संभावनाओं के सिद्धांत के बारे में स्कूलबॉय - Lyticas V.S. गणित के स्कूल वर्ष में संभाव्यता सिद्धांत की नींव सीखने की विशेषताएं

देशभक्ति स्कूल में गणितीय शिक्षा में सुधार करने का सवाल 20 वीं शताब्दी के उत्कृष्ट गणितज्ञों के शुरुआती 60 के दशक में रखा गया था। वी। Gratenko, एएन। कोल्मोगोरोव, आई.आई. Kikoin, ए.आई. मार्कुशेविच, ए। हिनचिन। बीवी ग्राउंडन्को ने लिखा: "बहुत समय पहले रहा है और आगे जमा को बर्दाश्त नहीं करता है, गणित की स्कूल मुद्रा में संभाव्य-सांख्यिकीय ज्ञान के गणित तत्वों को पेश करने का मुद्दा। कठोर दृढ़ संकल्प के नियम, जो हमारी स्कूल शिक्षा द्वारा पूरी तरह से उन्मुख है, केवल एक तरफा दुनिया के सार को प्रकट करता है। कई घटनाओं की वास्तविकता की यादृच्छिक प्रकृति हमारे स्कूली बच्चों के ध्यान से बाहर है। इसके परिणामस्वरूप, कई प्राकृतिक और सामाजिक प्रक्रियाओं की प्रकृति के बारे में उनके विचार एक तरफा और आधुनिक विज्ञान के लिए अपर्याप्त हैं। उन्हें सांख्यिकीय कानूनों के साथ पेश करना आवश्यक है जो वस्तुओं और घटनाओं के अस्तित्व के बहुमुखी संचार को प्रकट करते हैं। " में और। लेविन ने लिखा: "... सांख्यिकीय संस्कृति के लिए आवश्यक ... गतिविधियों को कम उम्र से उठाया जाना चाहिए। विकसित देशों में संयोग से नहीं, इस पर बहुत अधिक ध्यान दिया जाता है: संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों के तत्वों के साथ, छात्र पहले से ही पहले स्कूल के वर्षों से परिचित हो चुके हैं और उनकी पढ़ाई में हर रोज सामान्य परिस्थितियों के विश्लेषण के लिए संभाव्य सांख्यिकीय दृष्टिकोण अवशोषित हो गए हैं जिंदगी। " 80 के दशक के सुधार, प्रोफ़ाइल कक्षाओं के कार्यक्रमों में संभाव्यता और आंकड़ों के सिद्धांत के तत्वों को विशेष रूप से, भौतिक-गणितीय और प्राकृतिक वैज्ञानिक, साथ ही साथ गणित के अध्ययन के वैकल्पिक पाठ्यक्रम में शामिल किया गया था। छात्रों की सोच के व्यक्तिगत गुणों को विकसित करने की तत्काल आवश्यकता को देखते हुए, संभाव्यता सिद्धांत पर वैकल्पिक पाठ्यक्रमों के लेखक के विकास दिखाई देते हैं। इसका एक उदाहरण कोर्स एन.एन. Avdeeva 7 और 9 कक्षाओं के आंकड़ों के अनुसार और उच्च विद्यालय के 10 वीं कक्षा के लिए गणितीय आंकड़ों के तत्वों का एक कोर्स। 10 वीं कक्षा में, परीक्षण कार्य किए गए थे, जिनके परिणाम, साथ ही साथ शिक्षकों के अवलोकनों और छात्रों के सर्वेक्षण से पता चला है कि प्रस्तावित सामग्री छात्रों के लिए पूरी तरह से सुलभ थी, उन्होंने गणित के विशिष्ट उपयोग को दिखाते हुए, उनके महान रुचि पैदा की थी। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए। स्कूल गणित के एक अनिवार्य पाठ्यक्रम में संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों को शुरू करने की प्रक्रिया बहुत मुश्किल थी। एक राय है कि, आकलन के लिए, विचारों, विचारों, आदतों की प्रारंभिक आपूर्ति, विचारों, विचारों, आदतों की प्रारंभिक आपूर्ति द्वारा संभाव्यता सिद्धांत की आवश्यकता होती है जो स्कूली बच्चों से अलग-अलग प्रशिक्षण के साथ पारंपरिक प्रशिक्षण के साथ पारंपरिक प्रशिक्षण के साथ पारंपरिक प्रशिक्षण के साथ पारंपरिक प्रशिक्षण के साथ विकसित होते हैं। इसलिए, कई शिक्षकों के अनुसार - गणितज्ञों, संभावनाओं को स्कूल गणित को एक स्वतंत्र खंड के रूप में प्रवेश करना चाहिए, जो हमारे आस-पास की दुनिया की संभावना की संभाव्य प्रकृति के बारे में विचारों के गठन, व्यवस्थितकरण और विकास को सुनिश्चित करेगा। चूंकि स्कूल के पाठ्यक्रम में संभावना के सिद्धांत के अध्ययन को हाल ही में पेश किया गया था, फिर वर्तमान में स्कूल पाठ्यपुस्तकों में इस सामग्री के कार्यान्वयन के साथ समस्याएं हैं। इसके अलावा, इस कोर्स की विशिष्टता के कारण, विधिवत साहित्य की संख्या भी छोटी है। साहित्य के भारी बहुमत में निर्धारित दृष्टिकोणों के मुताबिक, यह माना जाता है कि छात्रों का मुख्य अनुभव इस विषय का अध्ययन करने में मुख्य बात होनी चाहिए, इसलिए प्रशिक्षण उन प्रश्नों के साथ शुरू करने के लिए वांछनीय है जिन्हें समस्या के समाधान खोजने की आवश्यकता है वास्तविक स्थिति की पृष्ठभूमि। सीखने की प्रक्रिया में, सभी प्रमेय साबित नहीं किए जाने चाहिए, क्योंकि यह बड़ी मात्रा में समय के लायक है, जबकि पाठ्यक्रम का कोर्स उपयोगी कौशल का गठन होता है, और ऐसे कौशल को प्रमेय साबित करने की क्षमता लागू नहीं होती है। संभाव्यता के सिद्धांत की उत्पत्ति प्रश्न के जवाब की खोज में हुई: एक और घटना कितनी बार एक बड़ी परीक्षण श्रृंखला में एक ही शर्तों में होती है जो एक ही परिस्थितियों में होती है? किसी भी घटना की घटना की संभावना का आकलन करते हुए, हम अक्सर कहते हैं: "यह बहुत संभव है," यह निश्चित रूप से होगा "," यह असंभव है "," यह कभी नहीं होगा। " लॉटरी टिकट खरीदकर आप जीत सकते हैं, लेकिन आप जीत नहीं सकते; कल पाठ में, गणित बोर्ड के कारण हो सकता है, और इसका कारण नहीं हो सकता है; अगले चुनावों में, सत्तारूढ़ पार्टी जीत सकती है, और पराजित नहीं हो सकती है। एक साधारण उदाहरण पर विचार करें। आप क्या सोचते हैं, कितने लोगों को एक निश्चित समूह में होना चाहिए, ताकि उनमें से कम से कम दो, जन्मदिन 100% की संभावना के साथ हो (जिसका अर्थ जन्म के जन्म के बिना दिन और महीने)? इसका मतलब यहां एक लीप वर्ष नहीं है, यानी वर्ष जिसमें 365 दिन। जवाब स्पष्ट है - समूह में 366 लोग होना चाहिए। अब एक और सवाल: 99.9% की संभावना के साथ एक व्यक्ति को जन्मदिन के साथ एक जोड़े को कितना होना चाहिए? पहली नज़र में, सबकुछ सरल है - 364 लोग। वास्तव में, 68 लोग पर्याप्त हैं! तो ऐसी रोचक गणना करने और अपने लिए असामान्य खोज करने के लिए, हम गणित "संभाव्यता सिद्धांत" के इस तरह के एक खंड का अध्ययन करेंगे।

अध्याय I. गणित के मूल स्कूल पाठ्यक्रम में संभाव्य सांख्यिकीय रेखा

1.1 सांख्यिकीय सोच और स्कूल गणितीय शिक्षा

प्रत्येक युग गणितीय विज्ञान और गणितीय शिक्षा के लिए अपनी आवश्यकताओं को रखता है। वर्तमान में, मेथोडिस्ट की आवाज़ तेजी से जोर से हो रही है। लेकिन गणित के कई शिक्षक संयोजीकरण, संभाव्यता सिद्धांत, आंकड़े, यानी में नहीं आए हैं, जो संभावित में शामिल हैं - गणित की सांख्यिकीय दिशा। उन्हें अपने ज्ञान को गहराई से मुद्दों पर विस्तारित करने की आवश्यकता है। संभाव्यता और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत के क्षेत्र में हमारे देश में सबसे अधिक सत्तावादी शोधकर्ता बोरिस व्लादिमीरोविच ग्रिडेन्को (1 9 12-199 5) था। वह पत्रिका में कई लेखों के लेखक थे "स्कूल में गणित"।

स्कूल में क्या और कैसे सीखें, जाहिर है, हमेशा अनन्त समस्याओं की संख्या से संबंधित होंगे जो समाधान के बाद भी लगातार उत्पन्न होते हैं, पिछले एक की तुलना में सबसे अच्छी तरह से। और यह अनिवार्य है, क्योंकि हमारे वैज्ञानिक ज्ञान और हमारे आस-पास की घटनाओं को समझाने के लिए दृष्टिकोण लगातार भर गए हैं। इसमें कोई संदेह नहीं है कि स्कूल शिक्षण की सामग्री विज्ञान की प्रगति के साथ बदलनी चाहिए, इसके पीछे कुछ हद तक पीछे हटने और नए वैज्ञानिक विचारों और अवधारणाओं को मनोवैज्ञानिक और पद्धति संबंधी शर्तों में स्वीकार्य करने की इजाजत देनी चाहिए।

हालांकि, यह माना जाना चाहिए कि एक या दूसरे के स्कूल के पाठ्यक्रम की सामग्री और प्रकृति को ज्ञान की प्रासंगिक वैज्ञानिक शाखा की स्थिति और इसकी केंद्रीय अवधारणाओं पर हावी होने वाली प्रस्तुतियों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जाना चाहिए। स्कूली बच्चों के विशाल बहुमत विज्ञान के इस क्षेत्र में विशेषज्ञ नहीं होंगे। इनमें से, अन्य वैज्ञानिक हितों और गतिविधि के व्यावहारिक क्षेत्रों और मुक्त व्यवसायों के प्रतिनिधियों के दोनों प्रतिनिधियों लेखकों, कलाकारों, कलाकार हैं। यही कारण है कि सभी छात्रों के लिए आपको स्थापित वैज्ञानिक अवधारणाओं के बारे में जानकारी प्राप्त करने और वैज्ञानिक ज्ञान के लिए ठोस आधार प्राप्त करने की आवश्यकता है, और इसके अतिरिक्त, तर्कसंगत रूप से तर्क और स्पष्ट रूप से अपने विचारों को स्पष्ट रूप से बताने की क्षमता। स्कूल को यह विचार देना चाहिए कि विज्ञान और इसकी अवधारणा इस अभ्यास से निकटता से संबंधित है जिसके बारे में यह उनकी समस्याओं, विचारों की सेटिंग, विचारों को खींचता है, और फिर अपनी मुख्य समस्याओं को हल करने के लिए नए अवसरों के अभ्यास को वापस करता है, इसके लिए नई विधियां बनाता है। इसके बिना, शिक्षा दोषपूर्ण होगी, जीवन से दूर हो जाएगी और स्कूल के विद्यार्थियों के लिए कई कठिनाइयों का निर्माण करेगी। यही कारण है कि स्कूल शिक्षा की सामग्री को हमारे दिनों और निकट भविष्य के अभ्यास की व्यापक रूप से समझ में होना चाहिए था।

हमारे जीवन में, चुनाव और जनमत संग्रह, बैंक ऋण और बीमा पॉलिसी, रोजगार तालिकाओं और सामाजिक सर्वेक्षणों के आरेखों में प्रवेश किया गया है। समाज खुद का अध्ययन करने और अपने बारे में और प्रकृति की घटनाओं के बारे में पूर्वानुमान बनाने का प्रयास कर रहा है जिसके बारे में विचारों की आवश्यकता है। यहां तक \u200b\u200bकि समाचार पत्रों में मौसम की रिपोर्ट भी रिपोर्ट करती है कि "कल बारिश की उम्मीद है कि 40% की संभावना है।"

एक जटिल, परिवर्तनीय और बहु-तकनीक समाज में एक नागरिक का पूर्ण अस्तित्व सीधे जानकारी प्राप्त करने के अधिकार से संबंधित है, इसकी उपलब्धता और विश्वसनीयता के साथ, एक सचेत विकल्प के अधिकार के साथ, जिसे करने की क्षमता के बिना नहीं किया जा सकता है विश्लेषण और प्रसंस्करण के आधार पर चुनाव और पूर्वानुमान अक्सर अपूर्ण और विवादास्पद जानकारी बनाओ।

हमें बच्चों को एक संभावित स्थिति में रहने के लिए सिखाया जाना चाहिए। और इसका मतलब जानकारी निकालने, विश्लेषण करने और संसाधित करने का मतलब है, यादृच्छिक परिणामों के साथ विभिन्न स्थितियों में सूचित समाधान करें। सोच के लोकतांत्रिक सिद्धांतों पर अभिविन्यास, वास्तविक परिस्थितियों और घटनाओं के संभावित विकास का बहुभुक्ति, किसी व्यक्ति के गठन पर, एक कठिन, कभी-बदलती दुनिया में रहने और काम करने की क्षमता, अनिवार्यता के साथ, संभाव्यता के विकास की आवश्यकता होती है - युवा पीढ़ी के बीच सोच। संयोजक और संभाव्य सोच (12) के गठन के साथ वर्णनात्मक आंकड़ों और गणितीय आंकड़ों के तत्वों से संबंधित मुद्दों के एक परिसर के आधार पर गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में यह कार्य हल किया जा सकता है। हालांकि, न केवल सामाजिक-आर्थिक स्थिति संभावित सोच की एक नई पीढ़ी बनाने की आवश्यकता को निर्धारित करती है। संभाव्य कानून सार्वभौमिक हैं। वे दुनिया की वैज्ञानिक तस्वीर के विवरण के लिए आधार बन गए। आधुनिक भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीवविज्ञान, जनसांख्यिकी, समाजशास्त्र, भाषाविज्ञान, दर्शन, सामाजिक-आर्थिक विज्ञान का पूरा परिसर एक संभाव्य - सांख्यिकीय आधार पर बनाया और विकसित किया गया है। एक किशोरी इस दुनिया से एक बहरा दीवार से अलग नहीं है, और उसके जीवन में वह लगातार संभाव्य परिस्थितियों का सामना कर रहा है। खेल और उत्तेजना बच्चे के जीवन का एक बड़ा हिस्सा बनाती है। रिश्ते अनुपात "संभावना" और "विश्वसनीयता" से संबंधित मुद्दों की श्रृंखला, कई समाधानों में से सर्वश्रेष्ठ चुनने की समस्या, जोखिम की डिग्री और सफलता के अवसरों का मूल्यांकन, खेल में न्याय और अन्याय का विचार वास्तविक जीवन संघर्ष - यह निस्संदेह किशोरी के वास्तविक हितों के क्षेत्र में स्थित है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए तैयारी और स्कूल गणित के पाठ्यक्रम को लेना चाहिए।

आज, विज्ञान में, मौलिक महत्व ने यादृच्छिक रूप से अवधारणा हासिल की है और इष्टतम समाधान खोजने के लिए अपना रास्ता तोड़ दिया है। यादृच्छिक की अवधारणा को पढ़ाने वाले स्कूल में पेश करने की आवश्यकता है, और यह न केवल वैज्ञानिक और व्यावहारिक आदेश की आवश्यकताओं के कारण होता है, बल्कि पूरी तरह से विधिवत विचारधारा भी होता है। साथ ही, रूसी शिक्षा की शास्त्रीय प्रणाली मुख्य रूप से विशिष्ट रूप से निर्धारिती सिद्धांतों और गणित और अन्य विषयों में दृष्टिकोण पर आधारित है। यदि आप नहीं हटाते हैं, तो कम से कम दुनिया के दृढ़ संकल्प के फैसले के फैसले के बीच विरोधाभास को कमजोर और संभावित सांख्यिकीय कानूनों के आधार पर आधुनिक वैज्ञानिक विचारों के आधार पर, आंकड़े और सिद्धांत के मूलभूत सिद्धांतों की शुरूआत के बिना असंभव है अनिवार्य स्कूल शिक्षा में संभावनाओं का। स्कूल गणितीय शिक्षा की आधुनिक अवधारणा उन्मुख है, सबसे पहले, बच्चे की व्यक्तित्व, उनके हितों और विसंगतियों को रिकॉर्ड करने के लिए। यह चयन मानदंड, नई, इंटरैक्टिव शिक्षण तकनीकों के विकास और कार्यान्वयन, छात्र की गणितीय तैयारी के लिए आवश्यकताओं में परिवर्तन निर्धारित करता है। साथ ही, गणित के एक बहुत ही असाधारण क्षेत्र के साथ स्कूली बच्चों का परिचित, जहां काले और सफेद रंग के रंगों और रंगों की एक पूरी श्रृंखला है, और वहां भी "हां" और "नहीं" ("हो सकता है" भी नहीं है "यह सख्त मात्रात्मक मूल्यांकन का ख्याल रखता है!), यह रूट महसूस करने में मदद करता है कि गणित के सबक में जो हुआ वह रोजमर्रा की जिंदगी के साथ दुनिया भर की दुनिया से जुड़ा हुआ नहीं है।

शारीरिक वैज्ञानिकों और मनोवैज्ञानिकों के मुताबिक, साथ ही गणित शिक्षकों के कई अवलोकनों पर, सामान्य रूप से सीखने की प्रक्रिया में और विशेष रूप से गणित के लिए ब्याज की गिरावट। मुख्य विद्यालय में गणित के पाठों में, सामान्य योजना और पारंपरिक सामग्री पर पांचवें-नौवें ग्रेडों में, छात्र को अक्सर उल्लिखित सार-औपचारिक वस्तुओं और बाहरी दुनिया के बीच एक अभेद्य दीवार की भावना होती है। यह संभाव्य सांख्यिकीय रेखा है, या इसे हाल ही में कैसे बुलाया जाना शुरू किया गया - स्टोकास्टिक लाइन, दुनिया भर में दुनिया में देखी गई प्रक्रियाओं का समर्थन किए बिना अध्ययन असंभव है, बच्चे का वास्तविक जीवन अनुभव को बढ़ावा देने में सक्षम है "गणित" के विषय में ब्याज की वापसी, इसके महत्व और बहुमुखी प्रतिभा का प्रचार। अंत में, एक खुले समाज की अवधारणा, यूरोपीय और वैश्विक एकीकरण की प्रक्रियाएं शिक्षा के क्षेत्र में देशों और लोगों के पारस्परिक अभिसरण से जुड़ी हुई हैं। रूस, दुनिया में स्कूल गणितीय शिक्षा की सबसे शक्तिशाली और मान्यता प्राप्त परंपराओं में से एक है, साथ ही यह लगभग एकमात्र विकसित देश बना हुआ है, जहां गणित के मुख्य स्कूल पाठ्यक्रम में आंकड़ों के कोई मूलभूत सिद्धांत नहीं हैं और संभावना के सिद्धांत । हमारे देश में उत्तेजित आर्थिक परिवर्तनों के रुझानों से पता चलता है कि एक नए प्रकार के उत्पादन के आयोजकों और प्रतिभागियों ने स्कूलों के कई स्नातक सबसे अधिक खोजे गए समाज में मांग में होंगे। स्टोकास्टिक संस्कृति को कम उम्र से आसानी से शिक्षित किया जाना चाहिए। यह मौका नहीं है कि विकसित देशों में, इस पर बहुत अधिक ध्यान दिया जाता है: संभाव्यता और आंकड़ों के सिद्धांत के तत्वों के साथ, छात्र पहले से ही पहले स्कूल के वर्षों से परिचित हो जाते हैं और उनकी अध्ययनों में संभाव्य - सांख्यिकीय दृष्टिकोण सामान्य के विश्लेषण के लिए रोजमर्रा की जिंदगी में स्थितियों का सामना करना पड़ा।

उच्च विद्यालय में सांख्यिकीय सामग्री के अध्ययन के दृष्टिकोण के उदाहरणों की संख्या कई लोगों का नेतृत्व कर सकती है, क्योंकि पिछले दो दशकों में, लगभग हर देश ने इस सामग्री को स्कूल पाठ्यक्रम में पेश किया है और इसके अध्ययन के लिए एक या अधिक दृष्टिकोण सुझाया है। पोलैंड, स्वीडन, इज़राइल, फ्रांस में दिलचस्प काम दिखाई दिया। संभाव्य के अध्ययन की प्रणाली के निर्माण से संबंधित समस्याएं - हाई स्कूल में सांख्यिकीय सामग्री, हमारे देश में पर्याप्त शामिल नहीं है। संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों और विभिन्न देशों के माध्यमिक विद्यालयों में आंकड़ों का अध्ययन करने के लिए हमें ज्ञात दृष्टिकोणों का विश्लेषण निम्नलिखित निष्कर्ष निकालता है:

देशों के भारी बहुमत में, इस सामग्री का प्राथमिक विद्यालय में अध्ययन करना शुरू हो जाता है;

अध्ययन के सभी वर्षों में, छात्र अनुभवहीन आंकड़ों के विश्लेषण के लिए संभाव्य - सांख्यिकीय दृष्टिकोण से परिचित हो जाते हैं, और एक लागू प्रकृति के कार्य एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं, वास्तविक परिस्थितियों का विश्लेषण;

सीखने की प्रक्रिया में, छात्रों को एक बड़ी भूमिका दी जाती है ताकि छात्रों को छोटे समूहों में काम करने की आवश्यकता हो, समूह के परिणामों को सारांशित करना, समूह के परिणामों को सारांशित करना, स्वतंत्र शोध करना, काम का काम, प्रयोग स्थापित करना, छोटे प्रयोगशाला कार्य करना, प्रशिक्षण दीर्घकालिक coursework - यह सब विशिष्टता संभाव्यता - सांख्यिकीय सामग्री, व्यावहारिक गतिविधियों के साथ घनिष्ठ संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है;

Stochastics का अध्ययन करने के रूप में यह संभाव्य और सांख्यिकीय घटकों पर गिरना था, एक दूसरे से निकटता से संबंधित, कई देशों में वे संयोजक के एक छोटे टुकड़े के साथ पूरक हैं।

हमारे देश में, स्कूल के पाठ्यक्रम में गणित को पेश करने के असफल प्रयास, किसी घटना की संभावना की अवधारणा पहले ही ली जा चुकी है। इन्सुलेंस और फोरफेयर के आधार पर, पारंपरिक स्कूल दर के संबंध में इस सामग्री को जल्द ही प्रोग्राम और पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया था।

संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों को सीखने का कुछ अनुभव गणित के गहन अध्ययन के साथ स्कूलों में जमा हुआ है, लेकिन वह केवल इस तथ्य की पुष्टि करता है कि पारंपरिक गणित अनुभाग में एक नए पृथक खंड को पेश करके समस्या को हल करने का प्रयास विफलता के लिए बर्बाद हो गया है। संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन "स्वच्छ", सैद्धांतिक गणित से संबंधित एक कार्यक्रम के एक बंद वर्ग के रूप में, शिक्षकों की आंखों में पूरी तरह से बदनाम किया गया है और इस तथ्य को जन्म दिया है कि उनमें से कुछ आम तौर पर संदेह व्यक्त करते हैं जिनका अध्ययन किया जाना चाहिए और उनका अध्ययन किया जाना चाहिए उच्च विद्यालय में। साथ ही, भौतिकी, रसायन शास्त्र, जीवविज्ञान के शिक्षकों ने संभावित अवधारणाओं की भाषा में इन विज्ञानों के मुख्य पैटर्न को व्यक्त करने की तत्काल आवश्यकता महसूस की। आखिरकार, दुनिया के बारे में मानव ज्ञान की वर्तमान स्थिति से पता चलता है कि मुख्य (मूलभूत) माइक्रोवेस घटना में एक यादृच्छिक प्रकृति निहित है।

एक संभाव्य - सांख्यिकीय रेखा के स्कूल कार्यक्रम में उपस्थिति आसपास के वास्तविकता की अधिकांश घटनाओं की बहुमत प्रकृति के संभावित प्रकृति वाले छात्रों के परिचित पर केंद्रित है, अपनी सामान्य सांस्कृतिक क्षमता को मजबूत करने में योगदान देगी, नए, गहराई से उचित अंतःविषय संबंधों का उदय , स्कूल गणितीय शिक्षा का मानवीयकरण।

नए स्कूल के स्कूल के लिए सामग्री का चयन करते समय, सामान्य शैक्षिक महत्व और प्रस्तावित विषयों की वैचारिक क्षमता को ध्यान में रखना आवश्यक है। रोजमर्रा की जिंदगी और गतिविधियों में एक आधुनिक व्यक्ति द्वारा ज्ञान की आवश्यकता के लिए सही ढंग से सराहना करना महत्वपूर्ण है, उनमें से एक छात्र को शिक्षा जारी रखने के लिए अन्य स्कूल विषयों का अध्ययन करने की आवश्यकता होगी, जो योगदान इन ज्ञान को विभिन्न पार्टियों के गठन में कर सकता है छात्र की बुद्धि। इस तथ्य का ख्याल रखना भी आवश्यक है कि प्रस्तावित सामग्री पारंपरिक के साथ एक नई शैक्षणिक सामग्री के कार्बनिक संयुगनीयता की संभावनाओं को सुनिश्चित करती है, जो घुसपैठ के संबंध में योगदान देती है।

और हमारे देश में आज अनिवार्य स्कूल गणितीय शिक्षा में एक समान घटक के रूप में स्टेजिंग की एक अपरिहार्य प्रक्रिया है।

हाल के वर्षों के सभी राज्य शैक्षिक दस्तावेजों में मुख्य विद्यालय के गणित के दौरान एक संभावित सांख्यिकीय रेखा शामिल है, जिसमें "संख्या", "कार्य", "समीकरण और असमानता", "ज्यामितीय आकार" आदि जैसी परिचित रेखाओं के समान।

1.2 हाई स्कूल में संभाव्यता सिद्धांत का अध्ययन करने के मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक पहलुओं

संभाव्यता स्कूल सिद्धांत मध्य

मनोवैज्ञानिकों का अध्ययन (जे। पियाज़े, ई। फिशबैन) से पता चलता है कि एक व्यक्ति को संभावित रूप से संभावित रूप से एक संभाव्य मूल्यांकन के लिए उत्कृष्ट रूप से अनुकूलित किया जाता है, जागरूकतावादी सांख्यिकीय सूचना की जागरूकता और सही व्याख्या के लिए। मास्को जिमनासियम संख्या 710, यारोस्लाव जिमनासियम संख्या 20 और कलुगा जिमनासियम संख्या 20 और कलुगा जिमनासियम संख्या 2 के आधार पर ईए बेनोविच (मॉस्को, पाठ्यपुस्तकों में से एक मास्को, स्टोकास्टिक तत्वों में से एक) द्वारा किए गए प्रयोग। प्रयोगात्मक अध्ययनों में, स्कूली बच्चों के संभाव्य प्रतिनिधित्व वरिष्ठ प्रोफाइल कक्षाएं जिन्होंने गणित की गहन दर शुरू की है, लेकिन अभी तक संभावित खंडों का अध्ययन नहीं किया है। अध्ययन के नतीजे स्पष्ट रूप से सुझाव देते हैं कि गणित के अन्य वर्गों की भी अच्छी जानकारी और समझ ही संभावित सोच के विकास को सुनिश्चित नहीं करती है और ट्रिविअल संभाव्य पूर्वाग्रहों और भ्रम (7) से भी राहत नहीं देती है।

हम एक उदाहरण देते हैं। सवाल पूछा:

"उसी खिलाड़ी कार्ड (4 में से 6) पार संख्या

1, 2, 3, 4, 5 और 6,

और दूसरे पर

5, 12, 17, 23, 35 और 41।

आपको क्या लगता है कि किस प्रकार की संख्या अधिक संभावना है? "।

प्रयोग में सभी प्रतिभागियों में से 22% हाई स्कूल के छात्रों ने उत्तर दिया कि सबसे अधिक संभावना है कि दूसरा कार्ड। विभिन्न स्कूलों (मॉस्को और यारोस्लाव) के दो स्कूली बच्चों के लगभग एक ही जवाब में दिलचस्प है: "आम तौर पर, दोनों मामले समान रूप से भी होते हैं, लेकिन दूसरा मामला अधिक संभावना है," स्कूली बच्चों के घरेलू और वैज्ञानिक विचारों के बीच स्पष्ट विरोधाभास व्यक्त करना।

यह उत्सुक है कि प्रोफाइल रासायनिक जैविक आर्थिक वर्ग, जहां गणित पाठ्यक्रम मूल से काफी गहरा है, लेकिन कोई संभाव्य नहीं है - सांख्यिकीय सामग्री नहीं है, लगभग उसी परिणाम (प्रतिक्रियाओं का 30% तक - "दूसरे सेट की जीत है अधिक संभावना")। वे दिए गए डेटा और परीक्षण में एक समान प्रश्न के उत्तर के परिणामों से बहुत अलग नहीं हैं, 1 99 8 में प्रस्तावित, मॉस्को में उन्नत प्रशिक्षण पाठ्यक्रमों में गणित शिक्षकों।

हम इस तरह से ध्यान देते हैं कि गणितीय खेलों और विरोधाभास के प्रसिद्ध शौकिया मार्टिन गार्डनर ने इसी अवसर में लिखा था कि यह वास्तव में 1, 2, 3, 4, 5 और 6 या अन्य "नियमित" संयोजन के संयोजन को पार करने के लिए अधिक लाभदायक है। । वही जीतने की संभावना, लेकिन जब जीत में काफी अधिक हो सकती है, क्योंकि यह किसी ऐसे व्यक्ति के लिए शायद ही कभी है जो 1 से 6 तक की संख्या को पार करने के लिए दिमाग में आएगा, और सौभाग्य के मामले में, नहीं करना है किसी के साथ एक पुरस्कार राशि साझा करें।

प्राथमिक कक्षाओं की उम्र में, दुनिया के बारे में छात्रों के विचारों में अभी भी बहुत कुछ नहीं है, संभाव्यता के बारे में विचारों को समझाने के लिए पर्याप्त गणितीय उपकरण (सबसे पहले - सरल भिन्नताओं) नहीं है। साथ ही, वर्णनात्मक आंकड़ों, तालिकाओं और बार चार्ट की मूल बातें, साथ ही संयोजक की मूल बातें, वस्तुओं के एक छोटे से सेट पर संभावित विकल्पों का व्यवस्थित बस्ट और प्राथमिक विद्यालय पाठ्यक्रम में भी पेश की जाने की आवश्यकता है।

उच्च विद्यालयों में संभावना सिद्धांत की मूल बातें शुरू करें अप्रभावी है। गणित के पारंपरिक पाठ्यक्रम, पाठ में सीखने की इच्छा, सबसे पहले, सभी में से एक निश्चित सेट, एल्गोरिदम और गणना विधियों का एक निश्चित सेट वास्तव में सूत्रों की औपचारिक सीखने के लिए संभाव्य प्रतिनिधित्व के गठन को प्रतिस्थापित करता है COMBINATOCTICS और क्लासिक लैपलेस मॉडल के अनुसार संभावना की गणना।

सांख्यिकीय सोच के तत्वों के साथ, आपको कई वस्तुओं में स्कूल में परिचित होना शुरू करना होगा, न केवल गणित के दौरान। समय-समय पर वनस्पति विज्ञान और जूलॉजी, खगोल विज्ञान और भौतिकी, रूसी भाषा और इतिहास के सबक, घटनाओं की संभावना पर उचित टिप्पणियां, जो इस वैज्ञानिक अनुशासन का अध्ययन करते हैं। स्वाभाविक रूप से, गणित एक तरफ नहीं रह सकता है। यादृच्छिक बच्चों की दुनिया के बारे में पहले विचारों को आसपास के जीवन में उनके अवलोकन से मिलता है। साथ ही, मनाए गए घटनाओं और दृश्य प्रतिनिधित्व के संग्रह के दौरान मनाए गए घटनाओं की महत्वपूर्ण विशेषता विशेषताओं को स्पष्ट किया जाता है। सांख्यिकीय जानकारी पंजीकृत करने और उन्हें सरलतम तालिकाओं और आरेखों के रूप में सबमिट करने की क्षमता छात्र में कुछ सांख्यिकीय अनुभव की उपस्थिति की विशेषता है। यह बहुत पहले को प्रतिबद्ध करता है, भले ही वास्तविक घटनाओं की अस्पष्टता और वास्तविक घटनाओं की विविधता के बारे में जानना, यादृच्छिक, विश्वसनीय और अवैध परिणामों के बारे में, विशिष्ट प्रकार के सांख्यिकीय कुल, उनकी विशेषताओं और सामान्य गुणों पर। ये कौशल न केवल एक स्पष्ट दुर्घटना के साथ घटनाओं के बारे में एक सही प्रतिनिधित्व बनाने के लिए संभव बनाता है, बल्कि ऐसी घटनाओं के बारे में भी यादृच्छिक प्रकृति गैर-स्पष्ट है, और कारकों द्वारा कई जटिल धारणाओं के साथ फंस गई है।

रोजमर्रा की जिंदगी में और काम पर, एक हाईस्कूल स्नातक लगातार कुछ जानकारी प्राप्त करने और डिजाइन करने की आवश्यकता का सामना कर रहा है। भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीवविज्ञान के सबक में, प्रयोगशाला और व्यावहारिक कार्य करते समय, छात्र अवलोकन और प्रयोगों के परिणाम जारी करने में सक्षम होना चाहिए; इतिहास, सामाजिक विज्ञान की भूगोल के पाठों में, उन्हें टेबल और निर्देशिकाओं का उपयोग करने की आवश्यकता है, ग्राफिकल रूप में प्रस्तुत जानकारी को समझें। इन कौशल की आवश्यकता होती है, क्योंकि, विभिन्न रूपों में प्रस्तुत सांख्यिकीय सामग्री के साथ, यह लगातार सूचना के सभी स्रोतों में पाया जाता है - समाचार पत्रों, पत्रिकाओं, किताबों, टेलीविजन आदि में।

अध्ययन किए गए स्टोकास्टिक घटना की प्रकृति को समझना मुख्य बात आवंटित करने की क्षमता से जुड़ा हुआ है, तालिकाओं, चार्ट और ग्राफ पर विचार करते समय सुविधाओं और रुझानों को देखें। तालिकाओं और ग्राफ के "पढ़ने" के साथ सबसे सरल कौशल मनाए गए घटनाओं के कुछ पैटर्न को नोटिस करना संभव बनाता है, सांख्यिकीय डेटा के रूप, विशेषताओं के विशिष्ट गुणों और उनमें अंतर्निहित घटनाओं के साथ घटनाओं के साथ।

अध्ययन की घटनाओं की विशिष्ट विशेषताएं, मध्यम सांख्यिकीय विशेषताओं का उपयोग करके उनके सामान्य रुझानों का पता लगाया जा सकता है। उन्हें उपयोग करने की क्षमता यादृच्छिक की दुनिया में केंद्रीय रुझानों से संबंधित छात्र विचारों की उपस्थिति की विशेषता है। अंकगणितीय औसत जैसे सबसे सामान्य औसत के अर्थ को समझना, प्रत्येक छात्र आवश्यक है।

आसपास की घटना की स्टोकास्टिक प्रकृति को परिवर्तनशीलता की डिग्री को समझने के बिना खुलासा नहीं किया जा सकता है। इसलिए, सांख्यिकीय डेटा के तितर-बितर को मापना आवश्यक है, जो घटनाओं और प्रक्रियाओं के सार की गहरी समझ में योगदान देता है, जिससे सांख्यिकीय समेकन की तुलना उनकी भिन्नता की डिग्री से संभव हो जाता है।

स्टोकास्टिक सोच के सबसे महत्वपूर्ण घटकों में से एक दुनिया के टिकाऊ दुर्घटनाओं, यादृच्छिक तथ्यों के आदेश की समझ है। इचिगिन-कथित छात्रों को यादृच्छिक घटनाओं के अपने जीवन में किसी भी इंटरकनेक्शन से बाहर माना जाता है। केंद्रीय स्थान पर बड़ी संख्या के कानून के विभिन्न प्रयोगात्मक विचारों से संबंधित विचारों से कब्जा कर लिया गया है। सबसे आसान और सबसे किफायती पथ अवलोकनों की संख्या में वृद्धि के साथ "सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित" आवृत्ति मूल्य के रूप में संभाव्यता के बारे में विचारों के गठन में शामिल होता है। साथ ही, संभावना और इसके अनुभवजन्य प्रोटोटाइप के बीच संबंधों की समझ - आवृत्ति आवृत्ति की सांख्यिकीय स्थिरता के बारे में जागरूकता की ओर ले जाती है। साथ ही, यह समझकर भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है कि कुछ सैद्धांतिक विचारों के आधार पर किसी निश्चित घटना की घटना की घटना की मात्रात्मक मूल्यांकन प्रयोग से पहले किया जा सकता है। इस प्रकार, हम क्लासिक योजना में संभावनाओं की गणना में आते हैं।

इस घटना में जब गणित को पढ़ाने में, संभावित अंतर्ज्ञान विकसित नहीं होता है, सही विचारों और अवधारणाओं के बजाय, झूठे विचारों को सीखा जाता है, वे गलत निर्णय व्यक्त करते हैं।

संभाव्य अध्ययन करने के महत्वपूर्ण लक्ष्यों में से एक - स्कूल में सांख्यिकीय सामग्री संभाव्य अंतर्ज्ञान का विकास है, यादृच्छिक घटनाओं के गुणों के बारे में पर्याप्त विचारों का गठन। आखिरकार, जीवन में, संभावनाओं का मूल्यांकन करने के लिए अक्सर जरूरी है, परिकल्पनाओं और सुझावों को आगे बढ़ाने के लिए, स्थिति के विकास की भविष्यवाणी करना, एक या किसी अन्य परिकल्पना की पुष्टि की संभावनाओं के बारे में बहस करने के लिए, आदि का विचार संगठित, व्यवस्थित अध्ययन की प्रक्रिया में सीखा संभावना सामान्य से अलग है, ... यह ठीक तथ्य है कि यह स्थिरता पर सबमिशन का एक वाहक है, यादृच्छिकता की दुनिया में नियमितता, सबसे पूरी तरह से और सही ढंग से निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है उपलब्ध जानकारी से।

हम एक ही समय में ध्यान देते हैं, जो प्रारंभिक औपचारिकरण के रूप में समान रूप से अप्रभावी और यहां तक \u200b\u200bकि खतरनाक है, और अन्य चरम, जो अब कुछ प्रयोगात्मक कार्यक्रमों में दिखाई देता है - संभाव्य मॉडल के निर्माण के बाहर गणित के दौरान संभाव्यता के बारे में अंतहीन तर्क।

अध्याय 2. मूल अवधारणाएं

2.1 संयोजक के तत्व

पाठ्यक्रम का अध्ययन संयोजक की नींव के अध्ययन के साथ शुरू होना चाहिए, और संभावना सिद्धांत का समानांतर में अध्ययन किया जाना चाहिए, क्योंकि संभावनाओं की गणना करते समय संयोजीकों का उपयोग किया जाता है। संयोजक के तरीके भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र और ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। विज्ञान और अभ्यास में, कार्य अक्सर पाए जाते हैं, जिन्हें वस्तुओं की सीमित संख्या के अलग-अलग संयोजन होते हैं और संयोजनों की संख्या की गणना करते हैं। इस तरह के कार्यों को कॉम्बिनेटोरियल कार्य कहा जाता है, और गणित अनुभाग जिसमें इन कार्यों पर विचार किया जाता है, को संयोजक कहा जाता है। कॉम्बिनेटिसिक्स अंतिम सेट में तत्वों की संख्या की गणना के लिए तरीकों का अध्ययन करता है। संभावनाओं की गणना करते समय संयोजक के सूत्रों का उपयोग किया जाता है। कुछ सेट एक्स पर विचार करें जिसमें एन तत्व शामिल हैं। हम इस सेट से के तत्वों से अलग-अलग सबसेट y से चुनेंगे। के तत्वों द्वारा सेट x के एन तत्वों से रखकर, हम सेट एक्स के तत्वों के किसी भी आदेशित सेट को कॉल करते हैं। यदि एक्स के सेट y के तत्वों का चयन वापसी के साथ होता है, तो। सेट एक्स के प्रत्येक तत्व को कई बार चुना जा सकता है, एन द्वारा k से आवास की संख्या सूत्र (पुनरावृत्ति के साथ नियुक्ति) के अनुसार स्थित है। यदि रिटर्न के बिना पसंद किया जाता है, तो सेट एक्स का प्रत्येक तत्व केवल एक बार चुन सकता है, एन द्वारा एन से आवास की संख्या को दर्शाया गया है और समानता (पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट) द्वारा निर्धारित किया जाता है। एन \u003d के पर प्लेसमेंट का एक विशेष मामला एन तत्वों से क्रमपरिवर्तन कहा जाता है। एन तत्वों से सभी क्रमपरिवर्तन की संख्या सेट एक्स से अभी के बराबर है, एक अनियंत्रित सबसेट y (उप-समूह में तत्वों का क्रम कोई फर्क नहीं पड़ता)। K के अनुसार एन तत्वों से जोड़ता है को के तत्वों से सबसेट कहा जाता है जो कम से कम एक तत्व से भिन्न होते हैं। एन द्वारा एन से सभी संयोजनों की कुल संख्या समानता के बराबर और समान रूप से बराबर है:, समस्याओं को हल करते समय, संयोजन निम्न नियमों का उपयोग करता है: नियम नियम। यदि कुछ ऑब्जेक्ट ए को ऑब्जेक्ट्स एम विधियों के सेट से चुना जा सकता है, और अन्य ऑब्जेक्ट को एन विधियों द्वारा चुना जा सकता है, तो या तो ए, या एम + एन विधियों में चयन करें। काम का नियम। यदि ऑब्जेक्ट ए को ऑब्जेक्ट्स एम विधियों के सेट से चुना जा सकता है और इस तरह की पसंद के बाद, ऑब्जेक्ट को विधियों में एन द्वारा चुना जा सकता है, फिर निर्दिष्ट क्रम में ऑब्जेक्ट्स (ए, बी) की एक जोड़ी को एम * का चयन किया जा सकता है n विधियाँ।

2.2 संभाव्यता सिद्धांत

रोजमर्रा की जिंदगी में, व्यावहारिक और वैज्ञानिक गतिविधि में, हम अक्सर कुछ घटनाओं का पालन करते हैं, हम कुछ प्रयोग करते हैं। एक घटना जो हो सकती है, और अवलोकन या प्रयोग की प्रक्रिया में नहीं हो सकती है, जिसे यादृच्छिक घटना कहा जाता है। उदाहरण के लिए, छत के नीचे एक हल्का बल्ब लटका होता है - कोई भी जानता है कि जब यह अतिरंजित होता है। प्रत्येक यादृच्छिक घटना इतने सारे यादृच्छिक चर की क्रिया का एक परिणाम है (जिस बल को सिक्का फेंक दिया जाता है, सिक्का का आकार और बहुत कुछ)। इन सभी कारणों के परिणामस्वरूप प्रभाव को ध्यान में रखना असंभव है, क्योंकि उनमें से बड़ी संख्या बड़ी है और कार्रवाई के कानून अज्ञात हैं। यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न गणित के एक विशेष खंड का अध्ययन करते हैं, जिसे संभाव्यता सिद्धांत कहा जाता है। संभाव्यता सिद्धांत भविष्यवाणी करने के लिए एक कार्य निर्धारित नहीं करता है, एक भी घटना होगी या नहीं - यह बस इसे करने में असमर्थ है। यदि हम सामूहिक सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के बारे में बात कर रहे हैं, तो वे कुछ पैटर्न, अर्थात् संभाव्य कानूनों का पालन करते हैं। सबसे पहले, आइए घटनाओं के वर्गीकरण पर विचार करें। सहयोगी और अपूर्ण घटनाएं हैं। घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है, अगर उनमें से एक का आक्रामक दूसरे की शुरुआत को बाहर नहीं करता है। अन्यथा, घटना को अपूर्ण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, दो खेल की हड्डियां बंधी हुई हैं। घटना ए - पहली बजने वाली हड्डी पर तीन अंक गिरकर, घटना बी - दूसरी हड्डी पर तीन अंक गिर रहा है। ए और बी - संयुक्त घटनाक्रम। स्टोर को एक शैली और आकार के जूते की दुकान में प्रवेश करने दें, लेकिन विभिन्न रंगों के। घटना ए - रुआदच ने बॉक्स को ब्लैक जूता के साथ लिया जाएगा, एक ईवेंट बी - बॉक्स ब्राउन जूता, ए और बी - अपूर्ण घटनाओं के साथ होगा। घटना को विश्वसनीय कहा जाता है यदि यह निश्चित रूप से इस अनुभव की शर्तों में होगा। अगर इस अनुभव की शर्तों में ऐसा नहीं हो सकता है तो घटना को असंभव कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक घटना, जिसमें तथ्य यह है कि मानक भाग मानक भागों की पार्टी से लिया जाएगा, विश्वसनीय है, और गैर मानक असंभव है। घटना को संभव, या यादृच्छिक कहा जाता है, यदि अनुभव के परिणामस्वरूप दिखाई दे सकता है, लेकिन प्रकट नहीं हो सकता है। एक यादृच्छिक घटना का एक उदाहरण तैयार उत्पादों के बैच को नियंत्रित करते समय उत्पाद दोषों की पहचान हो सकती है, उत्पाद के आकार का अनुपालन संसाधित किया जा सकता है, स्वचालित नियंत्रण प्रणाली की इकाइयों में से एक की विफलता। घटनाओं को संतुलन कहा जाता है, यदि परीक्षण की स्थिति के तहत, इनमें से कोई भी घटना दूसरों की तुलना में अधिक संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, स्टोर को इलेक्ट्रिक बल्ब (और बराबर मात्रा में) की आपूर्ति करने दें। इनमें से किसी भी पौधे के प्रकाश बल्बों की खरीद में घटनाएं बराबर हैं। एक महत्वपूर्ण अवधारणा घटनाओं का एक पूर्ण समूह है। इस अनुभव में कई घटनाएं एक पूर्ण समूह बनाती हैं यदि अनुभव के परिणामस्वरूप, उनमें से कम से कम एक निश्चित रूप से दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, यूआरएन में दस गेंदें हैं, जिनमें से छह लाल गेंदें, चार सफेद, और पांच गेंदों में संख्याएं हैं। ए - एक निष्कर्षण पर एक लाल गेंद की उपस्थिति, बी - एक सफेद गेंद की उपस्थिति, सी - संख्या के साथ एक गेंद की उपस्थिति। घटनाक्रम ए, बी, सी संयुक्त घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाते हैं। घटना विपरीत, या वैकल्पिक हो सकती है। विपरीत घटना के तहत इसे एक घटना के रूप में समझा जाता है जो कुछ घटना ए नहीं रहा है। विपरीत घटनाएं असंगत और केवल संभव हैं। वे घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि निर्मित उत्पादों का एक बैच उपयुक्त और दोषपूर्ण होता है, तो एक उत्पाद को हटाते समय, यह या तो उपयुक्त हो सकता है - घटना ए या दोषपूर्ण - घटना। एक उदाहरण पर विचार करें। एक बजाना घन फेंकें (यानी एक छोटा घन, किनारों पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 टूटे हुए थे)। अपने शीर्ष चेहरे पर एक खेल घन फेंकते समय, एक बिंदु गिर सकता है, दो अंक, तीन अंक इत्यादि। इनमें से प्रत्येक परिणाम यादृच्छिक है। इस तरह के एक परीक्षण का आयोजन किया। खेल घन ने 100 बार फेंक दिया और देखा कि घटना कितनी बार होगी "6 अंक घन पर गिर गए।" यह पता चला कि प्रयोगों की इस श्रृंखला में "छह" 9 गुना गिर गया। संख्या 9, जो दिखाती है कि इस परीक्षण में कितनी बार घटना हुई, को इस घटना की आवृत्ति कहा जाता है, और आवृत्ति अनुपात परीक्षण की कुल संख्या, बराबर, को इस घटना की सापेक्ष आवृत्ति कहा जाता है। आम तौर पर, एक निश्चित परीक्षण को एक ही परिस्थितियों में बार-बार किया जाना चाहिए और साथ ही साथ प्रत्येक बार तय किया जाता है, या कोई घटना नहीं होती है जो हमें रूचि देती है। घटना की संभावना बड़े लैटिन पत्र पी द्वारा इंगित की जाती है। फिर घटनाओं की संभावना और हम निरूपित करेंगे: पी (ए)। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा: घटना ए की संभावना एकमात्र संभावित, समान और असंगत मामलों की संख्या एन, यानी संख्या एन, यानी संख्या के रूप में, एम मामलों की संख्या के अनुपात के बराबर है। किसी घटना की संभावना, यह आवश्यक है: विभिन्न परीक्षण परिणामों पर विचार करना; केवल संभावित, संतुलन और असंगतताओं का संयोजन ढूंढें, उनके कुल एन की गणना करने के लिए, इस घटना के लिए अनुकूल मामलों की संख्या, मामलों की संख्या; सूत्र द्वारा गणना करें। यह सूत्र से आता है कि किसी ईवेंट की संभावना एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और शून्य से एक सीमा में भिन्न हो सकती है, इस पर निर्भर करता है कि कौन सा अंश मामलों की कुल संख्या से मामलों की एक अनुकूल संख्या है: एक और उदाहरण पर विचार करें। बॉक्स में 10 गेंदें हैं। उनमें से 3 लाल हैं, 2 - हरा, बाकी सफेद हैं। संभावना का पता लगाएं कि यादृच्छिक गेंद पर खुलासा लाल, हरा या सफेद होगा। लाल, हरे और सफेद गेंदों की उपस्थिति घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती है। एक लाल गेंद की उपस्थिति को इंगित करें - एक घटना ए, एक हरे रंग की घटना, सफेद की उपस्थिति - घटना सी। फिर, ऊपर दर्ज सूत्रों के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:; ; ध्यान दें कि अपूर्ण घटनाओं के दो जोड़े में से एक की घटना की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है। घटना की सापेक्ष आवृत्ति को प्रयोगों की संख्या का दृष्टिकोण कहा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक घटना हुई और प्रयोगों की कुल संख्या में। संभावना पर सापेक्ष आवृत्ति के बीच का अंतर यह है कि संभाव्यता की गणना सीधे प्रयोगों के काम के बिना की जाती है, लेकिन अनुभव के बाद सापेक्ष आवृत्ति। तो उपर्युक्त उदाहरण में, यदि बॉक्स से 5 गेंदों को निकाला गया था और उनमें से 2 लाल थे, तो लाल गेंद की सापेक्ष आवृत्ति दिखाई दी: जैसा कि देखा जा सकता है, यह मान पाया जा सकता है कि यह मान पाए गए संभाव्यता के साथ मेल नहीं खाता है। उत्पादन की पर्याप्त संख्या में रूपरेखा के साथ, सापेक्ष आवृत्ति थोड़ी संख्या में बदलती है, एक संख्या के बारे में हिचकिचाहट। इस संख्या को एक घटना की संभावना के लिए स्वीकार किया जा सकता है। ज्यामितीय संभावना। संभावना की क्लासिक परिभाषा मानती है कि पाठ्यक्रम के प्राथमिक परिणामों की संख्या, जो अभ्यास में अपने आवेदन को भी सीमित करती है। इस मामले में जब अनंत परिणामों के साथ परीक्षण का उपयोग किया जाता है, तो ज्यामितीय संभावना की परिभाषा का उपयोग किया जाता है - क्षेत्र में बिंदु। ज्यामितीय संभावना को निर्धारित करते समय, ऐसा माना जाता है कि एक क्षेत्र एन और इसमें एक छोटा क्षेत्र एम है। क्षेत्र एन पर, पंप को बिंदु पर फेंक दिया जाता है (इसका मतलब है कि क्षेत्र के सभी बिंदु एन "समान" संबंध में वहां ड्रॉप-डाउन पॉइंट पर)। घटना ए - "एम क्षेत्र में फेंकने वाले बिंदु को हिट करें।" एम क्षेत्र को एक अनुकूल घटना ए कहा जाता है। किसी भी भाग एन में प्रवेश करने की संभावना इस भाग की सीमा के समान आनुपातिक है और इसके स्थान और रूप पर निर्भर नहीं है। जिस क्षेत्र पर ज्यामितीय संभावना वितरित की जाती है वह हो सकता है: एक सेगमेंट (माप लंबाई है) विमान पर एक ज्यामितीय आकृति (माप क्षेत्र है) अंतरिक्ष में ज्यामितीय शरीर (माप मात्रा है) हम एक परिभाषा देंगे एक फ्लैट आकृति के लिए एक ज्यामितीय संभावना। मुझे एन का हिस्सा बनें : जबकि इस क्षेत्र की सीमा तक यादृच्छिक रूप से त्याग किए गए बिंदु को मारने की संभावना को शून्य माना जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें: एक बारह घंटे के डायल के साथ यांत्रिक घड़ी टूट गई और चलना बंद कर दिया। संभावना का पता लगाएं कि घंटे तीर जमीन 5 तक पहुंच गया, लेकिन 8 घंटे तक नहीं पहुंचा। फेसला। परिणामों की संख्या अनंत है, एक ज्यामितीय संभावना की परिभाषा लागू करें। 5 और 8 घंटे के बीच का क्षेत्र पूरे डायल के क्षेत्र का हिस्सा है। घटना संचालन: घटनाओं ए और बी को समान कहा जाता है, यदि घटना के कार्यान्वयन और घटना के कार्यान्वयन को शामिल किया गया है और इसके विपरीत। एसोसिएशन या घटनाओं की मात्रा को घटना ए कहा जाता है, जिसका अर्थ है कम से कम घटनाओं में से एक की उपस्थिति। ए \u003d चौराहे या घटनाओं का काम एक घटना है, जो सभी घटनाओं को लागू करना है। ए \u003d? घटनाओं ए और बी के अंतर को एक घटना कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि एक घटना उत्पन्न होती है, लेकिन घटना वी। सी \u003d ए \\ बी उदाहरण नहीं होती है: ए + बी - "2 गिर गई; चार; 6 या 3 अंक "ए बी -" ने 6 अंक "ए-बी -" 2 और 4 अंक गिर गए "घटना के लिए अतिरिक्त, लेकिन एक घटना कहा जाता है जिसका अर्थ यह है कि घटना नहीं हो रही है। अनुभव के प्राथमिक परिणाम इस अनुभव के निम्नलिखित परिणाम हैं जो एक दूसरे को पारस्परिक रूप से बाहर करते हैं और, अनुभव के परिणामस्वरूप, इन घटनाओं में से एक होता है, जिसमें आने वाले प्राथमिक परिणाम के मुताबिक भी एक घटना होगी, इसका न्याय किया जा सकता है चाहे वह होता है या यह घटना नहीं होती है। अनुभव के सभी प्राथमिक परिणामों का संयोजन प्राथमिक घटनाओं की जगह कहा जाता है। संभावनाओं की गुण: संपत्ति 1. यदि सभी मामले इस घटना के अनुकूल हैं, तो यह घटना निश्चित रूप से होती है। नतीजतन, विचार के तहत घटना विश्वसनीय है, और इसकी उपस्थिति की संभावना है, इस मामले में संपत्ति 2. यदि इस घटना के लिए एक भी मामला अनुकूल नहीं है, तो यह घटना अनुभव के परिणामस्वरूप नहीं हो सकती है। नतीजतन, विचाराधीन घटना असंभव है, और इसकी उपस्थिति की संभावना है, क्योंकि इस मामले में एम \u003d 0: संपत्ति 3. एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की घटना की संभावना एक के बराबर है। संपत्ति 4 विपरीत घटना की संभावना को उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे घटना की संभावना, घटनाओं ए: जहां (एन-एम) विपरीत घटनाओं की उपस्थिति को अनुकूलित करने वाले मामलों की संख्या है। इसलिए विपरीत घटना की संभावना इकाई के बीच के अंतर के बराबर है और एक घटना की संभावना ए: संभावनाओं के अतिरिक्त और गुणा। घटना ए को घटनाओं का एक विशेष मामला कहा जाता है, यदि आने वाले और वी की घटना में विशेष मामला है, तो लिखें? बी। घटनाओं ए और बी को बराबर कहा जाता है, अगर उनमें से प्रत्येक दूसरे का एक विशेष मामला है। घटनाओं की समानता ए और रिकॉर्ड ए \u003d वी। घटनाओं का योग ए और बी को एक ईवेंट ए + बी कहा जाता है, जो तब आता है और केवल तभी जब घटनाएं आती हैं: संभावनाओं के अतिरिक्त ए या वी। प्रमेय 1. दो असंगत घटनाओं में से एक की उपस्थिति की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है। पी \u003d पी + पी नोट कि प्रमोटेड प्रमेय किसी भी अपूर्ण घटनाओं के लिए मान्य है: यदि यादृच्छिक घटनाएं अपूर्ण घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो समानता पी + पी + ... + पी \u003d 1 घटनाओं के काम से ए और बी को एक एबी घटना कहा जाता है जो आता है और केवल तभी जब दोनों घटनाएं होती हैं: ए और एक ही समय में। यादृच्छिक घटनाओं ए और बी को संयुक्त कहा जाता है, अगर ये दोनों घटनाएं इस परीक्षा के साथ हो सकती हैं। संभावनाओं को जोड़ने पर प्रमेय 2. संयुक्त घटनाओं की मात्रा की संभावना की गणना फॉर्मूला पी \u003d पी + पी-पी द्वारा समान प्रमेय द्वारा कार्यों के उदाहरणों की गणना की जाती है। ज्यामिति में परीक्षा में, एक स्कूलबॉय परीक्षा मुद्दों की सूची से एक प्रश्न प्राप्त करता है। संभावना है कि यह "अंकित सर्कल" विषय पर एक प्रश्न है 0.2 है। संभावना है कि यह "समांतरोग्राम" विषय पर एक प्रश्न है 0.15 है। ऐसे प्रश्न जो इन दो विषयों को संदर्भित करते हैं, नहीं। संभावना को ढूंढें कि छात्र की परीक्षा में इन दो विषयों में से एक पर एक प्रश्न मिलेगा। फेसला। दो असंगत घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है: 0.2 + 0.15 \u003d 0.35। उत्तर: 0.35। शॉपिंग सेंटर में, दो समान मशीनें कॉफी बेचती हैं। यह संभावना है कि मशीन में दिन के अंत तक कॉफी समाप्त हो जाएगी, 0.3 के बराबर होगी। ऐसी संभावना है कि कॉफी दोनों मशीनों में समाप्त हो जाएगी 0.12 है। संभावना का पता लगाएं कि दिन के अंत तक कॉफी दोनों मशीनों में रहेगी। फेसला। घटनाओं पर विचार करें ए - "कॉफी पहले ऑटोमेटन में समाप्त हो जाएगी," इन-"कॉफी दूसरी मशीन में समाप्त हो जाएगी।" फिर एक बी - "कॉफी दोनों मशीनों में समाप्त हो जाएगी", ए + बी - "कॉफी कम से कम एक मशीन समाप्त होगी।" स्थिति पी (ए) \u003d पी (बी) \u003d 0.3 के तहत; P (a · b) \u003d 0.12। घटनाक्रम ए और बी संयुक्त, दो संयुक्त घटनाओं की योग की संभावना उनके कार्यों की संभावना के बिना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है: पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी)? पी (a · b) \u003d 0.3 + 0.3? 0.12 \u003d 0.48। नतीजतन, विपरीत घटना की संभावना इस तथ्य में है कि कॉफी दोनों मशीनों में रहेगी, 1 है? 0.48 \u003d 0.52। उत्तर: 0.52। घटनाक्रम घटनाओं ए और बी को स्वतंत्र कहा जाता है अगर उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की संभावना को नहीं बदलता है। घटना ए को इस घटना पर निर्भर किया जाता है यदि घटना की संभावना एक घटना या नहीं हुई है या नहीं, इस पर निर्भर करता है। सशर्त संभावना पी (ए | बी) घटनाओं को गणना की गई संभावना कहा जाता है कि घटना हुई। इसी प्रकार, पी (बी | ए) के माध्यम से एक घटना की सशर्त संभावना को दर्शाता है कि यह आया था। परिभाषा पी (ए | बी) \u003d पी (ए) द्वारा स्वतंत्र घटनाओं के लिए; पी (बी | ए) \u003d पी (बी) आश्रित घटनाओं के लिए गुणा प्रमेय आश्रित घटनाओं के उत्पाद की संभावना V0.01 \u003d 0.0198 + 0.0098 \u003d 0.0296 के काम के बराबर है। उत्तर: 0,0296।

2003 में, माध्यमिक विद्यालय के गणित के गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में संभावना के सिद्धांतों के तत्वों को शामिल करने का निर्णय लिया गया (रूसी की शिक्षा मंत्रालय के 23 सितंबर, 2003 का निर्देशक पत्र संख्या 03-93in / 13-03) फेडरेशन "गणितीय शिक्षा मुख्य विद्यालय की सामग्री में संयोजक, सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों की शुरूआत पर", "स्कूल में गणित", 2003 के लिए संख्या 9)। इस समय तक, विभिन्न वर्गों के लिए प्रसिद्ध स्कूल पाठ्यपुस्तकों बीजगणित में दस साल से अधिक के लिए संभाव्यता सिद्धांत के तत्व उपस्थित थे (उदाहरण के लिए, यदि "बीजगणित: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के 7-9 कक्षाओं के लिए पाठ्यपुस्तकें" Gvdorofeyev द्वारा संपादित; "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के 10-11 कक्षाओं के लिए ट्यूटोरियल" जी.डीओआरओएफईईवी, एल.वी. कुज़नेत्सोवा, ईए सेडोव "), और व्यक्तिगत पाठ्यपुस्तकों के रूप में। हालांकि, एक नियम के रूप में, उनकी संभावना के सिद्धांत पर सामग्री की प्रस्तुति व्यवस्थित नहीं थी, और शिक्षकों ने अक्सर इन वर्गों से अपील नहीं की थी, उन्हें पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किया गया था। 2003 में शिक्षा मंत्रालय द्वारा अपनाया गया दस्तावेज स्कूल पाठ्यक्रमों में इन वर्गों को धीरे-धीरे, चरणबद्ध समावेश के लिए प्रदान किया गया, जिसमें शिक्षण समुदाय को उचित परिवर्तनों के लिए तैयार किया जा सकता है। 2004-2008 में मौजूदा पाठ्यपुस्तकों बीजगणित के पूरक हैं जो कई ट्यूटोरियल हैं। यह प्रकाशन tyurin yu.n., मकारोव एए, Vysotsky i.r., Yashchenko i.v. "संभावना और सांख्यिकी का सिद्धांत", Tyurin yu.n., Makarov एए, Vysotsky i.r., Yashchenko i.v. "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी: शिक्षक के लिए विधि विज्ञान मैनुअल", Makaryechev Yu.n., Mindyuk n.g. "बीजगणित: आंकड़ों और संभाव्यता सिद्धांत के तत्व: अध्ययन। छात्रों के लिए हैंडबुक 7-9 सीएल। सामान्य शिक्षा। संस्थान ", तकाचेवा एम.वी., फेडोरोवा एनई। "सांख्यिकीय तत्व और संभावना: अध्ययन। 7-9 सीबी के लिए मैनुअल। सामान्य शिक्षा। संस्थान। " शिक्षकों की मदद करने के लिए पद्धतिपरक मैनुअल भी उभरा। कई सालों तक, इन सभी शिक्षण सहायता स्कूलों में परीक्षण किए गए थे। शर्तों के तहत, जब स्कूल कार्यक्रमों में कार्यान्वयन की संक्रमणकालीन अवधि समाप्त हो गई, और सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के वर्गों ने कक्षा 7-9 पाठ्यक्रमों, विश्लेषण और इन शिक्षण सहायता में उपयोग की जाने वाली मूल परिभाषाओं और पदनामों के समन्वय की समझ में अपनी जगह ली की आवश्यकता है । ये सभी ट्यूटोरियल स्कूल में गणित के इन वर्गों को पढ़ाने की परंपराओं की अनुपस्थिति में बनाए गए थे। विश्वविद्यालयों के लिए मौजूदा पाठ्यपुस्तकों की तुलना में पाठ्यपुस्तकों के लेखकों के लेखकों को मुक्त या अनजाने में उकसाया। उत्तरार्द्ध, व्यक्तिगत विशेषज्ञता पर स्थापित परंपराओं के आधार पर, उच्चतम विद्यालय ने अक्सर मूल अवधारणाओं और सूत्रों के रिकॉर्ड के नामों में एक महत्वपूर्ण शब्दावली अंतर और मतभेदों की अनुमति दी। उपर्युक्त स्कूल पाठ्यपुस्तक की सामग्री का विश्लेषण से पता चलता है कि उन्हें आज उच्च विद्यालय की पाठ्यपुस्तकों से इन सुविधाओं को विरासत में मिला। सटीकता की एक बड़ी डिग्री के साथ, यह तर्क दिया जा सकता है कि "यादृच्छिक" की अवधारणा से संबंधित गणित के स्कूल वर्गों के लिए एक नए पर एक विशिष्ट शैक्षिक सामग्री का चयन वर्तमान में सबसे अधिक होता है जो न तो यादृच्छिक रूप से होता है, ठीक है नाम और पदनाम। इसलिए, संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकीविदों पर अग्रणी स्कूल पाठ्यपुस्तकों के लेखकों की टीमों ने मास्को इंस्टीट्यूट ऑफ ओपन एजुकेशन के अनुपालन के तहत अपने प्रयासों को एकीकृत करने के लिए शिक्षण एड्स में उपयोग की गई मूल परिभाषाओं और पदनामों के एकीकरण के लिए सहमत पदों को विकसित करने के लिए एकजुट करने का फैसला किया संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी पर स्कूल। हम स्कूल पाठ्यपुस्तकों में "संभावना के सिद्धांत" विषय की शुरूआत का विश्लेषण करेंगे। सामान्य विशेषताएं: "सामान्य शैक्षिक संस्थानों के लिए कार्यक्रम" में आवंटित विषय "संभाव्यता के सिद्धांत के तत्व" विषय को पढ़ाने की सामग्री, गणित के लिए कार्यक्रम ", उनकी गणितीय क्षमताओं के आगे के विकास, व्यवसायों में अभिविन्यास, गणित से काफी संबंधित, उच्च के लिए प्रशिक्षण सुनिश्चित करता है स्कूल। विचाराधीन विषय की गणितीय सामग्री की विशिष्टता हमें निम्नानुसार गणित के गहन अध्ययन के आवंटित मूल कार्य को निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है। 1. एक कट्टरपंथी ज्ञान प्रणाली के रूप में गणित के प्रकटीकरण को जारी रखें। - बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषाओं की एक प्रणाली का निर्माण; - पेश किए गए अवधारणाओं के अतिरिक्त गुणों की पहचान करने के लिए; - पेश किए गए और पहले अध्ययन अवधारणाओं के कनेक्शन स्थापित करें। 2. समस्याओं को हल करने के लिए कुछ संभाव्य तरीकों को व्यवस्थित करें; विशिष्ट प्रकार के कार्यों के समाधान के लिए खोज की परिचालन संरचना का खुलासा करें। 3. मुख्य सैद्धांतिक तथ्यों का विश्लेषण करके संभाव्यता सिद्धांत के व्यावहारिक महत्व के मूल विचार के छात्रों के बारे में समझने और जागरूक करने के लिए शर्तें बनाएं। इस सिद्धांत में अध्ययन किए गए व्यावहारिक अनुप्रयोगों का खुलासा करें। उपयुक्त शैक्षिक लक्ष्यों की उपलब्धि निम्नलिखित कार्यों के समाधान में योगदान देगी: 1. किसी घटना (सांख्यिकीय, शास्त्रीय, ज्यामितीय, स्वयंसिद्ध) की संभावना को निर्धारित करने के विभिन्न तरीकों का विचार बनाने के लिए 2. ज्ञान बनाने के लिए घटनाओं पर बुनियादी संचालन और दूसरों के माध्यम से कुछ घटनाओं का वर्णन करने के लिए उन्हें लागू करने की क्षमता। 3. परिधि के अलावा और संभावनाओं के गुणा के सार का सार प्रकट करें; इन प्रमेय का उपयोग करने की सीमाओं का निर्धारण करें। पूर्ण संभाव्यता सूत्रों को आउटपुट करने के लिए अपने आवेदन दिखाएं। 4. घटनाओं की संभावना को खोजने के लिए एल्गोरिदम की पहचान करना) संभावना की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार; बी) अतिरिक्त और गुणा के सिद्धांत पर; सी) फॉर्मूला0.99 + 0.98 पी (ए | बीएन) के अनुसार एक उदाहरण पर विचार करें: स्वचालित लाइन बैटरी बनाती है। यह संभावना है कि समाप्त बैटरी दोषपूर्ण है 0.02 है। पैकिंग से पहले, प्रत्येक बैटरी नियंत्रण प्रणाली से गुजर रही है। यह संभावना है कि सिस्टम दोषपूर्ण बैटरी लेता है 0.9 9 है। यह संभावना है कि त्रुटि प्रणाली सेवा योग्य बैटरी लेती है 0.01 है। संभावना का पता लगाएं कि पैकेज से चुनी गई बैटरी को खारिज कर दिया जाएगा। फेसला। जिस स्थिति में बैटरी खारिज कर दी जाएगी, वे घटनाओं के परिणामस्वरूप हो सकती हैं: ए - "बैटरी वास्तव में दोषपूर्ण है और सही तरीके से खारिज कर दी गई है" या "बैटरी अच्छी है, लेकिन गलती से इसे खारिज कर दिया जाता है।" ये अपूर्ण घटनाएं हैं, उनकी राशि की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है। हम ले जाते हैं: पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी) \u003d 0.02 पी (ए | बी 3) + ... + पी (बीएन) पी (ए | बी 2) + पी (बी 3) पी (ए | बी 1) + पी (बी 2) उनमें से एक के उद्देश्य से अन्य की सशर्त संभावना पर, बशर्ते पहला हुआ: पी (एबी) \u003d पी (ए) पी (ए) पी (बी | ए) पी (एबी) \u003d पी ( बी) पी (ए | बी) (पहले किस घटना के इस पर निर्भर करता है)। प्रमेय की कोरोलरी: स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणात्मक प्रमेय। स्वतंत्र घटनाओं के काम की संभावना उनकी संभाव्यता के उत्पाद के बराबर है: पी (एबी) \u003d पी (ए) पी (बी) यदि एक और स्वतंत्र है, तो स्वतंत्र और जोड़े: (;), (सी), (ए)। गुणा पर कार्यों के उदाहरण प्रमेय: यदि ग्रैंडमास्टर ए सफेद खेलता है, तो वह 0.52 की संभावना के साथ ग्रैंडमास्टर बी में जीतता है। यदि ए काला, ए खेलता है तो मैं 0.3 की संभावना के साथ बी में जीतता हूं। ग्रैंडमाइकर्स ए और बी दो बैचों को खेलते हैं, और दूसरे बैच में, आंकड़े का रंग बदल जाता है। ऐसी संभावना का पता लगाएं कि ए। दोनों बार जीतता है। फेसला। पहला और दूसरा बैच जीतने की क्षमता एक दूसरे पर निर्भर नहीं है। स्वतंत्र घटनाओं के काम की संभावना उनकी संभावना के उत्पाद के बराबर है: 0.52 · 0.3 \u003d 0.156। उत्तर: 0.156। स्टोर में दो प्लेटफॉर्म हैं। उनमें से प्रत्येक अन्य मशीन के स्वतंत्र रूप से 0.05 की संभावना के साथ दोषपूर्ण हो सकता है। संभावना का पता लगाएं कि कम से कम एक मशीन काम कर रही है। फेसला। हमें लगता है कि दोनों मशीनें दोषपूर्ण हैं। ये घटनाएं स्वतंत्र हैं, उनके काम की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है: 0.05 · 0.05 \u003d 0.0025। घटना, जिसमें तथ्य यह है कि कम से कम एक मशीन विपरीत है। नतीजतन, इसकी संभावना 1 के बराबर है? 0.0025 \u003d 0.9975। उत्तर: 0,9975। अतिरिक्त प्रमेय और संभावनाओं के गुणा के परिणाम की पूर्ण संभावना का सूत्र पूर्ण संभावना का सूत्र है: घटनाओं की संभावना पी (ए), जो केवल घटनाओं (परिकल्पनाओं) बी 1 की स्थिति के तहत हो सकती है , बी 2, बी 3 ... बीएन, अपूर्ण घटनाओं के जोड़े में एक पूर्ण समूह का निर्माण, यह प्रत्येक घटना (परिकल्पना) बी 1, बी 2, बी 3, की संभावना के बराबर है ..., इसी सशर्त में घटना की संभावना ए: पी (ए) \u003d पी (बी 1) पूरी संभावना का। 5. एक पर्चे बनाने के लिए जो आपको एक विशिष्ट कार्य को हल करते समय तर्कसंगत रूप से एल्गोरिदम में से एक को चुनने की अनुमति देता है। विकासशील और शैक्षिक उद्देश्यों के पूरक संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन करने के लिए समर्पित शैक्षिक उद्देश्यों। विकास लक्ष्य: छात्रों को विषय में एक स्थिर ब्याज बनाने, गणितीय क्षमताओं की पहचान और विकसित करने के लिए; सीखने की प्रक्रिया में, भाषण, सोच, भावनात्मक और दृश्यमान और प्रेरक क्षेत्रों को विकसित करना; समस्याओं और कार्यों को हल करने के नए तरीकों के स्वतंत्र छात्रों को खोजना; नई स्थितियों और परिस्थितियों में ज्ञान का आवेदन; तथ्यों को समझाने की क्षमता, घटनाओं के बीच संबंध, सामग्री को एक दूसरे में जमा करने के एक रूप से परिवर्तित करें (मौखिक, प्रतीकात्मक, ग्राफिक); विधियों के उचित उपयोग को प्रदर्शित करने के लिए सीखना, तर्क, समानता और घटना के अंतर का तर्क देखें। शैक्षिक लक्ष्यों: स्कूली बच्चों से नैतिक और सौंदर्य विचारों को आकार देने के लिए, दुनिया पर विचारों की व्यवस्था, समाज में व्यवहार के मानदंडों का पालन करने की क्षमता; व्यक्तित्व की जरूरतों को हल करें, सामाजिक व्यवहार, गतिविधियों, मूल्यों और मूल्य उन्मुखताओं के उद्देश्यों; आत्म-शिक्षा और आत्म-शिक्षा में सक्षम व्यक्तित्व का अभ्यास करें। हम ग्रेड 9 "बीजगणित: सांख्यिकी के तत्वों और संभावनाओं के सिद्धांत" के लिए बीजगणित पर पाठ्यपुस्तक का विश्लेषण करेंगे। यह ट्यूटोरियल ग्रेड 7-9 में छात्रों के लिए है, यह पाठ्यपुस्तकों को पूरा करता है: makarychev yu.n., mindyuk n.g., neshkov ki., suvorov s.b. "बीजगणित 7", "बीजगणित 8", "बीजगणित 9", Telyakovsky एसए द्वारा संपादित। पुस्तक में चार पैराग्राफ होते हैं। प्रत्येक आइटम में सैद्धांतिक जानकारी और उचित अभ्यास होते हैं। बिंदु के अंत में पुनरावृत्ति के लिए अभ्यास हैं। प्रत्येक अनुच्छेद मुख्य अभ्यास की तुलना में उच्च स्तर की जटिलता के अतिरिक्त अभ्यास प्रदान करता है। "सामान्य शैक्षिक संस्थानों के लिए" स्कूल के पाठ्यक्रम में "संभाव्यता और सांख्यिकी के सिद्धांत" विषय का अध्ययन करने के लिए, बीजगणित को 15 घंटे दिया जाता है। इस विषय पर सामग्री 9 वीं कक्षा में गिरती है और निम्नलिखित अनुच्छेदों में सेट होती है: §3 "कॉम्बिनेटोरियल तत्व" में 4 अंक होते हैं: कॉम्बिनेटोरियल कार्यों के उदाहरण। सरल उदाहरणों पर, यह संभावित विकल्पों के लिए बातचीत करने की विधि से संयोजक कार्यों के समाधान द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। यह विधि संभावित विकल्पों के पेड़ के निर्माण से सचित्र है। गुणा का नियम माना जाता है। क्रमपरिवर्तन। क्रमपरिवर्तन की गणना के लिए बहुत ही अवधारणा और सूत्र पेश किया गया है। आवास। अवधारणा एक विशिष्ट उदाहरण पर दर्ज की गई है। आवास की संख्या का सूत्र व्युत्पन्न है। मेल। संयोजन की संख्या का अवधारणा और सूत्र। इस अनुच्छेद का उद्देश्य छात्रों को विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक अनुभवों में सभी संभावित प्राथमिक घटनाओं का वर्णन करने के विभिन्न तरीकों को देना है। §4 "संभाव्यता सिद्धांत से प्रारंभिक जानकारी"। सामग्री की रूपरेखा प्रयोग की परीक्षा से शुरू होती है, जिसके बाद "यादृच्छिक घटना" की अवधारणा और "यादृच्छिक घटना की सापेक्ष आवृत्ति" की पेशकश की जाती है। सांख्यिकीय और शास्त्रीय संभाव्यता परिभाषा पेश की जाती है। अनुच्छेद "अतिरिक्तता के अतिरिक्त और गुणा" आइटम द्वारा पूरा किया जाता है। इसके अलावा और संभावनाओं के गुणा के प्रमोशन पर विचार किया जाता है, उनके साथ जुड़े अवधारणा असंगत, विपरीत, स्वतंत्र घटनाओं हैं। यह सामग्री उन छात्रों के लिए डिज़ाइन की गई है जो गणित में रुचि और झुकाव दिखाते हैं, और व्यक्तिगत कार्य या छात्रों के साथ असाधारण अध्ययन के लिए उपयोग किया जा सकता है। इस पाठ्यपुस्तक के लिए विधिवत सिफारिशें कई लेखों को कई लेखों में दिए गए हैं Makaryechev और Mindyuk ("स्कूल वर्ष बीजगणित में संयोजक के तत्व", "बीजगणित के स्कूल वर्ष में संभावनाओं के सिद्धांत से प्रारंभिक जानकारी")। साथ ही साथ इस प्रशिक्षण पुस्तिका पर कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियां छात्रहेल और फेडेवा द्वारा लेख में निहित हैं, जो इस पाठ्यपुस्तक के साथ काम करते समय त्रुटियों को रोकने में मदद करेगी। उद्देश्य: घटनाओं के गुणात्मक विवरण से गणितीय विवरण में संक्रमण। पाठ्यपुस्तकों में "संभावना का सिद्धांत" थीम मॉर्डकोविच एजी, सेमेनोवा पीवी। 9-11 कक्षाओं के लिए। फिलहाल, स्कूल में मौजूदा पाठ्यपुस्तकों में से एक पाठ्यपुस्तक मॉर्डकोविच ए.जी., सेमेनोवा पीवी है। "घटनाक्रम, संभावनाएं, डेटा सांख्यिकीय प्रसंस्करण", 7-9 वर्गों के लिए अतिरिक्त अध्याय भी हैं। हम विश्लेषण करेंगे। "बीजगणित कार्य कार्यक्रम" के अनुसार "संयोजक, सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तत्व" विषयों का अध्ययन करने के लिए, 20 घंटे दिए गए हैं। इस विषय पर सामग्री "संभावना का सिद्धांत" निम्नलिखित अनुच्छेदों में प्रकट किया गया है: § 1. सरल संयोजन कार्य। गुणा नियम और वृक्ष विकल्प। क्रमपरिवर्तन। यह सरल संयोजक कार्यों के विचार से शुरू होता है, संभावित विकल्पों की एक तालिका पर विचार किया जाता है, जो गुणा नियम के सिद्धांत को दिखाता है। फिर पेड़ों को संभावित विकल्प और क्रमपरिवर्तन माना जाता है। सैद्धांतिक सामग्री के बाद, प्रत्येक उप-क्लॉज के लिए अभ्यास का पालन किया जाता है। § 2. कई तत्वों का चयन करना। मेल। सबसे पहले, सूत्र 2 तत्वों के लिए प्रदर्शित होता है, फिर तीन के लिए, और फिर एन तत्वों के लिए आम है। § 3. यादृच्छिक घटनाएं और उनकी संभावनाएं। शास्त्रीय संभाव्यता परिभाषा पेश की गई है। इस मैनुअल का प्लस यह है कि यह उनमें से एक है जिसमें उन वस्तुओं में शामिल हैं जिनमें विकल्पों के टेबल और पेड़ों पर विचार किया जाता है। इन वस्तुओं की आवश्यकता है, क्योंकि यह छात्रों को प्रस्तुत करने और प्रारंभिक डेटा विश्लेषण को सिखाने के लिए विकल्पों के टेबल और पेड़ हैं। इसके अलावा, इस ट्यूटोरियल में, संयोजन सूत्र को सफलतापूर्वक दो तत्वों के लिए पेश किया जाता है, फिर तीन के लिए और एन तत्वों के लिए संक्षेप में। संयोजक द्वारा, सामग्री भी प्रस्तुत की जाती है। प्रत्येक अनुच्छेद में अभ्यास होते हैं, जो आपको सामग्री को ठीक करने की अनुमति देता है। इस प्रशिक्षण पुस्तिका पर टिप्पणियां छात्रहेल और फेडेवा द्वारा लेख में निहित हैं। इस विषय पर 10 वीं कक्षा में, तीन अनुच्छेद दिए गए हैं। इनमें से पहले में, "गुणा का नियम। पुनर्व्यरण और तथ्यात्मक ", वास्तव में गुणा के नियम के अलावा, मुख्य फोकस दो मुख्य संयोजक पहचान के इस नियम से निष्कर्ष के लिए किया गया था: क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए और एन तत्वों से युक्त सेट के सभी संभावित सबसेट की संख्या के लिए। साथ ही, कारखानों को "क्रमपरिवर्तन" की अवधारणा की तुलना में कई विशिष्ट संयोजक कार्यों में प्रतिक्रिया रिकॉर्ड को कम करने के लिए एक सुविधाजनक तरीका के रूप में पेश किया जाता है। कक्षा के दूसरे अनुच्छेद 10 में "कई तत्वों का चयन करना। द्विपक्षीय गुणांक "शास्त्रीय संयोजक कार्यों को किसी दिए गए अंतिम सेट से कई तत्वों के एक साथ (या वैकल्पिक रूप से) चयन से जोड़ा गया था। रूसी व्यापक स्कूल के लिए सबसे महत्वपूर्ण और वास्तव में नया अंतिम अनुच्छेद "यादृच्छिक घटनाओं और उनकी संभावनाओं" था। इसे क्लासिक प्रोबैबलिस्टिक स्कीम, फॉर्मूला पी (ए + बी) + पी (एबी) \u003d पी (ए) + पी (बी), पी () \u003d 1-पी (ए), पी (ए) \u003d 1- पी () और उनके उपयोग के तरीके। पैराग्राफ दो परिणामों के साथ परीक्षणों के स्वतंत्र पुनरावृत्ति में संक्रमण के साथ समाप्त हुआ। यह संभाव्य मॉडल (बर्नौली परीक्षण) के व्यावहारिक दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण है, जिसमें बड़ी संख्या में अनुप्रयोग हैं। अंतिम सामग्री ने 10 और 11 कक्षाओं में शैक्षिक सामग्री की सामग्री के बीच संक्रमण का गठन किया। 11 वीं कक्षा की थीम "संभाव्यता सिद्धांत के तत्व" पाठ्यपुस्तक के दो अनुच्छेद और कार्य पुस्तक समर्पित हैं। § 22 में हम ज्यामितीय संभावनाओं के बारे में बात कर रहे हैं, § 23 में, दो परिणामों के साथ स्वतंत्र परीक्षण पुनरावृत्ति के ज्ञान को दोहराया और विस्तारित किया जाता है।

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रोजमर्रा की जिंदगी में, व्यावहारिक और वैज्ञानिक गतिविधि में, हम अक्सर कुछ घटनाओं का पालन करते हैं, हम कुछ प्रयोग करते हैं। एक घटना जो हो सकती है, और अवलोकन या प्रयोग की प्रक्रिया में नहीं हो सकती है, जिसे यादृच्छिक घटना कहा जाता है। उदाहरण के लिए, छत के नीचे एक हल्का बल्ब लटका होता है - कोई भी जानता है कि जब यह अतिरंजित होता है। प्रत्येक यादृच्छिक घटना इतने सारे यादृच्छिक चर की क्रिया का एक परिणाम है (जिस बल को सिक्का फेंक दिया जाता है, सिक्का का आकार और बहुत कुछ)। इन सभी कारणों के परिणामस्वरूप प्रभाव को ध्यान में रखना असंभव है, क्योंकि उनमें से बड़ी संख्या बड़ी है और कार्रवाई के कानून अज्ञात हैं। यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न गणित के एक विशेष खंड का अध्ययन करते हैं, जिसे संभाव्यता सिद्धांत कहा जाता है। संभाव्यता सिद्धांत भविष्यवाणी करने के लिए एक कार्य निर्धारित नहीं करता है, एक भी घटना होगी या नहीं - यह बस इसे करने में असमर्थ है। यदि हम सामूहिक सजातीय यादृच्छिक घटनाओं के बारे में बात कर रहे हैं, तो वे कुछ पैटर्न, अर्थात् संभाव्य कानूनों का पालन करते हैं। सबसे पहले, आइए घटनाओं के वर्गीकरण पर विचार करें। सहयोगी और अपूर्ण घटनाएं हैं। घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है, अगर उनमें से एक का आक्रामक दूसरे की शुरुआत को बाहर नहीं करता है। अन्यथा, घटना को अपूर्ण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, दो खेल की हड्डियां बंधी हुई हैं। घटना ए - पहली बजने वाली हड्डी पर तीन अंक गिरकर, घटना बी - दूसरी हड्डी पर तीन अंक गिर रहा है। ए और बी - संयुक्त घटनाक्रम। स्टोर को एक शैली और आकार के जूते की दुकान में प्रवेश करने दें, लेकिन विभिन्न रंगों के। घटना ए - रुआदच ने बॉक्स को ब्लैक जूता के साथ लिया जाएगा, एक ईवेंट बी - बॉक्स ब्राउन जूता, ए और बी - अपूर्ण घटनाओं के साथ होगा। घटना को विश्वसनीय कहा जाता है यदि यह निश्चित रूप से इस अनुभव की शर्तों में होगा। अगर इस अनुभव की शर्तों में ऐसा नहीं हो सकता है तो घटना को असंभव कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक घटना, जिसमें तथ्य यह है कि मानक भाग मानक भागों की पार्टी से लिया जाएगा, विश्वसनीय है, और गैर मानक असंभव है। घटना को संभव, या यादृच्छिक कहा जाता है, यदि अनुभव के परिणामस्वरूप दिखाई दे सकता है, लेकिन प्रकट नहीं हो सकता है। एक यादृच्छिक घटना का एक उदाहरण तैयार उत्पादों के बैच को नियंत्रित करते समय उत्पाद दोषों की पहचान हो सकती है, उत्पाद के आकार का अनुपालन संसाधित किया जा सकता है, स्वचालित नियंत्रण प्रणाली की इकाइयों में से एक की विफलता। घटनाओं को संतुलन कहा जाता है, यदि परीक्षण की स्थिति के तहत, इनमें से कोई भी घटना दूसरों की तुलना में अधिक संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, स्टोर को इलेक्ट्रिक बल्ब (और बराबर मात्रा में) की आपूर्ति करने दें। इनमें से किसी भी पौधे के प्रकाश बल्बों की खरीद में घटनाएं बराबर हैं। एक महत्वपूर्ण अवधारणा घटनाओं का एक पूर्ण समूह है। इस अनुभव में कई घटनाएं एक पूर्ण समूह बनाती हैं यदि अनुभव के परिणामस्वरूप, उनमें से कम से कम एक निश्चित रूप से दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, यूआरएन में दस गेंदें हैं, जिनमें से छह लाल गेंदें, चार सफेद, और पांच गेंदों में संख्याएं हैं। ए - एक निष्कर्षण पर एक लाल गेंद की उपस्थिति, बी - एक सफेद गेंद की उपस्थिति, सी - संख्या के साथ एक गेंद की उपस्थिति। घटनाक्रम ए, बी, सी संयुक्त घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाते हैं। घटना विपरीत, या वैकल्पिक हो सकती है। विपरीत घटना के तहत इसे एक घटना के रूप में समझा जाता है जो कुछ घटना ए नहीं रहा है। विपरीत घटनाएं असंगत और केवल संभव हैं। वे घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि निर्मित उत्पादों का एक बैच उपयुक्त और दोषपूर्ण होता है, तो एक उत्पाद को हटाते समय, यह या तो उपयुक्त हो सकता है - घटना ए या दोषपूर्ण - घटना। एक उदाहरण पर विचार करें। एक बजाना घन फेंकें (यानी एक छोटा घन, किनारों पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 टूटे हुए थे)। अपने शीर्ष चेहरे पर एक खेल घन फेंकते समय, एक बिंदु गिर सकता है, दो अंक, तीन अंक इत्यादि। इनमें से प्रत्येक परिणाम यादृच्छिक है। इस तरह के एक परीक्षण का आयोजन किया। खेल घन ने 100 बार फेंक दिया और देखा कि घटना कितनी बार होगी "6 अंक घन पर गिर गए।" यह पता चला कि प्रयोगों की इस श्रृंखला में "छह" 9 गुना गिर गया। संख्या 9, जो दिखाती है कि इस परीक्षण में कितनी बार घटना हुई, को इस घटना की आवृत्ति कहा जाता है, और आवृत्ति अनुपात परीक्षण की कुल संख्या, बराबर, को इस घटना की सापेक्ष आवृत्ति कहा जाता है। आम तौर पर, एक निश्चित परीक्षण को एक ही परिस्थितियों में बार-बार किया जाना चाहिए और साथ ही साथ प्रत्येक बार तय किया जाता है, या कोई घटना नहीं होती है जो हमें रूचि देती है। घटना की संभावना बड़े लैटिन पत्र पी द्वारा इंगित की जाती है। फिर घटनाओं की संभावना और हम निरूपित करेंगे: पी (ए)। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा: घटना ए की संभावना एकमात्र संभावित, समान और असंगत मामलों की संख्या एन, यानी संख्या एन, यानी संख्या के रूप में, एम मामलों की संख्या के अनुपात के बराबर है। किसी घटना की संभावना, यह आवश्यक है: विभिन्न परीक्षण परिणामों पर विचार करना; केवल संभावित, संतुलन और असंगतताओं का संयोजन ढूंढें, उनके कुल एन की गणना करने के लिए, इस घटना के लिए अनुकूल मामलों की संख्या, मामलों की संख्या; सूत्र द्वारा गणना करें। यह सूत्र से आता है कि किसी ईवेंट की संभावना एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और शून्य से एक सीमा में भिन्न हो सकती है, इस पर निर्भर करता है कि कौन सा अंश मामलों की कुल संख्या से मामलों की एक अनुकूल संख्या है: एक और उदाहरण पर विचार करें। बॉक्स में 10 गेंदें हैं। उनमें से 3 लाल हैं, 2 - हरा, बाकी सफेद हैं। संभावना का पता लगाएं कि यादृच्छिक गेंद पर खुलासा लाल, हरा या सफेद होगा। लाल, हरे और सफेद गेंदों की उपस्थिति घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती है। एक लाल गेंद की उपस्थिति को इंगित करें - एक घटना ए, एक हरे रंग की घटना, सफेद की उपस्थिति - घटना सी। फिर, ऊपर दर्ज सूत्रों के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:; ; ध्यान दें कि अपूर्ण घटनाओं के दो जोड़े में से एक की घटना की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है। घटना की सापेक्ष आवृत्ति को प्रयोगों की संख्या का दृष्टिकोण कहा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक घटना हुई और प्रयोगों की कुल संख्या में। संभावना पर सापेक्ष आवृत्ति के बीच का अंतर यह है कि संभाव्यता की गणना सीधे प्रयोगों के काम के बिना की जाती है, लेकिन अनुभव के बाद सापेक्ष आवृत्ति। तो उपर्युक्त उदाहरण में, यदि बॉक्स से 5 गेंदों को निकाला गया था और उनमें से 2 लाल थे, तो लाल गेंद की सापेक्ष आवृत्ति दिखाई दी: जैसा कि देखा जा सकता है, यह मान पाया जा सकता है कि यह मान पाए गए संभाव्यता के साथ मेल नहीं खाता है। उत्पादन की पर्याप्त संख्या में रूपरेखा के साथ, सापेक्ष आवृत्ति थोड़ी संख्या में बदलती है, एक संख्या के बारे में हिचकिचाहट। इस संख्या को एक घटना की संभावना के लिए स्वीकार किया जा सकता है। ज्यामितीय संभावना। संभावना की क्लासिक परिभाषा मानती है कि पाठ्यक्रम के प्राथमिक परिणामों की संख्या, जो अभ्यास में अपने आवेदन को भी सीमित करती है। इस मामले में जब अनंत परिणामों के साथ परीक्षण का उपयोग किया जाता है, तो ज्यामितीय संभावना की परिभाषा का उपयोग किया जाता है - क्षेत्र में बिंदु। ज्यामितीय संभावना को निर्धारित करते समय, ऐसा माना जाता है कि एक क्षेत्र एन और इसमें एक छोटा क्षेत्र एम है। क्षेत्र एन पर, पंप को बिंदु पर फेंक दिया जाता है (इसका मतलब है कि क्षेत्र के सभी बिंदु एन "समान" संबंध में वहां ड्रॉप-डाउन पॉइंट पर)। घटना ए - "एम क्षेत्र में फेंकने वाले बिंदु को हिट करें।" एम क्षेत्र को एक अनुकूल घटना ए कहा जाता है। किसी भी भाग एन में प्रवेश करने की संभावना इस भाग की सीमा के समान आनुपातिक है और इसके स्थान और रूप पर निर्भर नहीं है। जिस क्षेत्र पर ज्यामितीय संभावना वितरित की जाती है वह हो सकता है: एक सेगमेंट (माप लंबाई है) विमान पर एक ज्यामितीय आकृति (माप क्षेत्र है) अंतरिक्ष में ज्यामितीय शरीर (माप मात्रा है) हम एक परिभाषा देंगे एक फ्लैट आकृति के लिए एक ज्यामितीय संभावना। मुझे एन का हिस्सा बनें : जबकि इस क्षेत्र की सीमा तक यादृच्छिक रूप से त्याग किए गए बिंदु को मारने की संभावना को शून्य माना जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें: एक बारह घंटे के डायल के साथ यांत्रिक घड़ी टूट गई और चलना बंद कर दिया। संभावना का पता लगाएं कि घंटे तीर जमीन 5 तक पहुंच गया, लेकिन 8 घंटे तक नहीं पहुंचा। फेसला। परिणामों की संख्या अनंत है, एक ज्यामितीय संभावना की परिभाषा लागू करें। 5 और 8 घंटे के बीच का क्षेत्र पूरे डायल के क्षेत्र का हिस्सा है। घटना संचालन: घटनाओं ए और बी को समान कहा जाता है, यदि घटना के कार्यान्वयन और घटना के कार्यान्वयन को शामिल किया गया है और इसके विपरीत। एसोसिएशन या घटनाओं की मात्रा को घटना ए कहा जाता है, जिसका अर्थ है कम से कम घटनाओं में से एक की उपस्थिति। ए \u003d चौराहे या घटनाओं का काम एक घटना है, जो सभी घटनाओं को लागू करना है। ए \u003d? घटनाओं के अंतर ए और बी को एक घटना कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि एक घटना उत्पन्न होती है, लेकिन घटना नहीं होती है। सी \u003d एबी उदाहरण: ए + बी - "2 गिर गया; चार; 6 या 3 अंक "ए बी -" ने 6 अंक "ए-बी -" 2 और 4 अंक गिर गए "घटना के लिए अतिरिक्त, लेकिन एक घटना कहा जाता है जिसका अर्थ यह है कि घटना नहीं हो रही है। अनुभव के प्राथमिक परिणाम इस अनुभव के निम्नलिखित परिणाम हैं जो एक दूसरे को पारस्परिक रूप से बाहर करते हैं और, अनुभव के परिणामस्वरूप, इन घटनाओं में से एक होता है, जिसमें आने वाले प्राथमिक परिणाम के मुताबिक भी एक घटना होगी, इसका न्याय किया जा सकता है चाहे वह होता है या यह घटना नहीं होती है। अनुभव के सभी प्राथमिक परिणामों का संयोजन प्राथमिक घटनाओं की जगह कहा जाता है। संभावनाओं की गुण: संपत्ति 1. यदि सभी मामले इस घटना के अनुकूल हैं, तो यह घटना निश्चित रूप से होती है। नतीजतन, विचार के तहत घटना विश्वसनीय है, और इसकी उपस्थिति की संभावना है, इस मामले में संपत्ति 2. यदि इस घटना के लिए एक भी मामला अनुकूल नहीं है, तो यह घटना अनुभव के परिणामस्वरूप नहीं हो सकती है। नतीजतन, विचाराधीन घटना असंभव है, और इसकी उपस्थिति की संभावना है, क्योंकि इस मामले में एम \u003d 0: संपत्ति 3. एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की घटना की संभावना एक के बराबर है। संपत्ति 4 विपरीत घटना की संभावना को उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे घटना की संभावना, घटनाओं ए: जहां (एन-एम) विपरीत घटनाओं की उपस्थिति को अनुकूलित करने वाले मामलों की संख्या है। इसलिए विपरीत घटना की संभावना इकाई के बीच के अंतर के बराबर है और एक घटना की संभावना ए: संभावनाओं के अतिरिक्त और गुणा। घटना ए को घटनाओं का एक विशेष मामला कहा जाता है, यदि आने वाले और वी की घटना में विशेष मामला है, तो लिखें? बी। घटनाओं ए और बी को बराबर कहा जाता है, अगर उनमें से प्रत्येक दूसरे का एक विशेष मामला है। घटनाओं की समानता ए और रिकॉर्ड ए \u003d वी। घटनाओं का योग ए और बी को एक ईवेंट ए + बी कहा जाता है, जो तब आता है और केवल तभी जब घटनाएं आती हैं: संभावनाओं के अतिरिक्त ए या वी। प्रमेय 1. दो असंगत घटनाओं में से एक की उपस्थिति की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है। पी \u003d पी + पी नोट कि प्रमोटेड प्रमेय किसी भी अपूर्ण घटनाओं के लिए मान्य है: यदि यादृच्छिक घटनाएं अपूर्ण घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो समानता पी + पी + ... + पी \u003d 1 घटनाओं के काम से ए और बी को एक एबी घटना कहा जाता है जो आता है और केवल तभी जब दोनों घटनाएं होती हैं: ए और एक ही समय में। यादृच्छिक घटनाओं ए और बी को संयुक्त कहा जाता है, अगर ये दोनों घटनाएं इस परीक्षा के साथ हो सकती हैं। संभावनाओं को जोड़ने पर प्रमेय 2. संयुक्त घटनाओं की मात्रा की संभावना की गणना फॉर्मूला पी \u003d पी + पी-पी द्वारा समान प्रमेय द्वारा कार्यों के उदाहरणों की गणना की जाती है। ज्यामिति में परीक्षा में, एक स्कूलबॉय परीक्षा मुद्दों की सूची से एक प्रश्न प्राप्त करता है। संभावना है कि यह "अंकित सर्कल" विषय पर एक प्रश्न है 0.2 है। संभावना है कि यह "समांतरोग्राम" विषय पर एक प्रश्न है 0.15 है। ऐसे प्रश्न जो इन दो विषयों को संदर्भित करते हैं, नहीं। संभावना को ढूंढें कि छात्र की परीक्षा में इन दो विषयों में से एक पर एक प्रश्न मिलेगा। फेसला। दो असंगत घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है: 0.2 + 0.15 \u003d 0.35। उत्तर: 0.35। शॉपिंग सेंटर में, दो समान मशीनें कॉफी बेचती हैं। यह संभावना है कि मशीन में दिन के अंत तक कॉफी समाप्त हो जाएगी, 0.3 के बराबर होगी। ऐसी संभावना है कि कॉफी दोनों मशीनों में समाप्त हो जाएगी 0.12 है। संभावना का पता लगाएं कि दिन के अंत तक कॉफी दोनों मशीनों में रहेगी। फेसला। घटनाओं पर विचार करें ए - "कॉफी पहले ऑटोमेटन में समाप्त हो जाएगी," इन-"कॉफी दूसरी मशीन में समाप्त हो जाएगी।" फिर एक बी - "कॉफी दोनों मशीनों में समाप्त हो जाएगी", ए + बी - "कॉफी कम से कम एक मशीन समाप्त होगी।" स्थिति पी (ए) \u003d पी (बी) \u003d 0.3 के तहत; P (a · b) \u003d 0.12। घटनाक्रम ए और बी संयुक्त, दो संयुक्त घटनाओं की योग की संभावना उनके कार्यों की संभावना के बिना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है: पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी)? पी (a · b) \u003d 0.3 + 0.3? 0.12 \u003d 0.48। नतीजतन, विपरीत घटना की संभावना इस तथ्य में है कि कॉफी दोनों मशीनों में रहेगी, 1 है? 0.48 \u003d 0.52। उत्तर: 0.52। घटनाक्रम घटनाओं ए और बी को स्वतंत्र कहा जाता है अगर उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की संभावना को नहीं बदलता है। घटना ए को इस घटना पर निर्भर किया जाता है यदि घटना की संभावना एक घटना या नहीं हुई है या नहीं, इस पर निर्भर करता है। सशर्त संभावना पी (ए | बी) घटनाओं को गणना की गई संभावना कहा जाता है कि घटना हुई। इसी प्रकार, पी (बी | ए) के माध्यम से एक घटना की सशर्त संभावना को दर्शाता है कि यह आया था। परिभाषा पी (ए | बी) \u003d पी (ए) द्वारा स्वतंत्र घटनाओं के लिए; पी (बी | ए) \u003d पी (बी) आश्रित घटनाओं के लिए गुणा प्रमेय आश्रित घटनाओं के उत्पाद की संभावना V0.01 \u003d 0.0198 + 0.0098 \u003d 0.0296 के काम के बराबर है। उत्तर: 0,0296।

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नवीन व। Korolyuk vss, Porentko एनआई, Skorokhod A.V. टर्बिन एएफ। संभाव्यता और अल्ट्रासाउंड के सिद्धांत पर निर्देशिका। दूसरा एड। Pererab अतिरिक्त। 1985। 640 पी। डीजेवीयू। 13.2 एमबी।
निर्देशिका 1 9 78 में प्रकाशन हाउस न्यूकोव डुमका में प्रकाशित वी एस कोरोल्युक द्वारा प्रकाशित वी एस कोरोल्युक द्वारा संपादित पुस्तक का एक विस्तारित और पुनर्नवीनीकरण संस्करण है। मुख्य विचारों के कवरेज की चौड़ाई से, संभावनाओं के वर्तमान सिद्धांत के तरीकों और विशिष्ट परिणाम, यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत और आंशिक रूप से गणितीय सांख्यिकी "हैंडबुक" इस तरह का एकमात्र संस्करण है।
वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए।

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नवीन व। एफ मोस्टेल्लर, आर राउरके, जे थॉमस। संभावना। 1969 साल। 432 पीडीएफ। 12.6 एमबी।
मशहूर अमेरिकी गणितज्ञों और शिक्षकों के एक समूह द्वारा लिखित यह पुस्तक, गणित के सिद्धांतों और सांख्यिकी के सिद्धांतों के लिए एक प्राथमिक परिचय है, जो अब विज्ञान और व्यावहारिक गतिविधियों में तेजी से उपयोग की जाती हैं। जिंदा और उज्ज्वल भाषा द्वारा लिखित, इसमें रोजमर्रा की जिंदगी के अधिकांश क्षेत्र में कई उदाहरण हैं। इस तथ्य के बावजूद कि स्कूल के दायरे में गणित द्वारा पुस्तक को पढ़ने के लिए पर्याप्त है, यह संभावनाओं के सिद्धांत के लिए काफी सही परिचय है। मैंने इस पुस्तक में पढ़ा कि दूसरों में मैंने कभी नहीं देखा था।

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एंड्रोनोव एएम, कोपीटोव ईए, ग्रिंगलाज़ एल। संभावना और गणितीय आंकड़ों का सिद्धांत। 2004। 460 पी। डीजेवीयू। 6.7 एमबी।
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इससे पहले कि आप संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों पर एक उन्नत पाठ्यपुस्तक हैं। पारंपरिक सामग्री को यादृच्छिक घटनाओं के संयोजन, यादृच्छिक घूमने, यादृच्छिक वंदेदारों के रैखिक रूपांतरणों, असतत मार्कोव प्रक्रियाओं के राज्यों की गैर-स्थिर संभावनाओं की संख्यात्मक खोज, समस्याओं को हल करने के लिए अनुकूलन विधियों के उपयोग की संभावनाओं के रूप में इस तरह के प्रश्नों के साथ भर दिया जाता है गणितीय सांख्यिकी, प्रतिगमन मॉडल। संभाव्यता और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत पर प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तकों और मोनोग्राफ से प्रस्तावित पुस्तक के बीच मुख्य अंतर सामग्री का अध्ययन करते समय व्यक्तिगत कंप्यूटर के निरंतर उपयोग के लिए अभिविन्यास है। प्रस्तुति के साथ गणित और सांख्यिकी में मामलों में कार्यों को सुलझाने के कई उदाहरण दिए गए हैं। यह पुस्तक संभाव्यता सिद्धांत, गणितीय आंकड़ों और उच्च शैक्षणिक संस्थानों के विभिन्न विशिष्टताओं के छात्रों के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत को सिखाने में लेखकों के तीस साल से अधिक अनुभव के आधार पर लिखी गई है। विश्वविद्यालयों के छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए व्यावहारिक रुचि प्रस्तुत करता है, और उन सभी के लिए जो आधुनिक संभाव्यता सांख्यिकीय तरीकों के उपयोग में रूचि रखते हैं।

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Agekyan। खगोलविदों और भौतिकविदों के लिए संभाव्यता सिद्धांत। 260 पी। आकार 1.7 एमबी। पुस्तक ने भौतिकविदों और खगोलविदों को माप के परिणामों को संसाधित करते समय उपयोग करने के लिए सामग्री पर जोर दिया। त्रुटियों की गणना करते समय उपयोगी पुस्तक।

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I.I. Bavrin। संभाव्यता सिद्धांत गणितीय सांख्यिकी। 2005 साल। 161 पी। डीजेवी। 1.7 एमबी।
संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों की मूल बातें भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीवविज्ञान, भूगोल, पारिस्थितिकी में अनुबंध में प्रस्तुत की जाती हैं, स्वतंत्र कार्यों के लिए अभ्यास सभी बुनियादी अवधारणाओं को दिए जाते हैं और प्रावधानों को अलग-अलग उदाहरणों और कार्यों से सचित्र किया जाता है।
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बोचारोव पी पी।, पर्किनिन एवी। संभावना का सिद्धांत। गणित सांख्यिकी। 2005 साल। 296 पी। डीजेवीयू। 2.8 एमबी।
पहला हिस्सा संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को संबोधित करता है, जबकि अपेक्षाकृत सरल गणितीय संरचनाओं का उपयोग किया जाता है, लेकिन फिर भी, प्रस्तुति अकादमिक ए एन। कोल्मोगोरोव द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध निर्माण पर आधारित है। दूसरा भाग गणितीय आंकड़ों की मूल अवधारणाओं को रेखांकित करता है। अज्ञात मानकों का आकलन करने और सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण करने का सबसे आम कार्य माना जाता है और उनके समाधान के मुख्य तरीकों का वर्णन किया गया है। प्रत्येक दी गई स्थिति उदाहरणों से सचित्र है। उल्लिखित सामग्री आम तौर पर राज्य शैक्षिक मानक का अनुपालन करती है।
छात्र, स्नातक छात्रों और विश्वविद्यालयों के शिक्षकों, विभिन्न विशिष्टताओं के वैज्ञानिकों और संभावनाओं और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत के पहले विचार को प्राप्त करने की इच्छा रखते हैं।

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वी.एन. Vapnik। अनुभवजन्य डेटा में निर्भरता की बहाली। 1 9 7 9। 44 9 पी। डीजेवीयू। 6.3 एमबी।
मोनोग्राफ अनुभवजन्य डेटा पर निर्भरता की वसूली की समस्या के लिए समर्पित है। यह सीमित मात्रा के नमूने पर जोखिम को कम करने की विधि की जांच करता है, जिसके अनुसार, कार्यात्मक निर्भरता को बहाल करते समय, इसे ऐसे फ़ंक्शन का चयन किया जाना चाहिए जो इसकी "जटिलता" और मूल्य की विशेषता वाले मूल्य के बीच एक निश्चित समझौता को पूरा करता है अनुभवजन्य डेटा के कुल अनुमान की डिग्री की विशेषता। निर्भरताओं की बहाली के तीन मुख्य कार्यों के लिए इस विधि का उपयोग माना जाता है: छवियों को पहचानने, प्रतिगमन को बहाल करने, अप्रत्यक्ष प्रयोगों के परिणामों की व्याख्या करने के लिए सीखने का कार्य। यह दिखाया गया है कि सीमित मात्रा में अनुभवजन्य डेटा के लिए लेखांकन हमें संकेतों के संकेतों के बड़े आयाम के साथ छवियों की मान्यता के कार्यों को हल करने की अनुमति देता है, स्थिरता प्राप्त करने के लिए समारोह के मॉडल की अनुपस्थिति में रिग्रेशन निर्भरताओं को पुनर्स्थापित करता है अप्रत्यक्ष प्रयोगों के परिणामों की व्याख्या करने के गलत कार्यों के समाधान। संबंधित निर्भरता वसूली एल्गोरिदम दिए जाते हैं।

ए.आई.आई. वोल्कोव, एबी गुरिनोविच। संभावना और गणितीय आंकड़ों का सिद्धांत। लेक्चर नोट्स। 2003। 84 पीडीएफ। 737 केबी।
"संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी" की दर से व्याख्यान का सार विषयों पर 17 व्याख्यान, इस अनुशासन के अध्ययन के लिए एक निश्चित मानक कार्य कार्यक्रम शामिल है। अध्ययन का उद्देश्य शारीरिक और संख्यात्मक प्रयोगों के परिणामों के औपचारिक विवरण और यादृच्छिक घटनाओं, प्रसंस्करण और विश्लेषण के विश्लेषण के मूल तरीकों को निपुण करना है। इस अनुशासन का अध्ययन करने के लिए, छात्र को उच्च गणित के पाठ्यक्रम के "पंक्तियों", "उन पर सेट और संचालन", "अंतर और अभिन्न कैलकुस" के अनुभागों के अध्ययन में प्राप्त ज्ञान की आवश्यकता होती है।

VOLOODIN। संभावनाओं और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत पर व्याख्यान। 2004। 257 पी। आकार 1.4 एमबी। पीडीएफ। प्रमेय प्राकृतिक विज्ञान की वास्तविक समस्याओं पर संभाव्य मॉडल बनाने और इन तरीकों के कार्यान्वयन के तरीकों पर ध्यान केंद्रित करता है। आंकड़ों में, विशिष्ट सांख्यिकीय नियमों के जोखिम की गणना के तरीकों पर ध्यान केंद्रित किया जाता है।

वेंटसेल, Ovcharov। संभाव्यता सिद्धांत और इसके इंजीनियरिंग अनुप्रयोग। वर्ष 2000। 480 पी। डीजेवीयू। 10.3 एमबी।
पुस्तक में विशेषताओं द्वारा उनके व्यावहारिक अनुप्रयोगों के दृश्य के कोण पर संभाव्यता सिद्धांत की नींव की एक व्यवस्थित प्रस्तुति शामिल है: साइबरनेटिक्स, एप्लाइड गणित, कंप्यूटर, स्वचालित नियंत्रण प्रणाली, तंत्र सिद्धांत, रेडियो इंजीनियरिंग, विश्वसनीयता, परिवहन, संचार सिद्धांत, आदि। क्षेत्रों की विविधता के बावजूद, जिन अनुप्रयोगों में शामिल हैं, सभी को एक विधिवत आधार से अनुमति दी जाती है।
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वेंटसेल, Ovcharov। सिद्धांत संभावना। 1969 साल। 365 पी। डीजेवीयू। 8.3 एमबी।
पुस्तक कार्यों और अभ्यासों का संग्रह है। सभी कार्यों का जवाब है, और बाउट्स के पास समाधान हैं।

एन। हा। VILENKIN, V. G. Potapov। कॉम्बिनेट्रिक्स और गणितीय आंकड़ों के तत्वों के साथ संभाव्यता सिद्धांत पर कार्य-कार्यशाला। Uch। पता 1 9 7 9। 113 पी। Djvu। 1.3 एमबी।
पाठक को दी गई पुस्तक "संभाव्यता सिद्धांत" की दर से एक कार्य और कार्यशाला है। कार्य में तीन अध्याय शामिल हैं, जो बदले में पैराग्राफ में विभाजित हैं। प्रत्येक अनुच्छेद की शुरुआत में, मुख्य सैद्धांतिक जानकारी संक्षेप में सीमित होती है, फिर विस्तारित नमूना उदाहरणों का विस्तार होता है और अंत में, उत्तर और दिशाओं से लैस स्वतंत्र समाधानों के लिए कार्यों का प्रस्ताव दिया जाता है। इस कार्य में प्रयोगशाला कार्य के ग्रंथ भी शामिल हैं, इसका निष्पादन गणितीय आंकड़ों की मूलभूत अवधारणाओं को सीखने के लिए उद्यम के छात्र की मदद करेगा।

Gmurman। संभावना और गणितीय आंकड़ों का सिद्धांत। 2003। 480 पी। डीजेवीयू। 5.8 एमबी।
पुस्तक में मुख्य रूप से संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों पर पूरी भौतिक सामग्री शामिल है। प्रयोगात्मक डेटा संसाधित करने के लिए सांख्यिकीय तरीकों पर अधिक ध्यान दिया जाता है। प्रत्येक अध्याय के अंत में कार्यों के साथ कार्यों को रखा गया। यह व्यावहारिक कार्यों को हल करने में संभाव्य और सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग कर विश्वविद्यालयों और व्यक्तियों के छात्रों के लिए है।

कोल्मोगोरोव। सिद्धांत संभावना। आकार 2.0 एमबी।

किबज़ुन एट अल। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी। Uch। फायदा। उदाहरण और कार्यों के साथ मूल पाठ्यक्रम। आकार 1.7 एमबी। djvu। 225 पीपी।

एम। काट्ज़। संभावनाओं, विश्लेषण और संख्याओं के सिद्धांत के सिद्धांत में सांख्यिकीय स्वतंत्रता। 152 पीपी डीजेवी। 1.3 एमबी।
पुस्तक अन्य गणित क्षेत्रों में संभाव्यता सिद्धांत के कुछ विचारों के एक बहुत ही सस्ती और आकर्षक रूप में उल्लिखित है। पुस्तक का मुख्य हिस्सा सांख्यिकीय आजादी की अवधारणा को समर्पित है।
पुस्तक, गणितज्ञ विशेषज्ञों, भौतिकविदों, इंजीनियरों के लिए पुस्तक उपयोगी और दिलचस्प होगी।

एम। काट्ज़। भौतिकी में संभाव्यता और संबंधित प्रश्न। 408 पी। डीजेवी। 3.8 एमबी।
लेखक सोवियत पाठक से अपने काम "सांख्यिकीय स्वतंत्रता, विश्लेषण और संख्या के सिद्धांत" (आईएल, 1 9 63) (आईएल, 1 9 63) का अनुवाद करने के लिए परिचित है। उनकी नई पुस्तक मुख्य रूप से भौतिकी के सबसे दिलचस्प कार्यों में से एक को समर्पित है: वर्णन करें कि बड़ी संख्या में कणों (जहाज में गैस) से सिस्टम संतुलन की स्थिति में कैसे होता है, और समझा जाता है कि इस प्रक्रिया की अपरिवर्तनीयता सुसंगत है प्रारंभिक समीकरणों के समय की उलट के साथ। समस्या के एक संभाव्य पहलू पर सबसे अधिक ध्यान दिया जाता है; हम सांख्यिकीय मॉडल पर विचार करते हैं जो समस्या की मुख्य विशेषताओं को अनुकरण करते हैं। पहले दो अध्यायों में स्वतंत्र रुचि है - सफलतापूर्वक चयनित उदाहरणों पर, लेखक दिखाता है कि गणितीय और शारीरिक समस्याओं में संभाव्यता की अवधारणा कैसे उत्पन्न होती है और जो विश्लेषणात्मक उपकरण सिद्धांत सिद्धांत का उपयोग करता है। इस प्रकाशन में पुस्तक में उठाए गए मुद्दों के बारे में कैट्स और अन्य लेखकों के लेख शामिल हैं।

केंडल। स्टुअर्ट। बहुआयामी सांख्यिकीय विश्लेषण और अस्थायी पंक्तियां। 375 पीपीएमवीयू। 8.2 एमबी।
पुस्तक सांख्यिकी एम। केंडल्ला और ए स्टीवर्ट के तीन-खंड पाठ्यक्रमों की अंतिम मात्रा है, पहला टॉम 1 9 66 में "सिद्धांत के सिद्धांत:", और दूसरा - 1 9 73 में "सांख्यिकीय निष्कर्ष और संचार" कहा जाता था। " \u003e।
पुस्तक में फैलाव विश्लेषण, नियोजन प्रयोग, नमूना सर्वेक्षणों के सिद्धांत, बहुआयामी विश्लेषण और अस्थायी पंक्तियों की जानकारी शामिल है।
पहले दो खंडों की तरह, पुस्तक में कई व्यावहारिक सिफारिशें और उनके आवेदन के उदाहरण शामिल हैं, और प्रस्तुति बड़ी मात्रा में अधिक निजी जानकारी की अपेक्षाकृत छोटी सूची के साथ बुनियादी परिणामों के कम या कम विस्तृत निकासी को जोड़ती है।
पुस्तक छात्रों और स्नातक छात्रों के लिए ब्याज की होगी जो गणितीय आंकड़ों में विशेषज्ञ हैं, साथ ही साथ अपने अनुप्रयोगों से निपटने वाले वैज्ञानिक श्रमिकों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए भी।

केंडल। स्टुअर्ट। वितरण सिद्धांत। वॉल्यूम 1. 5 9 0 पीपी 10.3 एमबी। 6.1 एमबी।
सामग्री: आवृत्ति वितरण। स्थान और बिखरने की विधि। क्षण और सात-आविष्कार। विशेषता कार्य। मानक वितरण। संभावनाओं का कैलकुस। संभाव्यता और सांख्यिकीय निष्कर्ष। यादृच्छिक चयन। मानक त्रुटियां। सटीक चुनिंदा वितरण। चुनिंदा वितरण का अनुमान। चुनिंदा वितरण का अनुमान। सामान्य आंकड़े। बहुआयामी सामान्य वितरण और वर्ग रूपों। सामान्य से जुड़ा वितरण।

केंडल। स्टुअर्ट। सांख्यिकीय निष्कर्ष और संचार। वॉल्यूम 2. 900 पीपीएमवीयू। 10.3 एमबी।
पुस्तक में अनुमान के सिद्धांत, परिकल्पनाओं, सहसंबंध विश्लेषण, प्रतिगमन, गैर-पैरामीट्रिक विधियों, निरंतर विश्लेषण की जानकारी शामिल है।

N.Sh. क्रेमर। संभावना और गणितीय आंकड़ों का सिद्धांत। पाठ्यपुस्तक 2 एड।, पेरेराब। अतिरिक्त। 2004। 575 पीपीएमवीयू। 12.2 एमबी।
यह न केवल एक ट्यूटोरियल है, बल्कि समस्याओं को हल करने के लिए एक संक्षिप्त गाइड भी है। संभाव्यता और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत के उल्लिखित आधार के साथ बड़ी मात्रा में कार्यों (आर्थिक सहित) के साथ, निर्णय के साथ उद्धृत किया गया है और स्वतंत्र कार्य के लिए। साथ ही, पाठ्यक्रम की बुनियादी अवधारणाओं, उनके सैद्धांतिक और संभाव्य अर्थ और अनुप्रयोग पर जोर दिया जाता है। बड़े पैमाने पर रखरखाव कार्यों और वित्तीय बाजार मॉडल में संभाव्य और गणित-सांख्यिकीय तरीकों के उपयोग के उदाहरण दिए जाते हैं।
आर्थिक विशिष्टताओं और प्रवृत्तियों के छात्रों और स्नातक छात्रों के लिए, और विश्वविद्यालयों, वैज्ञानिक अधिकारियों और अर्थशास्त्रियों के तयुजी शिक्षक।

कोबज़ार ए.आई. गणितीय सांख्यिकी लागू। इंजीनियरों और शोधकर्ताओं के लिए। 2006। 814 पीपीएमवीयू। 7.7 एमबी।
पुस्तक गणितीय आंकड़ों के तरीकों से अवलोकन का विश्लेषण करने के तरीकों पर चर्चा करती है। क्रमिक रूप से भाषा में, एक किफायती विशेषज्ञ - गणित नहीं, संभाव्यता वितरण का विश्लेषण करने, वितरण पैरामीटर का आकलन करने, सांख्यिकीय परिकल्पनाओं की जांच, यादृच्छिक मूल्यों के बीच आकलन, एक सांख्यिकीय प्रयोग की योजना बनाने के लिए आधुनिक तरीकों की रूपरेखा। फोकस आधुनिक गणितीय आंकड़ों के तरीकों को लागू करने के उदाहरणों के स्पष्टीकरण पर है।
पुस्तक इंजीनियरों, शोधकर्ताओं, अर्थशास्त्रियों, चिकित्सकों, स्नातक छात्रों और छात्रों के लिए डिज़ाइन की गई है जो अपने लागू कार्यों को हल करने के लिए आधुनिक गणितीय आंकड़ों के पूरे शस्त्रागार का उपयोग करना चाहते हैं।

एम.एल. Krasnov। सिद्धांत संभावना। पाठ्यपुस्तक वर्ष 2001। 296 पी। डीजेवीयू। 3.9 एमबी।
प्रकृति और समाज में विभिन्न घटनाओं का अध्ययन करते समय, शोधकर्ता को दो प्रकार के प्रयोगों का सामना करना पड़ता है - जिनके परिणाम इन स्थितियों में स्पष्ट रूप से अनुमानित हैं, और शोधकर्ता द्वारा नियंत्रित शर्तों में वे स्पष्ट रूप से भविष्यवाणी नहीं कर सकते हैं, और इसके बारे में सुझाव व्यक्त करना संभव है संभावित परिणामों का स्पेक्ट्रम। पहले मामले में, वे एक यादृच्छिक चरित्र पहने हुए घटना पर, दूसरे में निर्धारक घटनाओं के बारे में बात कर रहे हैं। साथ ही, उनका मतलब है कि पहले मामले में और प्राथमिकता (अग्रिम में, प्रयोग से पहले, घटना के अवलोकन को पूरा करना), हम परिणाम की भविष्यवाणी करने में सक्षम हैं, और दूसरे में - नहीं। इसके अलावा, यह अप्रत्याशितता के कारण महत्वहीन है - प्रकृति के नियम, अध्ययन के तहत घटना के आधार पर झूठ बोलते हैं या इस घटना को निर्धारित करने वाली प्रक्रियाओं पर अपूर्ण जानकारी। एक महत्वपूर्ण परिस्थिति में अप्रत्याशितता का तथ्य होना है। संभावना का सिद्धांत, इस अनुभाग के लिए समर्पित मूल बातें की प्रस्तुति को शोधकर्ता को इस तरह के प्रयोगों और घटनाओं का वर्णन करने का अवसर प्रदान करने के लिए डिज़ाइन किया गया है और उन्हें उन परिस्थितियों में वास्तविकता का अध्ययन करने के लिए एक विश्वसनीय उपकरण प्रदान करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जहां एक निर्धारक वर्णन है असंभव।

ई.एल. कुलशोव सिद्धांत संभावना। भौतिकविदों के लिए व्याख्यान। 2002। 116 पी। डीजेवीयू। 919 केबी।
वरिष्ठ पाठ्यक्रमों के छात्रों के लिए।

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Lazakovich, सीधा, Yablonsky। कोर्स सारीपन। ट्यूटोरियल। 2003। 322 पीडीएफ। 2.9 एमबी।
अध्ययन मैनुअल व्याख्यान के वार्षिक पाठ्यक्रम पर आधारित है, जो लेखकों ने बेलारूसी राज्य विश्वविद्यालय के मैकेनिकल और गणित संकाय के छात्रों के लिए कई वर्षों तक पढ़ा है। पुस्तक में निम्नलिखित खंड हैं: संभाव्य रिक्त स्थान, स्वतंत्रता, यादृच्छिक चर, यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं, विशिष्ट कार्यों, सीमा प्रमेय, यादृच्छिक प्रक्रियाओं की मूल बातें सिद्धांत, गणितीय आंकड़े और अनुप्रयोगों के तत्व, जिसमें बुनियादी संभाव्यता वितरण की तालिकाएं और उनमें से कुछ के मान दिए गए हैं। अधिकांश अध्यायों में ऐड-ऑन शामिल होते हैं जहां आत्म-अध्ययन के लिए सहायक सामग्री और थीम बनती हैं।
प्रस्तुति के साथ बड़ी संख्या में उदाहरण, अभ्यास और कार्य बुनियादी अवधारणाओं को दर्शाते हुए और सिद्ध आरोपों के संभावित अनुप्रयोगों की व्याख्या करते हैं।
विश्वविद्यालयों की गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए।

लोव एम। संभाव्यता सिद्धांत। 1962 साल। 44 9 पी। डीजेवीयू। 6.2 एमबी।
पुस्तक उच्च सैद्धांतिक स्तर में लिखी गई संभावनाओं के आधुनिक सिद्धांत का एक व्यापक व्यवस्थित पाठ्यक्रम है। सिद्धांत के आधार पर, लेखक यादृच्छिक घटनाओं, यादृच्छिक चर और उनके अनुक्रम, वितरण कार्यों और विशेषता कार्यों का अध्ययन करता है, संभाव्यता सिद्धांत और यादृच्छिक प्रक्रियाओं के प्रमेय को सीमित करता है। प्रस्तुति में कठिनाई की अलग-अलग डिग्री के कार्यों की एक बड़ी संख्या के साथ है।
छात्रों और स्नातक छात्रों के लिए एक पुस्तक - थियेटर का अध्ययन करने वाली matemcties।

Lviv b.n. अनुभवजन्य सूत्रों के निर्माण के लिए सांख्यिकीय तरीके: अध्ययन। फायदा। 2 एड।, पेरेराब। अतिरिक्त। 1988। 239 पी। डीजेवीयू। 2.3 एमबी।
मैनुअल के दूसरे संस्करण में, अनुभवी डेटा प्रसंस्करण के मुख्य तरीकों को प्रस्तुत किया जाता है। अवलोकन परिणामों की प्रारंभिक प्रसंस्करण के तरीकों को विस्तार से वर्णित किया गया है। अनुभवजन्य सूत्रों के निर्माण के लिए सांख्यिकीय विधियां, अधिकतम संभावना की विधि, औसत और कोफ्लेंट विश्लेषण विधि पर विचार किया जाता है। सक्रिय प्रयोगों की योजना बनाने और प्रसंस्करण के लिए पद्धति से प्रकाशित किया गया। फैलाव विश्लेषण की मूल बातें दी जाती हैं।

Yu.d. मैक्सिम्स संपादक। गणित के संभाव्य खंड। पाठ्यपुस्तक वर्ष 2001। 581 पी। डीजेवीयू। 7.4 एमबी।
खंड:! सिद्धांत संभावना। 2. गणितीय सांख्यिकी। 3. यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत। 4. मास रखरखाव सिद्धांत।
तकनीकी विफलता के स्नातक के लिए वर्कबेंच।

Maksimov yu.d. गणित। विशिस्क 9. संभाव्यता सिद्धांत। विस्तृत सार। एक आयामी निरंतर वितरण पर पुस्तिका। 2002। 98 पी। डीजेवी। 4.3 एमबी।
मैनुअल का अनुपालन करता है! "सभी सामान्य तकनीकी और आर्थिक और आर्थिक दिशाओं के प्रमाण से गुजरते हुए बैशलाव के गणित" गणित "। यह संभाव्यता सिद्धांत पर व्याख्यान का एक विस्तृत सारांश है, मुख्य रूप से संदर्भ सार (संदर्भ की 7 श्रृंखला की रिलीज) के अनुरूप है गणित में सार तत्व, जो प्रकाशक एसपीबीयू के चलते हैं)। सार रेफोरो के विपरीत, प्रमेय के सबूत और संदर्भ सार में छोड़े गए सूत्रों के निष्कर्ष दिए गए हैं, और यह एक आयामी निरंतर वितरण पर एक संदर्भ पुस्तक है। मैनुअल सामान्य तकनीकीताओं और आर्थिक विशिष्टताओं के बोपोरो कोर्स के छात्रों के लिए है। इसका उपयोग "तकनीकी भौतिकी" की दिशा के लिए भी किया जा सकता है।

जे। नेवा। संभाव्यता सिद्धांत की गणितीय नींव। 1969 साल। 310 पी। डीजेवी। 3.0 एमबी।
पुस्तक के लेखक को कार्यात्मक विश्लेषण के तरीकों के आवेदन और संभाव्यता सिद्धांत के मुद्दों के उपायों के सिद्धांत के आवेदन के लिए जाना जाता है। मास्टरली लिखित पुस्तक में एक कॉम्पैक्ट होता है और साथ ही संभावना सिद्धांत की नींव की पूरी प्रस्तुति होती है। कई उपयोगी परिवर्धन और अभ्यास शामिल हैं।
पुस्तक छात्रों और स्नातक छात्रों के लिए एक अच्छी पाठ्यपुस्तक के रूप में कार्य कर सकती है जो यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत को गंभीरता से खोजना चाहते हैं, और विशेषज्ञों के लिए एक उत्कृष्ट संदर्भ पुस्तक।

अदायगी लिख रहे हैं। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों पर व्याख्यान का सारांश। 2004। 256 पी। डीजेवीयू। 1.4 एमबी।
यह पुस्तक गणितीय आंकड़ों की संभावना के सिद्धांत पर व्याख्यान का एक कोर्स है। पुस्तक के पहले भाग में मूलभूत अवधारणाएं और संभाव्यता सिद्धांत, जैसे यादृच्छिक घटनाओं, संभावनाओं, यादृच्छिक कार्यों, सहसंबंध, सशर्त संभावना, बड़ी संख्या के कानून और प्रमेय को सीमित करने के सिद्धांत शामिल हैं। पुस्तक का दूसरा भाग गणितीय आंकड़ों के लिए समर्पित है, यह नमूना विधि, आकलन और परीक्षण परिकल्पना के सिद्धांत की नींव निर्धारित करता है। सैद्धांतिक सामग्री की प्रस्तुति के साथ बड़ी संख्या में उदाहरणों और कार्यों के विचार के साथ किया जाता है, यदि संभव हो तो एक किफायती, एक सख्त भाषा पर किया जाता है।
आर्थिक और तकनीकी विश्वविद्यालयों के छात्रों के लिए बनाया गया है।

Poddubnaya पर संभाव्यता सिद्धांत पर व्याख्यान। 2006। 125 पीडीएफ। 2.0 एमबी।
स्पष्ट रूप से लिखा हुआ। उदाहरण के लिए, पाठ्यक्रम के फायदे इस तथ्य के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है कि सैद्धांतिक बयान उदाहरणों द्वारा समझाया गया है।

Yu.v. Prokhorov, यू.ए. रोज़ानोव। सिद्धांत संभावना। मूल अवधारणा। प्रमेय सीमा। यादृच्छिक प्रक्रियाएं। 1967। 498 पी। डीजेवीयू। 7.6 एमबी।
पुस्तक प्रसिद्ध अमेरिकी गणितज्ञों द्वारा लिखी गई है और संभावनाओं के सिद्धांत के महत्वपूर्ण आधुनिक दिशाओं में से एक को समर्पित है, रूसी में साहित्य में पर्याप्त रूप से परिलक्षित नहीं है। लेखक सूचनात्मक हैं, और अधिकतम समुदाय के लिए नहीं, कई उदाहरणों और अनुप्रयोगों पर विचार करें। पुस्तक सफलतापूर्वक प्रस्तुति के एक उच्च वैज्ञानिक स्तर को जोड़ती है और साथ ही साथ छात्र दर्शकों के लिए पहुंच प्रदान करती है।
संभावनाओं, भौतिकविदों, इंजीनियरों, स्नातक छात्रों और विश्वविद्यालयों के छात्रों के सिद्धांत में विशेषज्ञों के लिए।

POINCARE A. संभाव्यता सिद्धांत। 1999। 284 पी। डीजेवी। 700 केबी।
पुस्तक ए। संकेत के व्याख्यानों में से एक है। इसने संभाव्यता सिद्धांत और गैर-पारंपरिक मुद्दों की सामान्य नींव दोनों को संबोधित किया जो व्यावहारिक रूप से किसी भी पाठ्यक्रम में निहित नहीं हैं। भौतिकी, गणित और यांत्रिकी के लिए विभिन्न अनुप्रयोगों पर विचार किया जाता है।
पुस्तक पाठकों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए उपयोगी है - भौतिकविद, गणितज्ञ, विज्ञान के इतिहासकार।

Pytyev यू। पी। शिशमारेव I. ए। भौतिकविदों के लिए संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों का कोर्स। में पढ़ता है। फायदा। एमएसयू 1983। 256 पी। डीजेवीयू। 4.6 एमबी।
पुस्तक भौतिक संकाय पर लेखकों द्वारा पढ़ी गई, व्याख्यान के अर्ध-वार्षिक पाठ्यक्रम पर आधारित है। महान जगह को यादृच्छिक प्रक्रियाओं का सिद्धांत दिया जाता है: मार्कोव और स्थिर। गणितीय सख्त की प्रस्तुति, हालांकि Lebesgue अभिन्न के उपयोग के आधार पर नहीं। गणितीय आंकड़ों पर पाठ्यक्रम का एक हिस्सा भौतिक प्रयोगों की योजना, विश्लेषण और व्याख्या के स्वचालन के कार्यों के लिए अनुप्रयोगों पर केंद्रित अनुभाग शामिल हैं। मापने और कंप्यूटिंग कॉम्प्लेक्स "डिवाइस + ईम" का सांख्यिकीय सिद्धांत, जो कंप्यूटर पर डेटा संसाधित करके वास्तविक प्रयोगात्मक उपकरणों के पैरामीटर में काफी सुधार करने की अनुमति देता है। प्रयोगात्मक डेटा की व्याख्या के कार्य में उपयोग की जाने वाली परिकल्पनाओं के सांख्यिकीय परीक्षण के सिद्धांत के सक्षम तत्व शामिल हैं।

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Savelyev। प्राथमिक संभावना सिद्धांत। ट्यूटोरियल, नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी, 2005।
भाग 1 सिद्धांत को समर्पित है। आकार 660 केबी। भाग 2 उदाहरणों के विश्लेषण के लिए समर्पित है। आकार 810 केबी। भाग 3. रिमैन और स्टाइल 1 9। 240 पीपीएमवीयू। 5.0 एमबी। भाग 3 में, लाभों का वर्णन अलग-अलग और अभिन्न कैलकुस के तत्वों का वर्णन करते हैं, जिसका उपयोग भाग I में किया गया था। लेखक के लाभों से संयुक्त सामग्री "गणितीय विश्लेषण पर व्याख्यान, 2.1" (नोवोसिबिर्स्क, एनएसयू, 1 9 73) और "समानता का एकीकरण मापनीय, कार्य "(नोवोसिबिर्स्क, एनएसयू 1 9 84)। मुख्य वस्तु स्टाइलिट अभिन्न है। इसे जटिल ब्रेक के बिना कार्यों की जगह में सीमित रैखिक कार्यक्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे भाग 1 में माना जाता था। स्टाइलाइट अभिन्न न केवल संभावनाओं के सिद्धांत में बल्कि ज्यामिति, यांत्रिकी और गणित के अन्य क्षेत्रों में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मैनुअल के भाग 3 में आवेदन भाग 2 में आवेदन को पूरा करता है 2. भाग 3 में प्रस्तुति की पूर्णता के लिए, भाग के कुछ स्थानों को भाग 1 में दोहराया जाता है। आवेदन पृष्ठों की संख्या और लेखक के लाभ बिंदुओं द्वारा सहेजा जाता है "व्याख्यान" गणितीय विश्लेषण पर "।

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Savrasov Yu.S. इष्टतम समाधान। माप प्रसंस्करण विधियों पर व्याख्यान। वर्ष 2000। 153 पीपीएमवीयू। 1.1 एमबी।
मापने के तरीकों को संसाधित करने के तरीकों को मापने वाले पैरामीटर या मनाए गए घटनाओं के बारे में उपयोगी जानकारी का सबसे पूरा निष्कर्षण सुनिश्चित किया जाता है। कहने के तरीके संभावनाओं के सिद्धांत, गणितीय आंकड़े, समाधान के सिद्धांत, उपयोगिता सिद्धांत, असतत समय के साथ गतिशील प्रणालियों के लिए निस्पंदन के सिद्धांत के दायरे से संबंधित हैं। पुस्तक की सामग्री का आधार व्याख्यान था कि लेखक 1 994-199 7 में पढ़े गए थे। मास्को भौतिक-तकनीकी संस्थान के रेडियोफिजिक्स के मूल विभाग के तीसरे पाठ्यक्रम के छात्र। प्रस्तावित रूप में, पुस्तक भौतिक और तकनीकी विशिष्टताओं के छात्रों के लिए उपयोगी होगी, रडार के क्षेत्र में इंजीनियरों, सूचना प्रसंस्करण और स्वचालित नियंत्रण प्रणाली।
कई उदाहरणों को अलग कर दिया।

Samoilenko एनआई, Kuznetsov a.i., कोस्टेंको एबी.टोरी ऑफ प्रोबिटीज। पाठ्यपुस्तक वर्ष 2009। 201 पीडीएफ। 2.1 एमबी।
पाठ्यपुस्तक संभावना सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं और तरीकों का परिचय देती है। उपरोक्त विधियों को विशिष्ट उदाहरणों के साथ चित्रित किया गया है। प्रत्येक विषय स्टोकास्टिक कार्यों को हल करने में संभाव्यता सिद्धांत विधियों के उपयोग पर कौशल के स्वतंत्र अधिग्रहण के लिए एक व्यावहारिक अनुभाग के साथ समाप्त होता है।
विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए।
पाठ्यपुस्तकों के उदाहरण: सिक्के फेंकना - अनुभव, ईगल ड्रॉपआउट या "डिशकी" - घटनाएं; वरीयता डेक से नक्शा खींचना - अनुभव, लाल या काले सूट की उपस्थिति - घटनाओं; व्याख्यान अनुभव है, व्याख्यान में एक छात्र की उपस्थिति - एक घटना।

कामुक। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के विरोधाभास। आकार 3.8 एमबी। डी जेवी। 250 पीपी।

सेवस्टियनोव बीए। संभावना और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत का कोर्स। सलाहकार। 1982। 255 पीपीएमवीयू। 2.8 एमबी।
पुस्तक व्याख्यान के वार्षिक पाठ्यक्रम पर आधारित है, लेखक द्वारा मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के मैकेनिक्स और गणित संकाय विभाग के गणित विभाग में कई वर्षों तक लेखक द्वारा पढ़ी गई है। प्रारंभिक सिद्धांत के मुख्य अवधारणाओं और तथ्यों को शुरुआत में अंतिम योजना के लिए पेश किया जाता है। गणितीय अपेक्षा आमतौर पर लेब्सग अभिन्न अंग के समान ही निर्धारित की जाती है, लेकिन पाठक लेब के एकीकरण के बारे में किसी भी प्रारंभिक जानकारी को जानने का इरादा नहीं रखता है।
पुस्तक में निम्नलिखित खंड हैं: मार्कोव, मूरव-लैपलेस और पोइसन टर्मोरम, यादृच्छिक मूल्यों, विशेषताओं और उत्पादन कार्यों, बड़ी संख्या, केंद्रीय सीमा प्रमेय, गणितीय आंकड़ों की मूल अवधारणाओं, सांख्यिकीय परिकल्पनाओं की जांच, सांख्यिकीय अनुमान, भरोसेमंद की श्रृंखला अंतराल।
विश्वविद्यालयों और स्वेटर के कनिष्ठ पाठ्यक्रमों के छात्रों के लिए जो संभावना के सिद्धांत का अध्ययन करते हैं।

एएन Sobolevsky। भौतिकविदों के लिए संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी। 2007 47 पी। डीजेवी। 515 केबी।
प्रशिक्षण पुस्तिका में सैद्धांतिक विशेषज्ञता के भौतिकविदों के लिए संभाव्यता और गणित के आंकड़ों के सिद्धांत की मूल बातें शामिल हैं। क्लासिक सामग्री के साथ (बर्नौली के स्वतंत्र परीक्षणों की योजना, मार्कोव, प्रसार प्रक्रियाओं की अंतिम सजातीय श्रृंखला), बड़े विचलन के सिद्धांत के रूप में इस तरह के विषयों पर काफी ध्यान दिया जाता है, अपने विभिन्न संस्करणों में एंट्रॉपी की अवधारणा, टिकाऊ कानून और बिजली घटने, stochastic विभेदक संभावना कैलकुस के साथ अभियोजन पक्ष का वितरण। पाठ्यपुस्तक का उद्देश्य सैद्धांतिक और गणितीय भौतिकी के विभिन्न वर्गों में विशेषज्ञता रखने वाले छात्रों के लिए है।

तारासोव एल वी। आसपास की दुनिया के कानून। 3 पुस्तकों में। 2004। djvu।
1. दुर्घटना, आवश्यकता, संभावना। 384 पी। 6.8 एमबी।
यह पुस्तक काफी लोकप्रिय है और साथ ही तकनीकी सिद्धांतों के सिद्धांत के लिए सख्ती से वैज्ञानिक तैनात परिचय, जिसमें विचाराधीन समस्याओं का विस्तृत विश्लेषण शामिल है, दार्शनिक योजना के व्यापक सामान्यीकरण, एक ऐतिहासिक वापसी। पुस्तक में एक स्पष्ट उच्चारण शैक्षिक चरित्र है; इसकी सामग्री सख्ती से संरचित है, सबूत-आधारित आधार पर निर्मित, बड़ी संख्या में ग्राफ और योजनाओं से लैस है; मूल कार्यों की एक महत्वपूर्ण मात्रा दी जाती है, जिसमें से किस हिस्से को पुस्तक में निपटाया जाता है, और भाग एक स्वतंत्र समाधान के लिए पाठक को पेश किया जाता है। पुस्तक एक पूर्ण काम है और साथ ही लेखक की तीन-वॉल्यूम बुक की पहली पुस्तक है।
2. आधुनिक समाज में संभावना। 360 पी। 4.5 एमबी।
यह पुस्तक आधुनिक समाज में संभाव्यता सिद्धांत की प्रमुख भूमिका दर्शाती है, जो अत्यधिक विकसित सूचना प्रौद्योगिकियों पर आधारित है। पुस्तक काफी लोकप्रिय है और साथ ही संचालन और सूचना के सिद्धांत के अध्ययन में सख्ती से पीछे हटाई गई है। यह स्पष्ट रूप से उच्चारण शैक्षिक चरित्र है; इसकी सामग्री सख्ती से संरचित है, सबूत-आधारित आधार पर निर्मित, बड़ी संख्या में ग्राफ और योजनाओं से लैस है; कार्यों की एक बड़ी संख्या दी जाती है, जिनमें से भाग पुस्तक में निपटाया जाता है, और भाग को एक स्वतंत्र समाधान के लिए पाठक को दिया जाता है।
3. 440 पी। 7.5 एमबी। प्राकृतिक वैज्ञानिक ज्ञान का विकास।
यहां एक लोकप्रिय और व्यवस्थित रूप में दुनिया की प्राकृतिक विज्ञान चित्रों के विकास का विश्लेषण करता है: पुरातनता के वैज्ञानिक कार्यक्रमों से यांत्रिक तस्वीर तक, फिर विद्युत चुम्बकीय तस्वीर के लिए और अंत में, आधुनिक तस्वीर के लिए। सांख्यिकीय (संभावित निर्धारक) पैटर्न से संक्रमण सांख्यिकीय (संभाव्य) पैटर्न के लिए संक्रमण को सांख्यिकीय (संभाव्य) पैटर्न को दुनिया भर के व्यक्ति के रूप में धीरे-धीरे वैज्ञानिक समझ को गहराई से गहरा कर दिया जाता है। क्वांटम भौतिकी के प्रतिनिधित्व का विकास, प्राथमिक कणों के भौतिकी, ब्रहोलॉजी को पर्याप्त विस्तार से माना जाता है। अंत में, खुले गैर-संतुलन प्रणालियों के स्वयं संगठन के विचारों पर चर्चा की जाती है (असंतुष्ट संरचनाओं का उदय)।
पाठकों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए और मुख्य रूप से उच्च विद्यालयों के स्कूली बच्चों के लिए (9 वीं कक्षा से शुरू), साथ ही तकनीकी स्कूलों और उच्च शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए।

Tarasevich Alyona Konstantinovna, स्मोलेंस्क स्टेट यूनिवर्सिटी, सिटी स्मोलेंस्क के छात्र [ईमेल संरक्षित];

Morozova Elena Valentinovna, शैक्षिक विज्ञान के उम्मीदवार की डिग्री, सूचना विभाग और शैक्षिक प्रौद्योगिकियों विभाग, स्मोलेंस्क स्टेट यूनिवर्सिटी, सिटी स्मोलेंस्क के प्रोफेसर [ईमेल संरक्षित]

गणित के स्कूल वर्ष में संभाव्यता सिद्धांत की नींव सीखने की विशेषताएं

एनोटेशन। लेख गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में संभाव्यता सिद्धांत की नींव का अध्ययन करने की विशिष्टताओं के लिए समर्पित है। विशेष रूप से बनाए गए कार्यक्रमों की सहायता से शिक्षण, सुविधाओं और अवधि के उद्देश्यों के साथ-साथ इस अनुशासन का अध्ययन करने के उदाहरणों के लिए विशेष ध्यान दिया जाता है।

कीवर्ड: स्कूल में संभाव्यता के सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पद्धति, बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन करने के तरीके, गणित सीखने के तरीके।

स्कूल कोर्स गणित में संभाव्यता सिद्धांत की नींव का अध्ययन कुछ विशेषताएं हैं। एक तरफ, यह एक काफी शक्तिशाली और गंभीर प्रक्रिया है, जो कम से कम एक और जागरूक उम्र में मुश्किल है, स्कूल का उल्लेख नहीं करना, हालांकि, किसी को भी पूर्व-चालन पाठ्यक्रम में इस denadiscipline के आवश्यक अपनाने को संदेह नहीं है, जैसा कि यह एक बच्चे में कई कौशल विकसित करने में मदद करता है जो न केवल आगे के प्रशिक्षण में, बल्कि सामान्य रूप से जीवन में भी उपयोगी होगा। स्कूली बच्चों को सोचने के लिए सिखाना आवश्यक है, सभी प्रकार की संभावना को देखते हुए। यही है, आपको उन्हें सूचनाओं को प्राप्त करने, विश्लेषण करने और संभालने के लिए सिखाया जाना चाहिए, जानबूझकर बर्फ-आधारित परिणामों के साथ विभिन्न स्थितियों को जानबूझकर खरीदा है। अपने जीवन के स्कूली बच्चों को हर दिन स्वाद का सामना करना पड़ता है। खेल और साहस जिम के एक निश्चित, सार्थक जगह पर कब्जा करते हैं। ये सभी प्रश्न "संभाव्यता" और "विश्वसनीयता" की अवधारणाओं की तुलना से जुड़े हुए हैं, कठिनाई कार्रवाई के लिए कई विकल्पों में से सबसे अच्छी है, सफलता और फियास्को की संभावना, खेल में अच्छे और बुरे का विचार और में वर्तमान परिस्थितियों, यह सब, निश्चित रूप से, एक किशोरी के सच और आवश्यक शौक में है। स्कूली बच्चों की गणितीय गतिविधि को समाप्त संभाव्य मॉडल से परे जाना चाहिए। स्कूली बच्चों का प्रदर्शन कार्य करता है, जो वास्तविक जीवन स्थितियों में निर्णय लेने में मदद करता है, एक बड़ी भूमिका निभाता है और पैसे से सामग्री के सही और अनुभवी शिक्षण की आवश्यकता होती है। Stochastics का ज्ञान गणित शिक्षक के लिए संभावनाओं के सबसे महत्वपूर्ण कारकों में से एक है। हमें अपने रिश्ते के प्रासंगिक और सांख्यिकीय निष्कर्ष सहित विशेष पद्धति पर स्टोकास्टिक पर एक बहुपक्षीय रूप की आवश्यकता है। पर्यवेक्षक को इस मामले में होने वाले मामलों का विश्लेषण करने के दौरान गलत निर्णयों के जोखिम के आगमन को अच्छी तरह से जानना और महसूस करना चाहिए मामला। एक भ्रामक समझ, उदाहरण के लिए, छोटी सांख्यिकीय जानकारी के कारण उत्पन्न हो सकती है। शिक्षक असामान्य दृष्टिकोण प्रशिक्षण दिखाई देते हैं। व्याख्याता, किसी भी रोडास्किक कौशल के स्कूली बच्चों द्वारा ज्ञान के स्तर को निर्धारित करने के लिए, कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ सकता है, उदाहरण के लिए, कार्यों को हल करते समय, स्कूली बच्चों को अक्सर जरूरी होता है, इसलिए चलो कहते हैं, स्वस्थ सोच, और एल्गोरिदम, नियमों के अनुसार सख्ती से कार्य नहीं करते हैं। उनके एक ही प्रश्न के उनके उत्तर अलग हैं। इस मामले में, शिक्षक का कार्य छात्र की गलती के अधिकार का आकलन होगा, क्योंकि यह संभव है। यह ध्यान में रखना चाहिए कि सबसे विकसित बच्चे तेजी से प्रयोगों और हमारे लिए ब्याज के शोध से संबंधित चीजों को बनाने के लिए शुरू होते हैं और अपने साथियों की देखभाल करने का ख्याल रखते हैं।

इसलिए, यह व्यक्तिगत रूप से कौशल और कौशल के स्तर के बीच अंतर करने के लिए पर्याप्त नहीं है और आउटपुट बनाने के लिए अजनबियों की मदद के बिना। शेयरों के शिक्षण छात्रों को शुरू करना, शिक्षक को यह समझना चाहिए कि अध्ययन के पाठ्यक्रम में एक नया कार्यक्रम पेश करना क्यों आवश्यक था। स्टोकास्टिक प्रशिक्षण के लक्ष्यों के स्कूल में शिक्षक की सही समझ, गणित और कई अन्य विषयों में स्टोकास्टिक्स के अपने रिश्ते का स्पष्ट प्रतिनिधित्व, छात्रों की इस तैयारी के लिए अंतिम आवश्यकताओं का ज्ञान मुख्य आधार है नई लाइन को लागू करने के लिए गणित के शिक्षक की। यह ध्यान में रखें कि किसी भी धारावाहिक को सीखना किशोरावस्था के मानसिक विकास में सकारात्मक है, क्योंकि यह विशेष रूप से वफादार और आवश्यक अवधारणाओं पर आधारित विशेष सोच से अपने कौशल प्रदान करता है। उत्तेजना में उपरोक्त सभी संभाव्यता सिद्धांत के प्रशिक्षण को संदर्भित करते हैं, लेकिन सामान्य के क्षेत्र से परे, लार्मित के शिक्षण में बहुत अधिक मूल्य है। संभावना के सिद्धांत का अध्ययन करने के बाद, छात्र को यह समझना शुरू होता है कि जब आप अनिश्चितता में आते हैं तो तार्किक सोच की तकनीकों को कैसे लागू किया जाए (और ऐसे प्रथाओं का एक बड़ा अभ्यास)।

उपर्युक्त सभी को इस अनुशासन के अध्ययन के उद्देश्यों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और स्कूल वर्ष में यह वास्तव में क्या प्रस्तुत करता है, छात्रों का अध्ययन क्या कर रहे हैं कि वहां बुनियादी अवधारणाएं क्या पाई जाती हैं?

यदि विस्तार और चरणों में पहुंचना आवश्यक है, तो संभावना के सिद्धांत का स्कूल पाठ्यक्रम 5 वीं कक्षा में शुरू करने के लिए बेहतर है, जहां विशिष्टता सिद्धांत की मुख्य परिभाषा विशिष्ट, "लाइव", समझने योग्य उदाहरण पेश किए जाएंगे। संभावनाओं के सिद्धांत की शुरुआत घटक है, जहां कार्यों को बुझाने की विधि से हल किया जाएगा, यानी, theleestwashtvos संभावित समाधान विकल्पों के अध्ययन। बेशक, संभावित विकल्पों के पेड़ का उपयोग करके संयोजक कार्यों के समाधान पर विचार करना आवश्यक है।

घटनाओं की घटना से सीखा अगला चरण: यादृच्छिक, विश्वसनीय, असंभव, संतुलन, संतुलन, जो रोजमर्रा के उदाहरणों पर सचित्र है। गुणा नियम पर विचार करना भी संभव है, जो संयोजक कार्यों को हल करने का एक नया माध्यम है, जो लगता है जैसे लगता है यह: "यदि कुछ जोड़ी का पहला तत्व एम विधियों को चुना जा सकता है और इन विधियों में से प्रत्येक के लिए, दूसरे तत्व को एन तरीकों से चुना जा सकता है, तो इस जोड़ी को एम * एन विधियों का चयन किया जा सकता है।" विशिष्ट उदाहरणों पर इस नियम की क्षमताओं को चित्रित करना आवश्यक है।

एक अलग अध्याय को मुख्य अंकगणित विशेषताओं पर विचार किया जाना चाहिए: औसत अंकगणितीय (संख्याओं की औसत अंकगणितीय श्रृंखला को इन संख्याओं की राशि को उनकी संख्या पर विभाजित करने से निजी कहा जाता है), फैशन (फैशन को पंक्तियों की संख्या कहा जाता है, जो इस में पाया जाता है पंक्ति सबसे अधिक बार), कई डेटा के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के बीच अंतर), औसत (मध्ययुगीन एक संख्या है जो सदस्यों की संख्या के संदर्भ में कई डेटा साझा करती है) , जिसमें जीवन से उदाहरणों की बहुलता होगी। सबसे महत्वपूर्ण प्रशिक्षण उन उदाहरणों पर विचार करना है जो अभ्यास करने के लिए बाध्य हैं, विभिन्न जीवन उदाहरणों का वर्णन किया गया है, जो बच्चों के लिए उपयोगी और दिलचस्प होंगे।

पूर्वगामी का विश्लेषण करने के बाद, हम संभावना के लक्षणात्मक डिटेक्टरों को तैयार कर सकते हैं, जिसे पहली बार लैपलेस के फ्रांसीसी गणित के कार्यों में दिया गया था, और संयोजक के तत्वों पर भी विचार किया गया था: आवास और संयोजन। आप एक तालिका का उपयोग करके एक क्लासिक परिभाषा को चित्रित कर सकते हैं: शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करके तालिका 1 कार्य

पहले से ही उच्च विद्यालयों में, सांख्यिकीय अध्ययन का अध्ययन किया जाता है, आंकड़ों की परिभाषा (विज्ञान सीखना जो जीवन में बड़े पैमाने पर घटनाओं की एक विस्तृत विविधता पर मात्रात्मक डेटा का निर्माण और विश्लेषण करता है, सैंपलिंग, प्रतिनिधि, सामान्य संयोजन, रैंकिंग, नमूनाकरण की नई अवधारणाएं माने जाते हैं। बहुभुज के परिणामों के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व की एक नई विधि पेश की जाती है। नए-नमूना फैलाव और द्वितीयक वर्गबद्ध विचलन का अध्ययन किया जा रहा है।

उत्तरार्द्ध के अध्ययन में न केवल नींव, डेटा पहले, बल्कि एक अधिक विस्तृत और चौकस रिश्ते की आवश्यकता होती है, गणित में, जीवन में, फिर, अधिक कठिन।

बेशक, सभी विषयों और स्कूल के पाठ्यक्रम में, संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन में प्रमेय का अध्ययन करने की अपनी विशेष विधि रही है, जिनमें से मुख्य संभावनाओं के अतिरिक्त और इन और संभाव्यता गुणात्मक प्रमेय के प्रभाव के प्रमेय हैं । प्रमेय अध्ययन उनके आवेदन को चित्रित करने वाले विशिष्ट उदाहरणों पर प्रदर्शित किया जाना चाहिए, लेकिन हम स्कूल के शिक्षकों को प्रदान करेंगे, और सिम सिम बस इन प्रमोही की सामग्री की घोषणा करेंगे, और इसलिए, संभाव्यता जोड़ प्रमेय इस तरह लगता है: "दो असंगतता के योग की संभावना घटनाएं इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर होती हैं ", और, क्रमशः, इस प्रमेय पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी) के लिए सूत्र। संभावना गुणा प्रमेय "दो घटनाओं के काम की संभावना दूसरे की सशर्त संभावना पर एक घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है, बशर्ते कि पहली घटना हुई," सूत्र इतना पी (एवी) \u003d पी दिखता है (A) * p (v / a)। इन प्रमेय के साथ, गणित के सिद्धांत का अध्ययन गणित के सिद्धांत के साथ भी किया जाता है, जिसमें मनमानी प्रकृति के तत्वों के सेट के सामान्य गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी कुल संपत्ति होती है। यदि छात्रों को सिद्धांत का ज्ञान होगा सेट के सेट, वे सेट पर सेट की घटनाओं पर अंतःक्रियाओं के साथ संवाद करने में सक्षम होंगे। इसके लिए धन्यवाद, छात्र यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम होंगे कि संभावनाओं के सिद्धांत में वस्तुओं और रिश्ते सेट के सिद्धांत में वस्तुओं और संबंधों के समान हैं। विवरण उपयोग की जाने वाली शर्तों के नाम हैं। पहले छिद्रों में, इसे संकलित करना आवश्यक है एक समेकित तालिका, जो मूलभूत जानकारी को दर्शाती है। इस घटना के लिए प्रयोगात्मकता घटना-अनुकूल घटनाओं के निपायने के परिणामों की प्रयोगात्मकता ए: पी (ए) \u003d एम / एम / ब्लॉसिंग सिक्का 2 एनईएल 11/2 साक्ष्य कोवेट बीड 211 एक्स्ट्रासीस्टोन क्यूब 11/24 पीने क्यूब 6 एनए क्यूब खरीद पॉइंट पॉइंट्स 33/6 \u003d 1/2 डब्ल्यू पर्क्यूशन लॉटरी 250 सतर्कता के लिए, एक टिकट 1010/250 \u003d 1/25 खरीदना

जितना संभव हो सके उपयोग करने के लिए घटनाओं की गतिविधियों का अध्ययन करने की प्रक्रिया में, जो न केवल संचालन के सार को दर्शाता है, बल्कि उनमें अंतर भी दर्शाता है। राशि की आसानी के साथ विद्यार्थियों, और परिभाषा का उपयोग कर घटनाओं का काम। कठिनाई छात्रों को घटनाओं पर संचालन के सार के बारे में समझने और जागरूक बनाने के लिए है। ऐसा करने के लिए, आप घटनाओं पर संचालन के साथ काम करने के लिए विभिन्न कार्यों का उपयोग कर सकते हैं। जिसके करीब आप इस विषय की व्याख्या का सामना कर सकते हैं, सरल घटनाओं को आवंटित करने की जटिलता है। निर्णय स्पष्ट है, अनुभव में पूरी बात, अधिक कार्यों का निर्णय लिया जाता है, अधिक समझ और न्यूनतम निर्णय। इस तरह की घटनाएं "प्राथमिक", "अधूरी घटनाओं" के रूप में ऐसी अवधारणाओं की एक विस्तृत समझ और समझ में छात्र को मोड़ों की घटनाएं "," विश्वसनीय घटनाएं "," असंभव घटनाएं "," विपरीत घटनाएं ", क्योंकि इन सभी अवधारणाओं को घटनाओं पर संचालन के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है। ऐसा लगता है कि किसी भी प्रणाली में इसकी कमी और टिप्पणियां हैं। आम तौर पर स्वीकृत संभाव्यता परिभाषा में से एक इसका सीमित उपयोग है, क्योंकि यह केवल शास्त्रीय प्रयोगों के लिए उपयुक्त है, जो अक्सर आधुनिक प्रिंटिंग के लिए नहीं होते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात यह आश्वस्त होगी कि छात्रों ने सीखा है कि संभावना का परिचय बहुत ही निर्दिष्ट है इसके उपयोग में, यही कारण है कि संभावना की अवधारणा की व्याख्या के दृष्टिकोण की संख्या का अध्ययन करने की आवश्यकता है। व्यावहारिक दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण दृष्टिकोणों में से एक "संभावना" की अवधारणा की परिभाषा के लिए एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण है। इसके कार्यान्वयन को छात्रों के बीच सैद्धांतिक-संवेदनशील विचारों के गठन के अगले चरण के रूप में माना जाता है। विभिन्न प्रकृति की घटनाओं की एक विस्तृत वर्ग की सांख्यिकीय विशेषताओं का आकलन करने के लिए गणितीय आंकड़ों के वर्गों में बाद के उपयोग के लिए "संभाव्यता" की अवधारणा की सांख्यिकीय परिभाषा का विकास महत्वपूर्ण है। अभ्यास से पता चला कि संभावना सिद्धांत एक बहुत ही समय है- स्कूल में छात्रों के लिए उपभोग और भारी प्रक्रिया, और छात्रों को उनके हस्तांतरण के दृष्टिकोण से शिक्षकों के लिए उतना ही कठिन है। इसलिए, यह किसी भी त्रुटि और कमियों को सरल नहीं बनाता है, जो मानते हैं, मानते हैं, सबक और संगीत से अनुमति दी जा सकती है, सबसे पहले क्योंकि यह सुसंगत, संरचनात्मक है, और इसकी संरचना के प्रत्येक कण एक दूसरे को पूरा करता है।

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देखें: एन एल। स्टीफानोव, एन एस दृष्टिकोण। पद्धति और प्रौद्योगिकी सीखने की तकनीक। व्याख्यान का कोर्स: विश्वविद्यालयों के लिए लाभ। -म। : ड्रॉप, 2005. -416 पी।