Zlatni omjer - što je to? Jesu li Fibonaccijevi brojevi? Što je zajedničko spirali DNK, ljusci, galaksiji i egipatskim piramidama? Fibonaccijeva spirala je šifrirani zakon prirode.

Leonardo Fibonacci jedan je od najvećih matematičara srednjeg vijeka. U jednom od svojih djela "Knjiga računanja" Fibonacci je opisao indoarapski sustav računanja i prednosti njegove uporabe u odnosu na rimski.

Definicija
Fibonaccijevi brojevi ili Fibonaccijev niz je numerički niz koji ima niz svojstava. Na primjer, zbroj dvaju susjednih brojeva niza daje vrijednost sljedećeg (na primjer, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5, itd.), što potvrđuje postojanje tzv. Fibonaccijevih omjera. , tj konstantni omjeri.

Fibonaccijev niz počinje ovako: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Potpuna definicija Fibonaccijevih brojeva

3.


Svojstva Fibonaccijevog niza

4.

1. Omjer svakog broja prema sljedećem sve više teži 0,618 kako se redni broj povećava. Omjer svakog broja prema prethodnom teži 1,618 (obrnut prema 0,618). Broj 0,618 naziva se (PI).

2. Prilikom dijeljenja svakog broja sa sljedećim, nakon jedan, dobije se broj 0,382; naprotiv - odnosno 2.618.

3. Odabirom omjera na ovaj način dobivamo osnovni skup Fibonaccijevih koeficijenata:… 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Veza između Fibonaccijevog niza i "zlatnog omjera"

6.

Fibonaccijev niz asimptotski (približava se sve sporije) teži nekom konstantnom omjeru. Međutim, ovaj omjer je iracionalan, odnosno radi se o broju s beskonačnim, nepredvidivim slijedom decimalnih znamenki u razlomku. Nemoguće je to precizno izraziti.

Ako se bilo koji član Fibonaccijevog niza podijeli s onim koji mu prethodi (na primjer, 13:8), rezultat će biti vrijednost koja fluktuira oko iracionalne vrijednosti 1,61803398875 ... i, s vremena na vrijeme, onda to čini ne dosegnuti ga. Ali čak i kad smo dotaknuli Vječnost na njemu, nemoguće je točno znati omjer, do posljednje decimalne znamenke. Radi tvrdoće, prevest ćemo ga u obliku 1.618. Posebni nazivi za ovaj omjer počeli su se davati čak i prije nego što ga je Luca Pacioli (matematičar iz sredine stoljeća) nazvao božanskim omjerom. Među njegovim modernim nazivima postoje kao što su Zlatni omjer, Zlatna sredina i omjer rotirajućih kvadrata. Keplep je ovaj odnos nazvao jednim od "blaga geometrije". U algebri je njegova oznaka općenito prihvaćena grčkim slovom phi

Zamislimo zlatni rez koristeći segment linije kao primjer.

Razmotrimo segment s krajevima A i B. Neka točka C podijeli segment AB tako da,

AC / CB = CB / AB ili

AB / CB = CB / AC.

Možete to zamisliti ovako: A -– C --– B

7.

Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, pri čemu se cijeli segment odnosi na veći dio onoliko koliko se sam veći dio odnosi na manji; ili drugim riječima, manji segment se odnosi na veći kao veći na sve.

8.

Segmenti zlatnog omjera izraženi su beskonačnim iracionalnim razlomkom 0,618 ... ako se AB uzme kao jedinica, AC = 0,382 .. Kao što već znamo brojevi 0,618 i 0,382 su koeficijenti Fibonaccijevog niza.

9.

Fibonacci i zlatni omjeri u prirodi i povijesti

10.


Važno je napomenuti da je Fibonacci, takoreći, podsjetio na svoj slijed čovječanstvu. Bila je poznata čak i starim Grcima i Egipćanima. Doista, od tada su u prirodi, arhitekturi, likovnoj umjetnosti, matematici, fizici, astronomiji, biologiji i mnogim drugim područjima pronađeni obrasci opisani Fibonaccijevim koeficijentima. Nevjerojatno je koliko se konstanti može izračunati pomoću Fibonaccijevog niza i kako se njegovi članovi pojavljuju u velikom broju kombinacija. No, ne bi bilo pretjerano reći da ovo nije samo igra s brojevima, već najvažniji matematički izraz prirodnih fenomena ikada otkrivenih.

11.

Primjeri u nastavku pokazuju neke zanimljive primjene ovog matematičkog niza.

12.

1. Školjka je spiralno namotana. Ako ga rasklopite, dobit ćete duljinu malo inferiornu od duljine zmije. Mala školjka od 10 centimetara ima spiralu dugu 35 cm. Oblik spiralno uvijene školjke privukao je pažnju Arhimeda. Stvar je u tome da je omjer mjerenja kovrča ljuske konstantan i jednak 1,618. Arhimed je proučavao spiralu školjki i izveo jednadžbu za spiralu. Po njemu je nazvana spirala izvučena iz ove jednadžbe. Povećanje njezina koraka uvijek je ujednačeno. Trenutno se Arhimedova spirala široko koristi u tehnologiji.

2. Biljke i životinje. Čak je i Goethe isticao sklonost prirode spirali. Zavojni i spiralni raspored lišća na granama drveća uočen je davno. Spirala se vidjela u rasporedu sjemenki suncokreta, u šišarkama, ananasu, kaktusima itd. Zajednički rad botaničara i matematičara rasvijetlio je ove nevjerojatne prirodne pojave. Pokazalo se da se u rasporedu listova na grani sjemenki suncokreta, borovih češera, očituje Fibonaccijev niz, a samim tim i zakon zlatnog presjeka. Pauk plete mrežu na spiralni način. Uragan se vrti u spirali. Uplašeno krdo sobova raspršuje se u spiralu. Molekula DNK je uvijena u dvostruku spiralu. Goethe je spiralu nazvao "krivulja života".

Među travama uz cestu raste neupadljiva biljka - cikorija. Pogledajmo ga pobliže. Od glavne stabljike nastao je proces. Prvi list nalazi se upravo tamo. Izdanak vrši snažno izbacivanje u prostor, zaustavlja se, pušta list, ali je kraći od prvog, opet vrši izbacivanje u prostor, ali s manjom snagom, oslobađa list još manje veličine i ponovno izbacuje. Ako se prva emisija uzme kao 100 jedinica, onda je druga 62 jedinice, treća 38, četvrta 24, itd. Duljina latica također podliježe zlatnom omjeru. U rastu, osvajanju prostora, biljka je zadržala određene razmjere. Impulsi njegovog rasta postupno su se smanjivali proporcionalno zlatnom presjeku.

Gušter je živorodan. Kod guštera se na prvi pogled hvataju proporcije ugodne našim očima - duljina repa jednako je povezana s duljinom ostatka tijela kao 62 do 38.

I u biljnom i u životinjskom svijetu ustrajno se probija formativno sklonost prirode – simetrija u odnosu na smjer rasta i kretanja. Ovdje se zlatni omjer pojavljuje u omjerima dijelova okomitih na smjer rasta. Priroda je izvršila podjelu na simetrične dijelove i zlatne proporcije. U dijelovima se očituje ponavljanje strukture cjeline.

Pierre Curie je početkom ovog stoljeća formulirao niz dubokih ideja simetrije. Tvrdio je da se ne može razmatrati simetrija bilo kojeg tijela bez razmatranja simetrije okoline. Obrasci zlatne simetrije očituju se u energetskim prijelazima elementarnih čestica, u strukturi nekih kemijskih spojeva, u planetarnim i svemirskim sustavima, u genetskim strukturama živih organizama. Ovi obrasci, kao što je gore navedeno, nalaze se u strukturi pojedinih organa osobe i tijela u cjelini, a očituju se i u bioritmima te funkcioniranju mozga i vizualnoj percepciji.

