Специфика математического моделирования живых систем. Математическая биология

Специфика математического моделирования живых систем. Математическая биология
24.09.2019

Метод описания биологических систем с помощью адекватного математического аппарата. Определение матем. аппарата, адекватно отображающего работу биологических систем, является сложной задачей, связанной с их классификацией. Классификацию биосистем по сложности (логарифму числа состояний) можно провести, пользуясь, напр., шкалой, по которой к простым системам относятся системы, имеющие до тысячи состояний, к сложным - от тысячи до миллиона и к очень сложным - свыше миллиона состояний. Второй важнейшей характеристикой биосистемы является закономерность, выражаемая законом распределения вероятностей состояний. По этому закону можно определить неопределенность ее работы по К. Шеннону и оценку относительной организации. Т. о., биол. системы можно классифицировать по сложности (макс. разнообразию или максимально возможной неопределенности) и относительной организации, т. е. степени организованности (см. Биологических систем организация).

Классификационная диаграмма биосистем:

Простые системы;

Сложные системы;

Очень сложные системы;

Вероятностные системы;

Вероятностно-детерминированные системы;

Детерминированные системы.

На рис. приведена классификационная диаграмма биосистем в осях максимально возможной неопределенности характеризующей число состояний системы и определяемой логарифмом числа состояний, и уровня относительной орг-ции - , характеризующего степень организации системы. На диаграмме даны названия соответствующих полос так, что, напр., область под цифрой 8 означает «очень сложные вероятностно-детерминированные биосистемы». Опыт изучения биосистем показывает, что если , вычисленное по гистограмме распределения отклонений изучаемого показателя от его математического ожидания, лежит в пределах от 1,0 до 0,3, то можно считать, что это детерминированная биосистема. К таким системам относятся системы управления внутр. органами, в основном системы гормонального (гуморального) управления. Нейрон, органы внутр. сферы, системы обмена веществ по определенным параметрам тоже могут быть отнесены к детерминированным биосистемам. Матем. модели таких систем строятся на основе физико-хим. соотношений между элементами или органами системы. Моделированию в этом случае подвергается динамика изменения входных, промежуточных и выходных показателей. Таковы, напр., биофизические модели нервной клетки, сердечно-сосудистой системы, системы управления содержанием сахара в крови и другие. Матем. аппаратом, адекватно описывающим поведение таких детерминированных биосистем, является теория дифф. и интегральных ур-ний. На основании матем. моделей биосистем можно, используя методы автоматического управления теории, успешно решать задачи дифф. диагностики и оптимизации лечения. Область моделирования детерминированных биосистем развита наиболее полно.

Если организованность биосистем по отношению к изучаемому показателю (или системе показателей) лежит в пределах 0,3 - 0,1, то системы можно считать вероятностно-детерминированными. К ним относятся системы управления внутр. органами с явно выраженной компонентой нервной регуляции (напр., система управления частотой пульса), а также системы гормональной регуляции в случае патологии. В качестве адекватного матем. аппарата может служить представление динамики изменения показателей дифф. ур-ниями с коэфф., подчиняющимися определенным законам распределения. Моделирование таких биосистем развито сравнительно слабо, хотя и представляет значительный интерес для целей кибернетики медицинской.

Вероятностные биосистемы характеризуются значением организованности R в пределах от 0,1 до 0. К ним относятся системы, определяющие взаимодействие анализаторов и поведенческие реакции, включая процессы обучения при простых условно-рефлекторных актах и сложных взаимосвязях между сигналами окружающей среды и реакциями организма. Адекватным матем. аппаратом

для моделирования таких биосистем является теория детерминированных и случайных автоматов, взаимодействующих с детерминированными и случайными средами, случайных процессов теория.

