संभावना की गणना कैसे की जाती है। संभाव्यता की गणना के लिए क्लासिक सूत्र

N घटनाओं के मिलन (तार्किक योग) को घटना कहा जाता है जो हर बार मनाया जाता है कम से कम एकआयोजन ... विशेष रूप से, घटनाओं ए और बी का मिलन घटना है ए+ बी(कुछ लेखक
), जो तब मनाया जाता है जब आता हेया ए,या बीया ये दोनों घटनाएँ एक ही समय में(चित्र 7)। घटनाओं के शाब्दिक शब्दों में प्रतिच्छेदन का चिन्ह संघ है "या".

चावल। 7. घटनाओं का संयोजन ए + बी

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि घटना पी (ए) की संभावनाएं अंजीर में छायांकित भाग के दोनों बाएं हिस्से के अनुरूप हैं। आकृति का 7, और उसका मध्य भाग, के रूप में चिह्नित है
... और घटना B के संगत परिणाम छायांकित आकृति के दायीं ओर और चिह्नित दोनों में स्थित हैं
मध्य भाग। इस प्रकार, जोड़ते समय तथा क्षेत्र
वास्तव में इस राशि को दो बार दर्ज करेगा, और छायांकित आकृति के क्षेत्र के लिए सटीक अभिव्यक्ति है
.

इसलिए, एकीकरण की संभावनादो घटनाएँ A और B बराबर है

बड़ी संख्या में घटनाओं के लिए, क्षेत्रों के पारस्परिक ओवरलैप के लिए कई विकल्पों को ध्यान में रखने की आवश्यकता के कारण सामान्य गणना अभिव्यक्ति बेहद बोझिल हो जाती है। हालांकि, यदि संयुक्त घटनाएं असंगत हैं (पृष्ठ 33 देखें), तो क्षेत्रों का पारस्परिक ओवरलैप असंभव हो जाता है, और अनुकूल क्षेत्र सीधे व्यक्तिगत घटनाओं के अनुरूप क्षेत्रों के योग से निर्धारित होता है।

संभावना एकीकरणमनमाना संख्या असंगतआयोजन अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित

कोरोलरी 1: घटनाओं के एक पूरे समूह में असंगत घटनाएं होती हैं, जिनमें से एक को अनुभव में अनिवार्य रूप से महसूस किया जाता है। नतीजतन, अगर घटनाएं …
,एक पूरा समूह बनाएं, तो उनके लिए

इस प्रकार,

साथपरिणाम 3आइए हम ध्यान रखें कि विपरीत कथन "घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगा" …
"क्या बयान है" कोई भी घटना नहीं …
कार्यान्वित नहीं। " यानी दूसरे शब्दों में, "अनुभव में, घटनाओं को देखा जाएगा" , तथा , और और ", जो पहले से ही मूल सेट के विपरीत घटनाओं का प्रतिच्छेदन है। इसलिए, घटनाओं की एक मनमानी संख्या को संयोजित करने के लिए (2 .0) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

परिणाम 2, 3 दिखाते हैं कि ऐसे मामलों में जहां किसी घटना की संभावना की प्रत्यक्ष गणना समस्याग्रस्त है, इसके विपरीत घटना की खोज की जटिलता का आकलन करना उपयोगी होता है। आखिर मतलब जानते हुए भी
, (2 .0) से आवश्यक मान प्राप्त करें
अब कोई काम प्रस्तुत नहीं करता।

1. जटिल घटनाओं की संभावनाओं की गणना के उदाहरण

उदाहरण 1 : दो छात्र (इवानोव और पेट्रोव) एक साथ Iप्रयोगशाला के काम की रक्षा के लिए पहुंचे, पहले 8 कॉन सीखेइस काम के लिए उपलब्ध 10 प्रश्नों में से। तत्परता की जाँच, नहींशिक्षक सभी से केवल एक ही पूछता हैn बेतरतीब ढंग से चयनित प्रश्न। निम्नलिखित घटनाओं की संभावना निर्धारित करें:

ए= "इवानोव प्रयोगशाला के काम की रक्षा करेगा";

बी= "पेट्रोव प्रयोगशाला के काम की रक्षा करेंगे";

सी= "दोनों प्रयोगशाला के काम की रक्षा करते हैं";

डी= "छात्रों में से कम से कम एक नौकरी की रक्षा करेगा";

इ= "छात्रों में से केवल एक ही नौकरी की रक्षा करेगा";

एफ= "उनमें से कोई भी नौकरी की रक्षा नहीं करेगा।"

समाधान। ध्यान दें कि इवानोवा जैसी नौकरी की रक्षा करने की क्षमता, टीके रूप में और पेट्रोवा अलग-अलग केवल महारत हासिल किए गए प्रश्नों की संख्या से निर्धारित होते हैं, कविपर... (नोट: इस उदाहरण में, गणना परिणामों की तुलना को सरल बनाने के लिए परिणामी अंशों के मूल्यों को जानबूझकर कम नहीं किया गया था।)

आयोजनसी"इवानोव और पेट्रोव दोनों काम की रक्षा करेंगे" के रूप में अलग तरह से तैयार किया जा सकता है; क्या होगातथा प्रतिस्पर्धाए, तथा प्रतिस्पर्धाबी... इस प्रकार, घटनासीघटनाओं का प्रतिच्छेदन हैएतथाबी, और के अनुसार (2 .0)

जहां कारक "7/9" इस तथ्य के कारण प्रकट होता है कि घटना का घटित होनाएइसका मतलब है कि इवानोव को एक "अच्छा" प्रश्न मिला, जिसका अर्थ है कि पेट्रोव के पास अब शेष 9 प्रश्नों में से केवल 7 "अच्छे" प्रश्न हैं।

आयोजनडीतात्पर्य है कि "काम की रक्षा की जाएगी"या इवानोव,या पेट्रोव,या वे दोनों एक साथ हैं, ”अर्थात, घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगाएतथाबी... तो घटनाडीघटनाओं का एक संघ हैएतथाबी, और के अनुसार (2 .0)

जो उम्मीदों के अनुरूप है, क्योंकि यहां तक ​​कि प्रत्येक छात्र के लिए व्यक्तिगत रूप से, सफलता की संभावना काफी अधिक है।

साथघटना ई का अर्थ है कि "या तो इवानो नौकरी की रक्षा करेगा"सी, और पेट्रोव "पीगिरता है ",या इवानोव असफल पकड़ा जाएगाबस पूछो, और पेट्रोव रक्षा के साथ सामना करेंगे।" दो विकल्प परस्पर अनन्य (असंगत) हैं, इसलिए

अंत में, कथनएफतभी सत्य होगा जब "तथा इवानोव,तथा सुरक्षा के साथ पेट्रोवनहीं सामना करेंगे।" इसलिए,

यह समस्या के समाधान को पूरा करता है, लेकिन निम्नलिखित बातों पर ध्यान देना उपयोगी है:

1. प्राप्त संभावनाओं में से प्रत्येक शर्त (1 .0) को संतुष्ट करता है,ओह अगर के लिए
तथा
संघर्ष प्राप्त करेंसाथ(1 .0) सिद्धांत रूप में असंभव है, फिर के लिए
कोशिश करो और(2 .0) के बजाय (2 .0) का उपयोग करने से स्पष्ट रूप से असंशोधित हो जाएगाect मूल्य
... यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि संभाव्यता का ऐसा मूल्य मौलिक रूप से असंभव है, और इस तरह के विरोधाभासी परिणाम प्राप्त करने पर, तुरंत एक त्रुटि की तलाश शुरू करें।

2. पाई गई संभावनाएं संबंधों को संतुष्ट करती हैंएम

.

