Le equazioni quadratiche sono studiate al grado 8, quindi non c'è nulla di complicato qui. La capacità di risolverli è assolutamente essenziale.

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a 0.

Prima di studiare metodi specifici per la risoluzione, notiamo che tutte le equazioni quadratiche possono essere suddivise condizionatamente in tre classi:

1. Non hanno radici;
2. Avere esattamente una radice;
3. Hanno due radici distinte.

Questa è un'importante differenza tra equazioni quadratiche e lineari, in cui la radice esiste sempre ed è unica. Come si determina quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa per questo - discriminante.

Discriminante

Sia data un'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è solo il numero D = b 2 - 4ac.

Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove viene - non importa ora. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante, puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, esiste esattamente una radice;
3. Se D> 0, ci saranno due radici.

Nota: il discriminante indica il numero di radici e per niente i loro segni, come per qualche motivo molti credono. Dai un'occhiata agli esempi e tu stesso capirai tutto:

Compito. Quante radici hanno le equazioni di secondo grado:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimane:
un = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Il discriminante è zero - ci sarà una radice.

Nota che i coefficienti sono stati scritti per ogni equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai i coefficienti e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.

A proposito, se ti "riempi la mano", dopo un po 'non avrai più bisogno di scrivere tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo che 50-70 equazioni sono state risolte - in generale, non così tanto.

Radici quadratiche

Ora passiamo alla soluzione. Se il discriminante D>0, le radici possono essere trovate con le formule:

Formula di base per le radici di un'equazione di secondo grado

Quando D = 0, puoi usare una di queste formule: ottieni lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prima equazione:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:

Seconda equazione:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ l'equazione ha di nuovo due radici. Troviamoli

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ fine (allinea) \]

Infine, la terza equazione:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:

Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso, si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, descrivi ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.

Equazioni quadratiche incomplete

Succede che l'equazione quadratica sia in qualche modo diversa da quella data nella definizione. Per esempio:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

È facile vedere che uno dei termini manca in queste equazioni. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere rispetto a quelle standard: non hanno nemmeno bisogno di calcolare il discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:

L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè coefficiente alla variabile x o elemento libero è uguale a zero.

Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente tale equazione ha un'unica radice: x = 0.

Consideriamo il resto dei casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':

Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo da un numero non negativo, l'ultima uguaglianza ha senso solo per (−c / a) ≥ 0. Conclusione:

1. Se la disuguaglianza (−c / a) ≥ 0 vale in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0, ci saranno due radici. La formula è data sopra;
2. Se (-c / a)< 0, корней нет.

Come puoi vedere, il discriminante non era richiesto: nelle equazioni quadratiche incomplete non ci sono affatto calcoli complicati. Infatti, non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c/a) ≥ 0. È sufficiente esprimere il valore x 2 e vedere cosa sta dall'altra parte del segno di uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se negativo, non ci saranno affatto radici.

Ora ci occupiamo di equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. Basta scomporre il polinomio:

Tra parentesi un fattore comune

Il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui le radici. In conclusione, analizzeremo diverse di queste equazioni:

Compito. Risolvi equazioni quadratiche:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, tk. un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Equazione della forma

Espressione D= b 2 - 4 ac sono chiamati discriminante equazione quadrata. SeD = 0, allora l'equazione ha una radice reale; se D> 0, allora l'equazione ha due radici reali.
Nel caso in cui D = 0 , a volte si dice che un'equazione quadratica ha due radici identiche.
Usando la notazione D= b 2 - 4 ac, possiamo riscrivere la formula (2) come

Se B= 2 k, allora la formula (2) assume la forma:

dove K= b / 2 .
L'ultima formula è particolarmente conveniente quando B / 2 - un numero intero, ad es. coefficiente B- numero pari.
Esempio 1: Risolvi l'equazione 2 X 2 - 5 x + 2 = 0 ... Qui a = 2, b = -5, c = 2... Abbiamo D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 ... Perché D > 0 , allora l'equazione ha due radici. Troviamoli con la formula (2)

così X 1 = (5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
questo è X 1 = 2 e X 2 = 1 / 2 sono le radici dell'equazione data.
Esempio 2: Risolvi l'equazione 2 X 2 - 3 x + 5 = 0 ... Qui a = 2, b = -3, c = 5... Trova il discriminante D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 ... Perché D 0 , allora l'equazione non ha radici reali.