Матем. моделирование биосистем включает предварительную статистическую обработку экспериментальных результатов (см. Биологических исследований математические методы), изучение сложности и организованности биосистем, выбор адекватной матем. модели и определение числовых значений параметров матем. модели по экспериментальным данным (см. Кибернетика биологическая). Последняя задача в общем случае является очень сложной. Для детерминированных биосистем, модели которых могут быть представлены линейными дифф. ур-ниями, определение наилучших параметров модели (коэфф. дифф. ур-ния) может быть проведено методом спуска (см. Градиентный метод) в пространстве параметров модели, оценивая по интегралу от квадрата ошибки. В этом случае требуется применить процедуру спуска по параметрам для минимизации функционала

где Т - период, характерное время для показателя , у - экспериментальная кривая изменения показателя биосистемы, у - решение матем. модели. Если необходимо получить наилучшее (в смысле интеграла от квадрата ошибки) приближение матем. модели к работе биосистемы по нескольким показателям по различным внутренним состояниям биосистемы или для различных характерных внешних воздействий, то можно, применяя метод спуска в пространстве параметров модели, минимизировать сумму частных функционалов . При использовании такой процедуры выбора параметров матем. модели можно повысить вероятность получения единственного набора коэфф. модели, отвечающих принятой структуре. С помощью Б. с. м. м. желательно получить не только количественные характеристики работы биосистем, ее элементов и характеристики взаимосвязи элементов, но и выявить критерии работы баосистем, установить определенные общие принципы их функционирования. Лит.: Глушков В. М. Введение в кибернетику. К., 1964 [библиогр. с. 319-322]; Моделирование в биологии и медицине, в. 1-3. К., 1965-68; Буш Р., Мостеллер Ф. Стохастические модели обучаемости. Пер. с англ. М., 1962. Ю. Г. Антомонов.


Гомель, 2003 г.



УДК 57.082.14.002.2

Разработали: Стародубцева М. Н., Кузнецов Б. К.

Учебное пособие по теме «Математическое моделирование биологических процессов»

Пособие содержит две лабораторные работы, знакомящие студентов-медиков с основами математического моделирования биологических процессов, одна из них (два занятия) реализована в системе компьютерной алгебры Mathcad. В первой работе «Моделирование функционирования сердечно-сосудистой системы» рассматривается математическое моделирование биологических процессов, в том числе модели функционирования сердечно-сосудистой системы. Рассматривается системный подход в моделировании функционирования сложных объектов, принципы составления систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение биологического объекта, а также такие понятия, как устойчивые и неустойчивые состояния, бифуркации, осцилляторы, синхронизация процессов. В практической части работы содержится алгоритм вычисления параметров кровообращения в покое и после нагрузки по опытным данным и методы их статистического анализа. В второй работе, связанной с компьютерным моделированием, содержится описание пользовательского интерфейса, входного языка системы Mathcad, основных методов вычислений (вычисление арифметических выражений, нахождение производных функций, интегралов, решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений), основ построения графиков, некоторых функций статистики (вычисление среднего значения, стандартного отклонения, нахождение уравнения линейной регрессии и коэффициента корреляции).

Для студентов 1-го курса медицинских высших учебных заведений всех факультетов.

Рецензенты:

Черенкевич С. Н.,

профессор, д.б.н, заведующий кафедрой биофизики Физического факультета Белгосуниверситета,

Асенчик О. Д.,

к.ф.-м.н., заведующий кафедрой информационных технологий Гомельского государственного технического университета им. П. О. Сухого.

Утверждено Научно-методическим советом института в качестве учебного пособия _____________ 2003 г., протокол № ____ по теме: «Математическое моделирование биологических процессов»

Ó Гомельский государственный медицинский институт, 2003 г.

Тема: Математическое моделирование биологических

процессов

Лабораторная работа 1

Математическое моделирование биологических процессов.

Моделирование функционирования сердечно-сосудистой

системы

Время занятия – 135 минут.

Цель: Изучить современные модели сердечно-сосудистой системы и показать на их примере эффективность применения метода моделирования для оценки состояния и выявления характерных особенностей поведения сложных биологических объектов.

1.1. Вопросы теории

1.1.1. Математическое моделирование биологических процессов. Биофизика сложных систем.

Функционирование сложной биологической системы, в том числе сердечно-сосудистой системы, является результатом взаимодействия составляющих ее элементов и протекающих в ней процессов. Следует иметь в виду, что согласно общему принципу восходящей иерархии типов движения (механическое – физическое – химическое – биологическое – социальное), биологическая форма движения не может быть полностью сведена к механической, физической или химической форме движения, а биологические системы не могут быть полностью описаны с позиций какой-либо одной из этих форм движения. Эти формы движения могут служить моделями биологической формы движения, то есть ее упрощенными образами.