एन एसतो यह काफी अपेक्षित है, क्योंकि घटनाक्रमसी, इतथाएफपूर्ण रूपसमूह, और घटनाएंडीतथाएफएक दूसरे के विपरीत हैं। इन पर विचारएक ओर अनुपात का उपयोग किया जा सकता हैवैन गणनाओं को दोबारा जांचने के लिए, और दूसरी स्थिति में यह समस्या को हल करने के वैकल्पिक तरीके के आधार के रूप में काम कर सकता है।

एन एस ध्यान दें : लिखित निर्धारण की उपेक्षा न करेंघटना का सटीक सूत्रीकरण, अन्यथा, समस्या को हल करने के दौरान, आप अनजाने में इस घटना के अर्थ की एक अलग व्याख्या पर स्विच कर सकते हैं, जिससे तर्क में त्रुटियां होंगी।

उदाहरण 2 : माइक्रोक्रिकिट्स के एक बड़े बैच में, जिन्होंने अंतिम गुणवत्ता नियंत्रण पारित नहीं किया है, 30% उत्पाद खराब हैं।यदि आप यादृच्छिक रूप से इस बैच से कोई दो माइक्रो सर्किट चुनते हैं, तो क्या हैसंभावना है कि उनमें से:

ए= "दोनों अच्छे";

बी= "बिल्कुल 1 प्रयोग करने योग्य माइक्रोक्रिकिट";

सी= "दोनों दोषपूर्ण"।

आइए तर्क के निम्नलिखित संस्करण का विश्लेषण करें (सावधान, इसमें एक बग है):

चूंकि हम उत्पादों के एक बड़े बैच के बारे में बात कर रहे हैं, इसमें से कई माइक्रोक्रिकिट को हटाने से व्यावहारिक रूप से अच्छे और दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या के अनुपात को प्रभावित नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि इस बैच से कुछ माइक्रोक्रिकिट को लगातार कई बार चुनना, हम कर सकते हैं मान लें कि प्रत्येक मामले में अपरिवर्तित संभावनाएं रहती हैं

= पी(दोषपूर्ण आइटम चयनित) = 0.3 और

= पी(अच्छा उत्पाद चयनित) = 0.7.

घटना होने के लिएएयह जरूरी है कितथा प्रथम,तथा दूसरी बार एक उपयुक्त उत्पाद चुना गया था, और इसलिए (हमारे पास मौजूद घटनाओं के प्रतिच्छेदन के लिए पहली और दूसरी माइक्रोक्रिकिट्स की पसंद की सफलता की एक-दूसरे से स्वतंत्रता को ध्यान में रखते हुए)

इसी तरह, घटना सी होने के लिए, दोनों उत्पादों को दोषपूर्ण होना चाहिए, और बी प्राप्त करने के लिए, आपको एक उपयुक्त उत्पाद का चयन करना होगा, और एक बार दोषपूर्ण उत्पाद का चयन करना होगा।

त्रुटि लक्षण। एन एसहालांकि ऊपर प्राप्त सभी संभावनाएंऔर प्रशंसनीय दिखते हैं, जब एक साथ विश्लेषण किया जाता है, तो यह आसान होता हैध्यान दें कि .हालांकि, मामलेए, बीतथासीएक पूर्ण बनाओघटनाओं का समूह जिसके लिए दौड़ना है .यह विरोधाभास तर्क में किसी प्रकार की त्रुटि की उपस्थिति को इंगित करता है।

साथ कई गल्तियां। हम दो सहायक को ध्यान में रखते हैंसन की घटनाएं:

= "पहला माइक्रोक्रिकिट अच्छा है, दूसरा दोषपूर्ण है";

= "पहला माइक्रोक्रिकिट ख़राब है, दूसरा अच्छा है।"

यह स्पष्ट है कि, हालांकि, यह गणना का ठीक यही संस्करण है जिसका उपयोग किसी घटना की संभावना प्राप्त करने के लिए ऊपर किया गया थाबीहालांकि घटनाएंबीतथा उह नहीं हैंसमकक्ष... वास्तव में,
जबसे सूत्रीकरणघटनाक्रमबीकी आवश्यकता है कि बिल्कुल microcircuits के बीचएक लेकिन बिल्कुलजरूरी नहीं कि पहला अच्छा था (और दूसरा खराब था)। इसलिए, यद्यपि प्रतिस्पर्धा घटना का डुप्लिकेट नहीं है , लेकिन ध्यान में रखना चाहिएस्वतंत्र रूप से। घटनाओं की असंगति को देखते हुए तथा , उनके तार्किक योग की प्रायिकता होगी

गणना के संकेतित सुधार के बाद, हमारे पास है

जो परोक्ष रूप से मिली संभावनाओं की शुद्धता की पुष्टि करता है।

ध्यान दें : "केवल" जैसी घटनाओं के शब्दों में अंतर पर विशेष ध्यान देंप्रथम सूचीबद्ध तत्वों में से केवल ... "और" होना चाहिएएक सूचीबद्ध एले कीईन्ट्स चाहिए ... "। बाद की घटना स्पष्ट रूप से व्यापक है और इसमें शामिल हैंटी(संभवतः असंख्य) में से एक के रूप में पहलाएक्स) विकल्प। इन विकल्पों (भले ही उनकी संभावनाएँ मेल खाती हों) को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से माना जाना चाहिए।

एन एस ध्यान दें : शब्द "प्रतिशत" से आया है "प्रति प्रतिशत", अर्थात।"एक सौ"। प्रतिशत में आवृत्तियों और संभावनाओं का प्रतिनिधित्व आपको बड़े मूल्यों के साथ काम करने की अनुमति देता है, जो कभी-कभी "कान से" मूल्यों की धारणा को सरल बनाता है। हालांकि, सही सामान्यीकरण के लिए गणना में "100%" से गुणा या भाग का उपयोग करना बोझिल और अक्षम है। इस संबंध में नमूल्यों का उपयोग करते समय, उल्लेख करना सुनिश्चित करेंप्रतिशत के रूप में व्यक्त, उन्हें परिकलित व्यंजकों में प्रतिस्थापित करेंएक के अंशों के रूप में समान (उदाहरण के लिए, गणना में 35% लिखा जाता हैपरिणामों के गलत सामान्यीकरण के जोखिम को कम करने के लिए i "0.35") के रूप में।

उदाहरण 3 : रोकनेवाला सेट में एक रोकनेवाला होता है4 kΩ नाममात्र, तीन 8 kΩ प्रतिरोधक और छह प्रतिरोधक15 kOhm के प्रतिरोध के साथ orors। यादृच्छिक रूप से चुने गए तीन प्रतिरोधक एक दूसरे के समानांतर जुड़े हुए हैं। 4 kOhm से अनधिक अंतिम प्रतिरोध प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

रेशो एनी। समानांतर कनेक्शन प्रतिरोध कटइतिहास की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

यह इस तरह की घटनाओं की अनुमति देता है

ए= "तीन 15 kΩ प्रतिरोधक चुने गए" = "
”;

बी= "इन15 kOhm के दो प्रतिरोधक और एक प्रतिरोध के साथएम 8 कोहम "="
”…

समस्या की स्थिति के अनुरूप घटनाओं के पूरे समूह में कई और विकल्प शामिल हैं, और यह ठीक ऐसी घटनाएं हैं जोजो 4 kOhm से अधिक का प्रतिरोध प्राप्त करने की आवश्यकता का अनुपालन नहीं करता है। हालांकि, हालांकि "प्रत्यक्ष" समाधान पथ, जिसमें गणना शामिल है (और बाद की रकमराशन) इन सभी घटनाओं को चिह्नित करने वाली संभावनाओं का, और सही है, इस तरह से कार्य करना अव्यावहारिक है।

ध्यान दें कि 4 kΩ d . से कम का अंतिम प्रतिरोध प्राप्त करने के लिएयह पर्याप्त है कि प्रतिरोध के साथ कम से कम एक प्रतिरोधक15 kOhm से कम। इस प्रकार, केवल मामले मेंएकार्य की आवश्यकता को पूरा नहीं किया जाता है, अर्थात। प्रतिस्पर्धाएएकविलोम की जाँच की। तथापि,

.

इस प्रकार, ।

एन एस आरआई टैगिंग : किसी घटना की प्रायिकता की गणना करनाए, परिभाषा की जटिलता का विश्लेषण करना न भूलेंमुझे इसके विपरीत किसी घटना की संभावना है। अगर रसोपढ़ना
आसान है, तो यही वह जगह है जहां आपको हल करना शुरू करने की आवश्यकता हैइसके कार्य, संबंध लागू करके इसे पूरा करना (2 .0).