3. Prostor. Iz povijesti astronomije poznato je da je I. Titius, njemački astronom iz 18. stoljeća, uz pomoć ovog niza (Fibonacci) pronašao pravilnost i red u udaljenostima između planeta Sunčevog sustava

Međutim, jedan slučaj koji je naizgled bio u suprotnosti sa zakonom: između Marsa i Jupitera nije bilo planeta. Koncentrirano promatranje ove regije neba dovelo je do otkrića asteroidnog pojasa. To se dogodilo nakon Ticijeve smrti početkom 19. stoljeća.

Fibonaccijev niz ima široku primjenu: koristi se za predstavljanje arhitektonike živih bića, struktura koje je napravio čovjek i strukture galaksija. Ove činjenice dokaz su neovisnosti brojevnog niza od uvjeta njegove manifestacije, što je jedan od znakova njegove univerzalnosti.

4. Piramide. Mnogi su pokušali razotkriti tajne piramide u Gizi. Za razliku od drugih egipatskih piramida, ovo nije grobnica, već nerješiva ​​zagonetka kombinacija brojeva. Izvanredna domišljatost, vještina, vrijeme i trud arhitekata piramide, koje su iskoristili u izgradnji vječnog simbola, ukazuju na iznimnu važnost poruke koju su željeli prenijeti budućim naraštajima. Njihovo je doba bilo prepismeno, prehijeroglifsko, a simboli su bili jedino sredstvo za bilježenje otkrića. Ključ geometrijsko-matematičke tajne piramide u Gizi, koja je tako dugo bila misterij za čovječanstvo, zapravo su Herodotu dali hramski svećenici, koji su ga obavijestili da je piramida izgrađena tako da područje od svako njegovo lice bilo je jednako kvadratu njegove visine.

Područje trokuta

356 x 440/2 = 78320

Kvadratno područje

280 x 280 = 78400

Duljina ruba baze piramide u Gizi je 783,3 stope (238,7 m), visina piramide je 484,4 stope (147,6 m). Duljina osnovnog rebra podijeljena s visinom dovodi do omjera F = 1,618. Visina od 484,4 stope odgovara 5813 inča (5-8-13) - to su brojevi iz Fibonaccijevog niza. Ova zanimljiva opažanja sugeriraju da se dizajn piramide temelji na omjeru Φ = 1,618. Neki moderni znanstvenici skloni su tumačiti da su ga stari Egipćani izgradili s jedinom svrhom prenošenja znanja koje su željeli sačuvati za buduće generacije. Intenzivna proučavanja piramide u Gizi pokazala su koliko je u to vrijeme bilo opsežno znanje matematike i astrologije. U svim unutarnjim i vanjskim proporcijama piramide, broj 1.618 igra središnju ulogu.

Piramide u Meksiku. Ne samo da su egipatske piramide građene u skladu sa savršenim omjerima zlatnog omjera, isti je fenomen pronađen i u meksičkim piramidama. Pojavljuje se ideja da su i egipatske i meksičke piramide u približno isto vrijeme podigli ljudi zajedničkog podrijetla.

Još uvijek postoje mnoge neriješene misterije u svemiru, od kojih su neke znanstvenici već uspjeli identificirati i opisati. Fibonaccijevi brojevi i zlatni omjer čine osnovu za rješavanje svijeta oko sebe, konstruiranja njegovog oblika i optimalne vizualne percepcije od strane osobe, uz pomoć kojih može osjetiti ljepotu i sklad.

Zlatni omjer

Princip određivanja veličine zlatnog presjeka temelji se na savršenstvu cijelog svijeta i njegovih dijelova u njegovoj strukturi i funkcijama, njegova se manifestacija može vidjeti u prirodi, umjetnosti i tehnologiji. Doktrina o zlatnom omjeru postavljena je kao rezultat proučavanja drevnih znanstvenika prirode brojeva.

Temelji se na teoriji o proporcijama i omjerima podjela segmenata, koju je izradio antički filozof i matematičar Pitagora. Dokazao je da će pri dijeljenju segmenta na dva dijela: X (manji) i Y (veći), omjer većeg i manjeg biti jednak omjeru njihovog zbroja (cijelog segmenta):

Rezultat je jednadžba: x 2 - x - 1 = 0, koji se rješava kao x = (1 ± √5) / 2.

Ako uzmemo u obzir omjer 1 / x, onda je jednak 1,618…

Dokazi o korištenju zlatnog omjera od strane antičkih mislilaca dani su u Euklidovoj knjizi "Počeci", napisanoj još u 3. stoljeću. Kr., koji je primijenio ovo pravilo za konstruiranje pravilnih 5-kuta. Među Pitagorejcima se ova figura smatra svetom, jer je i simetrična i asimetrična. Pentagram je simbolizirao život i zdravlje.

Fibonaccijevi brojevi

Poznata knjiga Liber abaci talijanskog matematičara Leonarda iz Pize, koji je kasnije postao poznat kao Fibonacci, objavljena je 1202. godine. U njoj znanstvenik prvi put navodi pravilnost brojeva u čijem je redu svaki broj zbroj 2 prethodne znamenke. Redoslijed Fibonaccijevih brojeva je sljedeći:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Znanstvenik je također naveo niz obrazaca:

• Bilo koji broj iz niza, podijeljen sa sljedećim, bit će jednak vrijednosti koja teži 0,618. Štoviše, prvi Fibonaccijevi brojevi ne daju takav broj, ali kako se odmičemo od početka niza, taj će omjer postajati sve točniji.
• Ako broj iz retka podijelimo s prethodnim, rezultat će skočiti na 1.618.
• Jedan broj podijeljen sa sljedećim iza jedan će pokazati vrijednost koja teži 0,382.

Primjenu veze i zakona zlatnog omjera, Fibonaccijevog broja (0,618) možemo pronaći ne samo u matematici, već i u prirodi, u povijesti, u arhitekturi i građevinarstvu te u mnogim drugim znanostima.

Arhimedova spirala i zlatni pravokutnik

Spirale, koje su vrlo česte u prirodi, istraživao je Arhimed, koji je čak i izveo njihovu jednadžbu. Spiralni oblik temelji se na zakonima zlatnog omjera. Kada se odvije, dobije se duljina na koju se mogu primijeniti proporcije i Fibonaccijevi brojevi, korak se ravnomjerno povećava.

Paralela između Fibonaccijevih brojeva i zlatnog omjera može se vidjeti konstruiranjem "zlatnog pravokutnika" sa stranicama proporcionalnim 1,618:1. Konstruira se, prelazeći iz velikog pravokutnika u male, tako da će duljine stranica biti jednake brojevima iz reda. Njegova konstrukcija može se izvesti obrnutim redoslijedom, počevši od okvira "1". Kada se uglovi ovog pravokutnika spoje linijama u središtu njihova sjecišta, dobiva se Fibonaccijeva spirala ili logaritamska spirala.

Povijest korištenja zlatnih proporcija

Mnogi drevni arhitektonski spomenici Egipta podignuti su u zlatnim proporcijama: poznate Keopsove piramide i dr. Arhitekti antičke Grčke naširoko su ih koristili u izgradnji arhitektonskih objekata kao što su hramovi, amfiteatri, stadioni. Na primjer, takve su proporcije korištene u izgradnji drevnog hrama Partenona, (Atena) i drugih objekata koji su postali remek-djela antičke arhitekture, pokazujući sklad utemeljen na matematičkim zakonima.