Выяснить основные принципы регулирования процессов сложной биологической системы можно с помощью построения сначала механической, физической или химической модели системы, а затем построения их математических моделей, то есть отыскания описывающих эти модели математических функций, в том числе уравнений (создания математических моделей). Чем ниже уровень иерархии – тем проще модель, тем больше факторов реальной системы исключаются из рассмотрения.

Моделирование – это метод, при котором производится замена изучения некоторого сложного объекта (процесса, явления) исследованием его упрощенного аналога - модели. В биофизике, биологии и медицине широко применяются физические, химические, биологические и математические модели. Например, течение крови по сосудам моделируется движением жидкости по трубам (физическая модель). Биологическая модель – это простые биологические объекты, удобные для экспериментального исследования, на которых изучают свойства реальных более сложных биологических систем. Например, закономерности возникновения и распространения потенциала действия по нервному волокну были изучены на биологической модели – гигантском аксоне кальмара.

Математическая модель – это совокупность математических объектов и отношений между ними, отражающая интересующие исследователя свойства и характеристики реального объекта. Адекватную математическую модель можно построить только с привлечением конкретных данных и представлений о механизмах сложных процессов. После построения математическая модель «живет» по своим внутренним законам, познание которых позволяет выявить характерные черты исследуемой системы (см. схему на рис. 1.1.). Результаты моделирования составляют основу управления процессами любой природы.

Биологические системы, по сути, являются чрезвычайно сложными структурно-функциональными единицами.


Рис. 1.1. Схема системного подхода в моделировании биологического объекта.

Чаще всего математические модели биологических процессов задаются в виде дифференциальных или разностных уравнений, но возможны и другие типы представлений модели. После того как модель построена, задача сводится к изучению ее свойств методами математической дедукции или путем машинного моделирования.

При изучении сложного явления обычно предлагают несколько альтернативных моделей. Проверяют качественное соответствие этих моделей объекту. Например, устанавливают наличие устойчивых стационарных состояний в модели, существование колебательных режимов. Модель, наилучшим образом соответствующую исследуемой системе, выбирают в качестве основной. Выбранную модель уточняют применительно к конкретной исследуемой системе. Задают числовые значения параметров по экспериментальным данным.

Процесс поиска математической модели сложного явления можно разделить на этапы, последовательность и взаимосвязь которых отражает схема ни рис. 1.2.


Рис. 1. 2. Схема поиска математической модели.

Этап 1 соответствует сбору имеющихся к началу исследования данных об изучаемом объекте.

На этапе 2 осуществляется выбор базовой модели (системы уравнений) из возможных альтернативных моделей по качественным признакам.

На этапе 3 производится идентификация параметров модели по экспериментальным данным.

На этапе 4 осуществляется проверка поведения модели на независимых экспериментальных данных. Для этого часто приходится ставить дополнительные эксперименты.

Если взятые для верификации модели экспериментальные данные «не вписываются» в модель, требуется проанализировать ситуацию и выдвинуть иные модели, исследовать свойства этих новых моделей, а затем поставить эксперименты, позволяющие сделать вывод о предпочтительности одной из них (этап 5).

Современная биология широко применяет математические и компьютерные методы. Без использования математических методов было бы невозможным выполнение таких глобальных проектов, как геном человека, расшифровка пространственной структуры сложных биомакромолекул, дистанционная диагностика, компьютерное моделирование новых эффективных лекарств («драг- дизайн»), планирование мероприятий по предотвращению распространения эпидемий, анализ экологических последствий работы промышленных объектов, биотехнологические производства и многое другое.

Бурное внедрение математических методов в биологию в последние десятилетия связано в первую очередь с развитием экспериментальных физико-химических методов биологических исследований. Рентгеноструктурный и спектроскопические (ЯМР, ЭПР) методы, анализ последовательности ДНК невозможны без математической обработки результатов эксперимента.

С другой стороны, применение математических методов способствовало пониманию законов, лежащих в основе многих биологических процессов. Многочисленные примеры приведены в рекомендованной литературе. Среди них - свойства циклических колебаний численностей популяций, принцип конкурентного исключения Гаузе для конкурирующих видов, пороговая теорема в математической эпидемиологии, условия распространения нервного импульса, условия возникновения разного типа автоволновых процессов в активных тканях, в частности в сердечной мышце и многие другие.

Биологические задачи инициировали создание новых математических теорий, которые обогатили саму математику. Первая известная математическая модель численности популяции кроликов Леонардо из Пизы (13 век) представляет собой ряд Фибоначчи. Более поздние примеры новых математических постановок дают задачи рождения и гибели, диффузионные процессы, системы с кросс-диффузией в уравнениях с частными производными, новые типы краевых задач для уравнений переноса, эволюционная теория игр, системы репликаторных уравнений. Основы современной статистики были заложены Р. Фишером, который также изучал биологические проблемы.

Математические модели в биологии

Первые систематические исследования, посвященные математическим моделям в биологии, принадлежат А.Д. Лотке (1910-1920 гг). Его модели и сейчас не утратили значения. Основателем современной математической теории биологических популяций справедливо считается итальянский математик Вито Вольтерра , разработавший математическую теорию биологических сообществ, аппаратом которой служат дифференциальные и интегро- дифференциальные уравнения. (Vito Volterra. Lecons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie. Paris, 1931). В последующие десятилетия популяционная динамика развивалась, в основном, в русле высказанных в этой книге идей. В.Вольтерра принадлежит самая знаменитая «биологическая модель» сосуществования видов типа (1928 г.), которая входит во все учебники по теории колебаний. Русский перевод книги Вольтерра вышел в 1976 г. под названием: «Математическая теория борьбы за существование» под редакцией и с послесловием Ю.М.Свирежева, где рассматривается история развития математической экологии в период 1931‑1976 гг. Начиная с сороковых годов 20 века, математические модели заняли прочное место в : работы Моно (1942), Новика и Сцилларда (1950) позволили описать закономерности роста популяций одноклеточных организмов.

Основополагающей для развития математических моделей пространственно-временного поведения биологических систем стала работа Алана Тьюринга, “ Химические основы морфогенеза” (Turing, 1952) заложившая основу динамического подхода к моделированию распределенных биологических систем. В ней впервые показана возможность существования в активной кинетической среде стационарных и неоднородных структур. Полученные в этой работе фундаментальные результаты легли в основу большого числа моделей морфогенеза, описывающих раскраску шкур животных (Murray 1993; Мюррей, 2009), образование раковин (Meinhardt 1995), морских звезд и других живых организмов.

Важную роль сыграли математические модели в изучении механизмов генерации нервного импульса . А. Ходжкин и Э. Хаксли наряду с экспериментальным исследованием предложили модель, описывающую процессы ионного транспорта через мембрану и прохождение импульса потенциала вдоль мембраны. Работа британских ученых была удостоена Нобелевской премии 1963 г. (вместе с сэром Джоном Эклсом, Австралия).

Объяснению механизма сердечных аритмий при помощи аксиоматических моделей возбудимой среды была посвящена первая в этой области работа Н. Винера и А. Розенблюта (Wiener and Rosenblueth 1946). Русский перевод опубликован в книге: Кибернетический сборник. Вып.3. М. ИЛ, 1961. В более общей форме сходные идеи были развиты советскими учеными Гельфандом и Цетлиным (Гельфанд и др., 1963; Гельфанд и др., 1966), а затем и другими авторами на моделях клеточных автоматов. При построении моделей учитывали, что процесс возникновения и распространения возбуждения в биологических объектах, в частности, в нервных тканях обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить формальную модель этого явления.

Российские научные школы

Российские научные школы внесли большой вклад в развитие математической биологии. А.Н. Колмогоров , И.Г. Петровский , Н.С. Пискунов в 1937 г. в работе “Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме” решили задачу о предельной скорости перемещения фронта волны и определили предельную форму фронта. Эта работа стала классической и положила начало развитию теоретического и экспериментального изучения автоволновых явлений в системах разной природы.

Российским биофизикам В.И. Кринскому , Г.Р. Иваницкому и др. принадлежит серия блестящих работ, положивших начало экспериментальному изучению и теоретическому описанию возбудимых тканей (Иваницкий, Кринский, Сельков. «Математическая биофизика клетки». 1978). В настоящее время направление по изучению и компьютерному моделированию процессов нервного проведения и распространения волн в сердечной мышце интенсивно развивается. Последние достижения в этой области представлены в книге «Динамические модели процессов в клетках и субклеточных наноструктурах», 2010. Наиболее продвинутые модели учитывают сопряжение электрических и механо-химических процессов, структурную и геометрическую неоднородность сердца.