Equazioni quadratiche incomplete. Se in un'equazione quadratica ascia 2 + bx+ c =0 secondo coefficiente B o membro gratuito Cè zero, allora si chiama l'equazione quadratica incompleto... Le equazioni incomplete si distinguono perché per trovare le loro radici non è possibile utilizzare la formula per le radici di un'equazione quadratica: è più facile risolvere l'equazione scomponendo il suo lato sinistro in fattori.
Esempio 1: risolvi l'equazione 2 X 2 - 5 x = 0 .
Abbiamo X(2 x - 5) = 0 ... quindi neanche X = 0 o 2 X - 5 = 0 , questo è X = 2.5 ... Quindi l'equazione ha due radici: 0 e 2.5
Esempio 2: risolvi l'equazione 3 X 2 - 27 = 0 .
Abbiamo 3 X 2 = 27 ... Pertanto, le radici di questa equazione sono - 3 e -3 .

Teorema di Vieta. Se l'equazione quadratica ridotta X 2 + px+ q =0 ha radici reali, allora la loro somma è - P e il prodotto è Q, questo è

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(la somma delle radici della data equazione quadratica è uguale al secondo coefficiente, preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero).

Con questo programma di matematica, puoi risolvere l'equazione quadratica.

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo di soluzione in due modi:
- utilizzando il discriminante
- utilizzando il teorema di Vieta (se possibile).

Inoltre, la risposta viene visualizzata esatta, non approssimativa.
Ad esempio, per l'equazione \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), la risposta viene visualizzata in questa forma:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ e non così: \ (x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \)

Questo programma può essere utile per gli studenti delle scuole superiori in preparazione a test ed esami, durante la verifica delle conoscenze prima dell'esame, per i genitori per controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente portare a termine i tuoi compiti di matematica o algebra il più rapidamente possibile? In questo caso, puoi anche utilizzare i nostri programmi con una soluzione dettagliata.

In questo modo, puoi condurre il tuo insegnamento e / o insegnare ai tuoi fratelli o sorelle più piccoli, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo dei problemi da risolvere.

Se non hai familiarità con le regole per l'immissione di un polinomio quadrato, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per inserire un polinomio quadrato

Qualsiasi lettera latina può essere utilizzata come variabile.
Ad esempio: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ecc.

I numeri possono essere inseriti come numeri interi o frazionari.
Inoltre, i numeri frazionari possono essere inseriti non solo sotto forma di decimale, ma anche sotto forma di frazione ordinaria.

Regole per l'immissione di frazioni decimali.
Nelle frazioni decimali, la parte frazionaria dal tutto può essere separata da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire i decimali in questo modo: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regole per l'inserimento delle frazioni ordinarie.
Solo un intero può essere utilizzato come numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
L'intera parte è separata dalla frazione da una e commerciale: &
Ingresso: 3 e 1/3 - 5 e 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Risultato: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Quando si inserisce un'espressione si possono usare le parentesi... In questo caso, quando si risolve un'equazione quadratica, l'espressione introdotta viene prima semplificata.
Ad esempio: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

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Equazione quadratica e sue radici. Equazioni quadratiche incomplete

Ciascuna delle equazioni
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
ha la forma
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
dove x è una variabile, a, b e c sono numeri.
Nella prima equazione a = -1, b = 6 e c = 1.4, nella seconda a = 8, b = -7 e c = 0, nella terza a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tali equazioni sono chiamate equazioni quadratiche.

Definizione.
Equazione quadrataè un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \ (a \ neq 0 \).

I numeri a, b e c sono i coefficienti dell'equazione quadratica. Il numero a è chiamato il primo coefficiente, il numero b - il secondo coefficiente e il numero c - il termine libero.

In ciascuna delle equazioni della forma ax 2 + bx + c = 0, dove \ (a \ neq 0 \), la massima potenza della variabile x è il quadrato. Da qui il nome: equazione quadratica.

