rastgelelik kavramı temel bir önem kazanmıştır ve en uygun çözümleri bulma yolunda emin adımlarla ilerlemektedir. Rastgele kavramını okul öğretimine sokmak için özellikle acil bir ihtiyaç vardır ve bu sadece bilimsel ve pratik bir düzenin gerekliliklerinden değil, aynı zamanda tamamen metodolojik kaygılardan da kaynaklanmaktadır. Aynı zamanda, klasik Rus eğitimi sistemi, öncelikle matematik ve diğer konularda açıkça deterministik ilke ve yaklaşımlara dayanmaktadır. Okulun duvarları içinde oluşan determinist dünya resmi ile olasılık ve istatistik yasalarına dayanan modern bilimsel kavramlar arasındaki çelişkiyi ortadan kaldırmaz, en azından zayıflatmazsanız, istatistiğin temellerini ve teoriyi ortaya koymadan imkansızdır. zorunlu okul eğitimine girme olasılığı. Modern okul matematik eğitimi kavramı, öncelikle çocuğun bireyselliğini, ilgi alanlarını ve eğilimlerini dikkate almaya odaklanır. Bu, içeriğin seçimi, yeni, etkileşimli öğretim yöntemlerinin geliştirilmesi ve uygulanması, öğrencinin matematiksel hazırlığı için gereksinimlerdeki değişiklikler için kriterleri belirler. Aynı zamanda, siyah ve beyaz arasında tüm renk ve tonlar, olasılıklar ve seçenekler ve kesin "evet" ve "hayır" arasında çok tuhaf bir matematik alanı ile okul çocuklarının tanışması bir de "belki" vardır (ve bu "belki" sıkı bir niceliksel değerlendirmeye uygundur!), matematik dersinde olup bitenlerin dış dünyayla, günlük yaşamla hiçbir ilgisi olmadığına dair köklü duyguyu ortadan kaldırmaya yardımcı olur. hayat.

Fizyolog ve psikologların verilerine ve matematik öğretmenlerinin sayısız gözlemlerine göre, genel olarak öğrenme sürecine ve özel olarak matematiğe olan ilgide azalma. Temel okulda, beşinci veya dokuzuncu sınıflarda, olağan şemaya göre ve geleneksel materyal üzerinde yürütülen matematik derslerinde, öğrenci genellikle tarif edilen soyut-biçimsel nesneler ile etrafındaki dünya arasında aşılmaz bir duvar hissi yaşar. Olasılıksal-istatistiksel çizgi ya da son zamanlarda adlandırıldığı gibi stokastik çizgidir ve bu, çevreleyen dünyada gözlemlenen süreçlere, çocuğun gerçek yaşam deneyimine güvenmeden incelenmesi imkansızdır. "matematiğin" konusuna olan ilginin geri dönüşüne katkıda bulunmak, önemini ve evrenselliğini teşvik etmek. Son olarak, açık toplum kavramı, Avrupa ve dünya entegrasyon süreçleri, eğitim alanı da dahil olmak üzere ülkelerin ve halkların karşılıklı yakınlaşması ile ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Dünyanın en güçlü ve tanınmış okul matematik eğitimi geleneklerinden birine sahip olan Rusya, aynı zamanda, matematikteki ana okul kursunda, istatistik ve olasılık teorisinin hiçbir temelinin bulunmadığı tek gelişmiş ülke değildir. . Ülkemizde ortaya çıkan ekonomik dönüşüm eğilimleri, çok yakın gelecekte toplumun, birçok okul mezununun olmak zorunda kalacağı yeni bir üretim türünün organizatörleri ve katılımcıları için talep göreceğini gösteriyor. Faaliyetleri için çok gerekli olan stokastik kültür, erken yaşlardan itibaren yetiştirilmelidir. Gelişmiş ülkelerde buna çok dikkat edilmesi tesadüf değildir: öğrenciler daha ilk okul yıllarından itibaren olasılık teorisi ve istatistiğin unsurları ile tanışırlar ve eğitimleri boyunca, yaygın olarak karşılaşılan durumların analizine olasılıksal ve istatistiksel yaklaşımlar edinirler. gündelik Yaşam.

Ortaokulda olasılıksal - istatistiksel materyal çalışmasına yönelik yaklaşım örneklerinin sayısı çok fazla verilebilir, çünkü son yirmi yılda neredeyse her ülke bu materyali okul müfredatına soktu ve bir veya birkaç yaklaşım önerdi. ders çalışma. Polonya, İsveç, İsrail, Fransa'da ilginç eserler ortaya çıktı. Ortaokulda olasılıksal - istatistiksel materyal çalışması için bir sistemin oluşturulmasıyla ilgili sorunlar ülkemizde yeterince ele alınmamaktadır. Farklı ülkelerdeki ortaöğretim okullarında olasılık teorisi ve istatistik unsurlarını incelemek için bildiğimiz yaklaşımların bir analizi, aşağıdaki sonuçları çıkarmamızı sağlar:

Ülkelerin büyük çoğunluğunda bu materyal ilkokulda okutulmaya başlar;

Tüm yıllar boyunca, öğrenciler ampirik verilerin analizine yönelik olasılıksal ve istatistiksel yaklaşımlarla tanışırlar ve bunda önemli bir rol, uygulamalı nitelikteki görevler, gerçek durumların analizi;

Öğrenme sürecinde, öğrencilerin küçük gruplar halinde çalışmasını, kendi başlarına veri toplamasını, grup çalışmasının sonuçlarını özetlemesini, bağımsız araştırma yapmasını, pratik çalışma yapmasını, deneyler kurmasını, küçük laboratuvar çalışması yapmasını gerektiren görevlere büyük bir rol verilir. uzun vadeli kurslar hazırlayın - tüm bunlar, olasılıksal orijinallik - istatistiksel materyal, pratik faaliyetlerle yakın ilişkisi tarafından belirlenir;

Stokastik çalışması, olduğu gibi, birbirleriyle yakından ilişkili olasılıksal ve istatistiksel bileşenlere ayrılır, birçok ülkede küçük bir kombinatorik parçası ile desteklenirler.

Ülkemizde, bir olayın olasılığı kavramını matematik dersine sokmak için zaten başarısız girişimlerde bulunulmuştur. Geleneksel okul kursuyla ilgili izolasyonu ve yabancılığı nedeniyle, bu materyal kısa süre sonra programlardan ve ders kitaplarından kaldırıldı.

Olasılık teorisinin öğelerini öğretme konusunda bazı deneyimler, ileri matematik eğitimi olan okullarda birikmiştir, ancak bu yalnızca, geleneksel matematik dersine yeni bir yalıtılmış bölüm ekleyerek sorunu çözme girişimlerinin başarısızlığa mahkum olduğu gerçeğini doğrular. Olasılık teorisinin unsurlarının programın "saf", teorik matematik ile ilgili kapalı bir bölümü olarak incelenmesi, öğretmenlerin gözünde kendini tamamen gözden düşürmüş ve bazılarının genel olarak yapabileceği ve yapabileceği konusunda şüpheler ifade etmesine neden olmuştur. ortaokulda okutulmalıdır. Aynı zamanda, fizik, kimya, biyoloji öğretmenleri, bu bilimlerin temel yasalarını olasılık kavramlarının dilinde ifade etmeye acil bir ihtiyaç duyuyorlar. Sonuçta, dünya hakkındaki insan bilgisinin mevcut durumu, rastgele doğanın mikro dünyanın temel (temel) fenomenlerinde içsel olduğunu düşünmemize izin veriyor.

Okul müfredatında, öğrencileri çevreleyen gerçekliğin fenomenlerinin çoğunun olasılıklı doğası hakkında bilgilendirmeye odaklanan olasılıksal - istatistiksel bir çizginin ortaya çıkması, genel kültürel potansiyelinin güçlendirilmesine, yeni, derinlemesine kanıtlanmış disiplinlerarası ortaya çıkmasına katkıda bulunacaktır. bağlantılar ve okul matematik eğitiminin insancıllaştırılması.

Yeni bir okul kursu dizisi için materyal seçerken, önerilen konuların genel eğitimsel önemini ve ideolojik potansiyelini dikkate almak gerekir. Modern bir insanın günlük yaşamda ve etkinliklerde hangi bilgilere ihtiyacı olduğunu, bir öğrencinin diğer okul derslerini incelemek, eğitime devam etmek için bunlardan hangilerine ihtiyaç duyacağını, bu bilginin öğrencinin çeşitli yönlerinin oluşumuna ne gibi katkılar sağlayabileceğini doğru bir şekilde değerlendirmek önemlidir. akıl. Önerilen içeriğin, yeni eğitim materyalinin geleneksel olanla organik olarak birleştirilmesi olasılığını sağlamasına ve konu içi bağlantıların gelişimini teşvik etmesine de dikkat etmek gerekir.

Ve bugün ülkemizde stokastiklerin zorunlu matematik eğitimine eşit bir bileşen olarak girmesinin kaçınılmaz bir süreci var.

Son yılların tüm devlet eğitim belgeleri, temel okulun matematik dersinde "Sayılar", "Fonksiyonlar", "Denklemler ve Eşitsizlikler", "Geometrik Şekiller" gibi tanıdık satırlarla birlikte olasılıksal-istatistiksel bir çizgi içerir.

1.2 Ortaokulda olasılık teorisini çalışmanın psikolojik ve pedagojik yönleri

olasılık teorisi orta okul

Psikologların araştırması (J. Piaget, E. Fishbein), bir kişinin başlangıçta olasılıksal değerlendirmeye, olasılıksal ve istatistiksel bilgilerin anlaşılmasına ve doğru yorumlanmasına zayıf bir şekilde adapte olduğunu göstermektedir. E. A. Bunimovich (Moskova, stokastik unsurları içeren ders kitaplarının yazarlarından biri) tarafından Moskova spor salonu 710, Yaroslavl spor salonu 20 ve Kaluga spor salonu 2 temelinde yürütülen deneyler aynı şeyi göstermektedir. ancak henüz olasılıksal bölümleri incelemedim. Araştırma sonuçları, matematiğin diğer dallarını iyi bilmenin ve anlamanın bile başlı başına olasılıklı düşünmenin gelişmesini sağlamadığını ve hatta önemsiz olasılıkçı önyargı ve sanrılardan bile kurtulmadığını açıkça göstermektedir (7).

Bir örnek verelim. Öğrencilere şu soru soruldu:

"Bir spor loto kartında (49'da 6'sında) üzeri çizili sayılar var

1, 2, 3, 4, 5 ve 6,

ve diğerinde

5, 12, 17, 23, 35 ve 41.

Hangi sayı kümesinin kazanma olasılığının daha yüksek olduğunu düşünüyorsunuz?"

Deneydeki tüm katılımcılardan lise öğrencilerinin %22'si ikinci kartın daha olası olduğunu söyledi. İlginç olan, farklı okullardan (Moskova ve Yaroslavl) iki okul çocuğunun neredeyse aynı cevabıdır: "Genel olarak, her iki durum da eşit derecede olasıdır, ancak ikinci durum daha olasıdır", bu da okul çocuklarının günlük ve bilimsel fikirleri arasındaki açık çelişkiyi ifade eder.

Matematik dersinin temel dersten çok daha derin olduğu, ancak olasılıksal ve istatistiksel materyalin bulunmadığı özel kimyasal ve biyolojik ekonomik sınıfların neredeyse aynı sonucu vermesi ilginçtir (cevapların %30'una kadar - “ikinci seti kazanmak” daha olasıdır”). 1998'de Moskova'daki tazeleme kurslarında matematik öğretmenlerine sunulan testte benzer bir soruya verilen cevapların sonuçları sunulan verilerden çok farklı değildir.

Bu arada, matematiksel oyunların ve paradoksların ünlü aşığı Martin Gardner'ın benzer bir vesileyle, aslında 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 kombinasyonlarını veya diğer "normal" kombinasyonları aşmanın daha karlı olduğunu yazdığını belirtelim. "kombinasyonu. Kazanma şansı aynıdır, ancak kazanma durumunda miktar önemli ölçüde daha yüksek olabilir, çünkü herhangi birinin 1'den 6'ya kadar olan sayıları aşması olası değildir ve bu nedenle, başarı durumunda, siz ödül fonunu kimseyle paylaşmak zorunda kalmayacak.

İlkokul çağında, öğrencilerin dünya hakkındaki fikirlerinin çoğu hala yeterince oluşmamıştır ve olasılık kavramlarını açıklamak için yeterli matematiksel araç (her şeyden önce basit kesirler) yoktur. Aynı zamanda, tanımlayıcı istatistiklerin temelleri, tablolar ve çubuk çizelgelerin yanı sıra kombinatoriklerin temelleri, küçük bir dizi konuda olası seçeneklerin sistematik bir şekilde sıralanması mümkündür ve hatta ilkokul kursuna dahil edilmesi zorunludur.

Lisede olasılık teorisinin temellerini özetlemeye başlamak etkisizdir. Bu çağın geliştirdiği, geleneksel matematik dersinin oluşturduğu bilgiyi hızlı bir şekilde resmileştirme arzusu, derste öğrenme arzusu, her şeyden önce, belirli bir dizi kural, algoritma ve hesaplama yöntemleri, aslında olasılıklı temsillerin oluşumunu resmi olarak değiştirir. kombinatorik formüllerinin öğrenilmesi ve klasik Laplace modeline göre olasılık hesaplanması.

İstatistiksel düşünmenin unsurları okulda sadece matematikte değil, bir dizi derste tanıtılmalıdır. Botanik ve zooloji, astronomi ve fizik, Rus dili ve tarihi derslerinde, zaman zaman, doğru yerde, bu bilim disiplini tarafından incelenen fenomenlerin rastgeleliği hakkında makul açıklamalar yapıldığından emin olmak gerekir. . Doğal olarak, matematik aynı anda bir yana duramaz. Çocuklar, rastgele dünya hakkındaki ilk fikirleri, onları çevreleyen yaşamda gözlemleyerek edinirler. Aynı zamanda, gözlemlenen fenomenlerin önemli karakteristik özellikleri, istatistiksel bilgilerin toplanması ve görsel sunumu sırasında netleştirilir. İstatistiksel bilgileri kaydetme ve bunları zaten kendi içinde en basit tablolar ve diyagramlar şeklinde sunma yeteneği, öğrencide bazı istatistiksel deneyimlerin varlığını karakterize eder. Henüz tam olarak gerçekleştirilmemiş olsa da, gerçek fenomenlerin belirsizliği ve değişkenliği, gözlemlerin rastgele, güvenilir ve imkansız sonuçları, belirli istatistiksel toplama türleri, özellikleri ve genel özellikleri hakkındaki fikirleri yansıtır. Bu beceriler, yalnızca belirgin bir rastgeleliğe sahip fenomenler hakkında değil, aynı zamanda rastgele doğası açık olmayan ve algıyı zorlaştıran birçok faktör tarafından gizlenen bu tür fenomenler hakkında da doğru bir fikir oluşturmayı mümkün kılar.

Günlük yaşamda ve işte, bir lise mezunu sürekli olarak bazı bilgileri edinme ve resmileştirme ihtiyacı ile karşı karşıya kalır. Fizik, kimya, biyoloji derslerinde, laboratuvar ve uygulamalı çalışmalar yaparken, öğrenci gözlem ve deney sonuçlarını çıkarabilmelidir; coğrafya, tarih, sosyal bilgiler derslerinde, grafik olarak sunulan bilgileri algılamak için tabloları ve referans kitaplarını kullanması gerekir. Bu beceriler her insan için gereklidir, çünkü çeşitli biçimlerde sunulan istatistiksel materyallerle, gazetelerde, dergilerde, kitaplarda, televizyonda vb.