U kasnijim stoljećima zanimanje za zlatni omjer je splasnulo, a obrasci su zaboravljeni, ali su se ponovno obnovili u renesansi, zajedno s knjigom franjevačkog redovnika L. Paciolija di Borga "Božanski razmjer" (1509.). Sadržavao je ilustracije Leonarda da Vincija, koji je učvrstio novi naziv "zlatni omjer". Znanstveno je dokazano i 12 svojstava zlatnog omjera, a autor je govorio o tome kako se manifestira u prirodi, u umjetnosti i nazvao ga "principom izgradnje svijeta i prirode".

Vitruvijanski čovjek Leonardo

Crtež, kojim je Leonardo da Vinci ilustrirao Vitruvijevu knjigu 1492. godine, prikazuje ljudski lik u 2 položaja s raširenim rukama. Lik je upisan u krug i kvadrat. Ovaj crtež se smatra kanonskim proporcijama ljudskog tijela (muško), koje je opisao Leonardo na temelju svoje studije u raspravama rimskog arhitekta Vitruvija.

Pupak se smatra središtem tijela kao jednako udaljenom točkom od krajeva ruku i nogu, duljina ruku jednaka je visini osobe, maksimalna širina ramena = 1/8 visine, udaljenost od vrha prsa do kose = 1/7, od vrha prsa do vrha glave = 1/6 itd.

Od tada se crtež koristi kao simbol za prikaz unutarnje simetrije ljudskog tijela.

Leonardo je koristio izraz "zlatni omjer" za proporcionalne odnose u liku osobe. Na primjer, udaljenost od struka do stopala povezana je s istom udaljenosti od pupka do tjemena kao i visina do prve duljine (od struka prema dolje). Ovaj izračun se radi slično kao omjer segmenata pri izračunu zlatnog omjera i teži 1,618.

Sve ove skladne proporcije umjetnici često koriste za stvaranje lijepih i impresivnih komada.

Studije zlatnog omjera u 16.-19. stoljeću

Koristeći zlatni omjer i Fibonaccijeve brojeve, istraživanja o proporcijama traju stoljećima. Paralelno s Leonardom da Vincijem, njemački umjetnik Albrecht Durer također se bavio razvojem teorije ispravnih proporcija ljudskog tijela. Za to je čak stvorio poseban kompas.

U 16. stoljeću. pitanje odnosa između Fibonaccijevog broja i zlatnog omjera bilo je predmet radova astronoma I. Keplera, koji je prvi primijenio ova pravila na botaniku.

Novo "otkriće" čekalo je zlatni rez u 19. stoljeću. s objavom "Estetičkog istraživanja" njemačkog znanstvenika profesora Zeisiga. On je te razmjere uzdigao na apsolutne i objavio da su univerzalni za sve prirodne pojave. Proveo je studije velikog broja ljudi, odnosno njihovih tjelesnih proporcija (oko 2 tisuće), na temelju kojih su se izvukli zaključci o statistički potvrđenim obrascima u omjerima različitih dijelova tijela: duljini ramena, podlaktice, šake, prsti itd.

Proučavani su i umjetnički predmeti (vaze, arhitektonske konstrukcije), glazbeni tonovi, veličine pri pisanju pjesama - Zeisig je sve to odražavao kroz duljine segmenata i brojeva, uveo je i pojam "matematička estetika". Nakon dobivanja rezultata pokazalo se da se dobiva Fibonaccijev niz.

Fibonaccijev broj i zlatni rez u prirodi

U biljnom i životinjskom svijetu postoji tendencija formiranja formacije u obliku simetrije koja se promatra u smjeru rasta i kretanja. Podjela na simetrične dijelove, u kojima se promatraju zlatne proporcije, obrazac je svojstven mnogim biljkama i životinjama.

Priroda oko nas može se opisati Fibonaccijevim brojevima, na primjer:

• položaj lišća ili grana bilo koje biljke, kao i udaljenosti, povezani su s nizom zadanih brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i dalje;
• sjemenke suncokreta (ljuske na čunjevima, stanice ananasa), raspoređene u dva reda duž uvijenih spirala u različitim smjerovima;
• omjer duljine repa i cijelog tijela guštera;
• oblik jajeta, ako povučete liniju uvjetno kroz njegov široki dio;
• omjer veličine prstiju na ruci osobe.

I, naravno, najzanimljiviji oblici su spiralne školjke puževa, uzorci na paučini, kretanje vjetra unutar uragana, dvostruka spirala u DNK i struktura galaksija – sve to uključuje niz Fibonaccijevih brojeva .

Korištenje zlatnog omjera u umjetnosti

Istraživači koji traže primjere korištenja zlatnog omjera u umjetnosti detaljno istražuju različite arhitektonske objekte i slike. Poznata su skulpturalna djela čiji su se tvorci držali zlatnih proporcija - kipovi olimpskog Zeusa, Apolona Belvederea i

Jedna od kreacija Leonarda da Vincija - "Portret Mona Lise" - već je dugi niz godina predmet istraživanja znanstvenika. Otkrili su da se kompozicija djela u cijelosti sastoji od "zlatnih trokuta", spojenih u pravilnu zvijezdu peterokut. Sva da Vincijeva djela svjedoče koliko je bilo duboko njegovo poznavanje strukture i proporcija ljudskog tijela, zahvaljujući čemu je uspio uhvatiti nevjerojatno tajanstveni osmijeh La Gioconde.

Zlatni omjer u arhitekturi

Kao primjer, znanstvenici su proučavali arhitektonska remek-djela nastala prema pravilima "zlatnog presjeka": egipatske piramide, Panteon, Partenon, katedralu Notre Dame de Paris, katedralu sv. Vasilija itd.

Partenon - jedna od najljepših građevina u staroj Grčkoj (5. st. pr. Kr.) - ima 8 stupova i 17 na različitim stranama, omjer njegove visine i duljine stranica je 0,618. Izbočine na njegovim pročeljima izrađene su prema "zlatnom omjeru" (fotografija ispod).

Jedan od znanstvenika koji je izumio i uspješno primijenio poboljšanje modularnog sustava proporcija za arhitektonske objekte (tzv. "modulator") bio je francuski arhitekt Le Corbusier. Modulator se temelji na mjernom sustavu povezanom s uvjetnom podjelom na dijelove ljudskog tijela.

Ruski arhitekt M. Kazakov, koji je sagradio nekoliko stambenih zgrada u Moskvi, kao i zgrade Senata u Kremlju i Bolnicu Golitsyn (danas 1. Klinika nazvana po NI Pirogovu), bio je jedan od arhitekata koji su koristili zakone u dizajn i konstrukcija o zlatnom rezu.

Primjena proporcija u dizajnu

U dizajnu odjeće svi modni dizajneri izrađuju nove slike i modele uzimajući u obzir proporcije ljudskog tijela i pravila zlatnog omjera, iako po prirodi nemaju svi ljudi idealne proporcije.

Prilikom planiranja krajobraznog dizajna i stvaranja volumetrijskih parkovnih kompozicija pomoću biljaka (drveća i grmlja), fontana i malih arhitektonskih objekata, također se mogu primijeniti zakoni "božanskih proporcija". Uostalom, sastav parka trebao bi biti usmjeren na stvaranje dojma na posjetitelja, koji se može slobodno kretati u njemu i pronaći kompozicijsko središte.

Svi elementi parka su u takvim omjerima da uz pomoć geometrijske strukture, međusobnog rasporeda, osvjetljenja i svjetlosti, daju čovjeku dojam sklada i savršenstva.

