Τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας εξίσωσης. Βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Πολλά μαθηματικά προβλήματα, ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισώσεις, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: είναι απαραίτητο να καθοριστεί ποιος τύπος προβλήματος πρέπει να λυθεί, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που θα λυθεί, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.

Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Η διαπίστωση του γεγονότος ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική δεν είναι καθόλου δύσκολη. Προκύπτουν δυσκολίες στον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Η εμφάνιση μιας εξίσωσης μπορεί μερικές φορές να είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος της. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.

Για να λύσετε την τριγωνομετρική εξίσωση, θα πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση σε "ίσες γωνίες".
2. να φέρει την εξίσωση στις "ίδιες συναρτήσεις"?
3. παραμετροποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Σκεφτείτε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Σχέδιο λύσης

Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα μιας συνάρτησης με τους τύπους:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Λύση.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Απάντηση: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Σχέδιο λύσης

Βήμα 1.Φέρτε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μια από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Λύση.

1) 2 (1 - αμαρτία 2 (x / 2)) - 5 sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x / 2) = t, όπου | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη | t | ≤ 1.

4) αμαρτία (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Σχέδιο λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης βαθμών για αυτό:

αμαρτία 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Σχέδιο λύσης

Βήμα 1.Φέρτε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)

ή στο μυαλό

β) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για tg x:

α) a tg x + b = 0;

β) a tg 2 x + b αρκτάνη x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, άρα

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π / 4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Σχέδιο λύσης

Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλα τα είδη τριγωνομετρικών τύπων, φέρτε αυτήν την εξίσωση στην εξίσωση που λύθηκε με τις μεθόδους I, II, III, IV.

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π / 2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Οι δεξιότητες και οι δεξιότητες επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντικές προσπάθειες, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.

Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. συνδέονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων περιέχει πολλές γνώσεις και δεξιότητες που αποκτώνται κατά τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία της διδασκαλίας των μαθηματικών και στην ανάπτυξη της προσωπικότητας γενικότερα.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από καθηγητή - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ταυτοποίηση ενός συγκεκριμένου ατόμου ή για επικοινωνία μαζί του.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν αφήνετε ένα αίτημα στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να αναφέρουμε μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια διαφημιστική εκδήλωση, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση αυτών των προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, δικαστική απόφαση, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - για να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους κοινωνικά σημαντικούς λόγους.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στο κατάλληλο τρίτο μέρος - τον νόμιμο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κατάχρηση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Προκειμένου να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, φέρουμε τους κανόνες εμπιστευτικότητας και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και παρακολουθούμε αυστηρά την εφαρμογή των μέτρων εμπιστευτικότητας.

Απαιτεί γνώση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας - το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου, η έκφραση της εφαπτομένης ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο και άλλα. Για όσους τα έχουν ξεχάσει ή δεν τα γνωρίζουν, συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο "".
Έτσι, γνωρίζουμε τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, ήρθε η ώρα να τους χρησιμοποιήσουμε στην πράξη. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνμε τη σωστή προσέγγιση, είναι μια αρκετά συναρπαστική δραστηριότητα, όπως, για παράδειγμα, η επίλυση ενός κύβου του Ρούμπικ.

Με βάση το ίδιο το όνομα, είναι σαφές ότι μια τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Υπάρχουν οι λεγόμενες απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Έτσι φαίνονται: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Σκεφτείτε πώς να λύσετε τέτοιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, για λόγους σαφήνειας, θα χρησιμοποιήσουμε τον ήδη γνωστό τριγωνομετρικό κύκλο.

sinx = α

cos x = α

tg x = α

κούνια x = α

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση λύνεται σε δύο στάδια: φέρνουμε την εξίσωση στην απλούστερη μορφή και στη συνέχεια τη λύνουμε ως την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.
Υπάρχουν 7 βασικές μέθοδοι με τις οποίες λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. Μεταβλητή Αντικατάσταση και Μέθοδος Αντικατάστασης

Λύστε την εξίσωση 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0

Χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης, παίρνουμε:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Αντικαταστήστε το cos (x + / 6) με το y για απλότητα και λάβετε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση:

2 ετών 2 - 3 ετών + 1 + 0

Των οποίων οι ρίζες y 1 = 1, y 2 = 1/2

Τώρα ας πάμε με την αντίστροφη σειρά

Αντικαθιστούμε τις τιμές y που βρέθηκαν και παίρνουμε δύο απαντήσεις:

2. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης

Πώς να λύσετε την εξίσωση sin x + cos x = 1;

Μετακινήστε τα πάντα προς τα αριστερά, ώστε το 0 να παραμείνει στα δεξιά:

sin x + cos x - 1 = 0

Θα χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω ταυτότητες για να απλοποιήσουμε την εξίσωση:

αμαρτία x - 2 αμαρτία 2 (x / 2) = 0

Κάνουμε την παραγοντοποίηση:

2 sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2 sin (x / 2) * = 0

Παίρνουμε δύο εξισώσεις

3. Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Μια εξίσωση είναι ομοιογενής ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο αν όλοι οι όροι της ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο είναι η ίδια ισχύς της ίδιας γωνίας. Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση, προχωρήστε ως εξής:

α) μεταφέρει όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.