Nota che un'equazione quadratica è anche chiamata equazione di secondo grado, poiché il suo lato sinistro è un polinomio di secondo grado.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente in x 2 è 1 equazione quadratica ridotta... Ad esempio, le equazioni quadratiche ridotte sono le equazioni
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Se nell'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0 almeno uno dei coefficienti bo c è uguale a zero, allora tale equazione viene chiamata equazione quadratica incompleta... Quindi, le equazioni -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 sono equazioni quadratiche incomplete. Nel primo b = 0, nel secondo c = 0, nel terzo b = 0 e c = 0.

Le equazioni quadratiche incomplete sono di tre tipi:
1) ax 2 + c = 0, dove \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, dove \ (b \ neq 0 \);
3) asse 2 = 0.

Consideriamo la soluzione delle equazioni di ciascuno di questi tipi.

Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 per \ (c \ neq 0 \), trasferisci il suo termine libero a destra e dividi entrambi i lati dell'equazione per a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Freccia destra x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Poiché \ (c \ neq 0 \), allora \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Se \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), allora l'equazione ha due radici.

Se \ (- \ frac (c) (a) Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + bx = 0 con \ (b \ neq 0 \) scomponi il suo lato sinistro in fattori e ottieni l'equazione
\ (x (ax + b) = 0 \ Freccia destra \ sinistra \ (\ inizio (matrice) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ fine (matrice) \ destra. \ Freccia destra \ sinistra \ (\ inizio (matrice) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ fine (matrice) \ destra. \)

Quindi, un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + bx = 0 per \ (b \ neq 0 \) ha sempre due radici.

Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 = 0 è equivalente all'equazione x 2 = 0 e quindi ha un'unica radice 0.

La formula per le radici di un'equazione quadratica

Consideriamo ora come si risolvono le equazioni quadratiche in cui sia i coefficienti delle incognite che il termine libero sono diversi da zero.

Risolviamo l'equazione quadratica in forma generale e di conseguenza otteniamo la formula per le radici. Quindi questa formula può essere applicata per risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Risolvi l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0

Dividendo entrambe le sue parti per a, si ottiene l'equazione quadratica ridotta equivalente
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Trasformiamo questa equazione selezionando il quadrato del binomio:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ sinistra (\ frac (b) (2a) \ destra) ^ 2- \ sinistra (\ frac (b) (2a) \ destra) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Freccia destra \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ sinistra (\ frac (b) (2a) \ destra) ^ 2 = \ sinistra (\ frac (b) (2a) \ destra) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Rightarrow \) \ (\ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Freccia destra \ sinistra (x + \ frac (b) (2a) \ destra) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Freccia destra \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rightarrow x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b^2 -4ac)) (2a) \ Freccia destra \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

L'espressione radicale si chiama il discriminante dell'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0 (dal latino "discriminante" è un discriminatore). È designato dalla lettera D, ad es.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Ora, usando la notazione del discriminante, riscriviamo la formula per le radici dell'equazione quadratica:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), dove \ (D = b ^ 2-4ac \)

È ovvio che:
1) Se D> 0, l'equazione quadratica ha due radici.
2) Se D = 0, l'equazione quadratica ha una radice \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Se D Quindi, a seconda del valore del discriminante, l'equazione quadratica può avere due radici (per D> 0), una radice (per D = 0) o non avere radici (per D Quando si risolve un'equazione quadratica usando questo formula, si consiglia di procedere come segue:
1) calcolare il discriminante e confrontarlo con zero;
2) se il discriminante è positivo o uguale a zero, utilizzare la formula della radice, se il discriminante è negativo, annotare che non ci sono radici.

Teorema di Vieta

L'equazione quadratica data ax 2 -7x + 10 = 0 ha radici 2 e 5. La somma delle radici è 7 e il prodotto è 10. Vediamo che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente preso con l'opposto segno e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ogni data equazione quadratica che ha radici ha questa proprietà.

La somma delle radici della data equazione quadratica è uguale al secondo coefficiente, preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero.

