B7 užduotis - logaritminių ir orientacinių išraiškų transformacija. Logaritminės išraiškos.
Pamokos tipas: VALDYMO IR SPRENDIMO ŽINIŲ SRITYJE
Tikslai:
- aktualizuoti studentų žinias apie logaritmus ir jų savybes pagal apibendrinant pasikartojimą ir pasirengimą naudoti;
- skatinti studentų psichikos veiklos plėtrą, teorinių žinių taikymo įgūdžius vykdant pratimus;
- skatinti studentų asmeninių savybių, savikontrolės įgūdžių ir savęs vertinimo savo veiklos plėtrą; Šviesti sunkų darbą, pacientą, atkaklumą, nepriklausomybę.
Įranga:kompiuteris, projektorius, pristatymas (1 priedėlis. \\ T) Kortelės su namų darbais (galite pridėti failą su užduotimi elektroniniu dienoraščiu).
Klasių metu
I. Organizacinis momentas. Sveikinimas, nuotaika į pamoką.
Ii. Diskusija namų darbai.
III. Pranešimų temos ir pamokos tikslai. Motyvacija.(1 skaidrės) pristatymas.
Mes ir toliau apibendriname matematikos kursą rengiantis egzaminui. Ir šiandien pamokoje kalbėsime apie logaritmus ir jų savybes.
Užduotys logaritmų skaičiavimui ir logaritminių išraiškų transformavimui būtinai yra tiek pagrindiniai, tiek profilio lygiai kontrolės ir matavimo medžiagos. Todėl mūsų pamokos tikslas yra atkurti idėjas apie "logaritmo" sąvokos prasmę ir atnaujinti įgūdžius, kad būtų galima transformuoti logaritmines išraiškas. Užsirašykite pamokos temą nešiojamuose kompiuteriuose.
IV. Žinių aktualizavimas.
1. / ORAL /Norėdami pradėti, prisiminkite, kas vadinama logaritmu. (2 slydimas)
(Teigiamo numerio b logaritmas bazei a (kur a\u003e 0, ah? 1) vadinamas laipsnio rodikliu, kuriame reikėtų vartoti numerį, kad gautumėte numerį b)
Prisijunkite prie b \u003d n<-> N \u003d b, (a\u003e 0, ir 1, b\u003e 0)
Taigi, "logarithm" yra "laipsnio rodiklis"!
(3 slydimas) tada n \u003d b gali būti perrašytas kaip \u003d B yra pagrindinis logaritminis tapatumas.
Jei bazė yra \u003d 10, tada logaritmas vadinamas dešimtainiu ir žymintu LGB.
Jei a \u003d e, tada logaritmas vadinamas natūraliu ir žymi LNB.
2. / Rašyta / (4 slydimas)Užpildykite praleidimą, kad gautumėte ištikimą lygybę:
Prisijungti? x + log a? \u003d Prisijungti? (? y)
Prisijunkite? - Prisijungti? Y \u003d Prisijungti? (X /?)
Prisijunkite prie x? \u003d Plogas? (?)
Patikrinti:
vienas; vienas; a, y, x; x, a, a, y; p, a, x.
Tai yra logaritmų savybės. Ir taip pat savybių grupė: (5 stiklelis)
Patikrinti:
a, 1, n, x; N, X, P, A; x, b, a, y; a, x, b; A, 1, B.
V. Oralinis darbas
(6 stiklelis) №1. Apskaičiuoti:
a b c d); e).
Atsakymai : a) 4; b) - 2; 2; d) 7; e) 27.
(7 skaidrė) №2. Rasti X:
bet); b) (atsakymai: a) 1/4; b) 9).
3 numeris. Ar yra prasminga apsvarstyti tokį logaritmą:
bet); b); ?? (Ne)
Vi. Nepriklausomas darbas grupėse, stiprūs mokiniai - konsultantai. (Skaidimas 8)
# 1. Apskaičiuokite: 
.
2. Supaprastinti:
# 3. Raskite išraiškos vertę, jei
№ 4. Supaprastinti išraišką: 
№ 5. Apskaičiuoti:
№ 6. Apskaičiuoti:№ 7 apskaičiuoti:
Nr. 8. Apskaičiuokite:
Po vykdymo - tikrinimas ir diskusija su nuirbintu tirpalu arba naudojant dokumentą - fotoaparatai.
Vii. Padidėjusio sudėtingumo užduoties sprendimas(Stiprus studentas ant lentos, poilsio - nešiojamųjų kompiuterių) (SLIDE 9)
Raskite išraiškos vertę:
Viii. Namų darbas (kortelės) diferencijuojamos.(SLIDE 10)
№1. Apskaičiuoti: 
Įrašyta lygybė konvertuojant išraiškas su logaritmais yra naudojami tiek į dešinę kairę ir į kairę į dešinę.
Verta pažymėti, kad norint įsiminti savybių poveikį yra neprivaloma: atliekant transformacijas, galima padaryti su pagrindinėmis logaritmų savybėmis ir kitais faktais (pvz., B≥0), iš kurių atitinkama su b≥0) pasekmės. Šio požiūrio "šalutinis poveikis" pasireiškia tik tuo, kad sprendimas bus šiek tiek ilgesnis. Pavyzdžiui, daryti be tyrimo, kuris yra išreikštas formulėje 
Ir atstumti tik iš pagrindinių savybių logaritmų, turėsite atlikti tokio tipo transformacijų grandinę: 
.
Tą patį galima pasakyti apie paskutinę turtą iš pirmiau pateikto sąrašo, kuris atitinka formulę 
Kadangi tai taip pat išplaukia iš pagrindinių logaritmų savybių. Svarbiausia suprasti, kad visada yra teigiamas skaičius su rodikliu logaritmui, kad pakeistų laipsnio pagrindą ir numerį pagal logaritmo ženklą. Siekiant teisingumo, atkreipiame dėmesį į tai, kad pavyzdžiai, rodantys tokio pobūdžio transformacijų įgyvendinimą yra reti praktikoje. Mes pateikiame keletą pavyzdžių po tekstu.
Skaitmeninių išraiškų transformacija su logaritmais
Logaritmų savybės prisiminė, dabar atėjo laikas išmokti taikyti juos praktiškai konvertuoti išraiškas. Natūralu prasideda nuo skaitmeninių išraiškų, o ne išraiškos su kintamaisiais, nes jie yra patogesni ir lengviau žinomi pagrindai. Taigi mes padarysime ir pradėsime labai paprastų pavyzdžių, kad sužinotume, kaip pasirinkti norimą logaritmo turtą, tačiau palaipsniui apsunkinsime pavyzdžius, iki to momento, kai reikia naudoti keletą savybių iš eilės, kad gautumėte galutinį rezultatą.
Pageidaujamų logaritmų savybių pasirinkimas
Logaritmų savybės nėra tokios mažos, ir aišku, kad turite galimybę rinktis iš jų tinkamo, kuris šiuo konkrečiu atveju sukels norimą rezultatą. Paprastai sunku tai padaryti, lyginant transformuoto logaritmo ar išraiškos tipą su kairiųjų ir dešiniųjų formulių dalių vaizdais, išreiškiančiais logaritmų savybes. Jei kairė arba dešinė pusė vienos iš formulių sutampa su tam tikru logaritmu ar išraiška, tada greičiausiai tai yra šis turtas, kurį reikia taikyti konvertuojant. Aiškiai įrodyti šie pavyzdžiai.
Pradėkime su pavyzdžiais konvertuojančių išraiškų, naudojant logaritmo apibrėžimą, kuris atitinka formulę A log a b \u003d b, a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite, jei įmanoma: a) 5 log 5 4, b) 10 LG (1 + 2 · π), b) 
, D) 2 log 2 (-7), e).
Sprendimas.