İncelenen stokastik fenomenin doğasını anlamak, ana şeyi vurgulama, tabloları, diyagramları ve grafikleri incelerken özellikleri ve eğilimleri görme yeteneği ile ilişkilidir. Tabloları ve grafikleri "okurken" en basit beceriler, bir kişinin gözlemlenen fenomenlerin bazı modellerini fark etmesine, fenomenlerin belirli özelliklerini, doğal özellikleriyle ve istatistiksel verilerin sunum biçimlerinin arkasındaki nedensel ilişkileri görmesine izin verir.

İncelenen fenomenlerin tipik özellikleri, genel eğilimleri, ortalama istatistiksel özellikler kullanılarak tanımlanabilir. Bunları kullanma yeteneği, öğrencinin rastgele dünyasındaki merkezi eğilimlerle ilişkili fikirlerin varlığını karakterize eder. Aritmetik ortalama gibi en basit ortalamaların anlamını anlamak her öğrenci için gereklidir.

Çevreleyen fenomenlerin stokastik doğası, değişkenlik derecesi anlaşılmadan açıklanamaz. Bu nedenle, fenomenlerin ve süreçlerin özünün daha iyi anlaşılmasına katkıda bulunan istatistiksel verilerin yayılmasının nicel bir değerlendirmesine ihtiyaç vardır, bu da istatistiksel kümeleri varyasyon derecelerine göre karşılaştırmayı mümkün kılar.

Stokastik düşüncenin en önemli bileşenlerinden biri, dünyada istikrarlı olan rastgelelik anlayışı, rastgele gerçeklerin sıralanmasıdır. Öğrencilerin, rastgele olayların bireysel yönlerini, herhangi bir ara bağlantı olmadan, yaşamda kendiliğinden algılamalarına izin verilmemelidir. Burada merkezi yer, büyük sayılar yasasının çeşitli deneysel temsilleriyle ilişkili kavramlar tarafından işgal edilmiştir. En basit ve en erişilebilir yol, olasılık kavramını gözlem sayısındaki artışla "teorik olarak beklenen" bir frekans değeri olarak oluşturmaktır. Aynı zamanda, olasılık ve ampirik prototipi - frekans arasındaki ilişkiyi anlamak, frekansın istatistiksel kararlılığının farkına varılmasına yol açar. Aynı zamanda, bazı teorik düşüncelere dayanarak, belirli bir olayın meydana gelme olasılığının nicel bir değerlendirmesinin deneyden önce yapılabileceğinin anlaşılması önemli bir rol oynar. Böylece klasik şemadaki olasılıkların hesaplanmasına geliyoruz.

Matematik öğretiminde olasılıksal sezginin gelişmemesi durumunda doğru fikir ve kavramlar yerine öğrenciler yanlış görüşler edinmekte, hatalı yargılar ifade etmektedirler.

Okulda olasılıksal - istatistiksel materyali çalışmanın önemli hedeflerinden biri, olasılıksal sezginin geliştirilmesi, rastgele olayların özellikleri hakkında yeterli fikirlerin oluşturulmasıdır. Gerçekten de, hayatta çok sık olarak, olasılıkları değerlendirmek, hipotezler ve önerilerde bulunmak, durumun gelişimini tahmin etmek, bir hipotezi doğrulama olasılıkları hakkında konuşmak vb. rastgelelik dünyasında istikrar, düzenlilik, mevcut bilgilerden en eksiksiz ve doğru sonuçların çıkarılmasını sağlar.

Burada, hem erken biçimselleştirmenin hem de şimdi bazı deneysel programlara yansıyan diğer uç noktanın - matematik dersinin dışında, olasılıksal modellerin inşasının dışında olasılık hakkında bitmeyen tartışmaların eşit derecede etkisiz ve hatta tehlikeli olduğuna dikkat çekiyoruz.

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR

2.1 Kombinatorik Elemanları

Kurs çalışması, kombinatorik temellerinin incelenmesiyle başlamalı ve buna paralel olarak, kombinatorik olasılıkları hesaplamak için kullanıldığından, olasılık teorisi çalışılmalıdır. Kombinatoryal yöntemler fizik, kimya, biyoloji, ekonomi ve diğer bilgi alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Bilimde ve uygulamada, sonlu sayıda öğenin çeşitli kombinasyonlarını yapmak ve kombinasyon sayısını saymak zorunda olan problemlerle sıklıkla karşılaşılır. Bu tür problemlere kombinatoryal problemler ve matematiğin bu problemlerle ilgilenen dalına kombinatorik denir. Kombinatorik, sonlu kümelerdeki eleman sayısını saymanın yollarını inceler. Olasılıkları hesaplamak için kombinatoryal formüller kullanılır. n elemandan oluşan bir X kümesi düşünün. Bu kümeden k elemanlı Y'nin çeşitli sıralı alt kümelerini seçeceğiz. Bir X kümesinin n elemanının k eleman tarafından düzenlenmesi, bir X kümesinin herhangi bir sıralı elemanıdır. X kümesinin her elemanı birkaç kez seçilebilir, ardından n'den k'ye kadar olan yerleşim sayısı formülle bulunur (tekrarlı yerleşimler). Seçim iade edilmeden yapılırsa, yani. X kümesinin her elemanı yalnızca bir kez seçilebilir, ardından n'den k'ye kadar olan yerleşim sayısı gösterilir ve eşitlikle belirlenir (tekrarsız yerleşimler). n = k için yerleştirmenin özel durumuna n elemanın permütasyonu denir. n elemanın tüm permütasyonlarının sayısı eşittir.Şimdi X kümesinden sırasız bir Y alt kümesi seçilsin (alt kümedeki elemanların sırası önemli değildir). n elemanın k ile kombinasyonlarına, birbirinden en az bir eleman ile farklılık gösteren k elemanın alt kümeleri denir. n'den k'ye kadar olan tüm kombinasyonların toplam sayısı belirtilir ve eşittir. Bir nesne koleksiyonundan bir nesne A nesnesi m yolla seçilebiliyorsa ve başka bir B nesnesi n yolla seçilebiliyorsa, A veya B m + n yolla seçilebilir. Ürün kuralı. A nesnesi bir dizi nesneden m şekilde seçilebiliyorsa ve bu tür her seçimden sonra B nesnesi n yolla seçilebilirse, m * cinsinden belirtilen sırada bir çift nesne (A, B) seçilebilir. n yollar.

2.2 Olasılık teorisi

Günlük yaşamda, pratik ve bilimsel faaliyetlerde genellikle belirli fenomenleri gözlemler, belirli deneyler yaparız. Gözlem veya deney sırasında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya rastgele olay denir. Örneğin, tavandan sarkan bir ampul var - ne zaman yanacağını kimse bilmiyor. Her rastgele olay, çok sayıda rastgele değişkenin (madalyonun atılma kuvveti, madeni paranın şekli ve çok daha fazlası) eyleminin bir sonucudur. Tüm bu nedenlerin sonucu üzerindeki etkiyi hesaba katmak imkansızdır, çünkü sayıları çoktur ve eylem yasaları bilinmemektedir. Rastgele olayların yasaları, olasılık teorisi adı verilen özel bir matematik dalı tarafından incelenir. Olasılık teorisi, tek bir olayın olup olmayacağını tahmin etme görevini üstlenmez - basitçe yapamaz. Kitlesel homojen rastgele olaylardan bahsediyorsak, o zaman belirli yasalara, yani olasılık yasalarına uyarlar. İlk olarak, olayların sınıflandırılmasına bakalım. Ortak ve uyumsuz olayları ayırt edin. Olaylardan birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelmesini engellemiyorsa, olaylara ortak denir. Aksi takdirde, olayların tutarsız olduğu söylenir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay A - ilk zarda üç puan, olay B - ikinci zarda üç puan. A ve B ortak olaylardır. Mağazanın aynı stil ve boyutta, ancak farklı renkte bir grup ayakkabı almasına izin verin. Olay A - rastgele alınan kutu siyah ayakkabılarla sonuçlanacak, olay B - kutu kahverengi ayakkabılarla sonuçlanacak, A ve B uyumsuz olaylardır. Belirli bir deneyimin koşullarında mutlaka gerçekleşecekse, bir olay güvenilir olarak adlandırılır. Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşemiyorsa, bir olay imkansız olarak adlandırılır. Örneğin, bir grup standart parçadan standart bir parçanın alınması olayı güvenilirdir, ancak standart olmayan bir parça imkansızdır. Bir olay, deneyim sonucunda ortaya çıkabiliyorsa, ancak görünmeyebilirse, olası veya tesadüfi olarak adlandırılır. Rastgele bir olayın bir örneği, bir bitmiş ürün partisinin kontrolü sırasında ürün kusurlarının tanımlanması, işlenmiş ürünün boyutu ile belirli bir ürün arasında bir tutarsızlık, otomatik kontrol sisteminin bağlantılarından birinin arızalanmasıdır. Test koşullarına göre, bu olayların hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha fazla mümkün değilse, olaylar eşit olarak mümkün olarak adlandırılır. Örneğin, bir mağazaya birkaç üreticiden ampuller (ve eşit miktarlarda) tedarik edildiğini varsayalım. Bu fabrikaların herhangi birinden bir ampul satın alma olayları da aynı derecede mümkündür. Önemli bir kavram, tam bir olay grubudur. Belirli bir deneyimdeki birkaç olay, eğer bunlardan en az biri mutlaka deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkıyorsa, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir vazoda on top vardır, altısı kırmızı, dördü beyaz ve beş top numaralandırılmıştır. A - bir çıkarmada kırmızı bir topun görünümü, B - beyaz bir topun görünümü, C - numaralı bir topun görünümü. A, B, C olayları, eksiksiz bir ortak olaylar grubu oluşturur. Olay zıt veya tamamlayıcı olabilir. Zıt bir olay, eğer bir A olayı gerçekleşmediyse mutlaka gerçekleşmesi gereken bir olay olarak anlaşılır.Karşıt olaylar bağdaşmaz ve tek olasıdır. Tam bir olaylar grubu oluştururlar. Örneğin, bir seri üretilmiş ürün, iyi ve kusurlu olanlardan oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bu iyi - A olayı veya kusurlu - olay olarak ortaya çıkabilir. Bir örneğe bakalım. Bir zar atılır (yani, kenarlarında 1, 2, 3, 4, 5, 6 noktaları nakavt olan küçük bir küp). Üst kenarına bir zar atarken bir puan, iki puan, üç puan vb. düşebilir. Bu sonuçların her biri rastgeledir. Böyle bir test yaptı. Zarların 100 defa atıldığı ve olayın kaç defa zara düştüğü gözlemlendi. Bu deney dizisinde "altı" nın 9 kez düştüğü ortaya çıktı. Bu testte söz konusu olayın kaç kez gerçekleştiğini gösteren 9 sayısına bu olayın sıklığı, frekansın toplam test sayısına oranına eşit olan bu olayın bağıl frekansı denir. . Genel olarak, belirli bir testin aynı koşullar altında tekrar tekrar yapılmasına izin verin ve her seferinde bizi ilgilendiren A olayının gerçekleşip gerçekleşmediği sabitlenir.Bir olayın olasılığı büyük harf P ile gösterilir. A olayı P (A) ile gösterilecektir. Olasılığın klasik tanımı: Bir A olayının olasılığı, yegane mümkün, eşit derecede mümkün ve tutarsız durumlardan toplam n sayısından, kendisi için uygun olan m durum sayısının n sayısına oranına eşittir. Sonuç olarak, bir olayın olasılığını bulmak için şunlar gereklidir: çeşitli test sonuçlarını göz önünde bulundurmak; tek mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlar kümesini bulun, toplam sayılarını n, bu olaya uygun durumların sayısını m hesaplayın; formülü kullanarak hesaplamayı gerçekleştirin. Formülden, bir olayın olasılığının negatif olmayan bir sayı olduğu ve toplam vaka sayısından uygun vaka sayısının ne kadar olduğuna bağlı olarak sıfırdan bire kadar değişebileceği sonucu çıkar: Başka bir örnek düşünün. Kutu içerisinde 10 adet top bulunmaktadır. 3 tanesi kırmızı, 2 tanesi yeşil, geri kalanı beyazdır. Rastgele çekilen bir topun kırmızı, yeşil veya beyaz olma olasılığını bulun. Kırmızı, yeşil ve beyaz topların görünümü tam bir olay grubunu oluşturur. Kırmızı topun görünüşünü belirleyelim - olay A, yeşilin görünüşü - olay B, beyazın görünüşü - olay C. Ardından, yukarıdaki formüllere göre şunu elde ederiz:; ; İkili uyumsuz iki olaydan birinin meydana gelme olasılığının, bu olayların olasılıklarının toplamına eşit olduğuna dikkat edin. A olayının göreceli sıklığı, A olayıyla sonuçlanan deney sayısının toplam deney sayısına oranıdır. Göreceli frekans ve olasılık arasındaki fark, olasılığın, deneylerin doğrudan bir ürünü olmadan ve bağıl frekansın - deneyden sonra hesaplanmasıdır. Yani yukarıda ele alınan örnekte, kutudan rastgele 5 top alınıyor ve 2 tanesi kırmızı çıkıyorsa, kırmızı topun ortaya çıkma sıklığı şöyledir: Gördüğünüz gibi, bu değer çakışmıyor. bulunan olasılık ile Yeterince fazla sayıda deney yapıldığında, bağıl frekans çok az değişir ve bir sayı civarında dalgalanır. Bu sayı bir olayın olasılığı olarak alınabilir. Geometrik olasılık. Olasılığın klasik tanımı, temel sonuçların sayısının sonlu olduğunu varsayar ve bu da pratikte uygulanmasını sınırlar. Sonsuz sayıda sonucu olan bir test yapıldığında, geometrik olasılık tanımı kullanılır - alana isabet eden nokta. Geometrik olasılık belirlenirken, bir N bölgesi ve içinde daha küçük bir M bölgesi olduğu varsayılır. N bölgesine rastgele bir nokta bırakılır (bu, N bölgesinin tüm noktalarının aşağıdakilere göre "eşit" olduğu anlamına gelir). rastgele atılan bir noktanın oradaki vuruşu). A Olayı - "M alanında atılan bir noktanın isabet etmesi". M alanına A olayı için elverişli denir. N alanının herhangi bir parçasına çarpma olasılığı, bu parçanın ölçüsüyle orantılıdır ve konumuna ve şekline bağlı değildir. Geometrik olasılığın kapsadığı alan şunlar olabilir: bir doğru parçası (ölçü uzunluktur) düzlemde bir geometrik şekil (ölçü alandır) uzayda bir geometrik cisim (ölçü hacimdir) Geometrik olasılığı tanımlayalım düz bir rakam durumunda. M alanı N alanının bir parçası olsun. A olayı, N alanına rastgele atılan bir noktanın M alanına çarpmasından oluşur. A olayının geometrik olasılığı, alanın alanının oranıdır. M alanının alanı N: Bu durumda, alanın sınırında yanlışlıkla atılan noktanın olasılığı sıfır olarak kabul edilir ... Bir örnek düşünün: On iki saatlik mekanik bir saat bozuldu ve yürümeyi bıraktı. Akrebin 5'te donup saat 8'e ulaşmama olasılığını bulun. Çözüm. Sonuçların sayısı sonsuzdur, geometrik olasılık tanımını uygularız. Saat 5 ile 8 arasındaki sektör, bu nedenle tüm kadranın alanının bir parçasıdır. Olaylar üzerindeki işlemler: A olayının uygulanması, B olayının uygulanmasını gerektiriyorsa ve bunun tersi de geçerliyse, A ve B Olayları eşit olarak adlandırılır. Olayların bir kombinasyonu veya toplamı, olaylardan en az birinin meydana gelmesi anlamına gelen A olayı olarak adlandırılır. A = Olayların kesişimi veya ürünü, tüm olayların uygulanmasından oluşan A olayıdır. bir =? A ve B olayları arasındaki farka C olayı denir, bu da A olayının gerçekleştiği, ancak B olayının gerçekleşmediği anlamına gelir C = A \ B Örnek: A + B - “2 düştü; 4; 6 veya 3 puan ”A B -“ 6 puan çekildi ”A - B -“ 2 ve 4 puan çekildi ”A olayına ek bir olay, A olayının olmadığı anlamına gelen bir olaydır. Deneyimin temel sonuçları, birbirini karşılıklı olarak dışlayan deneyimin sonuçlarıdır ve deneyimin bir sonucu olarak bu olaylardan biri meydana gelir, ayrıca A olayı ne olursa olsun, meydana gelen temel sonuca göre, bu olayın gerçekleşip gerçekleşmediği yargılanabilir. olmaz. Deneyimin tüm temel sonuçlarının toplamına, temel olayların alanı denir. Olasılıkların özellikleri: Özellik 1. Belirli bir A olayı için tüm durumlar uygunsa, bu olay mutlaka gerçekleşecektir. Sonuç olarak, söz konusu olay güvenilirdir ve bu durumda Özellik 2'den bu yana gerçekleşme olasılığı Bu A olayı için elverişli tek bir durum yoksa, bu olay deneyimin bir sonucu olarak gerçekleşemez. Sonuç olarak, söz konusu olay imkansızdır ve bu durumda m = 0: Özellik 3 olduğundan, meydana gelme olasılığı tam bir grup oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir. Özellik 4. Zıt olayın meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde belirlenir: burada (n-m), karşı olayın meydana gelmesi için uygun durumların sayısıdır. Bu nedenle, zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile A olayının meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir: Olasılıkların toplanması ve çarpımı. A olayı B olayının özel durumu olarak adlandırılır, eğer A gerçekleştiğinde B de meydana gelir.A, B'nin özel bir durumu olduğu için A? B yazarız. A ve B olaylarının her biri diğerinin özel durumu ise eşit olarak adlandırılır. A ve B olaylarının eşitliği A = B şeklinde yazılır. A ve B olaylarının toplamına A + B olayı denir ve bu olaylardan en az biri gerçekleşirse gerçekleşir: A veya B. Toplamayla ilgili teorem olasılıkların 1. İki uyumsuz olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. P = P + P Formüle edilen teoremin herhangi bir sayıda uyumsuz olay için geçerli olduğuna dikkat edin: Eğer rastgele olaylar tam bir uyumsuz olay grubu oluşturuyorsa, o zaman eşitlik P + P + ... + P = 1 ve sadece her iki olay da gerçekleştiğinde : A ve B aynı anda. Belirli bir test sırasında bu olayların her ikisi de meydana gelebilirse, rastgele A ve B olayları ortak olarak adlandırılır. Olasılıkların eklenmesiyle ilgili teorem 2. Ortak olayların toplamının olasılığı, P = P + P-P formülüyle hesaplanır. Toplama teoremi için problem örnekleri. Geometri sınavında öğrenci sınav soruları listesinden bir soru alır. Bunun yazılı bir daire sorusu olma olasılığı 0,2'dir. Bunun bir Paralelkenar sorusu olma olasılığı 0.15'tir. Bu iki konu ile aynı anda ilgili hiçbir soru yoktur. Bir öğrencinin sınavda bu iki konudan birine soru gelme olasılığını bulunuz. Çözüm. Uyumsuz iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: 0.2 + 0.15 = 0.35. Cevap: 0.35. Alışveriş merkezinde iki özdeş otomat kahve satıyor. Gün sonunda makinenin kahvesinin bitme olasılığı 0,3'tür. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0.12'dir. Günün sonunda her iki makinede de kahve kalma olasılığını bulun. Çözüm. A - “kahve birinci makinede biter”, B - “kahve ikinci makinede biter” olaylarını ele alalım. O zaman A · B - "her iki otomatta kahve biter", A + B - "kahve en az bir otomatta biter". Koşulla, P (A) = P (B) = 0.3; P(AB) = 0.12. A ve B olayları ortaktır, iki ortak olayın toplamının olasılığı, çarpımlarının olasılığı olmadan bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P (A + B) = P (A) + P (B) ? P (AB) = 0,3 + 0,3? 0.12 = 0.48. Bu nedenle, kahvenin her iki makinede de kalma olasılığının tersi olma olasılığı 1? 0,48 = 0,52. Cevap: 0.52. A ve B olaylarının olayları, birinin ortaya çıkması diğerinin ortaya çıkma olasılığını değiştirmiyorsa bağımsız olarak adlandırılır. A olayının olasılığı, B olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı olarak değişirse, A olayının B olayına bağlı olduğu söylenir. A olayının koşullu olasılığı P (A | B), B olayının meydana geldiği koşul altında hesaplanan olasılıktır. Benzer şekilde, P (B | A), A'nın gerçekleşmesi koşuluyla, B olayının koşullu olasılığını belirtir. Bağımsız olaylar için tanım gereği, P (A | B) = P (A); P (B | A) = P (B) Bağımlı olaylar için çarpma teoremi Bağımlı olaylar üretme olasılığı ve0.01 = 0.0198 + 0.0098 = 0.0296 çarpımına eşittir. Cevap: 0.0296.