Quelli. Il teorema di Vieta afferma che le radici x 1 e x 2 dell'equazione quadratica ridotta x 2 + px + q = 0 hanno la proprietà:
\ (\ sinistra \ (\ inizio (matrice) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ fine (matrice) \ destra. \)

Spero che, dopo aver studiato questo articolo, imparerai come trovare le radici di un'equazione quadratica completa.

Usando il discriminante, vengono risolte solo equazioni quadratiche complete, altri metodi vengono utilizzati per risolvere equazioni quadratiche incomplete, che troverai nell'articolo "Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete".

Quali equazioni quadratiche sono chiamate complete? esso equazioni della forma ax 2 + b x + c = 0, dove i coefficienti a, b e c non sono uguali a zero. Quindi, per risolvere l'intera equazione quadratica, è necessario calcolare il discriminante D.

D = b2 - 4ac.

A seconda del valore che ha il discriminante, annoteremo la risposta.

Se il discriminante è negativo (D< 0),то корней нет.

Se il discriminante è zero, allora x = (-b) / 2a. Quando il discriminante è un numero positivo (D> 0),

quindi x 1 = (-b - √D) / 2a, e x 2 = (-b + √D) / 2a.

Per esempio. Risolvi l'equazione x 2- 4x + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Risposta: 2.

Risolvi l'equazione 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 2 3 = - 23

Risposta: niente radici.

Risolvi l'equazione 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3.5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Risposta: - 3.5; 1.

Quindi, presenteremo la soluzione di equazioni quadratiche complete dal circuito in Figura 1.

Queste formule possono essere utilizzate per risolvere qualsiasi equazione quadratica completa. Devi solo stare attento per assicurarti che l'equazione è stata scritta come un polinomio standard

un x 2 + bx + c, altrimenti puoi sbagliare. Ad esempio, scrivendo l'equazione x + 3 + 2x 2 = 0, puoi decidere erroneamente che

a = 1, b = 3 e c = 2. Allora

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 e quindi l'equazione ha due radici. E questo non è vero. (Vedi soluzione all'esempio 2 sopra).

Pertanto, se l'equazione non è scritta come un polinomio della forma standard, prima l'equazione quadratica completa deve essere scritta come un polinomio della forma standard (in primo luogo dovrebbe essere il monomio con l'esponente più grande, cioè un x 2 , quindi con meno – bx e poi un membro gratuito insieme a.

Quando si risolve un'equazione quadratica ridotta e un'equazione quadratica con un coefficiente pari al secondo termine, è possibile utilizzare altre formule. Conosciamo anche queste formule. Se nell'equazione quadratica completa con il secondo termine il coefficiente è pari (b = 2k), l'equazione può essere risolta utilizzando le formule mostrate nel diagramma in Figura 2.

Un'equazione quadratica completa si dice ridotta se il coefficiente at x 2 è uguale a uno e l'equazione assume la forma x2 + px + q = 0... Tale equazione può essere data per la soluzione, oppure si ottiene dividendo tutti i coefficienti dell'equazione per il coefficiente un in piedi a x 2 .

La figura 3 mostra uno schema per risolvere il quadrato ridotto
equazioni. Diamo un'occhiata a un esempio dell'applicazione delle formule discusse in questo articolo.

Esempio. Risolvi l'equazione

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Risolviamo questa equazione utilizzando le formule mostrate nel diagramma in Figura 1.

D = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √ (363) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3) / (2 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3

Risposta: -1 - √3; –1 + √3

Si può notare che il coefficiente in x in questa equazione è un numero pari, cioè b = 6 o b = 2k, da cui k = 3. Quindi proveremo a risolvere l'equazione usando le formule mostrate nel diagramma nel cifra D 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √27 = √ (9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3

Risposta: -1 - √3; –1 + √3... Notando che tutti i coefficienti in questa equazione quadratica sono divisi per 3 ed eseguendo la divisione, otteniamo l'equazione quadratica ridotta x 2 + 2x - 2 = 0 Risolvi questa equazione usando le formule per la quadratica ridotta
equazione figura 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√ (D 2) = √12 = √ (4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = - 1 + √3

Risposta: -1 - √3; –1 + √3.