β) βγάλτε όλους τους κοινούς παράγοντες εκτός παρένθεσης.

γ) εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με 0.

δ) μια ομοιογενής εξίσωση μικρότερου βαθμού λαμβάνεται σε αγκύλες, με τη σειρά της χωρίζεται σε ημίτονο ή συνημίτονο στον υψηλότερο βαθμό.

ε) να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει για το tg.

Λύστε την εξίσωση 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο sin 2 x + cos 2 x = 1 και ας απαλλαγούμε από τα ανοιχτά δύο στα δεξιά:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Διαιρέστε με το cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Αντικαταστήστε το tg x με y και λάβετε μια τετραγωνική εξίσωση:

y 2 + 4y +3 = 0, των οποίων οι ρίζες y 1 = 1, y 2 = 3

Από εδώ βρίσκουμε δύο λύσεις στην αρχική εξίσωση:

x 2 = αρκτάν 3 + k

4. Επίλυση εξισώσεων πηγαίνοντας στη μισή γωνία

Λύστε την εξίσωση 3sin x - 5cos x = 7

Προχωρώντας στο x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Μετακινήστε τα πάντα προς τα αριστερά:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Διαιρέστε με συντελεστή (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Για εξέταση, παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής: a sin x + b cos x = c,

όπου a, b, c είναι κάποιοι αυθαίρετοι συντελεστές και το x είναι άγνωστο.

Χωρίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε:



Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης, σύμφωνα με τους τριγωνομετρικούς τύπους, έχουν τις ιδιότητες sin και cos, δηλαδή: το μέτρο τους δεν είναι μεγαλύτερο από 1 και το άθροισμα των τετραγώνων = 1. Ας τους συμβολίσουμε ως cos και sin, αντίστοιχα, όπου είναι η λεγόμενη βοηθητική γωνία. Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

cos * sin x + sin * cos x = С

ή αμαρτία (x +) = C

Η λύση σε αυτή την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση είναι

x = (-1) k * arcsin С - + k, όπου



Πρέπει να σημειωθεί ότι το cos και το sin χρησιμοποιούνται εναλλακτικά.

Λύστε την εξίσωση sin 3x - cos 3x = 1

Σε αυτή την εξίσωση, οι συντελεστές είναι:

a =, b = -1, οπότε διαιρούμε και τις δύο πλευρές με = 2

Επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η λύση των τριγωνομετρικών εξισώσεων οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας καταλήγει τελικά στην επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Και σε αυτό, ο τριγωνομετρικός κύκλος αποδεικνύεται και πάλι ο καλύτερος βοηθός.

Ας θυμηθούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου και του ημιτόνου.

Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι η τετμημένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί σε περιστροφή κατά μια δεδομένη γωνία.

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η τεταγμένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί σε μια περιστροφή κατά μια δεδομένη γωνία.

Η θετική φορά κίνησης στον τριγωνομετρικό κύκλο είναι η αριστερόστροφη κίνηση. Μια περιστροφή 0 μοιρών (ή 0 ακτίνων) αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (1; 0)

Θα χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους ορισμούς για να λύσουμε τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. Ας λύσουμε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από όλες αυτές τις τιμές της γωνίας περιστροφής, που αντιστοιχούν στα σημεία του κύκλου, η τεταγμένη του οποίου είναι ίση με.

Ας σημειώσουμε το σημείο με την τεταγμένη στον άξονα της τεταγμένης:

Ας σχεδιάσουμε μια οριζόντια γραμμή παράλληλη στον άξονα της τετμημένης μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Παίρνουμε δύο σημεία που βρίσκονται σε έναν κύκλο και έχουν μια τεταγμένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής κατά και ακτίνια:

Αν, αφήνοντας το σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής κατά ακτίνια, γυρίσουμε έναν πλήρη κύκλο, τότε θα φτάσουμε στο σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής κατά ακτίνια και έχει την ίδια τεταγμένη. Δηλαδή, αυτή η γωνία περιστροφής ικανοποιεί και την εξίσωσή μας. Μπορούμε να κάνουμε όσες «ρελαντί» περιστροφές θέλουμε, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο και όλες αυτές οι τιμές των γωνιών θα ικανοποιήσουν την εξίσωσή μας. Ο αριθμός των "αδρανών" περιστροφών θα υποδηλωθεί με το γράμμα (ή). Εφόσον μπορούμε να κάνουμε αυτές τις περιστροφές τόσο προς θετικές όσο και προς αρνητικές κατευθύνσεις, (ή) μπορούμε να πάρουμε οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.

Δηλαδή, η πρώτη σειρά λύσεων στην αρχική εξίσωση έχει τη μορφή:

,, είναι το σύνολο των ακεραίων (1)

Ομοίως, η δεύτερη σειρά λύσεων είναι:

, όπου , . (2)

Όπως ίσως έχετε μαντέψει, αυτή η σειρά λύσεων βασίζεται στο σημείο του κύκλου που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής κατά.