एन एस उदाहरण 4 : बॉक्स में शामिल हैंएनसफेद,एमकाला औरकलाल गेंदें। गेंदों को एक-एक करके बॉक्स से बाहर निकाला जाता हैऔर प्रत्येक निष्कर्षण के बाद वापस लौट आया। संभावना निर्धारित करेंघटनाक्रमए= "सफेद गेंद"काले से पहले निकाला जाएगा” .

रेशो एनी। घटनाओं के निम्नलिखित सेट पर विचार करें

= "पहले प्रयास में सफेद गेंद को हटा दिया गया";

= "पहले लाल गेंद निकाली और फिर सफेद गेंद";

= "दो बार लाल गेंद को हटा दिया, और तीसरी बार - सफेद"”…

ऐसा करने के लिएजैसे ही गेंदें वापस आती हैं, सोब का क्रमबाहर औपचारिक रूप से असीम रूप से लंबा हो सकता है।

ये घटनाएँ असंगत हैं और उन स्थितियों का समूह बनाती हैं जिनमें घटना घटित होती है।ए... इस प्रकार,

यह देखना आसान है कि योग के रूप में शामिल शब्दज्यामितीय अनुक्रम प्रारंभिक तत्व के साथ
और भाजक
... लेकिन रकमऔर एक अनंत ज्यामितीय प्रगति के तत्व हैं

इस प्रकार, । लीयह उत्सुक है कि यह संभावना (प्राप्त से निम्नानुसार हैth व्यंजक) बॉक्स में लाल गेंदों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है।

अर्थशास्त्र में, साथ ही मानव गतिविधि के अन्य क्षेत्रों में या प्रकृति में, हमें लगातार उन घटनाओं से निपटना पड़ता है जिनकी सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। इस प्रकार, किसी उत्पाद की बिक्री की मात्रा मांग पर निर्भर करती है, जो महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हो सकती है, और कई अन्य कारकों पर जिन्हें ध्यान में रखना व्यावहारिक रूप से अवास्तविक है। इसलिए, उत्पादन का आयोजन और बिक्री करते समय, आपको अपने पिछले अनुभव, या अन्य लोगों के समान अनुभव, या अंतर्ज्ञान के आधार पर ऐसी गतिविधियों के परिणाम की भविष्यवाणी करनी होगी, जो कि काफी हद तक प्रयोगात्मक डेटा पर आधारित है।

किसी भी तरह से विचाराधीन घटना का मूल्यांकन करने के लिए, उन परिस्थितियों को ध्यान में रखना या विशेष रूप से व्यवस्थित करना आवश्यक है जिनमें यह घटना दर्ज की गई है।

प्रश्न में घटना की पहचान करने के लिए कुछ शर्तों या कार्यों के कार्यान्वयन को कहा जाता है अनुभवया प्रयोग.

घटना कहा जाता है यादृच्छिक रूप सेयदि, अनुभव के परिणामस्वरूप, ऐसा हो भी सकता है और नहीं भी।

घटना कहा जाता है विश्वसनीययदि यह आवश्यक रूप से किसी दिए गए अनुभव के परिणामस्वरूप प्रकट होता है, और असंभवअगर यह इस अनुभव में प्रकट नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, 30 नवंबर को मास्को में बर्फबारी एक यादृच्छिक घटना है। दैनिक सूर्योदय को एक विश्वसनीय घटना माना जा सकता है। भूमध्य रेखा पर हिमपात को एक असंभव घटना के रूप में देखा जा सकता है।

संभाव्यता सिद्धांत में मुख्य कार्यों में से एक घटना होने की संभावना के मात्रात्मक माप को निर्धारित करने का कार्य है।

घटनाओं का बीजगणित

घटनाओं को असंगत कहा जाता है यदि उन्हें एक ही अनुभव में एक साथ नहीं देखा जा सकता है। इस प्रकार, एक ही समय में बिक्री के लिए एक स्टोर में दो और तीन कारों की उपस्थिति दो असंगत घटनाएं हैं।

योगघटनाएँ एक घटना है जिसमें इनमें से कम से कम एक घटना का प्रकट होना शामिल है

घटनाओं के योग का एक उदाहरण एक स्टोर में दो उत्पादों में से कम से कम एक की उपस्थिति है।

उत्पाद द्वाराघटनाओं को एक घटना कहा जाता है जिसमें इन सभी घटनाओं की एक साथ घटना होती है

एक स्टोर में एक ही समय में दो वस्तुओं की उपस्थिति में एक घटना घटनाओं का एक उत्पाद है: - एक उत्पाद की उपस्थिति, - दूसरे उत्पाद की उपस्थिति।

घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं यदि उनमें से कम से कम एक आवश्यक रूप से अनुभव में घटित होती है।

उदाहरण।जहाजों को प्राप्त करने के लिए बंदरगाह में दो बर्थ हैं। तीन घटनाओं पर विचार किया जा सकता है: - बर्थ पर जहाजों की अनुपस्थिति, - एक बर्थ पर एक जहाज की उपस्थिति, - दो बर्थ पर दो जहाजों की उपस्थिति। ये तीन घटनाएं घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

विलोमएक पूर्ण समूह बनाने वाली दो अद्वितीय संभावित घटनाओं को नाम दिया गया है।

यदि विपरीत घटनाओं में से एक को द्वारा निरूपित किया जाता है, तो विपरीत घटना को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है।

किसी घटना की प्रायिकता की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषाएँ

समान रूप से संभव परीक्षण परिणामों (प्रयोगों) में से प्रत्येक को प्राथमिक परिणाम कहा जाता है। उन्हें आमतौर पर अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एक पासा लुढ़का हुआ है। किनारों पर बिंदुओं की संख्या के अनुसार कुल छह प्राथमिक परिणाम हो सकते हैं।

एक अधिक जटिल घटना प्राथमिक परिणामों से बनी हो सकती है। तो, अंकों की एक सम संख्या की घटना तीन परिणामों द्वारा निर्धारित की जाती है: 2, 4, 6।

प्रश्न में घटना के घटित होने की संभावना का एक मात्रात्मक माप संभाव्यता है।

किसी घटना की संभावना की दो परिभाषाएँ सबसे व्यापक हैं: क्लासिकतथा सांख्यिकीय.

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा अनुकूल परिणाम की अवधारणा से जुड़ी है।

पलायन कहा जाता है अनुकूलयह घटना, यदि इसकी उपस्थिति इस घटना की घटना पर जोर देती है।

दिए गए उदाहरण में, विचाराधीन घटना - लुढ़के किनारे पर अंकों की एक सम संख्या, के तीन अनुकूल परिणाम हैं। इस मामले में जनरल
संभावित परिणामों की संख्या। इसका मतलब है कि किसी घटना की संभावना की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग यहां किया जा सकता है।

क्लासिक परिभाषासंभावित परिणामों की कुल संख्या के अनुकूल परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है

किसी घटना की प्रायिकता कहाँ है, घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या है, संभावित परिणामों की कुल संख्या है।

माना उदाहरण में

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा प्रयोगों में किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति की अवधारणा से जुड़ी है।

किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

प्रयोगों (परीक्षणों) की एक श्रृंखला में किसी घटना के घटित होने की संख्या कहाँ है।

सांख्यिकीय परिभाषा... किसी घटना की प्रायिकता वह संख्या है जिसके सापेक्ष प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ सापेक्ष आवृत्ति स्थिर (स्थापित) होती है।

व्यावहारिक समस्याओं में, सापेक्ष आवृत्ति को पर्याप्त संख्या में परीक्षणों के साथ एक घटना की संभावना के रूप में लिया जाता है।

किसी घटना की प्रायिकता की इन परिभाषाओं से यह देखा जा सकता है कि असमानता

सूत्र (1.1) के आधार पर किसी घटना की प्रायिकता का निर्धारण करने के लिए प्राय: संयोजक सूत्रों का प्रयोग किया जाता है, जिसके अनुसार अनुकूल परिणामों की संख्या तथा संभावित परिणामों की कुल संख्या ज्ञात की जाती है।

थीम 1 ... संभाव्यता की गणना के लिए क्लासिक सूत्र।

बुनियादी परिभाषाएँ और सूत्र:

एक प्रयोग जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, कहलाता है यादृच्छिक प्रयोग(एसई)।

एक घटना जो किसी दिए गए SE में घटित हो सकती है या नहीं भी कहलाती है यादृच्छिक घटना.