Come puoi vedere, risolvendo questa equazione usando formule diverse, abbiamo ottenuto la stessa risposta. Pertanto, avendo padroneggiato bene le formule mostrate nel diagramma in Figura 1, puoi sempre risolvere qualsiasi equazione quadratica completa.

sito, con copia totale o parziale del materiale, è richiesto un link alla fonte.

Continuando l'argomento "Risolvere le equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Consideriamo tutto in dettaglio: l'essenza e la scrittura dell'equazione quadratica, imposteremo termini correlati, analizzeremo lo schema per risolvere equazioni incomplete e complete, faremo conoscenza con la formula delle radici e del discriminante, stabiliremo connessioni tra radici e coefficienti, e ovviamente daremo una soluzione visiva di esempi pratici.

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Equazione quadratica, i suoi tipi

Definizione 1

Equazione quadrataÈ un'equazione scritta come a x 2 + b x + c = 0, dove X- variabile, a, b e C- alcuni numeri, mentre un non è zero.

Spesso le equazioni quadratiche sono anche chiamate equazioni di secondo grado, poiché in sostanza un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica di secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. Sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

I numeri a, b e C Sono i coefficienti dell'equazione quadratica? a x 2 + b x + c = 0, mentre il coefficiente unè chiamato il primo, o senior, o coefficiente a x 2, b - il secondo coefficiente o coefficiente a X, un C chiamato membro libero.

Ad esempio, in un'equazione quadratica 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 il coefficiente più alto è 6, il secondo coefficiente è − 2 e il termine libero è − 11 ... Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti B e / o c sono negativi, quindi viene utilizzata una breve notazione della forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ma no 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti un e / o B sono uguali 1 o − 1 , quindi non possono prendere una partecipazione esplicita alla registrazione dell'equazione quadratica, il che è spiegato dalle peculiarità della registrazione dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, in un'equazione quadratica y 2 - y + 7 = 0 il coefficiente più alto è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche sono divise in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaÈ un'equazione quadratica, dove il coefficiente principale è 1. Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non viene ridotta.

Diamo degli esempi: le equazioni quadratiche x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 sono ridotte, in ciascuna delle quali il coefficiente principale è 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, dove il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere trasformata in un'equazione ridotta dividendo entrambe le parti per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta data, oppure non avrà radici affatto.

La considerazione di un esempio specifico ci consentirà di dimostrare chiaramente l'implementazione della transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

L'equazione è 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Soluzione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambi i lati dell'equazione originale per il coefficiente principale 6. Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3 e questo è lo stesso di: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Quindi: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Quindi, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Equazioni quadratiche complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso, abbiamo chiarito che a 0... Una condizione simile è necessaria per l'equazione a x 2 + b x + c = 0 era precisamente quadrato, poiché per a = 0 si trasforma essenzialmente in un'equazione lineare b x + c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti B e C uguale a zero (che è possibile, sia individualmente che congiuntamente), l'equazione quadratica è chiamata incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompletaÈ una tale equazione quadratica? a x 2 + b x + c = 0, dove almeno uno dei coefficienti B e C(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completa- un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Discutiamo perché ai tipi di equazioni quadratiche vengono dati esattamente tali nomi.

Per b = 0, l'equazione quadratica assume la forma a x 2 + 0 x + c = 0 che è lo stesso di a x 2 + c = 0... In c = 0 l'equazione quadratica si scrive come a x 2 + b x + 0 = 0 che è equivalente a a x 2 + b x = 0... In b = 0 e c = 0 l'equazione diventa a x 2 = 0... Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro membri a sinistra non contengono né un termine con variabile x, né un termine libero, né entrambi contemporaneamente. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazioni: incomplete.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - equazioni quadratiche incomplete.

Risolvere equazioni quadratiche incomplete

La definizione di cui sopra consente di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• a x 2 = 0, tale equazione corrisponde ai coefficienti b = 0 e c = 0;
• a x 2 + c = 0 a b = 0;
• a x 2 + b x = 0 a c = 0.

Consideriamo in sequenza la soluzione di ogni tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 = 0

Come già indicato in precedenza, tale equazione corrisponde ai coefficienti B e C uguale a zero. L'equazione a x 2 = 0 può essere trasformato in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero un non uguale a zero. È un fatto ovvio che la radice dell'equazione x2 = 0è zero perché 0 2 = 0 ... Questa equazione non ha altre radici, che possono essere spiegate dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero P, non uguale a zero, la disuguaglianza è vera p2> 0, da cui segue che per p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Quindi, per un'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0, esiste una radice unica x = 0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta - 3 x 2 = 0... L'equazione è equivalente ad essa x2 = 0, la sua unica radice è x = 0, allora anche l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

In breve, la soluzione è formalizzata come segue:

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Soluzione dell'equazione a x 2 + c = 0

Il prossimo passo è la soluzione di equazioni quadratiche incomplete, dove b = 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma a x 2 + c = 0... Trasformiamo questa equazione trasferendo il termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno nell'opposto e dividendo entrambi i lati dell'equazione per un numero diverso da zero:

• riporto C a destra, che dà l'equazione a x 2 = - c;
• dividiamo entrambi i membri dell'equazione per un, otteniamo come risultato x = - c a.

Le nostre trasformazioni sono equivalenti, rispettivamente, l'equazione risultante è anche equivalente a quella originale e questo fatto consente di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori un e C il valore dell'espressione - c a dipende: può avere un segno meno (ad esempio, se a = 1 e c = 2, allora - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, se a = - 2 e c = 6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è zero perché c 0... Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P l'uguaglianza p 2 = - c a non può essere vera.

Tutto è diverso quando - c a> 0: ricorda la radice quadrata, e diventa ovvio che la radice dell'equazione x 2 = - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 = - c a. È facile capire che il numero - - c a è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a.

L'equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo usando un metodo contraddittorio. Per cominciare, definiamo la notazione per le radici trovate sopra come x 1 e - x 1... Supponiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x 2 che è diverso dalle radici x 1 e - x 1... Sappiamo che sostituendo nell'equazione invece di X sue radici, trasformiamo l'equazione in un'equa uguaglianza numerica.

Per x 1 e - x 1 scriviamo: x 1 2 = - c a, e per x 2- x 2 2 = - c a. In base alle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo un'uguaglianza vera dall'altro termine per termine, che ci darà: x 1 2 - x 2 2 = 0... Usiamo le proprietà delle azioni sui numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto detto segue che x 1 - x 2 = 0 e / o x 1 + x 2 = 0 che è lo stesso x 2 = x 1 e / o x 2 = - x 1... Sorse un'evidente contraddizione, perché in un primo momento si convenne che la radice dell'equazione x 2 si differenzia da x 1 e - x 1... Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha altre radici, eccetto x = - c a e x = - - c a.

Riassumiamo tutto il ragionamento sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta a x 2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a, che:

• non avrà radici per - c a< 0 ;
• avrà due radici x = - c a e x = - - c a per - c a> 0.

Diamo esempi di risoluzione delle equazioni a x 2 + c = 0.

Esempio 3

Equazione quadratica data 9 x 2 + 7 = 0.È necessario trovare una soluzione ad esso.

Soluzione

Trasferiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9 x 2 = - 7.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9. Sul lato destro, vediamo un numero con un segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

È necessario risolvere l'equazione - x 2 + 36 = 0.

Soluzione

Sposta 36 sul lato destro: - x 2 = - 36.
Dividiamo entrambe le parti in − 1 , noi abbiamo x 2 = 36... A destra c'è un numero positivo, dal quale si può concludere che x = 36 o x = - 36.
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: un'equazione quadratica incompleta - x 2 + 36 = 0 ha due radici x = 6 o x = - 6.

Risposta: x = 6 o x = - 6.

Soluzione dell'equazione a x 2 + b x = 0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0... Per trovare una soluzione a un'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0, useremo il metodo della fattorizzazione. Scomponiamo il polinomio sul lato sinistro dell'equazione, eliminando il fattore comune fuori dalle parentesi X... Questo passaggio consentirà di convertire l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0... E questa equazione, a sua volta, è equivalente a un insieme di equazioni x = 0 e a x + b = 0... L'equazione a x + b = 0 lineare e la sua radice è: x = - b a.

Definizione 7

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0 avrà due radici x = 0 e x = - b a.

Fissiamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare una soluzione all'equazione 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.

Soluzione

Portare fuori X parentesi e ottieni l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Questa equazione è equivalente alle equazioni x = 0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ora devi risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scriviamo brevemente la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oppure x = 3 3 7

Risposta: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, la formula per le radici di un'equazione quadratica

Per trovare una soluzione alle equazioni quadratiche, c'è una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 a, dove D = b 2 - 4 a c- il cosiddetto discriminante dell'equazione di secondo grado.

La notazione x = - b ± D 2 · a significa essenzialmente che x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Sarà utile capire come è stata derivata la formula indicata e come applicarla.

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Affrontiamo il compito di risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0... Eseguiamo una serie di trasformazioni equivalenti:

• dividere entrambi i membri dell'equazione per il numero un, diversa da zero, si ottiene l'equazione quadratica ridotta: x 2 + b a · x + c a = 0;
• seleziona il quadrato completo sul lato sinistro dell'equazione risultante:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Successivamente, l'equazione assumerà la forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• ora è possibile trasferire gli ultimi due termini al membro di destra cambiando il segno al contrario, dopo di che si ottiene: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
• infine, trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
  b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.

Quindi, siamo arrivati ​​all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, che è equivalente all'equazione originale a x 2 + b x + c = 0.

Abbiamo analizzato la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (soluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita consente di trarre una conclusione riguardo alle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• a b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• per b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 l'equazione ha la forma x + b 2 a 2 = 0, quindi x + b 2 a = 0.

Quindi, l'unica radice x = - b 2 · a è ovvia;

• per b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 sarà vero: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oppure x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, che è lo stesso come x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, cioè l'equazione ha due radici.

È possibile concludere che la presenza o l'assenza di radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (e quindi l'equazione originale) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 a c 4 · Un 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è fissato dal segno del numeratore, (denominatore 4 a 2 sarà sempre positivo), cioè dal segno dell'espressione si 2 - 4 la c... Questa espressione si 2 - 4 la c il nome è dato - il discriminante dell'equazione quadratica e la lettera D è definita come sua designazione. Qui puoi annotare l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, si conclude se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, qual è il numero di radici: una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Lo riscriviamo usando la notazione per il discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

Formuliamo nuovamente le conclusioni:

Definizione 9

• a D< 0 l'equazione non ha radici reali;
• a D = 0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a;
• a D> 0 l'equazione ha due radici: x = - b 2 a + D 4 a 2 oppure x = - b 2 a - D 4 a 2. In base alle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte come: x = - b 2 a + D 2 a oppure - b 2 a - D 2 a. E, quando apriamo i moduli e portiamo le frazioni a un denominatore comune, otteniamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici dell'equazione quadratica:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, il discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 - 4 a c.

Queste formule permettono, con discriminante maggiore di zero, di determinare entrambe le radici reali. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice come unica soluzione all'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, cercando di utilizzare la formula della radice quadrata, ci troveremo di fronte alla necessità di estrarre la radice quadrata di un numero negativo, che ci porterà oltre i numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per risolvere equazioni quadratiche usando le formule radice

È possibile risolvere l'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma in pratica ciò viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, di solito si intende cercare non complessi, ma radici reali di un'equazione quadratica. Quindi è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), quindi procedere al calcolo valori delle radici.

Il ragionamento di cui sopra consente di formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Per risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, necessario:

• secondo la formula D = b 2 - 4 a c trovare il valore del discriminante;
• a D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• per D = 0, trova l'unica radice dell'equazione con la formula x = - b 2 · a;
• per D> 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica con la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a, darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Diamo una soluzione di esempi per diversi valori del discriminante.

Esempio 6

È necessario trovare le radici dell'equazione x 2 + 2 x - 6 = 0.