2003 yılında, kapsamlı bir okulun okul matematik dersinde olasılık teorisinin unsurlarının dahil edilmesine karar verildi (Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı'nın 23.09.2003 tarih ve 03-93in / 13-03 sayılı talimat mektubu "On matematik eğitimi ilkokulunun içeriğinde kombinatorik, istatistik ve olasılık teorisi unsurlarının tanıtılması "," Okulda Matematik ", 2003 için No. 9). Bu zamana kadar, on yıldan fazla bir süredir olasılık teorisinin unsurları, farklı sınıflar için iyi bilinen cebir okul ders kitaplarında çeşitli biçimlerde mevcuttu (örneğin, IF "Cebir: Eğitim kurumlarının 7-9. GV Dorofeev tarafından; " Cebir ve analizin başlangıcı: 10-11 sınıf eğitim kurumları için ders kitapları "GV Dorofeev, LV Kuznetsova, EA Sedova") ve ayrı ders kitapları şeklinde. Bununla birlikte, kural olarak, olasılık teorisi ile ilgili materyallerin sunumu sistematik değildi ve öğretmenler çoğu zaman bu bölümlere atıfta bulunmadı, bunları müfredata dahil etmedi. 2003 yılında Eğitim Bakanlığı tarafından kabul edilen belge, bu bölümlerin okul kurslarına kademeli, aşamalı olarak dahil edilmesini sağlayarak, öğretim topluluğunun ilgili değişikliklere hazırlanmasına izin verdi. 2004-2008'de. mevcut cebir ders kitaplarını desteklemek için bir dizi ders kitabı yayınlanmıştır. Bunlar Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Olasılık teorisi ve istatistik", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Olasılık teorisi ve istatistik: Öğretmenler için metodolojik rehber", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Cebir: istatistik unsurları ve olasılık teorisi: ders kitabı. 7-9 sınıf öğrencileri için bir el kitabı. Genel Eğitim. kurumlar ", Tkacheva MV, Fedorova N.Ye. “İstatistik ve olasılık unsurları: Ders kitabı. 7-9 sınıflar için ödenek. Genel Eğitim. kurumlar". Öğretmenlere yardımcı olmak için metodolojik kılavuzlar da yayınlandı. Birkaç yıldır, tüm bu öğretim yardımcıları okullarda test edilmiştir. Okul müfredatına giriş geçiş döneminin sona erdiği, istatistik ve olasılık teorisi bölümlerinin 7-9. bu ders kitapları gereklidir. Bütün bu ders kitapları, okulda bu matematik dallarını öğretme geleneklerinin yokluğunda oluşturulmuştur. Bu yokluk, isteyerek veya istemeyerek, ders kitabı yazarlarını üniversiteler için mevcut ders kitaplarıyla karşılaştırmaya teşvik etti. Sonuncusu, yüksek öğretimin bireysel uzmanlaşmalarındaki hakim geleneklere bağlı olarak, genellikle temel kavramların adlandırılmasında ve formüllerin kaydedilmesinde önemli terminolojik tutarsızlıklara ve farklılıklara izin verdi. Yukarıdaki okul ders kitaplarının içeriğinin analizi, bugün bu özellikleri yüksek öğretim ders kitaplarından miras aldıklarını göstermektedir. Daha büyük bir doğruluk derecesi ile, "rastgele" kavramıyla ilgili olarak, okul için yeni matematik dalları için belirli bir eğitim materyali seçiminin, şu anda en rastgele şekilde, en aşağı noktaya kadar gerçekleştiği iddia edilebilir. isimler ve atamalar. Bu nedenle, olasılık teorisi ve istatistik üzerine önde gelen okul ders kitaplarının yazarlarından oluşan ekipler, Moskova Açık Eğitim Enstitüsü'nün himayesinde, okul için ders kitaplarında kullanılan temel tanımların ve gösterimlerin birleştirilmesi konusunda üzerinde anlaşmaya varılan pozisyonlar geliştirmek için çabalarını birleştirmeye karar verdiler. olasılık teorisi ve istatistik. Okul ders kitaplarında "Olasılık Teorisi" konusunun girişini analiz edelim. Genel özellikler: "Eğitim kurumları için programda" vurgulanan "Olasılık teorisinin unsurları" konulu eğitimin içeriği. Matematik, öğrencilerin matematiksel yeteneklerinin daha da gelişmesini, matematik ile önemli ölçüde ilgili mesleklere yönelimini, hazırlık üniversite çalışmaları için. Ele alınan konunun matematiksel içeriğinin özgüllüğü, matematiğin derinlemesine incelenmesi için seçilen ana görevi aşağıdaki gibi somutlaştırmamıza izin verir. 1. Tümdengelimli bir bilgi sistemi olarak matematiğin içeriğinin açıklanmasına devam etmek. - temel kavramların tanımlarından oluşan bir sistem oluşturmak; - tanıtılan kavramların ek özelliklerini ortaya çıkarmak; - tanıtılan ve daha önce çalışılan kavramlar arasında bağlantı kurmak. 2. Problem çözmenin bazı olasılıksal yollarını sistematize etmek; belirli türdeki sorunlara çözüm arayışının operasyonel bileşimini ortaya çıkarmak. 3. Temel teorik gerçekleri analiz ederek, olasılık teorisinin pratik önemine ilişkin ana fikrin öğrenciler tarafından anlaşılması ve anlaşılması için koşullar yaratmak. Bu konuda çalışılan teorinin pratik uygulamalarını ortaya çıkarmak. Belirlenen eğitim hedeflerine ulaşılması, aşağıdaki görevlerin çözülmesiyle kolaylaştırılacaktır: 1. Bir olayın olasılığını belirlemenin çeşitli yolları hakkında bir fikir oluşturmak (istatistiksel, klasik, geometrik, aksiyomatik) 2. Bilgi oluşturmak olaylarla ilgili temel işlemler ve bunları başkaları aracılığıyla bazı olayları açıklamak için uygulama becerisi. 3. Olasılıkların toplanması ve çarpımı teorisinin özünü ortaya çıkarmak; Bu teoremlerin kullanım sınırlarını tanımlar. Toplam olasılık formüllerini türetme uygulamalarını gösterin. 4. Olayların olasılıklarını bulmak için algoritmaları tanımlayın a) klasik olasılık tanımına göre; b) toplama ve çarpma teorisi üzerine; c) 0.99 + 0.98P formülüne göre (A | Bn) Bir örnek düşünün: Otomatik bir hat pil üretir. Bitmiş bir pilin arızalı olma olasılığı 0,02'dir. Paketlemeden önce her pil bir kontrol sisteminden geçer. Sistemin arızalı bir pili reddetme olasılığı 0,99'dur. Sistemin iyi bir pili yanlışlıkla reddetme olasılığı 0,01'dir. Paketten rastgele seçilen bir pilin reddedilme olasılığını bulun. Çözüm. Aşağıdaki olayların bir sonucu olarak pilin reddedileceği bir durum ortaya çıkabilir: A - “pil gerçekten arızalı ve haklı olarak reddedildi” veya B - “pil düzgün çalışıyor ancak yanlışlıkla reddedildi”. Bunlar uyumsuz olaylardır, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. Şunlara sahibiz: P (A + B) = P (A) + P (B) = 0.02P (A | B3) + ... + P (Bn) P (A | B2) + P (B3) P (A | B1) + Р (В2), birincisinin gerçekleşmesi koşuluyla, birinin diğerinin koşullu olasılığına göre olasılığı: P (AB) = P (A) P (B | A) P (AB) = P ( B) P (A | B) (hangi olayın önce gerçekleştiğine bağlı olarak). Teoremin sonuçları: Bağımsız olaylar için çarpma teoremi. Bağımsız olayların çarpımının olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir: P (AB) = P (A) P (B) Eğer A ve B bağımsız ise, o zaman çiftler de bağımsızdır: (;), (; B), (A;). Çarpma teoremi ile ilgili problem örnekleri: Büyük usta A. beyazla oynarsa, büyük usta B.'ye karşı 0,52 olasılıkla kazanır. A. siyah oynarsa, A., B.'ye karşı 0,3 olasılıkla kazanır. Büyük ustalar A. ve B. iki oyun oynar ve ikinci oyunda taşların rengini değiştirirler. A.'nın her iki seferde de kazanma olasılığını bulun. Çözüm. Birinci ve ikinci oyunları kazanma şansı birbirinden bağımsızdır. Bağımsız olayların çarpımının olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir: 0.52 · 0.3 = 0.156. Cevap: 0.156. Mağazada iki ödeme makinesi var. Diğer makineden bağımsız olarak her biri 0,05 olasılıkla hatalı olabilir. En az bir makinenin çalışır durumda olma olasılığını bulun. Çözüm. Her iki otomatın da hatalı olma olasılığını bulalım. Bu olaylar bağımsızdır, çarpımlarının olasılığı şu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir: 0.05 · 0.05 = 0.0025. En az bir makinenin çalışır durumda olması durumu bunun tam tersidir. Bu nedenle, olasılığı 1'dir? 0.0025 = 0.9975. Cevap: 0.9975. Toplam olasılık formülü Olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremlerinin bir sonucu, toplam olasılık formülüdür: Yalnızca olaylardan (hipotezlerden) B1, B2, B3 ... Bn, ikili uyumsuz olayların tam bir grubunu oluşturur, ilgili koşullu B1, B2, B3, ..., Bn olaylarının (hipotezler) her birinin olasılıklarının ürünlerinin toplamına eşittir. A olayının olasılıkları: Toplam olasılığın P (A) = P (B1). 5. Belirli bir sorunu çözerken algoritmalardan birini rasyonel olarak seçmenize izin veren bir reçete formüle edin. Olasılık teorisinin unsurlarının incelenmesi için seçilen eğitim hedefleri, gelişim ve eğitim hedeflerinin belirlenmesiyle desteklenir. Hedeflerin geliştirilmesi: öğrencilerin konuya sürekli ilgi duymasını sağlamak, matematiksel yeteneklerini belirlemek ve geliştirmek; öğrenme sürecinde konuşma, düşünme, duygusal-istemli ve somut-motivasyon alanları geliştirmek; öğrencilerin problem ve problemleri çözmek için bağımsız yeni yollar bulmaları; bilginin yeni durum ve koşullarda uygulanması; olguları, fenomenler arasındaki bağlantıları açıklama, materyali bir sunum biçiminden diğerine (sözlü, işaret-sembolik, grafik) dönüştürme becerisini geliştirmek; yöntemlerin doğru uygulanmasını göstermeyi, muhakeme mantığını, fenomenlerin benzerliğini ve farklılığını görmeyi öğretmek. Eğitim hedefleri: okul çocuklarında ahlaki ve estetik fikirler, dünya hakkında bir görüş sistemi, toplumdaki davranış normlarını takip etme yeteneği; bireyin ihtiyaçlarını, sosyal davranış motiflerini, faaliyetleri, değerleri ve değer yönelimlerini oluşturmak; kendi kendine eğitim ve kendi kendine eğitim yeteneğine sahip bir kişi yetiştirmek. 9. sınıf "Cebir: istatistik unsurları ve olasılık teorisi" için cebir ders kitabını analiz edelim Makarychev Yu.N. Bu ders kitabı 7-9. sınıflardaki öğrencilere yöneliktir, ders kitaplarını tamamlar: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Cebir 7", "Cebir 8", "Cebir 9", S. Telyakovsky tarafından düzenlendi. Kitap dört bölümden oluşmaktadır. Her paragraf teorik bilgi ve ilgili alıştırmaları içerir. İnceleme için alıştırmalar paragrafın sonunda verilmiştir. Her paragraf için, ana alıştırmalarla karşılaştırıldığında, daha yüksek düzeyde karmaşıklığa sahip ek alıştırmalar verilir. "Eğitim kurumları için program"a göre okul cebir dersinde "Olasılık teorisi ve istatistik" konusunun çalışılması için 15 saat verilir. Bu konuyla ilgili materyal 9. sınıfa aittir ve aşağıdaki paragraflarda sunulmaktadır: §3 "Birleştiricilerin unsurları" 4 madde içerir: Kombinatoryal problem örnekleri. Olası seçenekleri sıralayarak kombinatoryal problemlerin çözümü basit örnekler kullanılarak gösterilmiştir. Bu teknik, bir olasılıklar ağacı oluşturularak gösterilmiştir. Çarpma kuralı dikkate alınır. Permütasyonlar. Kavramın kendisi ve permütasyonları hesaplama formülü tanıtılır. Konaklama. Konsept belirli bir örnekle tanıtılır. Yerleşim sayısı formülü görüntülenir. Kombinasyonlar. Kombinasyon sayısı kavramı ve formülü. Bu bölümün amacı, öğrencilere olası tüm temel olayları farklı rastgele deneyim türlerinde tanımlamanın farklı yollarını sağlamaktır. §4 "Olasılık teorisinden ilk bilgiler". Materyalin sunumu, deneyin incelenmesiyle başlar, ardından "rastgele olay" ve "rastgele bir olayın göreceli sıklığı" kavramları tanıtılır. Olasılığın istatistiksel ve klasik tanımı tanıtılır. Paragraf, olasılıkların toplanması ve çarpımı ile sona ermektedir. Olasılıkların toplama ve çarpma teoremleri ele alınır, bunlarla ilgili kavramlar tanıtılır, bağdaşmaz, zıt, bağımsız olaylar. Bu materyal, matematiğe ilgi ve yeteneğe sahip öğrenciler için tasarlanmıştır ve öğrencilerle bireysel çalışmalarda veya ders dışı etkinliklerde kullanılabilir. Bu ders kitabı için metodolojik öneriler, Makarychev ve Mindyuk'un ("Okul cebir dersinde kombinatorik unsurları", "Okul cebir dersinde olasılık teorisinden ilk bilgiler") bir dizi makalesinde verilmiştir. Ayrıca bu eğitimle ilgili bazı kritik açıklamalar, bu eğitimle çalışırken hataları önlemeye yardımcı olacak Studenetskaya ve Fadeeva'nın makalesinde yer almaktadır. Amaç: olayların nitel bir tanımından matematiksel bir açıklamaya geçiş. Mordkovich A.G., Semenov P.V.'nin ders kitaplarında "Olasılık Teorisi" konusu. 9-11. sınıflar için. Şu anda, okuldaki mevcut ders kitaplarından biri, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov'un ders kitabıdır. "Olaylar, olasılıklar, verilerin istatistiksel olarak işlenmesi", ayrıca 7-9. sınıflar için ek bölümler vardır. Hadi analiz edelim. "Cebir Çalışma Programına" göre, "Birleşimsel Elemanlar, İstatistik ve Olasılık Teorisi" konusunun incelenmesi için 20 saat ayrılmıştır. "Olasılık teorisi" konusundaki materyaller aşağıdaki paragraflarda açıklanmıştır: § 1. En basit kombinasyonel problemler. Çarpma kuralı ve değişkenler ağacı. Permütasyonlar. Basit birleşimsel problemlere bakarak başlar ve çarpma kuralının ilkesini gösteren olası seçenekler tablosuna bakar. Daha sonra aday ağaçlar ve permütasyonlar dikkate alınır. Teorik materyalden sonra her bir alt madde için alıştırmalar yer almaktadır. § 2. Birkaç öğenin seçimi. Kombinasyonlar. İlk önce formül 2 öğe için, ardından üç öğe için ve ardından n öğe için genel formül görüntülenir. § 3. Rastgele olaylar ve olasılıkları. Olasılığın klasik tanımı tanıtıldı. Bu öğreticinin avantajı, tablolar ve varyant ağaçlarıyla ilgilenen öğeleri içeren birkaç dersten biri olmasıdır. Bu noktalar gereklidir, çünkü öğrencilere verilerin sunumunu ve ilk analizini öğreten tablolar ve varyant ağaçlarıdır. Ayrıca bu ders kitabında, önce iki eleman, sonra üç eleman için bir kombinasyon formülü başarıyla tanıtılır ve n eleman için genellemeler yapılır. Kombinatorik açısından, malzeme de aynı şekilde sunulur. Her paragraf, materyali birleştirmenize izin veren alıştırmalar içerir. Bu eğitimle ilgili notlar için Studenetskaya ve Fadeeva'nın makalesine bakın. 10. sınıfta, bu konuya üç bölüm ayrılmıştır. Bunlardan ilkinde “Çarpma kuralı. Permütasyonlar ve faktöriyeller ”, çarpma kuralının kendisine ek olarak, bu kuraldan iki temel kombinatoryal özdeşliğin türetilmesine ana vurgu yapıldı: permütasyon sayısı ve n elemandan oluşan bir kümenin tüm olası alt kümelerinin sayısı için. Ayrıca, faktöriyeller, "permütasyon" kavramından önce birçok spesifik kombinatoryal problemde cevabı kısaltmanın uygun bir yolu olarak tanıtıldı. 10. sınıfın ikinci paragrafında “Birkaç elemanın seçimi. Binom katsayıları ”belirli bir sonlu kümeden birkaç elemanın eşzamanlı (veya sıralı) seçimi ile ilgili klasik birleşimsel problemler olarak kabul edilir. Rus genel eğitim okulu için en önemli ve gerçekten yeni olan, "Rastgele olaylar ve olasılıkları" adlı son paragraftı. Klasik olasılık şemasını dikkate aldı, P (A + B) + P (AB) = P (A) + P (B), P () = 1-P (A), P (A) = 1- formüllerini analiz etti. P () ve bunların nasıl kullanılacağı. Paragraf, iki sonuçlu yargılamanın bağımsız tekrarlarına geçişle sona erdi. Bu, önemli sayıda uygulamaya sahip olan olasılıksal model (Bernoulli testleri) pratik açıdan en önemlisidir. İkinci materyal, 10. ve 11. sınıflarda eğitim materyalinin içeriği arasındaki geçişi oluşturdu. 11. sınıfta, "Olasılık teorisinin unsurları" konusu, ders kitabının iki paragrafına ve problemler kitabına ayrılmıştır. Bölüm 22, geometrik olasılıklarla ilgilenir ve Bölüm 23, iki sonuçlu denemelerin bağımsız tekrarları hakkındaki bilgileri tekrar eder ve genişletir.

