के लिये किसी भी यादृच्छिक घटना की घटना की संभावना के अनुमान पूर्ववर्ती रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं कि हमारे लिए ब्याज की घटनाओं की संभावना से अलग-अलग घटनाएं अलग-अलग हैं।

एक क्लासिक योजना के मामले में, जब सभी परिणाम समान रूप से होते हैं, हम पहले से ही स्वतंत्र रूप से ब्याज के व्यक्ति की संभावना के मूल्यों का मूल्यांकन कर सकते हैं। यदि घटना कई प्राथमिक परिणामों का एक जटिल सेट है तो हम इसे कर सकते हैं। और यदि कई यादृच्छिक घटनाएं एक साथ या अनुक्रमिक रूप से होती हैं? यह हमारे लिए ब्याज की घटनाओं की संभावना को कैसे प्रभावित करता है?

अगर मैं कई बार एक खेल की हड्डी फेंक देता हूं, और मैं "छः" गिरना चाहता हूं, और मैं हर समय भाग्यशाली नहीं हूं, इसका मतलब है कि शर्त को बढ़ाने के लिए आवश्यक है, क्योंकि, संभावनाओं के सिद्धांत के अनुसार, मैं एक भाग्य लेने के बारे में? हां, संभावना का सिद्धांत इस तरह की कुछ भी मंजूरी नहीं देता है। न तो हड्डियों और न ही कार्ड और न ही सिक्का पता नहीं कैसे याद किया जाए उन्होंने आखिरी बार हमें क्या प्रदर्शन किया। वे पहली बार या दसवीं बार में पूरी तरह से परवाह नहीं करते हैं, आज मैं अपने भाग्य का अनुभव करता हूं। हर बार जब मैं फेंक दोहराता हूं, तो मुझे केवल एक चीज पता है: इस बार "छः" की संभावना फिर से एक छठे के बराबर है। बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि जिस संख्या की आपको आवश्यकता नहीं होगी वह कभी नहीं गिर जाएगी। इसका मतलब यह है कि केवल तथ्य यह है कि पहले फेंकने के बाद और किसी अन्य फेंकने के बाद - स्वतंत्र घटनाएं।

घटनाओं ए और बी को बुलाया जाता है स्वतंत्रयदि उनमें से एक का कार्यान्वयन किसी अन्य घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, दो बंदूकें के पहले लक्ष्य को पराजित करने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती कि लक्ष्य एक और टूल को मारा गया है या नहीं, इसलिए घटनाओं ने "पहली बंदूक ने लक्ष्य को मारा" और "दूसरा टूल लक्ष्य को मारा" स्वतंत्र।

यदि दो घटनाएं ए और स्वतंत्र हैं, और उनमें से प्रत्येक की संभावना ज्ञात है, एक साथ घटना और घटनाओं की संभावना, और घटनाओं (नामित एबी) में निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए संभाव्यता गुणात्मक प्रमेय

P (ab) \u003d p (a) * p (b) - संभावना समकालिक दो की शुरुआत स्वतंत्र घटनाएँ समान कामइन घटनाओं की संभावनाएं।

उदाहरण।पहले और दूसरे उपकरण की शूटिंग में लक्ष्य दर्ज करने की संभावना क्रमशः बराबर होती है: पी 1 \u003d 0.7; पी 2 \u003d 0.8। एक ही समय में दोनों बंदूक के साथ एक वॉली में जाने की संभावना का पता लगाएं।

फेसला:जैसा कि हमने पहले से ही घटनाओं को देखा है (पहली बंदूक हिट) और (दूसरा उपकरण हिट) स्वतंत्र है, यानी पी (एवी) \u003d पी (ए) * पी (सी) \u003d पी 1 * पी 2 \u003d 0.56।

हमारे अनुमानों का क्या होता है यदि स्रोत घटनाएं स्वतंत्र नहीं हैं? आइए पिछले उदाहरण को थोड़ा बदल दें।

उदाहरण।प्रतियोगिताओं में दो तीर लक्ष्य को गोली मारते हैं, और यदि उनमें से एक लेबल को गोली मारता है, तो प्रतिद्वंद्वी घबराहट से शुरू होता है, और इसके परिणाम बिगड़ते हैं। इस रोजमर्रा की स्थिति को गणितीय कार्य में कैसे बदलें और इसे हल करने के तरीकों को कैसे बदलें? यह अंतर्ज्ञानी है कि किसी भी तरह से दो परिदृश्यों, दो अलग-अलग कार्यों को संकलित करने के लिए घटनाओं के विकास के लिए दो विकल्पों को विभाजित करना आवश्यक है। पहले मामले में, यदि प्रतिद्वंद्वी को याद किया गया, तो लिपि तंत्रिका एथलीट के लिए अनुकूल होगा और इसकी सटीकता अधिक होगी। दूसरे मामले में, यदि प्रतिद्वंद्वी ने अपने मौके को स्पष्ट रूप से महसूस किया, तो दूसरे एथलीट के लिए लक्ष्य को मारने की संभावना कम हो गई है।

संभावित परिदृश्यों को अलग करने के लिए (उन्हें अक्सर परिकल्पनाएं कहा जाता है), हम अक्सर "संभाव्यता पेड़" योजना का उपयोग करेंगे। यह योजना उन निर्णयों के पेड़ के समान है जिनके साथ आपको शायद पहले से ही निपटना पड़ता है। प्रत्येक शाखा एक अलग घटना विकास परिदृश्य है, केवल अब यह तथाकथित का अपना मूल्य है सशर्त संभावना (क्यू 1, क्यू 2, क्यू 1 -1, क्यू 2 -1)।

यह योजना लगातार यादृच्छिक घटनाओं का विश्लेषण करने के लिए बहुत सुविधाजनक है।

यह एक और महत्वपूर्ण सवाल यह जानने के लिए बनी हुई है: प्रारंभिक संभाव्यता मूल्य कहां से आते हैं वास्तविक स्थितियां ? आखिरकार, संभाव्यता सिद्धांत एक ही सिक्के और हड्डियों को खेल रहा है? आम तौर पर ये अनुमान आंकड़ों से लिया जाता है, और जब कोई सांख्यिकीय जानकारी नहीं होती है, तो हम अपना खुद का शोध करते हैं। और इसे डेटा एकत्र करने से शुरू करने के लिए अक्सर आवश्यक नहीं होता है, लेकिन प्रश्न से, हमें किस जानकारी की आवश्यकता होनी चाहिए।

उदाहरण।मान लीजिए कि हमें एक नए उत्पाद के लिए सौ हजार निवासियों की आबादी के साथ शहर में मूल्यांकन करने की आवश्यकता है, जो एक नए उत्पाद के लिए बाजार की मात्रा है, उदाहरण के लिए, चित्रित बालों की देखभाल के लिए एक बाम के लिए। "संभाव्यता पेड़" की योजना पर विचार करें। साथ ही, प्रत्येक "शाखा" पर संभाव्यता मूल्य हमें लगभग मूल्यांकन करने की आवश्यकता है। तो, हमारी बाजार क्षमता का अनुमान है:

1) महिलाओं के शहर के सभी निवासियों से 50%,

2) सभी महिलाओं में केवल 30% पेंट बाल अक्सर,

3) उनमें से केवल 10% चित्रित बालों के लिए बाम का आनंद लें,

4) इनमें से, केवल 10% एक नए उत्पाद को आजमाने के लिए साहस प्राप्त कर सकते हैं,

5) इनमें से, 70% आमतौर पर हमसे सब कुछ खरीदता है, लेकिन हमारे प्रतिस्पर्धियों से।

फेसला:संभावनाओं को गुणा करने के कानून के अनुसार, हम अमेरिका के लिए ब्याज की घटनाओं की संभावना निर्धारित करते हैं \u003d (शहर के निवासी इस नए बालसम खरीदता है) \u003d 0.00045।

शहर के निवासियों की संख्या के लिए संभावना के इस मूल्य को गुणा करें। नतीजतन, हमारे पास केवल 45 संभावित खरीदारों हैं, और यदि हम मानते हैं कि इस फंड का एक बुलबुला कई महीनों तक पर्याप्त है, तो व्यापार बहुत व्यस्त नहीं है।

फिर भी, हमारे अनुमानों से लाभ हैं।

सबसे पहले, हम विभिन्न व्यावसायिक विचारों की भविष्यवाणियों की तुलना कर सकते हैं, योजनाओं में उनके पास अलग-अलग "विकास" होंगे, और, निश्चित रूप से, संभाव्यता मूल्य भी अलग होंगे।

दूसरा, जैसा कि हमने पहले ही बात की है, एक यादृच्छिक मान नहीं है क्योंकि इसे एक यादृच्छिक कहा जाता है कि यह किसी भी चीज़ पर निर्भर नहीं करता है। सिर्फ वह शुद्ध मूल्य पहले से ज्ञात नहीं है। हम जानते हैं कि खरीदारों की औसत संख्या में वृद्धि की जा सकती है (उदाहरण के लिए, एक नए उत्पाद का विज्ञापन करने की सहायता से)। तो यह उन "विकास" पर ध्यान केंद्रित करने के लिए समझ में आता है, जहां संभावनाओं का वितरण विशेष रूप से हमारे अनुरूप नहीं होता है, उन कारकों पर जिन्हें हम प्रभावित करने में सक्षम हैं।

ग्राहक व्यवहार के अध्ययन के एक और मात्रात्मक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।दिन के दौरान, खाद्य बाजार औसतन 10,000 लोगों का दौरा करता है। यह संभावना है कि बाजार आगंतुक डेयरी उत्पादों के मंडप में आता है 1/2 है। यह ज्ञात है कि इस मंडप में प्रति दिन 500 किलो विभिन्न उत्पादों की बिक्री के लिए औसत पर।

क्या यह तर्क देना संभव है कि मंडप में औसत खरीद केवल 100 ग्राम वजन का होता है?

चर्चा।बेशक यह असंभव है। यह स्पष्ट है कि नतीजतन, हर कोई मंडप में नहीं गया, नतीजतन, कुछ वहाँ कुछ खरीदा।

जैसा कि खरीद के औसत वजन के सवाल का जवाब देने के लिए आरेख में दिखाया गया है, हमें इस सवाल का जवाब मिलना चाहिए, यह संभावना है कि मंडप में आने वाले व्यक्ति को वहां कुछ खरीद लेंगे। यदि हमारे निपटारे में ऐसा कोई डेटा नहीं है, और हमें उनकी आवश्यकता है, तो आपको कुछ समय के लिए मंडप के आगंतुकों को देखने के बाद उन्हें स्वयं को प्राप्त करना होगा। मान लीजिए कि हमारे अवलोकनों ने दिखाया है कि मंडप के आगंतुकों का केवल पांचवां हिस्सा कुछ खरीदता है।

जैसे ही ये अनुमान हमारे द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, कार्य सरल हो जाता है। बाजार में आने वाले 10,000 लोगों में से, 5000 डेयरी उत्पादों के मंडप में प्रवेश करेगा, खरीदारी केवल 1000 होगी। औसत खरीद वजन 500 ग्राम है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि जो हो रहा है उसकी पूरी तस्वीर बनाने के लिए, सशर्त "बैटर्स" का तर्क हमारे तर्क के प्रत्येक चरण में निर्धारित किया जाना चाहिए और साथ ही साथ हमने "विशिष्ट" स्थिति के साथ काम किया, और साथ नहीं संभावनाएं।

स्व-परीक्षण के लिए कार्य

1. मान लीजिए कि एक विद्युत सर्किट है जिसमें कनेक्टेड तत्वों की एन श्रृंखला शामिल है, जिनमें से प्रत्येक बाकी के स्वतंत्र रूप से काम करता है।

संभावना पी प्रत्येक तत्व के क्रम में जाना जाता है। श्रृंखला (घटना ए) के पूरे क्षेत्र के संचालन की संभावना निर्धारित करें।

2. छात्र 25 परीक्षा प्रश्नों में से 20 को जानता है। संभावना का पता लगाएं कि छात्र उनके द्वारा प्रदान किए गए तीन प्रश्नों को जानता है।

3. उत्पादन में लगातार चार कदम होते हैं, जिनमें से प्रत्येक उपकरण कार्य करता है, जिसके लिए अगले महीने के भीतर विफलता की संभावना क्रमशः पी 1, पी 2, पी 3 और पी 4 के बराबर होती है। संभावना का पता लगाएं कि एक महीने में उपकरण खराब होने के कारण उत्पादन का एक ही स्टॉप नहीं होगा।

घटनाएं जो वास्तव में या हमारी कल्पना में होती हैं उन्हें 3 समूहों में विभाजित किया जा सकता है। ये विश्वसनीय घटनाएं हैं जो निश्चित रूप से अविश्वसनीय घटनाएं और यादृच्छिक घटनाएं होंगी। संभावनाओं का सिद्धांत यादृच्छिक घटनाओं द्वारा अध्ययन किया जाता है, यानी घटनाएं जो हो सकती हैं या नहीं होती हैं। यह आलेख सूत्रों की संभावना के सिद्धांत और संभावना के सिद्धांत पर समस्याओं को हल करने के उदाहरणों के एक संक्षिप्त रूप में पेश करेगा जो गणित ईई (प्रोफाइल स्तर) के 4 कार्यों में होगा।

आपको संभाव्यता सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है

ऐतिहासिक रूप से, 17 वीं शताब्दी में जुआ के विकास और व्यावसायिकता और कैसीनो की उपस्थिति के संबंध में इन समस्याओं का अध्ययन करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई। यह एक वास्तविक घटना थी जिसने अपने अध्ययन और शोध की आवश्यकता थी।

कार्ड, हड्डियों, रूले का एक गेम जब समान घटनाओं की परिमित संख्या में से कोई भी हो सकता है। संख्यात्मक आकलन को एक या किसी अन्य घटना की घटना की संभावना की संभावना देने की आवश्यकता थी।

20 वीं शताब्दी में यह पता चला कि यह प्रतीत होता है कि बेवकूफ विज्ञान माइक्रोमीटर में होने वाली मौलिक प्रक्रियाओं के ज्ञान में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। एक आधुनिक संभावना सिद्धांत बनाई गई थी।

संभावना के सिद्धांत की मूल अवधारणाएं

संभावना के सिद्धांत का अध्ययन करने की वस्तु घटनाओं और उनकी संभावनाओं है। यदि घटना जटिल है, तो इसे सरल घटकों में विभाजित किया जा सकता है जिनकी संभावनाएं ढूंढना आसान है।

घटनाओं का योग ए और बी को एक ईवेंट सी कहा जाता है, जिसमें इस तथ्य में शामिल होता है कि एक घटना ए, या एक घटना या घटनाओं ए और एक ही समय में है।

घटनाओं का कार्य ए और बी को एक घटना को एक विचार कहा जाता है कि घटना ए और घटना हुई।

घटनाओं ए और बी को असंतोष कहा जाता है यदि वे एक साथ नहीं हो सकते हैं।

यदि ऐसा नहीं हो सकता है तो घटना ए को असंभव कहा जाता है। यह घटना प्रतीक द्वारा इंगित की जाती है।

घटना ए को विश्वसनीय कहा जाता है यदि यह निश्चित रूप से होगा। यह घटना प्रतीक द्वारा इंगित की जाती है।

प्रत्येक घटना को संख्या पी (ए) के अनुसार रखा जाए। इस संख्या पी (ए) को घटना ए की संभावना कहा जाता है, यदि इस अनुपालन के साथ निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाता है।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला स्थिति है जब समान रूप से ध्वनि प्राथमिक परिणाम होते हैं, और मनमानी परिणाम घटनाओं ए द्वारा गठित होते हैं। इस मामले में, सूत्र द्वारा संभाव्यता दर्ज की जा सकती है। इस तरह से लगाए गए संभाव्यता को क्लासिक संभावना कहा जाता है। यह साबित किया जा सकता है कि इस मामले में 1-4 गुण किए गए हैं।

गणित में परीक्षा में पाए जाने वाले संभावनाओं के सिद्धांत पर कार्य मुख्य रूप से शास्त्रीय संभावना से जुड़े होते हैं। ऐसे कार्य बहुत ही सरल हो सकते हैं। प्रदर्शन विकल्पों में संभाव्यता सिद्धांत पर विशेष रूप से सरल कार्य हैं। अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करना आसान है, सीधे स्थिति में सभी परिणामों की संख्या लिखी गई है।

उत्तर सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है।

संभावना को निर्धारित करने के लिए गणित के शब्द से एक कार्य का एक उदाहरण

मेज पर 20 पाई - 5 गोभी के साथ, 7 सेब के साथ 7 और चावल के साथ 8। मरीना एक पाट लेना चाहता है। संभावना क्या है कि यह चावल के साथ एक पाट ले जाएगा?

फेसला।

कुल समान प्राथमिक परिणामों में, यानी, मरीना 20 पाई में से कोई भी ले जा सकती है। लेकिन हमें ऐसी संभावना की सराहना करने की ज़रूरत है कि मरीना चावल के साथ एक पिड्राइट ले जाएगा, यानी, जहां चावल के साथ एक कठपुतली की पसंद है। इसका मतलब है कि हमारे पास केवल अनुकूल परिणामों की संख्या है (चावल के साथ पाई के चुनाव) 8. तो संभावना सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी:

स्वतंत्र, विपरीत और मनमानी घटनाएं

हालांकि, ओपन बैंक में, कार्य अधिक जटिल कार्यों को पूरा करना शुरू कर दिया। इसलिए, पाठकों के सिद्धांत में अध्ययन करने वाले पाठक और अन्य मुद्दों पर ध्यान दें।

घटनाओं ए और बी को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं है कि कोई अन्य घटना हुई है या नहीं।

घटना बी यह है कि घटना नहीं हो रही है, यानी घटना बी घटना ए के विपरीत है। विपरीत घटना की संभावना एक ऋण के बराबर है जो प्रत्यक्ष घटना की संभावना की संभावना है, यानी ।

संभावनाओं के अलावा और गुणशीलता, सूत्रों के प्रमेय

मनमानी घटनाओं के लिए और इन घटनाओं की मात्रा की संभावना उनके संयुक्त कार्यक्रम की संभावना के बिना उनकी संभावना के बराबर की संभावना के बराबर है, यानी ।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए, इन घटनाओं के काम की संभावना में उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है, यानी इस मामले में ।

अंतिम 2 बयानों को परिवर्धनों के अलावा और गुणों के गुणन कहा जाता है।

परिणामों की संख्या की गणना हमेशा इतना आसान नहीं है। कुछ मामलों में, संयोजक सूत्रों का उपयोग करना आवश्यक है। इस मामले में, सबसे महत्वपूर्ण घटनाओं की संख्या की गणना जो कुछ शर्तों को पूरा करती है। कभी-कभी इस तरह की गिनती स्वतंत्र कार्य बन सकती है।

6 मुक्त स्थानों पर मैं 6 छात्रों को कितने तरीकों से बैठ सकता हूं? पहला छात्र 6 सीटों में से कोई भी ले जाएगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को होने के 5 तरीके से मेल खाता है। तीसरे छात्र के लिए चौथे - 3 के लिए चौथे - 3 के लिए 4 मुक्त स्थान हैं, छठा एकमात्र शेष स्थान ले जाएगा। सभी विकल्पों की संख्या खोजने के लिए, आपको एक उत्पाद ढूंढना होगा जो 6 के प्रतीक द्वारा इंगित किया गया हो! और "छह फैक्टोरियल" पढ़ें।

आम तौर पर, इस प्रश्न का उत्तर हमारे मामले में पी वस्तुओं से क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र देता है।

अब हमारे छात्रों के साथ एक और मामला विचार करें। मैं 6 मुक्त स्थानों पर 2 छात्रों को कितने तरीकों से बैठ सकता हूं? पहला छात्र 6 सीटों में से कोई भी ले जाएगा। इनमें से प्रत्येक विकल्प दूसरे छात्र को होने के 5 तरीके से मेल खाता है। सभी विकल्पों की संख्या खोजने के लिए, आपको एक काम खोजने की आवश्यकता है।

आम तौर पर, इस प्रश्न का उत्तर के तत्वों द्वारा एन तत्वों से आवास की संख्या के लिए सूत्र प्रदान करता है

हमारे मामले में ।

और इस श्रृंखला का अंतिम मामला। आप 6 से तीन छात्रों को कितने तरीके चुन सकते हैं? पहले छात्र को दूसरी विधियों में 6 चुना जा सकता है - तीसरे तरीकों में 5 - चार। लेकिन इन विकल्पों में से एक और छात्रों के एक ही शीर्ष 6 गुना पाए जाते हैं। सभी विकल्पों की संख्या खोजने के लिए, आपको मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है :. आम तौर पर, इस प्रश्न का उत्तर तत्वों द्वारा तत्वों से संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र देता है:

हमारे मामले में ।

शब्द गणित से समस्याओं की परिभाषा की परिभाषा के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1. संग्रह एड से। Yashchenko।

30 पाई की एक प्लेट पर: मांस के साथ 3, 18 गोभी के साथ और चेरी के साथ 9। यादृच्छिक पर साशा एक पाट चुनता है। संभावना का पता लगाएं कि यह चेरी के साथ होगा।

.

उत्तर: 0.3।

कार्य 2. संग्रह एड से। Yashchenko।

औसत 20 दोषपूर्ण पर 1000 प्रकाश बल्बों के प्रत्येक बैच में। संभावना का पता लगाएं कि यादृच्छिक रूप से पार्टी से प्रकाश बल्ब अच्छा होगा।

समाधान: अच्छी रोशनी की संख्या 1000-20 \u003d 9 80। फिर यह संभावना है कि पार्टी से लाया गया प्रकाश बल्ब अच्छा होगा:

उत्तर: 0.98।

यह संभावना है कि गणित छात्र यू में परीक्षण के तहत, 9 से अधिक कार्य 9 से अधिक कार्यों को 0.67 के बराबर हल करेंगे। संभावना है कि यू. 8 से अधिक कार्यों को सही ढंग से हल करेगा, 0.73 के बराबर। उस संभावना को ढूंढें कि यू। सही ढंग से 9 कार्यों को हल करेगा।

यदि हम एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष की कल्पना करते हैं और हम अंक 8 और 9 नोट करते हैं, तो हम इस स्थिति को देखेंगे "डब्ल्यू। इसे सही ढंग से 9 कार्यों को हल किया जाएगा "हालत में" डब्ल्यू। 8 से अधिक कार्यों को हल करने के लिए यह सही है, "लेकिन इस स्थिति पर लागू नहीं होता है" डब्ल्यू। यह निश्चित रूप से 9 से अधिक कार्यों को हल करेगा। "

हालांकि, स्थिति "यू। यह निश्चित रूप से 9 से अधिक कार्यों को हल करेगा "यू" में निहित है यह निश्चित रूप से 8 से अधिक कार्यों को हल करेगा। " इस प्रकार, अगर हम घटनाओं को दर्शाते हैं: "डब्ल्यू। यह बिल्कुल 9 कार्यों को हल करने के लिए सही है "- एक के माध्यम से," डब्ल्यू। यह सही ढंग से 8 कार्यों को हल करेगा "- बी के माध्यम से," डब्ल्यू। यह निश्चित रूप से सी के माध्यम से 9 से अधिक कार्यों को हल करेगा। समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर: 0.06।

ज्यामिति परीक्षा में, स्कूलबॉय परीक्षा मुद्दों की सूची से एक प्रश्न का उत्तर देता है। संभावना है कि यह "त्रिकोणमिति" विषय पर एक प्रश्न है 0.2 है। इस सवाल की संभावना है कि "बाहरी कोण" विषय पर यह प्रश्न 0.15 है। ऐसे प्रश्न जो इन दो विषयों को संदर्भित करते हैं, नहीं। संभावना को ढूंढें कि छात्र की परीक्षा में इन दो विषयों में से एक पर एक प्रश्न मिलेगा।

आइए सोचें कि हमारी घटनाओं को क्या दिया जाता है। हमें दो अधूरी घटनाएं दी जाती हैं। यही है, या तो सवाल इस विषय "त्रिकोणमिति" या विषय "बाहरी कोण" के लिए संदर्भित करेगा। संभाव्यता प्रमेय द्वारा, अपूर्ण घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के बराबर है, हमें इन घटनाओं की संभावनाओं का योग होना चाहिए, जो कि:

उत्तर: 0.35।

कमरा तीन दीपक के साथ लालटेन के साथ प्रकाशित किया गया है। वर्ष के दौरान एक दीपक तोड़ने की संभावना 0.2 9 है। संभावना का पता लगाएं कि वर्ष के दौरान कम से कम एक दीपक असफल हो जाएगा।

संभावित घटनाओं पर विचार करें। हमारे पास तीन प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक किसी भी अन्य प्रकाश बल्ब से स्वतंत्र रूप से दूर या अनलोड कर सकता है। ये स्वतंत्र घटनाएं हैं।

फिर हम ऐसी घटनाओं के लिए विकल्प निर्दिष्ट करते हैं। हम पदनाम स्वीकार करते हैं: - प्रकाश जलन, प्रकाश बल्ब जला दिया। और तुरंत, हम एक घटना की संभावना की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, एक घटना की संभावना जिसमें तीन स्वतंत्र घटनाएं "लाइट बल्ब जला" हैं, "लाइट बल्ब बर्न्स", "लाइट बल्ब बर्न्स": जहां घटना की संभावना "प्रकाश बल्ब" की गणना की संभावना के रूप में की जाती है घटना "लाइट बल्ब" के विपरीत घटना, अर्थात् :.

ध्यान दें कि हमारे पास केवल 7 की अनुकूल घटनाएं हैं। इस तरह की घटनाओं की संभावना प्रत्येक घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है :.

उत्तर: 0,975608।

आप नीचे दी गई तस्वीर में एक और कार्य की तलाश कर सकते हैं:

इस प्रकार, हम समझते हैं कि सूत्रों की संभावना का सिद्धांत और ईजीई संस्करण में मिलने वाली समस्याओं को हल करने के उदाहरणों को पूरा किया जा सकता है।

संभावना क्या है?

इस शब्द के साथ पहली बार, मैं समझ नहीं पाऊंगा कि यह क्या है। इसलिए, मैं उपलब्ध समझाने की कोशिश करूंगा।

संभावना एक मौका है कि जिस घटना की आपको आवश्यकता होगी।

उदाहरण के लिए, आपने किसी मित्र को जाने का फैसला किया, प्रवेश द्वार और यहां तक \u200b\u200bकि मंजिल भी याद रखना। लेकिन कमरे और अपार्टमेंट का स्थान भूल गया। और आप सीढ़ी पर खड़े हैं, और आपके सामने से चुनने के लिए दरवाजे हैं।

यदि आप पहले दरवाजे पर कॉल करते हैं तो क्या मौका (संभावना) है, क्या आप अपना दोस्त खोलेंगे? कुल अपार्टमेंट, और दोस्त केवल उनमें से एक के लिए रहता है। एक समान मौका के साथ, हम किसी भी दरवाजे का चयन कर सकते हैं।

लेकिन यह मौका क्या है?

दरवाजे, दरवाजा आप चाहते हैं। पहले दरवाजे को बुलाकर अनुमान लगाने की संभावना :. यही है, एक बार तीनों से आप निश्चित रूप से अनुमान लगाते हैं।

हम कॉलिंग समय से पता लगाना चाहते हैं, हम कितनी बार दरवाजे का अनुमान लगाएंगे? आइए सभी विकल्पों पर विचार करें:

1. आपने B. 1Y। एक दरवाजा
2. आपने B. 2Y एक दरवाजा
3. आपने B. 3y। एक दरवाजा

अब उन सभी विकल्पों पर विचार करें जहां एक दोस्त हो सकता है:

लेकिन अ। प्रति 1 मैं द्वार
बी प्रति 2Y द्वार
में। प्रति 3e द्वार

हम सभी विकल्पों की तुलना तालिका के रूप में करते हैं। चेकमार्क विकल्पों को इंगित करता है जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान के साथ मेल खाता है, तो क्रॉस - जब यह मेल नहीं खाता है।

जैसा कि आप सब कुछ देख सकते हैं संभवत: विकल्प किसी मित्र का स्थान और आपकी पसंद, कौन सा दरवाजा कॉल करने के लिए।

लेकिन अ अनुकूल परिणाम कुल . यही है, क्योंकि आप अनुमान लगा रहे हैं, एक बार दरवाजा बुलाओ, यानी। ।

यह संभावना है - एक अनुकूल परिणाम का अनुपात (जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान के साथ मेल खाता है) संभावित घटनाओं की संख्या में।

परिभाषा एक सूत्र है। संभावना पी को निरूपित करने के लिए बनाई गई है, इसलिए:

यह सूत्र बहुत सुविधाजनक नहीं है, इसलिए हम अनुकूल परिणामों की संख्या स्वीकार करेंगे, और इसके परिणामों की कुल संख्या है।

संभावना को प्रतिशत के रूप में दर्ज किया जा सकता है, इसके लिए आपको परिणामी परिणाम को गुणा करने की आवश्यकता है:

शायद, "परिणाम" शब्द आपके पास पहुंचा। चूंकि गणित विभिन्न कार्यों को बुलाते हैं (हमारे पास ऐसी कार्रवाई है - यह एक कॉल रिंगिंग है) प्रयोगों, तो ऐसे प्रयोगों का नतीजा परिणाम को बुलाए जाने के लिए परंपरागत है।

खैर, परिणाम अनुकूल और प्रतिकूल हैं।

आइए हमारे उदाहरण पर वापस जाएं। मान लीजिए हमने एक दरवाजे को बुलाया, लेकिन एक अपरिचित आदमी हमारे लिए खोला गया। हमने अनुमान नहीं लगा। संभावना क्या है कि यदि आप शेष दरवाजे में से एक को कॉल करते हैं, तो हम अपने दोस्त को खोलेंगे?

अगर आपने सोचा कि यह एक गलती है। चलो सौदा करते हैं।

हमारे पास दो दरवाजे हैं। इस प्रकार, हमारे पास संभावित कदम हैं:

1) कॉल 1-यूयू एक दरवाजा
2) में कॉल करें 2-यूयू एक दरवाजा

मित्र, इस सब के साथ, उनमें से एक के पीछे सटीक रूप से है (क्योंकि जिसे हमने बुलाया था, यह नहीं था):

ए) के लिए दोस्त 1 द्वार
b) प्रत्येक 2-ओ। द्वार

आइए फिर से एक टेबल खींचें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, विकल्प हैं, जिनमें से अनुकूल हैं। यही है, संभावना बराबर है।

क्यों नहीं?

जिस स्थिति में हमने माना - आश्रित घटनाओं का एक उदाहरण। पहली घटना दरवाजे पर पहली कॉल है, दूसरी घटना दूसरी घंटी है।

और आश्रित उन्हें बुलाया जाता है क्योंकि वे निम्नलिखित कार्यों को प्रभावित करते हैं। आखिरकार, अगर पहली कॉल के बाद, हमने दरवाजे में एक दोस्त खोला, तो यह संभावना होगी कि वह अन्य दो में से एक में है? सही, ।

लेकिन अगर आश्रित घटनाएं हैं, तो वहां होना चाहिए स्वतंत्र? सच है, वहाँ हैं।

पाठ्यपुस्तक का उदाहरण सिक्का का फेंक रहा है।

1. एक सिक्का समय फेंक दो। उदाहरण के लिए ईगल गिरता है कि संभावना क्या है? यह सही है - क्योंकि सभी के विकल्प (या तो ईगल, या रश, हम किनारे पर सिक्का की संभावना की उपेक्षा करेंगे), लेकिन केवल हमें व्यवस्था करता है।
2. लेकिन भीड़ बाहर गिर गई। ठीक है, फिर से फेंक दो। एक ईगल गिरने की संभावना क्या है? कुछ भी नहीं बदला है, सब कुछ समान है। कितने विकल्प? दो। और हम कितने सूट करते हैं? एक।

और एक पंक्ति में एक हज़ार बार एक भीड़ से बाहर निकल जाएगा। एक ईगल फॉलआउट की संभावना भी होगी। विकल्प हमेशा, और अनुकूल होते हैं -।

स्वतंत्र रूप से आश्रित घटनाओं को आसानी से अलग करें:

1. यदि प्रयोग एक बार किया जाता है (एक बार जब वे एक सिक्का फेंकते हैं, तो दरवाजे पर 1 बार कॉल, आदि), तो घटनाएं हमेशा स्वतंत्र होती हैं।
2. यदि प्रयोग कई बार किया जाता है (सिक्का को एक बार फेंक दिया जाता है, तो दरवाजा कई बार कहा जाता है), तो पहली घटना हमेशा स्वतंत्र होती है। और फिर, यदि अनुकूल या सभी परिणामों की संख्या में संख्या बदल रही है, तो घटनाएं निर्भर हैं, और यदि नहीं, स्वतंत्र हैं।

आइए संभावना को निर्धारित करने के लिए थोड़ा काट लें।

उदाहरण 1।

सिक्का को दो बार फेंक दिया जाता है। यह संभावना है कि ईगल लगातार दो बार गिरता है?

फेसला:

सभी संभावित विकल्पों पर विचार करें:

1. ईगल-ओरेल
2. ईगल-रश
3. रश-ओरेल
4. रस्क-रस्का।

जैसा कि आप पूरा विकल्प देख सकते हैं। इनमें से, हम केवल संतुष्ट हैं। यह संभावना है:

यदि स्थिति को आसानी से खोजने के लिए कहा जाता है, तो उत्तर दशमलव अंश के रूप में दिया जाना चाहिए। अगर यह संकेत दिया गया था कि उत्तर प्रतिशत के रूप में दिया जाना चाहिए, तो हम गुणा करेंगे।

उत्तर:

उदाहरण 2।

कैंडीज के एक बॉक्स में, सभी कैंडी एक ही लपेट में पैक की जाती हैं। हालांकि, कैंडी से - पागल के साथ, क्रिस्टी के साथ, चेरी के साथ, कारमेल और नूगॉय के साथ।

संभावना क्या है, एक कैंडी लेना, पागल के साथ कैंडी प्राप्त करें। उत्तर प्रतिशत में दें।

फेसला:

कितने संभावित परिणाम? ।

यही है, एक कैंडी लेना, यह मौजूदा बॉक्स में से एक होगा।

और कितने अनुकूल परिणाम?

क्योंकि बॉक्स में केवल पागल के साथ कैंडीज।

उत्तर:

उदाहरण 3।

गेंदों के एक बॉक्स में। उनमें से सफेद, - काला।

1. सफेद गेंद को खींचने की संभावना क्या है?
2. हमने बॉक्स में ब्लैक बॉल्स को जोड़ा। अब सफेद गेंद को खींचने की संभावना क्या है?

फेसला:

a) पूरी गेंदों के बॉक्स में। उनमें से सफेद।

संभावना है:

बी) अब बॉक्स में गेंदें बन गईं। और सफेद उतना ही बने रहे -।

उत्तर:

पूर्ण संभावना

सभी संभावित घटनाओं की संभावना () के बराबर है।

लाल और हरी गेंदों के दराज में मान लीजिए। एक लाल गेंद को खींचने की संभावना क्या है? ग्रीन बॉल? लाल या हरी गेंद?

संभावना एक लाल गेंद को खींचती है

ग्रीन बॉल:

लाल या हरी गेंद:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी संभावित घटनाओं का योग बराबर है ()। इस पल को समझने से आप कई कार्यों को हल करने में मदद करेंगे।

उदाहरण 4।

बॉक्स में लाइज़ मार्कर: हरा, लाल, नीला, पीला, काला।

लाल महसूस-टिप कलम खींचने की संभावना क्या है?

फेसला:

आइए विचार पर विचार करें अनुकूल परिणाम।

लाल महसूस-टिप कलम नहीं, इसका मतलब हरा, नीला, पीला या काला है।

यह संभावना नहीं होगी कि घटना घटित नहीं होगी जो घटना घटित होगी।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम

स्वतंत्र घटनाएं क्या हैं जिन्हें आप पहले से जानते हैं।

और यदि आपको संभावना को खोजने की ज़रूरत है कि दो (या अधिक) स्वतंत्र घटनाएं एक पंक्ति में होंगी?

मान लीजिए कि हम जानना चाहते हैं कि सिक्का समय फेंकने की संभावना क्या है, हम ईगल को दो बार देखेंगे?

हमने पहले ही सोचा था।

और यदि आप एक सिक्का समय फेंक देते हैं? ईगल को एक पंक्ति में देखने की संभावना क्या है?

कुल विकल्प:

1. ईगल
2. ईगल
3. ईगल
4. ईगल
5. ईगल
6. रश
7. ईगल रश
8. रस्क-रश

मुझे नहीं पता कि आप कैसे हैं, लेकिन मैं इस सूची को बनाने के लिए गलत था। वाह! और केवल विकल्प (पहले) हमें सूट करता है।

5 फेंकता के लिए, आप संभावित परिणामों की एक सूची बना सकते हैं। लेकिन गणित आपके जैसे मेहनती नहीं हैं।

इसलिए, उन्होंने पहली बार ध्यान दिया, और फिर साबित किया कि एक घटना की संभावना पर हर बार स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना कम हो जाती है।

दूसरे शब्दों में,

सभी समान, बीमार, सिक्के के उदाहरण पर विचार करें।

परीक्षण में एक ईगल की संभावना? । अब हम एक बार एक सिक्का फेंक देते हैं।

लगातार ईगल की संभावना क्या है?

यह नियम न केवल अगर हमें संभावना को खोजने के लिए कहा जाता है कि एक ही घटना एक पंक्ति में कई बार घटित होगी।

अगर हम नदी-ईगल के अनुक्रम को ढूंढना चाहते थे, तो एक पंक्ति में खोपड़ी, हम भी करेंगे।

गिरने की संभावना - ईगल -।

नदी-ईगल-नदी-नदी के अनुक्रम से बाहर निकलने की संभावना:

आप टेबल तक पहुंचने, खुद को देख सकते हैं।

अपूर्ण घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का नियम।

इसलिए रोका! नई परिभाषा।

चलो सौदा करते हैं। हमारे पहने हुए सिक्के को लें और इसे फेंक दें।
संभावित विकल्प:

1. ईगल
2. ईगल
3. ईगल
4. ईगल
5. ईगल
6. रश
7. ईगल रश
8. रस्क-रश

तो अपूर्ण घटनाएं, यह घटनाओं का एक निश्चित, निर्दिष्ट अनुक्रम है। - ये अपूर्ण घटनाएं हैं।

यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि दो (या अधिक) अपूर्ण घटनाओं की संभावना क्या है, हम इन घटनाओं की संभावना को फोल्ड करते हैं।

यह समझना आवश्यक है कि एक ईगल या रश का पतन दो स्वतंत्र घटनाएं हैं।

यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि अनुक्रम की संभावना कैसी है) (या कोई अन्य), फिर हम संभावनाओं के गुणा के नियम का उपयोग करते हैं।
ईगल के पहले फेंकने और दूसरी और तीसरी भीड़ के दौरान गिरने की संभावना क्या है?

लेकिन अगर हम जानना चाहते हैं कि कई अनुक्रमों में से एक को गिरने की संभावना क्या है, उदाहरण के लिए, जब ईगल बिल्कुल समय गिरता है, यानी। विकल्प और, हमें इन अनुक्रमों की संभावना को मोड़ना होगा।

कुल विकल्प, हमें सूट करते हैं।

हम प्रत्येक अनुक्रम की उपस्थिति की संभावना पैदा करके इसे प्राप्त कर सकते हैं:

इस प्रकार, जब हम कुछ, अपूर्ण, घटनाओं के अनुक्रमों की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं तो हम संभावना को फोल्ड करते हैं।

एक उत्कृष्ट नियम है जो गुणा होने पर भ्रमित होने में मदद करता है, और कब फोल्ड करने में मदद करता है:

आइए उदाहरण के लिए लौटें जब हमने सिक्का समय फेंक दिया, और हम ईगल टाइम्स को देखने की संभावना को जानना चाहते हैं।
क्या होने वाला है?

गिरना चाहिए:
(ईगल और रश एंड रश) या (रश एंड ईगल एंड रश) या (रश एंड रश एंड ईगल)।
तो यह पता चला है:

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 5।

बॉक्स में पेंसिल के साथ निहित है। लाल, हरा, नारंगी और पीला और काला। लाल या हरी पेंसिल खींचने की संभावना क्या है?

फेसला:

उदाहरण 6।

खेल की हड्डी को दो बार फेंक दिया जाता है, यह संभावना है कि 8 अंक राशि में गिरते हैं?

फेसला।

हम चश्मा कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

(ओं) या (और) या (और) या (और) या (और)।

एक (किसी भी) चेहरे को गिरने की संभावना।

हम संभावना पर विचार करते हैं:

व्यायाम।

मुझे लगता है कि अब जब आप उन्हें जोड़ते हैं, और गुणा करने के लिए जब आपको संभावनाओं पर विचार करने की आवश्यकता होती है तो अब यह आपके लिए स्पष्ट हो गया। है न? चलो थोड़ा अभ्यास करते हैं।

कार्य:

एक कार्ड डेक लें जिसमें कार्ड, चोटी, कीड़े, 13 केफ और 13 टैम्बोरिन्स। हर सूट के इक्का से।

1. एक पंक्ति में अल्पों को खींचने की संभावना क्या है (पहला बिंदीदार कार्ड हम डेक पर वापस आते हैं और मिश्रण करते हैं)?
2. एक काला नक्शा (चोटियों या trephies) खींचने की संभावना क्या है?
3. एक तस्वीर खींचने की संभावना क्या है (वार्टा, महिला, राजा या ऐस)?
4. एक पंक्ति में दो चित्र खींचने की संभावना क्या है (हम डेक से पहले बिंदीदार कार्ड को हटा देते हैं)?
5. संभावना क्या है, दो कार्ड लेते हैं, एक संयोजन एकत्र करते हैं - (मुद्रा, महिला या राजा) और अनुक्रम के ऐस जिसमें कार्ड खींचे जाएंगे, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

उत्तर:

यदि आप स्वयं सभी कार्यों को हल कर सकते हैं, तो आप एक बड़ा हैं! अब परीक्षा में संभावना के सिद्धांत पर चुनौतियां आप पागल की तरह क्लिक करेंगे!

सिद्धांत संभावना। औसत स्तर

एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हम एक खेल की हड्डी फेंक देते हैं। यह किस तरह की हड्डी है, आप जानते हैं? इसे किनारों पर संख्याओं के साथ घन कहा जाता है। कितने चेहरे, इतने सारे नंबर: कितना? इससे पहले।

तो, हम हड्डी फेंकते हैं और गिरना चाहते हैं या। और यह बाहर गिर जाता है।

संभावना सिद्धांत में, वे कहते हैं कि क्या हुआ अनुकूल घटना (समृद्ध के साथ भ्रमित मत करो)।

अगर यह गिर गया, तो घटना भी अनुकूल होगी। कुल केवल दो अनुकूल घटनाएं हो सकती हैं।

और कितना प्रतिकूल? संभव घटनाओं के बाद से, इसका मतलब है कि प्रतिकूल घटनाएं हैं (यह है कि यह बाहर गिरता है या)।

परिभाषा:

संभावना को सभी संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल घटनाओं की संख्या का अनुपात कहा जाता है।। यही है, संभावना दिखाती है कि सभी संभावित घटनाओं का अनुपात अनुकूल होने पर कौन सा अनुपात गिरता है।

एक लैटिन पत्र की संभावना को दर्शाता है (जाहिर है, अंग्रेजी शब्द संभावना से संभावना है)।

प्रतिशत में संभावना को मापने के लिए यह परंपरागत है (विषय देखें)। इसके लिए, संभाव्यता मूल्य को गुणा किया जाना चाहिए। एक खेल की हड्डी के साथ एक उदाहरण में, संभावना।

और प्रतिशत में :.

उदाहरण (खुद को हल करना):

1. एक सिक्का फेंकने पर संभावना क्या है ईगल? और कितनी संभावना है कि भीड़ कब गिर जाएगी?
2. एक खेल की हड्डी फेंकने पर संभावना क्या है एक संख्या भी गिर जाएगी? और विषम क्या है?
3. साधारण, नीले और लाल पेंसिल के बॉक्स में। यादृच्छिक टायंट एक पेंसिल पर। सरल खींचने की संभावना क्या है?

समाधान:

1. कितने विकल्प? ईगल और भीड़ - बस दो। और उनमें से कितने अनुकूल हैं? केवल एक - ईगल। इसलिए संभावना

   एक टोपी के साथ, वही :.

2. कुल विकल्प: (क्यूब के कितने किनारे, कई अलग-अलग विकल्प)। उनमें से अनुकूल: (ये सभी संख्या भी हैं :)।
   संभावना। विषम, स्वाभाविक रूप से, वही के साथ।
3. संपूर्ण: । अनुकूल :. संभावना :.

पूर्ण संभावना

हरे रंग के बक्से में सभी पेंसिल। लाल पेंसिल खींचने की संभावना क्या है? कोई मौका नहीं है: संभावना (सभी के बाद, अनुकूल घटनाओं -)।

इस तरह की एक घटना को असंभव कहा जाता है।

और एक हरी पेंसिल खींचने की संभावना क्या है? अनुकूल घटना बिल्कुल सब कुछ की घटनाओं के समान ही हैं (सभी घटनाएं अनुकूल हैं)। इसका मतलब है कि संभावना बराबर है या।

इस तरह की एक घटना को विश्वसनीय कहा जाता है।

यदि हरे और लाल पेंसिल के बॉक्स में, हरे या लाल को खींचने की संभावना क्या है? एक बार फिर। इस तरह की एक बात: हरे रंग को खींचने की संभावना बराबर है, और लाल है -।

योग में, ये संभावनाएं बिल्कुल बराबर होती हैं। अर्थात, सभी संभावित घटनाओं की संभावनाओं का योग बराबर है या।

उदाहरण:

एक पेंसिल बॉक्स में, उनमें से नीले, लाल, हरे, सरल, पीले, और बाकी नारंगी हैं। हरे रंग को खींचने की संभावना क्या है?

फेसला:

याद रखें कि सभी संभावनाओं को राशि में दिया जाता है। और हरे रंग को खींचने की संभावना बराबर है। इसका मतलब है कि संभावना हरे रंग के बराबर नहीं खींचती है।

इस तकनीक को याद रखें:यह संभावना है कि घटना शून्य के बराबर नहीं होगी कि घटना होने की संभावना कम होगी।

स्वतंत्र घटनाक्रम और गुणा नियम

आप एक सिक्का समय फेंकते हैं, और आप दोनों बार ईगल गिर गए। इसकी संभावना क्या है?

आइए सभी संभावित विकल्प चलाएं और निर्धारित करें कि उनमें से कितने हैं:

ईगल-ईगल, नदी-ईगल, ईगल-नदी, रशका-नदी। और क्या?

कुल विकल्प। केवल एक चीज हमारे लिए उपयुक्त है: ईगल ओरेल। कुल संभावना बराबर है।

अच्छा जी। और अब हम एक सिक्का समय फेंक देते हैं। खुद को शांत करो। हो गई? (उत्तर)।

आप देख सकते हैं कि प्रत्येक अगले फेंक के अतिरिक्त, संभावना कम हो गई है। सामान्य नियम कहा जाता है गुणा का नियम:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएं परिवर्तनीय हैं।

स्वतंत्र घटनाएं क्या हैं? सब कुछ तार्किक है: ये वे हैं जो एक-दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, जब हम कई बार एक सिक्का फेंकते हैं, तो एक नया फेंक उत्पादित होता है, जिसके परिणामस्वरूप पिछले सभी फेंकता पर निर्भर नहीं होता है। एक ही सफलता के साथ, हम एक ही समय में दो अलग-अलग सिक्के फेंक सकते हैं।

और ज्यादा उदाहरण:

1. खेल की हड्डी को दो बार फेंक दिया जाता है। क्या संभावना है कि दोनों बार गिरता है?
2. सिक्का फेंक दिया जाता है। यह संभावना है कि ईगल पहली बार गिरता है, और फिर दो बार भीड़?
3. खिलाड़ी दो हड्डियों को फेंकता है। संभावना क्या है कि उन पर संख्याओं की संख्या बराबर होगी?

उत्तर:

1. घटनाक्रम स्वतंत्र हैं, इसका मतलब है कि गुणा नियम कार्य करता है :.
2. ईगल की संभावना बराबर है। भीड़ की संभावना भी है। वैकल्पिक:
3. 12 केवल दो-तरीके गिरने पर काम कर सकते हैं :.

अपूर्ण घटनाएं और इसके अलावा नियम

अचूकता को घटनाओं कहा जाता है जो एक-दूसरे को पूर्ण संभावना तक पूरक नहीं करते हैं। यह उस नाम से स्पष्ट है कि वे एक साथ नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्का फेंकते हैं, तो यह या तो एक ईगल या एक भीड़ से बाहर हो सकता है।

उदाहरण।

एक पेंसिल बॉक्स में, उनमें से नीले, लाल, हरे, सरल, पीले, और बाकी नारंगी हैं। हरे या लाल को खींचने की संभावना क्या है?

फेसला ।

हरी पेंसिल खींचने की संभावना बराबर है। लाल -।

कुल में अनुकूल घटनाएं: हरा + लाल। इसका मतलब है कि संभावना हरे या लाल को खींचती है।

इस फॉर्म में एक ही संभावना का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है :.

यह अतिरिक्त का नियम है:अपूर्ण घटनाओं की संभावनाओं को तब्दील कर दिया जाता है।

मिश्रित प्रकार के कार्य

उदाहरण।

सिक्का को दो बार फेंक दिया जाता है। संभावना क्या है कि फेंकने का नतीजा अलग होगा?

फेसला ।

यह समझा जाता है कि यदि पहला ईगल गिर गया, तो दूसरा एक भीड़ होनी चाहिए, और इसके विपरीत। यह पता चला है कि स्वतंत्र घटनाओं के दो जोड़े हैं, और ये जोड़े एक दूसरे के साथ समझ में नहीं आ रहे हैं। कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे भ्रमित होना है जहां गुणा करना है, लेकिन कहां फोल्ड करना है।

ऐसी स्थितियों के लिए एक सरल नियम है। यह बताने की कोशिश करें कि यूनियनों की घटनाओं को जोड़कर क्या होना चाहिए "और" या "या"। उदाहरण के लिए, इस मामले में:

गिरना चाहिए (ईगल और रश) या (रशका और ईगल)।

जहां एक गठबंधन है "और", गुणा होगा, और कहां "या" - अतिरिक्त:

इसे स्वयं आज़माएं:

1. दो फेंकने वाले सिक्कों के साथ संभावना क्या है दोनों बार एक ही पक्ष गिरता है?
2. खेल की हड्डी को दो बार फेंक दिया जाता है। संभावनाएं क्या संभावनाएं आती हैं?

समाधान:

एक और उदाहरण:

एक सिक्का समय फेंक दो। यह संभावना है कि ईगल कम से कम एक बार गिरता है?

फेसला:

सिद्धांत संभावना। संक्षेप में मुख्य बात के बारे में

संभावना सभी संभावित घटनाओं की संख्या के अनुकूल घटनाओं की संख्या का अनुपात है।

स्वतंत्र घटनाक्रम

दो घटनाएं स्वतंत्र हैं यदि दूसरे की शुरुआत की एक संभावना की घटना में नहीं बदलता है।

पूर्ण संभावना

सभी संभावित घटनाओं की संभावना () के बराबर है।

यह संभावना नहीं होगी कि घटना घटित नहीं होगी जो घटना घटित होगी।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम

स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है।

अमान्य घटनाक्रम

अधूरा वह घटना है जो प्रयोग के परिणामस्वरूप एक साथ नहीं हो सकती हैं। कई अपूर्ण घटनाएं घटनाओं का एक पूर्ण समूह बनाती हैं।

अपूर्ण घटनाओं की संभावनाओं को तब्दील कर दिया जाता है।

"और" या "या", "के बजाय" और "के बजाय" या "के बजाय," या "या" के बजाय, "या" या "का उपयोग करना चाहिए।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। यदि आप इन पंक्तियों को पढ़ते हैं, तो आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग अपने आप पर कुछ मास्टर करने में सक्षम हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इन 5% में आ गए!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात है।

आपने इस विषय पर सिद्धांत को समझ लिया। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने साथियों के पूर्ण बहुमत से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

उपयोग के सफल उत्तीर्ण के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जीवन के लिए।

मैं तुम्हें कुछ भी मनाने नहीं दूंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा ...

जिन लोगों को अच्छी शिक्षा मिली है, वे उन लोगों की तुलना में अधिक कमाते हैं जो इसे प्राप्त नहीं करते थे। ये आंकड़े हैं।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

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निष्कर्ष के तौर पर...

यदि हमारे कार्य पसंद नहीं करते हैं, तो दूसरों को ढूंढें। बस सिद्धांत पर मत रोको।

"मैं समझता हूं" और "मैं तय कर सकता हूं" पूरी तरह से अलग कौशल है। आपको दोनों की जरूरत है।

कार्य का पता लगाएं और फैसला करें!

खंड 1. यादृच्छिक घटनाएं (50 घंटे)

पार्ट-टाइम लर्निंग के छात्रों के लिए थीमैटिक अनुशासन योजना

प्रशिक्षण के छात्रों के लिए विषयगत अनुशासन योजना

2.3। संरचनात्मक और तार्किक अनुशासन योजना

गणित भाग 2। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी सिद्धांत के तत्व

धारा 1 यादृच्छिक घटनाएं

गणितीय आंकड़ों के खंड 3 तत्व

धारा 2 यादृच्छिक मान

2.5। व्यावहारिक ब्लॉक

2.6। बैलरी रेटिंग प्रणाली

अनुशासन के सूचना संसाधन

ग्रंथसूची सूची मुख्य:

3.2। "गणित भाग 2 की दर पर समर्थन कॉम्पैक्शन। गणितीय आंकड़ों के संभाव्यता और तत्वों का सिद्धांत "परिचय

खंड 1. यादृच्छिक घटनाक्रम

1.1। एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा

1.1.1। सेट के सिद्धांत से जानकारी

1.1.2। प्राथमिक घटनाओं का स्थान

1.1.3। घटनाओं का वर्गीकरण

1.1.4। घटनाओं की राशि और कार्य

1.2। यादृच्छिक घटनाओं की संभावना।

1.2.1। सापेक्ष घटना आवृत्ति, संभाव्यता सिद्धांत सिद्धांत। शास्त्रीय संभावना परिभाषा

1.2.2। संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा

कॉम्बिनेटोरियल विश्लेषण के तत्वों के माध्यम से किसी घटना की संभावना की गणना

1.2.4। घटनाओं की संभावना की गुण

1.2.5। स्वतंत्र घटनाक्रम

1.2.6। डिवाइस के मुसीबत मुक्त संचालन की संभावना की गणना

घटनाओं की संभावना की गणना के लिए सूत्र

1.3.1। स्वतंत्र परीक्षण अनुक्रम (बर्नौली योजना)

1.3.2। एक घटना की सशर्त संभावना

1.3.4। पूर्ण संभावना और बेयस फॉर्मूला का सूत्र

धारा 2. यादृच्छिक चर

2.1। यादृच्छिक चर का विवरण

2.1.1। एक यादृच्छिक चर सेट करने के निर्धारण और तरीके संभाव्यता के सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक यादृच्छिक चर की अवधारणा है। यादृच्छिक चर के कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

एक यादृच्छिक राशि निर्धारित करने के लिए, आपको अपने वितरण कानून को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। यादृच्छिक चर ग्रीक अक्षरों , , , और उनके संभावित मूल्यों द्वारा निरूपित करने के लिए किए जाते हैं - इंडेक्स, यी, ज़ी के साथ लैटिन पत्र।

2.1.2। असतत यादृच्छिक चर

सभी प्राथमिक घटनाओं वाले एआई घटनाओं पर विचार करें, जो xi मान के कारण:

चलो पीआई एआई घटना की संभावना को दर्शाता है:

2.1.3। निरंतर यादृच्छिक चर

2.1.4। वितरण समारोह और गुण

2.1.5। संभाव्यता वितरण और इसकी गुणों की घनत्व

2.2। यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं

2.2.1। एक यादृच्छिक चर की गणितीय उम्मीद

2.2.2। यादृच्छिक चर का फैलाव

2.2.3। यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण

2.2.4। द्विपद वितरण

2.2.5। पॉसों वितरण

धारा 3. गणितीय सांख्यिकी के तत्व

3.1। मुख्य परिभाषाएं

बार ग्राफ

3.3। वितरण मानकों के बिंदु अनुमान

मूल अवधारणा

गणितीय अपेक्षा और फैलाव के बिंदु आकलन

3.4। अंतराल अनुमान

अंतराल आकलन की अवधारणा

अंतराल अनुमानों का निर्माण

मूल सांख्यिकीय वितरण

सामान्य वितरण की गणितीय अपेक्षा का अंतराल अनुमान

सामान्य वितरण की भिन्नता का अंतराल मूल्यांकन

निष्कर्ष

शब्दकोष

4. प्रयोगशाला के काम के लिए विधिवत निर्देश

ग्रंथसूचीन सूची

प्रयोगशाला कार्य 1 यादृच्छिक चर का विवरण। संख्यात्मक विशेषताएं

प्रयोगशाला कार्य करने के लिए प्रक्रिया

प्रयोगशाला कार्य 2 मुख्य परिभाषाएं। नमूनाकरण प्रणालीकरण। स्पेसिंग वितरण पैरामीटर। अंतराल अनुमान।

वितरण के रूप में सांख्यिकीय परिकल्पना की अवधारणा

प्रयोगशाला कार्य करने के लिए प्रक्रिया

सेल कोड मूल्य

5. परीक्षण के लिए परीक्षण कार्य कार्य करने के लिए विधिवत निर्देश

परीक्षण कार्य और उनकी संभावना के प्रदर्शन के लिए विधिवत दिशानिर्देश

यादृच्छिक चर

औसत वर्गिक विचलन

गणितीय आंकड़ों के तत्व

6. अनुशासन विकास नियंत्रण इकाई

पाठ्यक्रम में परीक्षा के लिए प्रश्न "गणित भाग 2। गणितीय आंकड़ों के संभाव्यता और तत्वों का सिद्धांत "

तालिका बी की निरंतरता।

तालिका बी का अंत।

समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या

सामग्री

खंड 1. यादृच्छिक घटनाएं ............................................. ... अठारह

धारा 2। यादृच्छिक चर .. .............................. ... .. 41

धारा 3. गणितीय आंकड़ों के तत्व ................ 64।

4. प्रयोगशाला के कार्यान्वयन के लिए विधिवत निर्देश

5. नियंत्रण के निष्पादन के लिए विधिवत निर्देश

1. घटनाओं की संभावना की गणना के लिए सूत्र

1.3.1। स्वतंत्र परीक्षण अनुक्रम (बर्नौली योजना)

मान लीजिए कि कुछ प्रयोग एक ही परिस्थितियों के साथ बार-बार किया जा सकता है। इस अनुभव का उत्पादन करने दें एन एक बार, यानी, एक अनुक्रम से किया जाता है एन परीक्षण।

परिभाषा। अनुक्रम एन परीक्षण कहा जाता है पारस्परिक रूप से स्वतंत्र यदि इस परीक्षण से जुड़ी कोई भी घटना अन्य परीक्षणों से संबंधित किसी भी घटना पर निर्भर नहीं है।

मान लीजिए ए। संभावना के साथ हो सकता है पी एक परीक्षण के परिणामस्वरूप या संभावना के साथ नहीं होता है प्र= 1- पी.

परिभाषा . अनुक्रम है एनयदि निम्न स्थितियां की जाती हैं तो परीक्षण बर्नौली योजना बनाते हैं:

अनुक्रम एन परीक्षण पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं

2) एक घटना की संभावना ए। परीक्षण से परीक्षण में भिन्न नहीं होता है और परिणामों पर अन्य परीक्षणों में निर्भर नहीं करता है।

प्रतिस्पर्धा ए। वे परीक्षण की "सफलता" कहते हैं, और विपरीत घटना "विफलता" है। एक घटना पर विचार करें

\u003d (B. एन परीक्षण रिवेन हुआ म। "सफलता")।

इस घटना की संभावना की गणना करने के लिए, बर्नौली फॉर्मूला मान्य है

पी() =
, म। = 1, 2, …, एन , (1.6)

कहा पे - संयोजनों की संख्या एन में तत्व म। :

=
=
.

उदाहरण 1.16। क्यूब्स तीन बार फेंकते हैं। ढूँढ़ने के लिए:

ए) संभावना है कि 6 अंक दो बार गिर जाएंगे;

बी) संभावना है कि छक्के की संख्या दो गुना से अधिक दिखाई नहीं देगी।

फेसला . "सफलता" परीक्षणों को 6 अंकों की छवि के साथ चेहरे के घन पर गिरने के लिए माना जाएगा।

ए) परीक्षणों की कुल संख्या - एन\u003d 3, "सफलता" की संख्या - म। \u003d 2. "सफलता" की संभावना - पी=, और "विफलता" की संभावना - प्र\u003d 1 - \u003d। फिर, बर्नौली फॉर्मूला के अनुसार, संभावना है कि छह अंकों के पक्ष में दो बार घन के तीन बार कास्टिंग का परिणाम गिर जाएगा, इसके बराबर होगा

.

b) द्वारा निरूपित लेकिन अ यह घटना जो इस तथ्य में निहित है कि अंक 6 की संख्या के साथ चेहरा दो गुना से अधिक नहीं दिखाई देगा। तब घटना का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है तीन असंगतताओं का योग आयोजन ए \u003d।
,

कहा पे में 3 0 - एक घटना जब ब्याज की रेखा कभी प्रकट नहीं होती है,

में 3 1 - घटना जब ब्याज का चेहरा एक बार दिखाई देगा,

में 3 2 - घटना जब ब्याज का चेहरा दो बार दिखाई देगा।

बर्नौली फॉर्मूला (1.6) के अनुसार हम पाते हैं

पी(लेकिन अ) \u003d पी (
) = पी(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2। एक घटना की सशर्त संभावना

सशर्त संभावना एक घटना के प्रभाव को दूसरे की संभावना पर दर्शाती है। उन शर्तों को बदलना जिसमें प्रयोग किया जाता है, भी प्रभावित होता है

एक दिलचस्प घटना की उपस्थिति की संभावना।

परिभाषा। रहने दो ए। तथा बी - कुछ घटनाएं, और संभावना पी(बी)> 0.

सशर्त संभाव्यता आयोजन ए। प्रदान की गई "घटना बी पहले सेऐसा हुआ "इन घटनाओं के एक उत्पाद की संभावना का अनुपात कहा गया है कि जिस घटना की घटना की तुलना में पहले हुई घटना की तुलना में पहले हुई थी। सशर्त संभावना के रूप में संकेत दिया जाता है पी(ए। बी). फिर परिभाषा के अनुसार

पी (ए।  बी) =
. (1.7)

उदाहरण 1.17। दो क्यूब्स फेंक देते हैं। प्राथमिक घटनाओं की जगह में संख्याओं के आदेशित जोड़े होते हैं

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

उदाहरण 1.16 यह पाया गया कि घटना ए। \u003d (पहले घन पर चश्मे की संख्या\u003e 4) और घटना सी। \u003d (अंक की मात्रा 8 है) निर्भर। रिश्ते के बीच

.

इस संबंध को निम्नानुसार व्याख्या किया जा सकता है। मान लीजिए कि पहले फेंकने का नतीजा यह ज्ञात है कि पहले घन पर अंक की संख्या\u003e 4. यह इस प्रकार है कि दूसरे घन की कास्टिंग घटना का गठन करने वाले 12 परिणामों में से एक हो सकती है ए।:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

एक ही समय में एक घटना सी। उनमें से केवल दो (5.3) (6.2) के अनुरूप हो सकते हैं। इस मामले में, एक घटना की संभावना सी। बराबर होगा
। इस प्रकार, किसी घटना की घटना के बारे में जानकारी ए। एक घटना की संभावना को प्रभावित किया सी।.

घटनाओं के काम की संभावना

गुणन प्रमेय

घटनाओं के काम की संभावनाए। 1 ए। 2  ए। एन सूत्र निर्धारित है

पी(ए। 1 ए। 2  ए। एन) \u003d पी।(ए। 1) पी(ए। 2  ए। 1)) पी(ए। एन  ए। 1 ए। 2  ए। एन- 1). (1.8)

दो घटनाओं के काम के लिए, यह इस प्रकार है

पी(अब) \u003d पी।(ए। बी) पी।{बी) \u003d पी।(बी ए।) पी{ए।). (1.9)

उदाहरण 1.18। 25 उत्पादों के 5 उत्पादों के एक बैच में दोषपूर्ण। दो उत्पादों को लगातार चुना जाता है। संभावना निर्धारित करें कि सभी चयनित उत्पाद दोषपूर्ण हैं।

फेसला। घटनाओं को दर्शाता है:

ए। 1 \u003d (पहला उत्पाद दोषपूर्ण),

ए। 2 \u003d (दूसरा उत्पाद दोषपूर्ण है),

ए। 3 \u003d (तीसरा उत्पाद दोषपूर्ण),

ए। \u003d (सभी उत्पाद दोषपूर्ण हैं)।

प्रतिस्पर्धा लेकिन अ तीन घटनाओं का काम है ए। = ए। 1 ए। 2 ए। 3 .

गुणा प्रमेय से (1.6) प्राप्त करें

पी(ए।) \u003d पी ( ए। 1 ए। 2 ए। 3 ) = पी(ए। 1) पी(ए। 2  ए। 1))पी(ए। 3  ए। 1 ए। 2).

शास्त्रीय संभाव्यता परिभाषा आपको खोजने की अनुमति देती है पी(ए। 1) उत्पादों की कुल संख्या में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या का अनुपात है:

पी(ए। 1)= ;

पी(ए। 2) – यह है शेष उत्पादों की कुल संख्या के लिए, एक के जब्त के बाद शेष दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या का अनुपात:

पी(ए। 2  ए। 1))= ;

पी(ए। 3) है शेष उत्पादों की कुल संख्या के लिए, दो दोषपूर्ण के जब्त के बाद शेष दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या का अनुपात:

पी(ए। 3  ए। 1 ए। 2)=.

फिर एक घटना की संभावना ए। बराबर होगा

पी(ए।) ==
.

कई, "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा के साथ सामना किया, यह सोचकर कि यह असहनीय, बहुत जटिल है। लेकिन सब कुछ वास्तव में इतना दुखद नहीं है। आज हम विशिष्ट उदाहरणों पर समस्याओं को हल करने के लिए सीखने की मूल अवधारणा पर विचार करेंगे।

विज्ञान

"संभाव्यता सिद्धांत" जैसे गणित के इस तरह के एक खंड का अध्ययन क्या है? यह पैटर्न और मूल्यों को नोट करता है। पहली बार इस सवाल के लिए, वैज्ञानिकों को अठारहवीं शताब्दी में दिलचस्पी थी, जब जुआ का अध्ययन किया गया था। संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है। यह कोई तथ्य है जो अनुभव या अवलोकन से कहा जाता है। लेकिन अनुभव क्या है? संभाव्यता सिद्धांत की एक और बुनियादी अवधारणा। इसका मतलब है कि परिस्थितियों की यह संरचना मौका से नहीं बनाई गई है, लेकिन एक निश्चित लक्ष्य के साथ। अवलोकन के लिए, यहां शोधकर्ता स्वयं अनुभव में भाग नहीं लेता है, लेकिन बस डेटा घटनाओं को देखता है, वह प्रभावित नहीं करता है कि क्या हो रहा है।

आयोजन

हमने सीखा कि संभावना के सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है, लेकिन वर्गीकरण नहीं माना जाता है। उन सभी को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया गया है:

• विश्वसनीय।
• असंभव।
• यादृच्छिक।

इस पर ध्यान दिए बिना कि किस घटनाओं को देखा जाता है या अनुभव के दौरान बनाया जाता है, वे सभी इस वर्गीकरण के अधीन हैं। हम प्रत्येक प्रकार की प्रजातियों को अलग से परिचित होने के लिए पेश करते हैं।

विश्वसनीय घटना

यह वह परिस्थिति है जिसके लिए घटनाओं का आवश्यक सेट बनाया जाता है। सार में बेहतर होने के लिए, कुछ उदाहरण लाने के लिए बेहतर है। भौतिकी और रसायन विज्ञान, और अर्थशास्त्र, और उच्च गणित इस कानून के अधीन हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में एक विश्वसनीय घटना के रूप में ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणा शामिल है। हम उदाहरण देते हैं:

• हम काम करते हैं और मजदूरी के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करते हैं।
• अच्छी तरह से परीक्षा उत्तीर्ण की गई, प्रतियोगिता आयोजित की गई, हमें एक शैक्षिक संस्थान में प्रवेश के रूप में इसके लिए एक इनाम मिलता है।
• यदि आवश्यक हो, तो हमने बैंक में पैसा निवेश किया है, हम उन्हें वापस प्राप्त करते हैं।

ऐसी घटनाएं विश्वसनीय हैं। अगर हमने सभी आवश्यक शर्तों को पूरा किया है, तो हम निश्चित रूप से अपेक्षित परिणाम प्राप्त करेंगे।

असंभव घटनाक्रम

अब हम संभावना के सिद्धांत के तत्वों पर विचार करते हैं। हम अगले प्रकार की घटना के स्पष्टीकरण पर जाने का प्रस्ताव करते हैं, अर्थात् असंभव है। शुरू करने के लिए, हम सबसे महत्वपूर्ण नियम पर चर्चा करेंगे - असंभव घटना की संभावना शून्य है।

इस फार्मूलेशन से, समस्याओं को हल करते समय पीछे हटना असंभव है। समझाने के लिए, हम ऐसी घटनाओं के उदाहरण देते हैं:

• एक तापमान प्लस दस पर जमे हुए पानी (यह असंभव है)।
• कोई भी बिजली उत्पादन को प्रभावित नहीं करती है (यह पिछले उदाहरण में भी असंभव है)।

अधिक उदाहरण नहीं दिए जाने चाहिए, जैसा कि ऊपर वर्णित वर्णित इस श्रेणी के सार को दर्शाता है। किसी भी परिस्थिति के दौरान असंभव घटना कभी नहीं होगी।

यादृच्छिक घटनाक्रम

संभावना के सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन, इस प्रकार की घटनाओं को विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। यह वे हैं कि यह विज्ञान अध्ययन। अनुभव के परिणामस्वरूप, कुछ हो सकता है या नहीं। इसके अलावा, परीक्षण को असीमित संख्या में किया जा सकता है। उज्ज्वल उदाहरण सेवा कर सकते हैं:

• सिक्कों की एक कलाकार एक अनुभव, या परीक्षण है, एक ईगल गिरने एक घटना है।
• एक गेंद को अंधेरे से खींचना - एक परीक्षण, एक लाल गेंद पकड़ा - यह एक घटना है और इसी तरह।

ऐसे उदाहरण असीमित मात्रा हो सकते हैं, लेकिन, सामान्य रूप से, सार स्पष्ट होना चाहिए। घटनाओं पर प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में और व्यवस्थित करने के लिए, एक तालिका दी जाती है। संभाव्यता अध्ययन का सिद्धांत केवल सभी प्रस्तुत किए गए सभी का अंतिम दृश्य है।

नाम	परिभाषा
विश्वसनीय	कुछ शर्तों का अनुपालन करते समय 100% गारंटी के साथ होने वाली घटनाएं।	प्रवेश परीक्षा के अच्छे आत्मसमर्पण के साथ एक शैक्षिक संस्थान में प्रवेश।
असंभव	ऐसी घटनाएं जो किसी भी परिस्थिति में कभी नहीं होंगी।	हवा के तापमान और तीस डिग्री सेल्सियस पर बर्फ है।
बिना सोचे समझे	एक घटना जो प्रयोग / परीक्षण के दौरान हो सकती है या नहीं।	एक बास्केटबॉल गेंद को एक अंगूठी में फेंकते समय खुफिया या याद आती है।

कानून

संभाव्यता सिद्धांत एक ऐसा विज्ञान है जो किसी भी घटना को बाहर निकालने की क्षमता का अध्ययन करता है। दूसरों की तरह, इसमें कुछ नियम हैं। संभाव्यता सिद्धांत के निम्नलिखित कानून मौजूद हैं:

• यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण।
• बड़ी संख्या का कानून।

जटिल की संभावना की गणना करते समय, आप परिणाम को आसान और तेज़ी से प्राप्त करने के लिए सरल घटनाओं के एक परिसर का उपयोग कर सकते हैं। ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत के कानून कुछ प्रमेय का उपयोग करके आसानी से साबित हुए हैं। हम पहले कानून से परिचित होने के लिए शुरू करने की पेशकश करते हैं।

यादृच्छिक चर का अभिसरण

ध्यान दें कि अभिसरण प्रजातियां कुछ हद तक हैं:

• यादृच्छिक चर का अनुक्रम संभावना से वांछित है।
• लगभग असंभव।
• आर मीन-स्क्वायर अभिसरण।
• वितरण अभिसरण।

तो, गर्मियों के साथ, सार में भ्रम करना बहुत मुश्किल है। हम परिभाषाएं देते हैं जो इस विषय को समझने में मदद करेंगे। पहले दृश्य से शुरू करने के लिए। अनुक्रम कहा जाता है अक्सर संभावना की तरहयदि निम्न स्थिति देखी जाती है: एन अनंतता में जाता है, जिस नंबर पर अनुक्रम प्रयास कर रहा है, अधिक शून्य और एक के अनुमानित है।

निम्नलिखित रूप में जाएं लगभग शायद। ऐसा कहा जाता है कि अनुक्रम अभिसरण करता है लगभग शायद एन के लिए एक यादृच्छिक चर के लिए, अनंतता के लिए प्रयास कर रहा है, और पी, परिमाण के लिए प्रयास कर रहे हैं।

अगला प्रकार है अभिसरण देहाती है। एसके-अभिसरण का उपयोग करते समय, वेक्टर यादृच्छिक प्रक्रियाओं का अध्ययन उनके समन्वय यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में कम हो जाता है।

अंतिम प्रकार बने रहे, आइए संक्षेप में समझें और यह कार्यों को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने के लिए। वितरण के अभिसरण का एक और नाम है - "कमजोर", फिर क्यों समझाएं। कमजोर अभिसरण - ये सीमा वितरण समारोह के सभी स्थान बिंदुओं पर वितरण कार्यों का अभिसरण हैं।

वादे को पूरा करना सुनिश्चित करें: कमजोर अभिसरण सभी सभी तथ्य से अलग है कि यादृच्छिक मूल्य संभाव्य स्थान पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह संभव है क्योंकि स्थिति वितरण कार्यों का उपयोग पूरी तरह से बनाई गई है।

बड़ी संख्या का कानून

इस कानून के सबूत में उत्कृष्ट सहायक संभावना के सिद्धांत के सिद्धांत होंगे, जैसे कि:

• Chebyshev असमानता।
• Chebyshev प्रमेय।
• सामान्यीकृत chebyshev प्रमेय।
• मार्कोव के प्रमेय।

अगर हम इन सभी प्रमेय पर विचार करते हैं, तो यह समस्या कई बड़ी चादरों में देरी कर सकती है। हमारे पास मुख्य कार्य भी है - यह अभ्यास में संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग है। हम आपको अभी पेश करते हैं और ऐसा करते हैं। लेकिन इससे पहले, संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांतों पर विचार करें, समस्याओं को हल करते समय वे मुख्य सहायक होंगे।

अभिगृहीत

पहले से ही हम पहले ही मिल चुके हैं जब उन्होंने असंभव घटना के बारे में बात की थी। आइए याद रखें: असंभव घटना की संभावना शून्य है। उदाहरण हम बहुत उज्ज्वल और यादगार लाया: बर्फ तीस डिग्री सेल्सियस के हवा के तापमान पर गिर गया।

निम्नानुसार दूसरी आवाज: एक विश्वसनीय घटना एक के बराबर संभावना के साथ होती है। अब हम दिखाते हैं कि इसे गणितीय भाषा की मदद से कैसे लिखना है: पी (सी) \u003d 1।

तीसरा: यादृच्छिक घटना हो सकती है या नहीं, लेकिन हमेशा शून्य से एक तक भिन्न होती है। एक के लिए मूल्य के करीब, संभावना अधिक है; यदि मूल्य शून्य तक पहुंच रहा है, तो संभावना बहुत छोटी है। हम इसे गणितीय भाषा में लिखते हैं: 0<Р(С)<1.

अंतिम, चौथे सिद्धांत पर विचार करें, जो इस तरह लगता है: दो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावना के योग के बराबर है। हम गणितीय भाषा लिखते हैं: पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी)।

संभाव्यता सिद्धांत के असोम सबसे सरल नियम हैं जिन्हें याद रखना मुश्किल नहीं होगा। आइए पहले से प्राप्त ज्ञान पर भरोसा करते हुए कुछ कार्यों को हल करने का प्रयास करें।

लॉटरी टिकट

शुरू करने के लिए, सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें - लॉटरी। कल्पना कीजिए कि आपने शुभकामनाओं के लिए एक लॉटरी टिकट खरीदा है। यह संभावना है कि आप कम से कम बीस rubles जीतेंगे? एक हजार टिकट परिसंचरण में शामिल हैं, जिनमें से एक में पांच सौ रूबल, दस सौ रूबल, पचास-बीस रूबल, और सौ पांच में पुरस्कार है। संभावना के सिद्धांत पर कार्य शुभकामनाएं का अवसर खोजने के आधार पर हैं। अब हम प्रस्तुत किए गए कार्यों के ऊपर समाधान का विश्लेषण करेंगे।

यदि हम पत्र हैं और पांच सौ रूबल की जीत को निरूपित करते हैं, तो गिरने की संभावना 0.001 के बराबर होगी। हमने इसे कैसे प्राप्त किया? आपको बस अपनी संख्या साझा करने के लिए "खुश" टिकटों की संख्या साझा करने की आवश्यकता है (इस मामले में: 1/1000)।

बी सौ rubles की जीत है, संभावना 0.01 के बराबर होगी। अब हमने पिछले एक्शन (10/1000) के समान सिद्धांत पर कार्य किया

सी - जीत बीस rubles के बराबर हैं। हमें संभावना मिलती है, यह 0.05 के बराबर होती है।

शेष टिकटों में कोई दिलचस्पी नहीं है, क्योंकि उनके पुरस्कार पूल स्थिति में निर्दिष्ट से कम है। चौथे वसंत लागू करें: कम से कम बीस rubles जीतने की संभावना पी (ए) + पी (सी) + पी (सी) है। पत्र पी को इस घटना की उत्पत्ति की संभावना से दर्शाया गया है, हमने उन्हें पहले से ही पिछले कार्यों में पाया है। यह केवल आवश्यक डेटा को फोल्ड करने के लिए बनी हुई है, हमें जवाब में 0.061 मिलते हैं। यह संख्या है और कार्य के सवाल का जवाब होगा।

ताश की गड्डी

संभावना के सिद्धांत पर कार्य अधिक जटिल हैं, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कार्य करें। इससे पहले कि आप छत्तीस कार्डों में से एक डेक करें। आपका काम एक ढेर को हलचल किए बिना एक पंक्ति में दो नक्शे खींचना है, पहले और दूसरे कार्ड एसेस होना चाहिए, सूट में कुछ भी नहीं है।

शुरू करने के लिए, हमें संभावना है कि पहला कार्ड छत्तीस के लिए इस चार विभाजन के लिए पहला कार्ड होगा। उसे एक तरफ स्थगित कर दिया। दूसरा कार्ड दें, यह तीन तीस पांचवें की संभावना के साथ होगा। दूसरी घटना की संभावना इस बात पर निर्भर करती है कि हमने पहले किस मानचित्र को खींच लिया था, हम आश्चर्य करते हैं, यह ऐस था या नहीं। यह इस प्रकार है कि घटना घटना ए पर निर्भर करती है।

अगली कार्रवाई हमें एक साथ कार्यान्वयन की संभावना मिलती है, यानी, एक फोल्डिंग ए और बी के साथ उनका काम निम्नानुसार है: एक घटना की संभावना दूसरे की सशर्त संभावना पर गुणा करती है, जिसे हम गणना करते हैं, मानते हुए कि पहली घटना हुई थी , यानी, हमने पहले ऐस को खींच लिया।

सबकुछ स्पष्ट होने के लिए, हम घटनाओं के रूप में इस तरह के तत्व को पदनाम देते हैं। इसकी गणना की जाती है, यह मानते हुए कि घटना क्या हुई है। इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है: पी (वी / ए)।

आइए हम अपनी समस्या का समाधान जारी रखें: पी (ए * सी) \u003d पी (ए) * पी (इन / ए) या पी (ए * सी) \u003d पी (सी) * पी (ए / सी)। संभावना बराबर (4/36) * ((3/35) / (4/36)। गणना, सौवें के लिए गोल। हमारे पास है: 0.11 * (0.0 9 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09। संभावना हम एक पंक्ति में दो इक्के का विस्तार करते हैं नौ सौवें। मूल्य बहुत छोटा है, यह इस प्रकार है कि घटना की संभावना बहुत छोटी है।

भूल

हम उन कार्यों के लिए कई और विकल्पों को अलग करने का प्रस्ताव करते हैं जो संभाव्यता के सिद्धांत का अध्ययन करते हैं। उनमें से कुछ को हल करने के उदाहरण आप इस लेख में पहले से ही देख चुके हैं, निम्नलिखित कार्य को हल करने का प्रयास करें: लड़का अपने दोस्त के फोन नंबर का आखिरी अंक भूल गया, लेकिन चूंकि कॉल बहुत महत्वपूर्ण था, फिर बदले में सबकुछ भर्ती करना शुरू कर दिया । हमें संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि यह तीन बार से अधिक नहीं कॉल करेगा। समस्या की समस्या सबसे सरल है, अगर संभाव्यता के सिद्धांत के नियम, कानून और सिद्धांतों को जाना जाता है।

समाधान देखने से पहले, खुद को हल करने का प्रयास करें। हम जानते हैं कि अंतिम अंक शून्य से नौ तक हो सकता है, यानी, केवल दस मूल्य हैं। वांछित टाइप करने की संभावना 1/10 है।

इसके बाद, हमें घटना की उत्पत्ति के विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है, मान लीजिए कि लड़का अनुमान लगाया और तुरंत आवश्यक प्राप्त किया, ऐसी घटना की संभावना 1/10 है। दूसरा विकल्प: पर्ची की पहली घंटी, और दूसरा लक्ष्य के लिए। इस तरह की घटना की संभावना की गणना करें: 9/10 1/9 से गुणा करें, नतीजतन हमें 1/10 भी मिलता है। तीसरा विकल्प: पहली और दूसरी कॉल पते पर नहीं थी, केवल तीसरे लड़के से वहां वहां पहुंचा जहां वह चाहता था। इस तरह की घटना की संभावना की गणना करें: 9/10 8/9 और 1/8 को गुणा करें, परिणामस्वरूप हमें 1/10 मिलता है। कार्य की स्थिति के तहत अन्य विकल्पों में कोई दिलचस्पी नहीं है, हम परिणामों द्वारा तब्दील रहे हैं, नतीजतन हमारे पास 3/10 है। उत्तर: संभावना है कि लड़का तीन गुना से अधिक नहीं कॉल करेगा 0.3।

संख्याओं के साथ कार्ड

आपके सामने नौ कार्ड हैं, जिनमें से प्रत्येक को एक से नौ तक लिखा गया है, संख्याओं को दोहराया नहीं जाता है। उन्हें बॉक्स में रखा गया और अच्छी तरह मिलाया गया। आपको उस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है

• यहां तक \u200b\u200bकि संख्या भी गिर जाएगी;
• दो अंकों का।

समाधान पर स्विच करने से पहले, हम चर्चा करेंगे कि एम सफल मामलों की संख्या है, और एन विकल्पों की कुल संख्या है। हमें संभावना है कि संख्या भी होगी। इसकी गणना करना मुश्किल नहीं है कि चार संख्याएं भी हैं, यह हमारा एम होगा, सबकुछ संभव है नौ विकल्प, यानी, एम \u003d 9। फिर संभावना 0.44 या 4/9 है।

हम दूसरे मामले पर विचार करते हैं: नौ के लिए विकल्पों की संख्या, और वहां कोई सफल परिणाम नहीं हो सकता है, जो कि शून्य है। यह संभावना है कि लम्बी कार्ड में दो अंकों की संख्या होगी, वही शून्य बराबर है।