Soluzione

Annotiamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a = 1, b = 2 e c = - 6... Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo, ad es. iniziamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiamo i coefficienti a, b e C nella formula discriminante: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Quindi, abbiamo ottenuto D> 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli usiamo la formula radice x = - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori corrispondenti, otteniamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante prendendo il fattore al di fuori del segno della radice e quindi riducendo la frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oppure x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oppure x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Esempio 7

È necessario risolvere l'equazione quadratica - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Soluzione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Con questo valore del discriminante, l'equazione originaria avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Risposta: x = 3, 5.

Esempio 8

È necessario risolvere l'equazione 5 e 2 + 6 e + 2 = 0

Soluzione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5, b = 6 e c = 2. Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula per le radici, eseguendo azioni con numeri complessi:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 io 10 oppure x = - 6 - 2 io 10,

x = - 3 5 + 1 5 · io x = - 3 5 - 1 5 · i.

Risposta: nessuna radice valida; le radici complesse sono le seguenti: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Nel curriculum scolastico non esiste un requisito standard per la ricerca di radici complesse, quindi, se durante la soluzione il discriminante viene determinato come negativo, viene immediatamente registrata la risposta che non ci sono radici reali.

Formula radice per coefficienti anche secondi

La formula per le radici x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mostriamo come si ricava questa formula.

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Agiamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), quindi usiamo la formula per le radici:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.

Lascia che l'espressione n 2 - a · c sia indicata come D 1 (a volte è indicata da D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assumerà la forma:

x = - n ± D 1 a, dove D 1 = n 2 - a · c.

È facile vedere che D = 4 · D 1, o D 1 = D 4. In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è uguale al segno di D, il che significa che il segno di D 1 può anche servire come indicatore della presenza o assenza di radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare una soluzione all'equazione quadratica con il secondo coefficiente 2 n, è necessario:

• trova D 1 = n 2 - a · c;
• in Re 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• quando D 1 = 0, determina l'unica radice dell'equazione con la formula x = - n a;
• per D 1> 0, determinare due radici reali con la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.

Soluzione

Il secondo coefficiente dell'equazione data può essere rappresentato come 2 · (- 3). Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, dove a = 5, n = - 3 e c = - 32.

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 - ac = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Definiamoli secondo la formula radice corrispondente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 oppure x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oppure x = - 2

Sarebbe possibile eseguire calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più macchinosa.

Risposta: x = 3 1 5 oppure x = - 2.

Semplificare la visualizzazione delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l'equazione quadratica 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 è chiaramente più conveniente per la risoluzione di 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene eseguita moltiplicando o dividendo entrambe le sue parti per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una notazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, ottenuta dividendo entrambe le parti per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono numeri coprimi. Quindi, di solito, entrambi i lati dell'equazione sono divisi per il massimo comun divisore dei valori assoluti dei suoi coefficienti.

Ad esempio, usiamo l'equazione quadratica 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Determina il mcd dei valori assoluti dei suoi coefficienti: mcd (12, 42, 48) = mcd (mcd (12, 42), 48) = mcd (6, 48) = 6. Dividiamo entrambi i lati dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.

Moltiplicando entrambi i lati di un'equazione quadratica, di solito si eliminano i coefficienti frazionari. In questo caso, moltiplicare per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ogni parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 viene moltiplicata con LCM (6, 3, 1) = 6, allora verrà scritta in una forma più semplice x 2 + 4 x - 18 = 0.

Infine, notiamo che quasi sempre ci liberiamo del meno al primo coefficiente dell'equazione quadratica, cambiando i segni di ciascun termine dell'equazione, che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambe le parti per - 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, puoi passare a una versione semplificata di essa 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

La relazione tra radici e coefficienti

La già nota formula per le radici delle equazioni di secondo grado x = - b ± D 2 · a esprime le radici dell'equazione in termini dei suoi coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, siamo in grado di specificare altre dipendenze tra radici e coefficienti.

Le più famose e applicabili sono le formule del teorema di Vieta:

x 1 + x 2 = - b a e x 2 = c a.

In particolare, per la data equazione quadratica, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, dalla forma dell'equazione quadratica 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre relazioni tra le radici ei coefficienti dell'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

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