Αυτές οι δύο σειρές λύσεων μπορούν να συνδυαστούν σε μία καταχώρηση:

Αν πάρουμε αυτό το αρχείο (δηλαδή, ζυγό), τότε παίρνουμε την πρώτη σειρά λύσεων.

Αν πάρουμε αυτήν την εγγραφή (δηλαδή την περιττή), τότε παίρνουμε τη δεύτερη σειρά λύσεων.

2. Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση

Επειδή η τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου λαμβάνεται με περιστροφή κατά γωνία, σημειώστε το σημείο με την τετμημένη στον άξονα:

Σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή παράλληλη προς τον άξονα μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Παίρνουμε δύο πόντους ξαπλωμένοι σε κύκλο και έχοντας μια τετμημένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής κατά και ακτίνια. Θυμηθείτε ότι όταν κινούμαστε δεξιόστροφα, έχουμε αρνητική γωνία περιστροφής:

Ας γράψουμε δύο σειρές λύσεων:

,

,

(Φτάνουμε στο επιθυμητό σημείο, περνώντας από τον κύριο πλήρη κύκλο, δηλαδή.

Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μια καταχώρηση:

3. Λύστε την εξίσωση

Η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1,0) του μοναδιαίου κύκλου παράλληλη προς τον άξονα OY

Σημειώνουμε ένα σημείο πάνω του με τεταγμένη ίση με 1 (ψάχνουμε την εφαπτομένη της οποίας οι γωνίες είναι 1):

Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή των συντεταγμένων με μια ευθεία γραμμή και ας σημειώσουμε τα σημεία τομής της ευθείας με τον μοναδιαίο κύκλο. Τα σημεία τομής της ευθείας γραμμής και του κύκλου αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής επί και:

Δεδομένου ότι τα σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής που ικανοποιούν την εξίσωσή μας βρίσκονται σε απόσταση ακτίνων μεταξύ τους, μπορούμε να γράψουμε τη λύση με αυτόν τον τρόπο:

4. Λύστε την εξίσωση

Η ευθεία των συνεφαπτομένων διέρχεται από το σημείο με τις συντεταγμένες του μοναδιαίου κύκλου παράλληλες προς τον άξονα.

Ας σημειώσουμε στην ευθεία των συνεφαπτομένων ένα σημείο με τετμημένη -1:

Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή των συντεταγμένων μιας ευθείας γραμμής και ας το συνεχίσουμε μέχρι την τομή με τον κύκλο. Αυτή η ευθεία θα τέμνει τον κύκλο στα σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής κατά και ακτίνια:

Επειδή αυτά τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση ίση μεταξύ τους, μπορούμε να γράψουμε τη γενική λύση αυτής της εξίσωσης ως εξής:

Στα παραδείγματα που δίνονται, απεικονίζοντας τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, χρησιμοποιήθηκαν πινακικές τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ωστόσο, εάν δεν υπάρχει μια τιμή πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, τότε αντικαθιστούμε την τιμή στη γενική λύση της εξίσωσης:

ΕΙΔΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ:

Σημειώστε στον κύκλο τα σημεία των οποίων η τεταγμένη είναι ίση με 0:

Ας σημειώσουμε στον κύκλο ένα μόνο σημείο, η τεταγμένη του οποίου είναι ίση με 1:

Ας σημειώσουμε στον κύκλο το μοναδικό σημείο του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με -1:

Δεδομένου ότι συνηθίζεται να υποδεικνύουμε τις τιμές που είναι πλησιέστερα στο μηδέν, γράφουμε τη λύση ως εξής:

Σημειώστε στον κύκλο τα σημεία των οποίων η τετμημένη είναι ίση με 0:

5.
Ας σημειώσουμε στον κύκλο το μοναδικό σημείο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 1:

Ας σημειώσουμε στον κύκλο το μοναδικό σημείο του οποίου η τετμημένη είναι -1:

Και κάπως πιο σύνθετα παραδείγματα:

1.

Το ημίτονο είναι ένα εάν το επιχείρημα είναι

Το όρισμα του ημιτονοειδούς μας είναι ίσο, οπότε παίρνουμε:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το 3:

Απάντηση:

2.

Το συνημίτονο είναι μηδέν αν το όρισμα του συνημιτόνου είναι

Το όρισμα του συνημίτονου μας είναι ίσο, οπότε παίρνουμε:

Ας εκφράσουμε, για αυτό κινούμαστε πρώτα προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο:

Ας απλοποιήσουμε τη δεξιά πλευρά:

Διαιρέστε και τα δύο μέρη με -2:

Σημειώστε ότι το πρόσημο δεν αλλάζει μπροστά από τον όρο, αφού το k μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.

Απάντηση:

Και τέλος, παρακολουθήστε το εκπαιδευτικό βίντεο "Επιλογή ριζών σε τριγωνομετρική εξίσωση με χρήση τριγωνομετρικού κύκλου"

Αυτό ολοκληρώνει τη συζήτηση για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για το πώς θα λύσουμε.