benzer belgeler

Olasılık teorisi, rastgele olayların modellerini inceleyen bir matematik dalıdır: rastgele olaylar, rastgele değişkenler, özellikleri ve üzerlerindeki işlemler. Olasılık teorisinde problem çözme yöntemleri, matematiksel beklenti ve varyansın belirlenmesi.

test, 02/04/2012 eklendi

Okul müfredatı sırasında olasılık teorisini incelemek, öğrencilerin mantıksal düşünme, soyutlama, özü vurgulama yeteneği geliştirmelerini sağlar. Olasılık teorisinin tarihi ve bilimsel temelleri. Olay türleri. Rastgele olaylarla işlemler.

tez, eklendi 01/22/2009

Rastgele kitlesel olayların kalıplarının incelenmesi. Olasılık teorisi ve istatistik arasındaki ilişkinin derecesi. İmkansız, mümkün ve belirli olaylar. Olasılığın istatistiksel, klasik, geometrik, aksiyomatik tanımı. Bayes'in formülü.

özet, 05/08/2011 tarihinde eklendi

Okul matematik dersinde denklemler ve eşitsizlikler çizgisinin gelişiminin ana yönleri, sayısal ve fonksiyonel sistemle bağlantısı. Çalışmanın özellikleri, parametre içeren denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü için analitik ve grafiksel yöntemler.

dönem ödevi eklendi 02/01/2015

Test edilen yapılarda kusur olasılığının belirlenmesi. Şehirdeki yüz yenidoğandan N'nin 50 yaşına kadar yaşama olasılığını hesaplayarak. Matematiksel beklenti ve varyansın hesaplanması. Bilinmeyen sabit C'nin belirlenmesi ve p (x) fonksiyonunun çizilmesi.

dönem ödevi, 27/10/2011 eklendi

Olasılık teorisi, kütlesel homojen durumlarda, fenomenlerde ve süreçlerde, bir konu, temel kavramlar ve temel olaylarda düzenliliği inceleyen matematiksel bir bilim olarak. Bir olayın olasılığının belirlenmesi. Olasılık teorisinin ana teoremlerinin analizi.

hile sayfası 24/12/2010 eklendi

Olasılık teorisinde pratik problem çözme. Koşullu olasılık problemi. Olasılıkları hesaplama görevi. Toplam olasılık formülü problemi. Deneylerin tekrarı ile ilgili teoremin problemi. Olasılıkları çarpma sorunu. Durum diyagramı sorunu.

test, 24/09/2008 eklendi

Öğrencilere olasılık teorisinin öğelerini öğretmenin metodolojik yönlerinin geliştirilmesi. Tanım yöntemleri, olasılık yorumlarının sunum sırası ve aksiyomatik bir kavramın oluşumu. Geometrik olasılık çalışmasında çözülen problemler.

dönem ödevi, eklendi 07/03/2011

J. Cardano ve N. Tartaglia'yı olasılık teorisinin temel problemlerini çözme alanında araştırın. Pascal ve Fermat'ın olasılık teorisinin gelişimine katkısı. H. Huygens'in eseri. İlk demografik araştırmalar. Geometrik olasılık kavramının oluşumu.

dönem ödevi, 24/11/2010 eklendi

Düzlem eğrileri kavramı ve özellikleri, araştırmalarının tarihçesi. Düz eğrilerin oluşum yöntemleri ve çeşitleri. Okul matematik dersinde incelenen eğriler. Özel bir okulda matematikte "Eğriler" konusunda ders dışı bir ders planının geliştirilmesi.

