स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण - ज्ञान हाइपरमार्केट

नौकरी का प्रकार: 7

शर्त

रेखा y = 3x + 2 फलन y = -12x ^ 2 + bx-10 के आलेख की स्पर्श रेखा है। बी खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम है।

समाधान

मान लीजिए x_0 फलन y = -12x ^ 2 + bx-10 के ग्राफ पर बिंदु का भुज है, जिससे होकर इस ग्राफ की स्पर्शरेखा गुजरती है।

बिंदु x_0 पर अवकलज का मान स्पर्शरेखा की प्रवणता के बराबर होता है, अर्थात् y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फलन के दोनों ग्राफ से संबंधित होता है। और स्पर्शरेखा, अर्थात् -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. हमें समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है। \ start (केस) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ अंत (मामलों)

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x_0 ^ 2 = 1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0 = -1, या x_0 = 1। शर्त के अनुसार, स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम होता है, इसलिए x_0 = -1, फिर b = 3 + 24x_0 = -21।

उत्तर

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

शर्त

रेखा y = -3x + 4 फलन y = -x ^ 2 + 5x-7 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्श बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान

फ़ंक्शन y = -x ^ 2 + 5x-7 के एक मनमाना बिंदु पर सीधी रेखा का ढलान x_0 y "(x_0) के बराबर है। लेकिन y" = - 2x + 5, इसलिए y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. स्थिति में निर्दिष्ट सीधी रेखा y = -3x + 4 का कोणीय गुणांक -3 के बराबर है। समानांतर रेखाओं का ढलान समान है। इसलिए, हम x_0 का ऐसा मान पाते हैं कि = -2x_0 + 5 = -3।

हमें मिलता है: x_0 = 4।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

शर्त

समाधान

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A (-6; 2) और B (-1; 1) से होकर गुजरती है। हम C (-6; 1) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु x = -6 और y = 1 से निरूपित करते हैं और \ alpha कोण ABC (आप चित्र में देख सकते हैं कि यह न्यून है)। तब रेखा AB, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण \ pi - \ alpha बनाती है।

जैसा कि आप जानते हैं, tg (\ pi - \ alpha) बिंदु x_0 पर फलन f (x) के अवकलज का मान होगा। नोटिस जो tg \ alpha = \ frac (AC) (CB) = \ frac (2-1) (- 1 - (- 6)) = \ frac15.यहाँ से, कमी सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: टीजी (\ पीआई - \ अल्फा) = -टीजी \ अल्फा = - \ फ्रैक15 = -0.2।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

शर्त

रेखा y = -2x-4 फलन y = 16x ^ 2 + bx + 12 के आलेख की स्पर्श रेखा है। बी खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से बड़ा है।

समाधान

मान लीजिए x_0 फलन y = 16x ^ 2 + bx + 12 के ग्राफ पर एक बिंदु का भुज है, जिससे होकर

इस ग्राफ की स्पर्शरेखा है।

बिंदु x_0 पर अवकलज का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है, अर्थात y "(x_0) = 32x_0 + b = -2। दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के दोनों ग्राफ से संबंधित होता है। और स्पर्शरेखा, यानी 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = - 2x_0-4। हमें समीकरणों की प्रणाली मिलती है \ start (केस) 32x_0 + b = -2, \\ 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = -2x_0-4। \ अंत (मामलों)

सिस्टम को हल करने पर, हमें x_0 ^ 2 = 1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0 = -1, या x_0 = 1। शर्त के अनुसार, स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से बड़ा होता है, इसलिए x_0 = 1, फिर b = -2-32x_0 = -34।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

शर्त

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 6 के समानांतर होती है।

समाधान

सीधी रेखा y = 6 ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु) होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 चरम बिंदु हैं।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

शर्त

रेखा y = 4x-6, फलन y = x ^ 2-4x + 9 के ग्राफ की स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्श बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान

फ़ंक्शन y = x ^ 2-4x + 9 के एक मनमाना बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढलान x_0 y "(x_0) के बराबर है। लेकिन y" = 2x-4, इसलिए y "(x_0) = 2x_0 -4. शर्त में निर्दिष्ट स्पर्शरेखा y = 4x-7 का ढलान 4 है। समानांतर रेखाओं का ढलान समान है। इसलिए, हम x_0 का मान इस तरह पाते हैं कि 2x_0-4 = 4। हमें मिलता है: x_0 = 4 .

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

शर्त

यह आंकड़ा फलन y = f (x) का ग्राफ और भुज x_0 के साथ बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x_0 पर फलन f (x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A (1; 1) और B (5; 4) से होकर गुजरती है। हम C (5; 1) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु x = 5 और y = 1 से निरूपित करते हैं और \ alpha कोण BAC (आकृति में आप देख सकते हैं कि यह न्यून है)। तब सरल रेखा AB, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण \ alpha बनाती है।

वीडियो पाठ "एक फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए एक स्पर्शरेखा का समीकरण" विषय में महारत हासिल करने के लिए शैक्षिक सामग्री को प्रदर्शित करता है। वीडियो पाठ के दौरान, किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण की अवधारणा बनाने के लिए आवश्यक सैद्धांतिक सामग्री प्रस्तुत की जाती है, इस तरह के स्पर्शरेखा को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म, अध्ययन की गई सैद्धांतिक सामग्री का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के उदाहरण हैं वर्णित है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन तकनीकों का उपयोग करता है जो सामग्री की स्पष्टता में सुधार करती हैं। प्रेजेंटेशन में चित्र, डायग्राम डाले जाते हैं, महत्वपूर्ण वॉयस कमेंट दिए जाते हैं, एनिमेशन लगाया जाता है, रंग और अन्य टूल्स के साथ हाइलाइट किया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल पाठ के विषय की प्रस्तुति और बिंदु M (a; f (a)) पर कुछ फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ पर स्पर्शरेखा की छवि के साथ शुरू होता है। यह ज्ञात है कि किसी दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा रेखा का ढलान किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन f΄ (a) के व्युत्पन्न के बराबर होता है। साथ ही, बीजगणित के क्रम से सरल रेखा y = kx + m का समीकरण ज्ञात होता है। एक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने की समस्या का समाधान योजनाबद्ध रूप से प्रस्तुत किया जाता है, जिसे गुणांक k, m खोजने के लिए घटाया जाता है। फ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित बिंदु के निर्देशांक जानने के बाद, हम स्पर्शरेखा समीकरण f (a) = ka + m में निर्देशांक के मान को प्रतिस्थापित करके m पा सकते हैं। इससे हम m = f (a) -ka पाते हैं। इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर अवकलज का मान और बिंदु के निर्देशांक जानने के बाद, आप स्पर्शरेखा के समीकरण को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं y = f (a) + f΄ (a) (x-a)।

निम्नलिखित योजना के बाद एक स्पर्शरेखा समीकरण तैयार करने का एक उदाहरण है। एक फलन y = x 2, x = -2 दिया गया है। a = -2 लेते हुए, हम इस बिंदु f (a) = f (-2) = (- 2) 2 = 4 पर फलन का मान ज्ञात करते हैं। फलन f΄ (x) = 2x का अवकलज ज्ञात कीजिए। इस बिंदु पर, व्युत्पन्न f΄ (a) = f΄ (-2) = 2 · (-2) = - 4 है। समीकरण बनाने के लिए, सभी गुणांक पाए जाते हैं a = -2, f (a) = 4, f΄ (a) = - 4, इसलिए, स्पर्शरेखा y = 4 + (- 4) (x + 2) का समीकरण . समीकरण को सरल बनाने पर हमें y = -4-4x प्राप्त होता है।

निम्नलिखित उदाहरण फ़ंक्शन y = tgx के ग्राफ़ पर मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने का प्रस्ताव करता है। इस बिंदु पर a = 0, f (0) = 0, f΄ (x) = 1 / cos 2 x, f΄ (0) = 1। तो स्पर्शरेखा समीकरण y = x जैसा दिखता है।

एक सामान्यीकरण के रूप में, एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण को तैयार करने की प्रक्रिया को 4 चरणों वाले एल्गोरिदम के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है:

• स्पर्शरेखा के बिंदु के एब्सिस्सा का पदनाम पेश किया गया है;
• एफ (ए) की गणना की जाती है;
• एफ (एक्स) निर्धारित किया जाता है और एफ΄ (ए) की गणना की जाती है। पाए गए मान a, f (a), f΄ (a) को स्पर्शरेखा समीकरण y = f (a) + f΄ (a) (x-a) के सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण 1 बिंदु x = 1 पर फ़ंक्शन y = 1 / x के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण के आरेखण पर विचार करता है। हम समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं। बिंदु a = 1 पर दिए गए फलन के लिए फलन f (a) = -1 का मान। फ़ंक्शन f΄ (x) = 1 / x 2 का व्युत्पन्न। बिंदु a = 1 पर अवकलज f΄ (a) = f΄ (1) = 1 है। प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखा y = -1 + (x-1), या y = x-2 के लिए एक समीकरण तैयार किया जाता है।

उदाहरण 2 में, आपको फ़ंक्शन y = x 3 + 3x 2 -2x-2 के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने की आवश्यकता है। मुख्य शर्त स्पर्शरेखा और सीधी रेखा y = -2x + 1 की समानता है। सबसे पहले, हम सीधी रेखा y = -2x + 1 के ढलान के बराबर स्पर्शरेखा का ढलान पाते हैं। चूँकि दी गई रेखा के लिए f΄ (a) = - 2, तो वांछित स्पर्शरेखा के लिए k = -2। फलन (x 3 + 3x 2 -2x-2) = 3x 2 + 6x-2 का अवकलज ज्ञात कीजिए। यह जानते हुए कि f΄ (a) = - 2, हम बिंदु 3a 2 + 6a-2 = -2 के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। समीकरण को हल करने पर, हमें 1 = 0 और 2 = -2 मिलता है। पाए गए निर्देशांक का उपयोग करके, आप एक प्रसिद्ध एल्गोरिथम का उपयोग करके स्पर्शरेखा समीकरण पा सकते हैं। f (a 1) = - 2, f (a 2) = - 18 बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात कीजिए। बिंदु f΄ (a 1) = f΄ (a 2) = - 2 पर अवकलज का मान पाए गए मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पहले बिंदु के लिए 1 = 0 y = -2x-2 प्राप्त करते हैं, और दूसरे बिंदु के लिए 2 = -2 स्पर्शरेखा समीकरण y = -2x-22 प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 3 स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण के संकलन का वर्णन करता है ताकि इसे फ़ंक्शन y = x के ग्राफ़ पर बिंदु (0; 3) पर खींचा जा सके। समाधान एक प्रसिद्ध एल्गोरिथम के अनुसार बनाया गया है। स्पर्शरेखा बिंदु के निर्देशांक x = a हैं, जहाँ a> 0. बिंदु f (a) = x पर फलन का मान। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न f΄ (x) = 1/2√x, इसलिए इस बिंदु पर f΄ (a) = 1/2√a। सभी प्राप्त मानों को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम y = a + (x-a) / 2√a प्राप्त करते हैं। समीकरण को बदलने पर, हमें y = x / 2√a + a / 2 मिलता है। यह जानते हुए कि स्पर्शरेखा बिंदु (0; 3) से गुजरती है, हम a का मान ज्ञात करते हैं। 3 = a / 2 से a ज्ञात कीजिए। अत: a = 6, a = 36। स्पर्श रेखा y = x / 12 + 3 का समीकरण ज्ञात कीजिए। यह आंकड़ा विचाराधीन फलन का ग्राफ और निर्मित वांछित स्पर्शरेखा रेखा को दर्शाता है।

विद्यार्थियों को लगभग समानताएं y = ≈f΄ (x) Δx और f (x + Δx) -f (x) ≈f΄ (x) x याद दिलाया जाता है। x = a, x + x = x, Δx = x-a लेते हुए, हम f (x) - f (a) f΄ (a) (x-a) प्राप्त करते हैं, इसलिए f (x) ≈f (a) + f΄ ( ए) (एक्सए)।

उदाहरण 4 में व्यंजक 2.03 6 का लगभग मान ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि f (x) = x 6 का मान x = 2.003 पर ज्ञात करना आवश्यक है, इसलिए हम f (x) = x 6, a = 2, f (a) लेकर प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। ) = f (2) = 64, f (x) = 6x 5. बिंदु f΄ (2) = 192 पर अवकलज। इसलिए, 2.003 6 65-192 0.003। व्यंजक की गणना करने पर, हमें 2.003 6 64.576 प्राप्त होता है।

स्कूल में एक पारंपरिक गणित पाठ में उपयोग के लिए वीडियो पाठ "एक फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा का समीकरण" की सिफारिश की जाती है। एक ऑनलाइन शिक्षक के लिए, वीडियो विषय को अधिक स्पष्ट रूप से समझाने में मदद करेगा। यदि आवश्यक हो तो विषय की अपनी समझ को गहरा करने के लिए छात्रों द्वारा स्वयं समीक्षा के लिए वीडियो की सिफारिश की जा सकती है।

पाठ कोड:

हम जानते हैं कि यदि बिंदु M (a; f (a)) (em निर्देशांक a और ff a से) फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ से संबंधित है और यदि इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है फलन का ग्राफ, जो अक्ष भुज के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का ढलान f "(a) (ए से eff प्राइम) के बराबर है।

मान लीजिए कि एक फलन y = f (x) और एक बिंदु M (a; f (a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f´ (a) मौजूद है। आइए किसी दिए गए बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें। यह समीकरण, किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह, जो समन्वय अक्ष के समानांतर नहीं है, का रूप y = kx + m है (खेल ka x plus em के बराबर है), इसलिए कार्य गुणांक के मूल्यों को खोजना है के और एम। (का और एम)

ढलान k = f "(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि मांगी गई रेखा बिंदु M (a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब है कि यदि हम बिंदु M के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं सीधी रेखा के समीकरण में, हम सही समानता प्राप्त करते हैं: f (a) = ka + m, जहाँ से हम पाते हैं कि m = f (a) - ka।

यह गुणांक k और m के पाए गए मानों को सीधी रेखा के समीकरण में स्थानापन्न करने के लिए बनी हुई है:

वाई = केएक्स + (एफ (ए) -का);

वाई = एफ (ए) + के (एक्स-ए);

आप= एफ(ए)+ एफ"(ए) (एक्स- ए). (मान एक प्लस से eff के बराबर है ef एक गुणा से x माइनस a)।

हमें फलन y = f (x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण x = a पर प्राप्त होता है।

यदि, मान लीजिए, y = x 2 और x = -2 (अर्थात a = -2), तो f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´ (x) = 2x, इसलिए f "(a) = f´ (-2) = 2 · (-2) = -4। a से ef स्ट्रोक माइनस चार के बराबर है)

समीकरण में पाए गए मान a = -2, f (a) = 4, f "(a) = -4 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = 4 + (- 4) (x + 2), अर्थात y = -4x -4।

(y माइनस फोर x माइनस फोर के बराबर है)

आइए हम फलन y = tgx (y, x की स्पर्शरेखा के बराबर) के मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें। हमारे पास है: a = 0, f (0) = tg0 = 0;

एफ "(एक्स) =, तो एफ" (0) = एल। समीकरण में पाए गए मान a = 0, f (a) = 0, f´ (a) = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = x।

आइए हम एल्गोरिथम का उपयोग करके बिंदु x पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को खोजने के लिए अपने चरणों को सामान्य करें।

ग्राफ़ फ़ंक्शन के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम y = f (x):

1) अक्षर a के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु के भुज को निरूपित करें।

2) एफ (ए) की गणना करें।

3) f´ (x) खोजें और f´ (a) की गणना करें।

4) सूत्र में पाई गई संख्याओं a, f (a), f´ (a) को प्रतिस्थापित कीजिए आप= एफ(ए)+ एफ"(ए) (एक्स- ए).

उदाहरण 1. फलन y = - in . के आलेख में स्पर्श रेखा का समीकरण बनाइए

बिंदु एक्स = 1।

समाधान। हम इस उदाहरण में इस बात को ध्यान में रखते हुए एल्गोरिदम का उपयोग करेंगे

2) एफ (ए) = एफ (1) = - = -1

3) एफ´ (एक्स) =; एफ´ (ए) = एफ´ (1) = = 1।

4) मिली तीन संख्याओं को प्रतिस्थापित करें: a = 1, f (a) = -1, f "(a) = 1 सूत्र में। हमें मिलता है: y = -1+ (x-1), y = x-2 .

उत्तर: वाई = एक्स-2।

उदाहरण 2. एक फलन दिया हुआ है y = एक्स 3 + 3x 2 -2x-2... सरल रेखा y = -2x +1 के समानांतर फलन y = f (x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए।

स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम इस उदाहरण में f (x) = . को ध्यान में रखते हैं एक्स 3 + 3x 2 -2x-2, लेकिन स्पर्शरेखा बिंदु का भुज यहां इंगित नहीं किया गया है।

आइए इस तरह सोचना शुरू करें। वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = -2x + 1 के समानांतर होनी चाहिए। तथा समान्तर सीधी रेखाओं में समान ढाल होते हैं। इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा का ढलान दी गई सीधी रेखा के ढलान के बराबर है: k cas. = -2। हॉक कैस। = f "(a)। इस प्रकार, हम समीकरण f (a) = -2 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें वाई =एफ(एक्स):

एफ"(एक्स) = (x 3 + 3x 2 -2x-2) ´ = 3x 2 + 6x-2;एफ"(ए) = 3ए 2 + 6ए-2।

समीकरण f "(a) = -2 से, अर्थात्। 3ए 2 + 6ए-2= -2 हम पाते हैं a 1 = 0, a 2 = -2। इसका मतलब है कि दो स्पर्शरेखाएं हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करती हैं: एक बिंदु पर एब्सिसा 0 के साथ, दूसरा एब्सिसा -2 के साथ एक बिंदु पर।

अब आप एल्गोरिथ्म का पालन कर सकते हैं।

1) ए 1 = 0, और 2 = -2।

2) च (ए 1) = 0 3 + 3 0 2 -2 0-2 = -2; च (ए 2) = (-2) 3 + 3 (-2) 2 -2 (-2) -2 = 6;

3) एफ "(ए 1) = एफ" (ए 2) = -2।

4) सूत्र में a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

वाई = -2-2 (एक्स -0), वाई = -2x-2।

सूत्र में a 2 = -2, f (a 2) = 6, f "(a 2) = -2 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

वाई = 6-2 (एक्स + 2), वाई = -2x + 2.

उत्तर: y = -2x-2, y = -2x + 2।

उदाहरण 3. बिंदु (0; 3) से फलन y = के आलेख पर एक स्पर्श रेखा खींचिए। समाधान। आइए इस उदाहरण में f (x) = को ध्यान में रखते हुए, स्पर्शरेखा समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें। ध्यान दें कि यहां, जैसा कि उदाहरण 2 में है, स्पर्श बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

1) मान लीजिए x = a स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है; यह स्पष्ट है कि ए> 0।

3) एफ´ (एक्स) = () =; एफ´ (ए) =।

4) मानों को a, f (a) =, f "(a) = सूत्र में प्रतिस्थापित करना

वाई = एफ (ए) + एफ "(ए) (एक्स-ए), हम पाते हैं:

परिकल्पना से, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 3) से होकर गुजरती है। समीकरण में x = 0, y = 3 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 3 =, और आगे = 6, a = 36।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, केवल एल्गोरिथम के चौथे चरण में, हम स्पर्शरेखा बिंदु के भुज को खोजने में कामयाब रहे। मान a = 36 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: y = + 3

अंजीर में। 1 माना उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण दिखाता है: फ़ंक्शन y = का ग्राफ प्लॉट किया गया है, सीधी रेखा y = +3 खींची गई है।

उत्तर: वाई = +3।

हम जानते हैं कि फ़ंक्शन y = f (x) के लिए, जिसका बिंदु x पर व्युत्पन्न है, एक अनुमानित समानता मान्य है: yf´ (x) x (डेल्टा y लगभग x के अभाज्य के बराबर है, जिसे डेल्टा से गुणा किया जाता है) एक्स)

या, अधिक विवरण में, f (x + x) -f (x) f´ (x) Δx (x से eff प्लस डेल्टा x घटा x से eff लगभग x से डेल्टा x तक eff के बराबर है)।

आगे तर्क करने की सुविधा के लिए, हम संकेतन बदलते हैं:

x के स्थान पर हम लिखेंगे ए,

x + x के स्थान पर हम x . लिखते हैं

x के स्थान पर हम x-a लिखेंगे।

तब ऊपर लिखी गई अनुमानित समानता का रूप लेगी:

एफ (एक्स) -एफ (ए) एफ´ (ए) (एक्स-ए)

एफ (एक्स) एफ (ए) + एफ´ (ए) (एक्स-ए)। (x से ef, a से जमा ef से ef के लगभग बराबर है, x और a के बीच के अंतर से गुणा किया जाता है)।

उदाहरण 4. एक संख्यात्मक व्यंजक 2.03 6 का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम बिंदु x = 2.003 पर फलन y = x 6 का मान ज्ञात करने की बात कर रहे हैं। आइए इस उदाहरण में f (x) = x 6, a = 2, f (a) = f (2) को ध्यान में रखते हुए सूत्र f (x) f (a) + f´ (a) (xa) का उपयोग करें। = 2 6 = 64; x = 2.003, f "(x) = 6x 5 और इसलिए f" (a) = f "(2) = 6 · 2 5 = 192।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

2.003 6 64 + 192 0.003, अर्थात। 2.003 6 = 64.576।

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

2,003 6 = 64,5781643...

जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन की सटीकता काफी स्वीकार्य है।

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

यह कुछ फ़ंक्शन y = f (x) को दर्शाता है, जो बिंदु a पर अवकलनीय है। निर्देशांक के साथ चिह्नित बिंदु एम (ए; एफ (ए))। ग्राफ़ के एक मनमाना बिंदु P (a + x; f (a + x)) से एक छेदक MR खींचा जाता है।

यदि अब बिंदु P को ग्राफ के अनुसार बिंदु M पर स्थानांतरित किया जाता है, तो रेखा MP बिंदु M के चारों ओर घूमेगी। इस स्थिति में, x शून्य की ओर जाएगा। इसलिए, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा की परिभाषा तैयार कर सकते हैं।

फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा सेकेंट की सीमित स्थिति होती है। यह समझा जाना चाहिए कि बिंदु x0 पर फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न के अस्तित्व का अर्थ है कि ग्राफ के इस बिंदु पर मौजूद है स्पर्शरेखाउसे।

इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान इस बिंदु f '(x0) पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होगा। यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है। बिंदु x0 पर अवकलनीय फलन f के ग्राफ की स्पर्शरेखा बिंदु (x0; f (x0)) से गुजरने वाली और ढलान f '(x0) वाली कोई सीधी रेखा है।

स्पर्शरेखा समीकरण

आइए बिंदु A (x0; f (x0)) पर किसी फ़ंक्शन f के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को प्राप्त करने का प्रयास करें। ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार है:

चूंकि हमारा ढलान व्युत्पन्न के बराबर है च '(x0), तो समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा: y = च '(x0)* एक्स + बी।

अब b के मान की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु A से होकर गुजरता है।

f (x0) = f '(x0) * x0 + b, यहाँ से हम b को व्यक्त करते हैं और b = f (x0) - f' (x0) * x0 प्राप्त करते हैं।

परिणामी मान को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें:

y = f '(x0) * x + b = f' (x0) * x + f (x0) - f '(x0) * x0 = f (x0) + f' (x0) * (x - x0)।

y = f (x0) + f '(x0) * (x - x0)।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: फ़ंक्शन f (x) = x 3 - 2 * x 2 + 1 के बिंदु x = 2 पर स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

2.f (x0) = f (2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1।

3.f '(x) = 3 * x 2 - 4 * x।

4.f '(x0) = f' (2) = 3 * 2 2 - 4 * 2 = 4।

5. प्राप्त मानों को स्पर्शरेखा सूत्र में रखें, हम प्राप्त करते हैं: y = 1 + 4 * (x - 2)। कोष्ठकों का विस्तार करने और समान पद देने पर, हम पाते हैं: y = 4 * x - 7।

उत्तर: वाई = 4 * एक्स - 7।

स्पर्शरेखा समीकरण बनाने की सामान्य योजनाफ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ में:

1. x0 ज्ञात कीजिए।

2. एफ (x0) की गणना करें।

3. गणना करें f '(x)

स्पर्शरेखाएक सीधी रेखा है जो वक्र पर एक बिंदु से गुजरती है और इस बिंदु पर इसके साथ पहले क्रम तक मेल खाती है (चित्र 1)।

एक और परिभाषा: यह . पर secant की सीमित स्थिति है एक्स→0.

व्याख्या: एक सीधी रेखा लीजिए जो वक्र को दो बिंदुओं पर काटती है: एतथा बी(रेखा - चित्र देखें)। यह एक सेकेंट है। हम इसे तब तक दक्षिणावर्त घुमाएंगे जब तक कि यह वक्र के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु न पा ले। यह हमें एक स्पर्श रेखा देगा।

स्पर्शरेखा की सख्त परिभाषा:

फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा एफबिंदु पर अवकलनीय एक्सहे, बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है ( एक्सहे; एफ(एक्सहे)) और ढलान वाले एफ′( एक्सहे).

ढलान में रूप की एक सीधी रेखा होती है वाई =केएक्स +बी... गुणक कऔर है ढालयह सीधी रेखा।

ढलान भुज अक्ष के साथ इस सीधी रेखा द्वारा गठित न्यून कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है:

यहाँ कोण α सरल रेखा के बीच का कोण है वाई =केएक्स +बीऔर भुज की धनात्मक (अर्थात वामावर्त) दिशा। यह कहा जाता है एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण(चित्र 1 और 2)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है वाई =केएक्स +बीतीव्र है, तो ढाल एक धनात्मक संख्या है। ग्राफ बढ़ रहा है (चित्र 1)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है वाई =केएक्स +बीअधिक है, तो ढाल ऋणात्मक है। ग्राफ घट रहा है (चित्र 2)।

यदि सरल रेखा भुज अक्ष के समांतर हो, तो सरल रेखा का झुकाव कोण शून्य होता है। इस स्थिति में, सरल रेखा का ढाल भी शून्य होता है (क्योंकि शून्य की स्पर्श रेखा शून्य होती है)। सरल रेखा समीकरण का रूप y = b होगा (चित्र 3)।

यदि एक सीधी रेखा का झुकाव कोण 90º (π / 2) है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो सीधी रेखा समानता द्वारा दी जाती है एक्स =सी, कहां सी- कुछ वास्तविक संख्या (अंजीर। 4)।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरणआप = एफ(एक्स) बिंदु पर एक्सहे:

उदाहरण: फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) = एक्स 3 – 2एक्स 2 + 1 बिंदु पर भुज 2 के साथ।

समाधान ।

हम एल्गोरिथ्म का पालन करते हैं।

1) स्पर्श बिंदु एक्सहे 2 के बराबर है। गणना करें एफ(एक्सहे):

एफ(एक्सहे) = एफ(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) खोजें एफ′( एक्स) ऐसा करने के लिए, हम पिछले अनुभाग में उल्लिखित विभेदीकरण सूत्रों को लागू करते हैं। इन सूत्रों के अनुसार, एन एस 2 = 2एन एस, ए एन एस 3 = 3एन एस 2. माध्यम:

एफ′( एक्स) = 3एन एस 2 – 2 ∙ 2एन एस = 3एन एस 2 – 4एन एस.

अब परिणामी मान का उपयोग करना एफ′( एक्स), हम गणना करते हैं एफ′( एक्सहे):

एफ′( एक्सहे) = एफ(2) = 3 2 2 - 4 ∙ 2 = 12 - 8 = 4.

3) तो, हमारे पास सभी आवश्यक डेटा हैं: एक्सहे = 2, एफ(एक्सहे) = 1, एफ ′( एक्सहे) = 4. इन संख्याओं को स्पर्शरेखा समीकरण में रखें और अंतिम हल खोजें:

वाई = एफ(एक्सहे) + एफ′( एक्सहे) (एक्स - एक्स ओ) = 1 + 4 (x - 2) = 1 + 4x - 8 = -7 + 4x = 4x - 7।

उत्तर: y = 4x - 7।

उदाहरण 1।समारोह दिया गया है एफ(एक्स) = 3एक्स 2 + 4एक्स- 5. फलन के आलेख में स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए एफ(एक्स) भुज के साथ ग्राफ के बिंदु पर एक्स 0 = 1.

समाधान।एक समारोह का व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x . के लिए मौजूद है आर ... आइए इसे ढूंढते हैं:

= (3एक्स 2 + 4एक्स- 5) = 6 एक्स + 4.

फिर एफ(एक्स 0) = एफ(1) = 2; (एक्स 0) = = 10. स्पर्शरेखा समीकरण है:

आप = (एक्स 0) (एक्स – एक्स 0) + एफ(एक्स 0),

आप = 10(एक्स – 1) + 2,

आप = 10एक्स – 8.

उत्तर। आप = 10एक्स – 8.

उदाहरण 2।समारोह दिया गया है एफ(एक्स) = एक्स 3 – 3एक्स 2 + 2एक्स+ 5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए एफ(एक्स) सीधी रेखा के समानांतर आप = 2एक्स – 11.

समाधान।एक समारोह का व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x . के लिए मौजूद है आर ... आइए इसे ढूंढते हैं:

= (एक्स 3 – 3एक्स 2 + 2एक्स+ 5) = 3 एक्स 2 – 6एक्स + 2.

चूँकि फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा एफ(एक्स) एब्सिस्सा के साथ बिंदु पर एक्स 0 सीधी रेखा के समानांतर आप = 2एक्स- 11, तो इसका ढाल 2 है, अर्थात ( एक्स 0) = 2. आइए इस भुज को इस शर्त से ज्ञात करें कि 3 एक्स– 6एक्स 0 + 2 = 2. यह समानता केवल के लिए मान्य है एक्स 0 = 0 और के लिए एक्स 0 = 2. चूंकि दोनों स्थितियों में एफ(एक्स 0) = 5, फिर सीधी रेखा आप = 2एक्स + बीफ़ंक्शन के ग्राफ़ को या तो बिंदु (0; 5), या बिंदु (2; 5) पर स्पर्श करता है।

पहले मामले में, संख्यात्मक समानता सत्य है 5 = 2 × 0 + बी, कहां बी= 5, और दूसरे मामले में, संख्यात्मक समानता सत्य है 5 = 2 × 2 + बी, कहां बी = 1.

अत: दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं आप = 2एक्स+ 5 और आप = 2एक्सफंक्शन ग्राफ के लिए +1 एफ(एक्स) सीधी रेखा के समानांतर आप = 2एक्स – 11.

उत्तर। आप = 2एक्स + 5, आप = 2एक्स + 1.

उदाहरण 3.समारोह दिया गया है एफ(एक्स) = एक्स 2 – 6एक्स+ 7. फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें एफ(एक्स) बिंदु से गुजरना ए (2; –5).

समाधान।चूंकि एफ(2) -5, फिर बिंदु एफ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित नहीं है एफ(एक्स) रहने दो एक्स 0 स्पर्श बिंदु का भुज है।

एक समारोह का व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x . के लिए मौजूद है आर ... आइए इसे ढूंढते हैं:

= (एक्स 2 – 6एक्स+ 1) = 2 एक्स – 6.

फिर एफ(एक्स 0) = एक्स– 6एक्स 0 + 7; (एक्स 0) = 2एक्स 0 - 6. स्पर्शरेखा समीकरण है:

आप = (2एक्स 0 – 6)(एक्स – एक्स 0) + एक्स– 6एक्स+ 7,

आप = (2एक्स 0 – 6)एक्स– एक्स+ 7.

बिंदु के बाद से एस्पर्शरेखा रेखा के अंतर्गत आता है, तो संख्यात्मक समानता

–5 = (2एक्स 0 - 6) × 2– एक्स+ 7,

कहां एक्स 0 = 0 या एक्स 0 = 4. इसका मतलब है कि बिंदु के माध्यम से एआप फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर दो स्पर्शरेखा खींच सकते हैं एफ(एक्स).

अगर एक्स 0 = 0, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप होता है आप = –6एक्स+ 7. अगर एक्स 0 = 4, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप होता है आप = 2एक्स – 9.

उत्तर। आप = –6एक्स + 7, आप = 2एक्स – 9.

उदाहरण 4.दिए गए कार्य एफ(एक्स) = एक्स 2 – 2एक्स+ 2 और जी(एक्स) = –एक्स 2 - 3. आइए हम इन फलनों के आलेखों में उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान।रहने दो एक्स 1 - फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ वांछित सीधी रेखा के स्पर्शरेखा के बिंदु का भुज एफ(एक्स), ए एक्स 2 - फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ एक ही सीधी रेखा के स्पर्शरेखा के बिंदु का भुज जी(एक्स).

एक समारोह का व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x . के लिए मौजूद है आर ... आइए इसे ढूंढते हैं:

= (एक्स 2 – 2एक्स+ 2) = 2 एक्स – 2.

फिर एफ(एक्स 1) = एक्स– 2एक्स 1 + 2; (एक्स 1) = 2एक्स 1 - 2. स्पर्शरेखा समीकरण है:

आप = (2एक्स 1 – 2)(एक्स – एक्स 1) + एक्स– 2एक्स 1 + 2,

आप = (2एक्स 1 – 2)एक्स – एक्स+ 2. (1)

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें जी(एक्स):

= (–एक्स 2 - 3) = -2 एक्स.