Primjena zlatnog omjera u kibernetici i inženjerstvu

Obrasci zlatnog omjera i Fibonaccijevih brojeva očituju se i u energetskim prijelazima, u procesima koji se odvijaju s elementarnim česticama koje čine kemijske spojeve, u svemirskim sustavima, u genetskoj strukturi DNK.

Slični procesi se događaju u ljudskom tijelu, očitujući se u bioritmovima njegova života, u djelovanju organa, na primjer, mozga ili vida.

Algoritmi i obrasci zlatnih razmjera naširoko se koriste u modernoj kibernetici i informatici. Jedan od jednostavnih zadataka koji programeri početnici moraju riješiti je napisati formulu i odrediti zbroj Fibonaccijevih brojeva do određenog broja pomoću programskih jezika.

Suvremena istraživanja teorije zlatnog omjera

Od sredine 20. stoljeća naglo raste zanimanje za probleme i utjecaj obrazaca zlatnih razmjera na ljudski život, a od strane mnogih znanstvenika različitih struka: matematičara, etnosa, biologa, filozofa, medicinskih radnici, ekonomisti, glazbenici itd.

Od 1970-ih u SAD-u izlazi časopis The Fibonacci Quarterly, gdje se objavljuju radovi na ovu temu. U tisku postoje radovi u kojima se generalizirana pravila zlatnog omjera i Fibonaccijev niz koriste u raznim granama znanja. Na primjer, za kodiranje informacija, kemijska istraživanja, biološka itd.

Sve to potvrđuje zaključke antičkih i modernih znanstvenika da je zlatni rez višestrano povezan s temeljnim pitanjima znanosti i očituje se u simetriji mnogih kreacija i pojava svijeta oko nas.

prema knjizi B. Biggsa "Hedger je izašao iz magle"

O Fibonaccijevim brojevima i trgovanju

Kao uvod u temu, osvrnimo se ukratko na tehničku analizu. Ukratko, tehnička analiza ima za cilj predvidjeti buduće kretanje cijene imovine na temelju prošlih povijesnih podataka. Najpoznatija formulacija njegovih pristaša je da su u cijenu već uključeni svi potrebni podaci. Provedba tehničke analize započela je razvojem dioničkih špekulacija i vjerojatno do sada nije u potpunosti gotova jer potencijalno obećava neograničenu zaradu. Najpoznatije tehnike (pojmovi) u tehničkoj analizi su razine podrške i otpora, japanski svijećnjaci, obrasci koji najavljuju preokret cijene itd.

Paradoks situacije je, po mom mišljenju, sljedeći - većina opisanih metoda postala je toliko raširena da su, unatoč nedostatku baze dokaza o njihovoj učinkovitosti, doista dobila priliku utjecati na ponašanje tržišta. Stoga bi čak i skeptici koji koriste temeljne podatke trebali razmotriti ove koncepte jednostavno zato što ih uzima u obzir vrlo velik broj drugih igrača („tehničara“). Tehnička analiza može dobro funkcionirati na povijesti, ali praktički nitko ne može dosljedno zarađivati ​​s njom u praksi - puno je lakše obogatiti se objavljivanjem velike naklade knjige "Kako postati milijunaš koristeći tehničku analizu". .

U tom smislu izdvaja se Fibonaccijeva teorija, koja se također koristi za predviđanje cijena za različita razdoblja. Njegovi sljedbenici se obično nazivaju "vođama valova". Posebno se izdvaja po tome što se nije pojavio istodobno s tržištem, već puno ranije – čak 800 godina. Još jedna od njezinih posebnosti je da je teorija našla svoj odraz gotovo kao svjetski koncept za opisivanje svega i svakoga, a tržište je samo poseban slučaj za njezinu primjenu. Učinkovitost teorije i njezino trajanje daju joj nove pristaše i nove pokušaje da se na njezinoj osnovi sastavi najmanje kontroverzan i općeprihvaćen opis ponašanja tržišta. No, nažalost, teorija nije napredovala dalje od pojedinačnih uspješnih tržišnih predviđanja, što se može poistovjetiti sa srećom.

Bit Fibonaccijeve teorije

Fibonacci je živio dug, posebno za svoje vrijeme, život koji je posvetio rješavanju niza matematičkih problema, formulirajući ih u svom opsežnom djelu "Knjiga o Abakusu" (početak 13. stoljeća). Uvijek ga je zanimao misticizam brojeva – vjerojatno nije bio manje briljantan od Arhimeda ili Euklida. Probleme vezane uz kvadratne jednadžbe postavio je i djelomično riješio pred Fibonaccijem, na primjer, poznati Omar Khayyam, znanstvenik i pjesnik; međutim, Fibonacci je formulirao problem uzgoja kunića, zaključci iz kojih su mu doveli ono što je omogućilo da se njegovo ime ne izgubi u stoljećima.

Ukratko, zadatak je sljedeći. Par kunića postavljen je na mjesto ograđeno sa svih strana zidom, a svaki par kunića svakog mjeseca, počevši od drugog mjeseca svog postojanja, rađa još jedan par. Reprodukcija kunića u vremenu opisat će se slijedom: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 itd. S matematičke točke gledišta, slijed se pokazao jednostavno jedinstvenim, jer je imao niz izvanrednih svojstava:

• zbroj bilo koja dva uzastopna broja je sljedeći broj u nizu;

• omjer svakog broja u nizu, počevši od petog, do prethodnog, je 1,618;

• razlika između kvadrata bilo kojeg broja i kvadrata broja dva položaja lijevo bit će Fibonaccijev broj;

• zbroj kvadrata susjednih brojeva bit će Fibonaccijev broj, koji je dva mjesta iza većeg broja na kvadrat

Od ovih zaključaka, drugi je najzanimljiviji, jer koristi broj 1.618, poznat kao zlatni omjer. Taj je broj bio poznat već starim Grcima, koji su ga koristili u izgradnji Partenona (usput, prema nekim izvješćima, Središnja banka je služila Grcima). Ništa manje zanimljiva je činjenica da se broj 1.618 može naći u prirodi i na mikro- i na makrorazmjerama - od spiralnih zavoja na ljusci puža do velikih spirala kozmičkih galaksija. Piramide u Gizi, koje su stvorili stari Egipćani, tijekom svoje izgradnje također su sadržavale nekoliko parametara Fibonaccijevog niza odjednom. Oku najprijatnije izgleda pravokutnik čija je jedna strana 1.618 puta veća od druge - taj je omjer koristio Leonardo da Vinci za svoje slike, a u svakodnevnijem smislu ponekad se koristio za izradu prozora ili vrata. Čak se i val, kao na slici na početku članka, može predstaviti kao Fibonaccijeva spirala.

U živoj prirodi, Fibonaccijev se slijed očituje ne manje često - može se naći u kandžama, zubima, suncokretima, paučini, pa čak i u razmnožavanju bakterija. Po želji, dosljednost se nalazi u gotovo svemu, uključujući ljudsko lice i tijelo. Ipak, postoji mišljenje da su mnoge tvrdnje koje pronalaze Fibonaccijeve brojeve u prirodnim i povijesnim pojavama netočne - to je uobičajen mit koji se često ispostavi da nije točan za željeni rezultat.

Fibonaccijevi brojevi na financijskim tržištima

Jedan od prvih koji je najviše bio uključen u primjenu Fibonaccijevih brojeva na financijsko tržište bio je R. Elliot. Njegov rad nije bio uzaludan u smislu da se tržišni opisi koji koriste Fibonaccijevu teoriju često nazivaju "Elliottovim valovima". Razvoj tržišta ovdje se temeljio na modelu ljudskog razvoja iz superciklusa s tri koraka naprijed i dva koraka unatrag. Činjenica da se čovječanstvo razvija nelinearno je očigledna gotovo svima – znanje o starom Egiptu i atomističko učenje Demokrita potpuno su izgubljeni u srednjem vijeku, t.j. nakon otprilike 2000 godina; 20. stoljeće stvorilo je takav užas i beznačajnost ljudskog života, što je bilo teško zamisliti čak i u doba punskih ratova Grka. Međutim, čak i ako prihvatimo teoriju koraka i njihov broj kao istinitu, veličina svakog koraka ostaje nejasna, što Elliotove valove čini usporedivim s prediktivnom snagom glave i repa. Polazna točka i točan izračun broja valova bili su i vjerojatno će biti glavna slabost teorije.

Ipak, teorija je imala lokalne uspjehe. Bob Pretcher, koji se može smatrati Elliotovim učenikom, točno je predvidio bikovsko tržište ranih 80-ih, a 1987. - kao ključnu godinu. To se zapravo i dogodilo, nakon čega se Bob očito osjećao kao genije – barem je u očima drugih definitivno postao guru ulaganja. Prechterova pretplata na Elliott Wave Theorist te je godine narasla na 20.000.međutim, ona se smanjila početkom 1990-ih, budući da se predviđana "propast i tuga" američkog tržišta odlučila malo odgoditi. No, to je uspjelo za japansko tržište, a brojni pobornici teorije, koji su tamo "zakasnili" za jedan val, izgubili su ili kapital ili kapital klijenata svojih tvrtki. Na isti način i s istim uspjehom, teorija se često pokušava primijeniti na trgovanje na deviznom tržištu.

Teorija pokriva različita razdoblja trgovanja – od tjednih, što je čini sličnom standardnim strategijama tehničke analize, do izračunavanja za desetljeća, t.j. probija na teritorij temeljnih predviđanja. To je moguće mijenjanjem broja valova. Gore spomenute slabosti teorije dopuštaju njezinim pristašama da govore ne o nedosljednosti valova, već o vlastitim pogrešnim izračunima, uključujući netočno određivanje početnog položaja. Izgleda kao labirint – čak i ako imate pravu kartu, možete proći kroz nju samo ako razumijete točno gdje se nalazite. Inače je kartica beskorisna. U slučaju Elliottovih valova, postoje svi znakovi da sumnjate ne samo u ispravnost njegovog položaja, već i u ispravnost kartice kao takve.

zaključke

Valni razvoj čovječanstva ima stvarnu osnovu – u srednjem vijeku smjenjivali su se valovi inflacije i deflacije, kada su ratovi zamijenili relativno miran miran život. Promatranje Fibonaccijevog niza u prirodi, barem u nekim slučajevima, također je izvan sumnje. Stoga svatko ima pravo dati svoj odgovor na pitanje tko je Bog: matematičar ili generator slučajnih brojeva. Moje osobno mišljenje je da, iako se cjelokupna ljudska povijest i tržišta mogu predstaviti u konceptu vala, nitko ne može predvidjeti visinu i trajanje svakog vala.

Istodobno, 200 godina promatranja američkog tržišta i više od 100 godina za ostalo jasno daje do znanja da burza raste, prolazi kroz razna razdoblja rasta i stagnacije. Ta je činjenica sasvim dovoljna za dugoročnu zaradu na burzi, bez pribjegavanja kontroverznim teorijama i povjeravanja im većeg kapitala nego što bi trebalo biti unutar razumnih rizika.

Otkrijmo što je zajedničko između drevnih egipatskih piramida, slike Leonarda da Vincija "Mona Lisa", suncokreta, puža, šišarke i ljudskih prstiju?

Odgovor na ovo pitanje krije se u nevjerojatnim brojkama koje su otkrivene talijanski srednjovjekovni matematičar Leonardo iz Pize, poznatiji pod imenom Fibonacci (rođen oko 1170. - umro nakon 1228.), talijanski matematičar ... Putujući Istokom upoznao sam se s dostignućima arapske matematike; pridonijeli njihovom prelasku na Zapad.

Nakon njegovog otkrića, ti su se brojevi počeli zvati imenom slavnog matematičara. Nevjerojatna bit Fibonaccijevog niza je da se svaki broj u ovom nizu dobiva iz zbroja dva prethodna broja.

Dakle, brojevi koji čine niz:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

nazivaju se "Fibonaccijevi brojevi", a sam niz naziva se Fibonaccijevi niz.

Postoji jedna vrlo zanimljiva značajka kod Fibonaccijevih brojeva. Prilikom dijeljenja bilo kojeg broja iz niza brojem ispred njega u retku, rezultat će uvijek biti vrijednost koja fluktuira oko iracionalne vrijednosti 1,61803398875 ... i kroz vremena ili raste ili je ne doseže. (Napomena: iracionalan broj, tj. broj čiji je decimalni prikaz beskonačan i nije periodičan)

Štoviše, nakon 13. u nizu, ovaj rezultat dijeljenja postaje konstantan na neodređeno vrijeme ... Upravo se taj konstantni broj podjela u srednjem vijeku nazivao Božanskim omjerom, a danas se naziva zlatnim omjerom, zlatnom sredinom ili zlatnim omjerom ... U algebri se ovaj broj označava grčkim slovom phi (F)

Dakle, zlatni omjer = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Ljudsko tijelo i zlatni rez

Umjetnici, znanstvenici, modni dizajneri, dizajneri izrađuju svoje izračune, crteže ili skice na temelju omjera zlatnog omjera. Koriste mjere iz ljudskog tijela, također stvorene po principu zlatnog omjera. Leonardo Da Vinci i Le Corbusier, prije nego što su stvorili svoja remek-djela, uzeli su parametre ljudskog tijela, stvorenog prema zakonu zlatnog omjera.

Najvažnija knjiga svih modernih arhitekata, referentna knjiga E. Neuferta "Projektiranje zgrada" sadrži osnovne izračune parametara ljudskog tijela, koji sadrži zlatni omjer.

Proporcije različitih dijelova našeg tijela čine broj vrlo blizak zlatnom omjeru. Ako se ti omjeri podudaraju s formulom zlatnog omjera, tada se izgled ili tijelo osobe smatra savršeno presavijenim. Princip izračunavanja zlatne mjere na ljudskom tijelu može se prikazati kao dijagram:

M/m = 1,618

Prvi primjer zlatnog omjera u strukturi ljudskog tijela:
Ako uzmemo točku pupka kao središte ljudskog tijela, a udaljenost između stopala osobe i točke pupka kao jedinicu mjere, tada je visina osobe ekvivalentna 1,618.

Osim toga, postoji još nekoliko osnovnih zlatnih proporcija našeg tijela:

* udaljenost od vrhova prstiju do zapešća do lakta je 1: 1,618;

* udaljenost od razine ramena do tjemena i veličine glave je 1:1,618;

* udaljenost od točke pupka do tjemena i od razine ramena do tjemena je 1:1,618;

* udaljenost točke pupka do koljena i od koljena do stopala je 1: 1,618;

* udaljenost od vrha brade do vrha gornje usne i od vrha gornje usne do nosnica je 1:1,618;

* udaljenost od vrha brade do gornje linije obrva i od gornje linije obrva do tjemena je 1: 1,618;

* udaljenost od vrha brade do gornje linije obrva i od gornje linije obrva do tjemena je 1:1,618:

Zlatni omjer u ljudskim crtama lica kao kriterij savršene ljepote.

U strukturi ljudskih crta lica također je mnogo primjera koji se po vrijednosti približavaju formuli zlatnog omjera. Međutim, nemojte žuriti odmah za vladarom mjeriti lica svih ljudi. Jer točne korespondencije sa zlatnim rezom, prema znanstvenicima i umjetničkim ljudima, umjetnicima i kiparima, postoje samo u ljudima savršene ljepote. Zapravo, točna prisutnost zlatnog omjera na licu osobe je ideal ljepote za ljudsko oko.