Pavyzdyje, pagal raidę a), struktūra A B yra aiškiai matoma, kur a \u003d 5, b \u003d 4. Šie skaičiai atitinka sąlygas a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, todėl galite naudoti lygybę a log a b \u003d b. Mes turime 5 log 5 4 \u003d 4.
b) čia a \u003d 10, b \u003d 1 + 2 · π, sąlygos a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0. Šiuo atveju yra 10 LG lygybė (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π.
c) Ir šiame pavyzdyje mes susiduriame su tam tikro tipo žurnalo A B laipsnį, kur ir b \u003d LN15. SO 
.
Nepaisant to paties tipo žurnalo a b (čia a \u003d 2, b \u003d -7), išraiška pagal d raidę) negali būti konvertuojama pagal formulę log a b \u003d B. Taip yra todėl, kad jis neturi prasmės, nes jame yra neigiamas skaičius pagal logaritmo ženklą. Be to, numeris b \u003d -7 neatitinka B būklės b\u003e 0, kuri neleidžia kreiptis į formulę log a b \u003d b, nes tam reikia įvykdyti a\u003e 0, a ≠ 1, b \u003e 0. Taigi, neįmanoma kalbėti apie 2 log 2 (-7) vertės apskaičiavimą. Šiuo atveju įrašymas 2 log 2 (-7) \u003d -7 bus klaida.
Panašiai, pavyzdžiui, pagal raidę), sprendimas negali būti pareikštas 
Kadangi pradinė išraiška nėra prasminga.
Atsakymas:
a) 5 log 5 4 \u003d 4, b) 10 LG (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π, c) , D), e) išraiškos neturi prasmės.
Dažnai naudinga konversijai, kai teigiamas skaičius pateikiamas tam tikro teigiamo ir skirtingo skaičiaus laipsnio su rodikliu logaritmu. Jis grindžiamas tuo pačiu logaritmo apibrėžimu A LOG A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, tačiau formulė yra taikoma dešiniajame kairiajame, tai yra, B forma \u003d log a b. Pavyzdžiui, 3 \u003d E LN3 arba 5 \u003d 5 log 5 5.
Eikite į logaritmų savybių taikymą konvertuoti išraiškas.
Pavyzdys.
Rasti išraiškos vertę: a) Prisijungti -2 1, b) Prisijungti 1 1, c) Prisijungti 0 1, d) Žurnalas 7 1, e) LG1, E) LG1, G) LOG 3,75, S) LOG 3,75 5 · 7 1.
Sprendimas.
Pavyzdžiuose pagal a), b) ir c) log -2 1, log 1 1, žurnalo 0 1 išraiškos, kurios nėra prasmės, nes logaritmo pagrindu neturėtų būti neigiamas skaičius, nulis arba vienetas, nes mes nustatėme logaritmą tik už teigiamą ir skiriasi nuo bazinio vieneto. Todėl a) - c) negali būti jokių abejonių dėl išraiškos vertės.
Visose kitose užduotys akivaizdu, kad yra teigiami ir skirtingi numeriai iš 7, E, 10, 3,75 ir 5 · π 7, atitinkamai, ir po logaritmų požymiais visur yra vienetų. Ir mes žinome logaritmo vieneto turtą: log a 1 \u003d 0 už bet kurį\u003e 0, a ≠ 1. Taigi, išraiškų b) - E) yra lygūs nuliui.
Atsakymas:
a), b), c) išraiškos nėra prasmės, d) log 7 1 \u003d 0, d) ln1 \u003d 0, e) lg1 \u003d 0, g) log 3,75 1 \u003d 0, h) log 5 · e 7 1 \u003d 0.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite: a), b) lne, c) LG10, D) prisijunkite 5 · π 3 -2 (5 · π 3-2), e) Log -3 (-3), e) Prisijungti 1 1.
Sprendimas.
Akivaizdu, kad turime pasinaudoti bazės logaritmo nuosavybe, kuri atitinka formulę, prisijunkite A \u003d 1 A\u003e 0, a ≠ 1. Iš tiesų, užduočių pagal visas raides, numeris pagal logaritmo ženklą sutampa su jo pagrindu. Taigi aš noriu nedelsiant pasakyti, kad kiekvienos iš nurodytų išraiškų reikšmė yra 1. Tačiau nebūtina skubėti su išvadomis: užduotomis pagal a) - d) išraiškų vertės yra tikrai lygios vienai, o užduotys d) ir e) pradinės išraiškos nėra jausmas, todėl negalima pasakyti, kad šių išraiškų vertės yra 1.
Atsakymas:
a), b) lne \u003d 1, c) lg10 \u003d 1, d) prisijunkite 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1, D), e) išraiškos neturi prasmės.
Pavyzdys.
Rasti vertę: a) log 3 3 11, b) 
, c), d) log -10 (-10) 6.
Sprendimas.
Akivaizdu, kad po logaritmų požymių yra keletas pamatų laipsnių. Remdamiesi tuo, mes suprantame, kad tai yra naudinga mums čia Fondo laipsnį: Prisijunkite a p \u003d p, kur A\u003e 0, A ≠ 1 ir P yra galiojantis numeris. Atsižvelgiant į tai, mes turime šiuos rezultatus: a) log 3 3 11 \u003d 11, b) 
, į) 
. Ar galima įrašyti panašią lygybę pavyzdys pagal ROG -10 (-10) 6 \u003d 6 raidę? Ne, tai neįmanoma, nes sąvoka log -10 (-10) 6 neturi prasmės.
Atsakymas:
a) log 3 3 11 \u003d 11, b) , į) , d) išraiška nėra prasminga.
Pavyzdys.
Įsivaizduokite išraišką sumos forma arba logaritmų skirtumas tuo pačiu pagrindu: a) 
, B), c) LG ((- 5) · (-12)).
Sprendimas.
a) pagal logaritmo ženklą yra darbas, ir mes žinome logaritmo turtą apie žurnalo a (x · y) \u003d log ax + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. Mūsų atveju logaritmo bazės numeris ir darbas yra teigiamas, ty tenkina pasirinkto turto sąlygas, todėl galime ramiai taikyti: 
.
b) Čia mes naudojame privačiojo, kur a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. Mūsų atveju logaritmo bazė yra teigiamas numeris e, skaitiklis ir vardiklis π yra teigiami, o tai reiškia, kad turto sąlygos yra tenkinamos, todėl mes turime teisę naudoti pasirinktą formulę: 
.
c) Pirmiausia pastebime, kad LG sąvoka ((- 5) · (-12)) yra prasminga. Bet tuo pačiu metu, jam, mes neturime teisės taikyti logaritmo formulę žurnalo a (x · y) \u003d log ax + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0, nes numeriai -5 ir -12 - neigiami ir neatitinka sąlygų x\u003e 0, y\u003e 0. Tai yra neįmanoma atlikti tokio konversijos: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (-5) + LG (-12). Ir ką daryti? Tokiais atvejais pradinė išraiška turi preliminarų transformaciją, kuri leidžia jums išeiti iš neigiamų skaičių. Mes kalbėsime apie tokius atvejus transformacijos išraiškų su neigiamais numeriais pagal logaritmo požymiu išsamiai viename iš šių pavyzdžių, kurie yra suprantami ir be paaiškinimų: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.
Atsakymas:
bet) b) b) , C) LG ((- 5) · (-12)) \u003d LG5 + LG12.
Pavyzdys.
Supaprastinkite išraišką: a) žurnalas 3 0,25 + žurnalas 3 16 + log 3 0,5, b).
Sprendimas.
Čia mes padėsime visoms toms pačioms savybėms, susijusioms su privataus darbo ir logaritmo logaritmu, kurį mes naudojome ankstesniuose pavyzdžiuose, tik dabar mes juos taikysime į dešinę į kairę. Tai reiškia, kad logaritmų kiekis paverčiamas darbo logaritmu ir skirtumu tarp logaritmų - privačių logaritmuose. Turėti
bet) prisijungti 3 0,25 + Prisijungti 3 16 + Prisijungti 3 0,5 \u003d Prisijungti 3 (0,25 · 16 · 0.5) \u003d log 3 2.
b) b) 
.
Atsakymas:
bet) prisijungti 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0.5 \u003d log 3 2b) b) 
.
Pavyzdys.
Atsikratykite logaritmo ženklu: a) log 0,7 5 11, b) 
, C) žurnalas 3 (-5) 6.
Sprendimas.
Tai lengva pamatyti, kad mes susiduriame su rąstų A B p p. Atitinkamas logaritmo turtas turi tokį žurnalą a b p \u003d p · log a b, kur a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p yra bet koks galiojantis numeris. Tai yra, kai atliekant sąlygas a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 nuo žurnalo A B laipsnio logaritmo, mes galime pereiti prie produkto P · Prisijunkite prie B. Mes atliksime šią konversiją su nurodytomis išraiškomis.
a) Šiuo atveju, a \u003d 0,7, b \u003d 5 ir p \u003d 11. Taigi log 0,7 5 11 \u003d 11 · Žurnalas 0,7 5.
b) atliekami sąlygos a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0. todėl 
c) išraiškos žurnalas 3 (-5) 6 turi tą pačią struktūros žurnalą a b p, a \u003d 3, b \u003d -5, p \u003d 6. Bet b, B būklė b\u003e 0 nėra patenkintas, todėl neįmanoma naudoti log a b p \u003d p · log a B. Taigi, neįmanoma susidoroti su užduotimi? Tai įmanoma, tačiau reikia iš anksto konvertuoti išraišką, mes išsamiai kalbėsime toliau antraštėje. Sprendimas bus toks: Žurnalas 3 (-5) 6 \u003d log 3 5 6 \u003d 6 · Žurnalas 3 5.
Atsakymas:
a) log 0,7 5 11 \u003d 11 · log 0,7 5,
b) b)
c) log 3 (-5) 6 \u003d 6 · Žurnalas 3 5.
Gana dažnai, logaritmo formulė laipsnį transformacijos metu yra būtina taikyti teisę į kairę kaip P · Prisijungti a b \u003d log a b p (tai reikalauja tų pačių sąlygų a, b ir p). Pavyzdžiui, 3 · LN5 \u003d LN5 3 ir LG2 · log 2 3 \u003d log 2 3 LG2.
Pavyzdys.
a) Apskaičiuokite prisijungimo 2 5 vertę, jei žinoma, kad LG2≈0,3010 ir LG5≈0,6990. b) pateikti frakciją logaritmo forma, pagrįstos 3.
Sprendimas.
a) perėjimo prie naujos logaritmo pagrindo formulė leidžia šiam logaritmui atstovauti po dešimtainių logaritmų santykio, kurio vertybės yra žinomos mums :. \\ t Jis lieka tik atlikti skaičiavimus, turime 
.
b) yra pakanka pasinaudoti perėjimu į naują bazę ir taikyti jį į dešinę kairę, tai yra, kaip forma 
. Gauti 
.
Atsakymas:
a) žurnalas 2 5≈2,3223, b) .
Šiame etape mes pakankamai kruopščiai apsvarstėme paprasčiausių išraiškų, naudojant pagrindines savybes logaritmų konvertavimo konversiją ir logaritmo apibrėžimą. Šiais pavyzdžiais turėjome taikyti tam tikrą turtą ir nieko daugiau. Dabar su ramia sąžine galite pereiti prie pavyzdžių, kurio transformacija reikalauja naudoti keletą savybių logaritmų ir kitų papildomų transformacijų. Mes eisime į kitą pastraipą. Tačiau prieš tai trumpai sutelksime dėmesį į pagrindinių logaritmų savybių pasekmių pavyzdžius.
Pavyzdys.
a) Atsikratykite šaknų po logaritmo ženklu. b) Konvertuoti frakciją į logaritmą ant pagrindo 5. c) dažnai nuo laipsnių pagal logaritmo ženklą ir pamatą. d) Apskaičiuokite išraiškos vertę 
. e) Pakeiskite laipsnio išraišką su baze 3.
Sprendimas.
a) Jei prisimenate apie logaritmo turto pasekmę 
Jūs galite iš karto atsakyti: 
.
b) Mes naudojame formulę 
Teisė į kairę 
.
c) Šiuo atveju rezultatas lemia formulę . Gauti 
.
d) ir čia pakanka taikyti pasekmę, kad formulė yra atsakinga 
. SO 
.
e) turto logaritmas Leidžia mums pasiekti norimą rezultatą: 
.
Atsakymas:
bet) . b) b) . į 
. d) 
. e) .
Nuoseklus naudojimas kelių savybių
Nekilnojamojo užduotys, skirtos išraiškoms transformuoti naudojant logaritmų savybes, paprastai yra sudėtingesnės tose, kuriose dalyvavome ankstesnėje pastraipoje. Juose paprastai rezultatas nėra vienas žingsnis, o sprendimas jau yra nuoseklus vienos nuosavybės taikymas po kito, kartu su papildomomis tapatybės transformacijomis, pvz., Skliaustų atskleidimu, panašių sąlygų, frakcijų mažinimo ir kt. . Taigi priartėkime prie tokių pavyzdžių. Nėra nieko sunku, pagrindinis dalykas yra veikti tvarkingai ir nuosekliai, stebint veiksmų vykdymo tvarką.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite išraiškos vertę (Prisijunkite 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5.
Sprendimas.
Logaritmų skirtumas skliausteliuose už privataus logaritmo turtą gali būti pakeistas logaritmo žurnalu 3 (15: 5) ir toliau apskaičiuoti jo vertės žurnalą 3 (15: 5) \u003d log 3 3 \u003d 1. Ir išraiškos 7 log 7 5 vertė pagal logaritmo apibrėžimą yra lygi 5. Pakeiskite šiuos rezultatus originalioje išraiškoje, mes gauname (log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.
Leiskite mums pateikti sprendimą be paaiškinimo:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d Žurnalas 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d log 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.
Atsakymas:
(log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 5.
Pavyzdys.
Kokia yra skaitmeninio išraiškos žurnalo 3 log 2 2 3 -1 vertė?
Sprendimas.
Pirmiausia paverčiame logaritmą, kuris yra po logaritmo ženklu, pagal logaritmo formulę: log 2 2 3 \u003d 3. Taigi, log 3 log 2 2 3 \u003d log 3 3 ir tolesnis žurnalas 3 3 \u003d 1. Taigi log 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.
Atsakymas:
prisijunkite 3 žurnalas 2 2 3 -1 \u003d 0.
Pavyzdys.
Supaprastinti išraišką.
Sprendimas.
Pereinamojo laikotarpio formulė į naują logaritmo bazę leidžia logaritmų santykiams vienai bazei būti atstovaujama kaip žurnalas 3 5. Šiuo atveju pradinė išraiška bus formuojama. Pagal "logarith" 3 žurnalo 3 5 \u003d 5, tai yra 
Ir gautos išraiškos vertė dėl to paties logaritmo apibrėžimo yra du.
Čia yra trumpa versija sprendimo, kuris paprastai skiriamas: 
.
Atsakymas:
.
Siekiant sklandžiai pereiti prie šios prekės informacijos, pažvelkime į 5 2 + žurnalo rodiklius ir LG0.01. Jų struktūra netinka bet kuriai logaritmų savybėms. Taigi, kas atsitinka, jie negali būti konvertuojami naudojant logaritmų savybes? Gali būti įmanoma, jei galite atlikti preliminarius transformacijas, kurios parengia šias išraiškas į logaritmų savybių taikymą. SO 5 2 + log 5 3 \u003d 5 2 · 5 log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, 
ir LG0.01 \u003d LG10 -2 \u003d -2. Tada išsamiai suprasime, kaip atliekamas toks išraiškų mokymas.
Išraiškų parengimas pagal logaritmų savybių taikymą
Logaritmai transformuotos išraiškos sudėtyje labai dažnai skiriasi nuo kairiųjų ir dešiniųjų formulių dalių, atitinkančių logaritmų savybes. Bet ne rečiau šių išraiškų transformacija reiškia logaritmų savybių naudojimą: naudoti juos tik reikalauja preliminarų preparato. Ir šis preparatas yra tam tikrų identiškų transformacijų vykdymas, vedantis į formą, patogu taikyti savybes.
Dėl teisingumo, mes atkreipiame dėmesį, kad beveik bet kokie išraiškos transformacijos gali veikti kaip preliminarios transformacijos, nuo banalinės pavaros tokių sąlygų į trigonometrinių formulių naudojimą. Tai suprantama, nes transformuotos išraiškos gali būti bet kokie matematiniai objektai: skliausteliuose, moduliuose, frakcijos, šaknys, laipsniai ir kt. Taigi, jums reikia būti pasirengę atlikti bet kokią reikalingą konversiją toliau galėsite naudoti logaritmų savybes.
Nedelsiant, pasakykime, kad šiuo metu mes nenustatėme užduoties klasifikuoti ir išardyti visus įsivaizduojamus preliminarius transformacijas, kurios toliau taiko logaritmų savybes arba logaritmo apibrėžimą. Čia mes gyvensime tik keturiais iš jų, kurie yra labiausiai būdingi ir dažniausiai rasti praktikoje.
Ir dabar išsamiai apie kiekvieną iš jų, po to, kai dalis mūsų tema, jis bus tik spręsti išraiškų transformacija su kintamųjų po logaritmų požymių.
Laipsnių parinkimas pagal logaritmo ženklą ir jo pamatą
Pradėkime iš karto nuo pavyzdžio. Būkime logaritmas. Akivaizdu, kad šioje formoje jos struktūra neturi naudoti logaritmų savybių. Ar įmanoma kažkaip konvertuoti šią išraišką supaprastinti, ir net geriau apskaičiuoti jo vertę? Jei norite atsakyti į šį klausimą, pažvelkime 81 ir 1/9 numeriuose mūsų pavyzdžiu. Čia lengva pastebėti, kad šie skaičiai leidžia reprezentuoti skaičių 3 laipsnį, iš tiesų, 81 \u003d 3 4 ir 1/9 \u003d 3 -2. Šiuo atveju pradinis logaritmas pateikiamas formoje ir galimybe taikyti formulę . Taigi, 
.
Išardymo pavyzdys analizė sukuria tokią mintį: jei įmanoma, galite pabandyti pabrėžti logaritmo ženklo laipsnį ir savo pamatą taikyti logaritmo turtą arba jo pasekmę. Tik reikia išsiaiškinti, kaip skirti šiuos laipsnius. Pateikiame keletą rekomendacijų šiuo klausimu.
Kartais tai yra gana akivaizdu, kad skaičius pagal logaritmo ženklą ir (arba) jo fondo ženklą yra kai kurie iš viso laipsnio kaip pavyzdys. Praktiškai nuolat turi susidoroti su "Twos" aptikimų, kurie buvo gerai apgalvoti: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 2 3, 16 \u003d 2 4, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2 6, 128 \u003d 2 7, 256 \u003d 2 8 , 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Tai galima pasakyti apie trigubo: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3 3, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 3 5, ... Apskritai, jis nekenkia, jei tai bus prieš mūsų akis natūralių skaičių laipsnių lentelė per tuziną. Taip pat nėra sunku dirbti su dešimties, šimtų, tūkstančių ir kt.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite vertę arba supaprastinkite išraišką: a) log 6 216, b), c) log 0,000001 0,001.
Sprendimas.
a) Akivaizdu, kad 216 \u003d 6 3, todėl log 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3.
b) gamtos numerių laipsnių lentelė leidžia pateikti 343 ir 1/243 numerius 7 3 ir 3-4 laipsnių forma atitinkamai. Todėl galima sekti tam tikro logaritmo transformaciją: 
c) kaip 0,000001 \u003d 10 -6 ir 0,001 \u003d 10 -3, tada lOG 0.000001 0.001 \u003d LOG 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.
Atsakymas:
a) log 6 216 \u003d 3, b) 
, c) log 0,000001 0,001 \u003d 1/2.
Sudėtingesniais atvejais pabrėžti, kad numerių laipsniai turi kreiptis į.
Pavyzdys.
Konvertuokite išraišką į paprastesnį žurnalo tipą 3 648 · log 2 3.
Sprendimas.
Pažiūrėkime, kas yra 648 vienam paprastų veiksnių skaičiui:
Tai yra, 648 \u003d 2 3 · 3 4. Šiuo būdu, prisijunkite 3 648 · Žurnalas 2 3 \u003d Žurnalas 3 (2 3 · 3 4) · Žurnalas 2 3.
Dabar darbų logaritmas transformuojasi logaritmų kiekiu, po kurio taikomos laipsnio logaritmo savybės:
prisijungti 3 (2 3 · 3 4) · Žurnalas 2 3 \u003d (log 3 2 3 + log 3 3 4) · Žurnalas 2 3 \u003d
\u003d (3 · Log 3 2 + 4) · Žurnalas 2 3.
Dėl tyrimo iš logaritmo nuosavybės, su kuria yra atsakinga formulė Produkto log32 · Log23 yra darbas, ir žinoma, kad tai yra vienas. Atsižvelgdami į tai, mes gauname 3 · Žurnalas 3 2 · Žurnalas 2 3 + 4 · Žurnalas 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · Žurnalas 2 3 \u003d 3 + 4 · Žurnalas 2 3.
Atsakymas:
prisijunkite 3 648 · Žurnalas 2 3 \u003d 3 + 4 · Žurnalas 2 3.
Gana dažnai, išraiškos pagal logaritmo ženklą ir jo pagrindu yra šaknų ir (arba) kai kurių numerių laipsnių ir (arba) laipsnių santykis, pavyzdžiui. Tokios išraiškos gali būti atstovaujamos kaip laipsnis. Dėl to perėjimas nuo šaknų iki laipsnių ir taikomos. Šie konversijos leidžia jums pabrėžti laipsnius pagal logaritmo ženklą ir jo pagrindu, po kurio jums taikyti logaritmų savybes.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite: a) 
, b).
Sprendimas.
a) logaritmo bazės išraiška yra laipsnių su tomis pačiomis bazėmis produktas pagal atitinkamą laipsnių turtą, mes turime 5 2 · 5-0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0,5-1 \u003d 5 0,5.
Dabar paverčiame frakciją po logaritmo ženklu: mes kreipiamės nuo šaknų iki laipsnio, po kurio mes naudosime laipsnių turtą su tais pačiais pagrindais: 
.
Lieka pakeisti į pradinę išraišką gautus rezultatus, naudokite formulę ir baigti transformacijas: 
b) Nuo 729 \u003d 3 6, 1/9 \u003d 3 -2, tada pradinė išraiška gali būti perrašyta forma.
Be to, taikykite šaknų turtą nuo laipsnio, mes atliekame perėjimą nuo šaknies iki laipsnio ir naudokitės laipsnio rodiklio turtu, kad logaritmas būtų konvertuojamas į laipsnį: 
.
Atsižvelgiant į paskutinį rezultatą, mes turime 
.
Atsakymas:
bet) 
, b).
Akivaizdu, kad apskritai, norint gauti laipsnius pagal logaritmo ženklą ir, jo pagrindu, gali prireikti įvairių transformacijų įvairių išraiškų. Mes suteikiame keletą pavyzdžių.
Pavyzdys.
Kokia yra išraiškos vertė: a) 
b) b) 
.
Sprendimas.
Todėl atkreipiame dėmesį į tai, kad nurodyta išraiška turi žurnalo A B P formą, kur a \u003d 2, b \u003d x + 1 ir p \u003d 4. Skaitmeninės tokio pobūdžio išraiškos buvo konvertuojami pagal masto logaritmo turtą logaritmą \u003d P · Žurnalo AB, todėl su tam tikra išraiška, aš noriu padaryti tą patį, kaip ir iš log 2 (x + 1) 4 Eikite į 4 · Prisijungti 2 (x + 1). Ir dabar apskaičiuokite pradinės išraiškos vertę ir išraišką, gautą po transformacijos, pavyzdžiui, su x \u003d -2. Turėti žurnalą 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0, ir 4 · Žurnalas 2 (-2 + 1) \u003d 4 · Žurnalas 2 (-1) - ne tai reiškia išraišką. Tai sukelia natūralų klausimą: "Ką mes darėme neteisingai"?