प्राथमिक परिणामकॉल ईवेंट जो आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

1. एसई के किसी भी कार्यान्वयन के लिए, एक और केवल एक प्राथमिक परिणाम होता है;

2. प्रत्येक घटना एक निश्चित संयोजन है, प्राथमिक परिणामों का एक निश्चित सेट है।

सभी संभावित प्राथमिक परिणामों का सेट पूरी तरह से एसई का वर्णन करता है। इस तरह के एक सेट को आमतौर पर कहा जाता है प्रारंभिक परिणामों की जगह(पीईआई)। इस एसई के विवरण के लिए एसईआई का चुनाव अस्पष्ट है और समस्या के हल होने पर निर्भर करता है।

पी (ए) = एन (ए) / एन,

जहाँ n समान रूप से संभव परिणामों की कुल संख्या है,

n (A) उन परिणामों की संख्या है जो घटना A को बनाते हैं, जैसा कि वे यह भी कहते हैं, घटना A के अनुकूल है।

शब्द "यादृच्छिक", "यादृच्छिक", "यादृच्छिक" केवल प्राथमिक परिणामों की समान संभावना की गारंटी देते हैं।

विशिष्ट उदाहरणों का समाधान

उदाहरण 1। 5 लाल, 3 काली और 2 सफेद गेंदों वाले कलश से यादृच्छिक रूप से 3 गेंदें ली जाती हैं। घटनाओं की संभावनाओं का पता लगाएं:

ए- "सभी निकाली गई गेंदें लाल हैं";

वी- "सभी निकाली गई गेंदें एक ही रंग की होती हैं";

साथ- "निकाले गए लोगों में ठीक 2 काले हैं"।

समाधान:

इस एफई का प्राथमिक परिणाम एक ट्रिपलेट (अव्यवस्थित!) बॉल्स है। इसलिए, परिणामों की कुल संख्या संयोजनों की संख्या है: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2)।

आयोजन एकेवल वे त्रिक होते हैं जो पाँच लाल गेंदों से निकाले गए थे, अर्थात। एन (ए) == 10.

आयोजन वी 10 लाल त्रिकों के अतिरिक्त काले त्रिक भी अनुकूल हैं, जिनकी संख्या = 1 है। इसलिए: n (B) = 10 + 1 = 11.

आयोजन साथगेंदों के वे ट्रिपल जिनमें 2 काले और एक गैर-काले होते हैं, पसंदीदा होते हैं। दो काली गेंदों को चुनने की प्रत्येक विधि को एक गैर-काली (सात में से) की पसंद के साथ जोड़ा जा सकता है। इसलिए: एन (सी) = = 3 * 7 = 21।

इसलिए: पी (ए) = 10/120; पी (बी) = 11/120; पी (सी) = 21/120.

उदाहरण 2। पिछली समस्या की शर्तों के तहत, हम मान लेंगे कि प्रत्येक रंग की गेंदों की अपनी संख्या होती है, 1 से शुरू होती है। घटनाओं की संभावनाएं खोजें:

डी- "अधिकतम निकाली गई संख्या 4 है";

इ- "निकासी गई अधिकतम संख्या 3 है"।

समाधान:

n (D) की गणना करने के लिए, हम मान सकते हैं कि कलश में 4 नंबर वाली एक गेंद, अधिक संख्या वाली एक गेंद और कम संख्या वाली 8 गेंदें (3k + 3h + 2b) हैं। आयोजन डीगेंदों के उन तीन गुना जिनमें अनिवार्य रूप से संख्या 4 वाली गेंद होती है और कम संख्या वाली 2 गेंदें इष्ट होती हैं। इसलिए: एन (डी) =

पी (डी) = 28/120।

एन (ई) की गणना करने के लिए, हम मानते हैं: कलश में संख्या 3 के साथ दो गेंदें हैं, बड़ी संख्या के साथ दो और कम संख्या वाली छह गेंदें (2k + 2h + 2b)। आयोजन इदो प्रकार के त्रिगुणों से मिलकर बनता है:

1. नंबर 3 वाली एक गेंद और कम संख्या वाली दो;

2.दो गेंदें नंबर 3 वाली और एक कम संख्या वाली।

इसलिए: n (ई) =

पी (ई) = 36/120।

उदाहरण 3. एम विभिन्न कणों में से प्रत्येक को यादृच्छिक रूप से एन कोशिकाओं में से एक में फेंक दिया जाता है। घटनाओं की संभावनाओं का पता लगाएं:

ए- सभी कण दूसरी कोशिका से टकराते हैं;

वी- सभी कण एक कोशिका से टकराते हैं;

साथ- प्रत्येक कोशिका में एक से अधिक कण (M £ N) नहीं होते हैं;

डी- सभी सेल व्यस्त हैं (एम = एन +1);

इ- दूसरी सेल में ठीक है प्रति कण।

समाधान:

प्रत्येक कण के लिए, इस या उस कोशिका में प्रवेश करने के N तरीके हैं। एम कणों के लिए कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सिद्धांत के अनुसार हमारे पास एन * एन * एन *… * एन (एम-टाइम्स) है। तो, इस SE n = N M में परिणामों की कुल संख्या।

प्रत्येक कण के लिए हमारे पास दूसरी कोशिका में प्रवेश करने का एक अवसर है, इसलिए n (A) = 1 * 1 *… * 1 = 1 M = 1, और P (A) = 1 / N M।

एक कोशिका (सभी कण) में आने का अर्थ है सभी को पहले में, या सभी को दूसरे में, या आदि में प्राप्त करना। एनएच में हर कोई। लेकिन इनमें से प्रत्येक N विकल्प को एक तरह से लागू किया जा सकता है। इसलिए, एन (बी) = 1 + 1 +… + 1 (एन-बार) = एन और पी (बी) = एन / एन एम।

घटना सी का मतलब है कि प्रत्येक कण में पिछले कण की तुलना में एक कम प्लेसमेंट विधि है, और पहला किसी भी एन कोशिकाओं में गिर सकता है। इसीलिए:

एन (सी) = एन * (एन -1) * ... * (एन + एम -1) और पी (सी) =

विशेष मामले में जब एम = एन: पी (सी) =

घटना डी का मतलब है कि कोशिकाओं में से एक में दो कण होते हैं, और प्रत्येक (एन -1) शेष कोशिकाओं में एक कण होता है। एन (डी) को खोजने के लिए, हम निम्नानुसार तर्क देते हैं: एक सेल चुनें जिसमें दो कण होंगे, यह किया जा सकता है = एन तरीके; फिर हम इस सेल के लिए दो कणों का चयन करते हैं, इसके लिए तरीके हैं। उसके बाद हम शेष (N -1) कणों को एक-एक करके शेष (N -1) कोशिकाओं में वितरित करेंगे, इसके लिए हमारे पास (N -1) है! तरीके।

तो एन (डी) =

.

संख्या n (E) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: प्रति दूसरी सेल के लिए कण तरीके हो सकते हैं, शेष (एम-के) कणों को यादृच्छिक रूप से (एन -1) सेल (एन -1) एम-के तरीकों से वितरित किया जाता है। इसीलिए:

"दुर्घटनाएं आकस्मिक नहीं हैं" ... ऐसा लगता है जैसे एक दार्शनिक ने कहा, लेकिन वास्तव में यादृच्छिकता का अध्ययन करने के लिए गणित के महान विज्ञान का बहुत कुछ है। गणित में, संयोग सिद्धांत यादृच्छिकता से संबंधित है। कार्यों के सूत्र और उदाहरण, साथ ही इस विज्ञान की मुख्य परिभाषाएँ लेख में प्रस्तुत की जाएंगी।

संभाव्यता सिद्धांत क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत गणितीय विषयों में से एक है जो यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है।

इसे थोड़ा स्पष्ट करने के लिए, आइए एक छोटा सा उदाहरण दें: यदि आप किसी सिक्के को ऊपर की ओर उछालते हैं, तो वह "सिर" या "पूंछ" गिर सकता है। जब तक सिक्का हवा में है, ये दोनों संभावनाएं संभव हैं। यही है, संभावित परिणामों की संभावना 1: 1 है। यदि आप 36 कार्डों के साथ एक डेक से बाहर निकालते हैं, तो संभाव्यता को 1:36 के रूप में दर्शाया जाएगा। ऐसा लगता है कि जांच और भविष्यवाणी करने के लिए कुछ भी नहीं है, खासकर गणितीय सूत्रों की मदद से। फिर भी, यदि आप एक निश्चित क्रिया को कई बार दोहराते हैं, तो आप एक निश्चित पैटर्न की पहचान कर सकते हैं और इसके आधार पर, अन्य स्थितियों में घटनाओं के परिणाम की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

उपरोक्त सभी को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, शास्त्रीय अर्थ में संभाव्यता का सिद्धांत संख्यात्मक मान में संभावित घटनाओं में से एक के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है।

इतिहास के पन्नों से

संभाव्यता का सिद्धांत, सूत्र और पहले कार्यों के उदाहरण सुदूर मध्य युग में दिखाई दिए, जब पहली बार कार्ड गेम के परिणाम की भविष्यवाणी करने का प्रयास किया गया था।

प्रारंभ में, संभाव्यता के सिद्धांत का गणित से कोई लेना-देना नहीं था। यह किसी घटना के अनुभवजन्य तथ्यों या गुणों पर आधारित था जिसे व्यवहार में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता था। इस क्षेत्र में गणितीय अनुशासन के रूप में पहला काम 17 वीं शताब्दी में सामने आया। संस्थापक ब्लेज़ पास्कल और पियरे फ़र्मेट थे। लंबे समय तक उन्होंने जुए का अध्ययन किया और कुछ निश्चित पैटर्न देखे, जिनके बारे में उन्होंने जनता को बताने का फैसला किया।

उसी तकनीक का आविष्कार क्रिश्चियन ह्यूजेंस ने किया था, हालांकि वह पास्कल और फ़र्मेट के शोध के परिणामों से परिचित नहीं थे। "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा, सूत्र और उदाहरण, जिन्हें अनुशासन के इतिहास में पहला माना जाता है, उनके द्वारा पेश किए गए थे।

जैकब बर्नौली, लाप्लास और पॉइसन के प्रमेय के कार्य भी महत्वपूर्ण हैं। उन्होंने संभाव्यता के सिद्धांत को गणितीय अनुशासन की तरह बना दिया। संभाव्यता के सिद्धांत, सूत्र और बुनियादी कार्यों के उदाहरणों ने कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों के लिए अपना वर्तमान स्वरूप प्राप्त किया। सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, संभाव्यता का सिद्धांत गणितीय शाखाओं में से एक बन गया है।

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ। घटनाक्रम

इस अनुशासन की मुख्य अवधारणा "घटना" है। घटनाएँ तीन प्रकार की होती हैं:

• विश्वसनीय।जो कुछ भी होगा (सिक्का गिर जाएगा)।
• असंभव।घटनाएँ जो किसी भी स्थिति में नहीं होंगी (सिक्का हवा में लटका रहेगा)।
• यादृच्छिक रूप से।जो होगा या नहीं होगा। वे विभिन्न कारकों से प्रभावित हो सकते हैं, जिनकी भविष्यवाणी करना बहुत मुश्किल है। यदि हम एक सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो यादृच्छिक कारक जो परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं: सिक्के की भौतिक विशेषताएं, इसका आकार, प्रारंभिक स्थिति, फेंकने की शक्ति आदि।

उदाहरणों में सभी घटनाओं को बड़े लैटिन अक्षरों में नामित किया गया है, पी के अपवाद के साथ, जिसकी एक अलग भूमिका है। उदाहरण के लिए:

• ए = "छात्र व्याख्यान में आए।"
• = "छात्र व्याख्यान में नहीं आए।"

व्यावहारिक अभ्यासों में घटनाओं को शब्दों में लिखने की प्रथा है।

घटनाओं की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक अवसर की समानता है। यानी, यदि आप एक सिक्का उछालते हैं, तो शुरुआती गिरावट के सभी प्रकार तब तक संभव हैं जब तक कि वह गिर न जाए। लेकिन घटनाएं भी समान रूप से संभव नहीं हैं। ऐसा तब होता है जब कोई विशेष रूप से परिणाम को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, "चिह्नित" ताश या पासा जिसमें गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थानांतरित हो जाता है।

घटनाएँ भी संगत और असंगत हैं। संगत घटनाएँ एक दूसरे को घटित होने से बाहर नहीं करती हैं। उदाहरण के लिए:

• ए = "एक छात्र व्याख्यान में आया।"
• बी = "छात्र व्याख्यान में आया।"

ये घटनाएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को प्रभावित नहीं करती है। असंगत घटनाएं इस तथ्य से निर्धारित होती हैं कि एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को बाहर करती है। यदि हम एक ही सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो "पूंछ" गिरने से "सिर" एक ही प्रयोग में प्रकट होना असंभव हो जाता है।

घटनाओं पर कार्रवाई

घटनाओं को गुणा और जोड़ा जा सकता है, क्रमशः, तार्किक संयोजक "AND" और "OR" को अनुशासन में पेश किया जाता है।

राशि इस तथ्य से निर्धारित होती है कि या तो घटना ए, या बी, या दो एक ही समय में हो सकती हैं। मामले में जब वे असंगत हैं, तो अंतिम विकल्प असंभव है, या तो ए या बी।

घटनाओं का गुणन एक ही समय में ए और बी की उपस्थिति में होता है।

अब आप मूल बातें, संभाव्यता सिद्धांत और सूत्रों को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए कुछ उदाहरण दे सकते हैं। आगे समस्या समाधान के उदाहरण।

अभ्यास 1: फर्म तीन प्रकार के कार्यों के लिए ठेके की प्रतियोगिता में भाग ले रही है। संभावित घटनाएं जो हो सकती हैं:

• ए = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त होगा।"
• ए 1 = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"
• बी = "फर्म को दूसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• बी 1 = "फर्म को दूसरा अनुबंध नहीं मिलेगा"
• सी = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• सी 1 = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

आइए घटनाओं पर क्रियाओं का उपयोग करके निम्नलिखित स्थितियों को व्यक्त करने का प्रयास करें:

• K = "फर्म को सभी अनुबंध प्राप्त होंगे।"

गणितीय रूप में, समीकरण इस प्रकार होगा: K = ABC।

• एम = "फर्म को एक भी अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

एम = ए 1 बी 1 सी 1.

कार्य को जटिल बनाना: एच = "फर्म को एक अनुबंध प्राप्त होगा।" चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि फर्म को कौन सा अनुबंध प्राप्त होगा (पहला, दूसरा या तीसरा), संभावित घटनाओं की पूरी श्रृंखला को रिकॉर्ड करना आवश्यक है:

= А 1 ВС 1 AB 1 1 υ А 1 В 1 .

ए 1 ईसा पूर्व 1 घटनाओं की एक श्रृंखला है जहां फर्म को पहला और तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होता है, लेकिन दूसरा प्राप्त होता है। अन्य संभावित घटनाओं को इसी विधि द्वारा दर्ज किया गया था। अनुशासन में प्रतीक υ "OR" लिंक को दर्शाता है। यदि हम दिए गए उदाहरण का मानवीय भाषा में अनुवाद करते हैं, तो कंपनी को या तो तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा, या दूसरा, या पहला। इसी तरह, आप "संभाव्यता के सिद्धांत" विषय में अन्य शर्तों को लिख सकते हैं। ऊपर प्रस्तुत समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण आपको इसे स्वयं करने में मदद करेंगे।

दरअसल, संभावना

शायद, इस गणितीय अनुशासन में, किसी घटना की संभावना केंद्रीय अवधारणा है। संभाव्यता की 3 परिभाषाएँ हैं:

• क्लासिक;
• सांख्यिकीय;
• ज्यामितीय।

संभावनाओं के अध्ययन में प्रत्येक का अपना स्थान है। संभाव्यता सिद्धांत, सूत्र और उदाहरण (ग्रेड 9) मुख्य रूप से शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हैं, जो इस तरह लगता है:

• स्थिति A की प्रायिकता उन परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर होती है जो इसके घटित होने के पक्ष में हैं और सभी संभावित परिणामों की संख्या से।

सूत्र इस तरह दिखता है: पी (ए) = एम / एन।

ए वास्तव में एक घटना है। यदि ए के विपरीत कोई मामला है, तो इसे Ā या ए 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

मी संभावित अनुकूल मामलों की संख्या है।

n - सभी घटनाएँ जो हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, A = "हार्ट सूट का एक कार्ड बनाएं।" एक मानक डेक में 36 कार्ड होते हैं, उनमें से 9 दिल होते हैं। तदनुसार, समस्या को हल करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी (ए) = 9/36 = 0.25।

परिणामस्वरूप, डेक से हार्ट-सूट कार्ड निकाले जाने की प्रायिकता 0.25 है।

उच्च गणित की ओर

अब यह थोड़ा ज्ञात हो गया है कि प्रायिकता का सिद्धांत क्या है, स्कूल के पाठ्यक्रम में आने वाले कार्यों को हल करने के सूत्र और उदाहरण। हालांकि, उच्च गणित में संभाव्यता सिद्धांत भी पाया जाता है, जो विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है। अक्सर, वे सिद्धांत और जटिल सूत्रों की ज्यामितीय और सांख्यिकीय परिभाषाओं के साथ काम करते हैं।

संभाव्यता का सिद्धांत बहुत दिलचस्प है। संभाव्यता की सांख्यिकीय (या आवृत्ति) परिभाषा के साथ - छोटे से सूत्र और उदाहरण (उच्च गणित) सीखना शुरू करना बेहतर है।

सांख्यिकीय दृष्टिकोण शास्त्रीय दृष्टिकोण का खंडन नहीं करता है, लेकिन इसका थोड़ा विस्तार करता है। यदि पहले मामले में यह निर्धारित करना आवश्यक था कि घटना किस डिग्री की संभावना के साथ होगी, तो इस पद्धति में यह इंगित करना आवश्यक है कि यह कितनी बार घटित होगा। यहां हम एक नई अवधारणा "सापेक्ष आवृत्ति" पेश करते हैं, जिसे W n (A) द्वारा दर्शाया जा सकता है। सूत्र क्लासिक से अलग नहीं है:

यदि शास्त्रीय सूत्र की गणना पूर्वानुमान के लिए की जाती है, तो सांख्यिकीय एक - प्रयोग के परिणामों के अनुसार। उदाहरण के लिए, एक छोटा सा असाइनमेंट लें।

तकनीकी नियंत्रण विभाग गुणवत्ता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। 100 उत्पादों में से 3 खराब गुणवत्ता के पाए गए। आप किसी गुणवत्तापूर्ण उत्पाद की बारंबारता की प्रायिकता कैसे ज्ञात करते हैं?

ए = "एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की उपस्थिति।"

डब्ल्यू एन (ए) = 97/100 = 0.97

इस प्रकार, एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की आवृत्ति 0.97 है। आपको 97 कहां से मिले? जिन 100 वस्तुओं की जांच की गई, उनमें से 3 खराब गुणवत्ता की पाई गईं। हम 100 में से 3 घटाते हैं, हमें 97 मिलते हैं, यह गुणवत्ता वाले सामानों की मात्रा है।

कॉम्बिनेटरिक्स के बारे में थोड़ा

संभाव्यता सिद्धांत की एक अन्य विधि को कॉम्बिनेटरिक्स कहा जाता है। इसका मूल सिद्धांत यह है कि यदि A का एक निश्चित चुनाव m अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, और B का चुनाव n अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, तो A और B का चुनाव गुणन द्वारा किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, शहर A से शहर B तक जाने वाली 5 सड़कें हैं। शहर B से शहर C तक 4 रास्ते हैं। आप शहर A से शहर C तक कितने रास्तों से जा सकते हैं?

यह आसान है: 5x4 = 20, यानी, आप बिंदु ए से बिंदु सी तक बीस अलग-अलग तरीकों से प्राप्त कर सकते हैं।

आइए कार्य को जटिल करें। सॉलिटेयर में ताश खेलने के कितने तरीके हैं? डेक में 36 कार्ड हैं - यह शुरुआती बिंदु है। तरीकों की संख्या जानने के लिए, आपको शुरुआती बिंदु से एक कार्ड को "घटाना" और गुणा करना होगा।

यानी, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = परिणाम कैलकुलेटर स्क्रीन पर फिट नहीं होता है, इसलिए आप इसे केवल 36 के रूप में नामित कर सकते हैं। संकेत "!" संख्या के आगे इंगित करता है कि संख्याओं की पूरी श्रृंखला आपस में गुणा की जाती है।

कॉम्बिनेटरिक्स में, क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट और संयोजन जैसी अवधारणाएँ हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना सूत्र है।

एक समुच्चय में तत्वों के एक क्रमित समुच्चय को व्यवस्था कहते हैं। प्लेसमेंट दोहराए जा सकते हैं, यानी एक तत्व का कई बार उपयोग किया जा सकता है। और कोई दोहराव नहीं, जब तत्वों को दोहराया नहीं जाता है। n सभी तत्व हैं, m ऐसे तत्व हैं जो प्लेसमेंट में भाग लेते हैं। बिना दोहराव के प्लेसमेंट का फॉर्मूला होगा:

ए एन एम = एन! / (एन-एम)!

n तत्वों के संयोजन जो केवल प्लेसमेंट के क्रम में भिन्न होते हैं, क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं। गणित में, यह है: P n = n!

n तत्वों का m द्वारा संयोजन ऐसे यौगिक हैं जिनमें यह महत्वपूर्ण है कि वे कौन से तत्व थे और उनकी कुल संख्या क्या थी। सूत्र इस तरह दिखेगा:

ए एन एम = एन! / एम! (एन-एम)!

बर्नौली का सूत्र

संभाव्यता के सिद्धांत के साथ-साथ हर विषय में अपने क्षेत्र में उत्कृष्ट शोधकर्ताओं के काम हैं जिन्होंने इसे एक नए स्तर पर ले लिया है। इन कार्यों में से एक बर्नौली सूत्र है, जो आपको स्वतंत्र परिस्थितियों में होने वाली एक निश्चित घटना की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है। इससे पता चलता है कि किसी प्रयोग में A का दिखना पहले या बाद के परीक्षणों में उसी घटना के प्रकट होने या न होने पर निर्भर नहीं करता है।

बर्नौली का समीकरण:

पी एन (एम) = सी एन एम × पी एम × क्यू एन-एम।

घटना (ए) की घटना की संभावना (पी) प्रत्येक परीक्षण के लिए अपरिवर्तित है। n प्रयोगों की संख्या में स्थिति ठीक m बार घटित होने की प्रायिकता की गणना ऊपर प्रस्तुत सूत्र द्वारा की जाएगी। तदनुसार, प्रश्न उठता है कि संख्या q का पता कैसे लगाया जाए।

यदि घटना A क्रमशः p संख्या में घटित होती है, तो यह घटित नहीं हो सकती है। एक वह संख्या है जिसका उपयोग किसी अनुशासन में किसी स्थिति के सभी परिणामों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। इसलिए, q एक संख्या है जो घटना के न होने की संभावना को दर्शाती है।

अब आप बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) को जानते हैं। हम आगे समस्याओं (प्रथम स्तर) को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

असाइनमेंट 2:स्टोर विज़िटर 0.2 की संभावना के साथ खरीदारी करेगा। 6 आगंतुकों ने स्वतंत्र रूप से स्टोर में प्रवेश किया। क्या संभावना है कि कोई आगंतुक खरीदारी करेगा?

समाधान: चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि कितने आगंतुकों को खरीदारी करनी चाहिए, एक या सभी छह, बर्नौली सूत्र का उपयोग करके सभी संभावित संभावनाओं की गणना करना आवश्यक है।

A = "आगंतुक खरीदारी करेगा।"

इस स्थिति में: p = 0.2 (जैसा कि कार्य में दर्शाया गया है)। तदनुसार, क्यू = 1-0.2 = 0.8।

n = 6 (चूंकि स्टोर में 6 ग्राहक हैं)। संख्या m 0 से बदल जाएगी (कोई ग्राहक खरीदारी नहीं करेगा) से 6 (स्टोर पर आने वाले सभी आगंतुक कुछ खरीदेंगे)। परिणामस्वरूप, हमें समाधान मिलता है:

पी 6 (0) = सी 0 6 × पी 0 × क्यू 6 = क्यू 6 = (0.8) 6 = 0.2621।

कोई भी खरीदार 0.2621 की संभावना के साथ खरीदारी नहीं करेगा।

बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) का और किस प्रकार उपयोग किया जाता है? समस्या समाधान के उदाहरण (द्वितीय स्तर) नीचे।

उपरोक्त उदाहरण के बाद, प्रश्न उठता है कि C और p कहाँ गए हैं। पी के संबंध में, 0 की शक्ति की संख्या एक के बराबर होगी। सी के लिए, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

सी एन एम = एन! / एम! (एनएम)!

चूँकि पहले उदाहरण में क्रमशः m = 0, C = 1 है, जो सिद्धांत रूप में परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। नए फॉर्मूले का उपयोग करते हुए, आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि दो आगंतुकों द्वारा सामान खरीदने की क्या संभावना है।

पी 6 (2) = सी 6 2 × पी 2 × क्यू 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246।

संभाव्यता का सिद्धांत इतना जटिल नहीं है। बर्नौली का सूत्र, जिसके उदाहरण ऊपर प्रस्तुत हैं, इसका प्रत्यक्ष प्रमाण है।

पॉइसन का सूत्र

पॉइसन के समीकरण का उपयोग असंभावित यादृच्छिक स्थितियों की गणना के लिए किया जाता है।

मूल सूत्र:

पी एन (एम) = λ एम / एम! × ई (-λ)।

इसके अलावा, = n x p. यहाँ एक ऐसा सरल पॉइसन सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) है। हम आगे समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

असाइनमेंट 3: कारखाने ने 100,000 टुकड़ों की मात्रा में भागों का उत्पादन किया। दोषपूर्ण भाग उपस्थिति = 0.00001। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक बैच में 5 खराब पुर्जे होंगे?

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवाह एक अप्रत्याशित घटना है, और इसलिए गणना के लिए पॉइसन के सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) का उपयोग किया जाता है। इस तरह की समस्याओं को हल करने के उदाहरण अनुशासन के अन्य कार्यों से अलग नहीं हैं, हम दिए गए सूत्र में आवश्यक डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

ए = "यादृच्छिक रूप से चयनित हिस्सा खराब हो जाएगा।"

पी = 0.0001 (कार्य की स्थिति के अनुसार)।

n = 100000 (भागों की संख्या)।

मी = 5 (दोषपूर्ण भाग)। हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी 100000 (5) = 10 5/5! एक्स ई -10 = 0.0375।

बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) की तरह, समाधान के उदाहरण जिनके साथ ऊपर लिखा गया है, पॉइसन के समीकरण में एक अज्ञात ई है। वास्तव में, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

ई -λ = लिम एन -> (1-λ / एन) एन।

हालांकि, ऐसे विशेष टेबल हैं जिनमें ई के लगभग सभी मान होते हैं।

मोइवरे-लाप्लास प्रमेय

यदि बर्नौली योजना में परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है, और सभी योजनाओं में घटना ए की घटना की संभावना समान है, तो घटना ए की घटना की संभावना परीक्षणों की एक श्रृंखला में एक निश्चित संख्या में पाई जा सकती है लाप्लास सूत्र:

एन (एम) = 1 / npq x ϕ (एक्स एम)।

एक्स एम = एम-एनपी / एनपीक्यू।

लैपलेस सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए, समस्याओं के उदाहरण नीचे आपकी सहायता के लिए हैं।

सबसे पहले, हम एक्स एम पाते हैं, डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं (वे सभी ऊपर इंगित किए गए हैं) सूत्र में और 0.025 प्राप्त करते हैं। तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम संख्या ϕ (0.025) पाते हैं, जिसका मान 0.3988 है। अब आप सूत्र में सभी डेटा को स्थानापन्न कर सकते हैं:

आर 800 (267) = 1 / (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03।

तो संभावना है कि फ्लायर ठीक 267 बार फायर करेगा 0.03 है।

बेयस फॉर्मूला

बेयस का सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत), समस्याओं को हल करने के उदाहरण जिनकी मदद से नीचे दिया जाएगा, एक समीकरण है जो किसी घटना की संभावना का वर्णन करता है, जो उन परिस्थितियों के आधार पर होता है जो इससे जुड़ी हो सकती हैं। मूल सूत्र इस तरह दिखता है:

पी (ए | बी) = पी (बी | ए) एक्स पी (ए) / पी (बी)।

ए और बी विशिष्ट घटनाएँ हैं।

पी (ए | बी) - सशर्त संभावना, यानी घटना ए हो सकती है बशर्ते कि घटना बी सच हो।

पी (बी | ए) - घटना बी की सशर्त संभावना।

तो, संक्षिप्त पाठ्यक्रम "संभाव्यता का सिद्धांत" का अंतिम भाग बेयस सूत्र है, जिसके साथ समस्याओं के समाधान के उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

असाइनमेंट 5: तीन कंपनियों के फोन गोदाम में लाए गए। वहीं, पहले प्लांट में बनने वाले फोन का हिस्सा 25%, दूसरे पर - 60%, तीसरे में - 15% है। यह भी ज्ञात है कि पहले कारखाने में दोषपूर्ण उत्पादों का औसत प्रतिशत 2% है, दूसरे में - 4%, और तीसरे में - 1%। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि यादृच्छिक रूप से चयनित फोन खराब हो जाएगा।

ए = "बेतरतीब ढंग से उठाया गया फोन।"

बी 1 - वह फोन जो पहली फैक्ट्री द्वारा बनाया गया था। तदनुसार, इनपुट बी 2 और बी 3 (दूसरे और तीसरे कारखानों के लिए) होंगे।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

पी (बी 1) = 25% / 100% = 0.25; पी (बी 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - इस प्रकार हमने प्रत्येक विकल्प की प्रायिकता ज्ञात की।

अब आपको वांछित घटना की सशर्त संभावनाओं को खोजने की जरूरत है, यानी फर्मों में दोषपूर्ण उत्पादों की संभावना:

पी (ए / बी 1) = 2% / 100% = 0.02;

पी (ए / बी 2) = 0.04;

पी (ए / बी 3) = 0.01।

अब हम डेटा को बेयस फॉर्मूला में प्लग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी (ए) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305।

लेख संभाव्यता के सिद्धांत, सूत्र और समस्या समाधान के उदाहरण प्रस्तुत करता है, लेकिन यह केवल एक विशाल अनुशासन के हिमशैल का सिरा है। और जो कुछ लिखा जा चुका है, उसके बाद यह प्रश्न पूछना तर्कसंगत होगा कि क्या जीवन में संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता है। एक सामान्य व्यक्ति के लिए इसका उत्तर देना कठिन है, इसके बारे में उससे पूछना बेहतर है जिसने इसकी मदद से एक से अधिक बार जैकपॉट मारा है।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

समस्या का सामान्य सूत्रीकरण: कुछ घटनाओं की संभावनाओं को जाना जाता है, लेकिन इन घटनाओं से जुड़ी अन्य घटनाओं की संभावनाओं की गणना की जानी चाहिए। इन कार्यों में, प्रायिकताओं पर प्रायिकताओं के योग और गुणन जैसी क्रियाओं की आवश्यकता होती है।

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय दो गोलियां चलाई जाती हैं। आयोजन ए- पहले शॉट से डक मारना, घटना बी- दूसरे शॉट से मारा। फिर घटनाओं का योग एतथा बी- पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा।

एक अलग प्रकार के कार्य। कई घटनाएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि या तो हथियारों का कोट तीनों बार गिराया जाएगा, या कि हथियारों का कोट कम से कम एक बार खींचा जाएगा। यह संभावनाओं को गुणा करने की समस्या है।

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ना

संभाव्यता जोड़ का उपयोग तब किया जाता है जब आपको संघ की संभावना या यादृच्छिक घटनाओं के तार्किक योग की गणना करने की आवश्यकता होती है।

घटनाओं का योग एतथा बीनिरूपित ए + बीया ए ∪ बी... दो घटनाओं का योग एक घटना है जो तब घटित होती है जब और केवल तभी जब कम से कम एक घटना घटित होती है। इसका मतलब है कि ए + बी- एक घटना जो तब होती है जब अवलोकन के दौरान कोई घटना घटित होती है एया घटना बी, या एक ही समय में एतथा बी.

अगर घटनाएं एतथा बीपरस्पर असंगत हैं और उनकी प्रायिकताएँ दी गई हैं, तो प्रायिकता के योग का उपयोग करके एक परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक घटना घटित होने की प्रायिकता की गणना की जाती है।

संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय।दो परस्पर असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय, दो गोलियां चलाई जाती हैं। आयोजन ए- पहले शॉट से डक मारना, घटना वी- दूसरे शॉट से हिट, घटना ( ए+ वी) - पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा। तो अगर दो घटनाएं एतथा वी- असंगत घटनाएँ, तब ए+ वी- इनमें से कम से कम एक घटना या दो घटनाओं का होना।

उदाहरण 1।बॉक्स में समान आकार की 30 गेंदें हैं: 10 लाल, 5 नीली और 15 सफेद। इस संभावना की गणना करें कि एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद बिना देखे ही ली जाएगी।

समाधान। आइए मान लें कि घटना ए- "लाल गेंद ली जाती है", और घटना वी- "एक नीली गेंद ली जाती है।" फिर घटना है "एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद ली जाती है"। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए:

और घटनाएं वी:

घटनाक्रम एतथा वी- परस्पर असंगत, क्योंकि यदि एक गेंद ली जाती है, तो आप विभिन्न रंगों की गेंदें नहीं ले सकते। इसलिए, हम संभावनाओं के जोड़ का उपयोग करते हैं:

कई असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय।यदि घटनाएँ घटनाओं का पूरा समुच्चय बनाती हैं, तो उनकी प्रायिकताओं का योग 1 है:

विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग भी 1 होता है:

विपरीत घटनाएं घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं, और घटनाओं के एक पूरे सेट की संभावना 1 है।

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं को आमतौर पर छोटे अक्षरों में दर्शाया जाता है पीतथा क्यू... विशेष रूप से,

जिससे विपरीत घटनाओं की प्रायिकता के लिए निम्नलिखित सूत्र अनुसरण करते हैं:

उदाहरण 2।शूटिंग रेंज में लक्ष्य को 3 जोनों में बांटा गया है। संभावना है कि एक निश्चित शूटर पहले क्षेत्र में लक्ष्य पर गोली मारेगा 0.15, दूसरे क्षेत्र में - 0.23, तीसरे क्षेत्र में - 0.17। निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता और निशानेबाज के निशाने से चूकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: आइए इस प्रायिकता का पता लगाएं कि शूटर निशाने पर लगेगा:

आइए इस प्रायिकता का पता लगाएं कि शूटर लक्ष्य से चूक गया है:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

पारस्परिक रूप से संगत घटनाओं की संभावनाओं का जोड़

दो यादृच्छिक घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है यदि एक घटना की घटना एक ही अवलोकन में दूसरी घटना की घटना को बाहर नहीं करती है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकते समय, घटना एसंख्या 4 का पतन माना जाता है, और घटना वी- एक सम संख्या छूट गई। चूँकि संख्या 4 एक सम संख्या है, इसलिए दोनों घटनाएँ संगत हैं। व्यवहार में, पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं में से एक की संभावनाओं की गणना के लिए कार्य हैं।

संयुक्त घटनाओं के लिए संभाव्यता जोड़ प्रमेय।संयुक्त घटनाओं में से एक होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है, जिसमें से दोनों घटनाओं की सामान्य घटना की संभावना घटा दी जाती है, यानी संभावनाओं का उत्पाद। संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का सूत्र इस प्रकार है:

घटनाओं के बाद से एतथा वीसंगत, घटना ए+ वीतब होता है जब तीन संभावित घटनाओं में से एक होता है: या अब... असंगत घटनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार, हम निम्नानुसार गणना करते हैं:

आयोजन एदो असंगत घटनाओं में से एक होने पर घटित होगा: या अब... हालाँकि, कई असंगत घटनाओं में से एक घटना के घटित होने की प्रायिकता इन सभी घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

इसी तरह:

व्यंजकों (6) और (7) को व्यंजक (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम संयुक्त घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र प्राप्त करते हैं:

सूत्र (8) का उपयोग करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि घटनाएं एतथा वीशायद:

• परस्पर स्वतंत्र;
• परस्पर आश्रित।

परस्पर स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

परस्पर निर्भर घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

अगर घटनाएं एतथा वीअसंगत हैं, तो उनका संयोग एक असंभव मामला है और इस प्रकार, पी(अब) = 0. असंगत घटनाओं के लिए चौथा प्रायिकता सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 3.कार रेस में, पहली कार में ड्राइविंग करते समय, दूसरी कार में ड्राइविंग करते समय जीतने की संभावना। पाना:

• दोनों कारों के जीतने की संभावना;
• संभावना है कि कम से कम एक कार जीत जाएगी;

1) पहली कार के जीतने की प्रायिकता दूसरी कार के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएं ए(पहली कार जीतती है) और वी(दूसरी कार जीतती है) - स्वतंत्र घटनाएँ। आइए दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें:

2) आइए दो कारों में से एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

संभाव्यता जोड़ समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4.दो सिक्के फेंके जाते हैं। आयोजन ए- पहले सिक्के पर हथियारों के कोट से गिरना। आयोजन बी- दूसरे सिक्के पर हथियारों के कोट से गिरना। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए सी = ए + बी .

संभावनाओं का गुणन

घटनाओं के तार्किक उत्पाद की संभावना की गणना करते समय प्रायिकता गुणन का उपयोग किया जाता है।

इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाएं स्वतंत्र होनी चाहिए। दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना की घटना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता एतथा वीइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण 5.सिक्के को लगातार तीन बार उछाला जाता है। संभावना है कि हथियारों का कोट तीनों बार गिरा दिया जाएगा।

समाधान। संभावना है कि सिक्के के पहले उछाल पर हथियारों का कोट दूसरी बार, तीसरी बार गिरेगा। आइए इस प्रायिकता का पता लगाएं कि हथियारों का कोट तीनों बार गिर जाएगा:

प्रायिकता गुणन समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6.नौ नई टेनिस गेंदों के साथ एक बॉक्स है। खेल के लिए तीन गेंदें ली जाती हैं, खेल के बाद उन्हें वापस रख दिया जाता है। गेंदों का चयन करते समय, खेले और न खेले गए भेद नहीं किए जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीन गेम के बाद बॉक्स में कोई गेंद नहीं बचेगी?

उदाहरण 7.रूसी वर्णमाला के 32 अक्षर विभाजित वर्णमाला के कार्डों पर लिखे गए हैं। पांच कार्ड यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक निकाले जाते हैं और उपस्थिति के क्रम में मेज पर रखे जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अक्षर "अंत" शब्द का निर्माण करेंगे।

उदाहरण 8.ताश के पत्तों (52 शीट) के एक पूरे डेक से एक बार में चार पत्ते निकाले जाते हैं। इन चारों पत्तों के अलग-अलग सूटों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9.उदाहरण 8 में वही समस्या है, लेकिन निकाले जाने के बाद, प्रत्येक कार्ड डेक पर वापस आ जाता है।

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है, साथ ही साथ कई घटनाओं के उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

संभावना है कि परस्पर स्वतंत्र घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगी, की गणना 1 से विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद को घटाकर की जा सकती है, अर्थात सूत्र का उपयोग करके।