Российским ученым Б.П. Белоусовым (Белоусов 1959, 1981) был открыт класс химических реакций, позволяющих наблюдать на опыте практически все известные в настоящее время типы поведения распределенных систем. А.М. Жаботинский с сотрудниками подробно исследовали свойства этих реакций и условия их протекания, им также была предложена первая математическая модель наблюдаемого явления (Жаботинский, 1975). В дальнейшем реакцию Белоусова-Жаботинского (BZ-реакцию), как модель распределенной системы, демонстрирующей различные типы пространственно-временной организации, исследовали в сотнях лабораторий мира (Field. and Burger 1985; Филд and Бургер 1988; Ванаг, 2008). Был разработан ряд моделей для описания протекающих процессов, наиболее известными являются модель «Орегонатор», предложенная исследователями из университета Орегоны, США (Field., Koros et al. 1972; Field. and Noyes 1974), и модель «пущинатор», предложенная исследователями из Научного центра биологических исследований г. Пущино (Rovinsky and Zhabotinsky 1984).

Российские ученые внесли большой вклад в развитие математической теории . Это, в первую очередь, работы коллективов Института Математических проблем биологии РАН (до 1992 г. - Научный Вычислительный центр РАН) под руководством А.М.Молчанова (А.Д.Бызыкин, Ф.С.Березовская, А.И.Хибник) и коллектива сотрудников Вычислительного центра РАН под руководством Ю.М.Свирежева (Д.О. , А. Тарко, В. Разжевайкин, Д. Саранча, Н. В. Белотелов, В. Пасечник, В.В. Шакин и др.). В ВЦ РАН под руководством академика Н.Н.Моисеева в 70-80 годы 20 века проводились работы по глобальному и региональному моделированию. Здесь была создана знаменитая модель «ядерной зимы».

Значительный вклад в развитие методов моделирования процессов в энергопреобразующих мембранах внесли ученые МГУ. Кинетические модели первичных процессов фотосинтеза разработаны учеными Биологического (А.Б. Рубин , Г.Ю. Ризниченко , Н.Е. Беляева) и физического (А.К.Кукушкин, А.Н. Тихонов , В.А.Караваев, С.А. Кузнецова). В последние годы на кафедре биофизики Биологического факультета МГУ активно ведутся работы по разработке нового метода прямого многочастичного компьютерного моделирования процессов в субклеточных системах (А.Б.Рубин, Г.Ю.Ризниченко, И.Б. Коваленко. Д.М.Устинин)

Большую роль в становлении математической биологии России сыграли научные разработки и книги коллектива авторов Ю.М. Романовского , Н.В. Степановой (Физический факультет МГУ) и Д.С. Чернавского (ФИАН): « Математические модели в биофизике» М., 1976; « Математическая биофизика» М., 1984; « Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику » М-Ижевск, 2004. В них рассматриваются основы биологической кинетики, модели эволюции и развития в биологии, модели роста клеточных популяций, автоволны в распределенных кинетических системах, статистические аспекты биологической кинетики. Это направление продолжает развиваться в ФИАНе (А А. Полежаев, В.И. Волков и др.)

Учреждения, где проводятся работы по математическому моделированию в биологии

В современной России работы по математическому моделированию в биологии проводятся в ряде научно-исследовательских институтов и ВУЗов. Одно из ведущих мест принадлежит научному центру в г. Пущино, где в 1972 г. был организован научный вычислительный центр РАН (Директор - А.М. Молчанов), который в 1992 г. получил статус Института математических проблем биологии РАН. Нынешний директор ИМПБ - В.Д.Лахно, который также является председателем Научного Совета РАН по математической биологии и биоинформатике. ИМПБ РАН является ведущим научным учреждением по данной проблеме и издает электронный журнал «Математическая биология и биоинформатика»

Работы по математическому моделированию биологических процессов ведутся также в других учреждениях Пущинского научного центра РАН: Институте биофизики клетки РАН. директор - чл.-корр. РАН Е.Е.Фесенко (в основном по молекулярно-динамическому и квантово-механическому моделированию процессов в биомакромолекулах) и Институте теоретической и экспериментальной биофизики РАН, директор - чл.-корр. РАН Г.Р.Иваницкий (моделирование процессов самоорганизации в активных средах, автоволновны в живых клетках и биополимерах).