Ir priežastis yra tokia: mes atlikome transformacijos žurnalą 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · žurnalas 2 (x + 1), remiantis formulės žurnalu ABP \u003d P · log AB, bet mes turime teisę tai taikyti Formulė tik tada, kai būklė a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p - bet koks galiojantis numeris. Tai yra, JAV konversija vyksta, jei x + 1\u003e 0 yra tas pats X\u003e -1 (už A ir P - pagamintos sąlygos). Tačiau mūsų atveju "OTZ kintamasis x už pradinę išraišką sudaro ne tik nuo intervalo x\u003e -1, bet ir nuo X laikotarpio<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
Reikia atsižvelgti į ...
Mes ir toliau išarsime rąstų 2 (x + 1) 4 pasirinktų išraiškų transformaciją, o dabar pažiūrėkime, kas vyksta su OTZ, kai pereinant į ekspresiją 4 · žurnalas 2 (x + 1). Ankstesnėje pastraipoje mes nustatėme net šaltinio išraišką - tai yra rinkinys (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Dabar mes randame Kintamo x leistinų reikšmių sritį išraiškai 4 · žurnalas 2 (x + 1). Jis nustatomas pagal X + 1\u003e 0 būseną, atitinkančią rinkinį (-1, + ∞). Akivaizdu, kad pereinant nuo 2 (x + 1) nuo 4 iki 4 · žurnalo 2 (x + 1), galiojančių vertybių plotas įvyksta. Ir mes sutikome išvengti transformacijų, dėl kurių atsiranda OTZ susiaurėjimas, nes tai gali sukelti įvairių neigiamų pasekmių.
Verta paminėti čia, kad jis yra naudinga kontroliuoti OTZ kiekviename transformacijos etape ir užkirsti kelią jo susiaurėjimui. Ir jei staiga, kai kuriuose transformacijos etapuose buvo OST sumažėjo, tada verta atrodyti labai atsargiai, ar ši transformacija yra leistina ir ar mes turime teisę jį atlikti.
Pavyzdžiui, pasakykime, kad praktikoje paprastai būtina dirbti su išraiškomis, kurių "OTZ" kintamieji yra tokie, kad, atliekant transformacijas, naudokite logaritmų savybes be apribojimų, esančių jau žinomas mums, ir tiek iš kairės dešinė ir į dešinę į kairę. Jūs greitai priprasti prie to, ir jūs pradėsite atlikti transformacijas mechaniškai, be mąstymo, ir ar buvo galima juos atlikti. Ir tokiose akimirkose, kaip iškrauta, šlepetės sudėtingesni pavyzdžiai, kuriuose netikėtai naudojimas logaritmų savybių sukelia klaidų. Taigi jums reikia visada būti patikrinta ir laikykitės to, kad nėra OTZ susiaurėjimo.
Jis nesugadina atskirai pasirinkti pagrindines transformacijas, pagrįstas logaritmų savybėmis, kurios turi būti atliekamos labai atsargiai, o tai gali sukelti OTZ susiaurėjimą, ir kaip rezultatas - į klaidas:
Kai kurios išraiškos transformacijos pagal logaritmų savybes gali sukelti atvirkštinį - otz plėtrą. Pavyzdžiui, perėjimas nuo 4 · žurnalo 2 (x + 1) į 2 (x + 1) 4 plečia nelyginis nuo rinkinio (-1, + ∞) iki (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Tokie transformacijos atsiranda, jei lieka ODZD už pradinę išraišką. Taigi vienintelė minėta konversija 4 · žurnalas 2 (x + 1) \u003d žurnalas 2 (x + 1) 4 vyksta OTZ kintamąjį x originalią išraišką 4 · žurnalas 2 (x + 1), ty su x + 1 0, kuris yra tas pats (-1, + ∞).
Dabar mes aptarėme niuansus, kuriems jums reikia atkreipti dėmesį į konvertuojant išraiškas su kintamaisiais, naudojant logaritmų savybes, lieka išsiaiškinti, kaip teisingai šie transformacijos turi būti atliekami.
X + 2\u003e 0. Ar tai veikia mūsų byloje? Jei norite atsakyti į šį klausimą, pažvelkite į "Otz" kintamąjį x. Tai lemia nelygybės sistema 
kuris yra lygus x + 2\u003e 0 sąlygai (jei reikia, žr. Straipsnį nelygybės sistemų sprendimo). Taigi, mes galime ramiai taikyti Logarith'o turtą.
Turėti
3 · LG (x + 2) 7-lg (x + 2) -5 · LG (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · LG (x + 2) -lg (x + 2) -5 · 4 · LG (x + 2) \u003d
\u003d 21 · LG (x + 2) -lg (x + 2) -20 · LG (X + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · LG (x + 2) \u003d 0.
Galite veikti ir kitaip, OTZ nauda leidžia tai padaryti, pavyzdžiui: 
Atsakymas:
3 · LG (x + 2) 7-lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d 0.
Ir ką daryti, kai nesilaikoma logaritmų savybių sąlygos? Mes tai išspręsime su pavyzdžiais.
Tarkime, iš mūsų supaprastinkite "LG" sąvoką (x + 2) 4 -lg (x + 2) 2. Šios išraiškos transformavimas, priešingai nei ankstesnio pavyzdžio išraiška, neleidžia logaritmo laipsnio žurnalo. Kodėl? OTZ kintamasis X šiuo atveju yra dviejų tarpų x\u003e -2 ir x derinys<−2 . При x>-2 Mes galime ramiai taikyti logaritmų turtą ir veikti kaip išardyta aukščiau: lG (x + 2) 4-lg (x + 2) 2 \u003d 4 · LG (x + 2) -2 · LG (x + 2) \u003d 2 · LG (x + 2). Tačiau Otz yra dar vienas x + 2 laikotarpis<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | X + 2 |) 4 -LG (- | X + 2 |) 2 Ir toliau pagal laipsnių savybių jėga į LG | X + 2 | 4 -lg | X + 2 | 2. Gautą išraišką galima konvertuoti pagal logaritmo turtą, nes | X + 2 | 0 už bet kokias kintamojo vertes. Turėti lG | X + 2 | 4 -lg | X + 2 | 2 \u003d 4 · LG | X + 2 | -2 · LG | X + 2 | \u003d 2 · LG | X + 2 |. Dabar galite atlaisvinti save nuo modulio, kaip jis atliko savo darbą. Kadangi mes atliekame konversiją x + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Apsvarstykite dar vieną pavyzdį, kad darbas su moduliais taptų pažįstami. Tegul mes suvokiame nuo išraiškos 
Eikite į sumą ir skirtumą tarp linijinių atsimušimo X-1, X-2 ir X-3 logaritmų. Pirmiausia mes randame ... 
Interval (3, + ∞) išraiškų x-1, X-2 ir X-3 vertės yra teigiamos, todėl mes ramiai taikome sumas ir skirtumų logaritmmo savybes: 
Ir intervale (1, 2), išraiškos x-1 vertės yra teigiamos, o išraiškų x-2 ir X-3 vertės yra neigiamos. Todėl nagrinėjamame intervale pristatome X-2 ir X-3 modulį kaip - | X-2 | ir - | X-3 | atitinkamai. Kur. \\ T 
Dabar galite taikyti darbo ir privataus logaritmo savybes, nes ji yra intervale (1, 2) išraiškų x-1, | X-2 | ir | X-3 | - Teigiamas.
Turėti 
Rezultatai gali būti derinami:
Apskritai panašūs argumentai leidžia logaritmų formulėms remiantis logaritmu, santykiais ir laipsniais gauti tris praktiškai naudingus rezultatus, kurie yra gana patogūs naudoti:
- Dviejų savavališkų reiškinių logaritmų kūriniai x ir y žurnalo a (x · y) tipo (x μm) tipo gali būti pakeista su suvestiniais logaritmais Prisijungti A | X | + Prisijungti A | Y | , A\u003e 0, a ≠ 1.