Na primjer, ako zbrojimo širinu dva prednja gornja zuba i podijelimo taj iznos s visinom zuba, onda, nakon što smo dobili broj Zlatnog omjera, može se tvrditi da je struktura ovih zuba idealna.

Na ljudskom licu postoje i druge inkarnacije pravila zlatnog omjera. Evo nekih od ovih odnosa:

* Visina lica / širina lica;

* Središnja točka spoja usana s bazom nosa / duljina nosa;

* Visina lica / udaljenost od vrha brade do središnje točke spoja usana;

* Širina usta / širina nosa;

* Širina nosa / razmak između nosnica;

* Udaljenost između zjenica / udaljenost između obrva.

Ljudska ruka

Dovoljno je sada samo približiti dlan i pažljivo pogledati kažiprst i odmah ćete u njemu pronaći formulu zlatnog omjera. Svaki prst naše ruke sastoji se od tri falange.

* Zbroj prve dvije falange prsta u odnosu na cijelu dužinu prsta i daje broj zlatnog omjera (bez palca);

* Osim toga, omjer srednjeg prsta i malog prsta također je jednak zlatnom omjeru;

* Osoba ima 2 ruke, prsti na svakoj ruci sastoje se od 3 falange (bez palca). Svaka ruka ima 5 prstiju, odnosno ukupno 10, ali s iznimkom dva bifalangealna palca samo 8 prstiju nastaje po principu zlatnog omjera. Dok su svi ovi brojevi 2, 3, 5 i 8 brojevi Fibonaccijevog niza:

Zlatni omjer u strukturi ljudskih pluća

Američki fizičar B.D. West i dr. A.L. Goldberger je tijekom fizikalnih i anatomskih studija otkrio da zlatni omjer postoji i u strukturi ljudskih pluća.

Posebnost bronha koji čine ljudska pluća leži u njihovoj asimetriji. Bronhi se sastoje od dva glavna dišna puta, od kojih je jedan (lijevi) duži, a drugi (desni) kraći.

* Utvrđeno je da se ta asimetrija nastavlja u granama bronha, u svim manjim dišnim putovima. Štoviše, omjer duljine kratkih i dugih bronha također je zlatni omjer i jednak je 1: 1,618.

Struktura zlatnog ortogonalnog četverokuta i spirale

Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, pri čemu se cijeli segment odnosi na veći dio onoliko koliko se sam veći dio odnosi na manji; ili drugim riječima, manji segment se odnosi na veći kao veći na sve.

U geometriji, pravokutnik s ovim omjerom širine i visine počeo se nazivati ​​zlatnim pravokutnikom. Duge strane su u usporedbi s kratkim u omjeru 1,168:1.

Zlatni pravokutnik također ima mnoga nevjerojatna svojstva. Zlatni pravokutnik ima mnoga neobična svojstva. Odrežemo kvadrat od zlatnog pravokutnika čija je stranica jednaka manjoj strani pravokutnika, opet dobivamo manji zlatni pravokutnik. Ovaj proces se može nastaviti u nedogled. Kako nastavimo rezati kvadrate, dobit ćemo sve manje zlatne pravokutnike. Štoviše, oni će se nalaziti duž logaritamske spirale, što je važno u matematičkim modelima prirodnih objekata (na primjer, školjke puževa).

Spiralni stup leži na sjecištu dijagonala početnog pravokutnika i prvog okomitog reza koji treba rezati. Štoviše, dijagonale svih kasnijih opadajućih zlatnih pravokutnika leže na tim dijagonalama. Naravno, tu je i zlatni trokut.

Engleski dizajner i estetičar William Charlton izjavio je da su ljudi spiralni oblici ugodni za oko i da ih koriste tisućljećima, objašnjavajući to na sljedeći način:

"Sviđa nam se izgled spirale, jer je vizualno lako možemo vidjeti."

U prirodi

* Pravilo zlatnog omjera u osnovi strukture spirale se u prirodi vrlo često nalazi u kreacijama koje su neusporedive ljepote. Najživopisniji primjeri - spiralni oblik može se vidjeti u rasporedu sjemenki suncokreta, te u borovim češerima, u ananasu, kaktusima, strukturi latica ruže itd .;

* Botaničari su utvrdili da se u rasporedu listova na grani, sjemenki suncokreta ili šišarki jasno očituje Fibonaccijev niz, pa se stoga očituje i zakon zlatnog presjeka;

Svevišnji Gospodin je uspostavio posebnu mjeru i proporcionalnost za svako svoje stvorenje, što potvrđuju primjeri koji se nalaze u prirodi. Može se navesti mnogo primjera kada se proces rasta živih organizama odvija u strogom skladu s oblikom logaritamske spirale.

Sve opruge u svitku imaju isti oblik. Matematičari su otkrili da čak i s povećanjem veličine opruga oblik spirale ostaje nepromijenjen. Ne postoji drugi oblik u matematici koji ima ista jedinstvena svojstva kao spirala.

Struktura morskih školjki

Znanstvenici koji su proučavali unutarnju i vanjsku strukturu školjki mekih mekušaca koji žive na dnu mora izjavili su:

“Unutarnja površina školjki je besprijekorno glatka, dok je vanjska površina prekrivena hrapavostima i nepravilnostima. Mekušac je bio u ljusci, a za to je unutarnja površina školjke morala biti savršeno glatka. Vanjski kutovi-zavoji ljuske povećavaju njezinu čvrstoću, tvrdoću i time povećavaju njezinu čvrstoću. Savršenstvo i nevjerojatna inteligencija strukture ljuske (puža) je nevjerojatna. Spiralna ideja školjki je savršen geometrijski oblik i zadivljujuća je svojom uglađenom ljepotom."

Kod većine puževa koji imaju školjke, školjka raste u logaritamskoj spirali. Međutim, nema sumnje da ta nerazumna stvorenja nemaju pojma ne samo o logaritamskoj spirali, već nemaju ni najjednostavnije matematičko znanje kako bi sami sebi stvorili spiralnu ljusku.

Ali kako su onda ta nerazumna bića mogla odrediti i izabrati za sebe idealan oblik rasta i postojanja u obliku spiralne ljuske? Mogu li ta živa bića, koja svjetski znanstvenici nazivaju primitivnim oblicima života, izračunati da bi logaritamski oblik školjke bio idealan za njihovo postojanje?

Naravno da ne, jer se takav plan ne može ostvariti bez prisustva razuma i znanja. Ali ni primitivni mekušci, ni nesvjesna priroda, koju, međutim, neki znanstvenici nazivaju tvorcem života na zemlji (?!)

Pokušavati nastanak takvog čak i najprimitivnijeg oblika života objasniti slučajnim podudarnošću određenih prirodnih okolnosti u najmanju je ruku apsurdno. Jasno je da je ovaj projekt svjesna kreacija.

Biolog Sir D'arkey Thompson ovu vrstu rasta naziva školjkama "Forma rasta patuljaka."

Sir Thompson daje sljedeći komentar:

“Ne postoji jednostavniji sustav od rasta školjki, koje rastu i šire se proporcionalno, zadržavajući isti oblik. Ljuska, što je najčudnije, raste, ali nikada ne mijenja oblik."

Nautilus, promjera nekoliko centimetara, najdramatičniji je primjer rasta vrste gnoma. S. Morrison opisuje ovaj proces rasta nautilusa na sljedeći način, koji je prilično teško planirati čak i ljudskim umom:

“Unutar školjke nautilusa ima mnogo pretinaca-prostorija sa sedefastim pregradama, a sama školjka iznutra je spiralna koja se širi iz središta. Kako nautilus raste, u prednjem dijelu školjke raste još jedna prostorija, ali već veća od prethodne, a pregrade prostorije koje su ostale prekrivene su slojem sedefa. Dakle, spirala se cijelo vrijeme proporcionalno širi."

Evo samo nekih vrsta spiralnih školjki s logaritamskim rastom u skladu sa njihovim znanstvenim nazivima:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Svi otkriveni fosilni ostaci školjki također su imali razvijen spiralni oblik.

Međutim, logaritamski oblik rasta nalazi se u životinjskom carstvu ne samo kod mekušaca. Rogovi antilopa, divljih koza, ovnova i drugih sličnih životinja također se razvijaju u obliku spirale prema zakonima zlatnog omjera.

Zlatni rez u ljudskom uhu

U unutarnjem uhu osobe nalazi se organ koji se zove Cochlea ("Puž"), koji obavlja funkciju prijenosa zvučne vibracije. Ova koštana struktura ispunjena je tekućinom i također je stvorena u obliku puža, koji sadrži stabilan logaritamski spiralni oblik = 73º 43 '.

Rogovi i kljove životinja razvijaju se u obliku spirale

Kljove slonova i izumrlih mamuta, pandže lavova i kljunovi papiga logaritamskih su oblika i podsjećaju na oblik osi koja teži da se pretvori u spiralu. Pauci uvijek vrte svoje mreže u logaritamskoj spirali. Struktura mikroorganizama poput planktona (vrste globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae i trochida) također je spiralnog oblika.

Zlatni omjer u strukturi mikrosvjetova

Geometrijski oblici nisu ograničeni samo na trokute, kvadrate, peterokute ili šesterokute. Ako te figure na različite načine međusobno povežemo, tada dobivamo nove trodimenzionalne geometrijske oblike. Primjeri za to su oblici poput kocke ili piramide. No, osim njih, tu su i druge trodimenzionalne figure koje nismo morali susresti u svakodnevnom životu, a čija imena čujemo možda prvi put. Ove trodimenzionalne figure uključuju tetraedar (pravilan četverostrani lik), oktaedar, dodekaedar, ikosaedar itd. Dodekaedar se sastoji od 13 peterokuta, a ikosaedar od 20 trokuta. Matematičari primjećuju da se te brojke matematički vrlo lako transformiraju, a njihova se transformacija događa u skladu s formulom za logaritamsku spiralu zlatnog omjera.

U mikrokozmosu su posvuda rasprostranjeni trodimenzionalni logaritamski oblici građeni prema zlatnim proporcijama. ... Na primjer, mnogi virusi imaju trodimenzionalni geometrijski oblik ikosaedra. Možda je najpoznatiji od ovih virusa Adeno virus. Proteinski omotač adeno virusa formira se od 252 jedinice proteinskih stanica raspoređenih u određenom slijedu. U svakom kutu ikosaedra nalazi se 12 jedinica proteinskih stanica u obliku peterokutne prizme, a iz tih kutova protežu se strukture poput šiljaka.

Prvi put zlatni omjer u strukturi virusa otkriven je 1950-ih godina. znanstvenici s londonskog Birkbeck Collegea A. Klug i D. Kaspar. 13 Polio virus se prvi pojavio u logaritamskom obliku. Utvrđeno je da je oblik ovog virusa sličan onom kod virusa Rhino 14.

Postavlja se pitanje kako virusi tvore tako složene trodimenzionalne oblike, čija struktura sadrži zlatni omjer, koji je čak i našem ljudskom umu prilično teško konstruirati? Otkrivač ovih oblika virusa, virolog A. Klug, daje sljedeći komentar:

“Dr. Kaspar i ja smo pokazali da je za sferni omotač virusa najoptimalniji oblik simetrija, kao što je oblik ikosaedra. Ovakav raspored minimizira broj spojnih elemenata... Većina Buckminster Fullerovih geodetskih hemisfernih kocki izgrađena je na sličnom geometrijskom principu. 14 Ugradnja ovakvih kocki zahtijeva iznimno točan i detaljan dijagram objašnjenja. Dok nesvjesni virusi sami grade tako složenu ljusku od elastičnih, fleksibilnih proteinskih staničnih jedinica."

Talijanski matematičar Leonardo Fibonacci živio je u 13. stoljeću i bio je jedan od prvih u Europi koji je koristio arapske (indijske) brojeve. Došao je do pomalo umjetnog problema oko zečeva koji se uzgajaju na farmi, a svi se smatraju ženkama, mužjaci se zanemaruju. Kunići se počinju razmnožavati nakon što navrše dva mjeseca, a zatim svaki mjesec rađaju kunića. Zečevi nikad ne umiru.

Potrebno je odrediti koliko će zečeva biti na farmi u n mjeseci, ako je u početnom trenutku bio samo jedan novorođeni kunić.

Očito, farmer ima jednog zeca u prvom mjesecu i jednog zeca u drugom mjesecu. U trećem mjesecu bit će dva zeca, u četvrtom - tri, itd. Označimo broj zečeva u n mjesec kao. Tako,
,
,
,
,
, …

Može se konstruirati algoritam za pronalaženje za bilo koje n.

Prema stanju problema ukupan broj kunića
v n+1 mjesec se rastavlja na tri komponente:

jednomjesečni kunići nesposobni za rasplod, u količini

;

Dakle, dobivamo

. (8.1)

Formula (8.1) omogućuje izračunavanje niza brojeva: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Zovu se brojevi u ovom nizu Fibonaccijevi brojevi .

Ako prihvatite
i
, tada se pomoću formule (8.1) mogu odrediti svi ostali Fibonaccijevi brojevi. Formula (8.1) se zove ponavljajuća po formuli ( recidiva - "povratak" na latinskom).

Primjer 8.1. Pretpostavimo da se unutra nalazi stubište n korake. Na nju se možemo popeti korakom od jedne stepenice, ili - korakom od dvije stepenice. Koliko kombinacija različitih metoda dizanja postoji?

Ako n= 1, postoji samo jedno rješenje problema. Za n= 2 postoje 2 opcije: dva jednostruka ili jedna dvostruka. Za n= 3 postoje 3 opcije: tri jedinice koraka, ili jedna jedinica i jedna dvostruka, ili jedna dvostruka i jedna jedinica.

U sljedećem slučaju n= 4, imamo 5 mogućnosti (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

Kako bi na postavljeno pitanje odgovorili proizvoljnim n, broj opcija označavamo kao , i pokušajte definirati
prema poznatim i
... Ako počnemo s jednim korakom, onda imamo kombinacije za preostale n korake. Ako krenemo s dvostrukim korakom, onda imamo
kombinacije za preostale n– 1 korak. Ukupan broj opcija za n+1 stepenica jednako

. (8.2)

Rezultirajuća formula nalikuje formuli (8.1) kao blizanac. Međutim, to ne dopušta identificiranje broja kombinacija s Fibonaccijevim brojevima ... Vidimo to npr
, ali
... Međutim, dolazi do sljedećeg odnosa:

.

Ovo vrijedi za n= 1, 2, a vrijedi i za svaki n... Fibonaccijevi brojevi i broj kombinacija izračunavaju se po istoj formuli, ali početne vrijednosti
,
i
,
razlikuju se.

Primjer 8.2. Ovaj primjer je od praktične važnosti za probleme kodiranja s ispravljanjem pogrešaka. Pronađite broj svih binarnih riječi duljine n koji ne sadrže nekoliko nula u nizu. Ovaj broj označavamo sa ... Očito,
, a riječi duljine 2 koje zadovoljavaju naše ograničenje su: 10, 01, 11, t.j.
... Neka bude
- takva riječ iz n likovima. Ako simbol
, onda
može biti proizvoljan (
) -doslovna riječ koja ne sadrži nekoliko nula u nizu. Dakle, broj riječi s jedinicom na kraju je
.

Ako simbol
, onda sigurno
i prvi
simbol
može biti proizvoljan podložan razmatranim ograničenjima. Stoga postoji
dužina riječi n s nulom na kraju. Dakle, ukupan broj riječi koje nas zanimaju jednak je

.

S obzirom na to
i
, rezultirajući niz brojeva su Fibonaccijevi brojevi.

Primjer 8.3. U primjeru 7.6 otkrili smo da je broj binarnih riječi konstantne težine t(i dužina k) jednako ... Sada nalazimo broj binarnih riječi stalne težine t koji ne sadrže nekoliko nula u nizu.

Možete razmišljati ovako. Neka bude
broj nula u dotičnim riječima. Svaka riječ ima
praznine između najbližih nula, od kojih svaka sadrži jednu ili više jedinica. Pretpostavlja se da
... Inače, nema niti jedne riječi bez susjednih nula.

Uklonimo li točno jednu jedinicu iz svakog intervala, tada ćemo dobiti riječ duljine
koji sadrži nule. Svaka takva riječ može se dobiti na naznačen način od nekih (i, štoviše, samo jedne) k-doslovna riječ koja sadrži nule, od kojih dvije nisu jedna do druge. Dakle, traženi broj se podudara s brojem svih riječi duljine
sadrži točno nule, tj. jednaki
.

Primjer 8.4. Dokažimo da je zbroj
jednaka je Fibonaccijevim brojevima za bilo koji cijeli broj ... Simbol
označava najmanji cijeli broj veći ili jednak ... Na primjer, ako
, onda
; što ako
, onda
staviti strop("strop"). Također se pojavljuje simbol
što stoji za najveći cijeli broj manji ili jednak ... Na engleskom se ova operacija zove kat ("kat").

Ako
, onda
... Ako
, onda
... Ako
, onda
.

Dakle, za razmatrane slučajeve, zbroj je stvarno jednak Fibonaccijevim brojevima. Sada dajemo dokaz za opći slučaj. Budući da se Fibonaccijevi brojevi mogu dobiti pomoću rekurentne jednadžbe (8.1), tada mora biti zadovoljena jednakost:

.

A zapravo radi:

Ovdje smo koristili formulu (4.4) dobivenu ranije:
.

Zbroj Fibonaccijevih brojeva

Odredimo zbroj prvog n Fibonaccijevi brojevi.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Lako je vidjeti da dodavanjem jedinice desnoj strani svake jednadžbe ponovno dobivamo Fibonaccijev broj. Opća formula za određivanje zbroja prvog n Fibonaccijevi brojevi su:

Dokažimo to metodom matematičke indukcije. Da biste to učinili, zapišite:

Ovaj iznos bi trebao biti jednak
.

Smanjenjem lijeve i desne strane jednadžbe za –1 dobivamo jednadžbu (6.1).

Formula za Fibonaccijeve brojeve

Teorem 8.1. Fibonaccijevi brojevi mogu se izračunati pomoću formule

.

Dokaz... Provjerimo valjanost ove formule za n= 0, 1, a zatim dokazati valjanost ove formule za proizvoljno n indukcijom. Izračunajmo omjer dva najbliža Fibonaccijeva broja:

Vidimo da omjer ovih brojeva fluktuira oko 1,618 (ako zanemarimo prvih nekoliko vrijednosti). Po ovom svojstvu, Fibonaccijevi brojevi nalikuju članovima geometrijske progresije. prihvatit ćemo
, (
). Zatim izraz

pretvoren u

koji nakon pojednostavljenja izgleda ovako

.

Dobili smo kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni jednaki:

Sada možemo napisati:

(gdje c je konstantan). Oba člana i ne daju Fibonaccijeve brojeve kao
, dok
... Međutim, razlika
zadovoljava rekurentnu jednadžbu:

Za n= 0 ova razlika daje , to je:
... Međutim, sa n= 1 imamo
... Dobiti
, potrebno je prihvatiti:
.

Sada imamo dva niza: i
koji počinju s ista dva broja i zadovoljavaju istu formulu ponavljanja. Moraju biti jednaki:
... Teorem je dokazan.

Uzlazni nčlan postaje vrlo velika, dok
, te uloga člana u razlika je smanjena. Stoga, za velike n možemo otprilike napisati

.

Zanemarujemo 1/2 (budući da se Fibonaccijevi brojevi penju do beskonačnosti sa n do beskonačnosti).

Stav
pozvao Zlatni omjer, koristi se izvan matematike (na primjer, u kiparstvu i arhitekturi). Zlatni omjer je omjer između dijagonale i strane pravilan pentagon(slika 8.1).

Riža. 8.1. Pravilni peterokut i njegove dijagonale

Za označavanje zlatnog omjera uobičajeno je koristiti slovo
u čast slavnog atenskog kipara Fidija.

primarni brojevi

Svi prirodni brojevi, velike jedinice, spadaju u dvije klase. Prvi uključuje brojeve koji imaju točno dva prirodna djelitelja, jedan i sebe, a drugi - sve ostale. Pozivaju se brojevi prve klase jednostavan, a drugi - sastavni... Prosti brojevi unutar prve tri desetice: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Svojstva prostih brojeva i njihov odnos sa svim prirodnim brojevima proučavao je Euklid (3. st. pr. Kr.). Ako redom zapišete proste brojeve, primijetit ćete da se njihova relativna gustoća smanjuje. U prvih deset ih ima 4, tj. 40%, u sto - 25, t.j. 25%, na tisuću - 168, t.j. manje od 17%, na milijun - 78498, t.j. manje od 8% itd. Međutim, njihov ukupan broj je beskonačan.

Među prostim brojevima postoje parovi takvih čija je razlika jednaka dva (tzv. jednostavni blizanci), ali konačnost ili beskonačnost takvih parova nije dokazana.

Euklid je smatrao očitim da se množenjem samo prostih brojeva mogu dobiti svi prirodni brojevi, a svaki prirodni broj može se predstaviti kao proizvod prostih brojeva jedinstveno (do reda faktora). Dakle, prosti brojevi čine multiplikativnu osnovu za prirodni niz.

Proučavanje distribucije prostih brojeva dovelo je do stvaranja algoritma koji vam omogućuje dobivanje tablica prostih brojeva. Ovaj algoritam je Eratostenovo sito(3. st. pr. Kr.). Ova metoda se sastoji u uklanjanju (na primjer, precrtavanjem) tih cijelih brojeva danog niza
koji su djeljivi s barem jednim od prostih brojeva manjim od
.

Teorema 8 . 2 . (Euklidov teorem). Broj prostih brojeva je beskonačan.

Dokaz... Dokažimo Euklidov teorem o beskonačnosti broja prostih brojeva metodom koju je predložio Leonard Euler (1707–1783). Euler je smatrao proizvod nad svim prostim brojevima str:

na
... Ovaj umnožak konvergira, a ako ga proširimo, onda, zbog jedinstvenosti razlaganja prirodnih brojeva na proste faktore, ispada da je jednak zbroju niza , odakle slijedi Eulerov identitet:

.

Budući da je u
red s desne strane divergira (harmonični niz), tada Euklidov teorem slijedi iz Eulerovog identiteta.

Ruski matematičar P.L. Čebišev (1821-1894) izveo je formulu koja određuje granice u kojima je broj prostih brojeva zatvoren
ne prelazi x:

,

gdje
,
.