В научной школе академика Г. И Марчука активно развиваются методы моделирования применительно к медицине, в частности, разрабатываются модели иммунитета и распространения эпидемий.

Исследования биологических систем с использованием математических моделей проводятся в Институте биофизики СО РАН (Красноярск, Институте генетики СО РАН (Новосибирск), в университетах Нижнего Новгорода, Саратова, Ростова-на-Дону, Ярославля, в Государственном университете «Московский физико-технический институт», в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ» и др.

Работы по математическому моделированию в биологии в МГУ активно ведутся на Биологическом факультете (модели первичных процессов фотосинтеза и других процессов в субклеточных и клеточных системах, молекулярная динамика белков и биомембран), Физическом факультете МГУ (модели молекулярных машин) , факультете Вычислительной математики и кибернетики (популяционная динамика, математическая экология, эволюционные модели, модели управления), Механико-математическом факультете (модели вестибулярного аппарата, модели растительных сообществ).

Периодические издания

Статьи по математическим моделям в биологии регулярно публикуются в журналах:

  • «Биофизика» (М., 1956 —),
  • «Bulletin of Mathematical Biophysics» (1939 —1972); «Bulletin of Mathematical Biology» (1972-); Jurnal of Theoretical biology (1961 —),
  • Journal of Mathematical biology (1974-);
  • Ecological modeling (1975—),
  • Компьютерные исследования и моделирование (2009 —).

Отдельные статьи по математическому моделированию также печатаются в журналах:

  • Успехи физических наук (1918 -)
  • Вестник Московского университета
  • BioSystems (1967)
  • Journal of Biological Systems (1993)
  • Computational and Mathematical Methods in Medicine (1997)
  • Mathematical Biosciences (1967)
  • Mathematical Biosciences and Engineering
  • PNAS (1915)
  • Science Magazine (1880)
  • Journal Nature (1869)
  • Acta Biotheoretica (1935)
  • Comments on Theoretical Biology
  • Rivista de Biologia / Biology Forum (1996)
  • Systema Naturae / Annali di Biologia Teorica (1998)
  • Theoretical and Applied Genetics (1929)
  • Theoretical Medicine and Bioethics (1980)
  • Theoretical Population Biology ()
  • Theory in Biosciences / Theorie in den Biowissenschaften
  • Mathematical Modeling of Natural Phenomena (2006)

Издания

Книги по математическому моделированию в биологии публикуются издательством РХД-ИКИ в серии «Биофизика. Математическая биология», Наука, URSS и другими издательствами научной и образовательной литературы.

Иваницкий Г.Р., Кринской В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. Наука, 1978

Мюррей Д. Математическая биология. Том 1. Введение. Изд. ИКИ-РХД, М-Ижевск, 2009

Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т. Высшая математика и ее приложения к биологии. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели. Академия. М., 2009

Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Изд. РХД, М-Ижевск, 2003 .

Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. Изд. ИКИ-РХД, М-Ижевск, 2004

Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. Изд. ИКИ-РХД, 2004

Рубин А.Б. Биофизика. Т. I. М., 2004. Т. 2. М., 2004 (изд. 3-е)

Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука. 1978

Свирежев Ю.М. Нелинейные волны. Диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., Наука, 1987

Смирнова О.А. радиация и организм млекопитающих: модельный подход. Изд. РХД, М-Ижевск, 2006

Курс лекций «Математические модели в биологии»

читается автором для студентов 2-ого года обучения бакалавриата Биологического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Параллельно с лекциями проходят семинары (практические занятия), в ходе которых студенты закрепляют полученные на лекциях знания и знакомятся с программным обеспечением, используемым для анализа математических моделей и проведения вычислительных экспериментов. После прохождения курса студенты сдают экзамен . Курс включает 14 лекций по 2 академических часа.

  • Учебник Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии (изд. 2-е, испр. и дополн.) Издательство РХД, 2011 г. 560 стр. ISBN 978-5-93972-847-8. Предыдущее издание (значительно более краткое!) находится в свободном доступе в сети Интернет по ссылке http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/
  • Учебник Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терёхин А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели (изд. 2-е, испр. и дополн.) М.: Издательство Юрайт, 2018. - 321 с. - (Серия: Университеты России). - ISBN 978-5-534-01698-7.
  • Учебное пособие Плюснина Т.Ю., Фурсова П. В., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биологии (Изд. 2-e доп. Учебное пособие. М.-Ижевск: НИЦ: «Регулярная и хаотическая динамика», 2014. 136 с. ISBN: 978-5-4344-0224-8) - электронная версия
  • Задать вопрос преподавателям Вы можете на web -форуме
  • Ответы на лекционные вопросы Вы можете отправить преподавателю с помощью web -форума . Пожалуйста, прочитайте правила форума

Лекции будут прочитаны в Большой биологической аудитории (ББА, 2 этаж) Биологического факультета МГУ с 7 сентября по 21 декабря 2018 года еженедельно по пятницам с 13 40 .

Те, кто пропустил по болезни лекционную контрольную или электронный тест, могут их написать 24 декабря 2018 года в 15.35 и 17.10.

Часть 1. Введение. Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.

  • Программа: Интеграция данных и знаний. Цели моделирования. Базовые понятия
  • Учебник: Введение (из 1-го издания)
  • Введение (из 2-го издания)
  • Презентация (загрузить PDF)

Часть 2. . Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости.

  • Программа:
  • Учебник: Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
  • Презентация (загрузить )

Непрерывные модели: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической численностью. Модель роста человечества. Модели с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях параметра: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.

  • Программа: Модели, описываемые автономным дифференциальным уравнением
  • Учебник: Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
  • Учебник: Модели роста популяций
  • Презентация (загрузить PDF)

21 сентября. Лекция 3 . Модели роста популяций.

Часть 1. Модели роста популяций. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.

Часть 2. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример: химические реакции первого порядка.

  • Программа: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений
  • Учебник: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений
  • Учебник: Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка
  • Презентация: Матричные модели популяций (загрузить PDF)
  • Презентация: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений (загрузить PDF)

28 сентября. Лекция 4 . Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка

Триггер. Примеры систем с двумя устойчивыми стационарными состояниями. Силовое и параметрическое переключение триггера. Эволюция. Отбор одного из двух и нескольких равноправных видов. Конкуренция двух видов в случае неограниченного и ограниченного роста. Генетический триггер Жакоба и Моно. Бифуркации динамических систем. Типы бифуркаций. Бифуркационные диаграммы и фазопараметрические портреты. Катастрофы.

  • Программа: Мультистационарные системы
  • Учебник: Мультистационарные системы
  • Учебник: Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова. Типы бифуркаций. Катастрофы
  • Презентация: Устойчивость и асимптотическая устойчивость (загрузить PDF)
  • Презентация: Биологические триггеры (загрузить PDF)
  • Материалы по теории катастроф:
    • Арнольд В.И. Теория катастроф // Наука и жизнь, 1989, № 10
    • Арнольд В.И. Теория катастроф // Динамические системы – 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5, ВИНИТИ, М., 1986, 219–277
    • Арнольд В.И. Теория катастроф . М., Наука, 1990 - 128 с.

Понятие автоколебаний. Изображение поведения автоколебательной системы на фазовой плоскости. Предельные циклы. Условия существования предельных циклов. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова - Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Модель Брюсселятор. Примеры автоколебательных моделей процессов в живых системах. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Автоколебания в модели гликолиза. Внутриклеточные колебания концентрации кальция.

  • Программа:
  • Учебник: Колебания в биологических системах
  • Презентация (загрузить PDF)

Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Аттракторы. Странные аттракторы. Динамический хаос. Линейный анализ устойчивости траекторий. Диссипативные системы. Устойчивость хаотических решений. Размерность странных аттракторов.

Стационарные состояния и динамические режимы в сообществе из трех видов. Динамический хаос в моделях взаимодействия видов. Трофические системы с фиксированным количеством вещества. Модель системы четырех биологических видов.

Фракталы и фрактальная размерность. Кривая Коха. Треугольник и салфетка Серпинского. Канторово множество. Канторов стержень, чертова лестница. Примеры фрактальных множеств в живых системах. Формирование крон деревьев. Альвеолы легких. Мембраны митохондрий.

  • Программа: Квазистохастические процессы. Динамический хаос
  • Учебник:
  • Презентация (загрузить PDF)

2 ноября. Лекция 9 . Модели взаимодействия двух видов. Моделирование микробных популяций

Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий. Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова. Модель взаимодействия двух видов насекомых МакАртура. Параметрический и фазовые портреты системы Базыкина.

  • Программа: Модели взаимодействия видов
  • Программа: Модели в микробиологии
  • Учебник: Модели взаимодействия двух видов
  • Учебник: Динамический хаос. Модели биологических сообществ
  • Презентация (загрузить PDF)

Уравнение реакция-диффузия. Почему возникают периодические структуры и волны. Активные кинетические среды в живых системах. Проблема формообразования. Распространение волн возбуждения. Пространственные структуры и автоволновые процессы в химических и биохимических реакциях.

Уравнение диффузии. Начальные и граничные условия. Решение уравнения диффузии. Решение однородного уравнения диффузии с нулевыми граничными условиями. Метод разделения переменных. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Решение общей краевой задачи. Линейный анализ устойчивости гомогенных стационарных решений одного уравнения типа реакция-диффузия.

  • Программа:
  • Учебник:
  • Учебник:
  • Учебник:
  • Презентация (загрузить PDF)

16 ноября. Лекция 11 . Распределенные биологические системы. Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных

Устойчивость однородных стационарных решений системы двух уравнений типа реакция-диффузия. Диссипативные структуры. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния. Зависимость вида неустойчивости от волнового числа. Неустойчивость Тьюринга. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния распределенного Брюсселятора. Диссипативные структуры вблизи порога неустойчивости. Локализованные диссипативные структуры. Линейный анализ системы реакция-электродиффузия. Типы пространственно-временных режимов.

Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных. Дифференциация и морфогенез. Модель генетического триггера с диффузией (Чернавский и др.). Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Генетический триггер с учетом диффузии субстратов. Модель гидры Гирера-Майнхардта. Моделирование раскраски шкур животных. Модели агрегации амеб.

  • Программа: Живые системы и активные кинетические среды
  • Учебник: Распределенные биологические системы. Уравнение реакция-диффузия
  • Учебник: Решение уравнения диффузии. Устойчивость гомогенных стационарных состояний
  • Учебник: Распространение концентрационной волны в системах с диффузией
  • Презентация (загрузить PDF)

23 ноября. Лекция 12 . Распространение импульсов, фронтов и волн. Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии

Распространение импульсов, фронтов и волн. Модель распространения фронта волны Петровского-Колмогорова-Пискунова-Фишера. Взаимодействие процессов размножения и диффузии. Локальные функции размножения. Автомодельная переменная. Распространение амброзиевого листоеда.

Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии. Распространение нервного импульса. Опыты и модель Ходчкина-Хаксли. Редуцированная модель ФитцХью-Нагумо. Возбудимый элемент локальной системы. Подпороговое и надпороговое возбуждение. Бегущие импульсы. Детальные модели кардиоцитов. Аксиоматические модели возбудимой среды. Автоволновые процессы и сердечные аритмии.

  • Программа: Живые системы и активные кинетические среды
  • Программа: Модели взаимодействия видов
  • Программа: Модели в микробиологии
  • Учебник: Распределенные биологические системы. Уравнение реакция-диффузия
  • Учебник: Решение уравнения диффузии. Устойчивость гомогенных стационарных состояний
  • Учебник:

В настоящем учебном пособии хорошо представлены основные современные математические модели для анализа биофизических процессов, живых систем в экологии. Книга состоит из трех разделов, в которых описаны базовые модели в биофизике, динамике популяций и экологии, а также даны соответствующие описательные примеры, представлены методы расчета и статистические данные. На данный момент некоторые из приводимых статистических данных устарели. Однако это существенно не влияет на процесс обучения математическому моделированию биологических процессов, и произошедшие изменения при необходимости могут быть учтены преподавателями.

Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;

Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;

Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;

Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».

На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.

Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.

Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:

  1. Безналичный способ:
    • Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
    • Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения. Просим корректно ввести данные во все поля.
      Например, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для " class="text-primary">Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта.
    • Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.