Funzioni trigonometriche di un'equazione. Metodi di base per risolvere equazioni trigonometriche

29.09.2019

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Molti problemi matematici, specialmente quelli che si verificano prima del grado 10, l'ordine delle azioni eseguite che porteranno all'obiettivo è chiaramente definito. Tali problemi includono, ad esempio, equazioni lineari e quadratiche, disuguaglianze lineari e quadratiche, equazioni frazionarie ed equazioni che si riducono a quadratiche. Il principio della soluzione riuscita di ciascuno dei problemi menzionati è il seguente: è necessario stabilire quale tipo di problema deve essere risolto, ricordare la necessaria sequenza di azioni che porteranno al risultato desiderato, ad es. rispondi e segui questi passaggi.

È ovvio che il successo o il fallimento nella risoluzione di un particolare problema dipende principalmente da come viene determinato correttamente il tipo di equazione da risolvere, da come viene riprodotta correttamente la sequenza di tutte le fasi della sua soluzione. Naturalmente, è necessario avere le competenze per eseguire trasformazioni e calcoli identici.

La situazione è diversa con equazioni trigonometriche. Stabilire che l'equazione è trigonometrica non è affatto difficile. Insorgono difficoltà nel determinare la sequenza di azioni che porterebbero alla risposta corretta.

L'aspetto di un'equazione a volte può essere difficile determinarne il tipo. E senza conoscere il tipo di equazione, è quasi impossibile scegliere quella giusta tra diverse decine di formule trigonometriche.

Per risolvere l'equazione trigonometrica, si dovrebbe provare:

1. portare tutte le funzioni comprese nell'equazione ad "angoli uguali";
2. riportare l'equazione alle “stesse funzioni”;
3. fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, ecc.

Tener conto di metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche.

I. Riduzione alle equazioni trigonometriche più semplici

Schema di soluzione

Passo 1. Esprimere una funzione trigonometrica in termini di componenti note.

Passo 2. Trova l'argomento di una funzione con le formule:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

peccato x = a; x = (-1) n arcoseno a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcoctg a + πn, n Є Z.

Passaggio 3. Trova variabile sconosciuta.

Esempio.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Soluzione.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Risposta: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Sostituzione variabile

Schema di soluzione

Passo 1. Portare l'equazione in forma algebrica rispetto a una delle funzioni trigonometriche.

Passo 2. Indichiamo la funzione risultante con la variabile t (se necessario, introdurre restrizioni su t).

Passaggio 3. Scrivi e risolvi l'equazione algebrica risultante.

Passaggio 4. Effettuare una sostituzione inversa.

Passaggio 5. Risolvi la più semplice equazione trigonometrica.

Esempio.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Soluzione.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Sia sin (x / 2) = t, dove | t | 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oppure e = -3/2, non soddisfa la condizione | t | 1.

4) peccato (x / 2) = 1.

5) x / 2 = / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Risposta: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metodo di riduzione dell'ordine delle equazioni

Schema di soluzione

Passo 1. Sostituisci questa equazione con una lineare, usando le formule di riduzione dei gradi per questo:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2 x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Passo 2. Risolvi l'equazione risultante usando i metodi I e II.

Esempio.

cos2x + cos2x = 5/4.

Soluzione.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + n, n Є Z.

Risposta: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Equazioni omogenee

Schema di soluzione

Passo 1. Porta questa equazione nella forma

a) a sin x + b cos x = 0 (equazione omogenea di primo grado)

o in mente

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (equazione omogenea di secondo grado).

Passo 2. Dividi entrambi i membri dell'equazione per

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x 0;

e ottieni l'equazione per tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

Passaggio 3. Risolvi l'equazione usando metodi noti.

Esempio.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Soluzione.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sia tg x = t, allora

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, quindi

tg x = 1 o tg x = -4.

Dalla prima equazione x = π / 4 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione x = -arctg 4 + k, k Є Z.

Risposta: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + k, k Є Z.

V. Metodo per trasformare un'equazione usando formule trigonometriche

Schema di soluzione

Passo 1. Usando tutti i tipi di formule trigonometriche, porta questa equazione all'equazione risolta con i metodi I, II, III, IV.

Passo 2. Risolvi l'equazione risultante con metodi noti.

Esempio.

peccato x + peccato 2x + peccato 3x = 0.

Soluzione.

1) (peccato x + peccato 3x) + peccato 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Dalla prima equazione 2x = π / 2 + πn, n Є Z; dalla seconda equazione cos x = -1/2.

Abbiamo x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; dalla seconda equazione x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Di conseguenza, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Risposta: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Le abilità e le abilità per risolvere le equazioni trigonometriche sono molto importante, il loro sviluppo richiede sforzi significativi, sia da parte dello studente che da parte dell'insegnante.

Molti problemi di stereometria, fisica, ecc. sono collegati alla soluzione delle equazioni trigonometriche Il processo di risoluzione di tali problemi, per così dire, contiene molte conoscenze e abilità che vengono acquisite studiando gli elementi della trigonometria.

Le equazioni trigonometriche occupano un posto importante nel processo di insegnamento della matematica e nello sviluppo della personalità in generale.

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Richiede la conoscenza delle formule di base della trigonometria: la somma dei quadrati del seno e del coseno, l'espressione della tangente in termini di seno e coseno e altri. Per chi li avesse dimenticati o non li conoscesse, consigliamo la lettura dell'articolo "".
Quindi, conosciamo le formule trigonometriche di base, è ora di usarle in pratica. Risolvere equazioni trigonometriche con il giusto approccio, è un'attività piuttosto eccitante, come, ad esempio, risolvere un cubo di Rubik.

Sulla base del nome stesso, è chiaro che un'equazione trigonometrica è un'equazione in cui l'incognita è sotto il segno della funzione trigonometrica.
Ci sono le cosiddette equazioni trigonometriche più semplici. Ecco come appaiono: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Tener conto di come risolvere tali equazioni trigonometriche, per chiarezza, useremo il già familiare cerchio trigonometrico.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

culla x = a

Qualsiasi equazione trigonometrica viene risolta in due fasi: portiamo l'equazione nella forma più semplice e poi la risolviamo come l'equazione trigonometrica più semplice.
Esistono 7 metodi principali con cui vengono risolte le equazioni trigonometriche.

Sostituzione variabile e metodo di sostituzione

Risolvi l'equazione 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0

Utilizzando le formule di riduzione, si ottiene:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Sostituisci cos (x + / 6) con y per semplicità e ottieni la solita equazione quadratica:

2a 2 - 3a + 1 + 0

le cui radici y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ora andiamo in ordine inverso

Sostituiamo i valori y trovati e otteniamo due risposte:

Risolvere equazioni trigonometriche tramite fattorizzazione

Come risolvere l'equazione sin x + cos x = 1?

Sposta tutto a sinistra in modo che 0 rimanga a destra:

sin x + cos x - 1 = 0

Useremo le identità di cui sopra per semplificare l'equazione:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

Facciamo la fattorizzazione:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sen (x / 2) * = 0

Otteniamo due equazioni

Riduzione ad un'equazione omogenea

Un'equazione è omogenea rispetto a seno e coseno se tutti i suoi termini rispetto a seno e coseno sono la stessa potenza dello stesso angolo. Per risolvere un'equazione omogenea, procedere come segue:

a) trasferire tutti i suoi membri sul lato sinistro;

b) togliere tutti i fattori comuni tra parentesi;

c) uguagliare tutti i fattori e le parentesi a 0;

d) si ottiene tra parentesi un'equazione omogenea di grado minore, a sua volta suddivisa in seno o coseno nel grado più alto;

e) risolvere l'equazione risultante per tg.

Risolvi l'equazione 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Usiamo la formula sin 2 x + cos 2 x = 1 ed eliminiamo i due aperti a destra:

3sen 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dividi per cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Sostituisci tg x con y e ottieni un'equazione quadratica:

y 2 + 4y +3 = 0, le cui radici y 1 = 1, y 2 = 3

Da qui troviamo due soluzioni all'equazione originale:

x 2 = arctan 3 + k

Risolvere equazioni andando a metà angolo

Risolvi l'equazione 3sin x - 5cos x = 7

Passando a x/2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Sposta tutto a sinistra:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Dividere per cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

Introduzione di un angolo ausiliario

Prendiamo in considerazione un'equazione della forma: a sin x + b cos x = c,

dove a, b, c sono alcuni coefficienti arbitrari e x è sconosciuto.

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione in:

Ora i coefficienti dell'equazione, secondo le formule trigonometriche, hanno le proprietà di sin e cos, vale a dire: il loro modulo non è maggiore di 1 e la somma dei quadrati = 1. Denotiamoli rispettivamente come cos e sin, dove è il cosiddetto angolo ausiliario. Quindi l'equazione assumerà la forma:

cos * sin x + sin * cos x = С

o sin (x +) = C

La soluzione di questa semplice equazione trigonometrica è

x = (-1) k * arcoseno С - + k, dove

Va notato che cos e sin sono usati in modo intercambiabile.

Risolvi l'equazione sin 3x - cos 3x = 1

In questa equazione i coefficienti sono:

a =, b = -1, quindi dividiamo entrambi i membri per = 2

Risolvere le più semplici equazioni trigonometriche.

La soluzione di equazioni trigonometriche di qualsiasi livello di complessità alla fine si riduce alla risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici. E in questo, il cerchio trigonometrico si rivela di nuovo il miglior aiuto.

Ricordiamo le definizioni di coseno e seno.

Il coseno di un angolo è l'ascissa (cioè la coordinata lungo l'asse) di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente a una rotazione di un dato angolo.

Il seno di un angolo è l'ordinata (cioè la coordinata lungo l'asse) di un punto sulla circonferenza unitaria corrispondente a una rotazione di un dato angolo.

La direzione positiva del movimento nel cerchio trigonometrico è il movimento in senso antiorario. Una rotazione di 0 gradi (o 0 radianti) corrisponde a un punto con coordinate (1; 0)

Useremo queste definizioni per risolvere le equazioni trigonometriche più semplici.

1. Risolviamo l'equazione

Questa equazione è soddisfatta da tutti questi valori dell'angolo di rotazione, che corrispondono ai punti del cerchio, la cui ordinata è uguale a.

Segniamo il punto con l'ordinata sull'asse delle ordinate:

Tracciamo una linea orizzontale parallela all'asse delle ascisse fino a quando non si interseca con il cerchio. Otteniamo due punti che giacciono su un cerchio e hanno un'ordinata. Questi punti corrispondono agli angoli di rotazione di e radianti:

Se noi, lasciando il punto corrispondente all'angolo di rotazione per radianti, facciamo un giro completo, allora arriveremo al punto corrispondente all'angolo di rotazione per radianti e con la stessa ordinata. Cioè, questo angolo di rotazione soddisfa anche la nostra equazione. Possiamo fare tutte le rivoluzioni "a vuoto" che vogliamo, tornando allo stesso punto, e tutti questi valori degli angoli soddisferanno la nostra equazione. Il numero di giri "inattivi" sarà indicato dalla lettera (o). Poiché possiamo fare queste rivoluzioni in entrambe le direzioni positive e negative, (o) possiamo assumere qualsiasi valore intero.

Cioè, la prima serie di soluzioni dell'equazione originale ha la forma:

,, è l'insieme degli interi (1)

Allo stesso modo, la seconda serie di soluzioni è:

, dove , . (2)

Come avrai intuito, questa serie di soluzioni si basa sul punto del cerchio corrispondente all'angolo di rotazione di.

Queste due serie di soluzioni possono essere combinate in un'unica voce:

Se prendiamo questo record (cioè pari), allora otteniamo la prima serie di soluzioni.

Se prendiamo questo record (cioè dispari), allora otteniamo la seconda serie di soluzioni.

2. Ora risolviamo l'equazione

Poiché è l'ascissa del punto del cerchio unitario ottenuto ruotando di un angolo, segnare il punto con l'ascissa sull'asse:

Disegna una linea verticale parallela all'asse finché non si interseca con il cerchio. Otteniamo due punti che giacciono su un cerchio e che hanno un'ascissa. Questi punti corrispondono agli angoli di rotazione di e radianti. Ricordiamo che spostandoci in senso orario otteniamo un angolo di rotazione negativo:

Scriviamo due serie di soluzioni:

(Arriviamo al punto desiderato, passando dal cerchio completo principale, cioè.

Combiniamo queste due serie in un'unica voce:

3. Risolvi l'equazione

La retta tangente passa per il punto con coordinate (1,0) della circonferenza unitaria parallela all'asse OY

Segniamo un punto su di esso con un'ordinata uguale a 1 (stiamo cercando la tangente i cui angoli sono 1):

Colleghiamo questo punto con l'origine delle coordinate con una retta e segniamo i punti di intersezione della retta con il cerchio unitario. I punti di intersezione della retta e del cerchio corrispondono agli angoli di rotazione su e:

Poiché i punti corrispondenti agli angoli di rotazione che soddisfano la nostra equazione si trovano ad una distanza di radianti l'uno dall'altro, possiamo scrivere la soluzione in questo modo:

4. Risolvi l'equazione

La retta delle cotangenti passa per il punto con le coordinate del cerchio unitario parallelo all'asse.

Segnamo sulla retta delle cotangenti un punto con l'ascissa -1:

Colleghiamo questo punto con l'origine delle coordinate di una retta e proseguiamo fino all'intersezione con il cerchio. Questa linea intersecherà il cerchio nei punti corrispondenti agli angoli di rotazione di e radianti:

Poiché questi punti sono a distanza uguale tra loro, possiamo scrivere la soluzione generale di questa equazione come segue:

Negli esempi forniti, che illustrano la soluzione delle equazioni trigonometriche più semplici, sono stati utilizzati valori tabulari delle funzioni trigonometriche.

Tuttavia, se non c'è un valore tabulare sul lato destro dell'equazione, allora sostituiamo il valore nella soluzione generale dell'equazione: