Предположим, что ЛПР (лицо, принимающее решения) рассматривает несколько возможных решений: i = 1,…,m. Ситуация, в которой действует ЛПР, является неопределенной. Известно лишь, что наличествует какой-то из вариантов: j = 1,…, n. Если будет принято i -e решение, а ситуация есть j -я, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход q ij . Матрица Q = (q ij) называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?
Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i -e решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть j -я, то было бы принято решение, дающее доход q ij .
Значит, принимая i -e решение мы рискуем получить не q j , а только q ij , значит принятие i -го решения несет риск недобрать r ij = q j - q ij . Матрица R = (r ij) называется матрицей рисков.

Пример №1 . Пусть матрица последствий есть
Составим матрицу рисков. Имеем q 1 = max(q i 1) = 8, q 2 = 5, q 3 = 8, q 4 = 12.. Следовательно, матрица рисков есть

Принятие решений в условиях полной неопределенности

Не все случайное можно "измерить" вероятностью. Неопределенность – более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик отличается от неопределенности того, каково будет состояние российской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.
Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая i -e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход a i Но теперь уж выберем решение i 0 с наибольшим a i0 . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i0 , такое что
Так, в вышеуказанном примере, имеем a 1 = 2, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 1. Из этих чисел максимальным является число 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков R = (rij) . Рассматривая i -e решение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска b i = max
Но теперь уж выберем решение i 0 с наименьшим b i0 . Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i 0 , такое что
В рассматриваемом примере имеем b 1 = 8, b 2 = 6, b 3 = 5, b 4 = 7 . Минимальным из этих чисел является число 5. Т.е. правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i , на котором достигается максимум
, где 0 ≤ λ ≤ 1 .
Значение λ выбирается из субъективных соображений. Если λ приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении λ к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового оптимизма" (догадайтесь сами, что это значит). В вышеуказанном примере при λ = 1/2 правило Гурвица рекомендует 2-е решение.

Принятие решений в условиях частичной неопределенности

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j . Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.
Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации i -го решения, является случайной величиной Qi с рядом распределения

qi1	qi2	…	qin
p1	p2	…	pn

Математическое ожидание M и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый . Правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.
Предположим, что в схеме из предыдущего примера вероятности есть (1/2, 1/6, 1/6, 1/6). Тогда Q 1 =29/6, Q 2 =25/6, Q 3 =7, Q 4 =17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7, соответствует третьему решению.
Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации i -го решения, является случайной величиной R i с рядом распределения

ri1	ri2	…	rin
p1	p2	…	pn

Математическое ожидание M и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также R i . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.
Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем R 1 =20/6, R 2 =4, R 3 =7/6, R 4 =32/5. Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6, соответствует третьему решению.
Анализ принимаемых решений по двум критериям: среднему ожидаемому доходу и среднему ожидаемому риску и нахождение решений, оптимальных по Парето, аналогично анализу доходности и риска финансовых операций. В примере множество решений, оптимальных по Парето операций, состоит только из одного 3-его решения.
В случае, если количество Парето-оптимальных решений больше одного, то для определения лучшего решения применяется взвешивающая формула f(Q)=2Q -R .

Правило Лапласа

Иногда в условиях полной неопределенности применяют правило Лапласа, согласно которому все вероятности p j считают равными. После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных выше правил-рекомендаций принятия решений.

Пример №2 . Рассмотрим пример решения статистической игры в экономической задаче.
Сельскохозяйственное предприятие может реализовать некоторую продукцию:
А1) сразу после уборки;
А2) в зимние месяцы;
А3) в весенние месяцы.
Прибыль зависит от цены реализации в данный период времени, затратами на хранение и возможных потерь. Размер прибыли, рассчитанный для разных состояний-соотношений дохода и издержек (S1, S2 и S3), в течение всего периода реализации, представлен в виде матрицы (млн. руб.)

	S1	S2	S3
A1	2	-3	7
A2	-1	5	4
A3	-7	13	-3

Определить наиболее выгодную стратегию по всем критериям (критерий Байеса, критерий Лапласа, максиминный критерий Вальда, критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, критерий Ходжа-Лемана, критерий минимаксного риска Сэвиджа), если вероятности состояний спроса: 0,2; 0,5; 0,3; коэффициент пессимизма С = 0,4; коэффициент достоверности информации о состояниях спроса u = 0,6.
Решение
Результаты расчетов будем заносить в таблицу:

	S1	S2	S3	Б	НО	ММ	П-О	Х-Л
А1	2	-3	7	1	2	-3	3	-0,6
А2	-1	5	4	3,5	2,7	-1	2,6	1,7
А3	-7	13	-3	4,2	1	-7	5	-0,28
p j	0,2	0,5	0,3	А3	А2	А2	А3	А2

1. Критерий Байеса (максимального математического ожидания)

Расчет осуществляется по формуле:
;
W 1 = 2∙0,2 + (-3) ∙0,5 + 7∙0,3 = 0,4 – 1,5 + 2,1 = 1
W 2 = -1∙0,2 + 5 ∙0,5 + 4∙0,3 = -0,2 + 2,5 + 1,2 = 3,5
W 3 = -7∙0,2 + 13 ∙0,5 + (-3)∙0,3 = -1,2 + 6,5 - 0,9 = 4,2
Найденные значения заносим в первый столбец (Б) и выбираем максимальное
W = max{1;3.5;4.2} = 4.2,

значит оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

2. Критерий недостаточного основания Лапласа (НО)

Находим среднее значение элементов каждой строки:
.
;
;
.
Найденные значения заносим во второй столбец (НО) и выбираем максимальное W = max{2; 2.7; 1} = 2.7, значит оптимальной по данному критерию является стратегия А2 – продавать в зимние месяцы.

3. Максиминный критерий Вальда (ММ)

В каждой строке находим минимальный элемент: .
W 1 = min{2; -3; 7} = -3
W 2 = min{-1; 5; 4} = -1
W 3 = min{-7; 13; -3} = -7
Найденные значения заносим в третий столбец (ММ) и выбираем максимальное W= max{-3; -1; 7} = -1, значит оптимальной по данному критерию является стратегия А2 – продавать в зимние месяцы.

4. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица (П-О)

Для каждой строки рассчитываем значение критерия по формуле: . По условию C = 0.4, значит:
W 1 = 0,4∙min{2; -3; 7} + (1-0,4) ∙ max{2; -3; 7} = 0,4∙(-3) + 0,6∙7 = -1,2 + 4,2 = 3
W 2 = 0,4∙min{-1; 5; 4} + (1-0,4) ∙ max{-1; 5; 4} = 0,4∙(-1) + 0,6∙5 = -0,4 + 3 = 2,6
W 3 = 0,4∙min{-7; 13; -3} + (1-0,4) ∙ max{-7; 13; -3} = 0,4∙(-7) + 0,6∙13 = -2,8 + 7,2 = 5
Найденные значения заносим в четвертый столбец (П-О) и выбираем максимальное W = max{3; 2.6 5} = 5, значит оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

5. Критерий Ходжа-Лемана (Х-Л)

Для каждой строки рассчитываем значение критерия по формуле: . По условию u = 0.6 и множители в каждом слагаемом уже рассчитаны, их можно взять их первого столбика (Б) и из третьего столбика (ММ), значит:
W 1 = 0,6∙1 + (1-0,6) ∙(-3) = 0,6 – 1,2 = -0,6
W 2 = 0,6∙3,5 + (1-0,6) ∙(-1) = 2,1 – 0,4 = 1,7
W 3 = 0,6∙4,2 + (1-0,6) ∙(-7) = 2,52 – 2,8 = -0,28
Найденные значения заносим в пятый столбец (Х-Л) и выбираем максимальное W = max{-0.6; 1.7; -0.28} = 1.7, значит оптимальной по данному критерию является стратегия А2 – продавать в зимние месяцы.

5. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Рассчитаем матрицу рисков. Заполнять ее лучше по столбцам. В каждом столбце находим максимальный элемент и вы читаем из него все остальные элементы столбца, результаты записываем на соответствующих местах.
Вот как рассчитывается первый столбец. Максимальный элемент в первом столбце: a 11 = 2, значит по формуле :
r 11 = 2 – a 11 = 2 -2 = 0
r 21 = 2 – a 21 = 2 –(-1) = 3
r 31 = 2 – a 31 = 2 –(-7) = 9
Рассчитаем второй столбец матрицы рисков. Максимальный элемент во втором столбце: a 32 = 13, значит:
r 12 = 13 – a 12 = 13 –(-3) = 16
r 22 = 13 – a 22 = 13 –5 = 8
r 32 = 13 – a 32 = 13 –13 = 0
Рассчитаем третий столбец матрицы рисков. Максимальный элемент в третьем столбце: a 13 = 7, значит:
r 13 = 7 – a 13 = 7 –7 = 0
r 23 = 7 – a 23 = 7 –4 = 3
r 33 = 7 – a 33 = 7 –(-3) = 10
Таким образом, матрица рисков имеет вид (в каждом столбце на месте максимального элемента платежной матрицы должен стоять ноль):

			W i
0	16	0	16
3	8	3	8
9	0	10	10

Дополним матрицу рисков рассчитанными значениями критерия W i – в каждой строке выбираем максимальный элемент ():
W 1 = max{0; 16; 0} = 16
W 2 = max{3; 8; 3} = 8
W 3 = max{9; 0; 10} = 10
Найденные значения заносим в столбец (W i) и выбираем минимальное W = min{16,8,10} = 8, значит оптимальной по данному критерию является стратегия А2 – продавать в зимние месяцы.

Вывод:

1. Стратегия А1 (продавать сразу после уборки) не является оптимальной ни по одному из критериев.
2. Стратегия А2 (продавать в зимние месяцы) является оптимальной согласно критериям недостаточного основания Лапласа, максиминного критерия Вальда и минимаксного критерия Сэвиджа.
3. Стратегия А3 (продавать в весенние месяцы) является оптимальной согласно критериям Байеса, пессимизма-оптимизма Гурвица, Ходжа-Лемана.

Пример №2 . В обычной стратегической игре каждый игрок предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ему и менее выгодны противнику. При этом предполагается, что игроки – разумные и антагонистические противники. Однако очень часто присутствует неопределенность, которая не связана с сознательным противодействием противника, а зависит от некоторой объективной действительности.
Сельскохозяйственное предприятие имеет три участка земли: влажный, средней влажности и сухой. Один из этих участков предполагается использовать для выращивания картофеля, остальные – для посева зеленой массы. Для получения хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации. При излишней влажности посаженый картофель на некоторых участках может гнить, а при недостаточном количестве осадков будет плохо развиваться, что приводит к снижению урожайности. Определить, на каком участке сеять картофель, чтобы получить хороший урожай его, если известна средняя урожайность картофеля на каждом участке в зависимости от погодных условий. На участке A 1 урожайность составляет 200, 100 и 250 ц с 1 га при выпадении соответственно нормального количества осадков, больше и меньше нормы. Аналогично на участке A 2 – 230, 120 и 200 ц, а на участке A 3 – 240, 260 и 100 ц.
Используем игровой подход. С/х предприятие – игрок A , у которого три стратегии: A 1 – сеять картофель на влажном участке, A 2 – на участке средней влажности, A 3 – на сухом участке. Игрок П – природа, у которого три стратегии: П 1 соответствует количеству осадков меньше нормы, П 2 – норме, П 3 – больше нормы. Выигрыш с/х предприятия при каждой паре стратегий (A i , П j ) задается урожайностью картофеля с 1 га.

П A	П 1	П 2	П 3
A 1	250	200	100
A 2	200	230	120
A 3	100	240	260

Рассмотрим общую ситуацию, когда какой-то стороне необходимо выполнить операцию в недостаточно известной обстановке. О состоянии этой обстановки можно сделать n предположений: П 1 , П 2 ,…, П n . Например, покупательский спрос. По аналогии с примером 8 эти состояния рассматривают как стратегии природы. В теории статистических игр природа не является разумным игроком, она рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, которая не выбирает для себя оптимальных стратегий. Ее возможные состояния реализуются случайным образом. Такие ситуации принято называть играми с природой. Оперирующая сторона A в своем распоряжении имеет m возможных стратегий: A 1 , A 2 ,…, A m . Выигрыши игрока A при каждой паре стратегий A i и П j предполагаются известными a ij .
Может показаться, что игра с природой проще стратегической игры, поскольку природа не противодействует игроку A . На самом деле это не так, поскольку в неопределенной ситуации труднее принять обоснованное решение. Хотя выиграет A , скорее всего, больше, чем в игре против сознательного противника.

Пример 9. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение августа-сентября на единицу продукции составили: платья – 7 ден. ед., костюмы – 28 ден. ед. Цена реализации составляет 15 и 50 ден. ед. соответственно. По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды 1 950 платьев и 610 костюмов, а при прохладной погоде – 630 платьев и 1 050 костюмов.
Составить платежную матрицу.
Решение. У фирмы две стратегии: A 1 : выпустить продукцию, считая, что погода будет теплой; A 2 : выпустить продукцию, считая, что погода будет прохладной.
У природы две стратегии: B 1 : погода теплая; B 2 : погода прохладная.
Найдем элементы платежной матрицы:
1) a 11 – доход фирмы при выборе стратегии A 1 при условии B 1 :
a 11 =(15-7)·1950+(50-28)·610=29020.
2) a 12 – доход фирмы при выборе A 1 при условии B 2 . Фирма выпустит 1 950 платьев, а продаст 630, доход от реализации платьев
(15-7)·630-7·(1950-630)=5040-9240
a 12 =5040-9240+22·610=9220.
3) аналогично при стратегии A 2 в условиях B 1 фирма выпустит 1 050 костюмов, а продаст 610;
a 21 =8·630+22·610-28·(1050-610)=6140
4) a 22 =8·630+22·1050=28140
Платежная матрица:

20 020	9 220
6 140	28 140

Пример 2 . Объединение производит разведку полезных ископаемых на трех месторождениях. Фонд средств объединения составляет 30 ден. ед. Деньги в первое месторождение M 1 могут быть вложены в количестве, кратном 9 ден. ед., во второе M 2 – 6 ден. ед., в третье M 3 – 15 ден. ед. Цены на полезные ископаемые в конце планового периода могут оказаться в двух состояниях: C 1 и C 2 . Эксперты установили, что в ситуации C 1 прибыль от месторождения M 1 составит 20 % от количества вложенных ден. ед. на разработку, на M 2 – 12 % и на M 3 – 15 %. В ситуации C 1 на конец планового периода прибыль составит 17 %, 15 %, 23 % на месторождениях M 1 , M 3 , M 3 соответственно.
Игрок A – объединение. Игрок П (природа) – совокупность внешних обстоятельств, которые обуславливают ту или иную прибыль на месторождениях. У игрока A имеется четыре возможности, полностью использующие имеющиеся средства. Первая стратегия, A 1 , состоит в том, что A вложит в M 1 9 ден. ед., в M 2 – 6 ден. ед., в M 3 – 15 ден. ед. Вторая стратегия A 2: в M 1 – 18 ден. ед., в M 2 – 12 ден. ед., в M 3 деньги не вкладывать. Третья стратегия, A 3: 30 ден. ед. вложить в M 3 . Четвертая стратегия, A 4:. 30 ден. ед. вложить в M 2 . Кратко можно записать A 1 (9, 6, 15), A 2 (18, 12, 0), A 3 (0, 0, 30), A 4 (0, 30, 0).
Природа может реализовать одно из двух своих состояний, характеризующихся различными ценами на полезные ископаемые в конце планового периода. Обозначим состояния природы П 1 (20 %, 12 %, 15 %), П 2 (17 %, 15 %, 23 %).
Элементы a ij платежной матрицы имеют смысл суммарной прибыли, получаемой объединением в различных ситуациях (A i , П j ) (i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2). Например, вычислим a 12 , отвечающий ситуации (A 1 , П 2 ), т. е. случаю, когда объединение вкладывает в месторождения M 1 , M 2 , M 3 , соответственно 9 ден. ед., 6 ден. ед., 15 ден. ед., и на конец планового периода цены оказались в состоянии C 2 :
a 12 = 9·0,17+6·0,15+15·0,23 = 5,88 ден. ед.

Пример 3 . Ожидается наступление наводнения, которое может иметь категорию с первой по пятую. Величина ущерба от наводнения:

Категория наводнения	1	2	3	4	5
Ущерб, ден. ед.	5	10	13	16	20

В качестве профилактического действия можно построить дамбу; имеется пять вариантов выбора высоты дамбы: h 1 < h 2 < h 3 < h 4 < h 5 , причем дамба высоты h 1 защищает только от наводнения первой категории, высоты h 2 – от наводнения первой и второй категории, и т. д., дамба высоты h 5 защищает от наводнения любой категории.
Затраты на строительство дамбы:

Высота дамбы	h 1	h 2	h 3	h 4	h 5
Затраты, ден. ед.	2	4	6	8	10

Принимающий решение имеет шесть стратегий (не строить дамбу вообще (A 0 ) или строить дамбу высоты h i (A i ), i = 1, 2, 3, 4, 5). Природа также имеет шесть стратегий (не осуществлять наводнение (П 0 ) или осуществить наводнение j -й категории (П j ), 1≤j≤5).
Получаем матрицу потерь:

П / A	П 0	П 1	П 2	П 3	П 4	П 5
A 0	0	5	10	13	16	20
A 1	2	2	12	15	18	22
A 2	4	4	4	17	20	24
A 3	6	6	6	6	22	26
A 4	8	8	8	8	8	28
A 5	10	10	10	10	10	10

Например, если построить дамбу высоты h 2 , а наводнение будет третьей категории, то затраты на строительство составят 4 ден. ед., а ущерб от наводнения 13 ден. ед. Таким образом, общие потери составят 4 + 13 = 17 ден. ед. Если же наводнение будет второй категории, то ущерба от наводнения не будет, и потери связаны только со строительством дамбы, т.е. 4 ден. ед
Чтобы из матрицы потерь (b ij ) получить матрицу выигрышей, достаточно у всех элементов поменять знак и прибавить любую константу C (в данном случае C можно интерпретировать как сумму, выделенную на строительство дамбы, тогда выигрыш a ij =C-b ij представляет собой сэкономленную сумму). Например, при C =30 матрица выигрышей:

П / A	П 0	П 1	П 2	П 3	П 4	П 5
A 0	30	25	20	17	14	10
A 1	28	28	18	15	12	8
A 2	26	26	26	13	10	6
A 3	24	24	24	24	8	4
A 4	22	22	22	22	22	2
A 5	20	20	20	20	20	20

Игры с "природой"

Термин "природа" в теории игр понимается в широком смысле . Это могут быть действительные природные физические (климатические), биологические, химические, социальные и т.п. процессы, которые сопровождают экономическую деятельность. Под "природой" может также пониматься рынок, противостоящий предпринимателю, конкурирующая среда, монополия и т.п. "Природа" может выступать как антагонистическая сторона, а может как кооперативная среда. "Природа" в виде природных процессов, как часть экономики, не стремиться "специально" навредить предпринимателю, но она несёт определённый урон от его экономической деятельности и этот "проигрыш"для неё должен быть минимален , если, вообще, без него для окружающей среды нельзя обойтись. Игрок A в таких играх - это экономические субъекты, а игрок B - это "природа". Откуда средства у физической "природы"? Проигрыш игрока B, физической "природы", должен компенсироваться из вне, например, государственными дотациями либо заложенными в инвестиционные проекты средствами на возобновление природных ресурсов. Знание оптимальных стратегий "природы" позволяет определить наиболее неблагоприятные условия для игрока A (предпринимателя), которые его ожидают ("надейся на лучшее, но готовься к худшему"), и оценить необходимые ресурсы на восстановление природных ресурсов, дающих ему возможность получить гарантированный доход.
Если "природа" подразумевает конкурентную среду - то проигрыш второго игрока есть цена борьбы с конкурентами на рынке.
Перейдём к примерам содержательных постановок задач игры с "природой".
1. Антагонистические игры
Пример 1. (Планирование посевов) . Фермер, имеющий ограниченный участок земельных угодий, может его засадить тремя различными культурами A 1, A 2, A 3 . Урожай этих культур зависит главным образом от погоды ("природы"), которая может находиться в трёх различных состояниях: B 1 , B 2 , B 3 . Фермер имеет информацию (статистические данные) о средней урожайности этих культур (количество центнеров культуры, получаемого в одного гектара земли) при трёх различных состояниях погоды, которая отражена в таблице: Тогда матрица доходов (платёжная матрица) фермера A имеет вид:

Элемент матрицы A - (a ij) показывает, какой доход может получить фермер с одного гектара земли, если он посеет культуру i (i =1, 2, 3), а погода будет находиться в состоянии j (j = 1, 2, 3).
Необходимо определить пропорции, в которых фермер должен засеять имеющийся участок земли, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от того, какие погодные условия будут реализованы.
Данная задача может быть сведена к антагонистической игре. В данном случае в качестве первого игрока выступает фермер, а в качестве второго игрока - природа. Будем предполагать, что природа, как игрок, может вести себя таким образом, чтобы максимально навредить фермеру, преследуя тем самым противоположные интересы (эти предположения позволяют оценить тот доход, который он может получить в том случае, если погодные условия будут для него максимально неблагоприятные). В этом случае фермер имеет в своём распоряжении три чистые стратегии:

• первая чистая стратегия предполагает, что весь участок земли буде засеян культурой A 1 ;
• вторая чистая стратегия предполагает, что весь участок земли будет засеян культурой A 2 ;
• третья чистая стратегия предполагает, что весь участок будет засеян культурой A 3 .

Как игрок, природа может также использовать три возможные стратегии:

• засушливую погоду, которая соответствует первой чистой стратегии B 1 ;
• нормальную погоду, которая соответствует второй чистой стратегии B 2 ;
• дождливую погоду, которая соответствует третьей чистой стратегии B 3 .

Решение



2. Проверим, имеет ли данная игра седловую точку.

V * =max i min j a ij = 50.
V * =min j max i a ij = 100.

3. Решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Сведём игровую задачу к задаче линейного программирования. Если первый игрок - фермер - применяет свою оптимальную смешанную стратегию P * , а второй игрок - природа - применяет последовательно свои чистые стратегии, то математическое ожидание дохода, который фермер может получить со своего участка, будет не меньше цены игры V.


.


Разделим равенство:
p* 1 + p* 2 + p* 3 = 1
на V, получим, что новые переменные y 1 , y 2 , y 3 удовлетворяют условию:
y 1 + y 2 + y 3 = 1/V
Поскольку цель первого игрока - максимизация его выигрыша , а математическое ожидание его выигрыша не меньше цены игры , то первый игрок будет стремиться максимизировать цену игры, которая эквивалентна минимизации величины 1/V.
Итак, для первого игрока (фермера) задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:
найти минимум функции F = y 1 + y 2 + y 3


и прямых ограничениях:
y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0
Переходим ко второму игроку, к природе. Если второй игрок - природа - будет применять свою оптимальную смешанную стратегию Q * ,а первый игрок - фермер будет последовательно применять свои чистые стратегии, то математическое ожидание проигрыша второго игрока будет не больше цены игры. Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

Разделим каждое из неравенств, входящих в систему на V и введём новые переменные:
.
В результате получим новую систему неравенств:

Разделим равенство:
q* 1 + q* 2 + q* 3 = 1
на V, получим, что новые переменные q 1 , q 2 , q 3 удовлетворяют условию:
q 1 + q 2 + q 3 = 1/V
Поскольку цель второго игрока - природы - минимизация его проигрыша , а математическое ожидание его проигрыша не больше цены игры , то второй игрок будет стремиться минимизировать цену игры, которая эквивалентна максимизации величины 1/V.
Итак, для второго игрока (природы) задача об определении оптимальной стратегии поведения свелась к задаче линейного программирования:
найти максимум функции F / = x 1 + x 2 + x 3
при следующих функциональных ограничениях:

и прямых ограничениях:
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0
Таким образом, для того чтобы найти оптимальную смешенную стратегию второго игрока, необходимо также решить задачу линейного программирования.
Задачи обоих игроков свелись к паре двойственных задач линейного программирования:

Задача второго игрока минимизация проигрыша V	Задача первого игрока максимизация выигрыша V
Целевая функция
F / = x 1 +x 2 +x 3 = → max	F = y 1 +y 2 +y 3 = → min
Функциональные ограничения
Прямые ограничения
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0	y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0

Задача первого игрока решается симплекс-методом . Результаты счёта:
Выводы . В соответствии с полученными результатами фермеру гарантирован средний доход в размере 66,67 единиц с каждого гектара используемой под культурами земли при самых неблагоприятных условиях. Оптимальная стратегия для него - выращивание двух культур, A 1 и A 3 , причём, под первую культуру ему следует отвести 0,67 часть всей земли , а под третью культуру 0,33 часть всей земли .
Природа "грозит" фермеру жарой 0,33 часть сезона возделывания культур и 0,67 часть сезона дождями.

Пример . Планирование выпуска продукции при разных состояниях природы - рынка спроса.
Предприятие может выпускать 4 вида продукции: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , получая при этом прибыль. Её величина определяется состоянием спроса (природой рынка), который может находиться в одном из четырёх возможных состояний: B 1 , B 2 , B 3 , B 4 . Зависимость величины прибыли от вида продукции и состояния рынка представлено в таблице:

Виды продукции	Возможные состояния рынка спроса
	B 1	B 2	B 3	B 4
A 1	4	3	5	6
A 2	2	6	1	5
A 3	3	0	7	2
A 4	3	5	1	3

Платёжная матрица имеет вид:

Элемент матрицы A - {a ij } характеризует, какую прибыль может получить предприятие, если оно будет выпускать i - й вид продукции(i =1, 2, 3, 4) при j-м спросе(j = 1, 2, 3, 4).
Необходимо определить оптимальные пропорции выпускаемых предприятием видов продукции, продажа которой обеспечила бы ему максимально возможную выручку вне зависимости от того, какое состояние спроса будет реализовано
Эта задача может быть сведена к антагонистической игре.
В данном случае в качестве первого игрока выступает предприятие , а в качестве второго игрока - природа , которая влияет на состояние спроса и может сделать его максимально неблагоприятным для предприятия. Будем предполагать, что природа, как игрок, будет вести себя таким образом, чтобы максимально навредить предприятию, преследуя тем самым противоположные интересы.
В этом случае конфликт двух сторон может характеризоваться, как антагонистический, а использование модели этого конфликта позволяет предприятию. оценить выручку, которую оно может получить вне зависимости от того, какое состояние спроса будет реализовано.
Выступая в качестве первого игрока , предприятие может использовать четыре стратегии:
· первую чистую стратегию, соответствующую выпуску предприятием только продукции A 1
· вторую чистую стратегию, соответствующую выпуску предприятием только продукции A 2
· третью чистую стратегию, соответствующую выпуску предприятием только продукции A 3
· четвёртую чистую стратегию, соответствующую выпуску предприятием только продукции A 4
Выступая в качестве второго игрока , природа может использовать также четыре стратегии:
· первую чистую стратегию, при которой реализуется состояние спроса B 1 ;
· вторую чистую стратегию, при которой реализуется состояние спроса B 2 ;
· третью чистую стратегию, при которой реализуется состояние спроса B 3 ;
· четвёртую чистую стратегию, при которой реализуется состояние спроса B 4 .
Решение
1. Проанализируем платёжную матрицу A.

Матрица A не имеет доминируемых стратегий и не может быть упрощена.
2. Проверим, имеет ли данная игра седловую точку .
Найдём нижнюю и верхнюю цену игры:
V * =max i min j a ij = 3.
V * =min j max i a ij = 4.
Поскольку V * ≠V * , то данная антагонистическая игра не имеет седловой точки и решения в чистых стратегиях.
Решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Сведём рассматриваемый антагонистический конфликт к прямой и двойственной задаче линейного программирования.
Если первый игрок - предприятие - применяет свою оптимальную смешанную стратегию P * , а второй игрок - природа - применяет последовательно свои чистые стратегии , то математическое ожидание дохода , который предприятие может получить, будет не меньше цены игры V .
И наоборот, если второй игрок - природа - будет применять свою оптимальную смешанную стратегию Q * , а первый игрок - предприятие будет последовательно применять свои чистые стратегии , то математическое ожидание проигрыша второго игрока будет не больше цены игры . Следовательно, должна выполняться следующая система неравенств:

Задача второго игрока минимизация проигрыша V	Задача первого игрока максимизация выигрыша V
Целевая функция
F / = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =→ max	F = y 1 +y 2 +y 3 +y 4 =→ min
Функциональные ограничения
Прямые ограничения
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0	y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0

Применяя симплекс-метод для решения задачи первого игрока , получим:
Y * = (y 1 * = 0,182; y 2 * = 0; y 3 * = 0; y 4 * =0,091)
F= y 1 * + y 2 * + y 3 * +y 4 * = 0,273
Из соотношения y 1 * + y 2 * + y 3 * +y 4 * =1/V найдём V:

Из соотношений:

Найдём:
p* 1 = y* 1 V = 0,67 , p* 2 = y* 2 V = 0 , p* 3 = y* 3 V = 0 , p* 4 = y* 4 V =0,33

Окончательно имеем:
Р * = (р * 1 =0,67; р * 2 = 0; р * 3 =0; р * 4 = 0,33), V = 3.67
На основании решения, найденного для двойственной задачи линейного программирования, найдём решение исходной задачи - задачи второго игрока:
X * = (x 1 * = 0,121; x 2 * =0,121; x 3 * = 0,03; x 4 * = 0)
F / = x 1 * + x 2 * + x 3 * +x 4 * = 0,273
Из соотношения x 1 * + x 2 * + x 3 * +x 4 * = 1/V найдём V:

Из соотношений:

Найдём:
q* 1 = x* 1 V = 0,445 , q* 2 = x* 2 V = 0,444 , q* 3 = x* 3 V = 0,111 , q* 4 = x* 4 V = 0.
Окончательно имеем:
Q * = (q * 1 = 0,445; q * 2 =0,444; q * 3 = 0,111; q * 4 = 0), V = 3.67

Пример . Фирма планирует реализацию своей продукции на рынках, учитывая возможные варианты покупательского спроса П j , j=1,4 (низкий, средний, высокий, очень высокий). На предприятии разработано три стратегии сбыта товаров A 1 , А 2 , А 3 . Объем товарооборота (ден.ед.), зависящий от стратегии и покупательского спроса, представлен в таблице.

А j	П j
	П 1	П 2	П 3	П 4
А 1	30 +N	10	20	25 + N/2
А 2	50	70 - N	10 + N/2	25
А 3	25 – N/2	35	40	60 - N/2

где N=3

Решение находим с помощью калькулятора .
Критерий Байеса .
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A i , при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(a ij p j)
∑(a 1,j p j) = 33 0.3 + 10 0.2 + 20 0.4 + 26.5 0.1 = 22.55
∑(a 2,j p j) = 50 0.3 + 67 0.2 + 11.5 0.4 + 25 0.1 = 35.5
∑(a 3,j p j) = 23.5 0.3 + 35 0.2 + 40 0.4 + 58.5 0.1 = 35.9

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	∑(a ij p j)
A 1	9.9	2	8	2.65	22.55
A 2	15	13.4	4.6	2.5	35.5
A 3	7.05	7	16	5.85	35.9
p j	0.3	0.2	0.4	0.1

Критерий Лапласа .
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q 1 = q 2 = ... = q n = 1/n.
q i = 1/4

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	∑(a ij)
A 1	8.25	2.5	5	6.63	22.38
A 2	12.5	16.75	2.88	6.25	38.38
A 3	5.88	8.75	10	14.63	39.25
p j	0.25	0.25	0.25	0.25

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Вальда .
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)
A 1	33	10	20	26.5	10
A 2	50	67	11.5	25	11.5
A 3	23.5	35	40	58.5	23.5

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Севиджа .
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 50 - 33 = 17; r 21 = 50 - 50 = 0; r 31 = 50 - 23.5 = 26.5;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 67 - 10 = 57; r 22 = 67 - 67 = 0; r 32 = 67 - 35 = 32;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 40 - 20 = 20; r 23 = 40 - 11.5 = 28.5; r 33 = 40 - 40 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 58.5 - 26.5 = 32; r 24 = 58.5 - 25 = 33.5; r 34 = 58.5 - 58.5 = 0;

A i	П 1	П 2	П 3	П 4
A 1	17	57	20	32
A 2	0	0	28.5	33.5
A 3	26.5	32	0	0

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	max(a ij)
A 1	17	57	20	32	57
A 2	0	0	28.5	33.5	33.5
A 3	26.5	32	0	0	32

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Гурвица .
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За (оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s i)
где s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s i .
s 1 = 0.5 10+(1-0.5) 33 = 21.5
s 2 = 0.5 11.5+(1-0.5) 67 = 39.25
s 3 = 0.5 23.5+(1-0.5) 58.5 = 41

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)	max(a ij)	y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
A 1	33	10	20	26.5	10	33	21.5
A 2	50	67	11.5	25	11.5	67	39.25
A 3	23.5	35	40	58.5	23.5	58.5	41

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A 3 .

Руководство компании принимает решение о размещении производства нового продукта в некотором месте. Чтобы сформировать представление о ситуации на рынке нового продукта на момент освоения производства, ему необходимо учесть затраты на доставку готовой продукции до потребителя, развитость транспортной и социальной инфраструктуры региона, конкуренцию на рынке, соотношение спроса и предложения, курсы валют и многое другое. Возможные варианты решений, инвестиционная привлекательность которых определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений, представлены в таблице.
Выбрать:
1) место для размещения производства, если руководитель предприятия уверен в том, что на рынке сложится ситуация 4;
2) место для размещения производства, если руководство оценивает вероятность ситуации 1 в 0,2; ситуации 2 в 0,1; ситуации 3 в 0,25;
3) провести выбор варианта в условиях неопределенности по критерию: максимакс, максимин, критерий Лапласа, критерий Сэведжа, критерий Гурвица (y = 0,3);
4) изменится ли наилучший вариант решения по критерию Гурвица если величину a увеличить до 0,5?
5) предположив, что данные таблицы представляют затраты предприятия, определить выбор, который сделает предприятие при использовании каждого из следующих критериев: максимин; максимакс; критерий Гурвица(? = 0,3); критерий Сэведжа; критерий Лапласа

Типовые задания

1. Выбрать оптимальный проект для строительства используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при a=0.58. Матрица затрат имеет вид:

   0.07	0.26	0.11	0.25	0.1	0.21
   68	45	54	79	47	99
   56	89	42	56	74	81
   72	87	56	40	62	42
   65	48	75	89	52	80
   69	93	93	56	45	43
   73	94	79	68	67	46
   66	100	64	89	94	49
   70	42	97	42	42	50

2. Розничное торговое, предприятие разработало несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей, получающиеся от их возможных сочетаний величины прибыли представлены в виде матрицы выигрышей. Определить оптимальный план продажи товаров.
   x=0,7
3. Фирма планирует реализацию своей продукции на рынках, учитывая возможные варианты покупательского спроса Пj, j=1͞,4͞ (низкий, средний, высокий, очень высокий). На предприятии разработано три стратегии сбыта товаров A 1 , А 2 , А 3 . Объем товарооборота (ден.ед.), зависящий от стратегии и покупательского спроса, представлен в таблице.

   А j	П j
   	П 1	П 2	П 3	П 4
   А 1	30 +N	10	20	25 + N/2
   А 2	50	70 - N	10 + N/2	25
   А 3	25 – N/2	35	40	60 - N

   
   Где N=3
   Известны возможные состояния покупательского спроса, которые соответственно q 1 =0,3, q 2 =0,2, q 3 =0,4, q 4 =0,1. Необходимо найти стратегию сбыта, максимизирующую средний товарооборот фирмы. При этом использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Байеса.
   Решение
4. Затраты фабрики в течение апреля - мая на единицу продукции составили: платья - 8 денежных единиц, костюмы - 27, а цена реализации равняется соответственно 16 и 48. По данным наблюдений за прошлое время, фабрика может реализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде - 625 платьев и 1000 костюмов.

Метод минимального риска используется для определения граничного значения определяющего параметра для принятия решения о состоянии объекта, исходя из условия минимума средних затрат.

Пусть состояние некоторого объекта определяется значением некоторого параметра х. необходимо выбрать такое значение этого параметра х 0 , чтобы:

Исправное состояние характеризуется плотностью распределения параметра х, f (x / D 1) а неисправное – f(x / D 2) (рис 2.8). Кривые f (x / D 1) и f(x / D 2) пересекаются и поэтому невозможно выбрать х 0 так, чтобы правило (2.16) не давало бы ошибочных решений.

Возникающие при принятии решения ошибки подразделяют на ошибки первого и второго рода.

Ошибка первого рода – принятие решения о неисправности (наличии дефекта) объекта, когда в действительности объект находится в исправном состоянии.

Ошибка второго рода – принятие решения об исправном состоянии объекта, когда в действительности объект находится в неисправном состоянии (объект содержит дефект).

Вероятность ошибки первого рода равна произведению вероятности двух событий:

вероятности того, что объект находится в исправном состоянии;

вероятности того, что значение определяющего параметра х превысит граничное значение х 0 .

Выражение для определения вероятности ошибки первого рода имеет вид:

где p(D 1 ) – априорная вероятность нахождения объекта в исправном состоянии (считается известной на основании предварительных статистических данных).

Аналогично определяется вероятность ошибки второго рода:

Рис. 2.8. Плотности вероятностей состояний объекта диагностирования

Элементы систем сбора информации: унифицирующие измерительные преобразователи.

Для согласования первичного преобразователя с устройствами системы сбора информации его выходной сигнал должен быть унифицирован, т.е. отвечать некоторым требованиям по уровню, мощности, виду носителя информации и т.д., которые определяются соответствующими ГОСТ.

Для преобразования выходных сигналов первичных преобразователей в унифицированные применяется ряд нормирующих преобразователей. На вход нормирующих преобразователей могут подаваться естественные сигналы первичных преобразователей различных физических величин, а на выходе формируются соответствующие унифицированные сигналы.

Группа средств, обеспечивающих унификацию сигнала между его источником или выходом первичного преобразователя и входом вторичного устройства, относится к классу унифицирующих измерительных преобразователей (УИП).

Различают следующие типы УИП:

индивидуальные;

групповые;

многоканальные.

Индивидуальные УИП (рис. 3.36а)) обслуживают один ПП и включаются между ПП и коммутатором или последующим измерительным преобразователем. Индивидуальные УИП размещаются вместе с ПП непосредственно на объекте исследования.

Они используются для унификации сигналов при сравнительно небольшом количестве измеряемых параметров и при ограниченном времени измерения, не позволяющем использовать групповые УИП.

Индивидуальные УИП позволяют производить:

преобразование одного унифицированного сигнала в другой;

гальваническую развязку входных цепей;

размножение входного сигнала по нескольким выходам.

Однако применение в каждом измерительном комплексе ИИС своего УИП усложняет систему и снижает ее надежность и экономическую эффективность.

Групповые УИП (рис. 3.36б)) являются более эффективными с этой точки зрения они обслуживают определенную группу первичных преобразователей, выходные сигналы которых представляют собой однородные физические величины. Они располагаются в Ииспосле коммутатора и управляются совместно с последним блоком управления.

При построении многоканальных ИИС разнородных физических величин последние группируются по роду физической величины, а каждая группа подключается к соответствующему групповому УИП.

Многоканальные УИП. (рис. 3.36в)) Если измеряемые физические величины в основном разнородные, то в ИИС могут применяться многоканальные УИП, которые представляют собой объединенные в одном корпусе или одной плате несколько индивидуальных УИП. Преобразование информации осуществляется поn входам иn выходам. Основной конструктивной особенностью многоканального УИП является использование общих источника питания и системы контроля для всех индивидуальных УИП.

Рис. 3.36.основные типы унифицирующих

измерительных преобразователей

Основные функции, выполняемые УИП:

линейные (масштабирование, установление нуля, температурная компенсация);

нелинейные (лианеризация) преобразования сигналов.

При линейной характеристике первичного преобразователя УИП выполняет линейные операции, которые называются масштабированием . Суть масштабирования заключается в следующем. Пусть входной сигнал изменяется в пределах отy 1 доy 2 , а динамический диапазон выходного сигнала УИП должен лежать в пределах от0 доz . Тогда для совмещения начала динамических диапазонов УИП и первичного преобразователя к сигналу ПП должен быть добавлен сигнал, а затем суммарный сигнал должен быть усилен враз.

Возможен также вариант, при котором выходной сигнал ПП сначала усиливается, а потом совмещаются начала динамических диапазонов.

Первый вариант приведения выходного сигнала к унифицированному виду обычно используется в индивидуальных УИП, а второй в групповых.

Т.к. связь между выходным сигналом yПП и измеряемым параметром чаще всего нелинейная (например, у термопар, платиновых термопреобразователей сопротивления и т.д.) УИП должен выполнять операциюлинеаризации . Линеаризация заключается в спрямлении функции преобразования ПП. В этом случае линеаризующая функция должна иметь вид обратной функции преобразования ПП.

Для линеаризации функции преобразования в УИП используются специальные нелинейные звенья. Они могут включаться до линейного

унифицирующего преобразователя, после него или в цепь обратной связи усилителя, используемого для изменения масштаба измеряемой величины.

U вх

U ОС

U вых

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

D 1

D 2

D 3

Чаще всего линеаризация достигается кусочно–линейной аппроксимацией и выполняется с помощью цепочки последовательно соединенных резисторов, шунтированных стабилитронами или диодами Д 1  Д 3

Рис. 3.37.структурная схема УИП

С ростом напряжения на выходе усилителя увеличивается ток делителя и падение напряжения на каждом из резисторов R 1  R 5 .как только падение напряжения на каком-либо из резисторов достигает напряжения пробоя соответствующего стабилитрона, стабилитрон начинает шунтировать этот резистор. Сопротивления резисторов подбираются таким образом, чтобы получать требуемую зависимость напряжения обратной связиU ОС инвертирующего усилителяУ , снимаемого с резистораR 5 , от выходного напряжения усилителя.

Типовой аналоговый УИП содержит в своем составе:

выходной усилитель;

устройство гальванической развязки;

функциональный преобразователь, линеаризующий сигнал ПП;

выходной усилитель;

стабилизированный источник питания.

Некоторые первичные преобразователи в качестве выходного имеют сигнал переменного тока такой сигнал модулируется либо по амплитуде (например, дифференциальные трансформаторные преобразователи), либо по частоте (например, пьезорезонаторы).

В качестве примера рассмотрим структурную схему УИП, предназначенного для преобразования переменного напряжения датчиков давления, перепада давления, расхода, уровня, паросодержания в унифицированный сигнал постоянного тока 0…5 мА (рис. 3.38.).

Рис. 3.38. Структурная схема УИП

Переменное напряжение с дифференциального трансформаторного первичного преобразователя демодулятором преобразуется в пропорциональное напряжение постоянного тока, которое усиливается магнитным МУ и электроннымУ усилителями постоянного тока, охваченными глубокой отрицательной обратной связью через устройство обратной связиОС , позволяющее при необходимости линеаризовать характеристику первичного преобразователя.

Унифицирующие измерительные преобразователи, работающие с частотными ПП, должны выполнять те же функции, что и УИП амплитудных ПП.

Пример 2.5. Для приведенной в примере 2.1 матрицы последствий выбрать наилучший вариант решения на основе критерия Гурвица при λ =1/2.

Решение. Рассматривая матрицу последствий Q по строкам, для каждого i вычисляем значения ci= 1/2minqij + 1/2maxqij. Например, с1=1/2*2+1/2*8=5; аналогично находятся с2=7; с3=6,5; с4= 4,5. Наибольшим является с2=7. Следовательно, критерий Гурвица при заданном λ =1/2 рекомендует выбрать второй вариант (i=2 ).

2.3. Анализ связанной группы решений в условиях частичной

неопределенности

Если при принятии решения ЛПР известны вероятности pj того, что реальная ситуация может развиваться по варианту j, то говорят, что ЛПР находится в условиях частичной неопределенности. В этом случае можно руководствоваться одним из следующих критериев (правил).

Критерий (правило) максимизации среднего ожидаемого дохода . Этот критерий называется также критерием максимума среднего выигрыша. Если известны вероятности pj вариантов развития реальной ситуации, то доход, получаемый при i-ом решении, является случайной величиной Qi с рядом распределения

Математическое ожидание M [Qi ] случайной величины Qi и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также :

= M [Qi ] = .

Для каждого i-го варианта решения рассчитываются величины , и в соответствии с рассматриваемым критерием выбирается вариант, для которого достигается

Пример 2.6. Пусть для исходных данных примера 2.1 известны вероятности развития реальной ситуации по каждому из четырех вариантов, образующих полную группу событий:

p1 =1/2, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6. Выяснить, при каком варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.

Решение. Найдем для каждого i-го варианта решения средний ожидаемый доход: =1/2*5+1/6*2+1/6*8+1/6*4= 29/6, = 25/6, = 7, = 17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска (другое название –критерий минимума среднего проигрыша ).

В тех же условиях, что и в предыдущем случае, риск ЛПР при выборе i-го решения является случайной величиной Ri с рядом распределения

Математическое ожидание M и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также : = M = . . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск: .

Пример 2.7 . Исходные данные те же, что и в примере 2.6. Определить, при каком варианте решения достигается наименьший средний ожидаемый риск, и найти величину минимального среднего ожидаемого риска (проигрыша).

Решение. Для каждого i-го варианта решения найдем величину среднего ожидаемого риска. На основе заданной матрицы риска R найдем: = 1/2*3+1/6*3+1/6*0+1/6*8=20/6, = 4, = 7/6, = 32/6.

Следовательно, минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению: = 7/6.

Замечание . Когда говорят о среднем ожидаемом доходе (выигрыше) или о среднем ожидаемом риске (проигрыше), то подразумевают возможность многократного повторения процесса принятия решения по описанной схеме или фактическое неоднократное повторение такого процесса в прошлом. Условность данного предположения заключается в том, что реально требуемого количества таких повторений может и не быть.

Критерий (правило) Лаплпаса равновозможности (безразличия) . Этот критерий непосредственно не относится к случаю частичной неопределеннос-ти, и его применяют в условиях полной неопределенности. Однако здесь предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной ситуации) равновероятны – отсюда и название критерия. Тогда описанные выше схемы расчета можно применить, считая вероятности pj одинаковыми для всех вариантов реальной ситуации и равными 1/n. Так, при использовании критерия максимизации среднего ожидаемого дохода выбирается решение, при котором достигается . А в соответсвии с критерием минимизации среднего ожидаемого риска выбирается вариант решения, для которого обеспечивается .

Пример 2.8. Используя критерий Лапласа равновозможности для исходных данных примера 2.1, выбрать наилучший вариант решения на основе: а) правила максимизации среднего ожидаемого дохода; б) правила минимизации среднего ожидаемого риска.

Решение. а) С учетом равновероятности вариантов реальной ситуации величины среднего ожидаемого дохода для каждого из вариантов решения составляют = (5+2+8+4)/4=19/4, = 21/4, = 26/4, = 15/4. Следовательно, наилучшим вариантом решения будет третий, и максимальный средний ожидаемый доход буде равен 26/4.

б) Для каждого варианта решения рассчитаем величины среднего ожидаемого риска на основе матрицы рисков с учетом равновероятности вариантов ситуации: = (3+3+0+8)/4 = 14/4, = 3, = 7/4, = 18/4. Отсюда следует, что наилучшим будет третий вариант, и при этом минимальный средний ожидаемый риск составит 7/4.

2.4. Оптимальность по Парето двухкритериальных финансовых

операций в условиях неопределенности

Из рассмотренного выше следует, что каждое ре­шение (финансовая операция) имеет две характеристики, которые нуждаются в оптимизации: средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Таким образом, выбор наилучшего решения является оптими­зационной двухкритериальной задачей. В задачах многокритериальной оптимизации основным понятием является понятие оптимальности по Парето . Рассмотрим это понятие для финансовых операций с двумя указанными характеристиками.

Пусть каждая операция а имеет две числовые характеристики Е(а), r (а) (например, эффективность и риск); при оптимизации Е стремятся увеличить, а r уменьшить.

Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А - не­которое множество операций, и разные операции обязательно различаются хо­тя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей опе­рации желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию b , и обозначать а > b, если Е(а) ≥ Е(b ) и r (a ) ≤ r(b ) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а на­зывается доминирующей , а операция b – доминируемой . Очевидно, что никакая доминируемая операция не может быть признана наилучшей . Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество недоминируемых операций назы­вается множеством (областью) Парето или множеством оптимально­сти по Парето .

Для множества Парето справедливо утверждение: каждая из характе­ристик Е, r является однозначной функцией другой, т. е. на множестве Парето по од­ной характеристике операции можно однозначно определить другую.

Вернемся к анализу финансовых решений в условиях частичной неопределенности. Как показано в разделе 2.3, каждая операция характеризуется средним ожидаемым риском и средним ожидаемым доходом . Если ввести прямоугольную систему координат, на оси абсцисс которой откладывать значения , а на оси ординат – значения , то каждой операции будет соответствовать точка (, ) на координатной плоскости. Чем выше эта точка на плоскости, тем доходнее операция; чем правее точка, тем более рисковая операция. Следовательно, при поиске недоминируемых операций (множества Парето) нужно выбирать точки выше и левее. Таким образом, множество Парето для исходных данных примеров 2.6 и 2.7 состоит только из одной третьей операции.

Для определения лучшей операции в ряде случаев можно применять некоторую взвешивающую формулу, в которую характеристики и входят с определенными весами, и которая дает одно число, задающее лучшую операцию. Пусть, например, для операции i с характеристиками (, ) взвешивающая формула имеет вид f(i) = 3 - 2 , и наилучшая операция выбирается по максимуму величины f(i) . Эта взвешивающая формула означает, что ЛПР согласен на увеличение риска на три единицы, если доход операции увеличится при этом не менее, чем на две единицы. Таким образом, взвешивающая формула выражает отношение ЛПР к показателям дохода и риска.

Пример 2.9. Пусть исходные данные те же, что и в примерах 2.6 и 2.7, т. е. для матриц последствий и риска примера 2.1 известны вероятности вариантов развития реальной ситуации: p1 =1/2, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6. В этих условиях ЛПР согласен на увеличение риска на две единицы, если при этом доход операции увеличится не менее, чем на одну единицу. Определить для этого случая наилучшую операцию.

Решение. Взвешивающая формула имеет вид f(i) = 2 - . Используя результаты расчетов в примерах 2.6 и 2.7, находим:

f(1) = 2*29/6 – 20/6 = 6,33; f(2) = 2*25/6 – 4 = 4,33;

f(3) = 2*7 – 7/6 = 12,83; f(4) = 2*17/6 – 32/6 = 0,33

Следовательно, лучшей является третья операция, а худшей – четвертая.

Тема 3. Измерители и показатели финансовых рисков

Количественная оценка риска. Риск отдельной операции. Общие измерители риска.

В данной теме рассматриваются критерии и методы принятия решений в тех случаях, когда предполагается, что распределения вероятностей возможных исходов либо известны, либо они могут быть найдены, причем в последнем случае не всегда необходимо за­давать в явном виде плотность распределения.

3.1. Общеметодические подходы к количественной оценке риска

Риск - категория вероятностная, поэтому методы его количественной оцен­ки базируются на ряде важнейших понятий теории вероятностей и математической статистики. Так, главными инструментами статистического метода расчета риска являются:

1) математическое ожидание m, например, такой случайной величины, как результат финансовой операции k : m = Е {k };

2) дисперсия как характеристика степени вариации значений случайной величины k вокруг центра группирования m (напомним, что дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания );

3) стандартное отклонение ;

4) коэффициент вариации , который имеет смысл риска на единицу среднего дохода.

Замечание. Для небольшого набора n значений – малой выборки! – дискретной случайной величины речь, строго говоря, идет лишь об оценках перечисленных измерителей риска .

Так, средним (ожидаемым) значением выборки, или выборочным аналогом математического ожидания , является величина , где р i – вероятность реализации значения случайной величины k . Если все значения равновероятны, то ожидаемое значение случайной выборки вычисляется по формуле .

Аналогично, дисперсия выборки (выборочная дисперсия ) определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке: или

. В последнем случае выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии . Поэтому предпочтительнее использовать несмещенную оценку дисперсии , которая задана формулой .

Очевидно, что оценка может быть рассчитана следующим образом или .

Ясно, что оценка коэффициента вариации принимает теперь вид .

В экономических системах в условиях риска принятие решений основывается чаще всего на одном из следующих критериев.

1. Ожидаемого значения (доходности, прибыли или расходов).

2. Выборочной дисперсии или стандартного (среднего квадратического) отклонения .

3. Комбинации ожидаемого значения и дисперсии или среднего квадратического отклонения выборки .

Замечание . Под случайной величиной k в каждой конкретной ситуации понимается соответствующий этой ситуации показатель, который обычно записывается в принятых обозначениях: mp – доходность портфеля ценных бумаг , IRR – (Internal Rate of Return) внутренняя (норма) доходности и т. д.

Рассмотрим изложенную идею на конкретных примерах.

3.2. Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Как уже не раз говорилось, риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже ее ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако, надо помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер.

Пример 1 . Предположим, например, что Вы намерены инвестировать 100000 дол. сроком на один год. Альтернативные варианты инвестиций приведены в табл. 3.1.

Во-первых, это ГКО-ОФЗ со сроком погашения один год и став­кой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом, т. е. по цене ниже номинала, а в момент погашения будет выплачена их номи­нальная стоимость.

Таблица 3.1

Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

Состояние экономики	Вероятность р i		Доходность инвестиций при данном состоянии экономики, %
корпоративные ценные бумаги
Глубокий спад
Незначительный спад
Стагнация
Незначительный подъем
Сильный подъем
Ожидаемая доходность

Примечание. Доходность, соответствующую различным состояниям экономики, следует рас­сматривать как интервал значений, а отдельные ее значения - как точки внутри этого интервала. Например, 10%-ная доходность облигации корпорации при незначительном спаде представляет со­бой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Во-вторых, корпоративные ценные бумаги (голубые фишки), которые продаются по номиналу с купон­ной ставкой 9% (т. е. на 100000 дол. вложенного капитала можно получать 9000 дол. годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако Вы собираетесь продать эти ценные бумаги в конце первого года. Следовательно, фактическая до­ходность будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень в свою очередь зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость голубых фишек; в случае эко­номического спада возможна противоположная ситуация.

В-третьих, проект капиталовложений 1, чистая стоимость которого составляет 100000 дол. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуще­ствляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

И, наконец, альтернативный проект капиталовложений 2, совпадающий по всем па­раметрам с проектом 1 и отличающийся от него лишь распределением вероят­ностей ожидаемых в конце года выплат .

Под распределением вероятностей , будем понимать множество вероятностей возможных исходов (в случае непрерывной случайной величины это была бы плотность распределения вероятностей). Именно в этом смысле следует истолковывать представленные в табл. 3.1 четыре распределения вероятностей, соответствующие четырем альтернативным вариантам инвестирования. Доходность по ГКО-ОФЗ точно известна. Она составляет 8% и не зависит от состояния эконо­мики.

Вопрос 1 . Можно ли риск по ГКО-ОФЗ безоговорочно считать равным нулю?

Ответ: а) да; б) думаю, что не все так однозначно, но затрудняюсь дать более полный ответ; в) нет.

Правильный ответ в).

При любом варианте ответа см. справку 1.

Справка 1 . Инвестиции в ГКО-ОФЗ являются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени. В то же время их реальная доходность содержит определенную долю риска, т. к. она зависит от фактических темпов роста инфляции в течение пери­ода владения данной ценной бумагой. Более того, ГКО могут представлять проблему для инвестора, который обладает портфелем ценных бумаг с целью получения непрерыв­ного дохода: когда истекает срок платежа по ГКО-ОФЗ, необходимо осуще­ствить реинвестирование денежных средств , и если процентные ставки снижаются, до­ход портфеля также уменьшится. Этот вид риска, который носит название риска нормы реинвестирования , не учитывается в нашем примере, так как период, в течение кото­рого инвестор владеет ГКО-ОФЗ, соответствует сроку их погашения. Наконец, отметим, что релевантная доходность любых инвестиций - это доходность после уплаты налогов, поэтому значения доходности, используемые для принятия решения, должны отражать доход за вычетом налогов.

По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенно­стью, эти три вида инвестиций являются рисковыми .

Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными . Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов; так, в табл. 3.1 приведены дискретные распределения вероятностей доходностей различных вариантов инвестирования. Доходность ГКО-ОФЗ принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Ка­ждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что ГКО-ОФЗ будут иметь доходность 8%, равна 1.00, а вероятность того, что доходность корпоративных ценных бумаг составит 9%, равна 0.50.

Если умножить каждый исход на вероятность его появления, а затем сло­жить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение . Так как исходами являются внутренние нормы доходности (Internal Rate of Return, аббревиатура IRR), ожидаемое зна­чение - это ожидаемая норма доходности (Expected Rate of Return, аббревиатура ERR), которую можно представить в следующем виде:

ERR = IRRi, (3.1)

где IRRi, - i-й возможный исход; pi - вероятность появления i-го исхода; п - число возможных исходов.

ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ

УДК 678.029.983

Составитель: В.А. Пиккиев.

Рецензент

Кандидат технических наук, доцент О.Г. Бондарь

Техническая диагностика электронных средств : методические рекомендации для проведения практических занятий по дисциплине «Техническая диагностика электронных средств»/ Юго-Зап. гос. ун-т.; сост.: В.А. Пиккиев, Курск, 2016. 8с.: ил.4, табл.2, прилож.1. Библиогр.:с. 9 .

Методические указания для проведения практических занятий предназначены для студентов направления подготовки 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств».

Подписано в печать. Формат 60х84 1\16 .

Усл. печ. л. Уч.-изд.л. Тираж 30 экз. Заказ. Бесплатно

Юго-Западный государственный университет.

ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
1. Практическое занятие № 1. Метод минимального числа ошибочных решений
2. Практическое занятие № 2. Метод минимального риска
3. Практическое занятие № 3. Метод Байеса
4. Практическое занятие № 4. Метод наибольшего правдоподобия
5. Практическое занятие № 5. Метод минимакса
6. Практическое занятие № 6. Метод Неймана–Пирсона
7. Практическое занятие № 7. Линейные разделяющие функции
8. Практическое занятие № 8. Обобщенный алгоритм нахождения разделяющей гиперплоскости

ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .

Техническая диагностика рассматривает задачи диагностирования, принципы организации систем тестового и функционального диагноза, методы и процедуры алгоритмов диагноза для проверки неисправности, работоспособности и правильности функционирования, а также для поиска неисправностей различных технических объектов. Основное внимание уделяется логическим аспектам технической диагностики при детерминированных математических моделях диагноза.

Цель дисциплины состоит в освоении методов и алгоритмов технической диагностики.

Задачей курса является подготовка технических специалистов освоивших:

Современные методы и алгоритмы технической диагностики;

Модели объектов диагностирования и неисправностей;

Алгоритмы диагностирования и тесты;

Моделирование объектов;

Аппаратуру систем поэлементного диагностирования;

Сигнатурный анализ;

Системы автоматизации диагностирования РЭА и ЭВС;

Навыки разработки и построения моделей элементов.

Предусмотреные в учебном плане практические занятия, позволяют формировать у студентов профессиональные компетенции аналитического и творческого мышления путем приобретения практических навыков диагностики электронных средств.

Практические занятия предусматривают работу с прикладными задачами разработки алгоритмов поиска неисправностей электронных устройств и построению контролирующих тестов с целью их дальнейшего использования при моделировании функционирования этих устройств.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ОШИБОЧНЫХ РЕШЕНИЙ.

В задачах надежности рассматриваемый метод часто дает «неосторожные решения», так как последствия ошибочных решений существенно различаются между собой. Обычно цена пропуска дефекта существенно выше цены ложной тревоги. Если указанные стоимости приблизительно одинаковы (для дефектов с ограниченными последствиями, для некоторых задач контроля и др.), то применение метода вполне оправдано.

Вероятность ошибочного решения определяется так

D 1 - диагноз исправного состояния;

D 2 - диагноз дефектного состояния;

P 1 -вероятность 1 диагноза;

P 2 - вероятность 2-го диагноза;

x 0 - граничное значение диагностического параметра.

Из условия экстремума этой вероятности получаем

Условие минимума дает

Для одномодальных (т. е. содержат не более одной точки максимума) распределений неравенство (4) выполняется, и минимум вероятности ошибочного решения получается из соотношения (2)

Условие выбора граничного значения (5) называется условием Зигерта–Котельникова (условием идеального наблюдателя). К этому условию приводит также метод Байеса.

Решение x ∈ D1 принимается при

что совпадает с равенством (6).

Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым.

В рассматриваемом случае плотности распределений будут равны:

Таким образом, полученные математические модели(8-9) могут быть использованы для диагностики ЭС.

Пример

Диагностика работоспособности жестких дисков осуществляется по количеству битых секторов (Reallocated sectors). Фирма Western Digital при производстве ЖД модели “My Passport” использует следующие допуски: Исправными считаются диски у которых среднее значение составляет х 1 = 5 на единицу объема и среднеквадратичное отклонение σ 1 = 2 . При наличии дефекта магнитного напыления (неисправное состояние) эти значения равны х 2 = 12, σ 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.

Требуется определить предельное количество неисправных секторов, выше которого жесткий диск подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисп­равное состояние магнитного напыления наблюдается у 10% ЖД.

Плотности распределения:

1. Плотность распределения для исправного состояния:

2. Плотность распределения для дефектного состояния:

3. Разделим плотности состояния и приравняем к вероятностям состояний:

4. Прологарифмируем данное равенство и найдем предельное количество неисправных секторов:

Это уравнение имеет положительный корень x 0 =9,79

Критическое количество битых секторов равно 9 на единицу объема.

Варианты задания

№ п/п	х 1	σ 1	х 2	σ 2

Вывод : Использование данного метода позволяет принимать решение без оценки последствий ошибок, из условий задачи.

Недостатком является то, что указанные стоимости приблизительно одинаковы.

Применение данного метода, распространено в приборостроение и машиностроении.

Практическое занятие № 2

МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО РИСКА

Цель работы: изучение метода минимального риска для диагностики технического состояния ЭС.

Задачи работы :

Изучить теоретические основы метода минимального риска;

Провести практические расчеты;

Сделать выводы по использованию метода минимального риска ЭС.

Теоретические пояснения .

Вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим ошибкам, то получим выражение для среднего риск.

Где D1- диагноз исправного состояния; D2- диагноз дефектного состояния; P1-вероятность 1 диагноза; P2- вероятность 2-го диагноза; x0- граничное значение диагностического параметра; С12- стоимость ложной тревоги.

Разумеется, цена ошибки имеет условное значение, но она должна учесть предполагаемые последствия ложной тревоги и пропуска дефекта. В задачах надежности стоимость пропуска дефекта обычно существенно больше стоимости ложной тревоги (C12 >> C21). Иногда вводится цена правильных решений С11 и С22, которая для сравнения со стоимостью потерь (ошибок) принимается отрицательной. В общем случае средний риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством

Где С11, С22 - цена правильных решений.

Величина x, предъявляемая для распознавания, является случайной и потому равенства (1) и (2) представляют собой среднее значение (математическое ожидание) риска.

Найдем граничное значение x0 из условия минимума среднего риска. Дифференцируя (2) по x0 и приравнивая производную нулю, получим сначала условие экстремума

Это условие часто определяет два значения x0, из которых одно соответствует минимуму, второе – максимуму риска (рис. 1). Соотношение (4) является необходимым, но недостаточным условием минимума. Для существования минимума R в точке x = x0 вторая производная должна быть положительной (4.1.), что приводит к следующему условию

(4.1.)

относительно производных плотностей распределений:

Если распределения f (x, D1) и f(x, D2) являются, как обычно, одномодальными (т. е. содержат не более одной точки максимума), то при

Условие (5) выполняется. Действительно, в правой части равенства стоит положительная величина, а при x>x1 производная f "(x/D1), тогда как при x

В дальнейшем под x0 будем понимать граничное значение диагностического параметра, обеспечивающее по правилу (5) минимум среднего риска. Будем также считать распределения f (x / D1) и f (x / D2) одномодальными («одногорбыми»).

Из условия (4) следует, что решение об отнесении объекта x к состоянию D1 или D2 можно связать с величиной отношения правдоподобия. Напомним, что отношение плотностей вероятностей распределения x при двух состояниях называется отношением правдоподобия.

По методу минимального риска принимается следующее решение о состоянии объекта, имеющего данное значение параметра x:

(8.1.)

Эти условия вытекают из соотношений (5) и (4). Условие (7) соответствует x< x0, условие (8) x > x0. Величина (8.1.) представляет собой пороговое значение для отношения правдоподобия. Напомним, что диагноз D1 соответствует исправному состоянию, D2 – дефектному состоянию объекта; C21 – цена ложной тревоги; C12 – цена пропуска цели (первый индекс – принятое состояние, второй – действительное); C11 < 0, C22 – цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся и тогда

Часто оказывается удобным рассматривать не отношение правдоподобия, а логарифм этого отношения. Это не изменяет результата, таккак логарифмическая функция возрастает монотонно вместе со своимаргументом. Расчет для нормального и некоторых других распределений при использовании логарифма отношения правдоподобия оказывается несколько проще. Рассмотрим случай, когда параметр x имеет нормальное распределение при исправном D1 и неисправном D2 состояниях. Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым. В рассматриваемом случае плотности распределений

Внося эти соотношения в равенство (4), получаем после логарифмирования

Диагностика работоспособности флэш накопителей осуществляется по количеству битых секторов (Reallocated sectors). Фирма Toshiba TransMemory при производстве модели “UD-01G-T-03” использует следующие допуски: Исправными считаются накопители у которых среднее значение составляет х1 = 5 на единицу объема. Среднеквадратичное отклонение примем равным ϭ1 = 2.

При наличии дефекта NAND памяти эти значения равны х2 = 12, ϭ2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное количество неисправных секторов, выше которого жесткий диск подлежит снятию с эксплуатации. По статистическим данным, неисправное состояние наблюдается у 10% флэш накопителей.

Примем, что отношение стоимостей пропуска цели и ложной тревоги , и откажемся от «вознаграждения» правильных решений (С11=С22=0). Из условия (4) получаем

Варианты задания:

Вар.

X 1 мм.

X 2 мм.

б1

б2

Вывод

Метод позволяет оценить вероятность принятия ошибочного решения определяется как минимизация точки экстремума среднего риска ошибочных решений при максимуме правдоподобия, т.е. проводится расчет минимального риска происхождения события при наличии информации о максимально подобных событиях.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

МЕТОД БАЙЕСА

Среди методов технической диагностики метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, занимает особое место благодаря простоте и эффективности. Разумеется, метод Байеса имеет недостатки: большой объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов и др. Однако в случаях, когда объем статистических данных позволяет применить метод Байеса, его целесообразно использовать как один из наиболее надежных и эффективных.

Пусть имеется диагноз D i и простой признак k j , встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния D i и признака k j)

Из этого равенства вытекает формула Байеса

Очень важно определить точный смысл всех входящих в эту формулу величин:

P(D i) – вероятность диагноза D i , определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза). Так, если предварительно обследовано N объектов и у N i объектов имелось состояние D i , то

P (k j / D i )– вероятность появления признакаk j у объектов с состоянием D i . Если среди N i объектов, имеющих диагноз D i , у N ij , проявился признак k j , то

P (k j )– вероятность появления признакаk j во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N объектов признак k j был обнаружен у N j объектов, тогда

Для установления диагноза специальное вычисление P(k j) не требуется. Как будет ясно из дальнейшего, значения P(D i) и P(k j /D v), известные для всех возможных состояний, определяют величину P(k j).

В равенстве (2) P(D i / k j) – вероятность диагноза D i после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака k j (апостериорная вероятность диагноза).

Обобщенная формула Байеса относится к случаю, когда обследование проводится по комплексу признаков K, включающему признаки k 1 , k 2 , …, k ν . Каждый из признаков k j имеет m j разрядов (k j1 , k j2 , …, k js , …, k jm). В результате обследования становится известной реализация признака

и всего комплекса признаков К * . Индекс * , как и раньше, означает конкретное значение (реализацию) признака. Формула Байеса для комплекса признаков имеет вид

где P(D i / K *) – вероятность диагноза D i после того, как стали известны результаты обследования по комплексу признаков K; P(D i) – предварительная вероятность диагноза D i (по предшествующей статистике).

Формула (7) относится к любому из n возможных состояний (диагнозов) системы. Предполагается, что система находится только в одном из указанных состояний и потому

В практических задачах нередко допускается возможность существования нескольких состояний A 1 , …, A r , причем некоторые из них могут встретиться в комбинации друг с другом. Тогда в качестве различных диагнозов D i следует рассматривать отдельные состояния D 1 = A 1 , …, D r = A r и их комбинации D r+1 = A 1 /\ A 2 .

Перейдем к определению P (K * / D i ) . Если комплекс признаков состоит из н признаков, то

где k * j = k js – разряд признака, выявившийся в результате обследования. Для диагностически независимых признаков;

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей между ними.

Вероятность появления комплекса признаков K *

Обобщенная формула Байеса может быть записана

где P(K * / D i) определяется равенством (9) или (10). Из соотношения (12) вытекает

что, разумеется, и должно быть, так как один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна.

Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байеса для всех диагнозов одинаков. Это позволяет сначала определить вероятности совместного появления i-го диагноза и данной реализации комплекса признаков

и затем апостериорную вероятность диагноза

Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (табл. 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах.

Таблица 1

Если признаки двухразрядные (простые признаки «да – нет»), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака P(k j / D i).

Вероятность отсутствия признака P (k j / D i ) = 1 − P (k j / D i ) .

Однако более удобно использовать единообразную форму, полагая, например, для двухразрядного признака P (kj /D ) = P (kj 1/D ) ; P (k j /D ) = P (kj 2/D ).

Отметим, что ∑P (k js / D i ) =1 , где m j – число разрядов признака k j .

Сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равна единице.

В диагностическую матрицу включены априорные вероятности диагнозов. Процесс обучения в методе Байеса состоит в формировании диагностической матрицы. Важно предусмотреть возможность уточнения таблицы в процессе диагностики. Для этого в памяти ЭВМ следует хранить не только значения P(k js / D i), но и следующие величины: N – общее число объектов, использованных для составления диагностической матрицы; N i - число объектов с диагнозом D i ; N ij – число объектов с диагнозом D i , обследованных по признаку k j . Если поступает новый объект с диагнозом D μ , то проводится корректировка прежних априорных вероятностей диагнозов следующим образом:

Далее вводятся поправки к вероятностям признаков. Пусть у нового объекта с диагнозом D μ выявлен разряд r признака k j . Тогда для дальнейшей диагностики принимаются новые значения вероятности интервалов признака k j при диагнозе D μ:

Условные вероятности признаков при других диагнозах корректировки не требуют.

Практическая часть

1.Изучить методические указания и получить задание.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

Государственный комитет РФ по рыболовству

Федеральное государственное образовательное

Учреждение высшего профессионального образования

Камчатский государственный технический университет

Кафедра математики

Курсовая работа по дисциплине

«Математическая экономика»

На тему: «Риск и страхование.»

Введение…………………………………………………………..……………….....3

1.КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ …………….............................................................................4 1.1. Определение и сущность риска…………………………………..……………..…...4

1.2. Матрицы последствий и рисков…………………………………….……..……6

1.3.Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности…………………………………………………...……………......7

1.4. Анализ связанной группы решений в условиях частичной неопределенности…………………………………………………………………..8

1.5. Оптимальность по Парето…………………………………………………….9

2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ……..…..…...12

2.1. Количественная оценка риска………………………………………………..12

2.2. Риск отдельной операции……………………………………………………..13 2.3. Некоторые общие измерители риска……………………………………….15

2.4. Риск разорения……………………………………………………………..…16

2.5. Показатели риска в виде отношений………………………………………..17

2.6. Кредитный риск……………………………………………………………….17

3. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ РИСКОВ……………………………………….…….18

3.1. Диверсификация………………………………………………………………18

3.2. Хеджирование…………………………………………………………………21

3.3. Страхование…………………………………………………………………...22

3.4. Качественное управление рисками………………………………….……….24

Практическая часть……………………………………………………………...….27

Заключение………………………………………………………..………….…. ..29

Список литературы…………………………………………….……….……..….30

Приложения……………………………………………………….…………..…...31

ВВЕДЕНИЕ

Развитие мировых финансовых рынков, характеризующееся усилением процессов глобализации, интернационализации, либерализации, оказывает непосредственное влияние на всех участников мирового экономического пространства, основными членами которого являются крупные финансово-кредитные институты, производственные и торговые корпорации. Все участники мирового рынка непосредственно ощущают на себе влияние всех вышеперечисленных процессов и в своей деятельности должны учитывать новые тенденции развития финансовых рынков. Число рисков, возникающих в деятельности таких компаний, существенно увеличилось в последние годы. Это связано с появлением новых финансовых инструментов, активно используемых участниками рынка. Применение новых инструментов хотя и позволяет снизить принимаемые на себя риски, но также связано с определенными рисками для деятельности участников финансового рынка. Поэтому все большее значение для успешной деятельности компании приобретает в настоящее время осознание роли риска в деятельности компании и способность риск-менеджера адекватно и своевременно реагировать на сложившуюся ситуацию, принять правильное решение в отношении риска. Для этого необходимо использовать различные инструменты страхования и хеджирования от возможных потерь и убытков, набор которых в последние годы существенно расширился и включает как традиционные приемы страхования, так и методы хеджирования с использованием финансовых инструментов.

От того, насколько правильно будет выбран тот или иной инструмент, будет зависеть, в конечном счете, эффективность деятельности компании в целом.

Актуальность темы исследования предопределена также незавершенностью разработки теоретической основы и классификации страхования финансовых рисков и выявления его особенностей в России.

Глава 1. КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ

ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Риск – одно из важнейших понятий, сопутствующих любой активной деятельности человека. Вместе с тем это одно из самых неясных, многозначных и запутанных понятий. Однако, несмотря на его неясность, многозначность и запутанность, во многих ситуациях суть риска очень хорошо понимается и воспринимается. Эти же качества риска являются серьезной преградой для его количественной оценки, которая во многих случаях необходима и для развития теории и на практике.

Рассмотрим классическую схему принятия решений в условиях неопределенности.

1.1. Определение и сущность риска

Напомним, что финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода – разности между конечной и начальной

оценками (или какого-нибудь другого подобного показателя).

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны : при их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Проводящий операцию (принимающий решение) называется ЛПР – Лицо ,

принимающее решение . Естественно, ЛПР заинтересовано в успехе операции и является за нее ответственным (иногда только перед самим собой). Во многих случаях ЛПР – это инвестор, вкладывающий деньги в банк, в какую– то финансовую операцию, покупающий ценные бумаги и т.п.

Определение. Операция называется рискованной , если она может иметь несколько исходов, не равноценных для ЛПР.

Пример 1 .

Рассмотрим три операции с одним и тем же множеством двух исходов –

альтернатив A , В , которые характеризуют доходы, получаемые ЛПР. Все три

операции рискованные. Понятно, что рискованными являются первая и вторая

операции, так как в результате каждой операции возможны убытки.

Но почему должна быть признана рискованной третья операция? Ведь она сулит только положительные доходы ЛПР? Рассматривая возможные исходы третьей операции, видим, что можем получить доход в размере 20 единиц, поэтому возможность получения дохода в 15 единиц рассматривается как неудача, как риск недобрать 5 единиц дохода. Итак, понятие риска обязательно предполагает рискующего – того, к кому этот риск относится, кто озабочен результатом операции. Сам риск возникает, только если операция может окончиться исходами, не равноценными для него, несмотря на, возможно, все его усилия по управлению этой операцией.

Итак, в условиях неопределенности операция приобретает еще одну характеристику – риск. Как оценить операцию, с точки зрения ее доходности и риска? На этот вопрос на так просто ответить, главным образом из-за многогранности понятия риска. Существует несколько разных способов такой оценки. Рассмотрим один из таких подходов.

1.2. Матрицы последствий и рисков

Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции. Неясно, чем она может закончиться. В связи с этим проводится анализ нескольких возможных решений и их последствий. Так приходим к следующей общей схеме принятия решений (в том числе финансовых) в условиях неопределенности.

Предположим, что ЛПР рассматривает несколько возможных решений

i =1, …,n . Ситуация неопределенна, понятно лишь, что наличествует какой– то из вариантов j =1,….,n . Если будет принято i– е решение, а ситуация есть j– я, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход q ij . Матрица Q =(q ij) называется матрицей последствий (возможных решений). Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i -е решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы мы её знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Если ситуация j -я, то было бы принято решение, дающее доход q i =max q ij . Значит, принимая i -е решение, мы рискуем получить не q j , а только q ij , т.е. принятие i -го решения несет риск не добрать r ij =q j –q ij называется матрицей рисков .

Пример 2.

Пусть матрица последствий есть

Составим матрицу рисков. Имеем q 1 =max q i1 =8, q 2 =5, q 3 =8, q 4 =12. Следовательно, матрица рисков есть

1.3. Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации (например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации). Какие же существуют правила– рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма).

Рассматривая i -е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход: a i =min q a 0 с наибольшим a i0 . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i 0 такое, что a i0 =max a i =max(min q ij).Так, в примере 2 имеем a 1 =2, a 2 =2, a 3 =3, a 4 = 1. Теперь из чисел 2, 2, 3, 1 находим максимальное - 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска).

При применении этого правила анализируется матрица рисков R =(r ij). Рассматривая i -е решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска b i =max r ij . Но теперь выберем решение i 0 с наименьшим b i0 . Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i 0 такое, что b i0 =min b i =min(max r ij).Так, в примере 2 имеем b 1 =8, b 2 =6, b 3 =5, b 4 =7. Теперь из чисел 8, 6, 5, 7 находим минимальное – 5.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации).

Принимается решение i, котором достигается максимум

{λ min q ij +(1– λ max q ij)},

где 0≤λ ≤1. Значение λ выбирается из субъективных соображений. Если λ приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении λ к 0 правило Гурвица приближается к правилу «розового оптимизма» (догадайтесь сами, что это значит). В примере 2 при λ=1/2 правило Гурвица рекомендует второе решение.

1.4. Анализ связанной группы решений в условиях частичной неопределенности

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности р j того, что реальная ситуация развивается по варианту j . Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода.

Доход, получаемый фирмой при реализации i -го решения, является случайной величиной Q i с рядом распределения. Математическое ожидание М [Q i ] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также Q i . Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход. Предположим, что в схеме примера 2 вероятности есть – 1/2, 1/6, 1/6, 1/6.

Тогда Q 1 =29/6, Q 2 =25/6, Q 3 =7, Q 4 =17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска.

Риск фирмы при реализации i -го решения является случайной величиной R i с рядом распределения

Математическое ожидание M [R i ] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также R i . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем R 1 =20/6, R 2 =4, R 3 =7/6, R 4 =32/6. Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению.

Замечание. Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от полной неопределенности очень существенно. Конечно, принятие решений по правилам Вальда, Сэвиджа, Гурвица никто не считает окончательными, самыми лучшими. Но когда мы начинаем оценивать вероятность варианта, это уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: это уже было в прошлом, или это будет в будущем, или это повторяется где-то в пространстве, например, в филиалах фирмы.

1.5. Оптимальность по Парето

Итак, при попытке выбрать наилучшее решение мы столкнулись в предыдущем параграфе с тем, что каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Теперь имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения.

Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач.

Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А - некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е (а ), r (а ) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать а >b, если Е (а )≥Е (b ) и r (а )≤r (b ) и хотя бы одно из этих неравенств, строгое. При этом операция а называется доминирующей , а операция b - доминируемой . Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей, операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето .

Имеет место чрезвычайно важное утверждение.

Утверждение.

На множестве Парето каждая из характеристик Е , r - (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую.

Доказательство. Пусть а ,b - две операции из множества Парето, тогда r (а ) и r (b ) – числа. Предположим, что r (а )≤r (b ), тогда Е (а ) не может быть равно Е (b ), так как обе точки а , b принадлежат множеству Парето. Доказано, что по характеристике r E . Так же просто доказывается, что по характеристике Е можно определить характеристику r .

Продолжим анализ приведенного в § 10.2 примера. Рассмотрим графическую иллюстрацию. Каждую операцию (решение) (R, Q ) отметим как точку на плоскости – доход откладываем вверх по вертикали, а риск – вправо по горизонтали (рис. 10.1). Получили четыре точки и продолжаем анализ примера 2.

Чем выше точка (R, Q ), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В нашем случае множество Парето состоит только из одной третьей операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции Q с характеристиками (R, Q ) даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f (Q )=2Q–R . Тогда для операций (решений) примера 2 имеем: f (Q 1)=2*29/6– 20/6=6,33; f (Q 2)=4,33; f (Q 3)=12,83; f (Q 4)=0,33. Видно, что третья операция – лучшая, а четвертая – худшая.

Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФИНАНСОВЫХ

ОПЕРАЦИЙ

Финансовая операция называется вероятностной , если существует вероятность каждого ее исхода. Прибыль такой операции – разность конечной и начальной денежных ее оценок – является случайной величиной. Для такой операции удается ввести количественную оценку риска, согласующуюся с нашей интуицией.

2.1. Количественная оценка риска

В предыдущей главе дано определение рискованной операции, как имеющей, по крайней мере, два исхода, не равноценных в системе предпочтений ЛПР. В контексте данной главы вместо ЛПР можно, употреблять также термин «инвестор» или какой-либо подобный, отражающий заинтересованность проводящего операцию (возможно, пассивно) в ее успехе.

При исследовании риска операции встречаемся с фундаментальным утверждением.

Утверждение.

Количественная оценка риска операции возможна только при вероятностной характеристике множества исходов операции.

Пример 1.

Рассмотрим две вероятностные операции:

Несомненно, риск первой операции меньше риска второй операции. Что же касается того, какую операцию выберет ЛПР, это зависит от его склонности к риску (подобные вопросы подробно рассмотрены в дополнении к ч. 2).

2.2. Риск отдельной операции

Так как мы хотим количественно оценить рискованность операции, а это невозможно сделать без вероятностной характеристики операции, то ее исходам припишем вероятности и оценим каждый исход доходом, который ЛПР получает при этом исходе. В итоге получим случайную величину Q, которую естественно назвать случайным доходом операции, или просто случайным доходом . Пока ограничимся дискретной случайной величиной (д.с.в.):

где q j - доход, а р j – вероятность этого дохода.

Операцию и представляющую ее случайную величину – случайный доход будем отождествлять при необходимости, выбирая из этих двух терминов более удобный в конкретной ситуации.

Теперь можно применить аппарат теории вероятностей и найти следующие характеристики операции.

Средний ожидаемый доход – математическое ожидание с.в. Q , т.е. М [Q ]=q 1 p 1 +…+q n p n , обозначается еще m Q , Q, употребляется также название эффективность операции .

Дисперсия операции - дисперсия с.в. Q , т.е. D [Q ]=М [(Q - m Q) 2 ], обозначается также D Q .

Среднее квадратическое отклонение с.в. Q , т.е. [Q ]=√(D [E ]), обозначается

также σ Q .

Отметим, что средний ожидаемый доход, или эффективность операции, как и среднее квадратическое отклонение, измеряется в тех же единицах, что и доход.

Напомним фундаментальный смысл математического ожидания с.в.

Среднее арифметическое значений, принятых с.в. в длинной серии опытов, примерно равно ее математическому ожиданию. Все более признанным становится оценка рискованности всей операции посредством среднего квадратического отклонения случайной величины дохода Q , т.е. посредством σ Q . В данной книге это основная количественная оценка.

Итак, риском операции называется число σ Q – среднее квадратическое отклонение случайного дохода операции Q . Обозначается также r Q .

Пример 2.

Найдем риски первой и второй операций из примера 1:

Сначала вычисляем математическое ожидание с.в. Q 1:

т 1 =– 5*0,01+25*0,99=24,7. Теперь вычислим дисперсию по формуле D 1 =M [Q 1 2 ]-m 1 2 . Имеем М [Q 1 2 ]= 25*0,01+625*0,99=619. Значит, D 1 =619– (24,7)2=8,91 и окончательно r 1 =2,98.

Аналогичные вычисления для второй операции дают m 2 =20; r 2 =5. Как и «полагала интуиция», первая операция менее рискованная.

Предлагаемая количественная оценка риска вполне согласуется с интуитивным пониманием риска как степени разбросанности исходов операции – ведь дисперсия и среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии) и суть меры такой разбросанности.

Другие измерители риска.

По нашему мнению, среднее квадратическое отклонение является наилучшим измерителем риска отдельной операции. В гл. 1 рассмотрены классическая схема принятия решений в условиях неопределенности и оценки риска в этой схеме. Полезно познакомиться: с другими измерителями риска. В большинстве случаев эти измерители – просто вероятности нежелательных событий.

2.3. Некоторые общие измерители риска

Пусть известна функция распределения F случайного дохода операции Q. Зная ее, можно придать смысл следующим вопросам и ответить на них.

1. Какова вероятность того, что доход операции будет менее заданного s . Можно спросить по– другому: каков риск получения дохода менее заданного? Ответ: F (s ).

2. Какова вероятность того, что операция окажется неуспешной, т.е. ее доход будет меньше среднего ожидаемого дохода m ?

Ответ: F (m ) .

3. Какова вероятность убытков и каков их средний ожидаемый размер? Или каков, риск убытков и их оценка?

4. Каково отношение средних ожидаемых убытков к среднему ожидаемому доходу? Чем меньше это отношение, тем меньше риск разорения, если ЛПР вложил в операцию все свои средства.

При анализе операций ЛПР желает иметь доход побольше, а риск поменьше. Такие оптимизационные задачи называют двухкритериальными. При их анализе два критерия – доход и риск – часто «свертывают» в один критерий. Так возникает, например, понятие относительного риска операции . Дело в том, что одно и то же значение среднего квадратического отклонения σ Q , которое измеряет риск операции, воспринимается по-разному в зависимости от величины среднего ожидаемого дохода т Q , поэтому величину σ Q / т Q иногда называют относительным риском операции. Такую меру риска можно трактовать как свертку двухкритериальной задачи

σ Q →min,

т Q →max,

т.е. максимизировать средний ожидаемый доход при одновременной минимизации риска.

2.4. Риск разорения

Так называется вероятность столь больших потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.

Пример 3.

Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения, и потери 35 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, риск разорения в результате данной операции равен 0,8;

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают.

2.5. Показатели риска в виде отношений.

Если средства ЛПР равны С , то при превышении убытков У над С возникает реальный риск разорения. Для предотвращения этого отношение К 1 = У / С , называемое коэффициентом риска , ограничивают специальным числом ξ 1 . Операции, для которых этот коэффициент превышает ξ1, считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков У и тогда рассматривают коэффициент риска К 2 = р Y/ С , который ограничивают другим числом ξ 2 (ясно, что ξ 2 ≤ ξ 1). В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения С / У и С /(рУ ), которые называют коэффициентами покрытия рисков и которые ограничиваются снизу числами 1/ ξ 1 и 1/ ξ 2 .

Именно такой смысл имеет так называемый коэффициент Кука, равный отношению:

Коэффициент Кука используется банками и другими финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности – риски потери соответствующей актива.

2.6. Кредитный риск

Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита.

Пример 4.

Статистика запросов кредитов такова: 10% – государственные органы, 30% – другие банки и остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01; 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсовом сообщении имя клиента было плохо пропечатано. Какова вероятность, что данный кредит не возвращает какой– то банк?

Решение. Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть Н 1 - запрос поступил от госоргана, Н 2 – от банка, Н 3 – от физического лица и А - невозврат рассматриваемого кредита. Тогда

Р (А )= Р (Н 1)Р H1 А + Р (Н 2)Р H2 А + Р (Н з)P H3 А = 0,1*0,01+0,3*0,05+0,6*0,2=0,136.

Вторую вероятность найдем по формуле Байеса. Имеем

Р A Н 2 =Р (Н 2)Р H2 А / Р (А )= 0,015/0,136=15/136≈1/9.

Как в реальности определяют все приведенные в этом примере данные, например, условные вероятности Р H1 А ? По частоте невозврата кредита для соответствующей группы клиентов. Пусть физические лица взяли всего 1000 кредитов и 200 не вернули. Значит, соответствующая вероятность Р H3 А оценивается как 0,2. Соответствующие данные – 1000 и 200 берутся из информационной базы данных банка.

Глава 3. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ РИСКОВ

Как правило, риск стараются уменьшить. Для этого существует немало методов. Большая группа таких методов связана с подбором других операций. Таких, чтобы суммарная операция имела меньший риск.

3.1. Диверсификация

Напомним, что дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий. Из этого вытекает следующее утверждение, лежащее в основе метода диверсификации.

Утверждение 1.

Пусть О 1 ,...,О n – некоррелированные операции с эффективностями е 1 ,..., е n и рисками r 1 ,...,r 2 . Тогда операция «среднее арифметическое» О =(О 1 +...+O n)/ п имеет эффективность е =(e 1 +...+e n)/n и риск r =√(r 1 2 +…r 2 n)/n .

Доказательство этого утверждения – простое упражнение на свойства математического ожидания и дисперсии.

Следствие 1.

Пусть операции некоррелированы и а≤ e i и b ≤ r i ≤c с для всех i =1,..,n . Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству b √ n ≤ r ≤c √ n и, таким образом, при увеличении n уменьшается. Итак, при увеличении числа некоррелированных операций их среднее арифметическое имеет эффективность из промежутка эффективностей этих операций, а риск однозначно уменьшается.

Этот вывод называется эффектом диверсификации (разнообразия) и представляет собой в сущности единственно разумное правило работы на финансовом и других рынках. Этот же эффект воплощен в народной мудрости – «не клади все яйца в одну корзину». Принцип диверсификации гласит, что нужно проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции, тогда эффективность окажется усредненной, а риск однозначно уменьшится.

При применении этого правила нужно быть осторожным. Так, нельзя отказаться от некоррелированности операций.

Предложение 2.

Предположим, что среди операций есть ведущая, с которой все остальные находятся в положительной корреляционной связи. Тогда риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа суммируемых операций.

Действительно, для простоты примем более сильное предположение, именно, что все операции О i ; i =1,...,n , просто копируют операцию O 1 в каких– то масштабах, т.е. O i =k i O 1 и все коэффициенты пропорциональности k i положительны. Тогда операция «среднее арифметическое» О =(O 1 +...+O n)/n есть просто операция O 1 в масштабе

и риск этой операции

Поэтому, если операции примерно одинаковы по масштабности, т.е. k i ≈1, то и

Мы видим, что риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа операций.

3.2. Хеджирование

В эффекте диверсификации ЛПР составлял новую операцию из нескольких, имеющихся в его распоряжении. При хеджировании (от англ. hedge - изгородь) ЛПР подбирает или даже специально конструирует новые операции, чтобы, проводя их совместно с основной, уменьшить риск.

Пример 1.

По контракту российская фирма через полгода должна получить крупный платеж от украинской компании. Платеж равен 100 000 гривен (примерно 600 тыс. руб.) и будет произведен, именно в гривнах. У российской фирмы, есть опасения, что за эти полгода курс гривны упадет по отношению к российскому рублю. Фирма хочет подстраховаться от такого падения и заключает форвардный контракт с одним из украинских банков на продажу тому 100 000 гривен по курсу 6 руб. за гривну. Таким образом, что бы ни произошло за это время с курсом рубль– гривна, российская фирма не понесет из– за этого убытков.

В этом и заключается суть хеджирования. При диверсификации наибольшую ценность представляли независимые (или некоррелированные) операции. При хеджировании подбираются операции, жестко связанные с основной, но, так сказать, другого знака, говоря более точно, отрицательно коррелированные с основной операцией.

Действительно, пусть O 1 – основная операция, ее риск r 1 , O 2 – некоторая дополнительная операция, ее риск r 2 , О - операция– сумма, тогда дисперсия этой операции D =r 1 2 +2k 12 r 1 r 2 +r 2 2 , где k - коэффициент корреляции эффективностей основной и дополнительной операций. Эта дисперсия может быть меньше дисперсии основной операции, только если этот коэффициент корреляции отрицателен (точнее: должно быть 2k 12 r 1 r 2 +r 2 2 <0, т.е. k 1 2 <–r 2 /(2r 1)).

Пример 2.

Пусть ЛПР решает проводить операцию O 1 .

Ему советуют провести одновременно операцию S , жестко связанную с О . В сущности обе операции надо изобразить с одним и тем же множеством исходов.

Обозначим суммарную операцию через О , эта операция есть сумма операций O 1 и S . Вычислим характеристики операций:

M [O 1 ]=5, D [O 1 ]=225, r 1 =15;

M [S ]=0, D [S ]=25;

M [O ]=5, D [O ]=100, r =10.

Средняя ожидаемая эффективность операции осталась неизменной, а риск уменьшился из-за сильной отрицательной коррелированности дополнительной операции S по отношению к основной операции.

Конечно, на практике не так легко подобрать дополнительную операцию, отрицательно коррелированную с основной, да еще с нулевой эффективностью. Обычно допускается небольшая отрицательная эффективность дополнительной операции и из-за этого эффективность суммарной операции становится меньше, чем у основной. Насколько допускается уменьшение эффективности на единицу уменьшения риска зависит от отношения ЛПР к риску.

3.3. Страхование

Можно рассматривать страхование как один из видов хеджирования. Поясним некоторые термины.

Страхователь (или застрахованный) – тот, кто страхуется.

Страховщик - тот, кто страхует.

Страховая сумма - сумма денежных средств, на которую застраховано имущество, жизнь, здоровье страхователя. Эта сумма выплачивается страховщиком страхователю при наступлении страхового случая. Выплата страховой суммы называется страховым возмещением .

Страховой платеж выплачивается страхователем страховщику.

Обозначим страховую сумму ω , страховой платеж s , вероятность страхового случая р . Предположим, что застрахованное имущество оценивается в z. По правилам страхования ω≤ z.

Таким образом, можно предложить следующую схему:

Таким образом, страхование представляется выгоднейшим мероприятием с точки зрения уменьшения риска, если бы не страховой платеж. Иногда страховой платеж составляет заметную часть страховой суммы и представляет собой солидную сумму.

3.4. Качественное управление рисками

Риск – столь сложное понятие, что весьма часто невозможна его количественная оценка. Поэтому широко развиты методы управления риском качественного характера, без количественной оценки. К таким относятся многие банковские риски. Наиболее важные из них – это кредитный риск и риски неликвидности и неплатежеспособности.

1. Кредитный риск и способы его уменьшения . При выдаче кредита (или ссуды) всегда есть опасение, что клиент не вернет кредит. Предотвращение невозврата, уменьшение риска невозврата кредитов – это важнейшая задача кредитного отдела банка. Какие же существуют способы уменьшения риска невозврата кредита.

Отдел должен постоянно систематизировать и обобщать информацию по выданным кредитам и их возвращению. Информация по выданным кредитам должна быть систематизирована по величине выданных кредитов, должна быть построена классификация клиентов, которые взяли кредит.

Отдел (банк в целом) должен вести так называемую кредитную историю, своих клиентов, в том, числе и потенциальных (т.е. когда, где, какие кредиты брал и как их возвращал клиент). Пока у нас в стране большинство клиентов не имеет своей кредитной истории.

Есть различные способы обеспечения кредита, например, клиент отдает что-то в залог и если не возвращает кредит, то банк становится собственником залога;

В банке должна быть четкая инструкция по выдаче кредита (кому какой кредит можно выдать и на какой срок);

Должны быть установлены четкие полномочия по выдаче кредита. Скажем, рядовой сотрудник отдела может выдать кредит не более $1000, кредиты до $10000 может выдать начальник отдела, свыше $10 000, но не более $100 000, может выдать вице-президент по финансам и кредиты свыше $100 000 выдает только совет директоров (читайте роман А. Хейли «Менялы»);

Для выдачи особо больших и опасных кредитов объединяются несколько банков и сообща выдают этот кредит;

Существуют страховые компании, которые страхуют невозврат кредита (но есть точка зрения, что невозврат кредита не подлежит страхованию – это риск самого банка);

Существуют внешние ограничения по выдаче кредитов (например, установленные Центральным банком); скажем, не разрешается выдавать очень крупный кредит одному клиенту;

2. Риски неликвидности , неплатежеспособности и способы их уменьшения . Говорят, что средства банка достаточно ликвидны, если банк способен быстро и без особых для себя потерь обеспечить выплату своим клиентам денежных средств, которые они доверили банку на кратковременной основе. Риск неликвидности – это и есть риск не справиться с этим. Впрочем, этот риск лишь для краткости назван так, полное его название – риск несбалансированности баланса в части ликвидности .

Все активы банка по их ликвидности делятся на три группы:

1) первоклассные ликвидные средства (кассовая наличность, средства банка на корреспондентском счете в Центробанке, государственные ценные бумаги, векселя крупных надежных компаний;

2) ликвидные средства (ожидаемые краткосрочные платежи банку, некоторые виды ценных бумаг, некоторые материальные активы, которые могут быть быстро и без больших потерь проданы и т.п.);

3) неликвидные средства (просроченные кредиты и ненадежные долги, многие материальные активы банка, прежде всего здания и сооружения).

При анализе риска неликвидности учитываются в первую очередь первоклассные ликвидные средства.

Говорят, что банк платежеспособен, если способен расплатиться со всеми своими клиентами, но, возможно, для этого придется провести какие-нибудь крупные и длительные операции, вплоть до продажи оборудования, зданий, принадлежащих банку, и т.д. Риск неплатежеспособности возникает, когда неясно, сумеет ли банк расплатиться.

Платежеспособность банка зависит от очень многих факторов. Центральный банк устанавливает ряд условий, в которые банки должны выполнять для поддержания своей платежеспособности. Самые важные из них: ограничение обязательств банка; рефинансирование банков Центральным банком; резервирование части средств банка на корреспондентском счете в Центральном банке.

Риск неликвидности ведет к возможным излишним потерям банка: чтобы расплатиться с клиентом, банку, возможно, придется одолжить деньги у других банков по более высокой процентной ставке, чем в обычных условиях. Риск неплатежеспособности вполне может привести к банкротству банка.

Практическая часть

Предположим, ЛПР имеет возможность составить операцию из четырех некоррелированных операций, эффективности и риски которых даны в таблице.

Рассмотрим несколько вариантов составления операций из этих операций с равными весами.

1. Операция составлена только из 1-й и 2-й операций. Тогда e 12 =(3+5)/2=4;

r 12 = √ (2 2 +4 2)/2≈2,24

2. Операция составлена только из 1-й, 2-й и 3-й операций.

Тогда e 123 =(3+5+8)/3=5,3; r 123 =√(2 2 +4 2 +6 2)/3≈2,49.

3. Операция составлена из всех четырех операций. Тогда

e 1– 4 =(3+5+8+10)/4=6,5; r 1– 4 =√(2 2 +4 2 +6 2 +12 2)/4≈ 3,54.

Видно, что при составлении операции из всё большего числа операций риск растёт весьма незначительно, оставаясь близко к нижней границе рисков составляющих операций, а эффективность каждый раз равна среднему арифметическому составляющих эффективностей.

Принцип диверсификации применяется не только для усреднения операций, проводимых одновременно, но в разных местах (усреднение в пространстве), но и проводимых последовательно во времени, например, при повторении одной операции во времени (усреднение во времени). Например, вполне разумной является стратегия покупки акций какой-нибудь стабильно работающей компании 20-го января каждого года. Неизбежные колебания курса акций этой компании благодаря этой процедуре усредняются и в этом проявляется эффект диверсификации.

Теоретически эффект диверсификации только положителен – эффективность усредняется, а риск уменьшается. Однако усилия по проведению большого числа операций, по отслеживанию их результатов могут, конечно, свести на нет все плюсы от диверсификации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная курсовая работа рассматривает теоретические и практические вопросы и проблемы рисков.

В первой главе рассматриваются классическая схема оценки финансовых операций в условиях неопределенности.

Во второй главе сделан обзор характеристик вероятностных финансовых операций. Под финансовыми рисками понимаются кредитные, коммерческие, риски биржевых операций и риск неправомерного применения финансовых санкций государственными налоговыми инспекциями.

В третьей главе показаны общие методы уменьшения рисков. Приведены примеры качественного управления рисками.

Список литературы

1.Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ– ДАНА, 1999. – 247 с.

2. Страхование: принципы и практика/ Составитель Дэвид Бланд: пер. с англ.–М.: Финансы и статистика, 2000.–416с.

3. Гвозденко А.А. Финансово-экономические методы страхования: Учебник.–М.: Финансы и статистика, 2000.–184с.

4. Сербиновский Б.Ю., Гарькуша В.Н. Страховое дело: Учебное пособие для вузов. Серия “Учебники, учебные пособия” Ростов н/Д: “Феникс”, 2000–384 с.