- LogarithM asmeninis žurnalas a (x: y) gali būti pakeistas tarp logaritmų žurnalo a | x | -Log a | y | , a\u003e 0, a ≠ 1, x ir y - savavališkos išraiškos.
- Nuo kai kurių išraiškos l logaritmo lygiu ratght a b p forma, galite eiti į išraišką p · log a | b | , kur a\u003e 0, a ≠ 1, p yra lygus skaičius ir b - savavališka išraiška.
Panašūs rezultatai pateikiami, pavyzdžiui, nurodydamos orientacines ir logaritmines lygtis matematikos problemų rinkimo pareiškėjams universitetams pagal M. I. Scanavi redaktorius.
Pavyzdys.
Supaprastinkite išraišką 
.
Sprendimas.
Būtų gerai taikyti logaritmo savybes, sumas ir skirtumus. Bet ar galime tai padaryti čia? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime žinoti OTZ.
Mes jį apibrėžiame: 
Tai yra gana akivaizdu, kad x + 4, x-2 ir (x + 4) 13 išraiška apie leistinų kintamojo x reikšmių vertes gali būti teigiamos ir neigiamos vertės. Todėl turėsime veikti per modulius. 
Modulio savybės leidžia perrašyti kaip, todėl 
Taip pat niekas neleidžia nuo logaritmo laipsnio turto, tada atneškite panašias sąlygas: 
Kita transformacijų seka lemia tą patį rezultatą: 
ir kadangi išraiška x-2 gali būti tiek teigiamų ir neigiamų verčių, tada pateikiant lygų laipsnį 14
Užduotys, kurių tirpalas yra logaritminių išraiškų transformavimas, dažnai susitinka egzaminui.
Sėkmingai susidoroti su jais minimaliu laiku, išskyrus pagrindinius logaritminius tapatybes, jums reikia žinoti ir teisingai naudoti kai kurias formules.
Tai yra: log a b \u003d b, kur A, B\u003e 0 ir ≠ 1 (tai yra tiesiogiai iš logaritmo apibrėžimo).
prisijunkite b \u003d Prisijunkite su b / log su a arba log a b \u003d 1 / log b a
kur A, B, C\u003e 0; A, c ≠ 1.
prisijungti a m b n \u003d (m / n) Prisijungti | A | | B |.
kur A, B\u003e 0, a ≠ 1, m, n є r, n ≠ 0.
ir prisijunkite su b \u003d b log su a
kur A, B, C\u003e 0 ir A, B, s ≠ 1
Parodyti ketvirtosios lygybės teisingumą, palikite kairę ir dešinę pusę A. Mes gauname žurnalą (ir prisijome su b) \u003d Prisijunkite A (B Prisijunkite su A) arba Prisijungti su B \u003d Prisijunkite su A · log a b; Prisijungti su b \u003d Prisijungti su a · (Prisijunkite su b / log su A); Prisijungti su b \u003d Prisijungti su b.
Mes įrodėme lygias logaritmus, o tai reiškia, kad logaritmai yra lygūs. 4 formulė yra įrodyta.
1 pavyzdys.
Apskaičiuokite 81 žurnalą 27 5 log 5 4.
Sprendimas.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
Žurnalas 27 5 \u003d 1/3 LOG 3 5, LOG 5 4 \u003d LOG 3 4 / LOG 3 5. Todėl,
prisijunkite 27 5 · LOG 5 4 \u003d 1/3 Prisijungti 3 5 · (LOG 3 4 / LOG 3 5) \u003d 1/3 Prisijungti 3 4.
Tada 81 žurnalo 27 5 Rąstiniai 5 4 \u003d (3 4) 1/3 žurnalo 3 4 \u003d (3 log 3 4) 4/3 \u003d (4) 4/3 \u003d 4 3 √4.
Galite savarankiškai atlikti šią užduotį.
Apskaičiuoti (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.
Kaip patarimas 0,2 \u003d 1/5 \u003d 5 -1; Žurnalas 0,2 5 \u003d -1.
Atsakymas: 5.
2 pavyzdys.
Apskaičiuoti (√11) Žurnalas. √3 9- Prisijungti 121 81.
Sprendimas.
Atlikti pasakymų pakeisti: 9 \u003d 3 2, √3 \u003d 3 1/2, Prisijungti √3 9 \u003d 4,
121 \u003d 11 2, 81 \u003d 3 4, log 121 81 \u003d 2 žurnalas 11 3 (naudojamas 3 formulė).
Tada (√11) žurnalas √3 9- log 121 81 \u003d (11 1/2) 4-2 log 11 3 \u003d (11) 2- log 11 3 \u003d 11 2 / (11) log 11 3 \u003d 11 2 / ( 11 log 11 3) \u003d 121/3.
3 pavyzdys.
Apskaičiuokite Prisijungti 2 24 / Prisijungti 96 2- žurnalas 2 192 / log 12 2.
Sprendimas.
Logaritmai esančios pavyzdžiui, pakeisti logaritmus su baze 2.
prisijunkite 96 2 \u003d 1 / log 2 96 \u003d 1 / log 2 (2 5 · 3) \u003d 1 / (log 2 2 5 + log 2 3) \u003d 1 / (5 + log 2 3);
log 2 192 \u003d log 2 (2 6 · 3) \u003d (log 2 2 6 + log 2 3) \u003d (6 + log 2 3);
log 2 24 \u003d log 2 (2 3 · 3) \u003d (log 2 2 3 + log 2 3) \u003d (3 + log 2 3);
prisijungti 12 2 \u003d 1 / log 2 12 \u003d 1 / log 2 (2 2 · 3) \u003d 1 / (log 2 2 2 + log 2 3) \u003d 1 / (2 + log 2 3).
Tada prisijungti 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2 \u003d (3 + prisijungti 2 3) / (1 / (5 + prisijungti 2 3)) - ((6 + log 2 3) / (1 / ( 2 + log 2 3)) \u003d \u003d \u003d
\u003d (3 + žurnalas 2 3) · (5 + žurnalas 2 3) - (6 + log 2 3) (2 + žurnalas 2 3).
Po atskleidimo skliausteliuose ir pareikšti panašūs terminai, gauname numeris 3. (su posakio supaprastinimo, prisijunkite 2 3 gali paskirti per n ir supaprastinti išraiškos
(3 + N) · (5 + N) - (6 + N) (2 + N)).
Atsakymas: 3.
Galite savarankiškai atlikti šią užduotį:
Apskaičiuokite (log 3 4 + log 4 3 + 2) · Log 3 16 · Žurnalas 2 144 3.
Čia būtina pereiti prie logaritmų, pagrįstų 3 ir skaidymais dėl paprastų dauginančių daugiklių.
Atsakymas: 1/2.
4 pavyzdys.
Trys numeriai: a \u003d 1 / (log 3 0.5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d prisijungti 0,5 12 - log 0,5 3. įdėti juos į didėjančia tvarka.
Sprendimas.
Mes transformuojame numerius a \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d LOG 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d prisijungti 0,5 12/3 \u003d prisijungti 0,5 4 \u003d -2.
Palyginti juos
log 0,5 3\u003e log 0,5 4 \u003d -2 ir log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Arba 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Atsakymas. Todėl numerių pateikimo tvarka: C; Bet; Į
5 pavyzdys.
Kiek sveikų skaičių yra intervale (log 3 1/16; log 2 6 48).
Sprendimas.
Mes nustatome tarp to, ką laipsnių skaičiaus 3 yra numeris 1/16. Mes gauname 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Kadangi funkcija Y \u003d log 3 x didėja, tada log 3 (1/2 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
prisijunkite 6 48 \u003d LOG 6 (36 · 4/3) \u003d LOG 6 36 + LOG 6 (4/3) \u003d 2 + log 6 (4/3). Palyginti prisijungimą 6 (4/3) ir 1/5. Ir už tai, palyginkite numerius 4/3 ir 6 1/5. Tiek numerius 5 laipsniais. Mes gauti (4/3) 5 \u003d 1024/243 \u003d 4 52/243< 6. Следовательно,
Žurnalas 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Todėl intervalas (log 3 1/16; log 6 48) apima intervalą [-2; 4] ir sveikieji skaičiai yra ant jo; - 0; vienas; 2; 3; keturi.
