ऑनलाइन समारोह के अध्ययन की सामान्य योजना। फुल फंक्शन एक्सप्लोरेशन एंड प्लॉटिंग

आज हम आपको हमारे साथ समारोह का पता लगाने और रेखांकन करने के लिए आमंत्रित करते हैं। इस लेख का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, इस प्रकार के कार्य को पूरा करने के लिए आपको अधिक समय तक पसीना नहीं बहाना पड़ेगा। किसी फ़ंक्शन की खोज करना और प्लॉट करना आसान नहीं है, काम बड़ा है, जिसके लिए अधिकतम ध्यान और गणना की सटीकता की आवश्यकता होती है। सामग्री की धारणा को सुविधाजनक बनाने के लिए, हम एक ही कार्य का चरण दर चरण अध्ययन करेंगे, अपने सभी कार्यों और गणनाओं की व्याख्या करेंगे। गणित की अद्भुत और रोमांचक दुनिया में आपका स्वागत है! जाना!

कार्यक्षेत्र

किसी फ़ंक्शन को एक्सप्लोर करने और प्लॉट करने के लिए, आपको कई परिभाषाओं को जानना होगा। फलन गणित में बुनियादी (बुनियादी) अवधारणाओं में से एक है। यह परिवर्तनों के साथ कई चर (दो, तीन या अधिक) के बीच संबंध को दर्शाता है। फ़ंक्शन सेट की निर्भरता को भी दर्शाता है।

कल्पना कीजिए कि हमारे पास दो चर हैं जिनमें भिन्नता की एक निश्चित सीमा है। तो, y x का एक फलन है, बशर्ते कि दूसरे चर का प्रत्येक मान दूसरे के एक मान से मेल खाता हो। इस मामले में, चर y निर्भर है, और इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है। यह कहने की प्रथा है कि चर x और y अंदर हैं। इस निर्भरता की अधिक स्पष्टता के लिए, एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट किया जाता है। फंक्शन ग्राफ क्या है? यह निर्देशांक तल पर बिंदुओं का एक समूह है, जहां x का प्रत्येक मान y के एक मान से मेल खाता है। रेखांकन अलग-अलग हो सकते हैं - सीधी रेखा, अतिपरवलय, परवलय, साइनसॉइड और इसी तरह।

अनुसंधान के बिना फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करना असंभव है। आज हम सीखेंगे कि अनुसंधान कैसे किया जाता है और एक फ़ंक्शन ग्राफ कैसे तैयार किया जाता है। शोध के दौरान नोट्स बनाना बहुत जरूरी है। इससे कार्य बहुत आसान हो जाएगा। सबसे सुविधाजनक अनुसंधान योजना:

1. कार्यक्षेत्र।
2. निरंतरता।
3. सम या विषम समता।
4. आवधिकता।
5. स्पर्शोन्मुख।
6. शून्य।
7. संकेतों की निरंतरता।
8. बढ़ रहा है और घट रहा है।
9. चरम।
10. उत्तलता और उत्तलता।

आइए पहले बिंदु से शुरू करते हैं। आइए परिभाषा के डोमेन को खोजें, अर्थात, हमारे कार्य किस अंतराल पर मौजूद हैं: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)। हमारे मामले में, फ़ंक्शन x के किसी भी मान के लिए मौजूद है, अर्थात डोमेन R के बराबर है। इसे xÎR के रूप में लिखा जा सकता है।

निरंतरता

अब हम ब्रेक फंक्शन की जांच करने जा रहे हैं। गणित में, "निरंतरता" शब्द गति के नियमों के अध्ययन के परिणामस्वरूप प्रकट हुआ। अनंत क्या है? स्थान, समय, कुछ निर्भरताएं (एक उदाहरण गति की समस्याओं में चर एस और टी की निर्भरता है), गर्म वस्तु का तापमान (पानी, फ्राइंग पैन, थर्मामीटर, और इसी तरह), एक सतत रेखा (अर्थात, एक जिसे शीट पेंसिल से फाड़े बिना खींचा जा सकता है)।

एक चार्ट को निरंतर माना जाता है यदि वह किसी बिंदु पर नहीं टूटता है। इस तरह के ग्राफ के सबसे स्पष्ट उदाहरणों में से एक साइन लहर है, जिसे आप इस खंड में चित्र में देख सकते हैं। यदि कई शर्तें पूरी होती हैं तो फ़ंक्शन किसी बिंदु x0 पर निरंतर होता है:

• इस बिंदु पर एक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है;
• बिंदु पर दाएँ और बाएँ सीमाएँ समान हैं;
• सीमा बिंदु x0 पर फलन के मान के बराबर है।

यदि कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन को टूटा हुआ कहा जाता है। और जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन असंतत होता है, उन्हें आमतौर पर असंततता बिंदु कहा जाता है। एक फ़ंक्शन का एक उदाहरण जो ग्राफिक रूप से प्रदर्शित होने पर "ब्रेक" करेगा: y = (x + 4) / (x-3)। इसके अलावा, y बिंदु x = 3 पर मौजूद नहीं है (क्योंकि इसे शून्य से विभाजित करना असंभव है)।

जिस फ़ंक्शन में हम जांच कर रहे हैं (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), सब कुछ सरल हो गया, क्योंकि ग्राफ निरंतर होगा।

और भी अजीब

अब समता के लिए फलन की जाँच कीजिए। सबसे पहले, थोड़ा सिद्धांत। एक सम फलन वह है जो चर x के किसी भी मान (मानों की श्रेणी से) के लिए f (-x) = f (x) की स्थिति को संतुष्ट करता है। उदाहरणों में शामिल:

• मॉड्यूल x (ग्राफ एक डॉव जैसा दिखता है, ग्राफ के पहले और दूसरे क्वार्टर का द्विभाजक);
• x चुकता (परवलय);
• कोसाइन एक्स (कोसाइन)।

ध्यान दें कि कोटि (यानी y) के संबंध में देखे जाने पर ये सभी प्लॉट सममित होते हैं।

तब, एक विषम फलन क्या कहलाता है? ये वे फलन हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं: चर x के किसी भी मान के लिए f (-x) = - f (x)। उदाहरण:

• अतिपरवलय;
• घन परवलय;
• साइनसॉइड;
• स्पर्शरेखा और इतने पर।

कृपया ध्यान दें कि ये फलन बिंदु (0: 0) के बारे में सममित हैं, अर्थात मूल बिंदु। लेख के इस खंड में जो कहा गया है, उसके आधार पर सम और विषम फलन में यह गुण होना चाहिए: x परिभाषाओं के समूह से संबंधित है और -x भी।

आइए हम समता के लिए फलन की जाँच करें। हम देख सकते हैं कि यह किसी भी विवरण में फिट नहीं बैठता है। इसलिए, हमारा कार्य न तो सम है और न ही विषम।

स्पर्शोन्मुख

आइए परिभाषा से शुरू करते हैं। एक स्पर्शोन्मुख एक वक्र है जो जितना संभव हो सके ग्राफ के करीब है, अर्थात, एक बिंदु से दूरी शून्य हो जाती है। कुल मिलाकर, तीन प्रकार के स्पर्शोन्मुख हैं:

• लंबवत, यानी y-अक्ष के समानांतर;
• क्षैतिज, यानी x अक्ष के समानांतर;
• झुका हुआ

पहले प्रकार के लिए, कुछ बिंदुओं पर डेटा सीधी रेखाओं को देखा जाना चाहिए:

• टूटना;
• परिभाषा के क्षेत्र का अंत।

हमारे मामले में, फलन निरंतर है, और प्रांत R के बराबर है। इसलिए, कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है, जो निम्न आवश्यकता को पूरा करता है: यदि x अनंत या शून्य से अनंत तक जाता है, और सीमा एक निश्चित संख्या के बराबर है (उदाहरण के लिए, ए)। इस स्थिति में, y = a - यह क्षैतिज अनंतस्पर्शी है। जिस फलन की हम जांच कर रहे हैं, उसमें कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

तिरछा स्पर्शोन्मुख केवल तभी मौजूद होता है जब दो शर्तें पूरी होती हैं:

• लिम (एफ (एक्स)) / एक्स = के;
• लिम एफ (एक्स) -केएक्स = बी।

फिर इसे सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: y = kx + b। फिर, हमारे मामले में कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है।

फंक्शन जीरो

अगला कदम शून्य पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करना है। यह भी ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने से जुड़ा कार्य न केवल फ़ंक्शन ग्राफ़ के अध्ययन और प्लॉटिंग में होता है, बल्कि एक स्वतंत्र कार्य के रूप में और असमानताओं को हल करने के तरीके के रूप में भी होता है। आपको ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य खोजने की आवश्यकता हो सकती है, या गणितीय संकेतन का उपयोग करना पड़ सकता है।

इन मानों को खोजने से आपको फ़ंक्शन को अधिक सटीक रूप से प्लॉट करने में मदद मिलेगी। सरल शब्दों में, किसी फ़ंक्शन का शून्य चर x का मान होता है, जिस पर y = 0 होता है। यदि आप ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य की तलाश कर रहे हैं, तो आपको उन बिंदुओं पर ध्यान देना चाहिए जिन पर ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष को पार करता है।

किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करना होगा: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0। आवश्यक गणना करने के बाद, हमें निम्नलिखित उत्तर मिलते हैं:

भक्ति

एक फ़ंक्शन (ग्राफ) के अनुसंधान और निर्माण का अगला चरण स्थिरता के अंतराल का पता लगाना है। इसका मतलब यह है कि हमें यह निर्धारित करना होगा कि किस अंतराल पर फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है, और किस पर - नकारात्मक। पिछले अनुभाग में पाया गया फ़ंक्शन शून्य हमें ऐसा करने में मदद करेगा। इसलिए, हमें एक सीधी रेखा (ग्राफ से अलग) बनाने की जरूरत है और सही क्रम में फ़ंक्शन के शून्य को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक वितरित करना होगा। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि किस परिणामी अंतराल में "+" चिह्न है, और कौन सा "-" है।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन अंतराल में सकारात्मक मान लेता है:

• 1 से 4 तक;
• 9 से अनंत तक।

नकारात्मक अर्थ:

• माइनस इनफिनिटी से 1 तक;
• 4 से 9.

यह परिभाषित करना आसान है। अंतराल से किसी भी संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करें और देखें कि उत्तर क्या है (शून्य या प्लस)।

बढ़ते और घटते कार्य

एक फ़ंक्शन का पता लगाने और बनाने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि ग्राफ़ कहाँ बढ़ेगा (ओए के साथ ऊपर जाना), और यह कहाँ गिरेगा (ऑर्डिनेट के साथ नीचे क्रॉल)।

फलन तभी बढ़ता है जब चर x का बड़ा मान y के बड़े मान से मेल खाता हो। अर्थात्, x, x1 से बड़ा है, और f (x2), f (x1) से बड़ा है। और हम घटते फलन (अधिक x, कम y) में पूरी तरह से विपरीत घटना का निरीक्षण करते हैं। वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:

• गुंजाइश (हमारे पास पहले से ही है);
• व्युत्पन्न (हमारे मामले में: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• समीकरण 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0 हल करें।

गणना के बाद, हमें परिणाम मिलता है:

हम प्राप्त करते हैं: फ़ंक्शन अंतराल में माइनस इनफिनिटी से 7/3 और 7 से अनंत तक बढ़ जाता है, और अंतराल में 7/3 से 7 तक घट जाता है।

चरम

जांचा गया फ़ंक्शन y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) निरंतर है और चर x के किसी भी मान के लिए मौजूद है। चरम बिंदु इस फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को दर्शाता है। हमारे मामले में, कोई भी नहीं है जो निर्माण कार्य को बहुत सरल करता है। अन्यथा, वे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का उपयोग करते हुए भी पाए जाते हैं। खोजने के बाद, उन्हें चार्ट पर अंकित करना न भूलें।

उत्तलता और अवतलता

हम आगे फलन y (x) की जांच करना जारी रखते हैं। अब हमें इसे उत्तलता और अवतलता के लिए जाँचने की आवश्यकता है। इन अवधारणाओं की परिभाषाओं को समझना काफी कठिन है, उदाहरणों के साथ हर चीज का विश्लेषण करना बेहतर है। परीक्षण के लिए: फ़ंक्शन उत्तल है यदि यह एक गैर-घटता हुआ कार्य है। सहमत हूँ, यह समझ से बाहर है!

हमें दूसरे क्रम के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है। हमें मिलता है: y = 1/3 (6x-28)। अब दायीं ओर को शून्य पर सेट करते हैं और समीकरण को हल करते हैं। उत्तर: एक्स = 14/3। हमने विभक्ति बिंदु पाया, यानी वह स्थान जहां ग्राफ उत्तलता से अवतलता में बदलता है, या इसके विपरीत। माइनस इनफिनिटी से 14/3 के अंतराल में, फंक्शन उत्तल होता है, और 14/3 से प्लस इनफिनिटी तक, यह अवतल होता है। यह भी ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि ग्राफ पर विभक्ति बिंदु चिकना और नरम होना चाहिए, कोई नुकीला कोना मौजूद नहीं होना चाहिए।

अतिरिक्त बिंदुओं की परिभाषा

हमारा काम फ़ंक्शन की जांच और साजिश करना है। हमने शोध पूरा कर लिया है, अब फ़ंक्शन को प्लॉट करना मुश्किल नहीं होगा। निर्देशांक तल पर वक्र या सीधी रेखा के अधिक सटीक और विस्तृत पुनरुत्पादन के लिए, आप कई सहायक बिंदु पा सकते हैं। इनकी गणना करना काफी आसान है। उदाहरण के लिए, हम x = 3 लेते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं, और y = 4 पाते हैं। या x = 5 और y = -5 इत्यादि। आप उतने अतिरिक्त अंक ले सकते हैं जितने की आपको निर्माण करने की आवश्यकता है। उनमें से कम से कम 3-5 पाए जाते हैं।

एक ग्राफ प्लॉट करना

हमें फ़ंक्शन (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y की जांच करने की आवश्यकता थी। गणना के दौरान सभी आवश्यक नोट्स कोऑर्डिनेट प्लेन पर बनाए गए थे। केवल एक ग्राफ बनाना बाकी है, यानी सभी बिंदुओं को एक दूसरे से जोड़ना है। बिंदुओं को जोड़ना सहज और साफ-सुथरा होना चाहिए, यह कौशल की बात है - थोड़ा अभ्यास और आपका कार्यक्रम एकदम सही होगा।

निर्देश

फ़ंक्शन का दायरा खोजें। उदाहरण के लिए, sin (x) फ़ंक्शन पूरे अंतराल पर -∞ से + तक परिभाषित किया गया है, और 1 / x फ़ंक्शन को -∞ से + तक परिभाषित किया गया है, बिंदु x = 0 को छोड़कर।

निरंतरता और विराम बिंदुओं के क्षेत्रों को परिभाषित करें। आमतौर पर फ़ंक्शन उसी क्षेत्र में निरंतर होता है जहां इसे परिभाषित किया जाता है। विसंगतियों का पता लगाने के लिए, गणना करें क्योंकि तर्क परिभाषा डोमेन के भीतर अलग-अलग बिंदुओं तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1 / x x → 0 + पर अनंत की ओर जाता है, और x → 0- पर माइनस अनंत तक जाता है। इसका मतलब यह है कि बिंदु x = 0 पर इसमें दूसरी तरह की निरंतरता है।
यदि असंततता के बिंदु पर सीमाएँ परिमित हैं, लेकिन समान नहीं हैं, तो यह पहली तरह का विच्छेदन है। यदि वे समान हैं, तो फ़ंक्शन को निरंतर माना जाता है, हालांकि एक अलग बिंदु पर इसे परिभाषित नहीं किया जाता है।

ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख, यदि कोई हो, खोजें। पिछले चरण की गणना आपको यहां मदद करेगी, क्योंकि लंबवत स्पर्शोन्मुख लगभग हमेशा दूसरे प्रकार के विच्छेदन के बिंदु पर होता है। हालांकि, कभी-कभी अलग-अलग बिंदुओं को परिभाषा क्षेत्र से बाहर नहीं रखा जाता है, लेकिन बिंदुओं के पूरे अंतराल, और फिर इन अंतरालों के किनारों पर लंबवत स्पर्शोन्मुख स्थित हो सकते हैं।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन में विशेष गुण हैं: समता, विषम समता और आवधिकता।
फलन सम होगा यदि डोमेन f (x) = f (-x) में किसी x के लिए। उदाहरण के लिए, cos (x) और x ^ 2 सम फलन हैं।

आवधिकता एक संपत्ति है जो दर्शाती है कि एक निश्चित संख्या टी है, जिसे अवधि कहा जाता है, कि किसी भी x f (x) = f (x + T) के लिए। उदाहरण के लिए, सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) आवर्ती हैं।

अंक खोजें। ऐसा करने के लिए, दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें और x के उन मानों को खोजें जहां यह गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, फलन f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 का व्युत्पन्न g (x) = 3x ^ 2 + 18x है, जो x = 0 और x = -6 पर लुप्त हो जाता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से चरम बिंदु अधिकतम हैं और कौन से न्यूनतम हैं, पाए गए शून्य में व्युत्पन्न के संकेत में परिवर्तन का पता लगाएं। g (x) बिंदु x = -6 पर प्लस से चिह्न बदलता है, और बिंदु x = 0 पर वापस माइनस से प्लस में बदलता है। नतीजतन, फ़ंक्शन f (x) में पहले बिंदु पर और दूसरे पर न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, आपने एकरसता के क्षेत्रों को पाया है: f (x) अंतराल पर नीरस रूप से बढ़ता है -∞; -6, नीरस रूप से -6 से घटता है; 0, और फिर से 0; + से बढ़ता है।

दूसरा व्युत्पन्न खोजें। इसकी जड़ें यह दर्शाएंगी कि किसी दिए गए फलन का ग्राफ कहां उत्तल होगा और कहां अवतल होगा। उदाहरण के लिए, फलन f (x) का दूसरा अवकलज h (x) = 6x + 18 होगा। यह x = -3 पर गायब हो जाता है, जिससे चिह्न ऋण से धनात्मक हो जाता है। इसलिए, इस बिंदु से पहले का ग्राफ f (x) उत्तल होगा, इसके बाद - अवतल, और यह बिंदु स्वयं विभक्ति बिंदु होगा।

एक फ़ंक्शन में लंबवत के अलावा अन्य स्पर्शोन्मुख हो सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब यह परिभाषा के अपने क्षेत्र में शामिल हो। उन्हें खोजने के लिए, f (x) की सीमा x → या x → -∞ के रूप में परिकलित करें। यदि यह परिमित है, तो आपने क्षैतिज अनंतस्पर्शी पाया है।

तिरछी अनंतस्पर्शी kx + b के रूप की एक सीधी रेखा है। k ज्ञात करने के लिए f (x) / x की सीमा x → के रूप में परिकलित कीजिए। उसी x → के लिए b - सीमा (f (x) - kx) ज्ञात करना।

परिकलित डेटा पर फ़ंक्शन को प्लॉट करें। स्पर्शोन्मुख, यदि कोई हो, को अंकित कीजिए। चरम बिंदुओं और उनमें फ़ंक्शन के मूल्यों को चिह्नित करें। ग्राफ़ की अधिक सटीकता के लिए, कई और मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें। शोध पूरा हुआ।

कार्यों के अध्ययन और उनके रेखांकन के निर्माण में संदर्भ बिंदु विशेषता बिंदु हैं - समन्वय अक्षों के साथ असंतुलन, चरम, विभक्ति, चौराहे के बिंदु। डिफरेंशियल कैलकुलस की मदद से, कार्यों में परिवर्तन की विशिष्ट विशेषताओं को स्थापित करना संभव है: वृद्धि और कमी, मैक्सिमा और मिनिमा, ग्राफ की उत्तलता और उत्तलता की दिशा, स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति।

स्पर्शोन्मुख और चरम बिंदुओं को खोजने के बाद एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच (और चाहिए) स्केच किया जा सकता है, और अध्ययन की प्रगति के रूप में फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए पिवट तालिका को भरना सुविधाजनक है।

आमतौर पर, निम्नलिखित फ़ंक्शन अध्ययन योजना का उपयोग किया जाता है।

1.फलन का प्रांत, निरंतरता के अंतराल और विराम बिंदु ज्ञात कीजिए.

2.समरूपता या विषमता (ग्राफ की अक्षीय या केंद्रीय समरूपता) के लिए फलन की जाँच करें।

3.स्पर्शोन्मुख (ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज, या तिरछा) खोजें।

4.फलन के बढ़ने और घटने के अंतरालों, इसके चरम बिन्दुओं का पता लगाएँ और उनकी जाँच करें।

5.वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल, इसके विभक्ति के बिंदु ज्ञात कीजिए।

6.निर्देशांक अक्षों के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए, यदि वे मौजूद हैं।

7.अध्ययन की एक सारांश तालिका तैयार करें।

8.उपरोक्त बिंदुओं पर किए गए फलन के अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक आलेख का निर्माण करें।

उदाहरण।समारोह का अन्वेषण करें

और इसका एक ग्राफ बनाएं।

7. आइए फ़ंक्शन के अध्ययन की एक सारांश तालिका बनाएं, जहां हम सभी विशिष्ट बिंदुओं और उनके बीच के अंतराल को दर्ज करेंगे। फ़ंक्शन की समता को देखते हुए, हमें निम्न तालिका मिलती है:

फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन और इसके ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1) फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें;

2) फ़ंक्शन के असंततता के बिंदु और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख (यदि वे मौजूद हैं) का पता लगाएं;

3) अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें, क्षैतिज और तिरछी स्पर्शोन्मुख खोजें;

4) समता (विषमता) और आवर्तता (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) के लिए फलन की जाँच करें;

5) फ़ंक्शन की एकरसता के चरम और अंतराल का पता लगाएं;

6) उत्तलता के अंतराल और विभक्ति के बिंदु निर्धारित करें;

7) यदि संभव हो तो निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, और कुछ अतिरिक्त बिंदु जो ग्राफ को परिष्कृत करते हैं।

फ़ंक्शन का अध्ययन इसके ग्राफ के निर्माण के साथ-साथ किया जाता है।

उदाहरण 9फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और ग्राफ़ प्लॉट करें।

1. परिभाषा का दायरा :;

2. फ़ंक्शन बिंदुओं पर टूटा हुआ है
,
;

आइए हम ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों की उपस्थिति के लिए फलन की जाँच करें।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

3. आइए हम तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शियों की उपस्थिति के फलन की जाँच करें।

सीधा
─ तिरछा स्पर्शोन्मुख यदि
,
.

,
.

सीधा
क्षैतिज स्पर्शोन्मुख।

4. फलन सम है क्योंकि
... फलन की समता, कोटि अक्ष के परितः ग्राफ की समरूपता को इंगित करती है।

5. आइए फ़ंक्शन की एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल खोजें।

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, अर्थात्। जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न 0 है या मौजूद नहीं है:
;
... हमारे पास तीन अंक हैं
;

... ये बिंदु संपूर्ण वैध अक्ष को चार स्थानों में विभाजित करते हैं। आइए संकेतों को परिभाषित करें उनमें से प्रत्येक पर।

अंतराल पर (-∞; -1) और (-1; 0) फ़ंक्शन बढ़ता है, अंतराल पर (0; 1) और (1; + ∞) घटता है। एक बिंदु को पार करते समय
व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में संकेत करते हैं, इसलिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है
.

6. उत्तल अंतराल, विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

उन बिंदुओं को खोजें जिन पर 0 है, या मौजूद नहीं है।

कोई वैध जड़ें नहीं हैं।
,
,

अंक
तथा
वास्तविक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करें। आइए संकेत को परिभाषित करें प्रत्येक अंतराल पर।

इस प्रकार, अंतराल पर वक्र
तथा
उत्तल नीचे की ओर, अंतराल पर (-1; 1) उत्तल ऊपर की ओर; कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि बिंदुओं पर कार्य होता है
तथा
अनिर्दिष्ट।

7. कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें।

अक्ष के साथ
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0; -1), और अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है
ग्राफ ओवरलैप नहीं करता है, क्योंकि इस फ़ंक्शन के अंश का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र 1 में दिखाया गया है।

चित्र 1 फंक्शन ग्राफ

अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न की अवधारणा का अनुप्रयोग। समारोह की लोच

आर्थिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने और अन्य लागू समस्याओं को हल करने के लिए, अक्सर एक फ़ंक्शन की लोच की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा।समारोह की लोच
फ़ंक्शन के सापेक्ष वेतन वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है चर के सापेक्ष वृद्धि के लिए पर
,। (सात)

किसी फ़ंक्शन की लोच फ़ंक्शन में परिवर्तन का अनुमानित प्रतिशत दर्शाती है
स्वतंत्र चर बदलते समय 1% से।

फ़ंक्शन की लोच मांग और खपत के विश्लेषण में लागू होती है। यदि मांग की लोच (निरपेक्ष मूल्य में)
, तो मांग लोचदार मानी जाती है यदि
तटस्थ अगर
कीमत (या आय) के संबंध में बेलोचदार।

उदाहरण 10किसी फ़ंक्शन की लोच की गणना करें
और के लिए लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए = 3.

हल: सूत्र (VII) के अनुसार फलन की लोच:

माना x = 3, तब
इसका अर्थ यह है कि यदि व्याख्यात्मक चर में 1% की वृद्धि होती है, तो आश्रित चर का मान 1.42% बढ़ जाता है।

उदाहरण 11मांग को कार्य करने दें कीमत के बारे में रूप है
, कहां ─ निरंतर गुणांक। x = 3 मांद की कीमत पर मांग फलन के लोच सूचक का मान ज्ञात कीजिए। इकाइयों

हल: सूत्र (VII) द्वारा मांग फलन की लोच की गणना करें

यह मानते हुए
मौद्रिक इकाइयाँ, हमें मिलती हैं
... इसका मतलब है कि कीमत पर
मौद्रिक इकाइयाँ 1% मूल्य वृद्धि से मांग में 6% की कमी आएगी, अर्थात। मांग लोचदार है।

फलन के संपूर्ण अध्ययन और इसके ग्राफ को आलेखित करने के लिए, निम्नलिखित योजना की अनुशंसा की जाती है:
ए) परिभाषा के क्षेत्र का पता लगाएं, विराम बिंदु; असंततता के बिंदुओं के पास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें (इन बिंदुओं पर बाएं और दाएं फ़ंक्शन की सीमाएं पाएं)। ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख निर्दिष्ट करें।
बी) फ़ंक्शन की समता या विषमता का निर्धारण करें और समरूपता की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें। यदि, तो फलन ओए अक्ष के परितः सममित है; जब फलन विषम हो, मूल के प्रति सममित हो; और अगर - सामान्य रूप का एक कार्य।
सी) समन्वय अक्ष ओए और ओएक्स (यदि संभव हो) के साथ फ़ंक्शन के चौराहे बिंदु खोजें, फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल निर्धारित करें। फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल की सीमाएं उन बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं जिन पर फ़ंक्शन शून्य (फ़ंक्शन के शून्य) के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है और इस फ़ंक्शन के डोमेन की सीमाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। अंतराल में जहां फ़ंक्शन का ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित होता है, और जहां - इस अक्ष के नीचे।
डी) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें, इसके शून्य और स्थिरता के अंतराल निर्धारित करें। अंतराल में जहां फ़ंक्शन बढ़ता है और जहां यह घटता है। एक्स्ट्रेमा की उपस्थिति के बारे में एक निष्कर्ष निकालें (ऐसे बिंदु जहां फ़ंक्शन और व्युत्पन्न मौजूद हैं और जब से गुजरते हुए संकेत बदलता है। यदि यह प्लस से माइनस में साइन बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन में अधिकतम होता है, और यदि माइनस से प्लस तक , फिर न्यूनतम)। चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों का पता लगाएं।
ई) दूसरा व्युत्पन्न, इसके शून्य और निरंतरता के अंतराल खोजें। अंतराल में जहां< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ई) तिरछे (क्षैतिज) स्पर्शोन्मुख खोजें, जिनके समीकरणों का रूप है ; कहां
.
पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो तिरछे स्पर्शोन्मुख होंगे, और x का प्रत्येक मान और b के दो मानों के अनुरूप हो सकता है।
जी) अनुसूची को स्पष्ट करने के लिए अतिरिक्त बिंदु खोजें (यदि आवश्यक हो) और एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण 1 फ़ंक्शन की जांच करें और इसे ग्राफ़ करें। समाधान: ए) परिभाषा का दायरा; परिभाषा के क्षेत्र में फलन सतत है; - विराम बिंदु, क्योंकि ; ... फिर लंबवत स्पर्शोन्मुख है।
बी)
वे। y (x) एक सामान्य फलन है।
सी) ओए अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु खोजें: हम x = 0 सेट करते हैं; तब y (0) = - 1, अर्थात्। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0; -1) पर अक्ष को पार करता है। फ़ंक्शन के शून्य (ओएक्स अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु): हम y = 0 सेट करते हैं; फिर
.
द्विघात समीकरण का विवेचक शून्य से कम है, इसलिए कोई शून्य नहीं है। तब निरंतरता के अंतराल की सीमा बिंदु x = 1 है, जहां फ़ंक्शन मौजूद नहीं है।
प्रत्येक अंतराल में फ़ंक्शन का संकेत विशेष मानों की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आरेख से यह देखा जा सकता है कि अंतराल में फ़ंक्शन का ग्राफ OX अक्ष के नीचे स्थित होता है, और अंतराल में - OX अक्ष पर।
डी) महत्वपूर्ण बिंदुओं की उपस्थिति का पता लगाएं।
.
महत्वपूर्ण बिंदु (जहां या मौजूद नहीं है) समानता से पाए जाते हैं और।

हम पाते हैं: x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2। आइए एक सहायक तालिका बनाएं

तालिका एक

(पहली पंक्ति में महत्वपूर्ण बिंदु और अंतराल होते हैं जिसमें इन बिंदुओं को ओएक्स अक्ष द्वारा विभाजित किया जाता है; दूसरी पंक्ति महत्वपूर्ण बिंदुओं पर व्युत्पन्न के मूल्यों और अंतराल पर संकेतों को इंगित करती है। संकेत विधि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं आंशिक मूल्यों की तीसरी पंक्ति महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन y (x) के मूल्यों को इंगित करती है और फ़ंक्शन का व्यवहार दिखाया गया है - संख्यात्मक अक्ष के संबंधित अंतराल पर बढ़ रहा है या घट रहा है।
ई) फ़ंक्शन की उत्तलता और अवतलता के अंतराल का पता लगाएं।
; पैराग्राफ डी के अनुसार एक टेबल बनाएं); केवल दूसरी पंक्ति में हम संकेत लिखते हैं, और तीसरी में हम उत्तलता के प्रकार को इंगित करते हैं। चूंकि ; तो केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु x = 1 है।
तालिका 2

बिंदु x = 1 विभक्ति बिंदु है।
ई) तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शी खोजें

तब y = x एक तिरछी अनंतस्पर्शी है।
जी) प्राप्त डेटा का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाते हैं

1). फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र।
जाहिर है, यह फ़ंक्शन अंक "" और "" को छोड़कर, पूरी संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है, क्योंकि इन बिंदुओं पर हर शून्य है और इसलिए, फ़ंक्शन मौजूद नहीं है, और सीधी रेखाएं और लंबवत स्पर्शोन्मुख हैं।

2). एक फ़ंक्शन का व्यवहार जब तर्क अनंत की ओर जाता है, असंततता बिंदुओं का अस्तित्व और तिरछे स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति के लिए जाँच करता है।
आइए पहले देखें कि बाईं ओर और दाईं ओर अनंत तक पहुंचने पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है।

इस प्रकार, के लिए, फलन 1 की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात्। - समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा।
असंततता बिंदुओं के आसपास, फ़ंक्शन के व्यवहार को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


वे। जब बाईं ओर असंततता बिंदुओं पर पहुंचती है, तो फ़ंक्शन अनंत रूप से घटता है, और दाईं ओर, यह असीम रूप से बढ़ता है।
एक तिरछी स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति समानता पर विचार करके निर्धारित की जाती है:

कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

3). निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।
यहां दो स्थितियों पर विचार करना आवश्यक है: ऑक्स अक्ष के साथ और ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं। ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का संकेत फ़ंक्शन का शून्य मान है, अर्थात। समीकरण को हल करना आवश्यक है:

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए, इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।
ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का चिह्न x = 0 का मान है। इस स्थिति में,
,
वे। - अक्ष ओए के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन का बिंदु।

4).चरम बिंदुओं का निर्धारण और वृद्धि और कमी के अंतराल।
इस मुद्दे की जांच करने के लिए, हम पहले व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं:
.
आइए हम पहले व्युत्पन्न के मान को शून्य के बराबर करें।
.
एक भिन्न शून्य के बराबर होती है जब उसका अंश शून्य के बराबर होता है, अर्थात। ...
आइए हम फलन के बढ़ने और घटने के अंतरालों को परिभाषित करें।

इस प्रकार, फ़ंक्शन में एक चरम बिंदु होता है और दो बिंदुओं पर मौजूद नहीं होता है।
इस प्रकार, अंतराल में फलन बढ़ता है और अंतराल में घटता है और।

5). विभक्ति बिंदु और उत्तलता और अवतलता के क्षेत्र।
फ़ंक्शन के व्यवहार की यह विशेषता दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके निर्धारित की जाती है। आइए पहले हम विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति का निर्धारण करें। फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है

पर और फलन अवतल है;

के लिए और फलन उत्तल है।

6). एक समारोह की साजिश।
बिंदुओं में पाए गए मानों का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन का एक योजनाबद्ध ग्राफ़ बनाते हैं:

समाधान
दिया गया फलन एक सामान्य गैर-आवधिक फलन है। इसका ग्राफ मूल के माध्यम से जाता है, क्योंकि।
दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन चर के सभी मान हैं, सिवाय और, जिस पर अंश का हर गायब हो जाता है।
नतीजतन, बिंदु और फ़ंक्शन के विच्छेदन के बिंदु हैं।
चूंकि ,

चूंकि ,
, तो बिंदु दूसरी तरह का विराम बिंदु है।
सीधी रेखाएँ और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत स्पर्शोन्मुख हैं।
परोक्ष स्पर्शोन्मुख के समीकरण, जहाँ, .
पर ,
.
इस प्रकार, फ़ंक्शन के लिए और ग्राफ़ में एक स्पर्शोन्मुख है।
आइए हम फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल और चरम बिंदुओं का पता लगाएं।
.
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न पर और, इसलिए, पर और, फ़ंक्शन बढ़ता है।
कब, इसलिए, कब, फ़ंक्शन कम हो जाता है।
के लिए मौजूद नहीं है।
, इसलिए, के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ अवतल है।
पर , इसलिए, के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तल है।

बिंदुओं से गुजरते समय, चिन्ह बदल जाता है। जब, फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है, इसलिए, फ़ंक्शन ग्राफ़ में एक विभक्ति बिंदु होता है।
आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें।