Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2020)

08.02.2022

Durante le lezioni

1) Controllo dei compiti sotto forma di peer review . I bravi studenti controllano i quaderni dei bambini deboli. E i deboli controllano con i forti secondo il modello della carta di controllo. I compiti sono dati in due versioni.

IO opzione compito facile

II opzione compito difficile

A seguito del controllo, i ragazzi sottolineano gli errori con una semplice matita e mettono un segno. Infine, controllo il lavoro dopo che i ragazzi hanno consegnato i loro quaderni dopo la lezione. Chiedo ai ragazzi i risultati del loro test e metto i voti per questo tipo di lavoro nella mia tabella riassuntiva.

2) Viene offerto un cruciverba per testare il materiale teorico..

Verticalmente:

1. Proprietà di moltiplicazione utilizzata quando si moltiplica un monomio per un polinomio?

2. L'effetto degli esponenti quando si eleva un grado a una potenza?

3. Una laurea con esponente zero?

4. Un prodotto costituito dagli stessi fattori?

Orizzontalmente:

5. Radice n - esimo grado da un numero non negativo?

6. Come funzionano gli esponenti quando si moltiplicano gli esponenti?

7. L'azione degli esponenti nella divisione dei gradi?

8. Il numero di tutti gli stessi fattori?

3) Riscaldamento in matematica

a) eseguire il calcolo e utilizzare il cifrario per leggere la parola nascosta nel problema.

C'è un tavolo sul tabellone di fronte a te. La tabella nella colonna 1 contiene esempi che devono essere calcolati.

Chiave del tavolo


491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3







7/12

E scrivi la risposta nella colonna II, e nella colonna III metti la lettera corrispondente a questa risposta.

Insegnante: Allora, la parola cifrata è "grado". Nel compito successivo, lavoriamo con il 2° e 3° grado

b) Il gioco "Guarda, non commettere errori"

Sostituisci i punti con un numero

a) x \u003d (x ...) 2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5… = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; f) 74/5 = (7…)2; g) x1/2=(x…)2; h) y1/2=(y…)2

Troviamo l'errore:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Quindi, ragazzi, di cosa avete bisogno per completare questo compito:

La proprietà dei gradi: quando si eleva un grado a potenza, gli indicatori si moltiplicano;

4) Ora passiamo al lavoro frontale. utilizzando i risultati del lavoro precedente. I quaderni aperti annotano il numero, l'argomento della lezione.

№ 000

a) a - c \u003d (a1/2) 2 - (b1/2) 2 \u003d (a1/2 - c1/2) * (a1/2 + c1/2)

b) la - do \u003d (a1/3) 3 - (c1/3) 3 \u003d (a1/3 - c1/3) * (a2/3 + a1/3 c1/3 + c2/3)

N. 000 (a, c, d, e)

UN ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 - 4 = (a3/2)2 - 22 = (a3/2 - 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – la = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

N. 000 (a, d, e)

a) x3 - 2 = x3 - (21/3)3 = (x - 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 - 3 a2/5 + 9)

f) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Grado

5) Lavora su singole carte secondo quattro opzioni su fogli separati

Compiti con vari gradi di difficoltà vengono completati senza alcun suggerimento da parte dell'insegnante.

Controllo subito il lavoro e metto dei segni sul mio tavolo e sulle foglie dei ragazzi.

N. 000 (la, do, mi, h)

a) 4*31/2/(31/2 - 3) = 4*31/2 /31/2*(1 - 31/2) = 4 / (1 - 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (à2/3 – â2/3)/(à1/3 + â1/3) = (à1/3)2 – (à1/3)2/(à1/3 + â1/3) = (à1/3 + v1/3)*(à1/3 – â1/3)/(à1/3 + â1/3) = a1/3 – â1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 + (y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(x1/3 + y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Lavora su singole carte con vari gradi di complessità. In alcuni esercizi ci sono consigli dell'insegnante, poiché il materiale è complicato ed è difficile per i bambini deboli far fronte al lavoro

Ci sono anche quattro opzioni disponibili. La valutazione avviene immediatamente. Inserisco tutti i punteggi in un foglio di calcolo.

Problema № dalla collezione

L'insegnante fa domande:

1. Cosa si dovrebbe trovare nel problema?

2. Cosa devi sapere per questo?

3. Come esprimere il tempo di 1 pedone e 2 pedoni?

4. Confronta il tempo di 1 e 2 pedoni in base alla condizione del problema e fai un'equazione.

La soluzione del problema:

Sia x (km/h) la velocità di 1 pedone

X +1 (km/h) – velocità 2 pedoni

4/х (h) – tempo di percorrenza

4 / (x +1) (h) - tempo del secondo pedone

Dalla condizione del problema 4/х >4/ (х +1) per 12 min

12 minuti = 12/60 ore = 1/5 ore

Facciamo un'equazione

X / 4 - 4 / (x + 1) \u003d 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 - 20x - x2 - x = 0

X2 + x -20 = 0

D \u003d 1 - 4 * (-20) \u003d 81, 81> 0, 2 k

x1 \u003d (-1 -√81) / (-2) \u003d 5 km / h - la velocità di 1 pedone

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 - non si adatta al significato del compito, poiché x>0

Risposta: 5 km / h - la velocità di 2 pedoni

9) Riassunto della lezione: Allora ragazzi, oggi nella lezione abbiamo consolidato le conoscenze, le abilità, le capacità di trasformare espressioni contenenti gradi, applicato le formule di moltiplicazione abbreviata, togliendo il fattore comune tra parentesi, ripetuto il materiale trattato. Sottolineo i vantaggi e gli svantaggi.

Riassumendo la lezione nella tabella.

Cruciverba	Stuoia. riscaldamento	Davanti. Lavoro	ind. lavorare K-1	ind. lavorare K-2

10) Annuncio i punteggi. Compiti a casa

Carte individuali K - 1 e K - 2

cambio B - 1 e B - 2; B - 3 e B - 4, poiché sono equivalenti

Applicazioni per la lezione.

1) Carte dei compiti

1. semplificare

a) (x1/2 - y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 - 10a2

2. presentare come somma

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 - c1/2)*(a + a1/2 c1\2 + c)

3. eliminare il fattore comune

c) 151/3 +201/3

1. semplificare

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (à1/4 + ×1/4)*(à1/8 + ×1/8)*(à1\8 - ×1/8)

2. presentare come somma

a) x0.5 y0.5*(x-0.5 – y1.5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 - x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Togli il fattore comune dalle parentesi

b) c1\3 - c

c) (2a)1/3 - (5a)1\3

2) scheda di controllo per B - 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 - n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (à1/4 + â1/4)*(à1/8 + â1/8)*(à1/8 - â1/8) = (à1/4 + â1/4)*(à1/8)2 - ( â1/8)2 = (â1/4 + â1/4)*(â1/4 - â1/4) = (â1/4)2 - (â1/4)2 = a1/2 - â1/2

a) x0.5 y0.5* (x-0.5- y1.5) = x0.5 y0.5 x-0.5 – x0.5 y0.5y1.5 = x0 y0.5 – x0.5 y2 = y0. 5 – x0.5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 - x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 - x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) c1/3 - c \u003d c1/3 * (1 - c2/3)

c) (2a)1/3 - (5a)1/3 = a1/3*(21/3 - 51/3)

3) Schede per la prima opera individuale

a) a - y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – io, a ≥ 0

1. Fattorizzare presentando come differenza di quadrati

a) a1/2 - b1/2

2. Fattorizzare presentando come differenza o somma di cubi

a) c1/3 + d1/3

1. Fattorizzare presentando come differenza di quadrati

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 - Y1/4

2. Fattorizzare presentando come differenza o somma di cubi

4) schede per la seconda opera individuale

a) (x - x1/2) / (x1/2 - 1)

Suggerimento: x1/2 parentesi i numeratori

b) (a - c) / (a1/2 - c1/2)

Nota: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2

Ridurre la frazione

a) (21/4 - 2) / 5*21/4

Suggerimento: parentesi 21/4

b) (a - c) / (5a1/2 - 5v1/2)

Nota: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2

Opzione 3

1. Ridurre la frazione

a) (x1/2 - x1/4)/x3/4

Istruzioni: staffa x1/4

b) (à1/2 - â1/2) / (4â1/4 - 4â1/4)

Opzione 4

Ridurre la frazione

a) 10/ (10 - 101/2)

b) (a - c) / (a2/3 + a1 \ 3b1 / 3 + SI 1/3)

Espressioni, conversione di espressioni

Espressioni di potere (espressioni con poteri) e loro trasformazione

In questo articolo parleremo della trasformazione di espressioni con poteri. In primo luogo, ci concentreremo sulle trasformazioni eseguite con espressioni di qualsiasi tipo, comprese le espressioni di potenza, come l'apertura di parentesi, la riduzione di termini simili. E poi analizzeremo le trasformazioni inerenti specificamente alle espressioni con gradi: lavorare con la base e l'esponente, usare le proprietà dei gradi, ecc.

Navigazione della pagina.

Cosa sono le espressioni di potenza?

Il termine "espressioni di potere" non si trova praticamente nei libri di testo scolastici di matematica, ma compare spesso in raccolte di problemi, appositamente progettati per preparare, ad esempio, l'Esame di Stato Unificato e l'OGE. Dopo aver analizzato le attività in cui è necessario eseguire azioni con espressioni di potere, diventa chiaro che le espressioni di potere sono intese come espressioni contenenti gradi nelle loro voci. Pertanto, per te stesso, puoi prendere la seguente definizione:

Definizione.

Espressioni di potere sono espressioni contenenti poteri.

Portiamo Esempi di espressioni di potere. Inoltre, li rappresenteremo secondo come avviene lo sviluppo delle opinioni da una laurea con un indicatore naturale a una laurea con un indicatore reale.

Come sai, prima conosci il grado di un numero con un esponente naturale, in questa fase le prime espressioni di potenza più semplici del tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 un 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ecc.

Poco dopo, viene studiata la potenza di un numero con esponente intero, che porta alla comparsa di espressioni di potenza con potenze intere negative, come le seguenti: 3 −2, , un −2 +2 b −3 + c 2 .

Nelle classi superiori si torna di nuovo ai gradi. Lì viene introdotto un grado con un esponente razionale, che porta alla comparsa delle corrispondenti espressioni di potenza: , , e così via. Infine si considerano i gradi con esponenti irrazionali e le espressioni che li contengono: , .

La questione non è limitata alle espressioni di potenza elencate: inoltre la variabile penetra nell'esponente e ci sono, ad esempio, tali espressioni 2 x 2 +1 o . E dopo aver familiarizzato, iniziano ad apparire espressioni con potenze e logaritmi, ad esempio x 2 lgx −5 x lgx.

Quindi, abbiamo capito la domanda su quali sono le espressioni di potere. Successivamente, impareremo come trasformarli.

I principali tipi di trasformazioni delle espressioni di potere

Con le espressioni di potenza, puoi eseguire qualsiasi trasformazione di identità di base delle espressioni. Ad esempio, puoi espandere le parentesi, sostituire le espressioni numeriche con i loro valori, aggiungere termini simili e così via. Naturalmente, in questo caso è necessario seguire la procedura accettata per l'esecuzione delle azioni. Facciamo degli esempi.

Esempio.

Calcolare il valore dell'espressione di potenza 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluzione.

Secondo l'ordine delle azioni, eseguiamo prima le azioni tra parentesi. Lì, in primo luogo, sostituiamo la potenza di 4 2 con il suo valore 16 (vedi se necessario), e in secondo luogo calcoliamo la differenza 16−12=4 . Abbiamo 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Nell'espressione risultante, sostituiamo la potenza di 2 3 con il suo valore 8 , dopodiché calcoliamo il prodotto 8·4=32 . Questo è il valore desiderato.

COSÌ, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Risposta:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Esempio.

Semplifica le espressioni di potenza 3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7.

Soluzione.

Ovviamente, questa espressione contiene termini simili 3 · a 4 · b − 7 e 2 · a 4 · b − 7 , e possiamo ridurli: .

Risposta:

3 un 4 b −7 −1+2 un 4 b −7 =5 un 4 b −7 −1.

Esempio.

Esprimi un'espressione con potenze come prodotto.

Soluzione.

Per far fronte al compito consente la rappresentazione del numero 9 come potenza di 3 2 e il successivo utilizzo della formula di moltiplicazione abbreviata, la differenza dei quadrati:

Risposta:

Esistono anche numerose trasformazioni identiche inerenti alle espressioni di potere. Successivamente, li analizzeremo.

Lavorare con base ed esponente

Ci sono gradi, nella cui base e / o indicatore non ci sono solo numeri o variabili, ma alcune espressioni. Ad esempio, scriviamo (2+0.3 7) 5−3.7 e (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Quando si lavora con tali espressioni, è possibile sostituire sia l'espressione nella base del grado che l'espressione nell'indicatore con un'espressione identicamente uguale sul DPV delle sue variabili. In altre parole, secondo le regole a noi note, possiamo convertire separatamente la base del grado e separatamente l'indicatore. È chiaro che a seguito di questa trasformazione si ottiene un'espressione identicamente uguale a quella originaria.

Tali trasformazioni ci consentono di semplificare le espressioni con poteri o raggiungere altri obiettivi di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, nell'espressione di potenza (2+0.3 7) 5−3.7 sopra menzionata, puoi eseguire operazioni con numeri in base ed esponente, che ti permetteranno di andare alla potenza di 4.1 1.3. E dopo aver aperto le parentesi e riportato termini simili nella base del grado (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) otteniamo un'espressione di potenza di una forma più semplice a 2·(x+1 ).

Utilizzo delle proprietà di alimentazione

Uno degli strumenti principali per trasformare le espressioni con i poteri sono le uguaglianze che riflettono . Ricordiamo i principali. Per qualsiasi numero positivo a e b e numeri reali arbitrari r e s, valgono le seguenti proprietà di potenza:

un r un s =a r+s ;
a r:a s =a r−s ;
(a b) r = a r b r ;
(a:b) r =a r:b r ;
(a r) s =a r s .

Si noti che per gli esponenti naturali, interi e positivi, le restrizioni sui numeri a e b potrebbero non essere così rigide. Ad esempio, per i numeri naturali m e n, l'uguaglianza a m ·a n =a m+n è vera non solo per a positivi, ma anche per quelli negativi, e per a=0 .

A scuola, l'attenzione principale nella trasformazione delle espressioni di potere è focalizzata proprio sulla capacità di scegliere la proprietà appropriata e applicarla correttamente. In questo caso, le basi dei gradi sono generalmente positive, il che consente di utilizzare le proprietà dei gradi senza restrizioni. Lo stesso vale per la trasformazione di espressioni contenenti variabili in basi di gradi: l'intervallo di valori accettabili delle variabili è solitamente tale che le basi assumono solo valori positivi su di esso, il che consente di utilizzare liberamente le proprietà di gradi. In generale, è necessario chiedersi costantemente se in questo caso sia possibile applicare qualsiasi proprietà dei gradi, poiché l'uso impreciso delle proprietà può portare a un restringimento dell'ODZ e ad altri problemi. Questi punti sono discussi in dettaglio e con esempi nell'articolo trasformazione delle espressioni utilizzando le proprietà dei gradi. Qui ci limitiamo a pochi semplici esempi.

Esempio.

Esprimi l'espressione a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 come una potenza con base a .

Soluzione.

Innanzitutto, trasformiamo il secondo fattore (a 2) −3 con la proprietà di elevare una potenza a potenza: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6. In questo caso, l'espressione di potenza iniziale assumerà la forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Ovviamente, resta da usare le proprietà di moltiplicazione e divisione dei poteri con la stessa base che abbiamo
a 2.5 a -6:a -5.5 =
a2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
un −3.5−(−5.5) =a 2 .

Risposta:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Le proprietà di potenza vengono utilizzate durante la trasformazione delle espressioni di potenza sia da sinistra a destra che da destra a sinistra.

Esempio.

Trova il valore dell'espressione di potenza.

Soluzione.

L'uguaglianza (a·b) r =a r ·b r , applicata da destra a sinistra, permette di passare dall'espressione originale al prodotto della forma e oltre. E quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, gli indicatori si sommano: .

Era possibile eseguire la trasformazione dell'espressione originale in un altro modo:

Risposta:

Esempio.

Data un'espressione di potenza a 1.5 −a 0.5 −6 , inserire una nuova variabile t=a 0.5 .

Soluzione.

Il grado a 1.5 può essere rappresentato come 0.5 3 e inoltre sulla base della proprietà del grado nel grado (a r) s =a r s applicato da destra a sinistra, convertirlo nella forma (a 0.5) 3 . Così, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. Ora è facile introdurre una nuova variabile t=a 0.5 , otteniamo t 3 −t−6 .

Risposta:

t3−t−6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Le espressioni di potenza possono contenere frazioni con potenze o rappresentare tali frazioni. Tutte le trasformazioni di frazioni di base inerenti a frazioni di qualsiasi tipo sono pienamente applicabili a tali frazioni. Cioè, le frazioni che contengono gradi possono essere ridotte, ridotte a un nuovo denominatore, lavorare separatamente con il loro numeratore e separatamente con il denominatore, ecc. Per illustrare le parole di cui sopra, considera le soluzioni di diversi esempi.

Esempio.

Semplifica l'espressione di potenza .

Soluzione.

Questa espressione di potenza è una frazione. Lavoriamo con il suo numeratore e denominatore. Al numeratore apriamo le parentesi e semplifichiamo l'espressione ottenuta successivamente utilizzando le proprietà delle potenze, e al denominatore presentiamo termini simili:

E cambiamo anche il segno del denominatore mettendo un segno meno davanti alla frazione: .

Risposta:

La riduzione delle frazioni contenenti potenze a un nuovo denominatore viene eseguita in modo simile alla riduzione delle frazioni razionali a un nuovo denominatore. Allo stesso tempo, viene trovato anche un fattore aggiuntivo e il numeratore e il denominatore della frazione vengono moltiplicati per esso. Quando si esegue questa azione, vale la pena ricordare che la riduzione a un nuovo denominatore può portare a un restringimento del DPV. Per evitare che ciò accada è necessario che il fattore addizionale non si annulli per alcun valore delle variabili dalle variabili ODZ per l'espressione originale.

Esempio.

Porta le frazioni a un nuovo denominatore: a) al denominatore a, b) al denominatore.

Soluzione.

a) In questo caso, è abbastanza facile capire quale fattore aggiuntivo aiuta a raggiungere il risultato desiderato. Questo è un moltiplicatore a 0.3, poiché a 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Si noti che nell'intervallo di valori accettabili della variabile a (questo è l'insieme di tutti i numeri reali positivi), il grado a 0,3 non si annulla, quindi, abbiamo il diritto di moltiplicare numeratore e denominatore della frazione data da questo ulteriore fattore:

b) Guardando più da vicino il denominatore, lo troviamo

e moltiplicando questa espressione per darà la somma dei cubi e , cioè . E questo è il nuovo denominatore a cui dobbiamo portare la frazione originaria.

Così abbiamo trovato un ulteriore fattore. L'espressione non svanisce nell'intervallo di valori accettabili delle variabili x e y, quindi, possiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per essa:

Risposta:

UN) , B) .

Nulla di nuovo anche nella riduzione di frazioni contenenti gradi: il numeratore e il denominatore sono rappresentati come un certo numero di fattori, e gli stessi fattori del numeratore e del denominatore sono ridotti.

Esempio.

Riduci la frazione: a) , B).

Soluzione.

a) In primo luogo, il numeratore e il denominatore possono essere ridotti dei numeri 30 e 45, che è uguale a 15. Inoltre, ovviamente, puoi ridurre di x 0,5 +1 e di . Ecco cosa abbiamo:

b) In questo caso, gli stessi fattori al numeratore e al denominatore non sono immediatamente visibili. Per ottenerli, devi eseguire trasformazioni preliminari. In questo caso, consistono nello scomporre il denominatore in fattori secondo la formula della differenza dei quadrati:

Risposta:

UN)

B) .

La riduzione delle frazioni a un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni viene utilizzata principalmente per eseguire operazioni sulle frazioni. Le azioni vengono eseguite secondo regole note. Quando si aggiungono (sottraggono) le frazioni, vengono ridotte a un comune denominatore, dopodiché i numeratori vengono aggiunti (sottratti) e il denominatore rimane lo stesso. Il risultato è una frazione il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori. La divisione per frazione è la moltiplicazione per il suo reciproco.

Esempio.

Segui i passi .

Soluzione.

Per prima cosa, sottraiamo le frazioni tra parentesi. Per fare questo, li portiamo a un denominatore comune, che è , quindi sottrai i numeratori:

Ora moltiplichiamo le frazioni:

Ovviamente è possibile una riduzione della potenza x 1/2, dopodiché si ha .

Puoi anche semplificare l'espressione di potenza nel denominatore usando la formula della differenza dei quadrati: .

Risposta:

Esempio.

Semplifica l'espressione di potenza .

Soluzione.

Ovviamente, questa frazione può essere ridotta di (x 2.7 +1) 2, questo dà la frazione . È chiaro che occorre fare qualcos'altro con le potenze di x. Per fare ciò, convertiamo la frazione risultante in un prodotto. Questo ci dà l'opportunità di utilizzare la proprietà di dividere i poteri con le stesse basi: . E alla fine del processo si passa dall'ultimo prodotto alla frazione.

Risposta:

E aggiungiamo che è possibile e in molti casi auspicabile trasferire fattori con esponente negativo dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore cambiando il segno dell'esponente. Tali trasformazioni spesso semplificano ulteriori azioni. Ad esempio, un'espressione di potenza può essere sostituita da .

Conversione di espressioni con radici e potenze

Spesso nelle espressioni in cui sono richieste alcune trasformazioni, insieme ai gradi con esponente frazionario, sono presenti anche le radici. Per convertire tale espressione nella forma desiderata, nella maggior parte dei casi è sufficiente andare solo alle radici o solo alle potenze. Ma poiché è più conveniente lavorare con i gradi, di solito si spostano dalle radici ai gradi. Tuttavia, è consigliabile eseguire tale transizione quando l'ODZ delle variabili per l'espressione originale consente di sostituire le radici con i gradi senza la necessità di accedere al modulo o suddividere l'ODZ in più intervalli (ne abbiamo discusso in dettaglio nel articolo, il passaggio dalle radici alle potenze e viceversa Dopo aver preso conoscenza del grado con esponente razionale viene introdotto un grado con indicatore irrazionale, che permette di parlare di grado con un indicatore reale arbitrario. la scuola inizia a studiare funzione esponenziale, che è analiticamente dato dal grado, in base al quale c'è un numero, e nell'indicatore - una variabile. Quindi ci troviamo di fronte a espressioni di potenza contenenti numeri nella base del grado e nell'esponente - espressioni con variabili, e naturalmente nasce la necessità di eseguire trasformazioni di tali espressioni.

Va detto che la trasformazione delle espressioni del tipo indicato di solito deve essere eseguita durante la risoluzione equazioni esponenziali E disuguaglianze esponenziali, e queste trasformazioni sono abbastanza semplici. Nella stragrande maggioranza dei casi, si basano sulle proprietà del grado e mirano principalmente a introdurre una nuova variabile in futuro. L'equazione ci permetterà di dimostrarli 5 2x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Innanzitutto, gli esponenti, nei cui esponenti si trova la somma di qualche variabile (o espressione con variabili) e un numero, sono sostituiti da prodotti. Questo vale per il primo e l'ultimo termine dell'espressione sul lato sinistro:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Successivamente, entrambi i lati dell'uguaglianza sono divisi dall'espressione 7 2 x , che assume solo valori positivi sulla variabile ODZ x per l'equazione originale (questa è una tecnica standard per risolvere equazioni di questo tipo, non stiamo parlando di ora, quindi concentrati sulle successive trasformazioni di espressioni con poteri ):

Ora le frazioni con poteri vengono cancellate, il che dà .

Infine, il rapporto tra potenze con gli stessi esponenti è sostituito da potenze di rapporti, che porta all'equazione , che equivale a . Le trasformazioni effettuate consentono di introdurre una nuova variabile, che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originaria alla soluzione dell'equazione quadratica

I. V. Boikov, L. D. Romanova Raccolta di compiti per la preparazione all'esame. Parte 1. Penza 2003.

L'operazione aritmetica che viene eseguita per ultima nel calcolo del valore dell'espressione è la "principale".

Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numero invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione è scomposta in fattori).

Se l'ultima azione è addizione o sottrazione, significa che l'espressione non è fattorizzata (e quindi non può essere ridotta).

Per risolverlo da soli, alcuni esempi:

Esempi:

Soluzioni:

1. Spero che tu non ti sia precipitato immediatamente a tagliare e? Non era ancora sufficiente “ridurre” unità come questa:

Il primo passo dovrebbe essere quello di fattorizzare:

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Portare le frazioni a un comune denominatore.

L'addizione e la sottrazione di frazioni ordinarie è un'operazione ben nota: cerchiamo un comune denominatore, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottriamo i numeratori.

Ricordiamo:

Risposte:

1. I denominatori e sono coprimi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, il MCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il comune denominatore:

2. Qui il comune denominatore è:

3. Qui, prima di tutto, trasformiamo le frazioni miste in improprie, e poi - secondo il solito schema:

È un'altra cosa se le frazioni contengono lettere, ad esempio:

Iniziamo in modo semplice:

a) I denominatori non contengono lettere

Qui tutto è uguale alle normali frazioni numeriche: troviamo un comune denominatore, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo / sottraiamo i numeratori:

ora al numeratore puoi portare quelli simili, se ce ne sono, e fattorizzarli:

Prova tu stesso:

Risposte:

b) I denominatori contengono lettere

Ricordiamo il principio di trovare un comune denominatore senza lettere:

Prima di tutto, determiniamo i fattori comuni;

Quindi scriviamo tutti i fattori comuni una volta;

e moltiplicali per tutti gli altri fattori, non comuni.

Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li decomponiamo prima in fattori semplici:

Sottolineiamo i fattori comuni:

Ora scriviamo i fattori comuni una volta e aggiungiamo a loro tutti i fattori non comuni (non sottolineati):

Questo è il comune denominatore.

Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente nello stesso modo:

Scomponiamo i denominatori in fattori;

determinare moltiplicatori comuni (identici);

scrivere tutti i fattori comuni una volta;

Li moltiplichiamo per tutti gli altri fattori, non comuni.

Quindi, nell'ordine:

1) scomporre i denominatori in fattori:

2) determinare i fattori comuni (identici):

3) scrivi tutti i fattori comuni una volta e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):

Quindi il denominatore comune è qui. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda - per:

A proposito, c'è un trucco:

Per esempio: .

Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo tutti con indicatori diversi. Il comune denominatore sarà:

nella misura

di grado.

Complichiamo il compito:

Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?

Ricordiamo la proprietà di base di una frazione:

Da nessuna parte è detto che lo stesso numero può essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!

Guarda tu stesso: prendi una frazione qualsiasi, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio . Cosa è stato appreso?

Quindi, un'altra regola incrollabile:

Quando porti le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!

Ma cosa devi moltiplicare per ottenere?

Qui su e moltiplicati. E moltiplicare per:

Le espressioni che non possono essere fattorizzate saranno chiamate "fattori elementari".

Ad esempio, è un fattore elementare. - Stesso. Ma - no: è scomposto in fattori.

E l'espressione? È elementare?

No, perché può essere fattorizzato:

(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").

Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono un analogo dei fattori semplici in cui scomponi i numeri. E noi faremo lo stesso con loro.

Vediamo che entrambi i denominatori hanno un fattore. Andrà al denominatore comune nel potere (ricordi perché?).

Il moltiplicatore è elementare e non lo hanno in comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:

Un altro esempio:

Soluzione:

Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come calcolarli? Entrambi rappresentano:

Grande! Poi:

Un altro esempio:

Soluzione:

Come al solito, fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore, lo mettiamo semplicemente fuori parentesi; nel secondo - la differenza dei quadrati:

Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono già così simili ... E la verità è:

Quindi scriviamo:

Cioè, è andata così: all'interno della parentesi, abbiamo scambiato i termini e, allo stesso tempo, il segno davanti alla frazione è cambiato nell'opposto. Prendi nota, dovrai farlo spesso.

Ora portiamo a un comune denominatore:

Fatto? Ora controlliamo.

Compiti per soluzione indipendente:

Risposte:

Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:

Si noti che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula "quadrato della somma"! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo:

A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non il loro prodotto raddoppiato. Il quadrato incompleto della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza di cubi:

E se ci sono già tre frazioni?

Sì, lo stesso! Prima di tutto, faremo in modo che il numero massimo di fattori nei denominatori sia lo stesso:

Attenzione: se si cambiano i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nell'opposto. Quando cambiamo i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione viene nuovamente invertito. Di conseguenza, lui (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.

Scriviamo il primo denominatore per intero nel comune denominatore, quindi aggiungiamo ad esso tutti i fattori che non sono ancora stati scritti, dal secondo e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, va così:

Hmm ... Con le frazioni, è chiaro cosa fare. Ma che dire dei due?

È semplice: sai come sommare le frazioni, giusto? Quindi, devi assicurarti che il due diventi una frazione! Ricorda: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te ne fossi improvvisamente dimenticato). E non c'è niente di più facile che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:

Esattamente quello che serve!

5. Moltiplicazione e divisione di frazioni.

Bene, la parte più difficile ora è finita. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:

Procedura

Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda, considerando il valore di una tale espressione:

Hai contato?

Dovrebbe funzionare.

Quindi, ti ricordo.

Il primo passo è calcolare il grado.

Il secondo è la moltiplicazione e la divisione. Se ci sono più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, puoi farle in qualsiasi ordine.

E infine, eseguiamo addizione e sottrazione. Di nuovo, in qualsiasi ordine.

Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata fuori servizio!

Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, valutiamo prima l'espressione in ciascuna delle parentesi, quindi le moltiplichiamo o le dividiamo.

Cosa succede se ci sono altre parentesi all'interno delle parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Qual è la prima cosa da fare quando si valuta un'espressione? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.

Quindi, l'ordine delle azioni per l'espressione sopra è il seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, cioè l'azione che sto eseguendo in questo momento):

Ok, è tutto semplice.

Ma non è la stessa cosa di un'espressione con lettere, vero?

No, è lo stesso! Solo al posto delle operazioni aritmetiche è necessario eseguire operazioni algebriche, ovvero le operazioni descritte nella sezione precedente: portando simili, addizione di frazioni, riduzione di frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione di fattorizzazione dei polinomi (la usiamo spesso quando lavoriamo con le frazioni). Molto spesso, per la fattorizzazione, devi usare i o semplicemente togliere il fattore comune tra parentesi.

Di solito il nostro obiettivo è rappresentare un'espressione come prodotto o quoziente.

Per esempio:

Semplifichiamo l'espressione.

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. Lì abbiamo la differenza delle frazioni e il nostro obiettivo è rappresentarla come prodotto o quoziente. Quindi, portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:

È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione, tutti i fattori qui sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).

2) Otteniamo:

Moltiplicazione di frazioni: cosa potrebbe essere più facile.

3) Ora puoi accorciare:

OK è tutto finito ora. Niente di complicato, vero?

Un altro esempio:

Semplifica l'espressione.

Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo allora guarda la soluzione.

Soluzione:

Prima di tutto, definiamo la procedura.

Per prima cosa, aggiungiamo le frazioni tra parentesi, invece di due frazioni, ne verrà fuori una.

Poi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione.

Numererò schematicamente i passaggi:

Ora mostrerò l'intero processo, colorando l'azione corrente di rosso:

1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. In qualunque momento ne abbiamo di simili, è consigliabile portarli subito.

2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, deve essere utilizzata. L'eccezione sono le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora hanno gli stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere lasciata per dopo.

Ecco alcuni compiti che puoi risolvere da solo:

E promesso all'inizio:

Risposte:

Soluzioni (breve):

Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, allora, considera, hai padroneggiato l'argomento.

Ora sull'apprendimento!

CONVERSIONE DI ESPRESSIONE. RIASSUNTO E FORMULA DI BASE

Operazioni di semplificazione di base:

Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili, è necessario sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
Fattorizzazione: togliendo il fattore comune tra parentesi, applicando, ecc.
Riduzione della frazione: il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, da cui il valore della frazione non cambia.
1) numeratore e denominatore fattorizzare
2) se ci sono fattori comuni al numeratore e al denominatore, possono essere cancellati.
IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!
Addizione e sottrazione di frazioni:
;
Moltiplicazione e divisione di frazioni:
;

Un'espressione della forma a (m/n) , dove n è un numero naturale, m è un numero intero e la base di grado a è maggiore di zero, è chiamato grado con esponente frazionario. Inoltre vale la seguente uguaglianza. n√(a m) = a (m/n) .

Come già sappiamo, i numeri della forma m/n, dove n è un numero naturale ed m è un numero intero, sono chiamati numeri frazionari o razionali. Da quanto sopra si ottiene che il grado è definito, per ogni esponente razionale e per ogni base positiva del grado.

Per qualsiasi numero razionale p,q e qualsiasi a>0 e b>0, le seguenti uguaglianze sono vere:

1. (a p)*(a q) = a (p+q)
2. (a p): (b q) = a (p-q)
3. (a p) q = a (p*q)
4. (a*b) p = (a p)*(b p)
5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Queste proprietà sono ampiamente utilizzate durante la conversione di varie espressioni che contengono gradi con esponenti frazionari.

Esempi di trasformazioni di espressioni contenenti un grado con esponente frazionario

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi che dimostrano come queste proprietà possono essere utilizzate per trasformare le espressioni.

1. Calcola 7 (1/4) * 7 (3/4) .

7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Calcola 9 (2/3) : 9 (1/6) .

9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Calcolare (16 (1/3)) (9/4) .

(16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Calcola 24 (2/3) .

24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Calcola (8/27) (1/3) .

(8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Semplifica l'espressione ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Calcolare (25 (1/5))*(125 (1/5)).

(25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Semplifica l'espressione

(la (1/3) - la (7/3))/(la (1/3) - la (4/3)) - (la (-1/3) - la (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)).
(la (1/3) - la (7/3))/(la (1/3) - la (4/3)) - (la (-1/3) - la (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
= ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
= 1 + a - (1-a) = 2*a.

Come puoi vedere, utilizzando queste proprietà, puoi semplificare notevolmente alcune espressioni che contengono gradi con esponenti frazionari.

Consideriamo l'argomento della trasformazione delle espressioni con i poteri, ma prima ci soffermeremo su una serie di trasformazioni che possono essere eseguite con qualsiasi espressione, comprese quelle di potere. Impareremo come aprire le parentesi, dare termini simili, lavorare con la base e l'esponente, usare le proprietà delle potenze.

Cosa sono le espressioni di potenza?

Nel corso scolastico poche persone usano la frase "espressioni di potere", ma questo termine si trova costantemente nelle raccolte per la preparazione all'esame. Nella maggior parte dei casi, la frase denota espressioni che contengono gradi nelle loro voci. Questo è ciò che rifletteremo nella nostra definizione.

Definizione 1

Espressione di potereè un'espressione che contiene gradi.

Diamo diversi esempi di espressioni di potere, partendo da una laurea con esponente naturale e terminando con una laurea con esponente reale.

Le espressioni di potenza più semplici possono essere considerate potenze di un numero con esponente naturale: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + un 2 , x 3 - 1 , (un 2) 3 . Oltre alle potenze con esponente zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . E potenze con potenze intere negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

È un po' più difficile lavorare con una laurea che ha esponenti razionali e irrazionali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

L'indicatore può essere una variabile 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o un logaritmo x 2 l g x − 5 x l g x.

Abbiamo affrontato la questione di cosa siano le espressioni di potere. Ora diamo un'occhiata alla loro trasformazione.

I principali tipi di trasformazioni delle espressioni di potere

Prima di tutto, considereremo le trasformazioni di base dell'identità delle espressioni che possono essere eseguite con le espressioni di potenza.

Esempio 1

Calcola il valore dell'espressione di potenza 2 3 (4 2 - 12).

Soluzione

Effettueremo tutte le trasformazioni in conformità con l'ordine delle azioni. In questo caso, inizieremo eseguendo le azioni tra parentesi: sostituiremo il grado con un valore digitale e calcoleremo la differenza tra i due numeri. Abbiamo 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Resta da sostituire la laurea 2 3 il suo significato 8 e calcola il prodotto 8 4 = 32. Ecco la nostra risposta.

Risposta: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Esempio 2

Semplifica l'espressione con i poteri 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7.

Soluzione

L'espressione data a noi nella condizione del problema contiene termini simili, che possiamo portare: 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7 = 5 un 4 b - 7 - 1.

Risposta: 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7 = 5 un 4 b - 7 - 1 .

Esempio 3

Esprimi un'espressione con potenze di 9 - b 3 · π - 1 2 come prodotto.

Soluzione

Rappresentiamo il numero 9 come una potenza 3 2 e applica la formula di moltiplicazione abbreviata:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Risposta: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

E passiamo ora all'analisi delle trasformazioni identiche che possono essere applicate specificamente alle espressioni di potere.

Lavorare con base ed esponente

Il grado nella base o nell'esponente può avere numeri, variabili e alcune espressioni. Per esempio, (2 + 0 , 3 7) 5 - 3 , 7 E . È difficile lavorare con tali record. È molto più facile sostituire l'espressione nella base del grado o l'espressione nell'esponente con un'espressione identicamente uguale.

Le trasformazioni del grado e dell'indicatore vengono eseguite secondo le regole a noi note separatamente l'una dall'altra. La cosa più importante è che come risultato delle trasformazioni si ottiene un'espressione identica a quella originale.

Lo scopo delle trasformazioni è quello di semplificare l'espressione originale o di ottenere una soluzione al problema. Ad esempio, nell'esempio che abbiamo dato sopra, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 puoi eseguire operazioni per andare al grado 4 , 1 1 , 3 . Aprendo le parentesi, possiamo riportare termini simili nella base del grado (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) e ottieni un'espressione di potenza di una forma più semplice un 2 (x + 1).

Utilizzo delle proprietà di alimentazione

Le proprietà dei gradi, scritte come uguaglianze, sono uno degli strumenti principali per trasformare le espressioni con gradi. Vi presentiamo qui i principali, considerato questo UN E B sono tutti i numeri positivi, e R E S- numeri reali arbitrari:

Definizione 2

un r un s = un r + s ;
un r: un s = un r - s ;
(a b) r = a r b r ;
(a: b) r = a r: b r ;
(a r) s = a r s .

Nei casi in cui abbiamo a che fare con esponenti naturali, interi, positivi, le restrizioni sui numeri a e b possono essere molto meno stringenti. Quindi, per esempio, se consideriamo l'uguaglianza una m una n = una m + n, Dove M E N sono numeri naturali, allora sarà vero per qualsiasi valore di a, sia positivo che negativo, così come per un = 0.

È possibile applicare le proprietà dei gradi senza restrizioni nei casi in cui le basi dei gradi sono positive o contengono variabili il cui intervallo di valori accettabili è tale che le basi assumono solo valori positivi su di esso. Infatti, nell'ambito del curriculum scolastico in matematica, il compito dello studente è scegliere la proprietà appropriata e applicarla correttamente.

Durante la preparazione per l'ammissione alle università, potrebbero esserci compiti in cui l'applicazione imprecisa delle proprietà porterà a un restringimento dell'ODZ e ad altre difficoltà con la soluzione. In questa sezione considereremo solo due di questi casi. Ulteriori informazioni sull'argomento sono disponibili nell'argomento "Trasformazione di espressioni utilizzando le proprietà degli esponenti".

Esempio 4

Rappresenta l'espressione a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 come una laurea con una base UN.

Soluzione

Per cominciare, usiamo la proprietà esponenziale e trasformiamo il secondo fattore usandola (un 2) - 3. Quindi usiamo le proprietà di moltiplicazione e divisione dei poteri con la stessa base:

un 2 , 5 un − 6: un − 5 , 5 = un 2 , 5 − 6: un − 5 , 5 = un − 3 , 5: un − 5 , 5 = un − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = un 2 .

Risposta: un 2 , 5 (un 2) - 3: un - 5 , 5 = un 2 .

La trasformazione delle espressioni di potenza secondo la proprietà dei gradi può essere effettuata sia da sinistra a destra che nella direzione opposta.

Esempio 5

Trova il valore dell'espressione di potenza 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Soluzione

Se applichiamo l'uguaglianza (a b) r = a r b r, da destra a sinistra, quindi otteniamo un prodotto della forma 3 7 1 3 21 2 3 e poi 21 1 3 21 2 3 . Aggiungiamo gli esponenti quando moltiplichiamo le potenze con le stesse basi: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

C'è un altro modo per fare trasformazioni:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Risposta: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Esempio 6

Data un'espressione di potenza un 1 , 5 - un 0 , 5 - 6, inserisci una nuova variabile t = un 0 , 5.

Soluzione

Immagina la laurea un 1, 5 Come uno 0, 5 3. Utilizzo della proprietà degree in a degree (a r) s = a r s da destra a sinistra e ottieni (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Nell'espressione risultante, puoi facilmente introdurre una nuova variabile t = un 0 , 5: Ottenere t 3 - t - 6.

Risposta: t 3 - t - 6 .

Conversione di frazioni contenenti potenze

Di solito ci occupiamo di due varianti di espressioni di potenza con frazioni: l'espressione è una frazione con un grado o contiene tale frazione. Tutte le trasformazioni di frazione di base sono applicabili a tali espressioni senza restrizioni. Possono essere ridotti, portati a un nuovo denominatore, lavorare separatamente con numeratore e denominatore. Illustriamolo con degli esempi.

Esempio 7

Semplifica l'espressione di potenza 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Soluzione

Abbiamo a che fare con una frazione, quindi eseguiremo trasformazioni sia al numeratore che al denominatore:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Metti un meno davanti alla frazione per cambiare il segno del denominatore: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Risposta: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Le frazioni contenenti potenze sono ridotte a un nuovo denominatore allo stesso modo delle frazioni razionali. Per fare ciò, devi trovare un fattore aggiuntivo e moltiplicare per esso il numeratore e il denominatore della frazione. È necessario selezionare un fattore aggiuntivo in modo tale che non svanisca per alcun valore delle variabili dalle variabili ODZ per l'espressione originale.

Esempio 8

Porta le frazioni a un nuovo denominatore: a) a + 1 a 0, 7 al denominatore UN, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 al denominatore x + 8 y 1 2 .

Soluzione

a) Scegliamo un fattore che ci permetterà di ridurre a un nuovo denominatore. un 0 , 7 un 0 , 3 = un 0 , 7 + 0 , 3 = un , pertanto, come fattore aggiuntivo, prendiamo uno 0, 3. L'intervallo di valori ammissibili della variabile a comprende l'insieme di tutti i numeri reali positivi. In questo settore, il grado uno 0, 3 non va a zero.

Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore di una frazione per uno 0, 3:

la + 1 la 0, 7 = la + 1 la 0, 3 la 0, 7 la 0, 3 = la + 1 la 0, 3 la

b) Prestare attenzione al denominatore:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Moltiplica questa espressione per x 1 3 + 2 · y 1 6 , otteniamo la somma dei cubi x 1 3 e 2 · y 1 6 , cioè x + 8 · y 1 2 . Questo è il nostro nuovo denominatore, a cui dobbiamo portare la frazione originale.

Quindi abbiamo trovato un ulteriore fattore x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sulla gamma di valori accettabili di variabili X E si l'espressione x 1 3 + 2 y 1 6 non svanisce, quindi possiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per essa:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Risposta: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 e 1 2 .

Esempio 9

Ridurre la frazione: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - si 1 4 la 1 2 - si 1 2.

Soluzione

a) Usa il massimo comune denominatore (MCD) di cui il numeratore e il denominatore possono essere ridotti. Per i numeri 30 e 45, questo è 15 . Possiamo anche ridurre x0,5+1 e su x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Noi abbiamo:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Qui la presenza di fattori identici non è evidente. Dovrai eseguire alcune trasformazioni per ottenere gli stessi fattori nel numeratore e nel denominatore. Per fare ciò, espandiamo il denominatore usando la formula della differenza dei quadrati:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 un 1 4 + b 1 4

Risposta: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) un 1 4 - b 1 4 un 1 2 - b 1 2 = 1 un 1 4 + b 1 4 .

Le principali operazioni con le frazioni includono la riduzione a un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni. Entrambe le azioni vengono eseguite in conformità con una serie di regole. Quando si aggiungono e si sottraggono frazioni, le frazioni vengono prima ridotte a un denominatore comune, dopodiché le operazioni (addizione o sottrazione) vengono eseguite con i numeratori. Il denominatore rimane lo stesso. Il risultato delle nostre azioni è una nuova frazione, il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori.

Esempio 10

Eseguire i passaggi x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Soluzione

Iniziamo sottraendo le frazioni che sono tra parentesi. Portiamoli a un comune denominatore:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Sottraiamo i numeratori:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Ora moltiplichiamo le frazioni:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Riduciamo di un grado x 1 2, otteniamo 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Inoltre, puoi semplificare l'espressione della potenza nel denominatore usando la formula per la differenza dei quadrati: quadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Risposta: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Esempio 11

Semplifica l'espressione di potenza x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Soluzione

Possiamo ridurre la frazione di (x 2 , 7 + 1) 2. Otteniamo una frazione x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Continuiamo le trasformazioni di x potenze x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Ora puoi usare la proprietà di dividere le potenze con le stesse basi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7+1.

Passiamo dall'ultimo prodotto alla frazione x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Risposta: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Nella maggior parte dei casi è più conveniente trasferire moltiplicatori con esponente negativo dal numeratore al denominatore e viceversa cambiando il segno dell'esponente. Questa azione semplifica l'ulteriore decisione. Facciamo un esempio: l'espressione di potenza (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 può essere sostituita da x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Conversione di espressioni con radici e potenze

Nei compiti ci sono espressioni di potenza che contengono non solo gradi con esponenti frazionari, ma anche radici. È auspicabile ridurre tali espressioni solo alle radici o solo alle potenze. Il passaggio ai gradi è preferibile, poiché sono più facili da lavorare. Tale transizione è particolarmente vantaggiosa quando il DPV delle variabili per l'espressione originale consente di sostituire le radici con potenze senza dover accedere al modulo o suddividere il DPV in più intervalli.

Esempio 12

Esprimi l'espressione x 1 9 x x 3 6 come potenza.

Soluzione

Intervallo valido di una variabile Xè determinata da due disuguaglianze x ≥ 0 e x · x 3 ≥ 0 , che definiscono l'insieme [ 0 , + ∞) .

Su questo set, abbiamo il diritto di passare dalle radici ai poteri:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Utilizzando le proprietà dei gradi, semplifichiamo l'espressione di potenza risultante.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Risposta: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Conversione di potenze con variabili nell'esponente

Queste trasformazioni sono abbastanza semplici da eseguire se si utilizzano correttamente le proprietà del grado. Per esempio, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Possiamo sostituire il prodotto del grado, in base al quale si trova la somma di una variabile e di un numero. Sul lato sinistro, questo può essere fatto con il primo e l'ultimo termine sul lato sinistro dell'espressione:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Ora dividiamo entrambi i lati dell'equazione per 7 2x. Questa espressione sull'ODZ della variabile x assume solo valori positivi:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Riduciamo le frazioni con le potenze, otteniamo: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Infine, il rapporto di potenze con gli stessi esponenti è sostituito da potenze di rapporti, che porta all'equazione 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , che è equivalente a 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Introduciamo una nuova variabile t = 5 7 x , che riduce la soluzione dell'equazione esponenziale originale alla soluzione dell'equazione quadratica 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Conversione di espressioni con potenze e logaritmi

Le espressioni contenenti potenze e logaritmi si trovano anche nei problemi. Esempi di tali espressioni sono: 1 4 1 - 5 log 2 3 o log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . La trasformazione di tali espressioni viene effettuata utilizzando gli approcci discussi sopra e le proprietà dei logaritmi, che abbiamo analizzato in dettaglio nell'argomento "Trasformazione di espressioni logaritmiche".

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Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2020)

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Utilizzo delle proprietà di alimentazione

Conversione di frazioni contenenti potenze

Conversione di espressioni con radici e potenze

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Portare le frazioni a un comune denominatore.

a) I denominatori non contengono lettere

b) I denominatori contengono lettere

5. Moltiplicazione e divisione di frazioni.

CONVERSIONE DI ESPRESSIONE. RIASSUNTO E FORMULA DI BASE

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