Τύποι ισορροπίας: Ισορροπία Nash, Ισορροπία Steckelberg, Βέλτιστη ισορροπία Pareto, ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών. Σχετικά με τη μελέτη των μηχανισμών ισορροπίας Μικτή επέκταση του παιχνιδιού

Σε ένα ανταγωνιστικό παιχνίδι, είναι φυσικό να θεωρούμε ότι το βέλτιστο αποτέλεσμα είναι αυτό στο οποίο είναι ασύμφορο για κάθε παίκτη να παρεκκλίνει από αυτό. Ένα τέτοιο αποτέλεσμα (x*,y*) ονομάζεται κατάσταση ισορροπίας και η αρχή της βελτιστοποίησης, που βασίζεται στην εύρεση μιας κατάστασης ισορροπίας, ονομάζεται αρχή ισορροπίας.

Ορισμός. Σε ένα παιχνίδι μήτρας με μήτρα διαστάσεων, το αποτέλεσμα είναι κατάσταση ισορροπίαςή ένα σημείο σέλας αν

Σε ένα σημείο σέλας, ένα στοιχείο μήτρας είναι και ελάχιστο στη σειρά του και μέγιστο στη στήλη του. Στο παιχνίδι από το παράδειγμα 2 στοιχείο ένα 33είναι ένα σημείο σέλας. Οι βέλτιστες στρατηγικές σε αυτό το παιχνίδι είναι οι τρίτες και για τους δύο παίκτες. Εάν ο πρώτος παίκτης παρεκκλίνει από την τρίτη στρατηγική, τότε αρχίζει να κερδίζει λιγότερο από ένα 33. Εάν ο δεύτερος παίκτης παρεκκλίνει από την τρίτη στρατηγική, τότε αρχίζει να χάνει περισσότερα από ένα 33. Έτσι, δεν υπάρχει τίποτα καλύτερο και για τους δύο παίκτες από το να ακολουθούν με συνέπεια την τρίτη στρατηγική.

Αρχή της βέλτιστης συμπεριφοράς: εάν υπάρχει ένα σημείο σέλας σε ένα παιχνίδι matrix, τότε η βέλτιστη επιλογή είναι η στρατηγική που αντιστοιχεί στο σημείο σέλας. Τι συμβαίνει εάν υπάρχουν περισσότερα από ένα σημεία σέλας στο παιχνίδι;

Θεώρημα. Αφήνω δύο αυθαίρετα σημεία σέλας σε ένα παιχνίδι matrix. Επειτα:

Απόδειξη. Από τον ορισμό μιας κατάστασης ισορροπίας έχουμε:

Ας αντικαταστήσουμε το , στην αριστερή πλευρά της ανισότητας (2.8) και στη δεξιά πλευρά, , στην αριστερή πλευρά της ανισότητας (2.9) και στη δεξιά πλευρά, . Τότε παίρνουμε:

Αυτό συνεπάγεται την ισότητα:

Από το θεώρημα προκύπτει ότι η συνάρτηση αποπληρωμής έχει την ίδια τιμή σε όλες τις καταστάσεις ισορροπίας. Γι' αυτό λέγεται ο αριθμός στο κόστος του παιχνιδιού. Και οι στρατηγικές που αντιστοιχούν σε οποιοδήποτε από τα σημεία σέλας καλούνται βέλτιστες στρατηγικέςπαίκτες 1 και 2, αντίστοιχα. Δυνάμει του (2.7), όλες οι βέλτιστες στρατηγικές του παίκτη είναι εναλλάξιμες.

Η βέλτιστη συμπεριφορά των παικτών δεν θα αλλάξει εάν το σύνολο των στρατηγικών στο παιχνίδι παραμείνει το ίδιο και η συνάρτηση πληρωμής πολλαπλασιαστεί με μια θετική σταθερά (ή προστεθεί ένας σταθερός αριθμός σε αυτό).

Θεώρημα. Για την ύπαρξη ενός σημείου σέλας (i*,j*) σε ένα παιχνίδι μήτρας, είναι απαραίτητο και αρκετό το μέγιστο να είναι ίσο με το minimax:

(2.10)

Απόδειξη. Ανάγκη.Εάν το (i*,j*) είναι σημείο σέλας, τότε, σύμφωνα με το (2.6):

(2.11)

Παράλληλα έχουμε:

(2.12)

Από τις (2.11) και (2.12) παίρνουμε:

(2.13)

Συλλογιζόμενοι ομοίως, φτάνουμε στις ισότητες:

Ετσι,

Από την άλλη πλευρά, η αντίστροφη ανισότητα (2,5) ισχύει πάντα, άρα η (2,10) αποδεικνύεται έγκυρη.

Επάρκεια. Ας είναι αλήθεια (2.10). Ας αποδείξουμε την ύπαρξη ενός σημείου σέλας. Εχουμε:

Σύμφωνα με την ισότητα (2.10), οι ανισότητες (2.15) και (2.16) μετατρέπονται σε ισότητες. Τότε έχουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Στην πορεία, αποδείχθηκε ότι η συνολική αξία των maximin και minimax είναι ίση με την τιμή του παιχνιδιού.

Μικτή επέκταση παιχνιδιών

Θεωρήστε ένα παιχνίδι μήτρας G. Αν υπάρχει μια κατάσταση ισορροπίας σε αυτό, τότε το ελάχιστο είναι ίσο με το μέγιστο. Επιπλέον, κάθε παίκτης μπορεί να παρέχει στον άλλο παίκτη πληροφορίες σχετικά με τη βέλτιστη στρατηγική του. Ο αντίπαλός του δεν θα μπορέσει να αποκομίσει κανένα πρόσθετο όφελος από αυτές τις πληροφορίες. Τώρα ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει κατάσταση ισορροπίας στο παιχνίδι G. Επειτα:

Σε αυτήν την περίπτωση, οι στρατηγικές minimax και maximin δεν είναι σταθερές. Οι παίκτες μπορεί να έχουν κίνητρα να παρεκκλίνουν από τις προσεκτικές στρατηγικές τους λόγω της πιθανότητας να κερδίσουν περισσότερα, αλλά και του κινδύνου να χάσουν, δηλαδή να λάβουν μια ανταμοιβή που είναι μικρότερη από αυτή μιας προσεκτικής στρατηγικής. Όταν χρησιμοποιείτε ριψοκίνδυνες στρατηγικές, η μετάδοση πληροφοριών σχετικά με αυτές στον εχθρό έχει επιζήμιες συνέπειες: ο παίκτης λαμβάνει αυτόματα μικρότερη απόδοση από ό,τι όταν χρησιμοποιεί μια προσεκτική στρατηγική.

Παράδειγμα 3. Ας έχει η μήτρα του παιχνιδιού τη μορφή:

Για έναν τέτοιο πίνακα, δηλ. δεν υπάρχει κατάσταση ισορροπίας. Οι προσεκτικές στρατηγικές των παικτών είναι i*=1, j*=2. Αφήστε τον παίκτη 2 να ακολουθήσει τη στρατηγική j*=2 και ο παίκτης 1 να επιλέξει τη στρατηγική i=2. τότε ο τελευταίος θα λάβει αποπληρωμή 3, που είναι δύο μονάδες περισσότερο από το μέγιστο. Εάν, ωστόσο, ο παίκτης 2 μαντέψει για τα σχέδια του παίκτη 1, θα αλλάξει τη στρατηγική του σε j=1 και τότε ο πρώτος θα λάβει μια πληρωμή 0, δηλαδή μικρότερη από το μέγιστο. Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να γίνει και για τον δεύτερο παίκτη. Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η χρήση μιας περιπετειώδους στρατηγικής μπορεί να φέρει αποτέλεσμα μεγαλύτερο από το εγγυημένο σε ένα ξεχωριστό παιχνίδι, αλλά η χρήση της συνδέεται με ρίσκο. Τίθεται το ερώτημα, είναι δυνατόν να συνδυάσετε μια αξιόπιστη προσεκτική στρατηγική με μια περιπετειώδη με τέτοιο τρόπο ώστε να αυξήσετε τον μέσο όρο των κερδών σας; Ουσιαστικά, το ερώτημα είναι πώς θα μοιραστούν τα κέρδη μεταξύ των παικτών (2.17);

Αποδεικνύεται ότι μια λογική λύση είναι να χρησιμοποιήσετε μια μικτή στρατηγική, δηλαδή μια τυχαία επιλογή καθαρών στρατηγικών. Να σας το υπενθυμίσουμε Η στρατηγική του παίκτη 1 ονομάζεται μικτή, αν επιλέξει την i-η σειρά με ορισμένη πιθανότητα p i .Αυτή η στρατηγική μπορεί να ταυτιστεί με την κατανομή πιθανοτήτων σε πολλές γραμμές. Ας υποθέσουμε ότι ο πρώτος παίκτης έχει m καθαρές στρατηγικές και ο δεύτερος παίκτης έχει n καθαρές στρατηγικές. Τότε οι μικτές στρατηγικές τους είναι πιθανολογικά διανύσματα:

(2.18)

Εξετάστε δύο πιθανές μικτές στρατηγικές για τον πρώτο παίκτη από το Παράδειγμα 3: . Αυτές οι στρατηγικές διαφέρουν στις κατανομές πιθανοτήτων μεταξύ καθαρών στρατηγικών. Εάν στην πρώτη περίπτωση οι σειρές του πίνακα επιλέγονται από τον παίκτη με ίσες πιθανότητες, τότε στη δεύτερη περίπτωση - με διαφορετικές. Όταν μιλάμε για μικτή στρατηγική, εννοούμε με τον όρο τυχαία επιλογή όχι μια επιλογή «τυχαία», αλλά μια επιλογή που βασίζεται στη λειτουργία ενός τυχαίου μηχανισμού που παρέχει την κατανομή πιθανοτήτων που χρειαζόμαστε. Έτσι, η ρίψη ενός νομίσματος είναι κατάλληλη για την εφαρμογή της πρώτης από τις μικτές στρατηγικές. Ο παίκτης επιλέγει την πρώτη γραμμή ή τη δεύτερη, ανάλογα με το πώς προσγειώνεται το κέρμα. Κατά μέσο όρο, ένας παίκτης θα επιλέγει τόσο την πρώτη γραμμή όσο και τη δεύτερη εξίσου συχνά, αλλά η επιλογή σε μια συγκεκριμένη επανάληψη του παιχνιδιού δεν υπόκειται σε κανένα σταθερό κανόνα και έχει τον μέγιστο βαθμό μυστικότητας: μέχρι την εφαρμογή του τυχαίου μηχανισμού, είναι άγνωστο ακόμη και στον πρώτο παίκτη. Ο μηχανισμός της κλήρωσης είναι κατάλληλος για την εφαρμογή της δεύτερης μικτής στρατηγικής. Ο παίκτης παίρνει επτά πανομοιότυπα κομμάτια χαρτιού, σημειώνοντας τρία από αυτά με σταυρό και τα πετάει στο καπέλο. Στη συνέχεια, τυχαία, βγάζει ένα από αυτά. Σύμφωνα με την κλασική θεωρία πιθανοτήτων, θα βγάλει ένα κομμάτι χαρτί με σταυρό με πιθανότητα 3/7 και ένα κενό κομμάτι χαρτί με πιθανότητα 4/7. Ένας τέτοιος μηχανισμός σχεδίασης είναι ικανός να εφαρμόσει οποιεσδήποτε ορθολογικές πιθανότητες.

Αφήστε τους παίκτες να ακολουθήσουν μικτές στρατηγικές (2.18). Τότε η πληρωμή του πρώτου παίκτη σε μια συγκεκριμένη επανάληψη του παιχνιδιού είναι μια τυχαία μεταβλητή: v(X,Y). Εφόσον οι παίκτες επιλέγουν στρατηγικές ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, η πιθανότητα επιλογής του αποτελέσματος (i, j) με νίκη είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων. Στη συνέχεια ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής v(X,Y)δίνεται από τον παρακάτω πίνακα

Τώρα αφήστε το παιχνίδι να παίζεται επ' αόριστον. Τότε η μέση απόδοση σε ένα τέτοιο παιχνίδι είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία της αξίας v(X,Y).

(2.19)

Για έναν πεπερασμένο αλλά αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων του παιχνιδιού, η μέση απόδοση θα διαφέρει ελαφρώς από την τιμή (2,19).

Παράδειγμα 4. Υπολογίστε τη μέση απόδοση (2,19) για το παιχνίδι από το παράδειγμα 3, όταν οι παίκτες χρησιμοποιούν τις ακόλουθες στρατηγικές: . Ο πίνακας πληρωμών και ο πίνακας πιθανοτήτων μοιάζουν με αυτό:

Ας βρούμε τον μέσο όρο:

Έτσι, η μέση απόδοση (2,20) είναι ενδιάμεση μεταξύ maximin και minimax.

Εφόσον για οποιοδήποτε ζεύγος μικτών στρατηγικών X και Y μπορεί να υπολογιστεί η μέση τιμή του παιχνιδιού, προκύπτει το πρόβλημα της εύρεσης της βέλτιστης στρατηγικής. Είναι φυσικό να ξεκινήσετε εξερευνώντας προσεκτικές στρατηγικές. Η προσεκτική στρατηγική του πρώτου παίκτη του παρέχει ένα μέγιστο. Η προσεκτική στρατηγική του δεύτερου παίκτη δεν επιτρέπει στον πρώτο να κερδίσει περισσότερα από τα minimax. Το πιο σημαντικό αποτέλεσμα στη θεωρία των παιχνιδιών με αντίθετα συμφέροντα είναι το εξής:

Θεώρημα. Κάθε παιχνίδι μήτρας έχει μια κατάσταση ισορροπίας σε μικτές στρατηγικές. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος δεν είναι εύκολη. Παραλείπεται σε αυτό το μάθημα.

Συνέπειες: Η ύπαρξη μιας κατάστασης ισορροπίας σημαίνει ότι το maximin είναι ίσο με το minimax, και επομένως κάθε παιχνίδι μήτρας έχει μια τιμή. Η βέλτιστη στρατηγική για τον πρώτο παίκτη είναι η στρατηγική μεγιστοποίησης. Η βέλτιστη στρατηγική για το δεύτερο είναι το minimax. Εφόσον το πρόβλημα της εύρεσης βέλτιστων στρατηγικών έχει λυθεί, λέμε ότι οποιοδήποτε παιχνίδι μήτρας διαλυτόςσε μια ποικιλία μικτών στρατηγικών.

Λύση στο παιχνίδι 2x2

Παράδειγμα 5. Λύστε το παιχνίδι. Δεν είναι δύσκολο να επαληθεύσετε ότι δεν υπάρχει σημείο σέλας. Ας υποδηλώσουμε τη βέλτιστη στρατηγική του πρώτου παίκτη (x, 1-x)είναι διάνυσμα στήλης, αλλά για ευκολία το γράφουμε ως συμβολοσειρά. Ας υποδηλώσουμε τη βέλτιστη στρατηγική του δεύτερου παίκτη (ε, 1-ε).

Η πληρωμή του πρώτου παίκτη είναι μια τυχαία μεταβλητή με την ακόλουθη κατανομή:

Βρίσκουμε τη μέση απόδοση ανά επανάληψη του πρώτου παίκτη - τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής v(x,y):

Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση:

Αυτή η μαθηματική προσδοκία αποτελείται από ένα σταθερό (5/7) και ένα μεταβλητό μέρος: 14(x-11/14)(y-8/14). Εάν η τιμή yδιαφορετικό από το 8/14, τότε ο πρώτος παίκτης μπορεί πάντα να επιλέξει Χμε τέτοιο τρόπο ώστε να κάνετε το μεταβλητό μέρος θετικό, αυξάνοντας τα κέρδη σας. Εάν η τιμή Χδιαφορετικό από 14/11, τότε ο δεύτερος παίκτης μπορεί πάντα να επιλέξει yμε τέτοιο τρόπο ώστε να γίνει αρνητικό το μεταβλητό μέρος, μειώνοντας την απόδοση του πρώτου παίκτη. Έτσι, το σημείο σέλας καθορίζεται από τις ισότητες: x*=11/14, y*=8/14.

2.5 Επίλυση παιχνιδιών

Θα δείξουμε πώς να λύνουμε τέτοια παιχνίδια χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 6. Λύστε το παιχνίδι . Φροντίζουμε να μην υπάρχει σημείο σέλας. Ας υποδηλώσουμε τη μικτή στρατηγική του πρώτου παίκτη X=(x, 1-x)είναι διάνυσμα στήλης, αλλά για ευκολία το γράφουμε ως συμβολοσειρά.

Αφήστε τον πρώτο παίκτη να εφαρμόσει τη στρατηγική Χ και ο δεύτερος παίκτης να εφαρμόσει την j-th καθαρή στρατηγική του. Ας υποδηλώσουμε τη μέση απόδοση του πρώτου παίκτη σε αυτήν την κατάσταση ως . Εχουμε:

Ας απεικονίσουμε τα γραφήματα των συναρτήσεων (2.21) στο τμήμα .

Η τεταγμένη ενός σημείου που βρίσκεται σε οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα αντιστοιχεί στα κέρδη του πρώτου παίκτη σε μια κατάσταση όπου χρησιμοποιεί μια μικτή στρατηγική (x,(1-x)), και ο δεύτερος παίκτης – η αντίστοιχη καθαρή στρατηγική. Το εγγυημένο αποτέλεσμα του πρώτου παίκτη είναι ο κάτω φάκελος της οικογένειας των ευθειών (σπασμένα ABC). Το υψηλότερο σημείο αυτής της διακεκομμένης γραμμής (σημείο Β) είναι το μέγιστο εγγυημένο αποτέλεσμα του παίκτη 1. Η τετμημένη του σημείου Β αντιστοιχεί στη βέλτιστη στρατηγική του πρώτου παίκτη.

Δεδομένου ότι το επιθυμητό σημείο Β είναι η τομή των ευθειών και , η τετμημένη του μπορεί να βρεθεί ως λύση στην εξίσωση:

Έτσι, η βέλτιστη μικτή στρατηγική του πρώτου παίκτη είναι (5/9, 4/9). Η τεταγμένη του σημείου Β είναι το κόστος του παιχνιδιού. Είναι ίσο με:

(2.22)

Σημειώστε ότι η γραμμή που αντιστοιχεί στη δεύτερη στρατηγική του δεύτερου παίκτη περνά πάνω από το σημείο Β. Αυτό σημαίνει ότι εάν ο πρώτος παίκτης χρησιμοποιήσει τη βέλτιστη στρατηγική του και ο παίκτης 2 τη δεύτερη, τότε η απώλεια του δεύτερου αυξάνεται σε σύγκριση με τη χρήση στρατηγικών 1 ή 3. Έτσι, το δεύτερο η στρατηγική δεν πρέπει να συμμετέχει στη βέλτιστη στρατηγική του δεύτερου παίκτη. Η βέλτιστη στρατηγική του παίκτη 2 θα πρέπει να μοιάζει με: . Οι καθαρές στρατηγικές 1 και 3 του δεύτερου παίκτη, οι οποίες έχουν μη μηδενικά στοιχεία στη βέλτιστη στρατηγική, συνήθως ονομάζονται σημαντικός. Η στρατηγική 2 ονομάζεται ασήμαντος. Από το παραπάνω σχήμα, καθώς και από την ισότητα (2.22), είναι σαφές ότι όταν ο πρώτος παίκτης χρησιμοποιεί τη βέλτιστη στρατηγική του, η απόδοση του δεύτερου παίκτη δεν εξαρτάται από τις βασικές στρατηγικές που χρησιμοποιεί. Μπορεί επίσης να εφαρμόσει οποιαδήποτε μικτή στρατηγική που αποτελείται από σημαντικές (ιδίως, τη βέλτιστη) και τα κέρδη σε αυτή την περίπτωση δεν θα αλλάξουν. Μια εντελώς παρόμοια δήλωση ισχύει για την αντίθετη περίπτωση. Εάν ο δεύτερος παίκτης χρησιμοποιεί τη βέλτιστη στρατηγική του, τότε η ανταμοιβή του πρώτου παίκτη δεν εξαρτάται από τις βασικές του στρατηγικές που χρησιμοποιεί και είναι ίση με το κόστος του παιχνιδιού. Χρησιμοποιώντας αυτή τη δήλωση, βρίσκουμε τη βέλτιστη στρατηγική του δεύτερου παίκτη.

Συνδυάζοντας τις γραμμές προσφοράς και ζήτησης σε ένα μόνο γράφημα, λαμβάνουμε μια γραφική αναπαράσταση της ισορροπίας σε συντεταγμένες P, Q(Εικ. 2.6). Το σημείο τομής των ευθειών έχει συντεταγμένες (P*,Q*),Οπου R* -τιμή ισορροπίας, Ε*- όγκος ισορροπίας παραγωγής και κατανάλωσης.

Ισορροπία της αγοράς- πρόκειται για κατάσταση αγοράς στην οποία, για ένα δεδομένο επίπεδο τιμών, ο όγκος της ζήτησης είναι ίσος με τον όγκο της προσφοράς.

Μόνο στο σημείο ισορροπίας μιη αγορά είναι ισορροπημένη, κανένας από τους παράγοντες της αγοράς δεν έχει κίνητρα να αλλάξει την κατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι η ισορροπία της αγοράς έχει την ιδιότητα σταθερότητα -Σε περίπτωση κατάστασης ανισορροπίας, οι παράγοντες της αγοράς παρακινούνται να επαναφέρουν την αγορά σε ισορροπία. Για την απόδειξη της σταθερότητας συνήθως χρησιμοποιείται η λογική του L. Walras ή του A. Marshall.

Σύμφωνα με τον L. Walras, όταν οι τιμές είναι πολύ υψηλές, υπάρχει πλεονάζουσα προσφορά - υπερπαραγωγή (τμήμα Α-Βστο Σχ. 2.6i), μια τέτοια αγορά ονομάζεται αγορά του αγοραστήαφού ο αγοραστής έχει τη δυνατότητα να ζητήσει μειώσεις τιμών κατά την ολοκλήρωση των συναλλαγών. Σε μια τέτοια κατάσταση, ο πωλητής δεν ενδιαφέρεται πρωτίστως, καθώς αναγκάζεται να μειώσει τις τιμές και να μειώσει τους όγκους παραγωγής. Καθώς οι τιμές πέφτουν, η ζητούμενη ποσότητα αυξάνεται, το τμήμα Α-Βσυστέλλεται μέχρι να γίνει σημείο ισορροπίας ΜΙ.

Σε χαμηλές τιμές, προκύπτει υπερβάλλουσα ζήτηση - αναπτύσσεται έλλειμμα (τμήμα CFna Εικ. 2.6α). αγορά πωλητή.Ο αγοραστής αναγκάζεται

Όταν ένα άτομο αποφασίζει να μειώσει την κατανάλωση και να πληρώσει υπερβολικά για ένα σπάνιο προϊόν, μετά από αύξηση της τιμής, ο όγκος της προσφοράς αυξάνεται, το έλλειμμα μειώνεται, έως ότου η αγορά φτάσει σε ισορροπία.

Σύμφωνα με τον A. Marshall (Εικ. 2.66), με μικρούς όγκους παραγωγής, η τιμή ζήτησης υπερβαίνει την τιμή του πωλητή και με μεγάλους όγκους, το αντίστροφο. Σε κάθε περίπτωση, η κατάσταση ανισορροπίας διεγείρει μια μετατόπιση της τιμής ή του όγκου της προσφοράς και της ζήτησης προς την ισορροπία. Ισορροπία (ΕΝΑ)σύμφωνα με τον Walras - η τιμή ρυθμίζει την ανισορροπία προσφοράς και ζήτησης, (σι)σύμφωνα με τον Marshall - οι αλλαγές στον όγκο ισορροπούν τις τιμές αγοραστή και πωλητή.

Ρύζι. 2.6. Εδραίωση της ισορροπίας της αγοράς: γ) σύμφωνα με τον L. Walras; β) κατά τον A. Marshall

Μια αλλαγή στη ζήτηση ή την προσφορά της αγοράς οδηγεί σε αλλαγή της ισορροπίας (Εικόνα 2.7). Εάν, για παράδειγμα, η ζήτηση της αγοράς αυξηθεί, τότε η γραμμή ζήτησης μετατοπίζεται προς τα δεξιά, τότε η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας αυξάνονται. Εάν η προσφορά της αγοράς μειωθεί, η γραμμή προσφοράς μετακινείται προς τα αριστερά, προκαλώντας αύξηση της τιμής και μείωση της ποσότητας.

Αυτό το μοντέλο της αγοράς είναι στατικό, αφού ο χρόνος δεν εμφανίζεται σε αυτό.

Μοντέλο "Spider".

Ως παράδειγμα ενός δυναμικού μοντέλου ισορροπίας της αγοράς, θα δώσουμε το απλούστερο μοντέλο σε σχήμα ιστού. Ας υποθέσουμε ότι η ζητούμενη ποσότητα εξαρτάται από το επίπεδο τιμών της τρέχουσας περιόδου t,και ο όγκος της προσφοράς - από τις τιμές της προηγούμενης περιόδου t-1:

Q d i = Q d i (P t) , Q s i = Q s i (P t -1) ,

όπου t = 0,1….T είναι μια διακριτή τιμή της χρονικής περιόδου.

Ρύζι. 2.7. Αλλαγή στην ισορροπία της αγοράς:

α) λόγω αύξησης της ζήτησης· σι)λόγω μείωσης

προσφορές

Τιμή αγοράς P tμπορεί να μην συμπίπτει με την τιμή ισορροπίας R*,και υπάρχουν τρεις πιθανές δυναμικές P t(Εικ. 2.8).

Η επιλογή τροχιάς ανάπτυξης σε αυτό το μοντέλο εξαρτάται από την αναλογία των κλίσεων των γραμμών προσφοράς και ζήτησης.

Ρύζι. 2.8. Μοντέλο «Spiderweb» για την ισορροπία της αγοράς:

α) η απόκλιση από την ισορροπία μειώνεται. 5) απόκλιση

αυξάνεται από την ισορροπία (το μοντέλο της «καταστροφής»). γ) αγορά

ταλαντώνεται κυκλικά γύρω από το σημείο ισορροπίας, αλλά ισορροπίας

Ας μελετήσουμε τον μηχανισμό για την εδραίωση της ισορροπίας της αγοράς όταν, υπό την επίδραση αλλαγών στη ζήτηση ή στους παράγοντες προσφοράς, η αγορά εγκαταλείπει την κατάστασή της. Υπάρχουν δύο κύριοι τύποι ανισορροπίας μεταξύ προσφοράς και ζήτησης: η υπερβολική και η έλλειψη αγαθών.

Υπέρβαση(πλεόνασμα) ενός προϊόντος - αυτή είναι μια κατάσταση στην αγορά όταν η ποσότητα της προσφοράς ενός προϊόντος σε μια δεδομένη τιμή υπερβαίνει την ποσότητα της ζήτησης για αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, δημιουργείται ανταγωνισμός μεταξύ των παραγωγών, αγώνας για αγοραστές. Νικητής είναι αυτός που προσφέρει ευνοϊκότερους όρους για την πώληση των αγαθών. Έτσι, η αγορά προσπαθεί να επιστρέψει σε κατάσταση ισορροπίας.

Ελλειψηαγαθά - στην περίπτωση αυτή, η ζητούμενη ποσότητα για τα αγαθά σε μια δεδομένη τιμή υπερβαίνει την ποσότητα που παρέχεται στα αγαθά. Σε αυτήν την κατάσταση, δημιουργείται ανταγωνισμός μεταξύ των αγοραστών για την ευκαιρία να αγοράσουν σπάνια αγαθά. Αυτός που προσφέρει την υψηλότερη τιμή για ένα δεδομένο προϊόν κερδίζει. Η αυξημένη τιμή προσελκύει την προσοχή των παραγωγών, οι οποίοι αρχίζουν να επεκτείνουν την παραγωγή, αυξάνοντας έτσι την προσφορά αγαθών. Ως αποτέλεσμα, το σύστημα επιστρέφει σε κατάσταση ισορροπίας.

Με βάση όλα τα παραπάνω, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η τιμή εκτελεί μια εξισορροπητική λειτουργία, τονώνοντας την επέκταση της παραγωγής και της προσφοράς αγαθών κατά τις ελλείψεις και περιορίζοντας την προσφορά, απαλλάσσοντας την αγορά από πλεονάσματα.

Ο εξισορροπητικός ρόλος της τιμής θα είναι τόσο μέσω της ζήτησης όσο και της προσφοράς.

Θα προχωρήσουμε με την υπόθεση ότι η ισορροπία που δημιουργήθηκε στην αγορά μας διαταράχθηκε - υπό την επίδραση κάποιων παραγόντων (για παράδειγμα, αύξηση του εισοδήματος) υπήρξε αύξηση της ζήτησης, με αποτέλεσμα η καμπύλη της να μετατοπιστεί από Δ1 V Δ2(Εικ. 4.3 α), αλλά η πρόταση παρέμεινε αμετάβλητη.

Εάν η τιμή ενός δεδομένου προϊόντος δεν έχει αλλάξει αμέσως μετά τη μετατόπιση της καμπύλης ζήτησης, τότε μετά από αύξηση της ζήτησης θα προκύψει μια κατάσταση όταν, στην ίδια τιμή P1ποσότητα αγαθών που μπορεί πλέον κάθε αγοραστής αγορά (QD)υπερβαίνει τον όγκο που μπορούν να προσφερθούν σε μια δεδομένη τιμή από τους κατασκευαστές ενός δεδομένου αγαθά (QS). Η ποσότητα της ζήτησης θα υπερβαίνει πλέον την ποσότητα της προσφοράς αυτού του προϊόντος, πράγμα που σημαίνει ότι έλλειψη αγαθώνσε ποσοστό Df = QD – Qsσε αυτή την αγορά.

Η έλλειψη αγαθών, όπως ήδη γνωρίζουμε, οδηγεί σε ανταγωνισμό μεταξύ των αγοραστών για την ευκαιρία να αγοράσουν αυτό το προϊόν, γεγονός που οδηγεί σε αύξηση των τιμών της αγοράς. Σε συνδυασμό με το νόμο της προσφοράς, η αντίδραση των πωλητών σε μια αύξηση της τιμής θα είναι μια αύξηση του όγκου των αγαθών που παρέχονται. Στο γράφημα, το ϶ᴛᴏ θα εκφραστεί μετακινώντας το σημείο ισορροπίας της αγοράς Ε1κατά μήκος της καμπύλης προσφοράς μέχρι να διασταυρωθεί με τη νέα καμπύλη ζήτησης Δ2όπου θα επιτευχθεί μια νέα ισορροπία αυτής της αγοράς Ε2 sποσότητα ισορροπίας αγαθών Ε2και τιμή ισορροπίας P2.

Ρύζι. 4.3. Μετατόπιση του σημείου τιμής ισορροπίας.

Ας μελετήσουμε την κατάσταση όταν η κατάσταση ισορροπίας διαταράσσεται από την πλευρά της προσφοράς.

Θα προχωρήσουμε από την υπόθεση ότι υπό την επίδραση κάποιων παραγόντων υπήρξε αύξηση της προσφοράς, με αποτέλεσμα η καμπύλη της να μετατοπιστεί προς τα δεξιά από τη θέση S1 V S2και η ζήτηση παρέμεινε αμετάβλητη (Εικ. 4.3 β).

Με την προϋπόθεση ότι η τιμή της αγοράς παραμένει στα ίδια επίπεδα (P1)αύξηση της προσφοράς θα οδηγήσει σε υπέρβασηεμπορεύματα σε μέγεθος Sp = Qs – QD.Ως αποτέλεσμα, υπάρχει ανταγωνισμός πωλητών,οδηγώντας σε μείωση της αγοραίας τιμής (με P1πριν P2)και αύξηση του όγκου πωλήσεων. Στο γράφημα το ϶ᴛᴏ θα αντικατοπτρίζεται μετακινώντας το σημείο ισορροπίας της αγοράς Ε1κατά μήκος της καμπύλης ζήτησης έως ότου διασταυρωθεί με τη νέα καμπύλη προσφοράς, η οποία θα οδηγήσει στη δημιουργία μιας νέας ισορροπίας Ε2με παραμέτρους Ε2Και P2.

Ομοίως, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η επίδραση στην τιμή ισορροπίας και στην ποσότητα ισορροπίας των αγαθών από τη μείωση της ζήτησης και τη μείωση της προσφοράς.

Η εκπαιδευτική βιβλιογραφία διατυπώνει τέσσερις κανόνες για την αλληλεπίδραση προσφοράς και ζήτησης.

Η αύξηση της ζήτησης προκαλεί αύξηση της τιμής ισορροπίας και της ποσότητας ισορροπίας των αγαθών.

Η μείωση της ζήτησης προκαλεί πτώση τόσο της τιμής ισορροπίας όσο και της ποσότητας ισορροπίας των αγαθών.

Η αύξηση της προσφοράς συνεπάγεται μείωση της τιμής ισορροπίας και αύξηση της ποσότητας ισορροπίας των αγαθών.

Η μείωση της προσφοράς συνεπάγεται αύξηση της τιμής ισορροπίας και μείωση της ποσότητας ισορροπίας των αγαθών.

Αξίζει να πούμε ότι χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες, μπορείτε να βρείτε ένα σημείο ισορροπίας για τυχόν αλλαγές στην προσφορά και τη ζήτηση.

Η επιστροφή των τιμών στο επίπεδο ισορροπίας της αγοράς μπορεί κυρίως να παρεμποδιστεί από τις ακόλουθες περιστάσεις:

διοικητική ρύθμιση των τιμών·

μονοπώλιοπαραγωγός ή καταναλωτής, επιτρέποντάς τους να διατηρήσουν μονοπωλιακή τιμή, η οποία μπορεί να είναι είτε τεχνητά υψηλή είτε χαμηλή.

Όταν ξεκινάτε να λύνετε ένα πρόβλημα, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του υπό εξέταση συστήματος (ιδίως του μηχανισμού), σύμφωνα με τον αριθμό των ανεξάρτητων πιθανών κινήσεων ή συντεταγμένων του συστήματος.

Σε επίπεδους μηχανισμούς, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας μπορεί πρακτικά να προσδιοριστεί ως εξής. Ας φανταστούμε ότι ο μηχανισμός κινείται. Εάν, σταματώντας τη μεταφορική ή περιστροφική κίνηση οποιουδήποτε συνδέσμου, σταματήσουμε ταυτόχρονα ολόκληρο τον μηχανισμό, τότε έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Εάν μετά από αυτό το τμήμα του μηχανισμού μπορεί να συνεχίσει να κινείται, αλλά όταν σταματήσει η κίνηση κάποιου άλλου συνδέσμου, ο μηχανισμός σταματά, τότε έχει δύο βαθμούς ελευθερίας κλπ. Ομοίως, αν προσδιορίσουμε τη θέση του μηχανισμού από κάποιους συντεταγμένη και όταν είναι σταθερή, ο μηχανισμός δεν μπορεί να κινηθεί - έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Εάν μετά από αυτό ένα μέρος του μηχανισμού μπορεί να μετακινηθεί, τότε επιλέγεται η δεύτερη συντεταγμένη κ.λπ.

Για να λύσετε ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική μέθοδο, όταν το σύστημα έχει έναν βαθμό ελευθερίας, είναι απαραίτητο: 1) να απεικονίσετε όλες τις ενεργές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα. 2) ενημερώστε το σύστημα για πιθανή μετατόπιση και δείξτε στο σχέδιο τις στοιχειώδεις μετατοπίσεις των σημείων εφαρμογής δυνάμεων ή γωνιών 69, στοιχειώδεις περιστροφές σωμάτων στις οποίες δρουν οι δυνάμεις (για στοιχειώδεις μετατοπίσεις θα δείξουμε στο σχέδιο τις μονάδες τους, οι οποίες εισέρχονται απευθείας σε συνθήκες ισορροπίας). 3) Υπολογίστε το στοιχειώδες έργο όλων των ενεργών δυνάμεων σε μια δεδομένη μετατόπιση χρησιμοποιώντας τους τύπους:

και δημιουργία συνθήκης (99). 4) καθιερώστε τη σχέση μεταξύ των ποσοτήτων που περιλαμβάνονται στην ισότητα (99) και εκφράστε αυτές τις ποσότητες μέσω οποιασδήποτε, κάτι που μπορεί πάντα να γίνει για ένα σύστημα με έναν βαθμό ελευθερίας.

Αφού αντικαταστήσουμε όλες τις ποσότητες στην ισότητα (99) μία προς μία, λαμβάνουμε μια εξίσωση από την οποία μπορούμε να βρούμε την ποσότητα ή την εξάρτηση που αναζητούμε στο πρόβλημα.

Εξαρτήσεις μεταξύ μπορούν να βρεθούν: α) από τις αντίστοιχες γεωμετρικές σχέσεις (προβλήματα 164, 169). β) από κινηματικές σχέσεις, θεωρώντας ότι το σύστημα κινείται και προσδιορίζοντας, για μια δεδομένη θέση του συστήματος, τις εξαρτήσεις μεταξύ των γραμμικών ή γωνιακών ταχυτήτων των αντίστοιχων σημείων ή σωμάτων του συστήματος, και στη συνέχεια υποθέτοντας ότι αυτό ισχύει, δεδομένου ότι οι πραγματικές κινήσεις που λαμβάνονται από τα σημεία ή τα σώματα κατά τη διάρκεια του χρόνου dt θα είναι σε σταθερές συνδέσεις είναι μία από τις πιθανές (αλλιώς, εδώ μπορούμε αμέσως να θεωρήσουμε ότι οι εξαρτήσεις μεταξύ πιθανών κινήσεων είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ταχύτητες, βλέπε προβλήματα 165, 166, κ.λπ.).

Για ένα σύστημα με αρκετούς βαθμούς ελευθερίας, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί κατασκευάζοντας τη συνθήκη (99) για κάθε μία από τις ανεξάρτητες πιθανές κινήσεις του συστήματος και μετασχηματίζοντας την με τον ίδιο τρόπο. Ως αποτέλεσμα, το σύστημα θα έχει τόσες συνθήκες ισορροπίας όσες και βαθμούς ελευθερίας. Μια άλλη μέθοδος λύσης που οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα περιγράφεται στην § 144.

Με την αναλυτική μέθοδο υπολογισμού, η συνθήκη ισορροπίας γράφεται στη μορφή (100). Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε άξονες συντεταγμένων που σχετίζονται με το σώμα, το οποίο παραμένει ακίνητο κατά τις πιθανές κινήσεις του συστήματος. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι προβολές όλων των ενεργών δυνάμεων στους επιλεγμένους άξονες και οι συντεταγμένες των σημείων εφαρμογής αυτών των δυνάμεων, εκφράζοντας όλες τις συντεταγμένες μέσω κάποιας παραμέτρου (για παράδειγμα, μιας γωνίας). Μετά από αυτό, οι ποσότητες βρίσκονται διαφοροποιώντας τις συντεταγμένες σε σχέση με αυτήν την παράμετρο.

Εάν δεν είναι δυνατό να εκφράσετε όλες τις συντεταγμένες μέσω μιας παραμέτρου ταυτόχρονα, τότε πρέπει να εισαγάγετε πολλές παραμέτρους και στη συνέχεια να δημιουργήσετε μια σχέση μεταξύ τους.

Ας σημειώσουμε εν κατακλείδι ότι οι συνθήκες (99) ή (100) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση προβλημάτων παρουσία τριβής, συμπεριλαμβανομένης της δύναμης τριβής μεταξύ των ενεργών δυνάμεων. Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί κανείς να βρει αντιδράσεις συνδέσεων, εάν, έχοντας απορρίψει τη σύνδεση, την αντικαταστήσει με την αντίστοιχη αντίδραση, συμπεριλάβει την τελευταία στον αριθμό των ενεργών δυνάμεων και λάβετε υπόψη ότι μετά την απόρριψη της σύνδεσης, το σύστημα έχει μια νέα βαθμός ελευθερίας.

Πρόβλημα 164. Στον μηχανισμό που φαίνεται στο Σχ. 354, βρείτε τη σχέση μεταξύ των δυνάμεων P και Q σε κατάσταση ισορροπίας.

Λύση: Το σύστημα έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Εάν πείτε στο σύστημα πιθανή κίνηση, τότε όλες οι διαγώνιοι των παραλληλογραμμών που σχηματίζονται από τις ράβδους θα επιμηκυνθούν κατά το ίδιο ποσό. Επειτα .

Συνθέτοντας την εξίσωση (99), παίρνουμε:

που . Το αποτέλεσμα είναι πολύ απλό.

Πρόβλημα 165. Το βάρος του κορμού είναι Q, το βάρος καθενός από τους δύο κυλινδρικούς κυλίνδρους στους οποίους είναι τοποθετημένος είναι P. Προσδιορίστε ποια δύναμη F πρέπει να ασκηθεί στον κορμό για να διατηρείται σε ισορροπία σε ένα κεκλιμένο επίπεδο μια δεδομένη γωνία κλίσης α (Εικ. 355). Η τριβή των κυλίνδρων έναντι του επιπέδου και του κορμού διασφαλίζει ότι δεν υπάρχει ολίσθηση.

Λύση. Αν παραμελήσουμε την αντίσταση κύλισης, τότε το επίπεδο για τους κυλίνδρους θα είναι μια ιδανική σύνδεση. Κατά την κύλιση χωρίς ολίσθηση, το σύστημα έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Ενημερώνοντας το σύστημα για πιθανή κίνηση, λαμβάνουμε από την προϋπόθεση (99)

όπου είναι η πιθανή κίνηση του κορμού, που συμπίπτει με την κίνηση του σημείου Β.

Το σημείο εφαπτομένης Κ είναι το στιγμιαίο κέντρο της ταχύτητας του κυλίνδρου. Επομένως, αν σκεφτούμε , Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στην προηγούμενη εξίσωση, θα βρούμε τελικά

Πρόβλημα 166. Βρείτε τη σχέση μεταξύ της ροπής M του ζεύγους που ενεργεί στον στρόφαλο του μηχανισμού στροφάλου-ολισθητή (Εικ. 356) και της δύναμης πίεσης P στο έμβολο σε κατάσταση ισορροπίας, εάν

Λύση. Ο μηχανισμός έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Από τη συνθήκη ισορροπίας (99), αν τη θέσουμε παίρνουμε:

Η λύση καταλήγει στην εύρεση της σχέσης μεταξύ Αυτό το κινηματικό πρόβλημα επιλύθηκε νωρίτερα (βλ. § 57, πρόβλημα 63). Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα που προκύπτει εκεί, βρίσκουμε

Πρόβλημα 167. Για το κιβώτιο ταχυτήτων που εξετάζεται στο Πρόβλημα 83 (βλ. § 70), βρείτε τη σχέση μεταξύ της ροπής που εφαρμόζεται στον κινητήριο άξονα Α και της ροπής αντίστασης που εφαρμόζεται στον κινητήριο άξονα Β όταν και οι δύο άξονες περιστρέφονται ομοιόμορφα.

Λύση. Με ομοιόμορφη περιστροφή, η αναλογία μεταξύ θα είναι η ίδια όπως και στην ισορροπία. Επομένως, με την προϋπόθεση (99), αν θέσουμε θα είναι:

Από εδώ, χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα που προέκυψε στο Πρόβλημα 83, βρίσκουμε

Πρόβλημα 168. Σχέση μοτίβου μεταξύ των δυνάμεων P και Q σε έναν ανυψωτικό μηχανισμό του οποίου τα μέρη είναι κρυμμένα στο κουτί K (Εικ. 357), εάν είναι γνωστό ότι με κάθε περιστροφή της λαβής η βίδα D απομακρύνεται κατά ένα ποσό

Λύση. Συνθέτοντας τη συνθήκη ισορροπίας (99), παίρνουμε

Θεωρείται ότι με την ομοιόμορφη περιστροφή της λαβής, η λαβή ξεβιδώνεται επίσης ομοιόμορφα, τότε

Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην προηγούμενη ισότητα, βρίσκουμε

Σημειώστε ότι αυτό το απλό πρόβλημα δεν μπορούσε να λυθεί καθόλου με μεθόδους γεωμετρικής στατικής, αφού οι λεπτομέρειες του μηχανισμού δεν είναι γνωστές.

Το λυμένο πρόβλημα δείχνει ποιες είναι (κατ' αρχήν) οι δυνατότητες της εφαρμοσμένης μεθόδου. Αλλά με έναν συγκεκριμένο μηχανικό υπολογισμό ενός τέτοιου μηχανισμού, θα είναι απαραίτητο, φυσικά, να ληφθεί υπόψη η τριβή μεταξύ των μερών του, για την οποία θα πρέπει να γνωρίζετε ποιος είναι ο μηχανισμός.

Πρόβλημα 169. Μια δοκός που αποτελείται από δύο δοκούς που συνδέονται με μια άρθρωση C φέρει ένα φορτίο P (Εικ. 358, α). Οι διαστάσεις της δοκού και η θέση των στηριγμάτων φαίνονται στο σχέδιο. Προσδιορίστε τη δύναμη πίεσης στο στήριγμα Β που προκαλείται από το δεδομένο φορτίο.

Λύση. Απορρίπτουμε το στήριγμα Β και το αντικαθιστούμε με την αντίδραση N in, αριθμητικά ίση με την επιθυμητή δύναμη πίεσης (Εικ. 358, β). Έχοντας ενημερώσει το σύστημα πιθανής κίνησης (έχει πλέον έναν βαθμό ελευθερίας), συνθέτουμε την προϋπόθεση (99)

Βρίσκουμε τη σύνδεση μεταξύ των αναλογιών:

Ως εκ τούτου,

Κατά την εφαρμογή της μεθόδου της γεωμετρικής στατικής, η λύση θα ήταν μεγαλύτερη (θα ήταν απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η ισορροπία τμημάτων της δέσμης και να εισαχθούν πρόσθετες αντιδράσεις άλλων συνδέσεων και στη συνέχεια να αποκλειστούν αυτές οι αντιδράσεις από το προκύπτον σύστημα εξισώσεων ισορροπίας) .

Πρόβλημα 170. Οριζόντια δοκός 1 με βάρος στερεωμένο στο σημείο Α με άρθρωση (Εικ. 359), συνδεδεμένη με άρθρωση Β στη δοκό 2 με βάρος στο άκρο C, η δοκός στηρίζεται στο οριζόντιο δάπεδο, σχηματίζοντας γωνία α με το. Προσδιορίστε σε ποια τιμή της δύναμης τριβής της δοκού στο δάπεδο θα βρίσκεται το σύστημα σε ισορροπία.

Λύση. Απεικονίζουμε τις δυνάμεις που δρουν στο σύστημα και τη δύναμη τριβής F, συμπεριλαμβανομένης της μεταξύ των ενεργών δυνάμεων. Σε αυτή την περίπτωση, αποσυνθέτουμε τη δύναμη σε δύο συνιστώσες, το καθένα ίσο και εφαρμόζεται στα σημεία Β και Γ (προσοχή σε αυτήν την τεχνική, η οποία διευκολύνει σημαντικά τον υπολογισμό πιθανής εργασίας).

Συνθέτοντας τη συνθήκη ισορροπίας (99) και λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους (101), παίρνουμε δηλώνοντας

Αλλά, κατ' αναλογία με το θεώρημα για τις προβολές ταχυτήτων δύο σημείων σε ένα σώμα, , όπου . Μετά και τέλος

Σημειώστε ότι χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της γεωμετρικής στατικής σε αυτό το πρόβλημα είναι αδύνατο να δημιουργηθεί μόνο μία εξίσωση από την οποία μπορεί να βρεθεί αμέσως η F.

Πρόβλημα 171. Σε έναν πλανητικό μηχανισμό με διαφορικό γρανάζι (βλ. § 70), το γρανάζι 1 με ακτίνα και η μανιβέλα AB, που φέρει τον άξονα Β του γραναζιού 2 με ακτίνα, τοποθετούνται στον άξονα Α ανεξάρτητα το ένα από το άλλο (Εικ. 360). Ο στρόφαλος επηρεάζεται από τη ροπή M και τα γρανάζια 1 και 2 επηρεάζονται από ροπές αντίστασης. Βρείτε τις τιμές όταν ο μηχανισμός βρίσκεται σε ισορροπία.

Θέμα 4. Θεωρία παιγνίων και μοντελοποίηση αλληλεπίδρασης.

1. Βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων.

2. Τύποι ισορροπίας: Ισορροπία Nash, Ισορροπία Steckelberg, Βέλτιστη ισορροπία Pareto, ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών.

3. Βασικά μοντέλα θεωρίας παιγνίων.

Βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων.

Η χρήση μαθηματικών μεθόδων, που περιλαμβάνουν τη θεωρία παιγνίων, στην ανάλυση των οικονομικών διαδικασιών καθιστά δυνατό τον εντοπισμό τάσεων και σχέσεων που παραμένουν κρυφές κατά τη χρήση άλλων μεθόδων και ακόμη και τη λήψη πολύ απροσδόκητων αποτελεσμάτων.

Σημειώστε ότι η θεωρία παιγνίων είναι ένας από τους νεότερους μαθηματικούς κλάδους. Η εμφάνισή του ως ανεξάρτητου κλάδου των μαθηματικών χρονολογείται από τα μέσα της δεκαετίας του 1950, όταν δημοσιεύτηκε η περίφημη μονογραφία των F. Neumann και O. Morgenstern «The Theory of Games and Economic Behavior». Οι απαρχές της θεωρίας παιγνίων που συνδέονται με τα έργα του E. Porel (1921).

Μέχρι τώρα, η θεωρία παιγνίων έχει μετατραπεί σε ένα ολόκληρο μαθηματικό πεδίο, πλούσιο σε ενδιαφέροντα αποτελέσματα και με μεγάλο αριθμό πρακτικών συστάσεων και εφαρμογών.

Ας εξετάσουμε τις βασικές παραδοχές και έννοιες του μοντέλου παιχνιδιού των διαανθρωπίνων αλληλεπιδράσεων.

1. Ο αριθμός των ατόμων που αλληλεπιδρούν είναι δύο. Τα άτομα ονομάζονται παίκτες. Η έννοια του παίκτη μας επιτρέπει να μοντελοποιήσουμε τους κοινωνικούς ρόλους ενός ατόμου: πωλητής, αγοραστής, σύζυγος, σύζυγος κ.λπ. Ένα παιχνίδι είναι μια απλοποιημένη αναπαράσταση των αλληλεπιδράσεων δύο ατόμων που έχουν διαφορετικούς ή παρόμοιους κοινωνικούς ρόλους, για παράδειγμα, αγοραστή - πωλητής, πωλητής - πωλητής κ.λπ.

2. Κάθε άτομο έχει ένα σταθερό σύνολο επιλογών συμπεριφοράς ή εναλλακτικών. Ο αριθμός των επιλογών συμπεριφοράς για διαφορετικούς παίκτες μπορεί να μην είναι ίδιος.

3. Η διαπροσωπική αλληλεπίδραση θεωρείται ότι υλοποιείται εάν και οι δύο παίκτες επιλέγουν ταυτόχρονα επιλογές για τη συμπεριφορά τους και ενεργούν σύμφωνα με αυτές. Μια μεμονωμένη πράξη ανθρώπινης αλληλεπίδρασης ονομάζεται η πορεία ενός παιχνιδιού. Η διάρκεια της πράξης αλληλεπίδρασης θεωρείται ότι είναι μηδέν.

4. Η πορεία του παιχνιδιού καθορίζεται από δύο ακέραιους αριθμούς - τον επιλεγμένο αριθμό της επιλογής συμπεριφοράς (μετακίνηση) του πρώτου παίκτη και τον επιλεγμένο αριθμό της επιλογής συμπεριφοράς (μετακίνηση) του δεύτερου παίκτη. Ο μέγιστος δυνατός αριθμός διαφορετικών κινήσεων στο παιχνίδι είναι ίσος με το γινόμενο του συνολικού αριθμού κινήσεων του πρώτου παίκτη και του συνολικού αριθμού κινήσεων του δεύτερου παίκτη.

5. Κάθε αλληλεπίδραση ατόμων, ή κίνηση παιχνιδιού, λαμβάνει τον δικό της σειριακό αριθμό: 1, 2, 3, κ.λπ. Η έννοια της «μετακίνησης παιχνιδιού» (ζεύγος αριθμών) και «αριθμός κίνησης παιχνιδιού» (ένας αριθμός) δεν πρέπει να συγχέεται. Οι αλληλεπιδράσεις υποτίθεται ότι συμβαίνουν τακτικά σε τακτά χρονικά διαστήματα, επομένως ο αριθμός σειράς του παιχνιδιού υποδεικνύει το χρονικό διάστημα που τα συγκεκριμένα άτομα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

6. Κάθε παίκτης προσπαθεί να επιτύχει τη μέγιστη τιμή κάποιου δείκτη στόχου, που ονομάζεται χρησιμότητα, ή κέρδη. Έτσι, ο παίκτης έχει τα χαρακτηριστικά ενός «οικονομικού ανθρώπου». Η ανταμοιβή του παίκτη μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική. Ένα αρνητικό κέρδος ονομάζεται επίσης απώλεια.

7. Κάθε κίνηση του παιχνιδιού (ένα ζευγάρι εναλλακτικών που επιλέγουν οι παίκτες) αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζευγάρι κερδών παικτών. Η εξάρτηση των κερδών των παικτών από τις κινήσεις που επιλέγουν περιγράφεται από τη μήτρα του παιχνιδιού ή τη μήτρα πληρωμής. Οι σειρές αυτού του πίνακα αντιστοιχούν στις εναλλακτικές (κινήσεις) του πρώτου παίκτη και οι στήλες αντιστοιχούν στις εναλλακτικές (κινήσεις) του δεύτερου παίκτη. Τα στοιχεία της μήτρας του παιχνιδιού είναι ζεύγη κερδών που αντιστοιχούν στην αντίστοιχη σειρά και στήλη (κινήσεις παίκτη). Τα κέρδη του πρώτου παίκτη (ο πρώτος αριθμός στο κελί της μήτρας του παιχνιδιού) εξαρτώνται όχι μόνο από την κίνησή του (αριθμός σειράς), αλλά και από την κίνηση του δεύτερου παίκτη (αριθμός στήλης). Επομένως, πριν εφαρμοστεί η αλληλεπίδραση, το άτομο δεν γνωρίζει το ακριβές ποσό του κέρδους του. Με άλλα λόγια, η επιλογή της συμπεριφοράς του παίκτη πραγματοποιείται υπό συνθήκες αβεβαιότητας, δηλαδή ο παίκτης έχει τα χαρακτηριστικά ενός «θεσμικού ατόμου».

8. Η στρατηγική ενός παίκτη είναι ένα συνηθισμένο μοτίβο συμπεριφοράς που ακολουθεί ο παίκτης όταν επιλέγει μια εναλλακτική συμπεριφορά για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Η στρατηγική του παίκτη καθορίζεται από τις πιθανότητες (ή τις συχνότητες) επιλογής όλων των πιθανών επιλογών συμπεριφοράς. Με άλλα λόγια, η στρατηγική του παίκτη είναι ένα διάνυσμα, ο αριθμός των συντεταγμένων του οποίου είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό των πιθανών εναλλακτικών και η i-η συντεταγμένη είναι ίση με την πιθανότητα (συχνότητα) επιλογής της i-ης εναλλακτικής. Είναι σαφές ότι το άθροισμα των τιμών όλων των συντεταγμένων ενός δεδομένου διανύσματος είναι ίσο με ένα.

Εάν ένας παίκτης επιλέξει μόνο μία επιλογή συμπεριφοράς κατά την υπό εξέταση χρονική περίοδο, τότε καλείται η στρατηγική του παίκτη ΚΑΘΑΡΗ.

Όλες οι συντεταγμένες του αντίστοιχου καθαρού διανύσματος στρατηγικής είναι ίσες με μηδέν, εκτός από μία, που ισούται με ένα.

Μια στρατηγική που δεν είναι καθαρή ονομάζεται μικτός.

Σε αυτήν την περίπτωση, το διάνυσμα στρατηγικής του παίκτη έχει τουλάχιστον δύο μη μηδενικές συντεταγμένες. Ανταποκρίνονται σε επιλογές ενεργητικής συμπεριφοράς. Ένας παίκτης που ακολουθεί μια μικτή στρατηγική εναλλάσσει ενεργές επιλογές συμπεριφοράς σύμφωνα με τις δεδομένες πιθανότητες (συχνότητες) επιλογής. Στη συνέχεια, για την απλότητα της παρουσίασης, θα υποθέσουμε ότι ο παίκτης ακολουθεί πάντα κάποια καθαρή στρατηγική, δηλαδή, κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου που εξετάζεται, επιλέγει πάντα μια επιλογή συμπεριφοράς από ένα δεδομένο σύνολο εναλλακτικών.

Ένα θεσμικό άτομο χαρακτηρίζεται από τη μεταβλητότητα της συμπεριφοράς του, η οποία εξαρτάται από την εσωτερική του κατάσταση, την εμπειρία της ζωής, το εξωτερικό κοινωνικό περιβάλλον κ.λπ. Στο πλαίσιο της προσέγγισης παιχνιδιού στη μελέτη των θεσμών, αυτή η ιδιότητα ενός θεσμικού ατόμου εκφράζεται την πιθανότητα ένας παίκτης να αλλάξει τη στρατηγική του. Εάν μεταξύ των στρατηγικών του παίκτη υπήρχε πάντα μια αντικειμενικά καλύτερη, τότε θα την ακολουθούσε πάντα και η αλλαγή της στρατηγικής θα ήταν άσκοπη. Αλλά στην πραγματική ζωή, ένα άτομο συνήθως εξετάζει διάφορες στρατηγικές συμπεριφοράς. Είναι αδύνατο να ξεχωρίσουμε αντικειμενικά τα καλύτερα από αυτά. Το μοντέλο παιχνιδιού των δια-ανθρώπινων αλληλεπιδράσεων μας επιτρέπει να μελετήσουμε αυτό το χαρακτηριστικό της θεσμικής συμπεριφοράς, καθώς καλύπτει μια σειρά από στρατηγικές συμπεριφοράς που δεν αλληλοαποκλείονται και αντικατοπτρίζουν διάφορες πτυχές της συμπεριφοράς ενός θεσμικού ατόμου. Ας δούμε αυτά τα πρότυπα συμπεριφοράς.

Παιχνίδι μήτρα

Διακρίνω αλληλέγγυαΚαι μη αλληλεγγύηςστρατηγικές συμπεριφοράς. Τα πρώτα είναι τα πιο χαρακτηριστικά του «θεσμικού ανθρώπου» και τα δεύτερα του «οικονομικού ανθρώπου».

Μη αλληλεγγύηΟι στρατηγικές συμπεριφοράς χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι ένα άτομο επιλέγει μια παραλλαγή της συμπεριφοράς του ανεξάρτητα, ενώ είτε δεν λαμβάνει καθόλου υπόψη τη συμπεριφορά ενός άλλου ατόμου είτε, με βάση την υπάρχουσα εμπειρία, υποθέτει μια πιθανή παραλλαγή της συμπεριφοράς του.

Οι κύριοι τύποι συμπεριφοράς μη αλληλεγγύης περιλαμβάνουν τα ακόλουθα: παράλογος, προσεκτικός, βελτιστοποίηση, αποκλίνουσαΚαι καινοτόμος.

1) Παράλογη συμπεριφορά. Ας υποδηλώσουμε τις δύο στρατηγικές του πρώτου παίκτη με Α και Β, αντίστοιχα. Η στρατηγική Α λέγεται ότι είναι κυρίαρχη σε σχέση με τη στρατηγική Β εάν, για οποιαδήποτε κίνηση του δεύτερου παίκτη, η απόδοση του πρώτου παίκτη που αντιστοιχεί στη στρατηγική Α είναι μεγαλύτερη από την ανταμοιβή του που αντιστοιχεί στη στρατηγική Β. Επομένως, η στρατηγική Β είναι αντικειμενικά χειρότερη με σεβασμό στη στρατηγική Α.

Εάν η στρατηγική Α μπορεί πάντα να επιλέγεται ελεύθερα από τον παίκτη, τότε η στρατηγική Β δεν πρέπει ποτέ να επιλέγεται καθόλου. Εάν, παρόλα αυτά, η στρατηγική Β επιλεγεί από τον πρώτο παίκτη, τότε η συμπεριφορά του σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται παράλογη. Για να προσδιορίσετε την παράλογη συμπεριφορά ενός παίκτη, αρκεί να αναλύσετε τον πίνακα πληρωμών του: ο πίνακας πληρωμών του άλλου παίκτη δεν χρησιμοποιείται.

Σημειώστε ότι ο όρος «παράλογη συμπεριφορά» είναι δανεισμένος από τη νεοκλασική θεωρία. Σημαίνει μόνο ότι η επιλογή αυτής της στρατηγικής δεν είναι σίγουρα η καλύτερη σε μια κατάσταση όπου και οι δύο παίκτες βρίσκονται σε μια ανταγωνιστική αντιπαράθεση, χαρακτηριστική ενός «οικονομικού ανθρώπου». Αλλά για ένα «θεσμικό άτομο» που συνάπτει διαπροσωπικές αλληλεπιδράσεις με άλλα άτομα, η παράλογη συμπεριφορά όχι μόνο είναι δυνατή, αλλά μπορεί να αποδειχθεί και η πιο λογική πορεία δράσης. Ένα παράδειγμα αυτού είναι το παιχνίδι Prisoners' Dilemma.

2) Επιφυλακτική συμπεριφορά. Ο «θεσμικός άνθρωπος», σε αντίθεση με τον «οικονομικό άνθρωπο», δεν είναι απολύτως ορθολογικός, δηλ. δεν επιλέγει πάντα την καλύτερη συμπεριφορά που μεγιστοποιεί το κέρδος. Ο περιορισμένος ορθολογισμός ενός «θεσμικού ατόμου» εκφράζεται στην αδυναμία του να επιλέξει την καλύτερη πορεία δράσης λόγω ενός μεγάλου αριθμού εναλλακτικών λύσεων, ενός πολύπλοκου αλγορίθμου για τον προσδιορισμό της βέλτιστης εναλλακτικής, του περιορισμένου χρόνου λήψης αποφάσεων κ.λπ. Ταυτόχρονα, η έννοια του περιορισμένου ορθολογισμού προϋποθέτει ότι, δεδομένων όλων των πολυπλοκοτήτων της επιλογής, ένα άτομο είναι σε θέση να επιλέξει μια αρκετά καλή εναλλακτική.

Στην προσέγγιση του παιχνιδιού στη μελέτη των θεσμών, ο περιορισμένος ορθολογισμός του ατόμου απεικονίζεται από την προσεκτική συμπεριφορά του παίκτη.

Στρατηγική προσεκτικής συμπεριφοράς- αυτή είναι η στρατηγική ενός παίκτη που του εγγυάται ένα ορισμένο ποσό κερδών ανεξάρτητα από την επιλογή (κίνηση) του άλλου παίκτη. Η προσεκτική στρατηγική ονομάζεται επίσης maximin επειδή υπολογίζεται βρίσκοντας τη μέγιστη τιμή από πολλές ελάχιστες τιμές.

Η προσεκτική στρατηγική του πρώτου παίκτη ορίζεται ως εξής. Σε κάθε σειρά του πίνακα των κερδών του, βρίσκεται το ελάχιστο στοιχείο και στη συνέχεια επιλέγεται το μέγιστο ή μέγιστο του πρώτου παίκτη από αυτά τα ελάχιστα στοιχεία. Η σειρά της μήτρας του παιχνιδιού στην οποία βρίσκεται το μέγιστο του πρώτου παίκτη αντιστοιχεί στην προσεκτική στρατηγική του. Η προσεκτική στρατηγική του δεύτερου παίκτη είναι παρόμοια. Σε κάθε στήλη του πίνακα των κερδών του, βρίσκεται το ελάχιστο στοιχείο και, στη συνέχεια, προσδιορίζεται το μέγιστο στοιχείο από αυτά τα ελάχιστα στοιχεία. Η στήλη της μήτρας του παιχνιδιού στην οποία βρίσκεται το μέγιστο του δεύτερου παίκτη αντιστοιχεί στην προσεκτική στρατηγική του. Κάθε παίκτης μπορεί να έχει πολλές προσεκτικές στρατηγικές, αλλά όλες έχουν το ίδιο νόημα maximina (στρατηγική υψηλού-χαμηλού), ή εγγυημένα κέρδη. Προσεκτικές στρατηγικές υπάρχουν σε κάθε παιχνίδι matrix. Για να προσδιορίσετε την προσεκτική στρατηγική ενός παίκτη, αρκεί να αναλύσετε τον πίνακα πληρωμών του, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα πληρωμών του άλλου παίκτη. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι κοινό για την παράλογη και προσεκτική συμπεριφορά.

3) Βελτιστοποίηση συμπεριφοράς. Στην οικονομική πρακτική, συχνά προκύπτουν καταστάσεις όταν οικονομικοί παράγοντες (για παράδειγμα, ένας πωλητής και ένας τακτικός αγοραστής), κατά τη διάρκεια της μακροπρόθεσμης αλληλεπίδρασης μεταξύ τους, βρίσκουν στρατηγικές συμπεριφοράς που ταιριάζουν και στα δύο μέρη και ως εκ τούτου χρησιμοποιούνται από το « παίκτες» για μεγάλο χρονικό διάστημα. Στην προσέγγιση του παιχνιδιού στη μελέτη των θεσμών, η περιγραφόμενη κατάσταση μοντελοποιείται χρησιμοποιώντας την έννοια των στρατηγικών ισορροπίας. Ένα ζευγάρι τέτοιων στρατηγικών χαρακτηρίζεται από την ακόλουθη ιδιότητα: εάν ο πρώτος παίκτης αποκλίνει από τη στρατηγική ισορροπίας του (επιλέγει κάποια άλλη) και ο δεύτερος συνεχίζει να ακολουθεί τη στρατηγική ισορροπίας του, τότε ο πρώτος παίκτης υφίσταται ζημιά με τη μορφή μείωσης στο ποσό των κερδών. Το κελί του πίνακα του παιχνιδιού που βρίσκεται στην τομή μιας γραμμής και μιας στήλης που αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος στρατηγικών ισορροπίας ονομάζεται σημείο ισορροπίας. Η μήτρα του παιχνιδιού μπορεί να έχει πολλά σημεία ισορροπίας ή να μην τα έχει καθόλου.

Η συμπεριφορά ενός παίκτη που ακολουθεί τη στρατηγική ισορροπίας ονομάζεται βελτιστοποίηση ( συμπεριφορά minimax ή στρατηγική minmax).

Διαφέρει από τη μεγιστοποίηση της συμπεριφοράς. Πρώτον, η ανταμοιβή ισορροπίας του παίκτη δεν είναι η μέγιστη από όλες τις πιθανές πληρωμές. Δεν αντιστοιχεί σε ένα καθολικό μέγιστο, αλλά σε ένα τοπικό βέλτιστο.Έτσι, το καθολικό μέγιστο μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα αριθμητικό διάστημα υπερβαίνει κάθε ένα από τα τοπικά μέγιστα. Δεύτερον, η παρακολούθηση της στρατηγικής ισορροπίας από έναν παίκτη συνεπάγεται την επίτευξη ενός τοπικού μέγιστου μόνο εάν ο άλλος παίκτης διατηρεί τη στρατηγική ισορροπίας. Εάν ο δεύτερος παίκτης αποκλίνει από τη στρατηγική ισορροπίας, τότε η συνεχής χρήση της στρατηγικής ισορροπίας από τον πρώτο παίκτη δεν θα του δώσει ένα μεγιστοποιητικό αποτέλεσμα.

Οι στρατηγικές ισορροπίας καθορίζονται από τον ακόλουθο κανόνα: ένα κελί του πίνακα του παιχνιδιού θεωρείται ισορροπημένο εάν η αντίστοιχη απόδοση του πρώτου παίκτη είναι η μέγιστη στη στήλη και η αντίστοιχη απόδοση του δεύτερου παίκτη είναι η μέγιστη στη σειρά. Έτσι, ο αλγόριθμος για την εύρεση στρατηγικών ισορροπίας χρησιμοποιεί τους πίνακες αποπληρωμής και των δύο παικτών, και όχι ενός από αυτούς, όπως στις περιπτώσεις της παράλογης και προσεκτικής συμπεριφοράς.

4) Αποκλίνουσα συμπεριφορά. Η θεσμοθέτηση μιας στρατηγικής ισορροπίας ως βασικού κανόνα συμπεριφοράς προκύπτει ως αποτέλεσμα της γενίκευσης της εμπειρίας ενός ατόμου από τις διαπροσωπικές του αλληλεπιδράσεις, συμπεριλαμβανομένης της εμπειρίας αποκλίνουσας συμπεριφοράς. Η επίγνωση ενός ατόμου για τις αρνητικές συνέπειες μιας τέτοιας συμπεριφοράς, με βάση την επιλογή εναλλακτικών λύσεων μη ισορροπίας, είναι ένα αποφασιστικό επιχείρημα κατά την επιλογή μιας στρατηγικής βελτιστοποίησης της συμπεριφοράς. Έτσι, η αποκλίνουσα συμπεριφορά χρησιμεύει ως αναπόσπαστο συστατικό της εμπειρίας ζωής ενός «θεσμικού ατόμου», χρησιμεύοντας ως εμπειρική αιτιολόγηση για τη βελτιστοποίηση της συμπεριφοράς. Η εμπειρία της αποκλίνουσας συμπεριφοράς δίνει σε ένα άτομο τη σιγουριά ότι ο άλλος συμμετέχων στο παιχνίδι θα τηρήσει πάντα τη στρατηγική ισορροπίας. Έτσι, μια τέτοια εμπειρία χρησιμεύει ως απόδειξη του ορθολογισμού της συμπεριφοράς του άλλου παίκτη και της προβλεψιμότητας των μελλοντικών αλληλεπιδράσεων μαζί του.

5) Καινοτόμος συμπεριφορά. Παραπάνω εξετάστηκε η αποκλίνουσα συμπεριφορά, ο κύριος σκοπός της οποίας είναι η εμπειρική τεκμηρίωση και εμπέδωση της αρχικής στρατηγικής ισορροπίας. Ωστόσο, ο σκοπός της απόκλισης από τη στρατηγική ισορροπίας μπορεί να είναι θεμελιωδώς διαφορετικός. Η καινοτόμος συμπεριφορά είναι μια συστηματική απόκλιση από τη συνήθη στρατηγική ισορροπίας προκειμένου να βρεθεί μια άλλη κατάσταση ισορροπίας που είναι πιο κερδοφόρα για τον καινοτόμο.

Στο πλαίσιο του μοντέλου παιχνιδιού των διαανθρωπίνων αλληλεπιδράσεων, ο στόχος της καινοτόμου συμπεριφοράς μπορεί να επιτευχθεί εάν η μήτρα του παιχνιδιού έχει διαφορετικό σημείο ισορροπίας, στο οποίο η ανταμοιβή του καινοτόμου παίκτη είναι μεγαλύτερη από ό,τι στην αρχική κατάσταση ισορροπίας. Εάν δεν υπάρχει τέτοιο σημείο, τότε η καινοτόμος συμπεριφορά θα είναι πιθανότατα καταδικασμένη σε αποτυχία και ο καινοτόμος θα επιστρέψει στην αρχική στρατηγική ισορροπίας. Επιπλέον, οι απώλειές του από το πείραμα καινοτομίας θα είναι ίσες με τη συνολική επίδραση της απόκλισης για ολόκληρη την περίοδο του πειράματος.

Στην πραγματική ζωή, τα άτομα που αλληλεπιδρούν συχνά συμφωνούν να ακολουθήσουν ορισμένες στρατηγικές συμπεριφοράς στο μέλλον. Σε αυτή την περίπτωση καλείται η συμπεριφορά των παικτών αλληλέγγυα.

Οι κύριοι λόγοι συμπεριφοράς αλληλεγγύης:

α) το όφελος της συμπεριφοράς αλληλεγγύης και για τους δύο παίκτες. Στο πλαίσιο του μοντέλου αλληλεπίδρασης παιχνιδιού, αυτή η κατάσταση απεικονίζεται από έναν πίνακα παιχνιδιού, σε ένα κελί του οποίου οι αποδόσεις και των δύο παικτών είναι μέγιστες, αλλά ταυτόχρονα δεν είναι ισορροπία και δεν αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι προσεκτικών στρατηγικές των παικτών. Οι στρατηγικές που αντιστοιχούν σε αυτό το κελί είναι απίθανο να επιλεγούν από παίκτες που εφαρμόζουν μοντέλα συμπεριφοράς μη αλληλεγγύης. Αλλά εάν οι παίκτες καταλήξουν σε συμφωνία σχετικά με την επιλογή των κατάλληλων στρατηγικών αλληλεγγύης, τότε στη συνέχεια θα είναι ασύμφορο για αυτούς να παραβιάσουν τη συμφωνία και θα πραγματοποιηθεί αυτόματα.

β) η ηθική της συμπεριφοράς αλληλεγγύης συχνά χρησιμεύει ως «εσωτερικός» μηχανισμός για τη διασφάλιση της συμμόρφωσης με τη συμφωνία. Το ηθικό κόστος με τη μορφή κοινωνικής καταδίκης που θα υποστεί ένα άτομο εάν παραβιάσει τη συμφωνία μπορεί να είναι πιο σημαντικό για αυτόν από την αύξηση των κερδών που επιτυγχάνονται σε αυτήν την περίπτωση. Ο ηθικός παράγοντας παίζει σημαντικό ρόλο στη συμπεριφορά του «θεσμικού ανθρώπου», αλλά στην πραγματικότητα δεν λαμβάνεται υπόψη στο μοντέλο παιχνιδιού των διαανθρωπίνων αλληλεπιδράσεων.

γ) η επιβολή της συμπεριφοράς αλληλεγγύης χρησιμεύει ως «εξωτερικός» μηχανισμός για τη διασφάλιση της συμμόρφωσης με τη συμφωνία. Αυτός ο παράγοντας θεσμικής συμπεριφοράς δεν αντανακλάται επίσης επαρκώς στο μοντέλο παιχνιδιού των αλληλεπιδράσεων.

Τύποι ισορροπίας: Ισορροπία Nash, Ισορροπία Steckelberg, Βέλτιστη ισορροπία Pareto, ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών.

Σε κάθε αλληλεπίδραση, μπορούν να υπάρχουν διαφορετικοί τύποι ισορροπιών: ισορροπία κυρίαρχης στρατηγικής, ισορροπία Nash, ισορροπία Stackelberg και ισορροπία Pareto. Μια κυρίαρχη στρατηγική είναι ένα σχέδιο δράσης που παρέχει σε έναν συμμετέχοντα τη μέγιστη χρησιμότητα ανεξάρτητα από τις ενέργειες του άλλου συμμετέχοντα. Αντίστοιχα, η ισορροπία των κυρίαρχων στρατηγικών θα είναι η τομή των κυρίαρχων στρατηγικών και των δύο συμμετεχόντων στο παιχνίδι. Η ισορροπία Nash είναι μια κατάσταση στην οποία η στρατηγική κάθε παίκτη είναι η καλύτερη απάντηση στις ενέργειες του άλλου παίκτη. Με άλλα λόγια, αυτή η ισορροπία παρέχει στον παίκτη τη μέγιστη χρησιμότητα ανάλογα με τις ενέργειες του άλλου παίκτη. Η ισορροπία Stackelberg συμβαίνει όταν υπάρχει μια χρονική καθυστέρηση στη λήψη αποφάσεων των συμμετεχόντων στο παιχνίδι: ένας από αυτούς παίρνει αποφάσεις γνωρίζοντας ήδη τι έκανε ο άλλος. Έτσι, η ισορροπία Stackelberg αντιστοιχεί στη μέγιστη χρησιμότητα των παικτών σε συνθήκες μη ταυτόχρονης λήψης αποφάσεων από αυτούς. Σε αντίθεση με την ισορροπία των κυρίαρχων στρατηγικών και την ισορροπία Nash, αυτός ο τύπος ισορροπίας υπάρχει πάντα. Τέλος, η ισορροπία Pareto υπάρχει υπό την προϋπόθεση ότι είναι αδύνατο να αυξηθεί η χρησιμότητα και των δύο παικτών ταυτόχρονα. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα της τεχνολογίας για την αναζήτηση ισορροπιών και των τεσσάρων τύπων.

Κυρίαρχη στρατηγική- ένα σχέδιο δράσης που παρέχει στον συμμετέχοντα τη μέγιστη χρησιμότητα, ανεξάρτητα από τις ενέργειες του άλλου συμμετέχοντα.

Ισορροπία Nash- μια κατάσταση στην οποία κανένας από τους παίκτες δεν μπορεί να αυξήσει τα κέρδη του μονομερώς αλλάζοντας το σχέδιο δράσης του.

Ισορροπία Stackelberg- μια κατάσταση όπου κανένας από τους παίκτες δεν μπορεί να αυξήσει τα κέρδη του μονομερώς και οι αποφάσεις λαμβάνονται πρώτα από έναν παίκτη και γίνονται γνωστές στον δεύτερο παίκτη.

Ισορροπία Pareto- μια κατάσταση όπου είναι αδύνατο να βελτιωθεί η θέση κάποιου από τους παίκτες χωρίς να επιδεινωθεί η θέση του άλλου και χωρίς να μειωθούν τα συνολικά κέρδη των παικτών.

Ας επιδιώξει η εταιρεία Α να σπάσει το μονοπώλιο της επιχείρησης Β στην παραγωγή ενός συγκεκριμένου προϊόντος. Η εταιρεία Α αποφασίζει εάν πρέπει να εισέλθει στην αγορά και η επιχείρηση Β αποφασίζει εάν θα πρέπει να μειώσει την παραγωγή εάν ο Α αποφασίσει να εισέλθει. Στην περίπτωση σταθερής παραγωγής στην επιχείρηση Β, και οι δύο εταιρείες είναι χαμένες, αλλά εάν η επιχείρηση Β αποφασίσει να μειώσει την παραγωγή, τότε «μοιράζεται» τα κέρδη της με την Α.

Ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών. Η εταιρεία Α συγκρίνει την απόδοσή της και στα δύο σενάρια (-3 και O εάν ο Β αποφασίσει να ξεκινήσει έναν πόλεμο τιμών) και (4 και 0 εάν ο Β αποφασίσει να μειώσει την παραγωγή). Δεν έχει στρατηγική που να εξασφαλίζει μέγιστο κέρδος ανεξάρτητα από τις ενέργειες του Β: 0 > -3 => «μη εισέλθετε στην αγορά» εάν ο Β αφήσει την παραγωγή στο ίδιο επίπεδο, 4 > 0 => «εισέλθετε» εάν ο Β μειώσει την παραγωγή (βλ. συμπαγή βέλη). Αν και η εταιρεία Α δεν έχει κυρίαρχη στρατηγική, η εταιρεία Β έχει. Ενδιαφέρεται να μειώσει την παραγωγή ανεξάρτητα από τις ενέργειες του Α (4 > -2, 10 = 10, βλ. διακεκομμένα βέλη). Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών.

Ισορροπία Nash.Η καλύτερη απάντηση της επιχείρησης Α στην απόφαση της επιχείρησης Β να αφήσει την ίδια παραγωγή είναι να μην εισέλθει, και στην απόφαση να μειώσει την παραγωγή είναι να εισέλθει. Η καλύτερη απάντηση της επιχείρησης Β στην απόφαση της εταιρείας Α να εισέλθει στην αγορά είναι να μειώσει την παραγωγή· όταν αποφασίζει να μην εισέλθει, και οι δύο στρατηγικές είναι ισοδύναμες. Επομένως, δύο ισορροπίες Nash (A, A2) βρίσκονται στα σημεία (4, 4) και (0, 10) - το A εισέρχεται και το B μειώνει την έξοδο, ή το A δεν εισέρχεται και το B δεν μειώνει την έξοδο. Είναι αρκετά εύκολο να το επαληθεύσετε, αφού σε αυτά τα σημεία κανένας από τους συμμετέχοντες δεν ενδιαφέρεται να αλλάξει τη στρατηγική του.

Ισορροπία Stackelberg.Ας υποθέσουμε ότι η εταιρεία Α λαμβάνει την πρώτη απόφαση. Εάν επιλέξει να εισέλθει στην αγορά, τελικά θα καταλήξει στο σημείο (4, 4): η επιλογή της εταιρείας Β είναι σαφής σε αυτήν την περίπτωση, 4 > -2. Εάν αποφασίσει να μην εισέλθει στην αγορά, τότε το αποτέλεσμα θα είναι δύο βαθμοί (0, 10): Οι προτιμήσεις της εταιρείας Β επιτρέπουν και τις δύο επιλογές. Γνωρίζοντας αυτό, η εταιρεία Α μεγιστοποιεί την απόδοσή της στα σημεία (4, 4) και (0, 10), συγκρίνοντας τα 4 και 0. Οι προτιμήσεις είναι σαφείς και το πρώτο Stackelberg ισορροπίας Stackelberg θα είναι στο σημείο (4, 4). Ομοίως, η ισορροπία Stackelberg StB, όταν η επιχείρηση Β αποφασίσει πρώτη, θα βρίσκεται στο σημείο (0, 10).

Ισορροπία Pareto.Για να προσδιορίσουμε το βέλτιστο Pareto, πρέπει να δοκιμάσουμε διαδοχικά και τα τέσσερα αποτελέσματα του παιχνιδιού, απαντώντας στην ερώτηση: «Η μετάβαση σε οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσμα του παιχνιδιού παρέχει αύξηση της χρησιμότητας ταυτόχρονα και για τους δύο συμμετέχοντες;» Για παράδειγμα, από το αποτέλεσμα (-3, -2) μπορούμε να προχωρήσουμε σε οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσμα, πληρώντας την καθορισμένη συνθήκη. Μόνο από το αποτέλεσμα (4, 4) δεν μπορούμε να προχωρήσουμε περαιτέρω χωρίς να μειώσουμε τη χρησιμότητα οποιουδήποτε από τους παίκτες, αυτή θα είναι η ισορροπία Pareto, R.