Atsakymas: 7 sveikieji skaičiai.
6 pavyzdys.
Apskaičiuokite 3 LGLG 2 / LG 3 - LG20.
Sprendimas.
3 LG 2 "/ LG 3 \u003d (3 1 / LG3) LG 2 \u003d (3 Lo G 3 10) LG 2 \u003d 10 LG 2 \u003d LG2.
Tada 3 LGLGR2 / LG3 - LG 20 \u003d LG 2 - LG 20 \u003d LG 0,1 \u003d -1.
Atsakymas: -1.
7 pavyzdys.
Yra žinoma, kad žurnalas 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) \u003d A. Rasti žurnalą 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).
Sprendimas.
Numeriai (√3 + 1) ir (√3 - 1); (√6 - 2) ir (√6 + 2) - konjugatas.
Mes atliksime šią išraiškų transformaciją
√3 - 1 \u003d (√3 - 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) \u003d 2 / (√3 + 1);
√6 + 2 \u003d (√6 + 2) · (√6 - 2)) / (√6 - 2) \u003d 2 / (√6 - 2).
Tada žurnalas 2 (√3 - 1) + log 2 (√6 + 2) \u003d log 2 (2 / (2 / ((2 / ((2 / ((√3 + 1)) + log 2 (2 / (2 / ((2 / ((2 / (√6 - 2)) \u003d \u003d
Žurnalas 2 2 - žurnalas 2 (√3 + 1) + log 2 2 - žurnalas 2 (√6 - 2) \u003d 1 - log 2 (√3 + 1) + 1 - log 2 (√6 - 2) \u003d
2 - log 2 (√3 + 1) - Prisijungti 2 (√6 - 2) \u003d 2 - A.
Atsakymas: 2 - A.
8 pavyzdys..
Supaprastinkite ir suraskite apytikslę išraiškos vertę (log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · ... · log 10 9.
Sprendimas.
Visi logaritmai, kuriuos teikiame bendrajai bazei 10.
(Log 3 2 · Log 4 3 · Log 5 4 · Log 6 5 · ... · Log 10 9 \u003d (LG 2 / LG 3) · (LG 3 / LG 4) · (LG 4 / LG 5) · (LG 4 / LG) · ( LG 5 / LG 6) · ... · "(LG 8 / LG 9) · LG 9 \u003d LG 2 ≈ 0,3010. (apytikslė LG 2 vertė gali būti nustatyta naudojant stalas, logaritminis liniją arba skaičiuotuvą).
Atsakymas: 0,3010.
9 pavyzdys..
Apskaičiuokite prisijungimą A 2 B 3 √ (A 11 B -3) Jei žurnalas √ A B 3 \u003d 1. (šiame pavyzdyje ir 2 B 3 yra logaritmo pagrindas).
Sprendimas.
Jei žurnalas √ a b 3 \u003d 1, tada 3 / (0,5 log a b \u003d 1. ir prisijunkite a b \u003d 1/6.
Tada prisijungti 2 b 3√ (A B 11 -3) \u003d 1/2 registruojami A 2 B 3 (A B 11 -3) \u003d registruojami A (B 11 -3) / (2log A (2 B 3) ) \u003d (log A. 11 + registruojami AB "-3) / (2 (log a AA 2 + lOG AB 3)) \u003d (11 - 3Log AB) / (2 (2 + 3Log AB)) Atsižvelgiant į tai, kad prisijungti a B \u003d 1/6 gaunamas (11 - 3 · 1/6) / (2 (2 + 3 · 1/6)) \u003d 10,5 / 5 \u003d 2.1.
Atsakymas: 2.1.
Galite savarankiškai atlikti šią užduotį:
Apskaičiuokite žurnalą √3 6 √2.1 Jei žurnalas 0,7 27 \u003d a.
Atsakymas: (3 + a) / (3a).
10 pavyzdys.
Apskaičiuokite 6.5 4 / log 3 169 · 3 1 / log 4 13 + log125.
Sprendimas.
6,5 4 / log 3 169 · 3 1 / log 4 13 + prisijungti 125 \u003d (13/2) 4/2 registruojami 3 13 · 3 2 / log 2 13 + 2Log 5 5 3 \u003d (13/2) 2 log 13 3 · 3 2 žurnalo 13 2 + 6 \u003d (13 žurnalas 13 3/2 Prisijungti 13 3) 2 · (3 žurnalas 13 2) 2 + 6 \u003d (3/2 žurnalas 13 3) 2 · (3 žurnalas 13 2) 2 + 6 \u003d (3 2 / (2 log 13 3) 2) · (2 \u200b\u200blog 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 \u003d 3 log 13 2 (Formulė 4))
Mes gauname 9 + 6 \u003d 15.
Atsakymas: 15.
Turėti klausimų? Nežinau, kaip rasti logaritminės išraiškos vertę?
Norėdami gauti mokytojo pagalbą - užsiregistruoti.
Pirmoji pamoka yra nemokama!
svetainė, visiškai arba dalinis kopijavimas medžiagos nuoroda į pradinį šaltinį reikalingas.
Logaritminė išraiška, SPRENDIMO pavyzdžiai. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime užduotis, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotys kelia klausimą ieškant išraiškos vertės. Reikėtų pažymėti, kad logaritmas sąvoka vartojama daug užduočių ir suprasti jo reikšmė yra itin svarbi. Kalbant apie naudojimą, logaritmas naudojamas išspręsti lygtis, taikomose užduotyse, taip pat užduotyse, susijusios su funkcijų tyrimu.
Mes suteikiame pavyzdžiai suprasti logaritmas jausmą:
Pagrindinis logaritminis tapatumas:
Logaritmų, kurie visada turi būti prisiminti:
* Darbo logaritmas yra lygus veiksnių logaritmmams.
* * *
* Privatus logaritmas (frakcija) yra lygi veiksnių logaritmų skirtumui.
* * *
* Logaritmas yra lygus jo bazės logaritmos logaritmui.
* * *
* Perėjimas prie naujos bazės
* * *
Daugiau savybių:
* * *
Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su laipsnio rodiklių savybių naudojimu.
Nurodykite kai kuriuos iš jų:
Šio turto esmė yra ta, kad perkeliant skaitiklį į vardiklį ir priešingai, indikatoriaus ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:
Šio turto pasekmė:
* * *
Eksploatuojant laipsnį, pamatas išlieka tas pats, o rodikliai yra kintami.
* * *
Kaip matėte labai paprastą logaritmo koncepciją. Svarbiausia yra tai, kad reikalinga gera praktika, kuri suteikia tam tikrą įgūdį. Žinoma, žinios apie formules turi. Jei nesudaro elementarių logaritmų konversijos, tada sprendžiant paprastas užduotis, galite lengvai leisti klaidą.
Praktika, pirmiausia nuspręskite paprasčiausius matematikos eigos pavyzdžius, tada eikite į sudėtingesnį. Ateityje aš tikrai parodysiu, kaip išspręstos "baisios" logaritmai, egzaminui nebus tokių tie, bet jie yra interesūs, nepraleidžia!
Tai viskas! Sėkmė jums!
Nuoširdžiai, Aleksandras Krutsky
P.S: Aš būsiu dėkingas, jei pasakysite apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Logaritmai, kaip ir bet kokie numeriai, gali būti sulankstyti, išskaičiuoti ir konvertuoti. Tačiau, kadangi logaritmai nėra gana paprasti, yra savo taisykles, kurios yra vadinamos pagrindinės savybės.
Šios taisyklės nebūtinai turi žinoti - be jokių rimtų logaritminės užduočių nėra išspręsta be jų. Be to, jie yra gana šiek tiek - viskas gali būti išmokta per vieną dieną. Taigi, tęskite.