Günlük yaşamda, pratik ve bilimsel faaliyetlerde genellikle belirli fenomenleri gözlemler, belirli deneyler yaparız. Gözlem veya deney sırasında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya rastgele olay denir. Örneğin, tavandan sarkan bir ampul var - ne zaman yanacağını kimse bilmiyor. Her rastgele olay, çok sayıda rastgele değişkenin (madalyonun atılma kuvveti, madeni paranın şekli ve çok daha fazlası) eyleminin bir sonucudur. Tüm bu nedenlerin sonucu üzerindeki etkiyi hesaba katmak imkansızdır, çünkü sayıları çoktur ve eylem yasaları bilinmemektedir. Rastgele olayların yasaları, olasılık teorisi adı verilen özel bir matematik dalı tarafından incelenir. Olasılık teorisi, tek bir olayın olup olmayacağını tahmin etme görevini üstlenmez - basitçe yapamaz. Kitlesel homojen rastgele olaylardan bahsediyorsak, o zaman belirli yasalara, yani olasılık yasalarına uyarlar. İlk olarak, olayların sınıflandırılmasına bakalım. Ortak ve uyumsuz olayları ayırt edin. Olaylardan birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelmesini engellemiyorsa, olaylara ortak denir. Aksi takdirde, olayların tutarsız olduğu söylenir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay A - ilk zarda üç puan, olay B - ikinci zarda üç puan. A ve B ortak olaylardır. Mağazanın aynı stil ve boyutta, ancak farklı renkte bir grup ayakkabı almasına izin verin. Olay A - rastgele alınan kutu siyah ayakkabılarla sonuçlanacak, olay B - kutu kahverengi ayakkabılarla sonuçlanacak, A ve B uyumsuz olaylardır. Belirli bir deneyimin koşullarında mutlaka gerçekleşecekse, bir olay güvenilir olarak adlandırılır. Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşemiyorsa, bir olay imkansız olarak adlandırılır. Örneğin, bir grup standart parçadan standart bir parçanın alınması olayı güvenilirdir, ancak standart olmayan bir parça imkansızdır. Bir olay, deneyim sonucunda ortaya çıkabiliyorsa, ancak görünmeyebilirse, olası veya tesadüfi olarak adlandırılır. Rastgele bir olayın bir örneği, bir bitmiş ürün partisinin kontrolü sırasında ürün kusurlarının tanımlanması, işlenmiş ürünün boyutu ile belirli bir ürün arasında bir tutarsızlık, otomatik kontrol sisteminin bağlantılarından birinin arızalanmasıdır. Test koşullarına göre, bu olayların hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha fazla mümkün değilse, olaylar eşit olarak mümkün olarak adlandırılır. Örneğin, bir mağazaya birkaç üreticiden ampuller (ve eşit miktarlarda) tedarik edildiğini varsayalım. Bu fabrikaların herhangi birinden bir ampul satın alma olayları da aynı derecede mümkündür. Önemli bir kavram, tam bir olay grubudur. Belirli bir deneyimdeki birkaç olay, eğer bunlardan en az biri mutlaka deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkıyorsa, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir vazoda on top vardır, altısı kırmızı, dördü beyaz ve beş top numaralandırılmıştır. A - bir çıkarmada kırmızı bir topun görünümü, B - beyaz bir topun görünümü, C - numaralı bir topun görünümü. A, B, C olayları, eksiksiz bir ortak olaylar grubu oluşturur. Olay zıt veya tamamlayıcı olabilir. Zıt bir olay, eğer bir A olayı gerçekleşmediyse mutlaka gerçekleşmesi gereken bir olay olarak anlaşılır.Karşıt olaylar bağdaşmaz ve tek olasıdır. Tam bir olaylar grubu oluştururlar. Örneğin, bir seri üretilmiş ürün, iyi ve kusurlu olanlardan oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bu iyi - A olayı veya kusurlu - olay olarak ortaya çıkabilir. Bir örneğe bakalım. Bir zar atılır (yani, kenarlarında 1, 2, 3, 4, 5, 6 noktaları nakavt olan küçük bir küp). Üst kenarına bir zar atarken bir puan, iki puan, üç puan vb. düşebilir. Bu sonuçların her biri rastgeledir. Böyle bir test yaptı. Zarların 100 defa atıldığı ve olayın kaç defa zara düştüğü gözlemlendi. Bu deney dizisinde "altı" nın 9 kez düştüğü ortaya çıktı. Bu testte söz konusu olayın kaç kez gerçekleştiğini gösteren 9 sayısına bu olayın sıklığı, frekansın toplam test sayısına oranına eşit olan bu olayın bağıl frekansı denir. . Genel olarak, belirli bir testin aynı koşullar altında tekrar tekrar yapılmasına izin verin ve her seferinde bizi ilgilendiren A olayının gerçekleşip gerçekleşmediği sabitlenir.Bir olayın olasılığı büyük harf P ile gösterilir. A olayı P (A) ile gösterilecektir. Olasılığın klasik tanımı: Bir A olayının olasılığı, yegane mümkün, eşit derecede mümkün ve tutarsız durumlardan toplam n sayısından, kendisi için uygun olan m durum sayısının n sayısına oranına eşittir. Sonuç olarak, bir olayın olasılığını bulmak için şunlar gereklidir: çeşitli test sonuçlarını göz önünde bulundurmak; tek mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlar kümesini bulun, toplam sayılarını n, bu olaya uygun durumların sayısını m hesaplayın; formülü kullanarak hesaplamayı gerçekleştirin. Formülden, bir olayın olasılığının negatif olmayan bir sayı olduğu ve toplam vaka sayısından uygun vaka sayısının ne kadar olduğuna bağlı olarak sıfırdan bire kadar değişebileceği sonucu çıkar: Başka bir örnek düşünün. Kutu içerisinde 10 adet top bulunmaktadır. 3 tanesi kırmızı, 2 tanesi yeşil, geri kalanı beyazdır. Rastgele çekilen bir topun kırmızı, yeşil veya beyaz olma olasılığını bulun. Kırmızı, yeşil ve beyaz topların görünümü tam bir olay grubunu oluşturur. Kırmızı topun görünüşünü belirleyelim - olay A, yeşilin görünüşü - olay B, beyazın görünüşü - olay C. Ardından, yukarıdaki formüllere göre şunu elde ederiz:; ; İkili uyumsuz iki olaydan birinin meydana gelme olasılığının, bu olayların olasılıklarının toplamına eşit olduğuna dikkat edin. A olayının göreceli sıklığı, A olayıyla sonuçlanan deney sayısının toplam deney sayısına oranıdır. Göreceli frekans ve olasılık arasındaki fark, olasılığın, deneylerin doğrudan bir ürünü olmadan ve bağıl frekansın - deneyden sonra hesaplanmasıdır. Yani yukarıda ele alınan örnekte, kutudan rastgele 5 top alınıyor ve 2 tanesi kırmızı çıkıyorsa, kırmızı topun ortaya çıkma sıklığı şöyledir: Gördüğünüz gibi, bu değer çakışmıyor. bulunan olasılık ile Yeterince fazla sayıda deney yapıldığında, bağıl frekans çok az değişir ve bir sayı civarında dalgalanır. Bu sayı bir olayın olasılığı olarak alınabilir. Geometrik olasılık. Olasılığın klasik tanımı, temel sonuçların sayısının sonlu olduğunu varsayar ve bu da pratikte uygulanmasını sınırlar. Sonsuz sayıda sonucu olan bir test yapıldığında, geometrik olasılık tanımı kullanılır - alana isabet eden nokta. Geometrik olasılık belirlenirken, bir N bölgesi ve içinde daha küçük bir M bölgesi olduğu varsayılır. N bölgesine rastgele bir nokta bırakılır (bu, N bölgesinin tüm noktalarının aşağıdakilere göre "eşit" olduğu anlamına gelir). rastgele atılan bir noktanın oradaki vuruşu). A Olayı - "M alanında atılan bir noktanın isabet etmesi". M alanına A olayı için elverişli denir. N alanının herhangi bir parçasına çarpma olasılığı, bu parçanın ölçüsüyle orantılıdır ve konumuna ve şekline bağlı değildir. Geometrik olasılığın kapsadığı alan şunlar olabilir: bir doğru parçası (ölçü uzunluktur) düzlemde bir geometrik şekil (ölçü alandır) uzayda bir geometrik cisim (ölçü hacimdir) Geometrik olasılığı tanımlayalım düz bir rakam durumunda. M alanı N alanının bir parçası olsun. A olayı, N alanına rastgele atılan bir noktanın M alanına çarpmasından oluşur. A olayının geometrik olasılığı, alanın alanının oranıdır. M alanının alanı N: Bu durumda, alanın sınırında yanlışlıkla atılan noktanın olasılığı sıfır olarak kabul edilir ... Bir örnek düşünün: On iki saatlik mekanik bir saat bozuldu ve yürümeyi bıraktı. Akrebin 5'te donup saat 8'e ulaşmama olasılığını bulun. Çözüm. Sonuçların sayısı sonsuzdur, geometrik olasılık tanımını uygularız. Saat 5 ile 8 arasındaki sektör, bu nedenle tüm kadranın alanının bir parçasıdır. Olaylar üzerindeki işlemler: A olayının uygulanması, B olayının uygulanmasını gerektiriyorsa ve bunun tersi de geçerliyse, A ve B Olayları eşit olarak adlandırılır. Olayların bir kombinasyonu veya toplamı, olaylardan en az birinin meydana gelmesi anlamına gelen A olayı olarak adlandırılır. A = Olayların kesişimi veya ürünü, tüm olayların uygulanmasından oluşan A olayıdır. bir =? A ve B olayları arasındaki farka C olayı denir, bu da A olayının gerçekleştiği, ancak B olayının gerçekleşmediği anlamına gelir C = AB Örnek: A + B - “2 düştü; 4; 6 veya 3 puan ”A B -“ 6 puan çekildi ”A - B -“ 2 ve 4 puan çekildi ”A olayına ek bir olay, A olayının olmadığı anlamına gelen bir olaydır. Deneyimin temel sonuçları, birbirini karşılıklı olarak dışlayan deneyimin sonuçlarıdır ve deneyimin bir sonucu olarak bu olaylardan biri meydana gelir, ayrıca A olayı ne olursa olsun, meydana gelen temel sonuca göre, bu olayın gerçekleşip gerçekleşmediği yargılanabilir. olmaz. Deneyimin tüm temel sonuçlarının toplamına, temel olayların alanı denir. Olasılıkların özellikleri: Özellik 1. Belirli bir A olayı için tüm durumlar uygunsa, bu olay mutlaka gerçekleşecektir. Sonuç olarak, söz konusu olay güvenilirdir ve bu durumda Özellik 2'den bu yana gerçekleşme olasılığı Bu A olayı için elverişli tek bir durum yoksa, bu olay deneyimin bir sonucu olarak gerçekleşemez. Sonuç olarak, söz konusu olay imkansızdır ve bu durumda m = 0: Özellik 3 olduğundan, meydana gelme olasılığı tam bir grup oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir. Özellik 4. Zıt olayın meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde belirlenir: burada (n-m), karşı olayın meydana gelmesi için uygun durumların sayısıdır. Bu nedenle, zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile A olayının meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir: Olasılıkların toplanması ve çarpımı. A olayı B olayının özel durumu olarak adlandırılır, eğer A gerçekleştiğinde B de meydana gelir.A, B'nin özel bir durumu olduğu için A? B yazarız. A ve B olaylarının her biri diğerinin özel durumu ise eşit olarak adlandırılır. A ve B olaylarının eşitliği A = B şeklinde yazılır. A ve B olaylarının toplamına A + B olayı denir ve bu olaylardan en az biri gerçekleşirse gerçekleşir: A veya B. Toplamayla ilgili teorem olasılıkların 1. İki uyumsuz olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. P = P + P Formüle edilen teoremin herhangi bir sayıda uyumsuz olay için geçerli olduğuna dikkat edin: Eğer rastgele olaylar tam bir uyumsuz olay grubu oluşturuyorsa, o zaman eşitlik P + P + ... + P = 1 ve sadece her iki olay da gerçekleştiğinde : A ve B aynı anda. Belirli bir test sırasında bu olayların her ikisi de meydana gelebilirse, rastgele A ve B olayları ortak olarak adlandırılır. Olasılıkların eklenmesiyle ilgili teorem 2. Ortak olayların toplamının olasılığı, P = P + P-P formülüyle hesaplanır. Toplama teoremi için problem örnekleri. Geometri sınavında öğrenci sınav soruları listesinden bir soru alır. Bunun yazılı bir daire sorusu olma olasılığı 0,2'dir. Bunun bir Paralelkenar sorusu olma olasılığı 0.15'tir. Bu iki konu ile aynı anda ilgili hiçbir soru yoktur. Bir öğrencinin sınavda bu iki konudan birine soru gelme olasılığını bulunuz. Çözüm. Uyumsuz iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: 0.2 + 0.15 = 0.35. Cevap: 0.35. Alışveriş merkezinde iki özdeş otomat kahve satıyor. Gün sonunda makinenin kahvesinin bitme olasılığı 0,3'tür. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0.12'dir. Günün sonunda her iki makinede de kahve kalma olasılığını bulun. Çözüm. A - “kahve birinci makinede biter”, B - “kahve ikinci makinede biter” olaylarını ele alalım. O zaman A · B - "her iki otomatta kahve biter", A + B - "kahve en az bir otomatta biter". Koşulla, P (A) = P (B) = 0.3; P(AB) = 0.12. A ve B olayları ortaktır, iki ortak olayın toplamının olasılığı, çarpımlarının olasılığı olmadan bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P (A + B) = P (A) + P (B) ? P (AB) = 0,3 + 0,3? 0.12 = 0.48. Bu nedenle, kahvenin her iki makinede de kalma olasılığının tersi olma olasılığı 1? 0,48 = 0,52. Cevap: 0.52. A ve B olaylarının olayları, birinin ortaya çıkması diğerinin ortaya çıkma olasılığını değiştirmiyorsa bağımsız olarak adlandırılır. A olayının olasılığı, B olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı olarak değişirse, A olayının B olayına bağlı olduğu söylenir. A olayının koşullu olasılığı P (A | B), B olayının meydana geldiği koşul altında hesaplanan olasılıktır. Benzer şekilde, P (B | A), A'nın gerçekleşmesi koşuluyla, B olayının koşullu olasılığını belirtir. Bağımsız olaylar için tanım gereği, P (A | B) = P (A); P (B | A) = P (B) Bağımlı olaylar için çarpma teoremi Bağımlı olaylar üretme olasılığı ve0.01 = 0.0198 + 0.0098 = 0.0296 çarpımına eşittir. Cevap: 0.0296.

Tüm kitaplar ücretsiz ve kayıt olmadan indirilebilir.

YENİ. Korolyuk V.S., Portenko N.I., Skorokhod A.V. Türbin A.F. Olasılık Teorisi ve Matstatistik El Kitabı. 2. baskı. revize Ekle. 1985 yılı. 640 sayfa djvu. 13.2 Mb.
El kitabı, 1978'de "Naukova Dumka" yayınevi tarafından yayınlanan V. S. Korolyuk tarafından düzenlenen "Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik El Kitabı" kitabının genişletilmiş ve gözden geçirilmiş bir baskısıdır. Modern olasılık teorisinin, rastgele süreçler teorisinin ve kısmen matematiksel istatistiklerin ana fikirlerinin, yöntemlerinin ve spesifik sonuçlarının kapsamının genişliği açısından, "El Kitabı" bu türden tek baskıdır.
Bilim adamları ve mühendisler için.

indirmek

YENİ. F. Mosteller, R. Rourke, J. Thomas. Olasılık. 1969 yılı. 432 sayfa. 12.6 Mb.
Bir grup ünlü Amerikalı matematikçi ve eğitimci tarafından yazılan bu kitap, olasılık ve istatistik teorisine temel bir giriş niteliğindedir - şimdi bilimde ve pratikte giderek daha fazla uygulama bulan matematiğin dalları. Canlı ve canlı bir dille yazılmış, çoğunlukla günlük yaşamdan alınmış pek çok örnek içermektedir. Okul kapsamındaki bir matematik bilgisi kitabı okumak için yeterli olsa da olasılık teorisine tamamen doğru bir giriş niteliğindedir. Başkalarında hiç görmediğim şeyleri bu kitapta okudum.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .indirmek

Andronov A.M., Kopytov E.A., Greenglaz L.Ya. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. 2004 yılı. 460 sayfa djvu. 6.7 MB.
Yayıncıdan:
Önünüzde - olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler üzerine genişletilmiş bir ders kitabı. Geleneksel malzeme, rastgele olayların kombinasyonlarının olasılıkları, rastgele yürüyüşler, rastgele vektörlerin doğrusal dönüşümleri, ayrık Markov süreçlerinin durumlarının durağan olmayan olasılıklarının sayısal olarak belirlenmesi, matematiksel istatistik problemlerini çözmek için optimizasyon yöntemlerinin uygulanması, regresyon gibi sorularla dolduruldu. modeller. Önerilen kitabın, olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler üzerine iyi bilinen ders kitaplarından ve monograflardan temel farkı, materyali incelerken kişisel bir bilgisayarın sürekli kullanımına yönelik yöneliminde yatmaktadır. Sunuma Mathcad ve STATISTICA paketleri ortamında ele alınan problemlerin çözümüne dair sayısız örnek eşlik ediyor. Kitap, yazarların, yüksek öğretim kurumlarının çeşitli uzmanlık alanlarındaki öğrencilere olasılık teorisi, matematiksel istatistik ve rastgele süreçler teorisi disiplinlerini öğretmede otuz yıldan fazla deneyime dayanarak yazılmıştır. Hem üniversitelerin öğrencileri ve öğretmenleri hem de modern olasılıksal ve istatistiksel yöntemlerin uygulanmasıyla ilgilenen herkes için pratik bir ilgi alanıdır.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .indirmek

Agekyan. Gökbilimciler ve fizikçiler için olasılık teorisi. 260 sayfa Boyut 1.7 Mb. Kitap, fizikçiler ve astronomlar için ölçüm sonuçlarının işlenmesinde kullanılabilecek materyaller içermektedir. Hataları hesaplamak için faydalı bir kitap.

İndirmek

I.I. Bavrin. Olasılık teorisi, matematiksel istatistik. 2005 yılı. 161 sayfa djv. 1.7 Mb.
Olasılık teorisinin temelleri ve matematiksel istatistikler, fizik, kimya, biyoloji, coğrafya, ekoloji, bağımsız çalışma için alıştırmalar verildiği şekilde sunulur. Tüm temel kavramlar ve hükümler, analiz edilen örnekler ve problemler ile gösterilmiştir.
Pedagojik üniversitelerin doğa bilimleri uzmanlık öğrencileri için Diğer üniversitelerin öğrencileri tarafından kullanılabilir

Borodin A. N. Olasılık ve matematiksel istatistik teorisinin temel kursu. 1999 yılı. 224 s. Djvu. 3.6 Mb.
Ders kitabı, olasılık teorisi ve matematiksel istatistikte temel dersin ana bölümlerinin sistematik bir sunumunu içerir. Bu prosedürün uygulamalar için özel önemi nedeniyle, geleneksel bölümler olan "Tekrarlayan tahmin prosedürü"ne bir yenisi eklenmiştir. Teorik materyale, farklı bilgi alanlarından çok sayıda örnek ve görev eşlik eder.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... indirmek

Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Olasılık teorisi. Matematik istatistikleri. 2005 yılı. 296 s. Djvu. 2.8 Mb.
İlk bölüm, nispeten basit matematiksel yapılar kullanarak olasılık teorisinin temel kavramlarını ele almaktadır, ancak yine de sunum Akademisyen A. N. Kolmogorov tarafından önerilen aksiyomatik yapıya dayanmaktadır. İkinci bölüm, matematiksel istatistiğin temel kavramlarını tanıtmaktadır. Bilinmeyen parametrelerin tahmin edilmesinde ve istatistiksel hipotezlerin test edilmesinde en sık karşılaşılan problemler ele alınmakta ve bunların çözümü için ana yöntemler anlatılmaktadır. Her ifade örneklerle gösterilmiştir. Sunulan materyal genellikle devlet eğitim standardına uygundur.
Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik hakkında ilk fikir sahibi olmak isteyen öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri ve üniversite öğretmenleri, çeşitli uzmanlık alanlarından araştırmacılar.

V.N. Vapnik. Ampirik verilerden bağımlılıkları kurtarma. 1979 yılı. 449 s. Djvu. 6.3 Mb.
Monografi, ampirik verilerden bağımlılıkları kurtarma sorununa ayrılmıştır. Sınırlı büyüklükteki örneklerde riski en aza indirmek için bir yöntemi inceler, buna göre, işlevsel bir bağımlılığı geri yüklerken, "karmaşıklığını" karakterize eden değer ile yaklaşıklık derecesini karakterize eden değer arasında belirli bir uzlaşmayı sağlayan bir fonksiyon seçilmelidir. ampirik veri kümesine. Bu yöntemin bağımlılıkları geri yüklemenin üç ana sorununa uygulanması göz önünde bulundurulur: örüntü tanımayı öğretme sorunu, regresyon restorasyonu ve dolaylı deneylerin sonuçlarının yorumlanması. Sınırlı ampirik veri hacmini hesaba katmanın, özellik uzayının büyük bir boyutuyla örüntü tanıma problemlerini çözmeyi, geri yüklenen fonksiyonun bir modelinin yokluğunda regresyon bağımlılıklarını geri yüklemeyi ve kötü durumlara kararlı çözümler elde etmeyi mümkün kıldığı gösterilmiştir. - Dolaylı deneylerin sonuçlarını yorumlamada problemler ortaya çıkardı. Bağımlılıkları kurtarmak için ilgili algoritmalar verilmiştir.

yapay zeka Volkovets, A.B Gurinovich. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. Ders Notları. 2003 yılı. 84 sayfa pdf. 737 Kb.
"Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik" dersi için ders notları, bu disiplinin incelenmesi için standart çalışma programı tarafından tanımlanan konularda 17 ders içermektedir. Çalışmanın amacı, rastgele olayların resmileştirilmiş tanımı ve analizi, fiziksel ve sayısal deneylerin sonuçlarının işlenmesi ve analizi için temel yöntemlere hakim olmaktır. Bu disiplini incelemek için, öğrencinin yüksek matematik dersinin "Seriler", "Kümeler ve bunlar üzerindeki işlemler", "Diferansiyel ve integral hesabı" bölümlerinin çalışması sırasında edindiği bilgilere ihtiyacı vardır.

Volodin. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik üzerine dersler. 2004 yılı. 257 sayfa Boyut 1.4 Mb. PDF. Teori, olasılıksal modeller oluşturma yöntemlerine ve bu yöntemlerin doğa bilimlerinin gerçek sorunlarına uygulanmasına odaklanır. İstatistikte, belirli istatistiksel kuralların riskini hesaplama yöntemlerine odaklanılır.

Wentzel, Ovcharov. Olasılık teorisi ve mühendislik uygulamaları. 2000 yılı. 480 sayfa djvu. 10.3 Mb.
Kitap, uzmanlık alanlarındaki pratik uygulamaları açısından olasılık teorisinin temellerinin sistematik bir sunumunu sağlar: sibernetik, uygulamalı matematik, bilgisayarlar, otomatik kontrol sistemleri, mekanizma teorisi, radyo mühendisliği, güvenilirlik teorisi, ulaşım, Uygulamaların ait olduğu iletişim vb., hepsine tek bir metodolojik çerçeve ile nüfuz edilmiştir.
Yüksek teknik eğitim kurumlarının öğrencileri için. Uygulamalarında rastgele süreçlerin analizi ile ilgili problemleri belirleme ve çözme ihtiyacı ile karşı karşıya kalan çeşitli profillerdeki öğretmenler, mühendisler ve bilim adamları için faydalı olabilir.

Wentzel, Ovcharov. Olasılık teorisi. 1969 yılı. 365 sayfa djvu. 8.3 Mb.
Kitap, görevler ve alıştırmalar topluluğudur. Tüm sorunların bir cevabı vardır ve çoğunun çözümleri vardır.

N. Ya. VILENKIN, V. G. POTAPOV. KOMBİNARİ ELEMANLARI İLE OLASILIK TEORİSİ VE MATEMATİKSEL İSTATİSTİK ÜZERİNE UYGULAMA PROBLEMİ. Çalışma Rehberi. 1979 yılı. s. 113 djvu. 1.3 Mb.
Okuyucunun dikkatine sunulan kitap, "Olasılık Teorisi" dersinde uygulamalı bir problem kitabıdır. Kitap, sırayla paragraflara bölünmüş üç bölümden oluşuyor. Her paragrafın başında mümkün olduğu kadar kısa temel teorik bilgiler verilir, daha sonra tipik örnekler ayrıntılı olarak verilir ve son olarak bağımsız çözüm için problemler önerilir, cevaplar ve talimatlar verilir. Problem kitabı ayrıca, uygulanması yazışma öğrencisinin matematiksel istatistiklerin temel kavramlarına daha iyi hakim olmasına yardımcı olacak laboratuvar çalışması metinlerini de içerir.

Gmurman. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. 2003 yılı. 480 sayfa DJVU. 5.8 MB.
Kitap temel olarak olasılık teorisi ve matematiksel istatistik ile ilgili programın tüm materyallerini içerir. Deneysel verileri işlemek için istatistiksel yöntemlere çok dikkat edilir. Cevapları olan problemler her bölümün sonunda yer almaktadır. Üniversite öğrencilerine ve pratik problemlerin çözümünde olasılıksal ve istatistiksel yöntemleri kullanan bireylere yöneliktir.

Kolmogorov. Olasılık teorisi. Boyut 2.0 Mb.

Kibzun ve diğerleri Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler. Uh. ödenek. Örnekler ve görevler içeren temel kurs. Boyut 1.7 Mb. djvu. 225 s.

M. Katz. Olasılık teorisi, analiz ve sayılar teorisinde istatistiksel bağımsızlık. djv tarafından 152 sayfa. 1.3 Mb.
Kitap, olasılık teorisinin bazı fikirlerinin matematiğin diğer alanlarında uygulanmasını çok erişilebilir ve büyüleyici bir biçimde sunuyor. Kitabın büyük bir kısmı istatistiksel bağımsızlık kavramına ayrılmıştır.
Kitap öğrenciler, matematikçiler, fizikçiler, mühendisler için faydalı ve ilginç olacaktır.

M. Katz. Fizikte olasılık ve ilgili konular. 408 sayfa djv. 3.8 Mb.
Yazar, Sovyet okuyucusuna "Olasılık teorisi, analiz ve sayı teorisinde istatistiksel bağımsızlık" (IL, 1963) adlı eserinin çevirisinden aşinadır. Yeni kitabı esas olarak fiziğin en ilginç problemlerinden birine ayrılmıştır: çok sayıda parçacıktan (bir kaptaki gaz) oluşan bir sistemin nasıl dengeye geldiğini açıklamak ve bu sürecin zaman içinde tersinmezliğinin nasıl olduğunu açıklamak. orijinal denklemlerin zamanında tersinirliği ile tutarlıdır. En büyük dikkat, sorunun olasılık yönüne verilir; problemin ana özelliklerini taklit eden istatistiksel modeller göz önünde bulundurulur. İlk iki bölüm de bağımsız olarak ilgi çekicidir - iyi seçilmiş örnekler kullanarak yazar, matematiksel ve fiziksel problemlerde olasılık kavramının nasıl ortaya çıktığını ve olasılık teorisi tarafından hangi analitik aygıtın kullanıldığını gösterir. Bu basım, Katz ve diğer yazarların kitapta dile getirilen konularla ilgili makalelerini içermektedir.

Kendall. Stewart. Çok değişkenli istatistiksel analiz ve zaman serileri. 375 sayfa DJVU. 8.2 MB.
Kitap, M. Kendall ve A. Stewart tarafından yazılan üç ciltlik bir istatistik dersinin son cildi olup, ilk cildi "The Theory of Distributions:" başlığı altında 1966'da, ikinci cildi ise 1973'te "İstatistiksel Çıkarımlar ve İlişkiler" başlığı.
Kitap, varyans analizi, deneysel tasarım, örnek anket teorisi, çok değişkenli analiz ve zaman serileri hakkında bilgiler içerir.
İlk iki cilt gibi, kitap da birçok pratik öneri ve bunların uygulanmasına ilişkin örnekler içerir ve sunum, ana sonuçların az çok ayrıntılı bir sonucunu, çok sayıda daha özel bilginin nispeten kısa bir listesiyle birleştirir.
Kitap, matematiksel istatistikte uzmanlaşan lisans ve lisansüstü öğrencilerinin yanı sıra, onun uygulamalarıyla ilgilenen çok sayıda araştırmacının ilgisini çekecektir.

Kendall. Stewart. DAĞITIM TEORİSİ. Hacim 1.590 sayfa 10.3 Mb. 6.1 Mb.
İçindekiler: Frekans dağılımları. Konum ve dağılım ölçüleri. Momentler ve yarı değişmezler. Karakteristik fonksiyonlar. Standart dağılımlar. Olasılık hesabı. Olasılık ve istatistiksel çıkarım. Rastgele seçim. Standart hatalar. Kesin örnek dağılımları. Örnek dağılımların yaklaşıklığı. Örnek dağılımların yaklaşıklığı. Sıradan istatistikler. Çok değişkenli normal dağılım ve ikinci dereceden formlar. Normal ile ilişkili dağılımlar.

Kendall. Stewart. İSTATİSTİKSEL SONUÇLAR VE LİNKLER. Cilt 2.900 sayfa djvu. 10.3 MB.
Kitap, tahmin teorisi, hipotez testi, korelasyon analizi, regresyon, parametrik olmayan yöntemler, sıralı analiz hakkında bilgiler içermektedir.

N.Ş. Kremer. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. Ders kitabı. 2. baskı, Rev. Ekle. 2004 yılı. 575 sayfa djvu. 12.2 Mb.
Bu sadece bir öğretici değil, aynı zamanda sorunları çözmek için hızlı bir kılavuzdur. Olasılık teorisinin ve matematiksel istatistiklerin belirtilen temellerine, çözümlerle ve bağımsız çalışma için verilen çok sayıda problem (ekonomik olanlar dahil) eşlik eder. Aynı zamanda, dersin temel kavramları, teorik ve olasılıksal anlamları ve uygulamaları üzerinde durulmuştur. Olasılıksal ve matematiksel-istatistiksel yöntemlerin kuyruğa alma problemlerinde ve finansal piyasa modellerinde kullanımına ilişkin örnekler verilmiştir.
Ekonomik uzmanlık ve yön öğrencileri ve lisansüstü öğrencileri ile üniversite öğretmenleri, araştırmacılar ve ekonomistler için.

Kobzar A.I. Uygulamalı Matematiksel İstatistik. Mühendisler ve bilim adamları için. 2006 yılı. 814 s. Djvu. 7,7 MB
Kitap, matematiksel istatistik yöntemleriyle gözlemleri analiz etmenin yollarını inceliyor. Tutarlı bir şekilde, bir matematikçinin değil, bir uzmanın erişebileceği bir dilde, olasılık dağılımlarını analiz etmek, dağılım parametrelerini tahmin etmek, istatistiksel hipotezleri test etmek, rastgele değişkenler arasındaki ilişkileri değerlendirmek ve istatistiksel bir deney planlamak için modern yöntemler sunulmaktadır. Modern matematiksel istatistik yöntemlerinin uygulama örneklerinin açıklanmasına özellikle dikkat edilir.
Kitap mühendisler, araştırmacılar, ekonomistler, doktorlar, yüksek lisans öğrencileri ve uygulamalı problemlerini çözmek için hızlı, ekonomik ve yüksek profesyonel düzeyde modern matematiksel istatistiklerin tüm cephaneliğini kullanmak isteyen öğrenciler için tasarlanmıştır.

M.L. Krasnov. Olasılık teorisi. Ders kitabı. 2001 yılı. 296 s. Djvu. 3.9 Mb.
Doğadaki ve toplumdaki çeşitli fenomenleri incelerken, bir araştırmacı iki tür deneyle karşı karşıya kalır - belirli koşullar altında sonuçları açık bir şekilde tahmin edilebilir olanlar ve sonuçları araştırmacı tarafından kontrol edilen koşullar altında kesin olarak tahmin edilemeyen, ancak yalnızca yapılabilenler. olası sonuçların aralığı hakkında bir varsayım. İlk durumda, deterministik fenomenlerden, ikincisinde rastgele bir doğaya sahip fenomenlerden söz edilir. Aynı zamanda, a priori anlamına gelir (önceden, deneyden veya fenomenin gözleminin tamamlanmasından önce), ilk durumda, sonucu tahmin edebiliyoruz ve ikincisinde değil. Bundan sonra, bu tür öngörülemezliğe neyin neden olduğu önemsizdir - incelenen fenomenin altında yatan doğa yasaları veya bu fenomene neden olan süreçler hakkındaki bilgilerin eksikliği. Önemli bir durum, tahmin edilemezlik gerçeğinin varlığıdır. Bu bölümün temelini oluşturan olasılık teorisi, araştırmacının bu tür deneyleri ve fenomenleri tanımlamasını sağlamak için tasarlanmıştır ve ona deterministik bir tanımlamanın imkansız olduğu durumlarda gerçekliği incelemek için güvenilir bir araç sağlar.

E.L. Kuleshov. Olasılık teorisi. Fizikçiler için dersler. 2002 yılı. 116 sayfa djvu. 919 Kb.
Kıdemli öğrenciler için.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... indirmek

Lazakoviç, Stashulenok, Yablonsky. Olasılık Teorisi Kursu. öğretici. 2003 yılı. 322 sayfa pdf. 2.9 Mb.
Ders kitabı, yazarların Belarus Devlet Üniversitesi Mekanik ve Matematik Fakültesi öğrencileri için birkaç yıl boyunca okudukları yıllık derslere dayanmaktadır. Kitap aşağıdaki bölümleri içerir: olasılık uzayları, bağımsızlık, rastgele değişkenler, rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri, karakteristik fonksiyonlar, limit teoremleri, rastgele süreçler teorisinin temelleri, matematiksel istatistik unsurları ve ana olasılık dağılımlarının tablolarını içeren uygulamalar ve bazılarının değerleri. Bölümlerin çoğu, destekleyici materyalleri ve kendi kendine çalışma konularını içeren ekleri içerir.
Sunuma, temel kavramları gösteren ve kanıtlanmış ifadelerin olası uygulamalarını açıklayan çok sayıda örnek, alıştırma ve görev eşlik ediyor.
Üniversitelerin matematiksel uzmanlık öğrencileri için.

Loev M. Olasılık Teorisi. 1962 yılı. 449 s. Djvu. 6.2 MB.
Kitap, yüksek teorik düzeyde yazılmış, modern olasılık teorisinde kapsamlı bir sistematik derstir. Yazar, ölçü teorisi temelinde rastgele olayları, rastgele değişkenleri ve dizilerini, dağılım fonksiyonlarını ve karakteristik fonksiyonları, olasılık teorisinin limit teoremlerini ve rastgele süreçleri inceler. Sunuma, değişen zorluk derecelerinde çok sayıda görev eşlik ediyor.
Lisans ve yüksek lisans öğrencileri için bir kitap - teori okuyan matematikçiler.

Lvovskiy B.N. Deneysel formüller oluşturmak için istatistiksel yöntemler: Ders kitabı. ödenek. 2. baskı, Rev. Ekle. 1988 yılı. 239 s. Djvu. 2.3 Mb.
Kılavuzun 2. baskısında, deneysel verileri işlemenin ana yöntemleri özetlenmiştir. Gözlem sonuçlarının ön işlenmesi için yöntemler ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Deneysel formüller oluşturmak için istatistiksel yöntemler, maksimum olabilirlik yöntemi, ortalamalar yöntemi ve eş-akışkan analizi dikkate alınır. Aktif deneyleri planlama ve işleme tekniği açıklanmıştır. Varyans analizinin temelleri verilmiştir.

Yu.D. Maximov editörü. Matematiğin olasılıksal bölümleri. Ders kitabı. 2001 yılı. 581 s. Djvu. 7.4 Mb.
Bölümler:!. Olasılık teorisi. 2. Matematiksel istatistikler. 3. Rastgele süreçler teorisi. 4. Kuyruk teorisi.
Teknik yönetim dışı lisans öğrencileri için öğrenci.

Maksimov Yu.D. Matematik. Vshusk 9. Olasılık teorisi. Ayrıntılı özet. Tek Değişkenli Sürekli Dağılımlar Üzerine Bir El Kitabı. 2002 yılı. 98 sayfa djv. 4.3 MB.
Kılavuz, tüm genel teknik ve ekonomik alanlarda lisans eğitimi için "Devlet eğitim standardı ve disiplinin mevcut programları" ile uyumludur. Temel özete karşılık gelen olasılık teorisi hakkında ayrıntılı bir ders notudur ( SPBPU yayınevi tarafından yayınlanan matematikte temel özetlerin 7. serisinin yayımlanması) Temel özetin aksine, burada temel özette atlanan teoremlerin kanıtları ve formüllerin sonuçları ve bir Boyutlu sürekli dağılımlar verilmiştir.Kılavuz genel teknik fakültelerin ve ekonomik uzmanlıkların Btoporo dersinin öğrencilerine yöneliktir.Ayrıca "Teknik fizik" yönü için de kullanılabilir.

J. Neveu. Olasılık teorisinin matematiksel temelleri. 1969 yılı. 310 sayfa djv. 3.0 Mb.
Kitabın yazarı, olasılık teorisi problemlerine fonksiyonel analiz ve ölçüm teorisi yöntemlerinin uygulanması üzerine yaptığı çalışmalarla tanınır. Ustalıkla yazılmış bir kitap, olasılık teorisinin temellerinin kompakt ancak eksiksiz bir açıklamasını içerir. Çok sayıda faydalı eklenti ve alıştırma dahildir.
Kitap, rastgele süreçler teorisini ciddi bir şekilde incelemek isteyen lisans ve yüksek lisans öğrencileri için iyi bir ders kitabı ve uzmanlar için mükemmel bir referans işlevi görebilir.

D.T. Yazı. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik üzerine ders notları. 2004 yılı. 256 sayfa djvu. 1.4 Mb.
Bu kitap, olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler üzerine bir derstir. Kitabın ilk bölümü, rastgele olaylar, olasılık, rastgele fonksiyonlar, korelasyon, koşullu olasılık, büyük sayılar yasası ve limit teoremleri gibi olasılık teorisinin temel kavram ve teoremlerini içermektedir. Kitabın ikinci bölümü matematiksel istatistiklere ayrılmıştır, örnekleme yönteminin temellerini, tahmin teorisini ve hipotez testini belirler. Teorik materyalin sunumuna, çok sayıda örnek ve problemin dikkate alınması eşlik eder, mümkün olduğunca erişilebilir, katı bir dilde gerçekleştirilir.
Ekonomik ve teknik üniversitelerin öğrencileri için tasarlanmıştır.

Poddubnaya O.N. Olasılık teorisi üzerine dersler. 2006 yılı. 125 sayfa pdf. 2.0 Mb.
Açıkça yazılmış. Kursun avantajları, örneğin, teorik ifadelerin örneklerle gösterilmesi gerçeğini içerir.

Yu.V. Prohorov, Yu.A. Rozanov. Olasılık teorisi. Temel konseptler. Sınır teoremleri. Rastgele süreçler. 1967 yılı. 498 s. Djvu. 7.6 MB.
Kitap ünlü Amerikalı matematikçiler tarafından yazılmıştır ve Rusça literatüre yeterince yansımayan olasılık teorisindeki önemli modern eğilimlerden birine ayrılmıştır. Yazarlar maksimum genellikten ziyade anlamlı sonuçlara yönelmekte ve bir dizi örnek ve uygulamayı dikkate almaktadır. Kitap, yüksek bilimsel düzeyde bir sunumu ve aynı zamanda öğrenci izleyicileri için erişilebilirliği başarıyla birleştiriyor.
Olasılık teorisi uzmanları, fizikçiler, mühendisler, yüksek lisans öğrencileri ve üniversite öğrencileri için.

Poincare A. Olasılık Teorisi. 1999 yılı. 284 sayfa djv. 700 Kb.
Kitap, A. Poincare tarafından verilen derslerin bölümlerinden biridir. Olasılık teorisinin genel temellerini ve pratikte hiçbir derste yer almayan geleneksel olmayan konuları inceler. Fizik, matematik ve mekaniğe çeşitli uygulamalar düşünülmektedir.
Kitap çok çeşitli okuyucular için faydalıdır - fizikçiler, matematikçiler, bilim tarihçileri.

Pyt'ev Yu.P. Shishmarev IA Fizikçiler için olasılık teorisi ve matematiksel istatistik dersi. Ders kitabı. ödenek. Moskova Devlet Üniversitesi 1983. 256 sayfa djvu. 4.6 Mb.
Kitap, yazarlar tarafından Fizik Fakültesi'nde verilen altı aylık bir derse dayanmaktadır. Stokastik süreçler teorisine çok yer ayrılmıştır: Markov ve durağan. Sunum, Lebesgue integralinin kullanımına dayalı olmasa da matematiksel olarak titizdir. Dersin matematiksel istatistiklere ayrılmış kısmı, fiziksel deneylerin planlanması, analizi ve yorumlanmasının otomasyon görevlerine yönelik uygulamalara odaklanan bölümler içermektedir. Bir bilgisayarda veri işleyerek gerçek deneysel ekipmanın parametrelerini önemli ölçüde iyileştirmeye izin veren, ölçüm ve hesaplama kompleksi "enstrüman + bilgisayar" istatistiksel teorisi sunulmaktadır. Deneysel verilerin yorumlanması probleminde kullanılan hipotezlerin istatistiksel test teorisinin unsurları yer almaktadır.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... indirmek

Saveliev. Temel olasılık teorisi. Çalışma kılavuzu, Novosibirsk Devlet Üniversitesi, 2005.
Bölüm 1 teoriye ayrılmıştır. Boyut 660Kb. Bölüm 2, örneklerin analizine ayrılmıştır. Boyut 810Kb. Bölüm 3. Riemann ve Stieltjes'in İterals. 240 sayfa djvu indir. 5.0 Mb. Kılavuzun 3. Kısmı, I. Kısımda kullanılan diferansiyel ve integral hesabın unsurlarını ayrıntılı olarak açıklar. Yazarın "Lectures on Mathematical Analysis, 2.1" (Novosibirsk, NSU, 1973) ve "Integration of Uniformly Measurable Functions" kitaplarından malzeme (Novosibirsk, NSU, 1984). Ana nesne Stieltjes integralidir. Kısım 1'de ele alınan, karmaşık süreksizlikler olmaksızın fonksiyonların uzayı üzerinde sınırlı bir lineer fonksiyonel olarak tanımlanır. Stieltjes integrali sadece olasılık teorisinde değil, aynı zamanda geometri, mekanik ve matematiğin diğer alanlarında da yaygın olarak kullanılmaktadır. Kılavuzun 3. bölümündeki ek, 2. bölümdeki eki tamamlar. Bölüm 3'ün tam olması için, 1. bölümden bazı pasajlar tekrarlanmıştır.

Yu.S. Savrasov Optimal çözümler. Ölçüm işleme yöntemleri üzerine dersler. 2000 yılı. 153 sayfa djvu. 1.1 Mb.
Ölçülen parametreler veya gözlemlenen olaylar hakkında yararlı bilgilerin en eksiksiz şekilde çıkarılmasını sağlayan ölçüm işleme yöntemleri dikkate alınır. Sunulan yöntemler, olasılık teorisi, matematiksel istatistik, karar teorisi, fayda teorisi, ayrık zamanlı dinamik sistemler için süzme teorisi alanıyla ilgilidir. Kitap, yazarın 1994-1997 yıllarında verdiği derslere dayanmaktadır. Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü'nün "Radyofizik" temel bölümünün üçüncü sınıf öğrencileri. Önerilen formda kitap, fiziksel ve teknik uzmanlık öğrencileri, radar, bilgi işleme ve otomatik kontrol sistemleri alanındaki mühendisler için faydalı olacaktır.
Birçok örnek incelendi.

Samoilenko N.I., Kuznetsov A.I., Kostenko A.B. Olasılık teorisi. Ders kitabı. 2009 yılı. 201 sayfa pdf. 2.1 Mb.
Ders kitabı, olasılık teorisinin temel kavramlarını ve yöntemlerini tanıtır. Verilen yöntemler tipik örneklerle gösterilmiştir. Her konu, olasılık teorisi yöntemlerinin stokastik problemlerin çözümünde kullanımına ilişkin becerilerin kendi kendine edinilmesi için pratik bir bölümle sona ermektedir.
Üniversite öğrencileri için.
Öğreticilerden örnekler: yazı tura atma - deneyim, düşen "tura" veya "tura" - olaylar; tercih destesinden bir kart çekmek - deneyim, kırmızı veya siyah bir takımın görünümü - olaylar; bir ders vermek bir deneyimdir, bir derste bir öğrencinin varlığı bir olaydır.

Szekey. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik paradoksları. Boyut 3.8 Mb. djv. 250 s.

Sevastiannov B.A. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik Dersi. Uçubnik. 1982 yılı. 255 sayfa djvu. 2.8 Mb.
Kitap, yazar tarafından Moskova Devlet Üniversitesi Mekanik ve Matematik Fakültesi Matematik Bölümü'nde birkaç yıl boyunca verilen yıllık derslere dayanmaktadır. Olasılık teorisinin temel kavramları ve gerçekleri, nihai şema için başlangıçta tanıtılmaktadır. Genel durumda matematiksel beklenti, Lebesgue integrali ile aynı şekilde tanımlanır, ancak okuyucunun Lebesgue entegrasyonu hakkında herhangi bir ön bilgi bilmesi beklenmez.
Kitap şu bölümleri içermektedir: bağımsız testler ve Markov zincirleri, Moivre - Laplace ve Poisson limit teoremleri, rasgele değişkenler, karakteristik ve üretici fonksiyonlar, büyük sayılar yasası, merkezi limit teoremi, matematiksel istatistiğin temel kavramları, istatistiksel hipotezlerin test edilmesi, istatistiksel tahminler, güven aralıkları ...
Olasılık teorisi okuyan üniversitelerin ve teknik kolejlerin lisans öğrencileri için.

BİR. Sobolevski. Fizikçiler için olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler. 2007 47 sayfa djv. 515 Kb.
El kitabı, fizikte teorik uzmanlaşma öğrencileri için olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklerin temellerinin bir sunumunu içerir. Klasik materyalle (bağımsız Bernoulli testleri şeması, sonlu homojen Markov zincirleri, difüzyon süreçleri), büyük sapmalar teorisi, çeşitli versiyonlarında entropi kavramı, kararlı yasalar ve olasılık dağılımları gibi konulara büyük önem verilir. kuvvet yasası bozunumu, stokastik diferansiyel hesap. Ders kitabı, teorik ve matematiksel fiziğin çeşitli alanlarında uzmanlaşmış öğrencilere yöneliktir.

Tarasov L.V. Çevreleyen dünyanın düzenlilikleri. 3 kitapta. 2004 yılı. djvu.
1. Kaza, zorunluluk, olasılık. 384 sayfa 6.8 Mb.
Bu kitap, dikkate alınan problemlerin ayrıntılı bir analizini, felsefi planın geniş genellemelerini ve tarihsel sapmaları içeren, oldukça popüler ve aynı zamanda, olasılık teorisine kesinlikle bilimsel ayrıntılı bir giriştir. Kitap açıkça eğitici niteliktedir; materyali, çok sayıda grafik ve diyagramla sağlanan, kanıt temeline dayanan, katı bir şekilde yapılandırılmıştır; Kitapta bir kısmı anlaşılan ve bir kısmı bağımsız çözüm için okuyucuya sunulan önemli sayıda orijinal problem sunulmaktadır. Kitap bitmiş bir eserdir ve aynı zamanda yazarın üç ciltlik ilk kitabıdır.
2. Modern toplumda olasılık. 360 sayfa 4.5 Mb.
Bu kitap, son derece gelişmiş bilgi teknolojilerine dayanan modern toplumda olasılık teorisinin temel rolünü göstermektedir. Kitap oldukça popüler ve aynı zamanda yöneylem araştırması ve bilgi teorisine kesinlikle bilimsel ayrıntılı bir giriştir. Farklı bir akademik karaktere sahiptir; materyali, çok sayıda grafik ve diyagramla sağlanan, kanıt temeline dayanan, katı bir şekilde yapılandırılmıştır; Kitapta bir kısmı anlaşılan, bir kısmı da bağımsız çözüm için okuyucuya sunulan önemli sayıda problem sunulmaktadır.
3.440 sayfa 7.5 Mb. Doğa bilimleri bilgisinin evrimi.
Burada, dünyanın doğal bilim resimlerinin evrimi, popüler ve sistematik bir biçimde analiz edilir: antik çağın bilimsel programlarından mekanik bir resme, sonra elektromanyetik bir resme ve nihayet modern bir resme. Dinamik (katı olarak belirlenmiş) düzenliliklerden istatistiksel (olasılıklı) düzenliliklere geçiş, bir kişinin etrafındaki dünyayı bilimsel olarak kavrayışını kademeli olarak derinleştirmesiyle gösterilir. Kuantum fiziği, temel parçacıkların fiziği, kozmoloji kavramlarının evrimi yeterince ayrıntılı olarak ele alınmaktadır. Sonuç olarak, açık dengesiz sistemlerin kendi kendini organize etme fikirleri (tüketimli yapıların ortaya çıkması) tartışılmıştır.
Çok çeşitli okuyucular için ve öncelikle lise öğrencileri (9. sınıftan başlayarak) ve teknik okulların ve yüksek eğitim kurumlarının öğrencileri için.

Tarasevich Alena Konstantinovna, Smolensk Devlet Üniversitesi Öğrencisi, Smolensk [e-posta korumalı];

Morozova Elena Valentinovna, Pedagojik Bilimler Adayı Derecesi, Smolensk Devlet Üniversitesi, Smolensk Şehri Bilgi ve Eğitim Teknolojileri Bölümü Doçentliği pozisyonu [e-posta korumalı]

Matematik okul dersinde olasılık teorisinin temellerini incelemenin özellikleri

Dipnot. Makale, okul matematik dersinde olasılık teorisinin temellerini incelemenin özelliklerine ayrılmıştır. Öğretimin amaçlarına, özelliklerine ve dönemlerine ve ayrıca özel olarak oluşturulmuş programları kullanarak bu disiplini inceleme örneklerine özel önem verilir.

Anahtar kelimeler: okulda olasılık teorisi çalışma yöntemleri, temel kavramları çalışma yöntemleri, matematik öğretme yöntemleri.

Okul matematik dersinde olasılık teorisinin temellerinin incelenmesinin bazı özellikleri vardır. Bir yandan, bu oldukça geniş ve zor bir süreçtir, bazen daha bilinçli bir yaşta, hatta okul çağından bahsetmiyorum bile, asimile edilmesi zordur, ancak şu anda hiç kimse bu disiplini eğitime dahil etme ihtiyacından şüphe duymuyor. üniversite öncesi kurs, çocukta bir takım becerilerin geliştirilmesine yardımcı olduğundan, onun için sadece ileri eğitimde değil, aynı zamanda genel olarak yaşamda da faydalı olacaktır.Okul çocuklarına düşünmeyi öğretmek gerekir. her türlü ihtimal. Yani, onlara bilgi almayı, analiz etmeyi ve işlemeyi, beklenmedik sonuçlarla çeşitli durumlarda ağırlıklı, kasıtlı eylemlerde bulunmayı öğretmelisiniz. Okul çocukları hayatlarında her gün bu tür durumlarla karşı karşıya kalmaktadır. Oyun ve cesaret hayatımızda kesin ve önemli bir yer tutar. “Olasılık” ve “güvenilirlik” kavramlarını karşılaştırma, çeşitli eylem seçeneklerinden en iyisini seçmenin zorluğu, başarı ve fiyasko olasılığını değerlendirme, oyunlarda iyi ve kötü fikri ile ilgili tüm bu sorular gerçek yaşam durumları - tüm bunlar, elbette, bir gencin gerçek ve gerekli hobileri bir daire içindedir.Okul çocuklarının matematiksel aktivitesi, hazır olasılıklı modeller çerçevesinin ötesine geçmelidir. Okul çocukları tarafından, daha sonra gerçek yaşam durumlarında karar vermeye yardımcı olan görevlerin yerine getirilmesi, büyük bir rol oynar ve materyalin öğretmen tarafından doğru ve deneyimli bir şekilde öğretilmesini gerektirir. Stokastik bilgisi, bir matematik öğretmeninin gelecekteki aktivitesinde en önemli faktörlerden biridir. Olasılıksal ve istatistiksel çıkarımları ve bunların ilişkisini içeren özel bir metodoloji de dahil olmak üzere, stokastik hakkında çok taraflı bir görüşe ihtiyacımız var.Öğretmen, zihninde meydana gelen olayların analizi sırasında yanlış karar verme riskinin nedenlerini iyice bilmeli ve anlamalıdır. durum. Örneğin, aldatıcı anlayış, çok az istatistiksel bilgiden doğabilir. Öğretmenler öğretime alışılmadık yaklaşımlar geliştiriyorlar. Okul çocukları tarafından her türlü stokastik beceriye ilişkin bilgi seviyesini belirleyen bir öğretmen, bazı zorluklarla karşılaşabilir, örneğin, problemleri çözerken, okul çocukları genellikle tabiri caizse mantıklı düşünmek ve kesinlikle algoritmaya göre hareket etmemek zorundadır, Bu durumda öğretmenin görevi, olası nitelikte olduğundan öğrencinin hata hakkını değerlendirmek olacaktır. En gelişmiş çocukların, bizi ilgilendiren deneyler ve çalışmalar yürütme ile ilgili şeyleri hızla yapmaya başladıkları, tabiri caizse yoldaşlarının velayetini aldıkları akılda tutulmalıdır.

Bu nedenle, bireysel olarak ve öğrenilenler hakkında sonuçlar çıkarmak için yabancıların yardımı olmadan beceri ve yeteneklerin seviyesini ayırt etmek biraz önemli değildir. Öğrencilere stokastik öğretmeye başlarken, öğretmen müfredata neden yeni bir program eklemenin gerekli olduğunu anlamalıdır. Öğretmenin okulda stokastik öğretiminin hedeflerini doğru bir şekilde anlaması, matematikle olan ilişkisini ve stokastiğin diğer konular arasındaki yerini net bir şekilde anlaması, öğrencilerin bu eğitimi için nihai gereksinimlerin bilgisi, matematik öğretmeninin temel temelidir. yeni bir çizginin uygulanması. ergenlerin zihinsel gelişimi üzerine, çünkü onlara yalnızca doğru ve gerekli kavramlara dayanan doğru mantıksal düşünme becerileri kazandırır. Yukarıdakilerin tümü, olasılık teorisi öğretimi için geçerlidir, ancak "durumun kanunu"nu öğretmek, alışılmışın ötesine geçerek çok daha önemlidir. Olasılık teorisi dersini alan öğrenci, belirsizlikle karşı karşıya kaldığında mantıksal düşünme tekniklerini nasıl uygulayacağını anlamaya başlar (ve pratikte bu tür birçok durum vardır).

Yukarıdakilerin tümü, bu disiplini çalışmanın hedefleri olarak tanımlanabilir, ancak okul kursunda bize tam olarak ne öğretiyor, öğrenciler ne çalışıyor ve orada hangi temel kavramlar var?

Ayrıntılı ve adım adım yaklaşırsanız, olasılık teorisinin temel tanımlarının belirli, "canlı", anlaşılır örnekler kullanılarak tanıtılacağı 5. sınıfta olasılık teorisi okul kursuna başlamak daha iyidir. Olasılık teorisinin başlangıcı, problemlerin bir numaralandırma yöntemiyle çözüleceği, yani öğrencilerin tüm olası çözümleri keşfettiği kombinatoriktir. Elbette, olası seçenekler ağacını kullanarak kombinatoryal problemlerin çözümünü düşünmek gerekir.

Öğrenmenin bir sonraki aşaması, günlük örneklerle gösterilen rastgele, güvenilir, imkansız, eşit derecede mümkün, eşit derecede olası olaylar. "Eğer bir çiftin ilk elemanı m yolla seçilebiliyorsa ve bu yolların her biri için ikinci eleman n yolla seçilebiliyorsa, bu çift m * n yolla seçilebilir." Bu kuralın olanaklarını belirli örneklerle göstermek gerekir.

Ayrı bir bölümde, temel istatistiksel özellikleri dikkate almak gerekir: aritmetik ortalama (bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamını sayılarına bölme bölümüdür), moda (en küçük değerler) medyan (ortanca, veri dizisini aynı sayıda üyeye sahip iki parçaya bölen sayıdır) hayattan birçok örnekle gösterilmelidir.Öğrenmede en önemli şey örnekleri dikkate almaktır. uygulama ile ilgili, çocuklar için faydalı ve ilginç olacak çeşitli yaşam örnekleri anlatılmaktadır.

Yukarıdakileri analiz ettikten sonra, ilk olarak Fransız matematikçi Laplace'ın eserlerinde verilen klasik olasılık teorisi tanımını formüle edebiliriz ve ayrıca kombinatorik unsurlarını da göz önünde bulundurabiliriz: yerleştirme ve kombinasyon. Klasik tanım, tablo kullanılarak gösterilebilir: Tablo 1 Klasik tanımı kullanarak problem çözme

Zaten lisede, istatistiksel araştırma çalışılıyor, bir istatistik tanımı tanıtılıyor (yaşamdaki çok çeşitli kitlesel olaylar hakkında nicel verileri inceleyen, işleyen ve analiz eden bilim), yeni örnekleme, temsiliyet, genel nüfus, sıralama, örneklem büyüklüğü dikkate alınır. Çokgen sonuçlarının grafik sunumunun yeni bir yolu tanıtıldı. Yeni örnek varyansı ve standart sapma kavramları incelenir.

İkincisinin incelenmesi, yalnızca daha önce verilen temellerin anlaşılmasını değil, aynı zamanda daha ayrıntılı ve özenli bir tutum gerektirir, çünkü matematikte, hayatta olduğu gibi, ne kadar ileri, o kadar zor.

Tabii ki, tüm disiplinlerde olduğu gibi, olasılık teorisini incelemek için okul kursunun, ana olasılıkların eklenmesi teoremi ve sonuçları ve olasılıkların çarpımı teoremi olan teoremleri incelemek için kendi özel yöntemi vardır. Teoremlerin incelenmesi, uygulamalarını gösteren özel örneklerle gösterilmelidir, ancak bunu okul öğretmenlerine bırakacağız ve bu teoremlerin içeriğini açıklayacağız ve böylece, olasılık toplama teoremi şöyle görünür: "olasılık iki uyumsuz olayın toplamı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir" ve sırasıyla bu teoremin formülü P (A + B) = P (A) + P (B)'dir. Olasılık çarpma teoremi "İki olayın çarpımının olasılığı, bir olayın olasılığının diğerinin koşullu olasılığı ile çarpımına eşittir, ancak ilk olayın gerçekleşmesi şartıyla" formülü şuna benzer: P (AB) = P (A) * P (B / A). Bu teoremlerin yanı sıra küme teorisi de, bazı genel özelliklere sahip keyfi nitelikteki elemanların kümelerinin-koleksiyonlarının genel özelliklerinin çalışıldığı bir matematik dalı olan matematik dersinde incelenir. olaylar üzerindeki işlemler ile setler üzerindeki işlemler arasındaki bağlantıyı görebilecekler... Bu sayede öğrenciler olasılık teorisindeki nesne ve ilişkilerin küme teorisindeki nesnelere ve ilişkilere benzer olduğu sonucuna varabileceklerdir.Fark kullanılan terimlerin adlarında yatmaktadır.Öncelikle bir özet tablosu oluşturmak gerekir. temel bilgileri yansıtır bu olay için elverişli A olayının meydana gelme olasılığı: P (A) = m / n Bozuk para atın2 Tura düştü 11/2 Sınav bileti çekin 24 Şanssız bir bilet çekin 11/24 Zar atın6 Bir zarda çekilen puan sayısı33/6 = 1/2 Piyango oyna / 250 = 250

Olaylarla ilgili işlemleri inceleme sürecinde, yalnızca bu işlemlerin özünü değil, aynı zamanda aralarındaki farklılıkları da yansıtan mümkün olduğunca çok örnek kullanmak gerekir. Öğrenciler tanımı kullanarak olayların toplamını ve ürününü kolayca bulabilirler. Zorluk, öğrencilerin olaylarla ilgili işlemlerin özüne ilişkin anlayışlarını ve farkındalıklarını geliştirmekte yatmaktadır. Bunu yapmak için olaylar üzerinde işlemlerle çalışmak için çeşitli görevler kullanabilirsiniz.Bu konuyu anlatırken karşılaşabileceğiniz sorun basit olayları izole etmenin zorluğudur. Çözüm ortada, bütün mesele tecrübede, ne kadar çok problem çözülürse o kadar anlayış ve en az hatalı yargılar.Bu konunun çalışılması öğrencileri "temel olaylar" gibi kavramları çok daha detaylı anlamaya ve kavramaya yönlendirecektir. ", "uyumsuz olaylar", "güvenilir olaylar", "imkansız olaylar", "karşıt olaylar", çünkü tüm bu kavramlar olaylar üzerindeki işlemler temelinde belirlenebilir. Tabii ki, herhangi bir sistemin sakıncaları ve yorumları vardır. Genel olarak kabul edilen olasılık tanımının kusurlarından biri, sınırlı kullanımıdır, çünkü yalnızca modern uygulamada çok yaygın olmayan klasik deneyler için uygundur. olasılık kavramının yorumlanmasına yönelik yaklaşımların sayısı. Pratik açıdan en önemli yaklaşımlardan biri, "olasılık" kavramını tanımlamaya yönelik istatistiksel yaklaşımdır. Uygulaması, öğrencilerde olasılık teorisinin oluşumunda bir sonraki aşama olarak kabul edilir. "Olasılık" kavramının istatistiksel tanımına hakim olmak, farklı nitelikteki geniş bir fenomen sınıfının istatistiksel özelliklerini değerlendirmek için matematiksel istatistik bölümlerinde müteakip uygulaması için önemlidir.Uygulama, olasılık teorisi çalışmasının bir olduğunu göstermiştir. okulda öğrenciler için çok zahmetli ve zor bir süreç, öğrencilere aktarılması açısından öğretmenler için de bir o kadar zordur. Dolayısıyla başta tutarlı, yapısal olması ve yapısının her zerresi birbirini tamamlaması nedeniyle güzel sanatlar ve müzik derslerinde yapılabilecek hataları ve eksiklikleri basitleştirmez.

Kaynaklara atıflar 1. Morozova E.V. Okul eğitiminin modernleşmesi bağlamında öğrencilerin mantıksal düşünme ve mantıksal yansıma geliştirme yolları // Modern bilim ve eğitim sorunları. –2014. –№ 5; URL: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id=14962 (erişim tarihi: 10.02.2016). Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorova. Öğretici: Cebir. 7. Sınıf: genel eğitim kurumları için çalışma / –M.: Eğitim 2014 –288 s.3.G. V. Dorofeev, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich ve diğerleri Cebir. 8. Sınıf: çalışma, genel eğitim için. kurumlar / A45; ed. G.V. Dorofeeva; Büyüdü. acad. Bilimler, Ros. acad. eğitim, yayınevi "Aydınlanma" - 5. baskı. -M. : Eğitim, 2010.-288 s.4 Bakınız: G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorova. Öğretici: Cebir. 7. Sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı / –M.: Eğitim 2014 –288 s.5.

N.L. Stefanov, N.S. Podkhodov. Matematik öğretimi yöntemleri ve teknolojisi. Derslerin kursu: üniversiteler için bir el kitabı /. -M. : Bustard, 2005. -416 s. 6.

Bakınız: N. L. Stefanov, N. S. Podkhodov. Matematik öğretim yöntemleri ve teknolojisi. Derslerin kursu: üniversiteler için bir el kitabı /. -M. : Bustard, 2005.-416 s.