Logaritmų papildymas ir atimtumas
Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: žurnalas a. x. ir žurnalas. a. y.. Tada jie gali būti sulankstyti ir išskaičiuoti, ir:
- Žurnalas. a. x. + Prisijungti. a. y. \u003d Žurnalas. a. (x. · y.);
- Žurnalas. a. x. - Prisijungti. a. y. \u003d Žurnalas. a. (x. : y.).
Taigi logaritmų kiekis yra lygus darbo logaritmui, o skirtumas yra privataus asmens logaritmas. Atkreipkite dėmesį: čia yra pagrindinis taškas tos pačios priežastys. Jei pamatai yra skirtingi, šios taisyklės neveikia!
Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką, net jei neatskiriamos atskiros dalys (žr. Pamoką "Kas yra logaritmas"). Pažvelkite į pavyzdžius - ir įsitikinkite:
Prisijunkite 6 4 + Prisijungti 6 9.
Kadangi logaritmų pagrindai yra tokie patys, mes naudojame sumos sumą:
lOG 6 4 + LOG 6 9 \u003d LOG 6 (4 · 9) \u003d LOG 6 36 \u003d 2.
Užduotis. Raskite išraiškos vertę: log 2 48 - log 2 3.
Pamatai yra vienodi, naudojant skirtumą formulę:
Žurnalas 2 48 - Žurnalas 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.
Užduotis. Raskite išraiškos vertę: log 3 135 - log 3 5.
Vėlgi pamatai yra vienodi, todėl turime:
prisijunkite 3 135 - LOG 3 5 \u003d LOG 3 (135: 5) \u003d LOG 3 27 \u003d 3.
Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš "blogų" logaritmų, kurie nėra atskirai laikomi atskirai. Bet po transformacijos gaunami gana normalūs skaičiai. Šiuo faktu, daug bandymų darbų yra pastatytas. Bet kas yra kontrolė - tokios išraiškos yra visiškai (kartais - beveik nepakitusi) siūlomi egzaminui.
Vykdomasis laipsnis nuo logaritmo
Dabar šiek tiek komplikuoja užduotį. Ką daryti, jei pagal bazę ar argumentą logaritmui kainuoja? Tada tokiu mastu rodiklis gali būti išimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:
Tai lengva pamatyti, kad paskutinė taisyklė atitinka jų pirmuosius du. Bet tai geriau prisiminti, kai kuriais atvejais jis bus žymiai sumažinti skaičiavimų sumą.
Žinoma, visos šios taisyklės yra prasmės, jei laikomasi OTZ logaritmo: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. Ir taip pat: išmokti taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir priešingai, i.e. Jūs galite padaryti numerius, su kuriais susiduria logaritmas, į pačią logaritmą. Tai dažniausiai reikalinga.
Užduotis. Raskite išraiškos vertę: log 7 49 6.
Atsikratykite argumente pirmojoje formulėje:
prisijunkite 7 49 6 \u003d 6 · Žurnalas 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12
Užduotis. Raskite išraiškos vertę:
[Parašas skaičiuoti]
Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, pagrindas ir argumentas yra tikslūs laipsniai: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Mes turime:
[Parašas skaičiuoti] Manau, kad naujausias pavyzdys reikalauja paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki paskutinio momento dirbame tik su vardikliu. Jie pristatė logaritmo pagrindą ir argumentą laipsnių pavidalu ir atliekami rodikliai - gavo "trijų aukštų" frakciją.
Dabar pažvelkime į pagrindinę frakciją. Numeris skaitmeniniame ir vardiklyje yra tas pats numeris: žurnalas 2 7. Kadangi žurnalas 2 7 ≠ 0, mes galime sumažinti frakciją - 2/4 liks vardiklyje. Remiantis aritmetikos taisyklių, keturi gali būti perduodami į skaitiklį, kuris buvo atliktas. Rezultatas buvo atsakymas: 2.
Perėjimas prie naujos bazės
Kalbėdamas apie logaritmų papildymo ir atimties taisykles, aš konkrečiai pabrėžiau, kad jie dirba tik su tomis pačiomis bazėmis. Ir ką daryti, jei pamatai yra skirtingi? Ką daryti, jei jie nėra tikslūs to paties numerio laipsniai?
Perėjimo prie naujos bazės formulės ateina į gelbėjimą. Mes suformulavome juos teorijos forma:
Leiskite logarithm log a. x.. Tada už bet kokį skaičių c. Toks toks dalykas c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, tikras lygybė:
[Parašas skaičiuoti]
Visų pirma, jei jūs įdėti c. = x.Mes gausime:
[Parašas skaičiuoti]
Iš antrosios formulės matyti, kad logaritmo pagrindas ir argumentas gali būti keičiamas vietose, tačiau tuo pačiu metu išraiška "virsta", t.y. Logaritmas pasirodo esamas vardiklyje.
Šios formulės yra retos įprastos skaitinėse išraiškose. Vertinant, kaip jie yra patogūs, tai yra įmanoma tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybę.
Tačiau yra užduočių, kurios paprastai nėra išspręstos bet kur kaip perėjimas prie naujos bazės. Apsvarstykite keletą tokių:
Užduotis. Raskite išraiškos vertę: log 5 16 · log 2 25.
Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs laipsniai. Aš apibendrinsiu: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4LOG 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2LOG 2 5;
Ir dabar "invertu" antrasis logaritmas:
[Parašas skaičiuoti]Kadangi darbas nesikeičia nuo daugiklio pertvarkymo, mes ramiai pakeitėme keturis ir du, tada išspręsdami su logaritmais.
Užduotis. Raskite išraiškos vertę: log 9 100 · LG 3.
Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas - tikslūs laipsniai. Mes jį užrašome ir atsikratykite rodiklių:
[Parašas skaičiuoti]Dabar atsikratykite dešimtainio logaritmo, pasukdami į naują bazę:
[Parašas skaičiuoti]Pagrindinis logaritminis tapatumas
Dažnai reikalingas sprendimas, skirtas pateikti numerį kaip nurodytos bazės logaritmą. Šiuo atveju formulės padės mums:
Pirmuoju atveju n. Tai tampa argumento rodikliu. Skaičius n. Tai gali būti visiškai kas nors, nes tai yra tik logaritmo vertė.
Antroji formulė iš tikrųjų yra parafraudingas apibrėžimas. Jis vadinamas: pagrindinis logaritminis tapatumas.
Iš tiesų, kas nutiks, jei numeris b. statyti tokiu mastu, kad numeris b. tokiu mastu suteikia numerį a.? \\ T Teisingai: tai yra labiausiai a.. Atsargiai perskaitykite šią dalį - daugelis "pakabinkite".
Kaip ir pereinamojo laikotarpio formulės į naują bazę, pagrindinis logaritminis tapatumas kartais yra vienintelis galimas sprendimas.
Užduotis. Raskite išraiškos vertę:
[Parašas skaičiuoti]
Atminkite, kad žurnalas 25 64 \u003d log 5 8 - tiesiog padarė kvadratą nuo pagrindo ir logaritmo argumentų. Atsižvelgiant į tos pačios bazės laipsnių dauginimo taisykles, mes gauname:
[Parašas skaičiuoti]Jei kas nors nežino, tai buvo tikra EGE užduotis :)
Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis
Apibendrinant, aš suteiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - o tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmė. Jie nuolat randami užduotyse ir, kurie yra stebina, sukuria problemų net ir "pažangių" studentams.
- Žurnalas. a. a. \u003d 1 yra logaritminis vienetas. Įrašyti kartą ir amžinai: logaritmas bet kuriuo pagrindu a. Nuo pat bazės yra lygi vienai.
- Žurnalas. a. 1 \u003d 0 yra logaritminis nulis. Bazė a. Gal kažkaip, bet jei argumentas yra vienetas - logaritmas yra nulis! Nes. a. 0 \u003d 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.
Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos praktikoje! Atsisiųskite lovelę pamokos pradžioje, spausdinkite ir išspręskite užduotis.